4-4[1]高等数学 微积分 ppt视频教程
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4-1[1]高等数学 微积分 视频教程ppt课件
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原函数一定存在；
23
6、 x xdx ______________________；
7、
dx x2 x
_______________________；
8、 ( x 2 3x 2)dx _________________；
9、 ( x 1)( x 3 1)dx _____________；
10、
(1
x)2 x
dx
=____________________
.
二、求下列不定积分：
1、
x2 dx
1 x2
2、
23x 52x dx
3x
24
3、 cos2
x 2
dx
4、
cos 2x cos2 x sin2 x dx
5、
(1
1 x2
)
x
xdx
6、
x 2 sin2 x2 1
x
sec2
xdx
证 F ( x) G( x) F( x) G( x)
f (x) f (x) 0 F ( x) G( x) C （C为任意常数）
4
不定积分的定义：
在区间I 内，函数 f ( x)的带有任意 常数项的原函数 称为 f ( x)在区间I 内的
不定积分，记为 f ( x)dx .
f ( x)dx F( x) C
解 设曲线方程为 y f ( x), 根据题意知 dy 2x, dx 即 f ( x)是2x 的一个原函数.
2xdx x2 C , f ( x) x2 C,
由曲线通过点（1，2） C 1, 所求曲线方程为 y x2 1.
7
函数 f ( x)的原函数的图形称为 f ( x) 的积分曲线.
微积分ppt课件
和趋势。
02
微积分在机器学习中的应用
利用微积分优化算法，提高机器学习的效率和准确性。
03
微积分在金融工程中的应用
研究微积分在金融衍生品定价、风险管理等领域的应用，推动金融工程
的发展。
THANKS
感谢观看
用微积分解决经济学问题
总结词
微积分在经济学中用于研究经济现象的变化规律和优 化资源配置。
详细描述
在经济学中，微积分被用于分析边际成本、边际收益、 边际效用等问题，以及研究经济增长、通货膨胀、供需 关系等经济现象的变化规律。此外，微积分还可以用于 优化生产和分配资源，提高经济效率。
06
微积分的未来发展与展望
微积分与其他学科的交叉研究
微积分与物理学的交叉
01
研究微积分在解决物理问题中的应用，如流体力学、电磁学等
领域的数学模型。
微积分与经济学的交叉
02
探讨微积分在经济学理论和应用方面的作用，如最优控制理论
、动态规划等。
微积分与计算机科学的交叉
03
研究微积分在算法设计、数据科学、人工智能等领域的应用。
微积分的未来发展方向
上的整体性质，如求面积、体积等。
微积分提供了研究函数和解决实际问题的有效工具， 是高等数学的重要基础。
微积分的发展历史
17世纪，牛顿和莱布尼茨分别独立地创立了微 积分学，为微积分的发展奠定了基础。
19世纪，柯西、黎曼等数学家对微积分的概念和基 础进行了深入的研究和探讨，进一步完善了微积分理
论。
微积分的发展经历了漫长的过程，最早可以追 溯到古代数学家对面积、体积等问题的研究。
1 2
微积分的理论深化
进一步探索微积分的数学原理，发展新的理论和 方法。
4-3[1]高等数学 微积分 ppt视频教程
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分部积分公式
例1 求积分 x cos xdx .
1 2 解(一) 令 u = cos x , xdx = dx = dv 2 2 2 x x ∫ x cos xdx = 2 cos x + ∫ 2 sin xdx 显然, u 选择不当,积分更难进行. 显然, , v ′ 选择不当,积分更难进行 解(二) 令 u = x , cos xdx = d sin x = dv
例5 求积分 sin(ln x )dx . 解
∫
∫ sin(ln x)dx = x sin(ln x ) ∫ xd [sin(ln x )]
1 = x sin(ln x ) ∫ x cos(ln x ) dx x
= x sin(ln x ) x cos(ln x ) + ∫ xd [cos(ln x )] = x[sin(ln x ) cos(ln x )] ∫ sin(ln x )dx
∫
∫ x cos xdx = ∫ xd sin x = x sin x ∫ sin xdx
= x sin x + cos x + C .
x 2e x dx x2,
e x dx = de x = dv ,
2
∫x e
2
x
dx = x e 2 ∫ xe dx
x x
(再次使用分部积分法)u = x , e x dx = dv 再次使用分部积分法)
= 1 + x arctan x ∫
2
1 1+ x dx 2 1+ x
2
= 1 + x arctan x ∫
2
1 dx 2 1+ x 令 x = tant
∫
1 1 dx = ∫ sec 2 tdt = ∫ sec tdt 1 + x2 1 + tan 2 t
例1 求积分 x cos xdx .
1 2 解(一) 令 u = cos x , xdx = dx = dv 2 2 2 x x ∫ x cos xdx = 2 cos x + ∫ 2 sin xdx 显然, u 选择不当,积分更难进行. 显然, , v ′ 选择不当,积分更难进行 解(二) 令 u = x , cos xdx = d sin x = dv
例5 求积分 sin(ln x )dx . 解
∫
∫ sin(ln x)dx = x sin(ln x ) ∫ xd [sin(ln x )]
1 = x sin(ln x ) ∫ x cos(ln x ) dx x
= x sin(ln x ) x cos(ln x ) + ∫ xd [cos(ln x )] = x[sin(ln x ) cos(ln x )] ∫ sin(ln x )dx
∫
∫ x cos xdx = ∫ xd sin x = x sin x ∫ sin xdx
= x sin x + cos x + C .
x 2e x dx x2,
e x dx = de x = dv ,
2
∫x e
2
x
dx = x e 2 ∫ xe dx
x x
(再次使用分部积分法)u = x , e x dx = dv 再次使用分部积分法)
= 1 + x arctan x ∫
2
1 1+ x dx 2 1+ x
2
= 1 + x arctan x ∫
2
1 dx 2 1+ x 令 x = tant
∫
1 1 dx = ∫ sec 2 tdt = ∫ sec tdt 1 + x2 1 + tan 2 t
大学微积分课件(PPT幻灯片版)pptx
高阶导数计算
高阶导数的计算一般采用归纳法 或莱布尼茨公式等方法进行求解。 需要注意的是，在计算过程中要 遵循求导法则和运算顺序。
应用举例
高阶导数在物理学、工程学等领 域有着广泛的应用。例如，在物 理学中，加速度是速度的一阶导 数，而速度是位移的一阶导数； 在工程学中，梁的挠度是荷载的 一阶导数等。
03 一元函数积分学
VS
几何意义
函数$y = f(x)$在点$x_0$处的导数 $f'(x_0)$在几何上表示曲线$y = f(x)$在点 $(x_0, f(x_0))$处的切线的斜率。
求导法则与技巧总结
基本求导法则
包括常数的导数、幂函数的导数、指数函数的导数、对数函数的导 数、三角函数的导数、反三角函数的导数等。
求导技巧
连续性与可微性关系
连续性
函数在某一点连续意味着函数在 该点有定义，且左右极限相等并 等于函数值。连续性是函数的基 本性质之一。
可微性
函数在某一点可微意味着函数在 该点的切线斜率存在，即函数在 该点有导数。可微性反映了函数 局部变化的快慢程度。
连续性与可微性关
系
连续不一定可微，但可微一定连 续。即函数的连续性是可微性的 必要条件，但不是充分条件。
历史发展
微积分起源于17世纪，由牛顿和莱布尼 茨独立发展。经过数百年的完善，已成 为现代数学的重要基础。
极限思想与运算规则
极限思想
极限是微积分的基本概念，表示函数在某一点或无穷远处的变 化趋势。通过极限思想，可以研究函数的局部和全局性质。
运算规则
极限的运算包括极限的四则运算、复合函数的极限、无穷小量 与无穷大量的比较等。这些规则为求解复杂函数的极限提供了 有效方法。
高等数学(微积分)ppt课件
，且f'(x0)=0，则可通过二阶导数 f''(x0)的符号来判断f(x)在x0处取得极大值还是极小值。
曲线的凹凸性与拐点
凹凸性
若函数f(x)在区间I上二阶可导，且 f''(x)>0（或<0），则称曲线y=f(x)在 I上是凹的（或凸的）。
拐点
拐点的判定
若函数f(x)在点x0处二阶可导，且 f''(x0)=0，则可通过三阶导数f'''(x0) 的符号来判断点(x0,f(x0))是否为曲线 的拐点。
THANKS
感谢观看
非线性微分方程
通过变量替换、积分等方法求解，或 利用数值方法近似求解
级数的概念与性质
级数的定义 无穷序列的部分和序列
级数的性质 加法、减法、乘法、除法、重排等性
质
级数的收敛与发散 部分和序列有极限则级数收敛，否则 发散
常见级数及其敛散性 等差级数、等比级数、调和级数、交 错级数等，通过比较法、比值法、根 值法等方法判断其敛散性
VS
极限的性质
唯一性、局部有界性、保号性、保不等式 性、迫敛性等。
极限的运算法则
极限的四则运算法则
若两个函数的极限存在，则它们的和、差、积、商（分母不为零）的极限也存在，且等于这两 个函数极限的和、差、积、商。
复合函数的极限运算法则
设函数$y=f[g(x)]$是由函数$u=g(x)$与函数$y=f(u)$复合而成，若$lim_{x
无穷小量的定义
如果函数$f(x)$当$x to x_0$(或$x to infty$)时的极限为零，那么称函数$f(x)$为当$x to x_0$(或$x to infty$)时 的无穷小量。
曲线的凹凸性与拐点
凹凸性
若函数f(x)在区间I上二阶可导，且 f''(x)>0（或<0），则称曲线y=f(x)在 I上是凹的（或凸的）。
拐点
拐点的判定
若函数f(x)在点x0处二阶可导，且 f''(x0)=0，则可通过三阶导数f'''(x0) 的符号来判断点(x0,f(x0))是否为曲线 的拐点。
THANKS
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非线性微分方程
通过变量替换、积分等方法求解，或 利用数值方法近似求解
级数的概念与性质
级数的定义 无穷序列的部分和序列
级数的性质 加法、减法、乘法、除法、重排等性
质
级数的收敛与发散 部分和序列有极限则级数收敛，否则 发散
常见级数及其敛散性 等差级数、等比级数、调和级数、交 错级数等，通过比较法、比值法、根 值法等方法判断其敛散性
VS
极限的性质
唯一性、局部有界性、保号性、保不等式 性、迫敛性等。
极限的运算法则
极限的四则运算法则
若两个函数的极限存在，则它们的和、差、积、商（分母不为零）的极限也存在，且等于这两 个函数极限的和、差、积、商。
复合函数的极限运算法则
设函数$y=f[g(x)]$是由函数$u=g(x)$与函数$y=f(u)$复合而成，若$lim_{x
无穷小量的定义
如果函数$f(x)$当$x to x_0$(或$x to infty$)时的极限为零，那么称函数$f(x)$为当$x to x_0$(或$x to infty$)时 的无穷小量。
高等数学微分方程总结ppt课件.pptx
y py qy 0,
y py qy f ( x)
代数法
求解二阶常系数线性方程
二阶常系数齐次线性微分方程求通解的一般步骤:
(1) 写出相应的特征方程 r 2 pr q 0;
(2) 求出特征方程的两个根 r1 与 r2；
(3) 根据特征方程的两个根的不同情况,按照下列规 则写出微分方程的通解
高阶常系数线性微分方程
P338
y(n) p1 y(n1) pn1 y pn y 0
代数特征方程 r n p1r n1 pn1r pn 0
1. 一阶标准类型方程求解 四个标准类型: 可分离变量方程, 齐次方程, 线性方程, 全微分方程
关键: 辨别方程类型 , 掌握求解步骤 2. 一阶非标准类型方程求解
所以F(x) 满足的一阶线性非齐次微分方程:
F (x) 2F (x) 4e2x
(2) 由一阶线性微分方程解的公式得
F (x) e 2d x 4e2x e 2d x d x C
e2x 4e4x d x C
e2x Ce2x 将 F (0) f (0)g(0) 0 代入上式，得 C 1
齐次通解
非齐特解
难点：如何求特解？
方法：待定系数法.
y py qy f ( x)
(1) f ( x) ex Pm ( x), (可以是复数）
y* xkexQm ( x);
0 不是根 k 1 是单根,
2 是重根
(2) f ( x) ex[Pl ( x)cosx Pn ( x)sinx],
令y=ut
可分离变量方程求解
(4) y2 (x 3y ) dx (1 3 xy2 ) dy 0 变方程为 y2 x dx dy 3 y2 ( ydx xdy) 0
y py qy f ( x)
代数法
求解二阶常系数线性方程
二阶常系数齐次线性微分方程求通解的一般步骤:
(1) 写出相应的特征方程 r 2 pr q 0;
(2) 求出特征方程的两个根 r1 与 r2；
(3) 根据特征方程的两个根的不同情况,按照下列规 则写出微分方程的通解
高阶常系数线性微分方程
P338
y(n) p1 y(n1) pn1 y pn y 0
代数特征方程 r n p1r n1 pn1r pn 0
1. 一阶标准类型方程求解 四个标准类型: 可分离变量方程, 齐次方程, 线性方程, 全微分方程
关键: 辨别方程类型 , 掌握求解步骤 2. 一阶非标准类型方程求解
所以F(x) 满足的一阶线性非齐次微分方程:
F (x) 2F (x) 4e2x
(2) 由一阶线性微分方程解的公式得
F (x) e 2d x 4e2x e 2d x d x C
e2x 4e4x d x C
e2x Ce2x 将 F (0) f (0)g(0) 0 代入上式，得 C 1
齐次通解
非齐特解
难点：如何求特解？
方法：待定系数法.
y py qy f ( x)
(1) f ( x) ex Pm ( x), (可以是复数）
y* xkexQm ( x);
0 不是根 k 1 是单根,
2 是重根
(2) f ( x) ex[Pl ( x)cosx Pn ( x)sinx],
令y=ut
可分离变量方程求解
(4) y2 (x 3y ) dx (1 3 xy2 ) dy 0 变方程为 y2 x dx dy 3 y2 ( ydx xdy) 0
2024版年度大学微积分课件PPT大纲
大学微积分课件PPT大纲目录CONTENCT •引言•极限与连续•导数与微分•微分中值定理与导数的应用•不定积分•定积分及其应用•多元函数微积分01引言微积分的起源与发展早期微积分思想的萌芽古代数学中的极限思想与无穷小分割。
微积分的创立牛顿与莱布尼茨的独立发展及符号体系的建立。
微积分的严格化柯西等数学家对微积分基础理论的完善与严密化。
微积分的重要性及应用领域重要性微积分是高等数学的基础，对于理解现实世界的变化规律具有重要意义。
应用领域物理学、经济学、工程学、生物学等多个学科领域的广泛应用。
课程目标与学习要求课程目标掌握微积分的基本概念、基本理论和基本方法，培养逻辑思维能力和解决实际问题的能力。
学习要求认真听讲、积极思考、独立完成作业，注重理论与实践相结合。
02极限与连续010203极限的定义极限的性质极限存在的条件极限的概念与性质描述函数或数列在某一点或无穷远处的变化趋势。
包括唯一性、有界性、保号性等，是求解极限问题的基础。
阐述函数或数列极限存在的充分必要条件。
极限的运算法则极限的四则运算法则阐述在极限运算中，和、差、积、商的极限运算法则。
极限的复合运算法则讨论复合函数的极限运算法则及注意事项。
极限的换元法与夹逼准则介绍换元法和夹逼准则在求解极限问题中的应用。
无穷小量的定义与性质阐述无穷小量的概念、性质及与极限的关系。
无穷小量与无穷大量的关系讨论无穷小量与无穷大量之间的联系与转换。
无穷大量的定义与性质介绍无穷大量的概念、性质及与极限的联系。
无穷小量与无穷大量80%80%100%连续性的概念与判定阐述函数在某一点连续的概念及充要条件。
介绍判定函数连续性的方法及步骤，包括直接法、定义法、极限法等。
讨论函数不连续点的概念、分类及判定方法。
连续性的定义连续性的判定方法间断点及其分类03导数与微分导数的定义导数的几何意义可导与连续的关系导数的概念与几何意义导数在几何上表示曲线在某一点的切线斜率。
函数在某点可导则一定连续，但连续不一定可导。
《微积分04导数》课件
《微积分04导数》PPT课 件
欢迎来到《微积分04导数》的课件！在这个课程中，我们将深入研究导数的 概念、性质和应用，帮助您更好地理解微积分的重要性和应用价值。
导数的概念
导数的定义
我们将介绍导数的定义， 并解释导数在函数中的几 何意义。
导数的意义
导数能告诉我们函数在某 一点的瞬时变化率，对于 理解函数的变化规律非常 重要。
导数的应用
极值与最值
我们将探讨如何使用导数来判 断函数的极值和最值，以及计 算它们的方法。
常用函数的导数
我们会列举常见函数的导数， 并解释它们在各个领域中的应 用。
应用实例：曲线的切线 和法线
我们将通过实例演示如何使用 导数来求解曲线的切线和法线。
实战练习
1 计算导数
我们将提供一些函数，让您进行导数的计算练习，巩固您的知识。
导数的计算
我们会讲解计算导数的方 法和技巧，帮助您掌握导 数的运算。
导数的性质
1
可导性与连续性的关系
我们将探讨导数和连续性之间的关系，
导数的四则运算规则
2
了解在哪些情况下函数可导。
我们会介绍导数的四则运算规则，帮
助您在计算导数时更加灵活和高效。
3
导数的链式法则
链式法则是导数中的重要概念，我们 会详细解释它的应用和计算方法。
2 应用导数求极值和最值
我们将给出一些问题，让您应用导数来求解函数的极值和最值，增强您的应用能力。
3 应用导数求函数的单调性
我们将介绍如何使用导数来判断函数的单调性，提高您对函数变化规律的理解。
总结
微积分知识点回顾
我们会回顾本课程中涉及的 微积分知识点，帮助您巩固 所学内容。
导数的重要性和应 用价值
欢迎来到《微积分04导数》的课件！在这个课程中，我们将深入研究导数的 概念、性质和应用，帮助您更好地理解微积分的重要性和应用价值。
导数的概念
导数的定义
我们将介绍导数的定义， 并解释导数在函数中的几 何意义。
导数的意义
导数能告诉我们函数在某 一点的瞬时变化率，对于 理解函数的变化规律非常 重要。
导数的应用
极值与最值
我们将探讨如何使用导数来判 断函数的极值和最值，以及计 算它们的方法。
常用函数的导数
我们会列举常见函数的导数， 并解释它们在各个领域中的应 用。
应用实例：曲线的切线 和法线
我们将通过实例演示如何使用 导数来求解曲线的切线和法线。
实战练习
1 计算导数
我们将提供一些函数，让您进行导数的计算练习，巩固您的知识。
导数的计算
我们会讲解计算导数的方 法和技巧，帮助您掌握导 数的运算。
导数的性质
1
可导性与连续性的关系
我们将探讨导数和连续性之间的关系，
导数的四则运算规则
2
了解在哪些情况下函数可导。
我们会介绍导数的四则运算规则，帮
助您在计算导数时更加灵活和高效。
3
导数的链式法则
链式法则是导数中的重要概念，我们 会详细解释它的应用和计算方法。
2 应用导数求极值和最值
我们将给出一些问题，让您应用导数来求解函数的极值和最值，增强您的应用能力。
3 应用导数求函数的单调性
我们将介绍如何使用导数来判断函数的单调性，提高您对函数变化规律的理解。
总结
微积分知识点回顾
我们会回顾本课程中涉及的 微积分知识点，帮助您巩固 所学内容。
导数的重要性和应 用价值
微积分基本公式ppt课件
热力学
温度与热量，熵与绝热过程，热力学第二定律
微积分在经济中的应用实例
01
总结词
边际分析，最优化问题，经济增长 模型
最优化问题
最大利润，最小成本，最优解
03
02
边际分析
边际成本，边际收益，边际利润
经济增长模型
索洛模型，哈罗德-多马模型，内生 增长模型
04
THANKS
感谢观看
微积分基本公式的应用实例
总结词
微积分基本公式在解决实际问题中有着广泛 的应用，例如求解变速直线运动的位移、求 解曲线的面积等。
详细描述
通过微积分基本公式，我们可以求解变速直 线运动的位移。例如，假设一个物体以速度 v(t)运动，那么物体在时间t到时间t+Δt之间 的位移就是∫(v(t)dt)，通过微积分基本公式 可以求得该物体的位移。此外，微积分基本 公式还可以用于求解曲线的面积，例如求解
要点二
高阶导数的几何意义
掌握高阶导数的计算方法，例如利用莱布尼茨公式计算二 阶、三阶等高阶导数。
理解高阶导数在几何上的意义，例如二阶导数表示曲线的 凹凸性，三阶导数表示曲线的拐点等。
05
定积分的计算
定积分的计算方法与技巧
积分公式
掌握积分公式是进行定积分计算的基础，包括 幂函数的积分公式、三角函数的积分公式等。
微积分基本公式
微积分基本公式的内容与证明
总结词
微积分基本公式是微积分学的基础，它描述 了函数在某一点处的导数与该函数在该点附 近的变化率之间的关系。
详细描述
微积分基本公式通常表示为∫(f'(x))dx = f(b) - f(a)，其中∫代表积分，f'(x)代表函数f 在点x处的导数，b和a分别代表积分的上限 和下限。这个公式在理解函数的积分和导数 之间关系上起着关键作用。
温度与热量，熵与绝热过程，热力学第二定律
微积分在经济中的应用实例
01
总结词
边际分析，最优化问题，经济增长 模型
最优化问题
最大利润，最小成本，最优解
03
02
边际分析
边际成本，边际收益，边际利润
经济增长模型
索洛模型，哈罗德-多马模型，内生 增长模型
04
THANKS
感谢观看
微积分基本公式的应用实例
总结词
微积分基本公式在解决实际问题中有着广泛 的应用，例如求解变速直线运动的位移、求 解曲线的面积等。
详细描述
通过微积分基本公式，我们可以求解变速直 线运动的位移。例如，假设一个物体以速度 v(t)运动，那么物体在时间t到时间t+Δt之间 的位移就是∫(v(t)dt)，通过微积分基本公式 可以求得该物体的位移。此外，微积分基本 公式还可以用于求解曲线的面积，例如求解
要点二
高阶导数的几何意义
掌握高阶导数的计算方法，例如利用莱布尼茨公式计算二 阶、三阶等高阶导数。
理解高阶导数在几何上的意义，例如二阶导数表示曲线的 凹凸性，三阶导数表示曲线的拐点等。
05
定积分的计算
定积分的计算方法与技巧
积分公式
掌握积分公式是进行定积分计算的基础，包括 幂函数的积分公式、三角函数的积分公式等。
微积分基本公式
微积分基本公式的内容与证明
总结词
微积分基本公式是微积分学的基础，它描述 了函数在某一点处的导数与该函数在该点附 近的变化率之间的关系。
详细描述
微积分基本公式通常表示为∫(f'(x))dx = f(b) - f(a)，其中∫代表积分，f'(x)代表函数f 在点x处的导数，b和a分别代表积分的上限 和下限。这个公式在理解函数的积分和导数 之间关系上起着关键作用。
《微积分》PPT课件
x x0
f (x)
f
(x0 )
何时函数f(x)在 点 处间断？
(1)f(x)在点 x0 处无定义；
(2)f(x)在点
x0 处有定义，但
时，函数f（x)以常数A为极限，记作
lim f (x) A或f (x) A(x )
x
定 义 2 . 5 ： 若 对 于 任 意 给 定 的 正 数 ， 总 存
在一个正数M，使得当x＞M（x＜-M）时，
恒 有 f (x) A＜ 成 立 ， 则 称 当 x （x )
时，函数f（x)以常数A为极限，记作
y=arcsinx x [1,1], y [ , ]
22
y=arccos x [-1,1], y [0, ]
y=arctanx X R, y ( , ) 22
y=arccotx X R，y （0，）
1.4 初等函数（三角函数）
正弦函数和余弦函数
正切函数和余切函数
正割函数与余割函数
三角函数的基本关系式：
xx0
ua
2.4
被迫性定理 若在某个变化过程中，
恒有y≤x≤z，且 limy=limz=A,则limx=A
两个重要极限（必考）
单调有界定理
单调有界的数列
必有极限
} 单 调 增 + 有 上 界
单调减+有下界
数列收敛
定理 2.12
定义 2.9
定理 2.13
若数列 {an}满足 an an1(或an an1）（n N） 则称数列 {an}为单调增 加(或单调减少)数列。
当x 0时，等价无穷小量：
sinx~x tanx~x
arcsinx~x 1-cosx~x2
微积分.ppt课件
在听课时常会遇到某些问题没听懂的情况，这时 千万不要在这些问题上持续徘徊而影响继续听课，应 承认它并在教材上或笔记上相应处作上记号，继续跟 上教师的讲授. 遗留的问题、疑点待课后复习时再思 考、钻研，或找同学讨论，或找教师答疑，或查看参 考书加以解决.
(3) 记笔记
记好课堂笔记是学好高等数学的一个重要的学 习环节. 但要注意的是，课堂学习的中心任务是听、 看、想，记笔记的目的是便于课后复习，便于消化 课上所讲的内容. 因此，记笔记不应占用过多的课 堂时间. 笔记不必工整，不必全面，不必连贯，但 应预留一定的空白以便课后补充、写心得、记疑问.
高等数学有四个显著特点：
(1)高度的抽象性
数学的抽象性在简单的计算中就已经表现出 来. 我们运用抽象的数字，却不是每次都把它们同 具体的对象联系起来. 在数学的抽象中只留下量的 关系和空间形式，而舍弃了其他一切. 它的抽象程 度大大超过了自然科学中任何一门学科.
(2)严谨的逻辑性
数学中的每一个定理，不论验证了多少实例， 只有当它在逻辑上被严格证明时，才能在数学中
(5)做作业
要把高等数学学到手，及时、认真地完成作 业是一个必不可少的学习环节. 每次的作业最好 在当天完成，但是应该在复习完当天的内容之后 进行. 做作业不仅是检验学习效果的手段，同时 也是培养、提高综合分析问题的能力、笔头表达 能力以及计算能力的重要手段.
特别强调，认真完成作业是培养同学们严谨 治学的一个环节.因此，要求作业“字迹工整、绘 图准确、条理清楚、论据充分”. 切忌抄袭，尽 量不先看书后的答案.
成立. 在数学中要证明一个定理，必须是从条件和 已有的数学公式出发，用严谨的逻辑推理方法导出 结论.
(3)广泛的应用性
高等数学具有广泛的应用性. 例如，掌握了导数 概念及其运算法则，就可以用它来刻画和计算曲线的 切线斜率、曲线的曲率等等几何量；就可以用它来刻 画和计算速度、加速度、密度等等物理量；就可以用 它来刻画和计算产品产量的增长率、成本的下降率等 等经济量；……
(3) 记笔记
记好课堂笔记是学好高等数学的一个重要的学 习环节. 但要注意的是，课堂学习的中心任务是听、 看、想，记笔记的目的是便于课后复习，便于消化 课上所讲的内容. 因此，记笔记不应占用过多的课 堂时间. 笔记不必工整，不必全面，不必连贯，但 应预留一定的空白以便课后补充、写心得、记疑问.
高等数学有四个显著特点：
(1)高度的抽象性
数学的抽象性在简单的计算中就已经表现出 来. 我们运用抽象的数字，却不是每次都把它们同 具体的对象联系起来. 在数学的抽象中只留下量的 关系和空间形式，而舍弃了其他一切. 它的抽象程 度大大超过了自然科学中任何一门学科.
(2)严谨的逻辑性
数学中的每一个定理，不论验证了多少实例， 只有当它在逻辑上被严格证明时，才能在数学中
(5)做作业
要把高等数学学到手，及时、认真地完成作 业是一个必不可少的学习环节. 每次的作业最好 在当天完成，但是应该在复习完当天的内容之后 进行. 做作业不仅是检验学习效果的手段，同时 也是培养、提高综合分析问题的能力、笔头表达 能力以及计算能力的重要手段.
特别强调，认真完成作业是培养同学们严谨 治学的一个环节.因此，要求作业“字迹工整、绘 图准确、条理清楚、论据充分”. 切忌抄袭，尽 量不先看书后的答案.
成立. 在数学中要证明一个定理，必须是从条件和 已有的数学公式出发，用严谨的逻辑推理方法导出 结论.
(3)广泛的应用性
高等数学具有广泛的应用性. 例如，掌握了导数 概念及其运算法则，就可以用它来刻画和计算曲线的 切线斜率、曲线的曲率等等几何量；就可以用它来刻 画和计算速度、加速度、密度等等物理量；就可以用 它来刻画和计算产品产量的增长率、成本的下降率等 等经济量；……
高等数学微积分教学ppt(2)
2、自变量趋于无穷大时函数的极限
本节内容 :
二、函数的极限
1、自变量趋于有限值时函数的极限
1).
时函数极限的定义
引例. 测量正方形面积.
面积为A )
边长为
(真值:
边长
面积
直接观测值
间接观测值
任给精度 ,
要求
确定直接观测值精度 :
定义1 . 设函数
在点
的某去心邻域内有定义 ,
当
时, 有
1.幂函数
2.指数函数
3.对数函数
4.三角函数
正弦函数
余弦函数
正切函数
余切函数
正割函数
余割函数
5.反三角函数
幂函数,指数函数,对数函数,三角函数和反三角函数统称为基本初等函数.
四. 初等函数
由常数及基本初等函数
否则称为非初等函数 .
例如 ,
并可用一个式子表示的函数 ,
例6. 求
解:
利用定理 4 可知
说明 : y = 0 是
的渐近线 .
内容小结
1). 无穷小与无穷大的定义
2). 无穷小与函数极限的关系
Th1
3). 无穷小与无穷大的关系
Th3
4). 无穷小的运算法则
Th4
Th5
二、 函数的间断点
一、 函数连续性的定义
函数的连续性与间断点
第一章
可见 , 函数
分析基础
函数
极限
连续
— 研究对象
— 研究方法
— 研究桥梁
函数、极限与连续
第一章
二、函数
一、集合
第一节
函数
元素 a 属于集合 M , 记作
本节内容 :
二、函数的极限
1、自变量趋于有限值时函数的极限
1).
时函数极限的定义
引例. 测量正方形面积.
面积为A )
边长为
(真值:
边长
面积
直接观测值
间接观测值
任给精度 ,
要求
确定直接观测值精度 :
定义1 . 设函数
在点
的某去心邻域内有定义 ,
当
时, 有
1.幂函数
2.指数函数
3.对数函数
4.三角函数
正弦函数
余弦函数
正切函数
余切函数
正割函数
余割函数
5.反三角函数
幂函数,指数函数,对数函数,三角函数和反三角函数统称为基本初等函数.
四. 初等函数
由常数及基本初等函数
否则称为非初等函数 .
例如 ,
并可用一个式子表示的函数 ,
例6. 求
解:
利用定理 4 可知
说明 : y = 0 是
的渐近线 .
内容小结
1). 无穷小与无穷大的定义
2). 无穷小与函数极限的关系
Th1
3). 无穷小与无穷大的关系
Th3
4). 无穷小的运算法则
Th4
Th5
二、 函数的间断点
一、 函数连续性的定义
函数的连续性与间断点
第一章
可见 , 函数
分析基础
函数
极限
连续
— 研究对象
— 研究方法
— 研究桥梁
函数、极限与连续
第一章
二、函数
一、集合
第一节
函数
元素 a 属于集合 M , 记作
《微积分》课件
微分学主要研究函数在某一点附近的 局部行为，包括切线、函数的变化率 等；积分学则研究函数在某个区间上 的整体行为，包括面积、体积等。
微积分的历史背景
01
微积分的发展可以追溯到古代数 学，如希腊数学家阿基米德在求 面积和体积时已经有了积分学的 萌芽。
02
微积分的真正奠基人是牛顿和莱 布尼茨，他们分别独立地发展出 了微积分的基本理论，为后来的 数学发展奠定了基础。
《微积分》PPT课件
contents
目录
• 微积分的定义与历史 • 微积分的基本概念 • 微积分的应用 • 微积分的解题技巧 • 微积分的重点与难点解析 • 微积分的习题与答案解析
01
微积分的定义与历史
微积分的定义
微积分是研究函数、极限和连续性的 数学分支，通过微分和积分的方法来 研究函数的性质和变化规律。
极限的运算性质与法则
1 2
极限的运算性质
极限的四则运算法则、复合函数的极限运算法则 等。
极限的法则
极限的保号性、极限的局部有界性等。
3
注意事项
理解极限的运算法则和性质是解决极限问题的关 键，需要注意运算过程中的等价变换和放缩技巧 。
导数的几何意义与运算性质
导数的几何意义
切线的斜率、函数图像的变化率等。
习题一：极限的运算
$lim_{x to infty} frac{1}{x}$
判断下列叙述是否正 确，并说明理由
$lim_{x to 0} (1 + x)^{1/x}$
习题一：极限的运算
$lim_{x to 0} frac{sin x}{x} = 1$
$lim_{x to infty} frac{1}{x} = 0$
$lim_{x to 0} (1 + x)^{1/x} = e$
微积分的历史背景
01
微积分的发展可以追溯到古代数 学，如希腊数学家阿基米德在求 面积和体积时已经有了积分学的 萌芽。
02
微积分的真正奠基人是牛顿和莱 布尼茨，他们分别独立地发展出 了微积分的基本理论，为后来的 数学发展奠定了基础。
《微积分》PPT课件
contents
目录
• 微积分的定义与历史 • 微积分的基本概念 • 微积分的应用 • 微积分的解题技巧 • 微积分的重点与难点解析 • 微积分的习题与答案解析
01
微积分的定义与历史
微积分的定义
微积分是研究函数、极限和连续性的 数学分支，通过微分和积分的方法来 研究函数的性质和变化规律。
极限的运算性质与法则
1 2
极限的运算性质
极限的四则运算法则、复合函数的极限运算法则 等。
极限的法则
极限的保号性、极限的局部有界性等。
3
注意事项
理解极限的运算法则和性质是解决极限问题的关 键，需要注意运算过程中的等价变换和放缩技巧 。
导数的几何意义与运算性质
导数的几何意义
切线的斜率、函数图像的变化率等。
习题一：极限的运算
$lim_{x to infty} frac{1}{x}$
判断下列叙述是否正 确，并说明理由
$lim_{x to 0} (1 + x)^{1/x}$
习题一：极限的运算
$lim_{x to 0} frac{sin x}{x} = 1$
$lim_{x to infty} frac{1}{x} = 0$
$lim_{x to 0} (1 + x)^{1/x} = e$