数学建模概论

模型分析 对求解结果进行数学上的分析，如结果的误差分析、统计分析、模型对 数据的敏感性分析、对假设的强健性分析等。
模型检验 把求解和分析结果翻译回到实际问题，与实际的现象、数据比较，检验 模型的合理性和适用性。如果结果与实际不符，问题常常出在模型假设上，应该 修改、补充假设，重新建模，如图中的虚线所示。这一步对于模型是否真的有用 非常关键，要以严肃认真的态度对待。有些模型要经过几次反复，不断完善，直 到检验结果获得某种程度上的满意。
三 数学假模的一般步骤
建模要经过哪些步骤并没有一定的模式，通常 与问题的性质、建模目的等有关。下面介绍的 是机理分析方法建模的一般过程，如下图所示.模型应用
模型检验
模型分析
模型求解
模型准备 了解问题的实际背景，明确建模的目的，搜集必要的信息如现象、数据 等，尽量弄清对象的主要特征形成一个比较清晰的“问题”，由此初步确定用哪 一类模型。情况明才能方法对。在模型准备阶段要深入调查研究，虚心向实际工 作者请教，尽量掌握第一手资料。
状态转移方程
sk 1 sk (1)k dk
问题４ 相识问题
在6人的集会上，假定认识是相互的，则总能 找到或者3个人相互都认识，或者3个人谁都 不认识谁。请问这个结论正确吗？
问题５ 棋子颜色的变化问题
任意拿出黑白两种颜色的棋子共8个，排成如 下图所示的一个圆圈。然后在两颗颜色相同 的棋子中间放一颗黑色棋子，在两颗颜色不 同的棋子中间放一颗白色棋子，放完后撤掉 原来所放的棋子。在重复以上的过程，这样 放一圈后就拿走前次的一圈棋子，问这样重 复进行下去各棋子的颜色会怎样变化呢？
模型应用 应用的方式与问题性质、建模目的及最终的结果有关，本课程一般不讨 论这个问题。
四 数学建模全过程
数学建模的过程分为表述、求解、解释、验证 几个阶段，并且通过这些阶段完成从现实对象 到数学模型，再从数学模型回到现实对象的循 环，如下图所示。
现实对象的信息 验 证
现实对象的解答
表述 （归纳）
数学模型
解答
（ 求演 解绎
） 数学模型的解答
表述是将现实问题“翻译”成抽象的数学问题，属于归纳法。数 学模型的求解则属于演绎法。归纳是依据个别现象推出一般规律； 演绎是按照普遍原理考察特定对象，导出结论。因为任何事物的 本质都要通过现象来反映，必然要透过偶然来表露，所以正确的 归纳不是主观、盲目的，而是有客观基础的，但也往往是不精细 的、带感性的，不易直接检验其正确性。演绎利用严格的逻辑推 理，对解释现象、作出科学预见具有重大意义，但是它要以归纳 的结论作为公理化形式的前提，只能在这个前提下保证其正确性。 因此，归纳和演绎是辨证统一的过程：归纳是演绎的基础，演绎 是归纳的指导。
五 数学模型的特点和建模能力的培养
通过前面的学习，我们看到用建模方法解决实际问题，首先是用数 学语言表述问题，即构造模型，其次才是用数学工具求解构成的模型。 用数学语言表述问题，包括模型假设、模型构造等，除了需要广博的 知识和足够的经验之外，特别需要丰富的想象力和敏锐的洞察力。 想象力指人们在原来知识的基础上，将新感知的形象与记忆中的形象 相互比较、重新组合、加工处理，创造出新的形象，是一种形象思维 活动。洞察力知人们在充分占有资源的基础上，经过初步分析能迅速 抓住主要矛盾，舍弃次要因素，简化问题的层次，对可以用哪些方法 解决面临的问题，以及不同方法的优劣作出判断。 比类方法和理想化方法是建模中常用的方法，它们的运用与想象力、 洞察力有密切关系。类比法注意到研究对象与已熟悉的另一对象具有 某些共性，比较二者相似之处以获得对研究对象的新认识。选择什么 对象进行类比，比较哪些相似的属性，在一定程度上是靠想象进行的。 将交通流与水流类比来建立交通流模型是这方面的例子。理想化方法 是从观察和经验中通过想象和逻辑思维，把对象简化、纯化，使其升 华到理想状态，以期更本质地揭示对象的固有规律。在一定条件下把 物体看作质点，把实际位置看成数学上的点、线等理想化的结果。
一 数学建模和数学的关系
数学的定义:数学作为一门研究现实世界数量关系和 空间形式的科学，它的内容是从实际中抽象出来，与 实际想脱离的，但在它生产和发展的历史长河中，一 直是和人们生活的实际需要密切相关。
数学具有三大特点： 1 抽象性 2 严密性 3 应用的广泛性 数学的任务和发展动力 应用是数学的主要任务，也是数学发展的主要动力。
问题５ 双层玻璃的功效问题
你是否注意到北方城镇的一些建筑物的窗户是 双层的，即窗户上装两层的玻璃且中间留有一 定空隙，如下图所示，两层厚度为d的玻璃夹 着一层厚度为l的空气。据说这样做是为了保 暖，即减少室内向室外的热量流失。我们要建 立一个模型来描述热量通过窗户的传导（即流 失）过程，并将双层玻璃窗与用同样多材料做 成的单层玻璃窗（如下图，玻璃厚度为2d） 的热量传导进行对比，对双层玻璃窗能够减少 多少热量损失给出定量分析结果。
能容纳两人，有他们自己划船。随从们密约， 在河的任何一岸，一旦随从的人数比商人多， 就杀人越货，但是如何乘船渡河的大权掌握在 商人们手中，商人们怎样才能安全渡河呢？
模型构成 记 xk , yk 分别表示地k次渡河前此岸的 商人数和随从数， sk ( xk , yk ) 定义为状态， 显然允许状态集为
直觉和灵感在数学建模中往往也起着不可忽略的作用。直觉是人 们对新事物本质的极敏锐的领悟、理解或推断，灵感指在人们有 意识或下意识思考过程中迸发出来的猜测、思路或判断。二者都 具有突发性，且思维者本人往往说不清它的来路和道理。当由于 各种限制利用已有知识难以对研究对象作出有效的推理和判断时， 凭借相似、类比、猜测，外推等思维方式及不完整、不连续、不 严密的，带启发性的直觉和灵感，去“战略性”地认识对象，是 人类创造性思维的特点之一，也是人脑比按程序逻辑工作的计算 机、机器人的高明之处。直觉和灵感不是凭空产生的，它要求人 们具有丰富的背景知识，对问题进行反复思考和艰难探索对各种 思维方法运用娴熟。相互讨论和思想交锋，特别是不同专业的成 员之间的探讨，是激发直觉和灵感的重要因素。
掌握建模这门艺术，培养想象力和洞察力，需要作好这样两条： 第一，学习、分析、评价、改造别人作过的模型。首先弄懂它， 分析为什么这么作，然后找出它的优缺点，并尝试改进的方法。 第二，要亲自动手，踏实地做几个实际题目。为了这个目的，本 课程主要将采取实例研究方法。
第一章 初等模型
所谓初等模型就是可以通过初等数学或高等数 学中的一些基本的方法建立的模型。
,
h

l d
Q2

k1
T1 T2 2d
两者之比为
Q1 2 Q2 s 2
显然
Q1 Q2
由物理学的相关知识，有
k1 16 : 32 k2
问题６ 水的流出时间问题
一横截面积为常数Ａ，高为Ｈ的水池内盛满了 水，由池底一横截面积为Ｂ的小孔放水。设水 从小孔流出的速度为 v 2gh ，在任意时刻的水 面高度和将水放空所需的时间。
s (x, y) x 0, y 0,1, 2,3; x 3, y 0,1, 2,3; x y 1, 2
uk , vk 分别表示地k次渡船上的商人数和随从数，
dk (uk , vk ) 为决策变量；允许决策集为
D (u,v) 1 u v 2;u,v 0,1, 2
数学建模的定义: 数学建模是指用数学的语言和方法对实际问题进行近
似地刻划和描述，数学建模并不是新事物，自从有了 数学并用数学去解决问题时，就有了数学建模。纵观 人类历史上进行过的三次重大的科学技术革命，每一 次都是渗透着数学的应用，都是数学建模过程。但将 数学建模作为一门专门的学科和课程历史还很短。
模型构成 根据所作的假设，用数学的语言、符号描述对象的内在规律，建立包含 常量、变量等的数学模型，如优化模型、微分方程模型、差分方程模型、图的模 型等。建模时应遵循的一个原则是：尽量采用简单的数学工具，因为你的模型总 希望更多的人了解和使用，而不是只供少数专家欣赏。
模型求解 可以采用解方程、画图形、优化方法、数值计算、统计分析等各种数学 方法，特别是数学软件和计算机技术。
来源于
数学理论
推动发展 服务于
实际
课 堂 学 习 学到的数学
数学建模
有限多的知识
必须发挥主观能动性 学会数学建模的方法
二 数学建模竞赛（MCM）由来和规则
1985年以前美国只有一种大学生数学竞赛 (普特南数 学竞赛）。1985年在美国创办了一个名为数学建模竞 赛(Mathematical in Modeling,缩写为ＭＣＭ)；一年一 度的数学建模竞赛是一种彻底公开的竞赛。ＭＣＭ每 年只有若干个来自不受限制的任何领域的实际问题， 学生以三人组成一个队的形式参赛，在７２小时内任 选一题，完成该实际问题的数学建模全过程，并就问 题的重述、简化和假设及合理性的论述、数学建模的 论述与求解、检验和改进、模型的优缺点及其可能的 应用范围的自我评述等内容写出论文。由专家组成的 评阅组进行评阅，评出优秀论文。ＭＣＭ在竞赛期间 不得与队外的任何人讨论，但可以利用任何资料软件。
数学建模教学的培养目标: 1 培养翻译能力 2 应用已学到的数学方法和思想进行综合应用和分析，
并能学习一点新的数学知识，并能理解合理的抽象和 简化，特别是进行数学分析的重要性
3 发展联想能力 4 逐渐发展形成一种洞察力 5 熟练使用技术手段
数学家几千年的努力
无限多的问题
实际
解释是把数学模型的解答“翻译”回到现实对象，给出分析、预 报、决策或者控制的结果。最后，作为这个过程的重要的一环， 这些结果需要用实际的信息加以验证。
上图揭示了现实对象和数学模型的关系。一方面，数学模型是将 现象加以归纳、抽象的产物，它源于现实，又高于现实。另一方 面，只有当数学建模的结果经受住现实对象的检验时，才可以用 来知道实际，完成实践——理论——实践这一循环。