第一章数的整除概念整理
01-第一章-数的整除-六年级(上)-知识点汇总-沪教版
第一章数的整除1.1 整数和整除的意义1、在数物体的时候，用来表示物体个数的数1,2,3,4,5，……，叫做整数2、在正整数1,2,3,4,5，……，的前面添上“—”号，得到的数—1，—2，—3，—4，—5，……，叫做负整数3、零和正整数统称为自然数4、正整数、负整数和零统称为整数5、整数a除以整数b，如果除得的商正好是整数而没有余数，我们就说a能被b整除，或者说b能整除a1.2 因数和倍数1、如果整数a能被整数b整除，a就叫做b的倍数，b就叫做a的因数2、倍数和因数是相互依存的3、一个数的因数的个数是有限的，其中最小的因数是1，最大的因数是它本身4、一个数的倍数的个数是无限的，其中最小的倍数是它本身1.3 能被2, 5整除的数1、个位数字是0,2,4,6,8的数都能被2整除2、整数可以分成奇数和偶数，能被2整除的数叫做偶数，不能被2整除的数叫做奇数3、在正整数中（除1外），与奇数相邻的两个数是偶数4、在正整数中，与偶数相邻的两个数是奇数5、个位数字是0,5的数都能被5整除6、0是偶数1.4 素数、合数与分解素因数1、只含有因数1及本身的整数叫做素数或质数2、除了1及本身还有别的因数，这样的数叫做合数3、1既不是素数也不是合数4、奇数和偶数统称为正整数，素数、合数和1统称为正整数5、每个合数都可以写成几个素数相乘的形式，这几个素数都叫做这个合数的素因数6、把一个合数用素因数相乘的形式表示出来,叫做分解素因数7、分解素因数方法：树枝分解法、短除法1.5 公因数与最大公因数1、几个数公有的因数，叫做这几个数的公因数，其最大的一个叫做这几个数的最大公因数2、如果两个整数只有公因数1，那么称这两个数互素数3、把两个数公有的素因数连乘，所得的积就是这两个数的最大公因数4、如果两个数中，较小数是较大数的因数，那么这两个数的最大公因数较小的数5、如果两个数是互素数，那么这两个数的最大公因数是11.6 公倍数与最小公倍数1、几个数公有的倍数，叫做这几个数的公倍数2、几个数中最小的公因数，叫做这几个数的最小公倍数3、求两个数的最小公倍数，只要把它们所有的公有的素因数和他们各自独有的素因数连乘，所得的积就是他们的最小公倍数4、如果两个数中，较大数是较小数的倍数，那么这两个数的最小公倍数是较大的那个数如果两个数是互素数，那么这两个数的最小公倍数是两个数的乘积试试你的身手！一：填空题（每空1分，共22分）1．3.6÷2＝1.8，（能，不能）说2整除2.8。
§1.1整除的概念及带余除法
第一章整数的可除性整除性理论是初等数论的基础。
本章要介绍带余数除法，辗转相除法，最大公约数，最小公倍数，算术基本定理以及它们的q，使得成立，则称a能被b整除，a是b的倍数，b是a的约数（因数或除数），并且使用记号b∣a；如果不存在整数q使得a = bq成立，则称a不被b整除，记为显然每个非零整数a称这四个数为a的平凡约数，a下面的结论成立：∣a⇔±b∣±a；(ⅱ) c ∣b，b∣a⇒c∣a；(ⅲ) b∣a i，i = 1, 2, …, n⇒b∣a1q1+a2q2+…+a n q n，此处q i（i = 1, 2, , n）是任意的整数；(ⅳ) b∣a ⇒bc∣ac，此处c是任意的非零整数；(ⅴ) b∣a，a≠ 0 ⇒|b|≤|a|；b∣a且|a|<|b|⇒a = 0。
) 设a 与b 是两个整数，b > 0，则存在q 和r ，使得a = bq + r ，0 ≤ r <b (2) 成立且q 。
中的q 叫做a 被b 除所得的不完全商，r 叫做a 被例1 若1n >，且111n n -+ 求n222x y z +=的整数解能否全是奇数？为什300”位于哪个字母的下面A B C D E F G1 2 3 45 6 78 9 10 1112 13 1415 16 17 ……. 解：观察可以发现两行7个数组成一组故300=7×42+6与6同在字母D 的下面例4 a 除以b 商为c ，余数为r ，则am 除以bm 商为 ， 余数为 。
m N +∈某整数除以3余2，除以4余1，该整数除以12，余 ？三、整除的特征从正整数121n n N a a a a a a -=的末位a 起向左每k 个数码分为一节，最后剩下若有不足k 个数码的也为一节，记为()1()(),,,k k t k A A A并记()1()()()k k k t k S N A A A =+++----数节和1()1()2()()()(1)t kk k k t k S N A A A A -'=-++-----数节代数和 1、设d 是10k 的约数，则()k d N d A ⇔推论：能被2或5整除的数的特征是：这个数的末一位数能被2或5整除。
数的整除一章概念整理
数的整除一章概念整理1、一个数的因数的个数是有限的，最小的因数是1，最大的因数是它本身。
2、一个数倍数的个数是无限的，最小的倍数是它本身，没有最大的倍数。
3、是2的倍数的数叫做偶数。
4、不是2的倍数的数叫做奇数。
5、每相邻的两个奇数之间相差2，每相邻的两个偶数之间相差2.6、2的倍数的特征：个位上是0、2、4、6、8的数都是2的倍数。
7、5的倍数的特征：个位上是0或者5的数都是5的倍数。
8、2和5的倍数的特征：个位上是0.9、3的倍数的特征：一个数的各个数位上的数字之和是3的倍数。
10、2、3、5倍数的特征：个位是0，各个数位上的数字之和是3的倍数。
11、一个数只有1和它本身两个因数，这个数叫质数（或素数）。
质数只有2个因数。
12、一个数除了1和它本身，还有别的因数，这个数叫做合数。
合数至少有3个因数。
13、1既不是质数，也不是合数。
14、100以内的质数有：2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53 59 61 67 71 73 79 83 89 9715、按照是不是2的倍数可以分为：奇数和偶数按照因数的个数可以分为：质数、合数、1最小的质数是2，最小的偶数是2，最小的奇数是1，最小的合数是4，既是奇数又是合数的最小的是9.16、把一个合数用质因数（既是质数又是因数）相乘的形式表示出来，叫做分解质因数。
（质因数必须都是质数）17、特殊合数分解质因数34=2×17 39=3×13 51=3×17 57=3×1965=5×13 91=7×13 187=11×1718、公因数和公倍数1）几个数公有的因数叫公因数。
其中最大的一个叫做他们的最大公因数。
2）如果两个数的最大公因数是1，那么这两个数叫做互质数。
3）几个数公有的倍数叫公倍数。
其中最小的一个叫做他们的最小公倍数。
4）如果两个数是互质关系，那么这两个数的最大公因数是1，最小公倍数是它们的乘积。
数的整除知识点总结
数的整除知识点总结数的整除是数论中的一个基本概念，也是初等数学中的重要内容。
它与因数、倍数和约数等概念密切相关，对于解题和推理都有着重要的作用。
下面将对数的整除进行详细总结。
一、定义：如果整数a能够被整数b整除，即a/b是整数，那么称a是b的倍数，b是a的因数。
可以用数学表达式a=b*k来表示，其中k是整数。
二、性质：1.任何一个整数都是它自身的倍数，也是它自身的因数，即a是a的倍数，a是a的因数。
2.任何一个正整数都是1的倍数，即对于任何整数a，都有a是1的倍数。
3.任何一个整数都是它自身的因数，即对于任何整数a，都有a是a的因数。
4.如果a是b的倍数，b是c的倍数，那么a也是c的倍数，即若a是b的倍数且b是c的倍数，则a是c的倍数。
5.如果a是b的倍数，b是a的倍数，那么a和b是互为倍数，即a是b的倍数且b是a的倍数，则a和b互为倍数。
6.如果a是b的因数，b是c的因数，那么a也是c的因数，即若a是b的因数且b是c的因数，则a是c的因数。
三、判断一个数能否整除另一个数的方法：1.因式分解法：将被除数和除数都分解成质因数的乘积形式，然后进行比较。
如果被除数的质因数包含除数的质因数，并且对应质因数的指数均大于等于相应的质因数的指数，则被除数能够整除除数。
2.试商法：用除数去除被除数，如果商是整数且余数为0，则被除数能够整除除数，否则不能整除。
四、整除的性质：1.整除关系具有传递性，即如果a能够整除b，b能够整除c，则a 能够整除c。
2.整除关系具有反对称性，即如果a能够整除b，b能够整除a，则a 和b相等或互为相反数。
3.整除关系具有自反性，即任何一个数都能整除它本身。
4.整除关系具有非传递性，即如果a能够整除b，b能够整除c，但a 不能整除c。
例如：2能整除4，4能整除8，但2不能整除8五、整数的混合运算与整除的关系：1.若a整除b，b整除c，则a整除c。
2. 若a整除b，b整除c，则a整除bc。
第一讲 数的整除
第一讲 数论（1）—数的整除【知识要点】1.整除的意义：在小学阶段讲“数的整除”时所说的数一般指自然数，不包括0。
数a 除以数b ，除得的商正好是整数而没有余数，我们就说，a 能被b 整除，或者说b 能整除a2.“数的整除”概念归类整理如下：⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧→⎩⎨⎧→→=÷整除的数的特征能被大数是小数的倍数两个数是互质数最小公倍数的倍数或是倍数小数是大数的约数两个数是互质数最大公约数的约数是或约数合数和质数奇数和偶数都是自然数整除5321,,,，，c b a a c b 、c b a c b a 3. 能被2，3，4，5，7，8，9，11，13整除的数的特征：（略）【基础练习】(1) 在13和52两个数里，( )能被( )整除，( )是( )的约数，( )是( )的倍数。
(2) 能被5，7，16整除的最小自然数是( )。
(3) 在18，30，45，84，244，225，360，420这些数中，能被2整除的数是( ),能被3整除的数是( )，能被2，3，5整除的的数是( )。
(4) 能被3和5同时整除的最大两位数是( )；是2的倍数又含有约数5的最小三位数是( )。
(5) 从0，1，4，6，7这五个数中，选取四个数字组成一个最大的四位数，且同时能被2，3，5整除。
这个四位数是( )。
(6) 在□里填上合适的数，使17□45□能同时被2，3，5整除，共有( )种填法。
(7)在11÷2，31÷5，51÷3中，( )能被( )整除，( )叫做( )的约数，( )叫做( )倍数。
(8)一个数被6、7、8除都余1，这个数最小是（）。
(9)有9、7、2、1、0五个数字，用其中的四个数字，组成能同时被2、3、5整除的最小的四位数是（）。
(10) 一个能被9、12、15整除的最小数是（）【典型例题】1．在□中填入适当的数字。
185□能被4整除 467□能被8整除 785□5能被11整除2．100名学生面向老师站成一排，按从左到右的顺序依次报1，2，3，…，100。
2、数论初步(整除的概念)
④、非零整数的倍数是无限的。
第一章 整数的整除性
第一部分 整除的概念
3、0是任何非零整数的倍数，1是任何整数的约数。 4、当然约数与真约数
在非零整数 a的约数中， 1与 a叫做a的当然约数， 其余约数叫做 a的真约数。
第一章 整数的整除性
第一部分 整除的概念
5、整除与除尽 有理数范围内
整除 除尽
求证：m+n与m-n中有一个且仅有一个是3的倍数。
第一章 整数的整除性
第一部分 整除的概念
【解决问题】
【例5】已知2761除以某自然数，余数不为零，不完全 商为95，求除数与余数。
第一章 整数的整除性
第一部分 整除的概念
【解决问题】 【例6】有一自然数，用它去除63、91、129得到三个余
数之和为25，求这个 b是a的约数(因数)。
第一章 整数的整除性
第一部分 整除的概念
2、关于整除、约数和倍数的几点注意： ①、整除概念强调的是整数a与b的关系。也就是说a与 b之间具有或不具有整除关系，但不管商的大小； ②、约数与倍数是相互依存的； ③、非零整数的约数(因数)是有限的，0的约数(因数) 是无限的；
除尽 整除
整数范围内
整除 除尽
第一章 整数的整除性
第一部分 整除的概念
【例1】试用列举法写出下列各集合的元素。 A={18的正约数}；B={25的正约数}； 【问题】 1、一个数，它的约数的个数问题能确定吗？ 2、如何保证所有约数一个不漏的写出来？ 【结论】
若N p p ... p 其中p (i 1,2...n) 为质数，
第一章 整数的整除性
第一部分 整除的概念
【解决问题】 【例7】
若ax by 是形为ax by的数中的最小正数，
六上 第一章 数的整除知识点总结及相应练习
第一章:数的整除1. 零和正整数统称为自然数。
正整数、零、负整数统称为整数。
重点题型：1. 在8，－10，0，0.25，－50，73，100，－8.5中，正整数有 ， 自然数有 ，整数有 2.最小的自然数是提高：非负整数，如小于3的非负整数有2. 整数a 除以整数b ，如果除得的商是整数而余数为零，我们就说a 能被b 整除，或者说b 能整除a 。
用式子表示:如果 a ÷b=c(其中a 、b ，c 都为整数)称a 能被b 整除或b 能整除a 。
（区分两种表述） 重点题型：1. 下列各组数中，第一个数能被第二个数整除的是 ，第二个数能整除第一个数的是 12和24；39和13；54和27；46和4；17和51；84和72. 12÷3=4，那么 能被 整除； 能整除3. 整除的条件:1）除数，被除数都为整数2）被除数除以除数，商是整数而且余数为零。
重点题型：小明认为2.5能被5整除。
这种说法对吗？4. 整数a 被整数b 整除,a 叫b 的倍数(mutiple),b 叫a 的因数(factor)(也称为约数) 因数和倍数是相互依存的。
重要结论：一个整数的因数的个数是 的(填:无限或有限)，其中最小的因数是 ，最大的因数是 。
一个整数的倍数的个数是 的(填:有限或无限)，其中最小的倍数是 ， 一个整数 最大的倍数。
重点题型：1. 因为4÷2=2,所以4是倍数,2是因数，这种说法对吗？2. 一个整数的最大因数减去这个正整数的最小倍数，所得的差一定（ ） A <0 B =0 C >0 D 不等于03. 会求一个数的因数：如求105的因数4. 会求一个数的倍数：如求7的倍数（写出5个）5. 任何一个正整数至少有两个因数。
( )6. 如果一个数既是12的因数,又是12的倍数,那么这个数一定是 。
7. 18的因数 24的因数18和24的最大公因数是5.能被2整除的数的特征：个位上的数是0，2，4，6，8能被5整除的数的特征：个位上的数是0，5能被10整除（既能被2整除又能被5整除）的数的特征：个位上的数是0能被3整除的数的特征：各位上的数字的和能被3整除能被9整除的数的特征：各位上的数字的和能被9整除重点题型：1. 在15,27,38,62,90,135,420这七个数中:1)能被2整除的数是。
数的整除整理1
第一章数的整除1,数的整除特征①能被2整除的数的特征：个位数字是0、2、4、6、8的整数.“特征”包含两方面的意义：一方面，个位数字是偶数（包括0）的整数，必能被2整除；另一方面，能被2整除的数，其个位数字只能是偶数（包括0）.下面“特征”含义相似。
②能被5整除的数的特征：个位是0或5。
③能被3（或9）整除的数的特征：各个数位数字之和能被3（或9）整除。
④能被4（或25）整除的数的特征：末两位数能被4（或25）整除。
⑤能被8（或125）整除的数的特征：末三位数能被8（或125）整除。
⑥能被11整除的数的特征：这个整数的奇数位上的数字之和与偶数位上的数字之和的差（大减小）是11的倍数。
例如：判断123456789这九位数能否被11整除？解：这个数奇数位上的数字之和是9＋7＋5＋3＋1=25，偶数位上的数字之和是8＋6＋4＋2＝20.因为25—20＝5，又因为115，所以11123456789。
再例如：判断13574是否是11的倍数？⑦能被7（11或13）整除的数的特征：一个整数的末三位数与末三位以前的数字所组成的数之差（以大减小）能被7（11或13）整除。
例如：判断1059282是否是7的倍数？解：把1059282分为1059和282两个数.因为1059-282＝777，又7｜777，所以7｜1059282.因此1059282是7的倍数。
再例如：判断3546725能否被13整除？解：把3546725分为3546和725两个数.因为3546-725=2821.再把2821分为2和821两个数，因为821—2＝819，又13｜819，所以13｜2821，进而13｜3546725.二、例题同类练习1、四位数3AA1能被9整除，求A。
2、从0，1，4，7，9中选四个数字，可组成若干个四位数，把其中能被3整除的四位数从小到大排列起来，问第十个数是多少？3、六位数234x67能被3整除，求x的值。
4、六位数A4273B能被72整除，求A与B的值。
数的整除知识点总结数的整除知识整理
数的整除知识点总结数的整除知识整理数的整除知识点总结如下：1. 除数和被除数：一个数被另一个数整除时，被除数称为整数，除数称为除数。
2. 整除关系：如果一个数a能被另一个数b整除，即a ÷ b = c，则称a能被b整除，或者说b能整除a，记作b｜a。
3. 余数：当一个数a被另一个数b整除时，如果除完后还有剩余部分，即a ÷ b = c 余 r（0 ≤ r < |b|），则r称为数a除以b的余数。
4. 因数：对于一个数a，如果存在一个数b，使得b能整除a，即a = b × c，则称b 是a的因数，c是a的倍数。
a的因数包括1和a本身。
5.倍数：对于一个数a，如果存在一个数b，使得a能整除b，即b = a × c，则称b 是a的倍数，c是a的因数。
a的倍数包括0和任意正负整数。
6.公约数：对于两个数a和b，如果存在一个数c，既能整除a又能整除b，即c｜a 且c｜b，则称c是a和b的公约数。
7.最大公约数：对于两个数a和b的公约数中，最大的一个公约数称为a和b的最大公约数，记作gcd(a, b)。
8.最小公倍数：对于两个数a和b的公倍数中，最小的一个公倍数称为a和b的最小公倍数，记作lcm(a, b)。
9.质数：一个大于1的自然数，除了1和它本身外，无法被其他自然数整除的数称为质数。
质数只有两个因数，即1和该数本身。
10.合数：一个自然数，除了1和它本身外，还有其他因数的数称为合数。
合数有多个因数。
11.互质：两个数的最大公约数为1时，称这两个数互质。
12.互质数性质：互质数的乘积等于它们的最小公倍数。
13.素数分解：将一个合数分解成质数的乘积的过程，这个过程叫做素数分解。
这些是数的整除的基本知识点。
数的整除知识点总结
一. 数的分类第一种分法 : 树状图 韦恩图整数第二种分法 整数第三种分法： 正整数一些关于数的结论:是最小的自然数,-1是最大的负整数,1是最小的正整数2.没有最大的整数,没有最小的负整数,没有最大的正整数3.正整数、负整数、整数的个数都是无限的二．整除1.整除定义概念：整数a 除以整数b,如果除得的商是整数而余数为零,我们就说a 能被b 整除；或者说b 能整除a注意点：一定要看清楚谁被谁整除或谁整除谁,这里的a相当于被除数,b 相当于除数2.整除的条件：1.除数、被除数都是整数2.被除数除以除数,商是整数而且余数为零注意点：区分整除与除尽：整除是特殊的除尽如正方形是特殊的长方形一样,即a 能被b 整除,则a 一定能被b 除尽,反之则不一定即a 能被b 除尽,则a 不一定能被b 整除;如4÷2=2, 4既能被2除尽,也能被2整除；4÷5=, 4能被5除尽,却不能说4能被5整除三．因数与倍数1.因数与倍数的定义：整数a能被整数b整除,a 就叫做b的倍数,b就叫做a的因数约数;注意点：1.因数和倍数是相互依存的,不能简单的说某个数是因数,某个数是倍数;如：6÷3=2,不能说6是倍数,3是因数；要说6是3的倍数,3是6的因数;2.因数与倍数是建立在整除的基础上的,所以如4÷=20,一般是不说4是的倍数,是4的因数;2.因数与倍数的特点：一个整数的因数中最小的因数是1,最大的因数是它本身;一个数的倍数中最小的倍数是这个数本身,没有最大的倍数;因数的个数是有限的,都能一一列举出来,倍数的个数是无限的;3.求一个数因数的方法：利用积与因数的关系一对一对找,找出哪两个数的乘积等于这个数,那么这两个数就是这个数的因数;如16=1×16=2×8=4×4,那么16的因数就有1、2、4、8、16,计算时一定不要忘了1和这个数本身都是它的因数,注意按照一定的顺序以防遗漏;4.求一个数倍数的方法：这个数本身分别乘以1、2、3、4、5……即正整数得到的积就是这个数的倍数;若用n表示所有的正整数,则2的倍数可表示为2n, 5的倍数可表示为5n四．能被2、5、3整除的数的特点1.能被2整除的数即2的倍数个位上的数字是0、2、4、6、8,反之,个位上的数字是0、2、4、6、8的数也能被2整除2.能被5整除的数即5的倍数个位上的数字是0、5,反之,个位上的数字是0、5的数都能被5整除3.能被3整除的数即3的倍数各个位数上的数字之和是3的倍数,反之,各个位数上的数字之和是3的倍数的数都能被3整除4.能被2、5同时整除的数的个位数字都是0,个位数字为0的数也能被10整除,能被10整除的数一定能被2或5其中的一个或两个同时整除;五．奇数、偶数1.奇数与偶数的定义：能被2整除的整数叫做偶数,不能被2整除的整数叫做奇数;按照能否被2整除来划分奇数与偶数2.奇数个位数上的数的特点：1、3、5、7、9偶数个位数上的数的特点：0、2、4、6、83.在连续的正整数中除1外,与奇数相邻的两个数是偶数,与偶数相邻的两个数是奇数4.相邻的奇数或偶数数字相差2,奇数可用2n-1或2n+1表示,偶数可用2n表示;5.奇数与偶数加法和乘法的运算特点奇数+奇数=偶数偶数+偶数=偶数奇数+偶数=奇数奇数×奇数=奇数偶数×偶数=偶数奇数×偶数=偶数利用此结论可检验一些运算是否正确,同时也要注意结论的逆向运用,如偶数奇数可拆成哪些奇数或偶数的和、积六.素数、合数1.素数与合数定义：一个正整数如果只有1和它本身两个因数,这样的数叫做素数质数,如果除了1和它本身以外还有别的因数,这样的数叫做合数;注意点：1.素数与合数的分类方法是根据它们因数的个数来分的,素数只有2个因数1和本身,合数至少有三个因数；任何一个数除1外都有1和它本身两个因数;2. 1既不是素数也不是合数;3．最小的素数是2,最小的合数是42.素数与奇数的联系和区别奇数不一定都是素数;√1既不是素数也不是合数,9、15等是奇数但是合数所有素数都是奇数; ×2是素数,但2是偶数3.合数与偶数的联系与区别合数不一定都是偶数;√9、15等都是合数,但它们是奇数偶数都是合数; ×2是偶数但2是素数注意:判断题对的要说明原因,错的要举出反例;七．素因数与分解素因数1.素因数与分解素因数的定义：每个合数都可以写成几个素数相乘的形式,其中每个素数都是这个合数的因数,叫做这个合数的素因数;把一个合数用素因数相乘的形式表示出来,叫做分解素因数;注意：1.求一个数的素因数时,先把这个数分解素因数,有几个素因数就写几个;如24=2×2×2×3,则素因数是2、2、2、3,而不是2、32.因数与素因数的区别：因数可以是素数或合数,素因数一定是素数;一个数的素因数一定是这个数的因数,因数的个数一定比素因数的个数多;2.分解素因数的方法树枝分解法：过程中注意不要漏写乘号,分解要彻底,直到没有合数出现,也不能出现1.要分解的合数写在等号左边,把它的素因数用相乘的形式写在等号右边,再把这几个素因数按从小到大的顺序排列;短除法：1.先用一个能整除这个合数的素数去除通常从最小的开始,偶数肯定先用2除,奇数一般从3开始一个个带入验算2.得出的商如果是合数,再按照上面的方法继续除下去,直到得出的商是素数为止;3.然后把各个除数和最后的商按从小到大的顺序写成连乘的形式;3.由一个数分解素因数求这个数的因数12=2×2×3,素因数是2、2、3,除1外由单个的素因数组成因数有2、3,由两个素因数组成的因数有2×2=4,2×3=6,由三个素因数组成的因数有2×2×3=12,所以12的因数有1、2、3、4、6、12.4. 由一个数分解素因数求这个数因数的个数1所有素因数都相同时,因数的个数是它素因数的个数+1,如8=2×2×2,素因数是2、2、2,则8的因数的个数是它素因数的个数+1,即4个2素因数不完全相同时,因数的个数是每个素因数个数+1后相乘的积,如12=2×2×3,素因数2的个数是2,素因数3的个数是1,则12的因数的个数是2+1×1+1=6八.公因数与最大公因数1.公因数与最大公因数定义:几个数公有的因数,叫做这几个数的公因数,其中最大的一个叫做这几个数的最大公因数.2.互素定义：如果两个整数只有公因数1,那么称这两个数互素;如8和9注意：互素是两个数之间,素数是指一个数,互素的两个数的最大公因数就是1.两个互素的数未必都是素数; √8和9互素,但8和9都是合数两个不同的素数一定互素. √若缺少“不同的”,则错,因为3和3都是素数但不互素3. 求两个数最大公因数的方法：1 一般方法：写出两个数所有的因数,再找出它们共同的最大的因数2 分解素因数的方法：把这两个数分解素因数,再找出相同的素因数,把它们所有的公有的素因数相乘,所得的积就是它们的最大公因数;3 短除法：先用这两个数公有的素因数去除一般从最小的素因数开始,得出的商如果是合数,再按照上面的方法继续除下去,直到两个数互素为止,这两个数的最大公因数就是左侧的除数的乘积. 类比用短除法分解素因数的方法4. 两个整数中,如果某个数是另一个数的因数,那么这个数就是这两个数的最大公因数;如果这两个数互素,那么它们的最大公因数就是1.九.公倍数和最小公倍数1.公倍数与最小公倍数定义:几个整数公有的倍数叫做它们的公倍数,其中最小的一个叫做它们的最小公倍数.2.求两个数最小公倍数的方法:1一般方法:从小到大分别依次写出几个这两个数的倍数,再找出它们共同的最小的倍数2分解素因数的方法: 把这两个数分解素因数,再找出相同的素因数,再取各自剩余的素因数,将这些数连乘所得的积,就是这两个数的最小公倍数.3短除法: 先用这两个数公有的素因数去除一般从最小的素因数开始,得出的商如果是合数,再按照上面的方法继续除下去,直到两个数互素为止,这两个数的最小公倍数就是左侧的除数与底部商的乘积.注意点:1.用短除法求两个数的最大公因数和最小公倍数时,过程都相同,只是最后写结论时注意需要乘哪些数.2.求两个数的最大公因数和最小公倍数,先判断这两个数是否存在因数倍数关系或互素关系,存在因数倍数关系时,最大公因数就是较小的那个数,最小公倍数就是较大的那个数;两数互素时,最大公因数就是1,最小公倍数就是它们的乘积.3.两个整数的公倍数一定能被这两个数整除.十.求三个整数的最大公因数和最小公倍数拓展1求三个整数的最大公因数:同样也是三种方法,只需找出三个数共同的因数,最大的因数就是最大公因数.注意与三个数的最小公倍数区分2求三个整数的最小公倍数:一般方法:写出三个数的倍数,再找出最小公倍数.分解素因数法:分别分解素因数,先找出三个数共同的素因数,再找出每两个数公有的素因数,再取各自剩余的素因数,把这些素因数连乘所得的积就是这三个数的最小公倍数.短除法:先用三个数公有的素因数去除直到三个数没有公有的素因数,再用其中两个数公有的素因数去除,直到除得的三个商两两互素为止即三对互素数。
数的整除知识梳理
第一章数的整除一、知识整理1.1整数和整除整除的条件：1．除数、被除数都是整数。
2．被除数除以除数，商是整数，而且余数为零。
除尽的条件：1．除数、被除数不一定是整数。
2．被除数除以除数，商是整数或有限小数，而且余数为零。
☆整除是除尽的一种特殊情况。
1.2整数和整除的意义整数a能整除整数b，b叫做a的倍数。
a叫做b的因数。
☆倍数和因数是相互依存的。
1.3能被2、5整除的数1.4素数、合数与分解素因数正整数素数（2是唯一的偶素数）合数既不是素数也不是合数。
素数：除1与本身外没有其他因数的数。
合数：除1与本身外有其他因数的数。
分解素因数用短除法。
（用等式些写结论，分解的书写在最前。
）1.5公因数与最大公因数求两数的最大公因数：1.定义法2.分解素因数3.短除法a 和b 的最大公因数是c 的表示方法：（a ，b ）=c☆若两数互素，那么它们的最大公因数就是1。
☆若两数是倍数关系，那么它们的最大公因数就是较小数。
1.6公倍数与最小公倍数求两数的最小公倍数：1.定义法2.分解素因数3.短除法a 和b 的最小公倍数是c 的表示方法：[a ，b]=c☆若两数互素，那么它们的最小公倍数就是两数的乘积。
☆若两数是倍数关系，那么它们的最大公因数就是较大数。
总结：一个整数正整数 零 负整数☆任何一个合数都可以分解质因数。
1.整除 “三整一零” 整除是除尽的一种特殊情况。
2.倍数，因数整数间的关系 3.互素（两两互素）4.公因数（最大） 最小公倍数5.公倍数（最小） =最大公因数×各自独有的因数奇数（2n 加1，n 为正整数） 偶数（2n ，n 为正整数）素数：只有1和它本身这两个因数 合数：除了1和它本身还有其它因数二、习题练习1.求下列各数的最大公因数和最小公倍数。
（1）56，108，72 （2）36，28,15三、拓展知识对于“每/每隔/每过”不同情况的区分：。
人教版高中数学选修4-6《整除的概念》
a
i 1
m
i
b j 中，除某一项外，其
j 1
n
余各项都能被c整除，则这一项也能被c整除。
常用结论：
（1）设p为素数 ，若p ∣ b a ，则p ∣a 或 p ∣b . （2） p|a 或 (p，a)=1 .
（3）素数判定法则：
p a pa
2
设n是一个正整数，如果对所有的素数p≤ 都有p n，则n一定是素数.
2
例4 设正整数d 不等于2,5,13，证明集合 得a b-1 不是完全平方数。
2,5,13.d 中可以找到两个数a ，b ，使
二、整除
• 1、定义：设a，b是整数，b≠0。如果存在一个整数q使得等式： a=bq 成立，则称b能整除a或a能被b整除，记b∣a； 如果这样的q不存在，则称b不能整除a，记为b a。
a1 , a2 , 例2 设n 为奇数， ，n 的任意一个排列， 证明 (a 1)(a 2) (a n)
1 2 n
, an
是1,2，
必是偶数。
例3 将正方形ABCD分割成 n 个相等 的小方格（n 是正整数），把相对的顶 点A,C染成红色，B,D染成蓝色，其他 交点任意染成红蓝两色中的一种颜色， 证明：恰有三个顶点同颜色的小方格的 数目必是偶数。
ab b
a (b1)
2
a ( b 2)
... 2 1)
a
当n为素数时, 22 – 1=3, 23 – 1＝7, 24 – 1＝31, 27 – 1=127 都是素数, 而 211 – 1 = 2047 = 23 x 89 是合数．
设P为素数, 称如 2p–1的数为梅森(Matin Merdenne)数.
2、整除的性质
数的整除知识点整理
数的整除知识点整理
一、基本概念和符号：
1、整除：如果一个整数a，除以一个自然数b，得到一个整数商c，而且没有余数，那么叫做a能被b整除或b能整除a，记作b|a。
2、常用符号：整除符号“|”，不能整除符号“ ”；因为符号“∵”，所以的符号“∴”；
二、整除判断方法：
1.能被2、5整除：末位上的数字能被2、5整除。
2.能被4、25整除：末两位的数字所组成的数能被4、25整除。
3.能被8、125整除：末三位的数字所组成的数能被8、125整除。
4.能被3、9整除：各个数位上数字的和能被3、9整除。
5.能被7整除：
①末三位上数字所组成的数与末三位以前的数字所组成数之差能被7整除。
②逐次去掉最后一位数字并减去末位数字的2倍后能被7整除。
6.能被11整除：
①末三位上数字所组成的数与末三位以前的数字所组成的数之差能被11整除。
②奇数位上的数字和与偶数位数的数字和的差能被11整除。
③逐次去掉最后一位数字并减去末位数字后能被11整除。
7.能被13整除：
①末三位上数字所组成的数与末三位以前的数字所组成的数之差能被13整除。
②逐次去掉最后一位数字并减去末位数字的9倍后能被13整除。
三、整除的性质：
1.如果a、b能被c整除，那么（a+b）与（a-b）也能被c整除。
2.如果a能被b整除，c是整数，那么a乘以c也能被b整除。
3.如果a能被b整除，b又能被c整除，那么a也能被c整除。
4.如果a能被b、c整除，那么a也能被b和c的最小公倍数整除。
数的整除的概念和定义
第一章数的整除第一节整数和整除教学目标：1、理解整除的定义和自然数的意义。
知道整除的要素，掌握整除的两种表述方法。
2、理解因数与倍数的意义，会求一个整数的因数和倍数。
3、概括出能被2，5整除的数的特征。
知识要点：1.1：整数和整除的意义1、零和正整数统称为自然数。
2、正整数、零、负整数，统称为整数。
3、整数a除以整数b，如果除得的商是整数而余数为零，我们就说a能被b整除；或者说b能整除a.注意整除的条件：1、除数、被除数都是整数；2、被除数除以除数，商是整数而且余数为零。
1.2：因数和倍数1、整数a能被整数b整除，a就叫做b的倍数，b就叫做a的因数（也称约数）。
2、一个整数的因数中最小的因数是1，最大的因数是它本身。
1.3：能被2、5整除的数1、个位上是0，2，4，6，8的整数都能被2整除。
2、能被2整除的整数叫做偶数，不能被2整除的整数叫做奇数。
3、各位上是0或者5的整数都能被5整除。
第二节分解素因数教学目标：1、理解素数、合数的意义。
2、能用求因素的方法或查素数表的方法判断一个正整数是否为素数。
3、熟记20以内的全部素数。
4、理解素因数和分解素因数的意义，掌握分解素因数的方法。
5、掌握最大公因数和最小公倍数的算理和方法。
知识要点：1.4：素数、合数与分解素因数1、一个正整数，如果只有1和它本身两个因素，这样的数叫做素数，也叫做质数；如果除了1和它的本身以外还有别的因素，这样的数叫做合数。
2、1既不是素数，也不是合数。
这样，正整数又可以分为1、素数和合数三类。
34、每个合数都可以写成几个素数相乘的形式，其中每个素数都是这个合数的因数，叫做这个合数的素因数。
把一个合数用素因素相乘的形式表示出来，叫做分解素因数。
5、一般我们用短除法分解素因数，步骤如下：①先用一个能整除这个合数的素数（通常从最小的开始）去除。
第一章数的整除概念整理
第⼀章数的整除概念整理⼀、整数1、整数的分类（2个）：正整数、负整数和零；⾃然数和零⾃然数的分类：正整数和零正整数的分类（2个）：奇数和偶数；素数、合数和12、正整数、负整数、⾃然数、整数的最⼤最⼩：最⼩的正整数：1；最⼤的负整数：-1；最⼩的⾃然数：03、零的意义；表⽰没有，基准线（零上30°C，零下30°C）4、负整数、正整数、零的⼤⼩关系：负整数＜零＜正整数⼆、整除1、整除概念：整数a除以整数b，除得的商是整数⽽余数为零，那么就说a能被b整除，b能整除a2、整除条件：三整⼀余；①被除数、除数、商都是整数②余数为零3、除尽条件：①商是整数或有限⼩数②余数为零4、整除与除尽的关系：能整除的⼀定能除尽，能除尽的不⼀定能整除5、（被除数）能被（除数）整除，（除数）能整除（被除数）三、因数与倍数1、因数与倍数的概念：a÷b=c，若a能被b整除，就说a是b的倍数，b是a的因数2、因数与倍数的相互依存关系3、因数与倍数的求法：注意⼀定要写答句4、因数、倍数的最⼤最⼩，有限⽆限：⼀个数的最⼩因数：1；⼀个数的最⼤因数：它本⾝；⼀个数的最⼩倍数：它本⾝5、⼀个数的最⼤因数=最⼩倍数=它本⾝6、⼀个数的倍数⼀定能整除这个数的所有因数7、能被2整除的数的特征（即2的倍数）：末位是0,2,4,6，能被5整除的数的特征（即5的倍数）：末位是0,5能被3整除的数的特征（即3的倍数）：各个数位上的数字之和能被3整除能被9整除的数的特征（即9的倍数）：各个数位上的数字之和能被9整除能被4整除的数的特征（即4的倍数）：末两位能被4整除能被8整除的数的特征（即8的倍数）：末三位能被8整除四、奇数偶数1、奇数偶数的概念：能被2整除的数叫偶数，不能被2整除的数叫奇数2、奇数偶数最⼤最⼩：正整数中最⼩的奇数：1；最⼩的偶数：2⾃然数中最⼩的奇数：1；最⼩的偶数：0负整数中最⼤的奇数：-1；最⼤的偶数：-2整数中最⼩的奇数：⽆；最⼩的偶数：⽆3、奇数与偶数相邻：相邻两整数⼀定是⼀奇⼀偶4、奇数±奇数=偶数；偶数±偶数=偶数；奇数±偶数=奇数奇数×奇数=奇数；偶数×偶数=偶数；奇数×偶数=偶数五、素数合数1、素数合数的概念：素数：因数只有1和它本⾝（2个因数）合数：除了1和它本⾝以外还有其他因数（3个或3个以上因数）1：因数只有1（1个因数）2、20以内的素数：2,3,5,7,11,13,17,193、哥德巴赫猜想4、素数合数的最⼤最⼩：最⼩的素数：2；最⼩的合数：45、素数合数与奇数偶数的关系：最⼩的奇素数：3；唯⼀的偶素数：2；最⼩的奇合数：9；最⼩的偶合数：4六、素因数1、素因数的概念：既是素数⼜是这个数的因数2、分解素因数的⽅法：树枝分解法、短除法、机算法、⼝算法3、分解素因数短除法的注意点：短除法左边只能放素数（特别要注意不能放1）；分解到素数为⽌；写成合数=素数×素数的形式4、素因数重复的都要写，因数重复的不要写5、xx的素因数有a，b，c6、把xx分解素因数：xx=a×b×c七、公因数和公倍数1、公因数、公倍数、最⼤公因数、最⼩公倍数的概念：公因数：两个数公有的因数最⼤公因数：两个数公因数中最⼤的公倍数：两个数共有的倍数最⼩公倍数：两个数公倍数中最⼩的注意区分最⼤公因数和最⼩公倍数2、求两个数最⼤公因数和最⼩公倍数的⽅法：①枚举法；②分解素因数法；③短除法☆3、区分⽤短除法求两个数的最⼤公因数和最⼩公倍数最⼤公因数只要把左边的数相乘；最⼩公倍数要把左边和下⾯的数相乘4、区分⽤短除法求三个数的最⼤公因数与最⼩公倍数三个数最⼤公因数除到三个数没有共同的素因数为⽌三个数最⼩公倍数除到两两互素为⽌5、两个数有倍数关系或互素时，最⼤公因数与最⼩公倍数的求法两个数互素，最⼤公因数是1，最⼩公倍数是他们的乘积两个数有倍数关系，最⼤公因数是较⼩的那个数，最⼩公倍数是较⼤的那个数6、两个数的最⼤公因数与公因数的关系，两个数的最⼩公倍数与公倍数的关系两个数的公因数是它们最⼤公因数的所有因数；两个数的公倍数是它们最⼩公倍数的所有倍数⼋、互素1、互素概念：两个数的公因数只有12、四种特殊互素情况①两个数素数互素②1和任何数互素③相邻两个数互素④⼀个素数和⼀个合数没有倍数关系的时候互素。
上海市教材六年级数学上概念整理
上学期一.数的整除概念：整除、倍数和因数、奇数和偶数、素数和合数、分解素因数、公倍数和公约数、最小公倍数和最大公约数，互素（1）整除：整数a除以整数b，如果除得的商是整数且余数为零，我们说a能够被b整除，或则b能整除a。
、、都是整数。
注：除尽被除数和除数不一定是整数，商是整数或有限小数，a b c÷=，其中a b c没有余数。
（2）倍数和因数：整数a能够被b整除，a就叫做b的倍数，b就叫做a的因数。
（3）奇数和偶数：整数中能被2整除的整数叫做偶数（2n），余下的整数都是奇数[（2n+1）或（2n-1）]（4）素数和合数：一个正整数，如果只有1和他本身两个因数，这样的数叫做素数（也叫做质数）；除了1和本身以外还有别的因数，这样的数叫做合数。
其中：1既不是素数也不是合数。
（4）分解素因数：每个合数都可以写成几个素数相乘的形式，其中每个素数都是这个合数的因数，叫做这个合数的素因数。
把一个合数用素因数的相乘的形式表示出来，叫做分解素因数。
（7289243322233=⨯=⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯）（5）公倍数和公约数：几个数公有的倍数，叫做这个几个数的公倍数，其中最小的一个叫做最小公倍数；几个数公有的因数，叫做这几个数的公因数，其中最大的一个叫做最大公约数。
求最大公因数的方法1.列举法：分别列出两个数的因数，从公因数中找出它们的最大公因数2.分解素因数法：把两个数分解素因数，最大公因数就是它们公有素因数的乘积3.短除法：用两个数的公因数去除，除到商互素为止，所有除数的乘积就是这两个数的最大公因数4.特征法：如果两个数是互素，那么最小数就是这个数的最大公因数。
（6）互素：如果两个整数的最大公因数为1，那么这两个数互素1~100的素数有：2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53 59 61 67 71 73 79 83 89 972是偶数中唯一的素数；整数：正整数，负整数，零自然数（非负整数）：正整数，零正整数：素数，合数，1二.分数概念：分数的种类、最简分数、约分、通分、分数的运算法则、倒数、分数和小数的互化（1）分数的种类：真分数、假分数、带分数。
数的整除知识点总结
数的整除知识点总结一、整除的概念。
1. 定义。
- 在整数除法中，如果商是整数而没有余数，我们就说被除数能被除数整除，或者说除数能整除被除数。
例如，15÷3 = 5，我们就说15能被3整除，或者说3能整除15。
2. 整除的表示方法。
- 若整数a除以非零整数b，商为整数，且余数为零，我们就说a能被b整除（或说b能整除a），记作ba。
二、数的整除特征。
1. 能被2整除的数的特征。
- 个位数字是0、2、4、6、8的整数能被2整除。
例如12、34、560等都能被2整除。
2. 能被3整除的数的特征。
- 一个数各位数字之和能被3整除，这个数就能被3整除。
例如123，各位数字之和为1 + 2+3 = 6，6能被3整除，所以123能被3整除。
3. 能被5整除的数的特征。
- 个位数字是0或5的整数能被5整除。
如10、15、205等都能被5整除。
4. 能被9整除的数的特征。
- 一个数各位数字之和能被9整除，这个数就能被9整除。
例如279，各位数字之和为2+7 + 9=18，18能被9整除，所以279能被9整除。
5. 能被11整除的数的特征。
- 把一个数由右边向左边数，将奇位上的数字与偶位上的数字分别加起来，再求它们的差，如果这个差是11的倍数（包括0），那么原来这个数就一定能被11整除。
例如132，奇位数字之和为1+2 = 3，偶位数字是3，它们的差为0，0是11的倍数，所以132能被11整除。
三、整除的性质。
1. 传递性。
- 如果ab且bc，那么ac。
例如，如果3能整除6，6能整除18，那么3能整除18。
2. 可加性。
- 如果ab且ac，那么a(b + c)。
例如，5能整除10，5能整除15，那么5能整除10 + 15=25。
3. 可减性。
- 如果ab且ac，那么a(b - c)。
例如，7能整除21，7能整除14，那么7能整除21-14 = 7。
数的整除知识点整理
数的整除知识点整理数的整除是数学中基础而重要的概念之一，常常涉及到算术基本定理、欧几里得算法、最大公因数等其他基本概念。
本文将对数的整除知识点做一个简要的整理和总结，帮助读者更好地掌握这一概念。
一、数的整除的定义在数学中，数的整除被定义为若存在整数q使得a=q*b，则b 被称为a的因数，a被称为b的倍数。
即b能够整除a。
例如，可以说9是3的倍数，因为存在一个整数q=3，使得9=3*3。
因此，3是9的因数，9是3的倍数。
需要注意的是，每个整数都能够被1和它自己整除，因此1和本身也是任何整数的因数。
二、整除的基本性质1. 除数不为0任何数都不能被0整除，即0没有因数，所以任何数除以0都是无意义的。
2. 唯一分解定理为了更好地理解整除，还需要知道数的分解定理。
唯一分解定理，也称为质因数分解定理，指出了任何大于1且不是素数的整数都能够唯一地分解成若干个质数的积。
例如，一个正整数20可以分解成2*2*5。
20的因数可以是1、2、4、5、10和20，而这些因数都是2和5的某种组合。
唯一分解定理是整除的基本性质，它保证了唯一性，即一组因数的乘积只能唯一地分解成若干个质数的积。
这个定理的证明常常采用归纳法的方法，其中用到了欧几里得算法等技巧。
3. 关于最小公倍数在整除中，还经常使用到最小公倍数的概念。
最小公倍数是指一个或多个整数的公共倍数中最小的那个，通常记为lcm(a,b)。
求最小公倍数的方法包括因数分解法、质因数分解法和倍数相减法等多种方法。
这些方法都采用了整除的基本性质，通过确定两个整数的公共因数和公共倍数，最终确定它们的最小公倍数。
例如，最小公倍数lcm(9,15)就是45，因为9和15的公共倍数有：45、90、135等，其中45是最小的。
三、深入了解整除的相关知识1. 余数和模在整除的基础上，还有进一步的概念需要了解，其中包括余数和模。
余数是指一个整数除以另一个整数所得到的余数，也称为“取余数”运算，其符号通常为“%”。
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第一章数的整除概念整理
一、整数
1、整数的分类（2个）：正整数、负整数和零；自然数和零
自然数的分类：正整数和零
正整数的分类（2个）：奇数和偶数；素数、合数和1
2、正整数、负整数、自然数、整数的最大最小：
最小的正整数：1；最大的负整数：-1；最小的自然数：0
3、零的意义；表示没有，基准线（零上30°C，零下30°C）
4、负整数、正整数、零的大小关系：
负整数＜零＜正整数
二、整除
1、整除概念：
整数a除以整数b，除得的商是整数而余数为零，那么就说a能被b整除，b能整除a
2、整除条件：三整一余；
①被除数、除数、商都是整数②余数为零
3、除尽条件：
①商是整数或有限小数②余数为零
4、整除与除尽的关系：
能整除的一定能除尽，能除尽的不一定能整除
5、（被除数）能被（除数）整除，（除数）能整除（被除数）
三、因数与倍数
1、因数与倍数的概念：
a÷b=c，若a能被b整除，就说a是b的倍数，b是a的因数
2、因数与倍数的相互依存关系
3、因数与倍数的求法：注意一定要写答句
4、因数、倍数的最大最小，有限无限：
一个数的最小因数：1；一个数的最大因数：它本身；一个数的最小倍数：它本身
5、一个数的最大因数=最小倍数=它本身
6、一个数的倍数一定能整除这个数的所有因数
7、能被2整除的数的特征（即2的倍数）：末位是0,2,4,6，
能被5整除的数的特征（即5的倍数）：末位是0,5
能被3整除的数的特征（即3的倍数）：各个数位上的数字之和能被3整除
能被9整除的数的特征（即9的倍数）：各个数位上的数字之和能被9整除
能被4整除的数的特征（即4的倍数）：末两位能被4整除
能被8整除的数的特征（即8的倍数）：末三位能被8整除
四、奇数偶数
1、奇数偶数的概念：
能被2整除的数叫偶数，不能被2整除的数叫奇数
2、奇数偶数最大最小：
正整数中最小的奇数：1；最小的偶数：2
自然数中最小的奇数：1；最小的偶数：0
负整数中最大的奇数：-1；最大的偶数：-2
整数中最小的奇数：无；最小的偶数：无
3、奇数与偶数相邻：相邻两整数一定是一奇一偶
4、奇数±奇数=偶数；偶数±偶数=偶数；奇数±偶数=奇数
奇数×奇数=奇数；偶数×偶数=偶数；奇数×偶数=偶数
五、素数合数
1、素数合数的概念：
素数：因数只有1和它本身（2个因数）
合数：除了1和它本身以外还有其他因数（3个或3个以上因数）1：因数只有1（1个因数）
2、20以内的素数：
2,3,5,7,11,13,17,19
3、哥德巴赫猜想
4、素数合数的最大最小：
最小的素数：2；最小的合数：4
5、素数合数与奇数偶数的关系：
最小的奇素数：3；唯一的偶素数：2；最小的奇合数：9；最小的偶合数：4
六、素因数
1、素因数的概念：
既是素数又是这个数的因数
2、分解素因数的方法：
树枝分解法、短除法、机算法、口算法
3、分解素因数短除法的注意点：
短除法左边只能放素数（特别要注意不能放1）；
分解到素数为止；
写成合数=素数×素数的形式
4、素因数重复的都要写，因数重复的不要写
5、xx的素因数有a，b，c
6、把xx分解素因数：xx=a×b×c
七、公因数和公倍数
1、公因数、公倍数、最大公因数、最小公倍数的概念：
公因数：两个数公有的因数
最大公因数：两个数公因数中最大的
公倍数：两个数共有的倍数
最小公倍数：两个数公倍数中最小的
注意区分最大公因数和最小公倍数
2、求两个数最大公因数和最小公倍数的方法：
①枚举法；②分解素因数法；③短除法☆
3、区分用短除法求两个数的最大公因数和最小公倍数
最大公因数只要把左边的数相乘；最小公倍数要把左边和下面的数相乘
4、区分用短除法求三个数的最大公因数与最小公倍数
三个数最大公因数除到三个数没有共同的素因数为止
三个数最小公倍数除到两两互素为止
5、两个数有倍数关系或互素时，最大公因数与最小公倍数的求法
两个数互素，最大公因数是1，最小公倍数是他们的乘积
两个数有倍数关系，最大公因数是较小的那个数，最小公倍数是较大的那个数
6、两个数的最大公因数与公因数的关系，两个数的最小公倍数与公倍数的关系
两个数的公因数是它们最大公因数的所有因数；
两个数的公倍数是它们最小公倍数的所有倍数
八、互素
1、互素概念：两个数的公因数只有1
2、四种特殊互素情况
①两个数素数互素
②1和任何数互素
③相邻两个数互素
④一个素数和一个合数没有倍数关系的时候互素。