17-18版 第2章 2.3.2 平面与平面垂直的判定
2.3.2 平面与平面垂直的判定
二、填空题：
无数 1.过平面α的一条垂线可作_____个平面 与平面α垂直. 无数 2.过一点可作_____个平面与已知平面垂 直.
3.过平面α的一条斜线，可作____个平 一 面与平面α垂直. 4.过平面α的一条平行线可作____个平 一 面与α垂直.
一、面面垂直 小结：判别方法 （1）定义:二面角为90°的两个平面 （2）判定定理
BC OB 2 2
2 a 2
例4、如图，山坡倾斜 度是60°，山坡上一 条路CD和坡底线AB 成30°角.沿这条路向 上走100米,升高了多 少?
D H
A C
G
B
A C G
D
H
B
平面与平面垂直的判定
一、面面垂直
1.定义 两个平面相交,如果所成的二面角是直 二面角,就说这两个平面互相垂直。 记作:α⊥β
A O B
C
课堂练习1：
一、判断：
1.如果平面α内有一条直线垂直于平面β内的一条 直线，则α⊥β.（ × ）
2.如果平面α内有一条直线垂直于平面β内的两条 直线，则α⊥β.（ × ） 3. 如果平面α内的一条直线垂直于平面β内的两条 相交直线, 则α⊥β.（ √ ） 4.若m⊥α，m//β，则α⊥β.( )√
一个平面过另一个平面的垂线，则这两个
平面垂直。
A α
D
β C
B
o
A
l
2、作垂面： 作与棱垂直的平面与两半平面的交线得到。
B
o 注意：二面角的平面角必须满足： （1）角的顶点在棱上。 l （2）角的两边分别在两个面内。 （3）角的边都要垂直于二面角的棱。
A
l
高一数学必修二课件2.3.2平面与平面垂直的判定
P
C
A
•O
证明：∵在圆o中AB为直径， ∴AC⊥BC， 又∵PA⊥面ABC, ∴PA⊥BC， ∴BC ⊥平面PAC, ∴平面PAC⊥平面PBC。 B
高考链接
1.（2008 湖南）如图所示，四棱锥
P ABCD
的底面 面
， A是B边C长D为1的菱形，∠BCD=60°，E是CD的中点，PA⊥底
ABCD PA 3
)
√
2. 填空： 1）过平面α的一条垂线可作个________平面与平面α垂无直数。 2）过一点可作_____个平面无与数已知平面垂直。 3）过平面α的一条斜线，可作____个平面与平面α垂直一。
4）过平面α的一条平行线可作____个平面与α垂直。 一
3. 选择：
1）给出下列四个命题：
①垂直于同一个平面的两个平面平行；
A
B
5．在二面角α-l-β的一个面α内有一条直线AB，若AB与棱l的夹角为45°， AB与平面β所成的角为30°，则此二面角的大小是多少？
如图，过A点作AO⊥β于O，在α内作AC垂直棱于C，连OB、OC，则 ∠ABC=45°，∠ABO=30°，∠ACO就是所求二面角的平面角。
α A
B
βO
C
设AB=a,则AC=
CD
两个平面互相垂直
平面角是直角的二面角叫做直二面角。
若两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两 个平面互相垂直。
记作: α β
思 考
如何检测所砌的墙面和地面是否垂直？
可以用铅垂判断所在直线是否与地面垂直。
平面和平面垂直的判定定理
如果一个平面过另一个平面的一条垂线，那么这两个平 面互相垂直。
②垂直于同一条直线的两个平面平行；
第二章 2.3.2 平面与平面垂直的判定
2.3.2平面与平面垂直的判定学习目标 1.理解二面角及其平面角的概念，能确认图形中的已知角是否为二面角的平面角.2.掌握二面角的平面角的一般作法，会求简单的二面角的平面角.3.掌握两个平面互相垂直的概念，能用定义和定理判定面面垂直.知识点一二面角的概念1.定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形.2.相关概念：(1)这条直线叫做二面角的棱；(2)两个半平面叫做二面角的面.3.画法：4.记法：二面角α－l－β或α－AB－β或P－l－Q或P－AB－Q.5.二面角的平面角：若有(1)O∈l；(2)OA⊂α，OB⊂β；(3)OA⊥l，OB⊥l，则二面角α－l－β的平面角是∠AOB.知识点二平面与平面垂直1.平面与平面垂直的定义(1)定义：一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直.(2)画法：(3)记作：α⊥β.2.平面与平面垂直的判定定理1.二面角的平面角所确定的平面与二面角的棱垂直.(√)2.对于确定的二面角而言，平面角的大小与顶点在棱上的位置有关.(×)3.已知一条直线垂直于某一平面，则过该直线的任意一个平面与该平面都垂直.(√)4.两垂直平面的二面角的平面角大小为90°.(√)题型一二面角的求法例1(1)如图，在正方体ABCD－A′B′C′D′中：①二面角D′－AB－D的大小为________.②二面角A′－AB－D的大小为________.答案①45°②90°解析①在正方体ABCD－A′B′C′D′中，AB⊥平面AD′，所以AB⊥AD′，AB⊥AD，因此∠D′AD为二面角D′－AB－D的平面角.在Rt△D′DA中，∠D′AD＝45°，所以二面角D′－AB－D的大小为45°.②因为AB⊥平面AD′，所以AB⊥AD，AB⊥AA′，因此∠A′AD为二面角A′－AB－D 的平面角，又∠A′AD＝90°，所以二面角A′－AB－D的大小为90°.(2)如图，已知Rt△ABC，斜边BC⊂α，点A∉α，AO⊥α，O为垂足，∠ABO＝30°，∠ACO ＝45°，求二面角A－BC－O的大小.解如图，在平面α内，过O作OD⊥BC，垂足为点D，连接AD，设CO＝a.∵AO ⊥α，BC ⊂α，∴AO ⊥BC . 又AO ∩OD ＝O ，∴BC ⊥平面AOD . 而AD ⊂平面AOD ， ∴AD ⊥BC .∴∠ADO 是二面角A －BC －O 的平面角. 由AO ⊥α，OB ⊂α，OC ⊂α， 知AO ⊥OB ，AO ⊥OC .∵∠ABO ＝30°，∠ACO ＝45°，CO ＝a ， ∴AO ＝a ，AC ＝2a ，AB ＝2a . 在Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°， ∴BC ＝AC 2＋AB 2＝6a ， ∴AD ＝AB ·AC BC ＝2a ·2a 6a ＝233a .在Rt △AOD 中，sin ∠ADO ＝AO AD ＝a 233a ＝32.∴∠ADO ＝60°，即二面角A －BC －O 的大小是60°.反思感悟 (1)定义法：在二面角的棱上找一点，在两个半平面内过该点分别作垂直于棱的射线.(2)垂面法：过棱上一点作与棱垂直的平面，该平面与二面角的两个半平面形成交线，这两条射线(交线)所成的角，即为二面角的平面角.(3)垂线法：利用线面垂直的性质来寻找二面角的平面角，这是最常用也是最有效的一种方法. 跟踪训练1 如图，AB 是⊙O 的直径，P A 垂直于⊙O 所在的平面，C 是圆周上的一点，且P A ＝AC ，求二面角P －BC －A 的大小.考点 二面角 题点 求二面角的大小解 由已知P A ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，∴P A⊥BC.∵AB是⊙O的直径，且点C在圆周上，∴AC⊥BC.又∵P A∩AC＝A，P A，AC⊂平面P AC，∴BC⊥平面P AC.又PC⊂平面P AC，∴PC⊥BC.又∵BC是二面角P－BC－A的棱，∴∠PCA是二面角P－BC－A的平面角.由P A＝AC知△P AC是等腰直角三角形，∴∠PCA＝45°，即二面角P－BC－A的大小是45°.题型二平面与平面垂直的判定例2在边长为a的菱形ABCD中，∠ABC＝60°，PC⊥平面ABCD，求证：平面PDB⊥平面P AC.证明∵PC⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，∴PC⊥BD.∵四边形ABCD为菱形，∴AC⊥BD，又PC∩AC＝C，∴BD⊥平面P AC.∵BD⊂平面PBD，∴平面PDB⊥平面P AC.反思感悟(1)证明平面与平面垂直的方法①利用定义：证明二面角的平面角为直角；②利用面面垂直的判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这两个平面互相垂直.(2)根据面面垂直的定义判定两平面垂直，实质上是把问题转化成了求二面角的平面角，通常情况下利用判定定理要比定义简单些，这也是证明面面垂直的常用方法，即要证面面垂直，只要转证线面垂直，其关键与难点是在其中一个平面内寻找一直线与另一平面垂直.跟踪训练2已知直四棱柱ABCD－A1B1C1D1的底面是菱形，且∠DAB＝60°，AD＝AA1，F 为棱BB1的中点，M为线段AC1的中点.求证：平面AFC1⊥平面ACC1A1.证明 延长C 1F 交CB 的延长线于点N ，连接AN .连接BD .由四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1为直四棱柱，可知AA 1⊥平面ABCD ， 又∵BD ⊂平面ABCD ，∴A 1A ⊥BD . ∵四边形ABCD 为菱形，∴AC ⊥BD . 又∵AC ∩A 1A ＝A ，AC ，A 1A ⊂平面ACC 1A 1， ∴BD ⊥平面ACC 1A 1.∵BF ∥CC 1，F 为NC 1的中点，∴B 为NC 的中点. 在四边形DANB 中，DA ∥BN 且DA ＝BN ， ∴四边形DANB 为平行四边形， ∴NA ∥BD ，∴NA ⊥平面ACC 1A 1.又∵NA ⊂平面AFC 1，∴平面AFC 1⊥平面ACC 1A 1.图形的折叠问题典例 如图所示，在矩形ABCD 中，已知AB ＝12AD ，E 是AD 的中点，沿BE 将△ABE 折起至△A ′BE 的位置，使A ′C ＝A ′D ，求证：平面A ′BE ⊥平面BCDE .证明 取BE 的中点N ，CD 的中点M ，∵AB ＝12AD ，E 是AD 的中点，∴AB ＝AE ，即A ′B ＝A ′E .∴A ′N ⊥BE .∵A ′C ＝A ′D ，∴A ′M ⊥CD . 在四边形BCDE 中，CD ⊥MN ， 又∵MN ∩A ′M ＝M ，∴CD ⊥平面A ′MN ，∴CD ⊥A ′N .∵DE ∥BC 且DE ＝12BC ，∴BE 必与CD 相交， 又∵A ′N ⊥BE ，A ′N ⊥CD ， ∴A ′N ⊥平面BCDE . 又∵A ′N ⊂平面A ′BE ， ∴平面A ′BE ⊥平面BCDE .[素养评析] (1)折叠问题，即由平面图形经过折叠成为立体图形，在立体图形中解决有关问题.解题过程中，一定要抓住折叠前后的变量与不变量.(2)折叠问题要借助几何直观和空间想象感知事物的形态与变化，理解所要解决的数学问题，对于平面与平面垂直问题的证明，要有理有据，有逻辑地表达出来，所以，本题充分体现直观想象与逻辑推理的数学核心素养.1.过平面α外两点且垂直于平面α的平面( ) A.有且只有一个 B.有一个或两个 C.有且仅有两个 D.有一个或无数个答案 D2.直线l ⊥平面α，l ⊂平面β，则α与β的位置关系是( ) A.平行 B.可能重合 C.相交且垂直D.相交不垂直 考点 平面与平面垂直的判定 题点 判定两平面垂直 答案 C解析 由面面垂直的判定定理，得α与β垂直，故选C. 3.下列命题中正确的是( )A.平面α和β分别过两条互相垂直的直线，则α⊥βB.若平面α内的一条直线垂直于平面β内的两条平行直线，则α⊥βC.若平面α内的一条直线垂直于平面β内的两条相交直线，则α⊥βD.若平面α内的一条直线垂直于平面β内的无数条直线，则α⊥β 考点 平面与平面垂直的判定 题点 判定两平面垂直 答案 C解析 当平面α和β分别过两条互相垂直且异面的直线时，平面α和β有可能平行，故A 错；由直线与平面垂直的判定定理知，B，D错，C正确.4.在二面角α－l－β的棱l上任选一点O，若∠AOB是二面角α－l－β的平面角，则必须具有的条件是()A.AO⊥BO，AO⊂α，BO⊂βB.AO⊥l，BO⊥lC.AB⊥l，AO⊂α，BO⊂βD.AO⊥l，BO⊥l，且AO⊂α，BO⊂β答案 D5.如图所示，在△ABC中，AD⊥BC，△ABD的面积是△ACD的面积的2倍，沿AD将△ABC 翻折，使翻折后BC⊥平面ACD，求此时二面角B－AD－C的大小.考点二面角题点看图索角解由已知BD＝2CD，翻折后，在Rt△BCD中，∠BDC＝60°，而AD⊥BD，CD⊥AD，故∠BDC是二面角B－AD－C的平面角，其大小为60°.1.求二面角大小的步骤简称为“一作二证三求”.2.平面与平面垂直的判定定理的应用思路(1)本质：通过直线与平面垂直来证明平面与平面垂直，即线面垂直⇒面面垂直.(2)证题思路：处理面面垂直问题转化为处理线面垂直问题，进一步转化为处理线线垂直问题来解决.一、选择题1.下列不能确定两个平面垂直的是()A.两个平面相交，所成二面角是直二面角B.一个平面垂直于另一个平面内的一条直线C.一个平面经过另一个平面的一条垂线D.平面α内的直线a垂直于平面β内的直线b考点平面与平面垂直的判定题点判定两平面垂直答案 D解析如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，平面A1B1CD内的直线A1B1垂直于平面ABCD内的一条直线BC，但平面A1B1CD与平面ABCD显然不垂直.2.已知直线m，n与平面α，β，给出下列三个结论：①若m∥α，n∥α，则m∥n；②若m∥α，n⊥α，则m⊥n；③若m⊥α，m∥β，则α⊥β.其中正确结论的个数是()A.0B.1C.2D.3考点垂直问题的综合应用题点线线、线面、面面垂直的相互转化答案 C解析①若m∥α，n∥α，则m与n可能平行、相交或异面，故①错误；易知②③正确.所以正确结论的个数是2.3.如图，已知P A⊥矩形ABCD所在的平面，则图中互相垂直的平面有()A.2对B.3对C.4对D.5对考点平面与平面垂直的判定题点判定两平面垂直答案 D解析∵P A⊥平面ABCD，∴平面P AD⊥平面ABCD，平面P AB⊥平面ABCD，又CD⊥平面P AD，AB⊥平面P AD，BC⊥平面P AB，∴平面PCD⊥平面P AD，平面P AB⊥平面P AD，平面PBC⊥平面P AB，∴共有5对互相垂直的平面.4.设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列说法中正确的是()A.若m∥α，n⊥β，m⊥n，则α⊥βB.若m∥α，n⊥β，m⊥n，则α∥βC.若m∥α，n⊥β，m∥n，则α⊥βD.若m∥α，n⊥β，m∥n，则α∥β答案 C解析由m∥α，m∥n得n∥α或n⊂α，由n⊥β，知α⊥β.5.如图所示，在四面体D－ABC中，若AB＝BC，AD＝CD，E是AC的中点，则下列命题中正确的是()A.平面ABC⊥平面ABDB.平面ABD⊥平面BDCC.平面ABC⊥平面BDE，且平面ADC⊥平面BDED.平面ABC⊥平面ADC，且平面ADC⊥平面BDE考点平面与平面垂直的判定题点判定两平面垂直答案 C解析因为AB＝BC，且E是AC的中点，所以BE⊥AC.同理，DE⊥AC.又BE∩DE＝E，所以AC⊥平面BDE.因为AC⊂平面ABC，所以平面ABC⊥平面BDE.因为AC⊂平面ACD，所以平面ACD⊥平面BDE.6.在四面体A－BCD中，AB＝BC＝CD＝AD，∠BAD＝∠BCD＝90°，A－BD－C为直二面角，E是CD的中点，则∠AED等于()A.90°B.45°C.60°D.30°考点 二面角 题点 求二面角的大小 答案 A解析 如图，设AB ＝BC ＝CD ＝AD ＝a ，取BD 中点F ，连接AF ，CF .由题意可得AF ＝CF ＝22a ，∠AFC ＝90°. 在Rt △AFC 中，可得AC ＝a ， ∴△ACD 为正三角形. ∵E 是CD 的中点， ∴AE ⊥CD ，∴∠AED ＝90°，故选A.7.在四棱锥P －ABCD 中，P A ⊥底面ABCD ，且底面ABCD 为矩形，则下列结论中错误的是( )A.平面P AB ⊥平面P ADB.平面P AB ⊥平面PBCC.平面PBC ⊥平面PCDD.平面PCD ⊥平面P AD 答案 C解析 对于A ，∵P A ⊥底面ABCD ，且底面ABCD 为矩形，∴P A ⊥AB ，又AB ⊥AD ，∴AB ⊥平面P AD ，∴平面P AB ⊥平面P AD ，故A 正确；对于B ，∵P A ⊥底面ABCD ，且底面ABCD 为矩形，∴P A ⊥BC ，又BC ⊥AB ，∴BC ⊥平面P AB ，∴平面P AB ⊥平面PBC ，故B 正确；对于D ，∵P A ⊥底面ABCD ，∴P A ⊥CD ，又CD ⊥AD ，∴CD ⊥平面P AD ，∴平面PCD ⊥平面P AD ，故D 正确.故选C.8.在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，截面A 1BD 与底面ABCD 所成二面角A 1－BD －A 的正切值为( ) A.32 B.22C. 2D. 3 考点 二面角题点求二面角的大小答案 C解析如图所示，连接AC交BD于点O，连接A1O，O为BD中点，∵A1D＝A1B，∴在△A1BD中，A1O⊥BD.又∵在正方形ABCD中，AC⊥BD.∴∠A1OA为二面角A1－BD－A的平面角.设AA1＝1，则AO＝2 2.∴tan∠A1OA＝122＝ 2.二、填空题9.已知正四棱锥的体积为12，底面对角线的长为26，则侧面与底面所成的二面角为________. 答案60°解析正四棱锥的体积为12，底面对角线的长为26，则底面边长为23，底面积为12，所以正四棱锥的高为3，所以侧面与底面所成的二面角的正切值为3，故所求的二面角为60°.10.已知两条不同的直线m，n，两个不同的平面α，β，给出下列结论：①若m垂直于α内的两条相交直线，则m⊥α；②若m∥α，则m平行于α内的所有直线；③若m⊂α，n⊂β，且α∥β，则m∥n；④若n⊂β，n⊥α，则α⊥β.其中正确结论的序号是________.(把正确结论的序号都填上)答案①④解析①中的内容即为线面垂直的判定定理，故①正确；②中，若m∥α，则m与α内的直线平行或异面，故②错误；③中，两个平行平面内的直线平行或异面，所以③错误；④中的内容为面面垂直的判定定理，故④正确.11.α，β是两个不同的平面，m，n是平面α及β之外的两条不同直线，给出四个论断：①m⊥n；②α⊥β；③n⊥β；④m⊥α.以其中三个论断作为条件，余下一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题________. 考点平面与平面垂直的判定题点用定义法证明两平面垂直答案①③④⇒②解析m⊥n，将m和n平移到一起，则确定一平面，∵n⊥β，m⊥α，∴该平面与平面α和平面β的交线也互相垂直，从而平面α和平面β的二面角的平面角为90°，∴α⊥β.故答案为①③④⇒②.三、解答题12.如图所示，在四棱锥S－ABCD中，底面四边形ABCD是平行四边形，SC⊥平面ABCD，E为SA的中点.求证：平面EBD⊥平面ABCD.考点平面与平面垂直的判定题点用定义法证明两平面垂直证明连接AC与BD交于O点，连接OE.∵O为AC的中点，E为SA的中点，∴EO∥SC.∵SC⊥平面ABCD，∴EO⊥平面ABCD.又∵EO⊂平面EBD，∴平面EBD⊥平面ABCD.13.在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB⊥BC，D为棱CC1上任一点.(1)求证：直线A1B1∥平面ABD；(2)求证：平面ABD⊥平面BCC1B1.证明(1)由直三棱柱ABC－A1B1C1，得A1B1∥AB.因为A1B1⊄平面ABD，AB⊂平面ABD，所以直线A1B1∥平面ABD.(2)因为三棱柱ABC－A1B1C1为直三棱柱，所以AB⊥BB1.又因为AB⊥BC，BB1⊂平面BCC1B1，BC⊂平面BCC1B1，且BB1∩BC＝B，所以AB⊥平面BCC1B1.又因为AB⊂平面ABD，所以平面ABD⊥平面BCC1B1.14.如图所示，在四棱锥P－ABCD中，P A⊥底面ABCD，且底面各边都相等，M是PC上的一动点，当点M满足________时，平面MBD⊥平面PCD.(只要填写一个你认为是正确的条件即可)考点平面与平面垂直的判定题点判定两平面垂直答案DM⊥PC(或BM⊥PC等)解析由题意得BD⊥AC，∵P A⊥平面ABCD，∴P A⊥BD.又P A∩AC＝A，∴BD⊥平面P AC，∴BD⊥PC.∴当DM⊥PC(或BM⊥PC)时，即有PC⊥平面MBD，而PC⊂平面PCD，∴平面MBD⊥平面PCD.15.如图所示，在正三棱柱ABC－A1B1C1中，E为BB1的中点，求证：截面A1CE⊥侧面ACC1A1.考点平面与平面垂直的判定题点利用判定定理证明两平面垂直证明如图所示，取A1C的中点F，AC的中点G，连接FG，EF，BG，则FG∥AA1，且GF＝12AA 1.因为BE ＝EB 1，A 1B 1＝CB ，∠A 1B 1E ＝∠CBE ＝90°，所以△A 1B 1E ≌△CBE ，所以A 1E ＝CE .因为F 为A 1C 的中点，所以EF ⊥A 1C .又FG ∥AA 1∥BE ，GF ＝12AA 1＝BE ，且BE ⊥BG ， 所以四边形BEFG 是矩形，所以EF ⊥FG . 因为A 1C ∩FG ＝F ，所以EF ⊥侧面ACC 1A 1. 又因为EF ⊂平面A 1CE ，所以截面A 1CE ⊥侧面ACC 1A 1.。
2.3.2 平面与平面垂直的判定
2．3.2平面与平面垂直的判定理解教材新知知识点一二面角入门答辩随手打开一本书，发现每两书页之间所在的平面也形成一个空间问题，或将一张纸拆叠后也会形成同样的问题．问题1：通过上述问题，联想空间两直线、空间线与面都可形成角，那么空间两平面会形成角吗？问题2：动手折叠一张纸，随着翻动，会发现两平面形成角有何特点？问题3：两平面形成的角可否为0°角？新知自解二面角(1)定义：从一条直线出发的____________所组成的图形叫做二面角(如图)．________叫做二面角的棱，______________叫做二面角的面．记法：________，在α，β内，分别取点P、Q时，可记作________；当棱记为l时，可记作________或________．(2)二面角的平面角①定义：在二面角α－l－β的棱l上任取一点O，如图所示，以点O为垂足，在________分别作垂直于棱l的射线OA和OB，则射线OA和OB构成的∠AOB叫做__________．②直二面角：平面角是________的二面角．知识点二平面与平面垂直入门答辩建筑工地上，泥水匠砌墙时，为了保证墙面与地面垂直，泥水匠常常在较高处固定一条端点系有铅锤的线，再沿着该线砌墙，如图，这样就能保证墙面与地面垂直．问题1：由上述可知当直线与平面垂直时，过此直线可作无数个平面，那么这些平面与已知平面有何关系？问题2：若要判断两平面是否垂直，根据上述问题能否得出一方法？新知自解1．面面垂直的定义(1)定义：如果两个平面相交，且它们所成的二面角是________，就说这两个平面互相垂直．(2)画法：记作：________．2．两平面垂直的判定(1)文字语言：一个平面过另一个平面的________，则这两个平面垂直．(2)图形语言：如图．(3)符号语言：AB⊥β，AB∩β＝B，AB⊂α⇒α⊥β.归纳升华领悟1．对于二面角及其平面角的理解(1)二面角是一个空间图形，而二面角的平面角是平面图形，二面角的大小通过其平面角的大小表示，体现了由空间图形向平面图形转化的思想．(2)二面角的平面角的定义是两条“射线”的夹角，不是两条直线的夹角，因此，二面角θ的取值范围是0°≤θ≤180°.2．对于平面与平面垂直的判定定理的理解平面与平面垂直的判定定理告诉我们，可以通过直线与平面垂直来证明平面与平面垂直．通常我们将其记为“线面垂直，则面面垂直”．因此，处理面面垂直问题转化为处理线面垂直问题，进一步转化为处理线线垂直问题．以后证明平面与平面垂直，只要在一个平面内找到一条直线和另一个平面垂直即可．把握热点考向考点一面面垂直的判定[例1]如图，在空间四边形ABCD中，AB＝BC，CD＝DA，E，F，G分别是CD，DA，AC的中点，求证：平面BEF⊥平面BGD.[思路点拨]要证明两个平面互相垂直，有两种方法：一种是用定义证明，一种是用判定定理证明．在这里易证AC⊥平面BGD，而EF∥AC，故EF所在平面与平面BGD垂直．[精解详析]∵AB＝BC，G为AC中点，所以AC⊥BG.同理可证，AC⊥DG.又∵BG∩DG＝G，∴AC⊥面BGD.∵E，F为△ADC的中点，∴EF∥AC，∴EF⊥面BGD.又∵EF⊂平面BEF，∴平面BEF⊥平面BGD.[一点通]证明面面垂直的方法有两种(1)根据定义．若∠ABE是二面角α－l－β的平面角，且∠ABE＝90°，则α⊥β.具体作法是：作出两面构成的二面角的平面角，计算其为90°.(2)利用面面垂直的判定定理．具体作法是在其中一个平面内寻找与另一个平面垂直的直线．题组集训1．对于直线m，n和平面α，β，能得出α⊥β的一组条件是()A．m⊥n，m∥α，n∥βB．m⊥n，α∩β＝m，n⊂βC．m∥n，n⊥β，m⊂αD．m∥n，m⊥α，n⊥β2．如图，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E是CC1的中点，求证：平面A1BD⊥平面BED.考点二垂直关系的综合应用[例2](2011·珠海二中)△ABC 为正三角形，EC ⊥平面ABC ，BD ∥CE ，且CE ＝CA ＝2BD ，M 是EA 的中点．求证：(1)DE ＝DA ；(2)平面BDM ⊥平面ECA ； (3)平面DEA ⊥平面ECA.[思路点拨] (1)利用垂直关系证明并计算DE 、DA 可得结论； (2)证明OM ⊥面AEC ； (3)由(2)可证．[精解详析] (1)设BD ＝a ，作DF ∥BC 交CE 于F ， 则CF ＝DB ＝a.因为CE ⊥面ABC ， 所以BC ⊥CF ，DF ⊥EC ，所以DE ＝EF 2＋DF 2＝5a ， 又因为DB ⊥面ABC ，所以DA ＝DB 2＋AB 2＝5a ， 所以DE ＝DA.(2)取CA 的中点N ，连接MN ，BN ，则MN 綊12CE 綊DB.所以四边形MNBD 为平行四边形，所以MD ∥BN. 又因为EC ⊥面ABC ，所以EC ⊥BN ，EC ⊥MD. 又DE ＝DA ，M 为EA 中点，所以DM ⊥AE. 所以DM ⊥平面AEC ，所以面BDM ⊥面ECA. (3)由(2)知DM ⊥平面AEC ，而DM ⊂面DEA ， 所以平面DEA ⊥平面ECA.[一点通] 证明垂直关系时，注意“线线垂直 线面垂直 面面垂直”的应用． 题组集训 3.如图，设P是正方形ABCD外一点，且PA⊥平面ABCD，则平面PAB与平面PBC、平面PAD的位置关系是()A．平面PAB与平面PBC、平面PAD都垂直B．它们两两都垂直C．平面PAB与平面PBC垂直、与平面PAD不垂直D．平面PAB与平面PBC、平面PAD都不垂直4.如图所示，ABCD—A1B1C1D1为长方体，且底面ABCD为正方形．求：截面ACB1⊥平面BDD1B1?考点三二面角[例3](12分)四边形ABCD是正方形，PA⊥平面ABCD，且PA＝AB.(1)求二面角A－PD－C平面角的度数；(2)求二面角B－PA－D平面角的度数；(3)求二面角B－PA－C平面角的度数．[思路点拨](1)证明面PAD⊥面PCD；(2)定义法确定二面角；(3)∠BAC为所求角，可求．[精解详析](1)∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥CD，又四边形ABCD为正方形， (2分)∴CD⊥AD，PA∩AD＝A.∴CD⊥平面PAD，又CD⊂平面PCD，∴平面PAD⊥平面PCD. (3分)∴二面角A－PD－C平面角的度数为90°. (4分)(2)∵PA⊥平面ABCD，∴AB⊥PA，AD⊥PA.∴∠BAD为二面角B－PA－D的平面角． (6分)又由题意∠BAD＝90°，∴二面角B－PA－D平面角的度数为90°. (8分)(3)∵PA⊥平面ABCD，∴AB⊥PA，AC⊥PA.∴∠BAC为二面角B－PA－C的平面角． (10分)又四边形ABCD为正方形，∴∠BAC＝45°.即二面角B－PA－C平面角的度数为45°. (12分)[一点通]解答此类问题的关键是清楚二面角的平面角的大小与顶点在棱上的位置无关，通常可根据需要选择特殊点作平面角的顶点．求二面角的大小的方法为：一作，即先作出二面角的平面角；二证，即说明所作角是二面角的平面角；三求，即利用二面角的平面角所在的三角形算出角的三角函数值，其中关键是“作”．题组集训5．下列说法中正确的是()①两个相交平面组成的图形叫做二面角；②异面直线a，b分别和一个二面角的两个面垂直，则a，b形成的角与这个二面角的平面角相等或互补；③二面角的平面角是从棱上一点出发，分别在两个面内作射线所成角的最小角；④二面角的大小与其平面角的顶点在棱上的位置没有关系．6．如图，P是边长为22的正方形ABCD外一点，PA⊥AB，PA⊥BC，且PC＝5，则二面角PBDA的余弦值为________．方法规律小结1．要证明两平面垂直，可以利用定义证明两平面所构成的二面角为直二面角；也可以利用定理，其关键是在其中一个平面内寻找一直线与另一平面垂直．2．二面角的平面角必须具备三个条件：(1)顶点在二面角的棱上；(2)角的两边分别在两半平面内；(3)角的两边分别与二面角的棱垂直．学生应用创新演练请完成课时跟踪训练(十三)。
2.3.2平面与平面垂直的判定
平面与平面垂直的判定
【例 2】 如图,在底面为直角梯形的四棱锥 P ABCD
中,AD∥BC,∠ABC=90°,PA⊥平面 ABCD,AC =E,AD=2,AB=2 BD
3 ,BC=6.求证:平面 PBD⊥平面 PAC.
名师导引:证明平面 PBD⊥平面 PAC 的突破口在哪 里?(在一个平面内找一条直线垂直于另外一个平面) 证明:∵PA⊥平面 ABCD,BD 平面 ABCD, ∴BD⊥PA.
(A)①③ (B)②④ (C)③④ (D)①② 解析:对①,显然混淆了平面与半平面的概念,是错 误的;对②,由于 a,b 分别垂直于两个面,所以也垂 直于二面角的棱,但由于异面直线所成的角为锐角 (或直角),所以应是相等或互补,是正确的;对③, 因为不垂直于棱,所以是错误的;④是正确的.故 选 B.
二面角的平面角
2:二面角的大小如何度量?
2:如图,在二面角α l β 的棱 l 上任取一点 O,以点 O 为垂足,在半平面α 和 β 内分别作垂直于棱 l 的射线 OA,OB,则射线 OA 和 OB 构成的∠AOB 叫做二面角的平面角. 平面角是直角的二面角叫直二面角.
【质疑探究 1】 (1)∠AOB 的大小与点 O 在 l 上 的位置有关吗?为什么? (无关,同一半平面内垂直于棱的射线是平行的, 一个角的两边与另一个角的两边平行且同向, 那么这两个角相等) (2)二面角大小的范围是多少? ([0°,180°])
二面角的定义
1:实例(1)的角的大小是多少?实 例(1)与(2)中角的形状如何? (角的大小为 90°,角的形状都是两个半平面 的夹角)
1:从一条直线出发的两个半平面 所组成的图形叫做二面角,这条直线叫二面角 的棱,这两个半平面叫二面角的面.图中的二面 角可记作:二面角α AB β 或α l β 或 P AB Q.
高中数学同步讲义必修二——第二章 2.3.2 平面与平面垂直的判定
2.3.2平面与平面垂直的判定学习目标 1.理解二面角及其平面角的概念，能确认图形中的已知角是否为二面角的平面角.2.掌握二面角的平面角的一般作法，会求简单的二面角的平面角.3.掌握两个平面互相垂直的概念，能用定义和定理判定面面垂直．知识点一二面角的概念(1)定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形．(2)相关概念：①这条直线叫做二面角的棱，②两个半平面叫做二面角的面．(3)画法：(4)记法：二面角α－l－β或α－AB－β或P－l－Q或P－AB－Q.(5)二面角的平面角：若有①O∈l；②OA⊂α，OB⊂β；③OA⊥l，OB⊥l，则二面角α－l－β的平面角是∠AOB.知识点二平面与平面垂直思考若直线l垂直于平面α，是否经过直线l的任意一个平面都垂直于平面α？答案是．梳理两面垂直的定义及判定(1)平面与平面垂直①定义：一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直．②画法：③记作：α⊥β. (2)判定定理文字语言一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直图形语言符号语言l ⊥α，l ⊂β⇒α⊥β1．若l ⊥α，则过l 有无数个平面与α垂直．( √ ) 2．两垂直平面的二面角的平面角大小为90°.( √ )类型一 证明面面垂直例1 如图，在四棱锥P ABCD 中，P A ⊥CD ，AD ∥BC ，∠ADC ＝∠P AB ＝90°，BC ＝CD ＝12AD .(1)在平面P AD 内找一点M ，使得直线CM ∥平面P AB ，并说明理由． (2)证明：平面P AB ⊥平面PBD .(1)解 取棱AD 的中点M (M ∈平面P AD )，点M 即为所求的一个点，理由如下：因为AD ∥BC ，BC ＝12AD ，所以BC∥AM，且BC＝AM.所以四边形AMCB是平行四边形，从而CM∥AB.又AB⊂平面P AB，CM⊄平面P AB，所以CM∥平面P AB.(说明：取棱PD的中点N，则所找的点可以是直线MN上任意一点)(2)证明由已知，P A⊥AB，P A⊥CD.因为AD∥BC，BC＝12AD，所以直线AB与CD相交，所以P A⊥平面ABCD.从而P A⊥BD.又BC∥MD，且BC＝MD，所以四边形BCDM是平行四边形，所以BM＝CD＝12AD，所以BD⊥AB.又AB∩AP＝A，AB，AP⊂平面P AB，所以BD⊥平面P AB.又BD⊂平面PBD，所以平面P AB⊥平面PBD.引申探究1．若将本例条件改为“P A垂直于矩形ABCD所在的平面”，试证明：平面PCD⊥平面P AD.证明因为P A⊥平面ABCD，所以P A⊥CD，因为四边形ABCD为矩形，所以CD⊥AD，又AD∩P A＝A，AD，P A⊂平面P AD，所以CD ⊥平面P AD ，又CD ⊂平面PCD ， 所以平面PCD ⊥平面P AD .2．若将本例条件改为“P A ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是菱形，PB ＝BC ，M 是PC 中点”，试证明：平面MBD ⊥平面PCD .证明 连接AC ，则BD ⊥AC .由P A ⊥底面ABCD ，可知BD ⊥P A ，又AC ∩P A ＝A ，AC ，P A ⊂平面P AC ， 所以BD ⊥平面P AC ，所以BD ⊥PC ， 因为PB ＝BC ，M 是PC 中点，所以BM ⊥PC ，又BD ∩BM ＝B ，BM ，BD ⊂平面BMD ， 所以PC ⊥平面MBD . 而PC ⊂平面PCD ， 所以平面MBD ⊥平面PCD .反思与感悟 证明面面垂直常用的方法(1)定义法：即说明两个半平面所成的二面角是直二面角．(2)判定定理法：在其中一个平面内寻找一条直线与另一个平面垂直，即把问题转化为线面垂直． (3)性质法：两个平行平面中的一个垂直于第三个平面，则另一个也垂直于此平面．跟踪训练1 如图，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，侧棱垂直于底面，∠ACB ＝90°，AC ＝12AA 1，D 是棱AA 1的中点．证明：平面BDC1⊥平面BDC.证明由题设知BC⊥CC1，BC⊥AC，CC1∩AC＝C，所以BC⊥平面ACC1A1.又DC1⊂平面ACC1A1，所以DC1⊥BC.由题设知∠A1DC1＝∠ADC＝45°，所以∠CDC1＝90°，即DC1⊥DC.又DC∩BC＝C，所以DC1⊥平面BDC.又DC1⊂平面BDC1，故平面BDC1⊥平面BDC.类型二求二面角的大小例2(1)有下列结论：①两个相交平面组成的图形叫作二面角；②异面直线a，b分别和一个二面角的两个面垂直，则a，b所成的角与这个二面角的平面角相等或互补；③二面角的平面角是从棱上一点出发，分别在两个面内作射线所成的角；④二面角的大小与其平面角的顶点在棱上的位置没有关系．其中正确的是()A．①③B．②④C．③④D．①②答案 B解析由二面角的定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫作二面角，所以①错误，易知②正确；③中所作的射线不一定垂直于二面角的棱，故③错误；由定义知④正确．故选B.(2)如图，已知Rt△ABC，斜边BC⊂α，点A∉α，AO⊥α，O为垂足，∠ABO＝30°，∠ACO ＝45°，求二面角A－BC－O的大小．解如图，在平面α内，过O 作OD ⊥BC ，垂足为点D ，连接AD ， 设CO ＝a .∵AO ⊥α，BC ⊂α，∴AO ⊥BC . 又AO ∩DO ＝O ，∴BC ⊥平面AOD . 而AD ⊂平面AOD ，∴BC ⊥AD ，∴∠ADO 即为二面角A －BC －O 的平面角， 由AO ⊥α，OB ⊂α，OC ⊂α，得AO ⊥OB ，AO ⊥OC ， 又∠ABO ＝30°，∠ACO ＝45°， ∴AO ＝a ，则AC ＝2a ，AB ＝2a ， 在Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°， ∴BC ＝AC 2＋AB 2＝6a ，∴AD ＝AB ·AC BC ＝2a ·2a 6a＝233a .在Rt △AOD 中，sin ∠ADO ＝AO AD ＝a 233a ＝32，∴∠ADO ＝60°，即二面角A －BC －O 的大小为60°.反思与感悟 (1)定义法：在二面角的棱上找一点，在两个半平面内过该点分别作垂直于棱的射线．(2)垂面法：过棱上一点作与棱垂直的平面，该平面与二面角的两个半平面形成交线，这两条射线(交线)所成的角，即为二面角的平面角．(3)垂线法：利用线面垂直的性质来寻找二面角的平面角，这是最常用也是最有效的一种方法． 跟踪训练2 如图，AB 是⊙O 的直径，P A 垂直于⊙O 所在的平面，C 是圆周上的一点，且P A ＝AC ，求二面角P －BC －A 的大小．解由已知P A⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，∴P A⊥BC.∵AB是⊙O的直径，且点C在圆周上，∴AC⊥BC.又∵P A∩AC＝A，P A，AC⊂平面P AC，∴BC⊥平面P AC.又PC⊂平面P AC，∴PC⊥BC.又∵BC是二面角P－BC－A的棱，∴∠PCA是二面角P－BC－A的平面角．由P A＝AC知△P AC是等腰直角三角形，∴∠PCA＝45°，即二面角P－BC－A的大小是45°.1．直线l⊥平面α，l⊂平面β，则α与β的位置关系是()A．平行B．可能重合C．相交且垂直D．相交不垂直答案 C解析由面面垂直的判定定理，得α与β垂直，故选C.2．下列命题中正确的是()A．平面α和β分别过两条互相垂直的直线，则α⊥βB．若平面α内的一条直线垂直于平面β内的两条平行直线，则α⊥βC．若平面α内的一条直线垂直于平面β内的两条相交直线，则α⊥βD．若平面α内的一条直线垂直于平面β内的无数条直线，则α⊥β答案 C解析当平面α和β分别过两条互相垂直且异面的直线时，平面α和β有可能平行，故A错；由直线与平面垂直的判定定理知，B、D错，C正确．3．如图所示，在△ABC中，AD⊥BC，△ABD的面积是△ACD的面积的2倍，沿AD将△ABC 翻折，使翻折后BC⊥平面ACD，此时二面角B－AD－C的大小为()A．30°B．45°C．60°D．90°答案 C解析由已知BD＝2CD，翻折后，在Rt△BCD中，∠BDC＝60°，而AD⊥BD，CD⊥AD，故∠BDC是二面角B－AD－C的平面角，其大小为60°.4．如图，已知P A⊥矩形ABCD所在的平面，则图中互相垂直的平面有()A．2对B．3对C．4对D．5对答案 D解析∵P A⊥平面ABCD，∴平面P AD⊥平面ABCD，平面P AB⊥平面ABCD，又CD⊥平面P AD，AB⊥平面P AD，BC⊥平面P AB，∴平面PCD⊥平面P AD，平面P AB⊥平面P AD，平面PBC⊥平面P AB，∴共有5对互相垂直的平面．5．如图所示，在四棱锥S－ABCD中，底面四边形ABCD是平行四边形，SC⊥平面ABCD，E为SA的中点．求证：平面EBD⊥平面ABCD.证明连接AC与BD交于O点，连接OE.∵O为AC的中点，E为SA的中点，∴EO∥SC.∵SC⊥平面ABCD，∴EO⊥平面ABCD.又∵EO⊂平面EBD，∴平面EBD⊥平面ABCD.1．求二面角大小的步骤简称为“一作二证三求”．2．平面与平面垂直的判定定理的应用思路(1)本质：通过直线与平面垂直来证明平面与平面垂直，即线面垂直⇒面面垂直．(2)证题思路：处理面面垂直问题转化为处理线面垂直问题，进一步转化为处理线线垂直问题来解决．一、选择题1．下列不能确定两个平面垂直的是()A．两个平面相交，所成二面角是直二面角B．一个平面垂直于另一个平面内的一条直线C．一个平面经过另一个平面的一条垂线D．平面α内的直线a垂直于平面β内的直线b答案 D解析如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，平面A1B1CD内的直线A1B1垂直于平面ABCD内的一条直线BC，但平面A1B1CD与平面ABCD显然不垂直．2．已知直线m，n与平面α，β，给出下列三个结论：①若m∥α，n∥α，则m∥n；②若m∥α，n⊥α，则m⊥n；③若m⊥α，m∥β，则α⊥β.其中正确结论的个数是()A．0 B．1 C．2 D．3答案 C解析①若m∥α，n∥α，则m与n可能平行、相交或异面，故①错误；易知②③正确．所以正确结论的个数是2.3.如图所示，在四面体D－ABC中，若AB＝BC，AD＝CD，E是AC的中点，则下列命题中正确的是()A．平面ABC⊥平面ABDB．平面ABD⊥平面BDCC．平面ABC⊥平面BDE，且平面ADC⊥平面BDED．平面ABC⊥平面ADC，且平面ADC⊥平面BDE答案 C解析因为AB＝BC，且E是AC的中点，所以BE⊥AC.同理，DE⊥AC.又BE∩DE＝E，所以AC⊥平面BDE.因为AC⊂平面ABC，所以平面ABC⊥平面BDE.因为AC⊂平面ACD，所以平面ACD⊥平面BDE.4．过两点与一个已知平面垂直的平面()A．有且只有一个B．有无数个C．有且只有一个或无数个D．可能不存在答案 C解析若过两点的直线与已知平面垂直时，此时过这两点有无数个平面与已知平面垂直，若过两点的直线与已知平面不垂直时，则有且只有一个过这两点的平面与已知平面垂直．5．在四面体A－BCD中，AB＝BC＝CD＝AD，∠BAD＝∠BCD＝90°，A－BD－C为直二面角，E是CD的中点，则∠AED等于()A．90°B．45°C．60°D．30°答案 A解析如图，设AB＝BC＝CD＝AD＝a，取BD中点F，连接AF，CF.由题意可得AF＝CF＝22a，∠AFC＝90°.在Rt△AFC中，可得AC＝a，∴△ACD为正三角形．∵E是CD的中点，∴AE⊥CD，∴∠AED＝90°，故选A.6．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，截面A1BD与底面ABCD所成二面角A1－BD－A的正切值为()A.32 B.22C. 2D. 3答案 C解析如图所示，连接AC交BD于点O，连接A1O，O为BD中点，∵A1D＝A1B，∴在△A1BD中，A1O⊥BD.又∵在正方形ABCD中，AC⊥BD.∴∠A1OA为二面角A1－BD－A的平面角．设AA1＝1，则AO＝22.∴tan∠A1OA＝122＝ 2.7．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，AD∶BC∶AB＝2∶3∶4，E，F分别是AB，CD的中点，将四边形ADFE沿直线EF进行翻折．给出四个结论：①DF⊥BC；②BD⊥FC；③平面DBF⊥平面BFC；④平面DCF⊥平面BFC.在翻折的过程中，可能成立的结论是()A．①③B．②③C．②④D．③④答案 B解析对于①，因为BC∥AD，AD与DF相交不垂直，所以BC与DF不垂直，故①不可能成立；对于②，如图，设点D在平面BCF上的射影为点P，当BP⊥CF时，有BD⊥FC，而AD∶BC∶AB＝2∶3∶4可使条件满足，故②可能成立；对于③，当点P落在BF上时，DP ⊂平面BDF，从而平面BDF⊥平面BCF，故③可能成立；对于④，因为点D的射影不可能在FC上，故④不可能成立，故选B.8．在正四面体P－ABC中，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，下面四个结论中不成立的是()A．BC∥平面PDFB．DF⊥平面P AEC．平面PDF⊥平面ABCD．平面P AE⊥平面ABC答案 C解析如图所示，∵BC∥DF，BC⊄平面PDF，DF⊂平面PDF，∴BC∥平面PDF，∴A正确．由BC⊥PE，BC⊥AE，PE∩AE＝E，得BC⊥平面P AE，∴DF⊥平面P AE，∴B正确．∴平面ABC⊥平面P AE(BC⊥平面P AE)，∴D正确．二、填空题9．α，β是两个不同的平面，m，n是平面α及β之外的两条不同直线，给出四个论断：①m⊥n；②α⊥β；③n⊥β；④m⊥α.以其中三个论断作为条件，余下一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题______．答案①③④⇒②解析m⊥n，将m和n平移到一起，则确定一平面，∵n⊥β，m⊥α，∴该平面与平面α和平面β的交线也互相垂直，从而平面α和平面β的二面角的平面角为90°，∴α⊥β.故答案为①③④⇒②.10．如果规定：x＝y，y＝z，则x＝z，叫作x，y，z关于相等关系具有传递性，那么空间三个平面α，β，γ关于相交、垂直、平行这三种关系中具有传递性的是________．答案平行解析由平面与平面的位置关系及两个平面平行、垂直的定义、判定定理，知平面平行具有传递性，相交、垂直都不具有传递性．11．如图所示，在四棱锥P－ABCD中，P A⊥底面ABCD，且底面各边都相等，M是PC上的一动点，当点M满足________时，平面MBD⊥平面PCD.(只要填写一个你认为是正确的条件即可)答案DM⊥PC(或BM⊥PC等)解析由题意得BD⊥AC，∵P A⊥平面ABCD，∴P A⊥BD.又P A∩AC＝A，∴BD⊥平面P AC，∴BD⊥PC.∴当DM⊥PC(或BM⊥PC)时，即有PC⊥平面MBD，而PC⊂平面PCD，∴平面MBD⊥平面PCD.三、解答题12．在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB⊥BC，D为棱CC1上任一点．(1)求证：直线A1B1∥平面ABD；(2)求证：平面ABD⊥平面BCC1B1.证明(1)由直三棱柱ABC－A1B1C1，得A1B1∥AB.因为A1B1⊄平面ABD，AB⊂平面ABD，所以直线A1B1∥平面ABD.(2)因为三棱柱ABC－A1B1C1为直三棱柱，所以AB⊥BB1.又因为AB⊥BC，BB1⊂平面BCC1B1，BC⊂平面BCC1B1，且BB1∩BC＝B，所以AB⊥平面BCC1B1.又因为AB⊂平面ABD，所以平面ABD⊥平面BCC1B1.13．如图，四棱锥P－ABCD的底面ABCD为正方形，P A⊥底面ABCD，AC，BD交于点E，F是PB的中点．求证：(1)EF∥平面PCD；(2)平面PBD⊥平面P AC.证明(1)∵四边形ABCD是正方形，∴E是BD的中点．又F是PB的中点，∴EF∥PD.又∵EF⊄平面PCD，PD⊂平面PCD，∴EF∥平面PCD.(2)∵四边形ABCD是正方形，∴BD⊥AC.∵P A⊥平面ABC，BD⊂平面ABC，∴P A⊥BD.又P A∩AC＝A，P A，AC⊂平面P AC，∴BD⊥平面P AC.又BD⊂平面PBD，∴平面PBD⊥平面P AC.四、探究与拓展14．如图所示，在正三棱柱ABC－A1B1C1中，E为BB1的中点，求证：截面A1CE⊥侧面ACC1A1.证明如图所示，取A1C的中点F，AC的中点G，连接FG，EF，BG，则FG∥AA1，且GF＝12AA1.因为BE＝EB1，A1B1＝CB，∠A1B1E＝∠CBE＝90°，所以△A1B1E≌△CBE，所以A1E＝CE.因为F为A1C的中点，所以EF⊥A1C.又FG∥AA1∥BE，GF＝12AA1＝BE，且BE⊥BG，所以四边形BEFG是矩形，所以EF⊥FG.因为A1C∩FG＝F，所以EF⊥侧面ACC1A1.又因为EF⊂平面A1CE，所以截面A1CE⊥侧面ACC1A1.15．如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AD＝AA1＝1，AB＝2，点E在棱AB上移动．(1)证明：D1E⊥A1D；(2)求AE为何值时，二面角D1－EC－D的大小为45°？(1)证明连接D1A，D1B.∵在长方形A1ADD1中，AD＝AA1＝1，∴四边形A1ADD1为正方形，∴A1D⊥AD1.又由题意知AB⊥A1D，且AB∩AD1＝A，∴A1D⊥平面ABD1.∵D1E⊂平面ABD1，∴A1D⊥D1E.(2)解过D作DF⊥EC于点F，连接D1F. ∵D1D⊥平面DB，EC⊂平面DB，∴D1D⊥EC.又DF∩D1D＝D，∴EC⊥平面D1DF.∵D1F⊂平面D1DF，∴EC⊥D1F，∴∠DFD1为二面角D1－EC－D的平面角，∴∠DFD1＝45°，又∠D1DF＝90°，D1D＝1，∴DF＝1.在Rt△DFC中，∵DC＝2，∴∠DCF＝30°，∴∠ECB＝60°.在Rt△EBC中，∵BC＝1，∴EB＝3，AE＝2－ 3.。
2.3.2 平面与平面垂直的判定
1.如图,观察教室内门与墙面,当门绕着门轴旋转时,门所在的平 面与墙面所形成的角的大小和形状.
(1)数学上,用哪个概念来描述门所在的平面与墙面所形成的角? 提示:二面角. (2)平时,我们常说“把门开大一点”,在这里指的是哪个角大一点? 提示:二面角的平面角.
一二三
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课前篇 自主预习
2.二面角
概 念
图示 平 面 角 符号
范围
规定
OA⊂α,OB⊂β,α∩β=l,O∈l,OA⊥l,OB⊥l⇒∠AOB 是二 面角的平面角
0°≤∠AOB≤180° 二面角的大小可以用它的平面角来度量,二面角的平 面角是多少度,就说这个二面角是多少度.平面角是 直角的二面角叫做直二面角
一二三
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课前篇 自主预习
棱为 l,面分别为 α,β 的二面角记为 α-l-β.如图所示,也可在 α,β 内(棱以外的半平面部分)分别取点 P,Q,将这个二面角记作二 记 面角 P-l-Q 法
在其中一个平面内寻找一条直线与另一个平面垂直.这是证明面面
垂直的常用方法,其基本步骤是:
探究一
探究二
探究三
思想方法
课堂篇 探究学习
变式训练 如图所示,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,底面 ABCD是直角梯形,AB⊥AD,CD⊥AD.求证:平面PDC⊥平面PAD.
证明∵PA⊥平面ABCD,CD⊂平面ABCD, ∴PA⊥CD. 又∵CD⊥AD,PA∩AD=A, ∴CD⊥平面PAD. 又∵CD⊂平面PDC, ∴平面PDC⊥平面PAD.
思路分析:△ABE是等腰直角三角形,翻折前后未变,要充分利用 这一特点,取BE的中点F,使A1F⊥平面BCDE即可.
探究一
探究二
探究三
高一数学必修二2.3.1直线与平面垂直的判定2.3.2平面与平面垂直的判定导学案(解析版)
2.3.1直线与平面垂直的判定 2.3.2平面与平面垂直的判定一、课标解读（1）使学生掌握直线和平面垂直的定义及判定定理； （2）使学生掌握直线和平面所成角的概念（3）使学生正确理解和掌握“二面角”、“二面角的平面角”及“直二面角”、“两个平面互相垂直”的概念；（4）使学生掌握两个平面垂直的判定定理及其简单的应用；（5）培养学生的几何直观能力，使他们在直观感知，操作确认的基础上学会归纳、概括结论。
二、自学导引问题1：（1）请同学们观察图片，说出旗杆与地面、树干与地面的位置有什么关系？（2）请把自己的数学书打开直立在桌面上，观察书脊与桌面的位置有什么关系？ （3）思考：一条直线与平面垂直时，这条直线与平面内的直线有什么样的位置关系？有什么生活实例能验证这一关系呢？直线与平面垂直的定义：用符号语言表示为：问题2：如图，请同学们拿出准备好的一块（任意）三角形的纸片，我们一起来做一个实验：过△ABC 的顶点A 翻折纸片，得到折痕AD ，将翻折后的纸片竖起放置在桌面上，（BD 、DC 与桌面接触）.观察并思考：①折痕AD 与桌面垂直吗？DCBA②如何翻折才能使折痕AD 与桌面所在的平面垂直？ 直线与平面垂直的判定定理：用符号语言表示为：问题3：直线与平面所成角的概念？问题4：怎样作出二面角的平面角？问题5：平面与平面垂直的定义？问题6：两个平面互相垂直的判定方法有哪些？ 三、典例精析例1 已知两两垂直所在平面外一点，是PC PB PA ABC P ,,∆,H 是ABC ∆ 的垂心.求证：⊥PH 平面ABC变式训练1 如图所示，ABC PA O C O AB 平面上的一点，为圆的直径，为圆⊥, F CP AF E BP AE 于于⊥⊥,.求证：AEF BP 平面⊥例2 如图所示,已知 60,90=∠=∠=∠CSA BSA BSC ,又SC SB SA ==. 求证:平面SBC ABC 平面⊥变式训练２ 如图所示,在四面体ABCD 中,AC CD CB AD AB a BD =====,2 =a ,求证:平面BCD ABD 平面⊥._ C例3 如图所示,已知的斜线，是平面内，在平面ααOA BOC ∠且AOCAOB ∠=∠=60,a OC OB OA ===,a BC 2=,求所成的角与平面αOA .变式训练3 如图所示，在矩形ABCD 中，3,33==BC AD ,沿着对角线BD 将BCD ∆折起，使点C 移到'C 点，且'C 点在平面ABD 上的射影O 恰在AB 上.（1）求证：D AC BC ''平面⊥（2）求直线AB 与平面D BC '所成角的正弦值四、自主反馈1. 如图BC 是Rt ⊿ABC 的斜边，过A 作⊿ABC 所在平面α 垂线AP ，连PB 、PC ，过A 作AD ⊥BC 于D ，连PD ，那么图中直角三角形的个数是 （ ）A ．4个B ．6个C ．7个D ．8个2.下列说法正确的是 ( ) A ．直线a 平行于平面M ，则a 平行于M 内的任意一条直线 B ．直线a 与平面M 相交，则a 不平行于M 内的任意一条直线C ．直线a 不垂直于平面M ，则a 不垂直于M 内的任意一条直线D ．直线a 不垂直于平面M ，则过a 的平面不垂直于M3.直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，∠ACB =90°，AC =AA 1=a ，则点A 到平面A 1BC 的距离是 ( )A.aB. 2aC.22a D. 3a 4.已知PA 、PB 、PC 是从点P 发出的三条射线，每两条射线的夹角都是60︒，则直线PC 与平面PAB 所成的角的余弦值为 。
高一数学必修二 2.3.2 平面与平面垂直的判定
二图 面示 角
的 平
ห้องสมุดไป่ตู้
符 号
OA⊂α,OB⊂β,α∩β=l,O∈l,OA⊥l,OB⊥l⇒∠AOB 是二面角 的平面角
面 角
范 围
0°≤∠AOB≤180°
规 定
二面角的大小可以用它的平面角来度量,二面角的平面角 是多少度,就说这个二面角是多少度.平面角是直角的二面 角叫做直二面角
知识梳理
12
名师点拨 1.二面角的平面角的大小是由二面角的两个面的位置唯 一确定的,与选择棱上的点的位置无关.
重难点突破
12
2.处理翻折问题的关键 剖析:处理翻折问题的关键是对翻折前的平面图形与翻折后的立 体图形进行对比,有哪些位置关系和相关量发生了变化;如果发生 变化,那么发生了怎样的变化,还有哪些没有发生变化,切不可混淆 不清. 例如:在正三角形ABC中,E,F,P分别是AB,AC,BC边上的点,满足
证明:因为BB1⊥AB,BB1⊥BC,AB∩BC=B, 所以BB1⊥平面ABCD.又BB1⊂平面BDD1B1, 所以平面ABCD⊥平面BDD1B1.
重难点突破
12
1.理解二面角及其平面角 剖析:(1)二面角是一个空间图形,而二面角的平面角是平面图形, 二面角的大小通过其平面角的大小来刻画,体现了由空间图形向平 面图形转化的思想. (2)二面角的平面角的定义是两条射线的夹角,不是两条直线的夹 角,因此,二面角θ的取值范围是0°≤θ≤180°. (3)两个平面相交,可以构成四个二面角,其中相对的两个二面角 相等,相邻的两个二面角互补.
高一数学必修二教学课件
2.3.2 平面与平面垂直的判定
学习目标
1.了解二面角及其平面角的概念. 2.掌握两个平面互相垂直的定义和画法. 3.理解并掌握两个平面垂直的判定定理,并能解决有关面面垂直 的问题.
2.3.2平面与平面垂直的判定
一、二面角的定义：
四、二面角的平面角的作法： 五、二面角的计算：
一“作”二“证”三“计算”
练习 如图，已知A、B是120的二 面角—l—棱l上的两点，线段AC， BD分别在面，内，且AC⊥l， BD⊥l ，AC=2，BD=1，AB=3，求 线段CD的长。
C
l
D
B
A
练习 如图，已知A、B是120的二面 角—l—棱l上的两点，线段AC，BD分 别在面，内，且AC⊥l，BD⊥l ， AC=2，BD=1，AB=3，求线段CD的长。 分析： ∠OAC ＝120 AO=BD=1, AC=2
3.在立体几何中,"直线和平面所成的角"是怎 样定义的？
平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的 锐角, 叫做这条直线和这个平面所成的角。
思考：异面直线所成的角、直线和平面所成的 角与有什么共同的特征？ 它们的共同特征都是将三维空间的角转化 为二维空间的角,即平面角。
一条直线上的一个点把这条直线分成两个 部分，其中的每一部分都叫做射线。 一个平面内的一条直线把这个平面分成两 个部分，其中的每一部分都叫做半平面。
知识回顾
1.在平面几何中"角"是怎样定义的？
从一点出发的两条射线所组成的图形叫做角。 或: 一条射线绕其端点旋转而成的图形叫做角。
Байду номын сангаас
2.在立体几何中,"异面直线所成的角"是怎样 定义的？ 直线a、b是异面直线,经过空间任意一点O, 分别引直线a' //a, b'// b,我们把相交直线a' 和 b' 所成的锐角 （或直角）叫做异面直线所成的 角。
线线垂直
线面垂直
面面垂直
2.3.2平面与平面垂直的判定-概念
班级____________ 姓名_____________ ______月______日星期____2.3.2平面与平面垂直的判定【学习目标】1.（重点）正确理解和掌握二面角和“两个平面互相垂直”的概念.2.（难点）“二面角的平面角”的理解和求解.【知识梳理】（1）二面角.①定义：从一条直线出发的两个所组成的图形叫做二面角，这条直线叫，这两个半平面叫 .②画法：看图自己画一画直立式：平卧式：③记法：如图，棱为AB，面为α、β的二面角，记作二面角.或二面角.如果棱为l，则这个二面角还可记作或（2）二面角的平面角.①二面角的平面角定义：在二面角α-l-β的棱上任取点O，以O为垂足，在半平面α和β内分别作垂直于棱的射线OA和OB，则射线OA和OB组成∠AOB.叫做.②直二面角定义：二面角的大小可以用它的平面角来度量，二面角的平面角是多少度，就说二面角是多少度. 平面角是的二面角叫做直二面角.③二面角的大小：二面角的大小是用平面角来度量的，其范围是（3）两个平面互相垂直①定义：如果两个相交平面所成的二面角为直二面角，那么这两个平面②判定定理: 一个平面过另一个平面的，则这两个平面垂直。
图形语言: 符号语言:③思考：判定两个平面互相垂直的关键找什么？思想：线线垂直线面垂直面面垂直【例题探究】例1、已知直线PA垂直于圆O所在的平面，AB为圆O的直径，C是圆周上异于A、B的一点。
求证：平面PAC 平面PBC练1、如图，在正方体ABCD —A 'B 'C 'D '中，求证：平面BB 'D 'D ⊥平面A 'BC '．练2、如图，四棱锥P ABCD -的底面是边长为a 的正方形，PA ⊥底面ABCD ，E 为AB 的中点，且 PA AB =，求证：平面PCE ⊥平面PCD【课堂小结】【课后作业】1.下面说法正确的个数是 （ ）①如果一条直线垂直于一个平面内的无数条直线，那么这条直线和这个平面垂直②过空间一定点有且只有一个平面和已知平面垂直③垂直于同一个平面的两个平面面互相平行④经过一个平面的垂线的平面与这个平面垂直。
课件2：2.3.2 平面与平面垂直的判定
V C
注：用判定定理证面面垂直
A
B O
小结
1、二面角的定义： 2、二面角的表示方法： 3、二面角的平面角： 4.面面垂直的判定定理:
从一条直线出发的两个半 平面所组成的图形叫做二
思
面角。这条直线叫做二面
想
角的棱。这两个半平面叫 做二面角的面。
： 转
二 面 角 －AB－
化
二 面 角 C－AB－ D 二 面 角 － l－
；
平
面 1、二面角的平面角必须满足
三个条件
化
2、二面角的平面角的大小与
其顶点在棱上的位置无关
3、二面角的大小用它的平面
角的大小来度量
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βC B
E
∪
∪
证明：设α∩β=CD,则B∈CD. ∵AB⊥β，CD β，∴AB⊥CD. 在平面β内过B点作直线BE⊥CD，则 D ∠ABE就是二面角α--CD--β的平面角， ∵AB⊥β，BE β，
∴AB⊥BE.
∴二面角α--CD--β是直二面角，
∴α⊥β.
面面垂直的判定定理
如果一个平面经过另一个平面的一条垂线， 那么这两个平面互相垂直
定义：一般地，如果两个平面相交，且其所成二面角 为直二面角，则两个平面垂直。
记作：
画法：
l
猜想：
如果一个平面经过了另一个平面的 一条垂线，那么这两个平面互相垂 直.
如果一个平面经过了另一个平面的一条垂线，那 么这两个平面互相垂直。
已知：AB⊥β，AB∩β=B，AB α
∪
求证： ，B O⊥ l
二面角的平面角的三个特征:
A
l O
B
1.点在棱上
2.3.2_平面与平面垂直的判定定理
A D
E
C
练 如图，A是BCD所在平面外一点，AB AD，ABC ADC 90，E是BD的中点.求证：平面AEC 平面ABD
空间角度问题
名称 定义
直线a、b是异面直线，经过空间 任意一点o，作直线a'、b'，并使 a'//a，b'//b，我们把直线a'和b'所 成的锐角（或直角）叫做异面直 线a和b所成的角. 平面的一条斜线和它在这个平面内的 射影所成的锐角，叫做这条直线和这 个平面所成的角，特别地，若Lᅩα则 L与α所成的角是直角，若L//α或 L α，则L与α所成的角是的角。
课堂练习： 判断： 1.如果平面α内有一条直线垂直于平面β 内的一条直线，则α⊥β.（ ） × 2.如果平面α内有一条直线垂直于平面β 内的两条直线，则α⊥β.（ ） ×
3. 如果平面α内的一条直线垂直于平面β内 √ 的两条相交直线, 则α⊥β.（ ） 4.若m⊥α，m β，则α⊥β.( ) √ ∪
A
O
②垂线法
l
O
B
B
③作棱的垂面法
AB , A , B 过A作AO l 连接OB, 则OB l
o
A
l
B
一个平面垂直于二面角 -l- 的棱 l，
l
且与两半平面的交线分别是射线 OA、 OB，O 为垂足，则∠AOB 为二面角 -l- 的平面角．
补充
练 如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB = 2，BC = BB1 =1 ， E为D1C1的中点，求二面角E－BD－C的大小． 思路分析：①找基面 平面BCD ②作基面的垂线 过E作EF⊥CD于F
图形
2.3.2 平面与平面垂直的判定
TIP4：早晨起床后，由于不受前摄抑制的影响，我们可以记忆一些新的内容或 者 复习一下昨晚的内容，那么会让你记忆犹新。
如我们记忆一个手机号码18820568803，如果一个一组的记忆，我 们就要记11组，而如果我们拆解一下，按照188-2056-8803，我们就只需要 记忆3
组就可以了，记忆效率也会大大提高。
如何利用规律实现更好记忆呢？
超级记忆法-记忆
规律 记忆后
选择巩固记忆的时间 艾宾浩斯遗忘曲线
超级记忆法-记忆 规律 TIP1：我们可以选择巩固记忆的时间！
后摄抑制：可以理解为因为接受了新的内容，而把前 面看过的忘记了
超级记忆法-记忆 规律
TIP1：我们可以选择记忆的黄金时段——睡前和醒后！ TIP2：可以在每天睡觉之前复习今天或之前学过的知识，由于不受后摄抑制的 影
响，更容易储存记忆信息，由短时记忆转变为长时记忆。
如何利用规律实现更好记忆呢？
超级记忆法-记忆 规律
说明该平面角是直角.
（一般通过计算完成证明）
（2）判定定理： 要证两个平面垂直，只要在其中一个平面内找到
另一个平面的一条垂线. （线面垂直面面垂直）
线线垂直 线面垂直 面面垂直
不如意的时候不要尽往悲伤里钻，想 想有笑声的日子吧！
【学习力-学习方法】
优秀同龄人的陪伴 让你的青春少走弯路
小案例—哪个是你
TIP2：越夸张越搞笑，越有助于刺激我们的大脑，帮助我们记忆，所以不妨在 编 故事时，让自己脑洞大开，尝试夸张怪诞些~
2.3.2平面与平面垂直的判定
线线垂直
线面垂直
观察: 教室里的墙面所在平面与地面所在平面相交,它们 所成的二面角及其度数.
1. 平面与平面垂直的定义
两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角， 就说这两个平面互相垂直. 平面与垂直，记作⊥.
画法：直立平面的竖边画成与水平平面的横边垂直。
（面面垂直的定义是判定面面垂直的一种方法）
平面与平面垂直的判定
复习回顾
1.线面垂直定义： l l垂直于平面内的所有直线. 2.线面垂直判定定理：
一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直， 则该直线与此平面垂直．
n m n p l lm ln
判定定理
m
l
m
P
n
(1)除了定义之外,如何判定两个平面互相垂直? (2)如何检测所砌的墙面和地面是否垂直？
如果铅锤线和墙面紧贴，那么墙面与地面垂直。
大家知道其中的理论根据吗？
2. 平面与平面垂直的判定定理
一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直.
α
m m
β
m
简记：线面垂直面面垂直 关键:在其中一个面内找出另一个平面的垂线.
√)
∪
3. 平面与平面垂直的判定定理的应用 P69例3、如图,AB是 ⊙O的直径,PA垂直于⊙O所 在的平面,C是 圆周上不同于A,B的任意一点,求证: 平面PAC⊥平面PBC.
线线垂直 线面垂直 面面垂直
证明:
设已知⊙O所在平面为
PA , BC
PA BC
又 AB为圆的直径 AC BC PA BC AC BC BC 面PAபைடு நூலகம் PA AC A PA 面PAC BC 面PBC AC 面PAC
2.3.2平面与平面垂直的判定(张用)
请问哪些平面是互相垂直的,为什么?
AB 面BCD 面ABC 面BCD AB 面BCD 面ABD 面BCD CD 面ABC 面ABC 面ACD
B D A
C
探究： 如图所示：在Rt△ABC中，∠ABC=900 ,P 为△ABC所在平面外一点，PA⊥平面ABC，你能 发现哪些平面互相垂直，为什么？
∠D1CD D1 A1 B1 C1
45°
D
C B
A
1、在300二面角的一个面内有一点A，它到另 一个面的距离是10cm，求它到棱的距离。
解：如图所示，过点A作AH⊥β，垂足为H， 由题意AH=10cm. 过点H作HO⊥EF，垂足为O，连OA， 则OA⊥EF，OA就是点A到棱EF的距离。 所以∠AOH就是二面角 α-EF-β 的 一 个 平 面 角 ， ∠AOH=300，OA=20cm.
C
寻找二面角的平面角
在正方体ABCD-A’B’C’D’中，找出下列二面角 的平面角：
（1）二面角D’-AB-D和A’-AB-D； （2）二面角C’-BD-C和C’-BD-A. D’ C’ A’ B’ D A B
C
在正方体ABCD-A’B’C’D’中，找出下列二面角 的平面角：
（1）二面角D’-AB-D和A’-AB-D； （2）二面角C’-BD-C和C’-BD-A. D’ C’ A’ B’ D A O B
l
O
A
下列说法中正确的是
(
)
①两个相交平面组成的图形叫做二面角②异面直线a，
b分别和一个二面角的两个面垂直，则a，b形成的角
与这个二面角的平面角相等或互补。③二面角的平 面角是从棱上一点出发，分别在两个面内作射线所 成角的最小角④二面角的大小与其平面角的顶点在 棱上的位置没有关系。
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M 为 EA 的中点，可取 CA 的中点 N，先证明 N 点在平面 BDM 内，再证明平面 BDM 过平面 ECA 的一条垂线即可； (3)仍需证平面 DEA 经过平面 ECA 的一条垂 线．
2 则 OB1＝ 2 a， BB1 a 在 Rt△BB1O 中，tan ∠BOB1＝OB ＝ ＝ 2， 2 1 2a 所以二面角 BA1C1B1 的正切值为 2.
1． 求二面角的大小关键是要找出或作出平面角． 再把平面角 放在三角形中，利用解三角形得到平面角的大小或三角函数值， 其步骤为作角→证明→计算． 2． 为在适当位置作出平面角要注意观察二面角两个面的图形 特点，如是否为等腰三角形等．
1 1 (3)∵BD 綊2EC，MN 綊2EC. ∴MNBD 为平行四边形．∴DM∥BN. 由(2)知 BN⊥平面 ECA，∴DM⊥平面 ECA. 又 DM⊂平面 DEA， ∴平面 DEA⊥平面 ECA.
1．证明平面与平面垂直的方法 (1)利用定义：证明二面角的平面角为直角； (2)利用面面垂直的判定定理： 如果一个平面经过另一个平面 的一条垂线，则这两个平面互相垂直． 2．根据面面垂直的定义判定两平面垂直，实质上是把问题 转化成了求二面角的平面角， 通常情况下利用判定定理要比定义 简单些，这也是证明面面垂直的常用方法，即要证面面垂直，只 要转证线面垂直， 其关键与难点是在其中一个平面内寻找一直线 与另一平面垂直．
又 AC⊥BC，AP∩AC＝A， ∴BC⊥平面 PAC. ∵BC⊂平面 ABC， ∴平面 PAC⊥平面 ABC. (2)∵PA⊥PC，且 PA⊥PB， ∴∠BPC 是二面角 DAPC 的平面角． 由(1)知 BC⊥平面 PAC，则 BC⊥PC， BC 2 ∴sin∠BPC＝ PB＝5.
(3)∵D 为 AB 的中点，M 为 PB 的中点， 1 ∴DM 綊2PA，且 DM＝5 3， 由(1)知 PA⊥平面 PBC， ∴DM⊥平面 PBC， 1 ∵S△BCM＝2S△PBC＝2 21， 1 ∴VMBCD＝VDBCM＝ ×5 3×2 21＝10 7. 3
[ 再练一题] 2．如图 2319 所示，在四棱锥 PABCD 中，PA⊥平面 ABCD，底面 ABCD 是直角梯形，AB⊥AD，CD⊥AD.求证：平 面 PDC⊥平面 PAD. 【证明】 ∵PA⊥平面 ABCD，CD⊂平面 ABCD，
图 2319
∴PA⊥CD. 又∵CD⊥AD，PA∩AD＝A， ∴CD⊥平面 PAD. 又∵CD⊂平面 PDC. ∴平面 PDC⊥平面 PAD.
【自主解答】
(1)取 EC 的中点 F，连接 DF.
∵EC⊥BC，易知 DF∥BC， ∴DF⊥EC. 在 Rt△EFD 和 Rt△DBA 中， 1 ∵EF＝2EC＝BD，FD＝BC＝AB， ∴Rt△EFD≌Rt△DBA. ∴ED＝DA.
1 (2)取 CA 的中点 N，连接 MN，BN，则 MN 綊2EC， ∴MN∥BD，∴N 点在平面 BDMN 内． ∵EC⊥平面 ABC，∴EC⊥BN. 又 CA⊥BN，∴BN⊥平面 ECA. ∵BN 在平面 MNBD 内， ∴平面 MNBD⊥平面 ECA. 即平面 BDM⊥平面 ECA.
[ 再练一题] 3．在如图 2322 所示的四面体 ABDC 中，AB，BC，CD 两两 互相垂直，且 BC＝CD＝1. (1)求证：平面 ACD⊥平面 ABC； (2)求二面角 CABD 的大小．
又∵CD⊂平面 ACD， ∴平面 ACD⊥平面 ABC.
图 2322
【解】 (1)证明：∵CD⊥AB，CD⊥BC，AB∩BC＝B，∴CD⊥平面 ABC.
2 2 2 2
2 －22＝4，
1 ∴VH＝2.而 OH＝2AB＝1，∴∠VHO＝60° . 故二面角 VABC 的大小是 60° .
平面与平面垂直的判定
318，△ABC 为正三角形，EC⊥平面 ABC， 如图 2BD∥CE，且 CE＝CA＝2BD，M 是 EA 的中点，求证： (1)DE＝DA； (2)平面 BDM⊥平面 ECA；
[ 再练一题] 1．在四棱锥 VABCD 中，底面 ABCD 是边长为 2 的正方形，其他四个侧面 都是侧棱长为 5的等腰三角形，求二面角 VABC 的大小.
【解】 如图，作 VO⊥平面 ABCD，垂足为 O，则 VO⊥AB，取 AB 中点 H， 连接 VH，OH，则 VH⊥AB. ∵VH∩VO＝V，∴AB⊥平面 VHO，∴AB⊥OH， ∴∠VHO 为二面角 VABC 的平面角． 易求 VH ＝VA －AH ＝( 5)
)
B．有 2 个 D．不存在
【解析】 由面面垂直的判定定理知，凡过 l 的平面都垂直于平面 α，这样 的平面有无数个． 【答案】 C
2．空间四边形 ABCD 中，若 AD⊥BC，AD⊥BD，那么有( A．平面 ABC⊥平面 ACD B．平面 ABC⊥平面 ABD C．平面 ABC⊥平面 BCD D．平面 ADC⊥平面 BCD 【解析】 ∵AD⊥BC，AD⊥BD，BC∩BD＝B，
角的面．
图 2313 PABQ ；当棱记 ABβ ，在 α，β 内，分别取点 P，Q 时，可记作________ 记法：α ______
αlβ 或______ PlQ . 为 l 时，可记作_____
2．二面角的平面角 (1)定义：在二面角 αlβ 的棱 l 上任取一点 O，如图 所
【解析】 ∵PA⊥平面 ABC，
图 2315
∴PA⊥AB，PA⊥AC，故∠BAC 为二面角 BPAC 的平面 角，又∠BAC＝90° .∴二面角 BPAC 的大小为 90° .
【答案】 90°
教材整理 2
平面与平面垂直的判定
阅读教材 P68“观察”以下至 P69“例 3”以上的内容，完成下列问题． 1．平面与平面垂直
阶 段 一
阶 段 三
2.3
阶 段 二
直线、平面垂直的判定及其性质 2.3.2 平面与平面垂直的判定
学 业 分 层 测 评
1．理解二面角的有关概念，会作二面角的平面角，能求简单二面角 平面角的大小．(难点、易错点) 2．了解面面垂直的定义，掌握面面垂直的判定定理，初步学会用定 理证明垂直关系．(重点) 3．熟悉线线垂直、线面垂直的转化．(重点)
)
∴AD⊥平面 BCD. 又∵AD⊂平面 ADC， ∴平面 ADC⊥平面 BCD. 【答案】 D
3．如图 2323，在正方体 ABCDA1B1C1D1 中，
图 2323 (1)二面角 D1ABD 的大小是________； (2)二面角 A1ABD 的大小是________．
【解析】 (1)在正方体 ABCDA1B1C1D1 中，AB⊥平面 AD1，则 AB⊥AD1. 又 AB⊥AD， 所以∠D1AD 即为二面角 D1ABD 的平面角， 在 Rt△D1AD 中， ∠D1AD＝45° . 所以二面角 D1ABD 的平面角为 45° . (2)与(1)同理， ∠A1AD 为二面角 A1ABD 的平面角， 所以二面角 A1ABD的 大小为 90° . 【答案】 (1)45° (2)90°
直⇒面面垂直，这体现了立体几何问题求解的转化思想，应用时要灵活把握．
321 所示，已知三棱锥 PABC，∠ACB 如图 2＝90° ，CB＝4，AB＝20，D 为 AB 的中点，且△PDB 是正 三角形，PA⊥PC. (1)求证：平面 PAC⊥平面 ABC； (2)求二面角 DAPC 的正弦值； (3)若 M 为 PB 的中点，求三棱锥 MBCD 的体积．
半平面α和β内 分别作垂直于棱 l 的射线 示，以点 O 为垂足，在_______________
二面角的平面角 OA 和 OB，则射线 OA 和 OB 构成的∠AOB 叫做_______________.
(2)直二面角：平面角是直角 ____的二面角．
图 2314
如图 2315，三棱锥 PABC 中，PA⊥平面 ABC，∠BAC ＝90° ，则二面角 BPAC 的大小等于________．
直二面角 ，就说这两 (1)定义：如果两个平面相交，且它们所成的二面角是_________
个平面互相垂直． (2)画法：
图 2316
α⊥β 记作：. _____
2．判定定理 文字语言 一个平面过另一个平 图形语言 符号语言 l⊥β ⇒α⊥β l⊂α ______
垂线 ，则这两个 面的_____
图 2321
【精彩点拨】 (1)由△ABC 是直角三角形以及△PDB 为正三角形，寻找线 线垂直，得线面垂直，进而求面面垂直． (2)先找出二面角的平面角，再求其值． (3)关键是由垂直找到三棱锥的高，再求其体积．
【自主解答】 (1)证明：∵D 是 AB 的中点，△PDB 是正三角形，AB＝20， 1 ∴PD＝2AB＝10，∴AP⊥PB. 又 AP⊥PC，PB∩PC＝P， ∴AP⊥平面 PBC. 又 BC⊂平面 PBC，∴AP⊥BC.
图 2320
探究 2 上述问题中条件不变，请证明：平面 PAC⊥平面 PBD.
【提示】 由探究 1 知 PD⊥平面 ABCD， ∴PD⊥AC，而四边形 ABCD 是正方形， ∴AC⊥BD，又 BD∩PD＝D， ∴AC⊥平面 PBD. ∵AC⊂平面 PAC， ∴平面 PAC⊥平面 PBD.
探究 3 通过以上探究，试总结证明线、面之间的垂直关系转化特征． 【提示】 线、面之间的垂直关系存在如下转化特征：线线垂直⇒线面垂
[ 探究共研型]
线面、面面垂直的综合应用
探究 1 如图 2320，在四棱锥 PABCD 中，底面是边长 为 a 的正方形，侧棱 PD＝a，PA＝PC＝ 2a，你能证明 PD⊥ 平面 ABCD 吗？ 【提示】 ∵PD＝a，DC＝a，PC＝ 2a，∴PC2＝PD2
＋DC2，∴PD⊥DC. 同理可证 PD⊥AD， ∵AD⊂平面 ABCD，DC⊂平面 ABCD，且 AD∩DC＝D， ∴PD⊥平面 ABCD.