05 弯曲应力

2
EIz
ρ
=M
惯性矩
曲率半径 ρ
1
y
dx
1
曲率
ρ
M y σ= Iz 3、静力关系
M
M
中性轴
M ——横截面上的弯矩 横截面上的弯矩 y ——到中性轴的距离 到中性轴的距离
截面对中性轴的惯性矩 Iz ——截面对中性轴的惯性矩
σ
M
m
n
z
y
o
dA
σ
m
dx
n
z
y
M
M y σ= Iz
向下为正的原因） （y 向下为正的原因）
Mmax ymax 横力弯曲最大正应力 σmax = Iz
抗弯截面系数
Iz W= ymax
类比： 类比：扭转
Mmax σmax = W
Tmax τmax = W t
三种典型截面对中性轴的惯性矩 1.矩形截面 1.矩形截面 2.实心圆截面 2.实心圆截面
Wt — 抗扭截面系数 3.截面为外径 、内径d 3.截面为外径D、内径 截面为外径 的空心圆: （α=d/D) 的空心圆:
q = 2 kN m
100
200 200
4m
100
2 qL 8
2 qL M Pa σmax = max = 82 = 6 M bh W 6 横放 2 qL M Pa σmax = max = 82 =12 M hb W 6
竖放
§5-3 横力弯曲时的正应力
弯曲正应力的强度条件 弯曲正应力的强度条件 M max y max σ max = ≤ [σ ] Iz 1.弯矩最大的截面上 1.弯矩最大的截面上 2.离中性轴最远处 2.离中性轴最远处 3.非常规截面或变截面梁要综合考虑 3.非常规截面或变截面梁要综合考虑 M 与 I z 4.脆性材料抗拉和抗压性能不同， 4.脆性材料抗拉和抗压性能不同，二方面都要考虑 脆性材料抗拉和抗压性能不同
[σ ] = 60MPa. 试校核轮轴的强度。 试校核轮轴的强度。
变截面梁
分析（ 分析（1） σ max =
M
max
Wz
≤ [σ ]
（2）考察弯矩 M 最大的截面 （3）考察抗弯截面系数 Wz 最小的截面
（ 解： 1）计算简图 C A B （2）绘弯矩图 截面， （3）B 截面，C 截面需校核 （4）强度校核 B 截面： 截面：
9kN
4kN
A
1m
B C
1m 1m
D
分析： 非对称截面， 分析： 非对称截面，要确定中性轴位置 中性轴是通过截面形心的直线 作弯矩图，寻找需要校核的截面（可能的危险截面） 作弯矩图，寻找需要校核的截面（可能的危险截面） 要同时满足 σ t ,max ≤ [σ t ] , σ c ,max ≤ [σ c ]
最大应力并不总发生在最大弯矩处 （5）结论：满足强度要求 结论：
§5-3 横力弯曲时的正应力
P146例题5.3 P146例题5.3 例题
[ T 型截面铸铁梁，截面尺寸如图示。σ t ] = 30MPa, [σ c ] = 160MPa, 型截面铸铁梁，截面尺寸如图示。
试校核梁的强度。 试校核梁的强度。 非常规截面梁
y2 ——叠梁2上点对Z2轴(中性轴)的距离
M y 横截面上正应力的画法： σ = Iz
σmin
M
σmin
M
σmax
σmax
公式适用范围： ①线弹性范围—正应力小于比例极限σp； ②精确适用于纯弯曲梁； ③对于横力弯曲的细长梁(跨度与截面高度比L/h>5)， 上述公式的误差不大，但公式中的M应为所研究截面 上的弯矩，即为截面位置的函数。
I z1 ——叠梁1截面对Z1轴(中性轴)的惯性矩
I z 2 ——叠梁2截面对Z2轴(中性轴)的惯性矩
由ε= 即
y
ρ
得
σ1 =
σ1 =
E1 y1
ρ
σ2 =
E2 y2
ρ
E1 y1M E1 I z1 + E2 I z 2
σ2 =
E2 y2 M E1 I z1 + E2 I z 2
y1 ——叠梁1上点到Z1轴(中性轴)的距离
Байду номын сангаасx x
=−61.7×106 Pa =−61.7M （压应力） Pa 压应力）
§5-3 横力弯曲时的正应力
q=60kN/m
180 120
2. C 截面最大正应力
30
A
1m
FAy
B C
l = 3m
C 截面弯矩
MC = 60kN⋅ m
x
K
z y
FBy
C 截面惯性矩
FS 90kN
Iz = 5.832×10−5 m4
B C
l = 3m
x
K
3. 全梁最大正应力 30 最大弯矩 z Mmax = 67.5kN⋅ m 截面惯性矩
Iz = 5.832×10−5 m4
FBy
y
FS 90kN
(+)
(−)
x 90kN
Mmax ymax σmax = Iz 180 67.5×103 × ×10−3 2 = 5.832×10−5 =104.17×106 Pa =104.17M Pa
σB =
Fa 62.5 × 267 × 32 = 3 WzB π d1 π × 0.163 32 = 41.5 ×106 Pa = 41.5MPa< [σ ] MB =
Fb Fa C 截面： 截面：
σC =
MC WzC =
Fb 62.5 ×160 × 32 = = 46.4 ×106 Pa = 46.4MPa< [σ ] 3 π d2 π × 0.133 32
σ t , max ≤ [σ t ]
σ c , max ≤ [σ c ]
§5-3 横力弯曲时的正应力
例题1 q=60kN/m
180 120
A
1m
FAy
B C
l = 3m
x
K
FBy
FS 90kN
y 解：1. 求支反力 FAy = 90kN FBy = 90kN
MC = 90×1−60×1×0.5 = 60kN⋅ m
1 MB = − FL 2
bh3 Iz = 12
12
§5-3 横力弯曲时的正应力
横力弯曲：既有弯矩又有剪力。 横力弯曲：既有弯矩又有剪力。
由于切应力的影响，横截面不能再保持为平面。 由于切应力的影响，横截面不能再保持为平面。
§5-3 横力弯曲时的正应力 M y 纯弯曲,F 为零,由 纯弯曲 S为零 由 纯弯曲正应力分布 σ = dM/dx=FS=0, Iz
M
ql 2 / 8 = 67.5kN⋅ m
(+)
x
EIz 200×109 ×5.832×10−5 = ρC = 60×103 MC =194.4m
§5-3 横力弯曲时的正应力
例题2
图示为火车轮轴的简图。 图示为火车轮轴的简图。已知 d1 =160mm, d2 =130mm, a = 0.267m, b = 0.16m, F = 62.5kN, 材料的许用应力为
第五章 弯曲应力
第五章
§5-1 纯弯曲
弯曲应力
§5-2 纯弯曲时的正应力 §5-3 横力弯曲时的正应力 §5-4 弯曲切应力 §5-5 *关于弯曲理论的基本假设 §5-6 提高弯曲强度的措施
回顾与比较 拉伸、 拉伸、压缩
§5-1 纯弯曲
内力 应力
F σ= A
扭转
Tρ τ= Ip
M
弯曲
FAy
FS
σ =? τ =?
将梁的轴线取为 x 轴，
O
z
向下为正) 横截面的对称轴取为 y 轴，(向下为正 向下为正 中性轴取为 z 轴。 y z z
O O
x
y
x
y
§5-2 纯弯曲时的正应力
1、变形几何关系 、 2、物理关系 、 3、静力关系 、
综合考虑
F
m
n
F
(ρ + y)dθ − ρdθ y ε= = ρdθ ρ
m
n
中性轴
1、变形几何关系 y σ = Eε = E
M
M
ρ
m
n
z
y
o
dA
σ
E 2、物理关系 σ FN =∫A dA = ∫ ydA = 0 ρ A
o
静矩
m
dx
n
z
Miy =∫ zσdA =
A
A
E
∫ zydA= 0 ρ
A
惯性积
y
ρ dθ
Miz =∫ yσdA =
M = 曲率 ρ EIz
抗弯刚度
E
ρ∫
A
y dA =
Fa
横力弯曲：既有弯矩又有 剪力。如AC段和DB段 纯弯曲：只有弯矩，没有 剪力。如CD段
F
F
横向线
m n
F 纵向线
实验现象： 实验现象：
1、变形前互相平行的纵向 直线、变形后变成弧线，且 凹边纤维缩短、凸边纤维伸 长。 2、变形前垂直于纵向线的 横向线，变形后仍为直线， 且仍与弯曲了的纵向线正交， 但两条横向线间相对转动了 一个角度。
m
n
平面假设： 平面假设：
变形前原本为平面的横截面变形后仍保持为平面。 变形前原本为平面的横截面变形后仍保持为平面。且 仍垂直于变形后的轴线， 仍垂直于变形后的轴线，只是横截面绕某一轴旋转了 一个角度。 一个角度。
中性层：梁内一层纤维既不伸长也不缩短， 中性层：梁内一层纤维既不伸长也不缩短，因而纤维不 受拉应力和压应力，此层纤维称为中性层。（阴影） 受拉应力和压应力，此层纤维称为中性层。（阴影） 。（阴影 中性轴：中性层与横截面的交线称为中性轴。 中性轴：中性层与横截面的交线称为中性轴。 中性轴与纵向对称面垂直。 中性轴与纵向对称面垂直。