高二数学综合法与分析法
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知识结构
推理
合情推理
推
演绎推理
理
与
证
明
直接证明
证明
间接证明
归纳推理 类比推理
比较法 综合法 分析法 反证法
数学归纳法
一.综合法
例.已知a、b、c 为不相等正数 ,且abc = 1,
证求 :a + b + c < 1 + 1 + 1 .
证法 1:∵ a、 b、 c
abc
为不相等正
数
, 且 abc
= 1,
∴ 1 + 1 + 1 = bc + ca + ab a bc
= bc + ca + ca + ab + ab + bc
2
2
2
> abc2 + a 2bc + ab2c = a + b + c.
∴
a+
b+
c
<
1 a
+
1 b
+
1 c
成立.
例.已知a、b、c 为不相等正数 ,且abc = 1,
证求 : a + b + c < 1 + 1 + 1 .
作业:
1:平面内有n条直线,其中任何两条不平行,任何三条 不过同一点, 证明这n条直线把平面分成f(n)=(n2+n+2)/2个区域.
问题一:
三:反证法
求证:两条相交直线有且只有一个交点.
注:1.结论中的有且只有(有且仅有)形式出现, 是唯一性问题,常用反证法
2.有且只有的反面包含1)不存在;2)至少两个.
问题二:求证一元二次方程至多 ------有两个不相等的实根.
注:所谓至多有两个,就是不可能有三个,要 证“至多有两个不相等的实根”只要证明 它的反面“有三个不相等的实根”不成立即 可.
综合法与分析法
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便在脑海中幻想着自己亲手 制作小木雕的场景,迫不及待的想要把它们变成现实。 幻想着自己成了能工巧匠,一块木头不一会儿就被做成了一只栩栩如生, 非常可爱的小狗。忽然感觉自己就 好像是"神笔马良"一样,也拥有一把神奇的 雕刻笔,相信任何木头都能让它变得形态逼真,活灵活现的。 我将去年暑假收集的雪糕棍全部找了出来,用铅笔和直尺开始了绘图,我 想要做一把 小木剑:用直尺量出了木条宽的中点,又在两边找到了两个合适的 点,平移做成了一个长方条,和刚才的点连接后,剑的大致轮廓就做出来了, 剑柄也在十分钟后完工。 这一切都进行的顺顺 利利,我便开始了雕刻,每一步我都小心让学生通过模仿操作,掌握for语 句和repeat语句. v教学重点: 通过实例,使学生理解循环语句的 表示方法,结构和用法,进一步体会 算法的基本思想. v 教学难点: 将程序框图转化教学重点——建立并合理解释数学模型 教学难点——实际问题数学化过程 突破点:利用丰富的素材,充分感知,实 现数学化过程。 图 26.2.4 3 2 题型分析: (一)抛物线与x轴、y轴的交点急所构成 的面积 例1:填空: (1)抛物线y=x2-3x+2与y轴的交点 3 2 坐标是___(_0,_2_) ______,与x轴的交 点坐标是__(_1,_0_)和__(2_,0_)___; (2)抛物线 y=-2x2+5x-3与y轴的交 点坐标是_____(0_,_-3_)____,与x轴的 交点坐标是______(1_,0_),_(_3 _,0_) . 2 例2:已知抛物线y=x2-2x-8, (1)求证:该抛物线与x轴一定有两个交点; (2)若该抛物线与x轴的两个交点分别为A、 B,且它的顶点为P,求△ABP的面积。 (1)证明:∵△=22-4*(-8)=36>0 ∴该抛物线与x轴一定有两个交点 y (2)解:∵抛物线与x轴相交时 A Bx P x2- 2x-8=0 解方程得:x1=4, x2=-2 ∴AB=4-(-2)=6 而P点坐标是(1,-9) ∴S =27 (二)根据函数性质判定函数图象之间的 位置关系 例3:在同一直角坐标系中,一次函数 y=ax+c和二次函数y=ax2+c 的图象大致为 y y y y O x A x O x O O x B C D 答案: B (三)由函数图象上的点的坐 标求函数解析式 例4:已知一个二次函数的图象经过点(0, 0),(1,-3),(2,-8)。 (1)求 这个二次函数的解析式; (2)写出它的对称轴和顶点坐标。 答案:(1)y=-x2-2x (2)对称轴:x=-1 顶点坐标(-1,1) (四)实践与探索题 例5:某企业投资100万元引进一条产品加工生产线, 若 不计维修、保养费用,预计投产后每年可创利33万。 该生产线投产后,从第1年到第x年的维修、保养费用 累计为y(万元),且y=ax2+bx,若第1年的维修、保养 费用为2万元,第2年为4万元。 (1)求y的解析式; (2)投产后,这个企业在第几年就能收回投资? 解:(1)由题意,x=1时,y=2;x=2时,y=2+4=6,分 别代入y=ax2+bx,得a+b=2,4a+2b=6, 解得:a=1,b=1, ∴y=x2+ x. (2)设g=33x-100-x2-x,则 g=-x2+32x-100=-(x-16)2+156. 由于当1≤x≤16时,g随x的增大而增大,故当x=4时, 即第4年可收回投资。 练习题: 已知二次函数的图象的顶点坐 标为 (-2,-3),且图象过点(-3,-2)。 (1)求此二次函数的解析式; (2)设此二次函数的图象与x轴交于A,B两 点,O为坐标原点,求线段OA,OB的长度之 和。 作业 作业本(1) P 11--13 板书设计 二次函数的应用: 一. 二. 三. 四. 范例讲解: 常见数学思成功的必经之路。和他们相比,我的这些困难又算得了什 么。 想到这里我又重新鼓起勇气,拿起铅笔从头开 始,计算、绘图、修改…… 开始雕刻时,我深吸一口气,静下心来仔细的雕刻着,顺着铅笔的痕迹, 一点一点的雕刻着
abc
证法2:∵a、b、c为不相等正数 ,且abc = 1,
∴ a+
b+ c=
1 bc
+
1 ca
+
1 ab
<
1 b
+ 2
1 c
+
1 c
+ 2
1 a
+
1 a
+ 2
1 b
=
1 a
+
1 b
+
1 c
.
∴
a+
b+
c
<
1 a
+
1 b
+
1 c
成立.
二.分析法
例 : 已 知 a > 5, 求ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ :
a -5 - a -3 < a -2 - a.
• 证明:
• 要证
a-5- a-3 < a-2- a
• 只需证 a - 5 a < a - 2 + a - 3
• 只需证 a(a - 5) < (a - 2)(a - 3)
• 只需证 a(a - 5)<(a - 2)(a - 3)
• 只需证 0 < 6
• 因为 0 < 6 成立.
• 所以 a - 5 - a - 3 < a - 2 - a 成立.