福建2015届高三高考“集结号”最后冲刺模拟卷(四)数学(文)试题(扫描版含答案)
2015年福建高考数学文科试卷带详解
2015年福建高考数学 文科卷一．选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.1.若（1+i ）+（2-3i ）=a +b i （a ，b ∈R ，i 是虚数单位），则a ，b 的值分别等于（ ） A.3，－2 B.3，2 C.3，－3 D.－1, 4 【参考答案】A【测量目标】复数形式的代数运算.【试题分析】由已知得3－2i=a+b i ，所以a =3，b = －2，故选A. 2.若集合M ={x |－2≤x <2},N ={0，1，2},则M N 等于（ ） A.{0} B.{1} C.{0,1,2} D.{0,1} 【参考答案】D【测量目标】集合的基本运算.【试题分析】由交集定义得M N ={0,1},故选D. 3.下列函数为奇函数的是（ ）A.y =B.e x y =C.y =cos xD.e e x x y -=-【参考答案】D【测量目标】函数奇偶性的判断.【试题分析】函数y =和e x y =是非奇非偶函数；cos y =x 是偶函数；e e x x y -=-是奇函数，故选D.4.阅读如图所示的程序框图，阅读相应的程序，若输入x 的值为1，则输出y 的值为（ ） A.2 B.7 C.8D.128第4题图【参考答案】C【测量目标】流程图.【试题分析】由题意得，该程序表示分段函数2,2,,9,2x x y x x ⎧=⎨-<⎩≥则f （1）=9－1=8.故选C.5．若直线1(0,0)x ya b a b+=>>过点（1,1），则a +b 的最小值等于（ ） A.2 B.3 C.4 D.5 【参考答案】C【测量目标】不等式的性质. 【试题分析】由已知得111,a b +=则a +b =（a +b ）（11a b +）=2+b a a b+，因为a >0，b >0，所以2a b b a +=≥，故a +b ≥4，当b a a b =，即a =b =2时取等号.6．若sin α=513-，且α为第四象限角，则tan α的值等于（ ） A.125 B.125- C.512 D.512- 【参考答案】D【测量目标】同角三角函数的基本关系式. 【试题分析】由sin α=513-，且α为第四象限角，则cos α=1213=，则tan α=sin cos αα=512-，故选D. 7.设(1,2),(1,1),k ===+a b c a b .若,⊥b c 则实数k 的值等于（ ） A.32-B.53-C.53D.32【参考答案】A【测量目标】平面向量的数量积.【试题分析】由已知得(1,2)(1,1)(1,2),k k k =+=++c 因为,⊥b c 则0,⋅=b c 因此120k k +++=解得k =32-，故选A. 8.如图，矩形ABCD 中，点A 在x 轴上，B 点的坐标为(1,0).且点C 与点D 在函数f （x ）1,011,02x x x x +⎧⎪=⎨-+<⎪⎩≥的图象上，若在矩形ABCD 内随机取一点，则该点取自阴影部分的概率等于（ ） A.16 B.14 C.38 D.12第8题图【参考答案】B【测量目标】几何概型.【试题分析】由已知得B (1,0),C (1,2),D (－2,2),F (0,1),则矩形ABCD 面积为3⨯2=6，阴影部分面积为133122⨯⨯=，故该点取自阴影部分的概率为326=14.9.某几何体的三视图如右图所示，则该几何体的表面积等于（ ）A.8+B.11+C.14+D.15第9题图【参考答案】B【测量目标】三视图和表面积.【试题分析】由三视图还原几何体，该几何体是底面为直角梯形，高为2的直四棱柱，且底面直角梯形的两底分别是1,2，直角腰长为1底面积为2⨯123⨯=3，侧面积为2+2+4+11+ B.10．变量,x y 满足约束条件0220,0x y x y mx y +⎧⎪-+⎨⎪-⎩≥≥≤若2z x y =-的最大值为2，则实数m 等于（ ）A.2-B.1-C.1D.2 【参考答案】C【测量目标】线性规划求目标函数的最值.【试题分析】将目标函数变形为y =2x -z ，当z 取最大值时，则直线纵截距最小.故当m ≤0时，不满足题意；当m >0，画出可行域，如图所示，第10题图其中B (22,2121mm m --).显然O （0，0）不是最优解，故只能是B 是最优解，代入目标函数得4222121mm m -=--，解得m=1，故选C. 11.已知椭圆:22221(0)x y a b a b+=>>的右焦点为F .短轴的一个端点为M ,直线l ：3x －4y =0交于椭圆E 于A,B ,两点.若|AF|+|BF|=4,点M 到直线l 的距离不小于45,则椭圆E 的离心率的取值范围是( )A.(0,2] B.(0,34] C.[2,1] D.[34,1)【参考答案】A【测量目标】椭圆的定义和简单几何性质.【试题分析】设左焦点为1F ,连接11,AF BF .则四边形1BF AF 是平行四边形，故|1|||AF BF =,所以1||||42,A F A Fa +==所以2a =，设(0,)M b 则44,55b ≥故1,b ≥从而2221,03,03,a c c -<<≥≤E 的离心率的取值范围是（0故选A. 12.“对任意π(0,),sin cos "2x k x x x ∈<是“1"k ≤的（ ）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件 【参考答案】B【测量目标】导数的应用.和充分必要条件的定义【试题分析】当1k <时，s i n c o ss i n 22k k x x x =，构造函数()sin 2,2k f x x x =-则()cos 210,f x k x '=-<故()f x 在π(0,)2x ∈单调递减，故()(0)0,f x f <=则sin cos k x x x <；当1k =时，不等式sin cos k x x x <等价于1sin 22x x <，构造函数1()sin 2,2g x x x =-则()cos 210g x x '=-<，故()g x 在π(0,)2x ∈递减，故()(0)0g x g <=，则sin cos x x x <.综上所述，“对任意x ∈（0，π2），s i n c o s k x x x <”是“1k ≤”的必要不充分条件.故选B.14.若△ABC 中，45AC A ==，75C =，则BC =__________.【测量目标】正弦定理.【试题分析】由题意得18060B A C =--=，由正弦定理得sin sin AC BCB A=, 则sin sin AC ABC B=,所以BC ==15.若函数||()2(x a f x a -=∈R ）满足(1)f x +=(1)f x -,且()f x 在[,)m +∞单调递增，则实数m 的最小值等于______. 【参考答案】1【测量目标】函数的图象与性质.【试题分析】由(1)(1)f x f x +=-得函数()f x 关于1x =对称，故a =1，则|1|()2x f x -=，由复合函数单调性得()f x 在[1,)+∞递增，故1m ≥，所以实数m 的最小值等于1. 16.若,a b 是函数2()(0,0)f x x px q p q =-+>>的两个不同的零点，且,,2a b -这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则p q +的最小值等于_______. 【参考答案】9【测量目标】等差中项和等比中项.【试题分析】由韦达定理得,,a b p a b q +=⋅=则0,0,a b >>当,,2a b -适当排序后成等比数列时，－2必为等比中项，故44,a b q b a===，当适当排序后成等差数列时，－2必不是等差中项，当a 是等差中项时，422a a =-，解得a=1，b =4；当4a 是等差中项时，82a a =-，解得4,1a b ==，综上所述，5a b p +==，所以9p q +=.三、解答题：本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.（本题满分12分）等差数列{n a }中，2474,15a a a =+=. （1）求数列{n a }的通项公式； （2）设22n a n b n -=+，求12310b b b b +++⋅⋅⋅+的值【测量目标】（1）等差数列通项公式; （2）分组求和.【试题分析】（1）设等差数列{n a }的公差为d , 由已知得1114(3)(6)15a d a d a d +=⎧⎨+++=⎩，解得131a d =⎧⎨=⎩所以1(1)2n a a n d n =+-=+. （1） 由（1）可得2n n b n =+所以123b b b +++⋅⋅⋅+10b 23(21)(22)(23)=++++++⋅⋅⋅+10(210)+ =(23222+++⋅⋅⋅+102)(12310)++++⋅⋅⋅+=102(12)(110)10122-+⨯+-=11(22)55-+=112532101+=.18.(本题满分12分)全网传播的融合指数是衡量电视媒体在中国网民中的影响程度的综合指标.据相关报道提供的全网传播2015年某全国性大型活动的“省级卫视新闻台”融合指数的数据，对名列前20.(1)现从融合指数在[4,5]和[7,8]内的“省级卫视新闻台”中随机抽取2家进行调研，求至少有1家的融合指数在[7,8]的概率；(2)根据分组统计表求这20家“省级卫视新闻台”的融合指数的平均数. 【测量目标】(1)古典概型; (2)平均数.【试题分析】解法一：(1)融合指数在[7,8]内的“省级卫视新闻台”记为1,23,;A A A 融合指数在[4,5)内的“省级卫视新闻台”记为12,B B .从融合指数在[4,5)和[7,8]内的“省级卫视新闻台”中随机抽取的2家的所有的基本事件是：12{,}A A ,1323{,},{,}A A A A ,1112{,},{,},A B A B 2122{,},{,}A B A B ,31{,}A B ,32{,},A B 12{,}B B ,共10个.其中，至少有1家融合指数在[7,8]内的基本事件是：1213231112{,},{,},{,},{,},{,},A A A A A A A B A B 2122{,},{,},A B A B 3132{,},{,}A B A B ,共9个.所以所求的概率910P =. (2)这20家“省级卫视新闻台”的融合指数平均数 等于28734.5 5.5 6.57.5 6.0520202020⨯+⨯+⨯+⨯=. 解法二：(1)融合指数在[7,8] 内的“省级卫视新闻台”记为123,,A A A ;融合指数在[4,5)内的“省级卫视新闻台”记为12,.B B 从融合指数在[4,5)和[7,8]内的“省级卫视新闻台”中随机抽取2家的所有基本事件是：{12,}A A ,132311{,},{,},{,}A A A A A B ,122122{,},{,},{,}A B A B A B313212{,},{,},{,}A B A B B B ,共10个，其中，没有一家融合指数在[7,8]内的基本事件是：12{,}B B ,共1个.所以所求的概率1911010P =-=. (2)同解法一.19.（本小题满分12分）已知点F 为抛物线2:2(0)E y px p =>的焦点，点()2,A m 在抛物线E 上，且||3AF =. (1)求抛物线E 的方程；(2)已知点(1,0),G -延长AF 交抛物线E 于点B ,证明：以点F 为圆心且与直线GA 相切的圆必与直线GB 相切.第19题图【测量目标】(1)抛物线的定义;(2)直线和圆的位置关系. 【试题分析】解法一：(1)由抛物线的定义得||22p AF =+.因为 ||3,AF =即22p+=3，解得2p =，所以抛物线E 的方程为24y x =.(2)因为点(2,)A m 在抛物线2:4E y x =上，所以m =+A ,由(1,0)A F 可得直线AF 的方程为1)y x =-，由2(1)4y x y x⎧=-⎪⎨=⎪⎩，得22520x x -+=，解得2x =或12x =，从而1(,2B ,又(1,0)G -,所以0012(1)33(1)2GA GB k k ====-----,所以0GA GB k k +=,从而∠AGF =∠BGF ,这表明点F 到直线,GA GB 的距离相等，故以F 为圆心且与直线GA 相切的圆必与直线GB 相切.解法二：(1)同解法一.(2) 设点F 为圆心且与直线GA 相切的圆的半径为r .因为点(2,)A m 在抛物线2:4E y x=上，所以m=±A,(1,0)F可得直线AF的方程为1)y x=-由21)4y xy x⎧=-⎪⎨=⎪⎩，得22520x x-+=，解得122x x==或，从而1(,2B,又(1,0),G-故直线GA的方程为30y-+=，故F到直线AG的距离r=.又直线GB的方程为30y++=，所以点F到直线GB的距离d r===，这表明以点F为圆心且与直线GA相切的圆必与GB相切.20.(本题满分12分)如图，AB是圆O的直径，点C是圆O异于,A B的点，PO垂直于圆O所在的平面，且1PO OB==.第20题图(1)若D为线段AC的中点，求证AC⊥平面PDO;(2)求三棱锥P ABC-体积的最大值；(3)若BC点E在线段PB上，求CE OE+的最小值.【测量目标】(1)直线和平面垂直的判定;(2)三棱锥体积求法; (3)线段和的最值问题.【试题分析】解法一：(1)连接PD，在△AOC中，因为OA OC=,D为AC的中点，所以AC OD⊥,又PO垂直于圆O所在的平面，所以PO AC⊥,因为DO PO O=，所以AC⊥平面PDO.(2)因为点C在圆O上，所以当CO AB⊥时，C到AB的距离最大，且最大距离为 1.又2AB=,所以△ABC面积的最大值为12112⨯⨯=.又因为三棱锥P ABC-的高1PO=,故三棱锥体积的最大值为111133⨯⨯=.(3)在△POB中，1,90PO BO POB==∠=。
2015年高考数学(文) (4)冲刺题及答案(word版可打印)
2015年高考（文科数学）冲刺题及答案（word 版可打印）第I 卷(共50分)一、选择题：本大题共10小题。
每小题5分。
共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1.复数31ii+（i 是虚数单位）在复平面上对应的点位于 A.第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2.集合{}{}2,log ,0A x y x B y y x x A B ====>⋂，则等于 A.R B. ∅ C. [)0+∞， D. ()0+∞，3、某中学从高三甲、乙两个班中各选出7名学生参加数学竞赛，他们取得的成绩（满分100分）的茎叶图如图，其中甲班学生成绩的众数是83，乙班学生成绩的中位数是86，则x ＋y 的值为A 、7B 、8C 、9 10、C 4、已知函数y=f(x)+x 是偶函数，且f （2）＝1，则f （－2）＝ A 、－1 B 、1 C 、－5D 、55. 将函数sin 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭图象向左平移4π个单位，所得函数图象的一条对称轴的方程是 A. 12x π=B. 6x π= C. 3x π= D. 12x π=-6. 已知命题:12p a b ≠≠或，命题:3q a b +≠，则p 是q 的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件 7. 函数1sin y x x=-学科网的图象大致是8、曲线2()1x f x e x x =+++上的点到直线23x y -=的距离的最小值为 A.55 B. 5 C. 255D. 25 9. 某几何体的三视图如图所示，图中的四边形都是边长为1的正方形，其中正视图、侧视图中的两条虚线互相垂直，则该几何体的体积是A. 16B. 12C. 34D. 5610.过双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左焦点1F ，作圆222x y a +=的切线交双曲线右支于点P ，切点为T ，1PF 的中点M 在第一象限，则以下结论正确的是 A. b a MO MT -=- B. b a MO MT ->- C. b a MO MT -<- D. b a MO MT -=+第II 卷（共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.11.某算法的程序框图如图所示，若输出结果为3，则可输入的实数x 的个数共有_____个.12. 在约束条件2430,0x y x y x y +≤⎧⎪+≤⎨⎪≥≥⎩下，目标函数32z x y =+的最大值是＿＿＿＿13、若直线3y kx =+与圆22x y +＝1相切，则k ＝＿＿＿＿＿14. 已知向量,a b r r满足2,3,237a b a b ==+=r r r r ，则a b 与r r 的夹角为_________.15.对于函数()f x ，若存在区间[](){},,A m n y y f x x A A ==∈=，使得，则称函数()f x 为“同域函数”，区间A 为函数()f x 的一个“同城区间”.给出下列四个函数：①()cos 2f x x π=；②()21f x x =-；③()21f x x =-；④()f x =log ()21x -.存在“同域区间”的“同域函数”的序号是_______________（请写出所有正确的序号）三、解答题：本大题共6小题，共75分.已知函数()()213sin sin cos 022f x x x x πωωωω⎛⎫=+--> ⎪⎝⎭，其图象两相邻对称轴间的距离为2π. （I ）求ω的值；（II ）设ABC ∆的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c,且()7,0c f C ==，若向量()1,sin m A =u r 与向量()3,sin n B =r共线，求a ，b 的值.如图，在四棱锥E ABCD⊥，-中，平面EAD⊥平面ABCD，DC//AB，BC CD ⊥，AB=4，BC=CD=EA=ED=2，F是线段EB的中点.EA ED（I）证明：CF//平面ADE；（II）证明：BD AE⊥；18. （本小题满分12分）某数学兴趣小组的学生全部参加了“代数”和“几何”两个科目的考试，成绩分为A，B，C，D，E五个等级，成绩数据统计如下图所示，其中“代数”科目的成绩为B的考生有20人。
2015年普通高等学校招生全国统一考试数学文试题(福建卷,含解析)
高中数学学习材料金戈铁骑整理制作2015年普通高等学校招生全国统一考试数学文试题（福建卷，含解析）第I 卷（选择题共60分）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．若(1)(23)i i a bi ++-=+（,,a b R i ∈是虚数单位），则,a b 的值分别等于（ ） A ．3,2- B ．3,2 C ．3,3- D ．1,4- 【答案】A 【解析】试题分析：由已知得32i a bi -=+，所以3,2a b ==-，选A ． 考点：复数的概念．2．若集合{}22M x x =-≤<，{}0,1,2N =，则MN 等于（ ）A ．{}0B ．{}1C ．{}0,1,2D {}0,1 【答案】D考点：集合的运算．3．下列函数为奇函数的是( ) A ．y x =B ．x y e =C ．cos y x =D ．x x y e e -=-【答案】D 【解析】试题分析：函数y x =和x y e =是非奇非偶函数； cos y x =是偶函数；x x y e e -=-是奇函数，故选D ．考点：函数的奇偶性．4．阅读如图所示的程序框图，阅读相应的程序．若输入x 的值为1，则输出y 的值为（ ） A ．2 B ．7 C ．8 D ．128【答案】C 【解析】试题分析：由题意得，该程序表示分段函数2,2,9,2x x y x x ⎧≥=⎨-<⎩，则(1)918f =-=，故选C ．考点：程序框图． 5．若直线1(0,0)x ya b a b+=>>过点(1,1)，则a b +的最小值等于（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 【答案】C考点：基本不等式． 6．若5sin 13α=-，且α为第四象限角，则tan α的值等于（ ） A ．125 B ．125- C ．512 D ．512-【答案】D 【解析】试题分析：由5sin 13α=-，且α为第四象限角，则212cos 1sin 13αα=-=，则sin tan cos ααα= 512=-，故选D ． 考点：同角三角函数基本关系式．7．设(1,2)a =，(1,1)b =，c a kb =+．若b c ⊥，则实数k 的值等于（ ） A ．32-B ．53-C ．53D ．32【答案】A考点：平面向量数量积．8．如图，矩形ABCD 中，点A 在x 轴上，点B 的坐标为(1,0)．且点C 与点D 在函数1,0()11,02x x f x x x +≥⎧⎪=⎨-+<⎪⎩的图像上．若在矩形ABCD 内随机取一点，则该点取自阴影部分的概率等于（ ） A ．16 B ．14 C ．38 D ．12xyOBCDAF【答案】B考点：古典概型．9．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积等于（ ） A ．822+ B ．1122+ C ．1422+ D ．151112【答案】B【解析】学科网试题分析：由三视图还原几何体，该几何体是底面为直角梯形，高为2的直四棱柱，且底面直角梯形的两底分别为12，，直角腰长为1，斜腰为2．底面积为12332⨯⨯=，侧面积为则其表面积为2+2+4+22=8+22，所以该几何体的表面积为1122+，故选B．考点：三视图和表面积．10．变量,x y满足约束条件220x yx ymx y+≥⎧⎪-+≥⎨⎪-≤⎩，若2z x y=-的最大值为2，则实数m等于（）A．2- B．1- C．1 D．2【答案】C【解析】x–1–2–3–41234–1–2–3–4123BOC试题分析：将目标函数变形为2y x z =-，当z 取最大值，则直线纵截距最小，故当0m ≤时，不满足题意；当0m >时，画出可行域，如图所示， 其中22(,)2121mB m m --．显然(0,0)O 不是最优解，故只能22(,)2121m B m m --是最优解，代入目标函数得4222121m m m -=--，解得1m =，故选C ． 考点：线性规划．11．已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的右焦点为F ．短轴的一个端点为M ，直线:340l x y -=交椭圆E 于,A B 两点．若4AF BF +=，点M 到直线l 的距离不小于45，则椭圆E 的离心率的取值范围是（ ） A ． 3(0,]2 B．3(0,]4 C ．3[,1)2 D ．3[,1)4【答案】A考点：1、椭圆的定义和简单几何性质；2、点到直线距离公式． 12．“对任意(0,)2x π∈，sin cos k x x x <”是“1k <”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ． 充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B考点：导数的应用．第II 卷（非选择题共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在答题卡的相应位置.13．某校高一年级有900名学生，其中女生400名，按男女比例用分层抽样的方法，从该年级学生中抽取一个容量为45的样本，则应抽取的男生人数为_______． 【答案】25 【解析】试题分析：由题意得抽样比例为45190020=，故应抽取的男生人数为15002520⨯=． 考点：分层抽样．14．若ABC ∆中，3AC =，045A =，075C =，则BC =_______．【答案】2 【解析】试题分析：由题意得018060B A C =--=．由正弦定理得sin sin AC BC B A =，则sin sin AC ABC B=， 所以232232BC ⨯==．考点：正弦定理． 15．若函数()2()x af x a R -=∈满足(1)(1)f x f x +=-，且()f x 在[,)m +∞单调递增，则实数m 的最小值等于_______． 【答案】1 【解析】试题分析：由(1)(1)f x f x +=-得函数()f x 关于1x =对称，故1a =，则1()2x f x -=，由复合函数单调性得()f x 在[1,)+∞递增，故1m ≥，所以实数m 的最小值等于1． 考点：函数的图象与性质．16．若,a b 是函数()()20,0f x x px q p q =-+>> 的两个不同的零点，且,,2a b - 这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则p q + 的值等于________． 【答案】9考点：等差中项和等比中项．三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．(本小题满分12分)等差数列{}n a 中，24a =，4715a a +=． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）设22n a n b n -=+，求12310b b b b +++⋅⋅⋅+的值．【答案】（Ⅰ）2n a n =+；（Ⅱ）2101． 【解析】试题分析：（Ⅰ）利用基本量法可求得1,a d ，进而求{}n a 的通项公式；（Ⅱ）求数列前n 项和，首先考虑其通项公式，根据通项公式的不同特点，选择相应的求和方法，本题2nn b n =+，故可采取分组求和法求其前10项和．试题解析：（I ）设等差数列{}n a 的公差为d ．由已知得()()11143615a d a d a d +=⎧⎪⎨+++=⎪⎩，解得131a d =⎧⎨=⎩．所以()112n a a n d n =+-=+．考点：1、等差数列通项公式；2、分组求和法． 18．（本题满分12分）全网传播的融合指数是衡量电视媒体在中国网民中影响了的综合指标．根据相关报道提供的全网传播2015年某全国性大型活动的“省级卫视新闻台”融合指数的数据，对名列前20名的“省级卫视新闻台”的融合指数进行分组统计，结果如表所示．组号分组 频数 1[4,5)22 [5,6) 83 [6,7) 7 4[7,8]3（Ⅰ）现从融合指数在[4,5)和[]7,8内的“省级卫视新闻台”中随机抽取2家进行调研，求至少有1家的融合指数在[]7,8的概率；（Ⅱ）根据分组统计表求这20家“省级卫视新闻台”的融合指数的平均数． 【答案】（Ⅰ）910；（Ⅱ）6.05．解法一：（I ）融合指数在[]7,8内的“省级卫视新闻台”记为1A ，2A ，3A ；融合指数在[)4,5内的“省级卫视新闻台”记为1B ，2B ．从融合指数在[)4,5和[]7,8内的“省级卫视新闻台”中随机抽取2家的所有基本事件是：{}12,A A ，{}13,A A ，{}23,A A ，{}11,A B ，{}12,A B ，{}21,A B ，{}22,A B ，{}31,A B ，{}32,A B ，{}12,B B ，共10个．其中，至少有1家融合指数在[]7,8内的基本事件是：{}12,A A ，{}13,A A ，{}23,A A ，{}11,A B ，{}12,A B ，{}21,A B ，{}22,A B ，{}31,A B ，{}32,A B ，共9个．所以所求的概率910P =． （II ）这20家“省级卫视新闻台”的融合指数平均数等于28734.55.56.57.5 6.0520202020⨯+⨯+⨯+⨯=． 解法二：（I ）融合指数在[]7,8内的“省级卫视新闻台”记为1A ，2A ，3A ；融合指数在[)4,5内的“省级卫视新闻台”记为1B ，2B ．从融合指数在[)4,5和[]7,8内的“省级卫视新闻台”中随机抽取2家的所有基本事件是：{}12,A A ，{}13,A A ，{}23,A A ，{}11,A B ，{}12,A B ，{}21,A B ，{}22,A B ，{}31,A B ，{}32,A B ，{}12,B B ，共10个．其中，没有1家融合指数在[]7,8内的基本事件是：{}12,B B ，共1个． 所以所求的概率1911010P =-=． （II ）同解法一．考点：1、古典概型；2、平均值． 19．（本小题满分12分）已知点F 为抛物线2:2(0)E y px p =>的焦点，点(2,)A m 在抛物线E 上，且3AF =．（Ⅰ）求抛物线E 的方程；（Ⅱ）已知点(1,0)G -，延长AF 交抛物线E 于点B ，证明：以点F 为圆心且与直线GA 相切的圆，必与直线GB 相切．【答案】（Ⅰ）24y x =；（Ⅱ）详见解析．【解析】试题分析：（Ⅰ）利用抛物线定义，将抛物线上的点到焦点距离和到准线距离相互转化．本题由3AF =可得232p+=，可求p 的值，进而确定抛物线方程；（Ⅱ）欲证明以点F 为圆心且与直线GA 相切的圆，必与直线GB 相切．可证明点F 到直线GA 和直线GB 的距离相等（此时需确定两条直线方程）；也可以证明GF GF ∠A =∠B ，可转化为证明两条直线的斜率互为相反数．试题解析：解法一：（I ）由抛物线的定义得F 22pA =+．因为F 3A =，即232p+=，解得2p =，所以抛物线E 的方程为24y x =． （II ）因为点()2,m A 在抛物线:E 24y x =上，所以22m =±，由抛物线的对称性，不妨设()2,22A ． 由()2,22A ，()F 1,0可得直线F A 的方程为()221y x =-．由()22214y x y x⎧=-⎪⎨=⎪⎩，得22520x x -+=，解得2x =或12x =，从而1,22⎛⎫B - ⎪⎝⎭． 又()G 1,0-，所以()G 22022213k A -==--，()G 20221312k B --==---， 所以G G 0k k A B +=，从而GF GF ∠A =∠B ，这表明点F 到直线G A ，G B 的距离相等， 故以F 为圆心且与直线G A 相切的圆必与直线G B 相切． 解法二：（I ）同解法一．（II ）设以点F 为圆心且与直线G A 相切的圆的半径为r ．因为点()2,m A 在抛物线:E 24y x =上，所以22m =±，由抛物线的对称性，不妨设()2,22A ．由()2,22A ，()F 1,0可得直线F A 的方程为()221y x =-．由()22214y x y x⎧=-⎪⎨=⎪⎩，得22520x x -+=，解得2x =或12x =，从而1,22⎛⎫B - ⎪⎝⎭． 又()G 1,0-，故直线G A 的方程为223220x y -+=，从而2222428917r +==+． 又直线G B 的方程为223220x y ++=，所以点F 到直线G B 的距离2222428917d r +===+． 这表明以点F 为圆心且与直线G A 相切的圆必与直线G B 相切． 考点：1、抛物线标准方程；2、直线和圆的位置关系． 20．（本题满分12分）如图，AB 是圆O 的直径，点C 是圆O 上异于,A B 的点，PO 垂直于圆O 所在的平面，且1PO =OB =．（Ⅰ）若D 为线段AC 的中点，求证C A ⊥平面D P O ； （Ⅱ）求三棱锥P ABC -体积的最大值； （Ⅲ）若2BC =，点E 在线段PB 上，求CE OE +的最小值．【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）13；（Ⅲ）262+．【解析】试题分析：（Ⅰ）要证明C A ⊥平面D P O ，只需证明AC 垂直于面D P O 内的两条相交直线．首先由PO 垂直于圆O 所在的平面，可证明C PO ⊥A ；又C OA =O ，D 为C A 的中点，可证明C D A ⊥O ，进而证明结论；（Ⅱ）三棱锥P ABC -中，高1PO =，要使得P ABC -体积最大，则底面ABC 面积最大，又2AB =是定值，故当AB 边上的高最大，此时高为半径，进而求三棱锥P ABC -体积；（Ⅲ）将侧面C B P 绕PB 旋转至平面C 'B P ，使之与平面ABP 共面，此时线段'OC 的长度即为CE OE +的最小值．试题解析：解法一：（I ）在C ∆AO 中，因为C OA =O ，D 为C A 的中点， 所以C D A ⊥O ．又PO 垂直于圆O 所在的平面， 所以C PO ⊥A ． 因为D OPO =O ，所以C A ⊥平面D P O ． （II ）因为点C 在圆O 上，所以当C O ⊥AB 时，C 到AB 的距离最大，且最大值为1． 又2AB =，所以C ∆AB 面积的最大值为12112⨯⨯=． 又因为三棱锥C P -AB 的高1PO =， 故三棱锥C P -AB 体积的最大值为111133⨯⨯=． （III ）在∆POB 中，1PO =OB =，90∠POB =，所以22112PB =+=．同理C 2P =，所以C C PB =P =B ．在三棱锥C P -AB 中，将侧面C B P 绕PB 旋转至平面C 'B P ，使之与平面ABP 共面，如图所示．当O ，E ，C '共线时，C E +OE 取得最小值． 又因为OP =OB ，C C ''P =B ， 所以C 'O 垂直平分PB ， 即E 为PB 中点． 从而2626C C 222+''O =OE +E =+=， 亦即C E +OE 的最小值为262+．解法二：（I ）、（II ）同解法一．（III ）在∆POB 中，1PO =OB =，90∠POB =，所以45∠OPB =，22112PB =+=．同理C 2P =．所以C C PB =P =B ，所以C 60∠PB =．在三棱锥C P -AB 中，将侧面C B P 绕PB 旋转至平面C 'B P ，使之与平面ABP 共面，如图所示． 当O ，E ，C '共线时，C E +OE 取得最小值． 所以在C '∆O P 中，由余弦定理得：()2C 12212cos 4560'O =+-⨯⨯⨯+212312222222⎛⎫=+-⨯-⨯ ⎪ ⎪⎝⎭23=+．从而26C 232+'O =+=． 所以C E +OE 的最小值为262+． 考点：1、直线和平面垂直的判定；2、三棱锥体积． 21．（本题满分12分） 已知函数()2103sincos 10cos 222x x xf x =+． （Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期； （Ⅱ）将函数()f x 的图象向右平移6π个单位长度，再向下平移a （0a >）个单位长度后得到函数()g x 的图象，且函数()g x 的最大值为2． （ⅰ）求函数()g x 的解析式；（ⅱ）证明：存在无穷多个互不相同的正整数0x ，使得()00g x >． 【答案】（Ⅰ）2π；（Ⅱ）（ⅰ）()10sin 8g x x =-；（ⅱ）详见解析． 【解析】试题分析：（Ⅰ）首先利用证明二倍角公式和余弦降幂公式将()f x 化为()10sin 56f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，然后利用2T πω=求周期；（Ⅱ）由函数()f x 的解析式中给x 减6π，再将所得解析式整体减去a 得()g x 的解析式为()10sin 5g x x a =+-，当sin x 取1的时，()g x 取最大值105a +-，列方程求得13a =，从而()g x 的解析式可求；欲证明存在无穷多个互不相同的正整数0x ，使得()00g x >，可解不等式()00g x >，只需解集的长度大于1，此时解集中一定含有整数，由周期性可得，必存在无穷多个互不相同的正整数0x ． 试题解析：（I ）因为()2103sincos 10cos 222x x xf x =+ 53sin 5cos 5x x =++10sin 56x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭．所以函数()f x 的最小正周期2πT =． （II ）（i ）将()f x 的图象向右平移6π个单位长度后得到10sin 5y x =+的图象，再向下平移a （0a >）个单位长度后得到()10sin 5g x x a =+-的图象．又已知函数()g x 的最大值为2，所以1052a +-=，解得13a =． 所以()10sin 8g x x =-．（ii ）要证明存在无穷多个互不相同的正整数0x ，使得()00g x >，就是要证明存在无穷多个互不相同的正整数0x ，使得010sin 80x ->，即04sin 5x >． 由4352<知，存在003πα<<，使得04sin 5α=． 由正弦函数的性质可知，当()00,x απα∈-时，均有4sin 5x >． 因为sin y x =的周期为2π，所以当()002,2x k k παππα∈++-（k ∈Z ）时，均有4sin 5x >． 因为对任意的整数k ，()()00022213k k πππαπαπα+--+=->>，所以对任意的正整数k ，都存在正整数()002,2k x k k παππα∈++-，使得4sin 5k x >． 亦即存在无穷多个互不相同的正整数0x ，使得()00g x >． 考点：1、三角函数的图像与性质；2、三角不等式． 22．（本小题满分14分）已知函数2(1)()ln 2x f x x -=-．(Ⅰ)求函数()f x 的单调递增区间； （Ⅱ）证明：当1x >时，()1f x x <-；（Ⅲ）确定实数k 的所有可能取值，使得存在01x >，当0(1,)x x ∈时，恒有()()1f x k x >-．【答案】(Ⅰ) 150,2⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭；（Ⅱ）详见解析；（Ⅲ）(),1-∞． 【解析】试题分析：(Ⅰ)求导函数()21x x f x x-++'=，解不等式'()0f x >并与定义域求交集，得函数()f x 的单调递增区间；（Ⅱ）构造函数()()()F 1x f x x =--，()1,x ∈+∞．欲证明()1f x x <-，只需证明()F x 的最大值小于0即可；（Ⅲ）由（II ）知，当1k =时，不存在01x >满足题意；当1k >时，对于1x >， 有()()11f x x k x <-<-，则()()1f x k x <-，从而不存在01x >满足题意；当1k <时，构造函数()()()G 1x f x k x =--，()0,x ∈+∞，利用导数研究函数()G x 的形状，只要存在01x >，当0(1,)x x ∈时()0G x >即可．试题解析：（I ）()2111x x f x x x x-++'=-+=，()0,x ∈+∞．由()0f x '>得2010x x x >⎧⎨-++>⎩解得1502x +<<．故()f x 的单调递增区间是150,2⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭．（II ）令()()()F 1x f x x =--，()0,x ∈+∞．则有()21F x x x-'=．当()1,x ∈+∞时，()F 0x '<， 所以()F x 在[)1,+∞上单调递减，故当1x >时，()()F F 10x <=，即当1x >时，()1f x x <-． （III ）由（II ）知，当1k =时，不存在01x >满足题意．当1k >时，对于1x >，有()()11f x x k x <-<-，则()()1f x k x <-，从而不存在01x >满足题意． 当1k <时，令()()()G 1x f x k x =--，()0,x ∈+∞，则有()()2111G 1x k x x x k x x-+-+'=-+-=．由()G 0x '=得，()2110x k x -+-+=．解得()2111402k k x ---+=<，()2211412k k x -+-+=>．当()21,x x ∈时，()G 0x '>，故()G x 在[)21,x 内单调递增． 从而当()21,x x ∈时，()()G G 10x >=，即()()1f x k x >-， 综上，k 的取值范围是(),1-∞． 考点：导数的综合应用．。
福建省泉州五校2015届高三数学毕业班“最后一卷”试题 文
2015年南侨中学、荷山中学、永春侨中、南安三中、永春三中高中毕业班“最后一卷〞联考文科数学学科试卷一、选择题〔本大题共12小题，每一小题5分，共60分．在每一小题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的．〕1. 设集合{}{}065|,,5|2=+-=∈<=*x x x M N x x x U ，如此=M C U A ．{1,4} B ．{1,5} C ．{2,3} D ．{3,4} 2．复数2＋i1－2i 的共轭复数是A ．－35i B.35i C ．－i D ．i3．为了了解所加工一批零件的长度，抽测了其中200个零件的长度，在这个问题中，200个零件的长度是A ．总体B ．个体是每一个零件C ．总体的一个样本D ．样本容量4．“1cos 2α=〞是“3πα=〞的A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 5、根据如下样本数据得到的回归方程为a bx y +=ˆ.假设9.7=a ，如此x 每增加1个单位，y 就A ．增加4.1个单位；B ．减少4.1个单位；C ．增加2.1个单位；D ．减少2.1个单位.6．执行如下列图的程序框图，如此输出的S 值是 A ．－1 B.23C.32D ．47．将函数()sin 6f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象上各点的纵坐标不变，横坐标伸长到 原来的2倍，所得图象的一条对称轴方程可能是A ．12x π=-B ．12x π=C ．3x π=D ．23x π=xy ．． 1-1 O()f x22222侧视图正视图2222228．某锥体的正视图和侧视图如右图所示，其体积为233，如此该锥体的俯视图可以是A ．B ．C ．D ． 9．函数()()()f x x a x b =--〔其中a b >〕的图象如右图所示，如此函数()xg x a b =+的大致图象是存在点(),x y 10．假设直线3y x =上满足约束条件40,280,,x y x y x m ++≥⎧⎪-+≥⎨⎪≤⎩如此实数m 的取值范围是A ．[)1,-+∞B ．()1,-+∞C ．(],1-∞- D ． (),1-∞-11. 双曲线2222:1(,0)x y C a b a b -=>的左右焦点分别为12,F F ，过2F 作双曲线C 的一条渐近线的垂线，垂足为H ，假设△21F HF 的面积为2a ，如此双曲线的离心率为A.2B.3C.2D.312．M 是ABC ∆内一点，且023,30AB AC BAC ⋅=∠=，假设MBC MCA ∆∆，，MAB ∆的面积分别为1,,2x y如此xy 的最大值是A.114B.116C.118D.120二、填空题：本大题共4小题，每一小题4分，总分为16分． 13．如图的矩形长为5，宽为2，在矩形内随机地撒300颗黄豆，数得落在阴影局部的黄豆数为138颗，由此我们可以估计出阴影局部 的面积约为14．函数2,0,()1,0,x x f x x x ⎧<=⎨-≥⎩假设()1f x ≤，如此x 的取值范围是 . 15．假设点P 是椭圆1222=+y x 上的动点,如此P 到直线1:+=x y l 的距离的最大值是.16．数列{an}的前n 项和为Sn ，假设数列{an}的各项按如下规律排列：12，13，23，14，24，34，15，25，35，45，…，1n ，2n ，…，n －1n ，…，有如下运算和结论： ①a24＝38；②数列a1，a2＋a3，a4＋a5＋a6，a7＋a8＋a9＋a10，…是等比数列；③数列a1，a2＋a3，a4＋a5＋a6，a7＋a8＋a9＋a10，…的前n 项和为Tn ＝n2＋n4；④假设存在正整数k ，使110,10k k S S +<≥，如此57k a =.其中正确的结论有________．(将你认为正确的结论序号都填上)三．解答题：本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 17. 〔此题总分为12分〕 数列{}n a 是公差不为0的等差数列，12a =，且1a ，3a ，11a 成等比数列.〔Ⅰ〕求数列{}n a 的通项公式；〔Ⅱ〕假设122n n n b a =--，求数列{}n b 的前n 项和n T .18. 〔此题总分为12分〕某高校共有学生15 000人，其中男生10 500人，女生4500人．为调查该校学生每周平均体育运动时间的情况，采用分层抽样的方法，收集300位学生每周平均体育运动时间的样本数据(单位：小时)． 〔Ⅰ〕应收集多少位女生的样本数据？〔Ⅱ〕根据这300个样本数据，得到学生每周平均体育运动时间的频率分布直方图(如图1-4所示)，D 1C 1B 1A 1D CB A其中样本数据的分组区间为：[0，2]，(2，4]，(4，6]，(6，8]，(8，10]，(10，12]．估计该校学生每周平均体育运动时间超过4小时的概率．图1-4(Ⅲ)在样本数据中，有60位女生的每周平均体育运动时间超过4小时，请完成每周平均体育运动时间与性别列联表，并判断是否有95%的把握认为“该校学生的每周平均体育运动时间与性别有关〞．附：K2＝n 〔ad －bc 〕2〔a ＋b 〕〔c ＋d 〕〔a ＋c 〕〔b ＋d 〕19．〔此题总分为12分〕 向量()()2sin ,1,sin ,2m x n x x =-=-，函数()()f x m n mt =-⋅+．〔Ⅰ〕假设()f x 在区间,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上有三个零点，求t 的值；〔Ⅱ〕在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为,,a b c ， 4a =，△ABC 的面积S =假设()2,f A =且0t =，求b c +的值． 20．〔此题总分为12分〕 如图，四棱柱1111ABCD A B C D -中，1AA ⊥底面ABCD ，底面ABCD 是梯形，//AB DC ，，11.2AB AD CD ===〔Ⅰ〕求证：平面1BCC ⊥平面1BDC ；〔Ⅱ〕在线段11C D 上是否存在一点P ，使//AP 平面1BDC . 假设存在，请确定点P 的位置；假设不存在，请说明理由.21．〔此题总分为12分〕顶点在原点，对称轴为坐标轴的抛物线Γ的焦点与双曲线221x y -=的右顶点重合。
福建省福州市第八中学2015届高三第四次质检考试数学(文)试题
考试时间：120分钟 试卷满分：150分2014.12.15第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合{}{}20,1,2,3,30=M N x x x M N ==-<⋂，则A.{}0B.{}0x x <C.{}3x x 0<<D. {}1,22. 在复平面内，复数2013ii 1iz =+-表示的点所在的象限是A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．直线210(1)10x ay a x ay +-=--+=与平行，则a 的值为A ．12B ．102或C ．0D ．—2或04. 已知向量a ，b 的夹角为45°，且|a|＝1，|2a －b|＝10，则|b|＝A ． 2B ．2 2C ．3 2D ．4 2 5. 已知平面βα,，直线n m ,，下列命题中不．正确的是 A. 若α⊥m ，β⊥m ，则α∥β B. 若m ∥n ，α⊥m ，则α⊥nC. 若m ∥α，n =⋂βα，则m ∥nD. 若α⊥m ，β⊂m ，则βα⊥ 6. 函数2sin sin 4242x x y ππ⎛⎫⎛⎫=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的一个单调递减区间为 A ．,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ B ．[]0,π C ．3,22ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．[],2ππ 7．圆22446050x y x y x y +-++=--=截直线所得的弦长等于AB C ．1 D ．58．某产品的广告费用x 与销售额y 的统计数据如下表根据上表可得回归方程ˆˆˆybx a =+中的ˆb 为9．4，据此模型预报广告费用为6万元时销售额为A ．63．6万元B ．67．7万元C ．65．5万元D ．72．0万元9.已知双曲线C ：22x a －22y b=1的焦距为10 ，点P （2,1）在C 的渐近线上，则C的方程为A ．220x －25y =1 B.25x －220y =1C.280x －220y =1 D.220x －280y =1 10. 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，12n n S a +=，,则n S = A. 1)23(-n B. 12-n C. 1)32(-nD.121-n11．已知椭圆C ： x 24＋y 23＝1，M ，N 是坐标平面内的两点，且M 与C 的焦点不重合．若M 关于C 的焦点的对称点分别为A ，B ，线段MN 的中点在C 上，则|AN|＋|BN|＝A ．4B ．8C ．12D ．1612．已知集合M 是满足下列性质的函数()f x 的集合：存在非零常数k ，对定义域中的任意x ，等式()f kx ＝2k＋()f x 恒成立．现有两个函数：()()0f x ax b a =+≠，()2log g x x =，则函数()f x 、()g x 与集合M 的关系为A.()()M x g M x f ∈∈, B ．()()M x g M x f ∈∉,C.()()M x g M x f ∉∈,D ．()()M x g M x f ∉∉,第Ⅱ卷（共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，将答案填在答题纸上。
2015年福建省高考数学(文科)模拟试卷
.2015 年福建省高考数学（文科）模拟试卷第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共 12 小题，每题 5 分，共 60 分 . 在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项切合题目要求的 .1. 若会合 A={x|x ＞ 0} ， B={x|x ＜ 3} ，则 A∩B等于（）A． {x|x ＜0}B． {x|0 ＜ x＜ 3}C． {x|x ＞ 4}D． R 是虚数单位，等于（）A． i B．﹣i C． 1D．﹣ 13.一个几何体的三视图形状都同样，大小均等，那么这个几何体不能够是A. 球B.三棱锥C.正方体D.圆柱4. 若 tan α＞ 0，则（）A． sin α＞ 0B． cos α＞ 0C． sin2 α＞ 0D． cos2 α＞ 05. 函数f ( x)ln( x21) 的图象大概是（）A．B．C．D．6.已知向量 a=（x-1,2 ），b=（ 2,1 ），则 a⊥b 的充要条件是1A.x=-B.x=-1C.x=5D.x=027.已知双曲线﹣ =1（ a＞ 0）的离心率为2，则 a=（）A 2BCD 1．．．．x y28.若变量 x, y 知足拘束条件 x1，则 z2x y 的最大值和最小值分别为（）y0A．4和 3 B ．4和2 C ．3和2 D ．2和0.9. 履行以下图的程序框图，若输入的x， t 均为 2，则输出的S=（）A 4B 5C 6D7．．．．10.设函数 f （ x），g（ x）的定义域都为 R，且 f （ x）是奇函数， g（ x）是偶函数，则以下结论中正确的选项是（）A． f （ x） g（ x）是偶函数B． |f（x）|g（x）是奇函数C．f（x）|g（x）|是奇函数D． |f（x）g（x）|是奇函数11. 设 x， y 知足拘束条件，则z=x+2y 的最大值为（）A．8B．7C．2D．112. 在整数集Z 中，被 5 除所得余数为 k 的全部整数构成一个“类”，记为[k]，即[k]={5n+k丨n∈Z} ， k=0,1,2,3,4 。
2015年高考文数真题试卷(福建卷)【答案加解析】
2015年高考文数真题试卷（福建卷）一.选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.（2015福建）若（1+i）+（2-3i）=a+bi（a，b R，i是虚数单位），则a，b的值分别等于（）A. 3，-2B. 3, 2C. 3，-3D. -1，42.(2015福建)若集合M= ,N=,则M N=（）A. B. C. D.3.（2015福建）下列函数为奇函数的是( )A. y=B. y=C. y=cosXD. y=-4.（2015，运行相应的程序．若输入x的值为1，则输出y的值为（）A. 2B. 7C. 8D. 1285.（2015福建）若直线(a>0,b>0)过点（1,1），则a+b的最小值是（）A. ２B. ３C. ４D. ５6.（2015.福建）若sin=-，且为第四象限角，则tan的值等于（）A. B. - C. D. -7.（2015福建）设,若则实数k的值等于（）A. -B. -C.D.8.（2015.福建）如图，矩形ABCD中，点A在x轴上，点B的坐标为(1，0)．且点C与点D在函数的图像上．若在矩形ABCD内随机取一点，则该点取自阴影部分的概率等于（）A. B. C. D.9.（2015.福建）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积等于（）A. 8+2B. 11+2C. 14+D. 1510.（2015.福建）变量x，y满足约束条件，若z=2x-y的最大值为2，则实数m等于（）A. -2B. -1C. 1D. 211.（2015福建）已知椭圆的右焦点为F．短轴的一个端点为M，直线l:3x-4y=0交椭圆E于A,B两点．若|AF+BF|=4，点M到直线l的距离不小于，则椭圆E的离心率的取值范围是（）A. (0,] B. (0,] C. [.1) D. [,1)12.(2015福建)“对任意x，ksinxcosx<x”是“k<1”的（）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件二.填空题本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在答题卡相应的位置上13.（2015.福建）某校高一年级有900名学生，其中女生400名，按男女比例用分层抽样的方法，从该年级学生中抽取一个容量为45的样本，则应抽取的男生人数为________ ．14.（2015·福建）若ABC中，AC=，A=45度，C=75度，则BC=________．15.(2015·福建)若函数f（x）=(a R)满足f（1+x）=f（1-x），且f（x）在[m,+)单调递增，则实数m 的最小值等于________．16.（2015福建）若a，b 是函数f(x)=x2-px+q(p>0,q>0) 的两个不同的零点，且a，b，-2 这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则p+q 的值等于________ ．三.解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明、解答过程或演算步骤17.等差数列{}中，=4，=15．(1)求数列的通项公式；(2)设=+n,求…………的值。
2015年高考福建省文科数学真题含答案解析(超完美版)
2015年高考福建省文科数学真题一、选择题1．若（是虚数单位），则的值分别等于（ ） A ．B ．C ．D ．2．若集合，，则等于（ ） A ．{0}B ．{1}C ．{0,1,2}D ．{0,1}3．下列函数为奇函数的是（ ） A ．B ．C ．D ．4．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，若输入的x 的值为1，则输出y 的值为（ ）A ．2B ．7C ．8D ．1285．若直线过点(1,1)，则的最小值等于（ ） A ．2B ．3C ．4D ．56．若，且为第四象限角，则的值等于（ ） A ．125B ．-125C ．512D ．-5127．设，，．若，则实数的值等于（ ）A ．B ．C ．D ．(1)(23)i i a bi ++-=+,,a b R i ∈,a b 3,2-3,23,3-1,4-{}22M x x =-≤<{}0,1,2N =MN y x y e =cos y x =xx y e e -=-1(0,0)x ya b a b+=>>a b +5sin 13α=-αtan α(1,2)a = (1,1)b =c a kb =+ b c ⊥ k 32-53-53328．如图，矩形ABCD 中，点A 在x 轴上，点B 的坐标为（1,0）且点C 与点D 在函数1,0(x)11,02x x f x x ⎧+≥⎪=⎨-+<⎪⎩的图像上，若在矩形ABCD 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率等于（ ）A ．16B ．14C ．38D ．129．若几何体的三视图所示，则该几何体的表面积等于（ ）A ．8+B ．11+C ．14+D ．1510．变量满足约束条件，若的最大值为2，则实数等于（ ）A ．-2B ．-1C ．1D ．211．已知椭圆的右焦点为．短轴的一个端点为，直线交椭圆于两点．若，点到直线的距离不小于，则椭圆的离心率的取值范围是,x y 02200x y x y mx y +≥⎧⎪-+≥⎨⎪-≤⎩2z x y =-m 2222:1(0)x y E a b a b+=>>F M :340l x y -=E ,A B 4AF BF +=M l 45E（ ） A ．B ．C ．D ．12．“对任意(0,)2x π∈，sin cos k x x x < ”是“1k <”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要二、填空题13．某高校一年级有900名学生，其中女生400名。
2015高考真题——数学文(福建卷)Word版含答案
2015年普通高等学校招生全国统一考试（福建卷）
数学（文史类）
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．若（是虚数单位），则的值分别等于（）
A． B． C． D．
2．【考点】若集合，，则等于（）
A． B． C． D
3．下列函数为奇函数的是( )
A． B． C． D．
4．阅读如图所示的程序框图，阅读相应的程序．若输入的值为1，则输出的值为（）
A．2 B．7 C．8 D．128
5．若直线过点，则的最小值等于（）
A．2 B．3 C．4 D．5
6．若，且为第四象限角，则的值等于（）
A． B． C． D．
7．设，，．若，则实数的值等于（）
A． B． C． D．
8．如图，矩形中，点在轴上，点的坐标为．且点与点在函数的图像上．若在矩形内随机取一点，则该点取自阴影部分的概率等于（）
A． B． C． D．
9．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积等于（）
A． B． C． D．
10．变量满足约束条件，若的最大值为2，则实数等于（）
A． B． C． D．
11．已知椭圆的右焦点为．短轴的一个端点为，直线交椭圆于两点．若，点到直线的距离不小于，则椭圆的离心率的取值范围是（）
A． B． C． D．
12．“对任意，”是“”的（）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件。
2015年福建省高考押题试题数学 Word版含答案
2015年福建省高考押题试题数学 Word 版含答案一、选择题1.(文)已知集合{1,2}A =-，{}02B x Z x =∈≤≤，则AB =（ ）（A ）{0} （B ）{2} （C ）{0,1,2} （D ）∅1.B 由{}{}02012B x Z x B =∈≤≤==，，知{}2A B =.（理）若集合{0}A x x =≥，且AB B =，则集合B 可能是（ ）（A ）{}1,2 （B ）{1}x x ≤ （C ）{1,0,1}- （D ） R 1.A 由AB B =知B A ⊆,故选A .2.已知复数121,1z i z i =-=+，则12z z i等于（ ） （A ）2i （B ）2i - （C ）2i + （D ）2i -+2.B 212(1)(1)122z z i i i i i i i i⋅-+-====-. 3.已知命题:p R x ∃∈，2lg x x ->，命题:q R x ∀∈，1xe >，则（ ）（A ）命题p q ∨是假命题 （B ）命题p q ∧是真命题 （C ）命题()p q ∧⌝是真命题 （D ）命题()p q ∨⌝是假命题3.D 因为命题:p R x ∃∈，2lg x x ->是真命题，而命题:q R x ∀∈，1xe >，由复合命题的真值表可知命题()p q ∧⌝是真命题.4.已知122,,,8a a --成等差数列，1232,,,,8b b b --成等比数列，则212a ab -等于（ ） （A ）14 （B ）12 （C ）12- （D ）12或12- 4.B 因为122,,,8a a --成等差数列，所以218(2)23a a ----==-.又1232,,,,8b b b --成等比数列，所以2228(2)16,4b b =-⨯-==（舍去），24b =-，所以21221.42a ab --==-5.已知1122log log a b <，则下列不等式一定成立的是（ ）（A ）11()()43a b < （B ）11a b > （C ）ln()0a b -> （D ）31a b -<5.A 由1122log log a b <得，0a b >>，所以111()()()443a b b <<.6.已知,m n 是两条不同直线，,,αβγ是三个不同平面，下列命题中正确的为 ( ) （A ）若,,αγβγ⊥⊥则αβ∥ （B ）若,,m n αα⊥⊥则m n ∥ （C ）若,m n αα∥∥，则m n ∥ （D ）若,,m m αβ∥∥则αβ∥6.B A 中,αβ可以是任意关系；B 正确；C 中,m n 平行于同一平面，其位置关系可以为任意．D 中平行于同一直线的平面可以相交或者平行． 7.（文）“0x <”是“ln(1)0x +<”的（ ） （A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件 （C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件7.B ∵010)1ln(<<-⇔<+x x ，∴“0<x ”是“0)1ln(<+x ”的必要不充分条件．（理）已知m R ∈，“函数21x y m =+-有零点”是“函数log m y x =在0+∞（，）上为减函数”的（ ）（A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件 （C ）充要条件 （D ）既不充分也不必要条件7.B 函数21xy m =+-有零点时，10,1m m -<<，不满足01m <<，所以“函数log m y x=在0+∞（，）上为减函数”不成立；反之，如果“函数log m y x =在0+∞（，）上为减函数”，则有01m <<，10,m -<所以，“函数21xy m =+-有零点”成立，故选B . 8.函数)sin()(ϕω+=x x f （其中2||πϕ<）的图象如图所示，为了得到sin y x ω=的图象，只需把()y f x =的图象上所有点（ ）（A ）向左平移6π个单位长度 （B ）向右平移12π个单位长度（C ）向右平移6π个单位长度 （D ）向左平移12π个单位长度8.C 由图可知74123T T πππ=-⇒= 则22πωπ== ，又si n (2)03πϕ⨯+=，结合2||πϕ<可知3πϕ=，即()s i n 3(2)f x xπ=+，为了得到sin 2y x =的图象，只需把()sin(2)si 3n 26y f x x x ππ⎡⎤⎛⎫==+=+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦的图象上所有点向右平移6π个单位长度.9.某工厂对一批新产品的长度（单位：m m ）进行检测，如图是检测结果的频率分布直方图，据此估计这批产品的中位数为（ ）（A ）20 （B ）25 （C ）22.5 （D ）22.759.C 产品的中位数出现在概率是0.5的地方．自左至右各小矩形面积依次为0.1,0.2,0.4,设中位数是x ，则由0.10.20.08(20)0.5x ++⋅-=得，22.5x =．10. 如图，1F 、2F 分别是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的两个焦点，以坐标原点O 为圆心，1F O 为半径的圆与该双曲线左支交于A 、B 两点，若2F AB ∆是等边三角形，则双曲线的离心率为 （ ）（A ）3 （B ）2 （C ）31- （D ）31+10.D 依题213AF AF =，12122c F F AF ==，所以()211231a A F A F A F=-=-，()1123131AF ce aAF ===+-.11.如图，在66⨯的方格纸中，若起点和终点均在格点的向量,,a b c 满足,(,)c x a y b x y R =+∈，则x y +=（ ）（A ）0 （B ） 1 （C ）55 （D ）13511.D 设方格边长为单位长1.在直角坐标系内，(1,2),(2,1),(3,4)a b c ==-=，由,(,)c x a y b x y R =+∈得，(3,4)(1,2)(2,1),(3,4)(2,2),x y x yx y =+-=+-所以2324x y x y +=⎧⎨-=⎩，解得11525x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以，x y +=135，选D .12.某几何体的三视图如图所示，则该几何体中，面积最大的侧面的面积为（ ）（A ）22（B ）52 （C ）62 （D ）312.B 由三视图可知，该几何体的直观图如图所示，平面AED ⊥平面BCDE ，四棱锥的高为1，四边形BCDE 是边长为1的正方形，则111211,12,2222AED ABC ABE S S S =⨯⨯===⨯⨯=151522ACD S =⨯⨯=.13.(文) 在区间[π,π]-内随机取两个数分别记为,a b ，则使得函数222()2f x x ax b π=+-+ 有零点的概率为（ ） （A ）78（B ）34（C ）12（D ）1413.B 若使函数有零点，必须222(2)4()0a b π∆=--+≥，即222a b π+≥．在坐标轴上将,a b 的取值范围标出，如图所示当,a b 满足函数有零点时，坐标位于正方形内圆外的部分，因此概率为223144ππ-=．π2π2π-2π-2π-πaO b（理）2321(2)x x+-展开式中的常数项为（ ） （A ）-8 （B ）-12 （C ）-20 （D ）2013.C ∵236211(2)()x x x x +-=-，∴6621661()(1)r rr r r r r T C x C x x--+=-=-， 令620r -=，即3r =，∴常数项为336(1)20C -=-.14. 若程序框图如图示，则该程序运行后输出k 的值是（ ）（A ）5 （B ）6 （C ）7 （D ）8 14.A 第一次循环运算：3516,1n k =⨯+=；第二次：168,22n k ===；第三次：84,32n k ===；第四次：42,42n k ===；第五次：21,52n k ===，这时符合条件输出5k =.15.已知{}n a 是首项为32的等比数列，n S 是其前n 项和，且646536=S S ,则数列|}log {|2n a 前10项和为（ ）（A ）58 （B ）56 （C ）50 （D ）45 15.A 根据题意3633164S S q S -==，所以14q =，从而有72113224n n n a --=?，所以2l o g 72n a n =-，所以有2log 27n a n =-，所以数列的前10项和等于2(51)2(113)5311357911135822+++++++++++=+=.16.若G 是ABC ∆的重心，a ，b ，c 分别是角C B A ,,的对边，若303aG bG cGC A +B +=，则角=A （ ）（A ）90（B ）60 （C ）45 （D ）30 16.D 由于G 是ABC ∆的重心，0=++∴GC GB GA ，()GA GB GC +-=∴，代入得()303caGA bGB GA GB +-+=，整理得33033c c a GA b GB ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，c b a 33==∴ bc a c b A 2cos 222-+=∴2223333323c c c c c⎛⎫⎛⎫+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=23=，因此030=A .17.(文)函数()2sin 1xf x x =+的图象大致为（ ）17.A函数()f x 定义域为R ,又()()()()22sin sin 11x xf x f x x x --==-=-+-+,∴函数()f x 为奇函数.其图像关于原点对称.故排除C 、D ，又当0πx <<时，sin 0x >,所以()0f x >可排除B ，故A 正确.（理）如图所示, 医用输液瓶可以视为两个圆柱的组合体．开始输液时，滴管内匀速滴下液体（滴管内液体忽略不计），设输液开始后x 分钟, 瓶内液面与进气管的距离为h 厘米，已知当0x =时，13h =．如果瓶内的药液恰好156分钟滴完． 则函数()h f x =的图像为（ ）17.C 由题意得，每分钟滴下药液的体积为3cm π 当134≤≤h 时，),13(42h x -⋅⋅=ππ即,1613xh -=此时1440≤≤x ； 当41<≤h 时，),4(29422h x -⋅⋅+⋅⋅=πππ即,440xh -=此时156144≤<x 所以，函数在[]156,0上单调递减，且156144≤<x 时，递减的速度变快，所以应选（C ） 18 已知抛物线C ：x y 82=的焦点为F ，准线为l ，P 是l 上一点，Q 是直线PF 与C 的一个交点，若QF PF 3=，则QF =（ ） （A ）25 （B ）38（C ） 3 （D ） 6 18.B 如下图所示，抛物线C ：x y 82=的焦点为()2,0F ，准线为:2l x =-，准线与x 轴的交点为()2,0N - ，||4FN =过点Q 作准线的垂线，垂足为M ，由抛物线的定义知||||QM QF =又因为QF PF 3=，所以，||2||2||PQ QF QM == 所以，28433QM PQQM FNPF =⇒=⨯= 所以，83QF QM ==19.已知不等式组220,22,22x y x y ⎧+-≥⎪⎪≤⎨⎪≤⎪⎩表示平面区域Ω,过区域Ω中的任意一个点P ,作圆221x y +=的两条切线且切点分别为,A B ,当APB ∠最大时, PA PB ⋅的值为（ ）（A ）2 （B ）32 （C ）52（D ）3 19.B 如图所示，画出平面区域Ω，当APB ∠最大时，APO ∠最大，故1s i n AO APO OP OP∠==最大，故OP 最小即可，其最小值为点O 到直线220x y +-=的距离2d =，故1sin 2APO ∠=，此时0260APB APO ∠=∠=，且413P A P B ==-=，故3cos 2PA PB PA PB APB⋅=⋅∠=．xy–1–2–3–41234–1–2–3–41234OPAB20.设函数)(x f 在R 上存在导数)(x f '，R x ∈∀，有2)()(x x f x f =+-，在),0(+∞上x x f <')(，若m m f m f 48)()4(-≥--，则实数m 的取值范围为（ ）（A ） ]2,2[- （B ） ),2[+∞ （C ） ),0[+∞ （D ）(,2][2,)-∞-+∞20.B 设()()212g x f x x =-因为对任意()()2,x R f x f x x ∈-+= ， 所以，()()()()()221122g x g x f x x f x x -+=---+-=()()20f x f x x -+-= 所以，函数()()212g x f x x =-为奇函数； 又因为，在),0(+∞上x x f <')(，所以，当时0x > ，()()0g x f x x ''=-< 即函数()()212g x f x x =-在),0(+∞上为减函数， 因为函数()()212g x f x x =-为奇函数且在R 上存在导数， 所以函数()()212g x f x x =-在R 上为减函数， 所以，()()()()()221144422g m g m f m m f m m --=----+ ()()()484f m f m m =----0≥所以，()()442g m g m m m m -≥⇒-≤⇒≥ 所以，实数m 的取值范围为),2[+∞. 二、填空题21.（文）已知直线3430x y +-=，6140x my ++=平行，则m = ． 21.8 由题意得6,834m m ==.（理）已知直线3430x y +-=，6140x my ++=平行，则它们之间的距离是 ． 21. 2 由题意得6,834m m ==，即681403470x y x y ++=⇒++=，所以它们之间的距离是22|7(3)|234--=+ 22. 执行如图所示的程序框图，如果输入2-，那么输出的结果是 ．22.10 若输入2- ，则0x >不成立，所以()22313110y --=+=+=，所以输出的值为10．23.（文）采用系统抽样方法从600人中抽取50人做问卷调查，为此将他们随机编号为001,002,,600，分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽得的号码为003，抽到的50人中，编号落入区间[001,300]的人做问卷A ,编号落入区间[301,495]的人做问卷B ,编号落入区间[496,600]的人做问卷C ,则抽到的人中，做问卷C 的人数为 ．23.8 由于1250600=，抽到的号码构成以3为首项，以12为公差的等差数列，因此得等差数列的通项公式为()91211-=-+=n d n a a n ，落在区间[]600,496的人做问卷C 满足600912496≤-≤n ，得1295012142≤≤n ，由于n 是正整数，因此5043≤≤n ，人数为8人.（理）2014年11月，北京成功举办了亚太经合组织第二十二次领导人非正式会议，出席会议的有21个国家和地区的领导人或代表．其间组委会安排这21位领导人或代表合影留念，他们站成两排，前排11人，后排10人，中国领导人站在第一排正中间位置，美俄两国领导人站在与中国领导人相邻的两侧，如果对其他领导人或代表所站的位置不做要求，那么不同的排法共有 种（用排列组合表示）．23. 218218A A 先安排美俄两国领导人：中国领导人站在第一排正中间位置，美俄两国领导人站在与中国领导人相邻的两侧，所以美俄两国领导人的安排有22A 种不同方法；再安排其余人员，有1818A 种不同方法；所以，共有181822A A 种不同方法.24.函数)12lg()(xa x f ++=为奇函数，则实数=a . 24.-1 因为函数)12lg()(xa x f ++=为奇函数，所以()()x f x f -=-， 结束输出y 开始 xy 2log 2=0>x是输入x13+=-x y否即2221lg()lg()21111a a a x x x a x+=-+⇒+=-+-++ 2222211(2)11(1)2x a x a a x a x a x +⇒+=⇒-=+-⇒=--++ 25.已知正实数,,x y z 满足112x x yz y z ⎛⎫++= ⎪⎝⎭，则11x x y z ⎛⎫⎛⎫++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭的最小值为 . 25.2 由题知112x x yz y z ⎛⎫++= ⎪⎝⎭即22x x yz x y z ++=于是可将给定代数式化简得2111112222x x yz yz x x x y z y z yz yz yz⎛⎫⎛⎫++=+++=+≥= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ 当且仅当2yz =时取等号.26. 如图，为测量山高MN ，选择A 和另一座山的山顶C 为测量观测点．从M 点测得A 点的俯角30NMA ︒∠=,C 点的仰角45CAB ∠=︒以及75MAC ∠=︒；从C 点测得60MCA ∠=︒已知山高200BC m =，则山高MN = m ．26.300 在ABC ∆中,45,90,200BAC ABC BC ∠=︒∠=︒=2002002sin 45AC ∴==︒，在AMC ∆中，75,60,MAC MCA ∠=︒∠=︒45,AMC ∴∠=︒由正弦定理可得,sin sin AM AC ACM AMC =∠∠即1002,sin 60sin 45AM =︒︒解得2003AM =,在Rt AMN ∆中sin MN AM MAN =⋅∠2003sin 60=⨯︒300()m =．27.（文）如下图所示，坐标纸上的每个单元格的边长为1，由下往上的六个点：1，2，3，4，5，6的横、纵坐标分别对应数列{}n a （n *∈N ）的前12项，如下表所示：按如此规律下去，则201320142015a a a ++= ．27. 1007 11a =，21a =，31a =-，42a =，52a =，63a =，72a =-，84a =， ，这个数列的规律是奇数项为1,1,2,2,3,3,---偶数项为1,2,3,，故201320150a a +=，20141007a =，故2013201420151007a a a ++=．（理）古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数.如三角形数1,3,6,10,，第n 个三角形数为2(1)11222n n n n +=+.记第n 个k 边形数为(),N n k （3k ≥），以下列出了部分k 边形数中第n 个数的表达式：三角形数 ()211,322N n n n =+ 正方形数 ()2,4N n n = 五边形数 ()231,522N n n n =- 六边形数 ()2,62N n n n =- 可以推测(),N n k 的表达式，由此计算()10,24N = .7.1000 ()211,312322N n n n n =++++=+， ()()2,413521N n n n =++++-=，()()231,51473222N n n n n =++++-=-()()2,6159432N n n n n=++++-=-，从中不难发现其中的规律：(),N n k 就是表示以1为首相，()2k -为公差的等差数列前n 项的和，即有()()(),112122N n k k k =++-++⨯-+⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦()()112n k ++-⋅-⎡⎤⎣⎦()()11122n n k ++-⋅-⎡⎤⎣⎦=， 所以()()()101110124210,2410002N ++-⋅-⎡⎤⎣⎦==.28.已知矩形ABCD 的周长为18，把它沿图中的虚线折成正六棱柱，当这个正六棱柱的体积最大时，它的外接球的表面积为 ．28.13π 设正六棱柱的的底面边长为x ，高为y ，则69x y +=，所以302x <<，正六棱柱的体积223333()6(96)42V x x y x x =⨯=-，2'()273()V x x x =-，令2'()273()0V x xx =->，解得01x <<，令2'()273()0V x x x =-<得312x <<，即函数()V x 在(0,1)是增函数，在3(1,)2是减函数，所以()V x 在1x =时取得最大值，此时3y =.易知正六棱柱的外接球的球心是其上下中心连线的中点，如图所示，外接球的半径为2213(),22y OE x =+=所以外接球的表面积为2413.S R ππ==29.我们把离心率215+=e 的双曲线()0,012222>>=-b a b y a x 称为黄金双曲线．如图是双曲线()222222,0,01b a c b a by a x +=>>=-的图象，给出以下几个说法： ①双曲线115222=+-y x 是黄金双曲线；②若ac b =2，则该双曲线是黄金双曲线；③若21,F F 为左右焦点，21,A A 为左右顶点，1B （0，b ），2B （0，﹣b ）且021190=∠A B F ，则该双曲线是黄金双曲线；④若MN 经过右焦点2F 且21F F MN ⊥，090=∠MON ，则该双曲线是黄金双曲线． 其中正确命题的序号为 _________ ．29.①②③④对于①，215,122+==b a ，则235222+=+=b a c ，2222215235⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+==a c e ，215+=∴e ，所以双曲线是黄金双曲线；对于②，ac a c b =-=222，整理得012=--e e解得251+=e ，所以双曲线是黄金双曲线；对于③()2221222212211,,2c a A F a b A B b c B F +=+=+=，由勾股定理得()22222c a a b b c +=+++，整理得ac b =2由②可知251+=e 所以双曲线是黄金双曲线；对于④由于()0,2c F ，把c x =代入双曲线方程得12222=-by a c ，解得a b y 2±=，a b NF 22=，由对称关系知2ONF ∆为等腰直角三角形，a b c 2=∴，即ac b =2，由①可知251+=e 所以双曲线是黄金双曲线.30.设函数()y f x =的定义域为D ，如果存在非零常数T ，对于任意x D ∈，都有()()f x T T f x +=⋅，则称函数()y f x =是“似周期函数”，非零常数T 为函数()y f x =的“似周期”．现有下面四个关于“似周期函数”的命题：①如果“似周期函数”()y f x =的“似周期”为-1，那么它是周期为2的周期函数； ②函数()f x x =是“似周期函数”； ③函数-()2xf x =是“似周期函数”；④如果函数()cos f x x ω=是“似周期函数”，那么“,k k ωπ=∈Z ”． 其中是真命题的序号是 ．（写出所有．．满足条件的命题序号） 30.①③④①如果“似周期函数”()y f x =的“似周期”为-1，则)()1(x f x f -=-，则)()1()2(x f x f x f =--=-，所以它是周期为2的周期函数；②假设函数()f x x =是“似周期函数”，则存在非零常数T ，使)()(x Tf T x f =+对于R x ∈恒成立，即Tx T x =+，即0)1(=--T x T 恒成立，则1=T 且0=T ,显然不成立；③设x T x T -+-⋅=22)(，即T T =-2,易知存在非零常数T ，使T T =-2成立，所以函数-()2x f x =是“似周期函数”；④如果函数()cos f x x ω=是“似周期函数”，则x T T x T x ωωωωcos )cos()(cos =+=+，由诱导公式，得，当1=T 时，Z k k ∈=,2πω,当1-=k 时，Z k k ∈+=,)12(πω,所以“,k k ωπ=∈Z ”； 故选①③④. 三、解答题31.设函数π()4cos sin()33f x x x =-+，x ∈R .（Ⅰ）当π[0,]2x ∈时，求函数()f x 的值域；（Ⅱ）已知函数()y f x =的图象与直线1y =有交点，求相邻两个交点间的最短距离. 解析：（Ⅰ）解：因为13()4cos (sin cos )322f x x x x =-+ 3cos 32cos sin 22+-=x x x x x 2cos 32sin -==π2sin(2)3x -，因为 π02x ≤≤， 所以ππ2π2333x --≤≤， 所以 sin(3π2)123x --≤≤， 即3()2f x -≤≤， 其中当5π12x =时，()f x 取到最大值2；当0x =时，()f x 取到最小值3-，所以函数()f x 的值域为[3,2]-. （Ⅱ）依题意，得π2sin(2)13x -=，π1sin(2)32x -=， 所以ππ22π36x k -=+ 或 π5π22π36x k -=+， 所以ππ4x k =+ 或 7ππ12x k =+()k ∈Z ， 所以函数()y f x =的图象与直线1y =的两个相邻交点间的最短距离为π3. 32. (文)某车间将10名技工平均分成甲、乙两组加工某种零件，在单位时间内每个技工加工的合格零件数的统计数据的茎叶图如图所示.已知两组技工在单位时间内加工的合格零件平均数都为10.8709201012n m 甲组乙组（1）分别求出m ，n 的值；（2）分别求出甲、乙两组技工在单位时间内加工的合格零件的方差2s 甲和2s 乙，并由此分析两组技工的加工水平；（3）质检部门从该车间甲、乙两组技工中各随机抽取一名技工，对其加工的零件进行检测，若两人加工的合格零件个数之和大于17，则称该车间“质量合格”，求该车间“质量合格”的概率.（注：方差2222121=[()()()]n s x x x x x x n-+-+-+，其中x 为数据12,,,n x x x 的平均数）.解析：（1）根据题意可得：10)10121087(51=+++++=m x 甲，∴3=m ，10)1211109(51=++++=n x 乙，∴8=n ；（2）根据题意可得：2222221[(710)(810)(1010)(1210)(1310)] 5.25s =-+-+-+-+-=甲，2222221[(810)(910)(1010)(1110)(1210)]25s =-+-+-+-+-=乙，∵乙甲x x =，22乙甲s s <，∴甲乙两组的整体水平相当，乙组更稳定一些；（3）质监部门从该车间甲、乙两组技工中各随机抽取一名技工，对其加工的零件进行检测，设两人加工的合格零件数分别为),(b a ，则所有的),(b a 有)8,7(，)9,7(，)10,7(，)11,7(，)12,7(，)8,8(，)9,8(，)10,8(，)11,8(，)12,8(，)8,10(，)9,10(，(10,10)，(10,11)，(10,12)，(12,8)，(12,9)，(12,10)，(12,11)，(12,12)，(138)，，(13,9)，(13,10)，(13,11)，(13,12)，共计25个，而17a b +≤的基本事件有)8,7(，)9,7(，)10,7(，)8,8(，)9,8(，共计5个基本事件，故满足17a b +>的基本事件共有25520-=，即该车间“质量合格”的基本事件有20个，故该车间“质量合格”的概率为204255=. （理）在科普知识竞赛前的培训活动中，将甲、乙两名学生的6次培训成绩（百分制）制成如图所示的茎叶图：(Ⅰ)若从甲、乙两名学生中选择1人参加该知识竞赛，你会选哪位？请运用统计学的知识说明理由；(Ⅱ)若从学生甲的6次培训成绩中随机选择2个，记选到的分数超过87分的个数为ξ，求ξ的分布列和数学期望．解析：(Ⅰ)学生甲的平均成绩687679868895826x +++++==甲，学生乙的平均成绩717582848694826x +++++==乙，又22222221[(6882)(7682)(7982)(8682)(8882)(9582)]776s =-+-+-+-+-+-=甲，22222221167[(7182)(7582)(8282)(8482)(8682)(9482)]63s =-+-+-+-+-+-=乙， 则x x =甲乙，22s s >甲乙，说明甲、乙的平均水平一样，但乙的方差小，则乙发挥更稳定，故应选择学生乙参加知识竞赛.(Ⅱ)ξ的所有可能取值为0，1，2，则24262(0)5C P C ξ===，1142268(1)15C C P C ξ===，22261(2)15C P C ξ===，ξ的分布列为 ξ12P25815115所以数学期望2812()012515153E ξ=⨯+⨯+⨯=．33.(文) 如图，已知三棱柱111ABC A B C -的侧棱与底面垂直，且90ACB ∠=，30BAC ∠=，1BC =，16AA =，点P 、M 、N 分别为1BC 、1CC 、1AB 的中点．（1）求证：//PN 平面ABC ； （2）求证：1A M ⊥面11AB C ；（1）证明：连接1CB ，P 是1BC 的中点 ，1CB ∴过点P ，N 为1AB 的中点，//PN AC ∴，又AC ⊂面ABC ，PN ⊄面ABC ，//PN ∴平面ABC ；（2）证明：连结1AC ，连接1AC ，在直角ABC ∆中，1BC =，30BAC ∠=，113AC AC ∴==，1111112CC ACAC MC ==，111~Rt AC M Rt C CA ∴∆∆，11AMC CAC ∴∠=∠，1111190AC C CAC AC C AMC ∴∠+∠=∠+∠=，即11AC A M ⊥，1111B C C A ⊥，111CC B C ⊥，且1111C A CC C =， 11B C ∴⊥平面11AAC C ，111B C A M ∴⊥，又1111AC B C C =，故1A M ⊥平面11AB C ；(理) 如图，已知四棱锥P ABCD -的底面为菱形，120BCD ∠=，2AB PC ==，2AP BP ==.（Ⅰ）求证：AB PC ⊥；（Ⅱ）求二面角B PC D --的余弦值.解析：（Ⅰ）证明：取AB 的中点O ，连接,PO CO AC ，． ∵AP BP =，∴PO AB ⊥又四边形ABCD 是菱形，且120BCD ∠=︒， ∴ACB V 是等边三角形，∴CO AB ⊥ 又CO PO O =I ，∴AB PCO ⊥平面， 又PC PCO ⊂平面，∴AB PC ⊥（Ⅱ）由2AB PC ==，2AP BP ==，易求得1PO =，3OC =，∴222OP OC PC +=，OP OC ⊥以O 为坐标原点，以OC ，OB ，OP 分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直坐标系O xyz -， 则(0,1,0)B ，(3,0,0)C ，(0,0,1)P ，(3,2,0)D -，ADCBP∴(3,1,0)BC =-，(3,0,1)PC =-，(0,2,0)DC =设平面DCP 的一个法向量为1(1,,)n y z =，则1n PC ⊥，1n DC ⊥，∴113020n PC z n DC y ⎧⋅=-=⎪⎨⋅==⎪⎩，∴3z =，0y =，∴1(1,0,3)n = 设平面BCP 的一个法向量为2(1,,)n b c =，则2n PC ⊥，2n BC ⊥，∴223030n PC c n BC b ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=-=⎪⎩，∴3c =，3b =，∴2(1,3,3)n = ∴121212427cos ,7||||27n n n n n n ⋅<>===⋅⨯， ∵二面角B PC D --为钝角，∴二面角B PC D --的余弦值为277-. 34.在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为c b a ,,，满足1=c ， 且()()0cos sin sin cos =+-+B A B a C B . （1）求角C 的大小；（2）求22b a +的最大值，并求取得最大值时角,A B 的值.解析：（1）由()()0cos sin sin cos =+-+B A B a C B ， 可得()0cos sin sin cos =--C B a C B ，即C a A cos sin =，又1=c ，所以C a A c cos sin =， 由正弦定理得C A A C cos sin sin sin =，因为π<<A 0，所以>A sin 0，从而C C cos sin =，即4π=C .（2）由余弦定理222cos 2c C ab b a =-+，得1222=-+ab b a ，又222b a ab +≤，所以()122122≤+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-b a ，于是2222+≤+b a ， 当π83==B A 时，22b a +取到最大值22+.35.如图，1F 、2F 为椭圆2222:1x y C a b+=的左、右焦点，D 、 E 是椭圆的两个顶点，椭圆的离心率32e =，2312DEF S ∆=-．若00(,)M x y 在椭圆C 上，则点00(,)x y N a b 称为点M 的一个“好点”．直线l 与椭圆交于A 、B 两点， A 、B 两点的“好点”分别为P 、Q ，已知以PQ 为直径的圆经过坐标原点．（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）AOB ∆的面积是否为定值？若为定值，试求出该定值；若不为定值，请说明理由． 解析：（Ⅰ）由题意得32c e a ==，故32c a =，12b a =．22113133()()(1)12222422DEF a S a c b a a a ∆=-⨯=-⨯=-=-， 故24a =，即2a =，所以112b a ==，3c = 故椭圆的标准方程为：2214x y +=． （Ⅱ）设11(,)A x y 、22(,)B x y ，则11(,)2x P y 、21(,)2xQ y ． ①当直线AB 的斜率不存在时，即12x x =，12y y =-， 由以PQ 为直径的圆经过坐标原点可得OP OQ ⊥，即221211210224x x x y y y ⨯+=-=，解得22114x y =， 又点11(,)A x y 在椭圆上，所以2211414y y +=，解得112||,||22y x ==， 所以1121||||12AOB S x y y ∆=⨯-=． ②当直线AB 的斜率存在时，设其方程为y kx m =+．由2214y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消y 得，222(41)8440k x kmx m +++-=由根与系数的关系可得122841kmx x k -+=+，21224441m x x k -=+由以PQ 为直径的圆经过坐标原点可得OP OQ ⊥，即1212022x x y y ⋅+⋅=， 即121204x x y y +=． 故221212121214()()()44x x k kx m kx m x x km x x m ++++=+++ 222221444844141k m km mk m k k +--=⨯+⨯+++2222821041k m m k =--=+整理得2222(21)(41)80m k k m -+-=，即222410m k --=．所以22412k m +=．而222212121222844||()4()44141km m x x x x x x k k ---=+-=-⨯++222216(41)(41)k m k =+-+ 故222212241||1||4141k AB k x x k m k +=+-=+-+而点O 到直线AB 的距离2||1m d k=+，所以222221141||||4122411AOBk m S AB d k m k k∆+=⨯=⨯+-⨯++2222222||2||4121412m m k m m m k m=+-=-=+． 综合①②可知AOB ∆的面积为定值1．36.（文）在四棱锥E ABCD -中，底面ABCD 是正方形，AC 与BD 交于点,O EC ⊥底面ABCD ，F 为BE 的中点.(1)求证：//DE 平面ACF ；(2)若2AB CE =，在线段EO 上是否存在点G ，使CG ⊥平面BDE ？若存在，求出EGEO的值；若不存在，请说明理由. 解析：（1）证明：连接OF由四边形ABCD 是正方形可知，点O 为BD 的中点 又F 为BE 的中点，所以//OF DE 又OF ⊂平面ACF ，DE ⊄平面ACF所以//DE 平面ACF (2)解法一：若CG ⊥平面BDE ，则必有CG OE ⊥ 于是作CG OE ⊥于点G由EC ⊥底面ABCD ，所以BD EC ⊥，又底面ABCD 是正方形 所以BD AC ⊥，又EC AC C ⋂=，所以BD ⊥平面ACE 而CG ⊂平面ACE ，所以CG BD ⊥又OE BD O ⊥=，所以CG ⊥平面BDE 又2AB CE =，所以22CO AB CE == 所以G 为EO 的中点，所以12EG EO = 解法二：取EO 的中点G ，连接CG ，在四棱锥E ABCD -中 2AB CE =，22CO AB CE ==，所以CG EO ⊥ 又由EC ⊥底面ABCD ，BD ⊂底面ABCD ，所以EC BD ⊥ 由四边形ABCD 是正方形可知，AC BD ⊥ 又AC EC C ⋂=所以BD ⊥平面ACE而BD ⊂平面BDE所以，平面ACE ⊥平面BDE ，且平面ACE ⋂平面BDE EO =因为CG EO ⊥，CG ⊂平面ACE ，所以CG ⊥平面BDE 故在线段EO 上存在点G ，使CG ⊥平面BDE 由G 为EO 的中点，得12EG EO = (理) 已知正四棱柱1111ABCD A B C D -中，12,4==AB AA . （1）求证：1BD AC ⊥；（2）求二面角11--A AC D 的余弦值；（3）在线段1CC 上是否存在点P ，使得平面11ACD ⊥平面PBD ，若存在，求出1CPPC 的值；若不存在，请说明理由.证明：（1）因为1111ABCD A B C D -为正四棱柱，所以1AA ⊥平面ABCD ，且ABCD 为正方形. 因为BD ⊂平面ABCD ，所以1,BD AA BD AC ⊥⊥. 因为1AA AC A =,所以BD ⊥平面1A AC . 因为1AC ⊂平面1A AC , 所以1BD AC ⊥.（2）如图，以D 为原点建立空间直角坐标系-D xyz .则11(0,0,0),(2,0,0),(2,2,0),(0,2,0),(2,0,4),(2,2,4),D A B C A B 11(0,2,4),(0,0,4)C D所以111(2,0,0),(0,2,4)D A DC ==-u u u u r u u u r . 设平面11A D C 的法向量111(,,)x y z =n .所以 1110,0D A D C ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩uuuu ruuu r n n .即1110,240x y z =⎧⎨-=⎩ 令11z =，则12y =. 所以(0,2,1)=n .由（1）可知平面1AAC 的法向量为(2,2,0)DB =u u u r. 所以410cos ,5522DB <>==⋅uu u rn . 因为二面角11--A AC D 为钝二面角，所以二面角11--A AC D 的余弦值为105-. （3）设222(,,)P x y z 为线段1CC 上一点,且1(01)CP PC λλ=≤≤uu r uuu r.因为2221222(,2,),(,2,4)CP x y z PC x y z =-=---uu r uuu r.所以222222(,2,)(,2,4)x y z x y z λ-=---.即22240,2,1x y z λλ===+. 所以4(0,2,)1P λλ+. 设平面PBD 的法向量333(,,)x y z =m .因为4(0,2,),(2,2,0)1DP DB λλ==+uu u r uu ur ， 所以 0,0DP DB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩uu u r uu u rm m .即3333420,1220y z x y λλ⎧+=⎪+⎨⎪+=⎩. 令31y =，则3311,2x z λλ+=-=-. 所以1(1,1,)2λλ+=--m . 若平面11ACD ⊥平面PBD ，则0⋅=m n . 即1202λλ+-=，解得13λ=.所以当113CP PC =时，平面11ACD ⊥平面PBD . 37. 设*n ∈N ，函数ln ()n x f x x =，函数e ()xn g x x=，(0,)x ∈+∞.（Ⅰ）当1n =时，写出函数()1y f x =-零点个数，并说明理由；（Ⅱ）若曲线()y f x =与曲线()y g x =分别位于直线1l y =：的两侧，求n 的所有可能取值. 解析：（Ⅰ）证明：结论：函数()1y f x =-不存在零点. 当1n =时，ln ()x f x x =，求导得21ln ()x f x x -'=， 令()0f x '=，解得x e =. 当x 变化时，()f x '与()f x 的变化如下表所示：x(0,)ee(,)e +∞()f x '+ 0-()f x↗ ↘所以函数()f x 在(0,)e 上单调递增，在(,)e +∞上单调递减， 则当x e =时，函数()f x 有最大值1()f e e=. 所以函数()1y f x =-的最大值为1(e)110ef -=-<， 所以函数()1y f x =-不存在零点. （Ⅱ）解：由函数ln ()n x f x x =求导，得 11ln ()n n xf x x+-'=， 令()0f x '=，解得1e nx =. 当x 变化时，()f x '与()f x 的变化如下表所示：x1(0,e )n1e n1(e ,)n+∞()f x ' +0 -()f x↗↘所以函数()f x 在1(0,)n e 上单调递增，在1(,)ne +∞上单调递减， 则当1nx e =时，函数()f x 有最大值11()nf e ne=； 由函数()x n e g x x =，(0,)x ∈+∞求导，得 1e ()()x n x n g x x +-'=，令 ()0g x '=，解得x n =. 当x 变化时，()g x '与()g x 的变化如下表所示：x(0,)nn(,)n +∞()g x ' -0 +()g x↘↗所以函数()g x 在(0,)n 上单调递减，在(,)n +∞上单调递增，则当x n =时，函数()g x 有最小值()()ne g n n=.因为*n ∀∈N ，函数()f x 有最大值11(e )1enf n =<， 所以曲线ln n x y x =在直线1l y =：的下方，而曲线xn e y x=在直线1l y =：的上方，所以e()1nn>，解得e n <. 所以n 的取值集合为{1,2}.38.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，10a =，1231n n a a a a n a ++++++=，*n ∈N ．（Ⅰ) 求证：数列{1}n a +是等比数列；（Ⅱ) 设数列{}n b 的前n 项和为n T ，11b =，点1(,)n n T T +在直线112x y n n -=+上，若不等式1212911122n n nb b bm a a a a +++≥-++++对于*n ∈N 恒成立，求实数m 的最大值． 解析：（Ⅰ)由1231n n a a a a n a ++++++=，得12311(2)n n a a a a n a n -+++++-=≥ ，两式相减得121n n a a +=+， 所以112(1)n n a a ++=+ （2n ≥)，因为10a =，所以111a +=，2111a a =+=，2112(1)a a +=+ 所以{1}n a +是以1为首项，公比为2的等比数列 （Ⅱ)由（Ⅰ)得121n n a -=-，因为点1(,)n n T T +在直线112x y n n -=+上，所以1112n n T T n n +-=+， 故{}n T n 是以111T =为首项，12为公差的等差数列，则11(1)2n T n n =+-，所以(1)2n n n T +=， 当2n ≥时，1(1)(1)22n n n n n n n b T T n -+-=-=-=， 因为11b =满足该式，所以n b n =所以不等式1212911122n n nb b bm a a a a +++≥-++++， 即为2123912222n n n m -+++≥-， 令21231222n n n R -=+++，则23112322222n n nR =+++， 两式相减得231111112(1)122222222n n n nn n R -+-=++++-=-， 所以1242n n n R -+=- 由92n nR m ≥-恒成立，即2542n n m --≥恒成立， 又11232527(4)(4)222n n n n n n ++------=， 故当3n ≤时，25{4}2n n --单调递减；当3n =时，323531428⨯--=； 当4n ≥时，25{4}2n n --单调递增；当4n =时，4245614216⨯--=； 则2542n n --的最小值为6116，所以实数m 的最大值是611639.已知抛物线21:2C y px =上一点()03M y ，到其焦点F 的距离为4；椭圆()2222210y x C a b a b +=>>：的离心率22e =，且过抛物线的焦点F .（I ）求抛物线1C 和椭圆2C 的标准方程；（II ）过点F 的直线1l 交抛物线1C 于A 、B 两不同点，交y 轴于点N ，已知NA AF NB BF λμ==，，求证：λμ+为定值.（III ）直线2l 交椭圆2C 于P ，Q 两不同点，P ，Q 在x 轴的射影分别为P '，Q '，10OP OQ OP OQ ''⋅+⋅+=，若点S 满足：O S O P O Q =+，证明：点S 在椭圆2C 上.解析：（Ⅰ）抛物线21:2C y px =上一点0(3,)M y 到其焦点F 的距离为4； 抛物线的准线为2px =-抛物线上点0(3,)M y 到其焦点F 的距离||MF 等于到准线的距离d 所以342pd =+=,所以2p = 抛物线1C 的方程为24y x =椭圆22222:1(0)y x C a b a b +=>>的离心率22e =,且过抛物线的焦点(1,0)F所以1b =，22222112c a e a a-===,解得22a = 所以椭圆的标准方程为22121y x += (Ⅱ)直线1l 的斜率必存在,设为k ,设直线l 与椭圆2C 交于1122(,),(,)A x y B x y 则直线l 的方程为(1)y k x =-, (0,)N k -联立方程组:24(1)y xy k x ⎧=⎨=-⎩所以2222(24)0k x k x k -++=216160k ∆=+>,所以212212241k x x k x x ⎧++=⎪⎨⎪=⎩ (*)由,NA AF NB BF λμ==得:1122(1),(1)x x x x λλ-=-=得: 1212,11x xx x λμ==-- 所以121221121212121212(1)(1)211(1)(1)1()x x x x x x x x x x x x x x x x x x λμ-+-+-+=+==-----++ 将(*)代入上式,得12121212211()x x x x x x x x λμ+-+==--++(Ⅲ)设(,),(,)p p Q Q P x y Q x y所以(,)p Q p Q S x x y y ++,则''(,0),(,0)P Q P x Q x由''10OP OQ OP OQ ⋅+⋅+=得21P Q P Q x x y y +=-(1)2212P P y x +=,(2) 2212QQ y x +=(3) (1)+(2)+(3)得:22()()12P Q P Q y y x x +++=即(,)p Q p Q S x x y y ++满足椭圆222:121y x C +=的方程 命题得证 40.（文）已知函数21()ln (1)(0)2f x a x x a x x =+-+>，其中a 为实数. （1）求函数()f x 的单调区间；（2）若函数()0f x ≥对定义域内的任意x 恒成立，求实数a 的取值范围. （3）证明，对于任意的正整数,m n ，不等式111ln(1)ln(2)ln()()nm m m n m m n ++>++++恒成立.解：（1）()(1)()(0)x a x f x x x--'=>当0a ≤时，()f x 在(0,1)上递减，在(1,)+∞上递增当01a <<时，()f x 在(0,)a ，(1,)+∞上递增，在(,1)a 上递减 当1a =时，()f x 在(0,)+∞上递增当1a >时，()f x 在(0,1)，(,)a +∞上递增，(1,)a 上递减（2）由（1）知当0a ≤时11()(1)0,22f x f a a ≥=--≥∴≤- 当0a >时，1(1)0,()02f a f x =--<∴≥不恒成立 综上：12a ≤-（3）由（2）知12a =-时，()0f x ≥恒成立 2111ln 0222x x x -+-≥ln (1)x x x ∴≤-当且仅当1x =时以“=”1x ∴>时，11ln (1),ln (1)x x x x x x <->- 1111ln(1)(1)1m m m m m ∴>=-+++ 1111ln(2)(1)(2)12m m m m m >=-+++++ ……1111ln()()(1)1m n m n m n m n m n >=-+++-+-+11111ln(1)ln(2)ln(1)()nm m m m m n m m n ∴+++>-=+++++ (理) 设函数2()ln(1)f x x m x =++．（1）若函数()f x 是定义域上的单调函数，求实数m 的取值范围；（2）若1m =-，试比较当(0,)x ∈+∞时，()f x 与3x 的大小；（3）证明：对任意的正整数n ，不等式201429(1)(3)2n n n n e e e e -⨯-⨯-+++++<成立． 解析：（1）∵222()211m x x mf x x x x ++'=+=++又函数()f x 在定义域上是单调函数. ∴ ()0f x '≥或()0f x '≤在(1,)-+∞上恒成立若()0f x '≥在(1,)-+∞上恒成立，即函数()f x 是定义域上的单调地增函数，则2211222()22m x x x ≥--=-++在(1,)-+∞上恒成立，由此可得12m ≥；若()0f x '≤在(1,)-+∞上恒成立，则()201mf x x x '=+≤+在(1,)-+∞上恒成立.即2211222()22m x x x ≤--=-++在(1,)-+∞上恒成立.∵2112()22x -++在(1,)-+∞上没有最小值 ∴不存在实数m 使()0f x '<在(1,)-+∞上恒成立.综上所述，实数m 的取值范围是1[,)2+∞.（2）当1m =-时，函数2()ln(1)f x x x =-+. 令332()()ln(1)g x f x x x x x =-=-+-+则32213(1)()3211x x g x x x x x +-'=-+-=-++ 显然，当(0,)x ∈+∞时，()0g x '<， 所以函数()g x 在(0,)+∞上单调递减又(0)0g =，所以，当(0,)x ∈+∞时，恒有()(0)0g x g <=， 即3()0f x x -<恒成立.故当(0,)x ∈+∞时，有3()f x x < （3）数学归纳法证明：1、当1=n 时，左边=10=e ，右边=2241=⨯，原不等式成立. 2、设当k n =时，原不等式成立，即2)3(2)1(92410+<++++⨯-⨯-⨯-k k e e ee k k 则当1+=k n 时，左边=222)1()1()11()1(924102)3(=⨯-+⨯--⨯-⨯-⨯-++<+++++k k k k k k e k k e e e ee 只需证明2)4()1(2)3(2)1(+⨯+<+++⨯-k k e k k k k 即证22)1(+<+⨯-k e k k 即证)2ln()1(2+<+⨯-k k k由（2）知),0(),1ln(32+∞∈+<-x x x x 即),1ln()1(2+<-x x x令1+=k x ，即有)2ln()1(2+<+⨯-k k k所以当1+=k n 时成立 由1、2知，原不等式成立补充试题1. 平面四边形ABCD 中，1AB AD CD ===,2BD =,BD CD ⊥,将其沿对角线BD 折成四面体A BCD '-,使平面A BD '⊥平面BCD ，若四面体A BCD '-的顶点在同一个球面上，则该球的体积为 （ ） （A ）32π （B ）3π （C ）23π （D ）2π 1.A 根据题意，如图，可知Rt A BD '∆中，1,2AB AD BD ===，在Rt BCD ∆中，2,1,3BD CD BC ===,又因为平面A BD '⊥平面BCD ，所以球心就是BC 的中点，半径为32r =，所以球的体积为：34332V r ππ==．2.在直角梯形ABCD 中，//AB CD ，090ABC ∠=，22AB BC CD ==，则cos DAC ∠=（ ）（A ）1010 （B ）31010（C ）55 （D ）2552.B 由已知条件可得图象如下，在ACD ∆中，2222cos CD AD AC AD AC DAC =+-⨯⨯∠，∴222(2)(5)225cos a a a a a DAC =+-⨯⨯⨯∠，∴310cos 10DAC ∠=.3. 如图是一个空间几何体的三视图，该几何体的外接球的体积记为1V ，俯视图绕底边所在直线旋转一周形成的几何体的体积记为2V ,则12:V V =（ ） （A ）122（B ）82（C ）62( D ）423.D 三视图复原的几何体如图， 它是底面为等腰直角三角形，一条侧棱垂直底面的一个顶点，它的外接球，就是扩展为长方体的外接球，外接球的直径是22，该几何体的外接球的体积1V =()3482233ππ=，2V =21221133ππ⎛⎫⨯⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭ ， ∴ 12:V V =822:4233ππ=，故选D．4. 设函数()f x 的定义域为D ，如果x D y D ,∀∈∃∈，使得()()f x fy =-成立，则称函数()fx 为“Ω函数” 给出下列四个函数：①yx =sin ；②2xy =；③11y x =-；④()ln f x x =, 则其中“Ω函数”共有（ ）（A ）1个 （B ）2个 （C ）3个 （D ）4个 4.C x D y D ,∀∈∃∈，使得()()fx fy =-，等价于x D y D ,∀∈∃∈，使得()()0f x f y +=成立①因为sin y x =是奇函数，所以()()f x f x =--，即当y x =-时，()()f x fy =-成立，故sin y x =是“Ω函数”；②因为20xy =>，故()()0f x f y +=不成立，所以2xy =不是“Ω函数”；③11y x =-时，若()()0f x f y +=成立，则11011x y +=--，整理可得()2,1y x x =-≠即当()2,1y x x =-≠时，()()0f x f y +=成立，故11y x =-是“Ω函数”；。