人教A版选修2-32.3.2离散型随机变量的方差

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2019-2020学年高二数学人教A版选修2-3文档：第2章 2.3.2 离散型随机变量的方差 Word版含答案

2.3.2 离散型随机变量的方差1．理解取有限个值的离散型随机变量的方差及标准差的概念． 2．能计算简单离散型随机变量的方差，并能解决一些实际问题．(重点)3．掌握方差的性质以及两点分布、二项分布的方差的求法，会利用公式求它们的方差．(难点)[基础·初探]教材整理1 离散型随机变量的方差的概念阅读教材P 64～P 66上面第四自然段，完成下列问题． 1．离散型随机变量的方差、标准差 (1)定义：设离散型随机变量X 的分布列为则(x i －E (X ))2描述了x i (i ＝1,2，…，n )相对于均值E (X )的偏离程度，而D (X )＝i ＝1n(x i －E (X ))2p i 为这些偏离程度的加权平均，刻画了随机变量X 与其均值E (X )的平均偏离程度．称D (X )为随机变量X 的方差，其算术平方根错误!为随机变量X 的标准差．(2)意义：随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值偏离于均值的平均程度．方差或标准差越小，则随机变量偏离于均值的平均程度越小．2．随机变量的方差与样本方差的关系随机变量的方差是总体的方差，它是一个常数，样本的方差则是随机变量，是随样本的变化而变化的．对于简单随机样本，随着样本容量的增加，样本的方差越来越接近于总体的方差．1．下列说法正确的有________(填序号)．①离散型随机变量ξ的期望E(ξ)反映了ξ取值的概率的平均值；②离散型随机变量ξ的方差D(ξ)反映了ξ取值的平均水平；③离散型随机变量ξ的期望E(ξ)反映了ξ取值的波动水平；④离散型随机变量ξ的方差D(ξ)反映了ξ取值的波动水平．【解析】①错误．因为离散型随机变量ξ的期望E(ξ)反映了ξ取值的平均水平．②错误．因为离散型随机变量ξ的方差D(ξ)反映了随机变量偏离于期望的平均程度．③错误．因为离散型随机变量的方差D(ξ)反映了ξ取值的波动水平，而随机变量的期望E(ξ)反映了ξ取值的平均水平．④正确．由方差的意义可知．【答案】④2．已知随机变量ξ，D(ξ)＝19，则ξ的标准差为________．【解析】ξ的标准差错误!＝错误!＝错误!.【答案】1 33．已知随机变量ξ的分布列如下表：则ξ的均值为________【解析】均值E(ξ)＝x1p1＋x2p2＋x3p3＝(－1)×12＋0×13＋1×16＝－13；方差D(ξ)＝(x1－E(ξ))2·p1＋(x2－E(ξ))2·p2＋(x3－E(ξ))2·p3＝5 9 .【答案】－1359教材整理2离散型随机变量的方差的性质阅读教材P66第5自然段～P66探究，完成下列问题．1．服从两点分布与二项分布的随机变量的方差(1)若X服从两点分布，则D(X)＝p(1－p)；(2)若X ～B (n ，p )，则D (X )＝np (1－p )． 2．离散型随机变量方差的线性运算性质设a ，b 为常数，则D (aX ＋b )＝a 2D (X )．1．若随机变量X 服从两点分布，且成功概率P ＝0.5，则D (X )＝________，E (X )＝________.【解析】 E (X )＝0.5，D (X )＝0.5(1－0.5)＝0.25. 【答案】 0.25 0.52．一批产品中，次品率为13，现连续抽取4次，其次品数记为X ，则D (X )的值为________.【导学号：29472071】【解析】由题意知X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫4，13，所以D (X )＝4×13×⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1－13＝89.【答案】893．已知随机变量X ，D (10X )＝1009，则X 的标准差为________．【解析】因为D (10X )＝100D (X )＝1009，所以D (X )＝19，所以错误!＝错误!.【答案】 13[小组合作型]离散型随机变量的方差的性质及应用(1)已知随机变量X 服从二项分布，即X ～B (n ，p )，且E (X )＝7，D (X )＝6，则p 等于( )A.17B.16C.15D.14(2)已知η的分布列为：②设Y＝2η－E(η)，求D(Y)．【精彩点拨】(1)利用二项分布的方差计算公式求解．(2)①利用方差、标准差定义求解；②利用方差的线性运算性质求解．【自主解答】(1)np＝7且np(1－p)＝6，解得1－p＝67，∴p＝17.【答案】 A(2)①∵E(η)＝0×13＋10×25＋20×115＋50×215＋60×115＝16，D(η)＝(0－16)2×13＋(10－16)2×25＋(20－16)2×115＋(50－16)2×215＋(60－16)2×115＝384，∴错误!＝8错误!.②∵Y＝2η－E(η)，∴D(Y)＝D(2η－E(η))＝22D(η)＝4×384＝1 536.1．对于变量间存在关系的方差，在求解过程中应注意方差性质的应用，如D(aξ＋b)＝a2D (ξ)，这样处理既避免了求随机变量η＝aξ＋b的分布列，又避免了繁杂的计算，简化了计算过程．2．若ξ～B(n，p)，则D(ξ)＝np(1－p)，若ξ服从两点分布，则D(ξ)＝p(1－p)，其中p为成功概率，应用上述性质可大大简化解题过程．[再练一题]1．为防止风沙危害，某地政府决定建设防护绿化带，种植杨树、沙柳等植物．某人一次种植了n 株沙柳，已知各株沙柳成活与否是相互独立的，成活率为p ，设X 为成活沙柳的株数，已知E (X )＝3，D (X )＝32，求n ，p 的值．【解】由题意知，X 服从二项分布B (n ，p )，由E (X )＝np ＝3，D (X )＝np (1－p )＝32，得1－p ＝12，∴p ＝12，n ＝6.求离散型随机变量的方差、标准差编号为1,2,3的三位学生随意入座编号为1,2,3的三个座位，每位学生坐一个座位，设与座位编号相同的学生的人数是ξ，求E (ξ)和D (ξ)．【精彩点拨】首先确定ξ的取值，然后求出ξ的分布列，进而求出E (ξ)和D (ξ)的值．【自主解答】 ξ的所有可能取值为0,1,3，ξ＝0表示三位同学全坐错了，有2种情况，即编号为1,2,3的座位上分别坐了编号为2,3,1或3,1,2的学生，则P (ξ＝0)＝2A33＝13； ξ＝1表示三位同学只有1位同学坐对了，则P (ξ＝1)＝C13A33＝12；ξ＝3表示三位学生全坐对了，即对号入座，则P(ξ＝3)＝1A33＝16.所以，ξ的分布列为E(ξ)＝0×13＋1×12＋3×16＝1；D(ξ)＝13×(0－1)2＋12×(1－1)2＋16×(3－1)2＝1.求离散型随机变量的方差的类型及解决方法1．已知分布列型(非两点分布或二项分布)：直接利用定义求解，具体如下，(1)求均值；(2)求方差．2．已知分布列是两点分布或二项分布型：直接套用公式求解，具体如下，(1)若X服从两点分布，则D(X)＝p(1－p)．(2)若X～B(n，p)，则D(X)＝np(1－p)．3．未知分布列型：求解时可先借助已知条件及概率知识求得分布列，然后转化成(1)中的情况．4．对于已知D(X)求D(aX＋b)型，利用方差的性质求解，即利用D(aX＋b)＝a2D(X)求解．[再练一题]2．有10张卡片，其中8张标有数字2,2张标有数字5，从中随机地抽取3张卡片，设3张卡片数字之和为ξ，求E(ξ)和D(ξ).【导学号：29472072】【解】这3张卡片上的数字之和为ξ，这一变量的可能取值为6,9,12.ξ＝6表示取出的3张卡片上均标有2，则P(ξ＝6)＝C38C310＝715.ξ＝9表示取出的3张卡片上两张标有2，一张标有5，则P(ξ＝9)＝C28C12C310＝715.ξ＝12表示取出的3张卡片上一张标有2，两张标有5，则P(ξ＝12)＝C18C22C310＝115.∴ξ的分布列为∴E(ξ)＝6×715＋9×715＋12×115＝7.8.D(ξ)＝(6－7.8)2×715＋(9－7.8)2×715＋(12－7.8)2×115＝3.36.[探究共研型]均值、方差的综合应用探究1A，B两台机床同时加工零件，每生产一批数量较大的产品时，出次品的概率如下表：试求E(X12【提示】E(X1)＝0×0.7＋1×0.2＋2×0.06＋3×0.04＝0.44.E(X2)＝0×0.8＋1×0.06＋2×0.04＋3×0.10＝0.44.探究2 在探究1中，由E(X1)和E(X2)的值能比较两台机床的产品质量吗？为什么？【提示】不能．因为E(X1)＝E(X2)．探究3 在探究1中，试想利用什么指标可以比较A、B两台机床加工质量？【提示】利用样本的方差．方差越小，加工的质量越稳定．甲、乙两名射手在一次射击中得分为两个相互独立的随机变量ξ，η，已知甲、乙两名射手在每次射击中射中的环数大于6环，且甲射中10,9,8,7环的概率分别为0.5,3a，a,0.1，乙射中10,9,8环的概率分别为0.3,0.3,0.2.(1)求ξ，η的分布列；(2)求ξ，η的数学期望与方差，并以此比较甲、乙的射击技术．【精彩点拨】(1)由分布列的性质先求出a和乙射中7环的概率，再列出ξ，η的分布列．(2)要比较甲、乙两射手的射击水平，需先比较两射手击中环数的数学期望，然后再看其方差值．【自主解答】(1)由题意得：0.5＋3a＋a＋0.1＝1，解得a＝0.1.因为乙射中10,9,8环的概率分别为0.3,0.3,0.2.所以乙射中7环的概率为1－(0.3＋0.3＋0.2)＝0.2.所以ξ，η的分布列分别为(2)由(1)得：E(ξ)＝10×0.5＋9×0.3＋8×0.1＋7×0.1＝9.2；E(η)＝10×0.3＋9×0.3＋8×0.2＋7×0.2＝8.7；D(ξ)＝(10－9.2)2×0.5＋(9－9.2)2×0.3＋(8－9.2)2×0.1＋(7－9.2)2×0.1＝0.96；D(η)＝(10－8.7)2×0.3＋(9－8.7)2×0.3＋(8－8.7)2×0.2＋(7－8.7)2×0.2＝1.21.由于E(ξ)>E(η)，D(ξ)<D(η)，说明甲射击的环数的均值比乙高，且成绩比较稳定，所以甲比乙的射击技术好．利用均值和方差的意义分析解决实际问题的步骤1．比较均值．离散型随机变量的均值反映了离散型随机变量取值的平均水平，因此，在实际决策问题中，需先计算均值，看一下谁的平均水平高．2．在均值相等的情况下计算方差．方差反映了离散型随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度．通过计算方差，分析一下谁的水平发挥相对稳定．3．下结论．依据方差的几何意义做出结论．[再练一题]3．有甲、乙两名学生，经统计，他们在解答同一份数学试卷时，各自的成绩在80分、90分、100分的概率分布大致如下表所示：【解】因为E (X )＝80×0.2＋90×0.6＋100×0.2＝90， D (X )＝(80－90)2×0.2＋(90－90)2×0.6＋(100－90)2×0.2＝40， E (Y )＝80×0.4＋90×0.2＋100×0.4＝90，D (Y )＝(80－90)2×0.4＋(90－90)2×0.2＋(100－90)2×0.4＝80，即E (X )＝E (Y )，D (X )<D (Y )，所以甲生与乙生的成绩均值一样，甲的方差较小，因此甲生的学习成绩较稳定．1．设一随机试验的结果只有A 和A ，且P (A )＝m ，令随机变量ξ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，A 发生，0，A 不发生，则ξ的方差D (ξ)等于( )A ．mB ．2m (1－m )C ．m (m －1)D ．m (1－m )【解析】随机变量ξ的分布列为：∴E (ξ)＝0×(1－m )＋1×m ∴D (ξ)＝(0－m )2×(1－m )＋(1－m )2×m ＝m (1－m )．【答案】 D 2．已知X 的分布列为则D(X)等于( )A．0.7 B．0.61C．－0.3 D．0【解析】E(X)＝－1×0.5＋0×0.3＋1×0.2＝－0.3，D(X)＝0.5×(－1＋0.3)2＋0.3×(0＋0.3)2＋0.2×(1＋0.3)2＝0.61.【答案】 B3．有两台自动包装机甲与乙，包装质量分别为随机变量X1，X2，已知E(X1)＝E(X2)，D(X1 )>D(X2)，则自动包装机________的质量较好．【解析】因为E(X1)＝E(X2)，D(X1)>D(X2)，故乙包装机的质量稳定．【答案】乙4．已知随机变量X服从二项分布B(n，p)．若E(X)＝30，D(X)＝20，则p＝________.【解析】由E(X)＝30，D(X)＝20，可得错误!解得p＝错误!.【答案】1 35．已知离散型随机变量X的分布列如下表：若E(X)＝0，D(X)＝1【导学号：29472073】【解】由题意，错误!解得a＝512，b＝c＝14.。

2014年人教A版选修2-3教案 2.3.2 离散型随机变量的方差

2．3．2离散型随机变量的方差教学目标：知识与技能：了解离散型随机变量的方差、标准差的意义，会根据离散型随机变量的分布列求出方差或标准差。

过程与方法：了解方差公式“D (a ξ+b )=a 2D ξ”，以及“若ξ～Β(n ，p )，则D ξ=np (1—p )”，并会应用上述公式计算有关随机变量的方差。

情感、态度与价值观：承前启后，感悟数学与生活的和谐之美 ,体现数学的文化功能与人文价值。

教学重点：离散型随机变量的方差、标准差教学难点：比较两个随机变量的期望与方差的大小，从而解决实际问题教具准备：多媒体、实物投影仪。

教学设想：了解方差公式“D (a ξ+b )=a 2D ξ”，以及“若ξ～Β(n ，p )，则D ξ=np (1—p )”，并会应用上述公式计算有关随机变量的方差。

授课类型：新授课课时安排：2课时教具：多媒体、实物投影仪内容分析：数学期望是离散型随机变量的一个特征数，它反映了离散型随机变量取值的平均水平，表示了随机变量在随机实验中取值的平均值，所以又常称为随机变量的平均数、均值．今天，我们将对随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度进行研究．其实在初中我们也对一组数据的波动情况作过研究，即研究过一组数据的方差.回顾一组数据的方差的概念：设在一组数据1x ，2x ，…，n x 中，各数据与它们的平均值x 得差的平方分别是21)(x x -，22)(x x -，…，2)(x x n -，那么[12nS =21)(x x -＋22)(x x -＋…＋])(2x x n - 叫做这组数据的方差教学过程：一、复习引入：1.随机变量：如果随机试验的结果可以用一个变量来表示，那么这样的变量叫做随机变量随机变量常用希腊字母ξ、η等表示2. 离散型随机变量:对于随机变量可能取的值，可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量3．连续型随机变量: 对于随机变量可能取的值，可以取某一区间内的一切值，这样的变量就叫做连续型随机变量4.离散型随机变量与连续型随机变量的区别与联系: 离散型随机变量与连续型随机变量都是用变量表示随机试验的结果；但是离散型随机变量的结果可以按一定次序一一列出，而连续性随机变量的结果不可以一一列出5. 分布列:6. 分布列的两个性质： ⑴P i ≥0，i ＝1，2，...； ⑵P 1+P 2+ (1)7.二项分布:ξ～B (n ，p )，并记kn k k n q p C -＝b (k ；n ，p )．8.几何分布： g (k ，p )= 1k q p -，其中k ＝0,1,2,…， p q -=1．9.数学期望: 一般地，若离散型随机变量ξ的概率分布为则称 =ξE +11p x +22p x …++n n p x … 为ξ的数学期望，简称期望．10. 数学期望是离散型随机变量的一个特征数，它反映了离散型随机变量取值的平均水平 11 平均数、均值:在有限取值离散型随机变量ξ的概率分布中，令=1p =2p …n p =，则有=1p =2p …n p n 1==，=ξE +1(x +2x …nx n 1)⨯+，所以ξ的数学期望又称为平均数、均值12. 期望的一个性质: b aE b a E +=+ξξ)( 13.若ξB （n,p ），则E ξ=np二、讲解新课：1. 方差: 对于离散型随机变量ξ，如果它所有可能取的值是1x ，2x ，…，n x ，…，且取这些值的概率分别是1p ，2p ，…，n p ，…，那么,ξD ＝121)(p E x ⋅-ξ＋222)(p E x ⋅-ξ＋…＋n n p E x ⋅-2)(ξ＋…称为随机变量ξ的均方差，简称为方差，式中的ξE 是随机变量ξ的期望．2. 标准差:ξD 的算术平方根ξD 叫做随机变量ξ的标准差，记作σξ．3.方差的性质：（1）ξξD a b a D 2)(=+；（2）22)(ξξξE E D -=；（3）若ξ～B (n ，p )，则=ξD np (1-p )4.其它：⑴随机变量ξ的方差的定义与一组数据的方差的定义式是相同的；⑵随机变量ξ的方差、标准差也是随机变量ξ的特征数，它们都反映了随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度；⑶标准差与随机变量本身有相同的单位，所以在实际问题中应用更广泛三、讲解范例：例1．随机抛掷一枚质地均匀的骰子,求向上一面的点数的均值、方差和标准差. 解：抛掷散子所得点数X 的分布列为从而111111123456 3.5666666EX =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=;2222221111(1 3.5)(2 3.5)(3 3.5)(4 3.5)666611(5 3.5)(6 3.5) 2.9266DX =-⨯+-⨯+-⨯+-⨯+-⨯+-⨯≈1.71X σ=.例2．有甲乙两个单位都愿意聘用你，而你能获得如下信息：根据工资待遇的差异情况，你愿意选择哪家单位？解：根据月工资的分布列，利用计算器可算得 EX 1 = 1200×0.4 + 1 400×0.3 + 1600×0.2 + 1800×0.1 = 1400 ,DX 1 = (1200-1400) 2 ×0. 4 + (1400-1400 ) 2×0.3 + (1600 -1400 )2×0.2+(1800-1400) 2×0. 1= 40 000 ;EX 2＝1 000×0.4 +1 400×0.3 + 1 800×0.2 + 2200×0.1 = 1400 ,DX 2 = (1000-1400)2×0. 4+(1 400-1400)×0.3 + (1800-1400)2×0.2 + (2200-1400 )2×0.l = 160000 .因为EX 1 =EX 2, DX 1<DX 2，所以两家单位的工资均值相等，但甲单位不同职位的工资相对集中，乙单位不同职位的工资相对分散．这样，如果你希望不同职位的工资差距小一些，就选择甲单位；如果你希望不同职位的工资差距大一些，就选择乙单位．例3．设随机变量ξ的分布列为求D ξ解：（略）12n E ξ+=, 2D 12ξ=例4．已知离散型随机变量1ξ的概率分布为离散型随机变量2ξ的概率分布为求这两个随机变量期望、均方差与标准差解：47177127111=⨯+⋅⋅⋅+⨯+⨯=ξE ； 471)47(71)42(71)41(2221=⨯-+⋅⋅⋅+⨯-+⨯-=ξD ；11==ξσξD4713.4718.3717.32=⨯+⋅⋅⋅+⨯+⨯=ξE ；2ξD =0.04, 2.022==ξσξD .点评：本题中的1ξ和2ξ都以相等的概率取各个不同的值，但1ξ的取值较为分散，2ξ的取值较为集中．421==ξξE E ，41=ξD ，04.02=ξD ，方差比较清楚地指出了2ξ比1ξ取值更集中．1σξ＝2，2σξ=0.02，可以看出这两个随机变量取值与其期望值的偏差例5．甲、乙两射手在同一条件下进行射击，分布列如下：射手甲击中环数8，9，10的概率分别为0.2,0.6,0.2;射手乙击中环数8，9，10的概率分别为0.4,0.2,0.24用击中环数的期望与方差比较两名射手的射击水平解：180.290.6100.29E ξ=⨯+⨯+⨯=221(89)0.2(99)0.6D ξ=-⨯+-⨯+（10-9）4.02.02=⨯；同理有.0,922==ξξD E由上可知，21ξξE E =，1D D ξξ<所以，在射击之前，可以预测甲、乙两名射手所得的平均环数很接近，均在9环左右，但甲所得环数较集中，以9环居多，而乙得环数较分散，得8、10环地次数多些．点评：本题中，1ξ和2ξ所有可能取的值是一致的，只是概率的分布情况不同．21ξξE E ==9，这时就通过1ξD =0.4和2ξD =0.8来比较1ξ和2ξ的离散程度，即两名射手成绩的稳定情况例6．A 、B 两台机床同时加工零件，每生产一批数量较大的产品时，出次品的概率如下表所示：A 机床B 机床问哪一台机床加工质量较好解： E ξ1=0×0.7+1×0.2+2×0.06+3×0.04=0.44,E ξ2=0×0.8+1×0.06+2×0.04+3×0.10=0.44.它们的期望相同，再比较它们的方差D ξ1=（0-0.44）2×0.7+（1-0.44）2×0.2+（2-0.44）2×0.06+（3-0.44）2×0.04=0.6064,D ξ2=（0-0.44）2×0.8+（1-0.44）2×0.06+（2-0.44）2×0.04+（3-0.44）2×0.10=0.9264. ∴D ξ1< D ξ2 故A 机床加工较稳定、质量较好. 四、课堂练习：1 .已知()~,,8, 1.6B n p E D ξξξ==，则,n p 的值分别是（） A ．1000.08和； B ．200.4和； C ．100.2和； D ．100.8和答案：1.D2. 一盒中装有零件12个，其中有9个正品，3个次品，从中任取一个，如果每次取出次品就不再放回去，再取一个零件，直到取得正品为止．求在取得正品之前已取出次品数的期望．分析：涉及次品率；抽样是否放回的问题．本例采用不放回抽样，每次抽样后次品率将会发生变化，即各次抽样是不独立的．如果抽样采用放回抽样，则各次抽样的次品率不变，各次抽样是否抽出次品是完全独立的事件．解：设取得正品之前已取出的次品数为ξ，显然ξ所有可能取的值为0，1，2，3 当ξ=0时，即第一次取得正品，试验停止，则 P （ξ=0）=43129= 当ξ=1时，即第一次取出次品，第二次取得正品，试验停止，则 P （ξ=1）=449119123=⨯ 当ξ=2时，即第一、二次取出次品，第三次取得正品，试验停止，则 P （ξ=2）=2209109112123=⨯⨯ 当ξ=3时，即第一、二、三次取出次品，第四次取得正品，试验停止，则P （ξ=3）=220199101112123=⨯⨯⨯ 所以，E ξ=10322013220924491430=⨯+⨯+⨯+⨯ 3. 有一批数量很大的商品的次品率为1%，从中任意地连续取出200件商品，设其中次品数为ξ，求E ξ，D ξ分析：涉及产品数量很大，而且抽查次数又相对较少的产品抽查问题．由于产品数量很大，因而抽样时抽出次品与否对后面的抽样的次品率影响很小，所以可以认为各次抽查的结果是彼此独立的．解答本题，关键是理解清楚：抽200件商品可以看作200次独立重复试验，即ξB （200，1%），从而可用公式：E ξ=np ，D ξ=npq(这里q=1-p)直接进行计算解：因为商品数量相当大，抽200件商品可以看作200次独立重复试验，所以ξB（200，1%E ξ=np ，D ξ=npq ，这里n=200，p=1%，q=99%，所以，E ξ=200×1%=2,D ξ=200×1%×99%=1.984. 设事件A 发生的概率为p ，证明事件A 在一次试验中发生次数ξ的方差不超过1/4 分析：这是一道纯数学问题．要求学生熟悉随机变量的期望与方差的计算方法，关键还是掌握随机变量的分布列．求出方差D ξ=P(1-P)后，我们知道D ξ是关于P(P ≥0)的二次函数，这里可用配方法，也可用重要不等式证明结论证明：因为ξ所有可能取的值为0，1且P （ξ=0）=1-p,P(ξ=1)=p, 所以，E ξ=0×(1-p)+1×p=p则 D ξ=（0-p ）2×(1-p)+(1-p) 2×p=p(1-p) 412)p 1(p 2=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+≤5. 有A 、B 两种钢筋，从中取等量样品检查它们的抗拉强度，指标如下：其中ξA 、ξB 分别表示A 、B 两种钢筋的抗拉强度．在使用时要求钢筋的抗拉强度不低于120，试比较A 、B 两种钢筋哪一种质量较好分析：两个随机变量ξA 和ξB &都以相同的概率0．1，0．2，0．4，0．1，0．2取5个不同的数值．ξA 取较为集中的数值110，120，125，130，135；ξB 取较为分散的数值100，115，125，130，145．直观上看，猜想A 种钢筋质量较好．但猜想不一定正确，需要通过计算来证明我们猜想的正确性解：先比较ξA 与ξB 的期望值，因为E ξA =110×0.1+120×0.2+125×0.4+130×0.1+135×0.2=125,E ξB =100×0.1+115×0.2+125×0.4十130×0.1+145×0.2=125.所以，它们的期望相同．再比较它们的方差．因为D ξA=(110-125)2×0.1+(120-125) 2×0.2+(130-125)2×0.1+(135-125) 2×0.2=50，D ξB=(100-125)2×0.1+(110-125) 2×0.2+(130-125)2×0.1+(145-125)2×0.2=165.所以，D ξA < D ξB .因此，A 种钢筋质量较好6. 在有奖摸彩中，一期(发行10000张彩票为一期)有200个奖品是5元的，20个奖品是25元的，5个奖品是100元的．在不考虑获利的前提下，一张彩票的合理价格是多少元？分析：这是同学们身边常遇到的现实问题，比如福利彩票、足球彩票、奥运彩票等等．一般来说，出台各种彩票，政府要从中收取一部分资金用于公共福利事业，同时也要考虑工作人员的工资等问题．本题的“不考虑获利”的意思是指：所收资金全部用于奖品方面的费用解：设一张彩票中奖额为随机变量ξ，显然ξ所有可能取的值为0，5，25，100依题意，可得ξ的分布列为2.02000100500255054000E =⨯+⨯+⨯+⨯=ξ答：一张彩票的合理价格是0．2元．五、小结：⑴求离散型随机变量ξ的方差、标准差的步骤：①理解ξ的意义，写出ξ可能取的全部值；②求ξ取各个值的概率，写出分布列；③根据分布列，由期望的定义求出E ξ；④根据方差、标准差的定义求出ξD 、σξ.若ξ～B (n ，p )，则不必写出分布列，直接用公式计算即可．⑵对于两个随机变量1ξ和2ξ，在1ξE 和2ξE 相等或很接近时，比较1ξD 和2ξD ，可以确定哪个随机变量的性质更适合生产生活实际，适合人们的需要六、课后作业：七、板书设计（略）八、教学反思：⑴求离散型随机变量ξ的方差、标准差的步骤： ①理解ξ的意义，写出ξ可能取的全部值； ②求ξ取各个值的概率，写出分布列； ③根据分布列，由期望的定义求出E ξ；④根据方差、标准差的定义求出ξD 、σξ.若ξ～B (n ，p )，则不必写出分布列，直接用公式计算即可．⑵对于两个随机变量1ξ和2ξ，在1ξE 和2ξE 相等或很接近时，比较1ξD 和2ξD ，可以确定哪个随机变量的性质更适合生产生活实际，适合人们的需要。

人教A版数学选修2—3 2.3.2 离散型随机变量的方差(共19张ppt)

1 n
x1
x
2
x2
x
2
1 n
n i 1
xi
x
2
Байду номын сангаас
pi
.
xn
x
2
反映了样本数据与样本平均值的偏离
程度能. 否用一个与样本方差类似的量来
刻画随机变量的稳定性呢?
三、方差的定义
设离散型随机变量 X 的分布列为：
X x1 x2 ··· xi ··· xn P p1 p2 ··· pi ··· pn
随机变量的方差是常数，而样本的方差是随着样本的不同而变化的，因此样本的方差是随机变量.
对于简单随机样本，随着样本容量的增加，样本方差越来越接近总体方差，因此常用样本方差来估计总体方差.
引例回顾
第如一果名其同他学对击手中的目射标击靶成的绩环都数在X17的环分左布右列，：
应XP派1 哪0.50一3 名0.6选09手0参.720赛0？.831
获得相应职位的概率P 1
0.4 0.3 0.2 0.1
乙单位不同职位月工资X2/元 1000 1400 1800 2200 获得相应职位的概率P2 0.4 0.3 0.2 0.1
D X1 (1200-1400) 2 0. 4 (1400-1400 ) 2 0.3 (1600 -1400 )2 0.2
D(X )：随机变量 X 的方差， D(X ) 标准差
X
X
三、方差的定义
几点说明：（1）随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值偏离于均值的平均程度.
方差或标准差越小，则随机变量偏离于均值的平均程度越小，越稳定。
三、方差的定义
几点说明：（2）随机变量的方差与样本的方差有何联系与区别？

人教版高中数学选修2-3第二章2.3.2离散型随机变量的方差

导入新课复习回顾1 .离散型随机变量 X 的均值均值反映了离散型随机变量取值的平均水平.2 . 两种特殊分布的均值（1）若随机变量X 服从两点分布，则EX=p.（2）若X~B(n ，p) ，则EX=np.ni ii=1EX =x p数学期望是离散型随机变量的一个特征数，它反映了离散型随机变量取值的平均水平，表示了随机变量在随机实验中取值的平均值，所以又常称为随机变量的平均数、均值.今天，我们将对随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度进行研究.2.3.2离散型随机变量的方差教学目标知识与技能（1）了解离散型随机变量的方差、标准差的意义；（2）会根据离散型随机变量的分布列求出方差或标准差.过程与方法了解方差公式“D(aξ+b)=a2Dξ”，以及“若ξ~Β(n，p)，则Dξ=np(1-p)”，并会应用上述公式计算有关随机变量的方差 .情感、态度与价值观承前启后，感悟数学与生活的和谐之美 ,体现数学的文化功能与人文价值.教学重难点重点离散型随机变量的方差、标准差.难点比较两个随机变量的期望与方差的大小，从而解决实际问题 .思考要从两名同学中挑选出一名，代表班级参加射击比赛. 根据以往的成绩记录，第一名同学击中目标靶的环数X1的分布列为X1 5 6 7 8 9 10P 0.03 0.09 0.20 0.31 0.27 0.10第二名同学击中目标靶的环数X2的分布列为X2 5 6 7 8 9P 0.01 0.05 0.20 0.41 0.33根据已学知识，可以从平均中靶环数来比较两名同学射击水平的高低，即通过比较X1和X2的均值来比较两名同学射击水平的高低. 通过计算E(X1)=8，E(X2)=8，发现两个均值相等，因此只根据均值不能区分这两名同学的射击水平.思考除平均中靶环数外，还有其他刻画两名同学各自射击特点的指标吗？图(1)(2)分别表示X 1和X 2的分布列图. 比较两个图形，可以发现，第二名同学的射击成绩更集中于8环，即第二名同学的射击成绩更稳定. O 5 6 7 10 9 8 P 1X 0.10.20.30.40.5O 5 6 7 9 8 P 2X 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 (1) (2) 怎样定量刻画随机变量的稳定性?1.方差设离散型随机变量X 的分布列为知识要点X x 1 x 2 … x i … x n Pp 1p 2…p i…p n则(x i -E(X))2描述了x i (i=1，2，…，n)相对于均值E(X)的偏离程度.为这些偏离程度的加权平均，刻画了随机变量 X 与其均值 EX 的平均偏离程度.我们称 DX 为随机变量 X 的方差(variance). 其算术平方根为随机变量X 的标准差(standard deviation). 记为 n2i ii=1DX =(x -EX)p DX σX 随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值偏离于均值的平均程度.方差或标准差越小，则随机变量偏离于均值的平均程度越小.说明：随机变量集中的位置是随机变量的均值；方差或标准差这种度量指标是一种加权平均的度量指标.思考随机变量的方差与样本的方差有何联系与区别?随机变量的方差是常数，而样本的方差是随着样本的不同而变化的，因此样本的方差是随机变量.对于简单随机样本，随着样本容量的增加，样本方差越来越接近总体方差，因此常用样本方差来估计总体方差.现在，可以用两名同学射击成绩的方差来刻画他们各自的特点，为选派选手提供依据.由前面的计算结果及方差的定义，得∑102DX=(i-8)P(X=i)=1.50,11i=5∑92DX=(i-8)P(X=i)=0.8222i=5因此第一名同学的射击成绩稳定性较差，第二名同学的射击成绩稳定性较好，稳定于8环左右.知识要点2.几点重要性质（1）若X服从两点分布，则D(X)=p(1-p); （2）若X~B(n，p)，则D(X)=np(1-p); （3）D(aX+b)=a2D(X).例题1A、B两台机床同时加工零件，每生产一批数量较大的产品时，出次品的概率如下表所示：0 1 2 3次品数ξ1概率P 0.7 0.2 0.06 0.040 1 2 3次品数ξ1概率P 0.8 0.06 0.04 0.10问哪一台机床加工质量较好？解：Eξ1=0×0.7+1×0.2+2×0.06+3×0.04=0.44, Eξ2=0×0.8+1×0.06+2×0.04+3×0.10=0.44. 它们的期望相同，再比较它们的方差Dξ1=(0-0.44)2×0.7+(1-0.44)2×0.2+(2-0.44)2 ×0.06+(3-0.44)2×0.04=0.6064,Dξ2=(0-0.44)2×0.8+(1-0.44)2×0.06+(2-0.44)2 ×0.04+(3-0.44)2×0.10=0.9264.∴Dξ1< Dξ2 故A 机床加工较稳定、质量较好.例题2有甲乙两个单位都愿意聘用你，而你能获得如下信息：/元1200 1400 1600 1800 甲单位不同职位月工资X10.4 0.3 0.2 0.1获得相应职位的概率P1乙单位不同职位月工资X/元1000 1400 1800 220020.4 0.3 0.2 0.1获得相应职位的概率P2根据工资待遇的差异情况，你愿意选择哪家单位？解：根据月工资的分布列，利用计算器可算得1EX =12000.4 + 1 4000.3 + 16000.2 + 18000.1 =1400⨯⨯⨯⨯2221DX = (1200-1400) 0. 4 + (1400-1400 )0.3 + (1600 -1400 )0.2⨯⨯⨯2+(1800-1400) 0. 1= 40 000⨯2EX =1 0000.4 +1 4000.3 + 1 8000.2 + 22000.1 = 1400⨯⨯⨯⨯2222DX = (1000-1400)0. 4+(1 400-1400)0.3 + (1800-1400)0.2⨯⨯⨯2+ (2200-1400 )0.l = 160000 .⨯分析：因为，所以两家单位的工资均值相等，但甲单位不同职位的工资相对集中，乙单位不同职位的工资相对分散.这样，如果你希望不同职位的工资差距小一些，就选择甲单位；如果你希望不同职位的工资差距大一些，就选择乙单位.1212EX =EX ,DX <DX例题3有同寝室的四位同学分别写一张贺年卡，先集中起来，然后每人去拿一张，记自己拿自己写的贺年卡的人数为X.（1）求随机变量的概率分布；（2）求X的数学期望和方差.4411689P(X =4)==,P(X =3)=0,P(X =2)=,P(X =1)=,P(X =0)=A 242424249861E(X)=0+1+2+30+4=124242424⨯⨯⨯⨯⨯222229861V(X)=(0-1)+(1-1)+(2-1)+(3-1)0+(4-1)=124242424⨯⨯⨯⨯⨯解：（1）因此X 的分布列为（2） X 0 1 23 4 P 9/24 8/24 6/24 0 1/24例题3有一庄家为吸引顾客玩掷骰子游戏，以便自己轻松获利，以海报形式贴出游戏规则：顾客免费掷两枚骰子，把掷出的点数相加，如果得2或12，顾客中将30元；如果得3或11，顾客中将20元；如果得4或10，顾客中将10元；如果得5或9，顾客应付庄家10元；如果得6或8，顾客应付庄家20元；如果得7，顾客应付庄家30元．试用数学知识解释其中的道理.解 :设庄家获利的数额为随机变量，根据两枚骰子的点数之和可能的结果以及游戏规则可得随机变量的概率分布为：X -30 -20 -10 10 20 30 P 2/36 4/36 6/36 8/36 10/36 6/36 246810665 E(X)=(-30)+(-20)+(-10)+10+20+30=⨯⨯⨯⨯⨯⨯3636363636369因此，顾客每玩36人次，庄家可获利约260元，但不确定顾客每玩36人次一定会有些利润；长期而言，庄家获利的均值是这一常数，也就是说庄家一定是赢家.1.熟记方差计算公式课堂小结n 2i i i=1DX =(x -EX)p 2=E(X-EX)22=EX -(EX)2. 三个重要的方差公式（1）若 X 服从两点分布，则（2）若，则 X ~B(n,p)DX =np(1-p)DX =p(1-p)2(3)D(aX +b)=a DX3.求离散型随机变量X的方差、标准差的一般步骤：①理解X 的意义，写出X 可能取的全部值；②求X取各个值的概率，写出分布列；③根据分布列，由期望的定义求出EX；④根据方差、标准差的定义求出、σXDX高考链接1. （2005年天津）某公司有5万元资金用于投资开发项目，如果成功，一年后可获利12%，一旦失败，一年后将丧失全部资金的50%，下表是过去200例类似项目开发的实施结果：投资成功投资失败192次8次则该公司一年后估计可获收益的期望是_____（元）.[答案]4760提示：分布列为ξ0.6 -2.5P 192/200 8/192故1928Eξ=0.6-2.5=4760()200200元⨯⨯2.（2002年天津）甲、乙两种冬小麦试验品种连续5年的平均单位面积产量如下（单位：5t/hm2）表所示：品种第一年第二年第三年第四年第五年甲9.8 9.9 10.1 10 10.2 乙9.4 10.3 10.8 9.7 9.8则其中产量比较稳定的小麦品种是_______．[答案]甲种3.（2004年湖北）某突发事件，在不采取任何预防措施的情况下发生的概率为0.3，一旦发生，将造成400万元的损失．现有甲、乙两种相互独立的预防措施可供采用，单独采用甲、乙预防措施所需的费用分别为45万元和30万元，采用相应预防措施后此突发事件不发生的概率分别为0.9和0.85，若预防方案允许甲、乙两种预防措施单独采用，联合采用或不采用，请确定预防方案使总费用最少.（总费用=采取预防措施的费用＋发生突发事件损失的期望值）[解析]①不采用预防措施时，总费用即损失期望值为400×0.3=120（万元）；②若单独采取措施甲，则预防措施费用为45万元，发生突发事件的概率为1－0.9=0.1，损失期望值为400×0.l=40（万元），所以总费用为45＋40=85（万元）；③若单独采取预防措施乙，则预防措施费用为30万元，发生突发事件的概率为1－0.85=0.15，损失期望值为400×0.15=60（万元），所以总费用为30＋60=90（万元）；继续④若联合采取甲、乙两种预防措施，则预防措施费用为45＋30=75（万元），发生突发事件的概率为(1－0.9)(1－0.85)=0.015，损失期望值为400×0.015=6（万元），所以总费用为75＋6=81（万元）．综合①、②、③、④，比较其总费用可知，应选择联合采取甲、乙两种预防措施，可使总费用最少．1.填空课堂练习（1）已知x~B(100,0.5),则Ex=___,Dx=____,sx=___. E(2x-1)=____, D(2x-1)=____, s(2x-1)=_____. 50 25 59910010（1）已知随机变量x 的分布列如上表,则E x 与D x 的值为( )A. 0.6和0.7B. 1.7和0.3C. 0.3和0.7D. 1.7和0.21（2）已知x~B(n ，p)，E x =8，D x =1.6，则n ， p 的值分别是（）A ．100和0.08；B ．20和0.4；C ．10和0.2；D ．10和0.8 2.选择 √ x1 2 P 0.3 0.7√3.解答题（1）一盒中装有零件12个，其中有9个正品，3个次品，从中任取一个，如果每次取出次品就不再放回去，再取一个零件，直到取得正品为止．求在取得正品之前已取出次品数的期望.分析：涉及次品率；抽样是否放回的问题．本例采用不放回抽样，每次抽样后次品率将会发生变化，即各次抽样是不独立的．如果抽样采用放回抽样，则各次抽样的次品率不变，各次抽样是否抽出次品是完全独立的事件.解：设取得正品之前已取出的次品数为ξ，显然ξ所有可能取的值为0，1，2，3①当ξ=0时，即第一次取得正品，试验停止，则P （ξ=0）= ②当ξ=1时，即第一次取出次品，第二次取得正品，试验停止，则P （ξ=1）= 43129=449119123=⨯③当ξ=2时，即第一、二次取出次品，第三次取得正品，试验停止，则P （ξ=2）= ④当ξ=3时，即第一、二、三次取出次品，第四次取得正品，试验停止，则 P （ξ=3）= 所以，Eξ= 3299=121110220⨯⨯32191=1211109220⨯⨯⨯399130+1+2+3=44422022010⨯⨯⨯⨯继续（2）有一批数量很大的商品的次品率为1%，从中任意地连续取出200件商品，设其中次品数为ξ，求Eξ，Dξ分析：涉及产品数量很大，而且抽查次数又相对较少的产品抽查问题．由于产品数量很大，因而抽样时抽出次品与否对后面的抽样的次品率影响很小，所以可以认为各次抽查的结果是彼此独立的．解答本题，关键是理解清楚：抽200件商品可以看作200次独立重复试验，即ξ~B（200，1%），从而可用公式：Eξ=np，Dξ=npq(这里q=1-p)直接进行计算.解：因为商品数量相当大，抽200件商品可以看作200次独立重复试验，所以ξ~ B（200，1%）因为Eξ=np，Dξ=npq，这里n=200，p=1%，q=99%，所以,Eξ=200×1%=2,Dξ=200×1%×99%=1.98.习题解答1. E(X)=0×0.1+1×0.2+2×0.4+3×0.2+4×0.1=2. D(X)=(0-2)2×0.1+(1-2)2×0.2+(2-2)2×0.4+(3- 2)2×0.2+(4-2)2×0.1=1.2.D(X) 1.095.2. E(X)=c×1=c，D(X)=(c-c)2×1=0.3. 略.。

高二数学,人教A版选修2-3, 2.3.2,离散型随机变量,的方差课件

E( X 2 ) 1000 0.4 1400 0.3 1800 0.2 2200 0.1 1400
D(X1) 1000 14002 0.4 1400 14002 0.3
1800 14002 0.2 2200 14002 0.1 112000
解根据月工资的分布列,有
E( X1) 1200 0.4 1400 0.3 1600 0.2 1800 0.1 1400
D(X1) 1200 14002 0.4 1400 14002 0.3
1600 14002 0.2 1800 14002 0.1 40000
6
6
6
DX 1.71
练习已知随机变量X的分布列
X P
求D(X)
01234 0.1 0.2 0.4 0.2 0.1
E(X ) 00.110.2 20.4 3 0.2 4 0.1 2
D(X ) 0 22 0.1 1 22 0.2 2 22 0.4 3 22 0.2 4 22 0.1 1.2
平均射击水平没有差异
还有其它刻画两名同学各自射击特点的指标吗?
第二名比第
一名同学射击成绩稳定, 且集中于8环
X1分布列图 X2分布列图
回忆怎样刻画样本数据的稳定性? 样本方差
用类似的量来刻画随机变量的稳定性
设离散型随机变量X的分布列为 X x1 x2 ... xi ... xn P p1 p2 ... pi ... pn
D1 4.41108
存入银行
2
8000
P
0.3
8000 0.5
8000 0.2
E2 8000
D2 0

人教A版选修2-32.3.2离散型随机变量的方差.docx

高中数学学习材料唐玲出品选修2-3 2.3.2 离散型随机变量的方差一、选择题1．下面说法中正确的是( )A ．离散型随机变量ξ的均值E (ξ)反映了ξ取值的概率的平均值B ．离散型随机变量ξ的方差D (ξ)反映了ξ取值的平均水平C ．离散型随机变量ξ的均值E (ξ)反映了ξ取值的平均水平D ．离散型随机变量ξ的方差D (ξ)反映了ξ取值的概率的平均值 [答案] C[解析] 离散型随机变量ξ的均值E (ξ)反映ξ取值的平均水平，它的方差反映ξ的取值的离散程度．故答案选C.2．已知随机变量X 的分布列为：P (X ＝k )＝13，k ＝1、2、3，则D (3X ＋5)＝( )A ．6B ．9C ．3D ．4[答案] A[解析] E (X )＝(1＋2＋3)×13＝2，D (X )＝[(1－2)2＋(2－2)2＋(3－2)2]×13＝23，∴D (3X ＋5)＝9D (X )＝6.3．设X ～B (n ，p )，且E (X )＝12，D (X )＝4，则n 与p 的值分别为( ) A ．18，13B ．12，23C ．18，23D ．12，13[答案] C[解析] 由⎩⎪⎨⎪⎧ E (X )＝12D (X )＝4得⎩⎪⎨⎪⎧np ＝12np (1－p )＝4则p ＝23，n ＝18.4．(2010·山东理，6)样本中共有五个个体，其值分别为a,0,1,2,3.若该样本的平均值为1，则样本方差为( )A.65B.65C. 2D ．2[答案] D[解析] ∵a ＋0＋1＋2＋35＝1，∴a ＝－1，故s 2＝15[(－1－1)2＋(0－1)2＋(1－1)2＋(2－1)2＋(3－1)2]＝2.5．已知随机变量ξ的数学均值为E (ξ)，方差为D (ξ)，随机变量η＝ξ－E (ξ)D (ξ)，则D (η)的值为( )A ．0B ．－1C ．1D.D (ξ)[答案] C[解析] E (ξ)与D (ξ)均为常数，不妨设E (ξ)＝a ，D (ξ)＝b ，则η＝ξ－E (ξ)D (ξ)＝1b ξ－a b .∴D (η)＝D ⎝⎛⎭⎫1b ξ－a b ＝1b 2D (ξ)＝1.6．随机变量X ～B (100,0.2)，那么D (4X ＋3)的值为( ) A ．64 B ．256 C ．259D ．320 [答案] B[解析] 由X ～B (100,0.2)知随机变量X 服从二项分布，且n ＝100，p ＝0.2，由公式得D (X )＝np (1－p )＝100×0.2×0.8＝16，因此D (4X ＋3)＝42D (X )＝16×16＝256，故选B.7．已知X 的分布列如下表．则在下列式子中：①E (X )＝－13；②D (X )＝2327；③P (X ＝0)＝13.正确的有( )X －1 0 1 P121316A.0个 B ．1个 C ．2个D ．3个[答案] C[解析] 易求得D (X )＝⎝⎛⎭⎫－1＋132×12＋⎝⎛⎭⎫0＋132×13＋⎝⎛⎭⎫1＋132×16＝59，故只有①③正确，故选C.8．甲，乙两台自动机床各生产同种标准产品1000件，ξ表示甲车床生产1000件产品中的次品数，η表示乙车床生产1000件产品中的次品数，经过一段时间的考察ξ，η的分布列分别如表一，表二所示．据此判定( )表一ξ 0 1 2 3 P0.70.20.1表二ξ 0 1 2 3 P0.60.20.10.1A.甲比乙质量好 B ．乙比甲质量好 C ．甲与乙质量相同 D ．无法判定 [答案] B[解析] 由分布列可求甲的次品数期望为E (ξ)＝0.7，乙的次品数期望为E (η)＝0.7，进而得D (ξ)＝(0－0.7)2×0.7＋(1－0.7)2×0＋(2－0.7)2×0.2＋(3－0.7)2×0.1＝1.21，D (η)＝(0－0.7)2×0.6＋(1－0.7)2×0.2＋(2－0.7)2×0.1＋(3－0.7)2×0.1＝1.01，故乙的质量要比甲好．二、填空题9．某射手击中目标的概率为p ，则他射击n 次，击中目标次数X 的方差为________． [答案] np (1－p ) [解析] ∵X ～B (n ，p )， ∴D (X )＝np (1－p )．10．已知总体的各个体的值由小到大依次为2,3,3,7，a ，b,12,13.7,18.3,20，且总体的中位数为10.5.若要使该总体的方差最小，则a 、b 的取值分别是________．[答案] 10.5、10.5[解析] 由题意得a ＋b2＝10.5，∴a ＋b ＝21，x ＝2＋3＋3＋7＋21＋13.7＋18.3＋20＋1210＝10，∴s 2＝110[(10－2)2＋(10－3)2＋(10－3)2＋(10－7)2＋(10－a )2＋(10－b )2＋(10－12)2＋(10－13.7)2＋(10－18.3)2＋(10－20)2]＝110[82＋72＋72＋32＋(10－a )2＋(10－b )2＋4＋3.72＋8.32＋102] ＝110[(10－a )2＋(10－21＋a )2＋…] ＝110[2(a －10.5)2＋…] 当a ＝10.5时，方差s 最小，b ＝10.5. 11．随机变量X 的分布列如下表：X －1 0 1 Pabc其中a ，b ，c 成等差数列，若E (X )＝13，则D (X )的值是______．[答案] 59[解析] ∵a ＋b ＋c ＝1,2b ＝a ＋c ， ∴b ＝13，a ＋c ＝23，又∵E (X )＝13，∴13＝－a ＋c ，故a ＝16，c ＝12，D (X )＝(－1－13)2×16＋(0－13)2×13＋(1－13)2×12＝59.12．(2009·广东·理12)已知离散型随机变量X 的分布列如下表，若E (X )＝0，D (X )＝1，，则a ＝________，b ＝__________.X －1 0 1 2 Pabc112[答案]512；14[解析] 考查离散型随机变量的分布列、期望和方差的计算．由条件及E (X )＝x 1p 1＋x 2p 2＋…＋x n p n ，D (X )＝(x 1－E (X ))2p 1＋(x 2－E (X ))2p 2＋…＋(x n －E (X ))2p n 得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋b ＋c ＝1112－a ＋c ＋16＝0a ＋c ＋13＝1，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝512b ＝14c ＝14.三、解答题13．有三张形状、大小、质地完全一致的卡片，在每张卡片上写上0、1、2，现从中任意抽取一张，将其上数字记作x ，然后放回，再抽取一张，其上数字记作y ，令X ＝x ·y .求(1)X 的概率分布；(2)随机变量X 的均值与方差． [解析] (1)P (X ＝0)＝53×3＝59； P (X ＝1)＝13×3＝19；P (X ＝2)＝23×3＝29；P (X ＝4)＝13×3＝19.X 的分布列如下表：X 0 1 2 4 P59192919(2)E (X )＝1，D (X )＝169.14．甲、乙两名射手在一次射击中得分为两个相互独立的随机变量ξ与η，且ξ、η的分布列为ξ 1 2 3 Pa 0.1 0.6η 1 2 3 P0.3b0.3求：(1)a 、b 的值；(2)计算ξ、η的均值与方差，并以此分析甲、乙的技术状况． [解析] (1)由离散型随机变量的分布列的性质可知a ＋0.1＋0.6＝1， ∴a ＝0.3.同理0.3＋b ＋0.3＝1，b ＝0.4.(2)E (ξ)＝1×0.3＋2×0.1＋3×0.6＝2.3，E (η)＝1×0.3＋2×0.4＋3×0.3＝2，D (ξ)＝(1－2.3)2×0.3＋(2－2.3)2×0.1＋(3－2.3)2×0.6＝0.81， D (η)＝(1－2)2×0.3＋(2－2)2×0.4＋(3－2)2×0.3＝0.6.由于E (ξ)＞E (η)，说明在一次射击中，甲的平均得分比乙高，但D (ξ)>D (η)，说明甲得分的稳定性不如乙，因此甲、乙两人技术水平都不够全面，各有优势与劣势．[点评] 比较技术水平、机器性能、产品质量，通常要同时考虑期望与方差这两个特征数． 15．甲、乙两个野生动物保护区有相同的自然环境，且野生动物的种类和数量也大致相同．而两个保护区内每个季度发现违反保护条例的事件次数的分布列分别为：甲保护区：X 0 1 2 3 P0.30.30.20.2乙保护区：X 0 1 2 P0.10.50.4试评定这两个保护区的管理水平．[解析] 甲保护区的违规次数X 的均值和方差为E (ξ)＝0×0.3＋1×0.3＋2×0.2＋3×0.2＝1.3，D (ξ)＝(0－1.3)2×0.3＋(1－1.3)2×0.3＋(2－1.3)2×0.2＋(3－1.3)2×0.2＝1.21；乙保护区的违规次数η的均值和方差为E (η)＝0×0.1＋1×0.5＋2×0.4＝1.3，D (η)＝(0－1.3)2×0.1＋(1－1.3)2×0.5＋(2－1.3)2×0.4＝0.41.因为E (ξ)＝E (η)，D (ξ)>D (η)，所以两个保护区内每季度发生的违规平均次数是相同的，但乙保护区内的违规事件次数更集中和稳定，而甲保护区的违规事件次数相对分散和波动．16．有一批零件共10个合格品，2个不合格品．安装机器时从这批零件中任选1个，取到合格品才能安装；若取出的是不合格品，则不再放回．(1)求最多取2次零件就能安装的概率；(2)求在取得合格品前已经取出的次品数X 的分布列，并求出X 的均值E (X )和方差D (X )(方差计算结果保留两个有效数字)．[分析] 注意取到不合格品时不再放回，故可考虑用等可能性事件的概率公式求概率值． [解析] (1)设安装时所取零件的次数是η，则P (η＝1)＝1012＝56，这是取1次零件就取到了合格品，可以安装；P (η＝2)＝212×1011＝533，这是第1次取到不合格品，第2次取到了合格品．∴最多取2次零件就能安装的概率为56＋533＝6566. (2)依题意X 的所有可能取值为0、1、2， P (X ＝0)＝P (η＝1)＝56，P (X ＝1)＝P (η＝2)＝533，P (X ＝2)＝1－56－533＝166.故X 的分布列是X 0 1 2 P56533166于是E (X )＝0×56＋1×533＋2×166＝211，D (X )＝56×⎝⎛⎭⎫2112＋533×⎝⎛⎭⎫9112＋166×⎝⎛⎭⎫20112≈0.18.所以X 的期望值和方差值分别是211和0.18.。

高中数学人教A版选修2-3教学课件：2.3.2离散型随机变量的方差

• [例1] 已知随机变量X获取以下主要信息：①给出 X 的分布列；②求 X 的期望、方差和标准差． • 解答本题可先弄清楚题目的要求，再直接应用相应的定义求解．
[ 解析 ]
1 1 1 1 1 E(X) ＝ 1× 7 ＋ 2× 7 ＋ 3× 7 ＋ 4× 7 ＋ 5× 7 ＋
• 则E(X)＝0×0.4＋1×0.6＝0.6， • D(X) ＝ (0 － 0.6)2×0.4 ＋ (1 － 0.6)2×0.6 ＝ 0.24. • (2)由题意，重复5次投篮，命中次数η服从二项分布，即η～B(5,0.6)． • 由二项分布期望与方差的计算公式，有 • E(η)＝5×0.6＝3，D(η)＝5×0.6×0.4＝1.2.
• [例3] 已知某运动员投篮命中率p＝0.6. • (1)求一次投篮命中次数X的期望与方差； • (2)求重复5次投篮时，命中次数η的均值与方差． • [分析 ] (1) 投篮一次可能投中，也可能不中，投中次数X服从两点分布． • (2) 重复五次投篮的投中次数 η 服从二项分布．
• [解析] (1)投篮一次命中次数X的分布列为 X 0 1 P 0.4 0.6
• [ 点评 ] 求离散型随机变量的期望与方差的关键环节是以下两点： • (1)写出离散型随机变量的分布列； • (2) 正确应用均值与方差的公式进行计算 (要熟练掌握两点分布、二项分布的期望与方差的公式)．
• 一、选择题 • 1 ．甲，乙两个运动员射击命中环数 ξ ， η 的分布列如下表．其中射击比较稳定的运动员是 • ( ) 8 9 10 环数k 0.3 0.2 0.5 P(ξ＝k) 0.2 0.4 0.4 P(η＝k)
偏离程度
稳定性
• 2．样本方差反映了所有样本数据与样本平均值的，用它可以刻画样本数据的． X x 1 x2 … xi … xn • 3．随机变量的方差、标准差的定义： P p 1 p2 … pi … pn . • 设离散型随机变量的分布列如下表

人教版A版高中数学选修2-3：2.3.2 离散型随机变量的方差

学科：数学年级：高二
版本：人教A版
一、评价反馈
1、优秀小组：第2组、第7组 2、存在的问题：学生对离散型随机变量的方差、标准差计算还不熟练，学生的计算能力还需加强。另外，预习评价部分大都数同学都有问题。
一、评价反馈
4、解决存在的问题： 1.一盒中装有零件12个，其中有9个正品，3 个次品，从中任取一个，如果每次取出次品就不再放回去，再取一个零件，直到取得正品为止．求在取得正品之前已取出次品数的期望．
四、当堂检测：
1.已知甲、乙两名射手在一次射击中的得分为两个相互独立的随机变量ζ和η，已知ζ和η的分布列如下：（注得分越大，水平越高），试分析甲、乙技术状况。
ζ1
2
3
p a 0.1 0.6
η 123 p 0.3 b 0.3
五、小结：今天你学习那些知识？
ξB 100 115 125 130 145 P 0.1 0.2 0.4 0.1 0.2
其中ξA、ξB分别表示A、B两种钢筋的抗拉强度．在使用时要求钢筋的抗拉强度不低于120，试比较A、B两种钢筋哪一种质量较好。
三、探究总结、形成新知
例2.在有奖摸彩中，一期(发行10000张彩票为一期)有 200个奖品是5元的，20个奖品是25元的，5个奖品是100 元的．在不考虑获利的前提下，一张彩票的合理价格是多少元？
二、复习探究、思考引入
问题：有一批数量很大的商品的次品率为1%，从中任意地连
续取出200件商品，设其中次品数为ξ，求E（ξ），D（ξ）。
三、探究总结、形成新知新疆
王新敞奎屯
例1．A、B两台机床同时加工零件，每生产一
批数量较大的产品时，出次品的概率如下表所
示： A机床

高中数学人教A版选修2-3第二章2.3.2离散型随机变量的方差

X DX 1.2 1.095
2、若随机变量X满足P（X＝c）＝1，其中c为常数，求EX和DX。
解：离散型随机变量X的散布列为：
Xc P1
单点散布
EX＝c×1＝c DX＝（c－c）2×1＝0
二．随机变量方差的性质
你能证明下面结论吗？
D(aX b) a2DX
三．特殊散布列的方差
若X服从两点分布，则DX p(1 p)
练习册第36页
练习一家面包房根据以往某种面包的销售记录,绘制了日销售量的频率散布直方图,如图:
将日销售量落入各组的频率视为概率,并假设每天的销售量相互独立. (1)求在未来连续3天里,有连续2天的日销售量都不低于100 个且另1天的日销售量低于50个的概率; (2)用X表示在未来3天里日销售量不低于100个的天数,求随机变量X的散布列,期望及方差.
课堂练习书本第68页
1、已知随机变量X的散布列
X01234 P 0.1 0.2 0.4 0.2 0.1 求DX和σX．
解：EX 00.110.2 20.4 30.2 40.1 2 DX (0 2)2 0.1 (1 2)2 0.2 (2 2)2 0.4 (3 2)2 0.2 (4 2)22 有甲乙两个单位都愿意聘请你，而你能获得如下信息：
甲单位不同职位月工资X1/元 1200 1400
获得相应职位的概率P1
0.4 0.3
1600 0.2
1800 0.1
乙单位不同职位月工资X2/元 1000 1400 1800 2200
获得相应职位的概率P2
0.4 0.3
题型二特殊散布列的均值与方差
1、已知X～B(n, p)，EX 8,DX 1.6, 则n 10, p 0.8

人教A版高中数学选修2-3配套课件：2.3.2 离散型随机变量的方差

提示:D(η)=22×0.5=2.
.
x
第五页，编辑于星期日：六点十六分。
2.3.2
目标导航
离散型随机变量的方差
课前预习导学
课堂合作探究
KEQIAN YUXI DAOXUE
KETANG HEZUO TANJIU
预习导引
2.两点分布与二项分布的随机变量的方差
x
(1)若 X 服从两点分布,则 D(X)=p(1-p);
活动与探究
问题:实际问题中,均值和方差对我们的一些决策有何作用?
提示:利用均值和方差的意义可以分析、解决实际问题,也就是当我
们希望实际的平均水平比较理想时,则先求它们的均值,但不要误认为
均值相等时,它们都一样好,这时,还应看它们相对于均值的偏离程度,也
x
就是看哪一个相对稳定(即计算方差的大小),稳定者就更好,如果我们希
美江西,让鸟儿自由飞翔”.为更好地保护鄱阳湖候鸟资源,需评测保护区
的管理水平.
现甲、乙两个野生动物保护区有相同的自然环境,且候鸟的种类和
数量也大致相等,两个保护区内每个季度发现违反保护条例的事件次
数的分布列分别为
X
0
1
2
3
P
0.3
0.3
0.2
0.2
Y
0
1
2
P
0.1
0.5
0.4
试评定这两个保护区的管理水平.
Y=aX+b,则 D(Y)=D(aX+b)=a2D(X),可以简化解答过程,提高解题效率.
第十五页，编辑于星期日：六点十六分。
2.3.2
问题导学
离散型随机变量的方差
课前预习导学
课堂合作探究

高中数学人教A版选修2-32.3.2 离散型随机变量的方差课件

[活学活用]
已知随机变量 ξ 的分布列为：
ξ
0
1
x
P
1 2
1 3
p
若 E(ξ)＝23． (1)求 D(ξ)的值；
(2)若 η＝3ξ－2，求 Dη的值．
解：由分布列的性质，得12＋13＋p＝1，解得 p＝16， ∵E(ξ)＝0×12＋1×13＋16x＝23， ∴x＝2． (1)D(ξ)＝0－232×12＋1－232×13＋2－232×16＝1257＝59． (2)∵η＝3ξ－2， ∴D(η)＝D(3ξ－2)＝9D(ξ)＝5，∴ Dη＝ 5．
[典例] 已知随机变量 X 的分布列是
X
0
1
2
3
4
P 0．2 0．2 0．3 0．2 0．1
试求 D(X)和 D(2X－1)．
[解] E(X)＝0×0．2＋1×0．2＋2×0．3＋3×0．2＋4×0．1
＝1．8． ∴D(X)＝(0－1．8)2×0．2＋(1－1．8)2×0．2＋(2－1．8)2×0．3
和 D(X)分别为
()
A．0．5 和 0．25
B．0．5 和 0．75
C．1 和 0．25 答案：A
D．1 和 0．75
3．D(ξ－D(ξ))的值为
()
A．无法求
B．0
C．D(ξ)
D．2D(ห้องสมุดไป่ตู้)
答案：C
4．牧场的 10 头牛，因误食疯牛病毒污染的饲料被感染，已知该病的发病率为 0．02，设发病牛的头数为 X，则 D(X)等于 ________．答案：0．196
利用均值和方差的意义解决实际问题的步骤 (1)比较均值：离散型随机变量的均值反映了离散型随机变量取值的平均水平，因此，在实际决策问题中，需先计算均值，看一下谁的平均水平高． (2)在均值相等的情况下计算方差：方差反映了离散型随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度．通过计算方差，分析一下谁的水平发挥相对稳定． (3)下结论：依据均值和方差的几何意义做出结论．

2019-2020学年高二数学人教A版选修2-3课件：2.3.2 离散型随机变量的方差

2.3.2 离散型随机变量
的方差
M 目标导航
题型二
题型四
题型一
UBIAODAOHANG
题型三
题型二
Z 知识梳理
HISHI SHULI
Z 重难聚焦
HONGNAN JVJIAO
D典例透析
IANLI TOUXI
离散型随机变量的方差的性质及应用
【例2】已知η的分布列为
η
P
0
1
3
10
2
5
20
1
15
50
2
15
方差和标准差.
2.掌握方差的性质,两点分布、二项分布的方差的求解公式,会利
用公式求它们的方差.
第二页，编辑于星期日：点十九分。
-2-
2.3.2 离散型随机变量
的方差
1
M 目标导航
UBIAODAOHANG
Z 知识梳理
HISHI SHULI
Z 重难聚焦
HONGNAN JVJIAO
D典例透析
IANLI TOUXI
2.3.2 离散型随机变量的方差
第一页，编辑于星期日：点十九分。
-1-
2.3.2 离散型随机变量
的方差
M 目标导航
UBIAODAOHANG
Z 知识梳理
HISHI SHULI
Z 重难聚焦
HONGNAN JVJIAO
D典例透析
IANLI TOUXI
1.理解离散型随机变量的方差以及标准差的意义,会根据分布列求
(1)求ξ的分布列、均值和方差;
(2)若η=aξ+b,E(η)=1,D(η)=11,试求a,b的值.
分析(1)根据题意,由古典概型概率公式求出分布列,再利用均值、

高中数学人教A版选修2-3课前导引：2.3.2离散型随机变量的方差 Word版含解析

2.3.2 离散型随机变量的方差
课前导引
问题导入
随机变量的期望显示了随机变量取值的平均水平，但这还不足以描述随机变量的其它特征.在许多实际问题中，除了考虑随机变量的期望，还要研究它的各个值与平均值之间的离散程度.而方差就反映出了随机变量与平均值之间的差别程度.
知识预览
1.方差、标准差.
设离散型随机变量X的分布列为
X x1x2…x i…x n
P p1p2…p i…p n
则(x i-EX)2描述了x i(i=1,2, …,n)相对于均值EX的偏离程度.而DX=∑
=-
n
N
i
i
P
EX
X
1
2
)
(为这
些偏离程度的加权平均，刻画了随机变量X与其均值EX的平均偏离程度，我们称DX为随机变量X的方差，其算术平方根DX为随机变量X的标准差，记作σX.
2.随机变量函数的方差
对随机变量函数y=ax+b(a、b的常数)而言，EY=E(ax+b)=aEX+b,则DY=a2DX
3.两点分布与二项分布的方差
(1)若X服从两点分布，则DX=p(p-p)
(2)若X—B(n,p),则DX=npq(q=1-p).。

人教A版高中数学选修2-3课件2.3.2离散型随机变量的方差

X1 2
P 0.3 0.7
(C) 0.3和0.7 (D)1.7和0.21
2.已知X~B(100,0.5),则E(X)=_5_0_,D(X)=_2_5__.
E(2X-1)=_9_9__, D(2X-1)=_1_0_0_.
3. 有一批数量很大的商品，其中次品占1％，现从中任意地连续取出200件商品，设其次品数为 X，求E(X)和D(X).
求D（X）和 D( X ).
解：E( X ) 0 0.1 1 0.2 2 0.4 3 0.2 4 0.1 2 D( X ) (0 2)2 0.1 (1 2)2 0.2 (2 2)2 0.4
(3 2)2 0.2 (4 2)2 0.1 1.2
甲单位不同职位月 1200 1400 1600 1800
工资X1/元
获得相应职位的概 0.4
率P1
0.3 0.2 0.1
乙单位不同职位月 1000 1400 1800 2200
工资X2/元
获得相应职位的概 0.4 0.3 0.2 0.1
率P2
根据工资待遇的差异情况，你愿意选择哪家单位？
解：E( X1) 1400, E( X 2 ) 1400 D(X1) 40000, D(X 2 ) 1120
D( X ) 1.2 1.095
2.若随机变量x 满足P（x＝c）＝1，其中c为常数，求Ex 和 Dx.
Ex＝c×1＝c, Dx＝（c－c）2×1＝0.
结论
根据期望的定义可推出下面两个重要结论:
结论1：若Y aX b, 则E(Y ) aE(X ) b ;
结论2：若X~B(n，p)，则E(X)= np.
解:∵E(X1)= 8 0.2 9 0.6 10 0.2 9 E(X2)= 8 0.4 9 0.2 10 0.4 9

人教A版高中数学选修2-3课件 2.3.2离散型随机变量的方差课件5

C5k(13)k(23)5－k，(k＝0、1、2、3、4、5)，则 D(3ξ)＝(
)
A．10
B．30
C．15
D．5
[答案] A
[解析] 由 ξ 的分布列知 ξ～B(5，13)，
∴D(ξ)＝5×13(1－13)＝190， ∴D(3ξ)＝9D(ξ)＝10，故选 A.
5．随机变量 X 的分布列如下表：
X
解之得，a＝152，b＝14.
离散型随机变量的方差的性质
已知随机变量 X 的分布列是
X0
1
2
3
4
P 0.2 0.2 0.3 0.2 0.1 试求 D(X)和 D(2X－1)．
[分析] 已知分布列求方差，可先求出均值，再套用公式计算．求D(2X－1)可利用方差的性质计算．
[解析] E(X)＝0×0.2＋1×0.2＋2×0.3＋ 3×0.2＋4×0.1＝1.8.
(1)求一个试验组为甲类组的概率；
(2)观察3个试验组，用ξ表示这3个试验组中甲类组的个数，求ξ的分布列和数学期望．
[分析] 先弄清楚每个试验组成为甲类组的情况：即服A有效的个数为2时，服B有效的个数可为0、1两种；当服A有效的个数为1时，服B有效的个数只能是0个．
(2)中，先确定ξ的可能取值，ξ＝0、1、2、3，然后分别求出每个变量对应的概率．
(2013·景德镇市高二质检)已知离散型随机变量 X 的分布列
如下表，若 E(X)＝0，D(X)＝1，则 a＝________________，b
＝________.
X －1 0 1
2
P
a
bc
1 12
[答案]
5 12
1 4
[解析] 由期望、方差的定义和条件知，