2017年福建省福州八中高二下学期理科数学期中考试试卷
福建省福州市高二下学期期中数学试卷(理科)
福建省福州市高二下学期期中数学试卷（理科）姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分）用1，2，3三个数字组成一个四位数字，规定这三个数必须同时使用，且同一数字不能相邻出现，这样的四位数共有（）A . 18个B . 9个C . 12个D . 24个2. （2分） (2015高二上·河北期末) 在高校自主招生中，某学校获得5个推荐名额，其中清华大学2名，北京大学2名，复旦大学1名．并且北京大学和清华大学都要求必须有男生参加．学校通过选拔定下3男2女共5个推荐对象，则不同的推荐方法共有（）A . 20种B . 22种C . 24种D . 36种3. （2分） (2018高二下·大连期末) 甲、乙两支球队进行比赛，约定先胜局者获得比赛的胜利，比赛随即结束.除第五局甲队获胜的概率是外，其余每局比赛甲队获胜的概率都是 .假设各局比赛结果相互独立。
则甲队以获得比赛胜利的概率为（）A .B .C .D .4. （2分）有下列四种说法：①命题：“,使得”的否定是“,都有”；②已知随机变量服从正态分布，，则；③函数图像关于直线对称，且在区间上是增函数；④设实数，则满足：的概率为。
其中正确的个数是（）A . 4B . 1C . 2D . 35. （2分） (2016高二下·福建期末) 从7本不同的书中选出4本，分别发给4名学生，每人一本．已知其中A、B两本书不能发给学生丙，则不同的分配方法有（）A . 720B . 600C . 480D . 3606. （2分）如果的展开式中含有非零常数项，则正整数n的最小值为（）A . 3B . 5C . 6D . 107. （2分）某机械零件由2道工序组成，第一道工序的废品率为a，第二道工序的废品率为b，假设这两道工序出废品是彼此无关的，那么产品的合格率为（）A . ab﹣a﹣b+1B . 1﹣a﹣bC . 1﹣abD . 1﹣2ab8. （2分）箱中有5个黑球，4个白球，每次随机取出一个球，若取出黑球，则放回箱中重新取球，若取出白球，则停止取球，那么在第四次取球之后停止的概率为（）A .B .C .D .9. （2分） (2017高二下·中山期末) 在如图所示的正方形中随机投掷10 000个点，则落入阴影部分（曲线C为正态分布N（﹣1，1）的密度曲线）的点的个数的估计值为（）附：若X～N（μ，σ2），则P（μ﹣σ＜X＜μ+σ）=0.6826，P（μ﹣2σ＜X＜μ+2σ）=0.9544．A . 1 193B . 1 359D . 3 41310. （2分）甲、乙两人同时报考某一大学，甲被录取的概率是0.6，乙被录取的概率是0.7，两人是否录取互不影响，则其中至少有一人被录取的概率为（）A . 0.12B . 0.42C . 0.46D . 0.8811. （2分） (2016高二上·襄阳开学考) 将一骰子连续抛掷三次，它落地时向上的点数依次成等差数列的概率为（）A .B .C .D .12. （2分）如图，在长方体ABCD﹣A′B′C′D′中，P是对角线AC与BD的交点，若P为四棱锥的顶点，棱锥的底面为长方体的一个面，则这样的四棱锥有（）A . 3个B . 4个C . 5个二、填空题． (共4题；共5分)13. （1分）（x﹣）6的展开式中，系数最大的项为第________项．14. （1分）某射手射击1次，击中目标的概率是0.8，他连续射击4次，有各次射击是否击中目标相互之间没有影响．有下列结论：①第二次击中目标的概率是0.8；②恰好击中目标三次的概率是0.83×0.2；③至少击中目标一次的概率是1﹣0.24；其中正确的结论的序号是________ （写出所有正确结论的序号）15. （1分） (2016高二下·洛阳期末) 已知随机变量ξ服从正态分布N（0，σ2），且P（﹣2≤ξ≤2）=0.4，则P（ξ＞2）=________．16. （2分） (2016高二下·宁波期末) 我省新高考采用“7选3”的选考模式，即从政治、历史、地理、物理、化学、生物、技术这7门科目中选3门作为选考科目，那么所有可能的选考类型共有________种；甲、乙两人根据自己的兴趣特长以及职业生涯规划愿景进行选课，甲必选物理和政治，乙不选技术，则两人至少有一门科目相同的选法共有________种（用数学作答）三、解答题 (共6题；共60分)17. （5分）已知（a2+1）n（a≠0）展开式中各项系数之和等于（x2+）5展开式的常数项．（1）求n值；（2）若（a2+1）n展开式的系数最大的项等于54，求a值．18. （5分）如图，李先生家住H小区，他工作在C科技园区，从家开车到公司上班路上有L1、L2两条路线，L1路线上有A1、A2、A3三个路口，各路口遇到红灯的概率均为；L2路线上有B1、B2两个路口，各路口遇到红灯的概率依次为，．（1）若走L1路线，求最多遇到1次红灯的概率；（2）若走L2路线，求遇到红灯次数X的数学期望；（3）按照“平均遇到红灯次数最少”的要求，请你帮助李先生从上述两条路线中选择一条最好的上班路线，并说明理由．19. （15分） (2017高一下·池州期末) 将A，B两枚骰子各抛掷一次，观察向上的点数，问：（1）共有多少种不同的结果？（2）两枚骰子点数之和是3的倍数的结果有多少种？（3）两枚骰子点数之和是3的倍数的概率为多少？20. （10分）(2018·广元模拟) 某中学为研究学生的身体素质与课外体育锻炼时间的关系，对该校200名学生的课外体育锻炼平均每天运动的时间（单位：分钟）进行调查，将收集的数据分成六组，并作出频率分布直方图（如图），将日均课外体育锻炼时间不低于40分钟的学生评价为“课外体育达标”.附加公式：（1）请根据直方图中的数据填写下面的列联表，并通过计算判断是否能在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为“课外体育达标”与性别有关？（2）在[0，10），[40，50）这两组中采取分层抽样，抽取6人，再从这6名学生中随机抽取2人参加体育知识问卷调查，求这2人中一人来自“课外体育达标”和一人来自“课外体育不达标”的概率．21. （15分）某工厂有120名工人，其年龄都在20～60岁之间，各年龄段人数按[20，30），[30，40），[40，50），[50，60）分成四组，其频率分布直方图如图所示．工厂为了开发新产品，引进了新的生产设备，要求每个工人都要参加A、B两项培训，培训结束后进行结业考试．已知各年龄段两项培训结业考试成绩优秀的人数如表所示．假设两项培训是相互独立的，结业考试也互不影响．年龄分组A项培训成绩优秀人数B项培训成绩优秀人数[20，30）2716[30，40）2818[40，50）269[50，60]64（1）若用分层抽样法从全厂工人中抽取一个容量为40的样本，求四个年龄段应分别抽取的人数；（2）根据频率分布直方图，估计全厂工人的平均年龄；（3）随机从年龄段[20，30）和[40，50）中各抽取1人，设这两人中AB两项培训结业考试成绩都优秀的人数为X，求X的分布列和数学期望．22. （10分）某少数民族的刺绣有着悠久的历史，如图(1)，(2)，(3)，(4)为最简单的四个图案，这些图案都是由小正方形构成，小正方形数越多刺绣越漂亮.现按同样的规律刺绣(小正方形的摆放规律相同)，设第n个图形包含f(n)个小正方形.（1）求出f(5)的值.（2）利用合情推理的“归纳推理思想”，归纳出f(n+1)与f(n)之间的关系式，并根据你得到的关系式求出f(n)的表达式.参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题． (共4题；共5分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共6题；共60分)17-1、18-1、19-1、19-2、19-3、20-1、20-2、21-1、21-2、21-3、22-1、22-2、。
福建省福州市第八中学高二数学下学期期中试题 理
福州八中2015—2016学年第二学期期中考试高二数学（理）选修2-2考试时间：120分钟 试卷满分：150分2016.4.28第Ⅰ卷(100分)一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.定积分dx ⎰-2)3(等于A ．－3B ．3C ． －6D ．62．有一段“三段论”推理是这样的：对于可导函数()f x ，如果0()0f x '=，那么0x x = 是函数()f x 的极值点，因为函数3()f x x =在0x =处的导数值(0)0f '=，所以，0x =是函数3()f x x =的极值点.以上推理中A.大前提错误B.小前提错误C.推理形式错误D.结论正确3.设O 是原点，向量,OA OB u u u r u u u r对应的复数分别为23,32,i i --+那么向量BA uu u r 对应的复数是A. 55i -+B. 55i --C. 55i +D. 55i -4.下列求导运算正确的是 A.(x +x 1)′=1+21xB.(log 2x )′=2ln 1x C.(3x)′=3x·log 3e D.(x 2cos x )′=－2x sin x5.用数学归纳法证明1＋12＋13＋…＋12n －1＜n (n ∈N *，n ＞1)，第一步应验证不等式A.1＋12<2B.1＋12＋13＜3C.1＋12＋13＋14＜3D.1＋12＋13＜26.若25p a a =+++ ，34q a a =+++，0a ≥，则p 、q 的大小关系是（ ）A.p q > B.p q =C.p q < D.由a 的取值确定7.设函数y ＝f (x )在(a ，b )上可导，则f (x )在(a ，b )上为增函数是f ′(x )>0的 A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件8.甲、乙速度v 与时间t 的关系如下图，)(b a 是b t =时的加速度，)(b S 是从0=t 到b t =的路程，则)(b a 甲与)(b a 乙，)(b S 甲与)(b S 乙的大小关系是 A ．)()(b a b a 乙甲>，)()(b S b S 乙甲>B ．)()(b a b a 乙甲<，)()(b S b S 乙甲<v第8题bt甲乙C ．)()(b a b a 乙甲<，)()(b S b S 乙甲>D ．)()(b a b a 乙甲<，)()(b S b S 乙甲<9.设a 、b 、c 都为正数，那么三个数ac c b b a 1,1,1+++ A ．都不大于2B ．都不小于2C ．至少有一个不大于2D ．至少有一个不小于210.下面给出了四个类比推理：（1）由“若,,a b c R ∈则()()ab c a bc =”类比推出“若a,b,c 为三个向量则(⋅⋅⋅⋅(a b)c =a b c)”；（2）“a,b 为实数，220a b +=若则a=b=0”类比推出“12,z z 为复数，若22121200z z z z +===则”（3）“在平面内，三角形的两边之和大于第三边”类比推出“在空间中，四面体的任意三个面的面积之和大于第四个面的面积”（4）“在平面内，过不在同一条直线上的三个点有且只有一个圆”类比推出“在空间中，过不在同一个平面上的四个点有且只有一个球”. 上述四个推理中，结论正确的个数有A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分） 11.复数z ＝i(i ＋1) (i 为虚数单位) 的共轭复数Z =12.曲线y x =与2y x =所围成的封闭图形的面积S=13.已知函数32()f x mx nx =+的图象在点（-1，2）处的切线恰好与直线30x y +=平行，若()[,1]f x t t +在区间上单调递减，则实数t 的取值范围是_______.14.凸函数的性质定理为：如果函数f(x)在区间D 上是凸函数，则对于区间D 内的任意x 1,x 2,…,x n ,有1212()()()()n nf x f x f x x x x f n n++++++≤L L ，已知函数y=sin x 在区间（0,π)上是凸函数，则在△ABC 中，sin A+sin B+sin C 的最大值为 .三、解答题（本大题共有3个小题，共34分.解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。
2016-2017学年福建省福州市八县一中联考高二下学期期中数学试卷(理科)(解析版)
2016-2017学年福建省福州市八县一中联考高二（下）期中数学试卷（理科）一、选择题（每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）设i为虚数单位，复数z=i（i﹣1）则复数z的共轭复数对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．（5分）下列值等于1的积分是（）A．xdx B．（x+1）dx C．1dx D．dx3．（5分）在平面上，如果两个边数相同的多边形的对应角相等，对应边成比例，这两个多边形叫做相似多边形，若两个相似三角形的边长比为1：2．则它们的面积之比为1：4．类似地，在空间中，如果面数相同的多面体的对应面相似，有相同的相似比且对应多面角相等，那么这两个多面体叫相似多面体；若两个相似四面体的棱长比为1：2，则它们的体积比为（）A．1：2 B．1：4 C．1：6 D．1：84．（5分）函数f（x）的定义域为开区间（a，b），导函数f′（x）在（a，b）内的图象如图所示，则函数f（x）在开区间（a，b）内有极小值点（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个5．（5分）已知和式，当n→+∞时，S无限趋近于一个常数A，则A可用定积分表示为（）A．xdx B．dx C．dx D．x2dx6．（5分）用数学归纳法证明不等式，在验证n=n0（n0为起始值）时，不等式左边为（）A．1 B．C．D．7．（5分）一物体在力F（x）=e x+2x（单位：N）的作用下，沿着与力F相同的方向，从x=0处运动到x=3处（单位：m），则力F（x）所作的功为（）A．e3+9 B．e3+8 C．e3+2 D．e3+18．（5分）若函数f（x）=+lnx﹣ax+1在区间（，3）上单调递减，则实数a的取值范围为（）A．（﹣∞，2]B．（﹣∞，2）C．[3，+∞）D．9．（5分）已知函数f（x）=e x﹣mx+1的图象为曲线C，若曲线C存在与直线y=﹣2x垂直的切线，则实数m的取值范围（）A．m＞﹣2 B．m＞2 C．D．10．（5分）函数f（x）在定义域R内可导，若任意的x∈R，都有f（x）=f（2﹣x），且当x≠1时，有（x﹣1）f'（x）＞0，设a=f（lne），b=f（ln2），，则a、b、c的大小关系为（）A．a＜b＜c B．c＜a＜b C．c＜b＜a D．b＜c＜a11．（5分）若函数f（x）=﹣x3+3x在（3﹣a2，2a）上有最大值，则实数α的取值范围是（）A．B．C．D．12．（5分）设函数f（x）、g（x）的定义域分别为A，B，且A⊆B，若对于任意x∈A，都有g（x）=f（x），则称g（x）函数为f（x）在B上的一个延拓函数．设f（x）=e﹣x（x﹣1）（x＞0），g（x）为f（x）在R上的一个延拓函数，且g（x）是奇函数．给出以下命题：①当x＜0时，g（x）=e﹣x（1﹣x）；②函数g（x）有3个零点；③g（x）＞0的解集为（﹣1，0）∪（1，+∞）；④∀x1，x2∈R，都有．其中正确命题的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）已知复数（i是虚数单位），则|z|=．14．（5分）=．15．（5分）某小朋友按如下规则练习数数，1大拇指，2食指，3中指，4无名指，5小指，6无名指，7中指，8食指，9大拇指，10食指，…，一直数到2017时，对应的指头是．16．（5分）已知函数f（x）=2ae x（a＞0，e为自然对数的底数）的图象与直线x=0的交点为M，函数g（x）=ln（a＞0）的图象与直线y=0的交点为N，|MN|恰好是点M到函数g（x）=ln（a＞0）图象上的最小值，则实数a的值是．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．（10分）已知复数，z2=﹣m+i为虚数单位，（m∈R）（1）当复数z1为纯虚数时，求m的取值（2）当实数m∈[1，2]时，复数z=z1z2，求复数z的实部最值．18．（10分）已知函数f（x）=（1）利用定义法求函数f（x）=的导函数（2）求曲线f（x）=过（2，0）的切线方程（3）求（2）的切线与曲线及直线x=2所围成的曲边图形的面积．19．（12分）设曲线C：f（x）=alnx+bx，f'（x）表示f（x）导函数．已知函数f （x）在x=1处有极值﹣1（1）求f（x）的解析式．（2）数列{a n}满足a1=1，a n+1=2f′（）+3．求a2，a3，a4，用不完全归纳法猜想{a n}的通项公式并用数学归纳法加以证明．（3）在（2）的基础上用反证法证明：数列{a n}中不存在任何不同三项成等差数列．20．（12分）已知f（x）=（x∈R）在区间[1，2]上是增函数．（1）若函数f（x）在区间[1，2]上是增函数，求实数a的值组成的集合A；（2）设关于x的方程f（x）=的两个非零实根为x1、x2．试问：是否存在实数m，使得不等式m2+tm+1≤|x1﹣x2|对任意a∈A及t∈[﹣1，1]恒成立？若存在，求m的取值范围；若不存在，请说明理由．21．（12分）某企业拟建造如图所示的容器（不计厚度，长度单位：米），其中容器的中间为圆柱体，左右两端均为半球形，按照设计要求中间圆柱体部分的容积为16π立方米，且L≥2r．假设该容器的建造费用仅与其表面积有关．已知圆柱形部分每平方米建造费用为1千元，半球形部分每平方米建造费用为千元．设该容器的建造费用为y千元．（圆柱体体积公式为V=πr2l，球的体积公式为，圆柱侧面积公式为S=2πrl，球的表面积公式为S=4πr2）（1）写出y关于r的函数表达式，并求该函数的定义域；（2）求该容器的建造费用最小时的r．22．（14分）已知函数f（x）=e x﹣kx，x∈R（1）若k=e，求函数f（x）的极值；（2）若对于任意x∈R，f（|x|）＞0恒成立，试求实数k的取值范围；（3）设函数h（x）=f（x）+f（﹣x），求证：（n∈N*）2016-2017学年福建省福州市八县一中联考高二（下）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）设i为虚数单位，复数z=i（i﹣1）则复数z的共轭复数对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【分析】利用复数的运算法则、共轭复数的定义、几何意义即可得出．【解答】解：复数z=i（i﹣1）=﹣1﹣i则复数z的共轭复数=﹣1+i对应的点（﹣1，1）位于第二象限．故选：B．【点评】本题考查了复数的运算法则、共轭复数的定义、几何意义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．2．（5分）下列值等于1的积分是（）A．xdx B．（x+1）dx C．1dx D．dx【分析】分别求出被积函数的原函数，然后根据定积分的定义分别计算看其值是否为1即可．【解答】解：选项A，xdx=x2=，不满足题意；选项B，（x+1）dx=（x2+x）=+1=，不满足题意；选项C，1dx=x=1﹣0=1，满足题意；选项D，dx=x=﹣0=，不满足题意；故选C．【点评】本题主要考查了定积分的简单应用，解题的关键是求被积函数的原函数，属于基础题．3．（5分）在平面上，如果两个边数相同的多边形的对应角相等，对应边成比例，这两个多边形叫做相似多边形，若两个相似三角形的边长比为1：2．则它们的面积之比为1：4．类似地，在空间中，如果面数相同的多面体的对应面相似，有相同的相似比且对应多面角相等，那么这两个多面体叫相似多面体；若两个相似四面体的棱长比为1：2，则它们的体积比为（）A．1：2 B．1：4 C．1：6 D．1：8【分析】由平面图形面积类比立体图形的体积，结合三角形的面积比的方法类比求四面体的体积比即可．【解答】解：平面上，若两个正三角形的边长的比为1：2，则它们的面积比为1：4，类似地，由平面图形面积类比立体图形的体积，得出：在空间内，若两个正四面体的棱长的比为1：2，则它们的底面积之比为1：4，对应高之比为1：2，所以体积比为1：8，故选：D．【点评】本题主要考查类比推理．类比推理是指依据两类数学对象的相似性，将已知的一类数学对象的性质类比迁移到另一类数学对象上去．4．（5分）函数f（x）的定义域为开区间（a，b），导函数f′（x）在（a，b）内的图象如图所示，则函数f（x）在开区间（a，b）内有极小值点（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【分析】由图象得：导函数f′（x）=0有3个根，只有在b附近的根满足根的左边为负值，根的右边为正值，故函数只有1个极小值点．从而问题得解．【解答】解：由图象得：导函数f′（x）=0有3个根，只有在b附近的根满足根的左边为负值，根的右边为正值，故函数只有1个极小值点，故选：A．【点评】本题考察了函数的极值问题，导数的应用，是一道基础题．5．（5分）已知和式，当n→+∞时，S无限趋近于一个常数A，则A可用定积分表示为（）A．xdx B．dx C．dx D．x2dx【分析】利用定积分的定义即可选出．【解答】解：S====（1+），∴（1+）=，∵xdx=x2|=，故选：A【点评】本题主要考查了定积分的意义，正确理解定积分的定义是解题的关键．6．（5分）用数学归纳法证明不等式，在验证n=n0（n0为起始值）时，不等式左边为（）A．1 B．C．D．【分析】验证n=n0（n0为起始值）时，n=2，即可得到答案【解答】解：当n=2时，22﹣1=3，当n=2时，左边=1++，故选C．【点评】本题考查的知识点是数学归纳法的步骤，在数学归纳法中，第一步是论证n=1时结论是否成立，此时一定要分析等式两边的项，不能多写也不能少写，否则会引起答案的错误．解此类问题时，注意n的取值范围．7．（5分）一物体在力F（x）=e x+2x（单位：N）的作用下，沿着与力F相同的方向，从x=0处运动到x=3处（单位：m），则力F（x）所作的功为（）A．e3+9 B．e3+8 C．e3+2 D．e3+1【分析】由定积分的物理意义，变力F（x）所作的功等于力在位移上的定积分，进而计算可得答案．【解答】解：W=（e x+2x）dx=（x2+e x）|=9+e3﹣e0=e3+8．故选B．【点评】本题主要考查了定积分在物理中的应用，同时考查了定积分的计算，属于基础题．8．（5分）若函数f（x）=+lnx﹣ax+1在区间（，3）上单调递减，则实数a的取值范围为（）A．（﹣∞，2]B．（﹣∞，2）C．[3，+∞）D．【分析】求出函数的单调区间，由于函数区间上单调递减，故此区间是其定义上单调区间的子集，故比较区间的端点即可得到参数的取值范围，选出正确答案．【解答】解：函数的导数为f'（x）=x+﹣a=，令f′（x）＜0，可得x2﹣ax＜0，解得x∈（0，a），函数在区间上单调递减，可得a≥3，实数a的取值范围为[3，+∞）．故选：C．【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性，求解本题的关键是利用导数求出函数的单调递减区间以及根据题设条件作出正确判断得出参数所满足的不等式，解出参数的取值范围，根据题设转化出不等式是本题的易错点，要注意等价转化．9．（5分）已知函数f（x）=e x﹣mx+1的图象为曲线C，若曲线C存在与直线y=﹣2x垂直的切线，则实数m的取值范围（）A．m＞﹣2 B．m＞2 C．D．【分析】求出函数的导数，运用两直线垂直的条件可得e x﹣m=有解，再由指数函数的单调性，即可得到m的范围．【解答】解：函数f（x）=e x﹣mx+1的导数为f′（x）=e x﹣m，若曲线C存在与直线y=ex垂直的切线，即有e x﹣m=有解，即m=e x﹣，由e x＞0，则m＞﹣．则实数m的范围为（﹣，+∞）．故选：D．【点评】本题考查导数的几何意义：函数在某点处的导数即为曲线在该点处切线的斜率，同时考查两直线垂直的条件，属于基础题．10．（5分）函数f（x）在定义域R内可导，若任意的x∈R，都有f（x）=f（2﹣x），且当x≠1时，有（x﹣1）f'（x）＞0，设a=f（lne），b=f（ln2），，则a、b、c的大小关系为（）A．a＜b＜c B．c＜a＜b C．c＜b＜a D．b＜c＜a【分析】求出函数f（x）在（﹣∞，1）递减，根据函数的单调性判断即可．【解答】解：当x≠1时，有（x﹣1）f'（x）＞0，故x＞1时，f′（x）＞0，x＜1时，f′（x）＜0，f（x）在（﹣∞，1）递减，在（1，+∞）递增，而1=lne＞ln2＞ln，故f（lne）＜f（ln2）＜f（ln），即a＜b＜c，故选：A．【点评】本题考查的知识点是利用导数研究函数的单调性，函数单调性的应用，难度中档．11．（5分）若函数f（x）=﹣x3+3x在（3﹣a2，2a）上有最大值，则实数α的取值范围是（）A．B．C．D．【分析】求函数f（x）=﹣x3+3x的导数，研究其最大值取到的位置，由于函数在区间（3﹣a2，2a）上有最大值，故最大值点的横坐标是集合（3﹣a2，2a）的元素，由此可以得到关于参数a的等式，解之求得实数a的取值范围【解答】解：由题f′（x）=﹣3x2+3，令f′（x）＞0解得﹣1＜x＜1；令f′（x）＜0解得x＜﹣1或x＞1．由此得函数在（﹣∞，﹣1）上是减函数，在（﹣1，1）上是增函数，在（1，+∞）上是减函数．故函数在x=1处取极大值，判断知此极大值必是区间（3﹣a2，2a）上的最大值∴故有3﹣a2＜1…①，2a＞1…②，解得：a＞，又f（1）=2，2=﹣x3+3x，解得x=﹣2或x=1，函数f（x）=﹣x3+3x在（3﹣a2，2a）上有最大值，必须﹣2≤3﹣a2，解得a∈[，]综上知a∈（，]．故选：B．【点评】本题考查用导数研究函数的最值，利用导数研究函数的最值是导数作为数学中工具的一个重要运用，要注意把握其作题步骤，求导，确定单调性，得出最值．12．（5分）设函数f（x）、g（x）的定义域分别为A，B，且A⊆B，若对于任意x∈A，都有g（x）=f（x），则称g（x）函数为f（x）在B上的一个延拓函数．设f（x）=e﹣x（x﹣1）（x＞0），g（x）为f（x）在R上的一个延拓函数，且g（x）是奇函数．给出以下命题：①当x＜0时，g（x）=e﹣x（1﹣x）；②函数g（x）有3个零点；③g（x）＞0的解集为（﹣1，0）∪（1，+∞）；④∀x1，x2∈R，都有．其中正确命题的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【分析】设x＜0，则﹣x＞0，由函数得性质可得解析式，可判①的真假，再由性质作出图象可对其他命题作出判断．【解答】解：由题意得，x＞0时，g（x）=f（x）=e﹣x（x﹣1），当x＜0时，则﹣x＞0，g（﹣x）=f（﹣x）=e x（﹣x﹣1）=﹣g（x），所以g（x）=e x（x+1），故①不正确；对x＜0时的解析式求导数可得，g′（x）=e x（x+2），令其等于0，解得x=﹣2，且当x∈（﹣∞，﹣2）上导数小于0，函数单调递减；当x∈（﹣2，+∞）上导数大于0，函数单调递增，x=﹣2处为极小值点，且g（﹣2）＞﹣1，且在x=1处函数值为0，且当x＜﹣1是函数值为负．又因为奇函数的图象关于原点中心对称，故函数f（x）的图象应如图所示：由图象可知：函数f（x）有3个零点，故②③正确；由于函数﹣1＜g（x）＜1，故有对∀x1，x2∈R，|g（x2）﹣g（x1）|＜2恒成立，即④不正确．故选：B．【点评】本题是个新定义题，主要考查利用函数奇偶性求函数解析式的方法，在解题时注意对于新定义的理解．作出函数的图象是解决问题的关键，属于中档题．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）已知复数（i是虚数单位），则|z|=1．【分析】首先进行复数的除法运算，分子和分母同乘以分母的共轭复数，整理成最简形式，是一个纯虚数，求出模长．【解答】解：==，∴|z|=1，故答案为：1【点评】本题考查复数的求模，本题解题的关键是把复数整理成复数的代数形式的标准形式，得到实部和虚部，求出模长．14．（5分）=π+2．【分析】由和的积分等于积分的和展开，然后由定积分的几何意义求得，再求得，作和得答案．【解答】解：=，令y=，得x2+y2=4（y≥0），则圆x2+y2=4的面积为4π，由定积分的几何意义可得，，又，∴=π+2．故答案为：π+2．【点评】本题考查定积分，考查定积分的几何意义，考查微积分基本定理的应用，是基础题．15．（5分）某小朋友按如下规则练习数数，1大拇指，2食指，3中指，4无名指，5小指，6无名指，7中指，8食指，9大拇指，10食指，…，一直数到2017时，对应的指头是大拇指．【分析】大拇指对应的数为8n+1，小值对应的数为8n+5，2017÷8=252余1，由此能求出结果．【解答】解：大拇指对应的数为8n+1，小值对应的数为8n+5，又因为2017÷8=252余1，故一直数到2017时，对应的指头是：大拇指，故答案为：大拇指【点评】本题考查等差数列的通项公式的应用，解题时要认真观察，是基础题．16．（5分）已知函数f（x）=2ae x（a＞0，e为自然对数的底数）的图象与直线x=0的交点为M，函数g（x）=ln（a＞0）的图象与直线y=0的交点为N，|MN|恰好是点M到函数g（x）=ln（a＞0）图象上的最小值，则实数a的值是2．【分析】由题意知M（0，2a），N（a，0）；由|MN|恰好是点M到函数g（x）=ln（a＞0）图象上的最小值得k MN×g′（a）=﹣1，从而解得．【解答】解：由题意，f（0）=2a•e0=2a；故M（0，2a）；g（x）=ln=0解得，x=a；故N（a，0）；由g′（x）=•=；k MN==﹣2，g′（a）=；则由|MN|恰好是点M到函数g（x）=ln（a＞0）图象上的最小值知，k MN×g′（a）=﹣1，即﹣2×=﹣1；解得，a=2．故答案为：2．【点评】本题考查了导数的综合应用及导数的几何意义，属于基础题．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．（10分）已知复数，z2=﹣m+i为虚数单位，（m∈R）（1）当复数z1为纯虚数时，求m的取值（2）当实数m∈[1，2]时，复数z=z1z2，求复数z的实部最值．【分析】（1）利用纯虚数的定义即可得出．（2）利用复数的运算法则可得：实部=9m﹣m3，利用导数研究其最值即可得出．【解答】解：（1）依题意得：，∴m=2．（3分）（2）设g（m）=9m﹣m3，m∈[1，2]，g′（m）=9﹣3m2=0，可得（6分）所以，当时，g'（m）＞0，所以g（m）在此区间单调递增；当时，g'（m）＜0，所以g（m）在此区间单调递减；∵g（1）=8，g（2）=10，g（）=6．∴g（m）的最大值为：g（）=6，最小值为g（1）=8．【点评】本题考查了复数的运算法则、复数相等、纯虚数的定义、利用导数研究函数的单调性极值与最值，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．18．（10分）已知函数f（x）=（1）利用定义法求函数f（x）=的导函数（2）求曲线f（x）=过（2，0）的切线方程（3）求（2）的切线与曲线及直线x=2所围成的曲边图形的面积．【分析】（1）利用定义法直接求解函数的导数即可．（2）设出切点坐标，求出曲线的斜率，然后求解切线方程．（3）利用定积分求解曲边梯形的面积即可．【解答】解：（1）（1分）（2分）（3分）（2）设切点P（x0，y0），因为（4分）∴，切线方程则（5分）所以切线方程y=﹣x+2（6分）（3），解得x=1，交点坐标（1，1）（7分）=+=+﹣2x=ln2﹣ln1+﹣2（2﹣1）=ln2﹣（10分）【点评】本题考查函数的导数的应用，切线方程的求法，定积分的应用，考查计算能力．19．（12分）设曲线C：f（x）=alnx+bx，f'（x）表示f（x）导函数．已知函数f （x）在x=1处有极值﹣1（1）求f（x）的解析式．（2）数列{a n}满足a1=1，a n+1=2f′（）+3．求a2，a3，a4，用不完全归纳法猜想{a n}的通项公式并用数学归纳法加以证明．（3）在（2）的基础上用反证法证明：数列{a n}中不存在任何不同三项成等差数列．【分析】（1）由函数f（x）在x=1处有极值﹣1，列式计算．（2）计算前4项，猜出通项，再利用数学归纳法证明；（3）假设存在不同的三项a m，a n，a p且m＞n＞p（m，n，p∈N*）成等差数列，【解答】解：（1）函数定义域为﹣，依题意得：f（1）=﹣1，f'（1）=0，即：，∴，∴f（x）=lnx﹣x…3；（2）由（1）得：∵，有：，猜想：﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣5证明：①当n=1时，a1=（2﹣1）=1成立；②假设当n=k时，成立，=2a k+1=2（2k﹣1）+1=2k+1﹣1当n=k+1时，a k+1所以，当n=k+1时，结论也成立，综上所述，时成立 (8)（3）假设存在不同的三项a m，a n，a p且m＞n＞p（m，n，p∈N*）成等差数列，2a n=a m+a p⇒2×2n﹣2=2m+2p﹣2⇒22n+1=2m+2p⇒2n+1﹣p=2m﹣p+1，因为m＞n＞p，∴n+1﹣p＞0，m﹣p＞0∴2n+1﹣p为偶数，2m﹣p+1为奇数，产生矛盾，所以假设错误，原命题成立．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣12【点评】本题考查了函数的解析式的求解、数学归纳法、反证法，考查了归纳推理能力，属于中档题．20．（12分）已知f（x）=（x∈R）在区间[1，2]上是增函数．（1）若函数f（x）在区间[1，2]上是增函数，求实数a的值组成的集合A；（2）设关于x的方程f（x）=的两个非零实根为x1、x2．试问：是否存在实数m，使得不等式m2+tm+1≤|x1﹣x2|对任意a∈A及t∈[﹣1，1]恒成立？若存在，求m的取值范围；若不存在，请说明理由．【分析】（1）求出f（x）的导函数，由f（x）在[1，2]上是增函数，可得f'（x）≥0对x∈[1，2]恒成立，分离参数a，可得．利用单调性求出[1，2]上的最大值得答案；（2）写出方程f（x）=并变形，利用根与系数的关系求出|x1﹣x2|的最小值为3，把问题转化为m2+tm+1≤3对任意t∈[﹣1，1]恒成立，即m2+tm﹣2≤0对任意t∈[﹣1，1]恒成立．然后借助于“三个二次”的结合列关于m的不等式组求解．【解答】解：（1）f'（x）=，∵f（x）在[1，2]上是增函数，∴f'（x）≥0对x∈[1，2]恒成立，即x2﹣ax﹣2≤0对x∈[1，2]恒成立．得ax≥x2﹣2，x∈[1，2]，∴．令，则g（x）在x∈[1，2]上为增函数，g（x）max=g（2）=1，∴a≥1，故A={a|a≥1}；（2）由f（x）=，得，得x2﹣ax﹣2=0，∵△=a2+8＞0，∴x1，x2是方程x2﹣ax﹣2=0的两非零实根，则x1+x2=a，x1x2=﹣2，从而|x1﹣x2|==．∵a≥1，∴|x1﹣x2|=≥3．要使不等式m2+tm+1≤|x1﹣x2|对任意a∈A及t∈[﹣1，1]恒成立，当且仅当m2+tm+1≤3对任意t∈[﹣1，1]恒成立，即m2+tm﹣2≤0对任意t∈[﹣1，1]恒成立．设g（t）=m2+tm﹣2=mt+（m2﹣2），∴，解得﹣1≤m≤1．∴存在实数m，使不等式m2+tm+1≤|x1﹣x2|对任意a∈A及t∈[﹣1，1]恒成立，其取值范围是{m|﹣1≤m≤1}．【点评】本题考查利用导数求函数的最值，考查了数学转化思想方法，训练了恒成立问题的求解方法，属难题．22．（14分）已知函数f（x）=e x﹣kx，x∈R（1）若k=e，求函数f（x）的极值；（2）若对于任意x∈R，f（|x|）＞0恒成立，试求实数k的取值范围；（3）设函数h（x）=f（x）+f（﹣x），求证：（n∈N*）【分析】（1）把k=1代入函数解析式，求出导函数，得到原函数的单调区间，可得原函数的极值；（2）由f（|x|）是偶函数．把f（|x|）＞0对任意x∈R成立转化为f（x）＞0对任意x≥0成立．求出原函数的导函数，分k≤0，k＞0两种情况求得实数k的取值范围；（3）依题意得h（x）=f（x）+f（﹣x）=e x+e﹣x，则，求得h（x1）h（x2）＞，可得h（1）h（n）＞e n+1+2，h（2）h（n﹣1）＞e n+1+2，…，h（n）h（1）＞e n+1+2．累积后整理得答案．【解答】解：（1）由k=e，得f（x）=e x﹣ex，∴f'（x）=e x﹣e．令f'（x）=0，得e x﹣e=0，解得x=1．由f'（x）＞0，得x＞1，故f（x）的单调递增区间是（1，+∞），由f'（x）＜0，得x＜1，故f（x）的单调递减区间是（﹣∞，1）．∴f（x）存在极小值f（1）=0，无极大值；（2）由f（|﹣x|）=f（|x|）可知f（|x|）是偶函数．于是f（|x|）＞0对任意x∈R成立，等价于f（x）＞0对任意x≥0成立．由f'（x）=e x﹣k，得：①若k≤0，则f'（x）＞0恒成立，∴f（x）在[0，+∞）为单调递增．∴f（x）的最小值为f（0）=1＞0．∴k≤0．②若k＞0，令f'（x）=e x﹣k=0，得x=lnk．21 （i ）当k ∈（0，1]时，f'（x ）=e x ﹣k ＞1﹣k ≥0（x ＞0）．此时f （x ）在[0，+∞）上单调递增．故f （x ）≥f （0）=1＞0，符合题意．（ii ）当k ∈（1，+∞）时，lnk ＞0．当x 变化时f'（x ），f （x ）的变化情况如下表：由此可得，在[0，+∞）上，f （x ）≥f （lnk ）=k ﹣klnk ．依题意，k ﹣klnk ＞0，又k ＞1，∴1＜k ＜e ．综上所述，实数k 的取值范围是k ＜e ．证明：（3）依题意得h （x ）=f （x ）+f （﹣x ）=e x +e ﹣x ，∵， ∵h （x 1）h （x 2）=， ∴h （1）h （n ）＞e n +1+2，h （2）h （n ﹣1）＞e n +1+2…h （n ）h （1）＞e n +1+2．由此得，[h （1）h （2）…h （n ）]2=[h （1）h （n ）][h （2）h （n ﹣1）]…[h （n ）h （1）]＞（e n +1+2）n ．故． ∴， 则（n ∈N*）． 【点评】本题考查利用导数求函数的极值，考查数学转化思想方法，训练了利用基本不等式证明函数不等式，考查对数的运算性质，属于有一定难度问题．。
2017-2018学年高二下学期期中数学试卷(理科)Word版含解析
2017-2018学年高二下学期期中数学试卷（理科）一、选择题（每小题5分，共60分）1．复数z1=（m2﹣2m+3）+（m2﹣m+2）i（m∈R），z2=6+8i，则m=3是z1=z2的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件2．用反证法证明命题：“若a，b∈N，ab能被3整除，那么a，b中至少有一个能被3整除”时，假设应为（）A．a，b都能被3整除B．a，b都不能被3整除C．a，b不都能被3整除D．a不能被3整除3．定积分（x2+sinx）dx的值为（）A． +B．﹣C．﹣D． +4．若复数z=（a∈R，i是虚数单位）是纯虚数，则复数z的共轭复数是（）A． i B．﹣ i C．3i D．﹣3i5．求曲线y2=4x与直线y=x所围成的图形绕x轴旋转一周所得旋转体的体积（）A．B．πC．πD．24π6．若复数z满足|z+3+i|=，则|z|的最大值为（）A．3+B． +C． +D．37．已知=（）A．f′（x0）B．f′（x）C．2f′（x）D．﹣f′（x）8．计算机中常用的十六进制是逢16进1的计数制，采用数字0～9和字母A～F共16个计数符号，这些符号与十进制的数的对应关系如表．十六进制01234567十进制01234567十六进制89A B C D E F十进制89101112131415例如，用十六进制表示E+D=1B，则A×C=（）A．6E B．78 C．5F D．C09．利用数学归纳法证明不等式+++…+＞时，由k递推到k+1时，不等式左边应添加的式子是（）A．B． +C．﹣D． +﹣10．设函数f（x）=x3+x2+，其中θ∈（﹣，），则导数f′（1）的取值范围是（）A．（﹣，1] B．（﹣，1）C．（﹣，） D．（﹣，]11．函数f（x）是定义在R上的偶函数，且 f（2）=0，当x＞0时，有xf′（x）﹣f（x）＞0恒成立，则不等式f（x）＜0的解集为（）A．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞） B．（﹣∞，﹣2）∪（0，2）C．（﹣2，0）∪（0，2）D．（﹣2，0）∪（2，+∞）12．若函数f（x）的导函数f′（x）=x2﹣3x﹣10，则函数f（1﹣x）的单调递增区间是（）A．（，+∞）B．（﹣，+∞）C．（﹣4，3）D．（﹣∞，﹣4）和（3，+∞）二、填空题（每小题5分，共20分）13．计算： +（3+i17）﹣= ．14．在Rt△ABC中，两直角边分别为a、b，设h为斜边上的高，则=+，由此类比：三棱锥S﹣ABC中的三条侧棱SA、SB、SC两两垂直，且长度分别为a、b、c，设棱锥底面ABC 上的高为h，则．15．过点（1，0）且与曲线y=相切的直线的方程为．16．已知函数f（x）=x3+ax2+bx，（a，b∈R）的图象如图所示，它与直线y=0在原点处相切，此切线与函数图象所围区域（图中阴影部分）的面积为3，则a的值为．三、解答题（17题10分，其它每题12分）17．已知复数z+i，均为实数，且在复平面内，（z+ai）2的对应点在第四象限内，求实数a的取值范围．18．设函数f（x）=﹣x2+6ax+b，其中a，b∈R．（1）若函数f（x）在x=1处取得极值﹣，求a，b的值；（2）求函数f（x）的单调递增区间．19．设数列{an }的前n项和为Sn，且关于x的方程x2﹣anx﹣an=0有一根为Sn﹣1．（1）求出S1，S2，S3；（2）猜想{Sn}的通项公式，并用数学归纳法证明．20．设铁路AB长为100，BC⊥AB，且BC=30，为将货物从A运往C，现在AB上距点B为x 的点M处修一公路至C，已知单位距离的铁路运费为2，公路运费为4．（1）将总运费y表示为x的函数；（2）如何选点M才使总运费最小．21．在两个正数a，b之间插入一个数x，可使得a，x，b成等差数列，若插入两个数y，z，可使得a，y，z，b成等比数列，求证：x+1≥．22．设函数f（x）=ax2lnx﹣（x﹣1）（x＞0），曲线y=f（x）在点（1，0）处的切线方程为y=0．（1）求证：当x≥1时，f（x）≥（x﹣1）2；（2）若当x≥1时，f（x）≥m（x﹣1）2恒成立，求实数m的取值范围．2017-2018学年高二下学期期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（每小题5分，共60分）1．复数z1=（m2﹣2m+3）+（m2﹣m+2）i（m∈R），z2=6+8i，则m=3是z1=z2的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【考点】2L：必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】由z1=z2，可得：m2﹣2m+3=6，m2﹣m+2=8，解得m，即可判断出结论．【解答】解：由z1=z2，可得：m2﹣2m+3=6，m2﹣m+2=8，解得m=3．∴m=3是z1=z2的充要条件．故选：C．2．用反证法证明命题：“若a，b∈N，ab能被3整除，那么a，b中至少有一个能被3整除”时，假设应为（）A．a，b都能被3整除B．a，b都不能被3整除C．a，b不都能被3整除D．a不能被3整除【考点】R9：反证法与放缩法．【分析】“a，b中至少有一个能被3整除”的反面是：“a，b都不能被3整除”，故应假设 a，b都不能被3整除．【解答】解：反证法证明命题时，应假设命题的反面成立．“a，b中至少有一个能被3整除”的反面是：“a，b都不能被3整除”，故应假设 a，b都不能被3整除，故选 B．3．定积分（x2+sinx）dx的值为（）A． +B．﹣C．﹣D． +【考点】67：定积分．【分析】根据定积分的运算，即可求得答案．【解答】解：（x2+sinx）dx=（x3﹣cosx）=（﹣）﹣（0﹣1）=+，（x2+sinx）dx=+，故选B．4．若复数z=（a∈R，i是虚数单位）是纯虚数，则复数z的共轭复数是（）A． i B．﹣ i C．3i D．﹣3i【考点】A5：复数代数形式的乘除运算．【分析】直接由复数代数形式的乘除运算化简z=，结合已知条件列出方程组，求解可得a的值，然后代入z=化简求出复数z，则复数z的共轭复数可求．【解答】解：∵z===是纯虚数，∴，解得a=6．∴z==．则复数z的共轭复数是：﹣3i．故选：D．5．求曲线y2=4x与直线y=x所围成的图形绕x轴旋转一周所得旋转体的体积（）A．B．πC．πD．24π【考点】L5：旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．【分析】利用定积分求体积．【解答】解：解方程组得x=4，y=4．∴几何体的体积V=π（4x﹣x2）dx=π•（2x2﹣）|=．故选B．6．若复数z满足|z+3+i|=，则|z|的最大值为（）A．3+B． +C． +D．3【考点】A4：复数的代数表示法及其几何意义．【分析】由|z+3+i|=的几何意义，即复平面内的动点Z到定点P（﹣3，﹣1）的距离为画出图形，数形结合得答案．【解答】解：由|z+3+i|=的几何意义，复平面内的动点Z到定点P（﹣3，﹣1）的距离为，可作图象如图：∴|z|的最大值为|OP|+=．故选：B．7．已知=（）A．f′（x0）B．f′（x）C．2f′（x）D．﹣f′（x）【考点】6F：极限及其运算．【分析】化简，根据极限的运算，即可求得答案．【解答】解：==+=2f′（x），∴=2f′（x），故选C．8．计算机中常用的十六进制是逢16进1的计数制，采用数字0～9和字母A～F共16个计数符号，这些符号与十进制的数的对应关系如表．十六进制01234567十进制01234567十六进制89A B C D E F十进制89101112131415例如，用十六进制表示E+D=1B，则A×C=（）A．6E B．78 C．5F D．C0【考点】EM：进位制．【分析】本题需先根据十进制求出A与C的乘积，再把结果转化成十六进制即可．【解答】解：∵A×C=10×12=120，∴根据16进制120可表示为78．故选：B．9．利用数学归纳法证明不等式+++…+＞时，由k递推到k+1时，不等式左边应添加的式子是（）A．B． +C．﹣D． +﹣【考点】RG：数学归纳法．【分析】只须求出当n=k时，左边的代数式，当n=k+1时，左边的代数式，相减可得结果．【解答】解：当n=k时，左边的代数式为，当n=k+1时，左边的代数式为，故用n=k+1时左边的代数式减去n=k时左边的代数式的结果为：，故选：D．10．设函数f（x）=x3+x2+，其中θ∈（﹣，），则导数f′（1）的取值范围是（）A．（﹣，1] B．（﹣，1）C．（﹣，） D．（﹣，]【考点】63：导数的运算．【分析】求导，当x=1时，f′（1）=+=sin（θ+），由θ∈（﹣，），即可求得θ+∈（﹣，），根据正弦函数的性质，即可求得导数f′（1）的取值范围．【解答】解：f（x）=x3+x2+，f′（x）=x2+x，f′（1）=+=sin（θ+），由θ∈（﹣，），则θ+∈（﹣，），则sin（θ+）∈（﹣，1]，∴导数f′（1）的取值范围（﹣，1]，故选A．11．函数f（x）是定义在R上的偶函数，且 f（2）=0，当x＞0时，有xf′（x）﹣f（x）＞0恒成立，则不等式f（x）＜0的解集为（）A．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞） B．（﹣∞，﹣2）∪（0，2）C．（﹣2，0）∪（0，2）D．（﹣2，0）∪（2，+∞）【考点】6A：函数的单调性与导数的关系．【分析】设g（x）=，根据函数的单调性和函数的奇偶性求出不等式的解集即可．【解答】解：设g（x）=，∴g′（x）=，∵当x＞0时，有xf′（x）﹣f（x）＞0恒成立，∴当x＞0时，g′（x）＞0∴g（x）在（0，+∞）递增，∵f（﹣x）=f（x），∴g（﹣x）==﹣g（x），∴g（x）是奇函数，∴g（x）在（﹣∞，0）递增，∵f（2）=0∴g（2）==0，当x＞0时，f（x）＜0等价于＜0，∴g（x）＜0=g（2），∴0＜x＜2，当x＜0时，f（x）＜0等价于＞0，∴g（x）＞0=g（﹣2），∴﹣2＜x＜0，不等式f（x）＜0的解集为（﹣2，0）∪（0，2），故选：C．12．若函数f（x）的导函数f′（x）=x2﹣3x﹣10，则函数f（1﹣x）的单调递增区间是（）A．（，+∞）B．（﹣，+∞）C．（﹣4，3）D．（﹣∞，﹣4）和（3，+∞）【考点】6B：利用导数研究函数的单调性．【分析】由f′（x）＜0求出f（x）的减区间，利用对称性求得f（﹣x）的增区间，再由平移变换可得函数f（1﹣x）的单调递增区间．【解答】解：由f′（x）=x2﹣3x﹣10＜0，得﹣2＜x＜5，∴函数f（x）的减区间为（﹣2，5），则函数y=f（﹣x）的增区间为（﹣5，2），而f（1﹣x）=f[﹣（x﹣1）]是把函数y=f（﹣x）向右平移1个单位得到的，∴函数f（1﹣x）的单调递增区间是（﹣4，3）．故选：C．二、填空题（每小题5分，共20分）13．计算： +（3+i17）﹣= 4+2i ．【考点】A7：复数代数形式的混合运算．【分析】利用复数的运算法则分别计算即可．【解答】解：原式=+（3+i）﹣=+3+i﹣i10=i+3+i+1=4+2i；故答案为：4+2i．14．在Rt△ABC中，两直角边分别为a、b，设h为斜边上的高，则=+，由此类比：三棱锥S﹣ABC中的三条侧棱SA、SB、SC两两垂直，且长度分别为a、b、c，设棱锥底面ABC 上的高为h，则+．【考点】F3：类比推理．【分析】立体几何中的类比推理主要是基本元素之间的类比：平面⇔空间，点⇔点或直线，直线⇔直线或平面，平面图形⇔平面图形或立体图形，故本题由平面上的直角三角形中的边与高的关系式类比立体中两两垂直的棱的三棱锥中边与高的关系即可．【解答】解：∵PA、PB、PC两两互相垂直，∴PA⊥平面PBC．设PD在平面PBC内部，且PD⊥BC，由已知有：PD=，h=PO=，∴，即．故答案为：．15．过点（1，0）且与曲线y=相切的直线的方程为4x+y﹣4=0 ．【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】设出切点坐标，利用导数求出过切点的切线方程，再把已知点代入，求出切点横坐标，则切线方程可求．【解答】解：设切点为（），由y=，得y′=，∴，则切线方程为y﹣，把点（1，0）代入，可得，解得．∴切线方程为y﹣2=﹣4（x﹣），即4x+y﹣4=0．故答案为：4x+y﹣4=0．16．已知函数f（x）=x3+ax2+bx，（a，b∈R）的图象如图所示，它与直线y=0在原点处相切，此切线与函数图象所围区域（图中阴影部分）的面积为3，则a的值为．【考点】6G：定积分在求面积中的应用．【分析】题目中给出了函数图象与x轴围成的封闭图形的面积，所以我们可以从定积分着手，求出函数以及函数与x轴的交点，建立等式求解参数．【解答】解：由已知对方程求导，得：f′（x）=3x2+2ax+b．由题意直线y=0在原点处与函数图象相切，故f′（0）=0，代入方程可得b=0．故方程可以继续化简为：f（x）=x3+ax2=x2（x+a），令f（x）=0，可得x=0或者x=﹣a，可以得到图象与x轴交点为（0，0），（﹣a，0），由图得知a＜0．故对﹣f（x）从0到﹣a求定积分即为所求面积，即：﹣a f（x）dx=3，﹣∫将 f（x）=x3+ax2代入得：﹣a（﹣x3﹣ax2）dx=3，∫求解，得a=﹣．故答案为：﹣．三、解答题（17题10分，其它每题12分）17．已知复数z+i，均为实数，且在复平面内，（z+ai）2的对应点在第四象限内，求实数a的取值范围．【考点】A4：复数的代数表示法及其几何意义；A5：复数代数形式的乘除运算．【分析】复数z+i，均为实数，可设z=x﹣i， =﹣i，可得﹣=0，z=﹣2﹣i．在复平面内，（z+ai）2=4﹣（a﹣1）2﹣4（a﹣1）i的对应点在第四象限内，可得4﹣（a﹣1）2＞0，﹣4（a﹣1）＜0，解出即可得出．【解答】解：∵复数z+i，均为实数，设z=x﹣i， ==﹣i，∴﹣ =0，∴x=﹣2．∴z=﹣2﹣i．∵在复平面内，（z+ai）2=[﹣2+（a﹣1）i]2=4﹣（a﹣1）2﹣4（a﹣1）i的对应点在第四象限内，∴4﹣（a﹣1）2＞0，﹣4（a﹣1）＜0，解得：1＜a＜3．∴实数a的取值范围是（1，3）．18．设函数f（x）=﹣x2+6ax+b，其中a，b∈R．（1）若函数f（x）在x=1处取得极值﹣，求a，b的值；（2）求函数f（x）的单调递增区间．【考点】6B：利用导数研究函数的单调性；6D：利用导数研究函数的极值．【分析】（1）求出f′（x）=x2﹣（3a+2）x+6a，由函数f（x）在x=1处取得极值﹣，列出方程组，能求出a，b．（2）由f′（x）=x2﹣3x+2，利用导数性质能求出函数f（x）的单调递增区间．【解答】解：（1）∵f（x）=﹣x2+6ax+b，其中a，b∈R，∴f′（x）=x2﹣（3a+2）x+6a，∵函数f（x）在x=1处取得极值﹣，∴，解得a=，b=﹣1．（2）由（1）得f（x）=﹣+2x﹣1，∴f′（x）=x2﹣3x+2，由f′（x）=x2﹣3x+2＞0，得x＞2或x＜1，∴函数f（x）的单调递增区间为（﹣∞，1]，[2，+∞）．19．设数列{an }的前n项和为Sn，且关于x的方程x2﹣anx﹣an=0有一根为Sn﹣1．（1）求出S1，S2，S3；（2）猜想{Sn}的通项公式，并用数学归纳法证明．【考点】RG：数学归纳法；8E：数列的求和．【分析】（1）由题设求出S1=，S2=．S3=．（2）由此猜想Sn=，n=1，2，3，…．然后用数学归纳法证明这个结论．【解答】解：（1）当n=1时，x2﹣a1x﹣a1=0有一根为S1﹣1=a1﹣1，于是（a1﹣1）2﹣a1（a1﹣1）﹣a1=0，解得a1=．当n=2时，x2﹣a2x﹣a2=0有一根为S2﹣1=a2﹣，于是（a2﹣）2﹣a2（a2﹣）﹣a2=0，解得a2=由题设（Sn ﹣1）2﹣an（Sn﹣1）﹣an=0，Sn 2﹣2Sn+1﹣anSn=0．当n≥2时，an =Sn﹣Sn﹣1，代入上式得Sn﹣1Sn﹣2Sn+1=0．①得S1=a1=，S2=a1+a2=+=．由①可得S3=．（2）由（1）猜想Sn=，n=1，2，3，…．下面用数学归纳法证明这个结论．（i）n=1时已知结论成立．（ii）假设n=k时结论成立，即Sk=，当n=k+1时，由①得Sk+1=，可得Sk+1=，故n=k+1时结论也成立．综上，由（i）、（ii）可知Sn=对所有正整数n都成立．20．设铁路AB长为100，BC⊥AB，且BC=30，为将货物从A运往C，现在AB上距点B为x 的点M处修一公路至C，已知单位距离的铁路运费为2，公路运费为4．（1）将总运费y表示为x的函数；（2）如何选点M才使总运费最小．【考点】HT：三角形中的几何计算．【分析】（1）由题意，AB=100，BC⊥AB，BC=30，BM=x，则AM=100﹣x．MC=，可得总运费y表示为x的函数；（2）根据（1）中的关系式，利用导函数单调性，可得最值．【解答】解：（1）由题意，AB=100，BC⊥AB，BC=30，BM=x，则AM=100﹣x．MC=，∴总运费y=2×+4×MC=200﹣2x+4，．（2）由（1）可得y=200﹣2x+4，．则y′=﹣2+4××令y′=0．可得：2=4x，解得：x=10．当时，y′＜0，则y在当单调递减．当时，y′＞0，则y在单调递增．∴当x=10时，y取得最大值为200+60．∴选点M距离B点时才使总运费最小．21．在两个正数a，b之间插入一个数x，可使得a，x，b成等差数列，若插入两个数y，z，可使得a，y，z，b成等比数列，求证：x+1≥．【考点】8G：等比数列的性质．【分析】y，z为正数，可得≤，要证明x+1≥．（x＞0）．只要证明：2x≥y+z即可．根据a，x，b成等差数列，a，y，z，b成等比数列，a，b＞0．可得2x=a+b，，z=．令=m＞0， =n＞0，可得2x≥y+z⇔m3+n3≥m2n+mn2⇔（m﹣n）2≥0，【解答】证明：∵y，z为正数，∴≤，要证明x+1≥．（x＞0）．只要证明：2x≥y+z即可．∵a，x，b成等差数列，a，y，z，b成等比数列，a，b＞0，∴2x=a+b，，z=．令=m＞0， =n＞0，则2x≥y+z⇔m3+n3≥m2n+mn2．⇔（m﹣n）2≥0，上式显然成立，因此：x+1≥．22．设函数f（x）=ax2lnx﹣（x﹣1）（x＞0），曲线y=f（x）在点（1，0）处的切线方程为y=0．（1）求证：当x≥1时，f（x）≥（x﹣1）2；（2）若当x≥1时，f（x）≥m（x﹣1）2恒成立，求实数m的取值范围．【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程；6E：利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】（1）由题意求得a=1，得到函数解析式，构造函数g（x）=x2lnx+x﹣x2，（x≥1）．利用导数可得函数在[1，+∞）上为增函数，可得g（x）≥g（1）=0，即f（x）≥（x﹣1）2；（2）设h（x）=x2lnx﹣x﹣m（x﹣1）2+1，求其导函数，结合（1）放缩可得h′（x）≥3（x﹣1）﹣2m（x﹣1）=（x﹣1）（3﹣2m）．然后对m分类讨论求解．【解答】（1）证明：由f（x）=ax2lnx﹣（x﹣1），得f′（x）=ax2lnx﹣（x﹣1）=2axlnx+ax ﹣1．∵曲线y=f（x）在点（1，0）处的切线方程为y=0，∴a﹣1=0，得a=1．则f（x）=x2lnx﹣x+1．设g（x）=x2lnx+x﹣x2，（x≥1）．g′（x）=2xlnx﹣x+1，g″（x）=2lnx+1＞0，∴g′（x）在[1，+∞）上为增函数，∴g′（x）≥g′（1）=0，则g（x）在[1，+∞）上为增函数，∴g（x）≥g（1）=0，即f（x）≥（x﹣1）2；（2）解：设h（x）=x2lnx﹣x﹣m（x﹣1）2+1，h′（x）=2xlnx+x﹣2m（x﹣1）﹣1，由（1）知，x2lnx≥（x﹣1）2+x﹣1=x（x﹣1），∴xlnx≥x﹣1，则h′（x）≥3（x﹣1）﹣2m（x﹣1）=（x﹣1）（3﹣2m）．①当3﹣2m≥0，即m时，h′（x）≥0，h（x）在[1，+∞）上单调递增，∴h（x）≥h（1）=0成立；②当3﹣2m＜0，即m＞时，h′（x）=2xlnx+（1﹣2m）（x﹣1），h″（x）=2lnx+3﹣2m．令h″（x）=0，得＞1，∴当x∈[1，x）时，h′（x）＜h′（1）=0，）上单调递减，则h（x）＜h（1）=0，不合题意．∴h（x）在[1，x综上，m．。
2017-2018年福建省福州市八县一中高二(下)期中数学试卷(理科)和答案
2017-2018学年福建省福州市八县一中高二（下）期中数学试卷（理科）一、选择题（本大题12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．）1．（5分）复数z=（i是虚数单位）在复平面上对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．（5分）用反证法证明某命题时，对结论：“自然数a，b，c中恰有一个偶数”正确的反设为（）A．a，b，c都是奇数B．a，b，c都是偶数C．a，b，c中至少有两个偶数D．a，b，c中至少有两个偶数或都是奇数3．（5分）y=log a（2x2﹣1）的导数是（）A．B．C．D．4．（5分）如图，阴影部分的面积是（）A．2B．﹣2C．D．5．（5分）函数f（x）=x3+ax2+3x﹣9，已知f（x）在x=﹣3时取得极值，则a等于（）A．2B．3C．4D．56．（5分）函数f（x）的图象如图所示，下列数值排序正确的是（）A．0＜f′（2）＜f′（3）＜f（3）﹣f（2）B．0＜f′（3）＜f（3）﹣f（2）＜f′（2）C．0＜f（3）＜f′（2）＜f（3）﹣f（2）D．0＜f（3）﹣f（2）＜f′（2）＜f′（3）7．（5分）平面内有n条直线，最多可将平面分成f（n）个区域，则f（n）的表达式为（）A．n+1B．2n C．D．n2+n+18．（5分）定义在（0，+∞）上的函数f（x）的导函数f′（x）满足，则下列不等式中，一定成立的是（）A．f（9）﹣1＜f（4）＜f（1）+1B．f（1）+1＜f（4）＜f（9）﹣1 C．f（5）+2＜f（4）＜f（1）﹣1D．f（1）﹣1＜f（4）＜f（5）+2 9．（5分）一名法官在审理一起珍宝盗窃案时，四名嫌疑人甲、乙、丙、丁的供词如下，甲说：“罪犯在乙、丙、丁三人之中”：乙说：“我没有作案，是丙偷的”：丙说：“甲、乙两人中有一人是小偷”：丁说：“乙说的是事实”．经过调查核实，四人中有两人说的是真话，另外两人说的是假话，且这四人中只有一人是罪犯，由此可判断罪犯是（）A．甲B．乙C．丙D．丁10．（5分）函数f（x）是定义在（0，+∞）上的单调函数，∀x∈（0，+∞），f[f （x）﹣lnx]=e+1，则方程f（x）﹣f′（x）=e（其中e为自然对数的底数）的解所在的区间是（）A．（0，）B．（，1）C．（1，2）D．（2，3）11．（5分）如果△A1B1C1的三个内角的余弦值分别等于△A2B2C2的三个内角的正弦值，则（）A．△A1B1C1和△A2B2C2都是锐角三角形B．△A1B1C1和△A2B2C2都是钝角三角形C．△A1B1C1是钝角三角形，△A2B2C2是锐角三角形D．△A1B1C1是锐角三角形，△A2B2C2是钝角三角形12．（5分）已知a，b∈R，直线y=ax+b+与函数f（x）=tan x的图象在x=﹣处相切，设g（x）=e x+bx2+a，若在区间[1，2]上，不等式m≤g（x）≤m2﹣2恒成立，则实数m（）A．有最小值﹣e B．有最小值eC．有最大值e D．有最大值e+1二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）13．（5分）i是虚数单位，若复数（3﹣i）（m+i）是纯虚数，则实数m的值为．14．（5分）（3x2+k）dx=10，则k=．15．（5分）若三角形的内切圆半径为r，三边的长分别为a，b，c，则三角形的面积S=r（a+b+c），根据类比思想，若四面体的内切球半径为R，四个面的面积分别为S1、S2、S3、S4，则此四面体的体积V=．16．（5分）若函数h（x）=ax3+bx2+cx+d（a≠0）图象的对称中心为M（x0，h （x0）），记函数h（x）的导函数为g（x），则有g′（x0）=0，设函数f（x）=x3﹣3x2+2，则f（）+f（）+…+f（）+f（）=．三、解答题（本大题6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（10分）已知定义在（1，+∞）上的函数f（x）=x﹣lnx﹣2，求证：f（x）存在唯一的零点，且零点属于（3，4）．18．（12分）已知函数f（x）lnx﹣，其中a∈R，且曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线垂直于直线y=x．（1）求a的值；（2）求函数f（x）的单调区间和极值．19．（12分）已知数列{a n}的通项公式a n=，数列{b n}的通项满足b n=（1﹣a1）（1﹣a2）…（1﹣a n），试证明：b n=．20．（12分）设f（x）=lnx，g（x）=f（x）+f′（x）．（I）求g（x）的单调区间和最小值；（II）讨论g（x）与的大小关系；（III）求a的取值范围，使得对任意x＞0恒成立．21．（12分）某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y（单位：千克）与销售价格x（单位：元/千克）满足关系式y=+10（x﹣6）2，其中3＜x＜6，a为常数．已知销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克．（Ⅰ）求a的值；（Ⅱ）若该商品的成品为3元/千克，试确定销售价格x的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大．22．（12分）已知函数f（x）=a x+x2﹣xlna（a＞0，a≠1）．（1）求函数f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；（2）求函数f（x）单调增区间；（3）若存在x1，x2∈[﹣1，1]，使得|f（x1）﹣f（x2）|≥e﹣1（e是自然对数的底数），求实数a的取值范围．2017-2018学年福建省福州市八县一中高二（下）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．）1．（5分）复数z=（i是虚数单位）在复平面上对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【考点】A5：复数的运算．【解答】解：复数=故选：B．2．（5分）用反证法证明某命题时，对结论：“自然数a，b，c中恰有一个偶数”正确的反设为（）A．a，b，c都是奇数B．a，b，c都是偶数C．a，b，c中至少有两个偶数D．a，b，c中至少有两个偶数或都是奇数【考点】FC：反证法．【解答】解：用反证法证明某命题时，对结论：“自然数a，b，c中恰有一个偶数”正确的反设是：a，b，c中至少有两个偶数或都是奇数．故选：D．3．（5分）y=log a（2x2﹣1）的导数是（）A．B．C．D．【考点】63：导数的运算．【解答】解：∵y=log a（2x2﹣1），∴y′==，故选：A．4．（5分）如图，阴影部分的面积是（）A．2B．﹣2C．D．【考点】69：定积分的应用．【解答】解：由题意，结合图形，得到阴影部分的面积是=（3x ﹣）|=；故选：C．5．（5分）函数f（x）=x3+ax2+3x﹣9，已知f（x）在x=﹣3时取得极值，则a等于（）A．2B．3C．4D．5【考点】6D：利用导数研究函数的极值．【解答】解：对函数求导可得，f′（x）=3x2+2ax+3∵f（x）在x=﹣3时取得极值∴f′（﹣3）=0⇒a=5故选：D．6．（5分）函数f（x）的图象如图所示，下列数值排序正确的是（）A．0＜f′（2）＜f′（3）＜f（3）﹣f（2）B．0＜f′（3）＜f（3）﹣f（2）＜f′（2）C．0＜f（3）＜f′（2）＜f（3）﹣f（2）D．0＜f（3）﹣f（2）＜f′（2）＜f′（3）【考点】6B：利用导数研究函数的单调性．【解答】解：由函数f（x）的图象可知：当x≥0时，f（x）单调递增，且当x=0时，f（0）＞0，∴f′（2），f′（3），f（3）﹣f（2）＞0，由此可知f（x）′在（0，+∝）上恒大于0，其图象为一条直线，∵直线的斜率逐渐减小，∴f′（x）单调递减，∴f′（2）＞f′（3），∵f（x）为凸函数，∴f（3）﹣f（2）＜f′（2）∴0＜f′（3）＜f（3）﹣f（2）＜f′（2），故选：B．7．（5分）平面内有n条直线，最多可将平面分成f（n）个区域，则f（n）的表达式为（）A．n+1B．2n C．D．n2+n+1【考点】F4：进行简单的合情推理．【解答】解：由题意，平面内n条直线，任何两条不平行，任何三条不过同一点时，将平面分成的区域最多设前k条直线把平面分成了f（k）部分，第k+1条直线与原有的k条直线有k个交点，这k个交点将第k+1条直线分为k+1段，这k+1段将平面上原来的f （k）部分的每一部分分成了2个部分，共2（k+1）部分，相当于增加了k+1个部分，∴第k+1条直线将平面分成了f（k+1）部分，则f（k+1）﹣f（k）=k+1，令k=1，2，3，…．n得f（2）﹣f（1）=2，f（3）﹣f（2）=3，…，f（n）﹣f （n﹣1）=n，把这n﹣1个等式累加，得f（n）﹣f（1）=2+3+…+n=∴f（n）=2+=故选：C．8．（5分）定义在（0，+∞）上的函数f（x）的导函数f′（x）满足，则下列不等式中，一定成立的是（）A．f（9）﹣1＜f（4）＜f（1）+1B．f（1）+1＜f（4）＜f（9）﹣1 C．f（5）+2＜f（4）＜f（1）﹣1D．f（1）﹣1＜f（4）＜f（5）+2【考点】6B：利用导数研究函数的单调性．【解答】解：∵，∴f′（x）＜，令g（x）=f（x）﹣，则g′（x）=f′（x）﹣＜0，∴g（x）在（0，+∞）上是减函数，∴g（9）＜g（4）＜g（1），即f（9）﹣3＜f（4）﹣2＜f（1）﹣1，∴f（9）﹣1＜f（4）＜f（1）+1．故选：A．9．（5分）一名法官在审理一起珍宝盗窃案时，四名嫌疑人甲、乙、丙、丁的供词如下，甲说：“罪犯在乙、丙、丁三人之中”：乙说：“我没有作案，是丙偷的”：丙说：“甲、乙两人中有一人是小偷”：丁说：“乙说的是事实”．经过调查核实，四人中有两人说的是真话，另外两人说的是假话，且这四人中只有一人是罪犯，由此可判断罪犯是（）A．甲B．乙C．丙D．丁【考点】F4：进行简单的合情推理．【解答】解：在甲、乙、丙、丁四人的供词不达意中，可以看出乙、丁两人的观点是一致的，因此乙、丁两人的供词应该是同真或同假（即都是真话或者都是假话，不会出现一真一假的情况）；假设乙、丁两人说的是真话，那么甲、丙两人说的是假话，由乙说真话推出丙是罪犯的结论；由甲说假话，推出乙、丙、丁三人不是罪犯的结论；显然这两个结论是相互矛盾的；所以乙、丁两人说的是假话，而甲、丙两人说的是真话；由甲、丙的供述内容可以断定乙是罪犯，乙、丙、丁中有一人是罪犯，由丁说假说，丙说真话，推出乙是罪犯．故选：B．10．（5分）函数f（x）是定义在（0，+∞）上的单调函数，∀x∈（0，+∞），f[f （x）﹣lnx]=e+1，则方程f（x）﹣f′（x）=e（其中e为自然对数的底数）的解所在的区间是（）A．（0，）B．（，1）C．（1，2）D．（2，3）【考点】63：导数的运算．【解答】解：根据题意，对任意的x∈（0，+∞），都有f[f（x）﹣lnx]=e+1，又由f（x）是定义在（0，+∞）上的单调函数，则f（x）﹣lnx为定值，设t=f（x）﹣lnx，则f（x）=lnx+t，又由f（t）=e+1，即lnt+t=e+1，解得：t=e，则f（x）=lnx+e，f′（x）=，∴f（x）﹣f′（x）=lnx+e﹣=e，即lnx﹣=0，则方程f（x）﹣f′（x）=e的解可转化成方程lnx﹣=0的解，令h（x）=lnx﹣，而h（2）=ln2﹣＞0，h（1）=ln1﹣＜0，∴方程lnx﹣=0的解所在区间为（1，2），∴方程f（x）﹣f′（x）=e的解所在区间为（1，2），故选：C．11．（5分）如果△A1B1C1的三个内角的余弦值分别等于△A2B2C2的三个内角的正弦值，则（）A．△A1B1C1和△A2B2C2都是锐角三角形B．△A1B1C1和△A2B2C2都是钝角三角形C．△A1B1C1是钝角三角形，△A2B2C2是锐角三角形D．△A1B1C1是锐角三角形，△A2B2C2是钝角三角形【考点】GE：诱导公式．【解答】解：因为△A2B2C2的三个内角的正弦值均大于0，所以△A1B1C1的三个内角的余弦值也均大于0，则△A1B1C1是锐角三角形．若△A2B2C2是锐角三角形，由，得，那么，，这与三角形内角和是π相矛盾；若△A2B2C2是直角三角形，不妨设A2=，则sin A2=1=cos A1，所以A1在（0，π）范围内无值．所以△A2B2C2是钝角三角形．故选：D．12．（5分）已知a，b∈R，直线y=ax+b+与函数f（x）=tan x的图象在x=﹣处相切，设g（x）=e x+bx2+a，若在区间[1，2]上，不等式m≤g（x）≤m2﹣2恒成立，则实数m（）A．有最小值﹣e B．有最小值eC．有最大值e D．有最大值e+1【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．【解答】解：∵，∴，∴，又点在直线上，∴，∴b=﹣1，∴g（x）=e x﹣x2+2，g'（x）=e x﹣2x，g''（x）=e x﹣2，当x∈[1，2]时，g''（x）≥g''（1）=e﹣2＞0，∴g'（x）在[1，2]上单调递增，∴g'（x）≥g（1）=e﹣2＞0，∴g（x）在[1，2]上单调递增，∴或e≤m≤e+1，∴m的最大值为e+1，无最小值，故选：D．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）13．（5分）i是虚数单位，若复数（3﹣i）（m+i）是纯虚数，则实数m的值为．【考点】A5：复数的运算．【解答】解：复数（3﹣i）（m+i）=3m+1+（3﹣m）i是纯虚数，则3m+1=0，3﹣m≠0，解得m=﹣．故答案为：﹣．14．（5分）（3x2+k）dx=10，则k=1．【考点】69：定积分的应用．【解答】解：∵∫02（3x2+k）dx=（x3+kx）|02=23+2k．由题意得：23+2k=10，∴k=1．故答案为：1．15．（5分）若三角形的内切圆半径为r，三边的长分别为a，b，c，则三角形的面积S=r（a+b+c），根据类比思想，若四面体的内切球半径为R，四个面的面积分别为S1、S2、S3、S4，则此四面体的体积V=R（S1+S2+S3+S4）．【考点】F3：类比推理；LF：棱柱、棱锥、棱台的体积．【解答】解：设四面体的内切球的球心为O，则球心O到四个面的距离都是R，所以四面体的体积等于以O为顶点，分别以四个面为底面的4个三棱锥体积的和．故答案为：R（S1+S2+S3+S4）．16．（5分）若函数h（x）=ax3+bx2+cx+d（a≠0）图象的对称中心为M（x0，h （x0）），记函数h（x）的导函数为g（x），则有g′（x0）=0，设函数f（x）=x3﹣3x2+2，则f（）+f（）+…+f（）+f（）=0．【考点】3A：函数的图象与图象的变换；3T：函数的值．【解答】解：f′（x）=3x2﹣6x，f″（x）=6x﹣6，令f″（x）=0得x=1，∴f（x）的对称中心为（1，0），∵==…==2，∴f（）+f（）=f（）+f（）=…=f（）+f（）=0，又f（）=f（1）=0∴f（）+f（）+…+f（）+f（）=0．故答案为：0．三、解答题（本大题6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（10分）已知定义在（1，+∞）上的函数f（x）=x﹣lnx﹣2，求证：f（x）存在唯一的零点，且零点属于（3，4）．【考点】52：函数零点的判定定理．【解答】证明：函数的导数f′（x）=1﹣=，当x＞1时，f′（x）＞0，即函数f（x）在（1，+∞）上是增函数，∵f（3）=1﹣ln3＜0，f（4）=2﹣ln2＞0，∴f（3）f（4）＜0，∴存在唯一的一个数a，使得当3＜a＜4时，f（a）=0，即f（x）存在唯一的零点，且零点属于（3，4）．18．（12分）已知函数f（x）lnx﹣，其中a∈R，且曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线垂直于直线y=x．（1）求a的值；（2）求函数f（x）的单调区间和极值．【考点】6B：利用导数研究函数的单调性；6D：利用导数研究函数的极值；6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．【解答】解：（1）f′（x）=…（2分）∵曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线垂直于直线y=x，∴f′（1）=a+1=﹣1，∴a=﹣2…（4分）（2）由（Ⅰ）知f（x）=lnx+，则f′（x）=令f′（x）=0，解得x=2，又f（x）的定义域为（0，+∞）…（6分）当x∈（0，2）时，f′（x）＜0∴f（x）在（0，2）内为减函数…（8分）当x∈（2，+∞）时，f′（x）＞0∴f（x）在（2，+∞）内为增函数…（10分）由此知函数f（x）在x=2处取得极小值f（2）=ln2+1，无极大值．…（11分）19．（12分）已知数列{a n}的通项公式a n=，数列{b n}的通项满足b n=（1﹣a1）（1﹣a2）…（1﹣a n），试证明：b n=．【考点】8E：数列的求和．【解答】证明：（1）当n=1时，a1=4，b1=1﹣4=﹣3，b1==﹣3，等式成立．（2）假设当n=k（k∈N*）时等式成立，即b k=，那么当n=k+1时，有b k+1=（1﹣a1）（1﹣a2）…（1﹣a k）（1﹣a k+1）=b k（1﹣a k+1）=×[1﹣]=．所以n=k+1时，等式也成立．由（1）（2）可知，等式对任何正整数n都成立．20．（12分）设f（x）=lnx，g（x）=f（x）+f′（x）．（I）求g（x）的单调区间和最小值；（II）讨论g（x）与的大小关系；（III）求a的取值范围，使得对任意x＞0恒成立．【考点】6B：利用导数研究函数的单调性；6E：利用导数研究函数的最值．【解答】解：（Ⅰ）∵，∴，令g'（x）=0，即，解得x=1，∴g（x）单增区间为（1，+∞），单间区间为（0，1），所以x=1是g（x）的唯一极值点，且为极小值点，从而是最小值点，所以g（x）的最小值是g（1）=1；（Ⅱ），设，则，当x∈（0，1）∪（1，+∞）时，h'（x）＜0，h'（1）=0，∴函数h（x）在（0，+∞）内单调递减，当0＜x＜1时，h（x）＞h（1）=0，∴，当x＞1，h（x）＜h（1）=0，∴，当x=1时，h（1）=0，即；（Ⅲ）由（Ⅰ）知g（x）的最小值为1，所以，对任意x＞0恒成立⇔，即lna＜1，从而得0＜a＜e，∴a的取值范围是{a|0＜a＜e}．21．（12分）某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y（单位：千克）与销售价格x（单位：元/千克）满足关系式y=+10（x﹣6）2，其中3＜x＜6，a为常数．已知销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克．（Ⅰ）求a的值；（Ⅱ）若该商品的成品为3元/千克，试确定销售价格x的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大．【考点】5C：根据实际问题选择函数类型；6B：利用导数研究函数的单调性．【解答】解：（Ⅰ）因为x=5时，y=11，所以+10=11，故a=2（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，该商品每日的销售量y=所以商场每日销售该商品所获得的利润为从而，f′（x）=10[（x﹣6）2+2（x﹣3）（x﹣6）]=30（x﹣6）（x﹣4）于是，当x变化时，f（x）、f′（x）的变化情况如下表：由上表可得，x=4是函数f（x）在区间（3，6）内的极大值点，也是最大值点．所以，当x=4时，函数f（x）取得最大值，且最大值等于42答：当销售价格为4元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大．22．（12分）已知函数f（x）=a x+x2﹣xlna（a＞0，a≠1）．（1）求函数f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；（2）求函数f（x）单调增区间；（3）若存在x1，x2∈[﹣1，1]，使得|f（x1）﹣f（x2）|≥e﹣1（e是自然对数的底数），求实数a的取值范围．【考点】6B：利用导数研究函数的单调性；6E：利用导数研究函数的最值；6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．【解答】解：（1）∵f（x）=a x+x2﹣xlna，∴f′（x）=a x lna+2x﹣lna，∴f′（0）=0，f（0）=1即函数f（x）图象在点（0，1）处的切线斜率为0，∴图象在点（0，f（0））处的切线方程为y=1；（3分）（2）由于f'（x）=a x lna+2x﹣lna=2x+（a x﹣1）lna＞0①当a＞1，y=2x单调递增，lna＞0，所以y=（a x﹣1）lna单调递增，故y=2x+（a x﹣1）lna单调递增，∴2x+（a x﹣1）lna＞2×0+（a0﹣1）lna=0，即f'（x）＞f'（0），所以x＞0故函数f（x）在（0，+∞）上单调递增；②当0＜a＜1，y=2x单调递增，lna＜0，所以y=（a x﹣1）lna单调递增，故y=2x+（a x﹣1）lna单调递增，∴2x+（a x﹣1）lna＞2×0+（a0﹣1）lna=0，即f'（x）＞f'（0），所以x＞0故函数f（x）在（0，+∞）上单调递增；综上，函数f（x）单调增区间（0，+∞）；（8分）（3）因为存在x1，x2∈[﹣1，1]，使得|f（x1）﹣f（x2）|≥e﹣1，所以当x∈[﹣1，1]时，|（f（x））max﹣（f（x））min|=（f（x））max﹣（f（x））min≥e﹣1，（12分）由（2）知，f（x）在[﹣1，0]上递减，在[0，1]上递增，所以当x∈[﹣1，1]时，（f（x））min=f（0）=1，（f（x））max=max{f（﹣1），f（1）}，而f（1）﹣f（﹣1）=（a+1﹣lna）﹣（+1+lna）=a﹣﹣2lna，记g（t）=t﹣﹣2lnt（t＞0），因为g′（t）=1+﹣=（﹣1）2≥0（当t=1时取等号），所以g（t）=t﹣﹣2lnt在t∈（0，+∞）上单调递增，而g（1）=0，所以当t＞1时，g（t）＞0；当0＜t＜1时，g（t）＜0，也就是当a＞1时，f（1）＞f（﹣1）；当0＜a＜1时，f（1）＜f（﹣1）（14分）①当a＞1时，由f（1）﹣f（0）≥e﹣1⇒a﹣lna≥e﹣1⇒a≥e，②当0＜a＜1时，由f（﹣1）﹣f（0）≥e﹣1⇒+lna≥e﹣1⇒0＜a≤，综上知，所求a的取值范围为a∈（0，]∪[e，+∞）．（16分）。
福建省福州市第八中学高二数学下学期期中试题 理
福州八中2015—2016学年第二学期期中考试高二数学（理）选修2-2考试时间：120分钟 试卷满分：150分2016.4.28第Ⅰ卷(100分)一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.定积分dx ⎰-2)3(等于A ．－3B ．3C ． －6D ．62．有一段“三段论”推理是这样的：对于可导函数()f x ，如果0()0f x '=，那么0x x = 是函数()f x 的极值点，因为函数3()f x x =在0x =处的导数值(0)0f '=，所以，0x =是函数3()f x x =的极值点.以上推理中A.大前提错误B.小前提错误C.推理形式错误D.结论正确3.设O 是原点，向量,OA OB u u u r u u u r对应的复数分别为23,32,i i --+那么向量BA uu u r 对应的复数是A. 55i -+B. 55i --C. 55i +D. 55i -4.下列求导运算正确的是 A.(x +x 1)′=1+21xB.(log 2x )′=2ln 1x C.(3x)′=3x·log 3e D.(x 2cos x )′=－2x sin x5.用数学归纳法证明1＋12＋13＋…＋12n －1＜n (n ∈N *，n ＞1)，第一步应验证不等式A.1＋12<2B.1＋12＋13＜3C.1＋12＋13＋14＜3D.1＋12＋13＜26.若25p a a =+++ ，34q a a =+++，0a ≥，则p 、q 的大小关系是（ ）A.p q > B.p q =C.p q < D.由a 的取值确定7.设函数y ＝f (x )在(a ，b )上可导，则f (x )在(a ，b )上为增函数是f ′(x )>0的 A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件8.甲、乙速度v 与时间t 的关系如下图，)(b a 是b t =时的加速度，)(b S 是从0=t 到b t =的路程，则)(b a 甲与)(b a 乙，)(b S 甲与)(b S 乙的大小关系是 A ．)()(b a b a 乙甲>，)()(b S b S 乙甲>B ．)()(b a b a 乙甲<，)()(b S b S 乙甲<v甲C ．)()(b a b a 乙甲<，)()(b S b S 乙甲>D ．)()(b a b a 乙甲<，)()(b S b S 乙甲<9.设a 、b 、c 都为正数，那么三个数ac c b b a 1,1,1+++ A ．都不大于2B ．都不小于2C ．至少有一个不大于2D ．至少有一个不小于210.下面给出了四个类比推理：（1）由“若,,a b c R ∈则()()ab c a bc =”类比推出“若a,b,c 为三个向量则(⋅⋅⋅⋅(a b)c =a b c)”；（2）“a,b 为实数，220a b +=若则a=b=0”类比推出“12,z z 为复数，若22121200z z z z +===则”（3）“在平面内，三角形的两边之和大于第三边”类比推出“在空间中，四面体的任意三个面的面积之和大于第四个面的面积”（4）“在平面内，过不在同一条直线上的三个点有且只有一个圆”类比推出“在空间中，过不在同一个平面上的四个点有且只有一个球”. 上述四个推理中，结论正确的个数有A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分） 11.复数z ＝i(i ＋1) (i 为虚数单位) 的共轭复数Z =12.曲线y x =与2y x =所围成的封闭图形的面积S=13.已知函数32()f x mx nx =+的图象在点（-1，2）处的切线恰好与直线30x y +=平行，若()[,1]f x t t +在区间上单调递减，则实数t 的取值范围是_______.14.凸函数的性质定理为：如果函数f(x)在区间D 上是凸函数，则对于区间D 内的任意x 1,x 2,…,x n ,有1212()()()()n nf x f x f x x x x f n n++++++≤L L ，已知函数y=sin x 在区间（0,π)上是凸函数，则在△ABC 中，sin A+sin B+sin C 的最大值为 .三、解答题（本大题共有3个小题，共34分.解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。
福州市高二下学期期中数学试卷(理科)B卷(模拟)
福州市高二下学期期中数学试卷（理科）B卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共10题；共20分)1. （2分）(2017·新余模拟) 已知复数是纯虚数（其中i为虚数单位，a∈R），则z=（）A . 1B . ﹣1C . iD . ﹣i2. （2分）(2018·宣城模拟) 已知，关于的方程（）有四个不同的实数根，则（）A .B .C .D .3. （2分）我国第一艘航母“辽宁舰”在某次舰载机起降飞行训练中，有5架舰载机准备着舰．如果甲、乙两机必须相邻着舰，而丙、丁不能相邻着舰，那么不同的着舰方法有（）A . 12种B . 18种C . 24种D . 48种4. （2分）应用反证法推出矛盾的推理过程中可作为条件使用的是①结论的否定②已知条件③公理、定理、定义等④原结论（）A . ①②B . ②③C . ①②③D . ①②④5. （2分）(2018·安徽模拟) 由直线及曲线所围成的封闭图形的面积为（）A . 3B .C .D .6. （2分）把正整数按一定的规则排成了如图所示的三角形数表．设aij(i,j)是位于这个三角形数表中从上往下数第i行、从左往右数第j个数，如a42=8,a54=15,若aij=2011，则i与j的和为A . 106B . 107C . 108D . 1097. （2分） (2017高二下·中山期末) 将5件不同奖品全部奖给3个学生，每人至少一件奖品，则不同的获奖情况种数是（）A . 150B . 210C . 240D . 3008. （2分）设定义在R上的偶函数满足，是的导函数，当时，；当且时，．则方程根的个数为（）A . 12B . 16C . 18D . 209. （2分） (2018高二下·济宁期中) 若函数的图象不经过第三象限，则实数的取值范围是（）A .B .C .D .10. （2分） (2016高一上·宁波期中) 函数的零点所在区间是（）A . （0，1）B . （1，2）C . （2，3）D . （3，+∞）二、填空题 (共4题；共4分)11. （1分） (2017高二下·陕西期中) 由直线x= ，x=3，曲线y= 及x轴所围图形的面积是________．12. （1分） (2017高二上·驻马店期末) 已知：；；，利用上述结果，计算：13+23+33+…+n3=________．13. （1分） (2016高二下·上海期中) 已知复数Z1 ， Z2满足|Z1|=2，|Z2|=3，若它们所对应向量的夹角为60°，则 =________．14. （1分）函数F（x）=x﹣的零点个数为________三、解答题 (共5题；共40分)15. （10分） (2016高二下·钦州期末) 设m∈R，复数（m2﹣5m+6）+（m2﹣3m）i是纯虚数．（1）求m的值；（2）若﹣2+mi是方程x2+px+q=0的一个根，求实数p，q的值．16. （10分） (2016高三上·会宁期中) 已知函数f（x）= ﹣﹣ax（a∈R）．（1）当a= 时，求函数f（x）的单调区间；（2）若函数f（x）在[﹣1，1]上为单调函数，求实数a的取值范围．17. （5分）若f（n）=1+++…+，n∈N，当n≥3时，证明：f（n）＞．18. （5分）(2019·龙岩模拟) 已知函数．（Ⅰ）若曲线在点处的切线方程为，求的值；（Ⅱ）当时，，求实数的取值范围．19. （10分） (2017高二下·穆棱期末) 已知函数，且 . （1）求函数的极值；（2）当时，证明： .参考答案一、选择题 (共10题；共20分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、二、填空题 (共4题；共4分)11-1、12-1、13-1、14-1、三、解答题 (共5题；共40分) 15-1、15-2、16-1、16-2、17-1、19-1、19-2、第11 页共11 页。
福州八县市高二下学期数学(理)期中试卷及答案
高二下学期数学期中试卷完卷时间：120分钟 满 分：150分一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）11()f x x -=(1)f ' =（ ）n R ，且=n+i C 、2 、有一段“三段论”推理是这样的：对于可导函数()f x 0()0f x =，那么0x x = 是函数()f x 的极值点；因为函数3()f x x =在0x =处的导数值(0)0f '=，所以，0x =是函数3()f x x =的极值点.以上推理中（ ）A 、大前提错误B 、小前提错误C 、推理形式错误D 、结论正确4、定积分11exdx =⎰（ ）A 、211e -+ B 、1 C 、e D 、11e- 5、一物体的运动方程为s ＝sin2t ＋3t+1，则它的速度方程为( ) A 、v ＝2cos2t ＋3 B 、v ＝2sin2t +3 C 、v ＝-2cos2t ＋3 D 、v ＝2cos2t ＋3t+16、用数学归纳法证明1＋12＋13＋…＋12n －1<n (n ∈N *，n >1)时，第一步应验证不等式( )A 、1＋12<2B 、1＋12＋13＜3C 、1＋12＋13＋14＜3D 、1＋12＋13＜2q =，0a ≥，则p 、q 的大p q = C 、p q < D 、由a 的取值确定8、函数4()4f x x =A 、3个 9、有一串彩旗，▼代表蓝色，▽代表黄色。
两种彩旗排成一行如下所示：▽▼▽▼▼▽▼▼▼▽▼▽▼▼▽▼▼▼▽▼▽▼▼▽▼▼▼… 那么在前200个彩旗中有（ ）个黄旗。
A 、111B 、89C 、133D 、67 10、下面给出了四个类比推理：（1）由“若,,a b c R ∈则()()ab c a bc =”类比推出“若a,b,c 为三个向量则(⋅⋅⋅⋅(a b)c =a b c)”（2）“a,b 为实数，220a b +=若则a=b=0”类比推出“12,z z 为复数，若22121200z z z z +===则”（3）“在平面内，三角形的两边之和大于第三边”类比推出“在空间中，四面体的任意三个面的面积之和大于第四个面的面积”（4）“在平面内，过不在同一条直线上的三个点有且只有一个圆”类比推出“在空间中，过不在同一个平面上的四个点有且只有一个球”。
福建省福州八中2016—2017学年高二下学期期末考试数学(理)试题含答案
福州八中2016—2017学年第二学期期末考试高二数学(理）考试时间：120分钟 试卷满分:150分 2017.6。
10说明：本次数学考试不允许使用计算器，凡将计算器带入考场．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．者．,．即按舞弊论处．．．．．．参考公式：1.用最小二乘法求线性回归方程系数公式1221ni ii n ii x y nx yb xnx==-=-∑∑，a y bx =-．2。
,))()()(()(22d b c a d c b a bc ad n K ++++-=其中d c b a n +++=为样本容量.3。
独立性检验的临界值表：第Ⅰ卷（100分）一、选择题（本大题共10小题，每小题4分,共40分.每题有且只有一个选项是正确的，请把答案填在答卷相应位置上） 1. 10×9×8×…×4可表示为 A 。
610AB.710AC 。
610C D 。
710C2．在极坐标系下，圆C :03sin 42=++θρρ的圆心坐标为A.)0,2(B.)2,2(πC 。
),2(π D.)2,2(π-3．已知随机变量8=+ηξ，若)6.0,10(~B ξ，则ηE ，ηD 分别是 A.2和2.4B.2和5.6C.6和5.6 D 。
6和2.44．已知盒中装有大小一样，形状相同的3个白球与7个黑球，每次从中任取一个球并不放回，则在第1次取到的白球条件下,第2次取到的是黑球的概率为 A 。
B.C.D 。
5．若6622106)21(x a x a x a a x ++++=- ,则6210a a a a++++ 的值为A 。
1 B.62C 。
53D 。
636．某校开设A 类选修课3门，B 类选修课3门，一位同学从中选3门.若要求两类课程中至少选一门，则不同的选法共有 A.18 B 。
9 C.6D.37．已知随机变量ξ服从正态分布(1,1)N ,若(3)0.977P ξ<=，则(13)P ξ-<<= A. 0。
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2017年福建省福州八中高二下学期理科数学期中考试试卷一、选择题（共10小题；共50分）1. 复数（为虚数单位）的共轭复数是A. B. C. D.2. 下列推理过程属于演绎推理的为A. 老鼠、猴子与人在身体结构上有相似之处，某医药先在猴子身上试验，试验成功后再用于人体试验B. 由，，，得出C. 由三角形的三条中线交于一点联想到四面体四条中线（四面体每一个顶点与对面重心的连线）交于一点D. 通项公式形如的数列为等比数列，则数列为等比数列3. 在“近似替代”中，函数在区间上的近似值A. 只能是左端点的函数值B. 只能是右端点的函数值C. 可以是该区间内的任一函数值（）D. 以上答案均正确4. 设是可导函数，且，则A. B. C. D.5. 某个自然数有关的命题，如果当时，该命题不成立，那么可推得时，该命题不成立．现已知当时，该命题成立，那么，可推得A. 时，该命题成立B. 时，该命题成立C. 时，该命题不成立D. 时，该命题不成立6. 若，（），则，的大小关系是A. B.C. D. 由的取值确定7. 函数在区间上有最小值，则实数的取值范围是A. B. C. D.8. 设，则，A. 都不大于B. 都不小于C. 至少有一个不大于D. 至少有一个不小于9. 下面给出了四个类比推理．①，为实数，若则；类比推出：，为复数，若，则．②若数列是等差数列，，则数列也是等差数列；类比推出：若数列是各项都为正数的等比数列，也是等比数列．③若．则；类比推出：若，，为三个向量．则．④若圆的半径为，则圆的面积为；类比推出：若椭圆的长半轴长为，短半轴长为，则椭圆的面积为．上述四个推理中，结论正确的是A. ①②B. ②③C. ①④D. ②④10. 已知函数，，，，则在上的最小值，最大值分别是A. ，B. ，C. ，D. ，二、填空题（共4小题；共20分）11. 若纯虚数满足，则实数等于．12. 计算定积分．13. 用数学归纳法证明时，由时，第一步应验证的不等式是．14. 二维空间中圆的一维测度（周长），二维测度（面积）；三维空间中球的二维测度（表面积），三维测度（体积）；四维空间中“超球”的三维测度，则猜想其四维测度．三、解答题（共3小题；共39分）15. 复数（其中为虚数单位，），（1）当时，求复数的模；（2）当实数为何值时复数为纯虚数；（3）当实数为何值时复数在复平面内对应的点在第二象限?16. 设点在曲线上，从原点向移动，如果直线，曲线及直线所围成的阴影部分面积分别记为，．（1）当时，求点的坐标；（2）当有最小值时，求点的坐标和最小值．17. 已知函数，，，，其中是自然对数的底数，．（1）当时，求函数的单调区间和极值；（2）求证：在（Ⅰ）的条件下；（3）是否存在实数，使的最小值是，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．四、选择题（共4小题；共20分）18. 若，，，则是的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分又不必要条件19. 某微信群中甲、乙、丙、丁、卯五名成员同时抢个红包，每人最多抢一个，且红包被全部抢光，个红包中有两个元，两个元（红包中金额相同视为相同的红包）则甲乙两人都抢到红包的情况有A. 种B. 种C. 种D. 种20. 下列图象中有一个是函数（且）的导数的图象，则A. B. C. D. 或21. 已知定义在上的可导函数满足：，则与（是自然对数的底数）的大小关系是A. B.C. D. 不确定五、填空题（共2小题；共10分）22. 展开式中项的系数为．23. 观察下列等式：；；；则当且时，（最后结果用，表示）．六、解答题（共2小题；共26分）24. 某学校记者团由理科组和文科组构成，具体数据如表所示：学校准备从中选人到社区举行的大型公益活动中进行采访，每选出一名男生，给其所在小组记分，每选出一名女生，给其所在小组记分，若要求被选出的人中理科组、文科组的学生都有．（1）求理科组恰好记分的概率；（2）设文科组男生被选出的人数为，求随机变量的分布列和数学期望．25. 已知函数．（1）当时，试求函数图象过点的切线方程；（2）当时，若关于的方程有唯一实数解，试求实数的取值范围；（3）若函数有两个极值点，，且不等式恒成立，试求实数的取值范围．答案第一部分1. D 【解析】复数．复数（为虚数单位）的共轭复数是：．2. D 【解析】因为老鼠、猴子与人在身体结构上有相似之处，故A中推理为类比推理；因为由，，，得出，是由特殊到一般，故B中推理为归纳推理；因为由三角形性质得到四面体的性质有相似之处，故C中推理为类比推理；因为由通项公式形如的数列为等比数列（大前提），数列满足这种形式（小前提），则数列为等比数列（结论），可得D中推理为演绎推理．3. C 【解析】由题意可知：对于函数在“近似替代”中，函数在区间上的近似值，可以是该区间内的任一函数值（）．4. B 【解析】因为，所以5. B【解析】因为如果当时，该命题不成立，那么可推得时，该命题不成立，所以当时，命题成立，可推得时，命题成立．因为当时，该命题成立，所以时，命题成立．6. C 【解析】因为，所以，又，所以．7. C 【解析】由题意得，令解得；令解得或．由此得函数在上是减函数，在上是增函数，在上是减函数，因为，所以函数在上的图象大体如下：故函数在处取到极小值，判断知此极小值必是区间上的最小值，所以，解得，又当时，，故有，综上知．8. D 【解析】假设，都小于或等于，即，，将两式相加，得，又因为，，两式相加，得与矛盾．所以，至少有一个不小于．9. D 【解析】①在复数集中，若，，则可能且．故错误；②在类比等差数列的性质推理等比数列的性质时，我们一般的思路有：由加法类比推理为乘法，由减法类比推理为除法，由算术平均数类比推理为几何平均数等，故我们可以类比推出：若数列是各项都为正数的等比数列，，则数列也是等比数列．正确；③由若则；类比推出：若，，为三个向量，则，不正确，因为与共线，与共线，当，方向不同时，向量的数量积运算结合律不成立；④若圆的半径为，则圆的面积为；类比推出：若椭圆的长半轴长为，短半轴长为，则椭圆的面积为．根据圆是椭圆的特殊情形验证可知正确．10. C第二部分11.【解析】因为，所以，化为，即，因为是纯虚数，所以，，解得．12.13.【解析】用数学归纳法证明时，第一步应验证不等式为：．14.【解析】因为二维空间中圆的一维测度（周长），二维测度（面积），观察发现，三维空间中球的二维测度（表面积），三维测度（体积），观察发现，所以四维空间中“超球”的三维测度，猜想其四维测度，则；所以．第三部分15. （1）由已知整理得：．当时，，所以．（2）当或且即，复数为纯虚数．（3）当即或即时，复数在复平面内对应的点在第二象限．16. （1）设点的横坐标为，则点的坐标为，直线的方程为，，，因为，所以，点的坐标为．（2），，令，得，所以．因为时，；时，，所以，当时，，点的坐标为．17. （1）当时，，，当时，，此时单调递减；当时，，此时单调递增．所以的极小值为，故的单调递减区间为，单调递增区间为，的极小值为，无极大值．（2）令，，，当时，，此时单调递增，所以，由（Ⅰ）知，所以在（Ⅰ）的条件下．（3）假设存在实数，使，有最小值，，，①当时，因为，所以，在上单调递减，所以，解得（舍去），②当，即时，在上单调递减，在上单调递增，所以，解得，满足条件，③当，即时，，在上单调递减，所以，解得（舍去），综上，存在实数，使得当时的最小值为．第四部分18. A 【解析】当，则，此时，充分性成立．若，则即则或或即或，此时必要性不成立．故是的充分不必要条件．19. C 【解析】若甲乙抢的是一个和一个元的，剩下个红包，被剩下的人中的个人抢走，有种，若甲乙抢的是两个元或两个元的，剩下个红包，被剩下的人中的个人抢走，有种，根据分类计数原理可得，共有种．20. B【解析】因为，结合函数图象可得第三个图象为的图象，所以，所以．21. A 【解析】设，因为，所以，所以函数为上的减函数．因为，所以，即，所以．第五部分22.【解析】展开式的通项公式为，令，得，所以的系数为；令，得，所以的系数为；所以展开式中项的系数为：．23.第六部分24. （1）要求被选出的人中理科组、文科组学生都有，共有种选法，其中“理科组恰好记分”的选法有两种情况：①从理科组选男女，文科组任选人，有种选法，②从理科组中选女，再从文科组任选人，有种选法，所以理科组恰好记分的概率为．（2）由题意可得．，，，．的分布列为：所以．25. （1）当时，有，因为，所以，所以过点的切线方程为：，即．（2）当时，有，其定义域为，从而方程可化为：，令，则，由得或，，得，所以在和上单调递增，在上单调递减，且，，又当时，；当时，，因为关于的方程有唯一实数解，所以实数的取值范围是或．（3），令，得，当且，即时，由，得，由，得或；由，得，故若函数在上有两个极值点，可得，由，得，则，，，由，可得，，令，，由，则，，，又，则，即在递减，即有，即，即有实数的取值范围为．。