2.3幂函数.ppt

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新人教版必修一2.3幂函数课件

新人教版必修一2.3幂函数课件
k>1 0<k<1
3.如果k<0,则幂函数的图象过点(1,1),并在 (0,+∞)上为减函数;
K<0
幂函数图象在第一象限的分布情况:
1
0 1
思考:如何借 助幂函数在第 一象限的图像 做出完整的函 数图像?
0
四、例题研究
1、求下列幂函数的定义域,并画出其草图:
(1)y=x (3)y=x
奇函数
(-∞,0)和; (0,+∞)↘
y x 1
三、幂函数的定义域、奇偶性、单调性,因函数式 中α 的不同而各异. 思考:通过以上特例,你能归纳出幂函数的一般性质 吗? 1.所有的幂函数在(0,+∞)都有定义,并且函数 图象都通过点(1,1);
2.如果k>0,则幂函数的图象过点(0,0),(1,1) 并在(0,+∞)上为增函数;
2 5
3 4
( 2 ) y =x
1 3
(4)y=x-2
2、已知幂函数 y f ( x )的图象过点 ( 2, 2 ), 试求出这个函数的解析 式.
3、如果函数 f ( x) (m m 1) x
2
m 2 2 m 3
是幂函数,
且在区间( 0 , +∞ )内是减函数,求满足条件
形的边长 a S
1 2
y x
1 2
(5)如果人t s内骑车行进了1 km,那么他骑车的平均
速度 V t 1 km / s
y x 1
以上问题中的函数有什么共同特征?
(1)
(2) (3) (4) (5)
y=x y=x2 y=x3 y=x1/2 y=x-1
(1)均是以自变量为底 的幂; (2)指数为常数; (3)自变量前的系数为1;

高一数学《幂函数》PPT课件

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根据n, m, p的取值不同,图像形状各 异。
03
幂函数运算规则与技巧
同底数幂相乘除法则
01
02
03
同底数幂相乘
底数不变,指数相加。公 式:a^m × a^n = a^(m+n)
同底数幂相除
底数不变,指数相减。公 式:a^m ÷ a^n = a^(m-n)
举例
2^3 × 2^4 = 2^(3+4) = 2^7;3^5 ÷ 3^2 = 3^(5-2) = 3^3
在幂函数中,指数a可以取任意实数,但不同的a值会导致函数性质的不
同。学生需要注意区分不同a值对应的函数性质。
02 03
函数定义域
幂函数的定义域与指数a的取值有关。例如,当a≤0时,函数定义域为 非零实数集;当a>0且a为整数时,函数定义域为全体实数集。学生需 要注意根据指数a的取值来确定函数的定义域。
计算圆的面积
$S=pi r^2$,$r$为圆半 径,利用幂函数表示圆的 面积与半径关系。
增长率、衰减率问题中应用
细菌增长模型
假设细菌以固定比例增长,则细 菌数量与时间关系可用幂函数表
示。
放射性物质衰变
放射性物质衰变速度与剩余质量 之间的关系可用幂函数描述。
投资回报计算
投资回报率与时间关系可用幂函 数表达,用于预测未来收益。
利用积的乘方法则进行化简
如(ab)^n = a^n × b^n
举例
化简(x^2y)^3 ÷ (xy^2)^2,结果为x^4y
04
幂函数在生活中的应用举例
面积、体积计算中应用
计算正方形面积
$S=a^2$,其中$a$为正 方形边长,利用幂函数表 示面积与边长关系。

2.3 幂函数图像与性质

2.3 幂函数图像与性质
y 0.2x
(指数函数)
y x1
(幂函数)
y 3x
(指数函数)
1
y x2
(幂函数)
y 5x
(指数函数)
y5 x
(幂函数)
幂函数的图象及性质
对于幂函数,我们只讨论 =1,2,3,1 , 2
-1时的情形。
五个常用幂函数的图像和性质
(1) y x (2) y x2 (3) y x3
2
(4,2)
1
(-1,1)
(1,1)
y=x-1
2、在第一象限内, k >0,在
4
6 k <0,在(0,+∞)上为减函数.
-1
(-1,-1)
-2
3、k为奇数时,幂函数为奇函数,
k为偶数时,幂函数为偶函数.
-3
-4
4、幂函数图像不过第四象限。
例3
若m
4
1 2
23 4
3 4… 27 64 …
3 2…
1
y=x 2
x
函数 y x3 的图像
定义域: R 值 域: R
奇偶性:在R上是奇函数 单调性:在R上是增函数
1
函数 y x 2 的图像
定义域:[0,)
值 域:[0,)
奇偶性:非奇非偶函数
单调性:在[0,)上是增函数
4
3
2
1
(1,1)
-6

2、定义域与k的值有关系.
例1、下列函数中,哪几个函
数是幂函数? 答案:(1)(4)
(1)y = 1
x2
(3)y=2x
(2)y=2x2
(4)y=
1 x
(5) y=x2 +2

《集合与函数概念幂函数》高一上册PPT课件(第2.3课时)

《集合与函数概念幂函数》高一上册PPT课件(第2.3课时)
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“ THANKS ”
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思 考1: 幂 函 数 与 指 数 函 数 的 自 变 量 有 何 区 别 ?
[提 示 ] 幂 函 数是 形 如y=xα (α ∈R), 自 变量 在 底 数上 , 而 指数 函 数 是 形如y= ax(a>0且a≠ 1), 自 变量
在 指 数 上 .
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(1)f(x)>g(x);(2)f(x)=g(x);(3)f(x)<g(x).
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[解 ] 设f(x)= xα , g(x)= xβ . ∵ ( 2)α = 2, (- 2)β = - 1, ∴ α = 2, β = - 1,
2
∴ f(x)= x2, g(x)= x-1.分 别 作 出 它 们 的 图 象 , 如 图 所 示 . 由 图 象 知 , (1)当x∈ (- ∞ , 0)∪ (1, + ∞ )时 , f(x)>g(x); (2)当x= 1时 , f(x)= g(x); (3)当x∈ (0,1)时 , f(x)<g(x).
小 关 系 是 ( )
A. d>c>b>a
B. a>b>c>d
C. d>c>a>b
D. a>b>d>c
图 2-3-2
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高中数学《幂函数》课件

高中数学《幂函数》课件

课前预习
课堂互动
课堂反馈
规律方法 判断函数为幂函数的方法 (1)只有形如y=xα(其中α为任意实数,x为自变量)的函数才 是幂函数,否则就不是幂函数. (2)判断一个函数是否为幂函数的依据是该函数是否为y= xα(α为常数)的形式,函数的解析式为一个幂的形式,且: ①指数为常数,②底数为自变量,③底数系数为1.形如y= (3x)α,y=2xα,y=xα+5…形式的函数都不是幂函数.反过 来,若一个函数为幂函数,则该函数也必具有这一形式.
2 2
D. 2
课前预习
课堂互动
课堂反馈
解析 设幂函数为 y=xα,∵幂函数的图象经过点4,12,∴12=
4α,∴α=-12,∴y=x-12
1
,∴f(2)=2-2

22,故选 C.
答案 C
课前预习
课堂互动
课堂反馈
2.下列函数中,其定义域和值域不同的函数是( )
1
A.y=x3
1
B.y=x-2
5
C.y=x3
课前预习
课堂互动
课堂反馈
规律方法 解决幂函数图象问题应把握的两个原则 (1)依据图象高低判断幂指数大小,相关结论为: ①在(0,1)上,指数越大,幂函数图象越靠近 x 轴(简记为指大图 低);②在(1,+∞)上,指数越大,幂函数图象越远离 x 轴(简 记为指大图高). (2)依据图象确定幂指数 α 与 0,1 的大小关系,即根据幂函数在
D.-1,1,3
课前预习
课堂互动
课堂反馈
解析 当 a=-1 时,y=x-1 的定义域是{x|x≠0},且为奇函数;
当 a=1 时,函数 y=x 的定义域是 R 且为奇函数;当 a=12时,
1

《幂函数及其图象》课件

《幂函数及其图象》课件
《幂函数及其图象》PPT 课件
欢迎来到《幂函数及其图象》PPT课件!本课程将深入探讨幂函数的定义、 图象特点和应用,并提供丰富的例题练习。让我们一起探索这个有趣而强大 的数学概念吧!
什么是幂函数?
幂函数是一类特殊的函数,其定义为f(x) = x^a,其中a为实数常数。幂函数的 通式可以表示为f(x) = kx^a,其中k为比例常数。
根据幂函数的特征值,包括定义域、值域等,求解给定幂函数的相关数值。
3 求解幂函数的方程
通过解方程的方法,求出满足特定条件的幂函数的自变量或因变量的值。
总结
幂函数及其图象的基本概念 幂函数的特点及应用
学习了幂函数的定义和通式,以 及幂函数的图象特点和变化规律。
了解了幂函数在不同领域的实际 应用,如通信、工程和光学等。
幂函数的图象特点
基本性质
幂函数的定义域为实数集,且在定义域上是连 续和可导的。
变化规律
当a>1时,幂函数图象向上开口;当0
图象特点
幂函数的图象随着a的值的不同而呈现出不同的 曲线形状。
对称性
当a为整数时,幂函数图象存在关于y轴和原点 的对称性。
幂函数的应用
幅度调制中的幂函数
幂函数在无线电通信中的幅度 调制中起着重要作用,用于调 整信号的幅度以传输信息。
幂函数在实际生活中的应 用案例
发现了幂函数在日常生活中的实 际应用案例,增加了对数学的实 用性的认识。
压缩机和发电机的特 性曲线
幂函数被广泛用于描述压缩机 和发电机的特性曲线,帮助工 程师优化其性能。
激光功率与时间之间 的关系
幂函数用于描述激光器输出功 率随时间变化的关系,用于控 制激光器的稳定性。
练习题
1 画出幂函数图象

高中数学 第二章 基本初等函数(I)2.3 幂函数课件 新人教版必修1

高中数学 第二章 基本初等函数(I)2.3 幂函数课件 新人教版必修1

课前自学
课堂互动
课堂达标
规律方法 1.幂函数 y=xα的图象恒过定点(1,1),且不 过第四象限. 2.解决幂函数图象问题,需把握两个原则:(1)幂指数 α 的正负决定函数图象在第一象限的升降;(2)依据图象确 定幂指数 α 与 0,1 的大小.在第一象限内,直线 x=1 的右侧,y=xα的图象由上到下,指数 α 由大变小;在 第一象限内,直线 x=1 的左侧,y=xα的图象由上到下, 指数 α 由小变大.
1
B.y=x-2 C.y=x4 D.y=x2
1
1
解析 函数 y=x3,y=x2在各自定义域上不是
偶函数,y=x-2 的图象不过点(0,0).选 C.
答案 C
课前自学
课堂互动
课堂达标
4.幂函数f(x)=xα的图象过点(3,9),那么函数f(x)的单调增区间 是________. 解析 由题意得9=3α, 所以32=3α,所以f(x)=x2. 所以幂函数f(x)=x2的单调增区间是[0,+∞). 答案 [0,+∞)
课前自学
课堂互动
课堂达标
【训练 1】 (1)下列几个函数中,为幂函数的是________. ①y=4x,②y=3 x2,③m-1)x-m 在 x∈(0,+∞)上为减函数, 则 m 的值为________.
课前自学
课堂互动
课堂达标
解析 (1)因为 y=3 x2=x23 根据幂函数的结构特征,只有②是幂函数,其它都不是幂函数. (2)由 m2-m-1=1,得 m=2 或 m=-1. 又当 m=2 时,y=x-2 在 x∈(0,+∞)上为减函数; 当 m=-1 时,y=x 在 x∈(0,+∞)上为增函数,舍去. ∴m=2. 答案 (1)② (2)2
公共点

幂函数(课件)

幂函数(课件)
04
利用导数研究幂函数的极值 和拐点
01 03
详细描述
02
幂函数与其他初等函数的复 合函数性质
THANKS
感谢观看
幂函数在物理中的应用
力学
在力学中,幂函数可以描 述物体的运动规律,例如 加速度与时间的关系。
热力学
在热力学中,幂函数可以 描述气体分子的速度分布 规律。
电磁学
在电磁学中,幂函数可以 描述电流与电压的关系。
幂函数在其他领域的应用
经济学
计算机科学
在经济学中,幂函数可以用于描述商 品的需求量与价格的关系、消费者的 购买决策等。
02
幂函数的运算规则
幂的乘法规则
总结词
同底数幂相乘,指数相加
详细描述
幂函数是数学中一种重要的函数,其形式为 (a^x)(其中 (a) 是底数,(x) 是指 数)。当两个幂函数相乘时,如果它们的底数相同,则它们的指数相加。即, (a^x times a^y = a^{x+y})。
幂的除法规则
总结词
幂函数(优秀课件)
目 录
• 幂函数的基本概念 • 幂函数的运算规则 • 幂函数的应用 • 幂函数的扩展知识 • 幂函数的习题与解析
01
幂函数的基本概念
幂函数的定义
总结词
幂函数是一种数学函数,其一般形式 为$y=x^n$,其中$n$是一个实数。
详细描述
幂函数是函数的一种,其一般形式为$y=x^n$ ,其中$x$是自变量,$y$是因变量,$n$是一 个实数。当$n>0$时,幂函数在$(0, +infty)$ 区间内单调递增;当$n<0$时,幂函数在$(0, +infty)$区间内单调递减;当$n=0$时,幂函 数值为1。

2.3幂函数

2.3幂函数
必修1-第二章 基本初等函数-2.2.3幂函数
1.幂函数的定义 y=xa(a∈R) 的函数叫 一般地,形如
做幂函数,其中x是自变量,a是常数.对 于幂函数,一般只讨论a=1, 2, 3,,-1 时的情形.
必修1-第二章 基本初等函数-2.2.3幂函数
2.幂函数的图象与性质
3.5
qx = x3
【思路点拨】由题目可获取以下主要信息: ①f(x)=(m2-m-1)x2m-1是幂函数; ②当x>0时,f(x)是增函数. 解答本题可严格根据幂函数的定义形式列方程求出m,再由单调性确定m.
必修1-第二章 基本初等函数-2.2.3幂函数
1.设
1 α∈-1,1,2,3,则使函数
解析:代入验证. 答案:-1或2
必修1-第二章 基本初等函数-2.2.3幂函数
4.已知函数f(x)=x ,且f(2x-1)<f(3x), 则x的取值范围是________.
解析:由 2x-1< 1 ∴ x≥2.
2x-1≥0, 3x得:3x>0, 2x-1<3x,
必修1-第二章 基本初等函数-2.2.3幂函数
5.已知f(x)=(m2+2m)xm2+m-1,m为何值 时,f(x)是: (1)正比例函数; 解:(1)若 f(x)为正比例函数,则 (2)反比例函数; m +m-1=1, ⇒m=1. m +2m≠0 (3)二次函数; (2)若 f(x)为反比例函数,则 m +m-1=-1, ⇒m=-1. (4)幂函数. m +2m≠0
2 2 2 2
(3)若 f(x)为二次函数,则
m2+m-1=2, 2 m +2m≠0
⇒m=
-1± 13 2
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1 2
1 3
1 3
1 3 在(0,
解:
∵幂函数
且 ∴
yx
﹢∞)上单调递增,
2 , 3
1 1 3 2
( ) ( )
1 2 3 3
(2)
( ) , ( )
3 4
2 ( ) (5 ) ,
2 5 3 2 2 3
2 5 3 2
2 3
解:

又∵幂函数 y

∴ ∵
2 5
,
3 4
x
2 3 在(0,
2、思想与方法
作业: 82页10
79页1
成功始于方法 巩固才能提高
练习:利用单调性判断下列各值的大小。 (1)5.20.8 与 5.30.8 (2)0.20.3-2 与 0.30.3 -2
(3)
2.5
5
与 2.7
5
解:(1)y= x0.8在(0,∞)内是增函数, ∵5.2<5.3 ∴ 5.20.8 < 5.30.8 (2)y=x0.3在(0,∞)内是增函数
因为 所以
[0, ) 上是增函数.
f ( x1 ) f ( x2 ),
即幂函数 f ( x) x 在
快乐体验(二):性质的应用
1. 比较下列各组数的大小:
(1)
( ) ,( )
1 2 2 3
ห้องสมุดไป่ตู้1 3
1 3
(2)
( ) , ( )
3 4
2 5 3 2
2 3
(1)
( ) ,( )
1 2 2 3
-2
在[0,+)上是增函数 单调性: -3
-4
下面将5个函数的图像画在同一坐标系中
3 2 y x y x (1) (2) y x (3) 1 1 (4) y x 2 (5) y x
yx y
2
6
y x3 y x
4
2
yx
5
1 2
-10
-5
1 0 1
-2 -4
x
y=x3
2
m2 4m3
是幂
.
解:因为 f ( x) (m 1) x 数,所以 m 1 1
m2 4m3
是幂函
f ( x) x
1 f (2) 2
得: m 2
1
二、幂函数的图象和性质
只讨论幂函数 的图像.即
y
1 x , 1, 2, 3, 2 , 1.

x
函数y=x2的图象和 性质
定义域:
R
值 域: [0,+)
在R上是偶函数 奇偶性:
在[0,+)上是增函数 单调性:
在(-,0]上是减函数
函数y=x-1的图象和性质
4 3 2
y
y x 1
定义域: {x | x 0} 值 域: { y | y 0}
-4 -3 -2 -1
1 o -1 1 2 3 4
﹢∞)上单调递增,
( ) ( )
2 5 3 2
2 2 3 5
2 3 3 4
2 3
3 ( ) ( 4 )
2练习.比较下列各组数的大小:
(1)
(3)
1.5 ,1.7

1 2
1 2
(2)
8 , ( )
1 9
7 8
7 8
0.7 ,( ) 解: 1 1 7 8 (2) 2 2 8 (1) 1.5 1.7 2 0.7 ( 3 ) (3) 当 0时,
x
判断一个函数是幂函数还是指数函数切入点 看未知数x是指数还是底数
指数函数
幂函数
快乐体验(一) 1: 下列哪些是幂函数?
(1)
1 y 2 (是 ) x
2
(2)
y 2x (不是)
3
(3) (5)
y x x(不是)
(4) (6)
yx
y=-x3
x
(不是)
y x (是 )
(不是)
2:已知函数 f ( x) (m 1) x 1 函数,则 f (2)
(-2,4)
4
y=x3
(2,4) y=x2 y=x (4,2)
1
3
y=x 2
2
1
(-1,1)
-6 -4 -2
(1,1)
2
y=x-1
4 6
-1
(-1,-1)
-2
幂函数的图象都通过点(1,1) α为奇数时,幂函数为奇函数, α为偶数时,幂函数为偶函数.
在第一象限内,
-3
-4
a >0,在(0,+∞)上为增函数; a <0,在(0,+∞)上为减函数.
yx
y=x
1 2
1
y=x
定义域 值 域 奇偶性 单调性
y=x2
-6
y=x-1
公共点
∞) 上都有意义; (1) R 函数在 {x |x≠0} R (0,﹢ R [0,﹢∞) 3 1 y x (2) 函数 , , 是奇函数, y x y x R {y |y≠0} [0,﹢∞) [0, ﹢ ∞) 2 R 函数 y x 是偶函数; 非奇 奇 偶 奇 奇 2 非偶 y x (0, ﹢ ∞) y x (3)在区间 , , 1 上,函数 1 3 [0,﹢∞) (0, ﹢ ∞) 和 y x ,y x 2 是增函数,函数 y x (﹣∞,0) (﹣∞,0) 是减函数; (1,1) (4)函数都过公共点( 1,1).
x
在{x|x 0}上是奇函数 奇偶性:
在(0,+)上是减函数 单调性: 在(-,0)上是减函数
-2
-3 -4
函数y=x3的图象和 性质
x
y 8 7 6

yx
3
… -2 -1 0 1 2 … 5 4 3 y=x … -8 -1 0 1 8 … 3
定义域:
R
-8 -7 -6 -5
2 1 • 2 3 4 5 6 7 8 x • -4 -3 -2 -1 o 1 •-1 -2
(2)均是以自变量为底的 幂; (3)指数为常数; (4)自变量前的系数为1; (5)幂前的系数也为1.
x
的函
一、幂函数定义:
一般地, 函数 y x 叫做幂函数, 其中 是自变量, 是常数.

x
幂函数与指数函数的区别:
ya
yx

自变量在底数位置;指数为常数.
自变量在指数位置;底数为常数.
2 3
( )
1 9
7 8
当 0时, 0.7 ( )

2 3
小结
1、幂函数的定义 及图象特征?
形如 y x (a∈Q) 的函数叫做幂函数.
2、思想与方法
五类简单的幂函数图像及 其性质的研究。
小结
1、幂函数的定义 及图象特征?
运用函数解析式解决问题时,要想到数形结合的思 想方法,寓数于形,赋形于数,互利互用。
1 y x 2 y x 3 y x
2
3
4 y x 5 y x
1 2
1
函数y=x的图象和性质
定义域:
值 域:
R R
8 7 6 5 4 3 2 1
y
yx
奇偶性: 在R上是奇函数
在R上是增函数 单调性:
o 1 2 3 4 5 6 7 8 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 -1 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8
实验中学:侯俊萍
例子:
(1)如果张红购买了每千克1元的蔬菜w千克, 那么她需要支付p= w 元,这里p是w的函数;
(2)如果正方形的边长为a,那么正方形的面 2 a 积为S= , 这里S是a的函数; (3)如果立方体的边长为a,那么立方体的体
积为v = a3 , 这里V是a的函数; (4)如果一个正方形场地的面积为S,那么 这个正方形的边长a= S1/2 , 这里a是S的函数;
∵0.2<0.3∴ 0.20.3 <0.30.3
(3)y=x-2/5在(0,∞)内是减函数 ∵2.5<2.7∴ 2.5-2/5>2.7-2/5
试一试:证明幂函数f(x)= x 在[0, ﹢∞)上是增函数. 证明:任取x1,x2∈[0, ﹢∞),且x1<x2,则
f ( x1 ) f ( x2 ) x1 x2 ( x1 x2 )( x1 x2 ) x1 x2 x1 x2 x1 x2
x1 x2 0, x1 x2 0,
(5)如果某人ts内骑车行进了1km,那么他骑 车的平均速度v= t-1 km/s,这里v是t的函数 .
以上问题中的函数具有什么共同特征? (1) y=x p=w (1)都是函数;
(2)
(3)
(4)
上述问题中涉及的函数,都是形如 y 数.
(5)
y=x S=a2 33 y=x V=a 1/2 y=x a=S -1 y=x v=t -1
值 域:
R
在R上是奇函数 奇偶性:

-3 -4
-5 -7 -8
在R上是增函数 -6 单调性:
函数 y x 的图象和性质
X 0 1 2 3
1 2
1 2
4 3
y
4
3 2
2 1 • o -1
yx

• •
1 2

yx
0 1
2
定义域:[0,+)
值 域:[0,+)
-4 -3 -2 -1
1
2
3
4
x
非奇非偶函数 奇偶性:
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