平面结构问题的有限单元法
[工学]第4章 平面问题的有限元法-3刚度矩阵
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* T
F
T
* * * * * x x y * * y z z xy xy yz yz zx zx
({ } )
T
e T
R
e
(f)
而单元内的应力在虚应变上所做的功为
tdxdy
(g)
这里我们假定单元的厚度t为常量。把（d）式及（4-16） 式代入上式，并将提到积分号的前面，则有
({ } )
e T
B D B
T
e
tdxdy
根据虚位移原理，由（f）和（h）式可得到单元的虚功方程 即 e T e e T e T ({ } ) R ({ } ) B D B tdxdy 注意到虚位移是任意的，所以等式两边与相乘的项应该相等， 即得
R
e
B D Btdxdy
T
e
记
k B D B tdxdy
e T
(4-24) (4-25)
则有
R k
e e
e
上式就是表征单元的节点力和节点位移之间关系的刚 度方程，[k]e就是单元刚度矩阵。如果单元的材料是均质的 ，那么矩阵 [D] 中的元素就是常量，并且对于三角形常应 变单元，[B]矩阵中的元素也是常量。当单元的厚度也是常 量时,因 dxdy ,所以式(4-24)可简写为
1 2 4 7 11 3 5 8 6 9 10 15
12
13
14
图 4-6 a
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
1 15
2
3
4
5
有限单元法基本原理和数值方法
有限单元法基本原理和数值方法1. 引言有限单元法（Finite Element Method，FEM）是一种数值计算方法，广泛应用于结构力学、流体力学、电磁场及热传导等领域中。
本文将介绍有限单元法的基本原理和数值方法，并阐述其在工程实践中的应用。
2. 基本原理有限单元法的基本原理是将复杂的连续体问题离散化为若干简单的子域，即有限单元。
每个有限单元由一个或多个节点组成，通过将子域内的导数方程或平衡方程转化为代数方程，再通过求解这些代数方程得到全局解。
有限单元法的基本步骤如下： - 确定问题的几何形状和边界条件； - 将几何形状分割为有限个单元，并为每个单元定义适当的数学模型； - 根据单元的数学模型建立刚度矩阵、质量矩阵等，并通过组装成全局矩阵； - 应用合适的边界条件，并求解线性或非线性代数方程组； - 根据代数方程组的解，计算各个单元内部的物理量。
3. 数值方法有限单元法中常用的数值方法包括： - 剖分方法：将连续域剖分为若干简单的有限单元，常用的有三角形剖分和四边形剖分。
- 元素类型：根据问题的特性选择合适的单元类型，如线性元、三角元、四边形元等。
- 积分方法：采用高斯积分等方法对每个单元内的积分方程进行数值求解。
- 方程求解：对线性方程组采用直接法（如高斯消元法）或迭代法（如共轭梯度法）进行求解。
- 后处理：根据问题的要求，进行应力、位移、应变等物理量的计算和显示。
4. 应用实例有限单元法广泛用于工程实践中，以下为其常见应用实例：- 结构力学：用于模拟建筑物、桥梁、飞机等结构的应力和变形。
- 流体力学：用于模拟流体在管道、水槽、风洞等中的流动。
- 电磁场：用于模拟电磁场在电路、电机、天线等中的分布。
- 热传导：用于模拟热传导在导热管、散热器、热交换器等中的传热情况。
5. 结论有限单元法作为一种数值计算方法，在工程实践中得到了广泛应用。
通过将连续问题离散化为有限单元，再通过数值方法求解代数方程组，可以获得连续问题的近似解。
有限单元法ppt课件
06
有限单元法的发展趋势和展 望
发展趋势
工程应用领域拓展
随着科技的发展，有限单元法在解决 复杂工程问题上的应用越来越广泛， 不仅局限于结构分析，还涉及到流体 动力学、热传导等领域。
与其他方法的结合
有限单元法正与其他数值方法（如有 限差分法、边界元法等）进行交叉融 合，形成更为强大的数值分析工具。
05
有限单元法的优缺点
优点
灵活性
有限单元法允许对复杂的几何形状进 行离散化，适用于解决各种形状和大 小的问题。
高效性
有限单元法能够处理大规模问题，通 过使用计算机技术，可以快速求解。
广泛的应用领域
有限单元法被广泛应用于工程、物理 、生物等领域，是一种通用的数值分 析方法。
易于理解和实现
有限单元法的基本概念直观易懂，且 实现起来相对简单。
01
利用线性代数方法，将 各个单元的数学模型和 节点信息组合成整体方
程组。
03
将节点的未知量返回到 原问题中，得到问题的
解。
05
根据问题的物理性质和 边界条件，建立单元的 数学模型和节点信息。
02
解整体方程组，得到节 点的未知量。
04
有限单元法的特点
适用范围广
可以用于解决各种类型的问题，如弹性力学 、流体力学、传热学等。
高精度与高效率
研究者们致力于开发更高效、精确的 算法，以解决大规模、非线性、动态 等复杂问题。
并行化与云计算应用
随着计算资源的丰富，有限单元法的 计算过程正逐步实现并行化，利用云 计算平台进行大规模计算已成为趋势 。
展望
理论完善与创新
随着工程实践的深入，有限单元法的理论体系将进一步完善，同时会 有更多创新性的算法和模型出现。
有限元分析第四章
19
4）形函数的性质
形函数是有限单元法中的一个重要函数，它具 有以下性质： 性质1 形函数Ni在节点i上的值等于1，在其它节点 上的值等于0。对于本单元，有
20
Ni ( xi , yi ) 1 Ni ( x j , y j ) 0 Ni ( xm , ym ) 0
（i、j、m）
利用 N i 1 (ai bi x ci y )和ai、bi、ci公式证明 2A
对于一个具体问题进行分析，不管采用什么样的单元， 分析过程与思路是一样的，所不同的只是各种单元的位移模 式和单元刚度矩阵不一样，其他的包括整体刚度矩阵的组装 过程都完全一样，所以我们仅仅对矩形单元位移模式的求取 和单元刚度矩阵的求解加以介绍。
4.7 收敛准则
可以证明，对于一个给定的位移模式，其刚度系统的数 值要比精确值大。所以，在给定载荷的作用下，有限元计算 模型的变形要比实际结构的变形小。因而，当单元网格分得 越来越细时，位移的近似解将由下方收敛于精确解，即得到 真实解的下界。 为了保证解答的收敛性，要求选取的位移模式必须满足 以下三个条件： 1）位移模式必须包含单元的刚体位移 也就是说，当节点位移是某个刚体位移所引起时，弹 性体内将不会产生应变。所以位移模式不但要具有描述单元 本身形变的能力，而且还要具有描述由其他变形而通过节点 位移引起单元刚体位移的能力。例如，三角形三节点位移模 式中，常数项就是用于提供刚体位移的。
Ni(x、y)
1 i(xi，yi) x xi
x xi N i ( x, y ) 1 x j xi
N m ( x, y ) 0
证
N
y j (xj，yj)
m (xm，ym)
xj
x
N i ( x, y )
有限单元法原理及应用
有限单元法原理及应用有限单元法（Finite Element Method，简称FEM）是一种用于求解工程问题的数值方法。
它将一个连续问题分割成一系列离散的有限单元，通过对每个单元进行局部的数值近似，再将它们组合起来得到全局解。
有限单元法的基本原理是根据假设的位移关系和应变能量原理，将连续介质离散为有限个单元，然后通过数学方法对每个单元进行近似。
在每个单元内，假设解的形式，并通过插值方法得到每个节点的未知位移。
根据边界条件的限制，将每个单元的刚度矩阵组装成整个结构的刚度矩阵。
最后，通过求解线性方程组，得到整个结构的位移和应力分布。
有限单元法广泛应用于求解各种工程领域的问题，如结构力学、电磁场、流体力学等。
它的应用范围包括但不限于以下几个方面：1. 结构分析：有限单元法可用于结构强度分析、振动分析、热传导分析等。
通过对结构进行离散，可以计算结构的应力、应变分布，以及结构的固有频率和模态形式。
2. 热传导分析：有限单元法可以用于求解具有复杂边界条件的热传导问题。
通过离散化连续介质，可以计算温度分布和热流量分布，进而获取材料的热传导性能。
3. 流体力学：有限单元法可用于求解流体动力学问题，如流体的流动、传热、传质等。
通过将流体域离散化为网格，在每个单元上建立基本流动方程的数值近似，可以计算流体的速度、压力分布，以及各种力学量和热力学量。
4. 电磁场分析：有限单元法可以用于求解电磁场分布及其对物体的影响。
通过离散化电磁场区域，可以计算电场、磁场和电流分布，以及物体的电磁参数。
5. 地下水流动：有限单元法可用于模拟地下水流动和污染传输。
通过离散化地下水流动域，并运用流体力学的基本方程，可以计算地下水的流动速度、压力分布，以及污染物的传输路径和浓度分布。
总之，有限单元法在工程领域有广泛的应用，可以用于求解各种复杂的力学、热学和流体学问题，并为工程设计和分析提供重要的数值仿真工具。
平面单元有限元法
1 x y x x y 1 E 1 2 1 y x y y x y E 1 E
1 2 x E
xy
2(1 ) xy E
23
位移模式的收敛性分析
（2）位移模式必须包含单元的刚体位移
单元位移一般包括两部分
• 本单元变形引起的位移 • 其他单元变形引起的位移-----刚体位移 刚体位移：指应变分量εx, εy 和γxy=0时的位移
3 3 u 1 2 x 3 y 1 2 x 5 y 5 y 2 2 3 3 v 4 5 x 6 y 4 6 y 5 x 5 x 2 2
换成 1 即可。
E 1 2
返 回 章 节 目 录 ，
1 E (1 u ) D (1 )(1 2 ) 1 0
1 1 0
0 1 2 2(1 ) 0
12
第四章 平面结构问题的有限单元法
其中， 是三角形单元的面积，当三角形单元结 点i、j、m按逆时针次序排列时，则有 1 1 1 ( xi y j x j y m x m y i ) ( x j y i x m y j xi y m ) 2 2 2
19
第四章 平面结构问题的有限单元法
x j ym x m y xm y m 1 yj bi y j ym 1 ym 1 xj ci xm x j 1 xm ai xj yj
22
位移模式的收敛性分析
（1）位移模式必须包含单元的常应变状态
结构力学第六章平面应力问题的有限单元法
结构力学第六章平面应力问题的有限单元法引言平面应力问题是结构力学中的重要内容之一。
为了求解这类问题，目前广泛应用的方法之一是有限元方法。
有限元方法通过将复杂的问题离散为多个简单的有限元单元，在每个单元上进行计算，最后得到整个问题的近似解。
本文将介绍平面应力问题的有限单元法的基本原理，并讨论其在结构力学中的应用。
有限单元法概述有限单元法是一种通过将连续问题离散为有限数量的简单单元，再通过求解这些单元的位移和应力来近似求解原始问题的方法。
在平面应力问题中，我们通常将结构物在平面上分割为多个有限单元，并在每个单元上进行力学分析。
有限单元法的基本思想是，先在每个单元上假设位移场的近似形式，然后将位移场的近似形式与力学原理相结合，得到每个单元上的平衡方程。
通过求解这些平衡方程，我们可以得到每个单元上的位移场和应力场。
在有限元分析中，我们通常选择线性三角形单元或矩形单元作为平面应力问题的有限单元。
这些单元通常具有简单的几何形状和计算形式，便于计算机求解。
平面应力问题的有限单元法步骤平面应力问题的有限单元法通常包括以下几个步骤：1.离散化 - 将结构物划分为多个有限单元。
在平面应力问题中，我们通常选择三角形或矩形作为单元。
2.选取近似函数 - 在每个单元上选择位移场的近似函数形式，通常选择多项式形式。
3.建立单元刚度矩阵 - 通过应用平衡方程和力学原理，建立每个单元上的刚度矩阵。
4.组装总刚度矩阵 - 将所有单元的刚度矩阵组装成总刚度矩阵。
要注意，由于每个单元的自由度不同，需要将刚度矩阵根据单元的连接关系进行组装。
5.施加边界条件 - 根据实际情况，对总刚度矩阵和载荷向量进行修正，将边界条件考虑在内。
6.求解位移场 - 通过求解线性代数方程组，得到每个单元上的位移场。
7.计算应力场 - 根据位移场，计算每个单元上的应力场。
应用案例为了进一步说明平面应力问题的有限单元法的应用，以下是一个简单的应用案例。
假设有一块矩形薄板，长为L，宽为W。
有限单元法和有限元法
有限单元法和有限元法
有限单元法和有限元法：探索结构和材料力学的工程分析方法
有限单元法和有限元法是结构工程和材料科学领域中常用的数值分析方法，用
于模拟和评估各种结构的力学行为和性能。
它们基于有限元理论，将连续体划分为有限数量的离散单元，通过求解线性或非线性方程组来近似描述结构的响应。
有限单元法是有限元法的基础，其核心概念是将结构划分为有限数量的单元，
每个单元具有特定的几何形状和材料特性。
每个单元内部的应力、应变和位移可以通过求解一组局部方程组得到，然后使用装配技术将这些局部方程组组装成整体方程组。
最后，通过求解整体方程组，可以得到结构的全局响应。
有限元法在有限单元法的基础上进一步发展，并引入了形状函数的概念。
形状
函数是用于描述单元内部的位移和应力分布的数学函数。
这些函数基于单元的几何形状和节点位置，以及在每个节点上施加的位移和力。
通过将形状函数与每个单元的位移场相乘，并将其积分求和，可以得到整个结构的位移和应力场。
有限元法的独特之处在于其灵活性和适应性。
通过选择不同类型和尺寸的单元，可以对各种材料和结构进行模拟。
此外，有限元法还可以处理非线性材料行为、大变形和挠度等复杂问题。
同时，该方法还可以考虑结构的动力响应，从而可以用于地震工程、风力工程以及其他动力载荷下的结构分析。
总而言之，有限单元法和有限元法在结构工程和材料科学中起着重要的作用。
它们为工程师和科学家提供了一种准确可靠的方法，用于模拟和分析各种结构的行为和性能。
通过应用这些方法，可以更好地理解结构的力学行为，并帮助设计和优化工程结构，从而推动工程技术的发展。
有限单元法原理与应用
有限单元法原理与应用
有限单元法（Finite Element Method，FEM）是一种数值分析
方法，常用于求解复杂的物理问题。
它将连续物体的区域划分为许多小的离散单元，然后在每个单元内建立局部的数学模型和方程。
通过求解这些局部模型和方程，可以得到整个物体的行为和性能。
有限单元法的基本原理是将连续问题离散化为有限数目的独立子问题。
在每个小单元内，选择一个数学函数作为近似解，并通过将近似解与原问题的偏微分方程进行数值积分和数值迭代，得到近似解的解析解。
将每个小单元的解汇总起来，可以得到整个物体的解。
有限单元法的应用非常广泛，可以用于解决各种工程和科学领域的问题。
例如，它可以用来模拟结构的强度和刚度特性，预测材料的疲劳寿命，优化产品的设计，以及研究流体和热传导等问题。
在建筑工程中，有限单元法可以用来分析建筑结构的荷载和变形，评估结构的安全性。
在汽车制造业中，它可以用来模拟车辆的碰撞和破碎行为，提高车辆的安全性。
在航空航天领域，有限单元法可以用来优化飞机的结构和翼型，提高飞机的性能。
此外，有限单元法还可以应用于地震工程、地下水流动、电磁场分析等领域。
总之，有限单元法通过离散化连续问题，将其转化为独立的子问题，然后通过求解局部模型和方程，得到整体解。
它具有广泛的应用领域，为解决多种复杂问题提供了有效的数值分析方法。
第5章平面问题和轴对称问题有限元法
Utility Menu>Plotctrls>Style>Symmetry Expansion>2D Axis-Symmetric Expansion
5.3 具有对称性结构的分析
几何建模
1. 生成矩形：Main Menu>Preprocessor>Modeling> Create >Areas>Rectangle>By 2 Corners，输入：X=0，Y=0，Width=0.04，Heighth=0.075，单击Apply按钮。再输 入：X=0，Y=0.015，Width=0.025，Heighth=0.012，单击OK按钮。
第5章 平面问题和轴对称问题的有限元法
5.1 平面问题基本知识 5.2 轴对称问题基本知识 5.3 具有对称性结构的分析 5.4 练习题
5.1 平面问题基本知识
• 一、平面应变问题
1. 特点： 1) z向尺寸远大于x，y向尺寸，且与z轴垂直的各个横 截面尺寸都相同。 2) 受有平行于横截面（x、y平面）且不沿z向变化的 外载荷（包括体力x、y，但z=0），约束条件沿z向 也不变。即，所有内在因素和外来作用都不沿长度 变化。 y
P
x
受内压的圆柱管道
长水平巷道等
5.1 平面问题基本知识
• 一、平面应变问题 • 在ANSYS中，总是将几何尺寸很大的方向制定为
总体坐标系的Z方向，模型需要在总体坐标系的 XOY平面内建立模型，这时Z方向的应变为0，但 存在应力；
• 常用结构单元类型有：plane42、 plane82、 plane182、 plane183等，设置单元KEYOPT(3) 为Plane strain.
弹性力学第6章---用有限单元法求平面问题
2.FEM分析的主要步骤：
1.将连续体变换为离散化结构 2.对单元进行分析 位移模式 应变列阵 应力列阵
结点力列阵 等效结点荷载列阵 3.整体分析
§6-3 单元的位移模式与解答的收敛性
e T
位移模式 三角形单元
FEM是取结点位移δi 为基本未知数的。问题是如何求 应变、应力。
( δ 来求出单元 首先,必须解决由单元的结点位移 δ i δ j δ m T d ((, u xy ) v (, xy ) 。 的位移函数 e 该插值公式表示了单 δ 应用插值公式,可由 求出位移 d 。 元中位移的分布形式,因此称为位移模式。 在结点三角形单元中,可以假定位移分量只是坐标的线性 函数,也就是假定：
FEM的分析过程(2) 2.单元分析
求解方法
每个三角形单元仍然假定为连续的、均匀的、各向同 性的完全弹性体。因单元内部仍是连续体，应按弹性力学 方法进行分析。 T 取各结点位移 δ 为基本未知量，然后 ( uv ) ( i 1 , 2 , ) i i i 对每个单元,分别求出各物理量,并均用 δ i 1 ,2 , )来表示。 i( 单元分析的主要内容： (1)应用插值公式, 由单元结点位移
e T δ ( δ δ δ ) i j m 求单元的位移函数
,
T d ((, u xyvxy ) , (, ) ) .
该插值公式称为单元的位移模式,记为 d Νδe .
(2)应用几何方程,由单元的位移函数d,求出单元的应变 ε Bδe .
FEM的分析过程(2) 2.单元分析
单元分析的主要内容： (1)应用插值公式, 由单元结点位移
FEM的分析过程(3) 3.整体分析
求解方法
作用于结点i上的力有：
弹性力学第6章：用有限元法解平面问题(徐芝纶第五版)
Ni (ai bi x ci y) / 2A。 (i, j, m)
第六章 用有限单元法解平面问题
应变
应用几何方程，求出单元的应变列阵 ：
ε ( u v v u )T x y x y
ui
1 2A
b0i ci
0 ci bi
bj 0 cj
0 cj bj
bm 0 cm
0
vi
cm bm
于单元，称为结点力，以正标向为正。
Fi (Fix Fiy T
－－单元对结点的 作用力，与 Fi 数值 相同,方向相反，作 用于结点。
Fiy vi
Fix i
ui
Fiy
y v j Fjy i
Fix
j
uj
F jx
vm Fmy
um
m Fmx
o
x
第六章 用有限单元法解平面问题
求解方法
（5）将每一单元中的各种外荷载，按虚功 等效原则移置到结点上，化为结点荷 载，表示为
第六章 用有限单元法解平面问题
FEM的概念
§6-2 有限单元法的概念
FEM的概念，可以简述为：采用有限自由度的离 散单元组合体模型去描述实际具有无限自由度的 考察体，是一种在力学模型上进行近似的数值计 算方法，其理论基础是分片插值技术与变分原理。
FEM的分析过程：
1.将连续体变换为离散化结构； 2.单元分析； 3.整体分析。
第六章 用有限单元法解平面问题
FEM
第六章 用有限单元法解平面问题
概述 1.有限元法（Finite Element Method）
简称FEM，是弹性力学的一种近似解法。 首先将连续体变换为离散化结构，然后再利用 分片插值技术与虚功原理或变分方法进行求解。
第五章弹性力学平面问题的有限单元法解析
(1) 平面应变问题： 如图柱形管道和长柱形坝体，具有如下特点：a纵向尺寸远大 于横向尺寸，且各横截面尺寸都相同；b 载荷和约束沿纵向不变， 因此可以认为，沿纵向的位移分量 等于零。
一悬臂梁的力学模型简化和单元划分如图： 在确立了力学模型的基础上，再把原来连续的弹性体离散化， 分为有限个单元，这些单元可以是三结点三角形、四结点任意四边 形、八结点曲边四边形等等。单元之间只在结点处相联结。平面问 题的结点为铰结点。完成单元划分以后，需要对所有单元按次序编 号，就得到了有限元的计算模型。
A
S
U
(
A
*
xx
*
yy
xy
* xy
)
t
dx
dy
上面三个积分的意义为：
W 中的第一个积分表示全部体积力作的虚功；第二个积分表示
自由边界S 上的表面力作的虚功。U 中的积分为
dU
(
x
* x
y
* y
xy
* xy
)
t
dx
dy
它表示单面体四个侧面上的应力在虚应变上作的虚功。
1 力学模型的简化 用有限元法研究实际工程结构的强度与刚度问题，首先要从工 程实际问题中抽象出力学模型，即要对实际问题的边界条件，约束 条件和外载荷进行简化，这种简化应尽可能反映实际情况，使简化 后的弹性力学问题的解答与实际相近，但也不要带来运算上的过分 复杂。 在力学模型简化过程中，必须明确以下几点 ①判断实际结构的问题类型，是 二维问题还是三维 问题；对于 平面问题，是平面应变 问题还是平面应力 问题。 ②结构是否对称 。如果是对称的，要充分利用对称条件，以简 化计算。 ③简化的力学模型必是静定 的或超静定的。
有限元分析基础
第二章 结构几何构造分析
(a) 结构本身可变 (b) 缺少必要的约束条件 (c) 约束汇交于一点 图2-1 几何可变结构
14
第二章 结构几何构造分析
2.2 结构计算基本知识
2.2.1 结构计算简图
实际结构总是很复杂的，完全按照结构的实际情况 进行力学分析是不可能的，也是不必要的，因此在对实 际结构进行力学计算之前，必须将其作合理的简化，使 之成为既反映实际结构的受力状态与特点，又便于计算 的几何图形。这种被抽象化了的简单的理想图形称之为 结构的计算简图，有时也称为结构的力学模型。 结构计算所常用的结点和支座的简化形式:
对称结构在正对称载荷下，对称轴截面上只能产生 正对称的位移，反对称的位移为零；对称结构在反对称 载荷下，对称轴截面上只有反对称的位移，正对称的位 移为零。 (1) 具有奇数跨的刚架
① 正对称载荷作用
(a) 对称刚架
（b) 变形状态分析
(c) 对称性利用
图2-22对称性利用示意图
19
第二章 结构几何构造分析
单元结点位移条件
当 x0 时
v vi，
v x
i
当 xl
时 v vj，
v x
j
1 vi
2 i
3
3 l2
vi v j
1 l
2i
j
4
2 l3
vi v j
1 l2
i j
34
第三章 杆系结构静力分析的有限单元法
a. 杆件的转折点、汇交点、自由端、集中载荷作用 点、支承点以及沿杆长截面突变处等均可设置成结点。 这些结点都是根据结构本身特点来确定的。
b. 结构中两个结点间的每一个等截面直杆可以设置 为一个单元。 变换为作用在结点上的等效结点载荷。
有限单元法
37
•从单纯的结构力学计算发展到求解许多物理场问题 有限元分析方法最早是从结构化矩阵分析发展而
来,逐步推广到板、壳和实体等连续体固体力学分析, 实践证明这是一种非常有效的数值分析方法。而且从 理论上也已经证明,只要用于离散求解对象的单元足 够小,所得的解就可足够逼近于精确值。所以近年来 有限元方法已发展到流体力学、温度场、电传导、磁 场、渗流和声场等问题的求解计算,最近又发展到求 解几个交叉学科的问题。
时计算模型的规模不能超过1万阶方程。Microsoft Windows操作
系统和32位的Intel Pentium 处理器的推出为将PC机用于有限元
分析提供了必需的软件和硬件支撑平台。因此当前国际上著名的
有限元程序研究和发展机构都纷纷将他们的软件移植到Wintel平
台上。
42
43
44
4.2 有限单元法的分析步骤
40
但是如果用手工方式来建立这个模型,然后再处 理大量的计算结果则需用几周的时间。可以毫不夸 张地说,工程师在分析计算一个工程问题时有80%以 上的精力都花在数据准备和结果分析上。
因此目前几乎所有的商业化有限元程序系统都 有功能很强的前置建模和后置数据处理模块。在强 调"可视化"的今天,很多程序都建立了对用户非常友 好的GUI(Graphics User Interface),使用户能以可 视图形方式直观快速地进行网格自动划分,生成有限 元分析所需数据,并按要求将大量的计算结果整理成 变形图、等值分布云图,便于极值搜索和所需数据的 列表输出。
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55
56
平面应力
平面应变
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1有限元法基础及平面结构问题的有限元法
车辆工程技术中心
机电工程学院
（4）利用结构力的平衡条件和边界条件把各个 单元按原来的结构重新连接起来，集合成整体 的有限元方程，求解出节点位移。 重点：对于不同的结构，要采用不同的单元，但 各种单元的分析方法又是一致的。
车辆工程技术中心
机电工程学院
四、有限元法的学习路线
从最简单的平面结构入手，由浅入深，介 绍有限元理论以及在汽车结构分析中的应用。
车辆工程技术中心
机电工程学院
汽车结构由不同的材料组成，其结构也非 常复杂，包括板、梁、轴、块等通过铆接或焊 接而成。 汽车结构承受的载荷也十分复杂，其中包 括自重，路面激励、惯性力及构件之间的约束 力。
车辆工程技术中心
机电工程学院
各种汽车结构件都可以应用有限元进行静 态分析、模态分析和动态分析。现代汽车设计 中，已从早期的静态分析为主转化为以模态分 析和动态分析为主。 汽车结构有限元分析的应用主要体现在以 下几方面：见教材P3
车辆工程技术中心
机电工程学院
弹性力学 —区别与联系 — 材料力学
3、研究的方法：有较大的区别。
虽然都从静力学、几何学与物理学三方面进行研究， 但是在建立这三方面条件时，采用了不同的分析方法。 材料力学是对构件的整个截面来建立这些条件的，因 而要常常引用一些截面的变形状况或应力情况的假设。 这样虽然大大简化了数学推演，但是得出的结果往往 是近似的，而不是精确的。而弹性力学是对构件的无 限小单元体来建立这些条件的，因而无须引用那些假 设，分析的方法比较严密，得出的结论也比较精确。 所以，我们可以用弹性力学的解答来估计材料力学解 答的精确程度，并确定它们的适用范围。
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目前应用较多的通用有限元软件如下表：
结构力学的有限单元法——柔度矩阵法
结构力学的有限单元法——柔度矩阵法.naHuaPa0KeJjYuSjChana结构力学的有限单元法口丁学兴摘要:本文以实例介绍了与电子计算机性能相适应的力学模型:柔度矩阵法,实现了结构设计的程序化.有限单元法描述了与数字电子计算机逻辑性能相适应的力学模型.实现了部件设计的最优化.1.有限单元法应用范围:有限单元法不但适用于土木工程分析领域,也适用于国防和船舶等工程的分析领域.另外,还可以解决热传导和液流等方面的问题.2.有限单元法在工程设计中的常用法,包括:柔度矩阵法,刚度矩法和刚度集合法.3.应用结构力学的有限单元法应满足三个条件:A.平衡条件:荷载与杆端力平衡;B.相容条件:节点位移和杆端变形必须满足几何相容条件;C.物理条件:必须符合广义的虎克定律.4柔度矩阵法在结构设计中的应用:柔度矩阵法就是找出荷载,与其和杆端力,杆端变形,节点位移之间的关系,从而导出柔度矩阵.下面以图所示的悬臂梁为例,来说明柔度矩阵法的原理及计算步骤:(1)根据叠加原理建立线性议程组:如图所示悬臂梁.在一一一荷载作用下产生变形,其变形曲线如虚线所示,用A表示广义力,用D表示广义变位,根据叠加原理建立下列线性方程组:D1=FDz=F式中1A1+1A1+F11,12A222A212,F柔度矩阵法(2)求杆端力(荷载)与杆端变形的变换矩阵.[F~F1.1FI2]A_[]则D=FA (2)式中D为位移矩阵F为柔度矩阵A为荷载矩阵(3)代入初始数据求出杆端挠度和转角.由结构力学得出:Fn=1./3EJFzz=1/EJFI2=FzI=1/2EJ.一[:.1厄2/E][AA:I]当A1=2A:2EJ=31—2时.L22/2x3322/3L2JrL2/32/3]J.JF2]F8/9x2+2/3x2]F16/9+4/3]I-28/9"]FD1]L23一L2/3x2+2/3x2jL4,3+4,3jL8/3JLD2j即D1=28/9(挠度)D:8/3(转角)其计算结果与经典力学计算结果是一致的.经典力学的计算只能用人工进行.有限单元法可以通过数组的形式输入电子计算机,通过计算输出优化的结果, 所以本法具有广阔的发展前景.参考文献1.结构和连续力学中的有限单元法2.结构计算和程序设计(作者单位:萍乡市建筑设计院)0数系度柔称简数系影度一柔一为一¨F,●I,Jh2。
有限单元法 数学术语
有限单元法有限单元法，是一种有效解决数学问题的解题方法。
其基础是变分原理和加权余量法，其基本求解思想是把计算域划分为有限个互不重叠的单元，在每个单元内，选择一些合适的节点作为求解函数的插值点，将微分方程中的变量改写成由各变量或其导数的节点值与所选用的插值函数组成的线性表达式，借助于变分原理或加权余量法，将微分方程离散求解。
采用不同的权函数和插值函数形式，便构成不同的有限元方法。
有限元方法最早应用于结构力学，后来随着计算机的发展慢慢用于流体力学的数值模拟。
内容简述在有限元方法中，把计算域离散剖分为有限个互不重叠且相互连接的单元，在每个单元内选择基函数，用单元基函数的线形组合来逼近单元中的真解，整个计算域上总体的基函数可以看为由每个单元基函数组成的，则整个计算域内的解可以看作是由所有单元上的近似解构成。
在河道数值模拟中，常见的有限元计算方法是由变分法和加权余量法发展而来的里兹法和伽辽金法、最小二乘法等。
根据所采用的权函数和插值函数的不同，有限元方法也分为多种计算格式。
从权函数的选择来说，有配置法、矩量法、最小二乘法和伽辽金法，从计算单元网格的形状来划分，有三角形网格、四边形网格和多边形网格，从插值函数的精度来划分，又分为线性插值函数和高次插值函数等。
不同的组合同样构成不同的有限元计算格式。
对于权函数，伽辽金(Galerkin)法是将权函数取为逼近函数中的基函数；最小二乘法是令权函数等于余量本身，而内积的极小值则为对代求系数的平方误差最小；在配置法中，先在计算域内选取N个配置点。
令近似解在选定的N个配置点上严格满足微分方程，即在配置点上令方程余量为0。
插值函数一般由不同次幂的多项式组成，但也有采用三角函数或指数函数组成的乘积表示，但最常用的多项式插值函数。
有限元插值函数分为两大类，一类只要求插值多项式本身在插值点取已知值，称为拉格朗日(Lagrange)多项式插值；另一种不仅要求插值多项式本身，还要求它的导数值在插值点取已知值，称为哈密特(Hermite)多项式插值。
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0
0
1 2
2(1 )
4
第四章 平面结构问题的有限单元法
无论是平面应力问题还是平面应变问题的应力
与 应变 之间的关系均为：
D 0 ，其中：
x
y
T xy
式中 0 为初应变。
x
y
T xy
4.3 平面问题的离散化
(a) 三结点三角形单元 (b) 四结点正方形单元 (c) 四结点矩形单元 (d) 四结点四边形单元
0 y
3 4
5
6
7
第四章 平面结构问题的有限单元法
简写为： f M
由于位移函数适用于单元中的任意一点，所以带入 3个结点的坐标后，得出结点处位移函数为
ui 1 xi
vi
0
0
yi 0 0 0 1 xi
0 1
yi
2
u v
j j
1 0
xj 0
yj 0
00 1 xj
0 yj
3 4
u
m
1
xm
ym
0
0
0
vm 0 0 0 1 xm ym 6
简写为：{}e A
8
第四章 平面结构问题的有限单元法
4.4.2 形函数矩阵
解出
[ A]1{ }e
ai 0 a j 0 am 0
bi
0 bj
0 bm
0
[ A]1
1 2
c0i
0 ai
cj 0
0 aj
cm 0
平面问题可以分为两类：平面应力问题和平面应 变问题。
图4-1 平面问题应力状态
2
第四章 平面结构问题的有限单元法
4.1 平面应力问题
如图所示的深梁结构，其厚度方向的尺寸远比其 它两个方向的尺寸小得多，可视为一薄板。它只承受 作用在其平面内的载荷，且沿厚度方向不变，计算时 以中性面为研究对象。其力学特点是：
x y
xy
1
2 1
2
1
2
(bi u i (ci vi (ci ui
bjuj cjvj cjuj
bmum ) cmvm ) cmum )
(bivi
bjv j
bmvm )
12
第四章 平面结构问题的有限单元法
x y
xy
1 21 21 2
(bi ui (ci vi (ci ui
Nj 0
0 Nj
Nm 0
0 Nm
u v
j j
[INi
IN j
INm ]{}e
(4-12)
u
m
vm
11
第四章 平面结构问题的有限单元法
4.4.3 单元的应力与应变
由几何方程知
y
0
y
uv
x
(4-13)
将式(4-9)代入式(4-13)中，并求偏导数，得
x
j
ym
x m
y
1
bi
1
yj ym
y j ym
1 ci 1
xj xm
xm x j
其中记号
表示将i、j、m进行轮换后，可得
出另外两组带脚标的a、b、c的公式。
单元位移函数为结点位移的插值函数，即
u
1 2
[(ai
bi x
ci
y)ui
(a
j
bj
x
c
j
y)u
j
(am
bm x
cm
y)um
]
作用在xy坐标面内，且沿z轴方向均
匀分布。其力学特点是：
x 0, xz 0, yz 0
图4-2(b) 平面应变问题
但一般情况下 z 0 。
，
平面应变问题的弹性矩阵只需将式(4-1)中的E换成 E
换成 1 即可。
1 2
1
D
E(1 u) (1 )(1 2)
1
1
1
0
图4-3 平面问题单元的主要类型
5
第四章 平面结构问题的有限单元法
图4-4(a)表示的是带有椭圆孔的平板，在均匀压力
作用下的应力集中问题。图4-5(b)是利用结构的对称 性，采用三结点三角形单元而离散后的力学模型，各
单元之间以结点相连。
(a) 均匀受力板力学模型
(b) 力学模型离散化
图4-4 平面问题有限单元法的计算力学模型
0
am
0
bi
0 ci
0 bj 0 cj
0
bm
0 cm
其中， 是三角形单元的面积，当三角形单元结
点i、j、m按逆时针次序排列时，则有
1 2
1 2 (xi y j
x j ym
xm yi )
1 2 (x j yi
xm y j
xi ym )
9
第四章 平面结构问题的有限单元法
ai
xj xm
yj ym
bjuj cjvj cjuj
bmum ) cmvm ) cmum )
(bi vi
bjvj
bmvm )
简写为： {} [B]{ }e
(4-14)
由于[B]是常量，单元内各点应变分量也都是常量， 这是由于采用了线性位移函数的缘故，这种单元称为常
应变三角形单元。
[B]
1 2
b0i ci
第四章 平面结构问题的有限单元法
4.1 平面应力问题 4.2 平面应变问题 4.3 平面问题的离散化 4.4 平面三结点三角形单元 4.5 ANSYS平面结构计算示例
1
第四章 平面结构问题的有限单元法
严格地说，任何弹性体都是处于三维受力状态， 因而都是空间问题，但是在一定条件下，许多空间问 题都可以简化成平面问题。
v
1
2i. j.m
1 2 [(ai
(ai bi x bi x ci
ci y)ui y)vi (a
j
bj
x
c
j
y)v
j
(am
bm x
cm
y)vm
]
(4-9)
1 2i. j.m
(ai bi x ci y)vi
10
第四章 平面结构问题的有限单元法
令
Ni
1 2
(ai
bi x ci y)
(4-10)
在式(4-10)中表示的 Ni、N j、Nm 称为形函数，于
是位移函数表达式用形函数表示为：
u Niui v Nivi
N ju j N jvj
N mum N mvm
Niui
i、j、m
Nivi
i、j、m
(4-11)
写成矩阵形式
ui
vi
{
f
}
u
v
Ni
0
0 Ni
6
第四章 平面结构问题的有限单元法
4.4 平面三结点三角形单元
4.1.1 位移函数
如果把弹性体离散成为有限 个单元体，而且单元很小时，就 很容易利用其结点的位移，构造 出单元的位移插值函数，即位移 函数。
图4-5 三角形单元
1
2
位移函数矩阵形式：uvxx
y 1 y 0
x 0
y 0
0 1
0 x
z 0, xz zx 0, yz zy 0,
。
z 0
图4-2(a) 平面应力问题
平面应力问题的应力应变转换矩阵即弹性矩阵为：
D
E 1
2
1
0
1 0
0
0
1
2
3
第四章 平面结构问题的有限单元法
4.2 平面应变问题
图示为一圆形涵洞的横截面。
其长度方向上的尺寸远比其它两个
方向上的尺寸大得多，同样，载荷