深圳数学七年级 平方差
七年级数学平方差公式
(a+b)(a-b)
∴ a2-b2 = (a+b)(a-b)
想一想：
随堂练习：
计算：
1. (a+2)(a-2) 2. (3a+2b)(3a-2b) 3. (-x+1)(-x-1) 4. (-4k+3)(-4k-3)
=a2-4 =9a2-4b2 =x2-1
=16k2-9
小结：
作业：P10习题1.11
平方差公式(2)
平方
复习平方差公式
请回答： 1. 复述平方差公式 2. 公式的语言描述 3. 字母a，b的含义
平方差公式(1)
平方
计算下列各题：
1. (x+2)(x-2) =x2-4 2. (1+3a)(1-3a) =1-9a2 3. (x+5y)(x-5y) =x2-25y2 4. (y+3z)(y-3z) =y2-9z2
平方差公式
(a+b)(a-b)=a2-b2
两数和与这两数差的积，等于它们的平方差。
；
把自已的理想告诉同伴时，立刻招来同伴们的嘲笑：“瞧瞧，什么叫心比天高，这就是啊！”“真是异想天开！”┅┅这块石头不去理会同伴们的闲言碎语，仍然怀抱理想等时机。有一天，一个叫庄子的人路过这里，它知道这个人有非凡的智慧，就把自已的梦想告诉了他，庄子说：“我可以帮助你 实现，但你必须先长成一座大山，这可是要吃不少苦的。”石头说：“我不怕。”于是，石头拼命地吸取天地灵气，承接雨露惠泽，不知经过多少年，受了多少风雨的洗礼，它终于长成了一座大山。于是，庄子招来大鹏以翅膀击山，一时间天摇地动，一声巨响后，山炸开了，无数块石头飞向天空， 就在飞的一刹那，石头会心地笑了。但是不久，它从空中摔了下来，仍旧变成了当初的模样，落在原来的地方。庄子问：“你后
七年级数学下---平方差、完全平方公式专项练习题
A ．（a+b ）（b+a ）B ．（－a+b ）（a －bC ．（ a+b ）（b － a ）D ．（a 2－b ）（b 2+a ） ×21 ． 10．计算：（a+2）（a 2+4）（a 4+16）（a －2）．（2）（3+1）（32+1）（34+1）…（32008+1）－． 七年级数学下---平方差、完全平方公式专项练习题平方差：一、选择题1．平方差公式（a+b ）（a －b ）=a 2－b 2 中字母 a ，b 表示（）A ．只能是数B ．只能是单项式C ．只能是多项式D ．以上都可以2．下列多项式的乘法中，可以用平方差公式计算的是（）1 13 33．下列计算中，错误的有（ ） A ．1 个B ．2 个C ．3 个D ．4 个①（3a+4）（3a －4）=9a 2－4； ②（2a 2－b ）（2a 2+b ）=4a 2－b 2；③（3－x ）（x+3）=x 2－9；④（－x+y ）·（x+y ）=－（x －y ）（x+y ）=－x 2－y 2．4．若 x 2－y 2=30，且 x －y=－5，则 x+y 的值是（ ）A ．5B ．6C ．－6D ．－5二、填空题：5、（a+b －1）（a －b+1）=（_____）2－（_____）2．6．（－2x+y ）（－2x －y ）=______．7．（－3x 2+2y 2）（______）=9x 4－4y 4．8．两个正方形的边长之和为 5，边长之差为 2，那么用较大的正方形的面积减去较小的正方形的面积，差是_____．三、计算题 9．利用平方差公式计算：20 2 13 3B 卷：提高题1．计算：（1）（2+1）（22+1）（24+1）…（22n +1）+1（n 是正整数）；340162（1）计算： ．（2）计算： ．C ．（－2a 2b ）·4a=－24a 6b3D ．（－ a －4b ）（ a －4b ）=16b 2－ a 22 2．式计算：2009×2007－20082．3．解方程：x （x+2）+（2x+1）（2x －1）=5（x 2+3）．2007200722007 2 - 2008 ⨯ 20062008 ⨯ 2006 + 14．广场内有一块边长为 2a 米的正方形草坪，经统一规划后，南北方向要缩短 3 米，东西方向要加长 3 米，则改造后的长方形草坪的面积是多少？5．下列运算正确的是（ ） A ．a 3+a 3=3a 6B ．（－a ）3·（－a ）5=－a 81 1 1 3 3 96．计算：（a+1）（a －1）=______．C 卷：课标新型题1．（规律探究题）已知 x≠1，计算（1+x ）（1－x ）=1－x 2，（1－x ）（1+x+x 2）=1－x 3，（1－x ）（•1+x+x +x 3）=1－x 4．（1）观察以上各式并猜想：（1－x ）（1+x+x 2+…+x n ）=_____ _．（n 为正整数）（2）根据你的猜想计算：①（1－2）（1+2+22+23+24+25）=______． ②2+22+23+…+2n =______（n 为正整数）．③（x －1）（x 99+x 98+x 97+…+x 2+x+1）=_______．（3）通过以上规律请你进行下面的探索：2 3、已知 (a + b )2 = 16, a b = 4, 求 与 (a - b )2 的值。
初中七年级数学平方差公式
●内容全解
1.平方差公式
（1）公式：(a+b)(a-b)=a2-b2
两数和与这两数差的积，等于它们的平方差.
(2)特征：
①左边：二项式乘以二项式，两数（a与b）的和与它们差的乘积.
②右边：这两数的平方差.
（3）找a与b的简便方法
由于(a+b)(a-b)可看作(a+b)［a+(-b)］，所以在这两个多项式中，a是相同的，而b与-b 是互为相反数，那么a2-b2就可看作是符号相同的项(a)的平方减去符号相反的项(b与-b)的平方.
因此，运用平方差公式进行运算,关键
．．是找出两个相乘的二项式中相同的项作为a，互为相反的项作为b.
如(3-m)(3+m)中，“3”与“3”相同，作为a,而“-m”与“m”相反，任选其一作为b,那么
(4)平方差公式中的a和b可以代表一个字母，一个数字或单项式.
注意：当a或b代表单项式时，进行平方时底数一定要打括号.
2.用拼图解释平方差公式
图1-4
左图阴影面积是a2-b2,而右图的阴影部分是长方形，长为(a+b),宽（a-b）,阴影面积为(a+b)(a-b),由于左右两图的阴影部分面积相同，所以a2-b2=(a+b)(a-b),再次验证了平方差公式.。
七年级数学平方差公式
平方差公式 (a+b)(a-b)=a2-b2
例1：利用平方差公式计算下列各题。 1. (5+6x)(5-6x) =52-(6x)2=25-36x2 2. (x-2y)(x+2y) =x2-(2y)2=x2-4y2 3. (-m+n)(-m-n) =(-m)2-n2=m2-n2
悬在空中的金砂地。随着全部的摇钱树进入金砂地，悬在考场上空闪着金光的淡青色布帘形天光计量仪，立刻射出串串深白色的脉冲光……瞬间，空中显示出缓缓旋转的火橙 色巨大数据，只见与摇钱树有关的数据全都优良，总分是９０．４７分！第三个上场的是副考官女总裁腾霓玛娅婆婆，“她站起身：“小公民，本代表让你们理解享受一下！
a
b
图1
a
b
图2
如左图，边长为a的大正方形中有一个边长为b 的小正方形。
1. 请表示图中阴影（紫色）部分的面积。
2. 小颖将阴影部分拼成了一个长方形，这个 长方形的长和宽分别是多少？ 你能表示出它的面积吗？
3. 比较1、2的结果，你能验证平方差公式吗？
4. 图1
a2-b2
图2
(a+b)(a-b)
∴ a2-b2 = (a+b)(a-b)
(2) (2x-5)(2x+5)-2x(2x-3) = (2x)2-25)-(4x2-6x) = 4x2-25-4x2+6x = 6x-25
随堂练习：
计算：
1. 704×696
2. (x 2 y)(x 2 y) (x 1)(x 1) 3. x(x 1) (x 1)(x 1)
33
(2) 118×122=(120+2)(120-2)a+b)(a-b)+a2b2 (2) (2x-5)(2x+5)-2x(2x-3)
七年级数学下册《平方差公式的8个变化》,收藏给孩子背诵掌握!
七年级数学下册《平方差公式的8个变化》，收藏给孩子背诵掌握！平方差公式的定义：两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差平方差公式字母表现形式：（a+b）（a-b）=a²-b²平方差公式是初中数学最基本、用途最广泛的公式。
学习时不仅记住公式的形式，还要把握住公式的实质，更重要的是弄清其形式的八个变化，以便更好地运用。
1、位置变化：(a+b)(-b+a)=(b+a)(a-b)=(a+b)(a-b)=a²-b²2、符号变化：(-a-b)(a-b)=-(a+b)(a-b)=-(a²-b²)=b²-a²3、系数变化：(k1a+k2b)(k1a-k2b)=(k1a)²-(k2b)²=k1²a²-k2²b² (k1,k2均不为0)4、指数变化：(aⁿ+bⁿ)(aⁿ-bⁿ)=(aⁿ)²-(bⁿ)²=a²ⁿ-b²ⁿ（n为正整数）5增项变化：(a-b-c)(a-b+c)=(a-b)²-c²6、数字变化：有的数字乘法，变化后可用平方差公式计算：123456789²-123456788x1234567890解：原式=123456789²-(123456789-1)x(123456789+1)=123456789²-(123456789²-1)=123456789²-123456789²+1=17、连用公式变化：(a-b)(a+b)(a²+b²)(a^4+b^4)...(a^2n+b^2n)=a^2(n+1)+b^2(n+1)（n为正整数）8、逆用公式的变化：a²-b²=(a+b)(a-b)。
初一平方差与完全平方式课件PPT
【学习目标】
1. 掌握平方差公式、完全平方公式的结构特征，并能从广义 上理解公式中字母的含义；
2. 学会运用平方差公式、完全平方公式进行计算.了解公式的 几何意义，能利用公式进行乘法运算；
3. 能灵活地运用运算律与乘法公式简化运算.
要点一：
平方差公式: a²-b²=（a+b）(a-b)
类型二、完全平方公式的应用
3、计算：
(1) 3a b2 ； (2) 3 2a2 ；
(3) x 2y2 ； (4) 2x 3y2 ．
【答案与解析】
解：(1) 3a b2 3a2 23a b b2 9a2 6ab b2 ．
(2) 3 2a2 2a 32 2a2 2 2a3 32 4a2 12a 9 ．
5、已知 a b 7 ， ab ＝12．求下列各式的值： (1) a2 ab b2 ；(2) (a b)2 ．
【答案与解析】
解：(1)∵ a2 ab b2 ＝ a2 b2 － ab ＝ a b2 －3 ab ＝ 72 －3×12＝13． (2)∵ a b2 ＝ a b2 －4 ab ＝ 72 －4×12＝1.
(3) x 2y2 x2 2 x 2y 2y2 x2 4xy 4y2 ．
(4) 2x 3y2 2x 3y2 2x2 2 2x3y 3y2 4x2 12xy 9y2 ．
【总结升华】(1)在运用完全平方公式时要注意运用以下规律：当所给的二项式符号相同时， 结果中三项的符号都为正，当所给的二项式符号相反时，结果中两平方项为正，乘积项的符
m 的值为（ ）
A．10
B．±10
C．﹣20
D．±20
6．下列等式不能恒成立的是( )．
A. 3x y2 9x2 6xy y2
数学公式七年级上册
数学公式七年级上册以下是七年级上册数学公式：1. 平方差公式：a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)。
2. 完全平方公式：a^2 ± 2ab + b^2 = (a ± b)^2。
3. 平方和公式：a^2 + b^2 = (a + b)^2 - 2ab。
4. 平方差展开式：(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2。
5. 完全平方展开式：(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2。
6. 三角形的面积公式：S = (1/2) ×底×高。
7. 梯形的面积公式：S = (1/2) ×(上底 + 下底) ×高。
8. 一元一次方程的标准形式：ax = b (其中a ≠ 0)。
9. 一元一次方程的解法：移项、合并同类项、系数化为1。
10. 三角形的内角和定理：三角形的内角和等于180度。
11. 角的平分线性质定理：角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。
12. 余角定理：两个角的和等于90度，则这两个角互为余角。
13. 同位角定理：两条平行线被一条横截线所截，同位角相等。
14. 平行线的性质定理：平行线之间的线段成比例。
15. 垂线的性质定理：过一点向直线作垂线，有且只有一条。
16. 乘法分配律：a × (b + c) = ab + ac。
17. 加法结合律：(a + b) + c = a + (b + c)。
18. 乘法交换律：a × b = b × a。
19. 乘法结合律：(a × b) × c = a × (b × c)。
20. 加法交换律：a + b = b + a。
七年级数学下册《平方差公式》教案、教学设计
(b) \( 16^2 - 9^2 \)
(c) \( 25^2 - 20^2 \)
(d) \( 36^2 - 31^2 \)
（2）运用平方差公式解决生活中的实际问题，例如计算两个正方形土地的面积差。
2.选做题：
（1）探索平方差公式在因式分解中的应用，如\( a^2 - b^2 \)的因式分解。
2.分组合作，探究新知
将学生分成小组，让他们相互讨论、交流，共同探究平方差公式。在此过程中，教师适时给予指导，帮助学生理解推导过程，突破教学难点。
3.深入讲解，巩固知识
结合具体例题，详细讲解平方差公式的应用，使学生掌握公式的使用方法。同时，设计不同类型的练习题，让学生在练习中巩固所学知识。
4.突破难点，提高能力
2.学生分享学习心得，交流在解题过程中遇到的困难和解决办法。
3.教师强调平方差公式在数学学习和生活中的重要性，激发学生学习数学的兴趣。
4.教师布置课后作业，要求学生通过练习，进一步巩固所学知识。
五、作业布置
为了巩固本节课所学的平方差公式及其应用，特布置以下作业：
1.必做题：
（1）根据平方差公式，计算以下各式的结果：
针对学生在推导和理解平方差公式过程中可能遇到的困难，教师可以采用以下方法：
（1）运用数形结合的方法，直观地展示平方差公式的推导过程，降低学习难度；
（2）设计具有启发性的问题，引导学生逐步思考，培养逻辑思维能力；
（3）及时反馈，针对学生的错误，给予个性化的指导和纠正。
5.课堂小结，总结规律
在课堂结束前，引导学生总结平方差公式及其应用规律，培养学生的归纳总结能力。
4.通过数学知识的学习，使学生认识到数学在生活中的重要性，提高学生的数学素养。
分享深圳数学七年级 平方差公式2
平方差公式(二)一、教学目标(一)教学目标1.了解平方差公式的几何背景.2.会用面积法推导平方差公式，并能运用公式进行简单的运算.3.体会符号运算对证明猜想的作用.(二)能力目标1.用符号运算证明猜想，提高解决问题的能力.2.培养学生观察、归纳、概括等能力.(三)情感目标1.在拼图游戏中对平方差公式有一个直观的几何解释，体验学习数学的乐趣.2.体验符号运算对猜想的作用，享受数学符号表示运算规律的简捷美.二、教学重难点（一）教学重点平方差公式的几何解释和广泛的应用.（二）教学难点准确地运用平方差公式进行简单运算，培养基本的运算技能.三、教学过程Ⅰ.创设问题情景，引入新课［师］同学们，请把自己准备好的正方形纸板拿出来，设它的边长为a.这个正方形的面积是多少？［生］a2.［师］请你用手中的剪刀从这个正方形纸板上，剪下一个边长为b的小正方形(如图1－23).现在我们就有了一个新的图形(如上图阴影部分)，你能表示出阴影部分的面积吗？图1－23［生］剪去一个边长为b的小正方形，余下图形的面积，即阴影部分的面积为(a2－b2).［师］你能用阴影部分的图形拼成一个长方形吗？同学们可在小组内交流讨论.(教师可巡视同学们拼图的情况，了解同学们拼图的想法)［生］老师，我们拼出来啦.［师］讲给大伙听一听.［生］我是把剩下的图形(即上图阴影部分)先剪成两个长方形(沿上图虚线剪开)，我们可以注意到，上面的大长方形宽是(a－b),长是a;下面的小长方形长是(a－b),宽是b.我们可以将两个长方形拼成一个更大长方形，是由于大长方形的宽和小长方形的长都是(a－b),我们可以将这两个边重合，这样就拼成了一个如图1－24所示的图形(阴影部分)，它的长和宽分别为(a+b),(a－b),面积为(a+b)(a－b).图1－24［师］比较上面两个图形中阴影部分的面积，你发现了什么？［生］这两部分面积应该是相等的，即(a+b)(a－b)=a2－b2.［生］这恰好是我们上节课学过的平方差公式.［生］我明白了.上一节课，我们用多项式与多项式相乘的法则验证了平方差公式.今天，我们又通过拼图游戏给出平方差公式的一个几何解释，太妙了.［生］用拼图来验证平方差公式很直观，一剪一拼，利用面积相等就可推证.［师］由此我们对平方差公式有了更多的认识.这节课我们来继续学习平方差公式，也许你会发现它更“神奇”的作用.Ⅱ.讲授新课［师］出示投影片(§1.7.2 A)想一想：(1)计算下列各组算式，并观察它们的特点⎩⎨⎧=⨯=⨯8897 ⎩⎨⎧=⨯=⨯12121311 ⎩⎨⎧=⨯=⨯80808179 (2)从以上的过程中，你发现了什么规律？(3)请你用字母表示这一规律，你能说明它的正确性吗？［生］(1)中算式算出来的结果如下⎩⎨⎧=⨯=⨯64886397 ⎩⎨⎧=⨯=⨯14412121431311 ⎩⎨⎧=⨯=⨯6400808063998179 ［生］从上面的算式可以发现，一个自然数的平方比它相邻两数的积大1. ［师］是不是大于1的所有自然数都有这个特点呢？［生］我猜想是.我又找了几个例子如：⎩⎨⎧=⨯=⨯422331 ⎩⎨⎧=⨯=⨯10000100100999910199 ⎩⎨⎧=⨯=⨯62525256242624 ［师］你能用字母表示这一规律吗？［生］设这个自然数为a ,与它相邻的两个自然数为a －1,a +1,则有(a +1)(a －1)=a 2－1.［生］这个结论是正确的，用平方差公式即可说明.［生］可是，我有一个疑问，a 必须是一个自然数，还必须大于2吗？ (同学们惊讶，然后讨论)［生］a 可以代表任意一个数.［师］很好！同学们能大胆提出问题，又勇于解决问题，值得提倡.［生］老师，我还有个问题，这个结论反映了数字之间的一种关系.在平时有什么用途呢？(陷入沉思)［生］例如：计算29×31很麻烦，我们就可以转化为(30－1)(30+1)=302－1=900－1=899.［师］的确如此.我们在做一些数的运算时，如果能一直有这样“巧夺天工”的方法，太好了.我们不妨再做几个类似的练习.出示投影片(§1.7.2 B)［例3］用平方差公式计算：(1)103×97 (2)118×122［师］我们可以发现，直接运算上面的算式很麻烦.但注意观察就会发现新的奥妙.［生］我发现了，103=100+3,97=100－3,因此103×97=(100+3)(100－3)=10000－9=9991.太简便了！［生］我观察也发现了第(2)题的“奥妙”.118=120－2,122=120+2118×122=(120－2)(120+2)=1202－4=14400－4=14396.［生］遇到类似这样的题，我们就不用笔算，口算就能得出.［师］我们再来看一个例题(出示投影片§1.7.2 C).［例4］计算：(1)a2(a+b)(a－b)+a2b2;(2)(2x－5)(2x+5)－2x(2x－3).分析：上面两个小题，是整式的混合运算，平方差公式的应用，能使运算简便；还需注意的是运算顺序以及结果一定要化简.解：(1)a2(a+b)(a－b)+a2b2=a2(a2－b2)+a2b2=a4－a2b2+a2b2=a4(2)(2x－5)(2x+5)－2x(2x－3)=(2x)2－52－(4x2－6x)=4x2－25－4x2+6x=6x－25注意：在(2)小题中，2x与2x－3的积算出来后，要放到括号里，因为它们是一个整体.［例5］公式的逆用(1)(x+y)2－(x－y)2 (2)252－242分析：逆用平方差公式可以使运算简便.解：(1)(x +y )2－(x －y )2=［(x +y )+(x －y )］［(x +y )－(x －y )］=2x ·2y=4xy(2)252－242=(25+24)(25－24)=49Ⅲ.随堂练习1.(课本P 32)计算(1)704×696(2)(x +2y )(x －2y )+(x +1)(x －1)(3)x (x －1)－(x －31)(x +31) (可让学生先在练习本上完成，教师巡视作业中的错误，或同桌互查互纠) 解：(1)704×696=(700+4)(700－4)=490000－16=489984(2)(x +2y )(x －2y )+(x +1)(x －1)=(x 2－4y 2)+(x 2－1)=x 2－4y 2+x 2－1=2x 2－4y 2－1(3)x (x －1)－(x －31)(x +31) =(x 2－x )－［x 2－(31)2］ =x 2－x －x 2+91 =91－x 2.(补充练习)出示投影片(§1.7.2 D)解方程：(2x +1)(2x －1)+3(x +2)(x －2)=(7x +1)(x －1)(先由学生试着完成)解：(2x +1)(2x －1)+3(x +2)(x －2)=(7x+1)(x－1)(2x)2－1+3(x2－4)=7x2－6x－14x2－1+3x2－12=7x2－6x－16x=12x=2Ⅳ.课时小结［师］同学们这节课一定有不少体会和收获.［生］我能用拼图对平方差公式进行几何解释.也就是说对平方差公式的理解又多了一个层面.［生］平方差公式不仅在计算整式时，可以使运算简便，而且数的运算如果也能恰当地用了平方差公式，也非常神奇.［生］我觉得这节课我印象最深的是犯错误的地方.例如a(a+1)－(a+b)(a－b)一定要先算乘法，同时减号后面的积(a+b)(a－b),算出来一定先放在括号里，然后再去括号.就不容易犯错误了.……Ⅴ.课后作业课本P32、习题1.12.Ⅵ.活动与探究计算：19902－19892+19882－19872+…+22－1.［过程］先做乘方运算，再做减法，则计算繁琐，观察算式特点，考虑逆用平方差公式.［结果］原式=(19902－19892)+(19882－19872)+…+(22－1)=(1990+1989)(1990－1989)+(1988+1987)(1988－1987)+…+(2+1)(2－1)=1990+1989+1988+1987+…+2+1=2)11990( 1990+⨯=1981045。
七年级数学平方差公式
a
b 图1 a
b
图2
如左图，边长为a的大正方形中有一个边长为b 的小正方形。
1. 请表示图中阴影（紫色）部分的面积。
2. 小颖将阴影部分拼成了一个长方形，这个 长方形的长和宽分别是多少？ 你能表示出它的面积吗？
FLASH动画演示
3. 比较1、2的结果，你能验证平方差公式吗？
4. 图1
a2-b2
图2
(a+b)(a-b)
随堂练习：
计算：
1. (a+2)(a-2) 2. (3a+2b)(3a-2b) 3. (-x+1)(-x-1) 4. (-4k+3)(-4k-3)
=a2-4 =9a2-4b2 =x2-1
=16k2-9
小结：
作业：P10习题1.11
平方差公式(2)
平方
复习平方差公式
请回答： 1. 复述平方差公式 2. 公式的语言描述 3. 字母a，b的含义
;
；
于是，带她去看，说明病史后，老中医什么都没说，只是揭开自己的白大褂，她看见，他只有一条腿。 (17)他说，人活着，不是靠双腿，靠的是一颗完整的心，我只有一条腿，活得好好的，你还比我多半条腿呢，怕什么？ (18)从那以后，她常常去老中医那里，不是看病，而是疗心。 (19)再后来，父母给她装了假肢，搬了家，学了钢琴，当了钢琴老师，成了现在的自己。 (20)说完，她淡淡地笑，而我，似乎看见另外一个不一样的她，在我眼前，诉说别人的故事。 （21）是啊，如果不是偶然看见，在我心里，在我眼里，她依旧是那个只会撒娇、娇弱漂亮的公主，而此 刻，我似乎看见，那些她曾经受过的伤害和遭遇，凝聚成一股钢铁般的力量，让她坚强。 （22）再后来，她睡了。 （23）我走在走廊的尽头，心绪难平。 （24）我看见天边有一颗星星
七年级数学下册1.7平方差公式2课件北师大版
(2)(2x-5)(2x+5)-2x(2x-3)
解：(2)(2x-5)(2x+5)-2x(2x-3) =4x 2-5 2-(4x 2-6x) =4x 2-25-4x 2+6x =6x-25
练习：
1、计算
(1)704 ×696源自(2)(x+2y)(x-2y)+(x+1)(x-1)
(3)x(x-1)-(x - 1 ) (x+ 1)
(2)118 ×122 (2)118 ×122 =(120-2)(120+2) =120 2-2 2 =14396
例4 计算：
(1)a 2 (a+b)(a-b)+a 2 b2 解： (1)a 2 (a+b)(a-b)+a 2 b2
=a 2(a 2-b 2)+a 2b2 =a 4-a 2b2+a 2b2 =a 4
长=a+b;
宽=a-b;
面积= (a+b)(a-b)
a
a
b
b
(3) 比较(1)(2) 的结果，你能验证平方差公式吗？
答：由于(1)(2) 表示的面积相同，所以可以验证平方差公式.
探索规律
(1) 计算下列各组算式，并观察它们的共同特点 .
7 ×9= 63
11×13= 143 79 ×81= 639
平方差公式（2）
复习：
平方差公式
(a+b)(a-b)=a 2 - b2
两数和与这两数差的积，等于它们的平方差 .
如图, 边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形.
(1) 请表示图中的阴影部分的面积.
a2 -b 2
(2) 小颖将阴影部分拼成了一个长方形，这个长方形的 长和宽分别是多少？你能表示出它的面积吗？
七年级数学平方差与完全平方公式
1、 有些多项式的乘法不能直接应用此公式()()22a b a b a b +-=-进行计算，需经简单变形后方可应用，常用的变形有： ①位置变化：如：12212332a b b a ⎛⎫⎛⎫+-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=21213232b a b a ⎛⎫⎛⎫+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭= ②符号变化：如：()()()()32323232x y x y x y x y ---=-+- ③系数变化：如：()()()()1144422a b a b a b a b +-=⨯+-④相同项结合，相反项结合：如()()()()23232323x y z x y z x y z x y z +--+=+---⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⑤根据题目特点，创造条件，灵活变形，巧妙应用公式： 如：()()()()()()35235835353535a b c a b c a c c b c b a b ----+=-+----⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦2、对()2222a b a ab b +=++ 或 ()2222a b a ab b -=-+常见的恒等变形、：①()()222222a b a b ab a b ab +=+-=-+②()()224a b a b ab +=-+ ③()()224a b a b ab -=+-④()()224a b a b ab +--=3、乘法公式也可以逆用，逆用后的计算可能更为简便。
如：()()()()()()22232323232323x x x x x x +--=++-+--⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦ =4x 6=24x例1、计算：(1) ()()22222323xyxy+-(2) 22112222x x ⎛⎫⎛⎫-+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭整式的乘法公式平方差公式 完全平方公式(3)、22421113a b 3a b 9a b 224⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭（4）、()()()2222x 1x 1x 1+-+例2、利用乘法公式计算： (1)19992001⨯ (2)21997199719981996-⨯ ⑵ 20032例3、 化简求值：(1)()()()()()()222222x x y x y x x y y ⎡⎤-+--++---⎡⎤⎣⎦⎣⎦，其中11,2x y =-=检测、作业1、填空题（1） (b + a)(b －a) = _______________, (x －2) (x + 2) = _________________；（2） (3a + b) (3a －b) =________________, (2x 2－3) (－2x 2－3) = ______________________； （3） 2294)3)(______3(______________,__________)2132)(2132(b a b b a a -=-+=-+（4） (x + y)2=_________________，(x －y)2=______________________； （5）______________________)2(_________,__________)3(22=+-=-b a b a（6）41________)21(22+=-x x（7）(3x + ________)2=__________+ 12x + ____________；（8）_________________________)2(__,__________)()(222=--+-=+y x b a b a ； （9） (x 2－2)2－(x 2 + 2)2 = _________________________；2、计算题(写过程)（1）)5)(5(33m n n m -+ （2）)2.02)(22.0(x y y x -+ （3）)1)(1(---xy xy（4）2)2332(y x -（5）22)2()2(a b b a -++ （6）)1)(1)(1(2--+m m m（7）22)2()2(n m n m -+ （8）22)23()32(+-+x x （9）2)32(z y x +-3、用简便方法计算(写过程) ⑴ 92×88 ⑵ 32593160⨯ ⑶225.365.38- ⑷2220012003-（5） 982（6） 13.42－2×13.4 + 3.424、计算)13)(13)(13)(13)(13(16842+++++5、已知x + y = a , xy = b ,求(x －y) 2 ，x 2 + y 2 ，x 2－xy + y 2的值6、已知3)()1(2-=+-+y x x x ，求xy y x -+222的值第二课时：（一）、复习整式的乘法公式 （二）、随堂练习、讲评： 1、填空题（1） (x + y) (－x + y) = ______________, (－7m －11n) (11n －7m) = ____________________； （2） _____________________)2)(4)(2(___,__________)2)(2(2=++-=---a a a y x x y ；2、计算(1))23)(23(2222b a ab b a ab ++- (2) )1)(1)(1(2++-a a a(3) )132)(132(++--y x y x (4)()()x y z x y z ++--(5) ()()2525x y z x y z +-+-++ (6)22222210099989721-+-++-(7)()()()()243221212121++++ (8)22221111111123410⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫---- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭（三）、拓展提高例1()()323388418841x x x x x x +++-+- 其中12x =例2解不等式：()()()()3434923x x x x +-≤-+例3、解方程组：()()()()223223x y x y x y x y -=⎧⎪⎨+--=+-⎪⎩例4、设m 、n 为自然数，且满足：2222221299n m =++++，求n 的值。
2024北师大版数学七年级下册1.5.2《平方差公式》教学设计2
2024北师大版数学七年级下册1.5.2《平方差公式》教学设计2一. 教材分析平方差公式是初中数学中的重要内容，对于学生来说，掌握平方差公式不仅有助于解决实际问题，而且为后续学习代数方程、函数等知识打下基础。
北师大版数学七年级下册1.5.2《平方差公式》通过丰富的例题和练习，使学生能够理解和掌握平方差公式的推导过程及其应用。
二. 学情分析七年级的学生已经学习了有理数的乘法、完全平方公式等知识，对于代数式的运算有一定的基础。
但平方差公式与完全平方公式相似，学生容易混淆。
因此，在教学过程中，需要帮助学生明确平方差公式与完全平方公式的区别和联系。
三. 教学目标1.理解平方差公式的推导过程。
2.掌握平方差公式的结构特点和应用。
3.能够运用平方差公式解决实际问题。
四. 教学重难点1.教学重点：平方差公式的推导过程和应用。
2.教学难点：平方差公式与完全平方公式的区别和联系。
五. 教学方法采用问题驱动法、案例教学法和小组合作学习法，引导学生主动探究、积极参与，提高学生的动手能力和团队协作能力。
六. 教学准备1.准备相关例题和练习题。
2.准备多媒体教学设备，如投影仪、计算机等。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过复习完全平方公式，引导学生发现完全平方公式中的平方差部分，激发学生的学习兴趣。
2.呈现（10分钟）展示平方差公式的推导过程，引导学生观察、分析并总结平方差公式的结构特点。
3.操练（15分钟）让学生分组进行练习，运用平方差公式解决实际问题。
教师巡回指导，解答学生疑问。
4.巩固（10分钟）挑选几道典型题目，让学生上黑板演示解题过程，讲解解题思路。
其他学生听讲，巩固所学知识。
5.拓展（10分钟）引导学生思考：平方差公式在实际问题中的应用，如何将实际问题转化为平方差公式的形式。
6.小结（5分钟）对本节课的主要内容进行总结，强调平方差公式与完全平方公式的区别和联系。
7.家庭作业（5分钟）布置适量作业，让学生巩固所学知识，提高解题能力。
初一 4-2 平方差和完全平方
环球雅思教育学科教师讲义讲义编号： ______________ 副校长/组长签字：签字日期：乘法公式【考纲说明】1、掌握平方差和完全平方公式。
2、掌握用公式方法计算整式的乘法。
3、本部分在中考中大约占3分。
【趣味链接】从前，有－个狡猾的庄园主，把－块边长为。
米的正方形土地租给张老汉种植．第二年，他对张老汉说：“我把这块地的－边减少5米，相邻的另－边增加5米，继续租给你，租金不变，你也没有吃亏，你看如何?”张老汉－听，觉得好像没有吃亏，就答应道：“好吧．”回到家中，他把这事和邻居们－讲，大家都说：“张老汉，你吃亏了!”张老汉非常吃惊．你知道张老汉是否吃亏了吗?学习了本节课的知识，你将能轻松地解决。
【知识梳理】1、单项式（1）单项式的概念：数与字母的积这样的代数式叫做单项式，单独一个数或一个字母也是单项式。
注意：数与字母之间是乘积关系。
（2）单项式的系数：单项式中的字母因数叫做单项式的系数。
如果一个单项式，只含有字母因数，是正数的单项式系数为1，是负数的单项式系数为-1。
（3）单项式的次数：一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数。
2、多项式（1）多项式的概念：几个单项式的和叫做多项式。
在多项式中，每个单项式叫做多项式的项，其中不含字母的项叫做常数项。
一个多项式有几项就叫做几项式。
多项式中的符号，看作各项的性质符号。
（2）单项式的次数：单项式中，次数最高的项的次数，就是这个多项式的次数。
3、同类项的概念所含字母相同，并且相同字母的次数也相同的项叫做同类项，几个常数项也叫同类项。
掌握同类项的概念时注意：（1）判断几个单项式或项，是否是同类项，就要掌握两个条件：①所含字母相同。
②相同字母的次数也相同。
（2）同类项与系数无关，与字母排列的顺序也无关。
（3）几个常数项也是同类项。
4、合并同类项：（1）合并同类项的概念：把多项式中的同类项合并成一项叫做合并同类项。
（2）合并同类项的法则：同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母是指数不变。
平方差公式、完全平方公式-2021-2022学年七年级数学下册精讲与精练高分突破(北师大版)
1.5-1.6 平方差公式、完全平方公式1、平方差公式两数的和乘以这两数的差，等于这两数的平方差。
即：一项符号相同，另一项符号相反，等于符号相同的平方减去符号相反的平方。
()()22b a b a b a -=-+2、完全平方公式两数的和（或差）的平方，等于这两数的平方和再加上（或减去）两数积的2倍。
()ab b a b a 2222++=+ ()ab b a b a 2222-+=-常见错误：()222b a b a +=+ ()222b a b a -=-题型一：运用平方差公式进行运算1．（2022·全国·七年级）已知（2x ＋3y ）2＝15，（2x ﹣3y ）2＝3，则3xy ＝（ ） A ．1B ．32C ．3D ．不能确定2．（2022·全国·七年级）下列各式，能用平方差公式计算的是（ ） A ．（2a ＋b ）（2b ﹣a ） B ．（﹣a ﹣2b ）（﹣a ＋2b ） C ．（2a ﹣3b ）（﹣2a ＋3b ）D ．（113a +）（﹣113a -）3．（2021·黑龙江大庆·七年级期中）记()()()()()2481212121212nx =++++⋯+，且12812x +=，则n =（ ）．A ．128B ．32C ．64D ．16题型二：平方差公式与几何图形4．（2022·上海金山·七年级期中）根据图中的图形面积关系可以说明的公式是（ ）A ．()2222a b a ab b +=++B ．()2222a b a ab b -=-+C ．()()22a b a b a b +-=-D ．()2a ab a ab -=-．5．（2021·广东·深圳市新华中学七年级阶段练习）如图，阴影部分是边长为a 的大正方形中剪去一个边长为b 的小正方形后所得到的图形，将阴影部分通过割、拼，形成新的图形，给出下列四种割拼方法，其中能够验证平方差公式的有（ ）A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个6．（2021·广东深圳·七年级期中）有两个正方形A ，B ．现将B 放在A 的内部得图甲，将A ，B 构造新的正方形得图乙．若图甲和图乙中阴影部分的面积分别为1和12，若三个正方形A 和两个正方形B 得图丙，则阴影部分的面积为（ ）A ．28B ．29C ．30D ．31题型三：运用完全平方公式进行运算7．（2021·江苏淮安·七年级期末）计算：2(2)x y -=（ ）A ．2244x xy y -+B ．2242x xy y -+C ．224x yD ．224x y +8．（2021·浙江湖州·七年级期末）已知()28a b +=，()22a b -=，则22a b +的值是（ ） A ．3B ．5C ．6D ．109．（2022·江苏·七年级专题练习）式子()2a b +加上哪一项后得()2a b -（ ） A ．2ab -B ．3ab -C ．4ab -D ．0题型四：完全平方公式的变形求值10．（2022·福建省诏安县第一实验中学七年级阶段练习）已知225a b +=，2ab =-，则()2a b +的值为（ ） A ．1B ．9C ．3D ．1-11．（2022·江苏·七年级专题练习）已知2x y -=，12xy =，那么32233x y x y xy ++的值为（ ） A ．3B ．6C ．132D ．13412．（2021·辽宁·辽阳石油化纤公司教师学校七年级期中）若4a b +=，2ab =-，则22a ab b -+的值是（ ） A ．-11B ．11C ．22D ．-22题型五：完全平方公式在几何图形的应用13．（2022·广东·深圳市龙华区潜龙学校七年级阶段练习）如图，已知点C 是线段AB 上的一动点，分别以AC ，BC 为边向两边作正方形ACDE 与正方形CFGB ，若AB ＝8，且两正方形的面积和为S 1＋S 2＝36．则图中阴影部分的面积为（ ）A ．7B ．7.5C ．14D ．1514．（2021·山东威海·七年级期中）如图是由4个全等的直角三角形与1个小正方形拼成的正方形图案．已知大正方形面积为25，小正方形面积为1，若用a 、b 表示直角三角形的两直角边（a ＞b ），则下列说法：①a 2+b 2=25，①a －b =1，①ab =12，①a +b =7．正确的是（ ）A ．①①B ．①①①C ．①①①D ．①①①①15．（2022·江苏·七年级专题练习）有若干个大小形状完全相同的小长方形现将其中4个如图1摆放，构造出一个正方形，其中阴影部分面积为35；其中5个如图2摆放，构造出一个长方形，其中阴影部分面积为102（各个小长方形之间不重叠不留空），则每个小长方形的面积为（ ）A ．4B ．8C ．12D ．16题型六：完全平方式16．（2022·广东·深圳市龙岗区实验学校七年级阶段练习）若2924a ab k ＋＋是完全平方式，则k 的值为（ ） A ．16b 2B ．4b 2C ．±8b 2D ．±16b 217．（2021·上海奉贤·七年级期末）若二次三项式x 2+kx +9是完全平方式，则k 的值是（ ） A ．6B ．﹣6C ．±6D ．±318．（2021·四川达州·七年级期末）若代数式x 2﹣16x +k 2是完全平方式，则k 等于（ ） A ．6B ．64C ．±64D ．±8一、单选题19．（2021·辽宁·沈阳市第四十三中学七年级期中）下列能用平方差公式计算的是（ ） A ．()()a b a b --+B ．()()a b a b --+C ．()()a b b a -+-+D ．()()-+--a b b a20．（2022·河北石家庄·八年级期末）计算()()0.10.30.10.3x y x y +-的结果为（ ） A ．220.010.09x y - B ．220.010.9x y - C ．220.10.9x y -D ．220.10.3x y -21．（2021·山东威海·期中）计算24(1)(1)(1)(1)a a a a +-++的结果是（ ） A ．81a -B ．8+1aC ．161a -D ．161a +22．（2022·福建漳州·八年级期末）如图，正方形中阴影部分的面积为（ ）A ．a 2﹣b 2B ．a 2+b 2C ．abD ．2ab23．（2022·重庆·模拟预测）下列运算正确的是（ ） A ．（a ﹣b ）2＝a 2﹣b 2 B ．（a 3）2＝a 5 C ．a 5÷a 3＝a 2D ．a 3+a 2＝a 524．（2022·福建漳州·期末）下列计算正确的是（ ） A ．（m 3）2＝m 5B ．3m 2n •mn ＝3m 3n 2C ．（m ﹣2）（m +1）＝m 2﹣m +2D ．（m ﹣1）（1﹣m ）＝m 2﹣125．（2022·吉林长春·八年级期末）如图，在边长分别为a ，b 的两个正方形组成的图形中，剪去一个边长为（a -b ）的正方形，通过用两种不同的方法计算剪去的正方形的面积，可以验证的乘法公式是（ ）A ．2()a a b a ab +=+B ．22()()a b a b a b +-=-C ．222()2a b a ab b +=++D ．222()2a b a ab b -=-+26．（2022·吉林·长春市第八十七中学一模）先化简，再求值：2b 2+（a +b ）（a ﹣b ）﹣（a ﹣b ）2，其中a ＝13，b ＝﹣6．27．（2022·广东·深圳市龙华区潜龙学校七年级阶段练习）用乘法公式计算： (1)1002－200×99＋992； (2)(x －2y ＋3z )(x －2y －3z )．一：选择题28．（2022·湖南岳阳·七年级期末）已知a ，b 为实数，满足ab >0，且||20a b +-=，当a －b 为整数时，ab 的值为（ ）A ．14或34B ．1或14C ．34或1D ．14或1229．（2022·黑龙江·哈尔滨德强学校八年级开学考试）如果281x kx -+是一个完全平方式，那么k 的值是（ ） A ．9B ．±9C ．18D ．±1830．（2022·广东·深圳市龙华区潜龙学校七年级阶段练习）下列乘法公式运用正确的是（ ） A ．(a ＋b )(b －a )＝a 2－b 2 B ．(m ＋1)(m －1)＝m 2－1 C ．(2x －1)2＝2x 2＋4x －1 D ．(a ＋1)2＝a 2＋131．（2022·广东·深圳市龙华中学七年级阶段练习）下列式子中一定成立的是（ ） A ．（x ＋2y ）2＝x 2＋4y 2 B ．（x ＋5）（x －2）＝x 2－10 C ．（－x ＋y ）2＝（x －y ）2D ．（x ＋2y ）（x －2y ）＝x 2－2y 2 32．（2022·广东广州·八年级期末）小张利用如图①所示的长为a 、宽为b 的长方形卡片4张，拼成了如图①所示的图形，则根据图①的面积关系能验证的恒等式为（ ）A ．()2222a b a ab b +=++ B ．()222244a b a ab b +=++ C ．()()224a b a b ab +=-+D ．()2222a b a ab b -=-+33．（2022·广东中山·八年级期末）如图，两个正方形的边长分别为a 、b ，若7a b +=，3ab =，则阴影部分的面积是（ ）A ．40B ．492C ．20D ．2334．（2022·山东临沂·八年级期末）已知2211244m n n m +=--，则22m n - 的值等于（ ）A ．1B ．﹣1C ．-2D ．1435．（2022·天津和平·八年级期末）下列计算正确的是（ ） A ．（a +2）（a ﹣2）＝a 2﹣2 B ．（﹣3a ﹣2）（3a ﹣2）＝9a 2﹣4 C ．（a +2）2＝a 2+2a +4 D ．（a ﹣8）（a ﹣1）＝a 2﹣9a +836．（2022·黑龙江·云山农场中心学校七年级期末）在幼发拉底河岸的古代庙宇图书馆遗址里，曾经发掘出大量的黏土板，美索不达米亚人在这些黏土板上刻出来乘法表、加法表和平方表．用这些简单的平方表，美索不达米亚人这样计算：第一步：（103+95）÷2＝99，第二步（103﹣95）÷2＝4；第三步：查平方表；知99的平方是9801，第四步：查平方表，知4的平方是16，第五步：980116978595103. 设两因数分别为a 和b ，写出蕴含其中道理的整式运算（ ） A ．22()()2a b a b ab +--=B ．222()()2a b a b ab +-+=C ．22()()22a b a b ab +-+= D ．22()()22a b a b ab +--= 二、填空题37．（2022·福建漳州·八年级期末）若a 2﹣b 2＝6，a +b ＝2，则a ﹣b ＝_____．38．（2022·广东·深圳市龙华区潜龙学校七年级阶段练习）计算：12－22＋32－42＋52－62＋…＋1992－2002＝________． 39．（2022·山东淄博·八年级期末）已知，实数a 满足(1)1a a +=，则2120211a a ++=+_______． 40．（2022·福建省诏安县第一实验中学七年级阶段练习）若216x mx ++是关于x 的完全平方式，则m =________． 41．（2022·河北石家庄·八年级期末）已知x ，y 满足2()2()10x y x y ---+=． （1）x y -的值为___________；（2）若226x y +=，则xy 的值为___________．42．（2022·重庆九龙坡·八年级期末）已知关于x ，y 的多项式x 2﹣2kxy +16y 2是完全平方式，则k ＝_____． 43．（2022·重庆永川·八年级期末）已知x 、y 均为实数，且5x y +=，2211x y +=，则xy =______．44．（2022·河南南阳·八年级期末）如图，点C 是线段AB 上一点，以AC 、BC 为边向两边作正方形ACDE 和BCFG ，已知AB ＝10，两正方形的面积和S 1+S 2＝60，则图中阴影部分的面积为 _____．三、解答题45．（2022·吉林长春·八年级期末）先化简，再求值：2（a +1）（a ﹣1）﹣a （2a ﹣3），其中a =16．46．（2022·福建省诏安县第一实验中学七年级阶段练习）用简便方法计算下列各题： (1)2103102104-⨯； (2)299．47．（2022·广东·深圳市龙华中学七年级阶段练习）简答下列各题：(1)已知a2＋b2＝2，ab＝1，求a＋b和a－b的值；(2)若a＋1a ＝3，那么a2＋21a＝_____；若a－1a＝3，那么a4＋41a＝_____．48．（2022·江西·南昌市外国语学校八年级期末）已知5a b+=，94 ab=．(1)求22a b+的值；(2)求-a b的值．49．（2022·辽宁葫芦岛·八年级期末）数学活动课上，老师准备了若干个如图1的三种纸片，A种纸片是边长为a的正方形，B种纸片是边长为b的正方形，C种纸片是长为b、宽为a的长方形．用A种纸片一张，B种纸片一张，C 种纸片两张可拼成如图2的大正方形．(1)请用两种不同的方法求图2大正方形的面积（答案直接填到题中横线上）．方法1 ；方法2 ．(2)观察图2，请你直接写出下列三个代数式：（a+b）2，a2+b2，àb之间的等量关系为；(3)晓晓同学利用上面的纸片拼出了一个面积为a2+3ab+2b2的长方形，这个长方形相邻两边长为；(4)根据（2）题中的等量关系，解决如下问题：①已知：a+b＝6，a2+b2＝14，求ab的值；①已知：（x﹣2020）2+（x﹣2022）2＝34，求（x﹣2021）2的值．50．（2022·福建泉州·八年级期末）乘法公式222()2a b a ab b+=++给出了a b+、22a b+与ab的数量关系，灵活的应用这个关系，可以解决一些数学问题．(1)若5a b +=，3ab =，求22a b +的值；(2)若m 满足22(11)(9)10m m -++=，求(11)(9)m m -+的值；(3)如图，点E 、G 分别在正方形ABCD 的边AD 、AB 上，且1BG DE =+，以AG 为一边作正方形AGJK ，以AE 的长为边长过点E 作正方形GFIH ，若长方形AEFG 的面积是2116，求阴影部分的面1．B 【解析】 【分析】根据平方差公式即可求出答案． 【详解】解：2(23)15x y +=，2(23)3x y -=，22(23)(23)12x y x y ∴+--=，(2323)(2323)12x y x y x y x y ∴+-+++-=， 6412y x ∴⋅=，332xy ∴=， 故选：B ． 【点睛】本题考查平方差公式，解题的关键是熟练运用平方差公式，本题属于基础题型． 2．B 【解析】 【分析】根据平方差公式为22()()a b a b a b +-=-逐项判断即可． 【详解】A ．既没有相同项，也没有相反项，不能用平方差公式进行计算，故本选项不符合题意；B ．原式[][]()2()2a b a b =---+，符合平方差公式，故本选项符合题意；C ．原式(23)(23)a b a b =---，只有相同项，没有相反项，不符合平方差公式，故本选项不符合题意；D ．原式11(1)(1)33a a -++只有相同项，没有相反项，不符合平方差公式，故本选项不符合题意；故选：B ． 【点睛】本题考查平方差公式，掌握平方差公式为22()()a b a b a b +-=-是解答本题的关键． 3．C【分析】先在前面添加因式(2−1)，再连续利用平方差公式计算求出x ，然后根据指数相等即可求出n 值． 【详解】 解:()()()()()2481212121212n x =++++⋯+= ()()()()()()248211212121212n-++++⋯+=()()()()()22482112121212n -+++⋯+=()()2112n n -+=221n -， ①12812x +=, ①21282112n -+=， 即 212822n =， ①2128n =， ①n =64. 故答案为：C. 【点睛】本题考查了平方差公式，关键是乘一个因式(2−1)然后就能依次利用平方差公式计算了． 4．C 【解析】 【分析】根据拼图中各个部分面积之间的关系可得答案． 【详解】解：如图，由于S 长方形B =S 长方形C ， 因此有S 长方形A +S 长方形B =S 长方形A +S 长方形C ， 而S 长方形A +S 长方形B =（a +b ）（a -b ），S 长方形A +S 长方形C =S 长方形A +S 长方形C +S 长方形D -S 长方形D ， =a 2-b 2，①有（a +b ）（a -b ）=a 2-b 2，【点睛】本题考查平方差公式的几何背景，掌握拼图中各个部分面积之间的关系是解决问题的关键． 5．A 【解析】 【分析】图①：根据阴影部分的面积等于1个长方形（长为a b +、宽为-a b ）的面积即可得；图①：根据阴影部分的面积等于1个平行四边形的面积之和即可得；图①：根据阴影部分的面积等于1个长方形（长为a b +、宽为-a b ）的面积即可得；图①：根据阴影部分的面积等于1个平行四边形的面积之和即可得． 【详解】解：图①：左边图中阴影部分面积为22a b -，右边图中阴影部分面积为()()a b a b +-， 则有22()()a b a b a b -=+-；图①：左边图中阴影部分面积为22a b -，右边图中阴影部分是一边长为a b +，这条边上的高为-a b 的平行四边形，其面积为()()a b a b +-， 则有22()()a b a b a b -=+-；图①：左边图中阴影部分面积为22a b -，右边图中阴影部分面积为()()a b a b +-， 则有22()()a b a b a b -=+-；图①：左边图中阴影部分面积为22a b -，右边图中阴影部分是一边长为a b +，这条边上的高为-a b 的平行四边形，其面积为()()a b a b +-， 则有22()()a b a b a b -=+-；综上，能够验证平方差公式的有4个， 故选：A ． 【点睛】本题考查了平方差公式与图形面积，熟练掌握各图形的面积之间的联系是解题关键． 6．B 【解析】 【分析】设正方形,A B 的边长分别为,a b ，由图甲和图乙，建立关系式，再根据图丙的阴影部分面积结合关系式即可求得． 【详解】设正方形,A B 的边长分别为,a b （0a b >>），由图甲可得2()1a b -= 由图乙可得：222()12a b a b +--= 即212ab =6ab = 2()1a b -=221213a b ab +=+=222()2131225a b a b ab ∴+=++=+=5a b ∴+=±，1a b -=± 0a b >>5a b ∴+=，1a b -= 图丙的阴影部分面积为： 222(2)32a b a b +-- 22224432a ab b a b =++--224a ab b =+-()()4a b a b ab =+-+5146=⨯+⨯29=．故选：B ． 【点睛】本题考查了完全平方公式的变形，求一个数的平方根，平方差公式，完全平方式与几何面积，解题的关键是掌握完全平方公式． 7．A 【解析】根据完全平方公式展开即可得． 【详解】解：()()22222222?2?44x y x x y y x xy y -=-+=-+， 故选：A ． 【点睛】题目主要考查整式乘法中的完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解题关键． 8．B 【解析】 【分析】根据完全平方公式得到2228a ab b ++=①，2222a ab b -+=①，然后把两个等式相加即可得出结论． 【详解】解：①()28a b +=， ①2228a ab b ++=①， ①()22a b -=， ①2222a ab b -+=①， ①＋①得，222210a b +=， ①225a b +=， 故选：B ． 【点睛】本题考查了完全平方公式，熟知222()2a b a ab b ±=±+是解题的关键． 9．C 【解析】 【分析】根据完全平方公式()2222a b a ab b ±=±+ ，即可求出答案． 【详解】解：由于()()224a b a b ab +=-+ ， ①()()()224a b ab a b ++-=- ，【点睛】本题考查完全平方公式，解题的关键是熟练运用完全平方公式()2222a b a ab b ±=±+，本题属于基础题型． 10．A 【解析】 【分析】根据完全平方公式进行计算即可． 【详解】解：225a b +=，2ab =-，222()252(2)1a b a b ab ∴++=+⨯-+==，故选：A ． 【点睛】此题主要考查了完全平方公式，解题的关键是掌握：222()2a b a ab b ±=±+． 11．D 【解析】 【分析】根据完全平方公式求出225x y +=，再把原式因式分解后可代入求值． 【详解】解：因为2x y -=，12xy =， 所以()24x y -=， 22425x y xy +=+=所以32233x y x y xy ++()223xy x xy y =++115322134⎛⎫=+⨯ ⎪⎝⎭=故选：D 【点睛】考核知识点：因式分解的应用．灵活应用完全平方公式进行变形是解题的关键． 12．C 【解析】 【分析】把4a b +=两边平方，利用完全平方公式化简，将2ab =-代入计算即可求出2220a b +=，由此即可求得答案． 【详解】 解：①4a b +=①两边平方得：2()16a b +=， 即：22216a b ab ++=， 又①2ab =-，①2216220a b ab +=-=， ①2220(2)22a ab b -+=--= 故选：C ． 【点睛】此题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式的变形是解本题的关键． 13．A 【解析】 【分析】设大正方形边长a ，小正方形边长b ，利用完全平方公式的展开求ab 的值，再求阴影面积； 【详解】解：设AC =a ，BC =b ，则a ＋b =8， ①()2222a b a b ab +=++=64， ①两正方形的面积和为S 1＋S 2＝36， ①22a b +=36，①2ab =64-36=28，即ab =14， ①阴影部分面积=12ab ⨯=7故选：A 【点睛】此题考查完全平方公式()2222a b a b ab +=++的几何运用，熟记公式是解题关键．14．D 【解析】 【分析】由大的正方形的边长为,c 结合勾股定理可判断①，由小的正方形的边长为,a b - 结合小正方形的面积可判断①，再利用2221,a ab b -+= 结合2225,a b +=可判断①，再由2222524,a ab b ++=+可判断①，从而可得答案. 【详解】解：由题意得：大正方形的边长为,c∴ 22225,a b c +== 故①符合题意；用a 、b 表示直角三角形的两直角边（a ＞b ），则小正方形的边长为：,a b - ()21,a b ∴-= 则1a b -=（负值不合题意舍去）故①符合题意；()21,a b -=2221,a ab b ∴-+= 而2225,a b +=2521,ab ∴-=12,ab ∴= 故①符合题意；2225,a b +=2222524,a ab b ∴++=+()249,a b ∴+=7a b ∴+=（负值不合题意舍去）故①符合题意； 故选D 【点睛】本题考查的是以勾股定理为背景的几何面积问题，同时考查了完全平方公式的应用，熟练的应用完全平方公式的变形求值是解本题的关键. 15．B 【解析】 【分析】设出长方形的长和宽，根据两种拼图得出两个含有长、宽的等式，变形后得出答案． 【详解】解：设长方形的长为a ，宽为b ，由图1可得，（a +b ）2-4ab =35， 即a 2+b 2=2ab +35①，由图2可得，（2a +b ）（a +2b ）-5ab =102， 即a 2+b 2=51①， 由①①得，2ab +35=51， 所以ab =8，即长方形的面积为8， 故选：B ． 【点睛】本题考查了完全平方公式的几何背景，用代数式表示各个图形的面积，利用面积之间的关系得到答案是常用的方法． 16．A 【解析】 【分析】利用完全平方公式的结构特征判断即可求出k 的值． 【详解】解：①2924a ab k ＋＋是完全平方式， ①216k b =， 故选：A ． 【点睛】本题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键． 17．C 【解析】 【分析】根据完全平方公式的结构进行求解即可．k 为首位两数乘积的2倍． 【详解】∵x 2+kx +9＝x 2+kx +32，x 2+kx +9是完全平方式， ∴kx ＝23x ±⋅⋅， 解得k ＝±6． 故选：C ． 【点睛】本题考查的是完全平方公式，两数平方和再加上或减去它们乘积的2倍，是完全平方式的主要结构特征，本题要熟记完全平方公式，注意积的2倍的符号，有正负两种情况，避免漏解． 18．D 【解析】 【分析】根据完全平方公式解答即可． 【详解】解：①x 2﹣16x +k 2是一个完全平方式， ①x 2﹣16x +k 2=x 2﹣16x +64， ①k =±8． 故选：D ． 【点睛】本题是完全平方公式的应用，两数的平方和，再加上或减去它们积的2倍，就构成了一个完全平方式．此题解题的关键是利用平方项来确定这两个数． 19．D 【解析】 【分析】根据平方差公式的特点要找相同项和相反项，其结果是相同项的平方减去相反项的平方，只有具备以上特点才能进行运算，即可求解． 【详解】解：A 、()()()()()2a b a b a b a b a b --+=---=--，不能用平方差公式计算，故本选项不符合题意； B 、()()()()()2a b a b a b a b a b --+=-++=-+，不能用平方差公式计算，故本选项不符合题意； C 、()()()()()2a b b a a b a b a b -+-+=--⨯-=--，不能用平方差公式计算，故本选项不符合题意；D 、()()()()()()22a b b a a b a b a b a b a b -+--=--⨯-+=-+=-⎡⎤⎣⎦，能用平方差公式计算，故本选项符合题意；故选：D 【点睛】本题考查了平方差公式，能熟记平方差公式()()22a b a b a b -+=-是解此题的关键．20．A 【解析】 【分析】根据平方差公式直接计算即可． 【详解】解：原式＝（0.1x ）2﹣（0.3y ）2 ＝0.01x 2﹣0.09y 2， 故选：A ． 【点睛】本题考查平方差公式，掌握平方差公式的结构特征是正确应用的前提． 21．A 【解析】 【分析】按照从左到右的顺序依次利用平方差公式进行计算． 【详解】解：（a +1）（a -1）（a 2+1）（a 4+1）， =（a 2-1）（a 2+1）（a 4+1）， =（a 4-1）（a 4+1）， =a 8-1． 故选：A ． 【点睛】本题主要考查了平方差公式，难点在于连续利用公式进行运算． 22．D 【解析】 【分析】根据图形中各个部分面积之间的关系进行计算即可． 【详解】解：阴影部分的面积为：()2221122222a b a b ab +-⨯-⨯=， 故选：D ． 【点睛】本题考查完全平方公式的几何背景，掌握完全平方公式的结构特征以及图形中各个部分面积之间的关系是正确解答的关键．23．C【解析】【分析】根据整式乘法、幂的乘方、同底数幂除法、合并同类项的性质，对各个选项逐个分析，即可得到答案．【详解】解：A、（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2，即本选项错误，不符合题意；B、（a3）2＝a6，即本选项错误，不符合题意；C、a5÷a3＝a2，即本选项正确，符合题意；D、a3，a2不是同类项，不能合并，即本选项错误，不符合题意．故选：C．【点睛】本题考查了整式乘法、幂的乘方、同底数幂除法、合并同类项的知识；解题的关键是熟练掌握完全平方公式、幂的乘方、同底数幂除法的性质，从而完成求解．24．B【解析】【分析】根据幂的乘方、整式的乘法、多项式乘多项式、完全平方公式即可求出答案．【详解】解：A、原式=m6，故A不符合题意．B、原式=3m3n2，故符合题意．C、原式=m2-m-2，故C不符合题意．D、原式=-（m-1）（m-1）=-m2+2m-1，故D不符合题意．故选：B．【点睛】本题考查幂的乘方、整式的乘法、多项式乘多项式、完全平方公式，本题属于基础题型．25．D【解析】【分析】从整体直接列式和从部分和差计算列式表示出所剪去的正方形的面积，可得到此题的结果．【详解】即（a -b ）2=a 2-2ab +b 2， 故选：D ． 【点睛】本题考查了完全平方公式的几何背景的应用能力，关键是能根据图形列出不同整式表示其面积． 26．2ab ，4-． 【解析】 【分析】先计算平方差公式与完全平方公式，再计算整式的加减，然后将,a b 的值代入计算即可得． 【详解】解：原式()()2222222b a b a ab b +---+=2222222b a b a ab b =+--+-2ab =，将1,63a b ==-代入得：原式()122643ab =⨯⨯-=-=．【点睛】本题考查了整式的化简求值，熟练掌握整式的运算法则和乘法公式是解题关键． 27．(1)1(2)x 2－4xy ＋4y 2－9z 2 【解析】 【分析】（1）逆用完全平方公式计算即可；（2）先用平方差公式，再用完全平方公式计算． (1)解：原式=1002－2×100×99＋992=(100-99)2=1； (2)解：原式=(x －2y ＋3z )(x －2y －3z ) =(x -2y )2-(3z )2 = x 2－4xy ＋4y 2－9z 2． 【点睛】此题主要考查了乘法公式，熟练掌握公式是解答本题的关键．完全平方公式是(a ±b )2=a 2±2ab +b 2；平方差公式是28．C 【解析】 【分析】根据20a b +-=，可得2(a b)4+=，变形得出2()44a b ab -=-．设222(2)a b a ab b t -=-+=，可得到44tab -=，根据a −b 为整数，ab >0，即可确定t 为0或1，问题得解． 【详解】解：①20a b +-=， ①2(a b)4+=， ①2()44a b ab -=-． 设()2a b t -=， 则44ab t -=，即44tab -=． ①a −b 为整数，ab >0， ①t 为0或1， 当t =0时，ab =1；当t =1时，ab =34；故选：C 【点睛】本题考查了完全平方公式的变形，熟练掌握完全平方公式并根据题意确定相应字母的取值范围是解题关键． 29．D 【解析】 【分析】根据完全平方公式形式，这里首末两项是x 和9这两个数的平方，那么中间一项为加上或减去x 和9乘积的2倍． 【详解】解：281x kx -+是一个完全平方式，∴首末两项是x 和9这两个数的平方，2918kx x x ∴-=±⨯=±，解得18k =±． 故选：D ．本题是完全平方公式的应用，两数平方和再加上或减去它们乘积的2倍，是完全平方式的主要结构特征，本题要熟记完全平方公式，注意积得2倍的符号，有正负两种情况，避免漏解．30．B【解析】【分析】根据平方差公式、完全平方公式逐项计算即可．【详解】解：A、（a＋b）（b－a）＝b2－a2，原计算错误，故此选项不符合题意；B、（m＋1）（m－1）＝m2－1，原计算正确，故此选项符合题意；C、（2x－1）2＝4x2－4x＋1，原计算错误，故此选项不符合题意；D、（a＋1）2＝a2＋2a＋1，原计算错误，故此选项不符合题意．故选：B．【点睛】此题主要考查了乘法公式，熟练掌握公式是解答本题的关键．完全平方公式是(a±b)2=a2±2ab+b2；平方差公式是(a+b)(a-b)=a2-b2．31．C【解析】【分析】根据完全平方公式、多项式乘多项式、平方差公式逐项排查即可解答．【详解】解：A、（x＋2y）2＝x2＋4xy＋4y2，故本选项错误；B、（x＋5）（x－2）＝x2＋3x－10，故本选项错误；C、（－x＋y）2＝（x－y）2，故本选项正确；D、（x＋2y）（x－2y）＝x2－4y2，故本选项错误．故选：C．【点睛】本题主要考查了完全平方公式、多项式乘多项式、平方差公式等知识点，灵活运用相关运算法则成为解答本题的关键．32．C【解析】整个图形为一个正方形，找到边长，表示出面积；也可用1个小正方形的面积加上4个矩形的面积表示，然后让这两个面积相等即可． 【详解】①大正方形边长为：()a b +，面积为：()2a b +；1个小正方形的面积加上4个矩形的面积和为：()24a b ab -+； ①()()224a b a b ab +=-+． 故选：C ． 【点睛】此题考查了完全平方公式的几何意义，用不同的方法表示相应的面积是解题的关键． 33．C 【解析】 【分析】根据阴影部分面积等于2个正方形面积减去2个空白部分的三角形面积，进而根据完全平方公式的变形求解即可 【详解】解：阴影部分面积等于()2221122a b a a b b +--+22111222a b ab =+- ()21322a b ab =+- ①7a b +=，3ab =，①阴影部分面积等于213732022⨯-⨯=故答案为：C 【点睛】本题考查了完全平方公式变形求图形面积，掌握完全平方公式是解题的关键． 34．C 【解析】 【分析】先将原式变形为221111044m m n n +++-+=，再根据完全平方公式，可得221111022m n ⎛⎫⎛⎫++-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，从而得到1110,10m n +=-= ，进而得到2,2m n =-= ，即可求解．【详解】解：①2211244m n n m +=--，①22112044m n m n ++-+=， ①221111044m m n n +++-+=， ①221111022m n ⎛⎫⎛⎫++-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ， ①1110,1022m n +=-= ， 解得：2,2m n =-= ， ①2222222m n m n ----===-． 故选：C 【点睛】本题主要考查了完全平方公式的应用，熟练掌握完全平方公式的特征是解题的关键． 35．D 【解析】 【分析】直接利用平方差公式以及完全平方公式、多项式乘多项式分别计算，进而判断得出答案． 【详解】解：A ．（a +2）（a ﹣2）＝a 2﹣4，故此选项不合题意； B ．（﹣3a ﹣2）（3a ﹣2）＝4﹣9a 2，故此选项不合题意； C ．（a +2）2＝a 2+4a +4，故此选项不合题意；D ．（a ﹣8）（a ﹣1）＝a 2﹣9a +8，故此选项符合题意． 故选：D ． 【点睛】此题主要考查了乘法公式和多项式相乘，正确运用乘法公式计算是解题关键． 36．D 【解析】 【分析】先观察题干实例的运算步骤，发现103,95对应的数即为,,a b 从而可得出结论.解：由题意得：22222222()()2244a b a b a ab b a ab b +-++-+-=-4.4abab故选D【点睛】本题考查的是利用完全平方公式进行运算，掌握“()2222a b a ab b ±=±+”是解本题的关键. 37．3 【解析】 【分析】根据平方差公式：（a +b ）（a -b ）=a 2-b 2即可得出答案． 【详解】 解：①a 2-b 2=6， ①（a +b ）（a -b ）=6， ①a +b =2， ①a -b =3， 故答案为：3． 【点睛】本题考查了平方差公式，掌握（a +b ）（a -b ）=a 2-b 2是解题的关键． 38．－20100 【解析】 【详解】原式＝(12)(12)(34)(34)(56)(56)(199200)(199200)-++-++-+++-+(123456199200)=-++++++++(1200)2002+⨯=-=－20100， 故答案为：－20100 【点睛】本题考查了有理数的混合运算，运用平方差公式进而转化为若干个连接自然数的和是解题的关键．这里还用到了若干个连续自然数的和的计算方法：12(首项+末项)×项数．【分析】由(1)1a a +=得21a a =-，对2120211a a +++化简，将2a 用1a -多次等量替换，计算求解即可． 【详解】 解：①(1)1a a += ①21a a =-2120211a a +++ 1120211a a =-+++ ()()11120211a a a -⨯++=++2220211a a -=++ ()2120211a a --=++120211a a +=++ 2022=故答案为：2022． 【点睛】本题考查了平方差，代数式求值．解题的关键在于2a 的等量替换． 40．8± 【解析】 【分析】利用完全平方公式的结构特征判断即可确定出m 的值． 【详解】解：216x mx ++是关于x 的完全平方式，(24)8m ∴=±⨯=±，故答案为：8±． 【点睛】此题考查了完全平方式，解题的关键是熟练掌握完全平方公式． 41． 1； 52（1）把x −y 看成一个整体，利用完全平方公式求解； （2）利用（1）的结果，变形完全平方公式得结论． 【详解】 （1）()()2210x y x y ---+=，()210x y ∴--=⎡⎤⎣⎦，()10x y ∴--=， 1x y ∴-=；（2）()2222x y x xy y -=-+，()22222615xy x y x y ∴=+--=-=，52xy ∴=． 故答案为：（1）1；（2）52．【点睛】本题考查了完全平方公式等知识点．掌握完全平方公式的变形是解决本题的关键． 42．4或-4 【解析】 【分析】根据平方项确定出这两个数，再根据乘积二倍项列式即可确定出k 值． 【详解】解：①()222221624x kxy y x kxy y -+=-+， ①2248kxy x y xy -=±⋅=±， 解得：k ＝±4． 故答案为：4和−4． 【点睛】本题主要考查了完全平方式，根据乘积二倍项确定出这两个数是解题的关键． 43．7 【解析】根据5x y +=可得出2()25x y +=，再展开，将2211x y +=代入，即可求出xy 的值． 【详解】 解：①5x y += ①2()25x y +=， ①22225x y xy ++=，将2211x y +=代入上式，得：11225xy += ①7xy =． 故答案为：7． 【点睛】本题考查完全平方公式和代数式求值．利用整体代入的思想是解题的关键． 44．10 【解析】 【分析】设AC =m ，BC =n ，可得m +n =10，m 2+n 2=60，然后根据完全平方公式求出12mn 即可． 【详解】解：设AC ＝m ，BC ＝n ， ①AB ＝10， ①m +n ＝10， 又①S 1+S 2＝60， ①m 2+n 2＝60，由完全平方公式可得，（m +n ）2＝m 2+2mn +n 2， ①102＝60+2mn ， ①mn ＝20，①S 阴影部分＝12mn ＝10， 即：阴影部分的面积为10． 故答案是：10． 【点睛】本题主要考查了完全平方公式的变形求值，掌握完全平方公式的结构特征是解答本题的关键．45．3a-2，-32．【解析】【分析】先利用平方差公式，单项式乘多项式的运算法则计算乘法，然后合并同类项进行化简，最后代入求值．【详解】解：2（a+1）（a﹣1）﹣a（2a﹣3）=2（a2-1）-2a2+3a=2a2-2-2a2+3a=3a-2，当a=16时，原式=3×16 -2=12 -2=-32．【点睛】本题考查整式的混合运算，掌握单项式乘多项式的运算法则，平方差公式（a+b）（a-b）=a2-b2的结构是解题关键．46．(1)1(2)9801【解析】【分析】（1）利用平方差公式进行求解即可；（2）利用完全平方差公式进行求解即可．(1)解：2103102104-⨯，2103(1031)(1031)=--⨯+，221031031=-+，1=；(2)解：299，2(1001)=-，100002001=-+， 9801=．【点睛】本题考查了平方差公式，完全平方差公式，解题的关键是掌握相应的公式进行变形． 47．(1)a ＋b ＝±2；a －b ＝0 (2)7，119 【解析】 【分析】（1）根据完全平方公式计算，将代数式的值代入求解即可； （2）将已知等式利用完全平方公式变形求值即可 (1)解：①a 2＋b 2＝2，ab ＝1，①（a ＋b ）2＝a 2＋b 2＋2ab ＝2＋2＝4，即a ＋b ＝±2； （a －b ）2＝a 2＋b 2－2ab ＝2－2＝0，即a －b ＝0． (2)解：①a ＋1a＝3，①219a a ⎛⎫+= ⎪⎝⎭22129a a ∴++= 2217a a∴+=若 a －1a＝3， ①219a a ⎛⎫-= ⎪⎝⎭22129a a ∴+-= 22111a a ∴+= 2221121a a ⎛⎫∴+= ⎪⎝⎭441119a a ∴+= 故答案为：7,119 【点睛】本题考查了完全平方公式，根据完全平方公式变形求值是解题的关键． 48．(1)412(2)4± 【解析】 【分析】（1）直接利用完全平方公式将原式变形进而得出答案． （2）直接利用完全平方公式将原式变形进而得出答案． (1)解：①5a b +=，94ab =， ①22()5a b +=， ①22225a ab b ++=， ①22252a b ab +=-， ①2292524a b +=-⨯， ①22412a b +=． (2)解：①22412a b +=，94ab =， ①22419221624a b ab +-=-⨯=， ①2()16a b -=， ①4a b -=±． 【点睛】本题主要考查了完全平方公式，正确运用完全平方公式是解题的关键． 49．(1)2()a b +，222a ab b ++ (2)2()a b +=222a ab b ++ (3)a +b ，a +2b (4)①11；①16【解析】 【分析】（1）方法1 由图知，大正方形的边长为a +b ，则可求得正方形的面积；方法2 由图知，大正方形由两个边长分别为a 与b 的两个小正方形及两个长为b 、宽为a 的长方形组成，从而可求得大正方形的面积；（2）由（1）知，可得（a +b ）2，a 2+b 2，ab 之间的等量关系；（3）由于()22232()a a a b a b b b =++++，从而可得长方形相邻两边的长；（4）①由（2）中的等量关系式即可求得ab 的值；①考虑到2020比2021小1，2022比2021大1，则x −2020=(x −2021)+1，x −2022=(x −2021)−1，利用（2）中的等量关系即可求得结果． (1)方法1 由图知，大正方形的边长为a +b ，则大正方形的面积为2()a b +；方法2 由图知，大正方形由两个边长分别为a 与b 的小正方形及两个长为b 、宽为a 的长方形组成，所以大正方形的面积为222a ab b ++；故答案为：方法1 2()a b +；方法2 222a ab b ++ (2)由（1）知：2()a b +、222a ab b ++均表示同一正方形的面积，所以2()a b +=222a ab b ++ 故答案为：2()a b +=222a ab b ++ (3)由于()22232()a a a b a b b b =++++所以面积为a 2+3ab +2b 2的长方形相邻两边长为a +b ，a +2b 故答案为：a +b ，a +2b (4)①①2()a b +=222222a ab b a b ab ++=++ 即26142ab =+ ①ab =11①①x −2020=(x −2021)+1，x −2022=(x −2021)−1 ①[][]22(2021)1(2021)134x x -++--=。
七年级下册数学平方差公式
七年级下册数学平方差公式
平方差公式：（a+b）（a-b）=a²-b²
根据多项式乘法法则，去掉括号即可得到：
（a+b）（a-b）=a²-ab+ba-b²=a²-b²
其中a和b可以是任意实数（正数，负数，零），也可以是整式。
例如下面的式子也都成立
（-2）²-3²=（-2+3）（-2-3）
（2x+3y-4）（2x+3y+4）=（2x+3y）²-4²
下面看一下平方差公式的一些用法和变化：
平方差公式的变形a²=（a+b）（a-b）+b²
例题2：心算997²
虽然可以利用完全平方公式：
997²=（1000-3）²=1000²-2×3×1000+3²
但是运算过程中有减法，所以心算比较费劲。
所以可以利用上面的变形公式转化成加法。
一般的简便运算都需要凑成整十整百等，997+3=100，两数相加就是平方差公式的一部分。
997²=（997+3）×（997-3）+3²=1000×994+9=994009
完全可以心算直接写答案，其中a=997，b=3.
请仔细体会这种运算方法，对平方差公式的理解会提升一个高度。
初一平方差计算题50道
初一平方差计算题50道一、基础型（20道）1. 计算：(a + 3)(a - 3)- 解析：根据平方差公式(x + y)(x - y)=x^2-y^2，这里x = a，y = 3，所以(a + 3)(a - 3)=a^2-3^2=a^2-9。
2. 计算：(2 + b)(2 - b)- 解析：根据平方差公式，x = 2，y=b，则(2 + b)(2 - b)=2^2-b^2=4 - b^2。
3. 计算：(5x+1)(5x - 1)- 解析：令x = 5x，y = 1，根据平方差公式可得(5x+1)(5x - 1)=(5x)^2-1^2=25x^2-1。
4. 计算：(3m - 2n)(3m + 2n)- 解析：这里x = 3m，y = 2n，根据平方差公式(3m - 2n)(3m + 2n)=(3m)^2-(2n)^2=9m^2-4n^2。
5. 计算：(x+2y)(x - 2y)- 解析：设x=x，y = 2y，由平方差公式得(x + 2y)(x - 2y)=x^2-(2y)^2=x^2-4y^2。
6. 计算：(4a+3b)(4a - 3b)- 解析：令x = 4a，y = 3b，根据平方差公式(4a+3b)(4a - 3b)=(4a)^2-(3b)^2=16a^2-9b^2。
7. 计算：(-x + 5)(-x - 5)- 解析：这里x=-x，y = 5，根据平方差公式(-x + 5)(-x - 5)=(-x)^2-5^2=x^2-25。
8. 计算：(-2m+3n)(-2m - 3n)- 解析：设x=-2m，y = 3n，由平方差公式得(-2m + 3n)(-2m - 3n)=(-2m)^2-(3n)^2=4m^2-9n^2。
9. 计算：((1)/(2)x+(1)/(3)y)((1)/(2)x-(1)/(3)y)- 解析：令x=(1)/(2)x，y=(1)/(3)y，根据平方差公式((1)/(2)x+(1)/(3)y)((1)/(2)x-(1)/(3)y)=((1)/(2)x)^2-((1)/(3)y)^2=(1)/(4)x^2-(1)/(9)y^2。
七年级数学 第8章 8.3 完全平方公式与平方差公式(第2课时)教学
12/9/2021
b2
第四页，共十三页。
做一做
有一位老人非常喜欢孩子，每当有孩子到他家做客时， 老人都要拿出糖果招待他们(tā 。 men)
来一个孩子，老人就给这个孩子一块糖，来两个孩子，老 人就给每个孩子两块糖，来三个，就给每人三块糖，……
(3)第三天这(a + b)个孩子(hái zi)一起去看老人，老人一共给了 这些孩子(hái zi)多少块糖？
12/9/2这021 些孩子多少块糖？
第三页，共十三页。
做一做
有一位老人非常喜欢孩子，每当有孩子到他家做客 时，老人都要拿出糖果招待(zhāodài)他们。 来一个孩子，老人就给这个孩子一块糖，来两个孩子， 老人就给每个孩子两块糖，来三个，就给每人三块糖， ……
(2) 第二天有 b 个女孩一起去了老人家，老人一共给了这些
12/9/2021
第二页，共十三页。
讲授(jiǎngshòu)新课
做一做
有一位老人非常喜欢孩子，每当有孩子到他家做客时， 老人都要拿出糖果招待他们。 来一个孩子，老人就给这个孩子一块糖，来两个(liǎnɡ 孩 ɡè) 子，老人就给每个孩子两块糖，来三个，就给每人三块 糖，……
(1) 第一天有 a 个男孩一起(yīqǐ)去了老人家，老人一共给了
（2）(x－2)(x+2) －(x+1)(x－3) （3）(ab+1)2－ (ab－1)2
（4）(2x－y)2－4(x－y)(x+2y)
12/9/2021
第九页，共十三页。
课堂(kètáng)小结
1. 完全平方公式的使用：
在做题过程中一定要注意符号问题和正确认识a、b表示的意义，它们
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
平方差公式
一、创设问题情境,引出本节内容
1、知识复习：多项式与多项式相乘的法则
（a+b）（m+n）=am+an+bm+bn．
设计意图：复习旧知识为新知识做铺垫
我们已经学过了多项式的乘法，两个二项式相乘，在合并同类项前应该有几项？合并同类项以后，积可能会是三项吗？积可能是二项吗？请举出例子．
2、计算下列各题，你能发现什么规律？
（1）（x+1）（x－1）；（2）（a+2）（a－2）；
（3）（3－x）（3+x）；（4）（2m+n）（2m－n）．
两个二项式相乘，乘式具备什么特征时，积才会是二项式？为什么具备这些特点的两个二项式相乘，积会是两项呢？而它们的积又有什么特征？
在多项式的乘法中，对于某些特殊形式的多项式相乘，我们把它写成公式，并加以熟记，以便遇到类似形式的多项式相乘时就可以直接运用公式进行计算．以后经常遇到(a+b)(a-b)这种乘法，所以把
(a+b)(a-b)=a2-b2作为公式，叫做乘法的平方差公式．
平方差公式（a+b）（a－b）= a2－b2．
平方差公式是由多项式乘法直接计算得出的：
与一般式多项式的乘法一样，积的项数是多项式项数的积，即四项．合并同类项后仅得两项．
3、请用剪刀从边长为a的正方形纸板上，剪下一个边长为b的小正方形（如图1），然后拼成如图2的长方形，你能根据图中的面积说明平方差公式吗？
图1 图2
学生活动设计：学生动手操作，观察图形，计算阴影部分的面积．经过思考可以发现，两个图形阴影部分面积相等，即（a+b）（a－b）= a2－b2．
设计意图：引导学生动手操作，自主探索，发现规律，进行归纳，初步感受平方差公式．培养学生交流与探索能力
左边是两个二项式相乘，这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数；右边是乘式中两项的平方差，即相同项的平方与相反项的平方差．公式中的字母可以表示具体的数（正数和负数），也可以表示单项式或多项式等代数式．
关于平方差公式的特征，在学习时应注意：
（1）左边是两个二项式相乘，并且这两上二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数．
（2）右边是乘式中两项的平方差（相同项的平方减去相反项的平方）．
（3）公式中的和可以是具体数，也可以是单项式或多项式．
（4）对于形如两数和与这两数差相乘，就可以运用上述公式来计算．
只要符合公式的结构特征，就可运用这一公式．在运用公式的过程中，有时需要变形，例如（2）（b+2a）（2a－b），变形为，两个数就可以看清楚了．
另外，在计算中不一定用一种模式刻板地应用公式，可以结合以前学过的运算法则，经过变形后灵活应用公式，培养学生解题的灵活性．
4、例题计算：
（1）（3x＋2）（3 x－2）；；
（3）（－x+2y）（－x－2y）．
设计意图：学生板演并巩固法则，充分发挥学生主体性。
二、知识应用，加深对平方差公式的理解
例1 计算(1+2x)(1-2x)．
例2 计算(b+2a)(2a-b)．
例3 计算(-4a-1)(-4a+1)．
课堂练习
运用平方差公式计算：
(l)(x+a)(x-a)；(2)(m+n)(m-n)；(3)(a+3b)(a-3b)；(4)(1-5y)(l+5y)．
课堂练习
1．口答下列各题：
(l)(-a+b)(a+b)；(2)(a-b)(b+a)；
(3)(-a-b)(-a+b)；(4)(a-b)(-a-b)．
2．计算下列各题：
(1)(4x-5y)(4x+5y)；(2)(-2x2+5)(-2x2-5)；
三、小结
1．什么是平方差公式？
2．运用公式要注意什么？
(1)要符合公式特征才能运用平方差公式；
(2)有些式子表面不能应用公式，但实质能应用公式，要注意变形．
四、作业
1．运用平方差公式计算：
(l)(x+2y)(x-2y)；(2)(2a-3b)(3b+2a)；(3)(-1+3x)(-1-3x)；(4)(-2b-5)(2b-5)；
(5)(2x3+15)(2x3-15)；(6)(0.3x-0.l)(0.3x+l)；
三、应用提高、拓展创新
探究：给出下列算式：32－12= 8 = 8×1； 52－32= 16 = 8×2；
72－52= 24 = 8×3； 92－72= 32 = 8×4．（1）观察上面一系列式子，你能发现什么规律？
（2）你能用含n的式子表示吗．（3）计算 20052－20032。