湖南省郴州市2015届高考数学模拟试题(四)理
数学专题三 以函数、不等式与导数相结合的综合问题为解答题
专题三 压轴解答题以函数、不等式与导数相结合的综合问题为解答题【名师综述】1.本专题在高考中的地位导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点， 所以在历届高考中，对导数的应用的考查都非常突出 2．本专题在高考中的命题方向及命题角度从高考来看，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行： (1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系． (2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数． (3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题． (4)考查数形结合思想的应用类型一 用导数研究函数的性质典例1 已知函数()2ln f x x x x =--.（1）求函数()f x 的极值；（2）若1x ， 2x 是方程()2ax f x x x +=-（0a >）的两个不同的实数根，求证：12ln ln 2ln 0x x a ++<.【解析】（1）依题意， ()212121x x f x x x x ='--=-- ()()211x x x+-=故当()01x ∈，时， ()0f x '<，当()1x ∈+∞，时， ()0f x '> 故当1x =时，函数()f x 有极小值()10f =，无极大值.（2）因为1x ， 2x 是方程()2ax f x x x +=-的两个不同的实数根.∴()()112201{ 02ax lnx ax lnx -=-=两式相减得()2121ln 0x a x x x -+=，解得2121lnx x a x x =-要证： 12ln ln 2ln 0x x a ++<，即证： 1221x x a<，即证： ()2211221ln x x x x x x -<⎛⎫ ⎪⎝⎭，即证()222122111212ln 2x x x x x x x x x x -⎛⎫<=-+ ⎪⎝⎭， 不妨设12x x <，令211x t x =>.只需证21ln 2t t t<-+. 设()21ln 2g t t t t=--+，∴()22111ln 12ln g t t t t t t t t ⎛⎫=-+=-+ ⎝'⎪⎭； 令()12ln h t t t t =-+，∴()22211110h t t t t ⎛⎫=--=--< ⎪⎝⎭'，∴()h t 在()1+∞，上单调递减，∴()()1h t h < 0=，∴()0g t '<，∴()g t 在()1+∞，为减函数，∴()()10g t g <=. 即21ln 2t t t<-+在()1+∞，恒成立，∴原不等式成立，即12ln ln 2ln 0x x a ++<. 【名师指点】利用导数可以研究函数的单调性、函数图像、极值点、最值、零点等性质，常用的到的方法为：1、利用对于确定函数求单调区间问题，先求定义域，然后解不等式'()0f x >和定义域求交集得单调递增区间；解不等式'()0f x <和定义域求交集得单调递减区间.2、对于含参数的函数求单调区间问题，转化为判断导函数符号，可结合函数图象判断.3、求函数的极值，先求'()0f x =的根0x ，再和函数定义域比较，如果落在定义域外或者落在定义域端点，此时函数单调，无极值；当落在定义域内时，将定义域分段，分别考虑0x 两侧导数是否异号，从而判断是否有极值.4、求函数的最值和求极值类似，先求'()0f x =的根0x ，如果落在定义域外或者落在定义域端点，此时函数单调，利用单调性求最值；当落在定义域内时，将定义域分段，分别考虑0x 两侧导数是否异号，从而判断函数大致图象，从而求最值.【举一反三】已知函数()()ln 1f x x a x =+-， a R ∈. （1）讨论()f x 的单调性；（2）当12a =-时，令()()212g x x f x =--，其导函数为()'g x ，设12,x x 是函数()g x 的两个零点，判断122x x +是否为()'g x 的零点？并说明理由.【解析】（1）依题意知函数()f x 的定义域为()0+∞，，且()1f x a x'=-.①当0a ≤时， ()0f x '>，所以()f x 在()0+∞，上单调递增. ②当0a >时，由()0f x '=得： 1x a=， 则当10x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，时()0f x '>；当1x a⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭，时()0f x '<. 所以()f x 在10a ⎛⎫⎪⎝⎭，单调递增，在1a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，上单调递减. （2）122x x +不是导函数()g x '的零点. 证明如下：由（Ⅰ）知函数()22ln g x x x x =--. ∵1x ， 2x 是函数()g x 的两个零点，不妨设120x x <<， ∴22111111222222222ln 02ln {{2ln 02ln x x x x x x x x x x x x --=-=⇒--=-=，两式相减得：()()()12121212ln ln x x x x x x -+-=-即： ()1212122ln ln 1x x x x x x -+-=-又()221g x x x-'=-. 则()1212121212122ln ln 4412x x x x g x x x x x x x x -+⎛⎫=+--=- ⎪+-+⎝⎭' ()()1212121222ln ln x x x x x x x x ⎡⎤-=--⎢⎥-+⎣⎦.设12x t x =，∵120x x <<，∴01t <<， 令()()21ln 1t t t t ϕ-=-+， ()()()()22211411t t t t t t ϕ-=-=+'+.又01t <<，∴()0t ϕ'>，∴()t ϕ在()0,1上是増函数， 则()()10t ϕϕ<=，即当01t <<时， ()21ln 01t t t --<+，从而()()1212122ln ln 0x x x x x x ---<+，又121200x x x x <<⇒-<所以()()1212121222ln ln 0x x x x x x x x ⎡⎤--->⎢⎥-+⎣⎦， 故1202x x g +⎛⎫>⎪⎝⎭'，所以122x x +不是导函数()g x '的零点. 类型2 导数、函数与不等式典例2 已知函数()2ln ,f x x ax x a R =+-∈．（1）若函数()f x 在[]1,2上是减函数，求实数a 的取值范围；（2）令()()2g x f x x =-，是否存在实数a ，当(]0,x e ∈（e 是自然常数）时，函数()g x 的最小值是3，若存在，求出a 的值；若不存在，说明理由； （3）当(]0,x e ∈时，证明：()2251ln 2e x xx x ->+． 【答案】（1（2）存在实数2a e =，使得当(]0,x e ∈时()g x 有最小值3；（3）详见解析．综上，存在实数2a e =，使得当(]0,x e ∈时()g x 有最小值3．当0x e <≤时，()0x ϕ'≥，()h x 在(]0,e 上单调递增【名师指点】证明不等式()()f x g x ≥成立，可以构造函数()()()H x f x g x =-，通过证明函数()H x 的最小值大于等于零即可，可是有时候利用导数求函数()H x 最小值不易，可以通过特例法，即证明()f x 的最小值大于等于()g x 的最大值即可．【举一反三】【湖南省郴州市一中2018届高三十二月月考理科】设函数()()1ln 2f x a x x a R x=+-∈. （1）当3a =时，求()f x 的极值； （2）当1a =时，证明： ()122x ef x x e->-+. 【解析】（1）当3a =时， ()13ln 2f x x x x=+-， ()231'2f x x x=--= ()()222211231(0)x x x x x x x ---+-=->，当10,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时， ()'0f x <， ()f x 在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减； 当1,12x ⎛⎫∈⎪⎝⎭时， ()'0f x >， ()f x 在1,12⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增； 当()1,x ∈+∞时， ()'0f x <， ()f x 在()1,+∞上单调递减. 所以，当12x =， ()f x 取得极小值113ln22f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭； 当1x =时， ()f x 取得极大值()11f =-.（2）证明：当1a =时， ()()()11ln 1211f x x x x -=-+---， 1x >， 所以不等式()122x e f x x e ->-+可变为()1ln 11x ex x e-+>-.要证明上述不等式成立，即证明()()()11ln 11xe x x x e---+>.设()()()1ln 11g x x x =--+，则()()'1ln 1g x x =+-， 令()'0g x =，得11x e=+， 在11,1e ⎛⎫+ ⎪⎝⎭上， ()'0g x <， ()g x 是减函数；在11,e ⎛⎫++∞ ⎪⎝⎭上， ()'0g x >， ()g x 是增函数.所以()1111g x g e e⎛⎫≥+=- ⎪⎝⎭. 令()()1xe x h x e-=，则()()2'xe x h x e-=，在()1,2上， ()'0h x >， ()h x 是增函数；在()2,+∞上， ()'0h x <， ()h x 是减函数， 所以()()1121h x h e e≤=<-， 所以()()h x g x <，即()()()11ln 11xe x x x e-<--+，即()()()11ln 11xe x x x e---+>，由此可知()122x ef x x e->-+.类型三、恒成立及求参数范围问题典例3 【安徽省蚌埠市2018届高三上学期第一次教学质量检查】已知函数()ln f x x =，()()2g x a e x b =-+（其中e 为自然对数的底数， ()f x ）.（1）若函数()f x 的图象与函数()g x 的图象相切于1x e=处，求,a b 的值； （2）当2b e a =-时，若不等式()()f x g x ≤恒成立，求a 的最小值. 【解析】（1）2a e =， 1b =-．（过程略）（2）令()()()()()ln h x f x g x x e a x e a =-=+---，则()()1h x e a x+'=-， 当a e ≤时， ()h x 单调递增，而()10h =， ∴()1,x ∈+∞时， ()0h x >不合题意 当a e >时，令()0h x '=，则1x a e=-， ∵()h x '为减函数， ∴10,x a e ⎛⎫∈ ⎪-⎝⎭时， ()0h x '>， ()h x 单调递增， 1,x a e ⎛⎫∈+∞ ⎪-⎝⎭时， ()0h x '<， ()h x 单调递减，∴()max 1h x h a e ⎛⎫==⎪-⎝⎭()()ln 10a e e a -----≤， 即()()ln 1a e a e -≥--．（△）但0,ln 1x x x ∀>≤-，等号成立当且仅当且1x =． 故（△）式成立只能1a e -= 即1a e =-．【名师指点】将已知恒成立的不等式由等价原理把参数和变量分离开，转化为一个已知函数的最值问题处理，关键是搞清楚哪个是变量哪个是参数，一般遵循“知道谁的范围，谁是变量；求谁的范围，谁是参数”的原则．常用方法有参变分离法和构造函数法．【举一反三】已知函数1ln )1(21)(2>-+-=a x a ax x x f ，． (1)求()f x 的单调区间；(2)若x x a x g ln )2()(--=,)()(x g x f ≥在区间),[+∞e 恒成立,求a 的取值范围． 解析：(1)()f x 的定义域为(0,)+∞.2'11(1)(1)()a x ax a x x a f x x a x x x--+--+-=-+== ，（i ）若11a -=即2a =,则2'(1)()x f x x-=故()f x 在(0,)+∞单调增加. (ii)若11a -<,而1a >,故12a <<,则当(1,1)x a ∈-时，'()0f x <;当(0,1)x a ∈-或(1,)x ∈+∞时，'()0f x >；故()f x 在(1,1)a -单调减少，在(0,1),(1,)a -+∞单调增加. (iii)若11a ->,即2a >,同理可得()f x 在(1,1)a -单调减少，在(0,1),(1,)a -+∞单调递增.（2）由题意得21()()ln 202f xg x x a x x -=+-≥恒成立.设21F()()()ln 22x f x g x x a x x =-=+-，则'F ()220ax x x=+-≥> ，所以F()x 在区间+∞[e,）上是增函数，只需21F(e)202e a e =+-≥即2122a e e ≥- .【精选名校模拟】1．【山东省济南市2018届高三上学期期末考试数学】已知函数()()ln R f x ax x a =-∈. （1）求函数()f x 的单调区间；（2）若函数()f x 有两个零点12,x x ，证明12112ln ln x x +>. 【解析】1）()()110ax f x a x x x-=-=>' 当0a ≤时， ()0f x '<，所以()f x 在()0,+∞上单调递减； 当0a >时， ()0f x '=，得1x a=10,x a ⎛⎫∀∈ ⎪⎝⎭都有()0f x '<， ()f x 在10,a ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减；1,x a ⎛⎫∀∈+∞ ⎪⎝⎭都有()0f x '>， ()f x 在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增.综上：当0a ≤时， ()f x 在()0,+∞上单调递减，无单调递增区间； 当0a >时， ()f x 在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递减， ()f x 在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增. （2）函数()f x 有两个零点分别为12,x x ，不妨设12x x <则11ln 0x ax -=， 22ln 0x ax -=()2121ln ln x x a x x -=-要证：12112ln ln x x +> 只需证：12112a x x +>只需证： 12122x x a x x +> 只需证：12211221ln ln 2x x x x x x x x +->-只需证： 22212121ln 2x x xx x x ->只需证： 2211121ln2x x x x x x ⎛⎫<- ⎪⎝⎭令211x t x =>，即证11ln 2t t t ⎛⎫<- ⎪⎝⎭设()11ln 2t t t t φ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，则()222102t t t t φ'--=<， 即函数()t φ在()1,+∞单调递减 则()()10t φφ<= 即得12112ln ln x x +> 2． 已知函数()()28ln f x x x a x a R =-+∈（Ⅰ）当1x =时， ()f x 取得极值，求a 的值；（Ⅱ）当函数()f x 有两个极值点1212,()x x x x <，且11x ≠时，总有()11ln 21a x m x >-- ()21143x x +-成立，求m 的取值范围.【解析】（Ⅰ） ()228'(0)x x af x x x-+=>， ()'10f =，则6a = 检验6a =时， ()()()213'(0)x x f x x x--=>，所以()0,1x ∈时， ()'0f x >， ()f x 为增函数；()1,3x ∈时， ()'0f x <， ()f x 为减函数，所以1x =为极大值点（Ⅱ）()f x 定义域为()0,+∞，有两个极值点1212,()x x x x <，则()2280t x x x a =-+=在()0,+∞上有两个不等正根所以()6480{00 20a t a x ∆=->=>=>，所以08a <<1212124{ 20x x ax x x x +==<<.所以()211211124{224 0x x a x x x x x x =-==-<<，所以102x << 这样原问题即102x <<且11x ≠时，()()21111ln 2431a x m x x x >-+--成立 即()()()()11111124ln 2411x x x m x x x ->--+-即()()11112ln 211x x m x x >-+-即()()11112ln 2101x x m x x --+>-，即()()211111212ln 01m x x x x x ⎡⎤--⎢⎥+>-⎢⎥⎣⎦且1111110101{1201x x x x x x <-<<<-时时设()()()2212ln (02)m x h x x x x--=+<<()()()22222'(02)m x x m h x x x -++-=<<①2m =时， ()2'0h x x=>， 所以()h x 在()0,2上为增函数且()10h =， 所以， ()1,2x ∈时， ()0h x >不合题意舍去. ②2m >时， ()'0h x >同①舍去 ③2m <时（ⅰ）0∆≤，即1m ≤时可知()'0h x ≤，在()0,2上()h x 为减函数且()10h =， 这样01x <<时， ()0h x >， 12x <<时()0h x <，这样()()2212ln 01m x x x x x⎡⎤--⎢⎥+>-⎢⎥⎣⎦成立（ⅱ）0∆>，即2l m <<时()'h x 分子中的一元二次函数的对称轴112x m=>-开口向下，且1的函数值为()210m -> 令1min ,22a m ⎧⎫=⎨⎬-⎩⎭，则()1,x a ∈时， ()'0h x >， ()h x 为增函数， ()10h =所以， ()0h x >故舍去 综上可知： 1m ≤3． 已知函数()ln 1af x x x=+-， a R ∈. （1）若关于x 的不等式()112f x x ≤-在[)1,+∞上恒成立，求a 的取值范围；（2）设函数()()f x g x x=，若()g x 在21,e ⎡⎤⎣⎦上存在极值，求a 的取值范围，并判断极值的正负.【解析】（Ⅰ）由()112f x x ≤-，得11112a nx x x +-≤-．即2112a x nx x ≤-+在[)1,+∞上恒成立设函数()2112m x x nx x =-+， 1x ≥．则()'11m x nx x =-+-． 设()11n x nx x =-+-．则()1'1n x x=-+．易知当1x ≥时， ()'0n x ≥．∴()n x 在[)1,+∞上单调递增，且()()10n x n ≥=．即()()''10m x m ≥=对[)1,x ∈+∞恒成立．∴()m x 在[)1,+∞上单调递增． ∴当[)1,x ∈+∞时， ()()()min 112m x m x m >==． ∴12a ≤，即a 的取值范围是1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦．（Ⅱ）()2ln 1x a g x x x x=+-， 21,x e ⎡⎤∈⎣⎦． ∴()22111'nx g x x x -=+ 332212a x x nx ax x ---=． 设()212h x x x nx a =--，则()()'21111h x nx nx =-+=-． 由()'0h x =，得x e =．当1x e ≤<时， ()'0h x >；当2e x e <≤时， ()'0h x <． ∴()h x 在[)1,e 上单调递增，在(2,e e ⎤⎦上单调递减．且()122h a =-， ()2h e e a =-， ()22h e a =-． 显然()()21h h e >．结合函数图象可知，若()g x 在21,e ⎡⎤⎣⎦上存在极值，则()()0{10h e h ><或()()210{h h e≥<．（ⅰ）当()()0{10h e h ><，即12ea <<时，则必定212,1,x x e ⎡⎤∃∈⎣⎦，使得()()120h x h x ==，且2121x e x e <<<<．当x 变化时， ()h x ， ()'g x ， ()g x 的变化情况如下表：∴当12e a <<时， ()g x 在21,e ⎡⎤⎣⎦上的极值为()()12,g x g x ，且()()12g x g x <． ∵()11211111nx a g x x x x =+- 111211x nx x ax -+=． 设()1x x nx x a ϕ=-+，其中12ea <<， 1x e ≤<． ∵()'10x nx ϕ=>，∴()x ϕ在()1,e 上单调递增， ()()110x a ϕϕ≥=->，当且仅当1x =时取等号．∵11x e <<，∴()10g x >． ∴当12e a <<时， ()g x 在21,e ⎡⎤⎣⎦上的极值()()210g x g x >>． （ⅱ）当()()210{h h e ≥<，即01a <≤时，则必定()231,x e ∃∈，使得()30h x =．易知()g x 在()31,x 上单调递增，在(23,x e ⎤⎦上单调递减．此时， ()g x 在21,e ⎡⎤⎣⎦上的极大值是()3g x ，且()()22340a e g x g ee+>=>．∴当01a <≤时， ()g x 在21,e ⎡⎤⎣⎦上的极值为正数．综上所述：当02e a <<时， ()g x 在21,e ⎡⎤⎣⎦上存在极值，且极值都为正数． 注：也可由()'0g x =，得221a x x nx =-．令()21h x x x nx =-后再研究()g x 在21,e ⎡⎤⎣⎦上的极值问题．4． 已知函数()()21ln f x a x x =-+， a R ∈.（1）当2a =时，求函数()y f x =在点()()1,1P f 处的切线方程；（2）当1a =-时，令函数()()ln 21g x f x x x m =+-++，若函数()g x 在区间1,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有两个零点，求实数m 的取值范围.【解析】（1）当2a =时， ()()221ln f x x x =-+ 224ln 2x x x =-++.当1x =时， ()10f =，所以点()()1,1P f 为()1,0P ， 又()1'44f x x x=-+，因此()'11k f ==. 因此所求切线方程为()0111y x y x -=⨯-⇒=-. （2）当1a =-时， ()22ln g x x x m =-+，则()()()2112'2x x g x x x x -+-=-=. 因为1,x e e ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以当()'0g x =时， 1x =，且当11x e<<时， ()'0g x >；当1x e <<时， ()'0g x <； 故()g x 在1x =处取得极大值也即最大值()11g m =-. 又2112g m e e⎛⎫=--⎪⎝⎭， ()22g e m e =+-，()221122g e g m e m e e ⎛⎫-=+--++ ⎪⎝⎭24e =-+ 210e <，则()1g e g e ⎛⎫< ⎪⎝⎭，所以()g x 在区间1,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值为()g e ，故()g x 在区间1,e e⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有两个零点的条件是 ()2110{ 1120g m g m e e =->⎛⎫=--≤ ⎪⎝⎭2112m e ⇒<≤+， 所以实数m 的取值范围是211,2e ⎛⎤+⎥⎝⎦. 5．【湖北省武昌2018届元月调研考试数学】已知a 的实常数，函数()2x f x e ax -=-.（1）讨论函数()f x 的单调性；（2）若函数()f x 有两个不同的零点1212,()x x x x <， （ⅰ）求实数a 的取值范围； （ⅱ）证明： 122x x +>.【解析】试题解析：（1）()2e xf x a -='-.当0a ≤时， ()0f x '≥，函数()f x 在(),-∞+∞上单调递增； 当0a >时，由()2e0x f x a --'==，得2ln x a =+.若2ln x a >+，则()0f x '>，函数()f x 在()2ln ,a ++∞上单调递增； 若2ln x a <+，则()0f x '<，函数()f x 在(),2ln a -∞+上单调递减. （2）（ⅰ）由（1）知，当0a ≤时， ()f x 单调递增，没有两个不同的零点. 当0a >时， ()f x 在2ln x a =+处取得极小值. 由()()ln 2ln e2ln 0af a a a +=-+<，得1a e >.所以a 的取值范围为1,e⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭.（ⅱ）由2e 0x ax --=，得()2ln ln ln x ax a x -==+，即2ln ln x x a --=. 所以11222ln 2ln ln x x x x a --=--=. 令()2ln g x x x =--，则()11g x x'=-. 当1x >时， ()0g x '>；当01x <<时， ()0g x '<. 所以()g x 在()0,1递减，在()1,+∞递增，所以1201x x <<<. 要证122x x +>，只需证2121x x >->.因为()g x 在()1,+∞递增，所以只需证()()212g x g x >-.因为()()12g x g x =，只需证()()112g x g x >-，即证()()1120g x g x -->. 令()()()2h x g x g x =--， 01x <<，则()()()11222h x g x g x x x ⎛⎫=--=-+-''⎝'⎪⎭. 因为()1111122222x x x x x x ⎛⎫⎡⎤+=+-+≥ ⎪⎣⎦--⎝⎭，所以()0h x '≤，即()h x 在()0,1上单调递减.所以()()10h x h >=，即()()1120g x g x -->， 所以122x x +>成立.6．【山西省吕梁市2018届高三上学期第一次模拟考试】已知函数()()ln xe f x a x x x=--. （1）当0a ≤时，试求()f x 的单调区间；（2）若()f x 在()0,1内有极值，试求a 的取值范围. 【解析】（Ⅰ）()()2e 111x xf x a x x -⎛⎫=-- ⎝'⎪⎭()()2e 11x x ax x x ---=，()()2e 1xax x x--=．当0a ≤时，对于()0,x ∀∈+∞， e 0xax ->恒成立，所以 ()0f x '> ⇒ 1x >； ()0f x '< ⇒ 01x <<0. 所以 单调增区间为()1,+∞，单调减区间为()0,1 ．（Ⅱ）若()f x 在()0,1内有极值，则()f x '在()0,1x ∈内有解．令()()()2e 10xax x f x x --==' ⇒e 0xax -= ⇒ e xa x= .设()e xg x x= ()0,1x ∈,所以 ()()e 1x x g x x='-, 当()0,1x ∈时， ()0g x '<恒成立，所以()g x 单调递减.又因为()1e g =，又当0x →时， ()g x →+∞, 即()g x 在()0,1x ∈上的值域为()e,+∞, 所以 当e a >时，()()()2e 10xax x f x x --==' 有解.设()e xH x ax =-，则 ()e 0xH x a ='-< ()0,1x ∈， 所以()H x 在()0,1x ∈单调递减. 因为()010H =>， ()1e 0H a =-<,所以()e xH x ax =-在()0,1x ∈有唯一解0x .所以有：所以 当e a >时， ()f x 在()0,1内有极值且唯一.当e a ≤时，当()0,1x ∈时， ()0f x '≥恒成立， ()f x 单调递增，不成立． 综上， a 的取值范围为()e,+∞．7．【四川省2017-2018年度高三“联测促改”活动理科数学试题】已知函数()ln xf x e x =+.（1）求函数()'y f x =在[)1,x ∈+∞上的最小值；（2）若对任意[)1,x ∈+∞恒有()()1f x e m x ≥+-，求实数m 的取值范围. 【解析】（1）由于()()1'x y h x f x e x ===+，则()21'x h x e x=-， 则当()1,x ∈+∞时， 21,1x e e x ><， 所以()'0h x >，即()h x 在()1,+∞上是增函数， 于是y 在[)1,+∞上的最小值为()11h e =+．（2）考虑函数()()()1g x f x e m x =---，即为()0g x ≥对任意[)1,x ∈+∞恒成立， 且发现()10g =，于是()1'xg x e m x=+-， 由(1)知：当1m e ≤+时， ()'0g x ≥，此时()g x 单调增，于是()()10g x g ≥=，成立； 若1m e >+，则存在()1,t ∈+∞使得：当()1,x t ∈时()'0g x <，当(),x t ∈+∞时()'0g x >， 此时()0min g g t ≥<，矛盾，综上， 1m e ≤+．8．【2018广西贺州桂梧高中联考】已知函数()()2232ln 42f x x x x x x =--+. （1）若()f x 在(),1a a +上递增，求a 的取值范围； （2）证明： ()'24f x x >-.【答案】（1）0a =或a e ≥（2）详见解析【解析】试题分析：（1）要使()f x 在(),1a a +上递增，只需()0f x '≥，且不恒等于0，所以先求得函数的增区间， (),1a a +是增区间的子区间。
考点10 导数的几何意义-2018版典型高考数学试题解读与变式(解析版)
考点十：导数的几何意义【考纲要求】（1）了解导数概念的实际背景.（2） 通过函数图像直观理解导数的几何意义. （3） 根据导数的定义求基本函数的导数.（4） 能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数，能求简单的复合函数（仅限于形如)(b ax f +的复合函数）的导数. 【命题规律】导数的运算是导数应用的基础，一般较少直接考查，而导数的几何意义----切线问题是高考考查的热点. 预计2017年的高考将会继续保持稳定，坚持考查导数的几何意义，命题形式会更加灵活、新颖． 【典型高考试题变式】 （一）求函数的导函数例1.【2017浙江高考改编】已知函数()()x 1fx x-2x-1e x 2-⎛⎫=≥ ⎪⎝⎭，求()f x 的导函数. 【答案】（I ）()()(12121()221x x x e f x x x ----=>-'；【方法技巧归纳】求函数的导函数要做到：1.基本初等函数的导函数相当熟悉；2.导函数的四则运算要熟练.另外，在求导的过程中，要注意对原式进行变形，使得便于我们求导.【变式1】【函数中含有参数，利用某函数值的导数求参数的值】【2015天津卷（文）】已知函数()()ln ,0,f x ax x x =∈+∞ ，其中a 为实数,()f x '为()f x 的导函数,若()13f '= ,则a 的值为 ．【答案】3 【解析】因为()()1ln f x a x '=+ ,所以()13f a '==.【变式2】【赋值法在求导得应用，题型变为填空题】【2017江西太原高三模考一（文）改编题】已知函数()()()2102x f f f x e x xe '=+-，则)(x f 的最小值为___________________.【答案】1（二）导数的几何意义例2.【2017天津卷（文）】已知a ∈R ，设函数()ln f x ax x =-的图像在点()()1,1f 处的切线为l ，则l 在y 轴上的截距为 . 【答案】1【解析】(1)f a =，切点为(1,)a ，1()f x a x '=-，则切线的斜率为(1)1f a '=-，切线方程为：(1)(1)y a a x -=--，令0x =得出1y =，l 在y 轴的截距为1.【方法技巧归纳】切线的斜率就是函数在切点处的导数，倾斜值的正切值就是斜率.【变式1】【已知含参函数的切线斜率，求参数的值（或取值范围）】【2017四川乐山第三次调研考试（理）】已知曲线()221x x f x e e ax =-+-存在两条斜率为3的切线，则实数a 的取值范围是（ ）A. ()3,+∞B. 73,2⎛⎫⎪⎝⎭ C.7,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭ D. ()0,3 【答案】B 【解析】由题得()222x x f x e e a'=-+，则方程2223x x e e a -+=有两个解，令xt e =，且()2223g t t t a =-+-，则由图象可知，有()0g t >且0∆>，即30a ->且()4830a -->，解得732a <<，故选B.【变式2】【函数的切线斜率与切线的倾斜角之间的关系】【2017安徽宣城六校联考改编题】过函数()3213f x x x =-图象上一个动点作函数的切线,则切线倾斜角的范围为A. 3π0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦ B.π3π0,,π24⎡⎤⎡⎤⋃⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦ C. 3π[,π) 4 D.π3π(,24⎤⎥⎦ 【答案】B【解析】由题意得()22k f x x x ==-'=()2111x --≥-,即tan α1k =≥-,解得πα02≥≥或3παπ4≤≤.即切线倾斜角的范围为π3π0,,π24⎡⎤⎡⎤⋃⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦.故选B. 【变式3】【两个函数的切线垂直求切点的取值范围】【2015陕西卷（理）】设曲线xy e =在点（0,1）处的切线与曲线1(0)y x x =>上点P 处的切线垂直，则P 的坐标为 ．【答案】()1,1【变式4】【两个函数的切线平行求参数的值】【2014江苏】在平面直角坐标系中，若曲线（为常数）过点，且该曲线在点处的切线与直线平行，则.【答案】【解析】曲线过点，则①，又，所以②，由①②解得所以．（三）在一点处的切线方程例3.【2017全国1卷（文）】曲线21 y xx=+在点（1，2）处的切线方程为_________________________. 【答案】1y x=+【解析】设()y f x=，则()212f x xx-'=，所以()1211f='-=，所以曲线21y xx=+在点()1,2处的切线方程为()211y x-=⨯-，即1y x=+．【方法技巧归纳】求曲线的切线方程是导数的重要应用之一，用导数求切线方程的关键在于求出斜率，其求法为：设()00,P x y是曲线()y f x=上的一点，则以P为切点的切线方程是()()000y y f x x x'-=-．若曲线()y f x=在点()()00,P x f x处的切线平行于y轴（即导数不存在）时，由切线定义知，切线方程为0x x=．【变式1】【例题中增加函数性质】【2016全国3卷（理）】已知()f x为偶函数，当0x<时，()()ln3f x x x=-+，则曲线()y f x=在点()1,3-处的切线方程是__________．【答案】21y x=--【变式2】【增加例题中函数的参数，求参数的取值】【2017届衡水中学押题卷3（文）改编题】已知函数()()1e xf x bx a=-+（a，Rb∈）.若曲线()y f x=在点()()0,0f处的切线方程为y x=，求a，b 的值分别为________.【答案】2,1【解析】函数()f x的定义域为R，()()e1ex xf x b bx=+-'()1e xbx b=+-.因为曲线()y f x=在点()()0,0f处的切线方程为y x=，所以()()00,{01,ff'==得10,{11,ab-=-=解得1,{2.ab==（四）过一点的切线方程例4.【2015全国1卷（理）改编题】已知函数，．（1）当为何值时，轴为曲线的切线.【答案】（Ⅰ）；【解析】（Ⅰ）设曲线与轴相切于点，则，，即，解得.因此，当时，轴是曲线的切线.【方法技巧归纳】对于曲线)(xfy=上“过”点),(nm的切线问题，一般要先设切点),(yx，于是切线为))(('mxxfny-=-，再根据切点在曲线上得)(xfy=，切点在切线上得))(('mxxfny-=-.列方程组，可得切点的值.【变式1】【增加例题的难度，求切线的取值范围】【2017甘肃第二次高考诊断考试（理）】若P是函数()()()1ln1f x x x=++图象上的动点，点()1,1A--，则直线AP斜率的取值范围为（）A. [)1,+∞B.[]0,1C.(1,e e-⎤⎦D.(1,e-⎤-∞⎦【答案】A切线过点()1,1--，则：()()()()000011ln1ln111x x x x⎡⎤--++=++--⎣⎦，解得：00x=，切线的斜率()ln111k x=++=，综上可得：则直线AP斜率的取值范围为[) 1,+∞.（五）两曲线的公切线例5.【2016全国2卷（理）】若直线y kx b =+是曲线ln 2y x =+的切线，也是曲线()ln 1y x =+的切线，则b = ．【答案】1ln2-【解析】ln 2y x =+的切点为()11ln +2x x ，，则它的切线为111ln 1y x x x =⋅++.()ln 1y x =+的切点为()22ln +2x x ，，则它的切线为：()22221ln 111x y x x x x =++-++，所以()122122111ln 1ln 11xx x x x x ⎧=⎪+⎪⎨⎪+=+-⎪+⎩，解得112x =，212x =-，所以1ln 11ln 2b x =+=-．【方法技巧归纳】两曲线有公共切线，一般可以分别求出两曲线的切线，然后说明这两直线重合；或者先求出其中一条曲线的切线，然后说明其也和另一曲线相切.【变式1】【例题中曲线添加参数，求参数的值】【2015全国2卷】已知曲线ln y x x =+在点)1,1(处的切线与曲线1)2(2+++=x a ax y 相切，则a= ． 【答案】8【解析】由11y x '=+可得曲线ln y x x =+在点)1,1(处的切线斜率为2,故切线方程为21y x =-,与1)2(2+++=x a ax y 联立得220ax ax ++=,显然0a ≠,所以由 2808a a a ∆=-=⇒=.【变式2】【改编题目问法，两曲线存在公切线求参数范围】【2017河南六市第二次联考（理）】若曲线21:(0)C y ax a =>与曲线2:xC y e =存在公共切线，则a 的取值范围为__________．【答案】2,4e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭ 【解析】由y=ax2(a>0),得y ′=2ax ，由y=ex,得y ′=ex ，曲线C1:y=ax2(a>0)与曲线C2:y=ex 存在公共切线，设公切线与曲线C1切于点(x1,ax12),与曲线C2切于点()22,x x e ，则22211212x x e ax ax e x x -==-，可得2x2=x1+2，∴11212x ea x +=，记()122x ef x x +=，则()()1222'4x e x f x x +-=，当x ∈(0,2)时,f ′(x)<0,f(x)递减；当x ∈(2,+∞)时,f ′(x)>0,f(x)递增.∴当x=2时,()2min4e f x =.∴a 的范围是2,4e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭ . 【数学思想】 无限逼近的极限思想（1）由()()'()limx f x x f x f x x ∆→+∆-=∆可以知道，函数的导数是函数的瞬时变化率，函数的瞬时变化率是平均变化率的极限，充分说明极限是人们从近似中认识精确的数学方法.极限的实质就是无限近似的量，向着有限的目标无限逼近而产生量变导致质变的结果，这是极限的实质与精髓，也是导数的思想及其内涵. （2）曲线的切线定义，充分体现了运动变化及无限逼近的思想：“两个不同的公共点→两公共点无限接近→两公共点重合(切点)”⇒“割线→切线”.（3）在求曲线的切线方程时，注意两个“说法”：求曲线在点P 处的切线方程和求曲线过点P 的切线方程，在点P 处的切线，一定是以点P 为切点，过点P 的切线，不论点P 在不在曲线上，点P 不一定是切点． 【处理导数的几何意义问题注意点】对于曲线切线方程问题的求解，对函数的求导是一个关键点，因此求导公式，求导法则及导数的计算原则要熟练掌握．对于已知的点，应首先认真审题,对于确定切线的方程问题，要注意区分“该曲线过点P 的切线方程”与“该曲线在点P 处的切线方程”的两种情况，避免出错.从历年高考题看，“该曲线在点P 处的切线方程”问题的考查较为普遍.【典例试题演练】1．【2017宁夏银川一中高三二模（文）】已知在平面直角坐标系中，曲线()ln f x a x x=+在x a =处的切线过原点，则a =A. 1B. eC. 1e D. 0【答案】B2．【2017辽宁沈阳东北育才学校第九次模拟考试（理）】已知函数()xaf x x e=- (0)a >，且()y f x =的图象在0x =处的切线l 与曲xy e =相切，符合情况的切线 A. 有0条 B. 有1条 C. 有2条 D. 有3条 【答案】A【解析】函数f(x)= xax e -的导数为f ′(x)=1−1xa ea ，a>0.易知,曲线y=f(x)在x=0处的切线l 的斜率为1−1a,切点为(0,−1)，可得切线的方程为y=(1−1a )x −1.假设l 与曲线y=ex 相切,设切点为(x0,y0)，即有e x0=1−1a =(1−1a )x0−1，消去a 得e x0=e x0⋅x0−1,设h(x)=exx −ex −1， 则h ′(x)=exx,令h ′(x)>0，则x>0，所以h(x)在(−∞,0)上单调递减,在(0,+∞)上单调递增， 当x →−∞,h(x )→−1,x →+∞,h(x )→+∞， 所以h(x)在(0,+∞)有唯一解,则e x0>1， 而a>0时,1−1a<1,与e x0>1矛盾，所以不存在. 故选：A.3．【2017湖南长沙长郡中学高三5月模考（理）】设曲线()x f x e x=--（e 为自然对数的底数）上任意一点的切线为1l，总存在曲线()32cos g x ax x=+上某点处切线2l，使得12l l ⊥，则实数a 的取值范围为（ ）A. []1,2-B. []3,+∞C. 21,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ D.12,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【答案】D【解析】因为()()1,32sin x f x e g x a x''=--=-，所以直线12,l l 的斜率分别为()11201,32sin x k e k a x =-+=-，则由题设可得()()10132sin 1x e a x -+-=-，即10132sin 1x a x e -=+，又因为对任意1x ，都有11011x e <<+，故 存在0x 使得0032sin 1a x <-<，即存在0x 使得002sin 312sin x a x <<+，故1232a -≤≤，即1233a -≤≤，应选答案D . 4．【2017安徽蚌埠高三二质检（理）】已知函数()1xf x x a e ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，曲线()y f x =上存在两个不同点，使得曲线在这两点处的切线都与y 轴垂直，则实数a 的取值范围是（ ）A. ()2,e -+∞B. ()2,0e - C. 21,e⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭ D. 21,0e ⎛⎫- ⎪⎝⎭【答案】D 【解析】曲线()y f x =上存在不同的两点，使得曲线在这两点处的切线都与y 轴垂直，()()'10x f x a x e -∴=+-=有两个不同的解，即得()1xa x e -=-有两个不同的解，设()1xy x e -=-，则()'2,2,'0,2,'0x y x e x y x y -=-∴，()1xy x e -=-在(),2-∞上递减，在()2,+∞上递增2x ∴=时，函数取得极小值2,e --又因为当2x >时总有()10xy x e -=-<，所以可得数a 的取值范围是21,0e⎛⎫- ⎪⎝⎭，故选D.5．【2017四川绵阳高三月考（理）】过点()2,1A 作曲线()33f x x x=-的切线最多有（ ）A ．3条B ．2条C ．1条D ．0条 【答案】A6．【2018河北石家庄二中开学考试（理）】已知函数()()21,f x g x x x ==.若直线l 与曲线()(),f x g x 都相切，则直线l 的斜率为__________． 【答案】4-【解析】因为()()21,f x g x x x ==，所以()21‘,f x x =-设曲线()f x 与l 切于点111x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，则切线斜率211k x =-，故切线方程为()121111y x x x x -=--，即21112y x x x =-+，与()2g x x =联立得：2211120x x x x +-=，因为直线l 与曲线()g x 相切，所以02411221=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛x x ，解得112x =-，故斜率211k 4x =-=-.故答案为： 4-7．【2018广东茂名高三五校联盟9月联考（理）】若函数的图象在点处的切线斜率为，则函数的极小值是__________．【答案】【解析】因为，所以由导数的几何意义可得切线的斜率，故，令可得，则函数的极小值为，应填答案.8．【2017河南新乡三模（文）】若()()2f x f x +-= 33x x ++对R x ∈恒成立，则曲线()y f x =在点()()2,2f 处的切线方程为__________．【答案】1315y x =-（或13150x y --=） 【解析】()()()()()()3323,23f x f x x x f x f x x x +-=++∴-+=-+-+()()()()333233f x x x x x ⎡⎤∴=++--+-+⎣⎦()()()321,31,213f x x x f x x f ''∴=++=+=又()211f =，则曲线()y f x =在点()()2,2f 处的切线方程为()11132y x -=- ，即1315y x =-9．【2017湖南郴州市高三第四次质量检测（文）】若函数（）在区间只有一个极值点，则曲线在点处切线的方程为__________．【答案】【解析】由题意可得，所以即在有唯一奇次根.根据根的存在性定理，即，，又因为，所以.,，,所以切线方程为.答案为：x-y+6=0.10．【2018河南周口市中英文学校开学考】曲线()C:sin 2x f x x e =++在0x =处的切线方程为_____．【答案】23y x =+ 【解析】由()sin 2x f x x e =++，得()cos xf x x e ='+，()03f =，切线的斜率为()02k f ='=，故切线方程为23y x =+，故答案为23y x =+.11．【2018贵州贵阳高三8月摸底考】已知函数()()1*n n f x x x n N +=-∈，曲线()y f x =在点()()2,2f 处的切线与y 轴的交点的纵坐标为nb ，则数列{}n b 的前n 项和为__________．【答案】12n n +⋅【解析】对函数求导可得： ()()1'1n nf x nx n x -=-+，则()()()11'221222n n n f n n n --=⨯-+⨯=--⨯，且：()12222n n nf -=-=-，曲线在()()2,2f 处的切线方程为()()12222nn y n x -+=--⨯⨯-，令0x =可得： ()1222n y n -=+⨯，即()1222n n b n -=+⨯，错位相减可得其前n 项和为12n n -⋅.12．【2017湖南省郴州市高三第四次质量检测（文）改编】已知函数（）与函数有公共切线.则求的取值范围为_____________. 【答案】13．【2017吉林实验中学八模（理）改编】已知函数()()ln af x x a R x =+∈．（Ⅰ）若函数()f x 在1x =处的切线平行于直线20x y -=，求实数a 的值．【答案】（1）1a =-【解析】试题分析：（1）利用导数的几何意义，得()12f '=， 1a =-；试题解析：（Ⅰ）()21'a fxx x=-,函数()f x在1x=处的切线平行于直线20x y-=.()112,1f a a∴=-=∴=-'.14．【2017陕西省西安市西北工业大学附属中学第八次模拟（理）】已知函数()()1lnt xf x e t x-=-（常数0t>）. （Ⅰ）求函数()f x的单调区间；（Ⅱ）若曲线()y f x=与直线y tx=相切，证明：2t<.【答案】(1)()f x的单增区间为()1,+∞，单减区间为()0,1;(2)见解析.【解析】试题分析：（Ⅰ）求出()'f x，()'0f x>得增区间，()'0f x<得减区间；（Ⅱ）设曲线()y f x=与直线y tx=的切点为()()00,x f x，由0011ln t x txx+-=，可得()0001lnxtx x x+=+，()()1lnxr xx x x+=+，其中11,1xt⎛⎫∈+⎪⎝⎭，利用导数研究函数的单调性可得()()12r x r<=，即2t<.（Ⅱ）证明：设曲线()y f x=与直线y tx=的切点为()()00,x f x，因为()()11t xf x t ex-⎛⎫=-⎝'⎪⎭，所以()()011t xf x t e tx-⎛⎫=-=⎪⎝⎭'，即()111t xex-=+.因为直线y tx=经过切点()()00,x f x，所以()()01000lnt xf x e t x tx-=-=，于是，有0011ln t x txx+-=，即()0001lnxtx x x+=+.令()()111t xh x ex-=--，则()()121t xh x tex-+'=>，故()h x单增，又()110h=-<，11101th et t⎛⎫+=-->⎪+⎝⎭，所以()h x有唯一零点0x，且11,1xt⎛⎫∈+⎪⎝⎭.再令()()1lnxr xx x x+=+，其中11,1xt⎛⎫∈+⎪⎝⎭，则()()2223ln1lnx x xr xx x x----=<+'，故()r x单减，所以()()12r x r<=，即2t<.。
2020年高考数学专题+一+第一关+以圆锥曲线的几何性质为背景的选择题 (2)
2020年高考数学专题一 压轴选择题第三关 以棱柱、棱锥与球的组合体为背景的选择题【名师综述】球作为立体几何中重要的旋转体之一，成为考查的重点．要熟练掌握基本的解题技巧．还有球的截面的性质的运用，特别是其它几何体的内切球与外接球类组合体问题，以及与球有关的最值问题,更应特别加以关注的．试题一般以小题的形式出现,有一定难度．解决问题的关键是画出正确的截面，把空间“切接”问题转化为平面“问题”处理．类型一 四面体的外接球问题典例1．【2018河南漯河中学三模】已知三棱锥的底面是以为斜边的等腰直角三角形， ，则三棱锥的外接球的球心到平面的距离为（ ） A.B.C.D.【答案】A【解析】由图可知， ，得，解得， ，故选A。
S ABC -AB 4,4AB SA SB SC ====ABC32222OB OD DB =+()224r r=+3r =d ∴=【方法指导】本题属于三棱锥的外接球问题，当三棱锥的某一顶点的三条棱两两垂直，可将其补全为长方体或长方体，三棱锥与长方体的外接球是同一外接球，而长方体的外接球的在球心就是对角线的交点，那么对角线就是外接球的直径2222c b a R ++=，c b a ,,分别指两两垂直的三条棱，进而确定外接球表面积．【举一反三】【2018南宁摸底联考】三棱锥 中， 为等边三角形， ， ，三棱锥 的外接球的体积为（ ） A.B.C. D.【答案】B【解析】由题意可得PA,PB ，PC 两两相等，底面是正三角形，所以三棱锥P-ABC 是正棱锥，P 在底面的身影是底面正三角形的中心O ，由 面PAO ，再由 ，可知 面PBC,所以可知 ，即PA,PB,PC 两两垂直，由于是球外接球，所以正三棱锥P-ABC 可以看成正方体切下来的一个角，与原正方体共外接球，所以。
类型二 三棱柱的外接球问题典例2．已知三棱柱111ABC A B C -的侧棱垂直于底面，各项点都在同一球面上，若该棱柱，2AB =，1AC =，60BAC ∠=，则此球的表面积等于（ ） A.2π B.4π C.6π D.8π 【答案】D.【解析】由已知条件得：1121sin 602AA ⨯⨯⨯⨯=12AA =，∵2222cos60BC AB AC AB AC =+-⨯⨯，∴BC =，设ABC ∆的外接圆的半径为R ，则2sin 60BCR =，∴1R ==，∴球的表面积等于248ππ=.【名师指导】确定球心位置是解决相关问题的关键，确定一个点到多面体各顶点相等的策略是将问题分解，即先确定到顶点A B C 、、距离相等的点在过ABC ∆的外心且垂直于平面ABC 的直线上，再确定到顶点111A B C 、、距离相等的点过111A B C ∆的外心且垂直于平面111A B C 的直线上，故直三棱柱111ABC A B C -的外接球球心为连接上下底面外心的线段的中点，进而可确定外接球半径．【举一反三】【陕西省榆林市2018届高考模拟第一次测试】已知直三棱柱111ABC A B C -的6个顶点都在球O 的球面上，若13,4,,12AB AC AB AC AA ==⊥=，则球O 的直径为（ ） A. 13B.C.D. 2【答案】A【解析】因为三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1的6个顶点都在球O 的球面上，若AB=3，AC=4，AB ⊥AC ，AA 1=12，所以三棱柱的底面是直角三角形，侧棱与底面垂直，△ABC 的外心是斜边的中点，上下底面的中心连线垂直底面ABC ，其中点是球心， 即侧面B 1BCC 1，经过球的球心，球的直径是侧面B 1BCC 1的对角线的长， 因为AB=3，AC=4，BC=5，BC 1=13， 所以球的直径为：13． 故答案为：A 。
专题13 以数列求和或者通项公式为背景的填空题-2017年高考数学培优系列(学生版)
专题二 压轴填空题第六关 以数列求和或者通项公式为背景的填空题【名师综述】1.数列的通项公式及递推公式的应用也是命题的热点，根据an 与Sn 的关系求通项公式以及利用构造或转化的方法求通项公式也是常考的热点.2.数列的求和问题多以考查等差、等比数列的前n 项和公式、错位相减法和裂项相消法为主，且考查频率较高，是高考命题的热点. 1．求数列通项公式的常见类型及方法(1)归纳猜想法：已知数列的前几项，求数列的通项公式，可采用归纳猜想法． (2)已知Sn 与an 的关系，利用an ＝⎩⎨⎧S1，n ＝1，Sn －Sn －1，n≥2求an.(3)累加法：数列递推关系形如an ＋1＝an ＋f(n)，其中数列{f(n)}前n 项和可求，这种类型的数列求通项公式时，常用累加法(叠加法)．(4)累乘法：数列递推关系形如an ＋1＝g(n)an ，其中数列{g(n)}前n 项积可求，此数列求通项公式一般采用累乘法(叠乘法)． 2．活用数列求和的四种方法(1)公式法：适合求等差数列或等比数列的前n 项和．对等比数列利用公式法求和时，注意q ＝1或q≠1两种情况．(2)错位相减法：这是推导等比数列的前n 项和公式时常用的方法，主要用于求数列{anbn}的前n 项和，其中{an}，{bn}分别是等差数列和等比数列．(3)裂项相消法：把数列的各项分别裂开后，前后抵消从而计算和的方法，适用于求通项为1anan ＋1的数列的前n 项和，其中{an}为等差数列，则1anan ＋1＝1d)11(1+-n n a a . (4)分组求和法：一个数列如果既不是等差数列又不是等比数列，但它可以拆成两个数列，而这两个数列是等差或等比数列，那么就可分组求和，这种方法叫分组求和法．类型一 将递推式转换为项间的关系式处理的问题典例1 【辽宁葫芦岛普高协作体2017届高三上学期第二次考试，16】已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，()413n n S a =-，则()216411n n a -⎛⎫++ ⎪⎝⎭的最小值为 ． 【举一反三】【山西临汾一中等五校2017届高三第三联考，16】已知数列{}n a 的首项1a a =，其前n 项和为n S ，且满足()2142,n n S S n n n N -++=≥∈，若对任意1,n n n N a a ++∈<恒成立，则a 的取值范围是_____________ .类型二 可转化为前n 项和间的递推式的问题典例2 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =．当2n ≥时，12n n a S n -+=，则2015S =（ ）【举一反三】数列{}n a 中，11a =，n S 为数列{}n a 的前n 项和，且对2n ∀≥，都有221nn n na a S S =-，则数列{}n a 的通项公式n a = ． 类型三 通过若干项观察归纳总结的问题 典例3 数列{}n a 的通项为(1)(21)sin12n n n a n π=-+⋅+，前n 项和为n S ，则100S = ． 【举一反三】．数列{}n a 满足12a =，1111n n n a a a ++-=+，其前n 项积为n T ，则2015T = ．【精选名校模拟】1．【四川省凉山州2017届高中毕业班第一次诊断性检测,6】设数列{}n a 满足1a a =，2121n n n a a a +-=+（*n N ∈），若数列{}n a 是常数列，则a =（ ） A ．2-B ．1-C ．0D ．(1)n-2．【云南大理2017届高三第一次统测，16】若数列{}n a 的首项12a =，且()*132n n a a n N +=+∈；令()3log 1n n b a =+，则123100b b b b ++++=_____________．3．【江西抚州七校2017届高三上学期联考，10】若数列{}n a 满足()()()()1123252325lg 1n n n a n a n n n +⎛⎫+-+=+++⎪⎝⎭，且15a =，则数列23n a n ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭的第100项为（ ） A ．2 B ．3 C ．1lg99+ D ．2lg99+4．【河南百校联盟2017届高三11月质检，5】已知正项数列{}n a 中，11a =，22a =，222112n n n a a a -+=+（2n ≥），11n n n b a a +=+，记数列{}n b 的前n 项和为n S ，则33S 的值是（ ）5．【河南八市重点高中2017届上学期第三次测评，15】已知数列{}n a 中，()*1222,1,2n n n a n a a a n N a n ++⎧===∈⎨⎩是奇数，是偶数，则数列{}n a 的前20项和为____________． 6．【福建厦门一中2017届上学期期中，15】n S 为数列{}n a 的前n 项和，已知()()()*0,431,n n n n a S a a n N >=+-∈．则{}n a 的通项公式n a =_____________．7．【湖北孝感2017届高三上学期第一次联考，16】设n S 为数列{}n a 的前n 项和，且满足()112nn n nS a =--，则2a = ；1352017S S S S ++++= ．8．【江西抚州七校2017届高三上学期联考，16】 在数列{}n a 及{}n b中，11111,1n n n n n n a a b b a b a b ++=++=+==．设112n n n n c a b ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则数列{}n c 的前n项和为_____________．9. 【山西省孝义市2017届高三上学期二轮模考数学（理）试题】1111111111111n ++++个之和是____________.10．在数列{}n a 中，112a =，12141n n a a n +-=-，则该数列的通项公式n a = ． 11．【河南省新乡市2017届高三上学期第一次调研测试数学（理）试题】已知数列1234,,,a a a a 满足()1411111,1,2,322n n n na a a a n a a ++=-=-=，则1a 所有可能的值构成的集合为（ ）A ．1,12⎧⎫±±⎨⎬⎩⎭ B ．{}1,2±± C ．1,22⎧⎫±±⎨⎬⎩⎭ D ．1,1,22⎧⎫±±±⎨⎬⎩⎭12．【河北省冀州中学2017届高三（复习班）上学期第二次阶段考试数学（理）试题】在数列{}n a 中，12a =，22a =，且21(1)()n n n a a n N ++-=+-∈，则100S =（ ）A ．0B ．1300 C.2600 D ．2602 13．【河北省冀州中学2017届高三（复习班）上学期第二次阶段考试数学（理）试题】若数列{}n a 是正23n a n n +=+，则12231na a a n +++=+ __________.14．【河北省沧州市第一中学2017届高三10月月考数学（理）试题】已知函数5()sin (0)2f x x a x π=-≤≤的三个零点成等比数列，则2log a =__________.15．【湖南省郴州市2017届高三上学期第一次教学质量监测数学（理）试题】设()S n ，()T n 分别为等差数列{}n a ，{}n b 的前n 项和，且()32()45S n n T n n +=+.设点A 是直线BC 外一点，点P 是直线BC 上一点，且143a a AP AB ACb λ+=+，则实数λ的值为__________. 16. 【山西省临汾一中、忻州一中、长治二中等五校2017届高三上学期第二次联考数学（理）试题】已知数列}{n a 的前n 项和为n S ，)1(34-=n n a S ，则数列}{2na 的前n 项和=n T .。
2023-2024学年湖南省郴州市高一(上)期末数学试卷【答案版】
2023-2024学年湖南省郴州市高一（上）期末数学试卷一、单选题（本题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．命题“∀x∈R，x2﹣x+1＞0”的否定是（）A．∃x∈R，x2﹣x+1≤0B．∃x∈R，x2﹣x+1＜0C．∀x∈R，x2﹣x+1≤0D．∀x∈R，x2﹣x+1＜02．已知集合A＝{1，4，a}，B＝{1，2，若A∪B＝{1，2，3，4}（）A．1B．2C．3D．43．函数的定义域是（）A．[0，1）B．（1，+∞）C．（0，+∞）D．（0，1）4．函数f（x）＝x﹣4+2x的零点所在的区间为（）A．（1，2）B．（2，3）C．（3，4）D．（4，5）5．设a＝lg5，b＝30.1，c＝20.1，则（）A．a＞b＞c B．b＞c＞a C．c＞a＞b D．b＞a＞c6．要得到函数的图象，只需要将函数（）A．纵坐标变为原来的2倍（横坐标不变），再向右平移个单位，然后横坐标变为原来的倍（纵坐标不变）B．纵坐标变为原来的倍（横坐标不变），再向左平移个单位，然后横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变）C．纵坐标变为原来的倍（横坐标不变），再向右平移个单位，然后横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变）D．纵坐标变为原来的2倍（横坐标不变），再向左平移个单位，然后横坐标变为原来的倍（纵坐标不变）7．某省新高考中选考科目采用赋分制，具体转换规则和步骤如下：第一步，按照考生原始分从高到低按成绩比例划定A、B、C、D、E共五个等级（见下表），将A至E五个等级内的考生原始分，依照等比例转换法则，从而将考生的等级转换成了等级分．赋分公式：＝，计算出来的X经过四舍五入后即为赋分成绩．某次考试，化学成绩A等级的原始最高分为98分，最低分为63分．学生甲化学原始成绩为76分（）A．85B．88C．91D．958．定义：N{f（x）⊗g（x）}表示不等式f（x）（x）的解集中的整数解之和．若f（x）＝|log2x|，g（x）＝a（x﹣1）2+2，N{f（x）⊗g（x），则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣1]B．（log23﹣2，0]C．（2﹣log26，0]D．二、多项选择题（每小题有多于一个的正确选顶，全答对得5分，部分答对得2分，有错误选项的得0分）9．下列函数中最小正周期为π，且为偶函数的是（）A．y＝|cos x|B．y＝sin2xC．D．10．若函数f（x）＝a x﹣1+1，（a＞0且a≠1）恒过一定点P成立，且点P在直线，（m＞0，n＞0）上（）A．定点P的坐标为（1，2）B．m+n的最小值为4C．mn的最小值为1D．的最小值为111．已知函数在区间[0，π]上有且仅有3个零点，则（）A．当ω＝3时，B．f（x）的最小正周期可能是C．ω的取值范围是D．f（x）在区间上单调递增12．已知函数f（x）的定义域为R，且对任意x∈R（x）＝f（﹣x）及f（x+2）（x）+f（1）成立1，x2∈[0，1]且x1≠x2时，都有成立（）A．f（1）＝0B．直线x＝2是函数f（x）的一条对称轴C．函数f（x）在区间[﹣3，﹣2]上为减函数D．方程f（x）＝0在区间[﹣3，3]上有4个不同的实根三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知幂函数f（x）＝xα过点（4，8），则α＝．14．，不等式x2+ax+1≥0恒成立，则实数a的取值范围为．15．已知，则sin2α＝．16．我们家里大多数装了空调，空调风机的工作原理就是把室内热空气抽出去，然后把室外新鲜空气通过空调制冷系统0，室内热气的质量为m，已知某款空调机工作时，单位时间内从室外吸入的空气体积为v（v＞1），其中常数λ为过滤效率，λ+μ＝1．若该款新风机的过滤效率为倍，则该款空调单位时间内从室外吸入的空气体积v＝．四、解答题（要求写出必要的过程，第17题10分，第18～22题各12分，共70分.）17．（10分）已知全集U＝R，集合A＝{x|x2﹣5x+6≤0}，B＝{x|（x﹣1）（x﹣a）＜0（1）求集合A，B；（2）若x∈A是x∈B的充分不必要条件，求a的取值范围．18．（12分）已知函数f（x）＝|log2x|．（1）完成下列表格，并在坐标系中描点画出函数f（x）＝|log2x|的简图；（2）根据（1）的结果，若f（x1）＝f（x2），（x1≠x2），试猜想x1x2的值，并证明你的结论．19．（12分）设函数．（1）求函数f（x）的最小正周期和单调递增区间；（2）求函数f（x）在区间上的最大值和最小值．20．（12分）某人自主创业，制作销售一种小工艺品，每天的固定成本为80元，每生产x件该工艺品，需另投入成本C（x），且C（x）＝．假设每件工艺品的售价定为200元（1）求出每天的利润W（x）（元）关于日产量x（件）的函数关系式（利润＝销售额﹣成本）；（2）当日产量为多少件时，这个人每天所获利润最大？最大利润是多少元？21．（12分）定义域为R的函数f（x）＝是奇函数．（1）求a的值并判断函数的单调性；（2）对任意θ∈[0，]，使得f（sinθcosθ）+f（k+cos2θ）＞0恒成立，求实数k的取值范围．22．（12分）对于满足一定条件的连续函数g（x），存在实数x0，使得g（x0）＝x0，我们就称该函数为“不动点”函数，实数x0为该函数的不动点．若函数y＝f（x），x∈I，若存在x0∈I，使得f（f（x0））＝x0，则称x0为函数y＝f（x）的稳定点．（1）证明：函数不动点一定是函数的稳定点．（2）已知函数f（x）＝ax2+（a﹣2）x﹣1．（Ⅰ）当a＝2时，求函数的不动点和稳定点；（Ⅱ）若存在m＞0，使函数y＝f（|x|）+x+3﹣m﹣，求m的值和实数a的取值范围．2023-2024学年湖南省郴州市高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、单选题（本题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．命题“∀x∈R，x2﹣x+1＞0”的否定是（）A．∃x∈R，x2﹣x+1≤0B．∃x∈R，x2﹣x+1＜0C．∀x∈R，x2﹣x+1≤0D．∀x∈R，x2﹣x+1＜0解：命题“∀x∈R，x2﹣x+1＞4”是全称命题，否定时将量词对任意的x∈R变为∃x∈R．故选：A．2．已知集合A＝{1，4，a}，B＝{1，2，若A∪B＝{1，2，3，4}（）A．1B．2C．3D．4解：∵集合A＝{1，4，a}，3，3}，2，6，4}，∴a＝2或a＝2．故选：B．3．函数的定义域是（）A．[0，1）B．（1，+∞）C．（0，+∞）D．（0，1）解：函数，则，解得0≤x＜7，故函数f（x）的定义域为[0，1）．故选：A．4．函数f（x）＝x﹣4+2x的零点所在的区间为（）A．（1，2）B．（2，3）C．（3，4）D．（4，5）解：f（x）＝x﹣4+2x单调递增，∵f（1）＝8﹣4+2＝﹣3＜0，f（2）＝2﹣7+22＝6＞0，又在（1，5）上函数f（x）＝x﹣4+2x的图象是连续不断的一条曲线，∴函数f（x）＝x﹣5+2x在区间（1，2）上存在零点．故选：A．5．设a＝lg5，b＝30.1，c＝20.1，则（）A．a＞b＞c B．b＞c＞a C．c＞a＞b D．b＞a＞c解：函数y＝x0.1在（7，+∞）上单调递增，因此30.4＞20.7＞10.7＝1，而a＝lg5＜lg10＝4，所以b＞c＞a．故选：B．6．要得到函数的图象，只需要将函数（）A．纵坐标变为原来的2倍（横坐标不变），再向右平移个单位，然后横坐标变为原来的倍（纵坐标不变）B．纵坐标变为原来的倍（横坐标不变），再向左平移个单位，然后横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变）C．纵坐标变为原来的倍（横坐标不变），再向右平移个单位，然后横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变）D．纵坐标变为原来的2倍（横坐标不变），再向左平移个单位，然后横坐标变为原来的倍（纵坐标不变）解：只需要将函数的图象上所有的点纵坐标变为原来的2倍（横坐标不变），可得y＝4sin（x﹣）的图象；再向左平移个单位）的图象；然后横坐标变为原来的倍（纵坐标不变））的图象，故选：D．7．某省新高考中选考科目采用赋分制，具体转换规则和步骤如下：第一步，按照考生原始分从高到低按成绩比例划定A、B、C、D、E共五个等级（见下表），将A至E五个等级内的考生原始分，依照等比例转换法则，从而将考生的等级转换成了等级分．赋分公式：＝，计算出来的X经过四舍五入后即为赋分成绩．某次考试，化学成绩A等级的原始最高分为98分，最低分为63分．学生甲化学原始成绩为76分（）A．85B．88C．91D．95解：由题意，该学生的化学赋分分数为X，则，所以35X＝13×100+86×22，解得X＝91分．故选：C．8．定义：N{f（x）⊗g（x）}表示不等式f（x）（x）的解集中的整数解之和．若f（x）＝|log2x|，g（x）＝a（x﹣1）2+2，N{f（x）⊗g（x），则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣1]B．（log23﹣2，0]C．（2﹣log26，0]D．解：根据函数的定义N{f（x）⊗g（x）}可转换为满足的整数解的x的和，当a＞0时，做出函数f（x）＝|log6x|和g（x）＝a（x﹣1）2+4的大致图象，如图所示：结合图形可得f（x）＜g（x）的解集中整数解的个数有无数个，不符合题意，当a＝0时，g（x）＝2，解得x＝3或，在内有3个整数解1，2，7，所以a＝0；当a＜0时，做出函数f（x）＝|log5x|和g（x）＝a（x﹣1）2+2的大致图象，如图所示：若N{f（x）⊗g（x）}＝6，又x∈（0，且f（1）＝8＜g（1）＝2，所以不等式的整数解为6，2，3，只需满足，解得，综上，所以N{f（x）⊗g（x）}＝7时，故选：D．二、多项选择题（每小题有多于一个的正确选顶，全答对得5分，部分答对得2分，有错误选项的得0分）9．下列函数中最小正周期为π，且为偶函数的是（）A．y＝|cos x|B．y＝sin2xC．D．解：对于A，定义域为R，所以函数为偶函数，因为y＝|cos x|的图像是由y＝cos x的图像在x轴下方的关于x轴对称后与x轴上方的图像共同组成，所以y＝|cos x|的最小正周期为π，所以A正确，对于B，定义域为R，所以函数为奇函数，所以B错误，对于C，定义域为，因为f（﹣x）＝cos（﹣2x）＝cos2x＝f（x），所以函数为偶函数，对于D，定义域为R，所以D错误，故选：AC．10．若函数f（x）＝a x﹣1+1，（a＞0且a≠1）恒过一定点P成立，且点P在直线，（m＞0，n＞0）上（）A．定点P的坐标为（1，2）B．m+n的最小值为4C．mn的最小值为1D．的最小值为1解：对于函数f（x）＝a x﹣1+1（a＞7且a≠1），令x﹣1＝6，y＝2，可得它的图象恒过一定点P（1，6）．若点P在直线（m＞2，则2＝+＝m+n）（+（2++（2+2，当且仅当m＝n＝8时等号成立；2＝+＝，即m+n＝2mn≥2，当且仅当m＝n＝8时等号成立；∵，∴m＞，故＝＝6m+≥，即m＝，故等号取不到，即，故D错误．故选：AC．11．已知函数在区间[0，π]上有且仅有3个零点，则（）A．当ω＝3时，B．f（x）的最小正周期可能是C．ω的取值范围是D．f（x）在区间上单调递增解：对于A，当ω＝3时），f（﹣）＝2sin，故A正确；对于C，因为x∈（0，所以ωx﹣，ωπ﹣]，又因为函数在区间（0，所以ωπ﹣∈[2π，即ω∈；对于B，若f（x）的最小正周期T＝＝∉，故B错误；对于D，x∈时∈（﹣，﹣），又ω∈，所以﹣，），所以（x）在区间上单调递增．故选：ACD．12．已知函数f（x）的定义域为R，且对任意x∈R（x）＝f（﹣x）及f（x+2）（x）+f（1）成立1，x2∈[0，1]且x1≠x2时，都有成立（）A．f（1）＝0B．直线x＝2是函数f（x）的一条对称轴C．函数f（x）在区间[﹣3，﹣2]上为减函数D．方程f（x）＝0在区间[﹣3，3]上有4个不同的实根解：由f（x）＝f（﹣x）及f（x+2）＝f（x）+f（1），可得f（﹣1）＝f（1），解得f（﹣3）＝f（1）＝0；由f（x+2）＝f（x）+f（1）＝f（x），可得f（x）的最小正周期为3，则直线x＝2为f（x）的一条对称轴；由f（x+2）＝f（x）＝f（﹣x），可得直线x＝3为f（x）的一条对称轴，1]上单调递减，2]单调递增，即有f（x）在[﹣8，﹣2]上单调递增；由f（﹣1）＝f（1）＝3，可得f（﹣3）＝f（3）＝f（﹣1）＝2，3]上有4个不同的实根．故选：ABD．三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知幂函数f（x）＝xα过点（4，8），则α＝．解：∵幂函数f（x）＝xα过点（4，8），∴7α＝8，∴α＝log46＝＝＝．故答案为：．14．，不等式x2+ax+1≥0恒成立，则实数a的取值范围为[﹣2，+∞）．解：，不等式x2+ax+1≥4恒成立，即﹣a≤恒成立，令f（x）＝+x，2]，∴f（x）在[，1]上单调递减，8]上单调递增，∴f（x）min＝f（1）＝2，∴﹣a≤2，解得a≥﹣3，+∞）．故答案为：[﹣2，+∞）．15．已知，则sin2α＝．解：，则，解得tanα＝3，故sin2α＝＝＝．故答案为：．16．我们家里大多数装了空调，空调风机的工作原理就是把室内热空气抽出去，然后把室外新鲜空气通过空调制冷系统0，室内热气的质量为m，已知某款空调机工作时，单位时间内从室外吸入的空气体积为v（v＞1），其中常数λ为过滤效率，λ+μ＝1．若该款新风机的过滤效率为倍，则该款空调单位时间内从室外吸入的空气体积v＝ln3．解：由题意得，，因为，所以，由于m≠3，整理得9e﹣2v﹣6e﹣v+1＝0，解得，故e v＝3，进而解得v＝ln6．故答案为：ln3．四、解答题（要求写出必要的过程，第17题10分，第18～22题各12分，共70分.）17．（10分）已知全集U＝R，集合A＝{x|x2﹣5x+6≤0}，B＝{x|（x﹣1）（x﹣a）＜0（1）求集合A，B；（2）若x∈A是x∈B的充分不必要条件，求a的取值范围．解：（1）不等式x2﹣5x+3≤0可化为，（x﹣2）（x﹣7）≤0，解得2≤x≤4，即集合A＝{x|2≤x≤3}，∵a＞6，∴不等式（x﹣1）（x﹣a）＜0的解集为{x|2＜x＜a}，即B＝{x|1＜x＜a}；（2）∵x∈A是x∈B的充分不必要条件，∴A⫋B，则a＞3，即a的取值范围为（8，+∞）．18．（12分）已知函数f（x）＝|log2x|．（1）完成下列表格，并在坐标系中描点画出函数f（x）＝|log2x|的简图；（2）根据（1）的结果，若f（x1）＝f（x2），（x1≠x2），试猜想x1x2的值，并证明你的结论．解：（1）根据题意，函数f（x）＝|log2x|，则有其大致图象如图：（2）猜想x1x4的值为1，由于x1≠x8，假设x1＜x2，若f（x6）＝f（x2），必有x1＜7＜x2，则有f（x1）＝|log4x1|＝﹣log2x5，f（x2）＝|log2x6|＝log2x2，若f（x3）＝f（x2），即﹣log2x3＝log2x2，则有log5x1+log2x5＝log2（x1x5）＝0，必有x1x6＝1．19．（12分）设函数．（1）求函数f（x）的最小正周期和单调递增区间；（2）求函数f（x）在区间上的最大值和最小值．解：（1），故函数f（x）的最小正周期，令，解得故f（x）的单调递增区间为，（k∈Z）（2）因为x∈，所以， 当，即时，最小值为，当，即时，最大值为1，故f（x）在区间的最大值为6．20．（12分）某人自主创业，制作销售一种小工艺品，每天的固定成本为80元，每生产x件该工艺品，需另投入成本C（x），且C（x）＝．假设每件工艺品的售价定为200元（1）求出每天的利润W（x）（元）关于日产量x（件）的函数关系式（利润＝销售额﹣成本）；（2）当日产量为多少件时，这个人每天所获利润最大？最大利润是多少元？解：（1）当0＜x≤5时，W（x）＝200x﹣（10x4+80x）﹣80＝﹣10x2+120x﹣80，当x＞5时，，所以；（2）当0＜x≤5时，W（x）＝﹣10（x﹣4）2+280，当x＝5时，W（x）max＝270，若x＞3时，则，当且仅当，即x＝8时，此时W（x）max＝260，因为260＜270，所以当日产量为6件时，这个人每天所获利润最大．21．（12分）定义域为R的函数f（x）＝是奇函数．（1）求a的值并判断函数的单调性；（2）对任意θ∈[0，]，使得f（sinθcosθ）+f（k+cos2θ）＞0恒成立，求实数k的取值范围．解：（1）因为f（x）是奇函数，所以f（0）＝0，即，解得a＝1，a＝4时，，满足f（x）是奇函数，故a＝1；，定义域为R，由于函数y＝2x+1单调递增，则单调递减，故为单调递减函数；（2）f（x）是奇函数，由得：，又f（x）为减函数，所以，即在上恒成立，设，则，因为，则，所以，所以，所以，即，则实数k的取值范围为（﹣∞，﹣）．22．（12分）对于满足一定条件的连续函数g（x），存在实数x0，使得g（x0）＝x0，我们就称该函数为“不动点”函数，实数x0为该函数的不动点．若函数y＝f（x），x∈I，若存在x0∈I，使得f（f（x0））＝x0，则称x0为函数y＝f（x）的稳定点．（1）证明：函数不动点一定是函数的稳定点．（2）已知函数f（x）＝ax2+（a﹣2）x﹣1．（Ⅰ）当a＝2时，求函数的不动点和稳定点；（Ⅱ）若存在m＞0，使函数y＝f（|x|）+x+3﹣m﹣，求m的值和实数a的取值范围．（1）证明：若实数x0是y＝f（x）的一个不动点，则f（x0）＝x6，所以f（f（x0））＝f（x0）＝x4，故函数不动点一定是函数的稳定点．（2）（Ⅰ）当a＝2 时，f（x）＝2x2﹣1，所以2x5﹣1＝x，解得x＝1或，所以函数y＝f（x）的不动点为1和；又f（f（x））＝2f5（x）﹣1＝2（4x2﹣1）7﹣1＝x，所以（x﹣1）（5x+1）（4x6+2x﹣1）＝7，解得x＝1或或或，所以函数y＝f（x）的稳定点为1或或； （Ⅱ）若存在m＞0，使函数，当m＞0时，令，当且仅当m＝6时取等号，又f（x）＝ax2+（a﹣2）x﹣6，由，可化为a|x|5+（a﹣2）|x|+2﹣t＝8，关于x的方程a|x|2+（a﹣2）|x|+3﹣t＝0有三个不等实根，令p＝|x|，a|x|2+（a﹣7）|x|+2﹣t＝ap2+（a﹣7）p+2﹣t＝0，由于p非负数，如果有两个不同正根，与题设矛盾；如果有且只有一个正根，只有两个不动点；所以p必有一根为正根和一个零根，即p＝4或，则，因为t≥4，0＜a＜2．故实数a的取值范围是（4，2）．。
湖南省2015年普通高考单科优秀名单
李霄
男
安乡一中
理科综合
288
龙小鹏
男
长郡中学
理科综合
288
何斯哲
男
长郡中学
理科数学
149
龙小鹏
男
长郡中学
理科数学
149
彭旭东
男
长沙市一中
理科数学
148
潘璇
男
长沙市雅礼中学
理科数学
148
孙嘉玮
男
湖南师大附中
理科数学
148
李澜波
男
涟源一中
理科数学
148
赵洪洲
男
石门县第一中学
理科数学
148
李佳琪
女
衡阳市八中
理科数学
148
贺真
男
衡南一中
理科数学
148
唐丁柯
男
长沙市南雅中学
理科数学
147
陈彦骐
男
长郡中学
理科数学
147
蒋鸿达
男
长郡中学
理科数学
147
肖吉昌
男
长郡中学
理科数学
147
刘青松
男
永州四中
理科数学
147
郭腾
男
麓山国际实验学校
理科数学
147
杨剑
男
石门县第一中学
理科数学
147
佘亚平
男
怀化市三中
理科数学
146
卿家祚
男
湘潭县一中
理科数学
146
赵济天
女
长沙市南雅中学
理科数学
146
吴可心
湖南省2015年普通高考单科优秀名单
高考数学圆锥曲线中的“设而不求”(解析版)
圆锥曲线中的“设而不求”一、考情分析研究曲线方程及由方程研究曲线的有关性质问题,是圆锥曲线中的一个重要内容,其特点是代数的运算较为繁杂,许多学生会想而不善于运算,往往是列出式子后“望式兴叹”.在解决圆锥曲线问题时若能恰当使用“设而不求”的策略,可避免盲目推演造成的无效运算,从而达到准确、快速的解题效果.二、解题秘籍(一)“设而不求”的实质及注意事项1.设而不求是解析几何解题的基本手段,是比较特殊的一种思想方法,其实质是整体结构意义上的变式和整体思想的应用．设而不求的灵魂是通过科学的手段使运算量最大限度地减少,通过设出相应的参数,利用题设条件加以巧妙转化,以参数为过渡,设而不求．2.在运用圆锥曲线问题中的设而不求方法技巧时,需要做到：①凡是不必直接计算就能更简洁地解决问题的,都尽可能实施“设而不求”；②“设而不求”不可避免地要设参、消参,而设参的原则是宜少不宜多．3.“设而不求”最常见的类型一是涉及动点问题，设出动点坐标，在运算过程中动点坐标通过四则运算消去，或利用根与系数的关系转化为关于其他参数的问题；二是涉及动直线问题，把斜率或截距作为参数，设出直线的方程，再通过运算消去.【例1】(2023届山西省临汾市等联考高三上学期期中)已知椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1a >b >0 的长轴长为4，F 1，F 2为C 的左、右焦点，点P x 0,y 0 y 0≠0 在C 上运动，且cos ∠F 1PF 2的最小值为12.连接PF 1，PF 2并延长分别交椭圆C 于M ，N 两点.(1)求C 的方程；(2)证明：S △OPF 1S △OMF 1+S△OPN S △OF 2N为定值.【解析】(1)由题意得a =2，设PF 1 ，PF 2 的长分别为m ，n ，m +n =2a =4则cos ∠F 1PF 2=m 2+n 2-4c 22mn =m +n 2-4c 2-2mn 2mn =2b 2mn-1≥2b 2m +n 22-1=2b 2a 2-1，当且仅当m =n 时取等号，从而2b 2a 2-1=12，得b 2a2=34，∴b 2=3，则椭圆的标准方程为x 24+y 23=1；(2)由(1)得F 1-1,0 ，F 21,0 ，设M x 1,y 1 ，N x 2,y 2 ，设直线PM 的方程为x =x 0+1y 0y -1，直线PN 的方程为x =x 0-1y 0y +1，由x =x 0+1y 0y -1x 24+y 23=1，得3x 0+1 2y 02+4 y 2-6x 0+1 y 0y -9=0，则y 0y 1=-93x 0+1 2y 02+4=-9y 023x 0+1 2+4y 02=-9y 023x 02+4y 02+6x 0+3=-3y 022x 0+5，∴y 1=-3y 02x 0+5，同理可得y 2=-3y 05-2x 0，所以S △OPF 1S △OMF 1+S △OPN S △OF 2N=12OF 1 y 0 12OF 1 y 1 +12OF 2 y 0 +y 212OF 2 y 2 =-y 0y 1+y 0y 2 +1=.-y 0-3y 02x 0+5+y 0-3y 05-2x 0 +1=133.所以S △OPF 1S △OMF 1+S △OPN S △OF 2N为定值133【例2】(2023届江苏省连云港市高三上学期10月联考)已知椭圆中有两顶点为A -1,0 ，B 1,0 ，一个焦点为F 0,1 .(1)若直线l 过点F 且与椭圆交于C ，D 两点，当CD =322时，求直线l 的方程；(2)若直线l 过点T 0,t t ≠0 且与椭圆交于C ，D 两点，并与x 轴交于点P ，直线AD 与直线BC 交于点Q ，当点P 异A ，B 两点时，试问OP ⋅OQ是否是定值？若是，请求出此定值，若不是，请说明理由.【解析】(1)∵椭圆的焦点在y 轴上，设椭圆的标准方程为y 2a 2+x 2b2=1(a >b >0)，由已知得b =1，c =1，所以a =2，椭圆的方程为y 22+x 2=1，当直线l 与x 轴垂直时与题意不符，设直线l 的方程为y =kx +1，C x 1,y 1 ，D x 2,y 2 ，将直线l 的方程代入椭圆的方程化简得k 2+2 x 2+2kx -1=0，则x 1+x 2=-2k k 2+2，x 1⋅x 2=-1k 2+2，∴CD =1+k 2⋅x 1+x 2 2-4x 1x 2=1+k 2⋅-2k k 2+2 2+4⋅1k 2+2=22(k 2+1)k 2+2=322，解得k =±2.∴直线l 的方程为y =±2x +1；(2)当l ⊥x 轴时，AC ⎳BD ，不符合题意，当l 与x 轴不垂直时，设l ：y =kx +t ，则P -t k,0 ，设C x 1,y 1 ，D x 2,y 2 ，联立方程组y =kx +tx 2+y 22=1得2+k 2 x 2+2ktx +t 2-2=0，∴x 1+x 2=-2kt 2+k 2，x 1x 2=t 2-22+k 2，又直线AD ：y =y 2x 2+1(x +1)，直线BC ：y =y 1x 1-1(x -1)，由y =y 2x 2+1(x +1)y =y 1x 1-1(x -1)可得y 2x 2+1(x +1)=y 1x 1-1(x -1)，即kx 2+t x 2+1(x +1)=kx 1+t x 1-1(x -1)，kx 2+t x 1-1 (x +1)=kx 1+t x 2+1 (x -1)，kx 1x 2-kx 2+tx 1-t x +1 =kx 1x 2+kx 1+tx 2+t x -1 ，k x 1+x 2 +t x 2-x 1 +2t x =2kx 1x 2-k x 2-x 1 +t x 1+x 2 ，k ⋅-2kt 2+k 2+t x 2-x 1 +2t x =2k ⋅t 2-22+k 2-k x 2-x 1 +t ⋅-2kt 2+k 2，4t 2+k 2+t x 2-x 1 x =-4k 2+k 2-k x 2-x 1 ，即t 42+k 2+x 2-x 1 x =-k 42+k2+x 2-x 1 ，得x =-k t，∴Q 点坐标为Q -kt,y Q ，∴OP ⋅OQ =-t k ,0 ⋅-k t ,y Q =-t k-kt +0⋅y Q =1，所以OP ⋅OQ=1为定值.(二)设点的坐标在涉及直线与圆锥曲线位置关系时,如何避免求交点,简化运算,是处理这类问题的关键,求解时常常设出点的坐标,设坐标方法即通过设一些辅助点的坐标,然后以坐标为参数,利用点的特性(条件)建立关系(方程).显然,这里的坐标只是为寻找关系而作为“搭桥”用的,在具体解题中是通过“设而不求”与“整体消元”解题策略进行的.【例3】(2023届湖南省郴州市高三上学期质量监测)已知椭圆E :x 2a 2+y 2b2=1a >b >0 的离心率为22，过坐标原点O 的直线交椭圆E 于P ,A 两点，其中P 在第一象限，过P 作x 轴的垂线，垂足为C ，连接AC .当C 为椭圆的右焦点时，△PAC 的面积为 2.(1)求椭圆E 的方程；(2)若B 为AC 的延长线与椭圆E 的交点，试问：∠APB 是否为定值，若是，求出这个定值；若不是，说明理由.【解析】(1)∵椭圆离心率e =c a =22，∴c 2=12a 2，则b 2=a 2-c 2=12a 2，当C 为椭圆右焦点时，PC =b 2a =12a ；∵S △PAC =2S △POC =2×12c ⋅12a =12ac =24a 2=2，解得：a 2=4，∴b 2=2，∴椭圆E 的方程为：x 24+y 22=1.(2)由题意可设直线AP :y =kx k >0 ，P x 0,kx 0 ，B x 1,y 1 ，则A -x 0,-kx 0 ，C x 0,0 ，∴k AC =kx 0x 0+x 0=k2，∴直线AC :y =k2x -x 0 ；由y =k 2x -x 0x 24+y 22=1 得：k 2+2 x 2-2k 2x 0x +k 2x 20-8=0，∴-x 0+x 1=2k 2x 0k 2+2，则x 1=2k 2x 0k 2+2+x 0，∴y 1=k 2x 1-x 0 =k 22k 2x 0k 2+2+x 0-x 0 =k 3x 0k 2+2，∴B 2k 2x 0k 2+2+x 0,k 3x 0k 2+2；∴PB =2k 2x 0k 2+2,-2kx0k 2+2，又PA =-2x 0,-2kx 0 ，∴PA ⋅PB =-2x 0⋅2k 2x 0k 2+2+-2kx 0 ⋅-2kx 0k 2+2=0，则PA ⊥PB ，∴∠APB 为定值90∘.【例4】(2023届江苏省南通市如皋市高三上学期期中)作斜率为32的直线l 与椭圆C :x 24+y 29=1交于A ,B两点，且P 2,322 在直线l 的左上方.(1)当直线l 与椭圆C 有两个公共点时，证明直线l 与椭圆C 截得的线段AB 的中点在一条直线上；(2)证明：△PAB 的内切圆的圆心在一条定直线上.【解析】(1)设A x 1,y 1 ，B x 2,y 2 ，AB 中点坐标为x 0,y 0 ，AB :y =32x +m 所以有x 0=x 1+x 22y 0=y 1+y 22，联立x 24+y 29=1y =32x +m ，得9x 2+6mx +2m 2-18=0，得Δ=6m 2-4×92m 2-18>0，得m 2<18，由韦达定理可知x 1+x 2=-2m 3，x 1x 2=2m 2-189，所以y 1+y 2=32x 1+m +32x 2+m =32x 1+x 2 +2m =m ，所以x 0=-m3y 0=m2，化简得：y 0=-32x 0，所以线段AB 的中点在直线y =-32x 上.(2)由题可知PA ，PB 的斜率分别为k PA =y 1-322x 1-2，k PB =y 2-322x 2-2，所以k PA +k PB =y 1-322x 1-2+y 2-322x 2-2=y 1-322 x 2-2 +y 2-322 x 1-2 x 1x 2-2x 1+x 1 +2，因为y 1=32x 1+m ,y 2=32x 2+m 得k PA +k PB=3x 1x 2+m -32 x 1+x 1 -22m +6x 1x 2-2x 1+x 1 +2由(1)可知x 1+x 2=-2m 3，x 1x 2=2m 2-189，所以k PA +k PB =32m 2-189 +m -32 -23m -22m +62m 2-189-2-23m +2=0，又因为P 2,322 在直线l 的左上方，所以∠APB 的角平分线与y 轴平行，所以△PAB 的内切圆的圆心在x =2这条直线上.(三)设参数在求解与动直线有关的定点、定值或最值与范围问题时常设直线方程,因为动直线方程不确定,需要引入参数,这时常引入斜率、截距作为参数.【例5】(2022届湖南省益阳市高三上学期月考)已知椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1a >b >0 的左右焦点分别为F 1,F 2,其离心率为32,P 为椭圆C 上一动点,△F 1PF 2面积的最大值为 3.(1)求椭圆C 的方程；(2)过右焦点F 2的直线l 与椭圆C 交于A ,B 两点,试问：在x 轴上是否存在定点Q ,使得QA ⋅QB为定值？若存在,求出点Q 的坐标；若不存在,请说明理由.【解析】(1)设椭圆C 的半焦距为c ,因离心率为32,则c a =32,由椭圆性质知,椭圆短轴的端点到直线F 1F 2的距离最大,则有S △F 1PF 2max =12⋅2c ⋅b =bc ,于是得bc =3,又a 2=b 2+c 2,联立解得a =2,b =1,c =3,所以椭圆C 的方程为：x 24+y 2=1.(2)由(1)知,点F 23,0 ,当直线斜率存在时,不妨设l :y =k (x -3),A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 ,由y =k (x -3)x 2+4y 2=4消去y 并整理得,(1+4k 2)x 2-83k 2x +12k 2-4=0,x 1+x 2=83k 21+4k 2,x 1x 2=12k 2-41+4k 2,假定在x 轴上存在定点Q 满足条件,设点Q (t ,0),则QA ⋅QB=(x 1-t )(x 2-t )+y 1y 2=x 1x 2-t (x 1+x 2)+t 2+k 2(x 1-3)(x 2-3)=(1+k 2)x 1x 2-(3k 2+t )(x 1+x 2)+t 2+3k 2=(1+k 2)⋅12k 2-41+4k 2-(3k 2+t )⋅83k 21+4k2+t 2+3k 2=(4t 2-83t +11)k 2+t 2-41+4k 2,当t 2-4=4t 2-83t +114,即t =938时,QA ⋅QB =t 2-4=-1364,当直线l 斜率不存在时,直线l ：x =-3与椭圆C 交于点A ,B ,由对称性不妨令A 3,12 ,B 3,-12,当点Q 坐标为938,0 时,QA =-38,12 ,QB =-38,-12 ,QA ⋅QB =-38,12 ⋅-38,-12=-1364,所以存在定点Q 938,0 ,使得QA ⋅QB 为定值-1364.(四)中点弦问题中的设而不求与中点弦有个的问题一般是设出弦端点坐标P x 1,y 1 ,Q x 2,y 2 代入圆锥曲线方程作差,得到关于y 1-y 2x 1-x 2,x 1+x 2,y 1+y 2的关系式,再结合题中条件求解.【例6】中心在原点的双曲线E 焦点在x 轴上且焦距为4,请从下面3个条件中选择1个补全条件,并完成后面问题：①该曲线经过点A 2,3 ；②该曲线的渐近线与圆x 2-8x +y 2+4=0相切；③点P 在该双曲线上,F 1、F 2为该双曲线的焦点,当点P 的纵坐标为32时,恰好PF 1⊥PF 2.(1)求双曲线E 的标准方程；(2)过定点Q 1,1 能否作直线l ,使l 与此双曲线相交于Q 1、Q 2两点,且Q 是弦Q 1Q 2的中点？若存在,求出l 的方程；若不存在,说明理由.【解析】(1)设双曲线E 的标准方程为x 2a 2-y 2b2=1a >b >0 .选①：由题意可知,双曲线E 的两个焦点分别为F 1-2,0 、F 22,0 ,由双曲线的定义可得2a =AF 1 -AF 2 =42+32-3 =2,则a =1,故b =c 2-a 2=3,所以,双曲线E 的标准方程为x 2-y 23=1.选②：圆x 2-8x +y 2+4=0的标准方程为x -4 2+y 2=12,圆心为4,0 ,半径为23,双曲线E 的渐近线方程为y =±b a x ,由题意可得4ba1+b a2=23,解得b a =3,即b =3a ,因为c =a 2+b 2=2a =2,则a =1,b =3,因此,双曲线E 的标准方程为x 2-y 23=1.选③：由勾股定理可得PF 1 2+PF 2 2=4c 2=16=PF 1 -PF 2 2+2PF 1 ⋅PF 2 =4a 2+2PF 1 ⋅PF 2 ,所以,PF 1 ⋅PF 2 =2c 2-a 2 =2b 2,则S △F 1PF 2=12PF 1 ⋅PF 2 =b 2=12×32×4,则b =3,故a =c 2-b 2=1,所以,双曲线E 的标准方程为x 2-y 23=1.(2)假设满足条件的直线l 存在,设点Q 1x 1,y 1 、Q 2x 2,y 2 ,则x 1+x 2=2y 1+y 2=2 ,由题意可得x 21-y 213=1x 22-y 223=1,两式作差得x 1-x 2 x 1+x 2 =y 1-y 2 y 1+y 2 3,所以,直线l 的斜率为k =y 1-y 2x 1-x 2=3,所以,直线l 的方程为y -1=3x -1 ,即y =3x -2.联立y =3x -2x 2-y 23=1,整理可得6x 2-12x +7=0,Δ=122-4×6×7<0,因此,直线l 不存在.三、跟踪检测1.(2023届河南省洛平许济高三上学期质量检测)已知椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1a >b >0 的右焦点为F ，离心率为12，上顶点为0,3 ．(1)求椭圆C 的方程；(2)过点F 的直线l 与椭圆C 交于P ，Q 两点，与y 轴交于点M ，若MP =λPF ，MQ=μQF ，判断λ+μ是否为定值？并说明理由．【解析】(1)由题意可得b =3e =c a =12a 2=b 2+c 2 ，解得a =2b =3c =1，故椭圆C 的方程x 24+y 23=1.(2)λ+μ为定值-83，理由如下：由(1)可得F 1,0 ，由题意可知直线l 的斜率存在，设直线l ：y =k x -1 ,P x 1,y 1 ,Q x 2,y 2 ，则M 0,-k ，联立方程y =k x -1x 24+y 23=1，消去y 得4k 2+3 x 2-8k 2x +4k 2-12=0，则Δ=-8k 2 2-44k 2+3 4k 2-12 =144k 2+1 >0,x 1+x 2=8k 24k 2+3,x 1x 2=4k 2-124k 2+3，MP =x 1,y 1+k ,PF=1-x 1,-y 1 ,MQ =x 2,y 2+k ,QF =1-x 2,-y 2 ，∵MP =λPF ，MQ =μQF ，则x 1=λ1-x 1 x 2=μ1-x 2，可得λ=x 11-x 1μ=x 21-x 2，λ+μ=x 11-x 1+x 21-x 2=x 1+x 2 -2x 1x 21-x 1+x 2 +x 1x 2=8k 24k 2+3-24k 2-124k 2+31-8k 24k 2+3+4k 2-124k 2+3=-83(定值).2.(2023届江西省南昌市金太阳高三上学期10月联考)如图，长轴长为4的椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1a >b >0的左顶点为A ，过原点O 的直线(与坐标轴不重合)与椭圆C 交于P ，Q 两点，直线PA ，QA 与y 轴分别交于M ，N 两点，当直线PQ 的斜率为22时，PQ =2 3.(1)求椭圆C 的方程.(2)试问是否存在定点T ，使得∠MTN =90°恒成立？若存在，求出定点T 的坐标；若不存在，说明理由.【解析】(1)由题意可知2a =4,a =2，则椭圆方程C :x 2a 2+y 2b2=1a >b >0即x 24+y 2b2=1，当直线PQ 的斜率为22时，PQ =23，故设P x 0,22x 0 ，∴x 20+22x 0 2=3 ，解得x 20=2，将P x 0,22x 0 代入x 24+y 2b 2=1得x 024+x 022b 2=1，即24+22b2=1，故b 2=2 ，所以椭圆的标准方程为 x 24+y 22=1 ；(2)设P (x 0,y 0),x 0∈[-2,2]，则Q (-x 0,-y 0)，则x 204+y 202=1,∴x 20+2y 20=4 ，由椭圆方程x 24+y 22=1可得A (-2，0) ，∴直线PA 方程为︰y =y 0x 0+2(x +2) ，令x =0 可得 M 0,2y 0x 0+2 ，直线QA 方程为：y =y 0x 0-2(x +2) ，令x =0得N 0,2y 0x 0-2，假设存在定点T ，使得∠MTN =90°，则定点T 必在以MN 为直径的圆上，以MN 为直径的圆为 x 2+y -2x 0y 0x 02-42=16y 02x 20-42 ,即 x 2+y 2-4x 0y 0x 20-4y +4y 20x 20-4=0 ，∵x 20+2y 20=4，即x 20-4=-2y 20,∴x 2+y 2+2x0y 0y -2=0 ，令y =0 ，则x 2-2=0 ，解得x =±2，∴以MN 为直径的圆过定点 (±2,0)，即存在定点T (±2,0)，使得∠MTN =90° ．3.(2023届黑龙江省大庆铁人中学高三上学期月考)已知椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1a >b >0 的离心率为12，椭圆的短轴端点与双曲线y 22-x 2=1的焦点重合，过点P 4,0 且不垂直于x 轴的直线l 与椭圆相交于A ，B两点.(1)求椭圆C 的方程；(2)若点B 关于x 轴的对称点为点E ，证明：直线AE 与x 轴交于定点.【解析】(1)由双曲线y 22-x 2=1得焦点0,±3 ，得b =3，由题意可得b =3a 2=b 2+c 2e =c a =12，解得a =2，c =1，故椭圆C 的方程为；x 24+y 23=1.(2)设直线l :y =k x -4 ，点A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 ，则点E x 2,-y 2 .由y =k x -4 x 24+y 23=1，得4k 2+3 x 2-32k 2x +64k 2-12=0，Δ=32k 2 2-44k 2+3 64k 2-12 >0，解得-12<k <12，从而x 1+x 2=32k 24k 2+3，x 1x 2=64k 2-124k 2+3，直线AE 的方程为y -y 1=y 1+y 2x 1-x 2x -x 1 ，令y =0得x =x 1y 2+x 2y 1y 1+y 2，又∵y 1=k x 1-4 ，y 2=k x 2-4 ，则x =kx 1x 2-4 +kx 2x 1-4 k x 1-4 +k x 2-4 =2x 1x 2-4x 1+x 2 x 1+x 2 -8，即x =2⋅64k 2-124k 2+3-4⋅32k 24k 2+332k 24k 2+3-8=1，故直线AE 与x 轴交于定点1,0 .4.(2023届江西省赣州厚德外国语学校、丰城中学高三上学期10月联考)已知双曲线C :x 2a 2-y 2b2=1经过点2,-3 ，两条渐近线的夹角为60∘，直线l 交双曲线于A ,B 两点.(1)求双曲线C 的方程.(2)若动直线l 经过双曲线的右焦点F 2，是否存在x 轴上的定点M m ,0 ，使得以线段AB 为直径的圆恒过M 点？若存在，求实数m 的值；若不存在，请说明理由.【解析】(1)∵两条渐近线的夹角为60∘，∴渐近线的斜率±b a =±3或±33，即b =3a 或b =33a ；当b =3a 时，由4a 2-9b2=1得：a 2=1，b 2=3，∴双曲线C 的方程为：x 2-y 23=1；当b =33a 时，方程4a 2-9b2=1无解；综上所述：∴双曲线C 的方程为：x 2-y 23=1.(2)由题意得：F 22,0 ，假设存在定点M m ,0 满足题意，则MA ⋅MB=0恒成立；方法一：①当直线l 斜率存在时，设l :y =k x -2 ，A x 1,y 1 ，B x 2,y 2 ，由y =k x -2x 2-y 23=1得：3-k 2 x 2+4k 2x -4k 2+3 =0，∴3-k 2≠0Δ=361+k 2 >0 ，∴x 1+x 2=4k 2k 2-3，x 1x 2=4k 2+3k 2-3，∴MA ⋅MB=x 1-m x 2-m +y 1y 2=x 1x 2-m x 1+x 2 +m 2+k 2x 1x 2-2x 1+x 2 +4 =1+k 2 x 1x 2-2k 2+m x 1+x 2 +4k 2=4k2+3 1+k 2 k 2-3-4k 22k 2+mk 2-3+m 2+4k 2=0，∴4k 2+3 1+k 2 -4k 22k 2+m +m 2+4k 2 k 2-3 =0，整理可得：k 2m 2-4m -5 +3-3m 2 =0，由m 2-4m -5=03-3m 2=0得：m =-1；∴当m =-1时，MA ⋅MB=0恒成立；②当直线l 斜率不存在时，l :x =2，则A 2,3 ，B 2,-3 ，当M -1,0 时，MA =3,3 ，MB =3,-3 ，∴MA ⋅MB=0成立；综上所述：存在M -1,0 ，使得以线段AB 为直径的圆恒过M 点.方法二：①当直线l 斜率为0时，l :y =0，则A -1,0 ，B 1,0 ，∵M m ,0 ，∴MA =-1-m ,0 ，MB=1-m ,0 ，∴MA ⋅MB=m 2-1=0，解得：m =±1；②当直线l 斜率不为0时，设l :x =ty +2，A x 1,y 1 ，B x 2,y 2 ，由x =ty +2x 2-y 23=1得：3t 2-1 y 2+12ty +9=0，∴3t 2-1≠0Δ=123t 2+3 >0 ，∴y 1+y 2=-12t 3t 2-1，y 1y 2=93t 2-1，∴MA ⋅MB=x 1-m x 2-m +y 1y 2=x 1x 2-m x 1+x 2 +m 2+y 1y 2=ty 1+2 ty 2+2 -m ty 1+2+ty 2+2 +m 2+y 1y 2=t 2+1 y 1y 2+2t -mt y 1+y 2 +4-4m +m 2=9t 2+1 3t 2-1-12t 2t -mt 3t 2-1+4-4m +m 2=12m -15 t 2+93t 2-1+2-m 2=0；当12m -153=9-1，即m =-1时，MA ⋅MB =0成立；综上所述：存在M -1,0 ，使得以线段AB 为直径的圆恒过M 点.5.(2023届内蒙古自治区赤峰市高三上学期月考)平面内一动点P 到定直线x =4的距离，是它与定点F 1,0 的距离的两倍.(1)求点P 的轨迹方程C ；(2)过F 点作两条互相垂直的直线l 1，l 2(直线l 1不与x 轴垂直).其中，直线l 1交曲线C 于A ，B 两点，直线l 2交曲线C 于E ，N 两点，直线l 2与直线x =m m >2 交于点M ，若直线MB ，MF ，MA 的斜率k MB ，k MF ，k MA 构成等差数列，求m 的值.【解析】(1)设点P x ,y ，由题，有PFx -4 =12，即x -1 2+y 2x -4=12，解得3x 2+4y 2=12，所以所求P 点轨迹方程为x 24+y 23=1(2)由题，直线l 1的斜率存在且不为0，设直线l 1的方程为y =k x -1 ，与曲线C 联立方程组得y =k x -1 x 24+y 23=1，解得4k 2+3 x 2-8k 2x +4k 2-12=0，设A x 1,y 1 ，B x 2,y 2 ，则有x 1+x 2=8k 24k 2+3，x 1x 2=4k 2-124k 2+3依题意有直线l 2的斜率为-1k ，则直线l 2的方程为y =-1kx -1 ，令x =m ，则有M 点的坐标为m ,-m -1k，由题，k MF =m -1k 1-m=-1k ，k MA +k MB =y 1+m -1k x 1-m +y 2+m -1kx 2-m =y 1x 1-m +y 2x 2-m +1k m -1x 1-m+m -1x 2-m =k x 1-1 x 1-m +k x 2-1 x 2-m +1k m -1x 1-m +m -1x 2-m =k ×2x 1x 2-1+m x 1+x 2 +2m x 1x 2-x 1+x 2 m +m 2+1k ×m -1 x 1+x 2-2m x 1x 2-x 1+x 2 m +m 2=k ×6m -244k 2+34k 2-124k 2+3-m ×8k 24k 2+3+m 2+1k ×m -1 8k 24k 2+3-2m 4k 2-124k 2+3-m ×8k 24k 2+3+m 2，因为2k MF =k MA +k MB ，所以k ×6m -244k 2+34k 2-124k 2+3-m ×8k 24k 2+3+m 2+1k ×m -1 8k 24k 2+3-2m 4k 2-124k 2+3-m ×8k 24k 2+3+m 2=-2k 解得m -4 k 2+1 =0，则必有m -4=0，所以m =4.6.(2023届福建省福州华侨中学高三上学期考试)在平面直角坐标系xOy 中，已知点F (2,0)，直线l :x =12，点M 到l 的距离为d ，若点M 满足|MF |=2d ，记M 的轨迹为C ．(1)求C 的方程；(2)过点F (2,0)且斜率不为0的直线与C 交于P ，Q 两点，设A (-1,0)，证明：以P ，Q 为直径的圆经过点A ．【解析】(1)设点M x ,y ，则d =x -12 ,MF =(x -2)2+y 2，由MF =2d ，得(x -2)2+y 2=2x -12，两边平方整理得3x 2-y 2=3，则所求曲线C 的方程为x 2-y 23=1.(2)设直线m 的方程为x =ty +2,P x 1,y 1 ,Q x 2,y 2 ，联立方程x =ty +2,3x 2-y 2=3，消去x 并整理得3t 2-1 y 2+12ty +9=0,，因为直线m 与C 交于两点，故t ≠±33，此时Δ=(12t )2-43t 2-1 ⋅9=36t 2+1 >0，所以y 1+y 2=-12t 3t 2-1,y 1y 2=93t 2-1，而x 1+x 2=t y 1+y 2 +4,x 1x 2=ty 1+2 ty 2+2 =t 2y 1y 2+2t y 1+y 2 +4.又AP =x 1+1,y 1 ,AQ=x 2+1,y 2 ，所以AP ⋅AQ=x 1+1 x 2+1 +y 1y 2=y 1y 2+x 1+x 2+x 1x 2+1=t 2+1 y 1y 2+3t y 1+y 2 +9=9t 2+93t 2-1-36t 23t 2-1+9=9-3t 2+1 3t 2-1+9=0.所以AP ⊥AQ ，即以P ，Q 为直径的圆经过点A .7.(2023届河南省安阳市高三上学期10月月考)已知椭圆M 1:x 2a 2+y 2b2=1a >b >0 的左､右焦点分别为F 1，F 2，F 1F 2 =2，面积为487的正方形ABCD 的顶点都在M 1上.(1)求M 1的方程；(2)已知P 为椭圆M 2:x 22a 2+y 22b2=1上一点，过点P 作M 1的两条切线l 1和l 2，若l 1，l 2的斜率分别为k 1，k 2，求证：k 1k 2为定值.【解析】(1)根据对称性，不妨设正方形的一个顶点为A x ,x ，由x 2a 2+x 2b 2=1，得x 2=a 2b 2a 2+b 2，所以2a 2b 2a 2+b 2×2a 2b 2a 2+b2=487，整理得12a 2+b 2 =7a 2b 2.①又a 2-b 2=F 1F 2 22=1，②由①②解得a 2=4，b 2=3，故所求椭圆方程为x 24+y 23=1.(2)由已知及(1)可得M 2:x 28+y 26=1，设点P x 0,y 0 ，则y 20=61-x 208.设过点P 与M 1相切的直线l 的方程为y -y 0=k x -x 0 ，与x 24+y 23=1联立消去y 整理可得4k 2+3 x 2+8k y 0-kx 0 x +4y 0-kx 0 2-3 =0，令Δ=8k y 0-kx 0 2-4×4k 2+3 ×4y 0-kx 0 2-3 =0，整理可得x 20-4 k 2-2kx 0y 0+y 20-3=0，③根据题意k 1和k 2为方程③的两个不等实根，所以k 1k 2=y 20-3x 20-4=61-x 208-3x 20-4=-34x 20-4 x 20-4=-34，即k 1k 2为定值-34.8.(2023届浙江省浙里卷天下高三上学期10月测试)已知F 1,F 2分别为椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的左、右焦点，过点F 1(-1,0)且与x 轴不重合的直线与椭圆C 交于A ,B 两点，△ABF 2的周长为8.(1)若△ABF 2的面积为1227，求直线AB 的方程；(2)过A ,B 两点分别作直线x =-4的垂线，垂足分别是E ,F ，证明：直线EB 与AF 交于定点.【解析】(1)因△ABF 2的周长为8，由椭圆定义得4a =8，即a =2，而半焦距c =1，又a 2=b 2+c 2，则b 2=3，椭圆C 的方程为x 24+y 23=1，依题意，设直线AB 的方程为x =my -1，由x =my -13x 2+4y 2=12 消去x 并整理得3m 2+4 y 2-6my -9=0，设A x 1,y 1 ，B x 2,y 2 ，则y 1+y 2=6m 3m 2+4，y 1y 2=-93m 2+4，|y 1-y 2|=(y 1+y 2)2-4y 1y 2=6m 3m 2+4 2+363m 2+4=12m 2+13m 2+4，因此S △F 2AB =12F 1F 2 ⋅y 1-y 2 =12×2×12m 2+13m 2+4=1227，解得m =±1，所以直线AB 的方程为x -y +1=0或x +y +1=0.(2)由(1)知A x 1,y 1 ，B x 2,y 2 ，则E -4,y 1 ，F -4,y 2 ，设直线EB 与AF 交点为M (x ,y )，则FA =(x 1+4,y 1-y 2),FM =(x +4,y -y 2)，EB =(x 2+4,y 2-y 1),EM =(x +4,y -y 1)，而FA ⎳FM ，EB ⎳EM ，则(x +4)(y 1-y 2)=(y -y 2)(x 1+4)，(x +4)(y 2-y 1)=(y -y 1)(x 2+4)，两式相加得：y (x 1+x 2+8)-y 2(my 1+3)-y 1(my 2+3)=0，而x 1+x 2+8>0，则y (x 1+x 2+8)=2my 1y 2+3(y 1+y 2)=2m ⋅-93m 2+4+3⋅6m3m 2+4=0，因此y =0，两式相减得：2(x +4)(y 1-y 2)=-y 2(x 1+4)+y 1(x 2+4)=-y 2(my 1+3)+y 1(my 2+3)=3(y 1-y 2)，而y 1-y 2≠0，则x =-52，即M -52,0 ，所以直线EB 与AF 交于定点M -52,0 .9.(2023届江苏省南京市六校高三上学期10月联考)已知双曲线Γ：x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)的焦距为4，且过点P 2,33 (1)求双曲线Γ的方程；(2)过双曲线Γ的左焦点F 分别作斜率为k 1,k 2的两直线l 1与l 2，直线l 1交双曲线Γ于A ,B 两点，直线l 2交双曲线Γ于C ,D 两点，设M ,N 分别为AB 与CD 的中点，若k 1⋅k 2=-1，试求△OMN 与△FMN 的面积之比.【解析】(1)由题意得2c =4，得c =2，所以a 2+b 2=4，因为点P 2,33 在双曲线上，所以4a 2-13b2=1，解得a 2=3,b 2=1，所以双曲线方程为x 23-y 2=1，(2)F (-2,0)，设直线l 1方程为y =k 1(x +2)，A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)，由y =k 1(x +2)x 23-y 2=1，得(1-3k 12)x 2-12k 12x -12k 12-3=0则x 1+x 2=12k 121-3k 12,x 1x 2=-12k 12-31-3k 12，所以x 1+x 22=6k 121-3k 12，所以AB 的中点M 6k 121-3k 12,2k 11-3k 12，因为k 1⋅k 2=-1，所以用-1k 1代换k 1，得N 6k 12-3,-2k 1k 12-3，当6k 121-3k 12=61-3k 12，即k 1=±1时，直线MN 的方程为x =-3，过点E (-3,0)，当k 1≠±1时，k MN =2k 11-3k 12--2k 1k 12-36k 121-3k 12-6k 12-3=-2k 13(k 12-1)，直线MN 的方程为y -2k 11-3k 12=-2k 13(k 12-1)x -6k 121-3k 12，令y =0，得x =3(k 12-1)1-3k 12+6k 121-3k 12=-3，所以直线MN 也过定点E (-3,0)，所以S △OMN S △FMN =12y N-y M OE12y M-y N FE =OE FE =310.(2022届北京市海淀区高三上学期期末)已知点A 0,-1 在椭圆C ：x 23+y 2b2=1上.(1)求椭圆C 的方程和离心率；(2)设直线l ：y =k x -1 (其中k ≠1)与椭圆C 交于不同两点E ,F ,直线AE ,AF 分别交直线x =3于点M ,N .当△AMN 的面积为33时,求k 的值.【解析】(1)将点A 0,-1 代入x 23+y 2b2=1,解得b 2=1,所以椭圆C 的方程为x 23+y 2=1又c 2=a 2-b 2=3-1=2,离心率e =c 2a2=23=63(2)联立y =k x -1x 23+y 2=1,整理得(1+3k 2)x 2-6k 2x +3k 2-3=0设点E ,F 的坐标分别为(x 1,y 1),(x 2,y 2)由韦达定理得：x 1+x 2=6k 21+3k 2,x 1x 2=3k 2-31+3k 2直线AE 的方程为y +1=y 1+1x 1x ,令x =3,得y =3y 1+3x 1-1,即M 3,3y 1+3x 1-1 直线AF 的方程为y +1=y 2+1x 2x ,令x =3,得y =3y 2+3x 2-1,即N 3,3y 2+3x 2-1 MN =3y 2+3x 2-1-3y 1+3x 1-1 =3×x 1y 2-x 2y 1+x 1-x 2x 1x 2 =3×k -1 x 1-x 2x 1x 2=3×k -1x 1+x 22-4x 1x 2x 1x 22=3×k -1 ×232k 2+1k 2-1 =23×2k 2+1k +1所以△AMN 的面积S =12×MN ×3=32×MN =33×2k 2+1k +1 =33即2k 2+1k +1=1⇒2k 2+1=k +1 ,解得k =0或k =2所以k 的值为0或211.(2022届天津市第二中学高三上学期12月月考)已知椭圆x 2a 2+y 2b2=1a >b >0 的长轴长是4,且过点B 0,1 .(1)求椭圆的标准方程；(2)直线l ：y =k x +2 交椭圆于P ,Q 两点,若点B 始终在以PQ 为直径的圆内,求实数k 的取值范围.【解析】(1)由题意,得2a =4,b =1,所以椭圆的标准方程为x 24+y 2=1；(2)设P (x 1,y 1),Q (x 2,y 2),联立y =k (x +2)x 24+y 2=1,得x 2+4k 2(x +2)2-4=0,即(1+4k 2)x 2+16k 2x +16k 2-4=0,则x 1+x 2=-16k 21+4k 2,因为直线y =k x +2 恒过椭圆的左顶点(-2,0),所以x 1=-2,y 1=0,则x 2=-16k 21+4k 2+2=2-8k 21+4k 2,y 2=k (x 2+2)=4k1+4k 2,因为点B 始终在以PQ 为直径的圆内,所以π2<∠PBQ ≤π,即BP ·BQ <0,又BP=-2,-1 ,BQ =(x 2,y 2-1),则BP ·BQ=-2x 2-y 2+1<0,即4-16k 21+4k 2+4k 1+4k 2-1>0,即20k 2-4k -3<0,解得-310<k <12,所以实数k 的取值范围为-310<k <12.12.(2022届广东省华南师范大学附属中学高三上学期1月模拟)已知椭圆C 1:x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的右顶点与抛物线C 2:y 2=2px (p >0)的焦点重合,椭圆C 1的离心率为12,过椭圆C 1的右焦点F 且垂直于x 轴的直线截抛物线所得弦的长度为4 2.(1)求椭圆C 1和抛物线C 2的方程.(2)过点A (-4,0)的直线l 与椭圆C 1交于M ,N 两点,点M 关于x 轴的对称点为E .当直线l 绕点A 旋转时,直线EN 是否经过一定点?请判断并证明你的结论.【解析】(1)设椭圆C 1的半焦距为c .依题意,可得a =p2,则C 2:y 2=4ax ,代入x =c ,得y 2=4ac ,即y =±2ac ,所以4ac =42,则有ac =2ca =12a 2=b 2+c 2,所以a =2,b =3,所以椭圆C 1的方程为x 24+y 23=1,抛物线C 2的方程为y 2=8x .(2)依题意,当直线l 的斜率不为0时,设其方程为x =ty -4,由x =ty -43x 2+4y 2=12,得(3t 2+4)y 2-24ty +36=0.设M (x 1,y 1),N (x 2,y 2),则E (x 1,-y 1).由Δ>0,得t <-2或t >2,且y 1+y 2=24t 3t 2+4,y 1y 2=363t 2+4.根据椭圆的对称性可知,若直线EN 过定点,此定点必在x 轴上,设此定点为Q (m ,0).因为k NQ =k EQ ,所以y 2x 2-m =-y 1x 1-m,(x 1-m )y 2+(x 2-m )y 1=0,即(ty 1-4-m )y 2+(ty 2-4-m )y 1=0,2ty 1y 2-(m +4)(y 1+y 2)=0,即2t·363t2+4-(m+4)·24t3t2+4=0,得(3-m-4)t=(-m-1)t=0,由t是大于2或小于-2的任意实数知m=-1,所以直线EN过定点Q(-1,0).当直线l的斜率为0时,直线EN的方程为y=0,也经过点Q(-1,0),所以当直线l绕点A旋转时,直线EN恒过一定点Q(-1,0).13.(2022届河北省高三上学期省级联测)已知椭圆P焦点分别是F1(0,-3)和F2(0,3),直线y=3与椭圆P相交所得的弦长为1.(1)求椭圆P的标准方程；(2)将椭圆P绕原点逆时针旋转90°得到椭圆Q,在椭圆Q上存在A,B,C三点,且坐标原点为△ABC的重心,求△ABC的面积.【解析】(1)根据题意,c=3,2b2a=1,又因为a2=b2+c2,解得：a=2,b=1,所以椭圆P的标准方程为y24+x2=1.(2)由题意得椭圆Q的方程为x24+y2=1,当直线AB斜率存在时,设AB方程为：y=kx+m,A x1,y1,B x2,y2,C x3,y3,联立x24+y2=1,y=kx+m,可得：1+4k2x2+8km x+4m2-4=0,则Δ=164k2-m2+1>0,x1+x2=-8km1+4k2,x1x2=4m2-41+4k2,因为坐标原点为△ABC的重心,所以x1+x2+x3=0, y1+y2+y3=0,由x1+x2=-8km1+4k2y1+y2=kx1+m+kx2+m=k x1+x2+2m=2m1+4k2 ,得x3=8km1+4k2,y3=-2m1+4k2,将x3,y3代入椭圆方程可得：8km 1+4k22+4-2m1+4k22=4,化简得：4m2=1+4k2,又O到直线AB的距离为：d=|m|1+k2,则S△OAB=12⋅1+k2⋅44k2-m2+11+4k2⋅|m|1+k2=32,因为原点O为△ABC的重心,所以S△ABC=3⋅S△OAB=33 2,当直线AB斜率不存在时,根据坐标关系得,直线AB的方程为x=±1,此时A1,3 2,所以S△ABC=3S△ABO=3×12×3×1=332.综上：△ABC的面积为33 2.14.(2022届广东省佛山市高三上学期期末)已知双曲线C的渐近线方程为y=±33x,且过点P(3,2).(1)求C的方程；(2)设Q(1,0),直线x=t(t∈R)不经过P点且与C相交于A,B两点,若直线BQ与C交于另一点D,求证：直线AD过定点.【解析】(1)因为双曲线C的渐近线方程为y=±3 3x,则可设双曲线的方程为x29-y23=λλ≠0,将点P(3,2)代入得99-23=λ,解得λ=13,所以双曲线C的方程为x23-y2=1；(2)显然直线BQ的斜率不为零,设直线BQ为x=my+1,B x1,y1,D x2,y2,A x1,-y1,联立x23-y2=1x=my+1,消x整理得m2-3y2+2my-2=0,依题意得m2-3≠0且Δ=4m2+8m2-3>0,即m2>2且m2≠3,y1+y2=-2mm2-3,y1y2=-2m2-3,直线AD的方程为y+y1=y2+y1x2-x1x-x1,令y=0,得x=x2-x1y1y2+y1+x1=x1y2+x2y1 y2+y1=my1+1y2+my2+1y1y2+y1=2my1y2+y1+y2y2+y1=2m⋅-2m2-3-2mm2-3-2mm2-3=-6m m2-3 -2 m2-3=3.所以直线AD过定点3,0.15.(2022届江苏省盐城市、南京市高三上学期1月模拟)设双曲线C:x2a2-y2b2=1(a,b>0)的右顶点为A,虚轴长为2,两准线间的距离为263.(1)求双曲线C 的方程；(2)设动直线l 与双曲线C 交于P ,Q 两点,已知AP ⊥AQ ,设点A 到动直线l 的距离为d ,求d 的最大值.【解析】(1)依题意可得b =222a 2c =263a 2+b 2=c2 ,解得a 2=1b 2=12,所以双曲线方程为x 2-2y 2=1(2)由(1)可知A 1,0 ,依题意可知k AP ⋅k AQ =-1,设P x 1,y 1 ,Q x 2,y 2 ,x 12-2y 12=1,x 22-2y 22=1,则有k AP=y 1x 1-1=x 1+12y 1,k AQ =y 2x 2-1=x 2+12y 2,所以y 1x 1-1⋅x 2+12y 2=-1,x 1+12y 1⋅y 2x 2-1=-1,所以x 2y 1+2x 1y 2=2y 2-y 1,y 2x 1+2y 1x 2=2y 1-y 2,作差得x 2y 1-x 1y 2=3y 1-y 2 ,又PQ 的方程为x 2-x 1 y =y 2-y 1 x +x 2y 1-x 1y 2,所以PQ 过定点M 3,0 ,所以d ≤AM =2,即d 的最大值为2；16.(2022届浙江省普通高中强基联盟高三上学期统测)如图,已知椭圆C 1:x 24+y 23=1,椭圆C 2:y 29+x 24=1,A -2,0 、B 2,0 .P 为椭圆C 2上动点且在第一象限,直线PA 、PB 分别交椭圆C 1于E 、F 两点,连接EF 交x 轴于Q 点.过B 点作BH 交椭圆C 1于G ,且BH ⎳PA .(1)证明：k BF ⋅k BG 为定值；(2)证明直线GF 过定点,并求出该定点；(3)若记P 、Q 两点的横坐标分别为x P 、x Q ,证明：x P x Q 为定值.【解析】(1)证明：设P x 0,y 0 ,则y 209+x 204=1,可得y 20=9-9x 204,则k PA =y 0x 0+2,k PB =y 0x 0-2,则k PA ⋅k PB =y 20x 20-4=9-9x 204x 20-4=-94；(2)证明：当直线GF 的斜率存在时,设GF 的方程为y =k x -t k ≠0 ,则y =k x -t 3x 2+4y 2=12,代入消元得4k 2+3 x 2-8k 2tx +4k 2t 2-12=0.则Δ=64k 4t 2-164k 2+3 k 2t 2-3 =484k 2+3-k 2t 2 >0,设G x 1,y 1 、F x 2,y 2 ,则x 1+x 2=8k 2t 4k 2+3,x 1x 2=4k 2t 2-124k 2+3,由k BF ⋅k BC =y 1x 1-2⋅y 2x 2-2=k 2x 1x 2-t x 1+x 2 +t 2 x 1x 2-2x 1+x 2 +4=-94,得3k 2t 2-12k 24k 2t 2-16k 2t +16k2=-94,约去k 2,并化简得t 2-3t +2=0,解得t =1(t =2不符合题意,舍去)；当直线GF 的斜率不存在时,设GF 的方程为x =m ,其中m ≠2,联立x =mx 24+y 23=1,解得y =±12-3m 22,则F m ,12-3m 22 、E m ,-12-3m 22,所以,k BF ⋅k BG =-12-3m 24m -22=-94,可解得m =1.综上,直线GF 过定点1,0 .(3)证明：设PA 的方程为y =k 1x +2 k 1>0 ,则y =k 1x +2 3x 2+4y 2=12 可解得E 点的坐标为6-8k 214k 21+3,-12k 14k 21+3.由k 1=y 0x 0+2,则E 点的坐标为41-x 0 x 0-4,-2y 0x 0-4.同理,记PB 的斜率为k 2,则F 点的坐标为8k 22-64k 22+3,-12k 24k 22+3.由k 2=y 0x 0-2,则F 点的坐标为4x 0+1 x 0+4,2y 0x 0+4,则EF 的斜率k EF =2y 0x 0+4+2y 0x 0-44x 0+1 x 0+4+4x 0-1 x 0-4=x 0y 02x 20-4,所以直线EF 的方程为y +2y 0x 0-4=x 0y 02x 20-4 ⋅x +4x 0-1 x 0-4.令y =0,得x =4x 0,故x P x Q =x 0⋅4x 0=4.17.(2022届湖北省新高考联考协作体高三上学期12月联考)已知圆O ：x 2+y 2=2,椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1a >b >2 的离心率为22,P 是C 上的一点,A 是圆O 上的一点,PA 的最大值为6+ 2.(1)求椭圆C 的方程；(2)点M 是C 上异于P 的一点,PM 与圆O 相切于点N ,证明：PO 2=PM ⋅PN .【解析】(1)PA ≤PO +OA ≤a +2=6+2,所以a =6设C 的焦距是2c ,则c a =22,解得c =3,则b 2=a 2-c 2=3,所以C 的方程是x 26+y 23=1.(2)证明：①当直线PM 斜率不存在时,PM 的方程为x =2或x =-2.当x =2时,P 2,2 ,M 2,-2 ,此时OP ⋅OM=0,即OP ⊥OM ；当x =-2时,同理可得OP ⊥OM .②当直线PM 斜率存在时,设PM 方程为y =kx +m ,即kx -y +m =0.因为直线与圆相切,所以mk 2+1=2,即m 2=2k 2+2联立kx -y +m =0,x 26+y 23=1,得1+2k 2 x 2+4km x +2m 2-6=0.设P x 1,y 1 ,M x 2,y 2 ,则x 1+x 2=-4km 1+2k 2,x 1x 2=2m 2-61+2k 2所以OP ⋅OM=x 1x 2+y 1y 2=x 1x 2+kx 1+m kx 2+m =1+k 2 x 1x 2+km x 1+x 2 +m 2=1+k 2 ×2m 2-61+2k 2+km ×-4km 1+2k 2 +m 2=3m 2-6k 2-61+2k 2代入m 2=2k 2+2整理可得OP ⋅OM=0,即OP ⊥OM综上,OP ⊥OM ,又PM 与圆O 相切于点N ,所以ON ⊥PM ,易得△PON ∽△PMO ,所以PO PM =PNPO,即PO 2=PM ⋅PN所以E 上存在定点G 满足题意,其中G 的坐标为-1,-1 .18.已知双曲线C ：x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)的实轴长为8,离心率e =54.(1)求双曲线C 的方程；(2)直线l 与双曲线C 相交于P ,Q 两点,弦PQ 的中点坐标为A 8,3 ,求直线l 的方程.【解析】 (1)由题意可得2a =8e =c a =54c 2=b 2+a 2,解得：a =4b =3c =5,所以双曲线C 的方程为：x 216-y 29=1.(2)设P x 1,y 1 ,Q x 2,y 2 ,因为弦PQ 的中点坐标为A 8,3 ,所以x 1+x 2=16,y 1+y 2=6,将点P x 1,y 1 ,Q x 2,y 2 代入双曲线x 216-y 29=1可得：x 1216-y 129=1x 2216-y 229=1 ,两式相减可得：x 12-x 2216=y 12-y 229即x 1+x 2 x 1-x 2 16=y 1+y 2 y 1-y 29,所以16x 1-x 2 16=6y 1-y 2 9,所以直线l 的斜率为：k =y 1-y 2x 1-x 2=96=32,所以直线l 的方程为：y -3=32x -8 即3x -2y -18=0.。
2019年上海市第五十二中学高考数学选择题专项训练(一模)
2019年上海市第五十二中学高考数学选择题专项训练（一模）抽选各地名校试卷，经典试题，有针对性的应对高考数学考点中的难点、重点和常规考点进行强化训练。
第 1 题：来源：高中数学第二章统计本章整合试卷及答案新人教A版必修3某高级中学有学生270人，其中一年级108人，二、三年级各81人．现要利用抽样方法抽取10人参加某项调查，考虑选用简单随机抽样、分层抽样和系统抽样三种方案，使用简单随机抽样和分层抽样时，将学生按一、二、三年级依次统一编号为1,2，…，270；使用系统抽样时，将学生统一随机编号为1,2，…，270，并将整个编号依次分为10段．如果抽得号码有下列四种情况：①7,34,61,88,115,142,169,196,223,250；②5,9,100,107,111,121,180,195,200,265；③11,38,65,92,119,146,173,200,227,254；④30,57,84,111,138,165,192,219,246,270.关于上述样本的下列结论中，正确的是( )A．②③都不能为系统抽样B．②④都不能为分层抽样C．①④都可能为系统抽样D．①③都可能为分层抽样【答案】D第 2 题：来源：黑龙江省双鸭山市第一中学2019届高三数学上学期第一次月考试题理（含解析）函数其中（）的图象如图所示，为了得到的图象，则只需将的图象（）A. 向右平移个长度单位B. 向右平移个长度单位C. 向左平移个长度单位D. 向左平衡个长度单位【答案】A【详解】由函数其中（）的部分图象可得A=1，，求得ω=2．再根据五点法作图可得，．故把的图象向右平移个长度单位，可得的图象，第 3 题：来源：广西南宁市2016_2017学年高一数学下学期第一次月考试题试卷及答案在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=BC=2,AA1=1,则BC1与平面BB1D1D所成的角的正弦值为( )A. B. C.D.【答案】D 提示：在平面A1B1C1D1内过点C1作B1D1的垂线,垂足为E,连接BE.⇒C1E⊥平面BDD1B1,∴∠C1BE的正弦值就是所求角的正弦值.∵BC1=,C1E=,∴sin∠C1BE=.第 4 题：来源：山东省泰安市2019届高三数学一轮复习质量检测试卷理（含解析）若复数的实部与虚部互为相反数，则实数A. 3B.C.D.【答案】D【解析】【分析】利用复数乘法的运算法则化简复数，然后利用复数的实部与虚部的和为零，列方程求解即可.【详解】因为,且复数的实部与虚部互为相反数，所以，，解得，故选D.【点睛】复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数、复数的模这些重要概念，复数的运算主要考查乘法/除法运算，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.第 5 题：来源：甘肃省兰州市2016_2017学年高一数学下学期期末考试试题试卷及答案若，则是第几象限角（）A．一或二B．二或三C．三或四D．四或一第 6 题：来源：湖北省宜昌市2017_2018学年高一数学上学期期中试题试卷及答案已知集合，则= A.B. C. D.【答案】B第 7 题：来源：广东省天河区普通高中2017_2018学年高一数学10月月考试题试卷及答案08若奇函数在上为增函数，且有最小值0，则它在上A.是减函数，有最小值0B.是增函数，有最小值0C.是减函数，有最大值0D.是增函数，有最大值0【答案】D第 8 题：来源：湖南省怀化三中2018_2019学年高一数学上学期期中试题．函数在上是增函数，在上是减函数，则（）A． B． C． D．的符号不确定【答案】B第 9 题：来源：重庆市万州三中2018_2019学年高二数学下学期期中试题理函数的图象如图所示,下列数值排序正确的是( )A. B.C. D.第 10 题：来源：四川省崇州市2016-2017学年高一数学下学期开学考试试题设，则的大小关系是（）A． B．C． D．【答案】A第 11 题：来源：河北省衡水中学2018届高三数学上学期一轮复习周测试题理试卷及答案已知命题有解，命题，则下列选项中是假命题的为（）A．B． C.D．【答案】B第 12 题：来源：广东省天河区普通高中2017_2018学年高二数学11月月考试题04 试卷及答案若，，则下列不等式成立的是A. B. C. D.【答案】．A第 13 题：来源： 2019高考数学一轮复习第2章函数的概念与基本初等函数第3讲函数的奇偶性与周期性分层演练文若函数f(x)＝ln(ax＋)是奇函数，则a的值为( )A．1 B．－1C．±1 D．0【答案】C.因为f(x)＝ln(ax＋)是奇函数，所以f(－x)＋f(x)＝0.即ln(－ax＋)＋ln(ax＋)＝0恒成立，所以ln[(1－a2)x2＋1]＝0，即(1－a2)x2＝0恒成立，第 14 题：来源：福建省泉州市2017届高考数学模拟试卷（文科）含答案解析若，则=（）A．i B．﹣i C．﹣1 D．1【答案】D【考点】A8：复数求模．【分析】利用复数的运算法则、模的计算公式即可得出．【解答】解： ===i，则=1．故选：D．【点评】本题考查了复数的运算法则、模的计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．第 15 题：来源：山东省武城二中2017届高三数学下学期第一次月考试题试卷及答案理若直角坐标平面内两点P，Q满足条件①P、Q都在函数y＝f（x）的图象上；②P、Q关于原点对称，则对称点（P，Q）是函数y＝f（x）的一个“伙伴点组”（点对（P，Q）与（Q，P）看作同一个“伙伴点组”）．则下列函数中，恰有两个“伙伴点组”的函数是＿＿＿（填空写所有正确选项的序号）①；②；③；④.【答案】②③第 16 题：来源： 2015-2016学年广东省东莞市高二数学下学期期末试卷a 理（含解析）用反证法证明命题：“已知a，b为实数，则方程x2+ax+b=0至少有一个实根”时，要做的假设是（）A．方程x2+ax+b=0没有实根B．方程x2+ax+b=0至多有一个实根C．方程x2+ax+b=0至多有两个实根D．方程x2+ax+b=0恰好有两个实根【答案】A【考点】反证法与放缩法．【分析】直接利用命题的否定写出假设即可．【解答】解：反证法证明问题时，反设实际是命题的否定，∴用反证法证明命题“设a，b为实数，则方程x2+ax+b=0至少有一个实根”时，要做的假设是：方程x2+ax+b=0没有实根．故选：A．第 17 题：来源：江西省上饶市玉山县第一中学2018_2019学年高二数学下学期期中试题理（10_19班）若函数的导函数的图像关于原点对称，则的解析式可能为（）A．B．C．D．【答案】A第 18 题：来源：重庆市六校联考高一（上）期末数学试卷（含答案解析）若区间[x1，x2]的长度定义为|x2﹣x1|，函数f（x）=（m∈R，m≠0）的定义域和值域都是[a，b]，则区间[a，b]的最大长度为（）A． B． C． D．3【答案】A【解答】解：函数f（x）=（m∈R，m≠0）的定义域是{x|x≠0}，则[m，n]是其定义域的子集，∴[m，n]⊆（﹣∞，0）或（0，+∞）．f（x）==﹣在区间[a，b]上时增函数，则有：，故a，b是方程f（x）=﹣=x的同号相异的实数根，即a，b是方程（mx）2﹣（m2+m）x+1=0同号相异的实数根．那么ab=，a+b=，只需要△＞0，即（m2+m）2﹣4m2＞0，解得：m＞1或m＜﹣3．那么：n﹣m==，故b﹣a的最大值为，第 19 题：来源： 2017年湖北省宜昌市长阳县高一数学3月月考试题试卷及答案在△ABC中，，c=2，C=600，则A等于（） A．1500 B．750 C．1050 D．750或1050【答案】 B第 20 题：来源：湖南省郴州市湘南中学2019届高三数学上学期期中试题理函数的零点所在的大致区间是（）A．（0，1） B．（1，2） C．（2，e） D．（3，4）【答案】B第 21 题：来源：河北省石家庄市2017_2018学年高一数学上学期期中试题试卷及答案函数的零点所在区间为( )A． B． C． D．【答案】 C第 22 题：来源：河南省安阳市2017_2018学年高二数学上学期第二次月考试题试卷及答案已知等差数列中，，公差，则使前项和为取最小值的正整数的值是（）A．4和 5 B．5和 6 C．6和7 D．7和8【答案】C第 23 题：来源： 2015-2016学年广东省东莞市高二数学下学期期末试卷a 理（含解析）对具有线性相关关系的两个变量y与x进行回归分析，得到一组样本数据（x1，y1），（x2，y2）…（xn，yn），则下列说法中不正确的是（）A．若最小二乘法原理下得到的回归直线方程=0.52x+，则y与x具有正相关关系B．残差平方和越小的模型，拟合的效果越好C．在残差图中，残差点比较均匀地落在水平的带状区域内，说明选用的模型比较合适D．用相关指数R2来刻画回归效果，R2越小说明拟合效果越好【答案】D【分析】可以用来衡量模拟效果好坏的几个量分别是相关指数，残差平方和和相关系数，只有残差平方和越小越好，其他的都是越大越好．【解答】解：若最小二乘法原理下得到的回归直线方程=0.52x+，b=0.52＞0，则y与x具有正相关关系，正确；残差平方和越小的模型，拟合的效果越好，正确；可用残差图判断模型的拟合效果，残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，说明这样的模型比较合适．带状区域的宽度越窄，说明模型的拟合精度越高．故正确；相关指数R2取值越大，说明残差平方和越小，模型的拟合效果越好，故不正确．故选：D．第 24 题：来源：新疆维吾尔自治区阿克苏市2017_2018学年高二数学上学期第二次月考试题试卷及答案理已知，则“”是“”的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】若“”，则，即.所以,充分性成立；若“”，则，有或.必要性不成立.故“”是“”的充分不必要条件.故选A.第 25 题：来源：宁夏石嘴山市2018届高三数学上学期期中试题理用数学归纳法证明“”时,由的假设证明时,如果从等式左边证明右边,则必须证得右边为（）A. B.C. D.【答案】D第 26 题：来源：河北省石家庄市2016_2017学年高一数学下学期学情反馈试题（一）理试卷及答案在中，角、、的对边分别为、、，则以下结论错误的为（）A．若，则B．C．若，则；反之，若，则D．若，则【答案】D【解析】试题分析：∵，∴由正弦定理，，又∵，为的内角，∴，故，A正确；∵由正弦定理可得，∴，故B正确；在，设外接圆的半径为，若，则，由正弦定理可得，即；若，即有，即，即．则在中，，故C正确；∵，∴，∴或，∴或，∴三角形为直角三角形或等腰三角形，故D错误．故选：D．第 27 题：来源：湖南省长沙市雅礼中学2019届高三数学上学期月考试题二理现有四个函数：①，②，③，④的图像（部分）如下，但顺序打乱了，则按照从左到右将图象对应的序号排列正确的组是A．①③②④ B．②①③④ C．③①④② D．①④②③【答案】D第 28 题：来源： 2017届宁夏银川市高三第二次模拟考试理科数学试卷含答案已知是定义在R上的偶函数，且对恒成立，当时，，则A. B.C. D.【答案】B第 29 题：来源：贵州省思南中学2018_2019学年高二数学下学期期末考试试题理复数z满足，则复数的虚部是（）A．1 B．－1 C． D．【答案】C第 30 题：来源：辽宁省沈阳市2018届高三数学11月阶段测试试题理试卷及答案下列判断错误的是（）SX010202A．“”是“”的充分不必要条件B．命题“”的否定是“”C．若为真命题，则均为假命题D．命题“若，则”为真命题，则“若，则”也为真命题【答案】C第 31 题：来源：山西省芮城县2017_2018学年高二数学上学期第一次月考试题理试卷及答案已知三棱锥的所有顶点都在球的球面上，为球的直径，且,，为等边三角形，三棱锥的体积为，则球的半径为A. 3B.1C.2D.4【答案】C第 32 题：来源： 2016_2017学年福建省厦门市高二数学试卷及答案下学期期中试题理设a=，b=，，则a、b、c间的大小关系是（）A．a>b>c B．b>a>c C．b>c>a D．a>c>b【答案】D第 33 题：来源：高中数学第三章导数及其应用3.1导数3.1.2瞬时速度与导数3.1.3导数的几何意义自我小测新人教B版选修1_120171101235曲线y＝x3＋2在点处切线的倾斜角为( )A．30° B．45° C．135° D．60°【答案】B第 34 题：来源：广东省深圳市耀华实验学校2018_2019学年高一数学下学期入学考试试题（国际1班）若函数是定义域为上的减函数，则函数的图像大致是 ( )．A. B.C . D.【答案】D第 35 题：来源：湖北省宜昌市2017_2018学年高二数学上学期期中试题理试卷及答案若圆的半径为1，圆心在第二象限，且与直线和轴都相切，则圆的标准方程是（）A. B.C. D.【答案】B第 36 题：来源：黑龙江省哈尔滨市2016_2017学年高二数学6月月考试题试卷及答案理.离散型随机变量X的分布列为，则与依次为( )和和和和【答案】D第 37 题：来源： 2017届吉林省长春市朝阳区高三数学下学期第八次模拟考试试题试卷及答案理若，则＝（A）（B）1 （C）5 （D）25【答案】B第 38 题：来源：广东省江门市第二中学2017_2018学年高二数学11月月考试题（含解析）数列前项的和为（）A. B.C. D.【答案】B【解析】数列前项的和故选B．第 39 题：来源： 2017年河南省焦作市高考数学二模试卷（理科）含答案解析在区间上任选两个数x和y，则y＜sinx的概率为（）A． B． C． D．【答案】C【考点】几何概型．【分析】该题涉及两个变量，故是与面积有关的几何概型，分别表示出满足条件的面积和整个区域的面积，最后利用概率公式解之即可．【解答】解：在区间上任选两个数x和y，区域的面积为，满足y＜sinx的区域的面积为=（﹣cosx）=1，∴所求概率为．故选C．第 40 题：来源：江西省南康中学2018_2019学年高二数学二下学期期中（第二次大考）试题理已知椭圆(a>b>0)的左、右焦点分别为为椭圆上一动点,面积的最大值为，则椭圆的离心率为（）A. B.1 C. D.【答案】A。
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- 1 - 郴州市2015届高三理科数学高考模拟题四 一.选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设复数z满足z(1－2i)＝4+2i（i为虚数单位），则 |z| 为 ( C )
A.1 B. 23 C. 2 D.58 2.设a∈R ，则“a＝－2”是“直线l1：ax+2y=0与直线l2 ：x+(a+1)y+4=0平行”的 （A ）
A .充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C .充分必要条件 D . 既不充分也不必要条件
3．已知函数()fx的导函数()fx的图象如图1所示，那么函数()fx的图象最有可能的是( A )
4.为了了解某县今年高考准备报考体育专业的学生的体重情况，将所得的学生体重数据分组整理后，画出了频率分布直方图(如图)，已知图中从左到右的前3小组的频率a，b，c恰成等差数列，若抽取的学生人数是48，则第2小组的频数为( B ) A．6 B．12 C．18 D．24
5． 在正项等比数列}{na中，11a，前n项和为nS,且423,,aaa成等差数列，则7S 的值为( C )
A. 125 B. 126 C. 127 D. 128
6．给四面体ABCD的六条棱分别涂上红，黄，蓝，绿四种颜色中的一种，使得有公共顶点
的棱所涂的颜色互不相同，则不同的涂色方法共有( A ) A． 96 B．144 C. 240 D. 360
7.已知图象不间断的函数f（x）是区间[a，b]上的单调函数，且在区间（a，b） 上存在零点．如图是用二分法求方程f（x）=0近似解的程序框图， 判断框内可以填写的内容有如下四个选择： ①f（a）f（m）＜0； ②f（a）f（m）＞0； ③f（b）f（m）＜0； ④f（b）f（m）＞0
图1 - 2 -
O M F
A
x
y
其中能够正确求出近似解的是（ C ） A.①③ B. ②③ C. ①④ D. ②④
【解析】据二分法求方程近似解的步骤知当f（m）f（a）＜0， 即f（m）f（b）＞0时，说明根在区间（a，m）内，令b=m， 当f（m）f（b）＜0, 即f（m）f（a）＞0时，说明方程的根在 区间（m，b）内，令a=m，由框图得到当满足判断框中的条件 时将b=m故判断框内的条件为f（m）f（a）＜0或f（m）f（b）＞0， 故选C
8．已知变量yx,满足约束条件错误！未找到引用源。若52yx恒成立，则实数a的取值范围为( C ) A. (-∞,-1] B. [-1,+∞) C. [-1,1] D. [-1,1)
9． 一个几何体的三视图如图所示，其中正视图是正三角形， 则几何体的外接球的表面积为（ D ）
A．83 B．163
C．483 D．643
【解析】此几何体是三棱锥P-ABC（直观图如右图）， 底面是斜边长为4的等腰直角三角形ACB，且顶点在 底面内的射影D是底面直角三角形斜边AB的中点。 易知，三棱锥P-ABC的外接球的球心O在PD上。 设球O的半径为r，则OD=23-r，∵CD=2，OC=r，
∴222232rr，解得：43r，
∴外接球的表面积为26443r. 10.已知O为坐标原点，双曲线22221(,0)xyabab的右焦点F，以F为圆心，OF为半径作圆交双曲线的渐近线于异于原点的两点A、B，若()0AOAFOF，则双曲线的离心率e的取值范围为（ B ）
A.(1,2) B. (1,2) C.2, D.11,2
解析：取M为OF中点，则()0AOAFOF等价于22000.2AMMFMAMFAMF
也就是要求点A的横坐标2Acx。由222()xcycbyxa 解得22Aaxc，故需222acc，解得2e，则(1,2).e - 3 -
二.填空题：本大题共6个小题，考生作答5小题，每小题5分，共25分，把答案填在答题卡中对应题号后的横线上. （一）选做题（请考生在第11，12，13三题中任选两题作答，如果全做，则按前两题计分） 11．（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中(,)(02)，曲线2sincos1与 的交点的极坐标为 。
答案：32,4
12.（不等式选讲选做题）己知,(0,)xy，若3xykxy恒成立，利用柯西不等式可求得实数k的取值范围是 . 答案：10k
13.（几何证明选讲选做题）如图，PA切圆O于点A，割线PBC经过圆心O，1OBPB，OA绕点O逆时针旋转60到OD，则PD的长为 .
答案：7 （二）必做题 14．甲、乙两个小组各10名学生的英语口语测试成绩的茎叶图如图所示．现从这20名学生中随机抽取一人，将“抽出的学生为甲小组学生”记为事件A；“抽出的学生英语口语测试成绩不低于85分”记为事件B．则P（A|B）的值是 ．
答案：59
15. 设常数aR.若52axx的二项展开式中7x项的系数为-15,则a___-3____. （第14题图） - 4 -
16.将5个全等的正方形按如图所示方式放置在一个的矩形OEFG内， 其中顶点P、C、Q、D分别在矩形的四条边上.
（1）设向量PAa，PBb，以向量a，b为基底，则向量 CD 3b－2a (用向量a，b表示)；
（2）若OE＝7，OG＝8，则图中5个正方形的边长都为5.
【解析】（1）如图，CDCM+MD=3PB2PA=-3b－2a. （2分） （2）如图所示建立直角坐标系，设PAx,y()，则PBy,x(-). 所以CD3b－2a＝(―2x―3y，3x―2y)，PQ3a＋b＝(3x―y，x＋3y).
因为OE＝7，OG＝8，则3723281xyxxyy. 所以22PA5||xy，即正方形的边长为5. （5分） 三、解答题：本大题共6个小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（本题满分12分）
在△ABC中，设角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知(,)2cma，(cos,1)nC，且mnb． （Ⅰ）求角A的大小； （Ⅱ）若3a，求△ABC的面积S的最大值．
【解析】（Ⅰ）由(,)2cma，(cos,1)nC，且mnb可得2cos2aCcb， 由正弦定理，得2sincossin2sinACCB． 又sinsin()sincoscossinBACACAC，则sin2cossinCAC． （4分）
因为sin0C，则1cos2A．又0A，所以3A． （6分）
（Ⅱ）因为3a，3A， 由余弦定理，得222cos93bcbc，即229bcbc． （8分） 因为222bcbc，则222bcbcbcbcbc． 所以9bc，当且仅当bc时等号成立． （10分）
所以11393sin92224SbcA，故△ABC的面积S的最大值为934． （12分）
18.（本题满分12分） 如图， 在矩形ABCD中，点,EF分别在线段,ABAD上，243AEEBAFFD.沿直线EF将 AEFV翻折成AEFV，使平面AEFBEF平面. （Ⅰ）求二面角AFDC的余弦值； （Ⅱ）点,MN分别在线段,FDBC上，若沿直线MN将四边形MNCD向上翻折，使C与A
重合，求线段FM的长.
A B P
C
D
E O Q F G
x y
M
A B P
C
D
E O
Q
F G - 5 - 解：（法一）
（Ⅰ）取线段EF的中点H，连结AH，因为AEAF及H是EF的中点，所以AHEF, 又因为平面AEFBEF平面. 如图建立空间直角坐标系A-xyz，则A（2，2，22），C（10，8，0）， F（4，0，0），D（10，0，0）.
故FAuuur=（-2，2，22），FDuuur=（6，0，0）.
设n=（x,y,z）为平面AFD的一个法向量， 2222060xyzx 取2z，则(0,2,2)n。 又平面BEF的一个法向量(0,0,1)m，
故3cos,3nmnmnm，又由图形观察知二面角AFDC的平面角为锐角
所以二面角的余弦值为33 ……………………6分 （Ⅱ）解：设,FMx则(4,0,0)Mx， 因为翻折后，C与A重合，所以'CMAM，
故222222(6)80=2222xx（）（），得214x， 经检验，此时点N在线段BC上， 所以214FM. ……………………12分 （法二） （Ⅰ）解：取线段EF的中点H,AF的中点G,连结',',AGAHGH. 因为'AE='AF及H是EF的中点， 所以'AHEF 又因为平面'AEF平面BEF， 所以'AH平面BEF, 又AF平面BEF, 故'AHAF， 又因为G、H是AF、EF的中点， 易知GH∥AB， 所以GHAF， 于是AF面'AGH， 所以'AGH为二面角'ADHC的平面角，
在'RtAGH中，'AH=22，GH=2，'AG=23
所以3cos'3AGH.
E