14.3.2 公式法(第一课时)
14.3.2公式法(1)
综合演练
1．下列分解因式正确的是( D) A．a2－2b2＝(a＋2b)(a－2b) B．－x2＋y2＝(－x＋y)(x－y) C．－a2＋9b2＝－(a＋9b)(a－9b) D．4x2－0.01y2＝(2x＋0.1y)(2x－0.1y)
综合演练
2.下列多项式中能用平方差公式分解因式的是( D )
分解因式后，一定要检查是 否还有能继续分解的因式， 若有，则需继续分解.
＝(x2+y2)(x+y)(x-y);
(2)原式＝ab(a2-1) ＝ab(a+1)(a-1).
分解因式时，一般先用提公 因式法进行分解，然后再用 公式法.最后进行检查.
小试牛刀
1、分解因式： (1)6m2a4－6m2b4；
(2)a2－4b2－a－2b.
因式分解
两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的乘积.
针对训练
1、下列多项式能否用平方差公式来分解因式，为什么？
（1）x2+y2
×
（2）x2-y2
√
（3）-x2-y2 （4）-x2+y2
-(×x2+y2) y2-√x2
★符合平方差的形式的多项式才能 用平方差公式进行因式分解，即能
（5）x2-25y2 (√x+5y)(x-5y)
学习目标
1.探索并运用平方差公式进行因式分解，体会转化思想。（重点） 2.能会综合运用提公因式法和平方差公式对多项式进行因式分解。
（难点）
回顾旧知
1.利用提公因式法分解因式时，如何确定公因式呢？ 一看系数(最大公约数),二看字母(相同字母),三看指数(最低指数).
2.把下列各式因式分解.
(1)4m3n2 +8xm3n __4_m_3n_(_n_+2_x_)____;
14.3.2 公式法 第1课时 运用平方差公式因式分解 说课稿 2022-2023学年人教版数学八年
14.3.2 公式法第1课时运用平方差公式因式分解说课稿引言本篇说课稿是针对2022-2023学年人教版数学八年级上册第14章第3节第2课时的内容而撰写的。
本课时主要介绍了运用平方差公式进行因式分解的方法。
通过本节课的学习，学生能够熟练掌握运用平方差公式进行因式分解的基本步骤与方法。
教学目标1.理解平方差公式的含义和特点；2.学会运用平方差公式进行因式分解的基本方法；3.能够独立完成相关的练习题。
教学重点1.理解平方差公式的概念和特点；2.运用平方差公式进行因式分解。
教学难点运用平方差公式进行因式分解的策略与方法。
教学准备1.教师准备好相关教学课件和练习题；2.学生配备上课所需的教材和作业本。
教学过程导入新知1.导入前面所学的因式分解知识，复习平方差公式的相关内容。
学习新知2.引导学生了解平方差公式的概念和特点，包括：–平方差公式的一般形式：a2−b2=(a+b)(a−b)；–平方差公式的含义和作用：将一个二次式转化为两个一次式的乘积。
3.通过示例，引导学生掌握平方差公式的使用方法，并解释其推导过程。
示例包括：–9x2−16y2的因式分解；–4m2−1的因式分解；–a2−49b2的因式分解。
拓展练习4.让学生独立完成一些类似的练习题，巩固平方差公式的运用能力。
归纳总结5.归纳总结平方差公式的使用方法和注意事项，并与学生一起总结相关的解题策略。
课堂小结6.对本节课的要点进行简单总结和梳理，并提醒学生复习巩固相关知识。
课后作业1.完成课堂练习题；2.预习下一节课的内容。
教学反思本节课主要围绕平方差公式进行因式分解展开教学，通过示例和练习的形式，引导学生掌握平方差公式的使用方法和解题策略。
在教学过程中，学生对平方差公式的运用能力逐步提高，但仍有部分学生在推导过程中存在困难。
因此，在今后的教学中，可以采用更多的实例和练习，加强学生对公式的理解和运用能力，提高课堂的互动性，提供更多学生参与交流的机会，增强学生的学习兴趣和主动性。
14.3.2 因式分解 公式法(第一课时)
你能叙述多项式因式分解的定义吗？ 提公因式法的定义是什么？
因式分解: （1）3mx-6nx2
（3） y2 -25
（2）4a2b+10ab-2ab3.
14.3.2 因式分解—公式法
2.探究新知
多项式 y2 -25 与多项式 x2 -4 如何 因式分解呢？
你能利用整式的乘法公式—平方差公式
) 2;（2）4 b 2 =(
) 2;
9
（3） 0.16 a 4=(
) 2;
(4) 1.21 a 2 b 2=(
) 2;
(5) 2 1 b 2x 4 =( 4
(6) 5 4 b 2x 4 y 2=( 9
) 2; ) 2.
练习1 下列多项式能否用平方差公式来分解因式，
为什么？
（1） x2 +y2；
×
(3) -16x2+y2;（ ） (4)-x2-y2; （ ）
(5) a2+2ab+b2（ ）
2.分解因式： （1）x2- 9
(2) a4- 16
（3）X2y- 4y
（2） x2 -y2；
√
（3）- x2 +y2；
√ห้องสมุดไป่ตู้
（4）- x2 -y2．
×
3.应用 例1 分解因式： 4x2 -9
练习2 将下列多项式分解因式：
（1）9a2 -4b2； （2）-1+36b2；
例2 分解因式（： x+p）2 -（x+q）2
练习3 将多项式分解因式：
（2x+y）2 -（x+2 y）2．
例3 分解因式：
（1） x4 -y4；（2） a3b-ab.
数学人教版八年级上册14.3.2 因式分解 公式法(第一课时)
14.3.2 因式分解公式法（第一课时）一、内容和内容解析1.内容因式分解平方差公式2.内容解析本节课是在学习了提公因式法后,公式法因式分解的第一课时，它是整式乘法中平方差公式的逆向应用，在教材中处于重要的地位。
平方差公式因式分解要充分理解公式的含义,掌握公式的形式与特点. 公式左边的多项式形式上是二项式,且两项符号相反;公式左边的每一项都可以化成某一个数或式的平方形式。
基于以上分析，确定本节课的教学重点：运用平方差公式分解因式。
二、目标和目标解析1、目标（1）进一步理解因式分解的概念，体会因式分解在简化计算上的应用。
（2）会用平方差公式进行因式分解，并从中体验“整体”的思路，树立“换元”的意识。
2、目标解析达成目标（1）的标志是：学生能说出因式分解中平方差公式的特点。
知道这里的平方差公式与整式乘法中的平方差公式是互逆变形的关系。
达成目标（2）的标志是：学生在数学活动过程中，体会平方差公式的结构、特征及公式中字母的广泛含义，理解平方差公式的意义，掌握运用平方差公式解决问题的方法.并在练习中，对发生的错误做具体分析，加深对公式的理解。
三、教学问题诊断分析虽然有了第一节提公因式法做基础，但学生有时还会出现因式分解后又反转回去做乘法的错误，解决此问题的关键是让学生正确认识因式分解的概念，理解它与整式乘法的互逆变形关系。
学生在运用平方差公式分解因式的过程中经常遇到的困难是找不准哪个数或式相当于公式中的a ， b 。
因此，教学中引导学生分析公式的结构特征，并运用变式训练揭示公式的本质特征，以加深学生对公式的理解．本节课的教学难点是：灵活运用平方差公式分解因式，并理解因式分解的要求。
四、教学过程设计1.复习引入问题1 你能叙述多项式因式分解的定义吗？提公因式法的定义是什么？因式分解:（1）3mx-6nx 2;（2）4a 2b+10ab-2ab 3;（3）252 y 师生活动：学生独立思考并解答,找同学的答案投影展示。
人教版八年级数学上册同步教案：14.3.2 公式法(第1课时)
14.3 因式分解(第2课时)一、内容和内容解析1．内容用平方差公式分解因式．2．内容解析公式法是因式分解的一种方法.公式法就是把乘法公式的等号两边互换位置，就可以得到用于分解因式的公式，是用来把某些具有特殊形式的多项式分解因式的方法．利用平方差公式分解因式是公式法的一种．它的基本思路是逆用乘法公式中的平方差公式，将形式为“两项平方差的多项式”分解为两项和与两项差的积，因此，准确找出成平方差关系的两项成为运用平方差公式的关键环节．因式分解的平方差公式是对比整式乘法的平方差公式而引入的，因式分解与整式乘法的逆向恒等变形关系是此方法的理论依据，让学生体会数学知识之间的整体联系，体会转化的数学思想．基于以上分析，确定本节课的教学重点：运用平方差公式来分解因式．二、目标和目标解析1．目标(1)探索并运用平方差公式进行因式分解，体会转化思想．(2)会综合运用提公因式法和平方差公式对多项式进行因式分解2．目标解析达成目标(1)的标志：学生知道运用平方差公式来分解因式要经历“将多项式化为两个数的平方差的形式”“将多项式写成两数和与两数差的积的形式”两个步骤，并能按此步骤对多项式进行因式分解．知道平方差公式中的两个数既可以代表数字和字母，也可以代表式子．知道由于整式乘法与因式分解是相反方向的变形，所以整式乘法的平方差公式可以转化为因式分解的平方差公式．达成目标(2)的标志：学生会分析多项式的结构特征，选用合适的因式分解的方法，如多项式各项含有公因式可用提公因式法，如多项式的结构是平方差的形式则运用平方差公式来因式分解，尤其是对需经过两步才能彻底因式分解的多项式，学生能做到认真观察、缜密思考，最终完善地解决问题．三、教学问题诊断分析提公因式法和平方差公式作为因式分解的基本方法学生都是初次接触，在对它们的认识还不够深入的情况下综合运用会有困难，学生可能出现找不到合适的方法进行因式分解的问题或出现因式分解不彻底的现象．这主要是学生的观察能力和学习经验有限的缘故，看不出某些因式仍可以进行因式分解，解决这些问题的办法是让学生深入理解因式分解的方法，同时通过练习逐步熟悉这些方法以达到熟能生巧的目的．本节课的教学难点：综合运用提公因式和平方差公式两种方法分解因式．四、教学过程设计1．探索平方差公式问题1你能将多项式x2－4与多项式y2－25分解因式吗？追问1：本题你能用提公因式法分解因式吗？追问2：这两个多项式有什么共同的特点？追问3：你能利用整式的乘法公式——平方差公式(a＋b)(a－b)＝a2－b2来解决这个问题吗？追问4：你对因式分解的方法有什么新的发现？请尝试着概括你的发现？师生活动：学生观察并独立思考，尝试着解决问题，发现每个多项式中没有公因式可提，不能用提公因式的方法分解因式．在老师追加问题的引导下，学生经过观察、类比得到新的因式分解的方法，最后师生共同归纳出平方差公式，即把整式的乘法公式——平方差公式(a＋b)(a－b)＝a2－b2反过来就得到因式分解的平方差公式a2－b2＝(a＋b)(a－b)．在此过程中学生再一次感悟到因式分解与整式乘法的互逆变形关系，教师板书课题：平方差公式．设计意图：让学生充分经历观察、思考、类比的过程，归纳并概括出将乘法公式逆用就能解决问题，归纳出因式分解的平方差公式．使学生充分经历探索的过程，感受整式乘法与因式分解之间的逆向恒等变形的价值，发展学生的逆向思维能力，增强学生的符号意识．2．理解平方差公式问题2下列多项式能否用平方差公式来分解因式？为什么？（1）x2＋y2；（2）x2－y2；（3）－x2＋y2；（4）－x2－y2．追问1：平方差公式的结构特征是什么？追问2：两个平方项的符号有什么特点？师生活动：教师提出问题，学生独立思考，然后小组交流，学生代表展示解答思路．若学生感到困难，教师可引导学生回答追问的问题，师生共同归纳运用平方差公式进行因式分解的条件：适用于平方差公式因式分解的多项式必须是二项式，每一项都为平方项，并且两个平方项的符号相反．设计意图：通过判断能否运用平方差公式进行因式分解，达到检验、巩固和学以致用的目的，同时让学生进一步理解平方差公式的结构特征，加深对公式本质的认识．3．应用平方差公式例3分解因式：(1)4x2－92； (2)(x＋p)2－(x＋p)2．师生活动：教师提出问题，组织学生观察多项式的结构特征，引导学生分析每一项的转化方法，鼓励学生思考，教师作规范的分解因式的板书示例．在(2)中，鼓励学生尝试用不同的方法来分解因式，如换元法等．设计意图：让学生在应用中进一步理解平方差公式，学会因式分解的规范格式，培养学生符号运算的能力、逆向思维和勤于观察的习惯．通过对因式分解方法的反思，评价解法的差异，获得因式分解的解题经验．练习将下列多项式分解因式：(1)a2－b2；(2)9a2－4b2；(3)－1＋36b2；(4)(2x＋y)2－(x＋2y)2．师生活动：四名学生板演，其他学生在练习本上完成，教师巡视，个别指导．设计意图：让学生在应用中进一步理解平方差公式的结构特征，较熟练地运用平方差公式，尤其是首项符号为负号或底数为多项式的情况如何转化为平方差公式的形式，从而积累解题经验．4．综合运用平方差公式例4 分解因式：(1)x4－y4； (2)a3b－ab．追问1：如何处理指数为4次的二项式？追问2：将x4－y4分解为(x2＋y2)(x2－y2)就可以了吗？追问3：将a3b－ab分解因式能直接运用平方差公式吗？师生活动：学生先独立思考，再开展分组活动，组内交流、讨论、展示，请思考成熟的学生发言，阐述解决问题的方法．教师及时给予鼓励和肯定，并最终形成解决上述问题的方法，即问题(1)两次运用平方差公式，问题(2)提公因式法和平方差公式综合运用．师生共同反思解决此类问题应该注意的问题.设计意图：通过小组合作的方式达成如下目标：(1)让学生理解并学会解决“分解因式必须进行到每一个多项式都不能再分解为止”的要求，即对因式分解结果中的每一个因式再进行分析，看是否还可以分解，逐一排查，确保已分解彻底；(2)对学过的两种因式分解的方法能初步综合运用，将两种方法有机地结合在一起，让学生看到因式分解的方法不是孤立的.即熟悉不同因式分解方法的本质特征，在面对具体问题情境时选准方法加以解决．练习分解因式：(1)x2y－4y； (2)－a4＋16．师生活动：两名学生板书，其他学生在练习本上完成，然后小组交流解题经验，解题过程可由学生进行评价．设计意图：使学生进一步综合应用因式分解的方法，训练计算的准确性、熟练性、灵活性，起到强化巩固的作用．5．小结教师与学生一起回顾本节课所学习的主要内容，并请学生回答以下问题：(1)本节课学习了哪些主要内容？(2)因式分解的平方差公式的结构特征是什么？(3)综合运用提公因式法和平方差公式进行因式分解时要注意什么？设计意图：引导学生从知识内容和学习过程两个方面总结自己的收获，通过建立知识之间的联系，促进学生数学思维品质的优化．6．布置作业教材习题14.3第2题，第4题(2)．五、目标检测设计1．下列多项式能用平方差公式来分解因式的是( )．A．－a2＋b2B．－a2－b2C．a2＋b2设计意图：检测学生对平方差公式的特征的理解情况．2．分解因式：(1)－81a2－b2；(2)(3a＋2b)2－(3a－2b)2.设计意图：检测学生对平方差公式的理解和运用情况．3．分解因式：(1)1－16a4；(2)9a2b－4b．设计意图：检测学生对提公因式法与平方差公式的综合应用的掌握情况．。
14.3.2___公式法(1)平方差公式
解: (1) x4-y4
(2) a3b-ab
= (x2+y2)(x2-y2)
= (x2+y2)(x+y)(x-y)
=ab(a2-1)
=ab(a+1)(a-1).
分解因式，必须进行 到每一个多项式都不 能再分解为止.
例 把下列各式分解因式:
（1）9(m+n)2－(m－n)2 （2）2x3－8x 解 (1) 9(m +n)2－(m－n)2 =［3（m +n）］2－(m－n)2 =[3(m +n)+(m－n)][3(m +n)－(m－n)] =(3 m +3n+ m－n)(3 m +3n－m +n) =(4 m +2n)(2 m +4n) =4(2 m +n)(m +2n) (2) 2x3－8x =2x (x2－4) 有公因式时，先提 公因式，再考虑用 =2x (x+2)(x－2) 公式.
问题2：你能将多项式 a2 - b2 进行因式分解吗？ 即 a2－b2=( a+b )( a－b )
a2－b2=( a+b )( a－b )
这就是用平方差公式进行因式分解， 我们称之为公式法.
利用平方差公式分解因式
a2－b2=(a+b)(a－b)
能用平方差公式分解因式的多项式的特点： （1）一个二项式. （2）每项都可以化成整式的平方. （3）整体来看是两个整式的平方差. 两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个 数的差的积.
布置作业
1.必做题：教材第119页习题14.3第2题. 2.选做题：教材第119~120页习题14.3 第4、7题.
14.3.2 公式法 （平方差公式）
人教版八年级数学上册14.3.2《公式法》 课件第1课时(共17张PPT)
探究新知
4．将 a2 b2 (a b)(a b) 用文字语言表述， 并说明公式中的字母a，b可以表示什么？
（1）(a b)2 c2 a2 2ab b2 c2 ；
不正确． 对分解因式的概念不清，左边是多项式的形 式，右边应是整式乘积的形式，但右边还是多项 式的形式，因此，最终结果是未对所给多项式进 行因式分解.
课堂练习
（2）a4 1 (a2 )2 1 (a2 1)(a2 1) ．
不正确． 因式分解不彻底．
3．因式分解应进行到每一个因式不能分解为止． 4．计算中应用因式分解，可使计算简便．
课堂小结
本图片资源介绍了用平方差公式分解因式，适用于公 式法的教学.若需使用，请插入图片【知识点解析】 用平方差公式分解因式.
课堂小结
本图片资源介绍了因式分解的一般步骤，适用于因式 分解的教学.若需使用，请插入图片【知识点解析】 因式分解的一般步骤.
（1）x2 4 与多项式和 （2）a2 36 进行因式
分解？
（1）x2 4 x2 22 (x 2)(x 2) ； （2） a2 36 a2 62 (a 6)(a 6) ．
例题解析
【例1】分解因式：
（1）4x2 9 ； （2） (x p)2 (x q)2 ．
解：（1）4x2 9 (2x)2 32 (2x 3)(2x 3) ； （2）(x p)2 (x q)2 [(x p)+(x q)][(x p) (x q)] (2x p q)( p q) ．
文字语言表述：两个数的平方差，等于这两个数 的和与这两个数的差的积．字母a 、b可以表示任何 数、单项式或多项式．
苏科版数学八年级上册第十四章14.3.2公式法
第十四章整式的乘法与因式分解14.3 因式分解14.3.2 公式法第1课时运用平方差公式因式分解学习目标：1.探索并运用平方差公式进行因式分解，体会转化思想．2.会综合运用提公因式法和平方差公式对多项式进行因式分解．重点：运用平方差公式进行因式分解.难点：综合运用提公因式法和平方差公式对多项式进行因式分解.一、知识链接1.什么叫多项式的因式分解?2.下列式子从左到右哪个是因式分解?哪个整式乘法？它们有什么关系？① a(x+y)=ax+ay；①ax+ay=a(x+y)3. 20162+2016 能否被2016整除？4.计算：（1）（a+5）（a－5）=___________；（2）（4m+3n）（4m－3n）=___________．二、新知预习试一试：观察以上计算结果，并根据因式分解与整式乘法是互逆运算，分解下列因式：（1）a2－25=___________；（2）16m2－9n=___________．做一做：分解因式a2－b2=____________.要点归纳：a2－b2=____________.即两个数的平方差，等于这两个数的_____与这两个数的______的________.三、自学自测填一填：(1)(a＋2)(a－2)＝_____________；a2－4=___________；(2)(5＋b)(5－b)＝______________;25－b2=___________；(3)(x＋4y)(x－4y)=______________;x2－16y2=___________.四、我的疑惑_______________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________一、要点探究探究点1：用平方差公式分解因式想一想：观察平方差公式a2－b2=（a+b）（a－b），它的项、指数、符号有什么特点？要点归纳：(1)左边是____次____项式，每项都是____的形式，两项的符号相反.(2)右边是两个多项式的____，一个因式是两数的____，另一个因式是这两个数的____．练一练：下列各式中，能用平方差公式分解因式的有()①x2＋y2；②x2－y2；③－x2＋y2；④－x2－y2；⑤1－14a2b2；⑥x2－4.A．2个B．3个C．4个D．5个方法总结:能用平方差公式分解因式的多项式具有以下特征：两数是平方，减号在中央．例1：分解因式：(1)(a＋b)2－4a2；(2)9(m＋n)2－(m－n)2.方法总结：公式中的a、b无论表示数、单项式、还是多项式，只要被分解的多项式能转化成平方差的形式，就能用平方差公式因式分解.例2：分解因式：(1)5m2a4－5m2b4；(2)a2－4b2－a－2b.方法总结：分解因式前应先分析多项式的特点，一般先提公因式，再套用公式.注意分解因式必须进行到每一个多项式都不能再分解因式为止．例3：已知x2－y2＝－2，x＋y＝1，求x-y，x，y的值．方法总结：在与x2－y2，x±y有关的求代数式或未知数的值的问题中，通常需先因式分解，然后整体代入或联立方程组求值.例4：计算下列各题：(1)1012－992； (2)53.52×4-46.52×4.方法总结：较为复杂的有理数运算，可以运用因式分解对其进行变形，使运算得以简化.针对训练1.下列因式分解正确的是( )A ．a 2＋b 2＝(a ＋b)(a ＋b)B ．a 2－b 2＝(a ＋b)(a －b)C ．－a 2＋b 2＝(－a ＋b)(－a －b)D ．－a 2－b 2＝－(a ＋b)(a －b)2.因式分解：(1)a 2－125b 2； (2)x －xy 2；(3)(2x ＋3y)2－(3x －2y)2； (4)3xy 3－3xy ；3.用简便方法计算：8.192×7－1.812×7.4.已知：|a-b-3|+（a+b-2）2=0，求a 2-b 2的值．二、课堂小结当堂检测 运用平方差公式分解因式 公式：a 2-b 2=______________.步骤：1.一提：提______；二套：套______；三查：检查每一个多项式是否都不能再分解因式.1.下列多项式中能用平方差公式分解因式的是()A．a2＋(－b)2B．5m2－20mnC．－x2－y2D．－x2＋92.分解因式(2x+3)2-x2的结果是（）A．3(x2+4x+3) B．3(x2+2x+3)C．(3x+3)(x+3) D．3(x+1)(x+3)3.若a+b=3，a-b=7，则b2-a2的值为（）A．-21 B．21 C．-10 D．104.把下列各式分解因式：(1) 16a2-9b2=_________________;(2) (a+b)2-(a-b)2=_________________;(3) 9xy3-36x3y=_________________;(4) -a4+16=_________________.5.若将(2x)n-81分解成(4x2+9)(2x+3)(2x-3)，则n的值是_____________.6.已知4m+n=40，2m-3n=5．求(m+2n)2-(3m-n)2的值．7.如图，在边长为6.8 cm正方形钢板上，挖去4个边长为1.6 cm的小正方形，求剩余部分的面积．8. (1)992-1能否被100整除吗？(2)n为整数,(2n+1)2-25能否被4整除？第十四章整式的乘法与因式分解14.3 因式分解14.3.2 公式法第2课时运用完全平方公式因式分解学习目标：1.理解并掌握用完全平方公式分解因式．2.灵活应用各种方法分解因式，并能利用因式分解进行计算．重点：掌握用完全平方公式分解因式.难点：灵活应用各种方法分解因式.一、知识链接1．前面我们学习了因式分解的意义，并且学会了一些因式分解的方法，运用学过的方法你能将a2＋2a＋1分解因式吗？2．(1) 填一填：在括号内填上适当的式子，使等式成立：①(a＋b)2＝________；②(a－b)2＝________.③a2＋________＋1＝(a＋1)2；④a2－________＋1＝(a－1)2.（2）想一想：①你解答上述问题时的根据是什么？②第(1)①②两式从左到右是什么变形？第(1)③④两式从左到右是什么变形？二、新知预习1．观察完全平方公式：____________＝(a＋b)2；_____________＝(a－b)2完全平方公式的特点：左边：①项数必须是________；②其中有两项是________；③另一项是________．右边：________________________________________________.要点归纳：把a²+______+b²和a²-______+b²这样的式子叫作完全平方式.2．乘法公式完全平方公式与因式分解完全平方公式的联系是________．把乘法公式逆向变形为：a2＋2ab＋b2＝________； a2－2ab＋b2＝________.要点归纳：用完全平方公式因式分解，即两个数的平方和加上(或减去)这两个数的积的2倍，等于这两个数的和(或差)的平方.三、自学自测1．下列式子为完全平方式的是( )A．a2＋ab＋b2B．a2＋2a＋2 C．a2－2b＋b2D．a2＋2a＋12．若x2＋6x＋k是完全平方式，则k＝________．3.填空：(1)x²+4x+4= ( )² +2·( )·( )+( )² =( )²(2)m² -6m+9=( )² - 2· ( ) ·( )+( )² =( )²(3)a²+4ab+4b²=( )²+2· ( ) ·( )+( )²=( )²4.分解因式：a2－4a＋4＝________．四、我的疑惑_______________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________二、要点探究探究点1：完全平方式例1：如果x2-6x+N是一个完全平方式,那么N是( )A . 11 B. 9 C. -11 D. -9变式训练如果x2-mx+16是一个完全平方式,那么m的值为________.方法总结:本题要熟练掌握完全平方公式的结构特征，根据参数所在位置，结合公式，找出参数与已知项之间的数量关系，从而求出参数的值.计算过程中，要注意积的2倍的符号，避免漏解．探究点2：用完全平方公式进行因式分解议一议：(1)将一个多项式因式分解的一般步骤是什么？(2)应注意的事项有哪些？(3)分解因式的方法有哪些？要点归纳：（1）利用公式把某些具有特殊形式（如__________，__________等）的多项式分解因式，这种分解因式的方法叫做公式法.（2）分解因式应根据多项式的特征，有公因式的一般先提_________,再套用公式，没有公因式的，则直接套用公式.分解因式应注意最后的结果中，多项式的每一个因式均不能再继续分解.例2：因式分解：(1)－3a2x2＋24a2x－48a2；(2)(a2＋4)2－16a2.例3：简便计算.(1)1002－2×100×99+99²；(2)342＋34×32＋162.方法总结：在较为复杂的有理数运算中，通常要先观察式子的特征，利用因式分解将其变形，转化为较为简单的运算.例4：已知x2－4x＋y2－10y＋29＝0，求x2y2＋2xy＋1的值．.方法总结：此类问题一般情况是将原式进行变形，将其转化为非负数的和的形式，然后利用非负数性质求出未知数的值，然后代入，即可得到所求代数式的值．例5：已知a，b，c分别是△ABC三边的长，且a2＋2b2＋c2－2b(a＋c)＝0，请判断△ABC的形状，并说明理由．1.下列式子中为完全平方式的是( )A．a2＋b2B．a2＋2a C．a2－2ab－b2D．a2＋4a＋42.若x2＋mx＋4是完全平方式，则m的值是________．3．分解因式：(1)y2＋2y＋1； (2)16m2－72m＋81.4．分解因式：(1)(x＋y)2＋6(x＋y)＋9； (2)4xy2－4x2y－y3.A．a2＋1 B．a2－6a＋9 C．x2＋5y D．x2－5y 2.把多项式4x2y－4xy2－x3分解因式的结果是( )A．4xy(x－y)－x3B．－x(x－2y)2C．x(4xy－4y2－x2) D．－x(－4xy＋4y2＋x2)3.若m＝2n＋1，则m2－4mn＋4n2的值是________．4.若关于x的多项式x2－8x＋m2是完全平方式，则m的值为___________.5.把下列多项式因式分解.（1）x2－12x+36; （2）4(2a+b)2-4(2a+b)+1; (3) y2+2y+1－x2.6.计算：(1)38.92－2×38.9×48.9＋48.92. （2）20142-2014×4026+20132.7.分解因式:(1)4x2＋4x＋1；(2)2123 3x x-+.小聪和小明的解答过程如下：他们做对了吗？若错误，请你帮忙纠正过来.8.(1)已知a－b＝3，求a(a－2b)＋b2的值；(2)已知ab＝2，a＋b＝5，求a3b＋2a2b2＋ab3的值．。
14.3.2第1课时运用平方差公式分解因式 课件 人教版八年级数学上册
（2） 4a2-9b2
=( 2a )2-( 3b )2=（2a+3b)(2a-3b).
探索新知
知识点 运用平方差公式分解因式
把上边的两个式子反过来：
（1）
x2-16
=(x+4)(x-4);
（2） 4a2-9b2
=( 2a )2-( 3b )2=（2a+3b)(2a-3b);
左边是多项式 右边是整式的积
探索新知
知识点 运用平方差公式分解因式 平方差公式的符号表达形式： (a+b)(a-b)=a2-b2
运用平方差公式计算:
（1）(x+4)(x-4)= x2-16
;
（2）（2a+3b)(2a-3b)=( 2a )2-( 3b )2=
4a2-9b2 .
把上边的两个式子反过来：
（1）
x2-16
=(x+4)(x-4);
一定要检查是否还有能继续分解的因式，若有，则需继续分解. 分解因式时，若有公因式，一般先提公因式，然后再运用平方差公 式.
学以致用
1.若a+b=3，a-b=7，则b2-a2的值为（ A ）
A．-21 B．21
C．-10 D．10
【解析】b2-a2=（b+a）（b-a）=3×（-7）=-21． 故选A．
符合“（）2-（）2”的形式的多项式才能用平方差公式进 行因式分解，可简记为“两数是平方，减号在中央”.
探索新知
知识点 运用平方差公式分解因式
例2 分解因式.
（1）4x2-9；
(2) (x+p)2-(x+q)2 .
可写成(2x)2-32的形式
两者均看成一个整体
解：(1)4x2-9=(2x)2-32=(2x+3)(2x-3) ; (2)(x+p)2-(x+q)2=[(x+p)+(x+q)][(x+p)-(x+q)]=(2x+p+q)(p-q) .
14.3.2公式法
有公因式时，先 提公因式，再考
2）.
虑用公式.
3.判断下列分解因式是否正确. （1）（a+b）2－c2=a2+2ab+b2－c2. （2）a4－1=（a2）2－1=（a2+1)·(a2－1).
4.分解因式： （1）x4-y4.
（2）a3b-ab.
分解因式，必须进行 到每一个多项式都不 能再分解为止.
3.如果一个多项式的各项，不具备相同的因式， 是否就不能分解因式了呢？
x2－y2=？
活动二 探究因式分解的方法-------公式法
1. 计算：（1）(x+1)(x-1)
x2 1
(2) (y+4)(y-4)
y2 16
2. 根据1题的结果分解因式：
（1） x 2 1
=(x+1)(x-1)
（2） y 2 16
活动三 新知运用
1.把下列各式分解因式：
（1）25－16x2.
（2）9a2－b2.
解 （1）25－16x2
（2）9a2－b2
=52－（4x）2
=（3a）2－（b）2
=（5+4x)(5－4x）. =（3a+b)(3a－b）.
2.把下列各式分解因式:
（1）9（m+n）2－（m－n）2. （2）2x3－8x.
a2 2abb2 a2 2abb2
我们把以上两个式子 叫做完全平方式
“头” 平方, “尾” 平方, “头” “尾”两倍中间放.
1、回答：下列各式是不是完全平方式
1 a2 b2 2ab 是
22xy x2 y 2 是 3 x2 4xy 4 y 2 是 4a2 6abb2 否 5x2 x 1 是
【解析】(1)x4-y4 =（x2)2-(y2)2 =(x2+y2)(x2-y2) =(x2+y2)(x+y)(x-
人教版八年级数学上册教案： 14.3.2 公式法
14.3.2 公式法第1课时公式法（1）【教学目标】1.使学生进一步理解因式分解的意义.2.使学生理解平方差公式的意义，弄清公式的形式和特征，会运用平方差公式分解因式.3.通过对比整式乘法和分解因式的关系，进一步发展学生的逆向思维能力.【重点难点】重点：运用平方差公式进行因式分解.难点：观察多项式的特点，判断是否符合公式的特征和综合运用分解的方法，并完整地进行分解.教学过程设计意图一、创设情境，导入新课1.将下列多项式分解因式.(1)x2＋2x；(2)a2b－aB.2.比一比，看谁算得又快又准确：(1)572－562；(2)962－952；(3)(1725)2－(825)2.师生活动：学生完成第1题，口答结果，回忆什么是因式分解.追问因式分解与整式乘法的关系.学生回答后尝试第2题，学生计算有困难时提醒学生观察这几个小题的特征.通过第1题复习因式分解的定义，回忆因式分解与整式乘法的关系，为后续学习提供方法.第2题培养学生观察、归纳能力，为新知学习打下基础.二、师生互动，探究新知问题1：观察下列多项式：x2－4和y2－25.(1)它们有什么共同特点吗？(2)能否进行因式分解？你会想到什么公式？学生思考，师生共同总结：①他们有两项，且都是两个数的平方差；②会联想到平方差公式.(3)尝试分解x2－4和y2－25.问题2：观察平方差公式：a2－b2＝(a＋b)(a－b)的项、指数、符号有什么特点？让学生分析、讨论、总结，最后得出下列结论.(1)左边是二项式，每项都是平方的形式，两项的符号相反；(2)右边是两个多项式的积，一个因式是两数的和，另一个因式是这两数的差；(3)在乘法公式中，“平方差”是计算结果，而在分类比提公因式法分解因式的学习，逆用公式，得到平方差公式，同时观察，归纳运用平方差公式的特点，培养学生分析、归纳的能力.练一练的设计能很好地反映学生的认知层次，该题也涉及积的乘方等知识，要放手让学生去做，暴露的问题及时纠正，为公式法分解因式铺平道路.解因式中，“平方差”是能得到分解因式的多项式.由此可知如果多项式是两数差的形式，并且这两个数又都可以写成平方的形式，那么这个多项式可以运用平方差公式分解因式.练一练：(1)4a2＝( )2；(2)49b2＝( )2；(3)0.16a4＝( )2；(4)1.21a2b2＝( )2；(5)214x4＝( )2；(6)549x4y2＝( )2.做此填空题的作用在于训练学生迅速地把一个单项式写成平方的形式.也可以对积的乘方、幂的乘方运算法则给予一定时间的复习，避免出现4a2＝(4a)2这一类错误.三、运用新知，解决问题1.分解因式：(1)4x2－9；(2)(x＋p)2－(x＋q)2.2.分解因式：(1)x4－y4；(2)a3b－aB.可放手让学生思考求解，然后师生共同讨论，纠正学生解题中可能发生的错误，并对各种错误进行评析.学生解题中可能发生如下错误，教师板书：(1)系数变形时计算错误；(2)结果不化简；(3)化简时去括号发生符号错误.巩固新知，分析思路，渗透整体的数学思想，并体会因式分解是一般方法，即一提二看三检查.四、课堂小结，提炼观点1.举一个例子说说应用平方差公式分解因式的多项式应具有怎样的特征；2.因式分解的一般过程是什么？应注意什么问题？3.除了平方差公式外，你还学过什么乘法公式？猜想具备什么形式的式子还可以进行因式分解？五、布置作业，巩固提升教材第119页第2题【板书设计】公式法平方差公式：a2－b2＝(a＋b)(a＋b)一提二看三检查，分解要彻底.【教学反思】本节课是因式分解的第二节课，主要是研究用平方差公式以及用提公因式法对多项式进行因式分解的方法.由于因式分解和整式的乘法是对多项式从相反的方向进行了恒等变形，因此提出的第1个问题帮助学生回忆因式分解的概念，为第2个问题的顺利解决奠定了基础.课题的引入简单而紧扣主题.【教学目标】1.在掌握了因式分解意义的基础上，会运用平方差公式和完全平方公式对比较简单的多项式进行因式分解.2.在运用公式法进行因式分解的同时，培养学生的观察、比较和判断能力以及运算能力，用不同的方法分解因式可以提高综合运用知识的能力.3.进一步体验“整体”的思想，培养“换元”的意识.【重点难点】重点：运用完全平方公式法进行因式分解.难点：观察多项式的特点，判断是否符合公式的特征和综合运用分解的方法，并完整地进行分解.教学过程设计意图一、创设情境，导入新课问题1：什么叫因式分解？我们已经学过哪些因式分解的方法？问题2：把下列各式分解因式：(1)ax4－a；(2)16m4－n4.问题3：结合上题思考因式分解要注意什么问题？①一提二看三检查；②分解要彻底.师生活动：学生回答，尝试因式分解，教师巡回指导，归纳因式分解中注意的问题.追问：我们学过的乘法公式除了平方差公式之外，还有哪些公式？请写出来.这节课我们就来讨论如何运用完全平方公式把多项式因式分解.通过说明，回忆因式分解的概念，类比平方差公式因式分解，为后续学习打下基础.二、师生互动，探究新知问题1：根据学习用平方差公式分解因式的经验和方教学时要始终注意分析公式的特法，分析和推测什么叫做运用完全平方公式分解因式？能够用完全平方公式分解因式的多项式具有什么特点？问题2：把下列各式分解因式：(1)a2＋2ab＋b2；(2)a2－2ab＋b2.将整式乘法的平方差公式反过来写即是分解因式的平方差公式.同样道理，把整式乘法的完全平方公式反过来写即分解因式的完全平方公式.反问：能不能用语言叙述呢？两个数的平方和，加上(或减去)这两数的积的2倍，等于这两个数的和(或差)的平方.即a2＋2ab＋b2＝(a＋b)2，a2－2ab＋b2＝(a－b)2.讲解：我们把具备a2＋2ab＋b2，a2－2ab＋b2这种形式的式子叫完全平方式.问题3：下列各式是不是完全平方式？如果是，请分解因式.(1)a2－4a＋4；(2)x2＋4x＋4y2；(3)4a2＋2ab＋14b2；(4)a2－ab＋b2；(5)x2－6x－9；(6)a2＋a＋0.25.放手让学生讨论，达到熟悉公式结构特征的目的.学生解答之后反思：什么样的式子是完全平方式呢？学生归纳：①三项式；②两项为两个数的平方和的形式；③第三项为加(或减)这两个数的积的2倍. 征，给予学生清晰的印象，分解因式的完全平方公式，左边是一个二次三项式，其中有两个数的平方和还有这两个数的积的2倍或这两个数的积的2倍的相反数，符合这些特征，就可以化成右边的两数和(或差)的平方，从而达到因式分解的目的.三、运用新知，解决问题1.分解因式：(1)16x2＋24x＋9；(2)－x2＋4xy－4y2.2.分解因式：(1)3ax2＋6axy＋3ay2；(2)(a＋b)2－12(a＋b)＋36.学生尝试完成，如有困难，可提醒学生因式分解的一般过程是什么？完全平方公式中a，b各表示什么意义？该环节应放手让学生去思考，出现的问题，集体讨论，达成共识.四、课堂小结，提炼观点1.举一个例子说说应用完全平方公式分解因式的多项式应具有怎样的特征.2.谈谈多项式因式分解的思考方向和分解的步骤.3.谈谈多项式因式分解的注意点.对这些问题进行回顾和小结，能从大的方面把握因式分解的方向和培养观察能力.五、布置作业，巩固提升教材第119页第3题【板书设计】公式法a2±2ab＋b2＝(a±b)2一提二看三检查【教学反思】将乘法公式反过来就得到多项式的因式分解，看似很简单的问题，对初学因式分解的学生来说，存在以下三方面的问题：①不知道用哪一个公式；②不懂得如何套用公式；③当公式中的字母a，b为多项式时，因结构复杂不知从何入手.解决这些问题可采取以下策略：①让学生掌握多项式因式分解公式并熟记这些公式；②从多项式的项数入手，分辨用哪一个公式，如果多项式是两项式，那么考虑用平方差公式，如果多项式是三项式，那么考虑用完全平方公式.。
14.3.2 公式法(第1课时)
探究新知
基础训练3 1.完成课本P117练习2 (3)(4) 2.将下列多项式分解因式： （1）（ 2x+y） 2-（ x+2y） 2． （2） x2(xy)y2(yx)
拓展提高
1.如图，外圆半径R=9.5 cm，内圆半径r=8.5 cm，求圆环（阴影部分）的面积.
r R
拓展提高
2.计算 1 22 23 24 25 26 2 20 2 1 23 0 2 14
（2）如果从右到左看，是一种什么变形？整式乘法
因式分解和整式乘法是方向相反的变形.
温故辅新
2、你能将多项式a2 - b2进行因式分解吗？
即a2 - b2=（
）（
）.
a2 - b2 =（ a + b）（ a - b）
我们称之为公式法.
两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个 数的差的积。
探究新知 基础训练1
）2 的形式. ）（ ）.
探究新知
基础训练2 1.完成课本P117练习2 (1)(2) 2.将下列多项式分解因式： （1）-1+36b2； （2）(xa)2(xb)2
探究新知
【自学指导2】
请你自学课本P116例4，思考下面的问题： （1）第（2）小题先用了什么方法分解因式； （2）通过这两道题，你认为对于分解因式的结果 要注意什么？
请你自学课本P116例3，思考下面的问题： （1)应用平方差公式进行因式分解的步骤是什么？
（2）例3（2）运用了什么数学思想？
整体思想 公式中的a与b•可以表示一个数、一个单项式、一个多 项式.
探究新知 [例3]分解因式：（1）4x2-9 （2）(x+p)2-(x+q) 2
①先化为（
人教版八年级数学上册课件：14.3.2公式法(第一课时)
(3)证明这个规律的正确性．
(3)设两奇数为2m+1和2n+1，则 (2m+1)2-(2n+1)2 =(2m+2n+2)(2m-2n) =4(m+n+1)(m-n)． 当m、n同为奇数或偶数时，4(m-n)一定为8的倍数； 当m、n为一奇一偶时，m+n+1为偶数， 4(m+n+1)一定为8的倍数． 综上，任意两奇数的平方差是8的倍数．
(2x+5y)(2x-5y)
12．已知a、b、c为△ABC的三边长，且满足a2c2b2c2=a2b2-a4，则△ABC的形状是 等腰三角．形
13．老师在黑板上写出几个算式： 52-32=8×2，92-72=8×4，152-32=8×27， 王华接着又写了两个具有同样规律的算式： 112-52=8×12，152-72=8×22，… (1)请再写出两个具有上述规律的算式(不同于上面算式)； (2)用文字写出上述算式的规律；
(2)m3-m； 解：原式=m(； 解：原式=(4m2+3n)(4m2-3n);
(4)3ax2-3ay2； 解：原式=3a(x+y)(x-y);
(5)(x+2)2-9． 解：原式=(x+5)(x-1)．
10．将下列各式因式分解． (1)(2x+3)2-25x2; 解：原式=(2x+3+5x)(2x+3-5x) =(7x+3)(3-3x) =-3(x-1)(7x+3);
4、All that you do, do with your might; things done by halves are never done right. ----R.H. Stoddard, American poet做一切事都应尽力而为，半途而废永远不行6.17.20216.17.202110:5110:5110:51:1910:51:19
教学设计1：14.3.2公式法（1）
14.3.2公式法（1）教学目标：1.能说出平方差公式的特点．2.能较熟练地应用平方差公式分解因式．3.知道因式分解的要求：把多项式的每一个因式都分解到不能再分解．4.经历探究平方差公式分解因式的过程，掌握利用平方差公式分解因式的方法． 教学重点：应用平方差公式分解因式．教学难点：灵活应用平方差公式分解因式．教学活动：一、创设情境独立思考1、阅读课本P116 ～117 页，思考下列问题：（1）因式分解的平方差公式是什么？（2）课本P116页例3例4你能独立解答吗？2、师生合作解决问题[1]你能叙述多项式因式分解的定义吗？[2]运用提公因式法分解因式的步骤是什么？[3]你能将a 2-b 2分解因式吗？你是如何思考的？观察平方差公式：a 2-b 2=（a +b ）（a -b ）．的项、指数、符号的特点：两数的平方差，等于这两数的和与这两数差的积。
填空：（1）4a 2=（ 2a ）2； （2）b 2=（ 23b ）2；（3）0.16a 4=（ 0.4a ）2； （4）1.21a 2b 2=（ 1.1ab ）2；（5）2x 4=（ 232x ）2； （6）5x 4y 2=（273x y ）2． 四、归纳总结巩固新知1、知识点的归纳总结：平方差公式：a 2-b 2=（a +b ）（a -b ）．两数的平方差，等于这两数的和与这两数差的积。
4914492、运用新知解决问题：[例1]分解因式（1） （2）解：[例2]因式分解： 解：（1）x 4-y 4 （2）a 3b -ab=（x 2+y 2）（x 2-y 2） =ab （a 2-1）=（x 2+y 2）（x +y ）（x -y ）． =ab （a +1）（a -1）．练习1：课本P117页练习练习2：课本P119页习题14.3第2题五、课堂小结通过本节的学习，你学到了什么？总结一下，然后与小组的同学交流。
六、布置作业1、课本习题14.3第2题；2、分解因式（1） （2） （3） （4） （5）【答案】（1）()()11x y y +- （2）133522a b a b ⎛⎫⎛⎫+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ （3）6()2x y + （4）()()()2225ma b a b a b ++- （5）()()311xy y y +- 942-x 22)()(p x p x --+44y x -33ab b a -2xy x -2220951b a -22)23()32(y x y x --+424255b m a m -xy xy 333-。