数列、不等式高三数学单元测试题

数列、不等式高三数学单元测试题
一、选择题(每小题5分，共60分)
1．已知等比数列{a n }满足：a 1＋a 3＝10，a 4＋a 6＝5
4，则{a n }的通项公式a n 等于( )
A.12n －4
B.12n －3
C.12n －3＋4
D.1
2
n －2＋6 解析：由题知，a 4＋a 6a 1＋a 3＝a 4(1＋q 2
)a 1(1＋q 2
)
＝q 3＝5
410＝18，所以q ＝1
2，又a 1
＋a 3＝a 1(1＋q 2
)＝10，所以a 1＝8，所以a n ＝8·⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1＝12n －
4.故选A. 答案：A
2．设a ∈R ，则“a >1”是“a 2>1”的( ) A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充要条件
D ．既非充分又非必要条件
解析：由a >1可得a 2>1，反之a 2>1可得a >1或a <－1，所以“a >1”是“a 2>1”的充分非必要条件．故选A.
答案：A
3．如果a <b <0，那么下列不等式成立的是( ) A ．－1a <－1
b B ．ab <b 2 C ．－ab <－a 2
D ．|a |<|b |
解析：因为a <b <0，所以－a >－b >0，ab >0，所以－a ab >－b
ab ，即
－1b >－1
a .A 成立；由a <
b <0得ab >b 2，B 不成立；由a <b <0，－a >0得－a 2<－ab ，C 不成立；由a <b <0得|a |>|b |.D 不成立．
答案：A
4．已知等差数列{a n }的公差为2，若a 1，a 2，a 4成等比数列，那么a 1等于( )
A ．2
B ．1
C ．－1
D ．－2
解析：由题意可得a 2＝a 1＋2，a 4＝a 1＋6，因为a 1，a 2，a 4成等比数列，所以(a 1＋2)2＝a 1·(a 1＋6)，所以a 1＝2.故选A.
答案：A
5．若数列{a n }的通项公式是a n ＝(－1)n (3n －2)，则a 1＋a 2＋…＋a 10等于( )
A ．15
B ．12
C ．－12
D ．－15
解析：由题意知a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 10＝－1＋4－7＋10＋…＋(－1)10(3×10－2)＝(－1＋4)＋(－7＋10)＋…＋[(－1)9(3×9－2)＋(－1)10(3×10－2)]＝3×5＝15.故选A.
答案：A
6．设M ＝a ＋1
a －2(2<a <3)，N ＝log 12
⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋116(x ∈R )，那么M ，N
的大小关系是( )
A ．M >N
B ．M ＝N
C ．M <N
D ．不能确定
解析：因为2<a <3，所以M ＝a ＋1a －2＝(a －2)＋1
a －2＋2>2＋2＝
4，N ＝log 12
⎝ ⎛⎭
⎪⎫x 2＋116≤log 12
1
16＝4<M .
答案：A
7．(优质试题·天津校级模拟)已知2a ＋1<0，关于x 的不等式x 2
－4ax －5a 2>0的解集是( )
A ．{x |x >5a ，或x <－a }
B ．{x |－a <x <5a }
C ．{x |x <5a ，或x >－a }
D ．{x |5a <x <－a }
解析：不等式x 2－4ax －5a 2>0可化为(x －5a )(x ＋a )>0；因为方程(x －5a )(x ＋a )＝0的两根为x 1＝5a ，x 2＝－a ，且2a ＋1<0，所以a <－12，所以5a <－a ，所以原不等式的解集为{x |x <5a ，或x >－a }．
答案：C
8．已知数列{a n }，{b n }满足b n ＝log 2a n ，n ∈N *，其中{b n }是等差数列，且a 9·a 2 008＝14，则b 1＋b 2＋b 3＋…＋b 2 016等于( )
A ．－2 016
B ．2 016
C ．log 2 2 016
D ．1 008
解析：因为b n ＋k ＋b n －k ＝2b n ＝log 2a 2
n ＝log 2(a n ＋k a n －k )(其中
n >1,1≤k <n ，n ，k ∈N *)，所以{a n }为等比数列，
所以a 9a 2 008＝a 1a 2 016＝…＝a 1 008·a 1 009，所以b 1＋b 2＋b 3＋…＋b 2 016
＝log 2(a 1·a 2 016)＋log 2(a 2·a 2 015)＋…＋log 2(a 1 008·a 1 009)＝1 008log 2(a 9·a 2
008)＝－2 016.故选
A.
答案：A
9．若实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪
⎧
x ＋2y －4≤0，x ≥0，
y ≥0，则z ＝y ＋2
x －1
的取值范围为
( )
A ．(－∞，－4]∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫23，＋∞
B ．(－∞，－2]∪⎣⎢⎡⎭
⎪⎫23，＋∞ C.⎣⎢⎡
⎦⎥⎤－2，23 D.⎣
⎢⎡
⎦
⎥⎤－4，23
解析：作出不等式组对应的平面区域，如图．
因为z ＝y ＋2
x －1
，所以z 的几何意义是区域内过任意一点(x ，y )与点
P (1，－2)的直线的斜率．由题意知C (4,0)．所以k PO ＝－2，k PC ＝
－2－01－4
＝23，所以z ＝y ＋2x －1
的取值范围为z ≥23或z ≤－2.即(－∞，－2]∪
⎣⎢⎡⎭
⎪⎫
23，＋∞.故选B. 答案：B
10．已知函数f (x )＝x ＋4x ，g (x )＝2x
＋a ，若∀x 1∈⎣⎢⎡⎦
⎥⎤12，1，∃x 2∈[2,3]，使得f (x 1)≥g (x 2)，则实数a 的取值范围是( )
A ．a ≤1
B ．a ≥1
C ．a ≤2
D ．a ≥2
解析：由题意知f (x )min ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1≥g (x )min (x ∈[2,3])，因为f (x )min ＝5，
g (x )min ＝4＋a ，所以5≥4＋a ，即a ≤1.故选A.
答案：A
11．设等差数列{a n }的前n 项和为S n 且满足S 17>0，S 18<0，则S 1
a 1
，
S 2a 2，…，S 15
a 15中最大的项为( )
A.S 7a 7
B.S 8a 8
C.S 9a 9
D.S 10a 10
解析：由S 17＝17(a 1＋a 17)2＝17a 9>0，得a 9>0，又S 18＝18(a 1＋a 18)
2＝9(a 9＋a 10)<0，则a 9＋a 10<0，a 10<0，则(S n )max ＝S 9，且a 9是正数项中的最小项，则S 1a 1，S 2a 2，…，S 15a 15中最大的项为S 9
a 9
.故选C.
答案：C
12．(优质试题·河北衡水中学一调)来自英、法、日、德的甲、乙、。