算法分析与设计动态规划ppt课件

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最优性原理
最优性原理(Principle of Optimality) 过程的最优决策序列具有如下性质：无论过程的
初始状态和初始决策是什么，其余的决策都必须相对 于初始决策所产生的状态构成一个最优决策序列。
利用动态规划求解问题的前提 1) 证明问题满足最优性原理
如果对所求解问题证明满足最优性原理，则说明 用动态规划方法有可能解决该问题
3+COST(2,4), 2+COST(2,5)}=16
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多段图的向前处理算法
例子中5段图的实现计算步骤：
– 在计算每一个COST(i, j)的同时，记下每个状态 (结点j)所做出的决策，设为D(i, j)，则可容易地 求出这条最小成本路径。
– D(3,6)=10 D(3,7)=10 D(3,8)=10 D(2,2)=7 – D(2,3)=6 D(2,4)=8 D(2,5)=8 D(1,1)=2 – 设这条最小成本路径是s＝l ,v2,v3,…,vk-1, t=12。
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9 4
10 2
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12 t
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V19 5
多段图的向后处理算法
设BP(i, j)是一条由源点s到Vi中结点j的最 小成本路径，BCOST(i, j)表示BP(i, j)的成 本，由向后处理方法得到公式4.6：
即由源点s到Vi中结点j的最小成本，等于由 源点s到Vi-1中任一结点l 的最小成本加上Vi-1 中结点l 到Vi中结点j的边长, 所得的所有和 中最小的那个值。
第四章 动态规划
第四章 动态规划
什么是动态规划 多段图 最优二分检索树 0/1背包问题 可靠性设计 货郎担问题
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4.1 一般方法
在实际生活中，有这么一类问题，它们的活 动过程可以分为若干个阶段，而且在任一阶 段后的行为都依赖于i 阶段的过程状态，而 与i 阶段之前的过程是如何达到这种状态的 方式无关，这样的过程就构成了一个多阶段 决策过程。
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最优化决策序列的表示
设xi,1S≤0是i≤问n题的初始状态。假定要作n次决策 X是1在={选r1,1取,r1决,2,策…值,r1r,p1j,}j1是以x后1的所可产能生决的策状值态的，集1合≤，j1≤而pS11,1 又设F1,j1是相应于状态S1,j1的最优决策序列 则中相最应优于 的序S0的列最，优记决作策序列就是{r1,j1 F1,j1 | 1≤j1≤p1}
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s1 3
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10 2 12 t
4 11 2
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11 5
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8
6 11
对于实例中的最小成本路径如下所示：
D(3,6)=3; D(3,7)=2; D(3,8)=2;
D(4,9)=6; D(4,10)=6; D(4,11)=8;
D(5,12)=10
COST(n)0
for jn -1 to 1 by –1 do
设r是一个这样的结点,<j, r>∈E且使c(j,r)+COST(r)取小值
COST(j)c(j,r)+COST(r)
D(j)r repeat P(1)1;P(k)n
计算出COST(j)的值， 并找出一条最小成本 路径
for j2 to k-1 do
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4.2 多段图
多段图向前处理的算法
– 设P(i, j)是一条从Vi中的节点j 到汇点t 的最小 成本路径，COST(i, j)表示这条路径的成本， 根据向前处理方法有公式4.5：
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多段图的向前处理算法
因为，若<j, t> ∈E成立,有COST(k-1,j)=c(j,t), 若<j, t> ∈E不成立，则有COST(k-1,j)=∞，所以 可以通过如下步骤解式公式（4.5），并求出 COST(1,s)。 首先对于所有j∈Vk-2，计算COST(k-2, j)，然后对 所有的j∈Vk-3，计算计算COST(k-3, j)等等，最后 计算出计算COST(1, s)
BCOST(2，4)=3； BCOST(2，5)=2；
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4 3
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BCOST(3,6)=min{BCOST(2,2)+4, BCOST(2,3)+2}= 9
BCOST(3,7)= min{BCOST(2,2)+2, BCOST(2,3)+7, BCOST(2,5)+11} = 11
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多段图的向前处理算法
COST(2,2)=min{4+COST(3,6), 2+COST(3,7), 1+COST(3,8)}=7
– COST(2,3)=9 – COST(2,4)=18 – COST(2,5)=15 – COST(1,1)=min{9+COST(2,2), 7+COST(2,3),
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BCOST(5,12)=min{BCOST(4,9)+4,BCOST(4,10)+2, BCOST(4,11)+5}=16
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多段图的向后处理算法
在计算每一个BCOST(i, j)的同时，记 下每个状态(结点j)所做出的决策( 即, 使BCOST(i-1, j)+c(l, j)取最小值的 l 值), 设为D(i, j)，则可容易地求出这条最小 成本路径。
D(j)r repeat P(1)1;P(k)n for jk-1 to 2 by -1 do
计算出BCOST(j) 的值，并找出一 条最小成本路径
P(j)D(P(j+1))
repeat
找出最小成本路径
End BGRAPH
上的第j个结点
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4.3 每对结点之间的最短路径
复习（略）
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4.4 最优二分检索树
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多段图的向前处理算法
例子中5段图的 实现计算步骤：
COST(4,9)=4 COST(4,10)=2 COST(4,11)=5
– COST(3,6)=min{6+COST(4,9), 5+COST(4,10)}=7 – COST(3,7)=min{4+COST(4,9), 3+COST(4,10)}=5 – COST(3,8)=min{5+COST(4,10), 6+COST(4,11)}=7
则可得知： – v2＝D(1, 1)＝2，v3=D(2 , D(1,1))=7 和 v4＝D(3 , D(2, D(1, 1)))＝D(3, 7)＝10
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多段图的向前处理算法
procedure FGRAP(E,k,n,P)
real COST(n),integer D(n-1),P(k),r,j,k,n
到t的最小成本路径。
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多段图问题
最优性原理对多段图成立
– 假设s,v2,v3,…,vk-1,t是一条由s到t的最短路径 – 再 策假，设因从此V源2点就s是开初始始，决已策作所出产了生到的结状点态V2的决 – 如 态 最果 ，短把 解路V决径2这看个成子是问原题问就题是的找一出个一子条问由题V的2到初t始的状 – 这条最短路径显然是v2,v3,…,vk-1,t
如果已作了k-1次决策，1≤k-1<n。设x1,…xk-1的最 优决策值是r1,..,rk-1，他们所产生的状态为S1,…Sk-1
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最优化决策序列的表示
又设Xk={{rk,1,rk,2,…,rk,pk}是xk的可能值的集 合。 Sk,jk是选取rk,jk决策之后所产生的状态, 1≤jk≤pk Fk,jk 是相应于Sk,jk的最优决策序列。 因此，相应于Sk-1的最优决策序列是
BCOST(3,8)= min{BCOST(2,2)+1, BCOST(2,4)+11,
BCOST(2,5)+8} = 10
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BCOST(4,9)=min{BCOST(3,6)+6, BCOST(3,7)+4}=15 BCOST(4,10)=min{BCOST(3,6)+5, BCOST(3,7)+3, BCOST(3,8)+5}=14 BCOST(4,11)=16
2) 获得问题状态的递推关系式 获得各阶段间的递推关系式是解决问题的关键。
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多段图问题
多段图问题 V1
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