高等数学-映射与函数
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高数高等数学1.1映射与函数
1 2 1 O 1 1 2 x
说明 (1) 分段函数对应不同的区间，函数有不同的表达式. (2) 分段函数表示一个函数，不是几个函数. (3) 分段函数的定义域是各分区间的定义域的并集.
1 例6 设 f ( x ) 2 1 解 f ( x) 2
0 x1
求 f ( x 2) .
解
2( x 2) 1, 0 x 2 1 f ( x 2) 4 ( x 2), 1 x 2 2
2 x 5, 2 x,
2 x 1 1 x 0
.
几个特殊的函数举例 (1)常函数
开区间
( a , b ) { x a x b}
o
闭区间
a
b
x
[a , b ] { x a x b }
o
a
b
x
半开区间
[a , b ) { x a x b}
( a , b] { x a x b }
无限区间
有限区间
称a, b为区间的端点， 称b－a为这些区间的长度.
1, 当 x > 0 0, 当x = 0
1 ,
1
当x<0
y4
3 2 1
o
-1
x
x sgn x x
(4)取整函数 y x
[x]表示不超过x 的最大整数
-4 -3 -2 -1 o -1 1 -2 -3 -4
2 3 4
x
(5)狄利克雷函数
y
1 1 当x是有理数时 • y D( x ) o• 0 当x是无理数时 无理数点
f (sin x ) (sin x )3 1
说明 (1) 分段函数对应不同的区间，函数有不同的表达式. (2) 分段函数表示一个函数，不是几个函数. (3) 分段函数的定义域是各分区间的定义域的并集.
1 例6 设 f ( x ) 2 1 解 f ( x) 2
0 x1
求 f ( x 2) .
解
2( x 2) 1, 0 x 2 1 f ( x 2) 4 ( x 2), 1 x 2 2
2 x 5, 2 x,
2 x 1 1 x 0
.
几个特殊的函数举例 (1)常函数
开区间
( a , b ) { x a x b}
o
闭区间
a
b
x
[a , b ] { x a x b }
o
a
b
x
半开区间
[a , b ) { x a x b}
( a , b] { x a x b }
无限区间
有限区间
称a, b为区间的端点， 称b－a为这些区间的长度.
1, 当 x > 0 0, 当x = 0
1 ,
1
当x<0
y4
3 2 1
o
-1
x
x sgn x x
(4)取整函数 y x
[x]表示不超过x 的最大整数
-4 -3 -2 -1 o -1 1 -2 -3 -4
2 3 4
x
(5)狄利克雷函数
y
1 1 当x是有理数时 • y D( x ) o• 0 当x是无理数时 无理数点
f (sin x ) (sin x )3 1
高等数学上册1.1 映射与函数
第一节 映射与函数
一、映 射
二、函 数
第一章 函数与极限
一、映射
1. 映射的概念
定义1
设 X 、Y 是两个非空集合, 若存在一个法则 , 使得对X中
每个元素, 按法则 , 在Y中有唯一确定的与之对应, 则称
为从 X 到 Y 的映射. 记作 : X→Y.
X
定义域
D =X
第一节 映射与函数
()
()=
若既是满射又是单射, 则称为双射或一一映射.
第一节 映射与函数
第一章 函数与极限
注 映射又称为算子, 在不同数学分支中有不同的名称.
Y
非空集X
上的泛函
数集Y
非空集X
上的变换
非空集Y
实数集X
上的函数
实数集Y
第一节 映射与函数
第一章 函数与极限
2. 逆映射与复合映射
注 分段函数是一个函数,不是多个函数.
第一节 映射与函数
第一章 函数与极限
2. 函数的几种特性
设函数 = () 的定义域为D , 且数集 ⊂ D 或区间 I ⊂ D .
(1) 有界性
∀ ∈ , ∃ > 0, 使 () ≤, 称 () 在上有界.否则称无界.
∀ > 0, ∃0 ∈ , 使|( 0)|≥M, 称() 在I上无界.
<0
第一章 函数与极限
例8 设为任一实数,不超过的最大整数称为的整数部分,记作[].
例如:
5
= 0,
7
阶梯曲线
2 = 1, [π] = 3, [−1] = −1, [−3.5] = −4.
求函数 = [] 的定义域和值域并画图.
一、映 射
二、函 数
第一章 函数与极限
一、映射
1. 映射的概念
定义1
设 X 、Y 是两个非空集合, 若存在一个法则 , 使得对X中
每个元素, 按法则 , 在Y中有唯一确定的与之对应, 则称
为从 X 到 Y 的映射. 记作 : X→Y.
X
定义域
D =X
第一节 映射与函数
()
()=
若既是满射又是单射, 则称为双射或一一映射.
第一节 映射与函数
第一章 函数与极限
注 映射又称为算子, 在不同数学分支中有不同的名称.
Y
非空集X
上的泛函
数集Y
非空集X
上的变换
非空集Y
实数集X
上的函数
实数集Y
第一节 映射与函数
第一章 函数与极限
2. 逆映射与复合映射
注 分段函数是一个函数,不是多个函数.
第一节 映射与函数
第一章 函数与极限
2. 函数的几种特性
设函数 = () 的定义域为D , 且数集 ⊂ D 或区间 I ⊂ D .
(1) 有界性
∀ ∈ , ∃ > 0, 使 () ≤, 称 () 在上有界.否则称无界.
∀ > 0, ∃0 ∈ , 使|( 0)|≥M, 称() 在I上无界.
<0
第一章 函数与极限
例8 设为任一实数,不超过的最大整数称为的整数部分,记作[].
例如:
5
= 0,
7
阶梯曲线
2 = 1, [π] = 3, [−1] = −1, [−3.5] = −4.
求函数 = [] 的定义域和值域并画图.
《高等数学》第一节：映射与函数
[1,1] [ 0, ]
[
, ] 2 2
y
y tan x 定义域 (,) y x 值域 ( 2 , 2 ) 2 y arctan x
2
2
0
2
x
| arctanx |
定义域 (,)
2
2
y
y x
0
2
y arc cot x x
x
shx e e 双曲正切 thx x chx e e x 反双曲正切
1 1 x y arthx ln . 2 1 x
(3)非初等函数 狄利克雷函数、 取整函数、 分段函数等
练习
[ x] (1) f ( x )定义域为 (0,1)，求 g( x ) f ( )的定义域 . x D { x R | x 1且x 2,3,}.
cos
,
(2)初等函数
由常数和基本初等函数经过有限次四则运算和 有限次的函数复合步骤所构成并可用一个式子表示 的函数,称为初等函数.
例3：双曲函数与反双曲函数 双曲函数 反双曲函数
e x e x 双曲正弦 shx 2 e x e x 双曲余弦 chx 2
x
反双曲正弦 y arshx ln( x x 2 1) 反双曲余弦 y archx ln( x x 2 1)
高 等 数 学
研究对象 研究内容 研究工具
上册 极限
一元函数 微分学与积分学 函数 微分方程 空间解析几何与向量代数 多元函数 微分学与积分学 下册 无穷级数
高 等 数 学
应用
用哪个？ 条件？
不合条件， 改造！
[
, ] 2 2
y
y tan x 定义域 (,) y x 值域 ( 2 , 2 ) 2 y arctan x
2
2
0
2
x
| arctanx |
定义域 (,)
2
2
y
y x
0
2
y arc cot x x
x
shx e e 双曲正切 thx x chx e e x 反双曲正切
1 1 x y arthx ln . 2 1 x
(3)非初等函数 狄利克雷函数、 取整函数、 分段函数等
练习
[ x] (1) f ( x )定义域为 (0,1)，求 g( x ) f ( )的定义域 . x D { x R | x 1且x 2,3,}.
cos
,
(2)初等函数
由常数和基本初等函数经过有限次四则运算和 有限次的函数复合步骤所构成并可用一个式子表示 的函数,称为初等函数.
例3：双曲函数与反双曲函数 双曲函数 反双曲函数
e x e x 双曲正弦 shx 2 e x e x 双曲余弦 chx 2
x
反双曲正弦 y arshx ln( x x 2 1) 反双曲余弦 y archx ln( x x 2 1)
高 等 数 学
研究对象 研究内容 研究工具
上册 极限
一元函数 微分学与积分学 函数 微分方程 空间解析几何与向量代数 多元函数 微分学与积分学 下册 无穷级数
高 等 数 学
应用
用哪个？ 条件？
不合条件， 改造！
高等数学映射与函数
A ( r )13
4、函数值
值与之相对应， 则称此值为 y f x 在 x0 处的函数值
记为： f x0 或
y 当 x 在D内取定一个数值 x0时， f x 有确定的 f x x x 0
x x0 f x0
y
f x
x x0
当 x 取遍 D 内的各个数值时， 对应的函数值的全体
f (x) f (x)
在 [ a, b ] 上为有界函数. 在 [ a, b ] 上为无界函数. y
M f x M 有界函数必介于直线 y M 与 y M 之间。
f ( x) M
yM
a
0
b
y M
17
x
说明: 还可定义有上界、有下界、无界。
有时还要用到有上界或有下界。如果存在常数M(N),
或当 f ( x) 0 （或 f ( x) 0) 时，判别
f ( x2 ) / f ( x1 ) 1 （或 1) 。
例如
f x x
2
＋ 在 0， 内是单调增函数。 － 0 在 ，内是单调减函数。
在 ， 内不是单调函数。 － ＋
这说明：有时一个函数在整个区间D不是单调的， 而将D分成几个小区间， 却在每个小区间上是单调的， 这需要分别讨论。
x x
x ar xar
x
ar
a
ar
10
二、函数 1、函数的定义 设 x 与 y 是两个变量，当 x 在一定范围D内任取定一 数值时， y 按照一定的法则总有确定的数值与它对应。
y 则称 y 是 x 的函数。 x为自变量； 为因变量, D为定义域。 记为 y f ( x) , x D
高等数学教材第八版本
高等数学教材第八版本第一章函数与映射高等数学是大学数学中的重要基础课程，主要涉及函数、极限、微积分等内容。
而在高等数学教材第八版本中，函数与映射是第一章的重点内容。
本章将引导学生深入了解函数与映射的定义、性质和应用。
1.1 函数的概念与性质函数是实数集之间的一种特殊关系，它将每个自变量与唯一一个因变量相对应。
在本章中，我们将学习函数的各种定义方式，例如显式定义、隐式定义、参数方程等。
此外，我们还将研究函数的性质，包括定义域、值域、单调性、奇偶性等。
1.2 映射与复合函数映射是一种更一般的函数关系，它可以将一个集合的元素映射到另一个集合的元素上。
在本节中，我们将学习映射的定义、分类以及常见的映射表示方法，如箭头图、集合对集合的表示法等。
此外，我们还将讨论复合函数的概念，即将一个函数的输出作为另一个函数的输入。
1.3 反函数与参数方程在某些情况下，我们需要找到一个函数的逆函数，以便求解方程或解决实际问题。
本节将介绍反函数的概念与求解方法，并且会讨论参数方程的基本概念与应用。
第二章极限与连续性函数的极限与连续性是高等数学中的重要概念，对理解微积分和实分析等学科有着重要作用。
在高等数学教材第八版本中，极限与连续性是第二章的重点内容。
2.1 函数的极限函数的极限是函数在无穷接近某一点时的行为，它是微积分的基础。
在本节中，我们将学习函数极限的定义、性质以及极限存在的判定方法。
此外，我们还将研究函数的左极限和右极限，并探讨无穷极限的概念与性质。
2.2 连续与间断函数的连续性是指函数在某一点上无间断，即函数图像没有突变。
本节将介绍函数连续性的定义与判定方法，包括闭区间上的连续性、间断点的分类等。
2.3 无穷小与无穷大无穷小与无穷大是描述函数在某一点上逼近某些特殊值的概念。
本节将讲解无穷小与无穷大的定义、性质以及它们与函数极限的关系。
第三章导数与微分导数是微积分的核心概念之一，它描述了函数在某一点的变化率。
在高等数学教材第八版本中，导数与微分是第三章的重点内容。
高数课件映射与函数
3
图像和原像的关系
图像和原像之间存在一对多或多对一的关系，取决于映射的特性。
函数的定义和性质
什么是函数?
函数是一种特殊的映射，它 将定义域中的每个元素映射 到值域中唯一的元素。
函数的性质
函数具有单调性、有界性和 奇偶性等重要性质，可应用 于各个领域。
示例
举例说明具体函数的定义和 性质，在实际问题中的应用。
映射与函数的关系
1 映射与函数的相同点
映射和函数都是描述元素之间的对应关系，具有相似的数学概念和性质。
2 映射与函数的不同点
映射是一个更普遍的概念，而函数是一种特殊的映射。
3 映射与函数的交叉应用
通过具体案例来展示映射和函数在高等数学中的应用。
映射与函数在高数中的应用
微积分
映射和函数是微积分中研究函数 极限、导数和积分等重要工具。
高数课件映射与函数
欢迎来到高数课件映射与函数的世界！本课程将带你深入了解映射和函数的 定义、性质以及它们在高等数学中的应用。准备好开始探索吧！
映射的定义和性质
1 什么是映射?
映射是一个将一个集合中的每个元素映射到另一个集合中的元素的规则。
2 映射的性质
映射可以是单射、满射或双射，具有重要的代数和几何意义。
图论
映射和函数被广泛应用于图论中 的图的表示和性质研究。
最优化问题
映射和函数为解决最优化问题提 供了数学建模的基础。
ห้องสมุดไป่ตู้
什么是复合函数?
复合函数是将两个函数结合在 一起形成一个新的函数。
复合函数的性质
复合函数的定义域和值域取决 于两个函数的定义域和值域。
示例
通过具体的数学表达式和图形 展示复合函数的概念和性质。
高等数学第一章函数与极限第一节映射与函数.ppt
f ( x ) g f ( x ) e
e1 e0 e 1
| x |1 e | x |1 | x | 1 1 | x |1 1 | x |1 e | x |1
18
复合次序不同 ,结果不相同 .
高 等 数 学 PPT 课件
第 一 章
教材 : 同济 高等数学 第五版
欢迎您加入本课堂，希望 您刻苦学习，努力争取最优异 的成绩。
2
第一章
第一节
函数与极限
映射与函数
3
一 . 邻域 : U ( a ,) x x a
x a x a
( 取整函数) 3 ) .y int( x ) ( x 1 ,x ] 上的整数
x 1 int( x ) x
6, 例 . int( 5 . 6 )
( 6 . 6 , 5 . 6 ]
int( 3 . 8 ) 3 ,
int( 0 . 4 ) 0 ,
int( 5 ) 5 ,
2 2 2 2 2 ch x 1 . ch 2 x ch x sh x 1 2 sh x x x y y x x y y e e e e e e e e sh x ch y ch x sh y 2 2 2 2 x yx y x y x yx y x yx y x y e e e e e e e e 4 4 x y x y 2 e 2 e sh ( x y ) 14 4
9
以上五类函数称为基本 初等函数 . (P 17 )
要熟练掌握基本初等函 数的图形 ,有界性 ,单调性 , 奇偶性 , 周期性 , 定义域 , 值域等 .
高等数学---映射与函数
A {a1 , a2 ,, an }
描述法 M { x x所具有的特征}
N , N , Z , Q, R, R* , R
2
映射与函数
(6)关系 子集 ( 包含 ), A B : x A x B; 相等, A B : A B, 且 B A ;
不含任何元素的集合称为空集, 记作 , 规定空集为任何集合的子集. 2.集合的运算
对于区间 I 上任意两点x1及 x2 , 当 x1 x2时, 恒有
(x1) < (x2) (或(x1) > (x2) )
则称函数 f ( x )在区间 I上是 单调增加(或单调减少).
y
y f ( x)
y
f ( x2 )
y f ( x)
f ( x1 )
f ( x2 )
f ( x1 )
第一节 映射与函数
基本概念
函数概念 函数的特性 反函数 小结 作业 思考题
1
第一章 函数与极限
映射与函数
一、集合
1.集合概念
(1)定义 具有某种特定性质的事物的总体称为集合.
组成这个集合的事物称为该集合的元素.
(2)有限集和无限集
(3)符号
a M , a M.
(4)表示 列举法 (5)常用集合
o
x1
x2
I
x
o
x1
x2
I
x
注意 函数的单调性是一个与自变量取值范围有关的相对 30 性概念．
映射与函数
(3)函数的奇偶性 定义 设D关于原点对称, 对于x D, 有
f (-x) = f (x) (或f (-x) = - f (x) )
则称 f (x) 为偶函数(或奇函数).
D1-1函数与映射-53页文档
U0(a){x0xa}.
4.绝对值: a aa
a0 a0
运算性质:
abab;
(a 0)
a
a ;
bb
xa(a0) xa(a0)
axa ; xa或 x a;
绝对值不等式: xyxy. 绝对值不等式的两个变形公式：
( 1 )|x y | |x | |y |
2) 函数 yf(x)与其反函数 yf 1(x) 的图形关于直线 yx对称 .
例如 ,
y y f 1(x)
Q(b, a)
yx y f(x)
P(a,b)
o
x
指数函数 yex,x (, ) 互为反函数 ,
对数函数 y lx n ,x (0 , )
它们都单调递增, 其图形关于直线 yx对称 .
③牢固掌握极限运算法则，极限的性质，尤其是函 数 极限的保号性质
④理解极限存在准则，熟记两个重要极限及其证明 方法，灵活地运用它们及各种变形公式求极限
⑤正确理解连续概念，理解间断点的分类
⑥理解初等函数的连续性，掌握闭区间上连续函数 的性质
第一节 映射与函数
一、集合 二、映射 三、函数
一、集合
1.集合: 具有某种特定性质的事物的总体. 组成这个集合的事物称为该集合的元素.
本章我们首先介绍极限理论的基本概念、运算 和性质，然后讨论函数的连续性。
重点
极限概念，无穷小与极限的关系，极限运算法则， 两个重要极限，连续概念，初等函数的连续性，间断 点及其分类
难点
极限概念及求极限的方法技巧
基本要求
①能准确叙述并深刻理解极限定义，明确其几何意 义，会用定义验证极限
②正确理解无穷小量及其与极限的关系
高等数学1-1映射与函数
下列函数中相同的是：（ ）
A : y 1 cos 2x ，y 2 cos x
B: y
1 x 1 x
，y
1 x 1 x
C:y
2x
, y 1 x 1 x
1 x 1 x
D : y ln x2, y 2 ln x
EX2
下列函数能否复合为函数 y f [g( x)]，
称为由函数y与u构成的复合函数,它的定义域为D, 变量u称为中间变量.
讨论： 函数
何时可复合？ຫໍສະໝຸດ 可得复合函数显然 不能构成复合函数 .
复合函数可以由两个以上的函数经过复合构成.
例如 y cot x , 2
（1）基本初等函数：幂函数,指数函数,对数函数, 三角函数和反三角函数统称为基本初等函数.
第一节 映射与函数
一、集合 二、映射 三、函数
一、集合
1.集合概念 P1-2 2.集合的运算
定义 给定两个集合 A, B,
并集
或
定义下列运算:
交集
且
差集
且
余集
3.区间和邻域: 区间—P3-4
邻域-- 设a与是两个实数 , 且 0. 数集{ x x a }称为点a的邻域 ,
点a叫做这邻域的中心, 叫做这邻域的半径 .
幂函数、指数函数、对数函数 三角函数、反三角函数
（2）初等函数：由常数及基本初等函数经过有 限次四则运算和复合步骤所构成 ,并可用一个 式子表示的函数 ,称为初等函数 .
小结
基本概念 集合, 区间, 邻域 函数的概念 函数的特性 有界性,单调性,奇偶性,周期性. 复合函数 基本初等函数与初等函数
EX1
g( x)的值域与 f (u) 的定义域之交集是空集.
A : y 1 cos 2x ，y 2 cos x
B: y
1 x 1 x
，y
1 x 1 x
C:y
2x
, y 1 x 1 x
1 x 1 x
D : y ln x2, y 2 ln x
EX2
下列函数能否复合为函数 y f [g( x)]，
称为由函数y与u构成的复合函数,它的定义域为D, 变量u称为中间变量.
讨论： 函数
何时可复合？ຫໍສະໝຸດ 可得复合函数显然 不能构成复合函数 .
复合函数可以由两个以上的函数经过复合构成.
例如 y cot x , 2
（1）基本初等函数：幂函数,指数函数,对数函数, 三角函数和反三角函数统称为基本初等函数.
第一节 映射与函数
一、集合 二、映射 三、函数
一、集合
1.集合概念 P1-2 2.集合的运算
定义 给定两个集合 A, B,
并集
或
定义下列运算:
交集
且
差集
且
余集
3.区间和邻域: 区间—P3-4
邻域-- 设a与是两个实数 , 且 0. 数集{ x x a }称为点a的邻域 ,
点a叫做这邻域的中心, 叫做这邻域的半径 .
幂函数、指数函数、对数函数 三角函数、反三角函数
（2）初等函数：由常数及基本初等函数经过有 限次四则运算和复合步骤所构成 ,并可用一个 式子表示的函数 ,称为初等函数 .
小结
基本概念 集合, 区间, 邻域 函数的概念 函数的特性 有界性,单调性,奇偶性,周期性. 复合函数 基本初等函数与初等函数
EX1
g( x)的值域与 f (u) 的定义域之交集是空集.
高等数学PPT课件：映射与函数
描述法
{ x x2 2 x 3 0 }.
4
映射与函数
注 对几个常用的数集规定记号如下
自然数的集合 N {0,1,2, ,n, };
正整数的集合 N+ {1,2, ,n, };
整数的集合 Z { , n, , 2, 1,0,1,2, ,n, };
5
映射与函数
有理数的集合
Q
p q
p Z, q N+ 且p与q互质 ;
33
映射与函数
例 取整函数 y [ x]表示不超过x的最大整数
y [x] n, 当 n x n 1 , n Z
y
阶
3•
梯
2•
曲
线
1•
o • •
21
•
•
•
•
123 4
x
• 1
• 2
定义域 D (,), 值域 Rf {整数}.
34
映射与函数
例 狄利克雷(Dirichlet)函数
y
D(
(A∩B)C = AC ∪ BC ;
13
映射与函数
直积 (乘积集或笛卡儿乘积)
设 A,B 是两个集合, 则称 A B { ( x, y) x A 且y B } 为 A, B 的 直积.
y
B AB
O
A
x
14
映射与函数
如, A (1,1), B [0,1], 则A B {( x, y) 1 x 1, 0 y 1}
有界.
36
映射与函数
函
数f
(
x)
1
x x
2
在
定
义
域
内
为(
C
).
高等数学映射与函数笔记
高等数学映射与函数笔记一、引言高等数学是理工科学生的一门重要基础课程，其中映射与函数是其中的重要组成部分。
本笔记旨在帮助读者梳理映射与函数的基本概念、性质、应用以及常见问题，为进一步学习高等数学打下坚实的基础。
二、映射的基本概念1. 映射的定义：给定两个集合A和B，如果存在一个从A到B的函数f，则称f为从A到B的映射。
2. 映射的性质：映射具有像集和原像集等基本性质，同时映射还可以进行复合、逆映射等操作。
三、函数的定义与性质1. 函数的定义：给定一个数集A，以及一个集合B上的运算，如果这个运算满足函数的基本性质，那么这个运算就可以被称为A到B的函数。
2. 函数的性质：函数具有单调性、奇偶性、周期性、有界性等基本性质，这些性质在解决函数问题时非常重要。
四、常见函数类型1. 一次函数：形如y=kx+b（k≠0）的函数，其中k为一次项系数，b为常数项。
2. 二次函数：形如y=ax²+bx+c（a≠0）的函数，其中a为二次项系数，b、c为常数项。
3. 指数函数：形如y=a^x（a＞0且a≠1）的函数。
4. 对数函数：形如y=log(a) x（a＞0且a≠1）的函数。
5. 三角函数：包括正弦函数、余弦函数、正切函数等，是描述周期性现象的重要工具。
五、映射与函数的应用1. 函数在数学建模中的应用：在解决实际问题时，常常需要建立数学模型，而函数是建模的重要工具之一。
例如，在物理中的速度与时间的关系，就可以用一次函数或二次函数来表示。
2. 映射在算法中的应用：在计算机科学中，映射可以用于实现数据结构（如映射表和哈希表）以及算法（如最短路径算法和排序算法）等。
3. 映射与函数在经济学中的应用：在经济学中，函数被用于描述经济变量之间的关系，如生产函数、消费函数等；而映射可以用于实现数据库和数据挖掘等应用。
六、常见问题与解答1. 问：什么是映射？答：给定两个集合A和B，如果存在一个从A到B的函数f，则称f为从A到B的映射。
同济高等数学1归纳
高等数学归纳(第一章~第三章)2010126137 彭伟奕第一章 函数与极限第一节 映射与函数一 、 集合●集合概念：集合（集）是指具有某种特定性质的事物的总体。
●元素（元）：组成某个集合的事物称为该集合的元素（元）。
(a 属于A,记作a ∈A ； a 不属于A ，记作a ∉A 。
) ●表示集合的方法：（1） 列举法：把集合的全体元素一一列举出来，例：A={}123n a a a a ，，（2） 描述法：集合M={}x x ︱具有性质P ，例：M={}210x -=︱x ●集合间关系：A 包含于B （A ⊂B ），A 不包含于B （A ⊄B ） A 是B 的真子集（A B ⊆），A 等于B （A=B ）,空集∅是任何非空集合的真子集。
●集合的运算：并，交，差{}A B |x x A x B =∈∈或 {}A B |x x A x B =∉∈且A\B={}|x x A x B ∈∉且 I\A 为A 的余集或补集，亦记cA●集合运算法则：交换律：A ∪B=B ∪A,A ∩B=B ∩A 结合律：（A ∪B ）∪C=A ∪(B ∪C) A ∩(B ∩C)=(A ∩B) ∩C 分配律：（A ∪B ）∩C=(A ∩C) ∪(B ∩C) (A ∩B) ∪C=(A ∪C) ∩(B ∪C) 对偶律：c c (AB)A B c = ｃｃｃ（ＡＢ）＝ＡＢ直积（笛卡尔乘积）：A ⨯B={（x,y ）|x ∈A 且x ∈B}，例：R ×R={(x,y)|x ∈R,y ∈B}为XOY 面上全体点的集合，R ×R 记作２Ｒ。
● 区间与邻域：（1）区间 开区间：（a,b ）,a,b 为开区间（a,b ）的端点。
闭区间：[a,b]半开区间：[a,b ﹚, ﹙a,b]（2）邻域：以a 为中心的任何开区间称以点a 为邻域，记作U （a ） 点a 的δ邻域，记U(a, δ)，其中δ为任一正数， U(a, δ)={x|a-δ＜x ＜a+δ}={x| |x-a|＜δ} 点a 为邻域的中心，δ为邻域半径。
《高等数学B》 第一章 函数 第2节 映射与函数
1
o
⋅
y
–1
x
x = sgn x ⋅ x
(2) 取整函数 y = [x] , [x]表示不超过 x 的最大整数。 表示不超过 的最大整数。
y
4 3 2 1
-4 -3 -2 -1 o -11 2 3 4 5 x -2 -3 -4
阶梯曲线
在自变量的不同变化范围中, 对应法则用不同的式 在自变量的不同变化范围中 对应法则用不同的式 称为分段函数 子来表示的函数 , 称为分段函数 .
复合映射 设有映射 g : X → Y1 , f : Y2 → Z , 其中 Y1 ⊂ Y2 , 由 g 和 f 可确定出从 X 到 Z 的一个对应 规则, 中的元素z 规则, 它将每个元素 x ∈ X, 映为 Z 中的元素 = f [g(x)], , 的一个映射, 显然这个对应规则是从 X 到 Z 的一个映射, 我们把这 构成的复合映射, 个映射称为由 g、f 构成的复合映射, 并记作 f o g , 即 f og:X → Z, 对每个元素 x ∈ X , ( f o g )( x ) = f { g ( x )} .
§2 映射与函数
一 、映射的概念 定义1 是两个非空集合, 定义1 设 X 和 Y 是两个非空集合, 若存在一个法则 f , 使得 X 中的每个元素 x 按法则 f 在 Y 中有唯一的 与之对应, 映射, 记作: 元素 y 与之对应 那末称 f 为从 X 到 Y 的映射 记作: f : X →Y , 元素 y 称为元素 x (在映射 f 下)的像, 并记作 f (x) , 即 y = f (x)， ， 的一个原像 或逆像) 原像( 而元素 x 称为元素 y (在映射 f 下)的一个原像(或逆像) 定义域， 集合 X 称为映射 f 的定义域，记作 D f = X . X 中所 值域， 有元素的像所组成的集合称为映射 f 的值域， f 的值 域常记作 R f (或 f (X)). ).
o
⋅
y
–1
x
x = sgn x ⋅ x
(2) 取整函数 y = [x] , [x]表示不超过 x 的最大整数。 表示不超过 的最大整数。
y
4 3 2 1
-4 -3 -2 -1 o -11 2 3 4 5 x -2 -3 -4
阶梯曲线
在自变量的不同变化范围中, 对应法则用不同的式 在自变量的不同变化范围中 对应法则用不同的式 称为分段函数 子来表示的函数 , 称为分段函数 .
复合映射 设有映射 g : X → Y1 , f : Y2 → Z , 其中 Y1 ⊂ Y2 , 由 g 和 f 可确定出从 X 到 Z 的一个对应 规则, 中的元素z 规则, 它将每个元素 x ∈ X, 映为 Z 中的元素 = f [g(x)], , 的一个映射, 显然这个对应规则是从 X 到 Z 的一个映射, 我们把这 构成的复合映射, 个映射称为由 g、f 构成的复合映射, 并记作 f o g , 即 f og:X → Z, 对每个元素 x ∈ X , ( f o g )( x ) = f { g ( x )} .
§2 映射与函数
一 、映射的概念 定义1 是两个非空集合, 定义1 设 X 和 Y 是两个非空集合, 若存在一个法则 f , 使得 X 中的每个元素 x 按法则 f 在 Y 中有唯一的 与之对应, 映射, 记作: 元素 y 与之对应 那末称 f 为从 X 到 Y 的映射 记作: f : X →Y , 元素 y 称为元素 x (在映射 f 下)的像, 并记作 f (x) , 即 y = f (x)， ， 的一个原像 或逆像) 原像( 而元素 x 称为元素 y (在映射 f 下)的一个原像(或逆像) 定义域， 集合 X 称为映射 f 的定义域，记作 D f = X . X 中所 值域， 有元素的像所组成的集合称为映射 f 的值域， f 的值 域常记作 R f (或 f (X)). ).
同济7版高等数学精品智能课件-第1章-第1节-集合、映射、函数
例2 设 X = {(x , y) | x2 + y2 = 1},Y = {(x , 0) | |x| 1 },
f : XY，则对每个 (x , y) X，有唯一确定的(x , 0) Y 与之对应．显然f 是一个映射，定义域 Df = X ，值域 Rf = Y ．在几何上，这个映射表示将平面上一个圆心在 原点的单位圆上的点投影到 x 轴上的区间 [ -1 , 1 ]上．
第一节 映射与函数
注意
(1) 映射 g 和 f 能构成复合映射的条件是：Rg Df . (2) 映射 g 和 f 构成复合映射是有顺序的，f g 有 意义时， g f 可能没意义，即使它们同时都有意义，但 不一定表示同一映射．
三、函数
第一节 映射与函数
1. 函数的概念
定义 设数集合 D R ，则称映射 f : D R为定义 在 D 上的函数，通常简记为
y
1 (x , y)
-1 O x 1 x -1 (x , -y)
第一节 映射与函数
例3
设
f
:
π 2
,
π 2
[1
,
1]
,
对每个
x
π 2
,
π 2
,
f (x) = sin x ．则f 是一个映射，定义域
Df
π 2
,
π 2
,
y
值域 Rf = [ -1 , 1 ] ．
1
π 2
f (x) = sin x
二、映射
第一节 映射与函数
1. 映射的概念
定义 设 X , Y 是两个非空集合, 若存在一个对应
规则 f , 使得 x X , 有唯一确定的 y Y 与之对应,
则称 f 为从 X 到 Y 的映射, 记作 f : X Y .
f : XY，则对每个 (x , y) X，有唯一确定的(x , 0) Y 与之对应．显然f 是一个映射，定义域 Df = X ，值域 Rf = Y ．在几何上，这个映射表示将平面上一个圆心在 原点的单位圆上的点投影到 x 轴上的区间 [ -1 , 1 ]上．
第一节 映射与函数
注意
(1) 映射 g 和 f 能构成复合映射的条件是：Rg Df . (2) 映射 g 和 f 构成复合映射是有顺序的，f g 有 意义时， g f 可能没意义，即使它们同时都有意义，但 不一定表示同一映射．
三、函数
第一节 映射与函数
1. 函数的概念
定义 设数集合 D R ，则称映射 f : D R为定义 在 D 上的函数，通常简记为
y
1 (x , y)
-1 O x 1 x -1 (x , -y)
第一节 映射与函数
例3
设
f
:
π 2
,
π 2
[1
,
1]
,
对每个
x
π 2
,
π 2
,
f (x) = sin x ．则f 是一个映射，定义域
Df
π 2
,
π 2
,
y
值域 Rf = [ -1 , 1 ] ．
1
π 2
f (x) = sin x
二、映射
第一节 映射与函数
1. 映射的概念
定义 设 X , Y 是两个非空集合, 若存在一个对应
规则 f , 使得 x X , 有唯一确定的 y Y 与之对应,
则称 f 为从 X 到 Y 的映射, 记作 f : X Y .
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为平面上的全体点集
B ABAc
B AB A
7
二、 映射
1. 映射的概念 引例1.
某校学生的集合
学号的集合
按一定规则查号
某教室座位
某班学生的集合
的集合
按一定规则入座
8
引例2.
引例3.
(点集) (点集)
向 y 轴投影
9
定义4. 设 X , Y 是两个非空集合, 若存在一个对应规
则 f , 使得
有唯一确定的
引例2
11
例1. 海伦公式
(满射)
例2. 如图所示,
对应阴影部分的面积
则在数集
自身之间定义了一种映射 (满射)
例3. 如图所示, 则有 r
(满射)
12
说明:
映射又称为算子. 在不同数学分支中有不同的惯用
名称. 例如,
X (≠ ) f Y (数集)
f
X (≠ )
X
X (数集 或点集 ) f R
f 称为X 上的泛函 f 称为X 上的变换
f 称为定义在 X 上的为函数
13
2. 逆映射与复合映射 (1) 逆映射的定义 定义: 若映射
使
为单射, 则存在一新映射 其中
称此映射 f 1为 f 的逆映射 . 习惯上 , y f (x), x D D
f
f 1
f (D)
的逆映射记成
y f 1(x) , x f (D)
元素 a 不属于集合 M , 记作 a M ( 或 a M ) . M *表示 M 中排除 0 的集 ;
注: M 为数集
M 表示 M 中排除 0 与负数的集 .
3
表示法：
(1) 列举法：按某种方式列出集合中的全体元素 .
例:
有限集合
A a1 , a2 ,
,
an
ai
n i 1
自然数集 N 0, 1 , 2 , , n , n
(2) 描述法：M x x 所具有的特征
例: 整数集合 Z x x N 或 x N
有理数集
Q
p q
pZ, q N,
p 与 q 互质
实数集合 R x x 为有理数或无理数
开区间 ( a , b ) x a x b
闭区间 [ a , b ] x a x b
4
半开区间
(1) 有界性
x D , M 0 , 使 f (x) M , 称 f (x) 为有界函数. x I , M 0 , 使 f (x) M , 称 f (x) 在 I 上有界.
说明: 还可定义有上界、有下界、无界 (见上册 P11 )
(2) 单调性
x1, x,2
f (Ix,)当x1
M
,x2称时为, 有上界
12
x, x,
0 x 1 x 1
求
f
(
1 2
)
及
f
(
1 t
)
,
并写出定义域及值域
.
解:
f
(
1 2
)
2
1 2
2
f
(
1 t
)
11 , t
2, t
0t 1 t 1
定义域 D [0, )
t 0时
函数无定义
值 域 f (D) [0, )
19
2. 函数的几种特性
设函数 y f (x) , x D , 且有区间 I D .
例如, 映射
其逆映射为
14
(2) 复合映射 引例.
D1
D
手电筒
D2
复合映射 D
15
定义. 设有映射链
g xD
f u D1
u g(x) g(D)
则当 g(D) D1 时, 由上述映射链可定义由 D 到 Y 的复
合映射 , 记作
或 f g(x), x D.
g(D)
注意: 构成复合映射的条件 g(D) D1 不可少.
17
x D f y f (D) y y f (x), x D
(定义域)
(对应规则)
(值域)
• 定义域
使表达式及实际问题都有意义的自变量
集合.
• 对应规律的表示方法: 解析法 、图象法 、列表法
例如, 反正弦主值
定义域
值域
又如, 绝对值函数 定义域 值域
18
例4. 已知函数
y
f
(x)
注意: 1) 映射的三要素— 定义域 , 对应规则 , 值域 . 2) 元素 x 的像 y 是唯一的, 但 y 的原像不一定唯一 .
10
对映射
若 f ( X ) Y , 则称 f 为满射; 引例2, 3
X
f Y f (X)
若
有 X
Y
则称 f 为单射; 引例2 若 f 既是满射又是单射, 则称 f 为双射 或一一映射.
以上定义也可推广到多个映射的情形.
16
三、函数
1. 函数的概念
定义4. 设数集 D R , 则称映射
D 上的函数 , 记为
y f (x), x D
定义域
为定义在
因变量
自变量
y
f ( D ) 称为值域
y
函数图形:
C (x , y) y f (x) , x D
D f (D)
ax bx ( D [a,b])
y
若
f
( x1 )
,
f (x2 M
) , 称 f (x) 为 I 上的 f (单x)调, 称增函为数有下; 界
若 若f (x对1)任意f (正x2数) , 称M ,f均(x存) 为在Ix上的D, 使 f (xx)1 xM2 , x
与之对应 , 则
称 f 为从 X 到 Y 的映射, 记作 f : X Y .
X
f
Y
元素 y 称为元素 x 在映射 f 下的 像 , 记作 y f (x).
元素 x 称为元素 y 在映射 f 下的 原像 . 集合 X 称为映射 f 的定义域 ;
Y 的子集 f ( X ) f (x) x X 称为 f 的 值域 .
第一章 函数与极限
分析基础
函数 — 研究对象 极限 — 研究方法 连续 — 研究桥梁
1
第一节 映射与函数
一、集合 二、映射 三、函数
第一章
2
一、 集合
1. 定义及表示法
定义 1. 具有某种特定性质的事物的总体称为集合. 组成集合的事物称为元素. 不含任何元素的集合称为空集 , 记作 .
元素 a 属于集合 M , 记作 a M .
无限区间
点的 邻域
a
(
a
a
)
去心 邻域
其中, a 称为邻域中心 , 称为邻域半径 .
左 邻域 :
右 邻域 :
5
2. 集合之间的关系及运算
定义2 . 设有集合 A, B , 若 x A 必有 x B , 则称 A
是 B 的子集 , 或称 B 包含 A , 记作 A B .
若
且
则称 A 与 B 相等, 记作 A B .
例如 ,
,
,
显然有下列关系 :
6
定义 3 . 给定两个集合 A, B, 定义下列运算:
并集 A B x 交集 A B x
或 且
AB
B A
差集 A \ B x
且 xB
A\ B A B
余集
B
c A
A
\
B
( 其中B
A)
直积 A B (x , y) x A, y B
特例: R R 记 R 2
B ABAc
B AB A
7
二、 映射
1. 映射的概念 引例1.
某校学生的集合
学号的集合
按一定规则查号
某教室座位
某班学生的集合
的集合
按一定规则入座
8
引例2.
引例3.
(点集) (点集)
向 y 轴投影
9
定义4. 设 X , Y 是两个非空集合, 若存在一个对应规
则 f , 使得
有唯一确定的
引例2
11
例1. 海伦公式
(满射)
例2. 如图所示,
对应阴影部分的面积
则在数集
自身之间定义了一种映射 (满射)
例3. 如图所示, 则有 r
(满射)
12
说明:
映射又称为算子. 在不同数学分支中有不同的惯用
名称. 例如,
X (≠ ) f Y (数集)
f
X (≠ )
X
X (数集 或点集 ) f R
f 称为X 上的泛函 f 称为X 上的变换
f 称为定义在 X 上的为函数
13
2. 逆映射与复合映射 (1) 逆映射的定义 定义: 若映射
使
为单射, 则存在一新映射 其中
称此映射 f 1为 f 的逆映射 . 习惯上 , y f (x), x D D
f
f 1
f (D)
的逆映射记成
y f 1(x) , x f (D)
元素 a 不属于集合 M , 记作 a M ( 或 a M ) . M *表示 M 中排除 0 的集 ;
注: M 为数集
M 表示 M 中排除 0 与负数的集 .
3
表示法：
(1) 列举法：按某种方式列出集合中的全体元素 .
例:
有限集合
A a1 , a2 ,
,
an
ai
n i 1
自然数集 N 0, 1 , 2 , , n , n
(2) 描述法：M x x 所具有的特征
例: 整数集合 Z x x N 或 x N
有理数集
Q
p q
pZ, q N,
p 与 q 互质
实数集合 R x x 为有理数或无理数
开区间 ( a , b ) x a x b
闭区间 [ a , b ] x a x b
4
半开区间
(1) 有界性
x D , M 0 , 使 f (x) M , 称 f (x) 为有界函数. x I , M 0 , 使 f (x) M , 称 f (x) 在 I 上有界.
说明: 还可定义有上界、有下界、无界 (见上册 P11 )
(2) 单调性
x1, x,2
f (Ix,)当x1
M
,x2称时为, 有上界
12
x, x,
0 x 1 x 1
求
f
(
1 2
)
及
f
(
1 t
)
,
并写出定义域及值域
.
解:
f
(
1 2
)
2
1 2
2
f
(
1 t
)
11 , t
2, t
0t 1 t 1
定义域 D [0, )
t 0时
函数无定义
值 域 f (D) [0, )
19
2. 函数的几种特性
设函数 y f (x) , x D , 且有区间 I D .
例如, 映射
其逆映射为
14
(2) 复合映射 引例.
D1
D
手电筒
D2
复合映射 D
15
定义. 设有映射链
g xD
f u D1
u g(x) g(D)
则当 g(D) D1 时, 由上述映射链可定义由 D 到 Y 的复
合映射 , 记作
或 f g(x), x D.
g(D)
注意: 构成复合映射的条件 g(D) D1 不可少.
17
x D f y f (D) y y f (x), x D
(定义域)
(对应规则)
(值域)
• 定义域
使表达式及实际问题都有意义的自变量
集合.
• 对应规律的表示方法: 解析法 、图象法 、列表法
例如, 反正弦主值
定义域
值域
又如, 绝对值函数 定义域 值域
18
例4. 已知函数
y
f
(x)
注意: 1) 映射的三要素— 定义域 , 对应规则 , 值域 . 2) 元素 x 的像 y 是唯一的, 但 y 的原像不一定唯一 .
10
对映射
若 f ( X ) Y , 则称 f 为满射; 引例2, 3
X
f Y f (X)
若
有 X
Y
则称 f 为单射; 引例2 若 f 既是满射又是单射, 则称 f 为双射 或一一映射.
以上定义也可推广到多个映射的情形.
16
三、函数
1. 函数的概念
定义4. 设数集 D R , 则称映射
D 上的函数 , 记为
y f (x), x D
定义域
为定义在
因变量
自变量
y
f ( D ) 称为值域
y
函数图形:
C (x , y) y f (x) , x D
D f (D)
ax bx ( D [a,b])
y
若
f
( x1 )
,
f (x2 M
) , 称 f (x) 为 I 上的 f (单x)调, 称增函为数有下; 界
若 若f (x对1)任意f (正x2数) , 称M ,f均(x存) 为在Ix上的D, 使 f (xx)1 xM2 , x
与之对应 , 则
称 f 为从 X 到 Y 的映射, 记作 f : X Y .
X
f
Y
元素 y 称为元素 x 在映射 f 下的 像 , 记作 y f (x).
元素 x 称为元素 y 在映射 f 下的 原像 . 集合 X 称为映射 f 的定义域 ;
Y 的子集 f ( X ) f (x) x X 称为 f 的 值域 .
第一章 函数与极限
分析基础
函数 — 研究对象 极限 — 研究方法 连续 — 研究桥梁
1
第一节 映射与函数
一、集合 二、映射 三、函数
第一章
2
一、 集合
1. 定义及表示法
定义 1. 具有某种特定性质的事物的总体称为集合. 组成集合的事物称为元素. 不含任何元素的集合称为空集 , 记作 .
元素 a 属于集合 M , 记作 a M .
无限区间
点的 邻域
a
(
a
a
)
去心 邻域
其中, a 称为邻域中心 , 称为邻域半径 .
左 邻域 :
右 邻域 :
5
2. 集合之间的关系及运算
定义2 . 设有集合 A, B , 若 x A 必有 x B , 则称 A
是 B 的子集 , 或称 B 包含 A , 记作 A B .
若
且
则称 A 与 B 相等, 记作 A B .
例如 ,
,
,
显然有下列关系 :
6
定义 3 . 给定两个集合 A, B, 定义下列运算:
并集 A B x 交集 A B x
或 且
AB
B A
差集 A \ B x
且 xB
A\ B A B
余集
B
c A
A
\
B
( 其中B
A)
直积 A B (x , y) x A, y B
特例: R R 记 R 2