漳州市长泰一中2017届高三上学期期中数学试卷(理科) 含答案

福建省漳州市长泰一中20XX届高三上学期期中数学试卷(理科) Word版含答案2016-2017学年福建省漳州市长泰一中高三（上）期中数学试卷（理科）一、选择题（每小题5分，满分60分）1．已知集合M={x|x＜2}，集合N={x|x2﹣x＜0}，则下列关系中正确的是（）A．M∪N=R B．M∪?RN=R C．N∪?RM=R D．M∩N=M2．已知A．5 B．8 和C．D．64 ，若，则||=（）3．等比数列{an}的各项均为正数，且a5a6+a4a7=18，则log3a1+log3a2+…log3a10=（）A．12 B．10 C．8 D．2+log354．已知条件p：关于x的不等式|x﹣1|+|x﹣3|＜m有解；条件q：f（x）=（7﹣3m）x为减函数，则p成立是q成立的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件5．函数y=xcosx+sinx的图象大致为（）A．B．C．D．6．已知A．B．C．，且D．，则tanα=（）7．若定义在R上的偶函数f（x）和奇函数g（x）满足f（x）+g （x）=x2+3x+1，则f（x）=（）A．x2 B．2x2 C．2x2+2D．x2+1 - 1 -8．一个三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积为（）A．2+2+ B．16+2 C．8+2 D．8+9．若x，y满足约束条件a的值为（）A．2 B．1 C．﹣1 D．﹣2 ，则目标函数z=x+y的最大值为2，则实数10．如图所示，三棱锥P﹣ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥BC，PA=AC=锥P﹣ABC外接球的体积是（），则三棱A．B．C．D．2π11．已知等差数列{an}的公差d≠0，且a1，a3，a13成等比数列，若a1=1，Sn是数列{an}前n项的和，则A．4 B．3 C．2（n∈N+）的最小值为（）﹣2 D．12．已知函数f（x）满足：f（x）+2f′（x）＞0，那么下列不等式成立的是（）A．B．C．D．f（0）＞e2f（4）- 2 -二、填空题（每小题5分，共20分）13．在△ABC中，，AB=2，且△ABC的面积为，则边BC的长为．14．若幂函数f（x）过点（2，8），则满足不等式f（2﹣a）＞f（1﹣a）的实数a的取值范围是．15．若x＞0，y＞0，x+4y+2xy=7，则x+2y的最小值是．16．设函数y=的图象上存在两点P，Q，使得△POQ是以O为直角顶点的直角三角形（其中O为坐标原点），且斜边的中点恰好在y轴上，则实数a的取值范围是三、解答题（前五大题每题12分，选做题10分，共70分）17．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知tan（（Ⅰ）求（Ⅱ）若B=的值；，a=3，求△ABC的面积．+A）=2．18．数列{an}的前n项和为Sn，且Sn=2an﹣1，设bn=2（log2an+1），n∈N*．（1）求数列{an}的通项公式；（2）求数列{bn?an}的前n项和Tn．19．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知且，，（Ⅰ）求△ABC的面积．（Ⅱ）已知等差数列{an}的公差不为零，若a1cosA=1，且a2，a4，a8成等比数列，求{}的前n项和Sn．20．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，PA⊥PD，PA=PD，AB⊥AD，AB=1，AD=2，AC=CD=．（Ⅰ）求证：PD⊥平面PAB；（Ⅱ）求直线PB与平面PCD所成角的正弦值；- 3 -（Ⅲ）在棱PA上是否存在点M，使得BM∥平面PCD？若存在，求存在，说明理由．的值，若不21．已知函数f（x）=x2﹣1，函数g（x）=2tlnx，其中t≤1．（Ⅰ）如果函数f（x）与g（x）在x=1处的切线均为l，求切线l的方程及t的值；（Ⅱ）如果曲线y=f（x）与y=g（x）有且仅有一个公共点，求t 的取值范围．请考生在第22-23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分. 22．在平面直角坐标系中，椭圆C的参数方程为（θ为参数），已知以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，射线l的极坐标方程为θ=α（ρ≥0）（注：本题限定：ρ≥0，θ∈[0，2π））（1）把椭圆C的参数方程化为极坐标方程；（2）设射线l与椭圆C相交于点A，然后再把射线l逆时针90°，得到射线OB与椭圆C相交于点B，试确定不为定值请说明理由．23．设函数f（x）=|x﹣a|．（1）当a=2时，解不等式f（x）≥7﹣|x﹣1|；2]，+（2）若f（x）≤1的解集为[0，附加题（本题不计入总分）24．已知函数g（x）=（2﹣a）lnx，h（x）=lnx+ax2（a∈R），令f（x）=g（x）+h′（x），其中h′（x）是函数h（x）的导函数．（Ⅰ）当a=0时，求f（x）的极值；- 4 - 是否为定值，若为定值求出此定值，若=an＞0）m+4n≥2（m＞0，，求证：+3．x2∈[1，3]，（Ⅱ）当﹣8＜a＜﹣2时，若存在x1，使得|f（x1）﹣f（x2）|＞（m+ln3）a﹣2ln3+ln（﹣a）恒成立，求m的取值范围．2016-2017学年福建省漳州市长泰一中高三（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解+析一、选择题（每小题5分，满分60分）1．已知集合M={x|x＜2}，集合N={x|x2﹣x＜0}，则下列关系中正确的是（A．M∪N=R B．M∪?RN=R C．N∪?RM=R D．M∩N=M 【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】根据集合的基本运算进行求解即可．【解答】解：N={x|x2﹣x＜0}={x|0＜x＜1}，则?RN={x|x≥1或x≤0}，则M∪?RN=R，故选：B2．已知和，若，则||=（）A．5 B．8 C．D．64【考点】平面向量数量积的运算．【分析】由题意可得x+2﹣2x=0，解方程可得x，即可求出||．【解答】解：∵和，，∴x+2﹣2x=0，解得x=2，∴||=|（5，0）|=5．故选：A．- 5 - ）3．等比数列{an}的各项均为正数，且a5a6+a4a7=18，则log3a1+log3a2+…log3a10=（）A．12 B．10 C．8 D．2+log35【考点】等比数列的性质；对数的运算性质．【分析】先根据等比中项的性质可知a5a6=a4a7，进而根据a5a6+a4a7=18，求得a5a65 的值，最后根据等比数列的性质求得log3a1+log3a2+…log3a10=log3（a5a6）答案可得．【解答】解：∵a5a6=a4a7，∴a5a6+a4a7=2a5a6=18∴a5a6=9∴log3a1+log3a2+…log3a10=log3（a5a6）5=5log39=10故选B4．已知条件p：关于x的不等式|x﹣1|+|x﹣3|＜m有解；条件q：f（x）=（7﹣3m）x为减函数，则p成立是q成立的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】条件p：由于|x﹣1|+|x﹣3|≥2，即可得出m的取值范围；条件q：f（x）=（7﹣3m）x为减函数，可得0＜7﹣3m＜1，解得m范围即可得出．【解答】解：条件p：∵|x﹣1|+|x﹣3|≥|3﹣1|=2，而关于x的不等式|x﹣1|+|x﹣3|＜m有解，∴m＞2；条件q：f（x）=（7﹣3m）x为减函数，∴0＜7﹣3m＜1，解得则p成立是q成立的必要不充分条件．故选：B．5．函数y=xcosx+sinx的图象大致为（）．A．B．C．- 6 -D．【考点】函数的图象．【分析】给出的函数是奇函数，奇函数图象关于原点中心对称，由此排除B，然后利用区特值排除A和C，则答案可求．【解答】解：由于函数y=xcosx+sinx为奇函数，故它的图象关于原点对称，所以排除选项B，由当x=时，y=1＞0，当x=π时，y=π×cosπ+sinπ=﹣π＜0．由此可排除选项A和选项C．故正确的选项为D．故选：D．6．已知A．B．C．，且D．，则tanα=（）【考点】运用诱导公式化简求值；同角三角函数间的基本关系．【分析】通过诱导公式求出sinα的值，进而求出cosα的值，最后求tanα．【解答】解：∵cos（∴sinα=﹣；又∴cosα=﹣∴tanα=故答案选B7．若定义在R上的偶函数f（x）和奇函数g（x）满足f（x）+g （x）=x2+3x+1，则- 7 - +α）=；=﹣=f（x）=（）A．x2 B．2x2 C．2x2+2 D．x2+1【考点】函数奇偶性的性质．【分析】利用奇偶函数性质得到f（﹣x）=f（x），g（﹣x）=﹣g（x），代入已知等式得到关系式，与已知等式联立即可求出f（x）．【解答】解：∵定义在R上的偶函数f（x）和奇函数g（x），∴f（﹣x）=f（x），g（﹣x）=﹣g（x），代入已知等式f（x）+g（x）=x2+3x+1①，得：f（﹣x）+g（﹣x）=x2﹣3x+1，即（x）﹣g（x）=x2﹣3x+1②，联立①②，解得：f（x）=x2+1，故选：D．8．一个三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积为（）A．2+2+ B．16+2 C．8+2 D．8+【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由题意作图，从而求各个三角形的面积即可．【解答】解：由题意作图如右，△ABC与△ADC是全等的直角三角形，其中AB==3，BC=2，故S△ADC=S△ABC=×2×3=3，△BDC是等腰直角三角形，BC=CD=2，- 8 - f故S△BCD=×2×2=2，△ADB是等腰三角形，AB=AD=3，BD=2，=，，，故点A到BD的距离AE=故S△BAD=×2×==8+故表面积S=3+3+2+故选：D．9．若x，y满足约束条件a的值为（）A．2 B．1 C．﹣1 D．﹣2 ，则目标函数z=x+y的最大值为2，则实数【考点】简单线性规划．【分析】先作出不等式组的图象，利用目标函数z=x+y的最大值为2，求出交点坐标，代入3x﹣y﹣a=0即可．【解答】解：先作出不等式组∵目标函数z=x+y的最大值为2，∴z=x+y=2，作出直线x+y=2，由图象知x+y=2如平面区域相交A，由的图象如图，得，即A（1，1），- 9 -同时A（1，1）也在直线3x﹣y﹣a=0上，∴3﹣1﹣a=0，则a=2，故选：A．10．如图所示，三棱锥P﹣ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥BC，PA=AC=锥P﹣ABC外接球的体积是（），则三棱A．B．C．D．2π【考点】球的体积和表面积．【分析】构造补充图形为长方体，几何体三棱锥P﹣ABC的外接球，与棱长为1，1，．长方体的外接球应该是同一个外接球，再用长方体的对角线长求解外接球的半径，即可求解体积．【解答】解：∵在三棱锥P﹣ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥BC，PA=AC=∴画出几何图形，可以构造补充图形为长方体，棱长为1，1，∵对角线长为（）2+（）2=2．．，∴三棱锥P﹣ABC的外接球的半径为1，体积为×π×13=π．- 10 -故选：C．11．已知等差数列{an}的公差d≠0，且a1，a3，a13成等比数列，若a1=1，Sn是数列{an}前n项的和，则A．4 B．3 C．2（n∈N+）的最小值为（）﹣2 D．【考点】等差数列的性质．【分析】由题意得（1+2d）2=1+12d，求出公差d的值，得到数列{an}的通项公式，前n项和，从而可得，换元，利用基本不等式，即可求出函数的最小值．【解答】解：∵a1=1，a1、a3、a13 成等比数列，∴（1+2d）2=1+12d．得d=2或d=0（舍去），∴an =2n﹣1，∴Sn=∴==n2，．令t=n+1，则=t+﹣2≥6﹣2=4当且仅当t=3，即n=2时，∴故选：A．的最小值为4．- 11 -12．已知函数f（x）满足：f（x）+2f′（x）＞0，那么下列不等式成立的是（）A．B．C．D．f（0）＞e2f（4）【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】根据题意可设f（x）=，然后代入计算判断即可．【解答】解：∵f（x）+2f′（x）＞0，可设f（x）=∴f（1）=∴f（1）＞故选：A．二、填空题（每小题5分，共20分）13．在△ABC中，，AB=2，且△ABC的面积为，则边BC的长为，，f（0）=e0=1，，【考点】正弦定理的应用．【分析】应用余弦定理结合三角形面积公式进行计算即可；【解答】解：∵∴AC=1由余弦定理可知：BC2=AB2+AC2﹣2AB?AC?cos∠A即BC== 故答案为：14．若幂函数f（x）过点（2，8），则满足不等式f（2﹣a）＞f （1﹣a）的实数a的取值范围是a∈R ．【考点】函数单调性的性质；幂函数的概念、解+析式、定义域、值域．【分析】2α=8?α=3，则f（x）=x3．通过f（2﹣a）＞f（1﹣a），利用函数f（x）的单调性可得a范围；- 12 -【解答】解：∵2α=8?α=3，则f（x）=x3，由f（2﹣a）＞f（1﹣a），?2﹣a＞1﹣a?a∈R；则满足不等式f（2﹣a）＞f（1﹣a）的实数a的取值范围a∈R．故答案为：a∈R．15．若x＞0，y＞0，x+4y+2xy=7，则x+2y的最小值是．【考点】基本不等式．【分析】x＞0，y＞0，x+4y+2xy=7，则2y=利用基本不等式的性质即可得出．【解答】解：∵x＞0，y＞0，x+4y+2xy=7，则2y=则x+2y=x+=x+2+﹣3≥．．则x+2y=x+=x+2+﹣3，﹣3=3，当且仅当x=1时取等号．因此其最小值是3．故答案为：3．16．设函数y=的图象上存在两点P，Q，使得△POQ是以O为直角顶点的直角三角形（其中O为坐标原点），且斜边的中点恰好在y轴上，则实数a的取值范围是．【考点】分段函数的应用．【分析】曲线y=f（x）上存在两点P、Q满足题设要求，则点P、Q只能在y轴两侧．设P（t，f（t））（t＞0），则Q（﹣t，t3+t2），运用向量垂直的条件：数量积为0，构造函数h（x）=（x+1）lnx（x≥e），运用导数判断单调性，求得最值，即可得到a的范围．【解答】解：假设曲线y=f（x）上存在两点P、Q满足题设要求，则点P、Q只能在y轴两侧．不妨设P（t，f（t））（t＞0），则Q（﹣t，t3+t2），∵△POQ是以O为直角顶点的直角三角形，- 13 -∴?=0，即﹣t2+f（t）（t3+t2）=0（*）若方程（*）有解，存在满足题设要求的两点P、Q；若方程（*）无解，不存在满足题设要求的两点P、Q．若0＜t＜e，则f（t）=﹣t3+t2代入（*）式得：﹣t2+（﹣t3+t2）（t3+t2）=0 即t4﹣t2+1=0，而此方程无解，因此t≥e，此时f（t）=alnt，代入（*）式得：﹣t2+（alnt）（t3+t2）=0，即=（t+1）lnt（**）令h（x）=（x+1）lnx（x≥e），则h′（x）=lnx+1+＞0，∴h（x）在[e，+∞）上单调递增，∵t≥e∴h（t）≥h（e）=e+1，∴h（t）的取值范围是[e+1，+∞）．∴对于0＜a≤故答案为：（0，三、解答题（前五大题每题12分，选做题10分，共70分）17．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知tan（（Ⅰ）求（Ⅱ）若B=的值；，a=3，求△ABC的面积．+A）=2．，方程（**）总有解，即方程（*）总有解．]．【考点】二倍角的余弦；两角和与差的正切函数．【分析】（Ⅰ）由两角和与差的正切函数公式及已知可得tanA，由倍角公式及同角三角函数关系式即可得解．（Ⅱ）由tanA=，A∈（0，π），可得sinA，cosA．又由正弦定理可得b，由sinC=sin（A+B）=sin（A+），可得sinC，利用三角形面积公式即可得解．+A）=2．可得tanA=，【解答】解：（Ⅰ）由tan（- 14 -所以==．，cosA=，．（Ⅱ）由tanA=，A∈（0，π），可得sinA=又由a=3，B=及正弦定理，可得b=3），可得sinC=．由sinC=sin（A+B）=sin（A+设△ABC的面积为S，则S=absinC=9．18．数列{an}的前n项和为Sn，且Sn=2an﹣1，设bn=2（log2an+1），n∈N*．（1）求数列{an}的通项公式；（2）求数列{bn?an}的前n项和Tn．【考点】数列的求和；数列递推式．【分析】（1）当n=1时，易得a1=1；当n≥2时，解得an=2an ﹣1即an=2an﹣1（n≥2），且a1=1，从而{an}是以1为首项，以2为公比的等比数列；（2）根据对数的性质，得到bn=2n，即bn?an=n?2n，利用错位相减法即可取出前n项和．【解答】解：（1）当n=1时，a1=2a1﹣1，a1=1，当n≥2时，Sn=2an﹣1，Sn﹣1=2an﹣1﹣1；∴an=2an﹣2an﹣1，∴an=2an﹣1，∴数列{an}是以1为首项，2为公比的等比数列，∴an=2n﹣1，（2）bn=2（log2an+1）=2（log22n﹣1+1）=2n，∴bn?an=2n?2n ﹣1=n?2n，∴Tn=1×21+2×22+3×23+…+n?2n，∴2Tn=1×22+2×23+3×24+…+（n﹣1）?2n+n?2n+1，∴﹣Tn=21+22+23+…+2n﹣n?2n+1=∴Tn=﹣2n+1+1+n?2n+1=（n﹣1）2n+1+2- 15 -﹣n?2n+1=2n+1﹣2﹣n?2n+1，19．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知且，，（Ⅰ）求△ABC的面积．（Ⅱ）已知等差数列{an}的公差不为零，若a1cosA=1，且a2，a4，a8成等比数列，求{}的前n项和Sn．【考点】数列的求和；正弦定理．【分析】（Ⅰ）由正弦定理得b2+c2﹣a2=bc，由余弦定理得的面积．（Ⅱ）数列{an}的公差为d且d≠0，由a1cosA=1得a1=2，由a2，a4，a8成等比数列，得d=2，从而的前n项和Sn．【解答】（本小题满分12分）解：（Ⅰ）∵在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，且∴由正弦定理得：∴由余弦定理得：又∵0＜A＜π，∴∵且，…，即：5acosC=﹣5，即：，，，即：b2+c2﹣a2=bc，，，由此利用裂项求和法能求出{}，由此能求出△ABC与∴△ABC的面积是：联立解得：c=12，…；…（Ⅱ）数列{an}的公差为d且d≠0，由a1cosA=1，得a1=2，又a2，a4，a8成等比数列，得，解得d=2…∴an=2+（n﹣1）×2=2n，有an+2=2（n+2），- 16 -则∴=．……20．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，PA⊥PD，PA=PD，AB⊥AD，AB=1，AD=2，AC=CD=．（Ⅰ）求证：PD⊥平面PAB；（Ⅱ）求直线PB与平面PCD所成角的正弦值；（Ⅲ）在棱PA上是否存在点M，使得BM∥平面PCD？若存在，求存在，说明理由．的值，若不【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．【分析】（Ⅰ）由已知结合面面垂直的性质可得AB⊥平面PAD，进一步得到AB⊥PD，再由PD⊥PA，由线面垂直的判定得到PD⊥平面PAB；（Ⅱ）取AD中点为O，连接CO，PO，由已知可得CO⊥AD，PO ⊥AD．以O为坐标原点，建立空间直角坐标系，求得P（0，0，1），B（1，1，0），D（0，﹣1，0），C（2，0，0），进一步求出向量设PB与平面PCD的夹角为θ，由PB与平面PCD所成角的正弦值；（Ⅲ）假设存在M点使得BM∥平面PCD，设可得M（0，1﹣λ，λ），，M（0，y1，z1），由，由BM∥平面PCD，可得的坐标，再求出平面PCD的法向量，求得直线- 17 -，由此列式求得当时，M点即为所求．【解答】（Ⅰ）证明：∵平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD=AD，且AB⊥AD，AB?平面ABCD，∴AB⊥平面PAD，∵PD?平面PAD，∴AB⊥PD，又PD⊥PA，且PA∩AB=A，∴PD⊥平面PAB；（Ⅱ）解：取AD中点为O，连接CO，PO，∵CD=AC=，∴CO⊥AD，又∵PA=PD，∴PO⊥AD．以O为坐标原点，建立空间直角坐标系如图：则P（0，0，1），B（1，1，0），D（0，﹣1，0），C（2，0，0），则设则由设PB，得与平面，为平面PCD的法向量，，则PCD的夹．角为θ，则，=；（Ⅲ）解：假设存在M点使得BM∥平面PCD，设由（Ⅱ）知，A（0，1，0），P（0，0，1），，则有∴，M（0，y1，z1），，B（1，1，0），，可得M（0，1﹣λ，λ），，- 18 -∵BM∥平面PCD，∴，即为平面PCD的法向量，，解得．综上，存在点M，即当时，M点即为所求．21．已知函数f（x）=x2﹣1，函数g（x）=2tlnx，其中t≤1．（Ⅰ）如果函数f（x）与g（x）在x=1处的切线均为l，求切线l的方程及t的值；（Ⅱ）如果曲线y=f（x）与y=g（x）有且仅有一个公共点，求t 的取值范围．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（Ⅰ）分别求得f（x），g（x）的导数，求得切线的斜率，解方程可得t=1，即可得到切线的斜率和切点坐标，可得切线的方程；（Ⅱ）设函数h（x）=f（x）﹣g（x），“曲线y=f（x）与y=g（x）有且仅有一个公共点”等价于“函数y=h（x）有且仅有一个零点”．对h（x）求导，讨论①当t≤0时，②当t=1时，③当0＜t＜1时，求出单调区间，即可得到零点和所求范围．【解答】解：（Ⅰ）求导，得f′（x）=2x，由题意，得切线l的斜率k=f′（1）=g′（1），即k=2t=2，解得t=1．又切点坐标为（1，0），所以切线l的方程为2x﹣y﹣2=0；（Ⅱ）设函数h（x）=f（x）﹣g（x）=x2﹣1﹣2tlnx，x∈（0，+∞）．“曲线y=f（x）与y=g（x）有且仅有一个公共点”等价于“函数y=h（x）有且仅有一个零点”．- 19 - ，（x＞0）．求导，得．①当t≤0时，由x∈（0，+∞），得h'（x）＞0，所以h（x）在（0，+∞）单调递增．又因为h（1）=0，所以y=h（x）有且仅有一个零点1，符合题意．②当t=1时，当x变化时，h'（x）与h（x）的变化情况如下表所示：所以h（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，所以当x=1时，h（x）min=h（1）=0，故y=h（x）有且仅有一个零点1，符合题意．③当0＜t＜1时，令h'（x）=0，解得．当x变化时，h'（x）与h（x）的变化情况如下表所示：所以h（x）在所以当时，上单调递增，上单调递减，在．，且h（x）在．，，上单调递增，因为h（1）=0，所以又因为存在所以存在x0∈（0，1）使得h（x0）=0，所以函数y=h（x）存在两个零点x0，1，与题意不符．t的范围是{t|t≤0，综上，曲线y=f（x）与y=g（x）有且仅有一个公共点时，或t=1}．请考生在第22-23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分. 22．在平面直角坐标系中，椭圆C的参数方程为（θ为参数），已知以- 20 -坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，射线l的极坐标方程为θ=α（ρ≥0）（注：本题限定：ρ≥0，θ∈[0，2π））（1）把椭圆C的参数方程化为极坐标方程；（2）设射线l与椭圆C相交于点A，然后再把射线l逆时针90°，得到射线OB与椭圆C相交于点B，试确定不为定值请说明理由．【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．【分析】（1）椭圆C的参数方程为系式可得：椭圆C的普通方程．把（2）由（1）得椭圆的极坐标方程可化为（θ为参数），利用三角函数基本关代入直角坐标方程可得极坐标方程．是否为定值，若为定值求出此定值，若．由已知可得：在极坐标下，可设，分别代入中：可得，．即可得出．（θ为参数），【解答】解：（1）∵椭圆C的参数方程为∴椭圆C的普通方程为把ρ2+ρ2sin2θ=2．（2）由（1）得椭圆的极坐标方程可化为由已知可得：在极坐标下，可设分别代入中：．代入直角坐标方程可得：，化为：，，有，，- 21 -∴，．则故即为定值．．23．设函数f（x）=|x﹣a|．（1）当a=2时，解不等式f（x）≥7﹣|x﹣1|；2]，+（2）若f（x）≤1的解集为[0，=an＞0）m+4n≥2（m＞0，，求证：+3．【考点】分段函数的应用；基本不等式．【分析】（1）利用绝对值的应用表示成分段函数形式，解不等式即可．（2）根据不等式的解集求出a=1，利用1的代换结合基本不等式进行证明即可．【解答】解：（1）当a=2时，f（x）=|x﹣2|，则不等式f（x）≥7﹣|x﹣1|等价为|x﹣2|≥7﹣|x﹣1|，即|x﹣2|+|x﹣1|≥7，当x≥2时，不等式等价为x﹣2+x﹣1≥7，即2x≥10，即x≥5，此时x≥5；当1＜x＜2时，不等式等价为2﹣x+x﹣1≥7，即1≥7，此时不等式不成立，此时无解，当x≤1时，不等式等价为﹣x+2﹣x+1≥7，则2x≤﹣4，得x≤﹣2，此时x≤﹣2，综上不等式的解为x≥5或x≤﹣2，即不等式的解集为（﹣∞，﹣2]∪[5，+∞）．（2）若f（x）≤1的解集为[0，2]，由|x﹣a|≤1得﹣1+a≤x≤1+a．即即+得a=1，=a=1，（m＞0，n＞0），）=1+2++≥3+2=2+3．则m+4n=（m+4n）（+当且仅当故m+4n≥2=，即m2=8n2时取等号，+3成立．- 22 -附加题（本题不计入总分）24．已知函数g（x）=（2﹣a）lnx，h（x）=lnx+ax2（a∈R），令f（x）=g（x）+h′（x），其中h′（x）是函数h（x）的导函数．（Ⅰ）当a=0时，求f（x）的极值；x2∈[1，3]，（Ⅱ）当﹣8＜a＜﹣2时，若存在x1，使得|f（x1）﹣f（x2）|＞（m+ln3）a﹣2ln3+ln（﹣a）恒成立，求m的取值范围．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的极值．【分析】（Ⅰ）把a=0代入函数f（x）的解+析式，求其导函数，由导函数的零点对定义域分段，得到函数在各区间段内的单调性，从而求得函数极值；（Ⅱ）由函数的导函数可得函数的单调性，求得函数在[1，3]上的最值，再由恒成立，结合分离参数可得，构造函数的范围．【解答】解：（I）依题意h′（x）=∞），当a=0时，令f′（x）=0，解得，．时，f′（x）＞0．，单调递增区间为，无极大值；，x∈[1，3]．．，，则，x∈（0，+，利用导数求其最值得m当0＜x＜时，f′（x）＜0，当∴f（x）的单调递减区间为∴（II）当﹣8＜a＜﹣2，即＜时，f（x）取得极小值=＜时，恒有f′（x）＜0成立，∴f（x）在[1，3]上是单调递减．∴f（x）max=f（1）=1+2a，，- 23 -∴|f（x1）﹣f（x2）|max=f（1）﹣f（3）=∵x2∈[1，3]，使得∴＞，又a＜0，∴，，恒成立，，整理得令t=﹣a，则t∈（2，8），构造函数∴，，当F′（t）=0时，t=e2，当F′（t）＞0时，2＜t＜e2，此时函数单调递增，当F′（t）＜0时，e2＜t＜8，此时函数单调递减．∴∴m的取值范围为，．20XX年2月13日- 24 -。