初中数学第十四章 整式的乘法与因式分解
八年级数学上册第十四章整式的乘法与因式分解整式的乘法整式的乘法多项式与多项式相乘
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第14章整式知识点
第十四章 整式的乘除与分解因式一、知识概念：1.基本运算：⑴同底数幂的乘法：m n m n a a a +⨯= （m 、n 为正整数）同底数幂相乘，底数不变，指数相加．⑵幂的乘方：()n m mn a a =（m 、n 为正整数）幂的乘方，底数不变，指数相乘．⑶幂的乘方：()nn n ab a b =（n 为正整数）积的乘方等于各因式乘方的积．（4）幂的除法：n m a a ÷＝ a m －n （a ≠0，m 、n 都是正整数，且m ＞n ） 同底数幂相除，底数不变，指数相减．（5）零指数幂的概念： a 0＝1 （a ≠0） 任何一个不等于零的数的零指数幂都等于l ．（6）负指数幂的概念：a －p ＝p a 1（a ≠0，p 是正整数）任何一个不等于零的数的－p （p 是正整数）指数幂，等于这个数的p 指数幂的倒数． 也可表示为：pp n m m n ⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛-（m ≠0，n ≠0，p 为正整数） 2.整式的乘法：⑴单项式⨯单项式：系数⨯系数，同字母⨯同字母，不同字母为积的因式.⑵单项式⨯多项式：用单项式乘以多项式的每个项后相加.⑶多项式⨯多项式：用一个多项式每个项乘以另一个多项式每个项后相加.3.整式的除法：⑴同底数幂的除法：m n m n a a a -÷=⑵单项式÷单项式：系数÷系数，同字母÷同字母，不同字母作为商的因式.⑶多项式÷单项式：用多项式每个项除以单项式后相加.⑷多项式÷多项式：用其中一个多项式除以另一个多项式再把所得的商相加4.计算公式：⑴平方差公式：()()22a b a b a b -⨯+=-⑵完全平方公式：()2222a b a ab b +=++； ()2222a b a ab b -=-+ 二、因式分解：因式分解定义：把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解。
(初二数学课件)人教版初中八年级数学上册第14章整式的乘法与因式分解14.1.3 积的乘方教学课件
B．–2
C．0
解析：∵2n+2n+2n+2n=2，
∴4•2n=2，∴2•2n=1，∴21+n=1，
∴1+n=0，∴n=–1．
D．
巩固练习
连 接 中 考
2.下列运算正确的是( C )
A．(–a2)3=–a5
(–a2)3= –a6；
C．(–a2b3)2=a4b6
B．a3•a5=a15
a3•a5=a8；
（
ab）
（ab） （ab）
2
(乘方的意义)
（aa）
（
bb）(乘法交换律、结合律)
a 2b 2
(同底数幂相乘的法则)
同理：
3
（ab）
（
ab）
（
ab）
（ab）
（aaa）
（
bbb）
a3b3
(ab)n =?
探究新知
思考问题：积的乘方(ab)n =?
猜想结论： (ab)n=anbn (n为正整数)
探究新知
议一议
如何简便计算(0.04)2004×[(–5)2004]2?
解法一： (0.04)2004×[(–5)2004]2
=(0.22)2004 × 54008
=(0.2)4008 × 54008
=(0.2 ×5)4008
=14008
=1.
解法二：(0.04)2004×[(–5)2004]2
=(0.04)2004 × [(–5)2]2004
1
解：原式
2
2
4
10
2
8
1
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(初二数学课件)人教版初中八年级数学上册第14章整式的乘法与因式分解14.3.1 提公因式法教学课件
14.3 因式分解
14.3.1 提公因式法
导入新知
我们知道，利用整式的乘法运算，可以将
几个整式的积化为一个多项式的形式，反过来，
能不能将一个多项式化成几个整式的积的形式
呢？若能，这种变形叫做什么呢？
素养目标
3. 会利用因式分解进行简便计算.
2. 理解并掌握提公因式法并能熟练地运用
整体思想是数学中一种重要而且常用的思想方法.
探究新知
解：(1) 8a3b2 + 12ab3c
=4ab2 ·2a2+4ab2 ·3bc
如果提出公因式
4ab，另一个因式
是否还有公因式？
=4ab2(2a2+3bc)；
另一个因式将是2a2b+3b2c， 它还有公因式是b.
(2) 2a(b+c)–3(b+c)
pa+pb+pc
相同因式p
x2＋x
相同因式x
多项式中各项都含有的相同因式，叫做这个多项
式的公因式.
探究新知
pa+ pb +pc = p ( a+b+c )
一般地，如果多项式的各项有公因式，可以
把这个公因式提取出来，将多项式写成公因式与
另一个因式的乘积的形式，这种分解因式的方法
叫做提公因式法.
探究新知
最后不是积的运算
② 24x2y=3x ·8xy 因式分解的对象是多项式
③ x2–1=(x+1)(x–1)
④ (2x+1)2=4x2+4x+1 是整式乘法
⑤
x2+x=x2(1+
1
)
x
八年级数学上册听课记录：第十四章整式的乘法与因式分解《整式的乘法：整式的乘法》
新2024秋季八年级人教版数学上册第十四章整式的乘法与因式分解《整式的乘法：整式的乘法》听课记录一、教学目标（核心素养）1.知识与技能：学生能够理解并掌握整式乘法的基本法则，包括单项式乘单项式、单项式乘多项式以及多项式乘多项式，能够准确进行整式的乘法运算。
2.过程与方法：通过具体实例的探究，引导学生经历整式乘法法则的发现过程，培养学生的观察、归纳和推理能力。
3.情感态度与价值观：激发学生对数学的兴趣，培养严谨、细致的学习态度，以及合作学习的精神。
二、导入教师行为：•教师首先展示几个简单的整式乘法实例，如(2x+3)×4、x2×3x，让学生尝试进行计算，并请几位学生分享他们的解题思路。
•接着，教师提出问题：“同学们，你们在进行整式乘法时，有没有发现一些通用的方法和规律呢？我们能否将这些方法和规律总结出来，以便更好地解决类似的问题呢？”学生活动：•学生认真观察教师给出的例子，尝试进行计算，并思考整式乘法可能存在的规律。
•学生分享自己的解题思路，与同桌或小组内成员讨论可能的答案。
过程点评：•导入环节通过具体实例和问题的引导，有效地激发了学生的探究欲望，为学习整式乘法的基本法则做好了铺垫。
•学生积极参与讨论，初步感知了整式乘法的运算规律，为后续学习打下了基础。
三、教学过程3.1 单项式乘单项式教师行为：•明确给出单项式乘单项式的法则，即“系数相乘，字母部分按同底数幂的乘法法则进行运算”。
•通过具体例子演示法则的应用，如3a2×2a3，引导学生观察结果并验证法则的正确性。
学生活动：•认真听讲，记录单项式乘单项式的法则，并尝试理解其含义。
•跟随教师的演示，自己完成例题的计算，验证法则的正确性。
过程点评：•教师讲解清晰，通过具体例子帮助学生理解单项式乘单项式的法则及其应用。
•学生通过动手计算，加深了对法则的理解和掌握。
3.2 单项式乘多项式教师行为：•引入单项式乘多项式的概念，讲解其运算法则，即“用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加”。
整式的乘法和因式分解知识点汇总
整式的乘法和因式分解知识点汇总整式乘除与因式分解一、知识点1.幂的运算性质：同底数幂相乘，底数不变，指数相加。
即，am·an＝am＋n（m、n为正整数）。
例如：(－2a)2(－3a2)3 = 4a2·-27a6 = -108a8.2.幂的乘方性质：幂的乘方，底数不变，指数相乘。
即，a(mn)＝(am)n（m、n为正整数）。
例如：(－a5)5 = (-1)5·a25 = a25.3.积的乘方性质：积的乘方等于各因式乘方的积。
即，(ab)n = an·bn（n为正整数）。
例如：(－a2b)3 = (-1)3·a6·b3 = -a6b3.4.幂的除法性质：同底数幂相除，底数不变，指数相减。
即，a/m ÷ a/n = a(m-n)（a≠0，m、n都是正整数，且m＞n）。
例如：(1) x8÷x2 = x6；(2) a4÷a = a3；(3) (ab)5÷(ab)2 = a3b3.5.零指数幂的概念：a0 = 1（a≠0）。
任何一个不等于零的数的零指数幂都等于1.例如：若(2a-3b)0=1成立，则a,b满足任何条件。
6.负指数幂的概念：a-p = 1/ap（a≠0，p是正整数）。
任何一个不等于零的数的-p（p是正整数）指数幂，等于这个数的p指数幂的倒数。
例如：(m/n)-2 = n2/m2.7.单项式的乘法法则：单项式相乘，把系数、同底数幂分别相乘，作为积的因式；对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式。
例如：(1) 3a2b·2abc·abc2 = 6a4b2c3；(2) (-m3n)3·(-2m2n)4 = -8m14n7.8.单项式与多项式的乘法法则：单项式与多项式相乘，用单项式和多项式的每一项分别相乘，再把所得的积相加。
例如：(1) 2ab(5ab+3ab) = 16a2b2；(2) (ab2-2ab)·ab = a2b3-ab2.9.多项式与多项式的乘法法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项与另一个多项式的每一项相乘，再把所得的积相加。
八年级上册数学第十四章 整式的乘除与分解因式 知识点总结
第十四章 整式的乘除与分解因式 一、知识框架:二、知识概念：1. 基本运算： ⑴同底数幂的乘法： a m ⨯ a n = a m +n⑵幂的乘方： (a m )n= a mn ⑶积的乘方： (ab )n= a n b n等边三角形的性质 2. 整式的乘法：⑴单项式⨯单项式：系数⨯系数，同字母⨯同字母，不同字母为积的因式. ⑵单项式⨯多项式：用单项式乘以多项式的每个项后相加.⑶多项式⨯多项式：用一个多项式每个项乘以另一个多项式每个项后相加. 3. 计算公式：⑴平方差公式： (a - b )⨯(a + b ) = a 2 - b 2⑵完全平方公式： (a + b )2 = a 2 + 2ab + b 2 ； (a - b )2= a 2 - 2ab + b 24. 整式的除法：⑴同底数幂的除法： a m ÷ a n = a m -n⑵单项式÷ 单项式：系数÷ 系数，同字母÷ 同字母，不同字母作为商的因式. ⑶多项式÷ 单项式：用多项式每个项除以单项式后相加.⑷多项式÷ 多项式：用竖式.5. 因式分解：把一个多项式化成几个整式的积的形式,这种变形叫做把这个式 子因式分解.6. 因式分解方法：⑴提公因式法：找出最大公因式.⑵公式法：①平方差公式： a 2 - b 2 = (a + b )(a - b )因式分解整式除法 乘法法则整式乘法②完全平方公式：a2± 2ab +b2=(a ±b)2③立方和：a3+b3= (a +b)(a2-ab +b2 )④立方差：a3-b3= (a -b)(a2+ab +b2 )⑶十字相乘法：x2+(p +q)x +pq =(x +p)(x +q)⑷拆项法⑸添项法。
整式的乘法与因式分解
整式的乘法与因式分解整式是由字母或字母与常数的乘积所组成的代数式。
在代数中，整式的乘法和因式分解是非常重要的运算。
本文将详细介绍整式的乘法与因式分解。
一、整式的乘法整式的乘法是指利用分配律将两个或多个整式相乘的过程。
整式的乘法规则如下：1. 当两个整式相乘时，先将系数相乘，再将字母相乘，最后将结果相加。
例如，计算 (2x + 3)(4x + 5) 的结果：(2x + 3)(4x + 5) = 2x * 4x + 2x * 5 + 3 * 4x + 3 * 5= 8x^2 + 10x + 12x + 15= 8x^2 + 22x + 152. 当整式中含有多个字母时，需要将对应字母的项相乘，并按照指数的规则进行运算。
例如，计算 (2xy + 3xz)(4xy - 5xz) 的结果：(2xy + 3xz)(4xy - 5xz) = 2xy * 4xy + 2xy * (-5xz) + 3xz * 4xy + 3xz * (-5xz)= 8x^2y^2 - 10x^2z^2 + 12x^2yz - 15xz^2整式的乘法在代数中非常常见，掌握好整式的乘法规则可以方便进行复杂的代数运算。
二、因式分解因式分解是指将一个整式表示为几个整式乘积的形式。
因式分解在解方程、求极限、计算函数值等方面都有广泛的应用。
下面介绍两种常见的因式分解方法。
1. 公因式提取法公因式提取法是指将整式中的公因式提取出来，并将整式分解为公因式与其他部分的乘积。
例如，对于整式 4x^2 + 8x，可以提取公因式 4x，得到 4x(x + 2)。
2. 完全平方公式完全平方公式是指将一个二次多项式表示为两个一次多项式的平方差形式。
例如，对于整式 x^2 + 12x + 36，可以通过完全平方公式将其分解为 (x + 6)^2。
通过因式分解，可以简化复杂的整式，方便进行进一步的计算和问题求解。
综上所述，整式的乘法和因式分解是代数中重要的运算。
八年级数学人教版上册第14章整式的乘除与因式分解14.1.4整式的乘法(第1课时图文详解)
八年级上册第14章整式的乘除与因式分解
1.下列计算中，正确的是（ B ）
A.2a3·3a2=6a6
B.4x3·2x5=8x8
C.2x·2x5=4x5
D.5x3·4x4=9x7
2.下列运算正确的是（ D ）
A.x2·x3=x6
B.x2+x2=2x4
C.(-2x)2=-4x2
D.(-2x2)(-3x3)=6x5
八年级上册第14章整式的乘除与因式分解
第14章 整式的乘除与因式分解
八年级上册
八年级上册第14章整式的乘除与因式分解
14.1.4 整式的乘法
第1课时
八年级上册第14章整式的乘除与因式分解
1.探索并了解单项式与单项式、单项式与多项式相乘的法则， 并运用它们进行运算． 2.让学生主动参与到探索过程中去，逐步形成独立思考、主 动探索的习惯，培养思维的批判性、严密性和初步解决问题 的能力.
八年级上册第14章整式的乘除与因式分解
2.填空：
a4 26
(1)6 2
a9 28
9 x2 y4 4
1
八年级上册第14章整式的乘除与因式分解
光的速度约为3×105千米/秒，太阳光照射到地球上需 要的时间大约是5×102秒，你知道地球与太阳的距离约是 多少千米吗？ 分析：距离=速度×时间，即（3×105）×（5×102）； 怎样计算（3×105）×（5×102）? 地球与太阳的距离约是： （3×105）×（5×102）=(3 ×5)×(105×102) =15×10７=1.5×108（千米）
八年级上册第14章整式的乘除与因式分解
2.单项式与多项式相乘的法则: 单项式与多项式相乘，只要将单项式分别乘以多 项式的每一项，再将所得的积相加即可.
整式的乘法与因式分解
（2）（m﹣n）2•（n﹣m）2•（n﹣m）4． 解：原式=（n﹣m）2•（n﹣m）2•（n﹣m）4 =（n﹣m）8．
（3）（x-y）•（y-x）2•（x-y）3-（y-x）6．
解：（x-y）•（y-x）2•（x-y）3-（y-x）6． =（x-y）•（x-y）2•（x-y）3-（x-y）6 =（x-y）6-（x-y）6 =0
【例】化简： （1）an+2•an+1•an （2）a4•an﹣1+2an+1•a2 （3）（x﹣y）2•（y﹣x）5． 解析：本题考查的是同底数幂的乘法，熟知同底数幂 相乘，底数不变，指数相加是解答此题的关键．（1
） 根据同底数幂的乘法法则进行计算即可；（2）先根 据同底数幂的乘法法则计算出各数，再合并同类项即 可；（3）根据同底数幂的乘法法则进行计算即可．
A. (xy) 3=xy3
B. (2xy)3=6x3y3
C. (-3x2) 3=27x5 D. (a2b) n=a2n bn
课堂精讲 变式拓展
1.（2015青浦区一模）下列各式中与（-a2）3相等的 是（ D ）
A．a5 B．a6 C．-a5 D．-a6 2.计算： （1）（﹣x2）3•（﹣x3）5；
（﹣x2）3•（﹣x3）5=（﹣x6）•（﹣x15）=x21 （2）（﹣a2）3•（﹣a3）4.
（﹣a2）3•（﹣a3）4=（﹣a6）•a12=﹣a18
随堂检测 1.计算（﹣a3）2的结果是（ A ） A．a6 B．﹣a6 C．a8 D．﹣a8 2.（2015黄浦区二模）计算：（a2）2= a4 . 3.93=3m，则m= 6 ． 4.计算：（﹣a5）5•（﹣a）2．
解：原式=﹣a25•a2 =﹣a27．
5.计算：（-x6）2•（-x2）3•x5．
整式的乘法与因式分解知识点
整式的乘法与因式分解知识点整式的乘法和因式分解是初中数学中的重要知识点，也是后续学习代数、方程和不等式的基础。
本文将详细介绍整式的乘法和因式分解的定义、性质和方法。
一、整式的乘法整式是由常数和单项式相加（减）得到的代数式，其中单项式是指只包含一个变量的项。
整式的乘法是指将两个或多个整式相乘的运算。
1.单项式的乘法：单项式的乘法遵循以下运算法则：-同底数幂相乘，底数不变，指数相加。
例如，a^m*a^n=a^(m+n)。
-不同底数幂相乘，指数相乘。
例如，a^m*b^n=a^m*b^n。
- 系数相乘。
例如，k * t = kt。
2.多项式的乘法：多项式的乘法通过将每一项都与另一个多项式的每一项相乘，并将结果相加得到。
例如，(a+b+c)(x+y+z) = ax+ay+az+bx+by+bz+cx+cy+cz。
这个过程通常称为“分配律”。
二、整式的因式分解整式的因式分解是指将一个整式表示成几个单项式的乘积的运算。
因式分解的基本思路是找到整式的公因式，然后使用“提公因式法”将整式表示为公因式与其余部分的乘积。
1.提公因式法：假设整式ax+bx有一个公因式x，则可以将其改写为x(a+b)。
这个过程是因式分解中最基本的方法。
根据此原理，我们可以使用提公因式法因式分解更复杂的整式。
2.完全平方公式的因式分解：完全平方公式是指一个二次三项式（即一元二次多项式）的平方可以被因式分解成两个平方的和或差。
例如，a^2+2ab+b^2可以因式分解为(a+b)^2，而a^2-2ab+b^2可以因式分解为(a-b)^23.完全立方公式的因式分解：完全立方公式是指一个三次三项式（即一元三次多项式）的立方可以被因式分解成两个立方的和或差。
例如，a^3+3a^2b+3ab^2+b^3可以因式分解为(a+b)^3，而a^3-3a^2b+3ab^2-b^3可以因式分解为(a-b)^34.分组分解法：分组分解法是指根据整式中各项之间的关系将整式进行分组，以便使用提公因式法进行因式分解。
八年级数学上册第十四章《整式的乘法与因式分解》知识点总结
一、选择题1．将4个数a 、b 、c 、d 排成2行、2列，两边各加一条竖直线记成a c b d ，定义a c b d =ad －bc ．上述记号就叫做2阶行列式，若11x x +- 11x x -+=12，则x=( )． A ．2B ．3C ．4D ．6B解析：B【分析】 根据题中的新定义将所求的方程化为普通方程，整理后即可求出方程的解，即为x 的值．【详解】 解：根据题意化简11 11x x x x +--+=12，得（x+1）2-（x-1）2=12， 整理得：x 2+2x+1-（1-2x+x 2）-12=0，即4x=12，解得：x=3，故选：B ．【点睛】此题考查了整式的混合运算，属于新定义的题型，涉及的知识有：完全平方公式，去括号、合并同类项法则，根据题意将所求的方程化为普通方程是解本题的关键． 2．已知代数式2366x x -+的值为9，则代数式226x x -+的值为（ ） A ．18B ．12C ．9D ．7D 解析：D【分析】将x 2﹣2x 当成一个整体，在第一个代数式中可求得x 2﹣2x ＝1，将其代入后面的代数式即能求得结果．【详解】解：∵3x 2﹣6x +6＝9，即3（x 2﹣2x ）＝3，∴x 2﹣2x ＝1，∴x 2﹣2x +6＝1+6＝7．故选：D ．【点睛】本题考查了代数式求值，解题的关键是将x 2﹣2x 当成一个整体来对待．3．在下列的计算中正确的是（ ）A ．23a ab a b ⋅=；B ．()()2224a a a +-=+；C ．235x y xy +=；D ．()22369x x x -=++ A 解析：A【分析】根据单项式的乘法，平方差公式，完全平方公式，对各选项计算后利用排除法求解．【详解】A 、a 2•ab ＝a 3b ，正确；B 、应为（a ＋2）（a−2）＝a 2−4，故本选项错误；C 、2x 与3y 不是同类项不能合并；D 、应为（x−3）2＝x 2−6x ＋9，故本选项错误．故选：A ．【点睛】本题主要考查平方差公式，单项式的乘法法则，完全平方公式，熟练掌握运算法则和公式是解题的关键，合并同类项时，不是同类项的不能合并．4．下列运算中，正确的个数是（ ）①2352x x x +=；②()326x x =；③03215⨯-=；④538--+= A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个A解析：A【分析】 ①根据同类项的定义判断计算；②根据幂的乘方公式计算；③利用零指数幂和有理数的混合运算法则计算；④根据同类项的定义判断计算.【详解】∵2x 与3x 不是同类项，无法合并，∴①是错误的；∵()326x x =，∴②是正确的； ∵032112-1=1⨯-=⨯，∴③是错误的； ∵53-5+3=-2--+=，∴④是错误的；综上所述，只有一个正确，故选：A.【点睛】本题考查了合并同类项，幂的乘方，零指数幂，绝对值，有理数的混合运算，熟练掌握公式及其运算法则是解题的关键.5．下列计算正确的是（ ）A ．（a +b ）（a ﹣2b ）＝a 2﹣2b 2B ．（a ﹣12）2＝a 2﹣14C ．﹣2a （3a ﹣1）＝﹣6a 2+aD ．（a ﹣2b ）2＝a 2﹣4ab +4b 2D 解析：D【分析】根据整式的乘法逐项判断即可求解．【详解】解：A. （a +b ）（a ﹣2b ）＝a 2﹣4b 2，原题计算错误，不合题意；B. （a ﹣12）2＝a 2﹣a +14，原题计算错误，不合题意；C. ﹣2a （3a ﹣1）＝﹣6a 2+2a ，原题计算错误，不合题意；D. （a ﹣2b ）2＝a 2﹣4ab +4b 2，计算正确，符合题意．故选：D【点睛】本题考查了单项式乘以多项式，平方差公式，完全平方式，熟练掌握单项式乘以多项式的法则、乘法公式是解题的关键．6．如图，从边长为21a +的正方形纸片中剪去一个边长为2a +的正方形(0)a >，剩余部分沿虚线又剪拼成一个矩形（不重叠无缝隙），则矩形的面积为（ ）A ．233a -B ．233a +C ．221a a -+D ．2189a a ++ A解析：A【分析】 矩形的面积就是边长是21a +的正方形与边长是2a +的正方形的面积的差，列代数式进行化简即可．【详解】解：由题意可知，矩形的面积就是边长是21a +的正方形与边长是2a +的正方形的面积的差，∴S 矩形=()()22212a a +-+=2244144a a a a ++---=233a -．故选：A ．【点睛】本题考查了整式的运算，根据题意列出代数式，同时正确使用完全平方公式是解决本题的关键．7．数151025N =⨯是（ ）A ．10位数B ．11位数C ．12位数D ．13位数C 解析：C【分析】利用同底数幂的乘法和积的乘方的逆运算，将原数改写变形即可得出结论．【详解】 ()1015105101051011252252253210 3.210N =⨯=⨯⨯=⨯⨯=⨯=⨯，∴N 是12位数，故选：C ．【点睛】本题考查同底数幂的乘法和积的乘方的逆运算的应用，灵活运用基本运算法则对原式变形是解题关键．8．当2x =时，代数式31ax bx ++的值为6，则2x =-时，31ax bx ++的值为（ ） A ．6-B ．5-C ．4D ．4- D 解析：D【分析】根据已知把x=2代入得：8a+2b+1=6，变形得：-8a-2b=-5，再将x=-2代入这个代数式中，最后整体代入即可．【详解】解：当x=2时，代数式ax 3+bx+1的值为6，则8a+2b+1=6，即8a+2b=5，∴-8a-2b=-5，则当x=-2时，ax 3+bx+1=（-2）3a-2b+1=-8a-2b+1=-5+1=-4，故选：D ．【点睛】本题考查了求代数式的值，求代数式的值可以直接代入、计算．如果给出的代数式可以化简，要先化简再求值．题型简单总结以下三种：①已知条件不化简，所给代数式化简；②已知条件化简，所给代数式不化简；③已知条件和所给代数式都要化简．9．计算2019202040.753⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭的结果是（ ） A ．43 B ．43- C ．0.75 D ．-0.75D解析：D【分析】先将20200.75化为20193434⨯，再用幂的乘方的逆运算计算，再计算乘法即可得到答案． 【详解】2019202040.753⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭ =20192019343434⎛⎫⎛⎫⨯-⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=201934()3434⎡⎤⨯⎢⎥⎣⎦⨯- =(31)4-⨯=34-, 故选：D ．【点睛】此题考查有理数数的乘法运算，掌握幂的乘方的逆运算是解题的关键．10．下列运算正确的是（ ）A ．x 2·x 3=x 6B ．(x 3)2=x 6C ．(-3x)3=27x 3D ．x 4+x 5=x 9B解析：B【分析】根据幂的乘方与积的乘方的运算方法，同底数幂的乘法的运算方法，以及合并同类项的方法，逐项判断即可．【详解】∵x 2•x 3=x 5，∴选项A 不符合题意；∵（x 3）2＝x 6，∴选项B 符合题意；∵（−3x ）3＝−27x 3，∴选项C 不符合题意；∵x 4＋x 5≠x 9，∴选项D 不符合题意．故选：B ．【点睛】此题主要考查了幂的乘方与积的乘方的运算方法，同底数幂的乘法的运算方法，以及合并同类项的方法，要熟练掌握． 二、填空题11．已知2a －b ＋2＝0，则1－4a ＋2b 的值为______．5【分析】由得整体代入代数式求值【详解】解：∵∴∴原式故答案是：5【点睛】本题考查代数式求值解题的关键是掌握整体代入的思想解析：5【分析】由220a b -+=得22a b -=-，整体代入代数式求值．【详解】解：∵220a b -+=，∴22a b -=-，∴原式()()122122145a b =-+=-⨯-=+=．故答案是：5．【点睛】本题考查代数式求值，解题的关键是掌握整体代入的思想．12．若2,3x y a a ==，则22x y a +=_______________________．36【分析】根据同底数幂的乘法及幂的乘方的逆用计算即可【详解】解：∵∴=2²×3²=36故答案为36【点睛】本题考查了同底数幂的乘法及幂的乘方的逆用熟记幂的运算性质是解答本题的关键解析：36【分析】根据同底数幂的乘法及幂的乘方的逆用计算即可．【详解】解：∵2,3x y a a ==，∴222222().()x y x y x y a a a a a +=⋅==2²×3²=36，故答案为36．【点睛】本题考查了同底数幂的乘法及幂的乘方的逆用，熟记幂的运算性质是解答本题的关键． 13．如图所示，在这个运算程序当中，若开始输入的x 是2，则经过2021次输出的结果是________．4【分析】根据第一次输出的结果是1第二次输出的结果是6…总结出每次输出的结果的规律求出2021次输出的结果是多少即可【详解】解：把x=2代入得：2÷2=1把x=1代入得：1+5=6把x=6代入得：6解析：4【分析】根据第一次输出的结果是1，第二次输出的结果是6，…，总结出每次输出的结果的规律，求出2021次输出的结果是多少即可．【详解】解：把x=2代入得：2÷2=1，把x=1代入得：1+5=6，把x=6代入得：6÷2=3，把x=3代入得：3+5=8，把x=8代入得：8÷2=4，把x=4代入得：4÷2=2，把x=2代入得：2÷2=1，以此类推，∵2021÷6=336…5，∴经过2021次输出的结果是4．故答案为：4．【点睛】本题主要考查了代数式求值问题，要熟练掌握，求代数式的值可以直接代入、计算．如果给出的代数式可以化简，要先化简再求值．题型简单总结以下三种：①已知条件不化简，所给代数式化简；②已知条件化简，所给代数式不化简；③已知条件和所给代数式都要化简．14．数学家发明了一个魔术盒，当任意数对(,)a b 放入其中时，会得到一个新的数：(1)(2)a b --．例如：将数对(2,1)放入其中时，最后得到的数是________；（1）将数对(23,2)+放入其中，最后得到的数________；（2）现将数对(,0)m 放入其中，得到数n ，再将数对(,)n m 放入其中后，最后得到的数是________．（结果要化简）-1-2-2m2+5m-2【分析】根据题目中的新定义运算规则可分别计算出数对和放入其中后最后得到的数再由数对放入其中得到数计算出m 与n 的关系再计算数对即可得到结果【详解】解：由题意得：数对放入其中时解析：-1 -2 -2m 2+5m-2【分析】根据题目中的新定义运算规则，可分别计算出数对(2,1)和(23,2)+放入其中后，最后得到的数，再由数对(,0)m 放入其中，得到数n ，计算出m 与n 的关系，再计算数对(,)n m ，即可得到结果．【详解】解：由题意得：数对(2,1)放入其中时，最后得到的数是：（2-1）×（1-2）＝-1； 故答案为：-1；（1）将数对(23,2)+放入其中，最后得到的数是：（23+-1）（2-2）＝-2； 故答案为：-2；（2）根据数对(,0)m 放入其中得到数n ，可得：（m−1）×（0−2）＝n ， 则-2m+2＝n ， ∴将数对（n ，m ）放入其中后，最后得到的数是：（n−1）（m−2）＝（-2m+2−1）（m−2）＝（-2m+1）（m−2）＝-2m 2+5m-2．故答案为：-2m 2+5m-2．【点睛】此题主要考查了新定义下的实数运算，弄清题中的新定义运算规则、实数及多项式乘多项式的运算法则是解本题的关键．15．若（2x +1）5=a 5x 5+a 4x 4+a 3x 3+a 2x 2+a 1x +a ，则a 2+a 4=____120【分析】令x=0可求得a=1；令x=1可求得a5a4a3a2a1a=243①；令x=-1可求得-a5a4-a3a2-a1a=-1②把①和②相加即可求出a2+a4的值【详解】解：解析：120【分析】 令x=0，可求得a=1；令x=1，可求得a 5+a 4+a 3+a 2+a 1+a=243①；令x=-1，可求得-a 5+a 4-a 3+a 2-a 1+a=-1②，把①和②相加即可求出a 2+a 4的值．【详解】解：当x=0时， a=1；当x=1时， a 5+a 4+a 3+a 2+a 1+a=243①，当x=-1时，-a 5+a 4-a 3+a 2-a 1+a=-1②，2a 4+2a 2+2a=242，∴a 2+a 4=120．故答案为：120．【点睛】本题考查了求代数式的值，正确代入特殊值是解答本题的关键．16．分解因式323a a -=____．【分析】提取公因式a2即可【详解】解：=故答案为：【点睛】本题考查了分解因式方法之一提取公因式正确提取公因式是解决本题的关键解析：2)(3a a -【分析】提取公因式a 2即可．【详解】解：323a a -，=2)(3a a -，故答案为：2)(3a a -．【点睛】本题考查了分解因式方法之一提取公因式，正确提取公因式是解决本题的关键． 17．已知23x y -=，则432x y --=________．3【分析】把看成一个整体原式可化为2（）-3整体代入即可【详解】解：原式=2（）-3=2×3-3=3故答案为：3【点睛】本题考查了求代数式的值把看成一个整体是解题的关键解析：3【分析】把2x y -看成一个整体，原式可化为2（2x y -）-3，整体代入即可．【详解】解：原式=2（2x y -）-3=2×3-3=3，故答案为：3．【点睛】本题考查了求代数式的值，把2x y -看成一个整体是解题的关键．18．若2x y a +=，2x y b -=，则22x y -的值为____________．【分析】应用平方差把多项式因式分解再整体代入即可【详解】解：把代入原式=故答案为：【点睛】本题考查了运用平方差公式因式分解和整体代入求值能够熟练运用平方差把多项式因式分解并整体代入求值是解题的关键解析：4ab ．【分析】应用平方差把多项式22x y -因式分解，再整体代入即可．解：22()()x y x y x y -=+-，把2x y a +=，2x y b -=代入，原式=224a b ab ⨯=，故答案为：4ab ．【点睛】本题考查了运用平方差公式因式分解和整体代入求值，能够熟练运用平方差把多项式因式分解并整体代入求值，是解题的关键．19．下列说法：①用两个钉子就可以把木条固定在墙上依据的是“两点之间，线段最短”；②若2210m m +-=，则2425m m ++的值为7；③若a b >，则a 的倒数小于b 的倒数；④在直线上取A 、B 、C 三点，若5cm AB =，2cm BC =，则7cm AC =．其中正确的说法有________（填号即可）．②【分析】①用两个钉子可以把木条固定的依据是两点确定一条直线；②利用整体代换的思想可以求出代数式的值；③根据倒数的定义举出反例即可；④直线上ABC 三点的位置关系要画图分情况讨论【详解】①用两个钉子可解析：②【分析】①用两个钉子可以把木条固定的依据是“两点确定一条直线”；②利用“整体代换”的思想，可以求出代数式的值；③根据倒数的定义，举出反例即可；④直线上A 、B 、C 三点的位置关系，要画图，分情况讨论．【详解】①用两个钉子可以把木条固定的依据是“两点确定一条直线”，故①错误；②∵2210m m +-=，∴()2242522172077m m m m ++=+-+=⨯+=，故②正确；③∵a ＞b ，取a=1，b=－1， ∴11a =，11b=-，11a b >，故③错误； ④当点C 位于线段AB 上时，AC=AB －BC=5－2=3cm ；当点C 位于线段AB 的延长线上时，AC=AB+BC=5+2=7cm ，则AC 的长为3cm 或7cm ，故④错误；综上可知，答案为：②．【点睛】本题考查了两点确定一条直线、整体代换思想、求代数式的值、倒数的有关计算及数形结合法求线段的长度，综合性较强，需要学生熟练掌握相关的知识点．20．在学习整式乘法的时候，我们发现一个有趣的问题：将上述等号右边的式子的各项系数排成下表，如图：（a +b ）0＝1（a +b ）1＝a +b（a +b ）2＝a 2+2ab +b 2（a +b ）3＝a 3+3a 2b +3ab 2+b 3这个图叫做“杨辉三角”，请观察这些系数的规律，直接写出（a +b ）5＝__________，并说出第7排的第三个数是___．a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b515【分析】多项式乘方运算安全平方公式安全立方公式发现规律数字规律归纳即可【详解】解：（a+b ）5＝a5+5a4b+10a3b2+10a2b解析：a 5+5a 4b +10a 3b 2+10a 2b 3+5ab 4+b 5 15【分析】多项式乘方运算，安全平方公式，安全立方公式，发现规律，数字规律归纳即可，【详解】解：（a +b ）5＝a 5+5a 4b +10a 3b 2+10a 2b 3+5ab 4+b 5；第7排的第三个数是15，故答案为：a 5+5a 4b +10a 3b 2+10a 2b 3+5ab 4+b 5；15，【点睛】本题考查完全平方公式、完全立方公式，规律型：数字的变化类，掌握多项式乘法法则，和完全平方公式，观察式子的特征是解题关键，三、解答题21．计算下列各题：（12(2)-3125-9（2）（7）（37）2（22解析：（1）0；（2）2【分析】（1）根据平方根、立方根的意义进行计算即可；（2）利用平方差公式和实数的计算方法进行计算即可．【详解】解：（12(2)-3125-9＝2+（﹣5）+3＝0；（2）（3+7）（3﹣7）+2（2﹣2）＝32﹣（7）2+22﹣2＝9﹣7+22﹣2＝22．【点睛】本题考查了包含算术平方根、立方根、平方差公式的实数计算，熟练运用法则和公式是解决问题关键．22．在日历上，我们可以发现其中某些数满足一定的规律，如下图是2021年1月份的日历，我们任意用一个22的方框框出4个数，将其中4个位置上的数两两交叉相乘，再用较大的数减去较小的数，你发现了什么规律？（1）图中方框框出的四个数，按照题目所说的计算规律，结果为______．（2）换一个位置试一下，是否有同样的规律？如果有，请你利用整式的运算对你发现的规律加以证明；如果没有，请说明理由．解析：（1）7；（2）有同样的规律，(a+1)(a+7)-a(a+8)=7，理由见解析【分析】（1）根据题意列出算式11×5-4×12，再进一步计算即可；（2）如换为3，4，10，11，按要求计算即可；设方框框出的四个数分别为a，a+1，a+7，a+8，列出算式(a+1)(a+7)-a(a+8)，再进一步计算即可得．【详解】（1）11×5-4×12=55-48=7，故答案为：7；（2）换为3，4，10，11，则10×4-3×11=40-33=7；设方框框出的四个数分别为a，a+1，a+7，a+8，则(a+1)(a+7)-a(a+8)=a2+7a+a+7-a2-8a=7．【点睛】本题主要考查整式的混合运算，解题的关键是根据题意列出算式，并熟练掌握整式的混合运算顺序和运算法则．23．乘法公式的探究及应用．（1）如图1，可以求出阴影部分的面积是_______（写成两数平方差的形式）；（2）图2是将图1中的阴影部分裁剪开，重新拼成的一个长方形，观察它的长和宽，其面积是______（写成多项式乘法的形式）．（3）比较左、右两图的阴影部分面积，可以得到乘法公式_______．（用等式表示） （4）运用你所得到的公式，计算下列各题：①10.39.7⨯②(2)(2)m n p m n p +--+解析：（1）22a b -；（2）()()a b a b +-；（3）22()()a b a b a b +-=-；（4）①99.91；②22242m n np p -+-【分析】（1）利用正方形的面积公式就可求出；（2）仔细观察图形就会知道长，宽，由面积公式就可求出面积；（3）建立等式就可得出；（4）利用平方差公式就可方便简单的计算．【详解】解：（1）利用大正方形面积减去小正方形面积即可求出：22a b -，故填：22a b -；（2）它的宽是a ﹣b ，长是a+b ，面积是()()a b a b +-，故填：()()a b a b +-；（3）根据题意得出：22()()a b a b a b +-=-，故填：22()()a b a b a b +-=-；（4）①解：原式(100.3)(100.3)=+⨯- 22100.3=-1000.09=-99.91=；②解：原式[2()][2()]m n p m n p =+-⋅--22(2)()m n p =--22242m n np p =-+-．【点睛】此题主要考查了平方差公式．即两个数的和与这两个数的差的积等于这两个数的平方差，这个公式就叫做平方差公式．对于有图形的题同学们注意利用数形结合求解更形象直观． 24．先化简，再求值：()()()2222(2)x y y x x y x y x --++---，其中1,22x y =-=． 解析：232+x xy ，54-. 【分析】利用平方差公式，和的完全平方公式，单项式乘以多项式法则化简，合并同类项后，代入求值即可.【详解】原式2222244 42x y x xy y xy x =-+++-+ 232x xy =+，当1,22x y =-=时， 原式2115322224⎛⎫⎛⎫=⨯-+⨯-⨯=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 【点睛】本题考查了运用乘法公式进行化简，熟练运用公式，正确合并同类项是解题的关键. 25．（概念学习）规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的除法运算叫做除方．例如222÷÷，记作2③，读作“2的圈3次方”；再例如(3)(3)(3)(3)-÷-÷-÷-，记作()3-④，读作“3-的圈4次方”；一般地，把n a a a a a ÷÷÷⋅⋅⋅÷个（0a ≠，n 为大于等于2的整数）记作，读作“a 的圈n 次方”．（初步探究）（1）直接写出计算结果：7=③_______________，14⎛⎫-= ⎪⎝⎭⑤__________； （2）关于除方，下列说法错误的是____________；A ．任何非零数的圈2次方都等于1；B ．对于任何大于等于2的整数c ，； C ．89=⑨⑧；D ．负数的圈奇数次方结果是负数，负数的圈偶数次方结果是正数；（深入思考）我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？ 除方211112222222222⎛⎫→=÷÷÷=⨯⨯⨯=→ ⎪⎝⎭④乘方幂的形式（1）仿照上面的算式，将下列运算结果直接写成幂的形式：(5)-=⑥___________；12⎛⎫= ⎪⎝⎭⑨___________；（2）将一个非零有理数a 的圈n 次方写成幂的形式为____________；（3）将（m 为大于等于2的整数）写成幂的形式为_________． 解析：【初步探究】（1）17，64-；（2）C ；【深入思考】（1）415⎛⎫- ⎪⎝⎭，72；（2）21n a -⎛⎫⎪⎝⎭；（3）4m n a +-【分析】初步探究：（1）根据新定义的运算法则进行计算，即可得到答案；（2）根据新定义的运算法则进行判断，即可得到答案；深入思考：（1）由题目中的运算法则转换成幂的形式，即可得到答案；（2）把幂的形式转换为一般形式即可；（3）先把代数式进行化简，然后写成幂的形式即可．【详解】解：【初步探究】（1）177777=÷÷=③；111111()()()()()44444464⎛⎫-=-÷-÷-÷-÷-= ⎪⎭-⎝⑤；故答案为：17；64-；（2）由题意：A 、任何非零数的圈2次方都等于1；正确；B 、对于任何大于等于2的整数c ，；正确；C 、7188888888888=÷÷÷÷÷÷÷÷=⑨，619999999999=÷÷÷÷÷÷÷=⑧，∴89≠⑨⑧，则C 错误；D 、负数的圈奇数次方结果是负数，负数的圈偶数次方结果是正数；正确；故选：C ．【深入思考】（1）4111111(5)(5)()()()()()()555555-=-⨯-⨯-⨯-⨯-⨯-=-⑥； 71122222222222⎛⎫=⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭⑨； 故答案为：41()5-；72；（2）由（1）可知，根据乘方的运算法则，则将一个非零有理数a 的圈n 次方写成幂的形式为：21n a -⎛⎫= ⎪⎝⎭； 故答案为：21n a -⎛⎫ ⎪⎝⎭；（3）=224m n m n a a a --+-•=； 故答案为：4m n a +-．【点睛】本题考查了新定义的运算法则，幂的乘方，有理数的乘法和除法运算，解题的关键是熟练掌握新定义的运算法则、乘方的运算法则进行解题．26．因式分解：（1）2ax 2－4axy ＋2ay 2（2）x 2－2x －8解析：（1）22()a x y -；（2）(2)(4)x x +-．【分析】（1）先提取公因式，再用完全平方公式因式分解；（2）先给原式变形用完全平方公式给前三项因式分解后，再利用平方差公式因式分解．【详解】解：（1）原式=22)2(2a x xy y -+=22()a x y -；（2）原式=2219x x -+-=22(1)3x --=(13)(13)x x -+--=(2)(4)x x +-．【点睛】本题考查综合运用提公因式法和公式法因式分解．一般因式分解时，有公因式先提取公因式，再看能否运用公式因式分解，有时还需变形后，分组因式分解．27．如图，正方形ABCD 的边长为a ，点E 在AB 边上，四边形EFGB 也是正方形，它的边长为()b a b >，连结AF ，CF ，AC ．（1）用含a 、b 的代数式表示GC =______；（2）若两个正方形的面积之和为60，即2260a b +=，又20ab =，图中线段GC 的长； （3）若8a =，AFC △的面积为S ，求S 的值．解析：（1）a+b ；（2）10；（3）32【分析】（1）可由图形直观的得出结论；（2）利用完全平方公式通过展开推导，再将数值代入计算可得；（3）通过面积计算可得，△AFC 的面积为12a 2即为32． 【详解】解：（1）∵GC ＝GB+BC ，∴GC ＝a+b ，故答案为：a+b ；（2）∵（a+b ）2＝a 2+b 2+2ab ＝60+20×2＝100，∴a+b ＝10，∴GC ＝10；（3）S △AFC ＝S △AFE +S ▱FGBE +S △ABC -S △FGC 22111()()222b a b b a b b a =-++-+ 22221111122222ab b b a b ab =-++-- 212a = 2182=⨯ 32=故答案为：32．【点睛】本题主要考查了完全平方公式运用，解题的关键是完全平方公式展开与合并．运用几何直观理解、通过几何图形之间的数量关系对完全平方公式做出几何解释的知识点． 28．因式分解：（1）4x 2y ﹣4xy +y ；（2）9a 2﹣4（a +b ）2．解析：（1）y （2x ﹣1）2；（2）（5a +2b ）（a ﹣2b ）【分析】（1）先提公因式，再利用完全平方公式；（2）先利用平方差公式分解，再化简即可．【详解】解：（1）4x2y﹣4xy+y＝y（4x2﹣4x+1）＝y（2x﹣1）2；（2）9a2﹣4（a+b）2＝[3a+2（a+b）][3a﹣2（a+b）]＝（5a+2b）（a﹣2b）．【点睛】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．。
整式乘法与因式分解的关系
整式乘法与因式分解的关系一、引言整式乘法与因式分解是初中代数中非常重要的概念和技巧。
整式乘法是指将两个或多个整式相乘的运算，而因式分解是将一个整式写成几个整式的乘积的过程。
整式乘法与因式分解密切相关，通过整式乘法可以得到一个整式的因式分解形式，通过因式分解可以得到一个整式的乘积形式。
本文将通过具体例子和解释来阐述整式乘法与因式分解之间的关系。
二、整式乘法与因式分解的基本概念1. 整式乘法：整式乘法是将两个或多个整式相乘的运算。
例如，将(x+2)和(x-3)相乘可以得到x^2-x-6，其中x^2是两个整式的第一项相乘得到的，-x是两个整式的第二项相乘得到的，-6是两个整式的最后一项相乘得到的。
2. 因式分解：因式分解是将一个整式写成几个整式的乘积的过程。
例如，将x^2-x-6进行因式分解可以得到(x+2)(x-3)，其中(x+2)和(x-3)是原整式的因子，它们的乘积等于原整式。
三、整式乘法与因式分解的关系整式乘法与因式分解是相互关联的过程。
通过整式乘法可以得到一个整式的因式分解形式，通过因式分解可以得到一个整式的乘积形式。
1. 整式乘法得到因式分解形式：通过整式乘法可以将一个整式写成多个整式的乘积形式，即因式分解。
例如，将x^2-4进行因式分解可以得到(x+2)(x-2)，其中(x+2)和(x-2)是原整式的因子，它们的乘积等于原整式。
2. 因式分解得到整式乘积形式：通过因式分解可以将一个整式写成多个整式的乘积形式。
例如，将(x+3)(x-1)进行乘法运算可以得到x^2+2x-3，其中x^2是两个整式的第一项相乘得到的，2x是两个整式的第二项相乘得到的，-3是两个整式的最后一项相乘得到的。
因此，整式乘法与因式分解是相互依存的过程，可以相互转化。
四、整式乘法与因式分解的应用举例1. 应用举例1：求解方程已知方程x^2-5x+6=0，我们可以通过因式分解将其转化为(x-2)(x-3)=0，然后可以得到两个解x=2和x=3。
八年级数学人教版上册第14章整式的乘除与因式分解14.3.2整式的除法(图文详解)
八年级上册第14章整式的乘除与因式分解
1.（綦江·中考）2a2÷a的结果是（ ）
A．2 B．2a
C．2a3
D．2a2
【解析】选B.利用单项式除以单项式的运算法则易得 选项B正确.
八年级上册第14章整式的乘除与因式分解
2.（无锡·中考）下列正确的是（ ）
A．（a3)2=a5 C．(a3-a)÷a=a2
B．a3+a2=a5 D．a3÷a3=1
【解析】选D.利用单项式除以单项式的运算法则易得选
项D正确.
八年级上册第14章整式的乘除与因式分解
3.（4x2y3）2 ÷ (-2xy2) 【解析】原式=16x4y6÷(-2xy2)
八年级上册第14章整式的乘除与因式分解
【例】计算:
（1）28x4y2÷7x3y （2）-15a5b3c÷5a4b
【解析】原式=4xy
原式=-3ab2c
（3）（2x2y）3×（-7xy2）÷14x4y3
原式=8x6y3×（-7xy2）÷14x4y3
=-56x7y5÷14x4y3
=-4x3y2
八年级上册第14章整式的乘除与因式分解
的值. 【解析】原式
(9x2 4 y2 5x2 2xy 10xy 4 y2 ) 8x (4x2 8xy) 8x 1xy
2 Q x 2 y 2012 1 x y 1006
2 原式 1006
八年级上册第14章整式的乘除与因式分解
通过本课时的学习，需要我们掌握： 1.单项式相除 (1)系数相除； (2)同底数幂相除； (3)只在被除式里的幂不变. 2.多项式除以单项式
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第十四章 整式的乘法与因式分解
整式的乘法：),(都是正整数n m a a a n m n m +=∙
),(都是正整数）（n m a a m n n m =
)()(都是正整数n b a ab n n n = 22))((b a b a b a -=-+ 2222)(b ab a b a ++=+ 2222)(b ab a b a +-=-
整式的除法：)0,,(≠=÷-a n m a a a n m n m 都是正整数
注意：（1）单项式乘单项式的结果仍然是单项式。
（2）单项式与多项式相乘，结果是一个多项式，其项数与因式中多项式的项数相
同。
（3）计算时要注意符号问题，多项式的每一项都包括它前面的符号，同时还要注
意单项式的符号。
（4）多项式与多项式相乘的展开式中，有同类项的要合并同类项。
（5）公式中的字母可以表示数，也可以表示单项式或多项式。
（6）),0(1
);0(10
为正整数p a a
a
a a p p
≠=
≠=- （7）多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的
商相加，单项式除以多项式是不能这么计算的。
考点三、因式分解 （11分）
1、因式分解
把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式。
2、因式分解的常用方法
（1）提公因式法：)(c b a ac ab +=+ （2）运用公式法：))((2
2
b a b a b a -+=-
222)(2b a b ab a +=++ 222)(2b a b ab a -=+-
（3）分组分解法：))(()()(d c b a d c b d c a bd bc ad ac ++=+++=+++ （4）十字相乘法：))(()(2
q a p a pq a q p a ++=+++
3、因式分解的一般步骤：
（1）如果多项式的各项有公因式，那么先提取公因式。
（2）在各项提出公因式以后或各项没有公因式的情况下，观察多项式的项数：2项式可以尝试运用公式法分解因式；3项式可以尝试运用公式法、十字相乘法分解因式；4项式及4项式以上的可以尝试分组分解法分解因式
（3）分解因式必须分解到每一个因式都不能再分解为止。
八年级数学第十四章整式的乘法与因式分解测试题（新课标）
（时限：100分钟 总分：100分）
一、选择题：将下列各题正确答案的代号的选项填在下表中。
每小题2分，共24分。
1.下列计算正确的是（ ）
A. 326a a =a ⋅
B.441b b ÷=
C. 5510
x +x =x D. 78y y=y ⋅
2.化简()4
2
a a ⋅-的结果是（ ）
A. －6a
B. 6a
C. 8a
D. －8
a 3.若⋅=m
3
5
a a a ，则m 的值为（ ）
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4 4.计算()3
06
2a a a
⋅⋅等于（ ）
A. 11a
B. 12
a C. 14
a D. 36
a 5.化简()
2
42
3
a a a
⋅+的结果正确的是（ ）
A.8
6
a a + B. 9
6
a a + C. 26
a D. 12
a 6.下列计算错误的是（ ）
A. 3a ·2b ＝5ab
B. －a 2·a ＝－a 3
C. ()()9
3
6-x -x =x ÷ D. ()
2
3
62a
4a -=
7.下列计算正确的是（ ）
A. ()
()324
2ab 4ab 2a b ⋅-= B. 534215a b c 15a b=3
b c -÷ C. ()()3
233
xy x y x y ⋅-=- D. ()()
2323ab 3a b 9a b -⋅-=
8.一个长方体的长、宽、高分别为3x －4，2x 和x ，则它的体积等于（ ）
A.
()313x 42x=3x 4x 2-⋅- B. 21
x 2x=x 2
⋅ C. ()3
2
3x-42x x=6x 8x ⋅⋅- D. ()2
3x-42x=6x 8x ⋅- 9.下列多项式相乘和结果为x 3－2x 2y +xy 2
的是（ ）
A. ()()x x y x -y +
B. ()
22
x x 2xy y ++ C. ()2x x y + D. ()2
x x -y
第20题图
图乙
图甲a a 10.()()()
2
x 2x 2x 4+-+的计算结果是（ ）
A. 4x 16+
B. 416x --
C. 4x 16-
D. 4
16x -
11.一次课堂练习，一位同学做了4道因式分解题，你认2这位同学做得不够完整的题是
（ ）
A. ()2
22
x 2xy+y x y -=- B. ()22x y-xy xy x y =- C. ()()22x y x y x y -=+- D. ()
32
x x=x x 1--
12.若a ＋b ＝6，a b ＝3，则3a 2b ＋3ab 2的值是（ ）
A. 9
B. 27
C. 19
D. 54 二、填空题：本大题共8小题，每小题3分，共24分。
13.若x x a 2,b 3==，则()3x
ab ＝. 14.已知：()
3
5
m 11a a a ⋅=，则m 的值为.
15.计算()2
242a a 9a 39⎛⎫
-
-⋅- ⎪⎝
⎭
的结果是. 16.若a －b ＝1，a b ＝－2，则()()a 1b-1+＝.
17.已知：()()2
2
22
x y 1,x y 17,y =+=-=+则x ，x y ＝ .
18.在实数范围内分解因式：x 4－4＝.
19.若9x 2＋m x y ＋16y 2是一个完全平方式，则m 的值是.
20.在边长为a 的正方形中挖去一个边长为b 的小正方形（a ＞b ）（如图甲），把余下的部
分拼成一个矩形（如图乙），根据两个图形中阴影部分的面积相等， 可以验证（填写序号）. ①()2
a+b =a 2＋2ab ＋b 2 ②()2
a -
b =a 2－2ab ＋b 2 ③a 2－b 2＝()()a b a b +- ④()()a 2b a b +-=a 2＋a b －2b 2
三、解答题：（本大题共52分）
21.计算题：（每小题4分，共计16分） ⑴.(
)
()4
33a a -⋅- ⑵.2332341x yz xz xy z 233⎛⎫⎛⎫⎛⎫-⋅-⋅ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
⑶()(
)22232
x x y xy y x -x y 3x y ⎡⎤--÷⎣
⎦
⑷.()()5x 7y-35x+3-7y +
22.化简求值：（每小题3分，共6分）
⑴.()()()2
a b a b a b +-++，其中a ＝3，b ＝－13
.
⑵.已知2x －y ＝10，求(
)()
()2
22
x y
x y 2y x y 4y ⎡⎤+--+-÷⎣⎦
的值.
23.将下列各式因式分解：（每小题4分，共16分）
⑴.a 4－16 ⑵.()()2
2
16a b 9a b --+
⑶.x 2－1＋y 2－2xy ⑷.()(
)()
2
2
2
2
m n 2m n
m n +--+-.
24.解不等式组：（8分）
()()()()()2x 2x-52x 3x -4x 1x 38x x 5x 52
⎧>-⎪
⎨
+++>+--⎪⎩
25.探究题：（6分） 观察下列式子：（x 2－1）÷（x －1）＝x ＋1； （x 3－1）÷（x －1）＝x 2＋x ＋1； （x 4－1）÷（x －1）＝x 3＋x 2＋x ＋1 （x 5－1）÷（x －1）＝x 4＋x 3＋x 2＋x ＋1
⑴.你能得到一般情况下（x n －1）＋（x －1）的结果吗？（n 为正整数） ⑵.根据⑴的结果计算：1＋2＋22＋23＋24＋…＋262＋263.。