第七讲数的整除

数的整除
数的整除特征：
①能被2整除的数的特征：个位数字是0、2、4、6、8的整数.“特征”包含两方面的意义：一方面，个位数字是偶数（包括0）的整数，必能被2整除；另一方面，能被2整除的数，其个位数字只能是偶数（包括0）.下面“特征”含义相似。

②能被5整除的数的特征：个位是0或5。

③能被3（或9）整除的数的特征：各个数位数字之和能被3（或9）整除。

④能被4（或25）整除的数的特征：末两位数能被4（或25）整除。

⑤能被8（或125）整除的数的特征：末三位数能被8（或125）整除。

⑥能被11整除的数的特征：这个整数的奇数位上的数字之和与偶数位上的数字之和的差（大减小）是11的倍数。

⑦能被7（11或13）整除的数的特征：一个整数的末三位数与末三位以前的数字所组成的数之差（以大减小）能被7（11或13）整除。

例1、判断13574是否是11的倍数？判断1059282是否是7的倍数？
判断3546725能否被13整除？
例2、在□内填上适当的数字，使六位数43217□能被4（或25）整除.
例3、在□内填上合适的数字，使五位数4□32□能被9整除.
例4、在□内填上合适的数字，使□679□能同时被8、9整除.
例5、在□内填上合适的数字，使六位数19□88□能被35整除.
例6、一个六位数586□□□能同时被3、4、5整除，求这样的六位数中最小的？
例7、一年级有72名学生，课间加餐共交了□67.9□元（□内的数字辨认不清），每人交了多少钱？（每人交钱一样多）
拓展练习：
1、个位数是6，且能被3整除的三位数有多少个？
2、用1，2，3，4这四个数码可以组成24个没有重复数字的四位数，其中能被11整除的有哪几个？
3、一个三位数能被11整除，去掉末位数字后所得的两位数能被9整除，这样的三位数有哪些？
4、小马虎买了72支同样的钢笔，可是发票不慎落水浸湿，单价已无法辨认，总价数字也不全，只能认出：□11.4□元(□表示不明数字)。

你能帮助小马虎找出不明数字吗？
5、在□内填上适当的数字，使七位数98765□能被4整除。

6、五位数4□56□能被9整除。

这个五位数可能是多少？（至少写出三个）
( )、（）、（）。

7、在65后面补上2个数字，组成一个四位数，使它能分别被3、4、5整除，这个四位数是多少？
△8、在□内填上合适的数字，使□679□能同时被8、9整除。

余数问题
（1）余数小于除数。

（2）被除数=除数×商+余数；
除数=（被除数-余数）÷商；商=（被除数-余数）÷除数。

（3）如果a，b除以c的余数相同，那么a与b的差能被c整除。

例如，17与11除以3的余数都是2，所以17-11能被3整除。

（4）a与b的和除以c的余数，等于a，b分别除以c的余数之和（或这个和除以c的余数）。

例如，23，16除以5的余数分别是3和1，所以（23+16）除以5的余数
等于3+1=4。

注意：当余数之和大于除数时，所求余数等于余数之和再除以c的余数。

例如，23，19除以5的余数分别是3和4，所以（23+19）除以5的余数等于（3+4）除以5的余数。

（5）a与b的乘积除以c的余数，等于a，b分别除以c的余数之积（或这个积除以c的余数）。

例如，23，16除以5的余数分别是3和1，所以（23×16）除以5的余数等于3×1=3。

注意：当余数之积大于除数时，所求余数等于余数之积再除以c的余数。

例如，23，19除以5的余数分别是3和4，所以（23×19）除以5的余数等于（3×4）除以5的余数。

例1被除数、除数、商与余数之和是2143，已知商是33，余数是52，求被除数和除数。

例2甲、乙两数的和是1088，甲数除以乙数商11余32，求甲、乙两数。

例3求478×296×351除以17的余数。

例4有一个自然数，用它分别去除63、90、130都有余数，三个余数的和为25，这三个余数中最小的一个是几？
练习
2.已知两个自然数a和b（a＞b），已知a和b除以13的余数分别是5和9，求a+b，a-b，a×b，a2-b2各自除以13的余数。

3.被除数、除数、商与余数之和是903，已知除数是35，余数是2，求被除数。

4.用一个整数去除345和543所得的余数相同，且商相差9，求这个数。

5.有一个整数，用它去除312，231，123得到的三个余数之和是41，求这个数。

6、71427和19的积被7除，余数是几？。