人教新课标A版高中选修4-5数学2.2分析法与综合法同步检测B卷

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人教新课标A版选修4-5数学1.1不等式同步检测B卷

人教新课标A版选修4-5数学1.1不等式同步检测B卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共15题；共30分)1. （2分） (2016高二下·宜春期末) 若不等式|x+ |＞|a﹣2|+1对于一切非零实数x均成立，则实数a 的取值范围是（）A . 2＜a＜3B . 1＜a＜2C . 1＜a＜3D . 1＜a＜4【考点】2. （2分）已知函数若存在，当时，，则的取值范围是（）【考点】3. （2分）设实数成等差数列，则下列不等式一定成立的是（）【考点】4. （2分）对于任意的实数，下列命题正确的是（）A . 若，则B . 若，则C . 若，则D . 若，则【考点】5. （2分） (2016高一下·钦州期末) 设a＞1＞b＞﹣1，则下列不等式中恒成立的是（）A .B .C . a＞b2D . a2＞2b【考点】6. （2分） (2017高一上·建平期中) 如果a＜b＜0，那么下列不等式成立的是（）A .B . ab＜b2C . ﹣ab＜﹣a2D .【考点】7. （2分） (2016高二上·大连期中) 下列命题中正确的是（）A . 的最小值是2B . 的最小值是2C . 的最小值是D . 的最大值是【考点】8. （2分） (2019高二上·江阴期中) 某公司租地建仓库，每月土地占用费y1与仓库到车站的距离成反比，而每月库存货物的运费y2与到车站的距离成正比，如果在距离车站10km处建仓库，这两项费用y1和y2分别为2万元和8万元，那么要使这两项费用之和最小，仓库应建在距离车站（）A . 4kmB . 5kmC . 6kmD . 7km【考点】9. （2分） (2019高一上·黄梅月考) 已知，且，若恒成立，则实数的值取值范围是（）A .B .C .D .【考点】10. （2分）在中，O为边BC中线AM上的一点，若AM=4，则的（）A . 最大值为8B . 最大值为4C . 最小值－4D . 最小值为－8【考点】11. （2分） (2017高二下·瓦房店期末) 设正实数满足 .则当取得最大值时，的最大值为（）A . 0B .C . 1D . 3【考点】12. （2分） (2016高三上·西安期中) 已知函数y=f（x﹣1）的图象关于点（1，0）对称，且当x∈（﹣∞，0），f（x）+xf′（x）＜0成立．若a=（20.2）•f（20.2），b=（ln2）•f（ln2），c=（log2 ）•f（log2 ），则a，b，c的大小关系是（）A . a＞b＞cB . b＞a＞cC . c＞a＞bD . a＞c＞b【考点】13. （2分） (2018高二下·石家庄期末) 若，则下列不等式成立的是（）A .B .C .D .【考点】14. （2分）下列不等式结论成立的是（）A . a+b＞c+d⇒a＞c且b＞dB . ac2＞bc2⇒a＞bC . ＞⇒ab＜cdD . ＞⇔a＞b【考点】15. （2分） (2016高二上·赣州期中) 如果a＜b＜0，那么下列不等式成立的是（）A .B . ab＜b2C . ﹣ab＜﹣a2D .【考点】二、填空题 (共6题；共7分)16. （1分）函数的最小值为________ ．【考点】17. （2分） (2016高三上·台州期末) 已知函数f（x）= ，则f（f（2））=________，不等式f（x﹣3）＜f（2）的解集为________．【考点】18. （1分）已知1≤x≤3，﹣1≤y≤4，则3x+2y的取值范围是________．【考点】19. （1分） (2018高二上·福建期中) 若，则下列不等式：①a＋b<ab；②|a|>|b|；③ ；④b>a，正确的有________【考点】20. （1分） (2020高一下·温州期末) 已知正实数x，y满足，则的最小值是________.【考点】21. （1分） (2019高三上·上海期中) 若，则的最小值是________.【考点】三、解答题 (共4题；共45分)22. （10分） (2020高三上·泸县期末) 已知函数，且恒成立.（1）求的值；（2）当时，，证明： .【考点】23. （10分） (2020高一下·温州期末) 在中，角所对的边分别为，若，且 .（1）求角C；（2）求面积的最大值.【考点】24. （10分） (2019高一下·宁波期中) 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．（1）求角C的值；（2）若，当边c取最小值时，求的面积．【考点】25. （15分） (2017高一下·淮安期中) 某机床厂今年初用98万元购进一台数控机床，并立即投入使用，计划第一年维修、保养费用12万元，从第二年开始，每年的维修、保养修费用比上一年增加4万元，该机床使用后，每年的总收入为50万元，设使用x年后数控机床的盈利总额y元．（1）写出y与x之间的函数关系式；（2）从第几年开始，该机床开始盈利？（3）使用若干年后，对机床的处理有两种方案：①当年平均盈利额达到最大值时，以30万元价格处理该机床；②当盈利额达到最大值时，以12万元价格处理该机床．问哪种方案处理较为合理？请说明理由．【考点】参考答案一、选择题 (共15题；共30分)答案：1-1、考点：解析：答案：2-1、考点：解析：答案：3-1、考点：解析：答案：4-1、考点：解析：答案：5-1、考点：解析：答案：6-1、考点：解析：答案：7-1、考点：解析：答案：8-1、考点：解析：答案：9-1、考点：解析：答案：10-1、考点：解析：答案：11-1、考点：解析：答案：12-1、考点：解析：答案：13-1、考点：解析：答案：14-1、考点：解析：答案：15-1、考点：解析：二、填空题 (共6题；共7分)答案：16-1、考点：解析：答案：17-1、考点：解析：答案：18-1、考点：解析：答案：19-1、考点：解析：答案：20-1、考点：解析：答案：21-1、考点：解析：三、解答题 (共4题；共45分)答案：22-1、答案：22-2、考点：解析：答案：23-1、答案：23-2、考点：解析：答案：24-1、答案：24-2、考点：解析：答案：25-1、答案：25-2、答案：25-3、考点：解析：。

人教a版高中数学选修21全册同步练习及单元检测含答案

答案：一元二次方程 ax2＋ bx＋ c＝0( a≠0) 此方程有两个不相等的实数根
假
三、解答题 ( 每小题 10 分，共 20 分 )
7．指出下列命题的条件 p 和结论 q： (1) 若 x＋ y 是有理数，则 x， y 都是有理数；
(2) 如果一个函数的图象是一条直线，那么这个函数为一次函数．
1
1
∴ a＋1≥１且 a≤ 2，即 0≤ a≤ 2.
1 ∴满足条件的 a 的取值范围为 0， 2 .
4 8．求证： 0≤ a< 是不等式
ax2－ ax＋1－ a>0 对一切实数
x 都成立的充要条件．
5
4 证明：充分性：∵ 0<a< ，
5 ∴ Δ＝a2－ 4a(1 －a) ＝ 5a2－ 4a＝ a(5 a－4)<0 ，则 ax2－ ax＋ 1－ a>0 对一切实数 x 都成立．而当 a＝ 0 时，不等式 ax2－ax＋ 1－ a>0 可变成 1>0.
x 都成立的充要条件．
尖子生题库 ☆☆☆ 9． (10 分 ) 已知条件 p： A＝ { x|2 a≤ x≤ a2＋ 1} ，条件 q： B＝{ x| x2－ 3( a＋ 1) x＋2(3 a＋ 1) ≤0} ．若 p 是 q 的充分条件，求实数 a 的取值范围．解析：先化简 B， B＝ { x|( x－ 2)[ x－ (3 a＋1)] ≤0} ，
答案： (1)(2)(3)
x 6．设集合 A＝ x| x－1<0 ，B＝ { x|0< x<3} ，那么“ m∈ A”是“ m∈ B”的 ________条件．
x
解析：
A＝
x|
<0 x－ 1

新教材高中数学全册综合检测新人教A版选择性必修第二册

全册综合检测A 卷——基本知能盘查卷 (时间：120分钟满分：150分)一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．下列数中，是数列{n (n ＋1)}中的一项的是( ) A ．380 B ．29 C ．32 D ．23解析：选A 令380＝n (n ＋1)，即n 2＋n －380＝0，解得n ＝19或n ＝－20(舍去)，所以380是{n (n ＋1)}的第19项．同理，可检验B 、C 、D 不是该数列中的项．2．曲线y ＝e x －ln x 在点(1，e)处的切线方程为( ) A ．(1－e)x －y ＋1＝0 B ．(1－e)x －y －1＝0 C ．(e －1)x －y ＋1＝0D ．(e －1)x －y －1＝0解析：选C 由于y ′＝e －1x，所以y ′| x ＝1＝e －1，故曲线y ＝e x －ln x 在点(1，e)处的切线方程为y －e ＝(e －1)(x －1)，即(e －1)x －y ＋1＝0.3．已知等比数列{a n }的公比为－2，且S n 为其前n 项和，则S 4S 2等于( ) A ．－5 B ．－3 C ．5 D ．3解析：选C 由题意可得，S 4S 2＝a 1[1－－24]1－－2a 1[1－－22]1－－2＝1＋(－2)2＝5. 4．若函数f (x )＝a e x－sin x 在x ＝0处有极值，则a 的值为( ) A ．－1 B ．0 C ．1 D ．e 解析：选C f ′(x )＝a e x－cos x ，若函数f (x )＝a e x－sin x 在x ＝0处有极值，则f ′(0)＝a －1＝0，解得a ＝1，经检验a ＝1符合题意，故选C.5．设函数f (x )在定义域内可导，y ＝f (x )的图象如图所示，则其导函数y ＝f ′(x )的图象可能为( )解析：选D 由函数y ＝f (x )的图象知，当x <0时，f (x )单调递减；当x >0时，f (x )先递增，再递减，最后再递增，分析知y ＝f ′(x )的图象可能为D.6．在等比数列{a n }中，a n >0，且a 2＝1－a 1，a 4＝9－a 3，则a 4＋a 5的值为( ) A ．16 B ．27 C ．36D ．81解析：选B 设等比数列{a n }的公比为q ，由已知得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 2＝1，a 3＋a 4＝9，即⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 2＝1，q 2a 1＋a 2＝9，∴q 2＝9.∵a n >0，∴q ＝3，∴a 4＋a 5＝q (a 3＋a 4)＝3×9＝27.故选B.7．若函数f (x )＝13x 3－⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋b 2x 2＋2bx 在区间[－3,1]上不单调，则f (x )在R 上的极小值为( )A ．2b －43B ．32b －23C ．0D ．b 2－16b 3解析：选A 由题意，得f ′(x )＝(x －b )(x －2)．因为f (x )在区间[－3,1]上不单调，所以－30，得x >2或x <b ；由f ′(x )<0，得b <x <2，所以f (x )的极小值为f (2)＝2b －43.故选A.8．用长为90 cm ，宽为48 cm 的长方形铁皮做一个无盖的容器，先在四个角分别截去一个大小相同的小正方形，然后把四边翻折90°角，再焊接而成(如图)，当容器的体积最大时，该容器的高为( )A ．8 cmB ．9 cmC ．10 cmD ．12 cm解析：选C 设容器的高为x cm ，容器的体积为V (x ) cm 3，则容器的长为(90－2x ) cm ，宽为(48－2x ) cm ，所以容器的体积V (x )＝x (90－2x )(48－2x )＝4x 3－276x 2＋4 320x (0＜x ＜24)，V ′(x )＝12x 2－552x ＋4 320＝12(x 2－46x ＋360)．由V ′(x )＞0，得0＜x ＜10；由V ′(x )＜0，得10＜x ＜24，所以V (x )在(0,10)上单调递增，在(10,24)上单调递减，故容器的体积V (x )最大时，该容器的高为10 cm.二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分)9．已知首项为正数，公差不为0的等差数列{a n }，其前n 项和为S n ，则下列命题中正确的是( )A ．若S 10＝0，则S 2＋S 8＝0B ．若S 4＝S 12，则使S n ＞0的n 的最大值为15C ．若S 15＞0，S 16＜0，则{S n }中S 8最大D ．若S 7＜S 8，则S 8＜S 9解析：选BC 对于A ，若S 10＝0，则S 10＝a 1＋a 10×102＝0，则a 1＋a 10＝0，即2a 1＋9d ＝0，则S 2＋S 8＝(2a 1＋d )＋(8a 1＋28d )＝10a 1＋29d ≠0，A 不正确；对于B ，若S 4＝S 12，则S 12－S 4＝0，即a 5＋a 6＋…＋a 11＋a 12＝4(a 8＋a 9)＝0，由于a 1＞0，则a 8＞0，a 9＜0，则有S 15＝15a 1＋a 152＝15a 8＞0，S 16＝16a 1＋a 162＝16a 8＋a 92＝0，故使S n ＞0的n 的最大值为15，B 正确；对于C ，若S 15＞0，S 16＜0，则S 15＝15a 1＋a 152＝15a 8＞0，S 16＝16a 1＋a 162＝16a 8＋a 92＜0，则有a 8＞0，a 9＜0，则{S n }中S 8最大，C 正确；对于D ，若S 7＜S 8，即a 8＝S 8－S 7＞0，而S 9－S 8＝a 9，不能确定其符号，D 错误．故选B 、C.10．设函数f (x )＝2x＋ln x ，则( )A ．x ＝12为f (x )的极大值点B ．x ＝2为f (x )的极小值点C ．f (x )的最大值为1＋ln 2D ．f (x )的最小值为1＋ln 2 解析：选BD ∵f (x )＝2x＋ln x ，∴f ′(x )＝－2x 2＋1x ＝x －2x2(x ＞0)，由f ′(x )＝0得x ＝2.当x ∈(0,2)时，f ′(x )＜0，f (x )为减函数；当x ∈(2，＋∞)时，f ′(x )＞0，f (x )为增函数， ∴x ＝2为f (x )的极小值点，f (x )无极大值点，且f (x )的极小值也是最小值，为1＋ln 2，无最大值．故选B 、D.11．已知数列{a n }是公差不为0的等差数列，前n 项和为S n .若对任意的n ∈N *，都有S n≥S 3，则a 6a 5的值可能为( )A ．2B ．53 C.32 D ．43解析：选ABC 设等差数列{a n }的公差为d (d ≠0)，∵数列{a n }是公差不为0的等差数列，前n 项和为S n ，对任意的n ∈N *，都有S n ≥S 3，∴⎩⎪⎨⎪⎧S 1≥S 3，S 2≥S 3，S 4≥S 3，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1≥3a 1＋3×22d ，2a 1＋d ≥3a 1＋3×22d ，4a 1＋4×32d ≥3a 1＋3×22d ，∴－3d ≤a 1≤－2d (d ＞0)， ∴代入选项知，当a 6a 5＝a 1＋5da 1＋4d＝2时，a 1＝－3d 成立；当a 6a 5＝a 1＋5d a 1＋4d ＝53时，a 1＝－52d 成立；当a 6a 5＝a 1＋5d a 1＋4d ＝32时，a 1＝－2d 成立；当a 6a 5＝a 1＋5da 1＋4d＝43时，a 1＝－d 不成立．故选A 、B 、C. 12．已知函数f (x )及其导数f ′(x )，若存在x 0使得f (x 0)＝f ′(x 0)，则称x 0是f (x )的一个“巧值点”．给出下列四个函数，其中有“巧值点”的函数是( )A ．f (x )＝x 2B ．f (x )＝e －xC ．f (x )＝ln xD ．f (x )＝tan x解析：选AC 对于A ，若f (x )＝x 2，则f ′(x )＝2x .令x 2＝2x ，得x ＝0或x ＝2，这个方程显然有解，故A 符合要求；对于B ，若f (x )＝e －x，则f ′(x )＝－e －x，即e －x＝－e －x，此方程无解，B 不符合要求；对于C ，若f (x )＝ln x ，则f ′(x )＝1x .若ln x ＝1x，利用数形结合法可知该方程存在实数解，C 符合要求；对于D ，若f (x )＝tan x ，则f ′(x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x cos x ′＝1cos 2x.令f (x )＝f ′(x )，可得sin x cos x ＝1，即sin 2x ＝2，无解，D 不符合要求．三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上) 13．若数列{a n }的前n 项和S n ＝3n 2－2n ＋1，则数列{a n }的通项公式a n ＝________. 解析：当n ＝1时，a 1＝S 1＝3×12－2×1＋1＝2；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝3n 2－2n ＋1－[3(n －1)2－2(n －1)＋1]＝6n －5，显然当n ＝1时，不满足上式．故数列的通项公式为a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2，n ＝1，6n －5，n ≥2.答案：⎩⎪⎨⎪⎧2，n ＝1，6n －5，n ≥214．函数f (x )＝x －a ln x (a >0)的极小值为________．解析：因为f (x )＝x －a ln x (a >0)，所以f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1－ax(a >0)．由f ′(x )＝0，解得x ＝a . 当x ∈(0，a )时，f ′(x )<0；当x ∈(a ，＋∞)时，f ′(x )>0，所以函数f (x )在x ＝a 处取得极小值，且极小值为f (a )＝a －a ln a . 答案：a －a ln a15．曲线y ＝sin x x在点M (π，0)处的切线方程为________．解析：因为y ′＝cos x ·x －sin xx 2，所以所求切线的斜率为k ＝y ′| x ＝π＝πcos π－sin ππ2＝－1π.由于切点坐标为(π，0)，故切线方程为y ＝－1π(x －π)，即x ＋πy －π＝0. 答案：x ＋πy －π＝016．数列{a n }的前n 项和S n 满足a 2＝2，S n ＝12n 2＋An ，则A ＝________，数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n a n ＋1的前n 项和T n ＝________.解析：∵a 2＝S 2－S 1＝(2＋2A )－⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋A ＝2，∴A ＝12.∴当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝12n 2＋12n －⎣⎢⎡⎦⎥⎤12n －12＋12n －1＝n .当n ＝1时，a 1＝S 1＝1满足上式，∴a n ＝n . ∴1a n a n ＋1＝1nn ＋1＝1n －1n ＋1， ∴T n ＝1－12＋12－13＋…＋1n －1n ＋1＝1－1n ＋1＝nn ＋1.答案：12 nn ＋1四、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(10分)已知数列{a n }满足a 1＝1，且na n ＋1－(n ＋1)a n ＝2n 2＋2n . (1)求a 2，a 3；(2)证明数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 是等差数列，并求{a n }的通项公式．解：(1)由已知，得a 2－2a 1＝4，则a 2＝2a 1＋4，又a 1＝1，所以a 2＝6.由2a 3－3a 2＝12，得2a 3＝12＋3a 2，所以a 3＝15.(2)证明：由已知na n ＋1－(n ＋1)a n ＝2n 2＋2n ，得na n ＋1－n ＋1a n n n ＋1＝2，即a n ＋1n ＋1－a nn ＝2，所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 是首项a 11＝1，公差d ＝2的等差数列．则a nn ＝1＋2(n －1)＝2n －1，所以a n ＝2n2－n .18．(12分)设函数f (x )＝x e a －x＋bx ，曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为y ＝(e －1)x ＋4.(1)求a ，b 的值； (2)求f (x )的单调区间．解：(1)因为f (x )＝x e a －x＋bx ，所以f ′(x )＝(1－x )ea －x＋b .依题设，得⎩⎪⎨⎪⎧f 2＝2e ＋2，f ′2＝e －1，即⎩⎪⎨⎪⎧2e a －2＋2b ＝2e ＋2，－e a －2＋b ＝e －1，解得a ＝2，b ＝e. (2)由(1)知f (x )＝x e 2－x＋e x .由f ′(x )＝e2－x(1－x ＋e x －1)及e2－x＞0知，f ′(x )与1－x ＋e x －1同号．令g (x )＝1－x ＋ex －1，则g ′(x )＝－1＋ex －1，所以当x ∈(－∞，1)时，g ′(x )＜0，g (x )在区间(－∞，1)上单调递减；当x ∈(1，＋∞)时，g ′(x )＞0，g (x )在区间(1，＋∞)上单调递增．所以g (1)＝1是g (x )在区间(－∞，＋∞)上的最小值．所以g (x )＞0，x ∈(－∞，＋∞)．所以f ′(x )＞0，x ∈(－∞，＋∞)，所以f (x )的单调递增区间为(－∞，＋∞)，无单调递减区间． 19．(12分)已知数列{a n }是递增的等比数列，且a 1＋a 4＝9，a 2a 3＝8. (1)求数列{a n }的通项公式； (2)设S n 为数列{a n }的前n 项和，b n ＝a n ＋1S n S n ＋1，求数列{b n }的前n 项和T n . 解：(1)由题设知a 1a 4＝a 2a 3＝8，又a 1＋a 4＝9，可解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，a 4＝8或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝8，a 4＝1(舍去)．设等比数列{a n }的公比为q ，由a 4＝a 1q 3得q ＝2，故a n ＝a 1qn －1＝2n －1，n ∈N *.(2)S n ＝a 11－q n 1－q＝2n－1，又b n ＝a n ＋1S n S n ＋1＝S n ＋1－S n S n S n ＋1＝1S n －1S n ＋1，所以T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1S 1－1S 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1S 2－1S 3＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1S n －1S n ＋1 ＝1S 1－1S n ＋1＝1－12n ＋1－1，n ∈N *. 20．(12分)已知函数f (x )＝1＋1x ＋ln x ＋ln x x.(1)判断函数f (x )的单调性；(2)记g (x )＝2ex －1x e x ＋1，试证明：当x >1时，f (x )>(e ＋1)g (x )．解：(1)由题意，得f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝x －ln xx 2.令φ(x )＝x －ln x ，则φ′(x )＝1－1x ＝x －1x.当x >1时，φ′(x )>0，φ(x )单调递增，当0<x <1时，φ′(x )<0，φ(x )单调递减，∴φ(x )≥φ(1)＝1>0，∴f ′(x )>0， ∴f (x )在(0，＋∞)上单调递增．(2)证明：由(1)知f (x )为(0，＋∞)上的增函数，故当x >1时，f (x )>f (1)＝2，故f xe ＋1>2e ＋1. g ′(x )＝2ex －1x e x ＋1－x e x ＋1′·e x －1x e x ＋12＝2ex －11－e x x e x＋12.∵x >1，∴1－e x<0，∴g ′(x )<0，即g (x )在(1，＋∞)上是减函数， ∴当x >1时，g (x )<g (1)＝2e ＋1.∴f xe ＋1>2e ＋1>g (x )，即f (x )>(e ＋1)g (x )． 21．(12分)已知数列{a n }是各项均为正数的等比数列，且a 1＋a 2＝2⎝⎛⎭⎪⎫1a 1＋1a2，a 3＋a 4＝32⎝⎛⎭⎪⎫1a 3＋1a 4. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝a 2n ＋log 2a n ，求数列{b n }的前n 项和T n . 解：(1)设等比数列{a n }的公比为q (q ＞0)，则a n ＝a 1qn －1，且a n ＞0.由已知得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 1q ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 1＋1a 1q ，a 1q 2＋a 1q 3＝32⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 1q 2＋1a 1q 3，化简得⎩⎪⎨⎪⎧a 21q q ＋1＝2q ＋1，a 21q5q ＋1＝32q ＋1，即⎩⎪⎨⎪⎧a 21q ＝2，a 21q 5＝32.又∵a 1＞0，q ＞0，∴a 1＝1，q ＝2， ∴数列{a n }的通项公式为a n ＝2n －1.(2)由(1)知b n ＝a 2n ＋log 2a n ＝4n －1＋n －1，∴T n ＝(1＋4＋42＋…＋4n －1)＋(0＋1＋2＋3＋…＋n －1)＝4n－14－1＋nn －12＝4n－13＋n n －12.22．(12分)已知函数f (x )＝ln x －x 2＋ax ，a ∈R.(1)证明：ln x ≤x －1；(2)若a ≥1，讨论函数f (x )的零点个数．解：(1)证明：令g (x )＝ln x －x ＋1(x ＞0)，则g (1)＝0，g ′(x )＝1x －1＝1－xx，∴当x ∈(0,1)时，g ′(x )＞0，函数g (x )单调递增；当x ∈(1，＋∞)时，g ′(x )＜0，函数g (x )单调递减． ∴当x ＝1时，函数g (x )取得极大值也是最大值， ∴g (x )≤g (1)＝0，即ln x ≤x －1.(2)f ′(x )＝1x －2x ＋a ＝－2x 2＋ax ＋1x，x ＞0.令－2x 2＋ax ＋1＝0，解得x 0＝a ＋a 2＋84(负值舍去)，在(0，x 0)上，f ′(x )＞0，函数f (x )单调递增，在(x 0，＋∞)上，f ′(x )＜0，函数f (x )单调递减．∴f (x )max ＝f (x 0)．当a ＝1时，x 0＝1，f (x )max ＝f (1)＝0，此时函数f (x )只有一个零点x ＝1.当a ＞1时，f (1)＝a －1＞0，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ＝ln 12a －14a 2＋12＜12a －1－14a 2＋12＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫12a －122－14＜0，f (2a )＝ln 2a －2a 2＜2a －1－2a 2＝－2⎝⎛⎭⎪⎫a －122－12＜0. ∴函数f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ，1和区间(1,2a )上各有一个零点．综上可得，当a ＝1时，函数f (x )只有一个零点x ＝1；当a ＞1时，函数f (x )有两个零点．B 卷——高考能力达标卷 (时间：120分钟满分：150分)一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知{a n }为等比数列且a n >0，a 2·a 4＋2a 3·a 5＋a 4·a 6＝25，则a 3＋a 5等于( ) A ．5 B ．10 C ．15 D ．20解析：选A 由等比数列的性质知a 2·a 4＝a 23，a 4·a 6＝a 25，所以a 23＋2a 3·a 5＋a 25＝25，即(a 3＋a 5)2＝25.又a n >0，所以a 3＋a 5>0，所以a 3＋a 5＝5.2．函数f (x )＝2x ＋1x，x ∈(0,5]的最小值为( )A ．2B ．3 C.174 D ．22＋12解析：选B 由f ′(x )＝1x －1x2＝x 32－1x 2＝0，得x ＝1，当x ∈(0,1)时，f ′(x )<0，f (x )单调递减；当x ∈(1,5]时，f ′(x )>0，f (x )单调递增．∴当x ＝1时，f (x )取得最小值，且最小值为f (1)＝3.3．已知{a n }是等比数列，a 4·a 7＝－512，a 3＋a 8＝124，且公比为整数，则公比q 为( ) A ．2 B ．－2 C ．1 D ．－1解析：选 B 根据等比数列的性质可得a 4·a 7＝a 3·a 8＝－512.又a 3＋a 8＝124，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 3＝－4，a 8＝128或⎩⎪⎨⎪⎧a 3＝128，a 8＝－4.因为公比为整数，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 3＝－4，a 8＝128，所以q 5＝a 8a 3＝－32，所以q ＝－2.4．设函数f (x )＝x (x ＋k )(x ＋2k )(x －3k )，且f ′(0)＝6，则k ＝( ) A ．0 B ．－1 C ．3 D ．－6解析：选 B ∵f (x )＝x (x ＋k )(x ＋2k )(x －3k )＝(x 2－3kx )(x 2＋3kx ＋2k 2)，∴f ′(x )＝(2x －3k )(x 2＋3kx ＋2k 2)＋(x 2－3kx )(2x ＋3k )，∴f ′(0)＝－3k ×2k 2＝－6k 3＝6，解得k ＝－1.故选B.5．设曲线y ＝ln xx ＋1在点(1,0)处的切线与直线x －ay ＋1＝0垂直，则a ＝( )A ．－12B ．12C ．－2D ．2解析：选 A 由题意得，y ′＝ln x ′x ＋1－ln xx ＋1′x ＋12＝1＋1x －ln x x ＋12(x >0)．∵曲线在点(1,0)处的切线与直线x －ay ＋1＝0垂直，∴2－ln 14＝－a ，解得a ＝－12，故选A. 6．已知递增的等比数列{a n }中，a 2＝6，a 1＋1，a 2＋2，a 3成等差数列，则该数列的前6项和S 6等于( )A ．93B ．189 C.18916D ．378解析：选B 设数列{a n }的公比为q ，由题意可知，q >1，且2(a 2＋2)＝a 1＋1＋a 3，即2×(6＋2)＝6q＋1＋6q ，整理可得2q 2－5q ＋2＝0，解得q ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫q ＝12舍去，则a 1＝62＝3， ∴数列{a n }的前6项和S 6＝3×1－261－2＝189.7．程大位《算法统宗》里有诗云“九百九十六斤棉，赠分八子做盘缠．次第每人多十七，要将第八数来言．务要分明依次弟，孝和休惹外人传．”意为：996斤棉花，分别赠送给8个子女做旅费，从第一个开始，以后每人依次多17斤，直到第八个孩子为止．分配时一定要等级分明，使孝顺子女的美德外传，则第八个孩子分得斤数为( )A ．65B ．176C ．183D ．184解析：选D 根据题意可得每个孩子所得棉花的斤数构成一个等差数列{a n }，其中d ＝17，n ＝8，S 8＝996.由等差数列前n 项和公式可得8a 1＋8×72×17＝996，解得a 1＝65.由等差数列通项公式得a 8＝65＋(8－1)×17＝184.8．已知f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )为f (x )的导函数，且满足f (x )＜－xf ′(x )，则不等式f (x ＋1)＞(x －1)·f (x 2－1)的解集是( )A ．(0,1)B ．(2，＋∞)C ．(1,2)D ．(1，＋∞) 解析：选B 构造函数y ＝xf (x )，x ∈(0，＋∞)，则y ′＝f (x )＋xf ′(x )＜0，所以函数y ＝xf (x )的图象在(0，＋∞)上单调递减．又因为f (x ＋1)＞(x －1)f (x 2－1)，所以(x ＋1)f (x ＋1)＞(x 2－1)f (x 2－1)，所以x ＋1＜x 2－1，解得x ＞2或x ＜－1(舍去)．所以不等式f (x ＋1)＞(x －1)f (x 2－1)的解集是(2，＋∞)．故选B.二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分)9．已知等比数列{a n }的各项均为正数，且3a 1，12a 3,2a 2成等差数列，则下列说法正确的是( )A ．a 1＞0B ．q ＞0 C.a 3a 2＝3或－1D ．a 6a 4＝9解析：选ABD 设等比数列{a n }的公比为q ，由题意得2×12a 3＝3a 1＋2a 2，即a 1q 2＝3a 1＋2a 1q .因为数列{a n }的各项均为正数，所以a 1＞0，且q ＞0，故A 、B 正确；由q 2－2q －3＝0，解得q ＝3或q ＝－1(舍)，所以a 3a 2＝q ＝3，a 6a 4＝q 2＝9，故C 错误，D 正确，故选A 、B 、D.10．设函数f (x )＝x 3－12x ＋b ，则下列结论正确的是( ) A ．函数f (x )在(－∞，－1)上单调递增 B ．函数f (x )在(－∞，－1)上单调递减C ．若b ＝－6，则函数f (x )的图象在点(－2，f (－2))处的切线方程为y ＝10D ．若b ＝0，则函数f (x )的图象与直线y ＝10有三个公共点解析：选CD 对于选项A ，B ，根据函数f (x )＝x 3－12x ＋b ，可得f ′(x )＝3x 2－12.令3x 2－12＝0，得x ＝－2或x ＝2，故函数f (x )在(－∞，－2)，(2，＋∞)上单调递增，在(－2,2)上单调递减，所以选项A ，B 都不正确；对于选项C ，当b ＝－6时，f ′(－2)＝0，f (－2)＝10，故函数f (x )的图象在点(－2，f (－2))处的切线方程为y ＝10，选项C 正确；对于选项D ，当b ＝0时，f (x )的极大值为f (－2)＝16，极小值为f (2)＝－16，故直线y ＝10与函数f (x )的图象有三个公共点，选项D 正确．故选C 、D.11．设等比数列{a n }的公比为q ，其前n 项和为S n ，前n 项积为T n ，并且满足条件a 1>1，a 7·a 8>1，a 7－1a 8－1<0.则下列结论正确的是( )A ．0<q <1B ．a 7·a 9>1C ．S n 的最大值为S 9D ．T n 的最大值为T 7解析：选AD ∵a 1>1，a 7·a 8>1，a 7－1a 8－1<0， ∴a 7>1，a 8<1，∴0<q <1，故A 正确；a 7a 9＝a 28<1，故B 错误；∵a 1>1,0<q <1，∴数列为递减数列，∴S n 无最大值，故C 错误；又a 7>1，a 8<1，∴T 7是数列{T n }中的最大项，故D 正确．故选A 、D.12．已知函数f (x )＝x ln x ＋12x 2，x 0是函数f (x )的极值点，则下列选项正确的是( )A ．0<x 0<1eB ．x 0>1eC ．f (x 0)＋x 0<0D ．f (x 0)＋x 0>0解析：选AC 因为f (x )＝x ln x ＋12x 2，所以f ′(x )＝ln x ＋1＋x ，所以f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ＝1e >0，又当x →0时，f ′(x )→－∞，所以0<x 0<1e ，故A 正确，B 错误；f (x 0)＋x 0＝x 0ln x 0＋12x 20＋x 0＝x 0ln x 0＋12x 0＋1＝x 0ln x 0＋x 0＋1－12x 0＝－12x 20<0，故C 正确，D 错误．综上所述，选A 、C.三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上) 13．已知数列{a n }满足a 1＝1，a n －a n ＋1＝2a n a n ＋1，则a 6＝________. 解析：将a n －a n ＋1＝2a n a n ＋1两边同时除以a n a n ＋1，得1a n ＋1－1a n＝2.所以⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是以1a 1＝1为首项，2为公差的等差数列，所以1a 6＝1＋5×2＝11，即a 6＝111.答案：11114．已知函数y ＝f (x )对任意的x ∈R 都有f (1－x )－2f (x )＝x 2－1，则f (－1)＝________，曲线y ＝f (x )在点(－1，f (－1))处的切线方程为________．解析：由条件得⎩⎪⎨⎪⎧f1－x －2f x ＝x 2－1，f x －2f 1－x ＝1－x2－1，解得f (x )＝－x 2＋23x ＋23.所以f (－1)＝－1，f ′(x )＝－2x ＋23，所以f ′(－1)＝83，所以曲线y ＝f (x )在点(－1，f (－1))处的切线方程为y ＋1＝83(x ＋1)，即8x －3y ＋5＝0.答案：－1 8x －3y ＋5＝015．已知函数y ＝x 2(x >0)的图象在点(a k ，a 2k )处的切线与x 轴的交点的横坐标为a k ＋1，其中k ∈N *.若a 1＝16，则a 1＋a 3＋a 5的值是________．解析：∵y ′＝2x ，∴y ＝x 2(x >0)的图象在点(a k ，a 2k )处的切线方程为y －a 2k ＝2a k (x －a k )．又该切线与x 轴的交点为(a k ＋1,0)，∴a k ＋1＝12a k ，即数列{a k }是首项a 1＝16，公比q ＝12的等比数列，∴a 3＝4，a 5＝1，∴a 1＋a 3＋a 5＝21.答案：2116．函数f (x )＝e x(x －a e x)恰有两个极值点x 1，x 2(x 1＜x 2)，则实数a 的取值范围是________．解析：∵函数f (x )＝e x(x －a e x)， ∴f ′(x )＝(x ＋1－2a e x)e x . ∵函数f (x )恰有两个极值点x 1，x 2，∴x 1，x 2是方程f ′(x )＝0的两个不相等的实数根．令x ＋1－2a e x＝0，且a ≠0， ∴x ＋12a＝e x. 设y 1＝x ＋12a(a ≠0)， y 2＝e x ，在同一坐标系内画出两个函数的图象，如图所示．要使这两个函数有两个不同的交点，应满足12a ＞1，解得0＜a ＜12，故实数a 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12. 答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12 四、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(10分)已知等差数列{a n }单调递减，且a 3＝1，a 2a 4＝34.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)判断数列{a 1a n }是否为等差数列．若是，求出公差；若不是，请说明理由．解：(1)由题意知，a 2＋a 4＝2a 3＝2. 又a 2a 4＝34，数列{a n }单调递减，∴a 4＝12，a 2＝32.∴公差d ＝a 4－a 22＝－12，a 1＝a 2－d ＝2.∴a n ＝2＋(n －1)×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－12n ＋52. (2)由(1)知a 1a n ＝2a n ，则当n ≥2时，2a n －2a n －1＝2(a n －a n －1)＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－1.当n ＝1时，2a 1＝4，∴数列{a 1a n }是首项为4，公差为－1的等差数列．18．(12分)设函数f (x )＝ax －bx，曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为7x －4y －12＝0.(1)求f (x )的解析式；(2)证明曲线f (x )上任一点处的切线与直线x ＝0和直线y ＝x 所围成的三角形面积为定值，并求此定值．解：(1)方程7x －4y －12＝0可化为y ＝74x －3，当x ＝2时，y ＝12.又因为f ′(x )＝a ＋b x2，所以⎩⎪⎨⎪⎧2a －b 2＝12，a ＋b 4＝74，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝3，所以f (x )＝x －3x.(2)证明：设P (x 0，y 0)为曲线y ＝f (x )上任一点，由y ′＝1＋3x2知曲线在点P (x 0，y 0)处的切线方程为y －y 0＝⎝⎛⎭⎪⎫1＋3x20(x －x 0)，即y －⎝⎛⎭⎪⎫x 0－3x 0＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋3x20(x －x 0)．令x ＝0，得y ＝－6x 0，所以切线与直线x ＝0的交点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－6x 0.令y ＝x ，得y ＝x＝2x 0，所以切线与直线y ＝x 的交点坐标为(2x 0,2x 0)．所以曲线y ＝f (x )在点P (x 0，y 0)处的切线与直线x ＝0和y ＝x 所围成的三角形的面积S ＝12⎪⎪⎪⎪⎪⎪－6x 0|2x 0|＝6.故曲线y ＝f (x )上任一点处的切线与直线x ＝0和y ＝x 所围成的三角形面积为定值，且此定值为6.19．(12分)在①q ·d ＝1，②a 2＋b 3＝0，③S 2＝T 2这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，若问题中的λ存在，求出λ的取值范围；若不存在，请说明理由．若S n 是公差为d 的等差数列{a n }的前n 项和，T n 是公比为q 的等比数列{b n }的前n 项和，________，a 1＝1，S 5＝25，a 2＝b 2，是否存在正数λ，使得λ|T n |＜12?注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．解：∵S 5＝25＝5a 3，∴a 3＝5，∴a 2＝a 1＋a 32＝1＋52＝3，∴b 2＝a 2＝3.∴d ＝a 2－a 1＝3－1＝2.若选①，∵q ·d ＝1，∴q ＝1d ＝12，∴b 1＝3×2＝6，∴T n ＝6⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n 1－12＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n .由λ|T n |＜12得λ≤1，又λ＞0，∴λ的取值范围为(0,1]．若选②，∵a 2＋b 3＝0，∴b 3＝－a 2＝－3， ∴q ＝－1，b 1＝－3，∴当n 为偶数时，T n ＝0，则λ＞0；当n 为奇数时，T n ＝－3，由λ|T n |＜12得λ＜4. 综上，λ的取值范围为(0,4)．若选③，由S 2＝T 2得b 1＝a 1＋a 2－b 2＝1＋3－3＝1，∴q ＝b 2b 1＝3，∴T n ＝1－3n 1－3＝3n－12.∵T n 单调递增，没有最大值， ∴不存在正数λ，使λ|T n |＜12.20．(12分)某个体户计划经销A ，B 两种商品，据调查统计，当投资额为x (x ≥0)万元时，在经销A ，B 商品中所获得的收益分别为f (x )万元与g (x )万元，其中f (x )＝a (x －1)＋2，g (x )＝6ln(x ＋b )，a >0，b >0.已知投资额为0时收益为0.(1)求a ，b 的值；(2)如果该个体户准备投入5万元经销这两种商品，请你帮他制定一个资金投入方案，使他能获得最大收益．解：(1)由投资额为0时收益为0，可知f (0)＝－a ＋2＝0，g (0)＝6ln b ＝0，解得a ＝2，b ＝1.(2)由(1)可得f (x )＝2x ，g (x )＝6ln(x ＋1)．设投入经销B 商品的资金为x 万元(0≤x ≤5)，则投入经销A 商品的资金为(5－x )万元．设所获得的收益为S (x )万元，则S (x )＝2(5－x )＋6ln(x ＋1)＝6ln(x ＋1)－2x ＋10(0≤x ≤5)．x ＋1当0≤x <2时，S ′(x )>0，函数S (x )单调递增；当2<x ≤5时，S ′(x )<0，函数S (x )单调递减．所以当x ＝2时，函数S (x )取得极大值，也是最大值，S (x )max ＝S (2)＝6ln 3＋6(万元)．当投入经销A 商品3万元，B 商品2万元时，可获得最大收益，收益的最大值为6ln 3＋6万元．21．(12分)已知等差数列{a n }是单调增数列，且a 2，a 3是方程x 2－8x ＋15＝0的两个根． (1)求数列{a n }的通项公式；(2)若b n ＝3a n ＋13a n ，求数列{b n }的前n 项和S n .解：(1)设等差数列{a n }的公差为d ，因为a 2，a 3是方程x 2－8x ＋15＝0的两个根，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋a 3＝8，a 2a 3＝15，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝3，a 3＝5或⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝5，a 3＝3.又等差数列{a n }是单调增数列，所以a 2<a 3，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝3，a 3＝5，所以d ＝a 3－a 2＝2，故数列{a n }的通项公式为a n ＝a 2＋(n －2)d ＝3＋2(n －2)＝2n －1.(2)由(1)可得b n ＝3a n ＋13a n ＝32n －1＋13·(2n －1)，所以S n ＝(3＋33＋35＋…＋32n －1)＋13[1＋3＋5＋…＋(2n －1)]＝31－9n1－9＋13·n 1＋2n －12＝32n ＋18＋n 23－38.22．(12分)已知函数f (x )＝2ln x －x 2＋ax (a ∈R)． (1)当a ＝2时，求f (x )的图象在x ＝1处的切线方程；(2)若函数g (x )＝f (x )－ax ＋m 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ，e 上有两个不同的零点，求实数m 的取值范围．解：(1)当a ＝2时，f (x )＝2ln x －x 2＋2x ，f ′(x )＝2x－2x ＋2，则k ＝f ′(1)＝2.∵f (1)＝1，∴切点坐标为(1,1)．∴切线方程为y －1＝2(x －1)，即y ＝2x －1. (2)由题意得，g (x )＝2ln x －x 2＋m ，则g ′(x )＝2x－2x ＝－2x ＋1x －1x.⎣⎦e 当1e ≤x <1时，g ′(x )>0，g (x )单调递增；当1<x ≤e 时，g ′(x )<0，g (x )单调递减．故g (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ，e 上有最大值g (1)＝m －1. 又g ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ＝m －2－1e 2，g (e)＝m ＋2－e 2，g (e)－g ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ＝4－e 2＋1e 2<0，则g (e)<g ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ， ∴g (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ，e 上的最小值是g (e)． g (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ，e 上有两个不同的零点的条件是⎩⎪⎨⎪⎧g 1＝m －1>0，g ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ＝m －2－1e 2≤0，解得1<m ≤2＋1e2， ∴实数m 的取值范围是⎝⎛⎦⎥⎤1，2＋1e 2.。

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C．ab＞a＞ab2
D．ab＞ab2＞a
解析：由－1＜b＜0，可得 b＜b2＜1，
又 a＜0，所以有 ab＞ab2＞a.
答案：D
3．若 a＞b＞0，c＜d＜0，则一定有( ) A.ac＞bd B.ac＜bd C.ad＞bc D.ad＜bc 解析：因为 c＜d＜0，所以－c＞－d＞0，所以 0＜ 1 ＜ 1 ，即 1 ＞ 1 ＞0.
若若abr且且ab0则baab??????????????????ba??????????????????ab2????????????ba????????????ab2
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第一讲不等式和绝对值不等式
1．1 不等式 1．1.1 不等式的基本性质
[学习目标] 1.理解实数大小与实数运算性质间的关系． 2.理解不等式的性质，能用不等式的性质比较大小和证明简单的不等式(重点、难点)．
5．比较大小：(x＋5)(x＋7)________(x＋6)2. 解析：因为(x＋5)(x＋7)－(x＋6)2＝x2＋12x＋35－x2 －12x－36＝－1＜0，所以(x＋5)(x＋7)＜(x＋6)2. 答案：＜
类型 1 用比较法比较大小(自主研析) [典例 1] 已知 x＞1，比较 x3－1 与 2x2－2x 的大小．解：x3－1－(2x2－2x)＝x3－2x2＋2x－1＝(x3－x2)－ (x2－2x＋1)＝x2(x－1)－(x－1)2＝(x－1)(x2－x＋1)＝(x－ 1)x－122＋34.
3．用作差法比较两式的大小时，常采用因式分解、配方、通分、分母有理化等技巧，通过彻底的变形，从而判断差式的值的正负，进而判断出两式的大小．
[变式训练] 比较 x2－x 与 x－2 的大小．解：(x2－x)－(x－2)＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1，因为(x－1)2≥0，所以(x－1)2＋1＞0，即(x2－x)－(x－2)＞0. 所以 x2－x＞x－2.

人教版数学高二A版选修4-5第一讲等式和绝对值不等式单元检测(B)

第一讲等式和绝对值不等式单元检测(B)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分)1．函数y ＝x 2＋3x (x ＞0)的最小值是( )．A B ．32 C D 2．设6＜a ＜10，2a≤b ≤2a ，c ＝a ＋b ，那么c 的取值范围是( )．A ．9＜c ＜30B ．0≤c ≤18C ．0≤c ≤30D ．15＜c ＜303．若对任意x ∈R ，不等式|x |≥ax 恒成立，则实数a 的取值范围是( )．A ．a ＜－1B ．|a |≤1C ．|a |＜1D ．a ≥14．下列四个命题：①若a ＞b ，c ＞1，则a lg c ＞b lg c;②若a ＞b ，c ＞0，则a lg c ＞b lg c ；③若a ＞b ，则a ·2c ＞b ·2c ；④若a ＜b ＜0，c ＞0，则>cca b .其中，正确命题的个数是( )．A ．1B ．2C ．3D ．45．函数2y 的最小值是( )．A ．2B ．4C ．1D ．6．若不等式|ax ＋2|＜6的解集为(－1,2)，则实数a 等于( )．A ．8B ．2C ．－4D ．－87．当π0<<2x 时，函数21cos28sin ()sin2x xf x x ＋＋＝的最小值为( )．A ．2B ．C ．4D ．8．若正实数a ，b 满足ab ＝a ＋b ＋3，则a ＋b 的取值范围是( )．A ．[9，＋∞)B ．[6，＋∞)C ．(6，＋∞)D ．(9，＋∞)9．不等式|x ＋3|－|x －1|≤a 2－3a 对任意实数x 恒成立，则实数a 的取值范围为()． A ．(－∞，－1]∪[4，＋∞)B ．(－∞，－2]∪[5，＋∞)C ．[1,2]D ．(－∞，1]∪[2，＋∞)10．设a ＞0，b ＞0是3a 与3b 的等比中项，则11a b ＋的最小值为( )．A ．8B ．4C ．1D ．14二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)11．如果关于x 的不等式|x －3|－|x －4|＜a 的解集不是空集，则实数a 的取值范围是__________．12．定义运算：x x y x y y x y ≤⎛⋅ >⎝，，＝，，若|m －1|·m ＝|m －1|，则m 的取值范围是________． 13．函数422331x x y x ＋＋＝＋的最小值为__________． 14．不等式|1|1|2|x x ≥＋＋的解集为________．三、解答题(本大题共4小题，15,16,17小题每小题12分，18小题14分，共50分)15．设a 1，a 2，a 3均为正数，且a 1＋a 2＋a 3＝m ，求证：1231119a a a m≥＋＋. 16．设a ≥b ＞0，求证：3a 3＋2b 3≥3a 2b ＋2ab 2.17．已知m ∈R ，解关于x 的不等式：1－x ≤|x －m |≤1＋x .18．已知函数f (x )＝|x －a |.(1)若不等式f (x )≤3的解集为{x |－1≤x ≤5}，求实数a 的值；(2)在(1)的条件下，若f (x )＋f (x ＋5)≥m 对一切实数x 恒成立，求实数m 的取值范围．参考答案1. 答案：A解析：2233322y x x x x x ≥＝＋＝＋＋，当232x x＝，即x 时，等号成立． 2. 答案：A解析：因为2a ≤b ≤2a ，所以32a ≤a ＋b ≤3a. 又因为6＜a ＜10，所以32a ＞9,3a ＜30. 所以9＜32a ≤a ＋b ≤3a ＜30，即9＜c ＜30. 3. 答案：B解析：当x ＞0时，a ≤||x x ＝1，当x ＜0时，a ≥||x x＝－1． 4. 答案：C解析：①正确，因为c＞1，lg c＞0；②不正确，因为0＜c＜1时，lg c＜0；③正确，因为2c＞0；④正确，因为由a＜b＜0，得110>>a b.5.答案：B解析：设tt≥，于是21 y tt＋＋，因为当t≥时，函数1y tt＝＋单调递增，所以miny＝.6.答案：C解析：由|ax＋2|＜6⇒－8＜ax＜4.当a＞0时，84<<xa a-.∵解集是(－1,2)，∴8142.aa⎧--⎪⎪⎨⎪⎪⎩＝，＝解得82aa⎧⎨⎩＝，＝，两值矛盾．当a＜0时，48<<xa a-.由4182aa⎧--⎪⎪⎨⎪-⎪⎩＝，＝解得a＝－4.7.答案：C解析：∵π0<<2x，∴tan x＞0.∴2222cos8sin14tan1 ()4tan 42sin cos tan tanx x xf x xx x x x≥＋＋＝＝＝＋，当且仅当14tantanxx＝，即1tan2x＝时，等号成立．8.答案：B解析：∵a＞0，b＞0，ab＝a＋b＋3，∴a＋b＝ab－3≤232a b⎛⎫⎪⎝⎭＋－，即(a ＋b )2－4(a ＋b )－12≥0.∴a ＋b ≥6，当且仅当a ＝b ＝3时，等号成立，∴a ＋b 的取值范围[6，＋∞)．9. 答案：A解析：因为－4≤|x ＋3|－|x －1|≤4，且|x ＋3|－|x －1|≤a 2－3a 对任意x 恒成立，所以a 2－3a ≥4，即a 2－3a －4≥0，解得a ≥4，或a ≤－1．10. 答案：B解析：因为3a ·3b ＝3，所以a ＋b ＝1，1111()a b a b a b ⎛⎫ ⎪⎝⎭＋＝＋＋2224b a baa b a b ≥⋅＝＋＋＋＝，当且仅当baa b ＝，即12a b ＝＝时，“＝”号成立．11. 答案：(－1，＋∞)解析：∵||x －3|－|x －4||≤|x －3＋4－x |＝1，∴|x －3|－|x －4|的最小值是－1．∴a ＞－1．12. 答案：12m ≥解析：依题意，有|m －1|≤m ，∴－m ≤m －1≤m .∴12m ≥.13. 答案：3解析：42222223311111x x x x y x x ()()＋＋＋＋＋＋＝＝＋＋＝x 2＋1＋211x ＋＋1≥2＋1＝3.当且仅当x 2＋1＝211x ＋，即x ＝0时，等号成立．14. 答案：322x x x ⎧⎫≤-≠-⎨⎬⎭⎩，且解析：|1|1|2|x x ≥＋＋|1||2|20x x x ≥⎧⎨≠⎩＋＋＋22122x x x ⎧()≥()⎨≠-⎩＋＋，322.x x ⎧≤-⎪⎨⎪≠-⎩，∴原不等式的解集为322x x x ⎧⎫≤-≠-⎨⎬⎭⎩，且 15. 证明：123111a a a ＋＋ 1231231111()a a a m a a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭＝＋＋＋＋ 33122121323113a a a a a a m a a a a a a ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦＝＋＋＋＋＋＋ ≥1m (3＋2＋2＋2)＝9m，当且仅当a 1＝a 2＝a 3＝3m 时，等号成立． 16. 证明：3a 3＋2b 3－(3a 2b ＋2ab 2)＝3a 2(a －b )＋2b 2(b －a )＝(3a 2－2b 2)(a －b )．因为a ≥b ＞0，所以a －b ≥0,3a 2－2b 2＞0.从而(3a 2－2b 2)(a －b )≥0.即3a 3＋2b 3≥3a 2b ＋2ab 2.17. 解：原不等式等价于11x m x x m x m x ≥⎧⎪≤⎨⎪≤⎩，－－，－＋或11x m x m x m x x <⎧⎪≤⎨⎪≤⎩，－－，－＋，即121x m m x m ≥⎧⎪⎪≥⎨⎪≥-⎪⎩，＋，①或121.x m m x m <⎧⎪⎪≥⎨⎪≥⎪⎩，－，② 由①得1m x <⎧⎨∈∅⎩，，或1112m m x -≤<⎧⎪⎨≥⎪⎩，＋，或1.m x m ≥⎧⎨≥⎩，由②得1m x <-⎧⎨∈∅⎩，，或11.2m m x m ≥⎧⎪⎨≤<⎪⎩，－即1m x <-⎧⎨∈∅⎩，，或1112m m x -≤<⎧⎪⎨≥⎪⎩，＋，或11.2m m x ≥⎧⎪⎨≥⎪⎩，－综上所述，当m ＜－1时，解集为；当－1≤m＜1时，解集为12m⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭＋，；当m≥1时，解集为12m⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭－，.18.解法一：(1)由f(x)≤3，得|x－a|≤3，解得a－3≤x≤a＋3.又已知不等式f(x)≤3的解集为{x|－1≤x≤5}，所以3135aa-⎧⎨⎩－＝，＋＝，解得a＝2.(2)当a＝2时，f(x)＝|x－2|. 设g(x)＝f(x)＋f(x＋5)，于是g(x)＝|x－2|＋|x＋3|＝21,3, 5,32, 21, 2.x xxx x-<-⎧⎪-≤≤⎨⎪>⎩－＋所以当x＜－3时，g(x)＞5；当－3≤x≤2时，g(x)＝5；当x＞2时，g(x)＞5.综上可得，g(x)的最小值为5.从而，若f(x)＋f(x＋5)≥m，即g(x)≥m对一切实数x恒成立，则m的取值范围为(－∞，5]．解法二：(1)同解法一．(2)当a＝2时，f(x)＝|x－2|，设g(x)＝f(x)＋f(x＋5)，则g(x)＝|x－2|＋|x＋3|.由|x－2|＋|x＋3|≥|(x－2)－(x＋3)|＝5(当且仅当－3≤x≤2时等号成立)，得g(x)的最小值为5.从而，若f(x)＋f(x＋5)≥m，即g(x)≥m对一切实数x恒成立，则m的取值范围为(－∞，5]．。

新人教A版高中数学必修四综合练习测试题(含答案)

高二数学必修4 综合练习姓名一、选择题1.下列命题正确的是A.第一象限角是锐角B.钝角是第二象限角C.终边相同的角一定相等D.不相等的角，它们终边必不相同 2.函数12sin()24y x π=-+的周期，振幅，初相分别是A.4π，2，4π B. 4π，2-，4π- C. 4π，2，4π D. 2π，2，4π3.如果1cos()2A π+=-，那么sin()2A π+=A.12B.12C.12D.124.函数2005sin(2004)2y x π=-是A.奇函数B.偶函数C.非奇非偶函数D.既是奇函数又是偶函数 5.给出命题（1）零向量的长度为零，方向是任意的. （2）若a ，b 都是单位向量，则a ＝b . （3）向量AB 与向量BA 相等.（4）若非零向量AB 与CD 是共线向量，则A ，B ，C ，D 四点共线. 以上命题中，正确命题序号是A.（1）B.（2）C.（1）和（3）D.（1）和（4） 6.如果点(sin 2P θ，cos 2)θ位于第三象限，那么角θ所在象限是 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限7.在四边形ABCD 中，如果0AB CD =，AB DC =，那么四边形ABCD 的形状是 A.矩形 B.菱形 C.正方形 D.直角梯形 8.若α是第一象限角，则sin cos αα+的值与1的大小关系是 A.sin cos 1αα+> B.sin cos 1αα+= C.sin cos 1αα+< D.不能确定 9.在△ABC 中，若sin 2cos sin C A B =，则此三角形必是A.等腰三角形B.正三角形C.直角三角形D.等腰直角三角形 10.如图，在△ABC 中，AD 、BE 、CF 分别是BC 、CA 、AB 上的中线，它们交于点G ，则下列各等式中不正确的是A.23BG BE = B.2CG GF =C.12DG AG =D.121332DA FC BC +=二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）11.设扇形的周长为8cm ，面积为24cm ，则扇形的圆心角的弧度数是 .12.已知tan 2α=，3tan()5αβ-=-，则tan β= . 13.已知(3a =，1)，(sin b α=，cos )α，且a ∥b ，则4sin 2cos 5cos 3sin αααα-+＝ .14.给出命题：（1）在平行四边形ABCD 中，AB AD AC +=.（2）在△ABC 中，若0AB AC <，则△ABC 是钝角三角形. （3）在空间四边形ABCD 中，,E F 分别是,BC DA 的中点，则1()2FE AB DC =+. 以上命题中，正确的命题序号是 . 三、解答题15.已知3sin 25α=，53[,]42αππ∈. （1）求cos2α及cos α的值；（2）求满足条件sin()sin()2cos x x ααα--++=的锐角x .16. 设两个非零向量1e 和2e 不共线.(1) 如果AB =1e +2e ，BC =128e +2e ，CD =133e -2e ，求证：A 、B 、D 三点共线； (2) 若||1e =2，||2e =3，1e 与2e 的夹角为60，是否存在实数m ，使得m 1e 2e +与1e -2e 垂直？并说明理由.17.已知函数()sin 22x x f x =，x R ∈.（1）求函数()f x 的最小正周期，并求函数()f x 在[2,2]x ππ∈-上的单调递增区间；（2）函数()sin ()f x x x R =∈的图象经过怎样的平移和伸缩变换可以得到函数()f x 的图象.18.某港口海水的深度y （米）是时间t （时）（240≤≤t ）的函数，记为：)(t f y = 已知某日海水深度的数据如下：)(t f y =b t A y +=ωsin （1）试根据以上数据，求出函数b t A t f y +==ωsin )(的振幅、最小正周期和表达式；（2）一般情况下，船舶航行时，船底离海底的距离为5米或5米以上时认为是安全的（船舶停靠时，船底只需不碰海底即可）。

人教A版高考数学选修4-4同步练习题第2讲模块综合试卷

模块综合试卷(时间：90分钟满分：120分)一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分) 1．极坐标方程ρ＝－4cosθ化为直角坐标方程是( ) A ．x －4＝0 B ．x ＋4＝0 C ．(x ＋2)2＋y 2＝4 D ．x 2＋(y ＋2)2＝4答案 C2．在极坐标系中，曲线ρ＝4sinθ围成的图形面积为( ) A ．πB．4C ．4π D ．16答案 C3．设点P 的直角坐标为(－3,3)，以原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系(0≤θ<2π)，则点P 的极坐标为( ) A.⎝⎛⎭⎪⎫32，3π4 B.⎝⎛⎭⎪⎫－32，5π4C.⎝⎛⎭⎪⎫3，5π4D.⎝⎛⎭⎪⎫－3，3π4 答案 A解析由已知得ρ＝(－3)2＋32＝32，tanθ＝3－3＝－1，又点P 在第二象限，∴θ＝3π4，∴点P 的极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫32，3π4.4．已知抛物线C 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝8t 2，y ＝8t (t 为参数)，圆C 2的极坐标方程为ρ＝r(r>0)，若斜率为1的直线过抛物线C 1的焦点，且与圆C 2相切，则r 等于( ) A ．1 B.22C. 2 D ．2 答案 C解析抛物线C 1的普通方程为y 2＝8x ，焦点为(2,0)，故直线方程为y ＝x －2，即x －y －2＝0，圆的直角坐标方程为x 2＋y 2＝r 2，由题意|－2|12＋(－1)2＝r ，得r ＝ 2.5．曲线x 2＋y 2＝4与曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2＋2cosθ，y ＝2＋2sinθ(θ∈[0,2π))关于直线l 对称，则l 的方程为( )A ．y ＝x －2B ．y ＝xC ．y ＝－x ＋2D ．y ＝x ＋2答案 D解析设圆x 2＋y 2＝4的圆心为O(0,0)，圆⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2＋2cos θ，y ＝2＋2sin θ，θ∈[0,2π)的圆心为C(－2,2)，∵⊙O 与⊙C 关于直线l 对称， ∴l 为线段OC 的垂直平分线． ∵k OC ＝－1，∴k l ＝1，∴l 的方程为y －1＝x －(－1)，即y ＝x ＋2.6．已知曲线C 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ＋2cosθ，y ＝2sinθ(θ为参数)，则曲线C 不经过第二象限的一个充分不必要条件是( ) A ．a ≥2 B ．a>3 C ．a ≥1 D ．a<0答案 B7．直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2t －1，y ＝t ＋1(t 为参数)被圆x 2＋y 2＝9截得的弦长为( )A.125 B.1255C.925D.9105答案 B解析直线的普通方程为x －2y ＋3＝0，圆的圆心坐标为(0,0)，半径r ＝3， ∴圆心到直线的距离d ＝35＝355，∴所求弦长为2r 2－d 2＝1255.8．过椭圆C ：⎩⎨⎧x ＝2cosθ，y ＝3sinθ(θ为参数)的右焦点F 作直线l 交椭圆C 于M ，N 两点，|MF|＝m ，|NF|＝n ，则1m ＋1n 的值为( )A.23B.43C.83D ．不能确定答案 B解析曲线C 为椭圆x 24＋y23＝1，右焦点为F(1,0)，设l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋tcos θ，y ＝tsin θ(t 为参数)代入椭圆方程，得(3＋sin 2θ)t 2＋6cos θ·t－9＝0， ∴t 1t 2＝－93＋sin 2θ，t 1＋t 2＝－6cos θ3＋sin 2θ， ∴1m ＋1n ＝1|t 1|＋1|t 2|＝|t 1－t 2||t 1t 2|＝(t 1＋t 2)2－4t 1t 2|t 1t 2|＝43. 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分) 9．已知直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋32t ，y ＝12t (t 为参数)过定点P ，曲线C 的极坐标方程为ρ＝2sinθ，直线l与曲线C 交于A ，B 两点，则|PA|·|PB|的值为________．答案 1解析将直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋32t ，y ＝12t (t 为参数)代入曲线C ：ρ＝2sin θ的直角坐标方程x 2＋y 2－2y＝0，整理，得t 2－(3＋1)t ＋1＝0，设直线l 与曲线C 的交点A ，B 的对应的参数分别为t 1，t 2，则t 1t 2＝1，即|PA|·|PB|＝|t 1t 2|＝1.10．在平面直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．若P 点为直线ρcosθ－ρsinθ－4＝0上一点，点Q 为曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ，y ＝14t 2(t 为参数)上一点，则|PQ|的最小值为________．答案322解析直线ρcosθ－ρsinθ－4＝0的直角坐标方程为x －y －4＝0，曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ，y ＝14t 2(t 为参数)的普通方程为y ＝14x 2，依题意，设与直线x －y －4＝0平行的直线方程为x －y ＋c ＝0，即y ＝x ＋c ，代入y ＝14x 2，得x 2－4x －4c ＝0，依题意，Δ＝16＋16c ＝0，所以c ＝－1，即直线x －y －1＝0与抛物线y ＝14x 2相切，所以平行线间的距离d ＝|－4－(－1)|2＝322.11．曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ，y ＝t ＋1(t 为参数，且t>0)与曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cosθ，y ＝cos2θ＋1(θ为参数)的交点坐标是________．答案 (1,2)解析将参数方程化为普通方程分别为y ＝x ＋1(x>0)，y ＝2x 2.将y ＝x ＋1代入y ＝2x 2，得2x 2－x －1＝0，解得x ＝1(x ＝－12舍去)，则y ＝2，所以交点坐标是(1,2)．12．已知曲线C 的极坐标方程是ρ＝2sinθ，直线l 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－35t ＋2，y ＝45t (t 为参数)．设直线l 与x 轴的交点为M ，N 是曲线C 上一动点，则|MN|的最大值为________．答案5＋1解析曲线C 的极坐标方程可化为ρ2＝2ρsin θ，又x 2＋y 2＝ρ2，x ＝ρcosθ，y ＝ρsinθ，所以，曲线C 的直角坐标方程为x 2＋y 2－2y ＝0.将直线l 的参数方程化成普通方程为y ＝－43(x －2)．令y ＝0，得x ＝2，即M 点的坐标为(2,0)．又曲线C 为圆，圆C 的圆心坐标为(0,1)，半径r ＝1，则|MC|＝5，∴|MN|≤|MC|＋r ＝5＋1. 三、解答题(本大题共6小题，共60分)13．(10分)在极坐标系中，直线l 的极坐标方程为θ＝π3(ρ∈R)，以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cosα，y ＝1＋cos2α(α为参数)，求直线l 与曲线C 的交点P 的直角坐标．解因为直线l 的极坐标方程为θ＝π3(ρ∈R)，所以直线l 的普通方程为y ＝3x.①又因为曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos α，y ＝1＋cos 2α(α为参数)，所以曲线C 的直角坐标方程为y ＝12x 2(x ∈[－2,2])．②联立①②得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝0或⎩⎨⎧x ＝23，y ＝6.根据x 的范围应舍去⎩⎨⎧x ＝23，y ＝6，故P 点的直角坐标为(0,0)．14．(10分)已知某圆的极坐标方程为ρ2－42ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＋6＝0，求：(1)圆的普通方程和参数方程；(2)圆上所有点(x ，y)中，xy 的最大值和最小值．解 (1)原方程可化为ρ2－42ρ⎝ ⎛⎭⎪⎫cos θcos π4＋sin θsin π4＋6＝0，即ρ2－4ρcos θ－4ρsin θ＋6＝0.① 因为ρ2＝x 2＋y 2，x ＝ρcosθ，y ＝ρsinθ，所以①可化为x 2＋y 2－4x －4y ＋6＝0，即(x －2)2＋(y －2)2＝2，即为所求圆的普通方程．设⎩⎪⎨⎪⎧cos θ＝2(x －2)2，sin θ＝2(y －2)2，所以参数方程为⎩⎨⎧x ＝2＋2cos θ，y ＝2＋2sin θ(θ为参数)．(2)由(1)可知xy ＝(2＋2cosθ)(2＋2sin θ) ＝4＋22(cosθ＋sin θ)＋2cos θsinθ ＝3＋22(cosθ＋sin θ)＋(cosθ＋sin θ)2. 设t ＝cosθ＋sin θ，则t ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4，t ∈[－2，2]．所以xy ＝3＋22t ＋t 2＝(t ＋2)2＋1.当t ＝－2时，xy 有最小值1；当t ＝2时，xy 有最大值9.15．(10分)设A ，B 为椭圆x 24＋y 2＝1上满足OA ⊥OB(O 为原点)的两点，O 为垂足．(1)以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求椭圆的极坐标方程； (2)求1|OA|2＋1|OB|2的值；(3)判断直线AB 与圆C ：x 2＋y 2＝45的位置关系．解 (1)以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，将x ＝ρcosθ，y ＝ρsinθ代入椭圆方程x24＋y 2＝1，得椭圆的极坐标方程为1ρ2＝cos 2θ4＋sin 2θ.①(2)由条件可设A(ρ1，α)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫ρ2，α＋π2并代入①，得1ρ21＝cos 2α4＋sin 2α，1ρ22＝sin 2α4＋cos 2α， ∴1ρ21＋1ρ22＝cos 2α4＋sin 2α＋sin 2α4＋cos 2α＝54，即1|OA|2＋1|OB|2＝54. (3)设原点O 到直线AB 的距离为d ，则由|OA|·|OB|＝d|AB|，得d ＝|OA|·|OB||AB|＝ρ1ρ2ρ21＋ρ22＝11ρ21＋1ρ22＝45＝255＝r ，因此直线AB 与圆C 相切．16．(10分)在平面直角坐标系xOy 中，直线l 经过点P(－1，0)，其倾斜角为α，以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴，与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，建立极坐标系，设曲线C 的极坐标方程为ρ2－6ρcosθ＋1＝0.(1)写出直线l 的参数方程，若直线l 与曲线C 有公共点，求α的取值范围； (2)设M(x ，y)为曲线C 上任意一点，求x ＋y 的取值范围．解 (1)因为曲线C 的极坐标方程为ρ2－6ρcos θ＋1＝0，所以曲线C 的直角坐标方程为x 2＋y 2－6x ＋1＝0. 因为直线l 经过点P(－1,0)，其倾斜角为α，所以直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋tcos α，y ＝tsin α(t 为参数)，将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋tcos α，y ＝tsin α代入x 2＋y 2－6x ＋1＝0，整理得t 2－8tcos α＋8＝0，因为直线l 与曲线C 有公共点，所以Δ＝64cos 2α－32≥0，即cosα≥22或cosα≤－22，因为α∈[0，π)，所以α的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π.(2)已知M(x ，y)是曲线C ：(x －3)2＋y 2＝8上一点，则⎩⎨⎧x ＝3＋22cos θ，y ＝22sin θ(θ为参数)．所以x ＋y ＝3＋22(sin θ＋cosθ)＝3＋4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4，所以x ＋y 的取值范围是[－1,7]．17．(10分)(2017·全国Ⅱ)在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 1的极坐标方程为ρcosθ＝4.(1)M 为曲线C 1的动点，点P 在线段OM 上，且满足|OM|·|OP|＝16，求点P 的轨迹C 2的直角坐标方程；(2)设点A 的极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫2，π3，点B 在曲线C 2上，求△OAB 面积的最大值．解 (1)设点P 的极坐标为(ρ，θ)(ρ>0)，点M 的极坐标为(ρ1，θ)(ρ1>0)．由题设知|OP|＝ρ，|OM|＝ρ1＝4cosθ.由|OM|·|OP|＝16得C 2的极坐标方程为ρ＝4cosθ(ρ>0)．因此C 2的直角坐标方程为(x －2)2＋y 2＝4(x ≠0)． (2)设点B 的极坐标为(ρB ，α)(ρB >0)．由题设知|OA|＝2，ρB ＝4cosα，于是△OAB 的面积S ＝12|OA|·ρB ·sin∠AOB＝4cosα·⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π3 ＝2⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α－π3－32≤2＋ 3.当α＝－π12时，S 取得最大值2＋ 3.所以△OAB 面积的最大值为2＋ 3.18．(10分)已知曲线C 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cosθ，y ＝sinθ(θ为参数)，曲线C 2：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝22t －2，y ＝22t (t 为参数)．(1)指出C 1，C 2各是什么曲线，并说明C 1与C 2公共点的个数；(2)若把C 1，C 2上各点的纵坐标都压缩为原来的一半，分别得到曲线C 1′，C 2′，写出C 1′，C 2′的参数方程．C 1′与C 2′公共点的个数和C 1与C 2公共点的个数是否相同？说明你的理由．解 (1)C 1是圆，C 2是直线，C 1的普通方程为x 2＋y 2＝1，圆心为C 1(0,0)，半径r ＝1. C 2的普通方程为x －y ＋2＝0，因为圆心C 1到直线x －y ＋2＝0的距离为1，所以C 1与C 2只有一个公共点．(2)压缩后的参数方程分别为C 1′：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝12sin θ(θ为参数)，C 2′：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝22t －2，y ＝24t (t 为参数)，化为普通方程为C 1′：x 2＋4y 2＝1，C 2′：y ＝12x ＋22，联立消元得2x 2＋22x ＋1＝0，其判别式Δ＝(22)2－4×2×1＝0，所以压缩后的直线与椭圆仍然只有一个公共点，和原来相同．。

人教版数学高二A版选修4-5第一讲不等式和绝对值不等式单元测试

《不等式和绝对值不等式》测评(时间90分钟，满分100分)10个小题；每小题4分，满分40分)1．若1a ＜1b＜0，则下列结论不正确的是A ．a 2＜b 2B ．ab ＜b 2 C.b a ＋ab ＞2 D ．|a|－|b|＝|a －b|2．函数y ＝log 2(x ＋1x －1＋5)(x ＞1)的最小值为A ．－3B ．3C ．4D ．－43．已知等比数列{a n }的各项均为正数，公比q ≠1，设P ＝a 3＋a 92，Q ＝a 5a 7，则P 与Q 的大小关系是A ．P ＞QB ．P ＜QC ．P ＝QD ．无法确定4．设6＜a ＜10，a2≤b ≤2a ，c ＝a ＋b ，那么c 的取值范围是A ．9＜c ＜30B ．0≤c ≤18C ．0≤c ≤30D ．15＜c ＜30 5．不等式⎩⎪⎨⎪⎧x>0，3－x 3＋x >|2－x 2＋x|的解集是A ．(0,2)B ．(0,2.5)C ．(0，6)D ．(0,3)6．若不等式|ax ＋2|＜6的解集为(－1,2)，则实数a 等于 A ．8 B ．2 C ．－4 D ．－87．若1＜1a ＜1b ，则下列结论中不正确的是A ．log a b ＞log b aB ．|log a b ＋log b a|＞2C ．(log b a )2＜1D ．|log a b|＋|log b a|＞|log a b ＋log b a| 8．当0＜x ＜π2时，函数f (x )＝1＋cos2x ＋8sin 2x sin2x 的最小值为A ．2B ．2 3C ．4D ．4 39．不等式|sinx ＋tanx|＜a 的解集为N ；不等式|sinx|＋|tanx|＜a 的解集为M ；则解集M 与N 的关系是A ．N ⊆MB ．M ⊆NC ．M ＝ND ．M N 10．下列四个命题：①若a ＞b ，c ＞1，则algc ＞blgc; ②若a ＞b ，c ＞0，则algc ＞blgc ； ③若a ＞b ，则a·2c ＞b·2c; ④若a ＜b ＜0，c ＞0，则c a ＞cb .其中，正确命题的个数为 A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 答题栏题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案二、填空题(本大题共5个小题，每小题4分，共20分)11．不等式|x|＞2x －1的解集为______． 12．定义运算x·y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x (x ≤y )，y (x>y )，若|m －1|·m ＝|m －1|，则m 的取值范围是______．13．已知f (x )是定义在(－∞，＋∞)上的减函数，其图象经过A (－4,1)，B (0，－1)两点，f (x )的反函数是f －1(x )，则f －1(1)的值是______；不等式|f (x －2)|＜1的解集是______．14．已知α，β是实数，给出下列四个论断： ①|α＋β|＝|α|＋|β|； ②|α－β|≤|α＋β|； ③|α|＞22，|β|＞22； ④|α·β|＞5.以其中的两个论断为条件，其余两个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题______________________________．15．已知不等式|x －3|＜12(x ＋a )的解集为A ，且A ≠∅，则a 的取值范围是______．三、解答题(本大题共5个小题，每小题8分，共40分) 16．2008海南、宁夏高考，24 已知函数f (x )＝|x －8|－|x －4|.(1)作出函数y ＝f (x )的图象； (2)解不等式|x －8|－|x －4|＞2.17．设关于x 的不等式lg (|x ＋3|＋|x －7|)＞a. (1)当a ＝1时，解这个不等式；(2)当a 为何值时，这个不等式的解集为R?18．若a ＞b ＞c ，求证：1a －b ＋1b －c ≥4a －c .19．已知函数f(x)＝2x －1的反函数为y ＝f －1(x)． (1)求不等式2f －1(x)－log 2(1－x)≥0的解集P ；(2)若对(1)中的解集P ，当x ∈P 时，总有f －1(x)－log 2(1－x)≥t 成立，求t 的取值范围．20．如下图所示，电灯挂在圆桌的正中央上方．假定它与桌面上A 点的水平距离是a ，那么，电灯距离桌面的高度h 等于多少时，A 点处最亮？(亮度公式I ＝kr 2sinθ，这里k 是常数，r 是电灯到照射点的距离，θ是照射到某点的光线与水平平面所成的角．)参考答案1．D 解析：方法一(特殊值法)：令a ＝－1，b ＝－2，代入A 、B 、C 、D 中，知D 不正确，故选D.方法二：由1a ＜1b ＜0，得b ＜a ＜0，所以b 2＞ab ，ab ＞a 2，故A 、B 正确．又由b a ＞0，a b ＞0，且b a ≠a b ，得b a ＋ab ＞2正确．从而A 、B 、C 均正确，对于D ，由b ＜a ＜0⇒|a|＜|b|. 即|a|－|b|＜0，而|a －b|≥0，故D 错． 2．B 解析：x ＞1⇒x －1＞0，y ＝log 2(x ＋1x －1＋5)＝log 2(x －1＋1x －1＋6)≥log 2(2＋6)＝log 28＝3.3．A 解析：由等比知识，得Q ＝a 5·a 7＝a 3·a 9，而P ＝a 3＋a 92，且a 3＞0，a 9＞0，a 3≠a 9.∴a 3＋a 92＞a 3·a 9，即P ＞Q. 4．A 解析：因为a 2≤b ≤2a ，所以3a 2≤a ＋b ≤3a.又因为6＜a ＜10，所以3a2＞9,3a ＜30.所以9＜3a2≤a ＋b ≤3a ＜30.即9＜c ＜30.5．C 解析：用筛选法，容易验证x ＝2是不等式的解，否定A ；x ＝52不是不等式的解，否定D ；x ＝6使3－x 3＋x 与|2－x 2＋x|取“＝”，∵6＜52，故否定B.6．C 解析：由|ax ＋2|＜6⇒－8＜ax ＜4. 当a ＞0时，－8a ＜x ＜4a.∵解集是(－1,2)，∴⎩⎨⎧－8a ＝－1，4a ＝2.解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝8，a ＝2，两值矛盾．当a ＜0时，4a ＜x ＜－8a.由⎩⎨⎧4a ＝－1，－8a ＝2⇒a ＝－4.7．D 解析：方法一(特殊值法)：由1＜1a ＜1b ，知0＜b ＜a ＜1.令a ＝12，b ＝14，则log a b ＝2，log b a ＝12.可判定A 、B 、C 均正确；D 不正确，故选D. 方法二：由1＜1a ＜1b ，得0＜b ＜a ＜1.∴log a b ＞log a a ＝1,0＜log b a ＜log b b ＝1. ∴A 、B 、C 选项正确．由绝对值不等式性质，知|log a b|＋|log b a|＝|log a b ＋log b a|，故D 不正确． 8．C 解析：方法一：f(x)＝2cos 2x ＋8sin 2x 2sinxcosx ＝1＋4tan 2x tanx ＝4tanx ＋1tanx ≥4.这里tanx ＞0且tanx ＝12时取等号，故选C.方法二：f(x)＝1＋cos2x ＋8sin 2x sin2x ＝5－3cos2xsin2x (0＜2x ＜π)．令μ＝5－3cos2xsin2x ，有μsin2x ＋3cos2x ＝5.μ2＋9sin(2x ＋φ)＝5， ∴sin(2x ＋φ)＝5μ2＋9. ∴|5μ2＋9|≤1，得μ2≥16. ∴μ≥4或μ≤－4. 又μ＞0，故选C.9．B 解析：|sinx ＋tanx|≤|sinx|＋|tanx|，则M ⊆N(当a ≤0时，M ＝N ＝∅)，故选B.10．C 解析：①正确，∵c ＞1，lgc ＞0；②不正确；∵0＜c ＜1时，lgc ＜0；③正确，∵2c ＞0；④正确，∵a ＜b ＜0⇒0＞1a ＞1b.11．{x|x ＜1或x ＞2} 解析：方法一：当x ＜1时，2x －1＜0，不等式成立．当x ＞1时，原不等式化为x ＞2x －1，即x －2x －1＞0，x 2－x －2x －1＞0， (x －2)(x ＋1)x －1＞0，得－1＜x ＜1或x ＞2.故原不等式的解集为{x|x ＜1或x ＞2}．方法二：|x|＞2x －1⇒⎩⎪⎨⎪⎧ x>2x －1，x ≥0或⎩⎪⎨⎪⎧x<21－x ，x<0.解得x ＜1或x ＞2.12．m ≥12 解析：依题意，有|m －1|≤m ⇔－m ≤m －1≤m ⇔m ≥12.13．－4 {x|－2＜x ＜2} 解析：由互为反函数的对称性，知f －1(1)＝－4.|f(x －2)|＜1⇒－1＜f(x －2)＜1.因为f(x)在(－∞，＋∞)上是减函数，所以－4＜x －2＜0，得－2＜x ＜2.14．①③⇒②④或②③⇒①④(写一个即可)解析：①③成立时，|α＋β|＝|α|＋|β|＞42＞5，∴④成立．又由①，知αβ＞0，∴|α－β|≤|α＋β|成立，即②成立，同理②③⇒①④.15．a ＞－3 解析：∵A ≠∅，∴|x －3|＜12(x ＋a)⇒－12(x ＋a)＜x －3＜12(x ＋a)⇒6－a 3＜x＜6＋a.∴6－a3＜6＋a.解得a ＞－3.16．解：(1)f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧4，x ≤4，－2x ＋12，4<x ≤8，－4，x>8.图象如下：(2)不等式|x －8|－|x －4|＞2，即f(x)＞2，由－2x ＋12＝2得x ＝5.由函数f(x)图象可知，原不等式的解集为(－∞，5)．17．解：(1)当a ＝1时，原不等式可变为|x ＋3|＋|x －7|＞10，可得其解集为{x|x ＜－3，或x ＞7}．(2)∵|x ＋3|＋|x －7|≥|x ＋3－(x －7)|＝10对任意x ∈R 都成立，∴lg(|x ＋3|＋|x －7|)≥lg10＝1对任何x ∈R 都成立，即lg(|x ＋3|＋|x －7|)＞a 当且仅当a ＜1时，对任何x ∈R 都成立．18．证明：∵a ＞b ＞c ，∴a －b ＞0，b －c ＞0，a －c ＞0， ∴(a －c)(1a －b ＋1b －c)＝[(a －b)＋(b －c)](1a －b ＋1b －c )≥2(a －b)(b －c)×21a －b ×1b －c＝4. 当且仅当a ＋c ＝2b 时，等号成立． ∴1a －b ＋1b －c ≥4a －c. 19．解：(1)由y ＝2x －1，得y ＋1＝2x ， ∴f －1(x)＝log 2(x ＋1)．由2f －1(x)－log 2(1－x)≥0，得2log 2(1＋x)－log 2(1－x)≥0. ⇔⎩⎪⎨⎪⎧1＋x>0，1－x>0，(1＋x)2≥1－x.解得0≤x ＜1， ∴P ＝{x|0≤x ＜1}．(2)∵x ∈P 时，恒有t ≤f －1(x)－log 2(1－x)成立，即t ≤log 2(1＋x)－log 2(1－x)＝log 21＋x 1－x (0≤x ＜1)，∴－1＜－x ≤0,0＜1－x ≤1,1＋x ＜2， ∴21－x ≥2，21－x －1≥1，即1＋x 1－x≥1， ∴log 21＋x 1－x ≥0，∴log 21＋x 1－x的最小值为0.∵t ≤f －1(x)－log 2(1－x)在[0,1)上恒成立， ∴t 的取值范围是{t|t ≤0}．20．解：设照射到A 点处的光线与桌面所成的角为x ，从图中可以看出，r ＝acosx，因此，A 点处的亮度I ＝k ×1a 2sinxcos 2x ，I 取最大值的问题可化为I 2取最大值的问题，由于I 2＝k 2a 4sin 2xcos 4x ，这里k 2a 4是一个常数，所以只需讨论函数sin 2xcos 4x 在何时取得最大值．因为sin 2xcos 4x ＝4sin 2x·cos 2x 2·cos 2x 2≤4[sin 2x ＋cos 2x 2＋cos 2x23]3＝427，当且仅当sin 2x ＝cos 2x 2，即tanx＝12时，等号成立，因此，当h ＝atanx ＝a 2＝22a 时，I 取得最大值，即A 点最亮．答：把电灯挂在距离桌面22a 的高度时，A 点最亮.。

高中数学第二讲讲明不等式的基本方法达标检测新人教A版选修4-5-新人教A版高二选修4-5数学试

第二讲讲明不等式的基本方法达标检测时间：120分钟满分：150分一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．用分析法证明不等式的推论过程一定是( ) A ．正向、逆向均可进行正确的推理 B ．只能进行逆向推理 C ．只能进行正向推理D ．有时能正向推理，有时能逆向推理解析：在用分析法证明不等式时，是从求证的不等式出发，逐步探索使结论成立的充分条件，故只能进行逆向推理．答案：B2．已知a >2，b >2，则有( ) A ．ab ≥a ＋b B ．ab ≤a ＋b C ．ab >a ＋b D ．ab <a ＋b解析：作商比较法.a ＋b ab ＝1b ＋1a，又a >2，b >2， ∴1a <12，1b <12，∴a ＋b ab <12＋12＝1. 答案：C3．用反证法证明命题“如果a 3b ”时，假设的内容应是( ) A.3a ＝3bB ．3a <3bC.3a ＝3b 且3a >3bD ．3a ＝3b 或3a <3b解析：3a 与3b 的大小关系包括3a >3b ，3a ＝3b ，3a <3b ， ∴应假设的内容为3a ＝3b 或3a <3b . 答案：D4．已知实数a ，b ，c 满足b ＋c ＝6－4a ＋3a 2，c －b ＝4－4a ＋a 2，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．c ≥b >a B ．a >c ≥b C ．c >b >aD ．a >c >b解析：∵c －b ＝(a －2)2≥0，∴c ≥b . 由题中两式相减，得b ＝a 2＋1，∴b －a ＝a 2－a ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a －122＋34>0，∴b >a ，∴c ≥b >a . 答案：A5．已知a >b >c >0，A ＝a 2a b 2b c 2c，B ＝a b ＋c b c ＋a c a ＋b，则A 与B 的大小关系是( )A ．A >B B ．A <BC ．A ＝BD ．不确定解析：∵a >b >c >0，∴A >0，B >0.∴A B ＝a a a a b b b b c c c c a b a c b c b a c a cb ＝a a －b a a －c b b －c b b －a c c －a c c －b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a b a －b ⎝ ⎛⎭⎪⎫a c a －c ⎝ ⎛⎭⎪⎫b c b －c .∵a >b >0，∴a b>1，a －b >0. ∴⎝ ⎛⎭⎪⎫a ba －b >1. 同理⎝ ⎛⎭⎪⎫b cb －c >1，⎝ ⎛⎭⎪⎫a c a －c >1.∴A B>1，∴A >B . 答案：A6．若0<x <y <1，则( ) A ．3y<3xB ．log x 3<log y 3C ．log 4x <log 4yD ．⎝ ⎛⎭⎪⎫14x <⎝ ⎛⎭⎪⎫14y 解析：∵y ＝3x在R 上是增函数，且0<x <y <1， ∴3x<3y，故A 错误．∵y ＝log 3x 在(0，＋∞)上是增函数且0<x <y <1， ∴log 3x <log 3y <log 3 1＝0，∴0>1log 3x >1log 3y ，∴log x 3>log y 3，故B 错误．∵y ＝log 4x 在(0，＋∞)上是增函数且0<x <y <1， ∴log 4x <log 4y ，故C 正确．∵y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫14x在R 上是减函数，且0<x <y <1，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫14x >⎝ ⎛⎭⎪⎫14y，故D 错误．答案：C7．设a 、b 、c ∈R ，且a 、b 、c 不全相等，则不等式a 3＋b 3＋c 3≥3abc 成立的一个充要条件是( )A ．a ，b ，c 全为正数B ．a ，b ，c 全为非负实数C ．a ＋b ＋c ≥0D ．a ＋b ＋c >0解析：a 3＋b 3＋c 3－3abc ＝(a ＋b ＋c )(a 2＋b 2＋c 2－ab －ac －bc )＝12(a ＋b ＋c )[(a －b )2＋(b －c )2＋(a －c )2]，而a 、b 、c 不全相等⇔(a －b )2＋(b －c )2＋(a －c )2>0.∴a 3＋b 3＋c 3－3abc ≥0⇔a ＋b ＋c ≥0. 答案：C8．若实数a ，b 满足a ＋b ＝2，则3a ＋3b的最小值是( ) A ．18 B ．6 C ．2 3D ．243解析：3a＋3b≥23a·3b＝2·3a ＋b＝2×3＝6(当且仅当a ＝b ＝1时，等号成立)．答案：B9．要使3a －3b <3a －b 成立，a ，b 应满足的条件是( ) A ．ab <0且a >b B ．ab >0且a >b C ．ab <0且a <bD ．ab >0且a >b 或ab <0且a 0时，有3b <3a ，即b <a . 当ab <0时，有3b >3a ，即b >a . 答案：D10．已知a ，b ，c ，d 都是实数，且a 2＋b 2＝1，c 2＋d 2＝1.则ac ＋bd 的X 围为( ) A ．[－1,1] B ．[－1,2) C ．(－1,3]D ．(1,2]解析：因为a ，b ，c ，d 都是实数，所以|ac ＋bd |≤|ac |＋|bd |≤a 2＋c 22＋b 2＋d 22＝a 2＋b 2＋c 2＋d 22＝1.所以－1≤ac ＋bd ≤1. 答案：A11．在△ABC 中，A ，B ，C 分别为a ，b ，c 所对的角，且a ，b ，c 成等差数列，则B 适合的条件是( ) A ．0<B ≤π4B ．0<B ≤π3C ．0<B ≤π2D ．π2<B <π解析：∵b ＝a ＋c2，∴cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac＝a 2＋c 2－⎝⎛⎭⎪⎫a ＋c 222ac＝3a 2－2ac ＋3c 28ac＝3a 8c ＋3c 8a －14≥2·38－14＝12， ∵余弦函数在⎝⎛⎭⎪⎫0，π2上为减函数，∴0N >P >Q B ．M >P >N >Q C ．M >P >Q >ND ．N >P >Q >M解析：∵α∈⎝⎛⎭⎪⎫π，5π4，∴0>sin α>cos α，∴|sin α|<|cos α|， ∴P ＝12|sin α＋cos α|＝12(|sin α|＋|cos α|)>12(|sin α|＋|sin α|)＝|sin α|＝M ，排除A 、B 、C ，故选D 项．答案：D二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中的横线上) 13．设a ＝3－2，b ＝6－5，c ＝7－6，则a ，b ，c 的大小顺序是________．解析：a －b ＝3－2－6＋5＝3＋5－(2＋6)，而(3＋5)2＝8＋215，(2＋6)2＝8＋212， ∴3＋5>2＋ 6.∴a －b >0，即a >b . 同理可得b >c .∴a >b >c . 答案：a >b >c14．用反证法证明命题“三角形中最多只有一个内角是钝角”时的反设是________．解析：三角形的内角中钝角的个数可以为0个，1个，最多只有一个即为0个或1个，其对立面是“至少两个”．答案：三角形中至少有两个内角是钝角 15．已知a ，b ，c ，d 都为正数，且S ＝a a ＋b ＋c ＋b b ＋c ＋d ＋c c ＋d ＋a ＋da ＋b ＋d，则S 的取值X 围是________．解析：由放缩法，得aa ＋b ＋c ＋d <a a ＋b ＋c <aa ＋c；b a ＋b ＋c ＋d <b b ＋c ＋d <bd ＋b；c a ＋b ＋c ＋d <c c ＋d ＋a <cc ＋a ；da ＋b ＋c ＋d <d d ＋a ＋b <dd ＋b.以上四个不等式相加，得1<S <2. 答案：(1,2)16. 请补全用分析法证明不等式“ac ＋bd ≤a 2＋b 2c 2＋d 2”时的推论过程：要证明ac ＋bd ≤a 2＋b 2c 2＋d 2，①______________________________________________________________，只要证(ac ＋bd )2≤(a 2＋b 2)(c 2＋d 2)，即要证：a 2c 2＋2abcd ＋b 2d 2≤a 2c 2＋a 2d 2＋b 2c 2＋b 2d 2，即要证：a 2d 2＋b 2c 2≥2abcd .②________________________________________________________________. 解析：对于①只有当ac ＋bd ≥0时，两边才能平方，对于②只要接着往下证即可．答案：①因为当ac ＋bd ≤0时，命题显然成立，所以当ac ＋bd ≥0时 ②∵(ab －bc )2≥0，∴a 2d 2＋b 2c 2≥2abcd ，∴命题成立三、解答题(本大题共有6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(12分)求证：a 2＋b 2＋3≥ab ＋3(a ＋b )．证明：∵a 2＋b 2≥2ab ，a 2＋3≥23a ，b 2＋3≥23b ；将此三式相加得2(a 2＋b 2＋3)≥2ab ＋23a ＋23b ， ∴a 2＋b 2＋3≥ab ＋3(a ＋b )．18．(12分)已知m >0，a ，b ∈R ，求证：⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋mb 1＋m 2≤a 2＋mb 21＋m .证明：因为m >0，所以1＋m >0.所以要证⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋mb 1＋m 2≤a 2＋mb 21＋m ，即证(a ＋mb )2≤(1＋m )(a 2＋mb 2)，即证m (a 2－2ab ＋b 2)≥0，即证(a －b )2≥0. 而(a －b )2≥0显然成立，故⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋mb 1＋m 2≤a 2＋mb 21＋m . 19．(12分)已知a >b >0，试比较a 2－b 2a 2＋b 2与a －b a ＋b 的大小．解析：∵a >b >0，∴a 2－b 2a 2＋b 2>0，a －ba ＋b >0. 又∵a 2－b 2a 2＋b 2a －b a ＋b＝a 2－b 2a ＋ba 2＋b 2a －b＝a ＋b 2a 2＋b 2＝a 2＋b 2＋2ab a 2＋b 2＝1＋2aba 2＋b 2>1， ∴a 2－b 2a 2＋b 2>a －b a ＋b. 20．(12分)若0<a <2,01，(2－b )c >1，(2－c )a >1那么2－a＋b2≥2－a b>1，①同理2－b＋c2>1，②2－c＋a2>1，③由①＋②＋③得3>3，上式显然是错误的，∴该假设不成立，∴(2－a)b，(2－b)c，(2－c)a不能同时大于1.21．(13分)求证：2(n＋1－1)<1＋12＋13＋…＋1n<2n(n∈N＋)．证明：∵1k>2k＋k＋1＝2(k＋1－k)，k∈N＋，∴1＋12＋13＋…＋1n>2[(2－1)＋(3－2)＋…＋(n＋1－n)] ＝2(n＋1－1)．又1k<2k＋k－1＝2(k－k－1)，k∈N＋，∴1＋12＋13＋…＋1n<1＋2[(2－1)＋(3－2)＋…＋(n－n－1)] ＝1＋2(n－1)＝2n－1<2n.故原不等式成立．22．(13分)已知数列{a n}的前n项和S n＝2n2＋2n，数列{b n}的前n项和T n＝2－b n.(1)求数列{a n}与{b n}的通项公式；(2)设＝a2n·b n，证明当n≥3时，＋1<.解析：(1)∵S n＝2n2＋2n，∴当n≥2时，S n－1＝2(n－1)2＋2(n－1)，∴a n＝S n－S n－1＝4n(n≥2)．当n ＝1时，S 1＝4，符合上式． ∴数列{a n }的通项公式为a n ＝4n .又∵T n ＝2－b n ，∴当n ≥2时，T n －1＝2－b n －1， ∴b n ＝T n －T n －1＝2－b n ＋b n －1－2，即2b n ＝b n －1. ∴b n b n －1＝12. 而T 1＝b 1＝2－b 1，∴b 1＝1.∴数列{b n }的通项公式为b n ＝1·⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1.(2)证明：由(1)，知＝(4n )2·⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1＝16n 2·⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1，∴＋1＝16(n ＋1)2·⎝ ⎛⎭⎪⎫12n .∴＋1＝16n ＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫12n 16n 2⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1n 2.当n ≥3时，1＋1n ≤43<2，∴＋1<12×(2)2＝1，又由＝a 2n ·b n 可知，＋1和均大于0， ∴＋1<.。

高中数学第二讲讲明不等式的基本方法2.2综合法与分析法课件新人教A版选修4_5

【解析】选D.根据综合法的定义可得,综合法是执因导果法,是顺推法;根据分析法的定义得,分析法是执果索因法,是逆推证法.
2.下列对命题“函数f(x)=x+ 1 是奇函数”的证明不 x
是综合法的是 ( )
A.∀x∈R且x≠0有f(-x)=(-x)+
=-f(x),
所以f(x)是奇函数
1 (x 1 )
(2)综合法证明不等式所依赖的已知不等式主要有如下
几个:①a2≥0(a∈R);②(a-b)2≥0(a,b∈R),其变形有
a2+b2≥2ab,（a
2
b）2
≥ab,a2+b2≥
1 2
(a+b)2;③若a,b
为正实数,则 a b 2
ab，特别
ba
≥2;④a2+b2+c2≥
ab
ab+bc+ca.
C.
-1-a2b2≤0
( a b )2
2
B.a2+b2-1- a2 b2 ≤0 D.(a2-1)(b2-1)2≥0
【解析】选D.因为a2+b2-1-a2b2=(a2-1)(1-b2) =-(a2-1)(b2-1), 故要证a2+b2-1-a2b2≤0,只需证(a2-1)(b2-1)≥0.
【知识探究】探究点综合法与分析法 1.综合法与分析法证明不等式的逻辑关系是怎样的? 提示:综合法:A⇒B1⇒B2⇒…⇒Bn⇒B (已知)(逐步推演不等式成立的必要条件)(结论).
只要证(a+b+c)（ b
1
c

a
1
c

a
1
） b
9 2

2020版人教A版数学选修4-5同步配套___第一讲不等式和绝对值不1.1.1

与
��-�� +��
的大小.
解:
�� 3 -�� 3 �� 3 +�� 3
−
��-�� +��
=(a-b)
��
2+�� +��2 ��3+�� 3
剖析：(1)在应用传递性时,如果两个不等式中有一个带等号而另
一个不带等号,那么等号是传递不过去的.如a≤b,b<c⇒a<c.(2)在乘
法法则中,要特别注意乘数c,例如,当c≠0时,有a>b⇒ac2>bc2;若无
c≠0这个条件,则a>b⇒ac2>bc2就是错误结论(当c=0时,取
“=”).(3)a>b>0⇒an>bn>0成立的条件是“n为大于0的数”,如果去掉
重难聚焦
典例透析
题型一题型二题型三题型四
题型四
易错辨析
易错点同向不等式相加时,忽视前提条件致错
【例 4】
已知−
π2≤α<β≤π2
,
求
��+�� 2
,
��-�� 2
的取值范围.
错解：∵−
π2≤α<β≤π2,∴−
π 4
≤
�� 2
≤
π 4
,
−
π 4
≤
�� 2
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典例透析
123
3.作差比较法
(1)理论依据:a-b>0⇔a>b;a-b=0⇔a=b;a-b<0⇔a<b.

高中数学第二讲讲明不等式的基本方法 2.2 分析法与综合法同步检测(含解析)新人教A版选修4-5

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2。

2分析法与综合法同步检测一、选择题1。

设a，b＞0,，，则A,B的大小关系是（）A。

A＝B B。

A＜B C。

A＞B D.大小不确定答案:C解析：【解答】用综合法:，所以.所以.又,，所以.【分析】本题主要考查了分析法与综合法，解决问题的关键是对所给关系式A,B两边平方作差比较即可.2。

下面对命题“函数是奇函数”的证明不是综合法的是A。

且x≠0有,则是奇函数B.且x≠0有，所以，则是奇函数C。

且x≠0，∵,∴，∴,则是奇函数D.取,，又,则是奇函数答案：D解析：【解答】D项中，选取特殊值进行证明，不是综合法。

【分析】本题主要考查了分析法与综合法，解决问题的关键是根据综合法的特征分析判断即可.3. 若O是平面上一定点，A，B，C是平面上不共线的三个点,动点P满足，，则动点P的轨迹一定通过的( ）A。

外心 B。

内心 C。

重心 D。

垂心答案：B解析：【解答】∵，∴。

∴AP是△ABC中∠BAC的内角平分线，∴动点P的轨迹一定通过△ABC的内心【分析】本题主要考查了分析法与综合法，解决问题的关键是根据所给条件平行四边形法则得到AP是△ABC中∠BAC的内角平分线,证明问题。

(压轴题)高中数学高中数学选修4-5第二章《重要的不等式》检测卷(包含答案解析)(1)

一、选择题1．已知a ，b R ∈，224a b +=，求32a b +的取值范围为（）A ．324a b +≤B ．32a b -≤+≤C ．324a b +≥D ．不确定2．若a ，b ，c 均为正数，且6a b c ++=，则ab bc ac c a b++的最小值为（） A ．12 B ．6C ．5D ．33．函数y 的最大值是( )A B C ．3D ．54．若函数()f x 在其图象上存在不同的两点()11,A x y ,()22,B x y ,其坐标满足条件：1212x x y y +0,则称()f x 为“柯西函数”,则下列函数：①1()f x x x=+（0x >）;②()ln f x x =（0x e <<）;③()cos f x x =;④2()1f x x =-.其中为“柯西函数”的个数为（） A ．1B ．2C ．3D ．45．已知,,x y z ∈R ，2221x y z ++=，则22x y z ++的最大值为（） A ．9B ．3C ．1D ．276．已知,,x y z R +∈,且1x y z ++=，则222x y z ++的最小值是（） A ．1B ．13C ．12D ．37．已知空间向量(1,0,0),(1,1,0),(0,0,1),OA OB OC === 向量,OP xOA yOB zOC =++且424x y z ++=,则OP 不可能是 A ．12B ．1C ．32D ．48．设m,n 为正整数,m>1,n>1,且log 3m·log 3n≥4,则m+n 的最小值为( ) A ．15 B ．16 C ．17D ．189．已知2x+3y+4z=10,则x 2+y 2+z 2取到最小值时的x,y,z 的值为( ) A ．5105,,396B ．203040,,292929C ．111,,23D ．11,4910．y=x （）A ．1B ．2C D ．411．下列不等式成立的有①a b a b -≤-，②33a b c abc ++≥，③22222()()()a b c d ac bd ++≤+ A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个12．不等式2313x x a a ++-<-有解的实数a 的取值范围是（） A ．()(),14,-∞-+∞ B ．()1,4-C ．()(),41,-∞-+∞D ．()4,1-二、填空题13．已知平面向量,,a b c 满足0a b ⋅=，1c =，5a c b c -=-=，则a b -的最大值为__________．14．若222494x y z ++=，则+3x y z +的最大值为______. 15．已知,,x y z 是正数，且1231x y z ++=，则23y zx ++的最小值是__________. 16．设实数x ，y ，m ，n 满足221x y +=，223m n +=，那么mx ny +的最大值是__________．17．函数321452y x x =-+-的最大值为__________． 18．已知x 、y 、z ∈R ，且2x+3y+3z=1，则x 2+y 2+z 2的最小值为____． 19．三棱锥的四个顶点都在半径为4的球面上，且三条侧棱两两互相垂直，则该三棱锥侧面积的最大值为________________.20．已知,(0,)x y ∈+∞3x y x y <+恒成立，利用柯西不等式可求得实数k 的取值范围是________．三、解答题21．设x ，y ，z 均为正实数，且24x y z ++=.（1）证明：22224x y z ++≥. （2x y z .22．已知a ，b ，c 为正数，()||||||f x x a x b x c =++++-. （1）若1a b c ===，求函数()f x 的最小值；（2）若()01f =且a ，b ，c 不全相等，求证：333b c c a a b abc ++>. 23．设x ，y ，z R ∈，且1x y z ++=. （1）求222(1)(1)(1)x y z -++++的最小值；（2）若2221(2)(1)()3x y z a -+-+-成立，证明：3a -或1a -.24．已知不等式15|2|22x x -++≤的解集为M . （1）求集合M ；（2）设集合M 中元素的最大值为t .若0a >，0b >，0c >，满足111223t a b c++=，求2993a b c ++的最小值. 25．已知,,a b c +∈R ，且满足1abc =，（1）求证：()2333a b c a b c bc ac ab++≥++；（2）求证：()()()22211132a b c b a c c a b ++≥+++．26．已知a ，b ，c 为正实数，且a+b+c=1. （Ⅰ）证明：1111118a b c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫---≥ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭；（Ⅱ）证明：32++≥+++a b c b c a c a b .【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【分析】首先分析题目已知224a b +=，求32a b +的取值范围．考虑到应用柯西不等式，首先构造出柯西不等式求出2(32)a b +的最大值，开平方根即可得到答案．【详解】解：由柯西不等式得()()()22222323252a b a b++=≤+，当且仅当23a b =时取等号.则32a b -≤+≤故选：B. 【点睛】此题主要考查柯西不等式的应用问题，对于柯西不等式的二维形式22222()()()ac bd a b c d +++应用广泛需要同学们理解记忆，题目涵盖知识点少，计算量小，属于基础题．2．B解析：B 【分析】不妨设a b c <<，可得ab ac bc <<，111c b a<<，利用排序不等式即可得解. 【详解】不妨设0a b c <<<，则ab ac bc <<，111c b a<<，由排序不等式得6ab ac bc ab ac bc a c b c b a b a c++≥++=++=．故选：B 【点睛】本题考查不等式的性质、排序不等式，属于基础题.3．B解析：B 【分析】利用柯西不等式求解. 【详解】因为y ===，即265x =时，取等号.故选：B 【点睛】本题主要考查柯西不等式的应用，还考查了转化化归的思想和运算求解的能力，属于基础题.4．B解析：B 【分析】由柯西不等式得：对任意实数1122,,,x y x y , 12120x x y y +-≤恒成立（当且仅当存在实数k ,使得1212,x kx y ky 取等号）,若函数()f x 在其图象上存在不同的两点()()1122,,,A x y B x y ,其坐标满足条件：1212x x y y +的最大值为0,则函数()f x 在其图象上存在不同的两点()()1122,,,A x y B x y 使得,OA OB 共线,即存在点A 、B 与点O 共线逐一判定即可. 【详解】解:由柯西不等式得：对任意实数1x ,1y ,2x ,2y ：12120x x y y +-≤恒成立（当且仅当存在实数k ,使得12x kx =,12y ky =取等号）,又函数()f x 在其图象上存在不同的两点()11,A x y ,()22,B x y ,满足条件：1212x x y y +0, 则函数()f x 在其图象上存在不同的两点()11,A x y ,()22,B x y ,使得OA 、OB 共线, 即存在点A 、B 与点O 共线;设AB 的方程为y kx =,对于①,由于y kx =（0x >）与1()f x x x=+只有一个交点,所以①不是柯西函数;对于②,由于y kx =与()ln f x x =（0x e <<）最多只有一个交点,所以②不是柯西函数; 对于③,取(0,0)A ,点B 任意,均满足定义,所以③是柯西函数; 对于④,取(1,0)A -,(1,0)B ,均满足定义,所以④是柯西函数. 故选:B 【点睛】本题考查了柯西不等式的新定义,关键是弄清楚新定义的含义,属于中档题.5．B解析：B 【分析】由已知2221x y z ++=，可利用柯西不等式2222222()()()a b c e f g ae bf cg ++++≥++，构造柯西不等式，即可求解．【详解】由已知，可知,,x y z ∈R ，2221x y z ++=，利用柯西不等式2222222()()()a b c e f g ae bf cg ++++≥++，可构造得2222222(122)()(22)x y x x y z ++++≥++，即2(22)9x y z ++≤，所以22x y z ++的最大值为3，故选B ．【点睛】本题主要考查了柯西不等式的应用，其中解答中熟记柯西不等式，合理构造柯西不等式求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题．6．B解析：B 【解析】【分析】利用柯西不等式得出()()()2222222111xy z x y z ++++≥++，于此可得出222x y z ++的最小值。

人教课标版高中数学选修4-5：《综合法与分析法》教案-新版

2.2 课时6 综合法与分析法一、教学目标（一）核心素养通过对综合法与分析法的学习，体会数学证明的基本思想及逻辑思路.（二）学习目标1.结合已经学过的数学实例，了解直接证明的综合法.2.了解直接证明分析法，注意格式规范.2.了解分析法和综合法的思考过程.（三）学习重点会用综合法证明问题；了解综合法的思考过程.（四）学习难点根据问题的特点，结合综合法的思考过程、特点，选择适当的证明方法.二、教学设计（一）课前设计1．预习任务（1）读一读：阅读教材第23页至第25页，思考：什么是综合法？什么是分析法？（2）想一想：两种方法有什么区别与联系？2．预习自测（1）综合法又叫顺推证法，它的特点是.【知识点】综合法【数学思想】【解题过程】由因到果【思路点拨】了解综合法的原理【答案】由因到果（2）分析法的特点是.【知识点】分析法【数学思想】【解题过程】执果索因.【思路点拨】了解分析法的原理【答案】执果索因（32+<，最好用什么方法？【知识点】分析法【数学思想】2+<，只需证22(2<+，只需证<<，只需证1820<，显然成立，原命题成立. 【思路点拨】分析法由果寻因，证明问题很方便【答案】分析法 (二)课堂设计 1.知识回顾（1）如果,a b ∈R ，那么222a b ab +≥，当且仅当a b =时，等号成立.（2）如果,0a b >，那么2a b+≥，当且仅当a b =时，等号成立. （3）如果,a b c d >>，那么a c b d +>+；如果0,0a b c d >>>>，那么ac bd >. 2．问题探究探究一综合法与分析法 ●活动① 综合法与分析法的定义综合法和分析法是数学中常用的两种直接证明方法，也是不等式证明中的基本方法.由于两者在证明思路上存在着明显的互逆性，这里将其放在一起加以认识、学习，以便于对比研究两种思路方法的特点.所谓综合法，即从已知条件出发，根据不等式的性质或已知的不等式，逐步推导出要证的不等式.而分析法，则是由结果开始，倒过来寻找原因，直至原因成为明显的或者在已知中.前一种是“由因及果”，后一种是“执果索因”.打一个比方：张三在山里迷了路，救援人员从驻地出发，逐步寻找，直至找到他，这是“综合法”；而张三自己找路，直至回到驻地，这是“分析法”.以前得到的结论，可以作为证明的根据.特别的，AB B A 222≥+是常常要用到的一个重要不等式.例1 b a ,都是正数，求证：.2≥+abb a【知识点】综合法；基本不等式【数学思想】【解题过程】证明：由重要不等式AB B A 222≥+可得.22=≥+ab b a a b b a 【思路点拨】基本不等式：一正二定三取等【答案】见解析同类训练证明：当1x >时, 1+31x x ≥-. 【知识点】综合法；基本不等式【数学思想】【解题过程】证明：因为1x >，所以11+(1)++11)+1=3111x x x x x =-≥---. 【思路点拨】配凑定值，用基本不等式可证【答案】见解析例2 设0,0>>b a ，求证.2233ab b a b a +≥+ 【知识点】综合法；分析法【数学思想】【解题过程】证法一综合法ab b ab a b ab a b a ≥+-⇒≥+-⇒≥-22222020)(，注意到0,0>>b a ，即0>+b a ，由上式即得)())((22b a ab b ab a b a +≥+-+，从而2233ab b a b a +≥+成立.证法二分析法要证2233ab b a b a +≥+成立.只需证)())((22b a ab b ab a b a +≥+-+成立，又因0>+b a ，只需证ab b ab a ≥+-22成立，又需证0222≥+-b ab a 成立，即需证0)(2≥-b a 成立.而0)(2>-b a 显然成立. 由此命题得证. 【思路点拨】因式分解化简不等式. 【答案】见解析同类训练求证2252(2)a b a b ++≥- 【知识点】综合法；分析法【数学思想】【解题过程】证法一综合法因为22(2)(1)0a b -++≥,所以224250a b a b +-++≥,所以2252(2)a b a b ++≥-. 证法二分析法要证2252(2)a b a b ++≥-，只需证22542a b a b ++≥-,只需证224250a b a b +-++≥，只需证22(2)(1)0a b -++≥，显然成立，所以原不等式成立.【思路点拨】一元二次，配方. 【答案】见解析议一议：根据上面的例证，你能指出综合法和分析法的主要特点吗？【设计意图】理解和掌握综合法与分析法. 探究二综合法与分析法的特点 ●活动① 综合法与分析法的特点如果用Q P ⇒或P Q ⇐表示命题P 可以推出命题Q （命题Q 可以由命题P 推出），那么采用综合法的证法一就是).1()2()3()4(⇒⇒⇒采用分析法的证法二就是).4()3()2()1(⇐⇐⇐如果命题P 可以推出命题Q ，命题Q 也可以推出命题P ，即同时有P Q Q P ⇒⇒,，那么我们就说命题P 与命题Q 等价，并记为.Q P ⇔例3 证明：ca bc ab c b a ++≥++222. 【知识点】综合法；分析法【数学思想】化归与转化思想【解题过程】证法一因为ab b a 222≥+，bc c b 222≥+，ca a c 222≥+ 所以三式相加得)(2)(2222ca bc ab c b a ++≥++，两边同时除以2即得ca bc ab c b a ++≥++222. 证法二因为,0)(21)(21)(21)(222222≥-+-+-=++-++a c c b b a ca bc ab c b a 所以ca bc ab c b a ++≥++222成立.【思路点拨】基本不等式，不等式的可加性. 【答案】见解析同类训练求证：222222222a b b c c a a bc ab c abc ++≥++. 【知识点】综合法；分析法【数学思想】化归与转化思想【解题过程】证明：因为222222a b b c ab c +≥，222222b c c a abc +≥，222222c a a b a bc +≥ 所以三式相加得2222222222()2()a b b c c a a bc ab c abc ++≥++，两边同时除以2即得222222222a b b c c a a bc ab c abc ++≥++. 【思路点拨】基本不等式，不等式的可加性. 【答案】见解析例4 证明：.)())((22222bd ac d c b a +≥++ 【知识点】分析法【数学思想】化归与转化思想【解题过程】证明要证.)())((22222bd ac d c b a +≥++只需证0)())((22222≥+-++bd ac d c b a只需证0)2(222222222222≥++-+++d b abcd c a d b d a c b c a 只需证022222≥-+abcd d a c b 只需证 0)(2≥-ad bc ，显然成立，原不等式成立. 此时显然成立.因此.)())((22222bd ac d c b a +≥++成立. 【思路点拨】化简，配方. 【答案】见解析同类训练已知1m n >>,求证：2m n mn m +>+. 【知识点】分析法【数学思想】化归与转化思想【解题过程】证明要证2m n mn m +>+,只需证2()()0m m n mn -+->,只需证(1)(1)0m m n m -+->,只需证(1)()0m m n -->,因为1m n >>，所以(1)()0m m n -->.【思路点拨】化简，因式分解. 【答案】见解析【设计意图】体会综合法与分析法在证明不等式时的异同．探究三巩固提升 ●活动① 巩固提升例5 已知c b a ,,都是正数，求证.3333abc c b a ≥++并指出等号在什么时候成立？【知识点】综合法【数学思想】化归与转化思想【解题过程】证明 abc c b a 3333-++=))((222ca bc ab c b a c b a ---++++ =].)()())[((21222a c c b b a c b a -+-+-++由于c b a ,,都是正数，所以.0>++c b a 而0)()()(222≥-+-+-a c c b b a ，可知03333≥-++abc c b a ，即abc c b a 3333≥++（等号在c b a ==时成立）【思路点拨】本题可以考虑利用因式分解公式))((3222333ca bc ab c b a c b a abc c b a ---++++=-++着手. 【答案】见解析同类训练已知0,0,0a b c >>>,且1abc =,111+a b c≤+. 【知识点】综合法【数学思想】化归与转化思想【解题过程】证明由1abc =，得111+=ab bc ac a b c +++，又由基本不等式及0,0,0a b c >>>得ab bc +≥=bc ac +≥=,ab ac +≥=,111+a b c+≤+ 【思路点拨】基本不等式. 【答案】见解析同类训练如果将不等式abc c b a 3333≥++中的333,,c b a 分别用c b a ,,来代替，并在两边同除以3，会得到怎样的不等式？并利用得到的结果证明不等式：27)1)(1)(1(>++++++a c c b b a ，其中c b a ,,是互不相等的正数，且1=abc .【知识点】基本不等式；综合法【数学思想】【解题过程】,,0)3a b c a b c ++≥>，当且仅当a b c ==时取等号. ,31,31,31333ac a c bc c b ab b a ≥++≥++≥++三式相乘的，得 127)1)(1)(1(32=>++++++）（abc a c c b b a ，所以27)1)(1)(1(≥++++++a c c b b a ，当且仅当⎪⎩⎪⎨⎧======c a c b b a 111，即1===c b a 时取等号，因为c b a ,,是互不相等的正数，所以27)1)(1)(1(>++++++a c c b b a .【思路点拨】注意取等三个正数的均值不等式的条件【答案】见解析【设计意图】掌握用综合法与分析法证明不等式． 3. 课堂总结知识梳理(1)解不等式时，在不等式的两边分别作恒等变形，在不等式的两边同时加上（或减去）一个数或代数式，移项，在不等式的两边同时乘以（或除以）一个正数或一个正的代数式，得到的不等式都和原来的不等式等价。

数学·选修4-5(人教A版)课件：第二讲2.2综合法与分析法

333
＋c)≥3 a·3 b·3 c＝27，
当且仅当 a＝b＝c＝1 时，等号成立，
所以原不等式成立．
类型 2 分析法证明不等式
1
[典例 2] 已知 x＞0，y＞0，求证：(x2＋y2)2＞(x3＋
1
y3)3.
证明：因为 x＞0，y＞0，
1
1
所以要证明(x2＋y2)2＞(x3＋y3)3，
只需证(x2＋y2)3＞(x3＋y3)2，
即证 x6＋3x4y2＋3x2y4＋y6＞x6＋2x3y3＋y6，即证 3x4y2＋3x2y4＞2x3y3. 因为 x＞0，y＞0，所以 x2y2＞0，即证 3x2＋3y2＞2xy. 因为 3x2＋3y2＞x2＋y2≥2xy，所以 3x2＋3y2＞2xy 成立．
归纳升华 1．分析法是指从要证的不等式出发，分析这个不等式成立的充分条件，进而转化为判定那些条件是否具备．其特点和思路是“执果索因”，即从“未知”看“已知”． 2．当所要证的不等式与重要不等式、基本不等式没有直接联系，或很难发现条件与结论之间的关系时，可用分析法来证明．
积极主动
以终为始
分清主次
不断更新
高效学习模型
高效学习模型-学习的完整过程
方向
资料
筛选
认知
高效学习模型-学习的完整过程
消化
固化
模式
拓展
小思考
TIP1：听懂看到≈认知获取； TIP2：什么叫认知获取：知道一些概念、过程、信息、现象、方法，知道它们大概可以用来解决什么问题，而这些东西过去你都不知道；
归纳升华 1．分析法在思考上优于综合法，易于寻找证明的思路，综合法在证明过程中书写表达条理、简练，故常将两法综合使用，用分析法“探路”，用综合法“书写”，从而解决较复杂的不等式证明问题．

高中数学第二讲证明不等式的基本方法 2.2 综合法与分析法练习(含解析)新人教A版选修4-5-新

2.2 综合法与分析法[A 级基础巩固]一、选择题1．若实数x ，y 满足不等式xy ＞1，x ＋y ≥0，则()A ．x ＞0，y ＞0B ．x ＜0，y ＜0C ．x ＞0，y ＜0D ．x ＜0，y ＞0解析：因为xy ＞1＞0，所以x ，y 同号．又x ＋y ≥0，故x ＞0，y ＞0.答案：A2．设x ，y ＞0，且xy －(x ＋y )＝1，则( ) A ．x ＋y ≥2(2＋1)B ．xy ≤2＋1C ．x ＋y ≤2(2＋1)2D ．xy ≥2(2＋1)解析：因为x ，y ＞0，且xy －(x ＋y )＝1，所以(x ＋y )＋1＝xy ≤⎝⎛⎭⎪⎫x ＋y 22. 所以(x ＋y )2－4(x ＋y )－4≥0，解得x ＋y ≥2(2＋1)．答案：A3．对任意的锐角α，β，下列不等关系中正确的是()A ．sin(α＋β)＞sin α＋sin βB ．sin(α＋β)＞cos α＋cos βC ．cos(α＋β)＞sin α＋sin βD ．cos(α＋β)＜cos α＋cos β解析：因为α，β为锐角，所以0＜α＜α＋β＜π，所以cos α＞cos(α＋β)．又cos β＞0，所以cos α＋cos β＞cos(α＋β)．答案：D4．设13＜⎝ ⎛⎭⎪⎫13b ＜⎝ ⎛⎭⎪⎫13a＜1，则( ) A ．a a ＜a b ＜b aB ．a a ＜b a ＜a bC ．a b ＜a a ＜b aD ．a b ＜b a ＜a a解析：因为13＜⎝ ⎛⎭⎪⎫13b ＜⎝ ⎛⎭⎪⎫13a＜1，所以0＜a ＜b ＜1，所以a aa b ＝a a －b ＞1，所以a b ＜a a ， a a b a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a b a .因为0＜a b＜1，a ＞0，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫a b a ＜1，所以a a ＜b a ，所以a b ＜a a ＜b a . 答案：C5．已知a ，b ∈R，则“a ＋b ＞2，ab ＞1”是“a ＞1，b ＞1”成立的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：当a ＞1，b ＞1时，两式相加得a ＋b ＞2，两式相乘得ab ＞1.反之，当a ＋b ＞2，ab ＞1时，a ＞1，b ＞1不一定成立．如：a ＝12，b ＝4也满足a ＋b ＞2，ab ＝2＞1，但不满足a ＞1，b ＞1. 答案：B二、填空题6．若1a ＜1b ＜0，已知下列不等式：①a ＋b ＜ab ；②|a |＞|b |；③a ＜b ；④b a ＋a b＞2. 其中正确的不等式的序号为________．解析：因为1a ＜1b＜0，所以b ＜a ＜0，故②③错．答案：①④7．若a ＞0，b ＞0，则下列两式的大小关系为：lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋a ＋b 2________12[lg(1＋a )＋lg(1＋b )]．解析：12[lg(1＋a )＋lg(1＋b )]＝12lg[(1＋a )(1＋b )]＝lg[(1＋a )(1＋b )]12，又lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋a ＋b 2＝lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b ＋22，因为a ＞0，b ＞0，所以a ＋1＞0，b ＋1＞0，所以[(a ＋1)(1＋b )]12≤a ＋1＋b ＋12＝a ＋b ＋22，所以lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋a ＋b 2≥lg[(1＋a )(1＋b )]12. 即lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋a ＋b 2≥12[lg(1＋a )＋lg(1＋b )]．答案：≥8．已知a ＞0，b ＞0，若P 是a ，b 的等差中项，Q 是a ，b 的等比中项，1R 是1a ，1b的等差中项，则P ，Q ，R 按从大到小的排列顺序为________．解析：P ＝a ＋b 2，Q ＝ab ，2R ＝1a ＋1b ，所以R ＝2ab a ＋b ≤Q ＝ab ≤P ＝a ＋b 2，当且仅当a ＝b 时取等号．答案：P ≥Q ≥R三、解答题9．已知a ＞0，b ＞0，2c ＞a ＋b ，求证：c －c 2－ab ＜a .证明：要证c －c 2－ab ＜a ，只需证明c ＜a ＋c 2－ab ，即证b －a ＜2c 2－ab ，当b －a ＜0时，显然成立；当b －a ≥0时，只需证明b 2＋a 2－2ab ＜4c 2－4ab ，即证(a ＋b )2＜4c 2，由2c ＞a ＋b 知上式成立．所以原不等式成立．10．已知△ABC 的三边长是a ，b ，c ，且m 为正数．求证：aa ＋m ＋b b ＋m >c c ＋m. 证明：要证a a ＋m ＋b b ＋m >c c ＋m ，只需证a (b ＋m )(c ＋m )＋b (a ＋m )(c ＋m )－c (a ＋m )·(b ＋m )>0，即证abc ＋abm ＋acm ＋am 2＋abc ＋abm ＋bcm ＋bm 2－abc －acm －bcm －cm 2>0，即证abc ＋2abm ＋(a ＋b －c )m 2>0.由于a ，b ，c 是△ABC 的边长，m >0，故有a ＋b >c ，即(a ＋b －c )m 2>0.所以abc ＋2abm ＋(a ＋b －c )m 2>0是成立的．因此aa ＋m ＋b b ＋m >c c ＋m 成立．B 级能力提升1．已知a ，b ，c 为三角形的三边且S ＝a 2＋b 2＋c 2，P ＝ab ＋bc ＋ca ，则( )A ．S ≥2PB ．P ＜S ＜2PC ．S ＞PD ．P ≤S ＜2P 解析：因为a 2＋b 2≥2ab ，b 2＋c 2≥2bc ，c 2＋a 2≥2ca ，所以a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ca ，即S ≥P .又三角形中|a －b |＜c ，所以a 2＋b 2－2ab ＜c 2，同理b 2－2bc ＋c 2＜a 2，c 2－2ac ＋a 2＜b 2，所以a 2＋b 2＋c 2＜2(ab ＋bc ＋ca )，即S ＜2P .答案：D2．若n 为正整数，则2n ＋1与2n ＋1n 的大小关系是________．解析：要比较2n ＋1与2n ＋1n 的大小，只需比较(2n ＋1)2与⎝ ⎛⎭⎪⎫2n ＋1n 2的大小，即4n ＋4与4n ＋4＋1n 的大小．因为n 为正整数，所以4n ＋4＋1n＞4n ＋4. 所以2n ＋1＜2n ＋1n .答案：2n ＋1＜2n ＋1n3．设a ，b ，c ，d 均为正数，且a ＋b ＝c ＋d .证明：(1)若ab ＞cd ，则a ＋b ＞c ＋d ； (2)a ＋b ＞c ＋d 是|a －b |＜|c －d |的充要条件．证明：(1)因为(a ＋b )2＝a ＋b ＋2ab ，(c ＋d )2＝c ＋d ＋2cd ，由题设a ＋b ＝c ＋d ，ab >cd ，得(a ＋b )2>(c ＋d )2. 因此a ＋b >c ＋d .(2)①若|a －b |<|c －d |，则(a－b)2<(c－d)2，即(a＋b)2－4ab<(c＋d)2－4cd.因为a＋b＝c＋d，所以ab>cd，由(1)得a＋b>c＋d.②若a＋b>c＋d，则(a＋b)2>(c＋d)2即a＋b＋2ab>c＋d＋2cd，因为a＋b＝c＋d，所以ab>cd.于是(a－b)2＝(a＋b)2－4ab<(c＋d)2－4cd＝(c－d)2，因此|a－b|<|c－d|，综上所述a＋b>c＋d是|a－b|<|c－d|的充要条件．。

高中数学选修部分之不等式选讲新人教A版选修4-5

选修4_5 不等式选讲课题：第01课时不等式的基本性质目的要求：重点难点：教学过程：一、引入：不等关系是自然界中存在着的基本数学关系。

《列子•汤问》中脍炙人口的“两小儿辩日”：“远者小而近者大”、“近者热而远者凉”，就从侧面表明了现实世界中不等关系的广泛存在；日常生活中息息相关的问题，如“自来水管的直截面为什么做成圆的，而不做成方的呢?”、“电灯挂在写字台上方怎样的高度最亮？”、“用一块正方形白铁皮，在它的四个角各剪去一个小正方形，制成一个无盖的盒子。

要使制成的盒子的容积最大，应当剪去多大的小正方形？”等，都属于不等关系的问题，需要借助不等式的相关知识才能得到解决。

而且，不等式在数学研究中也起着相当重要的作用。

本专题将介绍一些重要的不等式（含有绝对值的不等式、柯西不等式、贝努利不等式、排序不等式等）和它们的证明，数学归纳法和它的简单应用等。

人与人的年龄大小、高矮胖瘦，物与物的形状结构，事与事成因与结果的不同等等都表现出不等的关系，这表明现实世界中的量，不等是普遍的、绝对的，而相等则是局部的、相对的。

还可从引言中实际问题出发，说明本章知识的地位和作用。

生活中为什么糖水加糖甜更甜呢?转化为数学问题：a 克糖水中含有b 克糖(a>b>0)，若再加m(m>0)克糖，则糖水更甜了，为什么?分析：起初的糖水浓度为a b ，加入m 克糖后的糖水浓度为m a m b ++，只要证m a m b ++>ab 即可。

怎么证呢?二、不等式的基本性质：1、实数的运算性质与大小顺序的关系：数轴上右边的点表示的数总大于左边的点所表示的数，从实数的减法在数轴上的表示可知：0>-⇔>b a b a0=-⇔=b a b a 0<-⇔<b a b a得出结论：要比较两个实数的大小，只要考察它们的差的符号即可。

2、不等式的基本性质：①、如果a>b ，那么b<a ，如果b<a ，那么a>b 。

(易错题)高中数学高中数学选修4-5第二章《重要的不等式》测试题(含答案解析)(1)

一、选择题1．已知a ，b R ∈，224a b +=，求32a b +的取值范围为（）A ．324a b +≤ B．32a b -≤+≤C ．324a b +≥D ．不确定2．若正实数a b c 、、满足22ab bc ac a ++=-，则2a b c ++的最小值为（） A ．2B ．1CD ．3．若函数()f x 在其图象上存在不同的两点()()1122,,,A x y B x y，其坐标满足条件：1212x x y y +0，则称()f x 为“柯西函数”，则下列函数： ①1()(0)f x x x x=+>；②()ln (0)f x x x e =<<；③()cos f x x =；④2()1f x x =-．其中是“柯西函数”的为（） A ．①②B ．③④C ．①③D ．②④4．已知三个正实数a 、b 、c 满足1a b c ++=，给出以下几个结论：①22213a b c ++≤；②13ab bc ca ++≤；③2221b c a a b c++≥；≥则正确的结论个数为( ) A ．1B ．2C ．3D ．45．若函数()f x 在其图象上存在不同的两点()11,A x y ,()22,B x y ,其坐标满足条件：1212x x y y +0,则称()f x 为“柯西函数”,则下列函数：①1()f x x x=+（0x >）;②()ln f x x =（0x e <<）;③()cos f x x =;④2()1f x x =-.其中为“柯西函数”的个数为（） A ．1B ．2C ．3D ．46．已知12,F F 是椭圆和双曲线的公共焦点，P 是它们的一个公共点，且123F PF π∠= ，记椭圆和双曲线的离心率分别为12,e e，则121e +的最大值为（） A．3BC．D．7．已知,,x y z ∈R ，2221x y z ++=，则22x y z ++的最大值为（） A ．9B ．3C ．1D ．278．已知A ，B ，C 是ABC 的三个内角的弧度数，则111A B C ++与9π的大小关系为( )A ．1119πABC ++≥ B ．1119πA B C ++≤ C ．1119πA B C ++> D ．1119πA B C ++<9．设a ， b ， c ＞0，且a ＋b ＋c ＝1的最大值是( )A ．1B C ．3D ．910．已知函数1212)(+=x x －x f ，则不等式12log (1)(2)f x f x ⎛⎫-+- ⎪⎝⎭＞0的解集为（）A ．（2，3）B ．（1，3）C ．（0，2）D ．（1，2）11．已知x, y, ∈z R ，且522=+-z y x ，则222)3()1()5(++-++z y x 的最小值是 A ．20 B ．25 C ．36 D ．4712．若23529x y z ++=，则函数u ）A B ．C ．D二、填空题13．函数y =_______.14．设,,a b c 为正数，241a b c ++=的最大值是___________15．若21x y +=，则222x y z ++的最小值为__________16．在三棱锥P ABC -中，三条侧棱PA 、PB 、BC 两两垂直，且PA=PB=3，PC=4，又M 是底面ABC 内一点，则M 到三个侧面的距离的平方和的最小值是________.17．设1x ，2x ，3x ，4x ，5x 是1，2，3，4，5的任一排列，则123452345x x x x x ++++的最小值是_____．18．已知x,y,z ∈R,有下列不等式: ①x 2+y 2+z 2+3≥2(x+y+z);x y2+≥②③|x+y|≤|x -2|+|y+2|; ④x 2+y 2+z 2≥xy+yz+zx.其中一定成立的不等式的序号是_____ 19．y=log sin x (x 3+2x 2+x)的定义域是_____. 20．已知向量,a b 的夹角为锐角，且满足815a =、415b =，若对任意的{}(,)(,)|1,0x y x y xa yb xy ∈+=，都有||1x y +≤成立，则a b ⋅的最小值为_______.三、解答题21．已知函数222()23n n f x x x +=-+，(其中*n N ∈).（1）求()f x 的最小值()g n ；（2）当4n ≥，*n N ∈时，试比较()g n 与2(2)22n n n -⋅+的大小，并证明你的结论. 22．已知函数()|2||21|f x x x =-++．（1）求不等式()3f x 的解集；（2）已知222(1)(1)6a b c +-++=，证明：824a b c --+． 23．已知函数()223f x x x =++-. （1）求不等式()7f x ≥的解集；（2）若()f x 的最小值为m ，a 、b 、c 为正数且a b c m ++=，求证：222253a b c ++≥. 24．已知不等式2315x x -++≤的解集为[],a b ．（Ⅰ）求+a b 的值；（Ⅱ）若0x >，0y >，40bx y a ++=，求证：9x y xy +≥. 25．设,,x y z 均为正数，且1x y z ++=，证明：（Ⅰ）13xy yz zx ++≤（Ⅱ）22212x y z y z x z x y ++≥+++26．已知函数()2f x x =．(1)求不等式()1f x >的解集； (2)若正数,,a b c 满足24923a b c f ⎛⎫++=+⎪⎝⎭，求149a b c ++的最小值．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【分析】首先分析题目已知224a b +=，求32a b +的取值范围．考虑到应用柯西不等式，首先构造出柯西不等式求出2(32)a b +的最大值，开平方根即可得到答案．【详解】解：由柯西不等式得()()()22222323252a b a b++=≤+，当且仅当23a b =时取等号.则32a b -≤+≤故选：B. 【点睛】此题主要考查柯西不等式的应用问题，对于柯西不等式的二维形式22222()()()ac bd a b c d +++应用广泛需要同学们理解记忆，题目涵盖知识点少，计算量小，属于基础题．2．D解析：D 【解析】分析：根据基本不等式的性质求出2a+b+c 的最小值即可．详解：由题得：因为a 2+ac+ab+bc=2， ∴（a+b ）（a+c ）=2，又a ，b ，c 均为正实数，∴2a+b+c=（a+b ）+（a+c ）当且仅当a+b=a+c 时，即b=c 取等号．故选D.点睛：本题考查了绝对值的意义，考查基本不等式的性质，是一道基础题．3．B解析：B 【分析】由柯西不等式，得到函数()f x 在其图象上存在不同的两点()()1122,,,A x y B x y ，使得,OA OB 共线，转化为存在过原点的直线y kx =与()y f x =的图象有两个不同的交点，进行逐项判定，即可求解．【详解】由柯西不等式得，对任意实数11221212,,,,0x y x y x x y y +-≤恒成立，当且仅当1221x y x y =时取等号，若函数()f x 在其图象上存在不同的两点()()1122,,,A x y B x y ，其坐标满足条件：1212x x y y +的最大值为0，则函数()f x 在其图象上存在不同的两点()()1122,,,A x y B x y ，使得,OA OB 共线，即存在过原点的直线y kx =与()y f x =的图象有两个不同的交点．对于①，方程1(0)kx x x x=+>，即2(1)1k x -=，最多有1个正根，所以不是柯西函数；对于②，由图①可知不存在；因为在点(),1e 处，1y x e=与ln y x =相切，所以ln kx x =最多有1个正解；对于③，由图②可知存在；对于④，由图③可知存在．所以①②不是柯西函数，③④是柯西函数．【点睛】本题主要考查了函数新定义的应用，其中把函数的定义，转化为存在过原点的直线y kx =与()y f x =的图象有两个不同的交点是解答的关键，着重考查分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.4．B解析：B 【分析】利用基本不等式及柯西不等式计算可得；【详解】解：①：222222222a b ab b c bc a c ac ⎧+⎪+⎨⎪+⎩，222a b c ab bc ac ∴++++ 2222222()2223()a b c a b c ab ac bc a b c ∴++=+++++++．22213a b c ∴++，故①不正确． ②：由2222()2()3()a b c a b c ab bc ac ab bc ac ++=+++++++，13ab bc ca ∴++，故②正确．③：222222b a b ac b c ba c c c⎧+⎪⎪⎪+⎨⎪⎪+⎪⎩，∴2221b c a a b c a b c ++++=∴2221b c a a b c++，故③正确． ④：由柯西不等式得2()(111)()a b c a b c +++++，∴3a b c ≤④错误．故选：B ．【点睛】本题考查利用基本不等式即柯西不等式证明不等式，属于中档题．5．B解析：B 【分析】由柯西不等式得：对任意实数1122,,,x y x y , 12120x x y y +-≤恒成立（当且仅当存在实数k ,使得1212,x kx y ky 取等号）,若函数()f x 在其图象上存在不同的两点()()1122,,,A x y B x y ,其坐标满足条件：1212x x y y +的最大值为0,则函数()f x 在其图象上存在不同的两点()()1122,,,A x y B x y 使得,OA OB 共线,即存在点A 、B 与点O 共线逐一判定即可. 【详解】解:由柯西不等式得：对任意实数1x ,1y ,2x ,2y ：12120x x y y +-≤恒成立（当且仅当存在实数k ,使得12x kx =,12y ky =取等号）,又函数()f x 在其图象上存在不同的两点()11,A x y ,()22,B x y ,满足条件：1212x x y y +0, 则函数()f x 在其图象上存在不同的两点()11,A x y ,()22,B x y ,使得OA 、OB 共线, 即存在点A 、B 与点O 共线;设AB 的方程为y kx =,对于①,由于y kx =（0x >）与1()f x x x=+只有一个交点,所以①不是柯西函数;对于②,由于y kx =与()ln f x x =（0x e <<）最多只有一个交点,所以②不是柯西函数; 对于③,取(0,0)A ,点B 任意,均满足定义,所以③是柯西函数; 对于④,取(1,0)A -,(1,0)B ,均满足定义,所以④是柯西函数. 故选:B 【点睛】本题考查了柯西不等式的新定义,关键是弄清楚新定义的含义,属于中档题.6．D解析：D 【分析】先设椭圆的长半轴长为1a ,双曲线的半实轴长为2a ,不妨设点P 在第一象限,然后根据椭圆和双曲线的定义可得12||,||PF PF ,再利用余弦定理列等式,转化为离心率的等式后,根据柯西不等式可求得. 【详解】如图所示:设椭圆的长半轴长为1a ,双曲线的半实轴长为2a ,不妨设点P 在第一象限,则根据椭圆及双曲线的定义得,121||||2PF PF a += ,122||||2PF PF a -=,所以,112||PF a a =+, 212||PF a a =-, 设12||2F F c =,123F PF π∠=,则在△1212PF F 中,由余弦定理得2221212121214()()2()()2c a a a a a a a a =++--+-⨯, 即2221243=+c a a ,所以222212134c c a a =+,即2212134e e +=,由柯西不等式得2222212121313(11(11)([()(]e e e e ⨯+≤++, 即12132422e e +≤⨯=当且仅当12113e =即12e =26e =时,等号成立.故选:D 【点睛】,本题考查了椭圆和双曲线的定义,余弦定理,离心率,柯西不等式,属于中档题.7．B解析：B 【分析】由已知2221x y z ++=，可利用柯西不等式2222222()()()a b c e f g ae bf cg ++++≥++，构造柯西不等式，即可求解．【详解】由已知，可知,,x y z ∈R ，2221x y z ++=，利用柯西不等式2222222()()()a b c e f g ae bf cg ++++≥++，可构造得2222222(122)()(22)x y x x y z ++++≥++，即2(22)9x y z ++≤，所以22x y z ++的最大值为3，故选B ．【点睛】本题主要考查了柯西不等式的应用，其中解答中熟记柯西不等式，合理构造柯西不等式求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题．8．A解析：A 【分析】直接利用柯西不等式即可得结果. 【详解】由柯西不等式,()111A B C A B C ⎛⎫++++⎪⎝⎭得≥29,=A B C π++=,1119.πA B C ∴++≥当且仅当 πA B C 3=== ，时等号成立，故选A.【点睛】本题主要考查了一般形式的柯西不等式，属于中档题. 解决问题的关键是利用柯西不等式求最值时，关键是对原目标函数进行配凑，以保证出现常数结果.同时，要注意等号成立的条件, 配凑过程采取如下方法：一是考虑题设条件；二是对原目标函数进行配凑后利用柯西不等式解答.9．B解析：B 【解析】由柯西不等式得()2222222111⎡⎤++++≥⎢⎥⎣⎦，2313∴≤⨯=，当且仅当13a b c ===时等号成立，B.10．D解析：D 【解析】试题分析：由已知2112()()2112x xxx f x f x -----===-++，所以()f x 是奇函数，又2()121xf x =-+，2xy =是增函数，因此()f x 也是增函数，不等式12log (1)(2)0f x f x ⎛⎫-+-> ⎪⎝⎭可变为12(log (1)(2)(2)f x f x f x ->--=-，而()f x 为增函数，所以12log (1)2x x ->-，在(1,)+∞上，函数12log (1)y x =-是减函数，函数2y x =-是增函数，且2x =时两者相等，因此不等式12log (1)2x x ->-的解为12x <<．故选D ．考点：函数的奇偶性、单调性，解函数不等式．【名师点睛】本题考查函数的奇偶性与单调性．解函数不等式，即使有函数解析式已知的情况下，也不一定要把函数式代入（而且一般不能代入），而是要利用奇偶性化为()()f a f b <的形式，再由单调性化为()a b a b <>或形式，最终不等式12log (1)2x x ->-是不可用代数法来解的，必须借助函数图象，利用函数的性质解题．11．C解析：C 【解析】试题分析：由于()()()()()()324)]3(21)2(5[)]221][(315[2222222=++--++≥+-+++-++z y x z y x则()()()222315++-++z y x （当且仅当232115+=--=+z y x 即⎪⎩⎪⎨⎧=-=-=133z y x 时取等号.故选C 考点：柯西不等式.12．C解析：C 【解析】试题分析：由柯西不等式可得2222111213456111x y z ≤+++++++）（）（）∵2x+3y+5z=29，∴2111120≤），∴μ≤∴μ=值为C ．考点：二维形式的柯西不等式．二、填空题13．【分析】拆解函数利用三维形式的柯西不等式可得求得函数的最大值【详解】∵当且仅当即时等号成立∴函数的最大值为故答案为：【点睛】本题主要考查了三维形式的柯西不等式在求解函数最值中的应用属于基础题【分析】拆解函数，利用三维形式的柯西不等式可得求得函数的最大值．【详解】∵y==111++53x=时等号成立，∴函数y【点睛】本题主要考查了三维形式的柯西不等式在求解函数最值中的应用，属于基础题．14．【分析】根据柯西不等式直接求最值【详解】当且仅当时取等号即的最大值是故答案为：【点睛】本题考查利用柯西不等式求最值考查基本分析求解能力属基础题解析：2【分析】根据柯西不等式直接求最值.【详解】22222225()(11(2)]2a b c+≤++++=当且仅当2,5a b c===≤故答案为：2【点睛】本题考查利用柯西不等式求最值，考查基本分析求解能力，属基础题.15．【分析】本题可根据柯西不等式得出然后通过化简即可得出结果【详解】根据柯西不等式可得因为所以当且仅当时取等号故答案为:【点睛】本题考查柯西不等式柯西不等式公式考查计算能力是简单题解析：18【分析】本题可根据柯西不等式得出222222212323x y z x y z，然后通过化简即可得出结果.【详解】根据柯西不等式可得222222212323x y z x y z，因为21x y+=，所以22218x y z，当且仅当23y zx时取等号，故答案为:18.【点睛】本题考查柯西不等式，柯西不等式公式()()()2222222123123112233a a ab b b a b a b a b++++≥++，考查计算能力，是简单题.16．【分析】利用等体积转化法求出M到三个侧面的距离的关系式构造柯西不等式即可求解【详解】由PAPBBC两两垂直可得平面设M到三个侧面的距离分别为则化简得由柯西不等式知即当且仅当即时取等号故答案为【点睛】解析：1641【分析】利用等体积转化法，求出M到三个侧面的距离的关系式，构造柯西不等式，即可求解.【详解】由PA、PB、BC两两垂直，可得PA⊥平面PBC，设M到三个侧面,,PAB PAC PBC的距离分别为,,x y z，则11113334343222113432M PAB M PAC M PBCA PBCV V V x y zV----⎛⎫++=⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⎪⎝⎭==⨯⨯⨯化简得3444x y z++=，由柯西不等式知，()()2222222344()344x y z x y z++++≥++，即2221641x y z++≥，当且仅当344x y z==，即1216,4141x y z===时取等号.故答案为1641【点睛】本体主要考查三棱锥的体积及利用柯西不等式求最值，注意等号成立的条件，考查推理论证与运算求解能力，属于基础题.17．35【解析】【分析】利用反序排列推出结果即可【详解】由题意可知：是12345的反序排列时取得最小值即故答案为：35【点睛】本题考查反序排列的性质考查计算能力解析：35 【解析】【分析】利用反序排列，推出结果即可．【详解】由题意可知：1x ，2x ，3x ，4x ，5x 是1，2，3，4，5的反序排列时，123452345x x x x x ++++取得最小值，即152433425135⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=．故答案为：35．【点睛】本题考查反序排列的性质，考查计算能力18．①③④【解析】【分析】由题意逐一考查所给的四个说法的正误即可【详解】逐一考查所给的四个说法：则说法①正确；当时不成立说法②错误；由绝对值三角不等式的性质可得：|x−2|+|y+2|⩾|(x−2)+( 解析：①③④ 【解析】【分析】由题意逐一考查所给的四个说法的正误即可. 【详解】逐一考查所给的四个说法：()()()()222222321110x y z x y z x y z +++-++=-+-+-≥，则()22232x y z x y z +++≥++，说法①正确；当1x y ==-时，2x y+≥②错误；由绝对值三角不等式的性质可得：|x −2|+|y +2|⩾|(x −2)+(y +2)|=|x +y |，说法③正确； ()()()()222222102x y z xy yz zx x y y z z x ⎡⎤++-++=-+-+-≥⎣⎦，则222x y z xy yz zx ++≥++，说法④正确. 综上可得，一定成立的不等式的序号是①③④. 【点睛】本题主要考查不等式的性质，利用不等式求最值，均值不等式成立的条件等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.19．【解析】【分析】由题意得到关于x 的不等式组求解不等式组即可确定函数的定义域【详解】∴2kπ<x<(2k+1)π且x≠2kπ即函数的定义域为【点睛】求函数的定义域其实质就是以函数解析式有意义为准则列出解析：πx|2k πx (2k 1)π,x 2k π,k 0,1,2,?2⎧⎫<<+≠+=⎨⎬⎩⎭且【解析】【分析】由题意得到关于x 的不等式组，求解不等式组即可确定函数的定义域. 【详解】32020,0101,x x x x sinx sinx >⎧++>⎧∴⎨⎨<<<<⎩⎩. ∴2kπ<x<(2k+1)π,且x ≠2kπ,0,1,2,2k π+=⋯.即函数的定义域为|2(21),2,0,1,2,?2x k x k x k k ππππ⎧⎫<<+≠+=⎨⎬⎩⎭且. 【点睛】求函数的定义域，其实质就是以函数解析式有意义为准则，列出不等式或不等式组，然后求出它们的解集即可．20．【解析】分析：设单位向量的夹角为锐角由得由得出令得出求不等式的解集可得结果详解：设向量的夹角为锐角由得∴即；又由柯西不等式得；令则化简得解得所以即的最小值为故答案为点睛：本题考查了平面向量数量积与不解析：815【解析】分析：设单位向量,b a 的夹角为锐角θ，由|1,0xa yb xy +=，得()()22152cos sin 16x y y θθ++=，由1x y +≤得出()()()222212cos [2cos sin ][]142sin x y y x y θθθθ-⎛⎫+++≥+= ⎪⎝⎭，令t cos θ=，得出()()222116+41541t t -≥-，求不等式的解集可得结果. 详解：设向量,a b 的夹角为锐角θ，由1xa yb +=，0xy >，得22641664cos 1151515x y xy θ++=，∴()222221644cos cos sin 115x xy y y θθθ+++=，即()()22152cos sin 16x y y θθ++=；又1x y +≤，由柯西不等式得()()()222212cos [2cos sin ][]142sin x y y x y θθθθ-⎛⎫+++≥+= ⎪⎝⎭；令cos t θ=，则()()222116+41541t t -≥-，化简得26460110t t -+≤，解得111 416t ≤≤，所以328cos 1515a b θ⋅=≥，即a b ⋅的最小值为815，故答案为815．点睛：本题考查了平面向量数量积与不等式的解法与应用问题，此题最大的难点在于构造柯西不等式，具有一定难度.三、解答题21．（1）()32n n g n =-；（2）2()(2)22n g n n n >-⋅+，证明见解析．【分析】（1）由二次函数的性质求得最小值()g n ；（2）用数学归纳法证明2()(2)22n g n n n >-⋅+．【详解】（1）由题意22nx =时，min ()32n nf x =-，即()32n ng n =-；（2）4n ≥时，2()(2)22n g n n n >-⋅+，下面用数学归纳法证明：（i ）4n =时，44()3265g n =-=，2(2)2264n n n -⋅+=，2()(2)22n g n n n >-⋅+成立，（ii ）假设n k =时，命题成立，即232(2)22k k k k k ->-⋅+，则1n k =+时，11312(1)323(32)3223[(2)22]2k k k k k k k g k k k ++++=-=-+⨯->⨯-⋅++ 2123(2)262(2)2(1)26k k k k k k k k k +=-⋅++=-⋅+-⋅+,因为4k ≥，所以1211212(2)2(1)26(2)222(1)[(1)2]22(1)k k k k k k k k k k k k ++++-⋅+-⋅+>-⋅+++=+-⋅++所以1n k =+时命题为真，综上当4n ≥时，2()(2)22n g n n n >-⋅+．【点睛】比较与正整数有关的两数的大小方法：（1）作差法，作差后与0比较大小；（2）函数法，作差后引入函数，利用函数的单调性得出大小关系；（3）放缩法，利用不等式的性质证明大小关系；（4）数学归纳法法，取特殊值，归纳出大小后肜数学归纳法证明． 22．（1）(-∞，2][03-，)+∞；（2）证明见解析.【分析】（1）分三种情况讨论解不等式得解；（2）由柯西不等式得2(22)36a b c -++，化简即得证. 【详解】（1）()3f x 即为2213x x -++，等价为2{2213x x x -++或12{22213x x x -<<-++或1{22213x x x ----，解得2x 或02x <或23x -，综上可得，原不等式的解集为(-∞，2][03-，)+∞；（2）证明：由柯西不等式可得2222222[(1)(1)][2(1)1][2(1)1]a b c a b c +-++⨯+-+--++，当112ab c =-=+时，上式取得等号．又222(1)(1)6a b c +-++=，则2(22)36a b c -++，即6226a b c --++，即824a b c --+．即得证. 【点睛】本题主要考查绝对值不等式的解法，考查柯西不等式的应用，考查不等式的证明，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力. 23．（1）(]11,1,3⎡⎫-∞+∞⎪⎢⎣⎭；（2）证明见解析. 【分析】（1）分段讨论去绝对值即可求出不等式的解集；（2）先求出最小值m ，然后利用柯西不等式可证明. 【详解】（1）当2x -≤时，()()()22322334f x x x x x x =++-=----=-+，由()7f x ≥，得347x -+≥，解得1x ≤-，此时2x -≤；当23x -<<时，()()()2232238f x x x x x x =++-=+--=-+，由()7f x ≥，得87x -≥，解得1x ≤，此时21x -<≤；当3x ≥时，()()()22322334f x x x x x x =++-=++-=-，由()7f x ≥，解得113x ≥，综上所述，不等式()7f x ≥的解集为(]11,1,3⎡⎫-∞+∞⎪⎢⎣⎭；（2）由（1）可知()34,28,2334,3x x f x x x x x -+≤-⎧⎪=--<<⎨⎪-≥⎩.当2x -≤时，()3410f x x =-+≥；当23x -<<时，()()85,10f x x =-∈；当3x ≥时，()345f x x =-≥.所以，函数()y f x =的最小值为5m =，则5a b c ++=. 由柯西不等式可得()()()2222111a b ca b c ++++≥++，即()222235a b c ++≥，即222253a b c ++≥，当且仅当53a b c ===时，等号成立. 因此，222253a b c ++≥. 【点睛】本题考查含绝对值不等式的求解，考查柯西不等式证明不等式，属于中档题. 24．（Ⅰ）0；（Ⅱ）证明见解析. 【分析】（1）根据13x <-，123x -≤≤，2x >进行分类讨论，求出不等式2315x x -++≤的解集，由此能求出a+b ．（2）由x ＞0，y ＞0，41x y +=，知()11114x y x y xy y x y x ⎛⎫+=+=++ ⎪⎝⎭414x yy x=+++，由此利用作商法和基本不等式的性质能证明x +y ≥9xy ．【详解】（Ⅰ）原不等式等价于13415x x ⎧<-⎪⎨⎪-+≤⎩或123325x x ⎧-≤≤⎪⎨⎪+≤⎩或2415x x >⎧⎨-≤⎩，解得113x -≤<或113x ≤≤，即11x -≤≤ ∴1a =-，1b =， ∴0a b +=.（Ⅱ）由（Ⅰ）知410x y +-=，即41x y +=，且0x >，0y >，∴()11114x y x y xy y x y x ⎛⎫+=+=++ ⎪⎝⎭41459x y y x =+++≥=，当且仅当16x =，13y =时取“=”,∴9x y xy +≥. 【点睛】本题考查含绝对值不等式的解法，考查不等式的证明，考查了基本不等式求最值，运用了推理论证能力、运算求解能力，是中档题． 25．（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）证明见解析．【分析】（1）先由基本不等式可得222x y z xy yz xz ++≥++，再结合()2x y z ++的展开式即可证明原式成立；（2）利用柯西不等式[]2222()()()()1x y z x y y z x z x y z y z x z x y ⎛⎫+++++++≥++= ⎪+++⎝⎭证明. 【详解】证明：（Ⅰ）：因为()()()2222222222x y y z x z x y z xy yz xz +++++++=≥++所以22221()2223()x y z x y z xy yz xz xy yz zx =++=+++++≥++故13xy yz zx ++≤，当且仅当x y z ==时“=”成立. （Ⅱ）,,x y z 均为正数，由柯西不等式得：2222[()()()]()1x y z x y y z x z x y z y z x z x y ⎛⎫+++++++≥++= ⎪+++⎝⎭即22221x y z y z x z x y ⎛⎫++≥ ⎪+++⎝⎭，故22212x y z y z x z x y ++≥+++，当且仅当x y z ==时“=”成立. 【点睛】本题考查利用基本不等式、柯西不等式等证明不等式，难度一般.证明时，利用整体思想，注意“1”的巧妙代换. 26．（1）22,3⎛⎫- ⎪⎝⎭；（2）1963．【分析】(1)化简后根据绝对值中的零点将()f x 转换为分段函数，再求解即可. (2)代入可得()1491149493a b c a b c a b c ⎛⎫++=++++ ⎪⎝⎭，再根据柯西不等式求最小值即可. 【详解】解：(1)化简得321x x -->①当0x ≤时，()()323f x x x x =---=+，由()1f x >即31x +>，解得2x >-，又0x ≤，所以20x -<≤；②当03x <<时，()33f x x =-，由()1f x >，即231x ->，解得23x <，又02x <<，所以203x <<；③当3x ≥时，()3f x x =--，不满足()1f x >，此时不等式无解；综上，不等式()1f x >的解集为22,3⎛⎫- ⎪⎝⎭．(2)249233a b c f ⎛⎫++=+= ⎪⎝⎭，所以()1491149493a b c a b c a b c ⎛⎫++=++++ ⎪⎝⎭∵,,0a b c >，∴由柯西不等式：上式((22222213⎡⎤⎛⎛⎡⎤⎢⎥=++⋅++ ⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎝⎝⎣⎦((213⎡≥⨯⨯⎢⎣()2119614933=++=. 当且仅当314a b c ===时，等号成立. 所以149a b c++的最小值为1963.【点睛】本题主要考查了绝对值不等式的求解、柯西不等式求最小值的问题，属于中档题.。

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人教新课标A版选修4-5数学2.2分析法与综合法同步检测B卷
姓名:________ 班级:________ 成绩:________
一、选择题 (共12题；共24分)
1. （2分）命题“任意角”的证明：
“ ”应用了（）
A . 分析法
B . 综合法
C . 综合法、分析法结合使用
D . 间接证法
2. （2分）分析法是从要证的不等式出发，寻求使它成立的（）
A . 充分条件
B . 必要条件
C . 充要条件
D . 既不充分又不必要条件
3. （2分）要证明+＜2，可选择的方法有以下几种，其中最合理的是（）
A . 综合法
B . 分析法
C . 反证法
D . 归纳法
4. （2分） (2018高二上·陆川期末) 分析法又称执果索因法，若用分析法证明：“设a>b>c，且a＋b＋c＝0，求证 <a”索的因应是（）
A . a－b>0
B . a－c>0
C . (a－b)(a－c)>0
D . (a－b)(a－c)<0
5. （2分）若a>0,b>0，那么必有（）
A .
B .
C .
D .
6. （2分）在等差数列{an}中，3(a2+a6)+2(a8+a10+a12)=24，则此数列前13项的和为（）
A . 13
B . 52
C . 26
D . 156
7. （2分）要证明+＜2+所选择的方法有以下几种，其中合理的是（）
A . 综合法
B . 分析法
C . 类比法
D . 归纳法
8. （2分） (2018高一上·泰安月考) 已知函数f（x）= 在R上单调递增，则实数a的取值范围是（）
A . [﹣1，+∞）
B . （﹣1，+∞）
C . [﹣1，0）
D . （﹣1，0）
9. （2分）以下是解决数学问题的思维过程的流程图：
在此流程图中，①②两条流程线与“推理与证明”中的思维方法匹配正确的是（）
A . ①—综合法，②—分析法
B . ①—分析法，②—综合法
C . ①—综合法，②—反证法
D . ①—分析法，②—反证法
10. （2分）关于综合法和分析法说法错误的是（）
A . 综合法和分析法是直接证明中最基本的两种证明方法
B . 综合法又叫顺推证法或由因导果法
C . 分析法又叫逆推证法或执果索因法
D . 综合法和分析法都是因果分别互推的两头凑法
11. （2分）下列表述正确的是（）
①归纳推理是由特殊到一般的推理；
②演绎推理是由一般到特殊的推理；
③类比推理是由特殊到一般的推理；
④分析法是一种间接证明法；
⑤若z∈C，且|z+2﹣2i|=1，则|z﹣2﹣2i|的最小值是3．
A . ①②③④
B . ②③④
C . ①②④⑤
D . ①②⑤
12. （2分）如图是解决数学问题的思维过程的流程图：图中①、②两条流程线与“推理与证明”中的思维方法相匹配是（）
A . ①﹣分析法，②﹣综合法
B . ①﹣综合法，②﹣分析法
C . ①﹣综合法，②﹣反证法
D . ①﹣分析法，②﹣反证法
二、填空题 (共4题；共4分)
13. （1分） (2015高二下·霍邱期中) 设ai∈R+ ，xi∈R+ ， i=1，2，…n，且a12+a22+…an2=1，x12+x22+…xn2=1，则的值中，现给出以下结论，其中你认为正确的是________．
①都大于1②都小于1③至少有一个不大于1④至多有一个不小于1⑤至少有一个不小于1．
14. （1分）有10本不同的数学书，9本不同的语文书，8本不同的英语书，从中任取两本不同类的书，共有不同的取法________ 种．
15. （1分） (2018高二下·石家庄期末) 设，，则 ________ （填入“ ”或“ ”）．
16. （1分）(2018·河北模拟) 观察三角形数组，可以推测：该数组第八行的和为________．
三、解答题 (共8题；共55分)
17. （5分） (2017高二下·长春期末) 用分析法证明：；
18. （10分）(2018高二上·沭阳月考)
（1）若都是正实数，且，求证：与中至少有一个成立。

（2）求证：
19. （5分） (2017高二上·佳木斯期末) 选择适当的方法证明.
已知：，求证： .
20. （5分） (2017高二下·扶余期末) 求证：
21. （5分）如图，在正△ABC中，点D，E分别在边AC，AB上，且AD=AC，AE=AB，BD，CE相交于点F．
（Ⅰ）求证：A，E，F，D四点共圆；
（Ⅱ）若正△ABC的边长为2，求，A，E，F，D所在圆的半径．
22. （10分） (2018高二下·邗江期中)
（1）求证：；
（2）已知且，求证：中至少有一个小于2.
23. （5分） (2017高二下·太和期中) 设非等腰△ABC的内角A、B、C所对边的长分别为a、b、c，且A、B、C成等差数列，用分析法证明： = ．
24. （10分）(2014·安徽理) 设实数c＞0，整数p＞1，n∈N* ．
（1）
证明：当x＞﹣1且x≠0时，（1+x）p＞1+px；
（2）
数列{an}满足a1＞，an+1= an+ an1﹣p．证明：an＞an+1＞．
参考答案一、选择题 (共12题；共24分)
1-1、
2-1、
3-1、
4-1、
5-1、
6-1、
7-1、
8-1、
9-1、
10-1、
11-1、
12-1、
二、填空题 (共4题；共4分)
13-1、
14-1、
15-1、
16-1、
三、解答题 (共8题；共55分)
17-1、
18-1、
18-2、
19-1、
20-1、
21-1、22-1、
22-2、23-1、
24-1、
24-2、
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