2018年高考理科数学通用版复习专题检测：(二十二) 第20题解答题“圆锥曲线的综合问题”专练 含解析
专题 圆锥曲线测试解答题(历年全国卷理科原题)精编版
绝密★启用前2017-2018学年度圆锥曲线测试题理科考试范围：xxx ；考试时间：100分钟；命题人：xxx注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）请点击修改第I 卷的文字说明一、单选题1．已知抛物线2:4C y x =的焦点F ，直线l 与C 交于A B 、两点，且2BF FA =，则直线l 的斜率可能为（ ）A. B.C. 1D.42．已知椭圆2222:1x y E a b+=的左右焦点分别为12,F F ，过右焦点2F 作x 轴的垂线，交椭圆于,A B 两点.若等边1ABF ∆的周长为 ）A. 22132x y +=B. 22136x y +=C. 22123x y +=D. 22194x y +=3．设双曲线221x y m n +=的离心率为，且一个焦点与抛物线28x y =的焦点相同，则此双曲线的方程是（ ）A. 2213y x -=B. 221412x y -=C. 2213x y -= D. 221124x y -=4．若中心在原点，焦点在y 轴上的双曲线离心率为，则此双曲线的渐近线方程为（ ）A. y x =±B. 2y x =±C. y =D. 12y x =± 5．设点12,F F 分别是双曲线()222102x y C a a -=>：的左、右焦点，过点1F 且与x 轴垂直的直线l 与双曲线C 交于A ，B 两点．若2ABF ∆的面积为线方程为A. y =B. y x =C. y =D. 2y x =± 6．若点P 到点()4,0F 的距离比它到直线50x +=的距离小于1，则P 点的轨迹方程是（ ）A. 216y x =- B. 232y x =- C. 216y x = D. 232y x =7．一个椭圆中心在原点，焦点12,F F 在x 轴上， (P 是椭圆上一点，且1122PF F F PF 、、成等差数列，则椭圆方程为（ ）A. 22186x y +=B. 221166x y +=C. 22184x y +=D. 221164x y += 8．设12,F F 是椭圆2211612x y +=的两个焦点， P 是椭圆上的一点，且P 到两焦点的距离之差为2，则12PF F ∆是（ ）A. 直角三角形B. 锐角三角形C. 斜三角形D. 钝角三角形 9．双曲线221x y -=的焦点到其渐近线的距离为（ ）A. 1B.C. 2D.210．如果椭圆22142x y +=的弦被点()1,1平分，则这条弦所在的直线方程是（ ） A. 230x y +-= B. 230x y --= C. 230x y +-= D. 230x y ++=第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明二、填空题11．过点()1,1M 的直线与椭圆22143x y +=交于,A B 两点，且点M 平分弦AB ，则直线AB 的方程为__________．12．已知圆()22:34C x y ++=及点()3,0A ， Q 为圆周上一点， AQ 的垂直平分线交直线CQ 于点M ，则动点M 的轨迹方程为__________．13．若椭圆两焦点为()14,0F -， ()24,0F ，点P 在椭圆上，且12PF F ∆的面积的最大值为12，则此椭圆的方程是__________．三、解答题14．已知抛物线的标准方程是26y x =. （1）求它的焦点坐标和准线方程；（2）直线l 过已知抛物线的焦点且倾斜角为45°，且与抛物线的交点为A B 、，求AB 的长度.15．已知椭圆22221(0)x y C a b a b+=>>：的一个焦点为)，离心率为3. 点P 为圆2213M x y +=：上任意一点， O 为坐标原点.（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）设直线l 经过点P 且与椭圆C 相切， l 与圆M 相交于另一点A ，点A 关于原点O 的对称点为B ，证明：直线PB 与椭圆C 相切.16．设F 为抛物线22C y x =：的焦点， ,A B 是抛物线C 上的两个动点. （Ⅰ）若直线AB 经过焦点F ，且斜率为2，求AB ；（Ⅱ）若直线40l x y -+=：，求点A 到直线l 的距离的最小值. 17．（本小题满分14分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>过点()2,0A ，且离心率为2．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设直线y kx =C 交于,M N 两点．若直线3x =上存在点P ，使得四边形PAMN 是平行四边形，求k 的值．18．已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左右焦点分别为12,F F ， 若椭圆上一点P 满足124PF PF +=，且椭圆C 过点31,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭，过点()4,0R 的直线l 与椭圆C 交于两点,E F ．（1）求椭圆C 的方程；（2）若点E '是点E 在x 轴上的垂足，延长EE '交椭圆C 于N ，求证： 2,N F F 三点共线．19．如图， ,A B 是椭圆22:14x C y +=长轴的两个端点， ,P Q 是椭圆C 上都不与,A B 重合的两点，记直线,,BQ AQ AP 的斜率分别是,,BQ AQ AP k k k .（1）求证： 1•4BQ AQ k k =-； （2）若4AP BQ k k =，求证：直线PQ 恒过定点，并求出定点坐标. 20．设 、 分别是双曲线的左、右焦点.若点 在双曲线上，且 ，求 的值.参考答案1．A【解析】设A 、B 两点坐标分别为()()1122,,A x y B x y2BF FA =()()221121,1,x y x y ∴--=- ， ()1212121,2x x y y -=-=-由题意，设直线AB 的方程为()1y k x =-，代入抛物线方程得： 2440ky y k --= ，因为直线与抛物线有两个交点，所以0k ≠， 2=16160k ∆+>， 12124,4y y y y k+==-，把122y y =-代入即可解得k =± A. 2．A【解析】 由题意可得等边1ABF ∆，则AB =，由椭圆的定义可得12233a AF AF =+=+=a =由122223F F c ===，即有1c =，则b == 则椭圆的方程为22132x y +=，故选A ． 3．A【解析】由已知得抛物线的焦点为()0,2,所以0,0n m ><, 2,c c a ==,所以,双曲线的方程是2213y x -=.故选A. 4．B【解析】因为离心率ce a ==，所以222b a =，又焦点在y 轴上，所以渐近线方程为2y x =±，故选B ． 5．D【解析】设()()10,0,,F c A c y --，则220212y c a -=，∴2222202222212y c c a b a a a a -=-===， ∴2024y a=， ∴042AB y a==。
圆锥曲线高考真题专练(含答案),推荐文档
【解析】由已知得圆
的圆心为 （ -1 ，0）, 半径 =1，圆 的圆心为 (1,0), 半径
=3.
设动圆 的圆心为 （ ， ），半径为 R.
（Ⅰ）∵圆 与圆 外切且与圆 内切，∴ |PM|+|PN|=
=
=4，
由椭圆的定义可知，曲线 C是以 M， N为左右焦点，场半轴长为 2，短半轴长为
的椭圆 ( 左
由题设得 A( 1,0) ， B(1,0) ， | AB | 2 ，由椭圆定义可得点 E 的轨迹方程为：
x2 y2 1（ y 0 ）. 43
（ II ）当 l 与 x 轴不垂直时， 设 l 的方程为 y k( x 1)(k 0) ，M ( x1, y1) ，N ( x2 , y2 ) .
y k( x 1)
x02 3 p2
3p p
得： A(
3 p,
3p )
，直线
m:
y
2
2x p
x
3y
3p 0
2
3p 2
2
x2 2 py
x2 y
x y
3 x
3 p
3p p
切点 P(
,)
2p
p3
3
36
直线 n : y p
3 (x
3p )
3
x 3y
p0
63
3
6
坐标原点到 m, n 距离的比值为
3p : 3p 3。 26
已知 O 为坐标原点， F 为椭圆 C ： x2 y2 1在 y 轴正半轴上的焦点， 过 F 且 2
则 x1
2, x2
2 ，直线 MA ， MB 的斜率之和为 kMA kMB
y1
y2 .
x1 2 x2 2
2018-2020年近三年高考数学真题解答题汇编：专题4.5 圆锥曲线(学生版+解析版)
专题4.5 圆锥曲线1．已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>过点M （2，3），点A 为其左顶点，且AM 的斜率为12， （1）求C 的方程；（2）点N 为椭圆上任意一点，求△AMN 的面积的最大值．2．已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的一个顶点为(0,3)A -，右焦点为F ，且||||OA OF =，其中O 为原点． （1）求椭圆的方程；（2）已知点C 满足3OC OF =，点B 在椭圆上（B 异于椭圆的顶点），直线AB 与以C 为圆心的圆相切于点P ，且P 为线段AB 的中点．求直线AB 的方程．3．已知椭圆2222:1x y C a b+=过点(2,1)A --，且2a b =．（1）求椭圆C 的方程：（2）过点(4,0)B -的直线l 交椭圆C 于点,M N ，直线,MA NA 分别交直线4x =-于点,P Q ．求||||PB BQ 的值．4．如图，已知椭圆221:12x C y +=，抛物线22:2(0)C y px p =>，点A 是椭圆1C 与抛物线2C 的交点，过点A 的直线l 交椭圆1C 于点B ，交抛物线2C 于M （B ，M 不同于A ）．（1）若116=p ，求抛物线2C 的焦点坐标； （2）若存在不过原点的直线l 使M 为线段AB 的中点，求p 的最大值．5．已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为2，且过点()2,1A ．（1）求C 的方程：（2）点M ，N 在C 上，且AM AN ⊥，AD MN ⊥，D 为垂足．证明：存在定点Q ，使得DQ 为定值．6．在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆22:143x y E +=的左、右焦点分别为F 1，F 2，点A在椭圆E 上且在第一象限内，AF 2⊥F 1F 2，直线AF 1与椭圆E 相交于另一点B ． （1）求△AF 1F 2的周长；（2）在x 轴上任取一点P ，直线AP 与椭圆E 的右准线相交于点Q ，求OP QP ⋅的最小值； （3）设点M 在椭圆E 上，记△OAB 与△MAB 的面积分别为S 1，S 2，若S 2=3S 1，求点M 的坐标．7．已知椭圆222:1(05)25x y C m m +=<<，A ，B 分别为C 的左、右顶点． （1）求C 的方程；（2）若点P 在C 上，点Q 在直线6x =上，且||||BP BQ =，BP BQ ⊥，求APQ 的面积．8．已知A 、B 分别为椭圆E ：2221x y a+=（a >1）的左、右顶点，G 为E 的上顶点，8AG GB ⋅=，P 为直线x =6上的动点，P A 与E 的另一交点为C ，PB 与E 的另一交点为D ． （1）求E 的方程；（2）证明：直线CD 过定点．9．已知椭圆C 1：22221x y a b+=(a >b >0)的右焦点F 与抛物线C 2的焦点重合，C 1的中心与C 2的顶点重合．过F 且与x 轴垂直的直线交C 1于A ，B 两点，交C 2于C ，D 两点，且|CD |=43|AB |．（1）求C 1的离心率；（2）若C 1的四个顶点到C 2的准线距离之和为12，求C 1与C 2的标准方程．10．已知椭圆C 1：22221x y a b+=(a >b >0)的右焦点F 与抛物线C 2的焦点重合，C 1的中心与C 2的顶点重合．过F 且与x 轴垂直的直线交C 1于A ，B 两点，交C 2于C ，D 两点，且|CD |=43|AB |． （1）求C 1的离心率；（2）设M 是C 1与C 2的公共点，若|MF |=5，求C 1与C 2的标准方程．11．已知椭圆2222:1x y C a b+=的右焦点为(1,0)，且经过点(0,1)A ．（1）求椭圆C 的方程；（2）设O 为原点，直线:(1)l y kx t t =+≠±与椭圆C 交于两个不同点P ，Q ，直线AP 与x 轴交于点M ，直线AQ 与x 轴交于点N ，若|OM |·|ON |=2，求证：直线l 经过定点．12．已知抛物线C ：x 2=−2py 经过点（2，−1）． （1）求抛物线C 的方程及其准线方程；（2）设O 为原点，过抛物线C 的焦点作斜率不为0的直线l 交抛物线C 于两点M ，N ，直线y =−1分别交直线OM ，ON 于点A 和点B ．求证：以AB 为直径的圆经过y 轴上的两个定点．13．已知曲线C ：y =22x ，D 为直线y =12-上的动点，过D 作C 的两条切线，切点分别为A ，B ．（1）证明：直线AB 过定点： （2）若以E (0，52)为圆心的圆与直线AB 相切，且切点为线段AB 的中点，求四边形ADBE 的面积．14．设椭圆22221(0)x ya ba b+=>>的左焦点为F，左顶点为A，上顶点为B．已知|2||OA OB=（O为原点）．（1）求椭圆的离心率；（2）设经过点F且斜率为34的直线l与椭圆在x轴上方的交点为P，圆C同时与x轴和直线l相切，圆心C在直线4x=上，且OC AP∥，求椭圆的方程．15．如图，已知点(10)F，为抛物线22(0)y px p=>的焦点，过点F的直线交抛物线于,A B 两点，点C在抛物线上，使得ABC的重心G在x轴上，直线AC交x轴于点Q，且Q在点F右侧．记,AFG CQG△△的面积为12,S S．（1）求p的值及抛物线的准线方程；（2）求12SS的最小值及此时点G的坐标．16．设椭圆22221(0)x ya ba b+=>>的左焦点为F，上顶点为B．已知椭圆的短轴长为4，．（1）求椭圆的方程；（2）设点P在椭圆上，且异于椭圆的上、下顶点，点M为直线PB与x轴的交点，点N在y轴的负半轴上．若||||ON OF=（O为原点），且OP MN⊥，求直线PB的斜率．17．已知12,F F 是椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的两个焦点，P 为C 上一点，O为坐标原点．（1）若2POF 为等边三角形，求C 的离心率；（2)如果存在点P ，使得12PF PF ⊥，且12F PF △的面积等于16，求b 的值和a 的取值范围．18．已知点A ，B 关于坐标原点O 对称，│AB │ =4，⊙M 过点A ，B 且与直线x +2=0相切． （1）若A 在直线x +y =0上，求⊙M 的半径．（2）是否存在定点P ，使得当A 运动时，│MA │－│MP │为定值？并说明理由．19．已知点A (−2，0)，B (2，0)，动点M (x ，y )满足直线AM 与BM 的斜率之积为−12．记M 的轨迹为曲线C ．（1）求C 的方程，并说明C 是什么曲线；（2）过坐标原点的直线交C 于P ，Q 两点，点P 在第一象限，PE ⊥x 轴，垂足为E ，连结QE 并延长交C 于点G ． ①证明：PQG 是直角三角形； ②求PQG 面积的最大值．20．已知抛物线C ：y 2=3x 的焦点为F ，斜率为32的直线l 与C 的交点为A ，B ，与x 轴的交点为P ．（1）若|AF |+|BF |=4，求l 的方程； （2）若3AP PB =，求|AB |．21．设椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的右顶点为A ，上顶点为B ．AB =（1）求椭圆的方程；（2）设直线:(0)l y kx k =<与椭圆交于P ，Q 两点，l 与直线AB 交于点M ，且点P ，M 均在第四象限．若BPM △的面积是BPQ 面积的2倍，求k 的值．22．已知椭圆2222:1(0)x y M a b a b +=>>，焦距为斜率为k 的直线l与椭圆M 有两个不同的交点A 、B ． （1）求椭圆M 的方程； （2）若1k =，求||AB 的最大值；（3）设()2,0P -，直线PA 与椭圆M 的另一个交点为C ，直线PB 与椭圆M 的另一个交点为D ．若C 、D 和点71,44Q ⎛⎫- ⎪⎝⎭共线，求k ．23．如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 过点1)2，焦点12(F F ，圆O 的直径为12F F ．（1）求椭圆C 及圆O 的方程；（2）设直线l 与圆O 相切于第一象限内的点P ．①若直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点，求点P 的坐标；②直线l 与椭圆C 交于,A B 两点．若OAB 的面积为7，求直线l 的方程．24．已知抛物线C ：2y =2px 经过点P （1，2）．过点Q （0，1）的直线l 与抛物线C 有两个不同的交点A ，B ，且直线P A 交y 轴于M ，直线PB 交y 轴于N ． （1）求直线l 的斜率的取值范围；（2）设O 为原点，QM QO λ=，QN QO μ=，求证：11λμ+为定值．25．已知斜率为k 的直线l 与椭圆22143x y C +=：交于A ，B 两点，线段AB 的中点为()()10M m m >，．（1）证明：12k <-； （2）设F 为C 的右焦点，P 为C 上一点，且0FP FA FB ++=．证明：FA ，FP ，FB 成等差数列，并求该数列的公差．26．已知斜率为k 的直线l 与椭圆22143x y C +=：交于A ，B 两点．线段AB 的中点为(1,)(0)M m m >．（1）证明：12k <-； （2）设F 为C 的右焦点，P 为C 上一点，且0FP FA FB ++=．证明：2FP FA FB =+．27．如图，已知点P 是y 轴左侧(不含y 轴)一点，抛物线C ：y 2=4x 上存在不同的两点A ，B 满足PA ，PB 的中点均在C 上．（1）设AB 中点为M ，证明：PM 垂直于y 轴；（2）若P 是半椭圆x 2+24y=1(x<0)上的动点，求△PAB 面积的取值范围．28．设抛物线22C y x =：，点()20A ，，()20B -，，过点A 的直线l 与C 交于M ，N 两点．（1）当l 与x 轴垂直时，求直线BM 的方程； （2）证明：ABM ABN ∠=∠．29．设抛物线24C y x =：的焦点为F ，过F 且斜率为(0)k k >的直线l 与C 交于A ，B 两点，||8AB =． （1）求l 的方程；（2）求过点A ，B 且与C 的准线相切的圆的方程．30．设椭圆22221x y a b +=(a >b >0)的左焦点为F ，上顶点为B ．A 的坐标为(),0b ，且FB AB ⋅= （1）求椭圆的方程；（2）设直线l ：(0)y kx k =>与椭圆在第一象限的交点为P ，且l 与直线AB 交于点Q ． 若sin 4AQ AOQ PQ=∠(O 为原点) ，求k 的值．31．设椭圆22:12x C y +=的右焦点为F ，过F 的直线l 与C 交于,A B 两点，点M 的坐标为(2,0)．（1）当l 与x 轴垂直时，求直线AM 的方程； （2）设O 为坐标原点，证明：OMA OMB ∠=∠．专题4.5 圆锥曲线1．已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>过点M （2，3），点A 为其左顶点，且AM 的斜率为12， （1）求C 的方程；（2）点N 为椭圆上任意一点，求△AMN 的面积的最大值． 【试题来源】2020年新高考全国卷Ⅱ（海南卷）【答案】（1）2211612x y +=；（2）18． 【解析】（1）由题意可知直线AM 的方程为13(2)2y x -=-，即24-=-x y ． 当y =0时，解得4x =-，所以a =4，椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>过点M (2，3)，可得249116b +=， 解得b 2=12．所以C 的方程：2211612x y +=．（2）设与直线AM 平行的直线方程为2x y m -=，如图所示，当直线与椭圆相切时，与AM 距离比较远的直线与椭圆的切点为N ，此时△AMN 的面积取得最大值．联立直线方程2x y m -=与椭圆方程2211612x y +=，可得()2232448m y y ++=，化简可得2216123480y my m ++-=，所以()221444163480m m ∆=-⨯-=，即m 2=64，解得m =±8，与AM 距离比较远的直线方程：28x y -=，直线AM 方程为24-=-x y ， 点N 到直线AM 的距离即两平行线之间的距离，利用平行线之间的距离公式可得d ==，由两点之间距离公式可得||AM ==．所以△AMN 的面积的最大值：1182⨯=． 【名师点睛】解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：（1）注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；（2）强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．2．已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的一个顶点为(0,3)A -，右焦点为F ，且||||OA OF =，其中O 为原点． （1）求椭圆的方程；（2）已知点C 满足3OC OF =，点B 在椭圆上（B 异于椭圆的顶点），直线AB 与以C 为圆心的圆相切于点P ，且P 为线段AB 的中点．求直线AB 的方程． 【试题来源】2020年天津市高考数学试卷【答案】（1）221189x y +=；（2）132y x =-，或3y x =-． 【分析】（1）根据题意，并借助222a b c =+，即可求出椭圆的方程；（2）利用直线与圆相切，得到CP AB ⊥，设出直线AB 的方程，并与椭圆方程联立，求出B 点坐标，进而求出P 点坐标，再根据CP AB ⊥，求出直线AB 的斜率，从而得解．【解析】（1）椭圆()222210x y a b a b+=>>的一个顶点为()0,3A -，∴3b =，由OA OF =，得3c b ==，又由222a b c =+，得2228313a =+=，所以，椭圆的方程为221189x y +=；（2）直线AB 与以C 为圆心的圆相切于点P ，所以CP AB ⊥，根据题意可知，直线AB 和直线CP 的斜率均存在， 设直线AB 的斜率为k ，则直线AB 的方程为3y kx ，即3y kx =-，2231189y kx x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y ，可得()2221120k x kx +-=，解得0x =或21221k x k =+． 将21221k x k =+代入3y kx =-，得222126321213k y k k k k =⋅--=++， 所以，点B 的坐标为2221263,2121k k k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭， 因为P 为线段AB 的中点，点A 的坐标为()0,3-，所以点P 的坐标为2263,2121kk k -⎛⎫⎪++⎝⎭，由3OC OF =，得点C 的坐标为()1,0， 所以，直线CP 的斜率为222303216261121CPk kk k k k --+=-+-+=，因为CP AB ⊥，所以231261k k k ⋅=--+，整理得22310k k -+=，解得12k =或1k =． 所以，直线AB 的方程为132y x =-或3y x =-． 【名师点睛】本题考查了椭圆标准方程的求解、直线与椭圆的位置关系、直线与圆的位置关系、中点坐标公式以及直线垂直关系的应用，考查学生的运算求解能力，属于中档题．当看到题目中出现直线与圆锥曲线位置关系的问题时，要想到联立直线与圆锥曲线的方程．3．已知椭圆2222:1x y C a b+=过点(2,1)A --，且2a b =．（1）求椭圆C 的方程：（2）过点(4,0)B -的直线l 交椭圆C 于点,M N ，直线,MA NA 分别交直线4x =-于点,P Q ．求||||PB BQ 的值． 【试题来源】2020年北京市高考数学试卷【答案】（1）22182x y +=；（2）1． 【分析】（1）由题意得到关于a ，b 的方程组，求解方程组即可确定椭圆方程；（2）首先联立直线与椭圆的方程，然后由直线MA ，NA 的方程确定点P ，Q 的纵坐标，将线段长度的比值转化为纵坐标比值的问题，进一步结合根与系数关系可证得0P Q y y +=，从而可得两线段长度的比值．【解析】（1）设椭圆方程为()222210x y a b a b+=>>，由题意可得224112a ba b ⎧+=⎪⎨⎪=⎩，解得2282a b ⎧=⎨=⎩，故椭圆方程为22182x y +=． （2）设()11,M x y ，()22,N x y ，直线MN 的方程为()4y k x =+，与椭圆方程22182x y +=联立可得()222448x k x ++=，即()()222241326480k x k x k +++-=，则2212122232648,4141k k x x x x k k --+==++． 直线MA 的方程为()111122y y x x ++=++， 令4x =-可得()()()1111111141214122122222P k x k x y x y x x x x ++-++++=-⨯-=-⨯-=++++， 同理可得()()222142Q k x y x -++=+．很明显0P Q y y <，且：P Q PB yPQ y =，注意到： ()()()()()()()()122112121242424421212222P Q x x x x x x y y k k x x x x +++++⎛⎫+++=-++=-+⨯ ⎪++++⎝⎭，而：()()()()()122112124242238x x x x x x x x +++++=+++⎡⎤⎣⎦2222648322384141k k k k ⎡⎤⎛⎫--=+⨯+⎢⎥ ⎪++⎝⎭⎣⎦()()()22226483328412041k k k k -+⨯-++=⨯=+， 故0,P Q P Q y y y y +==-．从而1PQPB y BQy ==． 【名师点睛】解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：（1）注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；（2）强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．4．如图，已知椭圆221:12x C y +=，抛物线22:2(0)C y px p =>，点A 是椭圆1C 与抛物线2C 的交点，过点A 的直线l 交椭圆1C 于点B ，交抛物线2C 于M （B ，M 不同于A ）．（1）若116=p ，求抛物线2C 的焦点坐标； （2）若存在不过原点的直线l 使M 为线段AB 的中点，求p 的最大值． 【试题来源】2020年浙江省高考数学试卷 【答案】（1）1(,0)32；（2【解析】（1）当116=p 时，2C 的方程为218y x =，故抛物线2C 的焦点坐标为1(,0)32；（2）设()()()112200,,,,,,:A x y B x y M x y I x y m λ=+，由()22222222220x y y my m x y mλλλ⎧+=⇒+++-=⎨=+⎩，1200022222,,222m m my y y x y m λλλλλλ--∴+===+=+++， 由M 在抛物线上，所以()222222244222m pm mp λλλλλ=⇒=+++， 又22222()220y pxy p y m y p y pm x y mλλλ⎧=⇒=+⇒--=⎨=+⎩， 012y y p λ∴+=，2101022x x y m y m p m λλλ∴+=+++=+，2122222m x p m λλ∴=+-+．由2222142,?22x y x px y px⎧+=⎪⇒+=⎨⎪=⎩即2420x px +-=12x p ⇒==-+222221822228162p p p m p p p λλλλλ+⇒-=+⋅=++≥+，18p ≥，21160p ≤，p ≤ 所以，p的最大值为40，此时(55A ． 法2：设直线:(0,0)l x my t m t =+≠≠，()00,A x y ．将直线l 的方程代入椭圆221:12x C y +=得()2222220m y mty t +++-=，所以点M 的纵坐标为22M mty m =-+．将直线l 的方程代入抛物线22:2C y px =得2220y pmy pt --=，所以02M y y pt =-，解得()2022p m y m+=，因此()220222p m xm+=，由220012x y +=解得22212242160m m p m m ⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以当m t ==p取到最大值为40．5．已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>，且过点()2,1A ．（1）求C 的方程：（2）点M ，N 在C 上，且AM AN ⊥，AD MN ⊥，D 为垂足．证明：存在定点Q ，使得DQ 为定值．【试题来源】2020年山东省高考数学试卷（新高考全国Ⅱ卷）【答案】（1）22163x y +=；（2）详见解析． 【分析】（1）由题意得到关于,,a b c 的方程组，求解方程组即可确定椭圆方程；（2）设出点M ，N 的坐标，在斜率存在时设方程为y kx m =+， 联立直线方程与椭圆方程，根据已知条件，已得到,m k 的关系，进而得直线MN 恒过定点，在直线斜率不存在时要单独验证，然后结合直角三角形的性质即可确定满足题意的点Q 的位置．【解析】（1）由题意可得222222411c aa b a b c ⎧=⎪⎪⎪+=⎨⎪=+⎪⎪⎩，解得226,3a b ==，故椭圆方程为22163x y +=．（2）设点()()1122,,,M x y N x y ，若直线MN 斜率存在时，设直线MN 的方程为y kx m =+， 代入椭圆方程消去y 并整理得()22212k4260xkmx m +++-=，可得122414km x x k +=-+，21222614m x x k-=+， 因为AM AN ⊥，所以·0AM AN =，即()()()()121222110x x y y --+--=， 根据1122,kx m y kx m y =+=+，代入整理可得()()()()22121212140x x km k x x k m ++--++-+=，所以()()()22222264121401414m km k km k m k k -⎛⎫++---+-+= ⎪++⎝⎭， 整理化简得()()231210k m k m +++-=，因为2,1A （）不在直线MN 上，所以210k m +-≠，故2310k m ++=，1k ≠，于是MN 的方程为2133y k x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，1k ≠ 所以直线过定点直线过定点21,33P ⎛⎫-⎪⎝⎭， 当直线MN 的斜率不存在时，可得()11,N x y -，由·0AM AN =得()()()()111122110x x y y --+---=， 得()1221210x y -+-=，结合2211163x y +=可得2113840x x -+=，解得123x =，或22x =，当22x =时与A 横坐标重合舍去， 此时直线MN 过点21,33P ⎛⎫-⎪⎝⎭，令Q 为AP 的中点，即41,33Q ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 若D 与P 不重合，则由题设知AP 是Rt ADP 的斜边，故123DQ AP ==，若D 与P 重合，则12DQ AP =， 故存在点41,33Q ⎛⎫⎪⎝⎭，使得DQ 为定值． 【名师点睛】本题的关键点是利用AM AN ⊥得 ·0AM AN =，转化为坐标运算，需要设直线MN 的方程，点()()1122,,,M x y N x y ，因此需要讨论斜率存在与不存在两种情况，当直线MN 斜率存在时，设直线MN 的方程为y kx m =+，与椭圆方程联立消去y 可12x x +，12x x 代入·0AM AN =即可，当直线MN 的斜率不存在时，可得()11,N x y -，利用坐标运算以及三角形的性质即可证明，本题易忽略斜率不存在的情况，属于难题．6．在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆22:143x y E +=的左、右焦点分别为F 1，F 2，点A在椭圆E 上且在第一象限内，AF 2⊥F 1F 2，直线AF 1与椭圆E 相交于另一点B ． （1）求△AF 1F 2的周长；（2）在x 轴上任取一点P ，直线AP 与椭圆E 的右准线相交于点Q ，求OP QP ⋅的最小值； （3）设点M 在椭圆E 上，记△OAB 与△MAB 的面积分别为S 1，S 2，若S 2=3S 1，求点M 的坐标．【试题来源】2020年江苏省高考数学试卷 【答案】（1）6；（2）-4；（3）()2,0M 或212,77⎛⎫-- ⎪⎝⎭．【解析】（1）因为椭圆E 的方程为22143x y +=，所以()11,0F -，()21,0F由椭圆定义可得124AF AF +=．所以12AF F △的周长为426+=； （2）设()0,0P x ，根据题意可得01x ≠．因为点A 在椭圆E 上，且在第一象限，212AF F F ⊥，所以31,2A ⎛⎫⎪⎝⎭因为准线方程为4x =，所以()4,Q Q y ，所以()()()()200000,04,4244Q OP QP x x y x x x ⋅=⋅--=-=--≥-，当且仅当02x =时取等号．所以OP QP ⋅的最小值为4-．（3）设()11,M x y ，点M 到直线AB 的距离为d ． 因为31,2A ⎛⎫⎪⎝⎭，()11,0F -，所以直线1AF 的方程为()314y x =+， 因为点O 到直线AB 的距离为35，213S S =， 所以2113133252S S AB AB d ==⨯⨯⨯=⋅，所以95d =， 所以113439x y -+=①，因为2211143x y +=②，所以联立①②解得1120x y =⎧⎨=⎩，1127127x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩．所以()2,0M 或212,77⎛⎫-- ⎪⎝⎭． 【名师点睛】本题考查了椭圆的定义，直线与椭圆相交问题、点到直线距离公式的运用，熟悉运用公式以及根据213S S =推出95d =是解答本题的关键． 7．已知椭圆222:1(05)25x y C m m +=<<的离心率为4，A ，B 分别为C 的左、右顶点． （1）求C 的方程；（2）若点P 在C 上，点Q 在直线6x =上，且||||BP BQ =，BP BQ ⊥，求APQ 的面积． 【试题来源】2020年全国统一高考数学试卷（新课标Ⅱ）【答案】（1）221612525x y +=；（2）52． 【分析】（1）因为222:1(05)25x y C m m +=<<，可得5a =，b m =，根据离心率公式，结合已知，即可求得答案；（2）点P 在C 上，点Q 在直线6x =上，且||||BP BQ =，BP BQ ⊥，过点P 作x 轴垂线，交点为M ，设6x =与x 轴交点为N ，可得PMB BNQ ≅△△，可求得P 点坐标，求出直线AQ 的直线方程，根据点到直线距离公式和两点距离公式，即可求得APQ 的面积． 【解析】（1）222:1(05)25x y C m m +=<<，∴5a =，b m =，根据离心率4c e a ====，解得54m =或54m =-(舍)， ∴C 的方程为22214255x y ⎛⎫ ⎪⎝⎭+=，即221612525x y +=；（2）不妨设P ，Q 在x 轴上方点P 在C 上，点Q 在直线6x =上，且||||BP BQ =，BP BQ ⊥，过点P 作x 轴垂线，交点为M ，设6x =与x 轴交点为N ，根据题意画出图形，如图：||||BP BQ =，BP BQ ⊥，90PMB QNB ∠=∠=︒，又90PBM QBN ∠+∠=︒，90BQN QBN ∠+∠=︒，∴PBM BQN ∠=∠，根据三角形全等条件“AAS ”，可得PMB BNQ ≅△△，221612525x y +=，∴(5,0)B ，∴651PM BN ==-=，设P 点为(,)P P x y ， 可得P 点纵坐标为1P y =，将其代入221612525x y +=，可得21612525P x +=，解得3P x =或3P x =-，∴P 点为(3,1)或(3,1)-， ①当P 点为(3,1)时，故532MB =-=，PMB BNQ ≅△△，∴||||2MB NQ ==，可得Q 点为(6,2)，画出图象，如图(5,0)A -，(6,2)Q ，可求得直线AQ 的直线方程为211100x y -+=，根据点到直线距离公式可得P 到直线AQ 的距离为5d ===，根据两点间距离公式可得AQ ==，∴APQ 面积为15252⨯=；②当P 点为(3,1)-时，故5+38MB ==，PMB BNQ ≅△△，∴||||8MB NQ ==，可得Q 点为(6,8)，画出图象，如图(5,0)A -，(6,8)Q ，可求得直线AQ 的直线方程为811400x y -+=，根据点到直线距离公式可得P 到直线AQ 的距离为d ===，根据两点间距离公式可得AQ ==∴APQ面积为1522=，综上所述，APQ 面积为52． 【名师点睛】本题主要考查了求椭圆标准方程和求三角形面积问题，解题关键是掌握椭圆的离心率定义和数形结合求三角形面积，考查了分析能力和计算能力，属于中档题．8．已知A 、B 分别为椭圆E ：2221x y a+=（a >1）的左、右顶点，G 为E 的上顶点，8AG GB ⋅=，P 为直线x =6上的动点，P A 与E 的另一交点为C ，PB 与E 的另一交点为D ． （1）求E 的方程；（2）证明：直线CD 过定点．【试题来源】2020年全国统一高考数学试卷（新课标Ⅱ）【答案】（1）2219x y +=；（2）证明详见解析． 【分析】（1）由已知可得(),0A a -， (),0B a ，()0,1G ，即可求得21AG GB a ⋅=-，结合已知即可求得29a =，问题得解．（2）设()06,P y ，可得直线AP 的方程为()039y y x =+，联立直线AP 的方程与椭圆方程即可求得点C 的坐标为20022003276,99y y y y ⎛⎫-+ ⎪++⎝⎭，同理可得点D 的坐标为2002200332,11y y y y ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭，当203y ≠时，可表示出直线CD 的方程，整理直线CD 的方程可得()02043233y y x y ⎛⎫=- ⎪-⎝⎭即可知直线过定点3,02⎛⎫ ⎪⎝⎭，当203y =时，直线CD ：32x =，直线过点3,02⎛⎫⎪⎝⎭，命题得证． 【解析】（1）依据题意作出如下图象：由椭圆方程222:1(1)x E y a a+=>可得(),0A a -， (),0B a ，()0,1G ，∴(),1AG a =，(),1GB a =-，∴218AG GB a ⋅=-=，∴29a =，∴椭圆方程为2219x y +=； （2）设()06,P y ，则直线AP 的方程为()()00363y y x -=+--，即()039y y x =+联立直线AP 的方程与椭圆方程可得()2201939x y y y x ⎧+=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，整理得()2222000969810y x y x y +++-=，解得3x =-或20203279y x y -+=+将20203279y x y -+=+代入直线()039y y x =+可得02069y y y =+ 所以点C 的坐标为20022003276,99y y y y ⎛⎫-+ ⎪++⎝⎭．同理可得点D 的坐标为2002200332,11y y y y ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭， 当203y ≠时，∴直线CD 的方程为0022********2000022006291233327331191y y y y y y y x y y y y y y ⎛⎫-- ⎪++⎛⎫⎛⎫--⎝⎭-=-⎪ ⎪-+-++⎝⎭⎝⎭-++， 整理可得()()()2220000002224200000832338331116963y y y y y y y x x y y y y y +⎛⎫⎛⎫--+=-=- ⎪ ⎪+++--⎝⎭⎝⎭， 整理得()()0002220004243323333y y y y x x y y y ⎛⎫=+=- ⎪---⎝⎭，所以直线CD 过定点3,02⎛⎫ ⎪⎝⎭．当203y =时，直线CD ：32x =，直线过点3,02⎛⎫ ⎪⎝⎭． 故直线CD 过定点3,02⎛⎫⎪⎝⎭． 9．已知椭圆C 1：22221x y a b+=(a >b >0)的右焦点F 与抛物线C 2的焦点重合，C 1的中心与C 2的顶点重合．过F 且与x 轴垂直的直线交C 1于A ，B 两点，交C 2于C ，D 两点，且|CD |=43|AB |．（1）求C 1的离心率；（2）若C 1的四个顶点到C 2的准线距离之和为12，求C 1与C 2的标准方程． 【试题来源】2020年全国统一高考数学试卷（新课标Ⅱ）【答案】（1）12；（2）1C ：2211612x y +=，2C ： 28y x =．【分析】（1）根据题意求出2C 的方程，结合椭圆和抛物线的对称性不妨设,A C 在第一象限，运用代入法求出,,,A B C D 点的纵坐标，根据4||||3CD AB =，结合椭圆离心率的公式进行求解即可；（2）由（1）可以得到椭圆的标准方程，确定椭圆的四个顶点坐标，再确定抛物线的准线方程，最后结合已知进行求解即可；【解析】（1）因为椭圆1C 的右焦点坐标为(c,0)F ，所以抛物线2C 的方程为24y cx =，其中c =不妨设,A C 在第一象限，因为椭圆1C 的方程为22221x y a b+=，所以当x c =时，有222221c y b y a b a +=⇒=±，因此,A B 的纵坐标分别为2b a ，2ba -；因为抛物线2C 的方程为24y cx =，所以当x c =时，有242y c c y c =⋅⇒=±，所以,C D 的纵坐标分别为2c ，2c -，故22||b AB a=，||4CD c =．由4||||3CD AB =得2843b c a=，即2322()c c a a ⋅=-，解得2c a =-（舍去），12c a =．所以1C 的离心率为12．（2）由（1）知2a c =，b =，故22122:143x y C c c +=，所以1C 的四个顶点坐标分别为(2,0)c ，(2,0)c -，)，(0,)，2C 的准线为x c =-．由已知得312c c c c +++=，即2c =．所以1C 的标准方程为2211612x y +=，2C 的标准方程为28y x =．10．已知椭圆C 1：22221x y a b+=(a >b >0)的右焦点F 与抛物线C 2的焦点重合，C 1的中心与C 2的顶点重合．过F 且与x 轴垂直的直线交C 1于A ，B 两点，交C 2于C ，D 两点，且|CD |=43|AB |． （1）求C 1的离心率；（2）设M 是C 1与C 2的公共点，若|MF |=5，求C 1与C 2的标准方程．【试题来源】2020年全国统一高考数学试卷（新课标Ⅱ）【答案】（1）12；（2）221:13627x y C +=，22:12C y x =．【分析】（1）求出AB 、CD ，利用43CD AB =可得出关于a 、c 的齐次等式，可解得椭圆1C 的离心率的值；（2）由（1）可得出1C 的方程为2222143x y c c+=，联立曲线1C 与2C 的方程，求出点M 的坐标，利用抛物线的定义结合5MF =可求得c 的值，进而可得出1C 与2C 的标准方程．【解析】（1）(),0F c ，AB x ⊥轴且与椭圆1C 相交于A 、B 两点，则直线AB 的方程为x c =，联立22222221x cx y a b a b c=⎧⎪⎪+=⎨⎪=+⎪⎩，解得2x c b y a =⎧⎪⎨=±⎪⎩，则22bAB a =，抛物线2C 的方程为24y cx =，联立24x c y cx =⎧⎨=⎩，解得2x cy c =⎧⎨=±⎩，4CD c ∴=，43CD AB =，即2843b c a=，223b ac =，即222320c ac a +-=，即22320e e +-=，01e <<，解得12e =，因此，椭圆1C 的离心率为12；（2）由（1）知2ac =，b =，椭圆1C 的方程为2222143x y c c+=，联立222224143y cx x y c c ⎧=⎪⎨+=⎪⎩，消去y 并整理得22316120x cx c +-=， 解得23x c =或6x c =-（舍去），由抛物线的定义可得25533c MF c c =+==，解得3c =． 因此，曲线1C 的标准方程为2213627x y +=，曲线2C 的标准方程为212y x =．11．已知椭圆2222:1x y C a b+=的右焦点为(1,0)，且经过点(0,1)A ．（1）求椭圆C 的方程；（2）设O 为原点，直线:(1)l y kx t t =+≠±与椭圆C 交于两个不同点P ，Q ，直线AP 与x 轴交于点M ，直线AQ 与x 轴交于点N ，若|OM |·|ON |=2，求证：直线l 经过定点． 【试题来源】2019年北京市高考数学试卷【答案】（1）2212x y +=；（2）见解析．【分析】（1）由题意确定a ，b 的值即可确定椭圆方程；（2）设出直线方程，联立直线方程与椭圆方程确定OM ，ON 的表达式，结合根与系数关系确定t 的值即可证明直线恒过定点． 【解析】（1）因为椭圆的右焦点为(1,0)，所以1225； 因为椭圆经过点(0,1)A ，所以1b =，所以2222a b c =+=，故椭圆的方程为2212x y +=．（2）设1122(,),(,)P x y Q x y ，联立2212(1)x y y kx t t ⎧+=⎪⎨⎪=+≠⎩得222(12)4220k x ktx t +++-=，21212224220,,1212kt t x x x x k k -∆>+=-=++，121222()212ty y k x x t k +=++=+，222212121222()12t k y y k x x kt x x t k-=+++=+． 直线111:1y AP y x x --=，令0y =得111x x y -=-，即111x OM y -=-； 同理可得221x ON y -=-．因为2OM ON =，所以1212121212211()1x x x x y y y y y y --==---++；221121t t t -=-+，解之得0t =，所以直线方程为y kx =，所以直线l 恒过定点(0,0)． 【名师点睛】解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：（1）注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；（2）强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．12．已知抛物线C ：x 2=−2py 经过点（2，−1）． （1）求抛物线C 的方程及其准线方程；（2）设O 为原点，过抛物线C 的焦点作斜率不为0的直线l 交抛物线C 于两点M ，N ，直线y =−1分别交直线OM ，ON 于点A 和点B ．求证：以AB 为直径的圆经过y 轴上的两个定点．【试题来源】2019年北京市高考数学试卷 【答案】（1） 24x y =-，1y =；（2）见解析．【分析】（1）由题意结合点的坐标可得抛物线方程，进一步可得准线方程；（2）联立准线方程和抛物线方程，结合根与系数关系可得圆心坐标和圆的半径，从而确定圆的方程，最后令x =0即可证得题中的结论．【解析】（1）将点()2,1-代入抛物线方程：()2221p =⨯-可得2p =，故抛物线方程为24x y =-，其准线方程为1y =． （2）很明显直线l 的斜率存在，焦点坐标为()0,1-，设直线方程为1y kx =-，与抛物线方程24x y =-联立可得2440x kx +-=．故：12124,4x x k x x +=-=-．设221212,,,44x x M x N x ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则12,44OM ON x x k k =-=-， 直线OM 的方程为14x y x =-，与1y =-联立可得14,1A x ⎛⎫- ⎪⎝⎭，同理可得24,1B x ⎛⎫- ⎪⎝⎭， 易知以AB 为直径的圆的圆心坐标为1222,1x x ⎛⎫+-⎪⎝⎭，圆的半径为1222x x -，且：()1212122222x x k x x x x ++==，12222x x -==则圆的方程为()()()2222141x k y k -++=+，令0x =整理可得2230y y +-=，解得123,1y y =-=，即以AB 为直径的圆经过y 轴上的两个定点()()0,3,0,1-．【名师点睛】本题主要考查抛物线方程的求解与准线方程的确定，直线与抛物线的位置关系，圆的方程的求解及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力．13．已知曲线C ：y =22x ，D 为直线y =12-上的动点，过D 作C 的两条切线，切点分别为A ，B ．（1）证明：直线AB 过定点： （2）若以E (0，52)为圆心的圆与直线AB 相切，且切点为线段AB 的中点，求四边形ADBE 的面积．【试题来源】2019年全国统一高考数学试卷（新课标Ⅱ） 【答案】（1）见详解；（2） 3或【分析】（1）可设11(,)A x y ，22(,)B x y ，1(,)2D t -然后求出A ，B 两点处的切线方程，比如AD ：1111()2y x x t +=-，因为BD 也有类似的形式，从而求出带参数直线AB 方程，最后求出它所过的定点．（2）由（1）得带参数的直线AB 方程和抛物线方程联立，再通过M 为线段AB 的中点，EM AB ⊥得出t 的值，从而求出M 坐标和EM 的值，12,d d 分别为点,D E 到直线AB 的距离，则12d d ==，结合弦长公式和根与系数关系代入求解即可．【解析】（1）设1(,)2D t -，11(,)A x y ，则21112y x =． 因为212y x =，所以y'x =．则切线DA 的斜率为1x ，故1111()2y x x t +=-，整理得112210tx y -+=．设22(,)B x y ，同理得222210tx y -+=． 11(,)A x y ，22(,)B x y 都满足直线方程2210tx y -+=．于是直线2210tx y -+=过点,A B ，而两个不同的点确定一条直线，所以直线AB 方程为2210tx y -+=．即2(21)0tx y +-+=，当20,210x y =-+=时等式恒成立．所以直线AB 恒过定点1(0,)2．（2）由（1）得直线AB 的方程为12y tx =+．由2122y tx xy ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，可得2210x tx --=， 于是2121212122,1,()121x x t x x y y t x x t +==-+=++=+212|||2(1)AB x x t =-==+．设12,d d 分别为点,D E 到直线AB的距离，则12d d ==．因此，四边形ADBE 的面积()(2121||32S AB d d t =+=+ 设M 为线段AB 的中点，则21,2M t t ⎛⎫+⎪⎝⎭， 由于EM AB ⊥，而()2,2EM t t =-，AB 与向量(1,)t 平行， 所以()220t t t +-=，解得0t =或1t =±． 当0t =时，3S =；当1t =±时S =因此，四边形ADBE 的面积为3或．【名师点睛】此题第一问是圆锥曲线中的定点问题和第二问是求面积类型，属于常规题型，按部就班的求解就可以．思路较为清晰，但计算量不小．14． 设椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点为F ，左顶点为A ，上顶点为B．已知|2||OA OB =（O 为原点）． （1）求椭圆的离心率；（2）设经过点F 且斜率为34的直线l 与椭圆在x 轴上方的交点为P ，圆C 同时与x 轴和直线l 相切，圆心C 在直线4x =上，且OC AP ∥，求椭圆的方程． 【试题来源】2019年天津市高考数学试卷【答案】（1）12；（2）2211612x y +=．【分析】（1）2b =，结合椭圆中,,a b c 的关系，得到222()2a c =+，化简得出12c a =，从而求得其离心率；（2）结合（1）的结论，设出椭圆的方程2222143x y c c+=，写出直线的方程，两个方程联立，求得交点的坐标，利用直线与圆相切的条件，列出等量关系式，求得2c =，从而得到椭圆的方程．【解析】（1）设椭圆的半焦距为c2b =， 又由222a b c =+，消去b得222)a c =+，解得12c a =，所以，椭圆的离心率为12． （2）由（1）知，2,a c b ==，故椭圆方程为2222143x y c c+=，由题意，(,0)F c -，则直线l 的方程为3()4y x c =+， 点P 的坐标满足22221433()4x y c c y x c ⎧+=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，消去y 并化简，得到2276130x cx c +-=，解得1213,7c x c x ==-，代入到l 的方程，解得1239,214y c y c ==-， 因为点P 在x 轴的上方，所以3(,)2P c c ，由圆心在直线4x =上，可设(4,)C t ，因为OC AP ∥，且由（1）知(2,0)A c -，故3242ct c c=+，解得2t =，因为圆C 与x 轴相切，所以圆的半径为2，又由圆C 与l2=，解得2c =， 所以椭圆的方程为2211612x y +=．15．如图，已知点(10)F ，为抛物线22(0)y px p =>的焦点，过点F 的直线交抛物线于,A B两点，点C 在抛物线上，使得ABC 的重心G 在x 轴上，直线AC 交x 轴于点Q ，且Q 在点F 右侧．记,AFG CQG △△的面积为12,S S ．（1）求p 的值及抛物线的准线方程；（2）求12S S 的最小值及此时点G 的坐标．【试题来源】2019年浙江省高考数学试卷 【答案】（1）2，1x =-；（2）12+，()2,0G ． 【分析】（1）由焦点坐标确定p 的值和准线方程即可；（2）设出直线方程，联立直线方程和抛物线方程，结合根与系数关系求得面积的表达式，最后结合均值不等式的结论即可求得12S S 的最小值和点G 的坐标． 【解析】（1）由题意可得12p=，则2,24p p ==， 抛物线方程为24y x =，准线方程为1x =-． （2）设()()1122,,,A x y B x y ，设直线AB 的方程为()1,0y k x k =->，与抛物线方程24y x =联立可得()2222240k x k x k -++=，故：2222242,1kx x x x +=+=， ()12121242,4y y k x x y y k+=+-==-⨯=-，设点C 的坐标为()33,C x y ，由重心坐标公式可得1233G x x x x ++=321423x k ⎛⎫++ ⎝=⎪⎭，1233G y y y y ++=3143y k =⎛⎫+ ⎪⎝⎭， 令0G y =可得34y k =-，则233244y x k==．即222144123382G k x k k ⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝=⎭=，由斜率公式可得131322311313444AC y y y y k y y x x y y --===-+-，直线AC 的方程为()33134y y x x y y -=-+，令0y =可得()()231331331334444Q y y y y y y y y yx x -+-+=+=+=-，故()11112218121323118223G F y S x x y y k k ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+-⨯=⨯- ⎪=⨯-⨯ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝=⨯⎭⎣⎦， 且()()32213311822423Q G y y y S x x y k ⎛⎫+ ⎪⎝⎭⎡⎤=⨯-⨯-=---⎢⎥⎣⎦， 由于34y k=-，代入上式可得12222833y S k k k ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，由12124,4y y y y k +==-可得1144y y k -=，则12144y k y =-，则()()()2211122121112281233222284433y y S y S y y k k k y k -==⎛⎫-+--⎛⎫⨯- ⎭⎪⎝⎭⎪⎝()212142488168y y =--++-()212132124828168yy ≥-=+-⨯+-．当且仅当21214888y y -=-，即21843y =+162y = 此时121424y k y ==-，281223G x k ⎛⎫+= ⎪⎝⎭=，则点G 的坐标为()2,0G ． 【名师点睛】直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系，本题主要考查了抛物线准线方程的求解，直线与抛物线的位置关系，三角形重心公式的应用，基本不等式求最值的方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力．16．设椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点为F ，上顶点为B ．已知椭圆的短轴长为4，5． （1）求椭圆的方程；（2）设点P 在椭圆上，且异于椭圆的上、下顶点，点M 为直线PB 与x 轴的交点，点N 在y 轴的负半轴上．若||||ON OF =（O 为原点），且OP MN ⊥，求直线PB 的斜率．【试题来源】2019年天津市高考数学试卷【答案】（1）22154x y +=（2230230． 【分析】（1）由题意得到关于a ，b ，c 的方程，解方程可得椭圆方程；（2）联立直线方程与椭圆方程确定点P 的坐标，从而可得OP 的斜率，然后利用斜率公式可得MN 的斜率表达式，最后利用直线垂直的充分必要条件得到关于斜率的方程，解方程可得直线的斜率． 【解析】（1） 设椭圆的半焦距为c ，依题意，524,5c b a ==，又222a b c =+，可得5a =b =2，c =1．所以，椭圆方程为22154x y +=．（2）由题意，设()()(),0,,0P P P M P x y x M x ≠．设直线PB 的斜率为()0k k ≠，。
2018年高考数学试题分类汇编之圆锥曲线解析版
2018年高考数学试题分类汇编之圆锥曲线（解析版）一、选择题1.（浙江卷）（2）双曲线221 3=x y -的焦点坐标是A ．(0)，0)B ．(−2，0)，(2，0)C ．(0，，(0D ．(0，−2)，(0，2)解：∵双曲线方程可得双曲线的焦点在x 轴上，且a 2=3，b 2=1， 由此可得222=+=b a c ∴该双曲线的焦点坐标为（±2，0）故选：B2.（天津文）（7）已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>> 的离心率为2，过右焦点且垂直于x 轴的直线与双曲线交于,A B 两点.设,A B 到双曲线的同一条渐近线的距离分别为1d 和2d ，且126,d d += 则双曲线的方程为（A ）22139x y -= （B ）22193x y -= （C ）221412x y -=（D ）221124x y -= 解：由题意可得，CD 是双曲线的一条渐近线x aby =，即0=-ay bx ，)0,(c F故选：A3.（天津理）(7)已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的离心率为2，过右焦点且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A ，B 两点. 设A ，B 到双曲线同一条渐近线的距离分别为1d 和2d ，且126d d +=，则双曲线的方程为A221412x y -= B221124x y -= C 22139x y -= D 22193x y -=解：由题意可得，CD 是双曲线的一条渐近线x aby =，即0=-ay bx ，)0,(c F故选：C4.（全国卷一文）（4）已知椭圆C ：22214x y a +=的一个焦点为(20)，，则C 的离心率为A ．13B ．12C D 解：椭圆的一个焦点为（2，0），可得a 2-4=4，解得22=a ，故选：C5.（全国卷一理）（8）设抛物线C ：y 2=4x 的焦点为F ，过点（–2，0）且斜率为23的直线与C 交于M ，N 两点，则FM FN ⋅= A ．5B ．6C ．7D ．8解：抛物线C ：y 2=4x 的焦点为F （1，0），过点（-2，0联立直线与抛物线C ：y 2=4x ，消去x 可得：y 2-6y+8=0， 解得y 1=2，y 2=4，不妨M （1，2），N （4，4），FM ＝(0，2)， FN ＝(3，4)．则 FM ∙FN =（0，2）•（3，4）=8． 故选：D6.（全国卷一理）（11）已知双曲线C ：2213x y -=，O 为坐标原点，F 为C 的右焦点，过F 的直线与C 的两条渐近线的交点分别为M 、N .若△OMN 为直角三角形，则|MN |= A ．32B ．3 C． D ．4故选：B7.（全国卷二文）（6）双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>A．y =B．y =C．y = D ．y = 解：∵双曲线的离心率为==ace则2222±=-=aa c ab 故选：A.8.（全国卷二文）（11）已知1F ，2F 是椭圆C 的两个焦点，P 是C上的一点，若12PF PF ⊥，且2160PFF ∠=︒，则C 的离心率为 A．1 B．2C D 1-解：F 1，F 2是椭圆C 的两个焦点，P 是C 上的一点，若PF 1⊥PF 2，且∠PF 2F 1=60°， 可得椭圆的焦点坐标F 2（c ，0），所以P（c 23,21故选：D9.（全国卷二理）（5）双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>A ．y =B ．y =C ．y x =D ．y =解：∵双曲线的离心率为==ace则2222±=-=aa c ab 故选：A ．10.（全国卷二理）（12）已知1F ，2F 是椭圆22221(0)x y C a b a b+=>>：的左，右焦点，A 是C 的左顶点，点P在过A 12PF F △为等腰三角形，12120F F P ∠=︒，则C 的离心率为 A ．23B ．12C ．13D ．14解：由题意可知：A （-a ，0），F 1（-c ，0），F 2（c ，0），直线AP 的方程为：）（a x y +=63，故选：D11.（全国卷三文）（10）已知双曲线22221(00)x y C a b a b-=>>：，(4,0)到C 的渐近线的距离为AB ．2CD ．故选：D12.（全国卷三理）（11）设12F F ，是双曲线22221x y C a b-=：（00a b >>，）的左、右焦点，O 是坐标原点．过2F 作C 的一条渐近线的垂线，垂足为P ．若1PF ，则C 的离心率为A B ．2 C D在三角形F 1PF 2中，由余弦定理可得|PF 1|2=|PF 2|2+|F 1F 2|2-2|PF 2|•|F 1F 2|COS ∠PF 2O ，故选：C二、填空题1.（北京文）（10）已知直线l 过点（1,0）且垂直于 轴，若l 被抛物线24y ax =截得的线段长为4，则抛物线的焦点坐标为_________.解：∵直线l 过点（1，0）且垂直于x 轴，∴x=1，代入到y 2=4ax ，可得y 2=4a ，显然a ＞0，∴y=±∴抛物线的焦点坐标为（1，0）， 故答案为：（1，0）2.（北京文）（12）若双曲线2221(0)4x y a a -=>的离心率为2，则a =_________.解：双曲线的离心率为245422=+a a ，解得a=4． 故答案为：43.（北京理）（14）已知椭圆22221(0)x y M a b a b +=>>：，双曲线22221x y N m n -=：．若双曲线N 的两条渐近线与椭圆M 的四个交点及椭圆M 的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆M 的离心率为__________；双曲线N 的离心率为__________．解：若双曲线N的两条渐近线与椭圆M的四个交点及椭圆M的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，4.（江苏卷）（8）在平面直角坐标系xOy中，若双曲线22221(0,0)x ya ba b-=>>的右焦点(,0)F c到一条渐近，则其离心率的值是．，故答案为：25.（浙江卷）（17）已知点P(0，1)，椭圆24x+y2=m(m>1)上两点A，B满足AP=2PB，则当m=_______时，点B横坐标的绝对值最大．解：设A（x1，y1），B（x2，y2），由P（0，1），AP=2PB，可得-x 1=2x2，1-y1=2（y2-1），即有x1=-2x2，y1+2y2=3，又x12+4y12=4m，即为x22+y12=m，①x22+4y22=4m，②①-②得（y1-2y2）（y1+2y2）=-3m，可得y1-2y2=-m，即有m=5时，x22有最大值4，即点B横坐标的绝对值最大．故答案为：5．6．（全国卷三理）（16）已知点()11M -，和抛物线24C y x =：，过C 的焦点且斜率为k 的直线与C 交于A ，B 两点．若90AMB =︒∠，则k =________．解：∵抛物线C ：y 2=4x 的焦点F （1，0），∴过A ，B 两点的直线方程为y=k （x-1），联立⎩⎨⎧-==)1(42x k y xy 可得，k 2x 2-2（2+k 2）x+k 2=0，设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），y 1y 2=k 2（x 1-1）（x 2-1）=k 2[x 1x 2-（x 1+x 2）+1]=-4，∵M （-1，1），∴ MA =（x 1+1，y 1-1）， MB =（x 2+1，y 2-1）， ∵∠AMB=90°=0，∴MA *MB =0∴（x 1+1）（x 2+1）+（y 1-1）（y 2-1）=0，整理可得，x 1x 2+（x 1+x 2）+y 1y 2-（y 1+y 2）+2=0，∴即k 2-4k+4=0， ∴k=2． 故答案为：2三、解答题1.（北京文）（20）（本小题14分）已知椭圆2222:1(0)x y M a b a b +=>>焦距为斜率为k 的直线l 与椭圆M 有两个不同的交点A ，B .（Ⅰ）求椭圆M 的方程；（Ⅱ）若1k =，求||AB 的最大值；（Ⅲ）设(2,0)P -，直线P A 与椭圆M 的另一个交点为C ，直线PB 与椭圆M 的另一个交点为D .若C ,D和点71(,)42Q -共线，求k .解析（Ⅰ）由题意得2c =，所以c =3c e a ==，所以a =2221b a c =-=， 所以椭圆M 的标准方程为2213x y +=．（Ⅱ）设直线AB 的方程为y x m =+，由2213y x m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 可得2246330x mx m ++-=， 则2223644(33)48120m m m ∆=-⨯-=->，即24m <，设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则1232m x x +=-，212334m x x -=，则12|||AB x x =-=，易得当20m =时，max ||AB =||AB（Ⅲ）设11(,)A x y ，22(,)B x y ，33(,)C x y ，44(,)D x y ， 则221133x y += ①，222233x y += ②， 又(2,0)P -，所以可设1112PA y k k x ==+，直线PA 的方程为1(2)y k x =+， 由122(2)13y k x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 可得2222111(13)121230k x k x k +++-=， 则2113211213k x x k +=-+，即2131211213k x x k =--+， 又1112y k x =+，代入①式可得13171247x x x --=+，所以13147y y x =+， 所以1111712(,)4747x y C x x --++，同理可得2222712(,)4747x y D x x --++．故3371(,)44QC x y =+-，4471(,)44QD x y =+-， 因为,,Q C D 三点共线，所以34437171()()()()04444x y x y +--+-=，将点,C D 的坐标代入化简可得12121y y x x -=-，即1k =．2.（北京理）（19）（本小题14分）已知抛物线C ：2y =2px 经过点P （1，2）．过点Q （0，1）的直线l 与抛物线C 有两个不同的交点A ，B ，且直线P A 交y 轴于M ，直线PB 交y 轴于N ． （Ⅰ）求直线l 的斜率的取值范围；（Ⅱ）设O 为原点，μλ==,，求证：μλ11+为定值．解析：（Ⅰ）因为抛物线y 2=2px 经过点P （1，2）， 所以4=2p ，解得p =2，所以抛物线的方程为y 2=4x ． 由题意可知直线l 的斜率存在且不为0， 设直线l 的方程为y =kx +1（k ≠0）． 由241y x y kx ⎧=⎨=+⎩得22(24)10k x k x +-+=． 依题意22(24)410k k ∆=--⨯⨯>，解得k<0或0<k<1． 又P A ，PB 与y 轴相交，故直线l 不过点（1，-2）．从而k ≠-3． 所以直线l 斜率的取值范围是（-∞，-3）∪（-3，0）∪（0，1）． （Ⅱ）设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）． 由（I ）知12224k x x k -+=-，1221x x k =． 直线P A 的方程为y –2=1122(1)1y y x x --=--． 令x =0，得点M 的纵坐标为1111212211M y kx y x x -+-+=+=+--． 同理得点N 的纵坐标为22121N kx y x -+=+-． 由μλ==,得=1M y λ-，1N y μ=-．所以2212121212122224112()111111=211(1)(1)11M N k x x x x x x k k y y k x k x k x x k k λμ-+---++=+=+=⋅=⋅------． 所以11λμ+为定值．3.（江苏卷）（18）（本小题满分16分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C过点1)2，焦点12(F F ，圆O 的直径为12F F ．（1）求椭圆C 及圆O 的方程；（2）设直线l 与圆O 相切于第一象限内的点P ．①若直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点，求点P 的坐标； ②直线l 与椭圆C 交于,A B 两点．若OAB △，求直线l 的方程．解析：（1）因为椭圆C的焦点为12(),F F -，可设椭圆C 的方程为22221(0)x y a b a b +=>>．又点1)2在椭圆C 上，所以2222311,43,a b a b ⎧+=⎪⎨⎪-=⎩，解得224,1,a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩因此，椭圆C 的方程为2214x y +=．因为圆O 的直径为12F F ，所以其方程为223x y +=．（2）①设直线l 与圆O 相切于0000(),,(00)P x y x y >>，则22003x y +=， 所以直线l 的方程为0000()x y x x y y =--+，即0003x y x y y =-+． 由220001,43,x y x y x y y ⎧+=⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩，消去y ，得222200004243640()x y x x x y +-+-=．（*）因为直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点，所以222222000000()()(24)(44364820)4x x y y y x ∆=--+-=-=． 因为00,0x y >，所以001x y =． 因此，点P的坐标为． ②因为三角形OAB，所以1 2AB OP ⋅=，从而AB =．设1122,,()(),A x y B x y ，由（*）得001,2x =，所以2222121()()x B y y x A =-+-222000222200048(2)(1)(4)x y x y x y -=+⋅+． 因为22003x y +=， 所以22022016(2)32(1)49x AB x -==+，即42002451000x x -+=， 解得22005(202x x ==舍去），则2012y =，因此P的坐标为． 综上，直线l的方程为y =+4.（天津文）（19）（本小题满分14分） 设椭圆22221(0)x y a b a b +=>> 的右顶点为A ，上顶点为B .||AB =（I ）求椭圆的方程；（II ）设直线:(0)l y kx k =<与椭圆交于,P Q 两点，l 与直线AB 交于点M ，且点P ，M 均在第四象限.若BPM △的面积是BPQ △面积的2倍，求k 的值.解析：（I ）设椭圆的焦距为2c ，由已知得2259c a =，又由222a b c =+，可得23.a b =由||AB ==从而3,2a b ==. 所以，椭圆的方程为22194x y +=. （II ）解：设点P 的坐标为11(,)x y ，点M 的坐标为22(,)x y ，由题意，210x x >>，点Q 的坐标为11(,).x y -- 由BPM △的面积是BPQ △面积的2倍，可得||=2||PM PQ ，从而21112[()]x x x x -=--，即215x x =.易知直线AB 的方程为236x y +=，由方程组236,,x y y kx +=⎧⎨=⎩ 消去y ，可得2632x k =+.由方程组221,94,x y y kx ⎧+⎪=⎨⎪=⎩消去y，可得1x =由215x x =5(32)k =+，两边平方，整理得2182580k k ++=，解得89k =-，或12k =-. 当89k =-时，290x =-<，不合题意，舍去；当12k =-时，212x =，1125x =，符合题意. 所以，k 的值为12-. 5.（天津理）(19)(本小题满分14分) 设椭圆22221x x a b +=(a >b >0)的左焦点为F ，上顶点为B .，点A 的坐标为(,0)b ，且FB AB ⋅=.（I ）求椭圆的方程；（II ）设直线l ：(0)y kx k =>与椭圆在第一象限的交点为P ，且l 与直线AB 交于点Q .若AQAOQ PQ =∠(O 为原点) ，求k 的值. 解析（Ⅰ）：设椭圆的焦距为2c ，由已知知2259c a =，又由a 2=b 2+c 2，可得2a =3b ．由已知可得，FB a =，AB，由FB AB ⋅=ab =6，从而a =3，b =2． 所以，椭圆的方程为22194x y +=． （Ⅱ）解：设点P 的坐标为（x 1，y 1），点Q 的坐标为（x 2，y 2）．由已知有y 1>y 2>0，故12sin PQ AOQ y y ∠=-．又因为2sin y AQ OAB =∠，而∠OAB =π4，故2AQ．由AQ AOQ PQ =∠，可得5y 1=9y 2． 由方程组22194y kx x y =⎧⎪⎨+=⎪⎩，，消去x，可得1y =．易知直线AB 的方程为x +y –2=0，由方程组20y kx x y =⎧⎨+-=⎩，，消去x ，可得221k y k =+．由5y 1=9y 2，可得5（k +1）=，两边平方，整理得25650110k k -+=，解得12k =，或1128k =．所以，k 的值为111228或． 6.（浙江卷）（21）（本题满分15分）如图，已知点P 是y 轴左侧(不含y 轴)一点，抛物线C ：y 2=4x 上存在不同的两点A ，B 满足P A ，PB 的中点均在C 上．（Ⅰ）设AB 中点为M ，证明：PM 垂直于y 轴；（Ⅱ）若P 是半椭圆x 2+24y =1(x <0)上的动点，求△P AB 面积的取值范围．解析（Ⅰ）设00(,)P x y ，2111(,)4A y y ，2221(,)4B y y ． 因为PA ，PB 的中点在抛物线上，所以1y ，2y 为方程202014()422y x y y ++=⋅即22000280y y y x y -+-=的两个不同的实数根． 所以1202y y y +=．因此，PM 垂直于y 轴．（Ⅱ）由（Ⅰ）可知120212002,8,y y y y y x y +=⎧⎪⎨=-⎪⎩ 所以2221200013||()384PM y y x y x =+-=-，12||y y -= 因此，PAB △的面积32212001||||4)24PABS PM y y y x =⋅-=-△． 因为220001(0)4y x x +=<，所以2200004444[4,5]y x x x -=--+∈． 因此，PAB △面积的取值范围是7.（全国一卷文）（20）（12分）设抛物线22C y x =：，点()20A ，，()20B -，，过点A 的直线l 与C 交于M ，N 两点． （1）当l 与x 轴垂直时，求直线BM 的方程；（2）证明：ABM ABN =∠∠．解：（1）当l 与x 轴垂直时，l 的方程为x =2，可得M 的坐标为（2，2）或（2，–2）．所以直线BM 的方程为y =112x +或112y x =--． （2）当l 与x 轴垂直时，AB 为MN 的垂直平分线，所以∠ABM =∠ABN ．当l 与x 轴不垂直时，设l 的方程为(2)(0)y k x k =-≠，M （x 1，y 1），N （x 2，y 2），则x 1>0，x 2>0． 由2(2)2y k x y x=-⎧⎨=⎩，得ky 2–2y –4k =0，可知y 1+y 2=2k ，y 1y 2=–4． 直线BM ，BN 的斜率之和为1221121212122()22(2)(2)BM BN y y x y x y y y k k x x x x ++++=+=++++．① 将112y x k =+，222y x k=+及y 1+y 2，y 1y 2的表达式代入①式分子，可得 121221121224()882()0y y k y y x y x y y y k k ++-++++===． 所以k BM +k BN =0，可知BM ，BN 的倾斜角互补，所以∠ABM +∠ABN ．综上，∠ABM =∠ABN ．8.（全国一卷理）（19）（12分） 设椭圆22:12x C y +=的右焦点为F ，过F 的直线l 与C 交于,A B 两点，点M 的坐标为(2,0). （1）当l 与x 轴垂直时，求直线AM 的方程；（2）设O 为坐标原点，证明：OMA OMB ∠=∠.解：（1）由已知得(1,0)F ，l 的方程为x =1.由已知可得，点A的坐标为或(1,. 所以AM的方程为y x =+y x =. （2）当l 与x 轴重合时，0OMA OMB ∠=∠=︒.当l 与x 轴垂直时，OM 为AB 的垂直平分线，所以OMA OMB ∠=∠.当l 与x 轴不重合也不垂直时，设l 的方程为(1)(0)y k x k =-≠，1221(,),(,)A y x y x B ，则12x x <<，直线MA ，MB 的斜率之和为212122MA MB x x y y k k +=+--. 由1122,y k k x y k x k =-=-得 121212(23()42)(2)MA MB x x x x k k x x k k k -+++=--. 将(1)y k x =-代入2212x y +=得 2222(21)4220k x k x k +-+-=. 所以，21221222422,2121x x x k k k x k -+==++. 则3131322244128423()4021k k k k k k k k k x x x x --++-++==+. 从而0MA MB k k +=，故MA ，MB 的倾斜角互补，所以OMA OMB ∠=∠.综上，OMA OMB ∠=∠.9.（全国二卷文）（20）（12分）设抛物线24C y x =：的焦点为F ，过F 且斜率为(0)k k >的直线l 与C 交于A ，B 两点，||8AB =．（1）求l 的方程； （2）求过点A ，B 且与C 的准线相切的圆的方程．解：（1）由题意得F （1，0），l 的方程为y =k （x –1）（k >0）．设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）．由2(1)4y k x y x =-⎧⎨=⎩得2222(24)0k x k x k -++=．216160k ∆=+=，故212224k x x k ++=． 所以212244(1)(1)k AB AF BF x x k +=+=+++=． 由题设知22448k k +=，解得k =–1（舍去），k =1．因此l 的方程为y =x –1． （2）由（1）得AB 的中点坐标为（3，2），所以AB 的垂直平分线方程为2(3)y x -=--，即5y x =-+．设所求圆的圆心坐标为（x 0，y 0），则00220005(1)(1)16.2y x y x x =-+⎧⎪⎨-++=+⎪⎩，解得0032x y =⎧⎨=⎩，或00116.x y =⎧⎨=-⎩， 因此所求圆的方程为22(3)(2)16x y -+-=或22(11)(6)144x y -++=．10.（全国卷二理）（19）（12分）设抛物线24C y x =：的焦点为F ，过F 且斜率为(0)k k >的直线l 与C 交于A ，B 两点，||8AB =． （1）求l 的方程；（2）求过点A ，B 且与C 的准线相切的圆的方程．解：（1）由题意得(1,0)F ，l 的方程为(1)(0)y k x k =->.设1221(,),(,)A y x y x B ，由2(1),4y k x y x=-⎧⎨=⎩得2222(24)0k x k x k -++=. 216160k ∆=+>，故122224k x k x ++=. 所以122244||||||(1)(1)x k AB AF BF kx +=+=+++=. 由题设知22448k k +=，解得1k =-（舍去），1k =.因此l 的方程为1y x =-. （2）由（1）得AB 的中点坐标为(3,2)，所以AB 的垂直平分线方程为2(3)y x -=--，即5y x =-+. 设所求圆的圆心坐标为00(,)x y ，则00220005,(1)(1)16.2y x y x x =-+⎧⎪⎨-++=+⎪⎩解得003,2x y =⎧⎨=⎩或0011,6.x y =⎧⎨=-⎩ 因此所求圆的方程为22(3)(2)16x y -+-=或22(11)(6)144x y -++=.11.（全国卷三文）（20）（12分） 已知斜率为k 的直线l 与椭圆22143x y C +=：交于A ，B 两点．线段AB 的中点为(1,)(0)M m m >． （1）证明：12k <-； （2）设F 为C 的右焦点，P 为C 上一点，且FP FA FB ++=0．证明：2||||||FP FA FB =+．解：（1）设11()A x y ，，22()B x y ，，则2211143x y +=，2222143x y +=． 两式相减，并由1212=y y k x x --得1212043x x y y k +++⋅=．由题设知1212x x +=，122y y m +=，于是34k m=-. 由题设得302m <<，故12k <-． （2）由题意得F （1，0）．设33()P x y ，，则331122(1)(1)(1)(00)x y x y x y -+-+-=，，，，． 由（1）及题设得3123()1x x x =-+=，312()20y y y m =-+=-<．又点P 在C 上，所以34m =，从而3(1)2P -，，3||=2FP uu r ．于是1||22x FA =-uu r ．同理2||=22x FB -uu r ． 所以1214()32FA FB x x +=-+=u u r u u r ．故2||=||+||FP FA FB u u r u u r u u r ． 12.（全国卷三理）（20）（12分）已知斜率为k 的直线l 与椭圆22143x y C +=：交于A ，B 两点，线段AB 的中点为()()10M m m >，． （1）证明：12k <-； （2）设F 为C 的右焦点，P 为C 上一点,且FP FA FB ++=0．证明：FA ，FP ，FB 成等差数列，并求该数列的公差．解：（1）设1221(,),(,)A y x y x B ，则222212121,14343y x y x +=+=. 两式相减，并由1221y x y k x -=-得 1122043y x y k x +++⋅=. 由题设知12121,22x y x y m ++==，于是 34k m=-.① 由题设得302m <<，故12k <-. （2）由题意得(1,0)F ，设33(,)P x y ，则 331122(1,)(1,)(1,)(0,0)y x x y x y -+-+-=. 由（1）及题设得3321213()1,()20y y x x y x m =-+==-+=-<.又点P 在C 上，所以34m =，从而3(1,)2P -，3||2FP =.于是 1||(22x FA x ==-. 同理2||22x FB =-. 所以121||||4()32FA FB x x +=-+=. 故2||||||FP FA FB =+，即||,||,||FA FP FB 成等差数列.设该数列的公差为d ，则 1212||||||||||2FB FA x x d =-=-=②将34m =代入①得1k =-. 所以l 的方程为74y x =-+，代入C 的方程，并整理得2171404x x -+=.故121212,28x x x x +==，代入②解得||d =.或。
2018年高考圆锥曲线部分大题解析
1.【2018浙江21】如图，已知点P 是y 轴左侧（不含y 轴）一点，抛物线2:4C y x =上存在不同的两点,A B 满足,PA PB 的中点均在C 上。
（1） 设AB 中点为M ，证明：PM 垂直于y 轴；（2） 若P 是半椭圆221(0)4y x x +=<上的动点，求PAB ∆面积的取值范围。
解析：（1）设2200112211(,),(,),(,)44P x y A y y B y yAP 中点满足：22102014()4()22y x y y ++= BP 中点满足：22202024:()4()22y x y y BP ++= 所以12,y y 是方程220204()4()22y x y y ++=即22000280y y y x y -+-=的两个根，所以1202y y y +=，故PM 垂直于y 轴。
（2）由（1）可知212012002,8y y y y y x y +=⋅=-所以2221200013||()384PM y y x y x =+-=-,12||y y -=因此，32212001||||4)24PABS PM y y y x ∆=⋅-=- 因为220001(0)4y x x +=<，所以2200004444[4,5]y x x x -=--+∈因此，PAB ∆面积的取值范围是 1. 距离型问题2.【2018全国3 理20】已知斜率为k 的直线l 与椭圆22:143x y C +=交于,A B 两点，线段AB 的中点为(1,)(0)M m m >（1）证明：12k <-； （2）设F 为C 的右焦点，P 为C 上一点且0FP FA FB ++=，证明：,,FP FA FB 为等差数列，并求出该数列的公差。
解析：（1）由中点弦公式22OMb k k a⋅=-，解得34k m =-又因为点M 在椭圆内，故302m <<，故12k <- （2）由题意知2,2FA FB FM FP FM +==-，故(1,2)P m -因为点P 在椭圆上，代入可得3,14m k ==-，即3||2FP = 根据第二定义可知，1211||2,||222FA x FB x =-=- 121||||4()2FA FB x x +=-+联立22212121114371402,42874x y x x x x x x y x ⎧+=⎪⎪⇒-+=⇒+==⎨⎪=-+⎪⎩即121||||4()32FA FB x x +=-+= 故满足2||||||FP FA FB =+，所以,,FP FA FB 为等差数列 设其公差为d ，因为,A B 的位置不确定，则有1212||||||||2d FA FB x x =±-=±-=代入得21428d d =±=±3.【2018全国3 文20】已知斜率为k 的直线l 与椭圆22:143x y C +=交于,A B 两点，线段AB 的中点为(1,)(0)M m m >（1）证明：12k <-； （2）设F 为C 的右焦点，P 为C 上一点且0FP FA FB ++=，证明2||||||FP FA FB =+。
2018年高考数学—圆锥曲线(解答+答案)
2018年高考数学——圆锥曲线解答1.（18北京理（19）（本小题14分））已知抛物线C ：2y =2px 经过点P （1，2）．过点Q （0，1）的直线l 与抛物线C 有两个不同的交点A ，B ，且直线PA 交y 轴于M ，直线PB 交y 轴于N ． （Ⅰ）求直线l 的斜率的取值范围；（Ⅱ）设O 为原点，QM QO λ=u u u u r u u u r ，QN QO μ=u u u r u u u r ，求证：11λμ+为定值．2.（18江苏18．（本小题满分16分））如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 过点1(3,)2，焦点12(3,0),(3,0)F F ，圆O 的直径为12F F ．（1）求椭圆C 及圆O 的方程；（2）设直线l 与圆O 相切于第一象限内的点P ．①若直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点，求点P 的坐标； ②直线l 与椭圆C 交于,A B 两点．若OAB △26，求直线l 的方程．3.（18全国二理19．（12分））设抛物线24C y x =：的焦点为F ，过F 且斜率为(0)k k >的直线l 与C 交于A ，B 两点，||8AB =．（1）求l 的方程；（2）求过点A ，B 且与C 的准线相切的圆的方程．4.（18全国三理20．（12分））已知斜率为k 的直线l 与椭圆22143x y C +=：交于A ，B 两点，线段AB 的中点为()()10M m m >，． （1）证明：12k <-；（2）设F 为C 的右焦点，P 为C 上一点,且FP FA FB ++=0u u u r u u u r u u u r．证明：FA u u u r ，FP u u u r ，FB u u u r 成等差数列，并求该数列的公差．5.18全国一理19．（12分）设椭圆22:12x C y +=的右焦点为F ，过F 的直线l 与C 交于,A B 两点，点M 的坐标为(2,0).（1）当l 与x 轴垂直时，求直线AM 的方程； （2）设O 为坐标原点，证明：OMA OMB ∠=∠.6.（18天津理(19)(本小题满分14分)）设椭圆22221x x a b+=(a >b >0)的左焦点为F ，上顶点为B .A的坐标为(,0)b，且FB AB ⋅=（I ）求椭圆的方程；（II ）设直线l ：(0)y kx k =>与椭圆在第一象限的交点为P ，且l 与直线AB 交于点Q .若4AQ AOQ PQ=∠(O 为原点) ，求k 的值.7.（18浙江21．（本题满分15分））如图，已知点P 是y 轴左侧(不含y 轴)一点，抛物线C ：y 2=4x 上存在不同的两点A ，B 满足PA ，PB 的中点均在C 上．（Ⅰ）设AB 中点为M ，证明：PM 垂直于y 轴；（Ⅱ）若P 是半椭圆x 2+24y =1(x <0)上的动点，求△P AB 面积的取值范围．8.（18北京文（20）（本小题14分））已知椭圆2222:1(0)x y M a b a b +=>>的离心率为63，焦距为22.斜率为k 的直线l与椭圆M 有两个不同的交点A ，B . （Ⅰ）求椭圆M 的方程；（Ⅱ）若1k =，求||AB 的最大值；（Ⅲ）设(2,0)P -，直线PA 与椭圆M 的另一个交点为C ，直线PB 与椭圆M 的另一个交点为D .若C ,D 和点71(,)42Q - 共线，求k .9.（18全国三文20．（12分））已知斜率为k 的直线l 与椭圆22143x y C +=：交于A ，B 两点．线段AB 的中点为(1,)(0)M m m >．（1）证明：12k <-； （2）设F 为C 的右焦点，P 为C 上一点，且FP FA FB ++=0u u u r u u u r u u u r．证明：2||||||FP FA FB =+u u u r u u u r u u u r ．10.（18全国一文20．（12分））设抛物线22C y x =：，点()20A ，，()20B -，，过点A 的直线l 与C 交于M ，N 两点． （1）当l 与x 轴垂直时，求直线BM 的方程； （2）证明：ABM ABN =∠∠．参考答案：1.解：（Ⅰ）因为抛物线y 2=2px 经过点P （1，2）， 所以4=2p ，解得p =2，所以抛物线的方程为y 2=4x ． 由题意可知直线l 的斜率存在且不为0， 设直线l 的方程为y =kx +1（k ≠0）． 由241y xy kx ⎧=⎨=+⎩得22(24)10k x k x +-+=． 依题意22(24)410k k ∆=--⨯⨯>，解得k<0或0<k<1． 又PA ，PB 与y 轴相交，故直线l 不过点（1，-2）．从而k ≠-3．所以直线l 斜率的取值范围是（-∞，-3）∪（-3，0）∪（0，1）． （Ⅱ）设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）．由（I ）知12224k x x k -+=-，1221x x k =． 直线PA 的方程为y –2=1122(1)1y y x x --=--．令x =0，得点M 的纵坐标为1111212211M y kx y x x -+-+=+=+--． 同理得点N 的纵坐标为22121N kx y x -+=+-． 由=QM QO λuuu r uuu r ，=QN QO μuuu r uuu r得=1M y λ-，1N y μ=-．所以2212121212122224112()111111=2111(1)(1)11M N k x x x x x x k k y y k x k x k x x k k λμ-+---++=+=+=⋅=⋅------． 所以11λμ+为定值．2.解：（1）因为椭圆C的焦点为12(),F F -，可设椭圆C 的方程为22221(0)x y a b a b +=>>．又点1)2在椭圆C 上，所以2222311,43,a ba b ⎧+=⎪⎨⎪-=⎩，解得224,1,a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩ 因此，椭圆C 的方程为2214x y +=．因为圆O 的直径为12F F ，所以其方程为223x y +=．（2）①设直线l 与圆O 相切于0000(),,(00)P x y x y >>，则22003x y +=， 所以直线l 的方程为0000()x y x x y y =--+，即0003x y x y y =-+． 由220001,43,x y x y x y y ⎧+=⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩，消去y ，得222200004243640()x y x x x y +-+-=．（*） 因为直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点，所以222222000000()()(24)(44364820)4x x y y y x ∆=--+-=-=． 因为00,0x y >，所以002,1x y ==． 因此，点P 的坐标为(2,1)． ②因为三角形OAB 的面积为26，所以21 26AB OP ⋅=，从而427AB =． 设1122,,()(),A x y B x y ，由（*）得22000001,22448(2)x y x x ±-=，所以2222121()()x B y y x A =-+- 222000222200048(2)(1)(4)x y x y x y -=+⋅+．因为22003x y +=，所以22022016(2)32(1)49x AB x -==+，即42002451000x x -+=， 解得22005(202x x ==舍去），则2012y =，因此P 的坐标为102(,)．综上，直线l 的方程为532y x =-+．学*科网3.解：（1）由题意得(1,0)F ，l 的方程为(1)(0)y k x k =->.设1221(,),(,)A y x y x B ， 由2(1),4y k x y x=-⎧⎨=⎩得2222(24)0k x k x k -++=.216160k ∆=+>，故122224k x k x ++=. 所以122244||||||(1)(1)x k AB AF BF k x +=+=+++=.由题设知22448k k+=，解得1k =-（舍去），1k =. 因此l 的方程为1y x =-.（2）由（1）得AB 的中点坐标为(3,2)，所以AB 的垂直平分线方程为2(3)y x -=--，即5y x =-+.设所求圆的圆心坐标为00(,)x y ，则00220005,(1)(1)16.2y x y x x =-+⎧⎪⎨-++=+⎪⎩解得003,2x y =⎧⎨=⎩或0011,6.x y =⎧⎨=-⎩ 因此所求圆的方程为22(3)(2)16x y -+-=或22(11)(6)144x y -++=.4.解：（1）设1221(,),(,)A y x y x B ，则222212121,14343y x y x +=+=. 两式相减，并由1221y x y k x -=-得1122043y x y k x +++⋅=. 由题设知12121,22x y x ym ++==，于是 34k m=-.① 由题设得302m <<，故12k <-. （2）由题意得(1,0)F ，设33(,)P x y ，则331122(1,)(1,)(1,)(0,0)y x x y x y -+-+-=.由（1）及题设得3321213()1,()20y y x x y x m =-+==-+=-<.又点P 在C 上，所以34m =，从而3(1,)2P -，3||2FP =u u u r .于是1||22x FA ===-u u u r .同理2||22xFB =-u u u r .所以121||||4()32FA FB x x +=-+=u u u r u u u r .故2||||||FP FA FB =+u u u r u u u r u u u r ，即||,||,||FA FP FB u u u r u u u r u u u r成等差数列.设该数列的公差为d ，则1212||||||||||2FB FA x x d =-=-=u u u r u u u r .②将34m =代入①得1k =-. 所以l 的方程为74y x =-+，代入C 的方程，并整理得2171404x x -+=.故121212,28x x x x +==，代入②解得||28d =.所以该数列的公差为28或28-.5解：（1）由已知得(1,0)F ，l 的方程为x =1.由已知可得，点A 的坐标为(1,2或(1,2-.所以AM 的方程为y x =+y x =.（2）当l 与x 轴重合时，0OMA OMB ∠=∠=︒.当l 与x 轴垂直时，OM 为AB 的垂直平分线，所以OMA OMB ∠=∠.当l 与x 轴不重合也不垂直时，设l 的方程为(1)(0)y k x k =-≠，1221(,),(,)A y x y x B ，则12x x <<MA ，MB 的斜率之和为212122MA MB x x y yk k +=+--. 由1122,y k k x y k x k =-=-得121212(23()42)(2)MA MB x x x x k k x x kk k -+++=--.将(1)y k x =-代入2212x y +=得 2222(21)4220k x k x k +-+-=.所以，21221222422,2121x x x k k k x k -+==++. 则3131322244128423()4021k k k k kk k k k x x x x --++-++==+. 从而0MA MB k k +=，故MA ，MB 的倾斜角互补，所以OMA OMB ∠=∠. 综上，OMA OMB ∠=∠.6.（Ⅰ）解：设椭圆的焦距为2c ，由已知知2259c a =，又由a 2=b 2+c 2，可得2a =3b ．由已知可得，FB a =，AB =，由FB AB ⋅=，可得ab =6，从而a =3，b =2．所以，椭圆的方程为22194x y +=． （Ⅱ）解：设点P 的坐标为（x 1，y 1），点Q 的坐标为（x 2，y 2）．由已知有y 1>y 2>0，故12sin PQ AOQ y y ∠=-．又因为2sin y AQ OAB =∠，而∠OAB =π4，故2AQ =．由AQ AOQ PQ=∠，可得5y 1=9y 2． 由方程组22194y kx x y =⎧⎪⎨+=⎪⎩，，消去x，可得1y =AB 的方程为x +y –2=0，由方程组20y kx x y =⎧⎨+-=⎩，，消去x ，可得221ky k =+．由5y 1=9y 2，可得5（k +1）=，两边平方，整理得25650110k k -+=，解得12k =，或1128k =． 所以，k 的值为111228或．7.（Ⅰ）设00(,)P x y ，2111(,)4A y y ，2221(,)4B y y ． 因为PA ，PB 的中点在抛物线上，所以1y ，2y 为方程202014()422y x y y ++=⋅即22000280y y y x y -+-=的两个不同的实数根． 所以1202y y y +=． 因此，PM 垂直于y 轴．（Ⅱ）由（Ⅰ）可知120212002,8,y y y y y x y +=⎧⎪⎨=-⎪⎩ 所以2221200013||()384PM y y x y x =+-=-，12||y y -= 因此，PAB △的面积32212001||||4)24PABS PM y y y x =⋅-=-△． 因为220001(0)4y x x +=<，所以2200004444[4,5]y x x x -=--+∈．因此，PAB △面积的取值范围是．8.【解析】（Ⅰ）由题意得2c =，所以c =又3c e a ==，所以a =2221b a c =-=， 所以椭圆M 的标准方程为2213x y +=．（Ⅱ）设直线AB 的方程为y x m =+，由2213y x m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 可得2246330x mx m ++-=， 则2223644(33)48120m m m ∆=-⨯-=->，即24m <，设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则1232m x x +=-，212334m x x -=，则12|||2AB x x =-==，易得当20m =时，max ||AB ，故||AB． （Ⅲ）设11(,)A x y ，22(,)B x y ，33(,)C x y ，44(,)D x y ，则221133x y += ①，222233x y += ②，又(2,0)P -，所以可设1112PA y k k x ==+，直线PA 的方程为1(2)y k x =+， 由122(2)13y k x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 可得2222111(13)121230k x k x k +++-=， 则2113211213k x x k +=-+，即2131211213k x x k =--+， 又1112y k x =+，代入①式可得13171247x x x --=+，所以13147y y x =+，所以1111712(,)4747x y C x x --++，同理可得2222712(,)4747x y D x x --++．故3371(,)44QC x y =+-u u u r ，4471(,)44QD x y =+-u u u r ，因为,,Q C D 三点共线，所以34437171()()()()04444x y x y +--+-=，将点,C D 的坐标代入化简可得12121y y x x -=-，即1k =． 9..解：（1）设11()A x y ，，22()B x y ，，则2211143x y +=，2222143x y +=．两式相减，并由1212=y y k x x --得1212043x x y y k +++⋅=． 由题设知1212x x +=，122y y m +=，于是34k m=-． 由题设得302m <<，故12k <-． （2）由题意得F （1，0）．设33()P x y ，，则 331122(1)(1)(1)(00)x y x y x y -+-+-=，，，，．由（1）及题设得3123()1x x x =-+=，312()20y y y m =-+=-<． 又点P 在C 上，所以34m =，从而3(1)2P -，，3||=2FP uu r ．于是1||22x FA ==-uu r ．同理2||=22xFB -uu r ．所以1214()32FA FB x x +=-+=uu r uu r ．故2||=||+||FP FA FB uu r uu r uu r ．10．解：（1）当l 与x 轴垂直时，l 的方程为x =2，可得M 的坐标为（2，2）或（2，–2）．所以直线BM 的方程为y =112x +或112y x =--．（2）当l 与x 轴垂直时，AB 为MN 的垂直平分线，所以∠ABM =∠ABN ．当l 与x 轴不垂直时，设l 的方程为(2)(0)y k x k =-≠，M （x 1，y 1），N （x 2，y 2），则x 1>0，x 2>0．由2(2)2y k x y x=-⎧⎨=⎩，得ky 2–2y –4k =0，可知y 1+y 2=2k ，y 1y 2=–4．直线BM ，BN 的斜率之和为 1221121212122()22(2)(2)BM BN y y x y x y y y k k x x x x ++++=+=++++．① 将112y x k =+，222yx k=+及y 1+y 2，y 1y 2的表达式代入①式分子，可得 121221121224()882()0y y k y y x y x y y y k k++-++++===．所以k BM +k BN =0，可知BM ，BN 的倾斜角互补，所以∠ABM +∠ABN ．综上，∠ABM=∠ABN．。
2018年高考理科数学通用版三维专题检测：(二十二)第20题解答题“圆锥曲线的综合问题”专练Word版含解析
(2)过点 C(－ 1,0)的直线 l 交椭圆于不同两点 A， B，且 ―A→C ＝ 2―C→B ，当△ AOB 的面积最
大时，求直线 l 的方程．
解： (1)由题意知，
c＋ b＝ 3 2
b c－2 ，
所以 b＝ c， a2＝ 2b2，
所以 e＝ac＝
1－
b a
2＝
2 2.
(2)设 A(x1， y1)， B(x2， y2)，直线 AB 的方程为 x＝ ky－1( k≠0)，
专题检测（二十二） 第 20 题解答题“圆锥曲线的综合问题”专练
22
xy 1.(2018 届高三 ·广东五校协作体诊断考试 )若椭圆 a2＋ b2＝ 1(a>b>0)的左、 右焦点分别为 F 1，F2，线段 F 1F 2 被抛物线 y2＝ 2bx 的焦点 F 分成了 3∶ 1 的两
段．
(1)求椭圆的离心率；
－3x＋ 1＝ 0 的解，点 A， B 分别为椭圆 E 的左、右顶点，点 C 在 E 上，且△ ABC 面积的最
大值为 2 3.
(1)求椭圆 E 的方程； (2)设 F 为 E 的左焦点，点 D 在直线 x＝－ 4 上，过 F 作 DF 的垂线交椭圆 E 于 M ，N 两点．证明：直线 OD 把△ DMN 分为面积相等的两部分．
因为 ―A→C ＝ 2―C→B ，所以 (－ 1－ x1，－ y1)＝ 2(x2＋ 1， y2)，
即 y1＝－ 2y2，
①
由 (1)知，椭圆方程为 x2＋2y2＝ 2b2.
x＝ky－ 1， 由 x2＋ 2y2＝ 2b2 消去 x， 得 (k2＋ 2)y2－2ky＋ 1－ 2b2＝ 0，
所以
y1＋
y2＝
故
2018年高考圆锥曲线部分小题解析
圆锥曲线2018年高考小题解析一、 考点分析1. 点、直线、斜率和倾斜角之间的关系；2. 直线与圆的位置关系判断，以及圆内弦长的求法；3. 掌握椭圆、双曲线、抛物线基础内容，特别是参数之间的计算关系以及独有的性质；4. 掌握圆锥曲线内弦长的计算方法（弦长公式和直线参数方程法）；5. 通过研究第二定义，焦点弦问题，中点弦问题加深对图形的理解能力；6. 动直线过定点问题和动点过定直线问题；7. 定值问题；8. 最值问题。
二、 真题解析1. 直线与圆位置关系以及圆内弦长问题1.【2018全国1文15】直线1y x =+与圆22230x y y ++-=交于,A B 两点，则||AB =___________解析：2222230(1)4x y y x y ++-=⇒++=，圆心坐标为(0,1)-，半径2r =圆心到直线1y x =+的距离d =||AB ==2.【2018全国2理19文20】设抛物线2:4C y x =的焦点为F ，过F 且斜率为(0)k k >的直线l 与C 交于,A B 两点，||8AB = （1）求l 的方程；（2）求过点,A B 且与C 的准线相切的圆的方程。
解析：（1）直线过焦点，因此属于焦点弦长问题，可以利用焦点弦长公式来求 根据焦点弦长公式可知22||8sin pAB θ==，则sin 2θ=，tan 1θ=则l 的直线方程为1y x =-（2）由（1）知AB 的中点坐标为(3,2)，所以AB 的垂直平分线方程为2(3)y x -=--，即5y x =-+设所求圆的圆心坐标为00(,)x y ，则00220005(1)(1)162y x y x x =-+⎧⎪⎨-++=+⎪⎩ 解得00003112-6x x y y ==⎧⎧⎨⎨==⎩⎩或因此所求圆的方程为2222(3)(2)1(11)(+6)1x y x y -+-=-+=或通过这个题目注意一个在抛物线中不常用的结论：在抛物线中以焦点弦为直径的圆与准线相切，证明过程如下：在上图中过焦点的直线与抛物线交于,A B 两点，取AB 的中点M ，三点分别向准线作垂线，垂足分别为,,C D N ，因为1()2MN AC BD =+，,AC AF BD BF ==，所以11()22MN AF BF AB =+=，所以AB 为直径的圆与准线相切。
2018年高考数学试题分类汇编之圆锥曲线解析版
FM ＝ (0 ， 2) ， FN ＝ (3 ， 4) ．
则 FM FN = （0 ，2 ） ? （3 ， 4 ） =8 ．
故选： D
x2 6.（全国卷一理）（ 11）已知双曲线 C：
y2 1 ，O 为坐标原点， F 为 C 的右焦点，过 F 的直线与 C 的
3
两条渐近线的交点分别为 M、N.若 △ OMN 为直角三角形，则 |MN |=
2018 年高考数学试题分类汇编之圆锥曲线（解析版）
一、选择题
1.（浙江卷）（ 2）双曲线 x2 3
2
y =1 的焦点坐标是
A ． (- 2 ，0) ，( 2 ， 0) B ． (- 2， 0)， (2， 0) C． (0， - 2 )， (0， 2 ) D． (0， - 2)， (0， 2)
解：∵双曲线方程可得双曲线的焦点在
4）已知椭圆
C
：
x a2
y 4
1的一个焦点为 (2 ，0) ，则 C 的离心率为
1 A．
3
1 B．
2
2 C．
2
解：椭圆的一个焦点为（ 2，0），可得 a2-4=4，解得 a
22 D．
3
2 2，
c c 2, e
a
2
．
2
故选： C
5.（全国卷一理）（
8）设抛物线
C： y2=4x 的焦点为
F，过点（ –2， 0）且斜率为
故选： B
x2 7.（全国卷二文）（ 6）双曲线 a2
y2 b2
1( a
0, b
0) 的离心率为
3 ，则其渐近线方程为
A ． y 2x
B． y 3x
C． y
2x
2
高三数学-2018届高三数学专项训练(2018)《圆锥曲线》精品
C． 9
D． 16
12．给出下列结论 , 其中正确的是
（）
A．渐近线方程为 y
b x a 0,b 0 的双曲线的标准方程一定是
a
x2 y2 a2 b2 1
B．抛物线 y
1 x2 的准线方程是 x 1
2
2
C．等轴双曲线的离心率是 2
D．椭圆 x2 m2
y2 n2
1 m 0, n 0 的焦点坐标是 F1
x1 1· x2 1 x1·x 2
x1 x21ຫໍສະໝຸດ 44 ………………（ 10 分） k2
m n mn ，即 1
1 1
mn
综上可知 1 1 为定值。………………（ mn
20．（本小题满分 12 分）
12 分）
解：（1） AM 2AP, NP AM 0. ∴ NP为 AM的垂直平分线，∴ |NA|=|NM|. ………………………… 2 分
由椭圆的对称性知 | OC|=| OB|, 由 AC · BC =0 得 AC⊥ BC，
A
O
x
∵ | BC|=2| AC| ，∴ | OC|=| AC| ，∴△ AOC是等腰直角三角形，∴ C 的坐标为（ 1，1），
∵ C 点在椭圆上∴ 12 4
1 b2
1 , ∴ b2 = 4 , 所求的椭圆方程为 3
二、填空题（本题每小题 4 分，共 16 分）
m2 n2 ,0 , F2 m2 n2 ,0
13．如果正△ ABC 中 , D
AB，E
AC , 向量 DE
1 BC , 那么以 B , C 为焦点且过点 D , E 的双曲线
2
的离心率是
2
14．已知椭圆 x m
.
2018年高考数学试题分类汇编--圆锥曲线
2018年高考数学选择试题分类汇编——圆锥曲线（2018湖南文数）5. 设抛物线28y x =上一点P 到y 轴的距离是4，则点P 到该抛物线焦点的距离是A. 4B. 6C. 8D. 12（2018浙江理数）（8）设1F 、2F 分别为双曲线22221(0,0)x y a b a b-=＞＞的左、右焦点.若在双曲线右支上存在点P ，满足212PF FF =，且2F 到直线1PF 的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的渐近线方程为（A ）340x y ±= （B ）350x y ±= （C ）430x y ±= （D ）540x y ±=解析：利用题设条件和双曲线性质在三角形中寻找等量关系，得出a 与b 之间的等量关系，可知答案选C ，本题主要考察三角与双曲线的相关知识点，突出了对计算能力和综合运用知识能力的考察，属中档题（2018全国卷2理数）（12）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=＞＞的离心率为2，过右焦点F且斜率为(0)k k ＞的直线与C 相交于A B 、两点．若3AF FB =，则k =（A ）1 （B （C （D ）2 【答案】B【命题意图】本试题主要考察椭圆的性质与第二定义.【解析】设直线l 为椭圆的有准线，e 为离心率，过A ，B 分别作AA 1，BB 1垂直于l ，A 1，B 为垂足，过B 作BE 垂直于AA 1与E ，由第二定义得，，由，得，∴即k=，故选B.（2018陕西文数）9.已知抛物线y 2＝2px （p >0）的准线与圆（x －3）2＋y 2＝16相切，则p 的值为 [C]（A ）12（B ）1 （C ）2 （D ）4解析：本题考查抛物线的相关几何性质及直线与圆的位置关系 法一：抛物线y 2＝2px （p >0）的准线方程为2p x -=，因为抛物线y 2＝2px （p >0）的准线与圆（x －3）2＋y 2＝16相切，所以2,423==+p p法二：作图可知，抛物线y 2＝2px （p >0）的准线与圆（x －3）2＋y 2＝16相切与点（-1,0） 所以2,12=-=-p p（2018辽宁文数）（9）设双曲线的一个焦点为F ，虚轴的一个端点为B ,如果直线FB 与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为（A （B （C （D 解析：选D.不妨设双曲线的焦点在x 轴上，设其方程为：22221(0,0)x y a b a b-=>>，则一个焦点为(,0),(0,)F c B b 一条渐近线斜率为：b a ，直线FB 的斜率为：bc -，()1b ba c∴⋅-=-，2b ac ∴=220c a ac --=，解得c e a ==（2018辽宁文数）（7）设抛物线28y x =的焦点为F ，准线为l ，P 为抛物线上一点，PA l ⊥，A 为垂足，如果直线AF 斜率为PF =（A ）（B ） 8 （C ） （D ） 16 解析：选B.利用抛物线定义，易证PAF ∆为正三角形，则4||8sin30PF ︒==（2018辽宁理数） (9)设双曲线的—个焦点为F ；虚轴的—个端点为B ，如果直线FB 与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为(A)(C)12(D)12【答案】D【命题立意】本题考查了双曲线的焦点、虚轴、渐近线、离心率，考查了两条直线垂直的条件，考查了方程思想。
2012-2018全国卷圆锥曲线(理科)
2012-2018全国卷圆锥曲线解答题(理科)1．(2012年全国高考新课标Ⅰ卷理科第20题）设抛物线2:2(0)C x py p =>的焦点为F ，准线为l ，A C ∈．已知以F 为圆心，FA 为半径的圆F 交l 于,B D 两点．（Ⅰ）若90BFD ∠=︒，ABD ∆的面积为，求p 的值及圆F 的方程．（Ⅱ）若,,A B F 三点在同一直线m 上，直线n 与m 平行，且n 与C 只有一个公共点，求坐标原点到,m n 距离的比值．2．(2013全国高考新课标Ⅰ卷理科第20题）已知圆22:(1)1M x y ++=，圆22:(1)9N x y -+=，动圆P 与M 外切并且与圆N 内切，圆心P 的轨迹为曲线C ．(Ⅰ)求C 的方程；(Ⅱ)l 是与圆P ,圆M 都相切的一条直线，l 与曲线C 交于,A B 两点，当圆P 的半径最长时，求||AB ．3．(2014年全国高考新课标Ⅰ卷理科第20题）已知点(0,2)A -，椭圆E ：22221(0)x y a b a b+=>>的离心率为2，F 是椭圆的焦点，直线AF 的斜率为3，O 为坐标原点．(Ⅰ)求E 的方程；（Ⅱ）设过点A 的直线l 与E 相交于,P Q 两点，当OPQ ∆的面积最大时，求l 的方程．4．(2015年全国高考新课标Ⅰ卷理科第20题）在直角坐标系xOy 中，曲线2:4x C y =与直线(0)y kx a a =+>交于,M N 两点．(Ⅰ) 当0k =时，分别求C 在点M 和N 处的切线方程；(Ⅱ) y 轴上是否存在点P ，使得当k 变动时，总有OPM OPN ∠=∠？说明理由． 5．(2016年全国高考新课标Ⅰ卷理科第20题) (本小题满分12分)设圆222150x y x ++-=的圆心为A ，直线l 过点(1,0)B 且与x 轴不重合，l 交圆A 于,C D 两点，过B 作AC 的平行线交AD 于点E ．(I)证明EA EB +为定值，并写出点E 的轨迹方程；(II)设点E 的轨迹为曲线1C ，直线l 交1C 于,M N 两点，过B 且与l 垂直的直线与圆A 交于,P Q 两点，求四边形MPNQ 面积的取值范围．6. (2017年全国高考Ⅰ卷理科第20题) (本小题满分12分)已知椭圆C ：（a >b >0），四点P 1（1,1），P 2（0,1），P 3（–1，），P 4（1，）中恰有三点在椭圆C 上. （1）求C 的方程；（2）设直线l 不经过P 2点且与C 相交于A ，B 两点。
2018年高考真题汇编理科数学(解析版)10：圆锥曲线
2018高考真题分类汇编：圆锥曲线
一、选择题
1.【2018高考真题浙江理8】如图，F 1,F 2分别是双曲线C ：22
221x y a b -=（a,b ＞0）的左、右焦点，B 是虚轴的端点，直线F 1B 与C 的两条渐近线分别交于P ,Q 两点，线段PQ 的垂直平分线与x 轴交与点M ，若|MF 2|=|F 1F 2|,则C 的离心率是
A. 233 B 。
62 2 D. 3【答案】B
【解析】由题意知直线B F 1的方程为：b x c b y +=，联立方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-+=0,b
y a x b x c b y 得点Q ),(a c bc a c ac --，联立方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++=0,b y a x b x c b y 得点P ),(a c bc a c ac ++-，所以PQ 的中点坐标为),(222b c b c a ，所以PQ 的垂直平分线方程为：)(222b c a x b c b c y --=-，令0=y ，得)1(22
b a
c x +=，所以c b
a c 3)1(22=+，所以2222222a c
b a -==，即2223
c a =，所以2
6=e 。
故选B 2.【2018高考真题新课标理8】等轴双曲线C 的中心在原点，焦点在x 轴上，C 与抛物线x y 162=的准线交
于,A B 两点，43AB =；则C 的实轴长为（ ）
()A 2 ()B 22 ()C 4 ()D 8
【答案】C。
2018年高三数学高考二轮复习：高考解答题赏析——圆锥曲线(解析版)
高考解答题赏析——圆锥曲线精炼基础1．如图，分别过椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)的左、右焦点F 1，F 2的动直线l 1，l 2相交于P 点，l 1，l 2与椭圆E 分别交于A ，B 与C ，D 且这四点两两不同，直线OA ，OB ，OC ，OD 的斜率k 1，k 2，k 3，k 4满足k 1＋k 2＝k 3＋k 4.已知当l 1与x 轴重合时，|AB|＝23，|CD|＝433.(1)求椭圆E 的方程；(2)是否存在定点M ，N ，使|PM|＋|PN|为定值？若存在，求出M ，N 点坐标；若不存在，说明理由．解：(1)当l 1与x 轴重合时，由2a ＝|AB|＝23，得a 2＝3.又2b 2a ＝|CD|＝433，所以b 2＝2，所以椭圆E 的方程为x 23＋y 22＝1.(2)焦点F 1，F 2的坐标分别为(－1,0)，(1,0)，当直线l 1或l 2的斜率不存在时，P 点的坐标为(－1,0)或(1,0)．当斜率存在时，设直线l 1，l 2的斜率分别为m 1，m 2，设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，由⎩⎨⎧x 23＋y 22＝1，y ＝m 1x ＋1得(2＋3m 21)x 2＋6m 21x ＋3m 21－6＝0，所以x 1＋x 2＝－6m 212＋3m 21，x 1x 2＝3m 21－62＋3m 21， 所以k 1＋k 2＝y 1x 1＋y 2x 2＝m 1⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋1x 1＋x 2＋1x 2 ＝m 1⎝⎛⎭⎪⎫2＋x 1＋x 2x 1x 2＝－4m 1m 21－2.同理k 3＋k 4＝－4m 2m 22－2.∵k 1＋k 2＝k 3＋k 4，∴－4m 1m 21－2＝－4m 2m 22－2，即(m 1m 2＋2)(m 2－m 1)＝0，由题意得m 1≠m 2，∴m 1m 2＋2＝0.设P(x ，y)，则yx ＋1·yx －1＋2＝0，即y 22＋x 2＝1(x≠±1)．当直线l 1或l 2的斜率不存在时，P 点坐标为(－1,0)或(1,0)也满足上式，所以P(x ，y)在椭圆y 22＋x 2＝1上．所以存在点M ，N ，其坐标分别为(0，－1)，(0,1)，使得|PM|＋|PN|为定值2 2.2．(2017·广州五校联考)已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)的离心率e ＝22，且经过点(6，1)，O 为坐标原点．(1)求椭圆E 的标准方程；(2)圆O 是以椭圆E 的长轴为直径的圆，M 是直线x ＝－4在x 轴上方的一点，过M 作圆O 的两条切线，切点分别为P 、Q ，当∠PMQ ＝60°时，求直线PQ 的方程．解：(1)由题意可得e ＝c a ＝22，∵椭圆E 经过点(6，1)，∴6a 2＋1b 2＝1，又a 2－b 2＝c 2，解得a ＝22，b ＝2，∴椭圆E的标准方程为x28＋y24＝1.(2)连接OM，OP，OQ，OM与PQ交于点A，依题意可设M(－4，m)．由圆的切线性质及∠PMQ＝60°，可知△OPM为直角三角形且∠OMP＝30°，∵|OP|＝22，∴|OM|＝42，∴ －4 2＋m2＝42，又m>0，解得m＝4，∴M(－4,4)，∴直线OM的斜率k OM＝－1，由MP＝MQ，OP＝OQ可得OM⊥PQ，∴直线PQ的斜率k PQ＝1，设直线PQ的方程为y＝x＋n，∵∠OMP＝30°，∴∠POM＝60°，∴∠OPA＝30°，由|OP|＝22知|OA|＝2，即点O到直线PQ的距离为2，∴|n|12＋ －1 2＝2，解得n＝±2(舍去负值)，∴直线PQ的方程为x－y＋2＝0.3．已知动点P到定点F(1,0)和直线l0：x＝2的距离之比为2 2，设动点P的轨迹为曲线E，过点F作垂直于x轴的直线与曲线E相交于A，B两点，直线l：y＝mx＋n与曲线E交于C，D两点，与线段AB 相交于一点(与A ，B 不重合)．(1)求曲线E 的方程；(2)当直线l 与圆x 2＋y 2＝1相切时，四边形ACBD 的面积是否有最大值？若有，求出其最大值及对应的直线l 的方程；若没有，请说明理由．解：(1)设点P(x ，y)，由题意可得x －1 2＋y 2|x －2|＝22，整理可得x 22＋y 2＝1，即曲线E 的方程是x 22＋y 2＝1.(2)设C(x 1，y 1)，D(x 2，y 2)，由已知可得|AB|＝ 2.当m ＝0时，不合题意． 当m≠0时，由直线l 与圆x 2＋y 2＝1相切，可得|n|m 2＋1＝1，即m 2＋1＝n 2.联立⎩⎨⎧y ＝mx ＋n ，x22＋y 2＝1，消去y得⎝⎛⎭⎪⎫m 2＋12x 2＋2mnx ＋n 2－1＝0.Δ＝4m 2n 2－4⎝⎛⎭⎪⎫m 2＋12(n 2－1)＝2m 2>0，所以x 1＋x 2＝－4mn 2m 2＋1，x 1x 2＝2n 2－22m 2＋1， 则S 四边形ABCD ＝12|AB||x 2－x 1|＝22m 2－n 2＋12m 2＋1＝2|m|2m 2＋1＝22|m|＋1|m|≤22，当且仅当2|m|＝1|m|，即m ＝±22时等号成立，此时n ＝±62.经检验可知，直线y ＝22x －62和直线y ＝－22x ＋62符合题意．链接高考1．(2017·石家庄一模)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)的离心率e ＝12，点A 为椭圆上一点，∠F 1AF 2＝60°，且S △F 1AF 2＝3.(1)求椭圆C 的方程；(2)设动直线l ：y ＝kx ＋m 与椭圆C 有且只有一个公共点P ，且与直线x ＝4相交于点Q.问：在x 轴上是否存在定点M ，使得以PQ为直径的圆恒过定点M ？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，说明理由．解：(1)由e ＝12可得a 2＝4c 2，①S △F 1AF 2＝12|AF 1||AF 2|sin60°＝3，可得|AF 1||AF 2|＝4，在△F 1AF 2中，由余弦定理可得|F 1A|2＋|F 2A|2－2|F 1A|·|F 2A|cos60°＝4c 2，又|AF 1|＋|AF 2|＝2a ，可得a 2－c 2＝3，② 联立①②得a 2＝4，c 2＝1，∴b 2＝3， ∴椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1.(2)设点P(x 0，y 0)，由⎩⎨⎧y ＝kx ＋m ，x 24＋y23＝1得(4k 2＋3)x 2＋8kmx ＋4m 2－12＝0，由题意知Δ＝64k 2m 2－4(4k 2＋3)(4m 2－12)＝0，化简得4k 2－m 2＋3＝0，∴x 0＝－4km4k 2＋3＝－4k m ，y 0＝3m ，∴P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－4k m ，3m .由⎩⎨⎧y ＝kx ＋m ，x ＝4得Q(4,4k ＋m)，假设存在点M ，坐标为(x 1,0)，则MP →＝ ⎝ ⎛⎭⎪⎫－4km－x 1，3m ，MQ →＝(4－x 1,4k ＋m)．∵以PQ 为直径的圆恒过M 点，∴MP →·MQ →＝0，即－16k m ＋4kx 1m －4x 1＋x 21＋12km＋3＝0， ∴(4x 1－4)km＋x 21－4x 1＋3＝0对任意k ，m 都成立．则⎩⎨⎧4x 1－4＝0，x 21－4x 1＋3＝0，解得x 1＝1，故存在定点M(1,0)符合题意．2．(2017·贵阳监测)设点F 1(－c,0)，F 2(c,0)分别是椭圆C ：x 2a 2＋y 2＝1(a>1)的左、右焦点，P 为椭圆C 上任意一点，且PF 1→·PF 2→的最小值为0.(1)求椭圆C 的方程；(2)如图，动直线l ：y ＝kx ＋m 与椭圆C 有且仅有一个公共点，作F 1M ⊥l ，F 2N ⊥l 分别交直线l 于M ，N 两点，求四边形F 1MNF 2面积S 的最大值．解：(1)设P(x ，y)，则PF 1→＝(－c －x ，－y)，PF 2→＝(c －x ，－y)，∴PF 1→·PF 2→＝x 2＋y 2－c 2＝a 2－1a 2x 2＋1－c 2，x ∈[－a ，a]，由题意得，1－c 2＝0，c ＝1，则a 2＝2，∴椭圆C 的方程为x 22＋y 2＝1.(2)将直线l 的方程l ：y ＝kx ＋m 代入椭圆C 的方程x 22＋y 2＝1中，得(2k 2＋1)x 2＋4kmx ＋2m 2－2＝0，则Δ＝16k 2m 2－4(2k 2＋1)(2m 2－2)＝0，化简得：m 2＝2k 2＋1.设d1＝|F1M|＝|－k＋m| k2＋1，d2＝|F2N|＝|k＋m| k2＋1.①当k≠0时，设直线l的倾斜角为θ，则|d1－d2|＝|MN|·|tanθ|，∴|MN|＝1 |k|·|d1－d2|，∴S＝12·1|k|·|d1－d2|·(d1＋d2)＝2|m|k2＋1＝4|m|m2＋1＝4|m|＋1|m|，∵m2＝2k2＋1，∴当k≠0时，|m|>1，|m|＋1|m|>2，即S<2.②当k＝0时，四边形F1MNF2是矩形，此时S＝2.∴四边形F1MNF2面积S的最大值为2.。
全国2018学高考数学第2轮复习 练酷专题 高考第20题 圆锥曲线 文共54页
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51、 天 下 之 事 常成 于困约 ，而败 于奢靡 。——陆 游 52、 生 命 不 等 于是呼 吸，生 命是活 动。——卢 梭
53、 伟 大 的 事 业，需 要决心 ，能力 ，组织 和责任 感。 ——易 卜 生 54、 唯 书 籍 不 朽。——乔 特
55、 为 中 华 之 崛起而 读书。 ——周 恩来
Hale Waihona Puke 全国2018学高考数学第 2轮复习 练酷专题 高考
第20题 圆锥曲线 文
6、纪律是自由的第一条件。——黑格 尔 7、纪律是集体的面貌，集体的声音， 集体的 动作， 集体的 表情， 集体的 信念。 ——马 卡连柯
8、我们现在必须完全保持党的纪律， 否则一 切都会 陷入污 泥中。 ——马 克思 9、学校没有纪律便如磨坊没有水。— —夸美 纽斯
【高三数学试题精选】2018届高考数学锥曲线方程复习题(有答案解析)
2018届高考数学锥曲线方程复习题（有答案解析）
c 第八第五讲
时间60分钟满分100分
一、选择题(8×5＝40分)
1．已知(－2,0)、N(2,0)，|P|－|PN|＝4，则动点P的轨迹是( ) A．双曲线 B．双曲线左边一支
c．一条射线 D．双曲线右边一支
答案c
2．已知椭圆的焦点是F1、F2，P是椭圆的一个动点，如果是线段F1P的中点，则动点的轨迹是( )
A．圆 B．椭圆 c．双曲线的一支 D．抛物线
答案B
解析本题考查椭圆的第一定义．
如下图所示，由题知|PF1|＋|PF2|＝2a，(设椭圆方程x2a2＋2b2＝1，其中a b 0) 连结，由三角形的中位线可得|F1|＋||＝a(a |F1|)，则动点的轨迹为以F1、为焦点的椭圆，故选B
3经过抛物线2＝2px焦点的弦的中点的轨迹是 ( )
A．抛物线 B．椭圆 c．双曲线 D．直线
答案A
解析设抛物线的焦点是F(p2，0)．
弦AB的中点为(x，)．
将A(x1，1)、B(x2，2)代入抛物线方程并作差得(1＋2)(1－2)＝2p(x1－x2)，
∴AB＝1－2x1－x2＝2p1＋2＝2p2＝p
又F＝x－p2，由AB＝F，得p＝x－p2
2＝p(x－p2)，
它是抛物线2＝px沿向量(p2，0)平移所得．
4．(2018 石家庄市高中毕业班复习教学质量检测)设线段AB的两个端点A、B分别在x轴、轴上滑动，且|AB|＝5，→＝35A→＋25B→，。
2018年各省高考真题之圆锥曲线
2018年各省高考真题之圆锥曲线（14）已知椭圆,双曲线. 若双曲线N的两条渐近线与椭圆M 的四个交点及椭圆M 的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆M 的离心率______；双曲线N 的离心率为_______ （19）（本小题14分） 已知抛物线C :=2px 经过点p (1,2),过点Q (0,1)的直线l 与抛物线C有两个不同的交点A,B ,且直线PA 交y 轴于M ，直线PB 交y 轴于N . (Ⅰ)求直线l 的斜率的取值范围； (Ⅱ)设O 为原点， ，，求证：+为定值.（20）（本小题14分）已知椭圆的离心率为，焦距2.斜率为k 的直线l 与椭圆M 有两个不同的交点A ，B . （Ⅰ）求椭圆M 的方程； （Ⅱ）若，求的最大值；（Ⅲ）设，直线PA 与椭圆M 的另一个交点C ，直线PB 与椭圆M 的另一个交点D .若C ,D 和点共线，求k .8．在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点(,0)F c 到一，则其离心率的值是 ▲ ． 18．（本小题满分16分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 过点1)2，焦点12(F F ，圆O 的直径为12F F ． （1）求椭圆C 及圆O 的方程；（2）设直线l 与圆O 相切于第一象限内的点P ． ①若直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点，求点P 的坐标；②直线l 与椭圆C 交于,A B 两点．若OAB △，求直线l 的方程．8．设抛物线C ：y 2=4x 的焦点为F ，过点（–2，0）且斜率为的直线与C 交于M ，N 两点，则= A ．5 B ．6 C ．7D ．811．已知双曲线C ：，O 为坐标原点，F 为C 的右焦点，过F 的直线与C 的两条渐近线的交点分别为M 、N .若为直角三角形，则|MN |= A ． B ．3 C ．D ．419．（12分）设椭圆的右焦点为，过的直线与交于两点，点的坐标为.（1）当与轴垂直时，求直线的方程； （2）设为坐标原点，证明：.4．已知椭圆C ：22214x y a +=的一个焦点为(20)，，则C 的离心率为 A ．13B ．12CD20．（12分）设抛物线22C y x =：，点()20A ，，()20B -，，过点A 的直线l 与C 交于M ，N 两点．（1）当l 与x 轴垂直时，求直线BM 的方程； （2）证明：ABM ABN =∠∠．5.双曲线x ²/a ²-y ²/b ²=1（a ﹥0，b ﹥0）的离心率为，则其渐进线方程为A.y=±x23FM FN ⋅2213x y -=OMN △3222:12x C y +=F F l C ,A B M(2,0)l x AM O OMA OMB ∠=∠B.y=±xC.y=±D.y=±12.已知F 1，F 2是椭圆C: =1（a>b>0）的左、右焦点，A 是C 的左顶点，点P 在过A 且斜率为的直线上，△PF 1F 2为等腰三角形，∠F 1F 2P=120°，则C 的离心率为A..B.C.D.19.（12分）设抛物线C ：y ²=4x 的焦点为F ，过F 且斜率为k （k>0）的直线l与C 交于A ，B 两点，| AB|=8。
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专题检测（二十二） 第20题解答题“圆锥曲线的综合问题”专练
1.(2018届高三·广东五校协作体诊断考试)若椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，线段F 1F 2被抛物线y 2＝2bx 的焦点F 分成了3∶1的两段．
(1)求椭圆的离心率；
(2)过点C(－1,0)的直线l 交椭圆于不同两点A ，B ，且AC ―→＝2CB ―→，当△AOB
的面积最大时，求直线l 的方程．
解：(1)由题意知，c ＋b 2＝3⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫c －b 2， 所以b ＝c ，a 2＝2b 2，
所以e ＝c a
＝ 1－⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫b a 2＝22. (2)设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，直线AB 的方程为x ＝ky －1(k ≠0)，
因为AC ―→＝2CB ―→，所以(－1－x 1，－y 1)＝2(x 2＋1，y 2)，
即y 1＝－2y 2， ①
由(1)知，椭圆方程为x 2＋2y 2＝2b 2.
由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝ky －1，
x 2＋2y 2＝2b 2消去x ，
得(k 2＋2)y 2－2ky ＋1－2b 2＝0， 所以y 1＋y 2＝2k
k 2＋2， ②
由①②知，y 2＝－2k
k 2＋2，y 1＝4k
k 2＋2， 因为S △AOB ＝12|y 1|＋12
|y 2|， 所以S △AOB ＝3·|k|k 2＋2＝3·1
2|k|
＋|k| ≤3·1
22|k|·|k|＝324， 当且仅当|k|2＝2，即k ＝±2时取等号，
此时直线l 的方程为x －2y ＋1＝0或x ＋2y ＋1＝0.
2．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2
b
2＝1(a ＞b ＞0)的左、右顶点分别为A ，B ，且长轴长为8，T 为椭圆上任意一点，直线TA ，TB 的斜率之积为－34
. (1)求椭圆C 的方程；
(2)设O 为坐标原点，过点M(0,2)的动直线与椭圆C 交于P ，Q 两点，求OP ―→·OQ ―→＋MP ―→·MQ ―→的取值范围．
解：(1)设T(x ，y)，由题意知A(－4,0)，B(4,0)，
设直线TA 的斜率为k 1，直线TB 的斜率为k 2，
则k 1＝y
x ＋4，k 2＝y x －4
. 由k 1k 2＝－34，得y x ＋4·y x －4＝－34，。