特殊形式的一元一次方程及特法
特殊的一元一次方程
特殊的一元一次方程一元一次方程是初中数学中最基础的概念之一，它是指一个未知数的最高次数为一的代数方程。
一般来说，一元一次方程的解是唯一的，但是在某些特殊情况下，我们会遇到一些特殊的一元一次方程，使得解可以有不止一个。
本文将以“特殊的一元一次方程”为中心，详细阐述这些特殊情况，并探讨其背后的数学原理。
首先，让我们来看一个简单的一元一次方程：2x+1=5。
这个方程中，未知数x的系数是2，常数项是1，等式右边的值是5。
我们可以通过移项和化简的方法求解这个方程，得到x=2。
这是一个典型的一元一次方程的解，也是唯一的解。
然而，当方程中存在特殊的情况时，解就会变得不唯一。
例如，考虑方程2x+1=2x+3。
这个方程中，未知数x的系数相等，且常数项也相等，即左右两边的式子完全相同。
在这种情况下，方程的解是任意的，可以是任何一个实数。
这是因为方程两边的式子完全相同，无论x取什么值，等式都成立。
另一个特殊情况是方程中的系数为0。
考虑方程0x+5=0。
在这个方程中，未知数x的系数为0，即方程可以简化为5=0。
这个方程显然没有解，因为5和0不相等。
这是一个矛盾的方程，表示方程的左右两边永远不会相等。
除了以上两种特殊情况，还有一种特殊的一元一次方程是无解的。
考虑方程2x+1=2x+2。
这个方程中，未知数x的系数相等，但常数项不相等。
通过移项和化简的方法，我们可以得到0=1，这是一个明显的矛盾。
所以，这个方程没有解。
以上这些特殊的一元一次方程展示了方程解的多样性。
正常情况下，一元一次方程的解是唯一的，但在特殊情况下，解可以有不止一个，甚至可能没有解。
这是因为特殊的条件使方程的等式左右两边变得特殊，从而产生了特殊的解。
对于这些特殊的一元一次方程，我们可以通过数学原理来解释其背后的原因。
例如，当方程两边的式子完全相同时，我们可以将方程化简为0=0，这是一个恒等式，意味着任何实数都是它的解。
当方程中的系数为0时，无论未知数取什么值，方程的左边都永远是0，与右边的值不相等，所以方程没有解。
专项练习解一元一次方程的技巧
专项练习解一元一次方程的技巧解一元一次方程时，一般按五个步骤进行，但有些方程按常规的解法却十分烦琐，假设能抓住方程的特殊结构，灵活运用性质，就能使解方程的过程变得简洁明快．下面就介绍几种，供同学们学习参考．► 技巧一 用等式的性质2或分配律解含多重括号的一元一次方程 含多重括号的一元一次方程的常规解法是从里到外去括号，即先去小括号，再去中括号等．对于特殊的含多重括号的一元一次方程，可以采用以下方法求解：(1)用等式的性质2从外到内逐层去括号；(2)用分配律从外到内逐层去括号．1．解方程：13⎣⎢⎡⎦⎥⎤34⎝ ⎛⎭⎪⎫x －32＋4＋6＝5. 2．解方程：43[34(15x －2)－6]＝1.(用分配律去括号) 3．解方程：17[15(x ＋23＋4)＋6]＝1.(用等式的性质2去括号)► 技巧二 用〝整体法〞解一元一次方程4．在解方程3(x ＋1)－13(x －1)＝2(x －1)－12(x ＋1)时，我们可以将(x ＋1)，(x －1)各看成一个整体进行移项、合并同类项，得到72(x ＋1)＝73(x －1)，再去分母，得3(x ＋1)＝2(x －1)，进而求得方程的解为x ＝－5，这种方法叫整体求解法.请用这种方法解方程：5(2x ＋3)－34(x －2)＝2(x －2)－12(2x ＋3). 5．对于方程43(x －1)－1＝13(x －1)＋4，提供以下解法：①去括号，②去分母，③把(x －1)当作一个整体并进行移项．其中最正确的解法是________．(填序号)6．解方程：3{2x －1－[3(2x －1)＋3]}＝5.7．解方程：5(2x ＋1)－3(22x ＋11)＝120＋4(6x ＋3)．► 技巧三 用〝拆项法〞解一元一次方程含分母的一元一次方程的常规解法是去分母，但也可以根据〝b ＋c a ＝b a ＋c a 〞将分子是和的形式的分数拆成两部分，然后求解．因为这种解法的第一步是拆项，所以称此法为〝拆项法〞．8．用〝拆项法〞解以下方程： (1)4x －23＋5－2x 6＝2x ＋17； (2)y 5－y －12＝1－y ＋25.► 技巧四 先通分，后去分母解一元一次方程 9．解方程：8－6x 15－1－x 6＝－2x －15＋2x ＋118. 10．解方程：12x －1021－8x －914＝2－x 15－7x －920.。
含参数一元一次方程【精】
含参数一元一次方程【精】引言含参数一元一次方程是指方程中包含一个或多个参数的一元一次方程。
参数是未知数的某种规定值，通过给参数赋予不同的值，可以得到不同的方程。
在解含参数一元一次方程时，要将参数视为常数，先求相应参数下的特殊方程的解，然后分析参数的取值范围，得到方程的解的条件。
方程的基本形式含参数一元一次方程的基本形式为：ax + b = 0，其中a和b为已知常数，x为未知数。
求解含参数一元一次方程的步骤1. 对于给定的参数值，将方程化为一元一次方程。
2. 求解得到一元一次方程的解。
3. 分析参数的取值范围，得到方程的解的条件。
示例假设我们要求解含参数的一元一次方程：ax + b = 0，其中a是一个参数。
下面是对于不同参数值的求解步骤：当a = 0时方程化为：0x + b = 0，即b = 0。
此时方程的解是：x = 0。
当a ≠ 0时方程化为：ax + b = 0。
移项得到：x = -b/a。
这就是方程的解。
参数的取值范围在解含参数一元一次方程时，要考虑参数的取值范围。
对于不同的参数取值，方程可能有不同的解。
结论含参数一元一次方程是一种特殊的一元一次方程，通过对参数的赋值，可以得到不同的方程。
在解含参数一元一次方程时，要将参数视为常数，并考虑参数的取值范围，得到方程的解的条件。
参考文献- 张宪田，冯寄洲，李青，等. 初中代数（下册）[M]. 北京：人民教育出版社，2006.- 张宪田，冯寄洲，李青，等. 高中数学（下册）[M]. 北京：人民教育出版社，2006.。
初中数学复习解方程的常用方法总结
初中数学复习解方程的常用方法总结解方程是初中数学中的重要内容，掌握解方程的方法可以帮助我们快速解决数学问题。
本文将总结初中数学中常用的解方程方法，帮助同学们更好地复习和掌握解方程的技巧。
一、一元一次方程一元一次方程是最基础的方程形式，通常可以表示为ax+b=0。
解一元一次方程的方法有两种：移项法和等式两边乘除法。
1. 移项法移项法适用于形如ax+b=0的方程。
我们可以通过将b移到方程的另一边，得到ax=-b。
然后，用x除以a，即可求得解x=-b/a。
举例说明：解方程2x+3=7首先，将3移到方程的另一边，得到2x=7-3=4。
然后，用x除以2，得到x=4/2=2。
所以，方程2x+3=7的解为x=2。
2. 等式两边乘除法等式两边乘除法适用于形如ax=b的方程。
我们可以通过等式两边乘以倒数或除以系数，来求解方程。
举例说明：解方程3x=9首先，将等式两边除以3，得到x=9/3=3。
所以，方程3x=9的解为x=3。
二、一元二次方程一元二次方程是比较复杂的方程形式，通常可以表示为ax^2+bx+c=0。
解一元二次方程的方法有因式分解法和配方法。
1. 因式分解法因式分解法适用于一元二次方程可以因式分解为两个一次因式的情况。
我们可以通过将方程因式分解，使得每个因式等于零，从而得到解的值。
举例说明：解方程x^2-4x+3=0首先，我们需要找到方程的两个一次因式，满足(x+a)(x+b)=0，且a+b=-4，ab=3。
根据这两个条件，我们可以将3分解为1和3的组合，同时满足1+3=-4。
所以，方程x^2-4x+3=0可以化简为(x-1)(x-3)=0。
根据零乘法，得到x-1=0或x-3=0，即x=1或x=3。
所以，方程x^2-4x+3=0的解为x=1或x=3。
2. 配方法配方法适用于一元二次方程无法直接因式分解的情况。
我们可以通过配方，将方程形式转化为平方完成的形式，然后求解。
举例说明：解方程x^2-9x+14=0首先，我们需要找到一个常数k，使得方程中的二次项和常数项满足(kx-a)(kx-b)=0。
比较难的一元一次方程
比较难的一元一次方程一元一次方程是初中数学中的基础知识，虽然在学习过程中会遇到一些简单的一元一次方程，但也有一些比较难的一元一次方程需要我们运用一些特殊的解题方法和思路。
本文将围绕“比较难的一元一次方程”展开详细阐述，希望能引起读者的兴趣和共鸣。
一元一次方程是一个未知数的一次方程，通常可以表示为ax+b=0的形式，其中a和b为已知数，x为未知数。
我们的任务是求解方程中的未知数x的值。
对于一般的一元一次方程，我们可以通过移项、合并同类项、消元等方法来解题。
但对于比较难的一元一次方程，我们需要运用更高级的解题技巧。
首先，对于含有分数的一元一次方程，我们可以通过消去分母的方式来解题。
例如，对于方程(2/3)x-1/2=1/4，我们可以将方程两边乘以6，消去分母，得到4x-3=3/2。
接下来，我们可以通过移项将方程转化为整数形式，进而求解未知数x的值。
其次，对于含有绝对值的一元一次方程，我们可以通过分情况讨论的方式来解题。
例如，对于方程|2x-1|=3，我们可以分别讨论2x-1大于0和小于0的情况。
当2x-1大于0时，方程可简化为2x-1=3，解得x=2。
当2x-1小于0时，方程可简化为-(2x-1)=3，解得x=-1。
因此，该方程的解为x=-1和x=2。
另外，对于含有平方根的一元一次方程，我们可以通过平方的方式来解题。
例如，对于方程√(3x+1)=2，我们可以将方程两边进行平方，得到3x+1=4。
接下来，我们可以通过移项将方程转化为一元一次方程的形式，进而求解未知数x的值。
此外，对于含有开方的一元一次方程，我们可以通过变量代换的方式来解题。
例如，对于方程√(x+3)+√(x-1)=5，我们可以令y=x+3，将方程转化为√y+√(y-4)=5。
接下来，我们可以通过移项将方程转化为一元一次方程的形式，进而求解未知数y的值，再通过y=x+3的关系求解x的值。
最后，对于含有系数为参数的一元一次方程，我们可以通过参数的取值范围来求解未知数的值。
一元一次方程的解法
一元一次方程的解法在初中数学中，一元一次方程是我们学习的重要内容之一。
解一元一次方程是我们解决实际问题、进行数学推理的基础。
本文将介绍一元一次方程的解法，帮助中学生和他们的父母更好地理解和应用这一知识。
一元一次方程是指只含有一个未知数，并且未知数的最高次数为1的方程。
它的一般形式可以表示为：ax + b = 0，其中a和b为已知数，x为未知数。
解一元一次方程的关键是找到使等式成立的未知数的值。
一元一次方程的解法有多种，下面将介绍其中的两种常见方法。
方法一：等式两边同时加减同一个数当我们遇到一个一元一次方程时，可以通过等式两边同时加减同一个数，来逐步消去未知数的系数和常数项，最终得到未知数的值。
例如，我们考虑方程2x - 3 = 7。
为了消去常数项-3，我们可以在等式两边同时加上3，得到2x = 10。
接下来，我们再将方程两边同时除以系数2，即可得到x的值，即x = 5。
这种方法简单直观，适用于一些较为简单的方程。
但需要注意的是，当方程中含有分数或小数时，我们需要进行适当的化简和计算，确保结果的准确性。
方法二：倒数法倒数法是一种更加高效的解一元一次方程的方法。
它的基本思想是通过倒数的方式，将未知数的系数化为1，从而简化计算过程。
例如，我们考虑方程3x + 4 = 13。
为了将系数3化为1，我们可以将方程两边同时除以3，得到x + 4/3 = 13/3。
接下来，我们再将方程两边同时减去4/3，即可得到x的值，即x = 13/3 - 4/3 = 9/3 = 3。
倒数法的优势在于可以减少计算的步骤和复杂度，特别适用于系数较大或方程较复杂的情况。
除了以上两种常见的解法，还有一些特殊情况下的解法，如利用代数性质进行变形、利用图像法进行求解等。
这些方法在一些特殊问题中有着重要的应用，可以进一步提高解题的灵活性和准确性。
总结起来，解一元一次方程的关键是找到未知数的值，从而使等式成立。
通过等式两边同时加减同一个数或者利用倒数法，我们可以逐步消去未知数的系数和常数项，最终求得未知数的值。
特殊一元一次方程的特殊解法
解： 两边 同乘 以一 ８ ， 得 ＝ ２ Ｏ ．
二、 巧 用倒数 关 系
例 ２ 解 方 程 寻 ［ ｃ 丢 一 ÷ 一 ８ ］ ＝ ３ ＋ － ．
分析： 仔 细观察方 程可发现÷× ４ ： １ ， 从而可先去中 括号， 再去小 括
号， 使求 解过 程简 便 ． 解： 去 中括 号 ， 得（ ２ ４） 一 ６ ＝ 卅１ ．
去 小 括 号 ， 得 丢 一 ｛ 一 ６ ＝ 寻 ＋ １ ．
移 项 ， 得 ２ 一 ｌ ＋ ６ ＋ ÷ ．
ｏ—一
合 并 同 类 项 ， 得 － ７ ｛ ．
系数化为Ｉ ， 得 一７ ． ２ １ ＿ ．
４
三、 巧用 局 部通 分法
解 方 程 ＋ ７ ｘ － ９ ＝ 鲁＋ 百 ８ ｘ － ９ ．
故 １ ．
八、 保 留 小数
协 解 方程 － ６ ． ５ ＝ ＿ ７ ． ５
分 析 ： 将 右 边 的 约 分 后 使 分 母 变 为 ０ ． ０ １ ， 从 而 与 左 边 的 去 鲁
分母 相 同 ， 因而可 不去 分母 直接 求解 ． 解： 原方 程可 变形 为
一
旦
一 ６ ５ ：１ 一—
．
０． Ｏ１ ０． Ｏ１
一 ７ ． ５ ． ０． ０１
＝０． ８．
整理， 得
＝ 丽 ４
．
九、 保 留乘 号
例９ 解方 程 ＋ ５ ｘ＝ ３ ９ ８
．
分析 ： 去 分母 后方程 右 边 ￣３ ９ ８ ｘ ３ ９ ７ ， 此 时 不要急 于 把乘 积算 出来 ， 这 样 既可减 少运 算 次数 ， 又便 于约 去 公因数 ． 解： 去分 母 ， 得３ ９ ７ × ＋ ＝ ３ ９ ８ × ３ ９ ７ ．
第五章 一元一次方程 方法技巧 特殊一元一次方程的解题技巧 (课件)人教版(2024)数学七年级上册
例6 解方程：x3＋ x－5 2=337－6－153 x . 思路引导：
满分题溯源
解：原方程可化为3x＋ x－5 2=274＋x－5 2. 化简，得x3=274. 解得x=772.
满分题溯源
技巧 6 巧通分
解各项都含有分母的方程时，可将方程两边各自通 分，再去分母解方程.
满分题溯源
含有未知数的项与常数项. 按照解一元一次方程的一
般方法解方程，得到答案.
满分题溯源
解：原方程可变形为23x＋13－53x－16=1 .
移项，得23x－ 53x=1 －13＋16. 逆用同分母分数的加
合并同类项，得－x=56.
减法运算法则，将分 数化为含有未知数的 项与常数项.
两边都除以－1，得x=56.
第五章 一元一次方程
方法技巧 特殊一元一次方程的解题技巧
满分题溯源
荣老师告诉你 关于一元一次方程有很多解题技巧，特别是对于一些
具有特殊结构的一元一次方程，在解题过程中要注重对其 结构特征及规律的分析，巧妙运用分数、等式的基本性质 以及一些运算法则，往往会达到事半功倍的效果.
满分题溯源
技巧 1 巧移项
解题秘方：把分母由小数化为整数，按照解一元一次方程的一
般方法解方程，得到答案.
解：原方程可以化为5
x－10 2
－x＋320
=－1.
去分母，得3(5x－10)－2(x＋20)=－6.
去括号，得15x－30－2x－40=－6.
移项，得1 5x－2x=－6 ＋30 ＋40 .
合并同类项，得1 3x=64 .系数化为1，得x=6143．
满分题溯源
技巧 3 巧拆分
有些方程的某些项含有分母，且将含分母的项拆分 后，所得含未知数的项合并后的系数为整数. 解这类方程 时，要逆用同分母分数的加减法运算法则，将含分母的 项拆分成几个分数的和，再解拆分所得的方程.
专题06 一元一次方程(归纳与讲解)(解析版)
专题06 一元一次方程【专题目录】技巧1：巧用一元一次方程求字母系数的值技巧2：特殊一元一次方程的解法技巧【题型】一、一元一次方程概念【题型】二、一元一次方程的解法【题型】三、一元一次方程应用之配套问题和工程问题【题型】四、一元一次方程应用之销售盈亏问题【题型】五、一元一次方程应用之比赛积分问题【考纲要求】1、了解等式、方程、一元一次方程的概念，掌握等式的基本性质．2、掌握一元一次方程的标准形式，熟练掌握一元一次方程的解法．3、会列方程(组)解决实际问题.【考点总结】一、一元一次方程【注意】一元一次方程的特征1.只含有一个未知数x2.未知数x的次数都是13.等式两边都是整式，分母中不含未知数。
2．解一元一次方程的一般步骤：(1)去分母；(2)去括号； (3)移项； (4)合并同类项； (5)未知数的系数化为1. 【技巧归纳】技巧1：巧用一元一次方程求字母系数的值【类型】一、利用一元一次方程的定义求字母系数的值1．已知方程(m －2)x |m|－1＋16＝0是关于x 的一元一次方程，求m 的值及方程的解． 2．已知方程(3a ＋2b)x 2＋ax ＋b ＝0是关于x 的一元一次方程，求方程的解．3．已知(m 2－1)x 2－(m ＋1)x ＋8＝0是关于x 的一元一次方程，求式子199(m ＋x)(x －2m)＋9m ＋17的值．【类型】一、利用方程的解求字母系数的值 题型1：利用方程的解的定义求字母系数的值4．关于x 的方程a(x －a)＋b(x ＋b)＝0有无穷多个解，则( )A ．a ＋b ＝0B ．a －b ＝0C ．ab ＝0D .ab ＝05．关于x 的方程(2a ＋b)x －1＝0无解，则ab 是( )A ．正数B ．非正数C ．负数D ．非负数6．已知关于x 的方程9x －3＝kx ＋14有整数解，那么满足条件的整数k ＝__________． 7．已知x ＝12是方程6(2x ＋m)＝3m ＋2的解，求关于y 的方程my ＋2＝m(1－2y)的解．8．当m 取什么整数时，关于x 的方程12mx －53＝12⎝⎛⎭⎫x －43的解是正整数？ 题型2：利用两个方程同解或解具有已知倍数关系确定字母系数的值9．如果方程x －43－8＝－x ＋22的解与关于x 的方程2ax －(3a ＋5)＝5x ＋12a ＋20的解相同，确定字母a 的值．题型3：利用方程的错解确定字母系数的值10．小马虎解方程2x －13＝x ＋a2－1，去分母时，方程右边的－1忘记乘6，其他步骤都正确，这时方程的解为x ＝2，试求a 的值，并正确解方程． 参考答案1．解：由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧|m|－1＝1，m －2≠0，所以m ＝－2.将m ＝－2代入原方程，得－4x ＋16＝0，解得x ＝4.2.解：由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧3a ＋2b ＝0，a≠0，所以3a ＝－2b ，即a ＝－23b.当3a ＋2b ＝0时，原方程可化为ax ＋b ＝0，则x ＝－ba .将a ＝－23b 代入方程的解中，得x ＝－b a ＝32.3．解：由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧m 2－1＝0，m ＋1≠0，所以m ＝1.当m ＝1时，原方程可化为－2x ＋8＝0，解得x ＝4.当m ＝1，x ＝4时，199(m ＋x)(x －2m)＋9m ＋17＝199×5×2＋9×1＋17＝2 016. 4．A 5.B 6.8，－8，10或267．解：将x ＝12代入方程6(2x ＋m)＝3m ＋2，得6⎝⎛⎭⎫2×12＋m ＝3m ＋2，解得m ＝－43. 将m ＝－43代入方程my ＋2＝m(1－2y)，得－43y ＋2＝－43(1－2y)，解得y ＝56.点拨：已知一元一次方程的解，确定关于某一个未知数的方程中另外一个字母的值，只需把未知数的值(方程的解)代入原方程，即可得出含另一个字母的方程，通过求解确定另一个字母的值，从而进行关于其他字母的计算．8．解：原方程可化为12mx －53＝12x －23，所以12(m －1)x ＝1，所以(m －1)x ＝2.因为x 必须为正整数且m 为整数，故m －1＝1或2.当m －1＝1，即m ＝2时，x ＝2； 当m －1＝2，即m ＝3时，x ＝1.所以当m ＝2或3时，方程的解为正整数． 9．解：x －43－8＝－x ＋22，去分母，得2(x －4)－48＝－3(x ＋2)．去括号、移项、合并同类项，得5x ＝50.系数化为1，得x ＝10.把x ＝10代入方程2ax －(3a ＋5)＝5x ＋12a ＋20， 得2a×10－(3a ＋5)＝5×10＋12a ＋20， 去括号、移项，得20a －3a －12a ＝5＋50＋20. 合并同类项，得5a ＝75，系数化为1，得a ＝15. 10．解：由题意得4x －2＝3x ＋3a －1，移项、合并同类项，得x ＝3a ＋1. 因为x ＝2，所以2＝3a ＋1，则a ＝13.当a ＝13时，原方程为2x －13＝x ＋132－1，解得x ＝－3.技巧2：特殊一元一次方程的解法技巧【类型】一、分子、分母含小数的一元一次方程 题型1：巧化分母为11．解方程：4x －1.60.5－3x －5.40.2＝1.8－x0.1.2．解方程：2x ＋10.25－x －20.5＝－10.题型2：巧化同分母3．解方程：x 0.6－0.16－0.5x0.06＝1.题型3：巧约分去分母4．解方程：4－6x 0.01－6.5＝0.02－2x0.02－7.5.【类型】二、分子、分母为整数的一元一次方程 题型1：巧用拆分法5．解方程：x －12－2x －36＝6－x3.6．解方程：x 2＋x 6＋x 12＋x20＝1.题型2：巧用对消法7．解方程：x 3＋x －25＝337－6－3x15.题型3：巧通分8．解方程：x ＋37－x ＋25＝x ＋16－x ＋44.【类型】三、含括号的一元一次方程 题型1：利用倒数关系去括号9．解方程：32⎣⎡⎦⎤23⎝⎛⎭⎫x 4－1－2－x ＝2. 题型2：整体合并去括号10．解方程：x －13⎣⎡⎦⎤x －13（x －9）＝19(x －9)． 题型3：整体合并去分母11．解方程：13(x －5)＝3－23(x －5)．题型4：不去括号反而添括号12．解方程：12⎣⎡⎦⎤x －12（x －1）＝23(x －1)． 题型5：由外向内去括号13．解方程：13⎣⎡⎦⎤14⎝⎛⎭⎫13x －1－6＋2＝0. 题型6：由内向外去括号14．解方程：2⎣⎡⎦⎤43x －⎝⎛⎭⎫23x －12＝34x. 参考答案1．解：去分母，得2(4x －1.6)－5(3x －5.4)＝10(1.8－x)．去括号、移项、合并同类项，得3x ＝－5.8. 系数化为1，得x ＝－2915.点拨：本题将各分数分母化为整数1，从而巧妙地去掉了分母，给解题带来了方便 . 2．解：去分母、去括号，得8x ＋4－2x ＋4＝－10.移项、合并同类项，得6x ＝－18. 系数化为1，得x ＝－3.点拨：由0.25×4＝1，0.5×2＝1，可巧妙地将分母化为整数1. 3．解：化为同分母，得0.1x 0.06－0.16－0.5x 0.06＝0.060.06.去分母，得0.1x －0.16＋0.5x ＝0.06. 解得x ＝1130.4．解：原方程可化为4－6x 0.01＋1＝0.01－x0.01.去分母，得4－6x ＋0.01＝0.01－x. 解得x ＝45.点拨：本题将第二个分数通过约分处理后，使两个分数的分母相同，便于去分母．5．解：拆项，得x 2－12－x 3＋12＝2－x3.移项、合并同类项，得x2＝2.系数化为1，得x ＝4.点拨：方程通过拆项处理后，便于合并同类项，使复杂方程简单化． 6．解：拆项，得⎝⎛⎭⎫x －x 2＋⎝⎛⎭⎫x 2－x 3＋⎝⎛⎭⎫x 3－x 4＋⎝⎛⎭⎫x 4－x5＝1. 整理得x －x 5＝1.解得x ＝54.点拨：因为x 2＝x －x 2，x 6＝x 2－x 3，x 12＝x 3－x 4，x 20＝x 4－x5，所以把方程的左边每一项拆项分解后再合并就很简便 .7．解：原方程可化为x 3＋x －25＝247＋x －25，即x 3＝247.所以x ＝727. 点拨：此题不要急于去分母，通过观察发现－6－3x 15＝x －25，两边消去这一项可避免去分母运算．8．解：方程两边分别通分后相加，得5（x ＋3）－7（x ＋2）35＝2（x ＋1）－3（x ＋4）12.化简，得－2x ＋135＝－x －1012.解得x ＝－36211.点拨：本题若直接去分母，则两边应同乘各分母的最小公倍数420，运算量大容易出错，但是把方程左右两边分别通分后再去分母，会给解方程带来方便． 9．解：去括号，得x4－1－3－x ＝2.移项、合并同类项，得－34x ＝6.系数化为1，得x ＝－8.点拨：观察方程特点，由于32与23互为倒数，因此让32乘以括号内的每一项，则可先去中括号，同时又去小括号，非常简便．10．解：原方程可化为x －13x ＋19(x －9)－19(x －9)＝0.合并同类项，得23x ＝0.系数化为1，得x ＝0.11．解：移项，得13(x －5)＋23(x －5)＝3.合并同类项，得x －5＝3.解得x ＝8.点拨：本题将x －5看成一个整体，通过移项、合并同类项进行解答，这样避免了去分母，给解题带来简便．12．解：原方程可化为12[(x －1)＋1－12(x －1)]＝23(x －1)．去中括号，得12(x －1)＋12－14(x －1)＝23(x －1)．移项、合并同类项，得－512(x －1)＝－12.解得x ＝115.13．解：去中括号，得112⎝⎛⎭⎫13x －1－2＋2＝0.[来源:学科网] 去小括号，得136x －112＝0.移项，得136x ＝112.系数化为1，得x ＝3.14．解：去小括号，得2[43x －23x ＋12]＝34x.去中括号，得43x ＋1＝34x.移项，合并同类项，得712x ＝－1.系数化为1，得x ＝－127.【题型讲解】【题型】一、一元一次方程概念例1、关于x 的一元一次方程224a x m -+=的解为1x =，则a m +的值为（ ） A ．9 B ．8C ．5D ．4【详解】解：因为关于x 的一元一次方程2x a -2+m=4的解为x=1， 可得：a -2=1，2+m=4， 解得：a=3，m=2， 所以a+m=3+2=5， 故选：C ．【题型】二、一元一次方程的解法例2、解一元一次方程11(1)123x x +=-时，去分母正确的是（ ）A ．3(1)12x x +=-B ．2(1)13x x +=-C ．2(1)63x x +=-D ．3(1)62x x +=-【答案】D【分析】根据等式的基本性质将方程两边都乘以6可得答案． 【详解】解：方程两边都乘以6，得：3（x +1）＝6﹣2x ，故选：D ． 例3、解方程：221123x x x ---=-【答案】27x =【分析】去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，依此即可求解． 【详解】解：221123x x x ---=-()()6326221x x x --=--636642x x x -+=-+ 634662x x x -+=-+ 72x =27x =【题型】三、一元一次方程应用之配套问题和工程问题例4、某车间有22名工人，每人每天可生产1200个螺钉或2000个螺母，1个螺钉需配2个螺母，为使生产的螺钉和螺母刚好配套，若设x 名工人生产螺钉，依题意列方程为（ ） A ．1200x ＝2000（22﹣x ） B ．1200x ＝2×2000（22﹣x ） C ．1200（22﹣x ）＝2000x D ．2×1200x ＝2000（22﹣x ）【答案】D【分析】首先根据题目中已经设出每天安排x 个工人生产螺钉，则（22-x ）个工人生产螺母，由1个螺钉需要配2个螺母①可知螺母的个数是螺钉个数的2倍①从而得出等量关系，就可以列出方程． 【详解】解：设每天安排x 个工人生产螺钉，则（22-x ）个工人生产螺母，利用一个螺钉配两个螺母．由题意得：2×1200x=2000①22-x ），即2×1200x=2000①22-x①①故选D① 【题型】四、一元一次方程应用之销售盈亏问题例5、随着传统节日“端午节”临近，某超市决定开展“欢度端午，回馈顾客”的活动，将进价为120元一盒的某品牌粽子按标价的8折出售，仍可获利20%，则该超市该品牌粽子的标价为__元．（ ）A ．180B ．170C ．160D ．150【答案】A【分析】设该超市该品牌粽子的标价为x 元，则售价为80%x 元，根据等量关系：利润=售价﹣进价列出方程，解出即可．【详解】解：设该超市该品牌粽子的标价为x 元，则售价为80%x 元， 由题意得：80%x ﹣120=20%×120， 解得：x =180．即该超市该品牌粽子的标价为180元． 故选：A ．【题型】五、一元一次方程应用之比赛积分问题例6、一张试卷有25道选择题，做对一题得4分，做错一题得-1分，某同学做完了25道题，共得70分，那么他做对的题数是（ ） A ．17道 B ．18道C ．19道D ．20道【答案】C【分析】设作对了x 道，则错了（25-x ）道，根据题意列出方程进行求解. 【详解】设作对了x 道，则错了（25-x ）道，依题意得4x -(25-x)=70，解得x=19 故选C.一元一次方程（达标训练）一、单选题1．（2020·浙江·模拟预测）下列各式：①253-+=；①235=3x x x -+；①211x +=；①21=x；①23x +；①4x =．其中是一元一次方程的有（ ） A ．1个 B ．2个C ．3个D ．4个【答案】B【分析】根据一元一次方程的定义逐个判断即可 【详解】解：①不含未知数，故错 ①未知数的最高次数为2，故错①含一个未知数，次数为1，是等式且两边均为整式，故对 ①左边不是整式，故错 ①不是等式，故错①含一个未知数，次数为1，是等式且两边均为整式，故对故选：B【点睛】本题考查了一元一次方程的定义，熟练掌握并理解一元一次方程的定义是解本题的关键2．（2022·浙江温州·三模）解方程2233522x x x x x --+=--，以下去分母正确的是（ ）A ．22335x x x ---=B ．22335x x x --+=C ．()223352x x x x ---=-D ．()223352x x x x --+=-【答案】D【分析】利用等式的性质在分式方程两边分别乘()2x - 即可．【详解】A ，()223352,x x x x +--=-故此选项不符合题意． B ，()223352,x x x x +--=-故此选项不符合题意． C ，()223352,x x x x +--=-故此选项不符合题意． D ，()223352,x x x x +--=-故此选项符合题意．故选：D ．【点睛】本题主要考查了解分式方程去分母，根据等式的性质在分式方程两边分别乘以分母的最简公分母，熟练掌握等式的性质是解此题的关键．3．（2022·重庆沙坪坝·一模）若关于x 的方程25x a +=的解是2x =，则a 的值为（ ） A ．9- B ．9 C ．1- D ．1【答案】D【分析】把2x =代入方程计算即可求出a 的值． 【详解】解：把2x =代入方程得：45a +=， 解得1a =． 故选：D ．【点睛】本题考查了一元一次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值． 4．（2022·河北石家庄·二模）1x =是下列哪个方程的解（ ） A ．65x =- B ．2233+=+x xC ．21133x x x x -=-- D ．2x x =【答案】D【分析】把x ＝1代入各选项进行验算即可得解． 【详解】解：A 、5−1＝4≠6，故本选项错误； B 、2124⨯+=，3136⨯+=，4≠6，故本选项错误； C 、当x =1时，x -1=0即分式的分母为0，故本选项错误；D 、211=，故本选项正确． 故选：D ．【点睛】本题考查了方程的解的概念，使方程的左右两边相等的未知数的值是方程的解． 5．（2022·广东·佛山市南海外国语学校三模）我国古代的《洛书》中记载了最早的三阶幻方—九宫图．在如图所示的幻方中，每一横行、每一竖列以及两条对角线上的数字之和都相等，则m 的值是（ ）A ．5B ．3C ．1-D ．2-【答案】A【分析】根据幻方中，每一横行、每一竖列以及两条对角线上的数字之和都相等列出方程，即可求解． 【详解】解：设幻方正中间的数字为a ， 依题意得：124a m a ++=++， 解得：5m =． 故选A ．【点睛】此题考查了一元一次方程的应用，正确理解题意是解题的关键．二、填空题6．（2022·四川达州·二模）方程2x -3=5的解为________. 【答案】x =4【分析】根据解一元一次方程的解法求解即可得． 【详解】解：2x -3=5， 移项得2x =8， 系数化为1得：x =4， 故答案为：x =4．【点睛】题目主要考查解一元一次方程，熟练掌握方法是解题关键．7．（2022·四川广元·二模）已知：A ，B 在数轴上对应的数分别用a ，b 表示，且2(4)|12|0a b ++-=．若点C 点在数轴上且满足3AC BC =，则C 点对应的数为________． 【答案】8或20##20或8【分析】先根据非负数的性质求出a ，b 的值，分C 点在线段AB 上和线段AB 的延长线上两种情况讨论，即可求解．【详解】解：①2(4)|12|0a b ++-= ①a ＋4＝0，b −12＝0 解得：a ＝−4，b ＝12①A 表示的数是−4，B 表示的数是12 设数轴上点C 表示的数为c ①AC ＝3BC ①|c ＋4|＝3|c −12| 当点C 在线段AB 上时 则c ＋4＝3（12−c ） 解得：c ＝8当点C 在AB 的延长线上时 则c ＋4＝3（c −12） 解得：c ＝20综上可知：C 对应的数为8或20．【点睛】本题考查了非负数的性质，方程的解法，数轴两点之间的距离，运用分类讨论思想方程思想和数形结合思想是解本题的关键．三、解答题8．（2022·四川广元·一模）解方程：2(1)13x x x --=-． 【答案】12x =-【分析】先去括号，再移项，合并同类项，最后把未知数的系数化“1”，从而可得答案. 【详解】解：去括号，得2213x x x -+=-. 移项及合并同类项，得21x =-. 系数化为1，得12x =-.【点睛】本题考查的是一元一次方程的解法，掌握“解一元一次方程的步骤”是解本题的关键. 9．（2022·湖南·长沙市长郡双语实验中学二模）“小口罩，大温暖”，为有效防控疫情，缓解基层防疫物资短缺问题，2020年2月10日，福山区首批4万只口罩免费派发．烟台市政府紧急调拨的这批民用口罩包括A ，B 两种不同款型，其中A 型口罩单价100元，B 型口罩单价80元．(1)先进行试点发放，某社区环卫工人共收到A ，B 两种款型的口罩100盒，总价值共计9200元，求免费发放给该社区环卫工人的A 型口罩和B 型口罩各多少盒？(2)我区某街道办事处决定将此项公益活动在其整个街道社区全面铺开，按照试点发放中A，B两种款型的数量比共发放2000盒．若该社区人口平均每500人发放A型口罩m盒，B型口罩（328m-）盒．求该街道社区人口总数．【答案】(1)免费发放给该社区环卫工人的A型口罩60盒，B型口罩40盒(2)该街道社区人口总数为50000人【分析】（1）设免费发放给该社区环卫工人的A型口罩x盒，B型口罩y盒，根据题意，列出方程，即可求解；（2）根据题意可得3286040m m-=，从而得到m=12，即可求解．(1)解：设免费发放给该社区环卫工人的A型口罩x盒，B型口罩y盒，依题意得：100100809200x yx y+=⎧⎨+=⎩，解得：6040xy=⎧⎨=⎩．答：免费发放给该社区环卫工人的A型口罩60盒，B型口罩40盒．(2)解：依题意得：328 6040m m-=，解得：m=12，①m+3m−28=20．①该街道社区人口总数=200020×500=50000（人）．答：该街道社区人口总数为50000人．【点睛】本题主要考查了一元一次方程的应用，二元一次方程组的应用，明确题意，准确得到等量关系是解题的关键．一元一次方程（提升测评）一、单选题1．（2022·湖北十堰·一模）《九章算术》中记载：“今有共买羊，人出五，不足四十五；人出七，不足三问人数、羊价各几何？”其大意是：今有人合伙买羊，若每人出5钱，还差45钱；若每人出7钱，还差3钱，问合伙人数，羊价各是多少？如果我们设合伙人数为x ，则可列方程（ ） A ．54573x x +=+ B ．54573x x -=-C ．45357x x +=+D ．45357x x-=+【答案】A【分析】根据每人出5钱，还差45钱；若每人出7钱，还差3钱，可以列出相应的一元一次方程，本题得以解决．【详解】解：设合伙人数为x ，则可列方程为 54573x x +=+；故选：A【点睛】本题考查由实际问题抽象出一元一次方程，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程． 2．（2022·浙江温州·二模）若代数式()()2132x x +++的值为8，则代数式()()2231x x -+-的值为（ ） A ．0 B ．11 C ．7- D ．15-【答案】C【分析】由()()2132x x +++的值为8，求得x =0，再将x =0代入计算可得． 【详解】解：①()()2132x x +++的值为8， ①2x +2+3x +6=8， ①x =0，当x =0时，()()2231x x -+-=2×(-2)+3×(-1)=-7． 故选：C ．【点睛】本题考查了解一元一次方程，代数式的求值，掌握解一元一次方程的解法是解题的关键． 3．（2022·河北·石家庄市第四十一中学模拟预测）已知m n =，下列等式不成立的是（ ） A ．2m n m += B ．0-=m n C ．22m x n x -=- D ．235m n n -=【答案】D【分析】根据等式的性质和合并同类项即可判断． 【详解】由m n =，得2m n m m m +=+=，故A 成立； 0m n m m -=-=，故B 成立；根据等式的性质，等式两边同加或减一个等式，左右两边仍相等，22m x n x -=-，故C 成立；2323m n n n n -=-=-，故D 不成立；故选D ．【点睛】本题考查了等式的性质和合并同类项，熟记运算法则是解题的关键．4．（2022·河北保定·一模）已知分式：341()()32a a a a -+---■的某一项被污染，但化简的结果等于2a +，被污染的项应为（ ） A ．0 B ．1 C ．23a a -- D ．32a a -- 【答案】B【分析】设被污染的部分为p ，然后根据等式的性质解关于p 的方程，求出p 的表达式即可． 【详解】解：设被污染的部分为p ， 则341()()232a a p a a a -+-=+--， ①241()232a p a a a --=+--， ①()()()132222a p a a a a --=+⨯--+， ①3122a p a a -=+--， ①22a p a -=-， ①1p =． 故选：B ．【点睛】本题主要考查了分式的混合运算和利用等式的性质解一元一次方程，解题的关键是根据等式的性质解方程和掌握分式混合运算顺序和运算法则． 5．（2022·重庆·三模）下列四种说法中正确的有（ ） ①关于x 、y 的方程24107x y +=存在整数解．①若两个不等实数a 、b 满足()()244222a b a b +=+，则a 、b 互为相反数．①若2()4()()0a c a b b c ---=-，则2b a c =+． ①若222x yz y xz z xy ---==，则x y z ==． A ．①① B ．①① C ．①①① D ．①①①【答案】B【分析】将24x y +提公因式2得2(2)x y +，由x 、y 为整数，则2(3)x y +为偶数，因为107为奇数，即原等式不成立，即可判断①；将442222()()a b a b +=+，整理得222()0a b -=，即得出22a b =，由于实数a 、b 不相等，即得出a 、b 互为相反数，故可判断①；2()4()()0a c a b b c ---=-整理得2(2)0a c b +-=，即得20a c b +-=，即2a c b +=，故可判断①；由222x yz y xz z xy ---==，得出2222x xz y yz y xy z xz ⎧+=+⎨+=+⎩，即可变形为222211()()2211()()22x z y z y x z x ⎧+=+⎪⎪⎨⎪+=+⎪⎩，可以得出x y z ==或0x y z ++=，故可判断①． 【详解】解：①262(3)x y x y +=+， ①如果x 、y 为整数，那么2(3)x y +为偶数， ①107为奇数，①24107x y +=不存在整数解，故①错误； 442222()()a b a b +=+444422222a b a b a b +++=442220a b a b +-=222()0a b -=①22a b =，①实数a 、b 不相等，①a 、b 互为相反数，故①正确； 2()4()()0a c a b b c ---=-222244440a ac c ab ac b bc -+-++-=()()22440a c b a c b +-++=2(2)0a c b +-=①20a c b +-=，即2a c b +=，故①正确； ①222x yz y xz z xy ---==①2222x xz y yzy xy z xz ⎧+=+⎨+=+⎩， ①2222222211441144x xz z y yz z y xy x z xz x ⎧++=++⎪⎪⎨⎪++=++⎪⎩，即222211()()2211()()22x z y z y x z x ⎧+=+⎪⎪⎨⎪+=+⎪⎩，①11()2211()22x z y z y x z x ⎧+=±+⎪⎪⎨⎪+=±+⎪⎩，①x y z ==或0x y z ++=，故①不一定正确． 综上可知正确的有①①．故选B．【点睛】本题考查因式分解，整式的混合运算．熟练掌握完全平方公式是解题关键．二、填空题6．（2022·山东临沂·一模）如图，用一块长7.5cm、宽3cm的长方形纸板，和一块长6cm、宽1.5cm 的长方形纸板，与一块小正方形纸板以及另两块长方形纸板，恰好拼成一个大正方形，则小正方形的边长是______cm，拼成的大正方形的面积是______cm2．【答案】 4.581【分析】设小正方形的边长为x cm，然后表示出大正方形的边长，利用正方形的面积相等列出方程求得小正方形的边长，然后求得大正方形的边长即可求得面积．【详解】解：设小正方形的边长为x cm，则大正方形的边长为(6+7.5-x）cm或（x+3+1.5）cm，根据题意得：6+7.5-x=x+3+1.5，解得：x=4.5，则大正方形的边长为6+7.5-x=6+7.5-4.5=9(cm）,大正方形的面积为92=81(cm2),故答案为：4.5；81．【点睛】此题主要考查了一元一次方程的应用，关键是正确理解题意，设出小正方形的边长并表示出大正方形的边长．7．（2022·上海静安·1=的解是________．【答案】x=1【分析】首先方程两边同时平方，把无理方程化为有理方程，再解方程即可求得【详解】解：方程两边同时平方，得3x-2=1，解得x=1，经检验，x=1是原方程的解，所以，原方程的解为x=1．故答案为：x=1．【点睛】本题考查了无理方程的解法，熟练掌握和运用无理方程的解法是解决本题的关键，注意要检验．三、解答题8．（2022·河北·育华中学三模）如图，数轴上a 、b 、c 三个数所对应的点分别为A 、B 、C ，已知b是最小的正整数，且a 、c 满足2(6)20c a -++＝．(1)①直接写出数a 、c 的值 ， ； ①求代数式222a c ac +-的值；(2)若将数轴折叠，使得点A 与点C 重合，求与点B 重合的点表示的数； (3)请在数轴上确定一点D ，使得AD ＝2BD ，则D 表示的数是 ． 【答案】(1)①-2，6；①64 (2)3 (3)4或0【分析】（1）①根据平方和绝对值的非负性即可求出a 和c ，①把a 和c 的值代入222a c ac +-求值即可；（2）根据题意，求出b 的值，然后求出线段AC 的中点，即可求出结论；（3）设点D 表示的数为x ，然后根据点D 的位置分类讨论，分别根据2AD BD =列出方程即可分别求出结论． （1） 解：①①()2620c a -++=， ①20a +=，60c -=， 解得2a =-，6c =． 故答案为：-2，6．①把2a =-，6c =代入222a c ac +-，2224362464a c ac +-=++=；（2）解：①b 是最小的正整数，①1b =，①线段AC 的中点为()2622-+÷=，设与点B 重合的点表示的数为n ，则(1+n )÷2=2， 解得：n =3．①与点B 重合的点表示的数是3． 故答案为：3． （3）解：因为a =-2，b =1，c =6，设点D 表示的数为x ，若2AD BD =，分三种情况讨论： ①若点D 在点A 的左侧，则x <-2且()221x x --=-， 解得4x =(不符合题意，舍去)；①若点D 在点A 、B 之间，则-2<x <1且()()221x x --=-， 解得0x =；①若点D 在点B 右侧，则x >1且x -(-2)=2(x -1)， 解得：x =4．综上所述，点D 表示的数是0或4． 故答案为：0或4．【点睛】此题考查了非负性的应用、数轴上两点之间的距离、中点公式和一元一次方程的应用，解题的关键是掌握平方、绝对值的非负性、数轴上两点之间的距离公式、中点公式和等量关系．。
专训2 特殊一元一次方程的解法技巧
所以x＝ 72 . 7
点拨：此题不要急于去分母，通过观察发现两边消去
－ 6－3x ＝ x－2，这一项可避免去分母运算．
15
5
技巧3 巧通分
8．解方程： x＋3－ x＋2＝ x＋1－ x＋4 .
7
5
6
4
解：方程两边分别通分后相加，得
5( x＋3)－7( x＋2)＝ 2( x＋1)－3( x＋4) .
类型 2 分子、分母为整数的一元一次方程
技巧1 巧用拆分法
5．解方程： x－1－ 2x－3＝6－x .
2
6
3
解：拆项，得 x － 1 － x ＋ 1＝2－ x .
2232
3
移项、合并同类项，得 x ＝2.
2
系数化为1，得x＝4.
6．解方程： x ＋ x ＋ x ＋ x ＝1. 2 6 12 20
0.06
0.06
去分母，得0.1x－0.16＋0.5x＝0.06.
解得x＝ 11 . 30
技巧3 巧约分去分母
4．解方程： 4－6x －6.5＝0.02－2x －7.5.
0.01
0.02
解：原方程可化为 4－6x ＋1＝0.01－x .
0.01
0.01
去分母，得4－6x＋0.01＝0.01－x.
解得x＝ 4 . 5
解：去括号，得 x －1－3－x＝2.
4 移项、合并同类项，得－
3 4
x＝6.
系数化为1，得x＝－8.
点拨：观察方程特点，由于 3 与 2 互为倒数，因
此让
3ห้องสมุดไป่ตู้
23 乘以括号内的每一项，则可先去中
2
括号，同时又去小括号，非常简便．
整式中加减无关型的三种考法和本节课的特殊的一元一次方程解法技巧
整式中加减无关型的三种考法和本节课的特殊的一元一次方程解法技巧摘要：一、整式中加减无关型的三种考法1.同类项的加减运算2.整式的加减求和3.整式的加减差求解二、本节课的特殊一元一次方程解法技巧1.代入法2.消元法3.分离变量法4.图像法正文：整式中加减无关型的三种考法和本节课的特殊的一元一次方程解法技巧是数学学习中常见的问题。
下面我们将分别进行详细阐述。
一、整式中加减无关型的三种考法1.同类项的加减运算：此类题目主要考察学生对同类项的识别和运用。
解题关键在于掌握同类项的定义，即所含字母相同且相同字母的次数相同。
例如，对于表达式3x + 2xy - 4x + 3xy，我们需要将同类项合并，得到-x +5xy。
2.整式的加减求和：此类题目要求学生熟练掌握整式的加减法则，对给定的多项式进行运算。
解题时，注意各项的符号和次数，逐步化简表达式。
例如，对于表达式2x + 3xy - 4x + 5y，我们需要将同类项合并，得到-2x + 3xy + 5y。
3.整式的加减差求解：此类题目要求学生根据已知条件，求解整式的加减差。
解题时，注意运用代数运算的优先级，先进行乘除，再进行加减。
例如，对于表达式3x - 2xy + 4y - 5x，我们需要将同类项合并，得到-2x - 2xy +4y。
二、本节课的特殊一元一次方程解法技巧1.代入法：适用于那种形式为ax + b = 0的方程。
解题时，先将方程变形为ax = -b，然后将b的值代入得到x的解。
2.消元法：适用于那种形式为ax + by = 0的方程。
解题时，可以通过加减消去一个未知数，从而得到另一个未知数的值，再代入求解。
3.分离变量法：适用于那种形式为ax + b/c = 0的方程。
解题时，可以将方程分离为acx + b = 0的形式，然后运用代入法求解。
4.图像法：适用于那种形式为y = kx + b的方程。
解题时，可以将方程看作是一条直线，通过观察图像求解。
数学教案解方程的方法总结
数学教案解方程的方法总结解方程是数学学科中的重要内容之一，也是中学数学的基础知识之一。
解方程作为数学中的一种运算方法，可以解决很多实际问题，培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
在此，我将总结一下数学教案中解方程的常用方法。
一、一元一次方程一元一次方程是最简单的方程形式，求解一元一次方程可以采用如下方法：1. 相加消元法：如果一个方程中的某个未知数的系数相等，可以将两个方程相加或相减来消去该未知数从而得到另一个未知数的值。
2. 特殊值法：如果方程中的系数存在特殊值，可以直接将特殊值代入方程，求解出未知数的值。
3. 代入法：将一个未知数的值代入到另一个方程中，从而简化方程，然后求解未知数的值。
4. 系数法：通过将系数相乘或相除来消去某个未知数的系数，从而求解另一个未知数的值。
5. 绝对值法：通过给方程两边取绝对值的方式来求解未知数的值。
二、一元二次方程一元二次方程是数学中较为复杂的方程形式，求解一元二次方程可以采用如下方法：1. 因式分解法：将一元二次方程进行因式分解，找到方程的根。
2. 完全平方公式：对于形如ax^2+bx+c=0的一元二次方程，可以利用完全平方公式求解。
3. 二次根式法：通过写出一元二次方程的两个根的乘积和和求和等性质，从而求解方程。
4. 求均值法：通过求出一元二次方程的两个根的平均值，从而求解方程。
5. 变量代换法：通过对一元二次方程进行变量代换，将其转化为一元一次方程，从而求解方程。
三、多元方程在实际问题中，我们经常会遇到多个未知数的方程组，求解多元方程组可以采用如下方法：1. 直接代入法：将一个未知数的值代入到另一个方程中，从而简化方程组，然后逐步求解未知数的值。
2. 消元法：通过加减乘除等运算，将方程组中的某些未知数消去，从而得到简化的方程组，然后逐步求解未知数的值。
3. 矩阵法：将方程组写成矩阵形式，然后通过矩阵运算来求解未知数的值。
4. 克拉默法则：通过求解系数行列式和未知数行列式的比值，从而求解未知数的值。
莲花型一级方程式
莲花型一级方程式全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：莲花型一级方程式是一种特殊的一级方程式，其图形呈现出像莲花一样的美丽形状。
这种方程式在数学领域中具有特殊的意义和用途，常常被用来解决一些复杂的问题。
在本文中，我们将探讨莲花型一级方程式的特点、表达方式、解法以及实际应用，希望能对读者有所帮助。
一级方程式是指其中未知数的最高次数为一的代数方程式，通常表示为：ax + b = 0，其中a和b为已知数，x为未知数。
而莲花型一级方程式是在一级方程式的基础上进行一些变形，使其在平面直角坐标系中的图形呈现出像莲花一样规则、优美的形状。
莲花型一级方程式的一般形式可以表示为：y = a sin(bx + c) + d，其中a、b、c、d为常数，y为纵坐标，x为横坐标。
这种方程式所对应的图形通常呈现出多个花瓣相连的样子，形如莲花盛开的美丽景象，因此得名为莲花型一级方程式。
莲花型一级方程式具有以下几个特点：1. 规则的花瓣形状：莲花型一级方程式所对应的图形呈现出规则的花瓣形状，花瓣之间的连接线条流畅、优美，给人以极致的美感。
2. 多样的变化：莲花型一级方程式的参数a、b、c、d可以进行灵活的调整，从而产生多种不同形状的莲花图案，每一种形式都有其独特的美丽之处。
3. 周期性的特点：莲花型一级方程式的图形具有一定的周期性，花瓣的开合、起伏规律清晰，能够展现出一种动态的美感。
莲花型一级方程式并不仅仅是一个数学概念，它还具有实际的应用价值。
在工程、建筑、美术等领域中，莲花型一级方程式常常被用来设计和描绘规则、美丽的图案，为作品增添艺术的情趣和美感。
莲花型一级方程式也可以被用来解决一些实际问题，如振动、波动、周期性运动等方面的计算和分析。
在解莲花型一级方程式时，通常可以采用代数方法、几何方法、图像方法等多种方法。
代数方法主要是通过代数运算，将方程式化简为标准形式，从而求解未知数的值；几何方法则是通过观察和分析图形特点，直观地找到方程式的解；图像方法则是通过绘制方程式所对应的图形，通过观察图形形状和特点来解方程。
实际问题中的一元一次方程
实际问题中的一元一次方程一元一次方程是数学中最基本的方程类型之一，常用于解决实际问题。
在实际问题中，我们经常会遇到许多需要求解一元一次方程的情况。
本文将介绍一些实际问题中常见的一元一次方程，并通过实例来解释它们的应用。
一、线性函数与一元一次方程的关系线性函数是一种特殊形式的一元一次方程，其表达形式为y = kx + b，其中k和b为常数。
这种函数常常用于描述直线的运动规律或数量关系。
通过观察实际问题，我们可以将其转化为一元一次方程，并利用方程求解的方法解决问题。
例如，假设小明每天早上跑步锻炼，他从家里出发，以每分钟3米的速度匀速前进。
如果他运动x分钟后跑了y米，我们可以列出一元一次方程y = 3x来描述他的运动情况。
如果问题要求我们找出他跑了多少时间后距离起点100米，则可以将方程改写为3x = 100，并求解x 的取值。
二、购物费用的计算在购物过程中，我们经常会遇到需要计算总费用的情况。
一元一次方程可以帮助我们解决这类问题。
举个例子，假设一家商店正在举行打折活动，所有商品打7折。
小明去商店购买一件原价为x元的商品，他想知道打完折后需要支付多少钱。
我们可以通过列出一元一次方程来解决这个问题，设打完折后的价格为y元，则方程为y = 0.7x，通过求解y的值可以得到实际支付金额。
三、速度和时间的关系在物理学中，速度和时间的关系可以用一元一次方程表示。
例如，一个车辆以每小时60公里的速度行驶，我们可以通过一元一次方程来计算它行驶一段距离所需要的时间。
假设车辆行驶x公里所需要的时间为y小时，我们可以得到方程y = x/60。
如果问题给出了车辆行驶的距离，我们可以通过代入求解法得到相应的时间。
四、劳动效率的计算在工作中，我们经常需要计算工作的效率以评估工作质量。
一元一次方程可以帮助我们计算工作的效率。
举个例子，假设小红和小明一起完成了一个项目，他们共同工作了x小时，完成了y个任务。
我们可以通过一元一次方程来计算他们的工作效率。
特殊一元一次方程解法技巧知识点总结
特殊一元一次方程解法技巧知识点总结一、理解好一元一次方程的概念1、含有一个未知数;2、未知数的次数是1;3、未知数的系数不为0.在概念3中，许多同学会认为何谓系数，往往认为未知数的系数是数字前面的那个符号，这是理解一元一次方程概念的最大误区，老师在讲概念时，应强调“未知数的系数不为0”的含义，让学生理解什么叫做“系数”。
二、解一元一次方程的一般步骤及其在中考试卷中出现的考核形式1、去分母：根据等式的性质2.在方程两边同时乘以各分母的最小公倍数。
在解决实际问题时，最重要的考核形式就是列方程后，两边同时乘以单位时间，求出未知数的值。
2、去括号：根据乘法分配律，去括号可避免出现漏乘现象。
3、移项：根据等式的性质1.把项从一边移到另一边时，要变号。
在解决实际问题时，最重要的考核形式就是求出未知数的值后，把项从一边移到另一边时，要变号。
4、合并同类项：根据合并同类项的法则。
5、系数化为1：根据等式的性质2.两边同时除以未知数的系数。
这是最常见的考核形式就是求出未知数的值后，两边同时除以未知数的系数。
三、列方程解应用题的步骤及其在中考试卷中出现的考核形式1、审题：弄清题意，找出等量关系;2、找出等量关系：用执因导果的方法找等量关系；用列表的方法找等量关系；画出图形找等量关系；找隐含的等量关系。
在解决实际问题时，最重要的考核形式就是找出等量关系后列方程求解。
3、根据等量关系列方程：执因导果、列表、画图、找隐含的等量关系。
4、解方程并检验：检验是解应用题的最后一步，是一个不可或缺的步骤。
学生往往会出现知道要检验但不知如何检验的现象。
检验的目的是为了确定所求的解是否符合题意或是否满足实际。
四、正确运用一元一次方程解应用题的一般方法列方程解应用题是七年级数学的重要内容，必须切实掌握，为此需要经常练习以下三种基本方法：1、直接设元法：当题中的未知量已直接告诉了我们时，常采用直接设未知数法。
如“大一学生小明从某地回家，已走2km, 但他离家还有3km, 求某地离小明家有多少千米?”这类的题型就应采用直接设元法。
新人教版七年级上册数学4.2专项解特殊一元一次方程的六种常用技巧优质课件
第二页，共十一页。
2．解方程：20x.＋251－x0－.52＝－10.
解：分母化为1，得4(2x＋1)－2(x－2)＝－10. 去括号，得8x＋4－2x＋4＝－10. 移项、合并同类项，得6x＝－18. 系数化为1，得x＝－3.
第八页，共十一页。
7．解方程：x2＋x6＋1x2＋2x0＝1.
解：拆项，得x－x2＋x2－x3＋x3－x4＋x4－x5＝1. 整理，得 x－x5＝1. 合并同类项，得45x＝1. 系数化为 1，得 x＝54.
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8．解方程：x＋7 3－x＋5 2＝x＋6 1－x＋4 4.
【 】本题若直接去分母，则方程两边应同乘分母的最小公 倍数420，运算量大且容易出错，但是把方程左右两边分别 通分后再去分母，则给解方程带来方便．
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4．解方程：40－.061x－6.5＝0.002.－ 022x－7.5.
【 】本题将等号右边含分母的式子通过约分处理后，使两 个含分母的式子的分母相同，便于去分母．
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解：原方程可化为40－.061x＋1＝0.00.10－1 x. 去分母，得4－6x＋0.01＝0.01－x. 移项、合并同类项，得－5x＝－4. 系数化为 1，得 x＝45.
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解：方程两边分别通分，得 5（x＋3）3－57（x＋2）＝2（x＋1）1－23（x＋4）. 化简，得－23x5＋1＝－x1－2 10. 解得 x＝－31612.
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特殊形式的一元一次方程及解法
特殊形式的⼀元⼀次⽅程及解法特殊形式的⼀元⼀次⽅程及解法⽅程是初中代数的主线之⼀，现在所学⼀元⼀次⽅程是以后所学⽅程的基础，我们在学习中会遇到⼀些特殊形式的⼀元⼀次⽅程，利⽤转化思想化成⼀般形式，再解⼀元⼀次⽅程。
特殊的形式有以下⼋种，列出以供同学们参考。
形式⼀：两个⾮负数的和为0或两个⾮负数互为相反数。
两个⾮负数互为相反数可以转化为其和为0，有仅有均为0时才成⽴。
例1 已知（a+3）2与1-b 互为相反数，且关于x 的⽅程4x a +-3y=21x+b 的解为x=-1,求2y 2-3的值。
解析：由已知有（a+3）2+1-b =0 ∴（a+3）2=0，1-b =0，则a=-3,b=1；把a=-3,b=1，x=-1代⼊到⽅程中有413---3y=21×（-1）+1，解得y=-21 2y 2-3=2×（-21）2-3=21-3= -221 形式⼆：连等转化成⼏个⽅程，再分别解⽅程例2 已知a+2=b-2=2c =2008，且a+b+c=2008k,求k 的值。
解析：已知条件可转化为三个⽅程①a+2=2008；②b-2=2008；③2c =2008；分别解得a=2006；b=2010；c=4016。
代⼊到后⼀个等式中，2006+2010+4016=2008k 解得：k=4形式三：分母是⼩数利⽤分数的基本性质，分别把每个式⼦分⼦、分母扩⼤适当的倍数。
例3 解⽅程2.188.1x --03.002.003.0x +=25-x 解析：第⼀个式⼦分⼦、分母同时乘以10，第⼆个式⼦分⼦、分母同时乘以100，原⽅程可变形为：128018x --323x +=2 5-x 两边同乘以12，得：18-80x-4（3+2x ）=6（x-5）去括号、移项合并得：-94x=-36 解得：x=4718 形式四：两个⽅程同解同解即解相同，其中⼀个⽅程可以解出来，再代⼊到另⼀个⽅程中。
例4 关于x 的⽅程3x-（2a-1）=5x-a+1与⽅程212+x +34-x =8有相同的解，求（8a ）2009+a 2-21的值。
整式中加减无关型的三种考法和本节课的特殊的一元一次方程解法技巧
整式中加减无关型的三种考法和本节课的特殊的一元一次方程解法技巧整式中加减无关型的三种考法以及本节课的特殊一元一次方程解法技巧是中学数学中的重要内容。
以下将分别对这两种类型进行详细解析，以帮助同学们更好地理解和掌握。
一、整式中加减无关型的三种考法1.定义及特点加减无关型题目指的是在整式中，某些项的系数加减变化，但不会影响整式的值。
这类题目主要考察学生对整式运算和系数变化的敏感度。
2.解题技巧与方法对于加减无关型的题目，我们可以通过观察各项系数的加减变化，找出不变的项，进而求解。
同时，要熟练掌握整式的加减运算定律，将复杂题目简化。
3.典型例题分析例1：已知$3x^2 - 2xy + 4y^2 + 5x - 6y$，求$2x^2 - 3xy + 2y^2 - 2x + 3y$。
解：原式=$(3x^2 - 2xy + 4y^2) + (5x - 6y)$二项合并得：$3x^2 - 2xy + 4y^2 + 5x - 6y$二、本节课的特殊一元一次方程解法技巧1.特殊方程的定义及特点特殊一元一次方程指的是含有分式、绝对值、平方根等运算的方程。
这类方程的解法与普通一元一次方程有所不同。
2.解题步骤与方法解特殊一元一次方程的一般步骤如下：（1）去分母：将分式方程转化为整式方程；（2）去绝对值：根据绝对值的定义，分别讨论正负两种情况；（3）移项、合并同类项：将方程化为标准形式；（4）求解：使用普通一元一次方程的解法求解。
3.典型例题分析例2：解方程$frac{2x-1}{x+2} = 3$。
解：去分母得：$2x-1 = 3(x+2)$去括号得：$2x-1 = 3x + 6$移项、合并同类项得：$-x = 7$解得：$x = -7$经检验，$x = -7$ 是原方程的解。
通过以上分析，我们可以发现整式中加减无关型题目的解题关键在于观察系数变化，而特殊一元一次方程的解法则是掌握解题步骤和技巧。
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特殊形式的一元一次方程及特法
方程是初中代数的主线之一，现在所学一元一次方程是以后所学方程的基础，我们在学习中会遇到一些特殊形式的一元一次方程，利用转化思想化成一般形式，再解一元一次方程。
特殊的形式有以下八种，列出以供同学们参考。
形式一：两个非负数的和为0或两个非负数互为相反数。
两个非负数互为相反数可以转化为其和为0，有仅有均为0时才成立。
例1、 已知（a+3）2与1-b 互为相反数，且关于x 的方程4x a +-3y=2
1x+b 的解为x=-1,求2y 2-3的值。
解析：由已知有（a+3）2+1-b =0 ∴（a+3）2=0，1-b =0，则a=-3,b=1；
把a=-3,b=1，x=-1代入到方程中有 413---3y=21×（-1）+1，解得y=-2
1 2y 2-3=2×（-21）2-3=21-3= -22
1 形式二：连等
转化成几个方程，再分别解方程
例2、 已知a+2=b-2=2
c =2008，且a+b+c=2008k,求k 的值。
解析：已知条件可转化为三个方程①a+2=2008；②b-2=2008；③ 2
c =2008；分别解得a=2006；b=2010；c=4016。
代入到后一个等式中，2006+2010+4016=2008k
解得：k=4
形式三：分母是小数
利用分数的基本性质，分别把每个式子分子、分母扩大适当的倍数。
例3、 解方程2.188.1x --03
.002.003.0x +=25-x 解析：第一个式子分子、分母同时乘以10，第二个式子分子、分
母同时乘以100，
原方程可变形为：128018x --323x +=2
5-x 两边同乘以12，得：18-80x-4（3+2x ）=6（x-5）
去括号、移项合并得：-94x=-36
解得：x=47
18 形式四：两个方程同解
同解即解相同，其中一个方程可以解出来，再代入到另一个方程中。
例4、 关于x 的方程3x-（2a-1）=5x-a+1与方程212+x +3
4-x =8有相同
的解，求（8
a ）2009+a 2-21的值。
解析：后一个方程只有x ，则先解
解得x=4
把x=4代入第一个方程有12-（2a-1）=20-a+1
解得a =-8，（8a ）2009+a 2-21 =（8
8-）2009+（-8）2-21=-1+64-21=42 形式五：定义就运算
例5、
若“*”是新规定的某种运算法则，设A*B=A 2-A*B,试求（-2） *x=321中的x 。
解析：由规定有：（-2）*x=（-2）2-（-2）x=4+2x=321∴x=-4
1 形式六：有多重括号
层层去括号往往较麻烦，根据具体情况可以重复移项去分母，化为不含括号的一元一次方程，
例6、 解关于x 的方程31｛31【31（3
1x-3）-3】-3｝-3=3 解析：移项合并，再去大括号（两边同乘以3）有：31【31（3
1x-3）-3】-3=18； 重复上步骤有31（3
1x-3）-3=63 重复步骤解得：x=603
形式七：分子中含有分母
找出每个分子中的分母的最小公倍数，对每个式子的分子与分母分别乘以其公倍数，使分子中不含分母。
例7、 解关于x 的方程3432x x +--2)361(21x --=3313x +--2
37102x x -- 解得：其分子中的分母的最小公倍数分别为4，6（第二个有括号，先去括号，再找公倍数），等号右边为3、3
则每个式子分子与分母分别乘以对应的公倍数有：
12)3(2x x +--12)6(3x --=9)1(9x +--6
)710(6x x --（注意适当添加括号） 解答略
形式八：含绝对值的一元一次方程（暂时仅限于式子整体含绝对值）。
例8、 解关于x 的方程3)25(2+-x x =4
解析：同除以3，得)25(2+-x x =3
4 去括号，合并有23--x =34
据绝对值的定义有：-3x-2=34或-3x-2=-34 解答略。