组合数学(第5章5.2)

n n n < <K< 0 1 n / 2 n n n >K> n / 2 n − 1 > n
若n是奇数:
n n n n < <K< = 0 1 (n − 1) / 2 (n + 1) / 2 n n n (n + 1) / 2 > K > n − 1 > n
第5章 二项式系数(2)
北京航空航天大学
学习内容
5.4 二项式系数的单峰性 5.5 牛顿二项式定理 5.6 偏序集
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二项式系数Pascal公式
n n − 1 n − 1 = k k + k − 1
Pascal三角形的对称性
{ {2,4}
{2}⊂{2,3}⊂{2,3,4}
归纳假设：设集合{1,2,…,n−1}的所有组合 归纳假设 有对称链划分。 任取一条对称链： A1⊂A2⊂…⊂Ak，其中|A1|+|Ak|=n−1, k≥1 ⊂ 构造{1,2,…,n}的对称链 。对k≥1分两种情 况： （1）若k>1, 可生成{1,2,…,n}的两条对称 链： A1⊂A2⊂…⊂Ak⊂Ak∪{n}; 和 A1∪{n}⊂A2∪{n}⊂…⊂Ak-1∪{n} 满足：|A1|+|Ak∪{n}|=n 和 |A1∪{n}|+|Ak-1∪{n}|=n
若k>n-k+1, k >(n+1)/2，(n-k+1)/k<1，则
n n < k k − 1
定义2: 设x为任意实数, 令x 表示大于或等 定义 于x的最小整数, 称强取整(上取整); x 表示小 于或等于x的最大整数, 称弱取整(下取整). n n n n 推论5.4.2 二项式系数 , , ,K, 推论 0 1 2 n 的最大者是
证明
考虑连续两个二项式系数的商:
n n! k n − k +1 k!(n − k )! = = n! k n k − 1 (k − 1)!(n − k + 1)!
因此，若k<n-k+1, k<(n+1)/2，(n-k+1)/k>1，则
n n > k k − 1
Dilworth定理
定理5.7.2 令(X, ≤)是一个有限偏序集, 并令m是 最大的反链的大小, 则X可以被划分成m个但不 能再少的链.
这个定理是定理5.7.1的对偶。
证明：首先，X不能划分为少于m的链。 对n归纳证明，n=1显然成立。 设n>1，分两种情形讨论： （1）大小为m的反链A既不是X所有极大元 集，也不是所有极小元集合。令 A+={x | x∈X且存在a∈A使得a≤x} （“上 覆盖”） A−={x | x∈X且存在a∈A使得x≤a} （“下 覆盖”） 可验证：A+∩A−＝A, A+∪A−＝X; |A+|<n; |A−|<n.
因A+和A−元素个数少于n，归纳假设用于A+和A−， 那么，A+和A−可划分为m个链，设分别为 E1,E2,…,Em和F1,F2,…,Fm ，注意A+∩A−＝A，这 些链连接形成的m个链构成X的一个划分。 （2）设大小为m的链是X极大元或者极小元集。 令x是极小元，而y是极大元，X’=X－{x, y}的最 大反链大小为m−1，由归纳假设X’划分为m−1 个链。加上链x≤y构成m个链形成X的划分。
定理5.4.3: 令S为n个元素的集合, 则S的反链(杂 定理 置)最多包含 更强的结果：
n个组合的集合可划分为 令S的2
n n / 2 个集合。 n n / 2 部分，使
得任意杂置最多含有每一部分的一个组合。
证明
基本思路：将S的所有组合划分为 （对称）链。 令S={1,2,…,n}，对n归纳证明。 ={1,2,…, } n=1时，有一条对称链：∅⊂{1}; * n=2时，有2条对称链：∅⊂{1}⊂{1,2} {2} * n=3时，有3条对称链： ∅⊂{1}⊂{1,2}⊂{1,2,3} {3}⊂{1,3} {2}⊂{2,3}
源自文库
5.6 牛顿二项式定理
对二项式定理的推广。 定理5.6.1: 令 α 是一个实数, 那么对于所 定理 有满足 0≤|x|< |y| 的变量x , y有
α k α −k ( x + y) = ∑ x y k k =0
α
∞
其中
α α (α − 1) K (α − k + 1) = k k!
5.4 二项式系数的单峰性
定义1: 设序列s0,s1,s2,…,sn, 若存在一个整数t, 0≤t≤n, 使得: s0≤s1≤s2≤…≤ st, st≥st+1≥st+2≥…≥sn 那么, 称序列是单峰的。
二项式系数的单峰性
定理5.4.1 令n为正整数, 二项式系数序列是单 定理 峰序列, 精确地说, 若n是偶数:
（2）若k=1, 生成{1,2,…,n}的1条对称链： Ak⊂Ak∪{n} 注意|Ak|=(n−1)/2，因此|Ak|+|Ak∪{n}|=n. 注意到：{1,2,…,n}的任一个组合或者 是A或者是A∪{n}的形式，其中A是 {1,2,…,n−1}的一个组合。 那么，可以验证：{1,2,…,n}的每一 那么，可以验证 个组合恰好出现在上面构造的某个对称 链中，这些链构成了{1,2,…,n}所有组合 的一个划分。
关于牛顿二项式定理注记
牛顿二项式定理是二项式无穷级数展开 式。可通过“泰勒级数”展开式证明。 可以用于计算一些实指数值。如平方根。 主要用于第7章中生成函数。
5.7 偏序集
定义1: 令(X, ≤)是一个有限偏序集, 反链 定义 是X的一个子集, 其中任意两个元素都不 可比; 链是X的一个子集, 其中任意两个元 素都是可比的. 如果A是一个链而 是反链 如果 是一个链而C是反链，则|A∩C|≤1 是一个链而 是反链， ∩ ≤
定理5.7.1: 令(X, ≤)是一个有限偏序集, 并令r是 最大的链的大小, 则X可以被划分成r个但不能 再少的反链. 证明： 证明：首先，X不能划分为少于r个反链。（？） 设A1是X的极小元集，令X2＝X－A1；设X2的极 小元集是A2 ，…，继续过程，直到Xp≠∅，而 Xp+1=∅. 得到X的反链划分A1,A2,…,Ap,并得到一 个链： a1<a2<…<ap,其中ai∈Ai, 因此，p≤r。 另一方面，有p个反链，故p≥r，从而p=r。
由归纳法原理证明了{1,2,…,n}具有对称 链划分。 而每条对称链均含有一个n/2和 n/2 的组合，因此：{1,2,…,n}的对称链数为：
n n = n/ 2 n/ 2 即是杂置的最多组合数。
更强的结论见5.8习题 。 习题29。 更强的结论见 习题
n n / 2 个的
* n=4时，有6条对称链： ∅⊂{1}⊂{1,2}⊂{1,2,3} →
{ {4}⊂{1,4}⊂{1,2,4}
{3}⊂{1,3} →
∅⊂{1}⊂{1,2}⊂{1,2,3}⊂{1,2,3,4}
{ {3,4}
{3}⊂{1,3}⊂{1,3,4}
{2}⊂{2,3} →
杂置
集合的反链(杂置 集合的反链 杂置Clutter)：若C中任一个 杂置 ： 组合都不包含于其它组合中, 称C是杂置 杂置 (反链). 例如：S={a, b, c, d}，则 C＝{{a, b}, {a, c}, {b, c, d}} 是一个反链。 S 的 所 有 k- 组 合 的 集 合 是 一 个 反 链 （ 杂 置）。
n n n/2 = n/2
Sperner定理
集合的链: 集合的链 令S是n个元素的集合, C是S的组合的 集合, 若C中任两个元素都存在包含关系, 称C是 S的一个链. 对称链: 对称链 C是S的一个链, 若 (i) C中依严格偏序关系排成的序列, 每一项都 比前一项多一个元素; (ii)序列第一个组合的大小加上最后一个组合 的大小是n. 则称C是对称的链.