第四章_弯曲应力
《材料力学》第四章 弯曲内力
M FS
F S
（3）画出FS图与M图。 画出F 图与M 剪力图为一斜直线， 剪力图为一斜直线， x=0，FS=ql/2；x=l，FS=-ql/2； ； 弯矩图为一抛物线， 弯矩图为一抛物线， 由三点来确定： 由三点来确定： x=0及x=l时，M＝0； x=l/2， M＝ql2／8。 。
M x = a, M = O a AC段 x=0， AC段：x=0，M＝0 ； l
CB段 CB段：x=a, x=l, M＝ x= , M＝0
MO M =－ b l
试作轴的简力图和弯矩图
补例1 补例1
解
（1）求支反力。 求支反力。
1 ql 2
R A = RB =
（2）用截面法求剪力和弯矩方程。 用截面法求剪力和弯矩方程。
∑ mA = 0 ∑m
B
=0
l －m－P ⋅ + YB ⋅ l = 0 2 l －YA ⋅ l－m+P ⋅ = 0 2
YA－FSC＝0 , 3 FSC＝－ P 2
5 P B 2 3 Y A =－ P 2 Y =
m
（2）计算C截面的内力。 计算C截面的内力。
∑Y = 0 ,
P
l 13 mC＝0 , YA ⋅ －m＋M C＝0 , M C＝ Pl ∑ 4 8
求反力： 解 （1）求反力：
∑ X = 0, X = 0 ∑ Y = 0, P － Y ＝0 ∑ m ＝0， m － Pa ＝0
C C C C
YC＝ P m C＝ Pa
（2）列弯矩和轴力方程。 列弯矩和轴力方程。 AB段 AB段：M(x)= Px, N(x)=0 , BC段 BC段：M(y)=mC=Pa, N(y)=P ,
建筑力学_结构第四章_应力和强度
o1o2 = dx = ρdθ
)dθ −ρdθ = ydθ
ab的线应变: ab的线应变 的线应变:
∆S ydθ y ε= = = dx ρdθ ρ
§4-2 弯曲时的正应力
• 物理方面 弹性) 物理方面(弹性 弹性
σ = Eε =
Ey
ρ
静力平衡关系 (合力矩定理、合力定理 合力矩定理、 合力矩定理 合力定理)
§4-2 弯曲时的正应力
正应力公式的使用条件及推广
正应力公式只能用于发生平面弯曲的梁; 正应力公式只能用于发生平面弯曲的梁 材料处于线弹性范围内; 材料处于线弹性范围内 对于具有一个纵向对称面的梁均适用; 对于具有一个纵向对称面的梁均适用 可推广应用于横力弯曲时梁的正应力计算. 可推广应用于横力弯曲时梁的正应力计算
工程构件，大多数情形下，内力并非均匀分布，集度的定 义不仅准确而且重要，因为“破坏”或“失效”往往从内力集 度最大处开始。 2. 应力的表示： 应力的表示： ①平均应力： 平均应力： ∆P M ∆A
ΔP pM = ΔA
②应力： 应力：
p = lim
∆A → 0
∆ P dP = ∆ A dA
③应力分解为： 应力分解为： 垂直于截面的应力称为“正应力” 垂直于截面的应力称为“正应力” (Normal Stress)； )
提高梁弯曲强度的措施 采用合理截面形状
原则：当面积 一定时 一定时,尽可能 原则：当面积A一定时 尽可能 增大截面的高度,并将较多的材 增大截面的高度 并将较多的材 料布置在远离中性轴的地方,以 料布置在远离中性轴的地方 以 得到较大的抗弯截面模量。 得到较大的抗弯截面模量。
Mmax ≤ Wz ⋅[σ ]
q=3.6kN/m 矩形(b×h=0.12m×0.18m）截面木梁 A L=3m
材料力学-第四章弯曲应力教学
FS
x
dx
0
FS
x
dM x
dx
qx
dM 2x
dx 2
注:q(x)向上为正,反之为负。
●简易法作剪力图和弯矩图
①梁上无分布荷载作用：q（x）=0
qx dFS x 0
dx
FS x cont
剪力图斜率为零，FS（x）图为平行于x轴的直线。
dM x
B 1kN
A FAx
FB
FAy
FAx=-3kN FAy=3kN
FB=5kN
2）剪力图: 简易法 BC杆：取一点（水平线） DC杆：取两点（水平线） DA杆：取两点（斜直线）
D 3kN
C
1kN E
5kN
1kN B
3kN A
q=1kN/m 4m 3m
8kN
1m D
2m C
E
B 1kN
A FAx
A
A
ydA Sz 0 中性轴z必通过截面形心
A
横截面对z轴的静矩
My
z dA 0
A
zE
A
y dA
E
A
zydA
0
zydA I yz 0
A
截面对yz轴的惯性积
*由于y为对称轴, 上式自然满足。
M z
y dA
A
M
例5.作外伸梁的内力图
q
FA
ql 8
A
FB
5ql 8
FA
FS
B
lC
l
FB 2
ql / 2
薄板弯曲和薄壳问题
y
Ni 0
0
Ni
刚度矩阵b 刚度矩阵S
kbe se Bb T DBb dxdy kSe se BS T BS dxdy
Kb kbe KS kSe
总体刚度矩阵 K Kb KS
等效节点力
q x, y
Qe
se
N T
0
dxdy
0
Q Qe
K Q
§4 薄壳变形的假设
1
(i k,l, m, n)
M DBe
T
U e 1 2
1
se
D
1
dxdy
1 2
e
T
se BT DBdxdy e
1 e T ke e 2
ke se BT DBdxdy
K ke
总变形能
U
U e
1 T
2
K
不计边界外力，只有面内横向载荷时的外力功为
1
(i=k, l, m, n)
三、单元刚阵
w N(x, y)e
1
x
2
x
2
1
1
y
2 y2
w
2
x
2
1 2
y
2
N e [B] e
1
xy
2 2 xy
应变矩阵
2 2 xy
B Bk Bl Bm Bn
6xi x a4
Dp
1
z
h
M x
2
h
x
zdz
2
h
M xy
2
h
xy
zdz
x
2
h
M y
2
h
y
材料力学土木类第四章 弯曲应力.ppt
ty沿宽度相等。
最大切应力tmax 在中性轴z处
t max
FS
S
* z
Izd
FS
1 2
πd 2 4
2d
3π
πd 4 d
64
4FS 4FS 3 π d 2 3A 4
2d /3p
d
tmax
O
k
k'
O' y
薄壁环形截面梁弯曲切 应力的分布特征：
(1) <<r0→沿壁厚切应 tmax
r0
tmax
力的大小不变；
O
(2) 内、外壁上无切应力 t
→切应力的方向与圆周
y
相切；
(3) y轴是对称轴→切应 力分布与 y轴对称；与 y
最大切应力tmax 仍发生
在中性轴z上。
轴相交的各点处切应力
为零。
薄壁环形截面梁最大切应力的计算
45
45
Wz
Iz ymax
75103 9.5 274.6
28.8MPa [t ]
满足强度条件
例4-20 图示外伸梁，由工字钢制成。已知材料的许 用正应力[σ ]=160MPa,许用剪应力 [τ ]=90MPa。试 选择工字钢的型号。
50kN
80kN
A 150 500
B 500 47.5kN
50kN 7.5kN.m
料均为Q235钢，其[s ]=170MPa，[t ]=100MPa。试校
核该梁的强度。
50kN 50kN 50kN
F1 F2
100 9.5
10 320 10
理论力学 第四章_07.8.28_
第四章 弯曲应力4-1 试求图示各梁中指定横截面上的剪力和弯矩。
解：（a ）m kN M kN F m kN M F s s ⋅−=−=⋅−==12 ,5 ,2 ,02211 （b ）m kN M kN F m kN M kN F s s ⋅=−=⋅==6 ,3 ,6 ,22211 （c ）m kN M kN F m kN M kN F s s ⋅−==⋅==6 ,4 ,4 ,42211 （d ） ,5 ,67.111m kN M kN F s ⋅==（e ）e e s e e s M M aMF M M a M F −=−=−=−=2211 ,4 ,4 ,4, e s M M F −==33 ,0 （f ）m kN M kN F m kN M kN F s s ⋅−=−=⋅−==25.15 ,81.11 ,25.15 ,5.122211 （g ）m kN M F m kN M kN F s s ⋅−==⋅−==40 ,0 ,45 ,302211（h ）34 ,0 ,1211 ,4302220101aq M F a q M a q F s s ====4-3 试利用载荷集度、剪力和弯矩间的微分关系作下列各梁的剪力图和弯矩图。
解：（a）（b）（c）（g）（d）（e）（f）4-4 试作下列具有中间铰的梁的剪力图和弯矩图。
解：有中间铰的梁的内力图画法与普通梁无异，关键是求出约束反力。
4-6 已知简支梁的剪力图如图所示。
试作梁的弯矩图和载荷图。
已知梁上没有集中力偶作用。
解：（a ）A 、B 、D 截面剪力突变，说明截面上有集中力作用，集中力的值等于该截面剪力的突变值。
CD 段剪力图为下斜直线，说明该段上有向下的均布载荷作用，载荷集度等于该段剪力图的斜率。
（b ）A 、C 、D 截面剪力突变，说明截面上有集中力作用，集中力的值等于相应截面上剪力的突变值。
AC 段剪力图为下斜直线，说明该段上有向下的均布载荷作用，载荷集度等于该段剪力图的斜率。
第四章 弯曲应力(I)-56学时
3.剪力方程和弯矩方程 剪力和弯矩沿轴向的变化方程，称为剪力方程 和弯矩方程。 例题
* Fs、M的简单计算方法
m F1
Fn
F2
Fk+2
Fk
Fk+1
m
M M, R=R
M’ R C M R’
R= Fi
i=1i
i=k+1
n
M= Mi
i=k+1
第四章 弯曲应力
一、基本概念
等直杆在包含杆轴线的纵向平面内，承受垂 1.弯曲： 直于杆轴线的力或力偶作用时，杆的轴线在 变形后成为曲线，这种变形称为弯曲变形。 2.梁： 以弯曲为主要变形的杆件。 3.对称弯曲：具有纵向对称面的梁，当外力均作用 于此对称面内时，产生的弯曲。
4.平面弯曲： 变形后的轴线所在平面与外力所 在平面平行或重合的弯曲变形。 5.工程中常见的梁 简支梁 悬臂梁 外伸梁
二、梁的内力及内力方程 梁的内力 1.梁内力的求解方法： 截面法
2.Fs、M符号的规定
动() 使被保留部分顺时针转 Fs 与τ的符号规定相同 动() 使被保留部分逆时针转
维受压，下部纤维受拉 ( ) 使被保留部分的上部纤 M 维受拉，下部纤维受压 ( ) 使被保留部分的上部纤
侧并将重叠部分剪掉已实现叠加。
3．平面刚架和曲杆的内力图 弯矩图：画在各杆的受拉一侧，不注明正、负号。
剪力图、轴力图： 可画在刚架轴线的任一侧，须 注明正、负号。
拉纤维一侧）。
作图步骤： 1．列出分段的剪力、弯矩方程 2．找出控制点的数值 3．根据曲线（方程）的几何性质画出图线 4．标注关键点数据及正、负值
例题
四、荷载、剪力、弯矩间的关系 五、剪力、弯矩的简便作图法 1．利用荷载、剪力、弯矩间关系的结论作图 2．利用叠加法作图 叠加时，若叠加部分同号则画在x轴两侧 已实现叠加；若叠加部分异号则画在x轴同
材料力学习题及答案4-6
第四章弯曲应力判断图弯矩的值等于梁截面一侧所有外力的代数和。
（）负弯矩说明该截面弯矩值很小，在设计时可以忽略不计。
（）简支梁上向下的集中力对任意横截面均产生负弯矩。
（）横截面两侧所有外力对该截面形心力矩的代数和就是该截面的弯矩值。
（）梁的任一横截面上的弯矩在数值上等于该截面任一侧所有外力对该截面形心的力矩代数和。
（）在计算指定截面的剪力时，左段梁向下的荷载产生负剪力。
（）在计算指定截面的剪力时，右段梁向下的荷载产生正剪力。
（）梁纯弯曲时中性轴一定通过截面的形心。
（）简支梁上受一集中力偶作用，当集中力偶在不改变转向的条件下，在梁上任意移动时，弯矩图发生变化，剪力图不发生变化。
（）图示梁弯矩图的B点是二次抛物线的顶点。
（）图示梁段上集中力偶作用点两侧的弯矩直线一定平行。
（）(M图)下列三种斜梁A截面的剪力均相同。
（）l/2l/2l/2l/2l/2l/2下列三种斜梁B截面的剪力均相同。
（）l/2l/2l/2l/2l/2l/2下列三种斜梁C截面的弯矩均相同。
（）l/2l/2l/2l/2l/2l/2梁弯曲时的内力有剪力和弯矩，剪力的方向总是和横截面相切，而弯矩的作用面总是垂直于横截面。
（）一端（或两端）向支座外伸出的简支梁叫做外伸梁。
（）##√悬臂梁的一端固定，另一端为自由端。
（）##√弯矩的作用面与梁的横截面垂直，它们的大小及正负由截面一侧的外力确定。
（）##√弯曲时剪力对细长梁的强度影响很小，所以在一般工程计算中可忽略。
（）##√图示，外伸梁BC段受力F作用而发生弯曲变形，AB段无外力而不产生弯曲变形（）##×由于弯矩是垂直于横截面的内力的合力偶矩，所以弯矩必然在横截面上形成正应力。
（）##√抗弯截面系数是反映梁横截面抵抗弯曲变形的一个几何量，它的大小与梁的材料有关。
（）##×无论梁的截面形状如何，只要截面面积相等，则抗弯截面系数就相等。
（）##×梁弯曲变形时，弯矩最大的截面一定是危险截面。
弯曲变形区的应力与应变状态分析
r
邻部分材料的制约，材
料不易流动，因此其横
断面形状变化较小，仅
在两端会出现少量变形，
横断面形状基本保持为
矩形。BBρa)b)
图4-7 窄板、宽板的变形 a）窄板 b）宽板
第四章 弯曲
二、弯曲变形时材料的流动情况
5、弯曲后的畸变、翘曲 细而长的板料弯曲件，由于沿折弯 线方向工件的刚度小，塑性弯曲时，外区宽度方向的压应变和 内区的拉应变将得以实现，结果使折弯线翘曲。当板料弯曲件 短而粗时，沿工件纵向刚度大，宽度方向应变被抑制，翘曲则 不明显。对于管材、型材弯曲后的剖面畸变如图4-8b所示，这 种现象是因为径向压应力所引起的。另外，在薄壁管的弯曲中， 还会出现内侧面因受切向压应力的作用而失稳起皱的现象。
的减薄量大于内侧的增厚量，因
此使弯曲变形区的材料总厚度变 薄。变形程度愈大，变薄现象愈 严重。
图4-6 弯曲前后坐标网格的变化 a）弯曲前 b）弯曲后
接下页
第四章 弯曲
二、弯曲变形时材料的流动情况
4、变形区横断面的变形。 板料的相对宽度 B/ｔ（B是 板料的宽度，ｔ是板料的厚 度）对弯曲变形区的材料变 形有很大影响。一般将相对 宽度B /ｔ＞3 的板料称为宽 板 ，相对宽度B /ｔ≤ 3 的 称为窄板。
简述如下:弯曲开始前，先将 平板毛坯放入模具定位板中 定位，然后凸模下行，实施 弯曲，直至板材与凸模、凹 模完全贴紧(此时冲床下行至 下死点)，然后开模(此时冲 床上行至上死点)，再从模具 里取出Ｖ形件。
V
图4-3 V形弯曲模
第四章 弯曲
一、弯曲过程与特点 （续）
在板材A处，凸模施加外力2F，M
R
3、校正弯曲阶段：到行程终了时，凸凹模对弯曲件进行校正， 使其直边、圆角与凸模全部靠紧。整个变形区的材料完全处于 塑性变形较稳定的状态。
第四章 弯曲应力(II)-72学时-copy
梁发生平面弯
曲时，具有相
同曲率半径的
纵向纤维构成 一个纤维层。 同一纤维层内 各纤维的变形 性质相同。
中性层： 在平面弯曲变形中，纤维 长度不发生变化的一层纤 维称为中性层。
中性轴： 中性层与横截面的交线， 称为中性轴。
横截面上直角坐标系的建立： 取横截面上与中性轴垂直的轴为y轴，方 向以向下为正,以使伸长纤维处的y坐标为
* FS S Z IZb
•上述假设适用于任何具有对称轴的其它 薄壁截面梁。
y max
FS 2 A
4. 工字形截面梁横截面剪应力的计算 假设： •τ与横截面的侧边平行 •τ沿横截面的宽度均匀分布 腹板处的剪应力 翼缘处的剪应力
讨论：
•τ分布。
•翼缘处两个方向最大剪应力,沿翼缘向远 大于垂直翼缘向，但相对于腹板处的剪 应力属次要地位。
•τ沿梁高是二次分布的，且中性轴处取
得最大值。 y max
3 FS 2 A
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
翘曲现象： 变形后，构件的横截面由平面
变为曲面，成为翘曲。
2. 圆形截面梁横截面剪应力的计算
假设： 横截面上任意与中性轴平行的 线上各点τ的方向相交于y轴上 的一点K且各点剪应力沿y方向 的分量相等。
* FS S Z IZb
τ的存在：
使梁的横截面产生翘曲，平面假设不再成立。 使梁的纵向纤维间存在由剪切而引起的相互 作用力。 横向荷载会引起附近纤维间的相互挤压， 单向应力假定不再成立，单向胡克定律 不再适用。
结果：无法在《材料力学》范围内，
得到σ的计算公式。 弹性力学的理论可以证明： 对于浅梁（跨长:梁高≥5），使用纯弯 曲的应力计算公式计算横力弯曲梁横截 面的正应力，结果精度满足工程要求。
第四章-弯曲应力(1)
称为截面抗弯模量，单位： 称为截面抗弯模量，单位：m3, mm3 抗弯模量
21
宽b、高h的矩形
直径为d 直径为d的圆截面
2
Iz Wz = = ymax
bh3 12 h 2
bh = 6
Wz =
πd
3
32
轧制型钢（工字钢、槽钢等） 轧制型钢（工字钢、槽钢等）的 WZ 从型钢表中查得 强度条件
平衡（力学） 平衡（力学） 本构（物理） 多学科综合法） 本构（物理） （多学科综合法） 变形（几何） 变形（几何） 单元体 应力合成内力
20
二、 弯曲正应力强度条件
Strength criterion of normal stress in bending
M σ= y Iz
σ max
Mmax Mmax = ymax = Iz Wz
梁的强度符合要求
29
思考题
1、弯矩和剪力分别由什么应力组成? 、弯矩和剪力分别由什么应力组成 2、研究梁的正应力的基本思路是什么？ 、研究梁的正应力的基本思路是什么？ 3、什么是梁的中性层、中性轴？证明矩形梁的中 、什么是梁的中性层、中性轴？ 性轴必通过横截面的形心。 性轴必通过横截面的形心。 4、什么是梁的曲率？它与什么有关？抗弯刚度越 、什么是梁的曲率？它与什么有关？ 大曲率半径也越大， 大曲率半径也越大，抗弯刚度越小曲率半径也 越小，对吗？ 越小，对吗？为什么 ？
−4 3
3
1
2 z
M1 y σ1 = σ2 = Iz − 60×60 5 = ×10 = −61.7MPa 24 5.832
120 y
σ1max
σmax
M1 60 4 = = ×10 = 92.6MPa Wz 6.48
材料力学(给排水)第四章-弯曲应力
弯曲应力的计算方法
1 梁弯曲公式
常用于计算直梁受弯时的应力分布和最大应 力值。
2 等强度法
常用于计算不同形状截面的梁受弯时的应力 分布。
弯曲应力的分布特点
1 最大应力出现在最远离中性轴的位置
2 中性轴附近应力应变
2 下表面拉应变
3 中性面应变为0
弯曲应力的应力-应变关系
1 胡克定律
当弯曲应力小于材料的弹性极限时，应力与 应变成正比关系。
2 弹性模量
描述了材料在受力时的变形程度。
材料力学中常见的弯曲应力计算问题
1 悬臂梁的最大弯曲应力计算
2 叠木梁的弯曲应力分布计算
3 榀形梁的弯曲应力计算
弯曲应力的工程应用及实例
1 建筑结构设计
弯曲应力的分析和计算对 于设计坚固和稳定的建筑 结构至关重要。
2 桥梁工程
弯曲应力的研究可以帮助 工程师设计和评估桥梁的 结构和安全性。
3 车辆设计
在汽车和飞机等交通工具 的设计过程中，弯曲应力 是一个重要的考虑因素。
材料力学(给排水)第四章 -弯曲应力
在材料力学中，弯曲应力是一个重要的概念，它涉及到物体在受力时的弯曲 情况。本章将介绍弯曲应力的定义、计算方法、分布特点、应变状态、应力应变关系以及其工程应用及实例。
弯曲应力的定义
1 弯曲应力
当一个物体受到外力作用而发生弯曲时，物体内部会出现垂直于弯曲面的应力，这种应 力即为弯曲应力。
第七讲材料力学
d
M
dx
x
FS
x
d
2M dx
x
2
q
x
其中分布荷载集度 q(x) 以向上为正，向下为负。
几种常见荷载下FS 图和M 图的特征
q c 0 (向上） q c 0 (向下） q 0
FS cx b (c 0)
(c 0)
FS c
M 1 cx2 bx d (c 0) (c 0) 2
q A
M(x)
FS x
FA
qx
ql 2
qx
FA
x
FS(x) M x
FA x
qx
x 2
qlx 2
qx 2 2
ql 2 ql2 8
3、作剪力图和弯矩图 q
A l
FS
M
l/2
B
FS
x
ql 2
qx
M x qlx qx2
22
FS,max
ql 2
M max
ql 2 8
例 图示简支梁受集中荷载F作用。试作梁的剪力图 和弯矩图。
aF
b
A
B
x
C
FA
l
FB
解：1、求支反力
FA
Fb l
FB
Fa l
2、列剪力方程和弯矩方程 ——需分两段列出
aF
b
A
B
x
C
FA
l
FB
AC段 A
M(x)
FS
x
冲压工艺学4弯曲课件
第四章 弯曲
第三节 最小弯曲半径
最小弯曲半径的近似计算：
断面收缩率可表示为：
弯曲最外侧的拉伸应变
=
1+
t
2
1 2 r 1
t
r=( 1 1)t
2
r =( 1 1)
t 2
实际应用： 最小弯曲半径rmin =t Kmin
其中,最小弯曲系数Kmin
1
2max
1,
不必计算，查表4-1可得。
第四章 弯曲
第四节 弯曲卸载后的回弹
二、回弹值的确定（续）
１．大半径自由弯曲（ 弯曲系数K r / t 10 ）时的回弹值
K>10时，弯曲半径较大，弯曲变形程 度较小，弹性变形的影响较大，回弹 明显。
凸模工作部分的圆角半径可按下式
进行计算：
卸载前弯曲半径,
rp
即凸模圆角半径
卸载后弯曲半径
rp
1
r
第四章 弯曲
第三节 最小弯曲半径
2．提高弯曲极限变形程度的方法 （1）经冷变形硬化的材料，可热处理后再弯曲。 （2）清除冲裁毛刺，或将有毛刺的一面处于弯曲受压的内缘。 （3）对于低塑性的材料或厚料，可采用加热弯曲。 （4）采取两次弯曲的工艺方法，中间加一次退火。 （5）对较厚材料的弯曲，如结构允许，可采取开槽后弯曲。
三、影响回弹值的因素
１．材料的力学性能 S / E 越大，回弹越大。
材料的力学性能对回弹值的影响 1、3－退火软钢 2-软锰黄铜 4-经冷变形硬化的软钢
第四章 弯曲
第四节 弯曲卸载后的回弹
三、影响回弹值的因素（续）
２．弯曲系数 K r / t
Ｋ越大，弹性变形在总变形 的比例越大，回弹就越大。
笫四章弯曲
第四章弯曲定义：把平板毛坯、型材或管材等弯成一定曲率、一定的角度形成一定形状零件的冲压工序称为弯曲。
加工零件举例：汽车大梁、自行车把手、门窗铰链等弯曲用机器：液压机、曲柄压力机、摩擦压力机、弯管机、滚弯机、拉弯机等。
§4-1弯曲变形过程和变形特点：一. V 形零件校正弯曲经过三个阶段的过程：开始阶段为弹性弯曲变(M 外较小)，第二阶段为弹、塑性弯曲变形(M 外较大)，第三阶段为纯塑性弯曲变形(M 外大)。
二. 弯曲件变形区的变化规律：图4-1-01弯曲前弯曲后(一)弯曲变形区主要是零件的园角部分，而直臂部分基本没有变形。
(二)变形区：1.板料毛坯的外层纵向纤维(靠近凹模一边)受拉而伸长。
(22>a 2b 2) 2．板料毛坯的内层纵向纤维（靠近凸模一边）受压而缩短。
（11＜a １b １)3.由内、外表面至板料毛坯中心，其伸长和缩短的程逐渐在变化，在伸长和缩短两个变形区之间有一层纤维的长度不变称应变中性层。
(0102=0102)(三)弯曲变形区由板料毛坯厚度t变薄到t1。
t1﹦ηt η变薄系数（四）弯曲变形区内毛坯的断面发生了畸变。
图4-1-02一般弯曲毛坯断面的畸变：中性层以内，由于纵向纤维的缩短而使横向坛宽，中性层以外，由于纵向纤维的伸长而使横向收缩。
在窄板Β﹤3t 时比较明显，在宽板Β﹥3t 时不大明显。
三. 自由弯曲时应力-应变状态：图4-1-03ε21σ1ε1σ21平面应力状 态立体应变状 态平面应变状 态立体应力状 态窄板弯曲宽板弯曲内层外层图4-1-03σ2﹦0 说明窄板弯曲金属流动自由，所以无应力。
ε2=0 说明宽板弯曲无金属流动，所以无应变。
四．弯曲变形区内切向应变的分布和计算：图4-1-04（一）在板厚方向不同位置上的切向应变值εθ按线性规律变化，其值为εθ=γìα－ρ0α╱ρ0α＝Ｙ↚ρ0（4-1）式中γｉ－－计算切向应变值位置上的曲率半径ρ0――应变中性层的曲率半径α――弯曲角Y――计算切向应变的位置与应变中性层之间的距离(二) 在弯曲毛坯内表面和外表面上切向应变的数值相等，其最大应变值为：当Y=t/2 代入(4-1)式得εθ= Y/ρ0=t/2/ρ0=t/2ρ0 (4-2)以ρ=r+t/2 代入(4-2)式得εθmax=t/2ρ0=t/2(r+t/2)=1/‹2r/t›+1 (4-3)式中 r 弯曲毛坯内表面的园角半t 毛坯的厚度分析(4-3)式：r/t称相对弯曲半往r/t↗变形程度小εθ↙r/t↘变形程度大εθ↗§4-2弯曲力的计算为了选择压力机和模具设计，必须计算弯曲力。
孙训方材料力学 第四章 弯曲应力 4
(0 ≤ θ ≤ π )
绘出弯矩图（图b）。最大弯矩 在固定端处的横截面 A上。 其值为
M max = 2 PR
2PR
(b)
, Q(x)=P1
,
M(x)= - P1x
(0≤ x ≤ a)
BA段： NP1a- P2 x1 (0≤ x ≤l)
P1a
P1
P1a+ P2l
例题4-14
一端固定的半圆环在其轴线平面内受集中荷载 作用，如图 a 所示。试作此曲杆的弯矩图。
曲杆横截面上弯矩的正，
m
负号的规定 ：使曲杆的曲率增加
R
P
（即外侧受拉）的弯矩为正。 解：写出曲杆任一横截面m—m 的弯矩方程。 取环的中心 O为极点，以 OB 为极轴用 θ 表示横截面的位置（图a）。
A O
m
θ x
B
m
R
A
m
求曲杆任一横截面m-m上的弯矩
P
θ O x
B
M (θ ) = Px = PR (1 − cos θ )
例题4-13 图 a 所示为下端固定的刚架。在其轴线平面内 受集中力 P1 和 P2 作用，作此刚架的内力图。
P1
Q(x)
P1
P2
C x B
a
C x
x1
M(x)
解：将刚架分为 CB，AB两段 CB段： N (x) = 0 Q(x) = P1 M(x) = - P1x
l
A
(0≤ x ≤ a)
P2
a B
P1
C a P2
B x
P1
x1
Q( x1)
M ( x1 )
C
x1
N ( x1)
A
材料力学第5版(孙训方编,高等教育出版社)第四章
FB
Fa l
AC段梁
FS(x)
M x
FSx FA
Fb l
0 x a
M x
FA x
Fb x l
0
x
a
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材料力学 F
F
FS(x)
x
M x
如截面法，保留右侧梁， 计算更简便。
第四章 弯曲应力
Fb
Fa
FA l , FB l
CB段梁
FS x
Fb l
F
F
l
l
b
Fa a x l
非对称弯曲——梁不具有纵对称面(例如Z形截面梁)，因 而挠曲线无与它对称的纵向平面；或梁虽有纵对称面但外力并 不作用在纵对称面内，从而挠曲线不与梁的纵对称面一致。
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材料力学
第四章 弯曲应力
对称弯曲时和特定条件下的非对称弯曲时，梁的挠曲线 与外力所在平面相重合，这种弯曲称为平面弯曲(对称弯曲 以及特殊条件下的非对称弯曲）。
l
F l a x
l
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材料力学
第四章 弯曲应力
梁的横截面上位于横截面 内的内力FS是与横截面左右两 侧的两段梁在与梁轴相垂直方 向的错动(剪切)相对应，故称 为剪力（参见课本P8）；梁的 横截面上作用在纵向平面内的 内力偶矩是与梁的弯曲相对应， 故称为弯矩。
第16页 / 共207页
体(图b)的平衡条件可知：
FS
FA
Fl
l
a,
M
FA x
Fl a
l
x
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材料力学
第四章 弯曲应力
它们的指向和转向如图b中
第四章钢筋混凝土受弯构件的应力、裂缝和变形验算
第四章钢筋混凝⼟受弯构件的应⼒、裂缝和变形验算第四章钢筋混凝⼟受弯构件的应⼒、裂缝和变形验算对钢筋混凝⼟构件，除应进⾏承载能⼒极限状态计算外，还要根据施⼯和使⽤条件进⾏持久状况正常使⽤极限状态和短暂状况的验算。
第⼀节抗裂计算桥梁构件按短暂状况设计时，应计算其在制作、运输及安装等施⼯阶段，由⾃重和施⼯荷载等引起的应⼒，并不应超过规范规定的限值。
施⼯荷载除有特别规定外均采⽤标准值，当进⾏构件运输和安装计算时，构件⾃重应乘以动⼒系数，当有组合时不考虑荷载组合系数。
在钢筋混凝⼟受弯构件抗裂验算和变形验算中，将⽤到“换算截⾯”的概念，因此，本章先引⼊换算截⾯的概念，然后依次介绍各项验算⽅法。
4.1.1 换算截⾯依据材料⼒学理论，对钢筋混凝⼟受弯构件带裂缝⼯作阶段的截⾯应⼒计算作如下假定：1、服从平截⾯假定由钢筋混凝⼟受弯构件的试验可知，从宏观尺度看平截⾯假定基本成⽴。
据此有同⼀⽔平纤维处钢筋与混凝⼟的纵向应变相等，即：s c εε= （4.1-1）2、钢筋和混凝⼟为线弹性材料钢筋混凝⼟受弯构件在正常施⼯或使⽤阶段，钢筋远未屈服，可视为线弹性材料；混凝⼟虽为弹塑性体，但在压应⼒⽔平不⾼的条件下，其应⼒与应变近似服从虎克定律。
故有c c c E εσ=，s s s E εσ= （4.1-2）3、忽略受拉区混凝⼟的拉应⼒钢筋混凝⼟构件在受弯开裂后，其受拉区混凝⼟的作⽤在计算上可近似忽略。
将式（4.1-1）代⼊式（4.1-2）可得：c s c c c E E εεσ==''因为 s ss E σε=所以 s ES c s sc E E σασσ1'== （4.1-3）其中：ES α－钢筋与混凝⼟弹性模量之⽐，即c s ES E E =α。
为便于利⽤匀质梁的计算公式，通常将钢筋截⾯⾯积s A 换算成等效的混凝⼟截⾯⾯积sc A ，依据⼒的等效代换原则：1、⼒的⼤⼩不变：换算截⾯⾯积sc A 承受拉⼒与原钢筋承受的拉⼒相等。
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注意
（5）梁在中性轴的两侧分别受拉或受压; 正应力的正 负号（拉或压）可根据弯矩的正负 及梁的变形状态来 确定。
（6）熟记矩形、圆形截面对中性轴的惯性矩的计算式。
180 180
180
例：矩形截面简支梁承受均布载荷作用,如图所示
q=60KN/m
120
A
B
1m C
3m
30 K
z
1、C 截面上K点正应力
y
c,max
Myc Iz
c
上拉下压
二个强度条件表达式
② 脆性材料梁的危险截面与危险点 M
危险截面有二个； 每一个截面的最上、最下边缘均是危险点；
各危险截面处分别校核：
t,max
Myt Iz
t
c,max
Myc Iz
c
四(或三)个强度条件表达式
弯曲正应力强度计算的三个方面
1、强度校核
1、塑性材料 抗拉压强度相等
a 无论截面形状如何， 无论内力图如何
梁内最大应力
σmax
M
y max max Iz
其强度条件为
σmax
M
y max max Iz
σ
b 塑性材料，将梁做成矩形、圆形、工字形等
对称于中性轴的截面；
此类截面的最大拉应力与最大压应力相等。
因此：
强度条件可以表示为 σmax
胡克定律
弯曲正应力的分布规律
E E y
a、与点到中性轴的距离成正比；
沿截面高度 线性分布；
y
z
b、沿截面宽度 均匀分布；
c、正弯矩作用下， 上压下拉；
d、危险点的位置， 离开中性轴最远处.
弯曲正应力的分布规律
可 别 忘 记 啦 沿高度 沿宽度
（三）静力学关系
dA FN 0
A
E y
Sz 0 中性轴过截面形心
M y z dA 0
A
M z y dA M
A
1 M
EI Z
坐标轴是主轴
中性层的曲率计算公式 EIz 抗弯刚度
（四）弯曲正应力计算公式
变形几何关系 y
物理关系 E
E y
静力学关系
1 M EI Z
正应力公式
My IZ
1826年纳维在《材料力学》讲义中给出正确计算公式
弯曲正应力计算公式 弯曲正应力分布规律
92.55MPa
q=60KN/m
A
1m C
FAY
3m
5、全梁上最大正应力
B
FAy 90kN FBy 90kN
FBY
作内力图 危险截面
FS 90kN
x 90kN M ql2 / 8 67.5kN m
x
Mmax 67.5kN m
公式
max
M max WZ
max
M max ymax IZ
2、提出假设：
观察纵向纤维之间有无相互作用力
1）平面假设： 变形前为平面的横截面变形后仍保持为平面； 横截面绕某一轴线发生了偏转。
瑞士科学家Jacob.贝努力 于1695年提出梁弯曲的平面假设
2）假设： 纵向纤维之间没有相互挤压， 各纵向纤维只是发生了简单的轴向拉伸或压缩。
2
2015/11/8
观察纵向纤维的变化
它与外力作用面垂直；
中性轴是与外力作用面相垂直的形心主轴。
3、理论分析：
y
z
两直线间的距离
y的物理意义
纵向纤维到中性层的距离； 点到中性轴的距离。
公式推导
线应变的变化规律 与纤维到中性层的距离成正比。 从横截面上看： 点离开中性轴越远，该点的线应变越大。
3
2015/11/8
（二）物理关系
当σ<σP时
67.5103 90103 5.832 105
104.17M Pa
6
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6、已知E=200GPa，C 截面的曲率半径ρ
q=60KN/m
A
B
1m C
FAY
3m
FBY
MC 60kN m Iz 5.832105 m4
1M EI
C
EI Z MC
200109 5.832105 60 103
B
FAy 90kN
FBy 90kN
FBY
3、C 截面上K点正应力
弯矩 MC 901 6010.5 60kN m
公式 K
MC yK IZ
60103 60103 5.832 105
61.7MPa （压应力）
4、C 截面上最大正应力
Cmax
M C ymax IZ
60103 90103 5.832 105
Fb
（4）强度校核
d1 160mm a 0.267m
F 62.5kN,
d2 130mm b 0.16m 60MPa.M Biblioteka b FaB截面：Fb
max
MB WzB
Fa d13
62.5 26732 0.163
32
41.5MPa
C截面： max
MC WzC
Fb
d
3 2
62.5 160 0.133
t,max
Myt Iz
t
c,max
Myc Iz
c
2、设计截面
w M max
z σ
3、确定许可载荷 M max w z [ ]
例1：图示为机车轮轴的简图。试校核轮轴的强度。 d1 160mm d2 130mm,a 0.267m,b 0.16m,F 62.5kN, 材料的许用应力 60MPa.
计算 Wz ，选择工字钢型号
计算公式
max
M max Wz
（1）计算简图
F=F1+F2
FF F FL/4
M
（2）绘弯矩图
F1 6.7kN, F2 50kN, l 9.5m, 140MPa
（3）危险截面
（4）强度计算
max
M max Wz
（5）选择工字钢型号
M max
(6.7 50)103 4
9.5
KNm
Wz
M max
962cm3
Wz 962cm3 36c工字钢
9
例：T型截面铸铁梁，截面尺寸如图示。
yc 52mm
I zc 7.64106 m4
t 30MPa, c 60MPa, 试校核梁的强度。
9KN
4KN
A
CB
52 zc
1m 1m
1m
88
2015/11/8
分析：
1、脆性材料，非对称截面，且已知形心和 I zc
本章主要内容 §4-4 纯弯曲梁横截面上的正应力 §4-6 弯曲正应力的强度计算 §4-7 弯曲时的切应力(选学) §4-9 提高梁的弯曲强度的措施
纯弯曲实例
2015/11/8
回顾与比较
内力
应力分布规律及公式
均匀分布 F A
线形分布 T IP
M ?
FA
FS
?
y
§4-4 纯弯曲梁横截面上的正应力 一、弯曲分类
弯曲正应力的 分布规律和计算公式
（一）变形几何关系 1、实验观察现象：
2015/11/8
施加一对正弯矩，观察变形
观察到纵向线与横向线有何变化？
变化的是： 1、纵向线的长度 2、两横截面的夹角
纵向线 横向线
由直线
曲线 各纵向线的长度还相等吗？
由直线
直线 各横向线之间依然平行吗？
相对旋转一个角度后， 仍然与纵向弧线垂直。
32
46.4M
Pa
32
（5）结论 轮轴满足强度条件
例：某车间欲安装简易吊车，大梁选用工字钢。已知电葫芦 自重 F1 6.7kN, 起重量F2 50kN,跨度 l 9.5m, 材料的许用应力
140MPa, 试选择工字钢的型号。
分析
（1）简化为力学模型
（2）计算最大弯矩, 确定危险截面
（3）工字钢截面为关于中性轴对称
Fs
F
F
M
Fa
Fa
梁段CD上，只有弯矩，没有剪力 －－纯弯曲
梁段AC和BD上，既有弯矩，又有剪力 －－横力弯曲
纯弯曲 横截面上只有正应力，没有切应力。 横力弯曲 横截面上即有正应力，也有切应力。
1
二、纯弯曲正应力
纯弯曲的内力 剪力Fs=0
1、变形几何关系 2、物理关系
3、静力学关系
横截面上没有切应力 只有正应力。
2、C 截面上最大正应力
3、全梁上最大正应力
4、已知E=200GPa，C 截面的曲率半径ρ
1、截面几何性质计算
120
z
确定形心的位置 确定形心主轴的位置
确定中性轴的位置
IZ
bh3 12
0.12 0.183 12
5.832105 m4
q=60KN/m
A
1m C
FAY
3m
120
30
K
z
y
2. 求支反力
在正弯矩的作用下， 偏上的纤维 缩短，
偏下的纤维 伸长。
凹入一侧纤维 缩短；
凸出一侧纤维伸长。
中性层
Δ L<0
FN Δ L>0
Δ L=0 既不 F伸N 长也不缩短
中性层 －－纤维长度不变
中性轴
中性轴上各点 σ=0 各横截面绕 中性轴发生偏转。 中性轴的位置 过截面形心
中性轴的特点：
平面弯曲时梁横截面上的中性轴 一定是形心主轴；
8
分析
（1）简化为力学模型
（2）轮轴为塑性材料, 截面关于中性轴对称
（3）危险截面： 弯矩M最大的截面 抗弯截面系数 Wz 最小的截面；