投影变换1

MAPGIS投影变换系统的概念与应用(1)

投影变换的基本概念

地图投影的基本问题乃是如何将地球表面（椭球面或圆球面）表示在地图平面上。由于地球椭球面或圆球面是不可展开的曲面，即不可能展开成水面。而地图又必须是一个平面，所以将地球表面展开成地图平面必然产生裂隙或褶皱。在编制地图中，要求（在地图上）得到连续的经纬网格，有裂隙或重叠的经纬网格不符合编图要求。如果采用简单的方法将有裂隙或重叠的经纬网“拉伸”或“压缩”使之连续，也不能符合编制地图的实际需要，因此，编制地图必须采用地图投影的方法，将地球表面的经纬网格用各种方法投影到地图平面上，才能满足多种编图要求的各种连续的经纬网格。

地图投影即为地球椭球表面(或地球球体表面)与地图平面之间点与点(或线与线)相对应。如设地球表面上某一点的地理坐标为Q、λ，其地图平面上相应点的直角坐标为ｘ，y，则表示地球表面经线和纬线的两

族平面曲线的方程为：

Q = F1(x,y) λ= F2(x, y)

对x和y分别得出的：x = f1(Q, λ)y = f2(Q, λ)

当函数f1和f2在表象区域内连续和单值时，上述方程表面曲面上坐标为Q，λ的一点在平面上只有一个点与之对应，我们把这个方程视为地图投影的一般方程。可以说，地图投影就是建立地球表面上点（Q，λ）和平面上的点（ｘ，ｙ）之间的函数关系式。地图投影学就是研究地球表面上的点或线表示在地图平面上

的理论与方法。

地图投影的基本要素

大地测量中用水准测量方法得到的地面上各点的高程是依据一个理想的水准面来确定的，这个水准面称为大地水准面。大地水准面所包围的球体称为大地球体。以一个大小和形状同它极为接近的旋转椭球面来代替，以随圆的短轴（地轴）为轴旋转而成的椭球面称为地球椭球面。

椭球体的元素与公式如下：

扁率： af=(a-b)/a

第一偏心率： e2=（a2-b2）/a2

第二偏心率: ep2=(a2-b2)/b2

其中：长半径a(赤道半径)，短半径b(极轴半径)，扁率af，第一偏心率e，第二偏心率ep。

地球椭球体表面上的基本概念:

赤道平面：垂直于地轴，并通过地心的平面。

赤道：赤道平面与地球表面相交的大圆圈（交线）。

纬圈或（纬线）：平行于赤道的各个圆圈。显然赤道是最大的一个平行圈，它的半径为ａ。

线圈（经线）或子午圈：通过地球表面垂直于赤道面的平面叫经面或子午面，它和地球表面相交的线。

所有的子午圈长度彼此都相等，均为一长半径等于ａ，短半径等于ｂ的椭圆。

法线：由地球椭球体上的任一点可以引一垂线垂直于该点的地平线（切线），这条垂线称为法线。

地理纬度（简称纬度）：法线与赤道面相交所构成的角。通常用希腊字母Q表示，纬度以赤道为０°，向北、南两极各以９０°计算，向北叫北纬，向南叫南纬。

地理经度（简称经度）：通过地球表面上某一点的纬线面与起始经线表面的夹角。通常以然腊字母λ表

示。

地面上任一点的位置，在测绘工作中通常是用经度（λ）和纬度（Q）来决定，写成Ｍ（φ，λ）。

地理坐标系：经线和纬线是地球表面上两组正交（相交为９０°）的曲线，这两组正交的曲线构成的坐

标，称为地理坐标系。

经差：地表面某两点经度值之差。

纬差：某两点纬度值之差。

如若两点在同一经线上，其经差为零，如在同一纬线上，其纬差为零。

关于地球椭球体的大小，由于采用不同的资料推算，椭球体的元素值是不同的。

世界各国常用的地球椭球体的数据：

椭球体名称年代长半轴a 短半轴b 扁率e

白塞尔1841 6377397 6356079 1/299.15

克拉克1880 6378249 6356515 1/293.5

克拉索夫斯基1940 6378245 6356863 1/298.3

第十六界IUUG 1975 6378140 6356755 1/298.26

第十七界IUUG 1979 6378137 6356752 1/298.257

第十八界IUUG 1983 6378136 6356751 1/298.257

我国1952年以前采用海福特椭球（该椭球1924年被定为国际椭球），从1953年起，开始改用克拉索夫斯基椭球。1978年我国决定采用国际大地测量协会所推荐的“1975年基本大地数据”中给定的椭球参数，并以此建立了我国新的、独立的大地坐标系，形成了1980年的西安坐标系。

等面积球体半径：使球体的表面积等于地球椭球体表面积。

等体积球体半径：使球体的体积等于椭球体的体积。

地图投影的分类

根据变形性质的投影分类

等角投影

等面积投影

任意投影

根据正轴投影时经纬网形状的投影分类

圆锥投影圆柱投影

方位投影伪圆锥投影

伪圆柱投影伪方位投影

多圆锥投影

经纬线形状：

对于一个投影，较完整的名称宜兼有两种分类，例如等角圆锥投影，等面积方位投影，等距离圆柱投影

等

地图投影变换

地图投影变换是研究从一种地图投影点的坐标变换为另一种地图投影点的坐标的理论和方法。在大地测量和地形测量中，往往需要进行不同坐标系间的坐标变换，即坐标换带计算。随着计算机地图制图的发展，研究地图投影变换的理论和方法日益重要和迫切，因为在采用制图自动仪作业中，必须首先提供从一种地图投影点的坐标变换为另一种地图投影点的坐标的关系式即数学模式，才能进行这种作业，因为如果没有这两种不同投影点的坐标变换关系式，就无法编制出合乎变换要求的，适用于电子计算机进行变换所需要的程序设计，所以，地图投影变换已成为计算机地图制图的一个组成部分。

为了适应计算机地图制图，信息系统建设，遥测图象显示和定位，以及满足空间遥感技术和拓朴变换的需要，地图投影变换已逐步发展成为研究空间数据处理，以及空间点位和平面点变换的理论和方法及其应用的数学制图学的一个分支学科。地图投影变换可广义地理解为研究空间数据处理，变换及应用的理论和

方法，它可表达为：

(x'，y'，z')－－－(φ，λ)－－－(x，y)－－－(X，Y)

地图投影变换可狭义地理解为建立两平面场之间点的一一对应的函数关系。

高斯-克吕格投影

高斯-克吕格(GAUSS-KRUGER)是等角横切椭圆柱投影，由德国数学家高斯提出，后经克吕格扩充并推倒出计算公式，故称为高斯-克吕格投影，简称高斯投影。该投影以中央经线和赤道投影后为坐标轴，中央经线和赤道交点为坐标原点，纵坐标由坐标原点向北为正，向南为负，规定为X轴，横坐标从中央经线起算，向东为正，向西为负，规定为Y轴。所以，高斯-克吕格坐标系的X、Y轴正好对应MAPGIS坐标系的Y和

X。

为了控制变形，本投影采用分带的办法。我国1:2.5-1:50万地形图均采用6度分带；1:1万及更大比例尺地形图采用3度分带，以保证必要的精度。6度分带从格林威治零度经线起，每6度分为一个投影带，全