高中数学 第一章 三角函数 第四节 三角函数的图象与性质(第二课时)示范教案 新人教A版必修4

第一章第四节三角函数的图象与性质第二课时整体设计教学分析对于函数性质的研究，在高一必修中已经研究了幂函数、指数函数、对数函数的图象与性质．因此作为高中最后一个基本初等函数的性质的研究，学生已经有些经验了．其中，通过观察函数的图象，从图象的特征获得函数的性质是一个基本方法，这也是数形结合思想方法的应用．由于三角函数是刻画周期变化现象的重要数学模型，这也是三角函数不同于其他类型函数的最重要的地方，而且对于周期函数，我们只要认识清楚它在一个周期区间上的性质，那么就完全清楚它在整个定义域内的性质．正弦、余弦函数性质的难点，在于对函数周期性的正确理解与运用，以下的奇偶性，无论是由图象观察，还是由诱导公式进行证明，都很容易．单调性只要求由图象观察，不要求证明，而正弦、余弦函数的最大值和最小值可以作为单调性的一个推论，只要注意引导学生利用周期进行正确归纳即可．三维目标1．通过创设情境，如单摆运动、波浪、四季变化等，让学生感知周期现象；理解周期函数的概念；能熟练地求出简单三角函数的周期，并能根据周期函数的定义进行简单的拓展运用．2．通过本节的学习，使同学们对周期现象有一个初步的认识，感受生活中处处有数学，从而激发学生的学习积极性，培养学生学好数学的信心，学会运用联系的观点认识事物．重点难点教学重点：正弦、余弦、正切函数的主要性质(包括周期性、单调性、奇偶性、最值或值域)；深入研究函数性质的思想方法．教学难点：正弦函数和余弦函数图象间的关系、图象变换，以及周期函数概念的理解，最小正周期的意义及简单的应用．课时安排2课时教学过程第1课时导入新课思路 1.人的情绪、体力、智力都有周期性的变化现象，在日常生活和工作中，人们常常有这样的自我感觉，有的时候体力充沛，心情愉快，思维敏捷；有的时候却疲倦乏力，心灰意冷，反应迟钝；也有的时候思绪不稳，喜怒无常，烦躁不安，糊涂健忘，这些感觉呈周期性发生，贯穿人的一生，这就是人体节律．这种有规律性的重复，我们称之为周期性现象．请同学们举出生活中存在周期现象的例子，在学生热烈的争论中引入新课．思路 2.取出一个钟表，实际操作，我们发现钟表上的时针、分针和秒针每经过一周就会重复，这是一种周期现象．我们这节课要研究的主要内容就是周期现象与周期函数．那么我们怎样从数学的角度研究周期现象呢？在图形上让学生观察正弦线“周而复始”的变化规律，在代数式上让学生思考诱导公式：sin(x＋2kπ)＝sin x又是怎样反映函数值的“周而复始”的变化规律的．要求学生用日常语言叙述这个公式，通过对图象、函数解析式的特点的描述，使学生建立在比较牢固的理解周期性的认知基础上，来理解“周而复始”变化的代数刻画，由此引出周期函数的概念．推进新课新知探究提出问题问题①正弦函数、余弦函数是周期函数吗？如果是，又是怎样周期性变化的？问题②阅读教材并思考：怎样从代数的角度定义周期函数？活动：教师可先引导学生查阅思考上节学过的正弦函数图象，让学生观察正弦线的变化规律，有什么新的发现？再让学生描述这种规律是如何体现在正弦函数的图象上的，即描述正弦函数图象是如何体现“周而复始”的变化规律的．通过研究图象，学生很容易看出正弦函数、余弦函数是周期函数．怎样变化呢？从图1中也能看出是每隔2π就重复一次．对问题①，学生对正弦函数是周期函数是没有疑问的，至于怎样描述，学生一时很难回答．教师可引导学生思考讨论，正弦函数图象是怎样重复出现的？对于回答对的学生给予肯定，鼓励继续探究．对于找不到思路的学生给予提示，指导其正确的探究思路．图1问题②，从图象上能够看出，但关键是怎样对“周而复始”的变化规律作出代数描述，这对学生有一定的难度．在引入正式定义之前，可以引导学生先从不同角度进行描述．例如：对于函数f (x )自变量每增加或减少一个定值(这样的定值可以有很多个)，函数值就重复出现，那么这个函数就叫做周期函数．教师也可以引导点拨学生从诱导公式进行描述．例如：sin(α＋2k π)＝sin α，cos(α＋2k π)＝cos α，k ∈Z .这表明，正弦函数、余弦函数在定义域内自变量每增加(k >0时)或减少(k <0时)一个定值2k π，它的函数值就重复出现，所以正弦函数、余弦函数都是周期函数．还可以通过类比奇函数、偶函数、周期函数的研究方法来加深理解周期性概念．如果函数f (x )对于其定义域内的每一个值，都有：f (－x )＝－f (x )，那么f (x )叫做奇函数；f (－x )＝f (x )，那么f (x )叫做偶函数；f (x ＋T )＝f (x )，其中T 是非零常数，那么f (x )叫做周期函数．从上述定义可以看到，函数的性质是对函数的一种整体考查结果，反映了同一类函数的共同特点，它们可以从代数角度得到统一刻画．这种共同特点还可以从函数的图象上得到反映．讨论结果：①正弦函数、余弦函数是周期函数，每隔2π就重复一次．②略．定义：对于函数f (x )，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的每一个值时，都有f (x ＋T )＝f (x )，那么函数f (x )就叫做周期函数．非零常数T 叫做这个函数的周期．如果在周期函数f (x )的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f (x )的最小正周期．正弦函数是周期函数，2k π(k ∈Z 且k ≠0)都是它的周期，最小正周期是2π.提出问题①怎样正确理解三角函数是周期函数的定义？并举例说明.②通过探求思考怎样求一些简单三角函数的周期？活动：对问题①，学生一时可能难以理解周期的代数刻画．教师在引导学生阅读、讨论、思考问题时可多举些具体例子，以使抽象概念具体化．如常数函数f (x )＝c (c 为常数，x ∈R )是周期函数，所有非零实数T 都是它的周期．同时应特别强调：(1)对周期函数与周期定义中的“当x 取定义域内每一个值时”这句话，要特别注意“每一个值”的要求．如果只是对某些x 有f (x ＋T )＝f (x )，那么T 就不是f (x )的周期．例如，分别取x 1＝2k π＋π4(k ∈Z )，x 2＝π6，则由sin(2k π＋π4＋π2)≠sin(2k π＋π4)，sin(π6＋π2)≠sin π6，可知π2不是正弦函数的周期．又如sin(30°＋120°)＝sin30°，但不是对所有x 都有f (x ＋120°)＝f (x )，所以120°不是f (x )的周期．(2)从上述定义还可以看到周期函数的周期不唯一，例如2π，4π，6π，8π，……都是它的周期，有无穷多个，即2k π(k ∈Z ，k ≠0)都是正弦函数的周期．这一点可以从周期函数的图象上得到反映，也可以从代数上给以证明：设T 是函数f (x )的周期，那么对于任意的k ∈Z ，k ≠0，kT 也是函数f (x )的周期．(3)对于周期函数来说，如果所有的周期中存在着一个最小的正数，就称它为最小正周期．但周期函数不一定存在最小正周期，例如，对于常数函数f (x )＝c (c 为常数，x ∈R )，所有非零实数T 都是它的周期，由于T 可以是任意不为零的常数，而正数集合中没有最小值，即最小正数是不存在的，所以常数函数没有最小正周期．(4)正弦函数中，正周期无穷多，2π是最小的一个，在我们学习的三角函数中，如果不加特别说明，教科书提到的周期，一般都是指最小正周期．对问题②，教师要指导学生紧扣定义，可先出一些简单的求周期的例子，如：若T 是f (x )的周期，那么2T 、3T 、…呢？怎样求？实际上，由于T 是f (x )的周期，那么2T 、3T 、…也是它的周期．因为f (x ＋2T )＝f (x ＋T ＋T )＝f (x ＋T )＝f (x )．这样学生就会明白，数学中的周期函数，其实就是在独立变量上加上一个确定的周期之后数值重复出现的函数．讨论结果：①略．②定义法、公式法和图象法．应用示例思路1例1求下列函数的周期：(1)y ＝3cos x ，x ∈R ；(2)y ＝sin2x ，x ∈R ；(3)y ＝2sin(x 2－π6)，x ∈R . 活动：教师引导学生紧扣定义，一切从定义出发来求．(1)因为3cos(x ＋2π)＝3cos x ，根据周期函数的定义可知，原函数的周期为2π.有的学生可能会提出π是不是呢？让学生自己试一试，加深对概念的理解．因为3cos(x ＋π)＝－3cos x ≠3cos x ，所以π不是周期．(2)教师引导学生观察2x ，可把2x 看成一个新的变量u ，那么cos u 的最小正周期是2π，就是说，当u 增加到u ＋2π时，函数cos u 的值重复出现，而u ＋2π＝2x ＋2π＝2(x ＋π)，所以当自变量x 增加到x ＋π且必须增加到x ＋π时函数值重复出现．因为sin2(x ＋π)＝sin(2x ＋2π)，所以由周期函数的定义可知，原函数的周期为π.(3)因为2sin[12(x ＋4π)－π6]＝2sin[(x 2－π6)＋2π]＝2sin(x 2－π6)． 所以由周期函数的定义可知，原函数的周期为4π.解：(1)周期为2π；(2)周期为π；(3)周期为4π.点评：通过本例我们看到函数周期的变化仅与自变量的系数有关，关键是让学生认识到，f (x ＋T )＝f (x )中，T 是相对于自变量x 而言的，让学生总结归纳一下这些函数的周期与解析式中哪些量有关．一般地，函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(其中A 、ω、φ为常数，A ≠0，ω>0，x ∈R )的周期为T ＝2πω.可以按照如下的方法求它的周期： y ＝A sin(ωx ＋φ＋2π)＝A sin[ω(x ＋2πω)＋φ]＝A sin(ωx ＋φ)． 于是有f (x ＋2πω)＝f (x )， 所以其周期为2πω.由上述解法可以看到，思考的基本依据还是y ＝sin x 的周期为2π. 根据这个结论，我们可以由这类函数的解析式直接写出函数的周期．如例1中的第(3)小题：T ＝2π＝4π.这是求简单三角函数周期的最基本方法，即公式法.例1判断函数f (x )＝2sin 2x ＋|cos x |，x ∈R 的周期性．如果是周期函数，最小正周期是多少？活动：本例的难度较大，教师可引导学生从定义出发，结合诱导公式，寻求使f (x ＋T )＝f (x )成立的T 的值．学生可能会很容易找出4π，2π，这的确是原函数的周期，但是不是最小正周期呢？教师引导学生选其他几个值试试．如果学生很快求出，教师给予表扬鼓励；如果学生做不出，教师点拨学生的探究思路，主要让学生自己讨论解决．解：因为f (x ＋π)＝2sin 2(x ＋π)＋|cos(x ＋π)|＝2sin 2x ＋|cos x |＝f (x )．所以原函数是周期函数，最小正周期是π.点评：本题能很容易判断是周期函数，但要求的是“最小正周期”，那就要多加小心了．虽然将4π，2π带入公式后也符合要求，但还必须进一步变形，即f (x )中的x 以x ＋π代替后看看函数值变不变．为此需将π，π2等都代入试一试．实际上，在f (x )＝2sin 2x ＋|cos x |，x ∈R 中，学生应看到平方与绝对值的作用是一样的，与负号没有关系．因而π知能训练课本本节练习解答：1．成立．但不能说12°是正弦函数的一个周期，因为此等式不是对x 的一切值都成立． 例如sin(20°＋120°)≠sin20°.点评：理解周期函数概念中“当x 取定义域内每一个值时”的“每一个值”的含义．2．(1)8π3；(2)π2；(3)2π；(4)6π.点评：利用周期函数的图象和定义求周期，体会周期与自变量x的系数有关．3．可以先在一个周期的区间上研究函数的其他性质，再利用函数的周期性，将所研究的性质扩展到整个定义域．点评：了解如何利用函数的周期性来认识周期函数的其他性质．可让学生课堂讨论，然后归纳总结．课堂小结由学生回顾本节所学的数学知识有哪些？〔周期函数的概念，最小正周期的定义，正弦、余弦函数的周期性，y＝A sin(ωx＋φ)(ω>0)的周期〕．并思考总结本节都用了哪些数学方法？(观察与归纳，特殊到一般，定义法，数形结合，辩证的观点)作业1．课本习题 A组3，B组3.2．预习正弦函数、余弦函数的奇偶性．设计感想1．本节课的设计思想是：在学生的探究活动中突破正弦、余弦函数的周期性这个教学难点．因此一开始要让学生从图形、代数两方面深入探究，不要让开始的探究成为一种摆设．如果学生一开始没有很好的理解，那么，以后有些题就会很难做．通过探究让学生找出周期这个规律性的东西，并明确知识依附于问题而存在，方法为解决问题的需要而产生．将周期性概念的形成过程自然地贯彻到教学活动中去，由此把学生的思维推到更高的广度．2．本节设计的特点是从形到数、由特殊到一般、由易到难，这符合学生的认知规律．让学生在探究中积累知识，发展能力，对形成科学的探究未知世界的严谨作风有着良好的启导．但由于学生知识水平的限制，本节不能扩展太多，建议让学有余力的学生继续探讨函数的周期性的规律及一般三角函数的周期的求法．3．根据本节课的特点可考虑分层推进、照顾全体．对优等生，重在引导他们进行一题多解，多题合一，变式思考的训练，培养他们求同思维、求异思维能力，以及思维的灵活性、深刻性与创造性，鼓励他们独立思考，勇于探索，敢于创新，对正确的要予以肯定，对暴露出来的问题要及时引导、剖析纠正，使课堂学习成为再发现再创造的过程．。