高中数学复习学(教)案(第47讲)抛物线

题目 第八章圆锥曲线抛物线高考要求掌握抛物线的定义、标准方程和抛物线的简单几何性质了解圆锥曲线的初步应用 知识点归纳1抛物线的定义：平面内与一个定点F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点F 叫做抛物线的焦点，定直线l 叫做抛物线的准线． 2抛物线的图形和性质：①顶点是焦点向准线所作垂线段中点。

②焦准距：FK p =③通径：过焦点垂直于轴的弦长为2p 。

④顶点平分焦点到准线的垂线段：2p O F O K ==。

⑤焦半径为半径的圆：以P 为圆心、FP 为半径的圆必与准线相切。

所有这样的圆过定点F 、准线是公切线。

⑥焦半径为直径的圆：以焦半径 FP 为直径的圆必与过顶点垂直于轴的直线相切。

所有这样的圆过定点F 、过顶点垂直于轴的直线是公切线。

⑦焦点弦为直径的圆：以焦点弦PQ 为直径的圆必与准线相切。

所有这样的圆的公切线是准线。

3抛物线标准方程的四种形式：，，px ypx y2222-==。

，py xpy x2222-== 4抛物线px y 22=的图像和性质：①焦点坐标是：⎪⎭⎫⎝⎛02，p， ②准线方程是：2p x -=。

③焦半径公式：若点),(00y x P 是抛物线px y 22=上一点，则该点到抛物线的焦点的距离（称为焦半径）是：02p P F x =+，④焦点弦长公式：过焦点弦长121222p p P Q x x x x p =+++=++⑤抛物线px y 22=上的动点可设为P ),2(2y py 或2(2,2)P pt pt 或P px y y x 2),(2=其中5一般情况归纳：题型讲解 例1 求满足下列条件的抛物线的标准方程，并求对应抛物线的准线方程： （1）过点（－3，2）；（2）焦点在直线x －2y －4=0上分析：从方程形式看，求抛物线的标准方程仅需确定一个待定系数p ；从实际分析，一般需确定p 和确定开口方向两个条件，否则，应展开相应的讨论解：（1）设所求的抛物线方程为y 2=－2px 或x 2=2py （p ＞0）， ∵过点（－3，2），∴4=－2p （－3）或9=2p ·2∴p =32或p 9∴所求的抛物线方程为y 2=－34x 或x 2=29y ，前者的准线方程是x =31，后者的准线方程是y =－（2）令x =0得y =－2，令y =0得x =4， ∴抛物线的焦点为（4，0）或（0，－2）当焦点为（4，0）时，2p =4，∴p =8，此时抛物线方程y 2=16x ； 焦点为（0，－2）时，2p =2，∴p =4，此时抛物线方程为x 2=－8y∴所求的抛物线的方程为y 2=16x 或x 2=－8y ， 对应的准线方程分别是x =－4，y =2点评：这里易犯的错误就是缺少对开口方向的讨论，先入为主，设定一种形式的标准方程后求解，以致失去一解例2 如下图所示，直线21,l l 相交于点M,21l l ⊥,点1l N ∈,以A 、B 为端点的曲线段C 上的任一点到2l 的距离与到点N 的距离相等若AMN ∆为锐角三角形,6,3,17===BN AN AM ,建立适当的坐标系,求曲线段 C 的方程分 析：由题意所求曲线段是抛物线的一部分，求曲线方程需建立适当的直角坐标系，设出抛物线方程，由条件求出待定系数即可，求出曲线方程后要标注x 、y 的取值范围解: 以MN 中点为原点,MN 所在直线方程为x 轴建立直角坐标系,设曲线方程为)0,,0(22>≤≤>=y x x x p px yB A由3,17==AN AM 得:⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-=++9)2(17)2(2222A A A A y P x y p x , p x A 4=又32=+=p x AN A , 324=+∴p p,解得 4,2=p由AMN ∆锐角为三角形, ⎪⎩⎪⎨⎧>+>+∴17991722p p, 2682<<p , 4=∴p又4,62=∴=+=B B x p x BN故所求曲线方程为: )0,41(82>≤≤=y x x y点评：本题体现了坐标法的基本思路，考查了定义法、待定系数法求曲线方程的步骤，综合考查了学生分析问题、解决问题的能力例3 设抛物线y 2=2px （p >0）的焦点为F ，经过点F 的直线交抛物线于A 、B 两点，点C 在抛物线的准线上，且BC ∥x 轴证明直线AC 经过原点O分析：证直线AC 经过原点O ，即证O 、A 、C 三点共线，为此只需证k OC =k OA 本题也可结合图形特点，由抛物线的几何性质和平面几何知识去解决证法一：设AB ：x =my +2p ，代入y 2=2px ，得y 2－2pmy －P 2=0由韦达定理，得y A y B =－p 2， 即y B =Ap2∵BC ∥x 轴，且C 在准线x =－2p 上，∴C （－2p ，y B ）则k OC =2p y B -=Ay p 2=AA x y =k OA故直线AC 经过原点O证法二：如图，记准线l 与x 轴的交点为E ，过A 作AD ⊥l ，垂足为D则AD ∥EF ∥BC 连结AC 交EF 于点N ，则||||AD EN =||||AC CN =||||AB BF ，BCNF ||∵|AF |=|AD |，|BF |=|BC |， ∴|EN |=||||||AB BF AD ⋅=||||||AB BC AF ⋅=|NF |，即N 是EF 的中点从而点N 与点O 重合，故直线AC 经过原点O点评：本题的“几何味”特别浓，这就为本题注入了活力在涉及解析思想较多的证法中，关键是得到y A ·y B =－p 2这个重要结论还有些证法充分利用了平面几何知识，这也提醒广大师生对圆锥曲线几何性质的重视，也只有这样才能挖掘出丰富多彩的解析几何的题目例4 已知抛物线y 2=8x 上两个动点A 、B 及一个定点M （x 0, y 0），F 是抛物线的焦点，且|AF|、|MF|、|BF|成等差数列，线段AB 的垂直平分线与x 轴交于一点N（1）求点N 的坐标（用x 0表示）；（2）过点N 与MN 垂直的直线交抛物线于P 、Q 两点，若|MN|=42，求△MPQ 的面积解：（1）设A(x 1, y 1)、B(x 2、y 2)，由|AF|、|MF|、|BF|成等差数列得x 1+x 2=2x 0得线段AB 垂直平分线方程：),(20212121x x y y x x y y y ----=+-令y=0，得x =x 0+4, 所以N(x 0+4, 0)（2）由M(x 0, y 0) , N(x 0+4, 0), |MN|=42, 得x 0=2由抛物线的对称性，可设M 在第一象限，所以M(2, 4), N(6,0)直线PQ: y=x －6, 由),4,2(),12,18(.8,62-⎩⎨⎧=-=Q P x y x y 得 得△MPQ 的面积是64例5 已知抛物线x y -=2与直线)1(+=x k y 相交于A 、B 两点 , ①求证;OB OA ⊥;②当OAB ∆的面积等于10时,求k 的值分析: 根与系数的关系、弦长公式 或应用向量解题 。

证明: ①设 ),(),,(222121y y B y y A --; )0,1(-N ),1(),1(222121y y NB y y NA -=-=,由A,N,B 共线21222211y y y y y y -=- )()(212112y y y y y y -=-∴,又21y y ≠ 121-=∴y yOB OA y y y y y y y y OB OA ⊥∴=+=+=∙∴0)1(2121222121解② 12121y y S OAB-⋅⋅=∆ 由⎩⎨⎧+=-=)1(2x k y xy 得02=-+k y ky 61,104121121212±=∴=+=-⋅⋅=∴∆k ky y S OAB例6 已知抛物线C:22(0),y px p =>点M 是抛物线上任意一点,点F 是抛物线上任意一点,点F 是抛物线的焦点,NG MN 准线⊥,(G 为准线与x 轴的交点)(1)求证:等腰三角形MNF 底边上的高所在直线MK 是抛物线的切线; (2)求证:光线FM 在点M 的反射光线MB 必平行x 轴证明: (1)设),,(00y x M则000(,)2FN M K y p p N y k k p y -∴=∴=- ①又022x p y y p k y '⋅=∴=切 ②由①②知，直线MK 是抛物线在点M 的切线(2)令MA 为法线,则 90,=∠∠=∠AMK BMA FMAKMN FMK AMF ∠=∠+∠ +BMA ∠, NMB ∠∴为平角所以反射光线MB 平行x 轴例7 如图,ABCD 是一块边长为4km 的正方形地域,地域内有一条河流MD,其经过路线是以AB 中点M 为顶点且开口向右的抛物线(河流宽度忽略不记),某集团公司准备投巨资建一个大型矩形游乐园PQCN 问如何施工才能使游乐园面积最大?并求出最大面积 解: 以M 为原点BA 所在直线为y 轴,如图建系设抛物线方程为)0(22>=p px y , 由点D(4, 2)在抛物线上, 21,424=∴⋅=p p故物线方程为)40(2≤≤=x x y设)20(),(2≤≤y y y P 是曲线MD 上任意一点则24,2y PN y PQ -=+=, 矩形游乐园面积842)4)(2(232++--=-+=y y y y y S 4432+--='∴y y S , 令0='S 得2,32-==y y32,20=∴≤≤y y当 )32,0(∈y 时0>'S ; 当)2,32(∈y 时, 0<'S 32=∴y 时,S 有极大值,此时,27256;932;38===S PN PQ又0=y 时,272568<=S所以当游乐园长PN=km 932, 宽PQ=km 38时,其面积最大为2)(27256km例8 A,B 是抛物线y 2=2px(p>0)上的两点，满足OA ⊥OB(O 为坐标原点)求证：(1)A,B 两点的横坐标之积，纵坐标之积为定值；(2)直线AB 经过一个定点(3)作OM ⊥AB 于M ，求点M 的轨迹方程解：(1)设A(x 1,y 1), B(x 2,y 2), 则y 12=2px 1, y 22=2px 2, ∴y 12y 22=4p 2x 1x 2,∵OA ⊥OB, ∴x 1x 2+y 1y 2=0,由此即可解得：x 1x 2=4p 2, y 1y 2=─4p 2(定值)(2)直线AB 的斜率k=1212x x y y --=pypyy y 22212212--=212y y p +,∴直线AB 的方程为y ─y 1=212y y p+(x ─py221),即y(y 1+y 2)─y 1y 2=2px, 由(1)可得 y=212y y p +(x ─2p),直线AB 过定点C(2p,0)(3)解法1:设M(x,y), 由(2)知y=212y y p +(x ─2p) (i),又AB ⊥OM, 故两直线的斜率之积为─1, 即212y y p +·xy = ─1 (ii)由(i),(ii)得x 2─2px+y 2=0 (x ≠0)解法2: 由OM ⊥AB 知点M 的轨迹是以原点和点(2p,0)为直径的圆(除去原点) 立即可求出例9 定长为3的线段AB 的两个端点在抛物线y 2=x 上移动，AB 的中点为M ，求点M 到y 轴的最短距离，并求此时点M 的坐标解：如图，设A(x 1,y 1), B(x 2,y 2),M(x,y), 则x=221x x +, y=221y y +,又设点A ，B ，M 在准线l :x=─1/4上的射影分别为A /,B /,M /, MM /与y 轴的交点为N ， 则|AF|=|AA /|=x 1+41,|BF|=|BB /|=x 2+41, ∴x=21(x 1+x 2)=21(|AF|+|BF|─21)≥21(|AB|─21等号在直线AB 过焦点时成立，此时直线AB 的方程为y=k(x ─41)由⎪⎩⎪⎨⎧=-=x y x k y 2)41(得16k 2x 2─8(k 2+2)x+k 2=0 依题意|AB|=21k +|x 1─x 2|=21k +×216k∆=221kk +=3,∴k 2=1/2, 此时x=21(x 1+x 2)=22162)2(8kk ⨯+=45∴M(45,22), N(45,─22)小结:1求抛物线方程时，若由已知条件可知曲线是抛物线，一般用待定系数法；若由已知条件可知曲线的动点的规律，一般用轨迹法2凡涉及抛物线的弦长、弦的中点、弦的斜率问题时要注意利用韦达定理，能避免求交点坐标的复杂运算3解决焦点弦问题时，抛物线的定义有广泛的应用，而且还应注意焦点弦的几何性质 4圆锥曲线统一定义：平面内与一定点F 和定直线l 的距离之比为常数e 的点的轨迹，当0＜e ＜1时，表示椭圆；当e =1时，表示抛物线；当e ＞1时，表示双曲线5由于抛物线的离心率e =1，所以与椭圆及双曲线相比，它有许多特殊的性质，而且许多性质是可以借助于平面几何的知识来解决的6抛物线方程中，字母p 的几何意义是抛物线的焦点F 到准线的距离，2p等于焦点到抛物线顶点的距离牢记它对解题非常有益7求抛物线方程时，要依据题设条件，弄清抛物线的对称轴和开口方向，正确地选择抛物线标准方程8在解题中，抛物线上的点、焦点、准线三者通常与抛物线的定义相联系，所以要注意相互转化 学生练习1 抛物线2x y =的焦点坐标为( )A )41,0( B )41,0(-C )0,41(D )0,41(-答案: A 解析: 从初中学的抛物线(二次函数)到高中的抛物线2 已知点),4,3(A F 是抛物线x y 82=的焦点,M 是抛物线上的动点,当MF MA +最小时,M 点坐标是 ( )A )0,0(B )62,3(C )4,2(D )62,3(-答案: C解析: 把MF 转化为M 到准线的距离MK ,然后求MK MA +的最小值3 过抛物线x y 42=的焦点作直线交抛物线于),(),,(2211y x B y x A ,若621=+x x ,那么AB等于 ( )A 10B 8C 6D 4答案: B 解析: p x x p x p x BF AF AB ++=+++=+=2121224 抛物线顶点在原点,对称轴为坐标轴,焦点在直线02=+-y x 上,则其方程为 ( )A x y 42= 或y x 42-=B y x 42= 或x y 42-=C y x 82= 或x y 82-=D 不确定答案: C 解析: 解直线与两轴交点坐标,进而求p5 过点(0, 2)与抛物线x y 82=只有一个公共点的直线有 ( )A 1条B 2条C 3条D 无数条 答案: C 解析: 相切与相交均能产生一个公共点6 一个酒杯的轴截面为抛物线的一部分,它的方程为y x 22=)200(≤≤y ,在杯内放一个玻璃球,要使球触及到杯的底部,则玻璃球的半径r 的范围为 () A 10≤<r B 10<≤r C 10≤<r D 20<<r 答案: C 解析: 设圆心A(0,t),抛物线上的点为P(x,y), 列出2222)22()(ty t y t y x PA +-+=-+=转化为二次函数问题7 抛物线)0(22>=p px y 的动弦AB 长为)2(p a a ≥,则AB 中点M 到y 轴的最短距离是( ) AB2p CD答案: D 解析: 可证弦AB 通过焦点F 时,所求距离最短8 直线l 过抛物线)0()1(2>+=a x a y 的焦点,并且与x 轴垂直,若l 被抛物线截得的线段长为4,则=a ( )A 4B 2 C41 D21答案: A 解析: 所截线段长恰为通径4=a9过抛物线)0(2>=a ax y 的焦点F 作一直线交抛物线于P 、Q 两点，若PF 与FQ 的长分别为p 、q,则qp11+等于 ( )A a 2 Ba21 C a 4 Da4答案: C 解析: 考虑特殊位置,令焦点弦PQ 平行于x 轴,10 设抛物线22,(0)y px p =>的轴和它的准线交于E 点,经过焦点F 的直线交抛物线于P 、Q两点(直线PQ 与抛物线的轴不垂直),则FEP ∠与QEF ∠的大小关系为 ( ) A QEF FEP ∠>∠ B QEF FEP ∠<∠C QEF FEP ∠=∠D 不确定答案: C 解析: 向量解法: 由A 、F 、B 共线得212y y p =-(重要结论),进而得出QE PE k k =11 已知抛物线12-=x y 上一定点)0,1(-B 和两动点P 、Q ,当P 点在抛物线上运动时,PQ BP ⊥,则点Q 的横坐标的取值范围是 ( )A ]3,(--∞B ),1[∞+C [-3, -1]D ),1[]3,(∞+--∞答案: D12 过抛物线焦点F 的直线与抛物线交于两点A 、B,若A 、B 在抛物线准线上的射影为11,B A ,则=∠11FB A ( )A45 B60 C90 D120答案: C 解析: ),,22(121y p py FA -=),,22(222y p py FB -=因为A 、F 、B 三点共线所以22112212221,221221p y y y p y y py p y y p-=∴-=-0),(),(2122111=+=-⋅-=⋅y y p y p y p FB FA13在抛物线y 2=2px 上，横坐标为4的点到焦点的距离为5，则p 的值为A1B 1C 2D 4答案：C 解析：抛物线的准线方程为x =－2p ，由抛物线的定义知4+2p =5，解得P =214设a ≠0，a ∈R ，则抛物线y =4ax 2的焦点坐标为A （a ，0）B （0，a ）C （0，a161） D 随a 符号而定答案：C 解析：化为标准方程15以抛物线y 2＝2px （p ＞0）的焦半径｜PF ｜为直径的圆与y 轴位置关系为A 相交B 相离C 相切D 不确定答案：C 解析：利用抛物线的定义16以椭圆252x+162y=1的中心为顶点，以椭圆的左准线为准线的抛物线与椭圆右准线交于A 、B 两点，则|AB |的值为___________解：中心为（0，0），左准线为x =－325，所求抛物线方程为y 2=3100 x 又椭圆右准线方程为x =325，联立解得A （325，350）、B （325，－350）∴|AB答案：310017对于顶点在原点的抛物线，给出下列条件：①焦点在y 轴上；②焦点在x 轴上；③抛物线上横坐标为1的点到焦点的距离等于6；④抛物线的通径的长为5；⑤由原点向过焦点的某条直线作垂线，垂足坐标为（2，1）能使这抛物线方程为y 2=10x 的条件是____________（要求填写合适条件的序号）解析：由抛物线方程y 2=10x 可知②⑤满足条件 答案：②⑤18 抛物线22y x =的焦点弦AB,求OB OA ∙的值解:由 ⎪⎩⎪⎨⎧-==)21(22x k y xy 得1,012212-=∴=--y y y k y 43412122212121-=+=+=⋅∴y y y y y y x x OB OA19设一动直线过定点A(2, 0)且与抛物线22+=x y 相交于B 、C 两点,点B 、C 在x 轴上的射影分别为11,C B , P 是线段BC 上的点,且适合11CC BB PCBP =,求POA ∆的重心Q 的轨迹方程,并说明该轨迹是什么图形解析: 设),(),,(),,(002211y x P y x C y x B ,),(y x Qλ===∴2111y y CC BB PCBP , 2121212211021y y y y y y y y y y y +=+⋅+=∴由⎩⎨⎧-=+=)2(22x k y x y 得06)4(222=+--k y k k y 412462220-=-⋅=∴k k kkk y ①又k x y =-200代入①式得4400+=x y ②由⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=33200y y x x 得⎩⎨⎧=-=y y x x 32300 代入②式得:04312=--y x由0>∆得624-<k 或624+>k , 又由①式知0y 关于k 是减函数且120≠y641264120+<<-∴y , 36443644+<<-y 且4≠y所以Q 点轨迹为一线段(抠去一点): 04312=--y x(36443644+<<-y 且4≠y )16 已知抛物线22,(0)y px p =>,焦点为F,一直线l 与抛物线交于A 、B 两点,且8=+BF AF ,且AB 的垂直平分线恒过定点S(6, 0)①求抛物线方程; ②求ABS ∆面积的最大值解: ①设),(),,(2211y x B y x A , AB 中点 ),(00y x M 由8=+BF AF 得24,8021p x p x x -=∴=++又⎪⎩⎪⎨⎧==22212122px y px y 得k p y x x p y y =∴-=-0212221),(2所以 ),24(kp p M -依题意1624-=⋅--k p k p, 4=∴p 抛物线方程为 x y 82=②由),2(0y M 及04y k l =, )2(4:00-=-x y y y l AB令0=y 得20412y x K -=又由x y 82=和)2(4:00-=-x y y y l AB 得: 016222002=-+-y y y y )162(44)414(212120202012--+=-⋅⋅=∴∆y y y y y KS S ABS6964)364(82)232)(16(24132020=≤-+=∴∆y y S ABS课前后备注。