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高三下学期高考模拟联考数学理试题

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2024年新高考九省联考高三第二次模拟数学试题及答案

2024年新高考九省联考高三第二次模拟数学试题及答案

2024年高考第二次模拟考试高三数学（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

写在本试卷上无效。

3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.设集合(){}{}ln 3,1A x y x Bx x ==−=≤−，则()A B =R （ ）A ．{}13x x −<≤B ．{}1x x >− C ．{1x x ≤−,或}3x >D ．{}3x x >2.已知复数i z a b =+（a ∈R ，b ∈R 且a b ），且2z 为纯虚数，则zz=（ ） A ．1B ．1−C ．iD ．i −3.已知向量()2,4a =−，()1,b t = ，若a 与b 共线，则向量a b + 在向量()0,1j = 上的投影向量为（ ）A ． jB ． j −C ． 2jD ． 2j −4. “1ab >”是“10b a>>”（ ） A ． 充分不必要条件 B ． 必要不充分条件 C ． 充分必要条件D ． 既不充分也不必要条件5.有甲、乙等五人到三家企业去应聘，若每人至多被一家企业录用，每家企业至少录用其中一人且甲、乙两人不能被同一家企业录用，则不同的录用情况种数是（ ） A ．60 B ．114 C ．278 D ．3366.已知D ：222210x y ax a +−−−=，点()3,0P −，若D 上总存在M ，N 两点使得PMN 为等边三角形，则a 的取值范围是（ ） A ． ()5,11,3 −−∪−+∞B ． [)5,1,3−∞−∪+∞C ． (][) ,21,−∞−∪+∞D ． [)()2,11,−−−+∞7.已知ABC ∆中，60BAC ∠=°，2AB =，Q 是边BC 上的动点．若PA ⊥平面ABC ，PA =，且PQ与面ABC ，则三棱锥−P ABC 的外接球的表面积为（ ） A ． 4πB ． 6πC ． 8πD ． 9π8.加斯帕尔-蒙日是1819世纪法国著名的几何学家．如图，他在研究圆锥曲线时发现：椭圆的任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上，其圆心是椭圆的中心，这个圆被称为“蒙日圆”．若长方形G 的四边均与椭圆22:164x y M +=相切，则下列说法错误的是（ ）A ．椭圆MB ．椭圆M 的蒙日圆方程为2210x y +=C ．若G 为正方形，则G 的边长为D ．长方形G 的面积的最大值为18二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得60分．9.已知抛物线2:6C y x =的焦点为F ，过点F 的直线交C 于,M N 两个不同点，则下列结论正确的是（ ） A ．MN 的最小值是6 B ．若点5,22P，则MF MP +的最小值是4C ．113MF NF+= D ．若18MF NF ⋅=，则直线MN 的斜率为1± 10.已知双曲线()222:102x y E a a−=>的左、右焦点别为1F ，2F ，过点2F 的直线l 与双曲线E 的右支相交于,P Q 两点，则（ ）A ． 若E 的两条渐近线相互垂直，则a =B． 若E E 的实轴长为1C ． 若1290F PF ∠=°，则124PF PF ⋅=D ． 当a 变化时，1F PQ 周长的最小值为11.在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D −中，,E F 分别是棱,BC CD 的中点，则（ ） A ．11B D 与EF 是异面直线B ．存在点P ，使得12A P PF =，且BC //平面1APBC ．1A F 与平面1B EBD ．点1B 到平面1A EF 的距离为45三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.若二项式nx+的展开式中二项式系数之和为64，则二项展开式中系数最大的项为13.若函数()sin f x ax x =+ 的图像上存在两条互相垂直的切线，则实数a 是__________.14. 若过点()0,1的直线l 自左往右交抛物线214y x =及圆()22114x y +−=于,,,A B C D 四点，则3AB CD +的最小值为________.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（13分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且对于任意的*n ∈N 都有321n n S a =+． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）记数列{}n a 的前n 项中的最大值为n M ，最小值为n m ，令2n nn M m b +=，求数列{}n b 的前20项和20T ．16．（15分）灯带是生活中常见的一种装饰材料，已知某款灯带的安全使用寿命为5年，灯带上照明的灯珠为易损配件，该灯珠的零售价为4元/只，但在购买灯带时可以以零售价五折的价格购买备用灯珠，该灯带销售老板为了给某顾客节省装饰及后期维护的支出，提供了150条这款灯带在安全使用寿命内更换的灯珠数量的数据，数据如图所示.以这150条灯带在安全使用寿命内更换的灯珠数量的频率代替1条灯带更换的灯珠数量发生的概率，若该顾客买1盒此款灯带，每盒有2条灯带，记X 表示这1盒灯带在安全使用寿命内更换的灯珠数量，n 表示该顾客购买1盒灯带的同时购买的备用灯珠数量.（1）求X 的分布列；（2）若满足()0.6P X n ≥≤的n 的最小值为0n ，求0n ；（3）在灯带安全使用寿命期内，以购买替换灯珠所需总费用的期望值为依据，比较01nn =−与0n n =哪种方案更优.17．（15分）如图,在三棱柱111ABC A B C −中,直线1C B ⊥平面ABC,平面11AA C C ⊥平面11BB C C .(1)求证:1AC BB ⊥;(2)若12AC BC BC ===,在棱11A B 上是否存在一点P ,使二面角1P BC C −−?若存在,求111B PA B 的值;若不存在,请说明理由.18．（17分）已知函数()ln =−+f x x x a ．(1)若直线(e 1)yx =−与函数()f x 的图象相切，求实数a 的值； (2)若函数()()g x xf x =有两个极值点1x 和2x ，且12x x <，证明：12121ln()x x x x +>+．（e 为自然对数的底数）．19．（17分）阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，他的主要研究成果集中在他的代表作《圆锥曲线》一书中.阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一，指的是已知动点M 与两定点Q,P 的距离之比()||0,1,||MQ MP λλλλ=>≠是一个常数，那么动点M 的轨迹就是阿波罗尼斯圆，圆心在直线PQ 上.已知动点M 的轨迹是阿波罗尼斯圆，其方程为224x y +=,定点分别为椭圆2222:1x y C a b+=(0)a b >>的右焦点F 与右顶点A,且椭圆C 的离心率为1.2e = (1)求椭圆C 的标准方程；(2)如图，过右焦点F 斜率为(0)k k >的直线l 与椭圆C 相交于B ,D(点B 在x 轴上方),点S,T 是椭圆C 上异于B,D 的两点，SF 平分,BSD TF ∠平分.BTD ∠（1）求||||BF DF 的取值范围；（2）将点S 、F 、T 看作一个阿波罗尼斯圆上的三点，若△SFT 外接圆的面积为818π,求直线l 的方程.2024年高考第二次模拟考试高三数学全解全析一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．A ．{13x x −<≤B ．{1x x >− C.{1x x ≤−,或}3x >D ．{3x x >【答案】B【分析】先化简集合，再利用集合的交并补运算求解即可， 【详解】由题意得{}3A x x =>，{}1B x x =≤−，又{}1B x x =>−R 则(){}1A B x x ∪=>−R ，故选：B.A ．1B ．1−C ．iD ．i −【答案】D【分析】利用复数的概念及四则运算法则运算即可求解.【详解】因为i z a b =+，所以()2222(i)2i z a b a b ab =+=−+，又因为2z 为纯虚数，所以2220a b ab −= ≠，即0a b =≠（舍）或0a b =−≠， 所以i z a a =−，所以i z a a =+， 所以2i 1i (1i)i i 1i (1i)(1i)z a a a a z −−−====−+++−. 故选：D3.已知向量()2,4a =−，()1,b t = ，若a 与b 共线，则向量a b +在向量()0,1j = 上的投影向量为（ ）A. jB. j −C. 2jD. 2j −【答案】C 【解析】【分析】根据a 与b 共线，可得240t −−=，求得2t =−，再利用向量a b +在向量()0,1j = 上的投影向量为()a b j jj j+⋅⋅ ，计算即可得解. 【详解】由向量()2,4a =−，()1,b t = ，若a与b共线，则240t −−=，所以2t =−，(1,2)a b +=−，所以向量a b +在向量()0,1j = 上的投影向量为： ()(1,2)(0,1)21a b j j j j j j+⋅−⋅⋅=⋅=， 故选：C4. “1ab >”是“10b a>>”（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】【分析】根据充分条件和必要条件的定义判断. 【详解】当0a >时，由1ab >，可得10b a>>， 当a<0时，由1ab >，得10b a<<； 所以“1ab >”不是“10b a>>”的充分条件. 因为01010a b ab a a>>>⇔− > ，所以1ab >， 所以“1ab >”是“10b a>>”的必要不充分条件. 故选：B.【点睛】本题考查不等式性质与充分、必要条件的判定，还考查了理解辨析问题的能力，属于基础题. 5.有甲、乙等五人到三家企业去应聘，若每人至多被一家企业录用，每家企业至少录用其中一人且甲、乙两人不能被同一家企业录用，则不同的录用情况种数是（ ） A.60 B.114 C.278 D.336【答案】D【解析】命题意图 本题考查排列与组合的应用.录用3人，有 353360C A = 种情况；录用4 人，有 4232354333162C C A C A −=种情况；录用 5 人，有12323331345333333225)4(C C A C A (C A C A )11A −+−=种情况.所以共有336种.6.已知D ：222210x y ax a +−−−=，点()3,0P −，若D 上总存在M ，N 两点使得PMN 为等边三角形，则a 的取值范围是（ ） A. ()5,11,3 −−∪−+∞B. [)5,1,3−∞−∪+∞C. (][) ,21,−∞−∪+∞D. [)()2,11,−−−+∞【答案】B 【解析】【分析】D 的圆心坐标为(),0D a ，半径为1ra =+,要使D 上总存在M ，N 两点使得PMN 为等边三角形，则D 上存在一点M ，使得30MPD ∠=°,当PM 与D 相切时，MPD ∠最大，故sin sin 30rMPD PD∠=≥°，由此可求解. 【详解】D 的标准方程为()()2221x a y a −+=+，圆心坐标为(),0D a ，半径为1ra =+.因为,PM PN MD ND ==，所以PMD PND ≅△△.所以30MPD NPD ∠=∠=°.要使D 上总存在M ，N 两点使得PMN 为等边三角形， 则D 上存在一点M ，使得30MPD ∠=°,当PM 与D 相切时，MPD ∠最大，此时30MPD ∠≥°，故1sin sin 302r MPDPD ∠=≥°=，即()1132a a +≥+，整理得23250a a +−≥，解得[)5,1,3a∈−∞−∪+∞.故选:B.7.已知ABC 中，60BAC ∠=°，2AB =，Q 是边BC 上的动点．若PA ⊥平面ABC ，PA =，且PQ与面ABC ，则三棱锥−P ABC 的外接球的表面积为（ ） A. 4π B. 6πC. 8πD. 9π【答案】B 【解析】【分析】根据题意得PQ AQ 的最小值是1，即A 到BC 的距离为1，则∠ACB ＝90°，结合图形找出△ABC 的外接圆圆心与三棱锥−P ABC 外接球的球心，求出外接球的半径，再计算它的表面积． 【详解】三棱锥−P ABC 中，PA ⊥平面ABC ，设直线PQ 与平面ABC 所成角为θ，∵sin θ，∴sin PA PQ θ==≤PQ ≥即PQ AQ 的最小值是1，即A 到BC 的距离为1， 直角三角形△ABQ 中，AB ＝2，所以∠BAQ =60°,又∠BAC ＝60°， 所以,A Q 重合，则∠ACB ＝90°， 则△ABC 的外接圆圆心M 为AB 的中点，又PA ⊥平面ABC ，从而外接球的球心O 为PB 的中点，外接球的半径R OB =，∴三棱锥−P ABC 的外接球的表面积224π4π6πS R ==×=．故选：B ．8.加斯帕尔-蒙日是1819世纪法国著名的几何学家．如图，他在研究圆锥曲线时发现：椭圆的任意两条互相【分析】由椭圆标准方程求得,a b 后再求得c ，从而可得离心率，利用特殊的长方形（即边长与椭圆的轴平行）求得蒙日圆方程，从而可得长方形边长的关系，结合基本不等式得面积最大值，并得出长方形为正方形时的边长．【详解】由椭圆方程知a =2b =，则c ，离心率为e =A 正确；当长方形G 的边与椭圆的轴平行时，长方形的边长分别为4，因此蒙，圆方程为2210x y +=，B 正确； 设矩形的边长分别为,m n ，因此22402m n mn +=≥，即20mn ≤，当且仅当m n =时取等号，所以长方形G 的面积的最大值是20，此时该长方形G 为正方形，边长为C 正确，D 错误． 故选：D ．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知抛物线2:6C y x =的焦点为F ，过点F 的直线交C 于,M N 两个不同点，则下列结论正确的【分析】A ，根据12||=MN x x p ++结合基本不等式即可判断；B ，由抛物线定义知当,,P M A 三点共线时MF MP +；C ，D ，设直线方程，联立抛物线，应用韦达定理即可求解.【详解】对A ，设112212(,),(,),(,0)M x y N x y x x >， 因为这些MN 倾斜角不为0， 则设直线MN 的方程为32x ky =+，联立抛物线得2690y ky −−=， 则12126,9y y k y y +=⋅=−，所以()()221212121212399363,244k x x k y y k x x k y y y y ∴+=++=+=+++=， 则212||=3666MN x x k ++=+≥（当且仅当0k =时等号成立），A 正确； 对B ，如图MA ⊥抛物线准线，MF MP MA MP +=+要使其最小， 即,,P M A 三点共线时取得最小值，即53||422MF MP MA MP PA +=+==+=，B 正确； 对C ，由()121212311||||239||||||||324x x NF MF MF NF MF NF x x x x ++++===+++，C 错误； 对D ，1212123339()()()2224MF NF x x x x x x ⋅=+⋅+=+++2293993(63)(63)1842422k k =+++=++=，解得1k =±,D 正确故选：ABD.10.已知双曲线()222:102x y E a a −=>的左、右焦点别为1F ，2F ，过点2F 的直线l 与双曲线E 的右支相交于,P Q 两点，则（ ） A. 若E的两条渐近线相互垂直，则a =B. 若EE 的实轴长为1C. 若1290F PF ∠=°，则124PF PF ⋅= D. 当a 变化时，1F PQ周长的最小值为【答案】ACD 【解析】【分析】根据双曲线的渐近线、离心率、定义、三角形的周长等知识对选项进行分析，从而确定正确答案.【详解】依题意，b =，A选项，若双曲线的两条渐近线相互垂直，所以1,ba b a===，故A 正确；B 选项，若E的离心率为c e a ==， 解得1a =，所以实轴长22a =，故B 错误；C 选项，若1290F PF ∠=°，则122221224PF PF a PF PF c −=+=， 整理得222121224448,4PF PF c a b PF PF ⋅=−==⋅=，故C 正确； D 选项，根据双曲线的定义可知，121222PF PF a QF QF a −=−= ，两式相加得11114,4PF QF PQ a PF QF a PQ +−=+=+， 所以1F PQ 周长为42a PQ +，当12PQ F F ⊥时，PQ 取得最小值224b a a=，所以8424a PQ a a +≥+≥， 当且仅当84a a=，即a = 所以1F PQ周长的最小值为D 正确. 故选：ACD11.在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D −中，,E F 分别是棱,BC CD 的中点，则（ ）【分析】A 选项，建立空间直角坐标系，根据112B D EF = 得到11B D 与EF 平行；B 选项，先求出242,,333P，得到平面1APB 的法向量()1,0,1m =− ，根据数量积为0得到BC m ⊥ ，得到BC //平面1APB ；C 选项，先求出1A F 与平面1B EB 所成角的正弦值，进而求出余弦值；D 选项，求出平面1A EF 的法向量，根据点到平面距离公式求出答案.【详解】A 选项，以A 作坐标原点，1,,AB AD AA 所在直线分别为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系，()()()()()()()1112,0,2,0,2,2,2,1,0,1,2,0,0,0,2,2,0,0,2,2,0B D E F A B C ，则()()112,2,0,1,1,0B D EF =−=− ，由于112B D EF =，故11B D 与EF 平行，A 错误； B 选项，设(),,P x y z ，因为12A P PF =，所以()()2,,21,2,x y z x y z −−−−=，即224222x xy y z z =− =− −=−，解得242,,333x y z ===，故242,,333P ， 设平面1APB 的法向量为(),,m a b c =，则()()()1242242,,,,0333333,,2,0,2220m AP a b c a b c mAB a b c a c ⋅=⋅=++=⋅=⋅=+= ， 令1a =，则0,1b c ==−，则()1,0,1m =−， 因为()()0,2,01,0,10BC m ⋅=−= ，故BC m ⊥ ，BC //平面1APB ， 故存在点P ，使得12A P PF =，且BC //平面1APB ，B 正确；C 选项，平面1B EB 的法向量为()1,0,0n =，故1A F 与平面1B EB则1A F 与平面1B EBC 正确；D 选项，设平面1A EF 的法向量为()1111,,n x y z =，则()()()()11111111111111,,2,1,2220,,1,1,00n A E x y z x y z n EF x y z x y ⋅⋅−+− ⋅=⋅−=−+= ， 令11x =，则1131,2y z ==，故131,1,2n = ， 则点1B 到平面1A EFD 错误.故选：BC三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.若二项式nx+的展开式中二项式系数之和为64，则二项展开式中系数最大的项为【答案】240 【解析】【详解】因为二项式nx+ 的展开式中二项式系数之和为64，所以264n =，得6n =，所以二项式为6x+，则二项式展开式的通项3662166C C 2r r r r r rr T x x −−+=， 令第1r +项的系数最大，则11661166C 2C 2C 2C 2r r r r r r r r −−++ ≥ ≥ ，解得111433r ≤≤， 因为N r ∈，所以4r =，则二项展开式中系数最大的项为36444256C 2240T x −×==，所以填24013.若函数()sin f x ax x =+ 的图像上存在两条互相垂直的切线，则实数a 是__________.【答案】0 【解析】【详解】注意到，()cos f x a x =+′.若函数()f x 上存在两条切线垂直，则存在1x 、2x R ∈，使得()()()()12121cos cos 1f x f x a x a x ′′=−⇔++=−()21212cos cos cos cos 10a a x x x x ⇔+++⋅+=221212cos cos cos cos 1022x x x x a +−⇔++−=12cos cos 1,0x x a ⇔=−=±=.故答案为014. 若过点()0,1的直线l 自左往右交抛物线214y x =及圆()22114x y +−=于,,,A B C D 四点，则3AB CD +的最小值为________.【答案】2+ 【解析】【分析】根据抛物线的定义求得求出11,22A D AB y CD y =+=+，当l y ⊥轴时，则1D Ay y ==，可求3AB CD +的值；当直线方程为()1x n y =−时，代入抛物线方程，根据韦达定理结合基本不等式求得此时3AB CD +的最小值，即可得结论． 【详解】解：如图，其中抛物线214y x =的焦点坐标为()0,1F ，抛物线的准线方程为：1y =−，圆()22114x y +−=的半径12r =又抛物线的定义可得：1,1A D AF y DF y =+=+，又11,22A D AB AF BF y CD DF CF y =−=+=−=+，当l y ⊥轴时，则1A Dy y ==，所以113131622AB CD+=+++=； 当l 不垂直于y 轴时，设l 的方程为：()1x n y =−，代入抛物线方程得：()2222240n y n y n −++=， 所以2224,1A D A D n y y y y n++=⋅=。

高三下学期第一次模拟考试数学(理)试题Word版含答案

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天水市一中级—第二学期第一次模拟考试数学试卷（理科）第Ⅰ卷(选择题 共60分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知(－1＋3i)(2－i)＝4＋3i(其中i 是虚数单位，是z 的共轭复数)，则z 的虚部为( )A ．1B ．－1C ．iD ．－i2．如图，已知R 是实数集，集合A ＝{x |log 21(x －1)＞0}，B ＝{x |x 2x －3＜0}，则阴影部分表示的集合是( )A ．[0,1]B ．[0,1)C ．(0,1)D ．(0,1]3．已知命题p ：∃x ∈(－∞，0)，2x ＜3x；命题q ：∀x ∈2π，tan x ＞sin x ，则下列命题为真命题的是( )A ．p ∧qB ．p ∨(q )C ．(p )∧qD ．p ∧(q )4．有4位同学参加某智力竞赛，竞赛规定：每人从甲、乙两类题中各随机选一题作答，且甲类题目答对得3分，答错扣3分，乙类题目答对得1分，答错扣1分．若每位同学答对与答错相互独立，且概率均为21，那么这4位同学得分之和为0的概率为 ( )A.6411B.43C.83D.1611 5．设M 为平行四边形ABCD 对角线的交点，O 为平行四边形ABCD 所在平面内的任意一点，则→OA ＋→OB ＋→OC ＋→OD等于 ( )A.→OM B ．2→OM C ．3→OM D ．4→OM 6.设 a ＞b ＞1，，给出下列三个结论：① ＞ ；② ＜ ； ③，其中所有的正确结论的序号是.A ．① B.① ② C.② ③ D.① ②③7.某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥外接球的表面积是（ ）A ．B ．C ．D ．8．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 2＝10，S 5＝55，则过点P (n ，a n )和Q (n ＋2，a n ＋2)(n ∈N *)的直线的斜率是( )A ．4B ．3C ．2D ．19．某程序框图如图所示，若输出的k 的值为3，则输入的x 的取值范围为( )A ．[15,60)B ．(15,60]C ．[12,48)D ．(12,48]10．已知P (x ，y )为平面区域a ≤x ≤a ＋1y2－x2≤0(a ＞0)内的任意一点，当该区域的面积为3时，z ＝2x －y 的最大值是( )A ．1B ．3C ．2D ．611．设S n 是公差不为0的等差数列{a n }的前n 项和，S 1，S 2，S 4成等比数列，且a 3＝－25，则数列an 1的前n 项和T n ＝( )A ．－2n ＋1n B.2n ＋1n C ．－2n ＋12n D.2n ＋12n12．过抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点F ，且倾斜角为4π的直线与抛物线交于A ，B 两点，若AB 的垂直平分线经过点(0,2)，M 为抛物线上的一个动点，则M 到直线l 1：5x －4y ＋4＝0和l 2：x＝－52的距离之和的最小值为( )A.4141B.3131C.4141D.3131第Ⅱ卷(非选择题 共90分)本卷包括必考题和选考题两部分．第13题～21题为必考题，每个试题考生都必须做答，第22题～23题为选考题，考生根据要求做答．二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)13．双曲线Γ：a2y2－b2x2＝1(a ＞0，b ＞0)的焦距为10，焦点到渐近线的距离为3，则Γ的实轴长等于________．14．已知(1－2x )5(1＋ax )4的展开式中x ． 15.已知，则不等式的解集为16．在棱长为1的正方体ABCDA 1B 1C 1D 1中，M ，N 分别是AC 1，A 1B 1的中点，点P 在其表面上运动，则总能使MP 与BN 垂直的点P 所构成的轨迹的周长等于________． 三、解答题(解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(本小题满分12分)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知cos 2B ＋cos B ＝1－cos A cos C .(1)求证：a ，b ，c 成等比数列；(2)若b ＝2，求△ABC 的面积的最大值．18．(本小题满分12分)某调查机构从某县农村淘宝服务网点中随机抽取20个网点作为样本进行元旦期间网购金额(单位：万元)的调查，获得的所有样本数据按照区间[0,5]，(5,10]，(10,15]，(15,20]，(20,25]进行分组，得到如图所示的频率分布直方图．(1)根据样本数据，试估计样本中网购金额的平均值；(注：设样本数据第i组的频率为p i，第i组区间的中点值为x i(i＝1,2,3,4,5)，则样本数据的平均值为＝x1p1＋x2p2＋x3p3＋x4p4＋x5p5)(2)若网购金额在(15,25]的服务网点定义为优秀服务网点，其余为非优秀服务网点．从这20个服务网点中任选2个，记ξ表示选到优秀服务网点的个数，求ξ的分布列及数学期望．19．(本小题满分12分)如图，在四棱锥SABCD中，底面ABCD为平行四边形，∠ADC＝60°，SA＝1，AB＝2，SB＝，平面SAB⊥底面ABCD，直线SC与底面ABCD所成的角为30°.(1)证明：平面SAD⊥平面SAC；、(2)求二面角BSCD的余弦值．20.(本小题满分12分)已知椭圆C ：a2x2＋b2y2＝1(a ＞b ＞0)的右焦点为F 2(2,0)，点P 315在椭圆C 上．(1)求椭圆C 的标准方程；(2)是否存在斜率为－1的直线l 与椭圆C 相交于M ，N 两点，使得|F 1M |＝|F 1N |(F 1为椭圆的左焦点)？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由．21.(本小题满分12分)已知函数f (x )＝(x ＋a )ln x ，g (x )＝ex x2，曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线与直线2x －y －3＝0平行．(1)求证：方程f (x )＝g (x )在(1,2)内存在唯一的实根；(2)设函数m (x )＝min{f (x )，g (x )}(min{p ，q }表示p ，q 中的较小者)，求m (x )的最大值．请考生在第22、23题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分． 22．(本小题满分10分)选修4－4：坐标系与参数方程将圆x 2＋y 2＝1上每一点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标变为原来的3倍，得曲线Γ. (1)写出Γ的参数方程；(2)设直线l ：3x ＋2y －6＝0与Γ的交点为P 1，P 2，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段P 1P 2的中点且与l 垂直的直线的极坐标方程．23．(本小题满分10分)选修4－5：不等式选讲已知函数f (x )＝|2x －a |.(1)若f (x )＜b 的解集为{x |－1＜x ＜2}，求实数a 、b 的值；(2)若a ＝2时，不等式f (x )＋m ≥f (x ＋2)对一切实数x 均成立，求实数m 的取值范围．数学(理科)答案1．解析：选A.因为＝2－i 4＋3i ＋1－3i ＝2＋i 2＋i＋1－3i ＝1＋2i ＋1－3i ＝2－i ，所以z ＝2＋i ，z 的虚部为1，故选A.2．解析：选D.由题可知A ＝{x |1＜x ＜2}，B ＝{x |0＜x ＜23}，且图中阴影部分表示的是B ∩(∁R A )＝{x |0＜x ≤1}，故选D.3．解析：选C.根据指数函数的图象与性质知命题p 是假命题，则綈p 是真命题；根据单位圆中的三角函数线知命题q 是真命题，故选C.4..解析：选A.每人的得分情况均有4种可能，因而总的情况有44＝256种，若他们得分之和为0，则分四类：4人全选乙类且两对两错，有C 42种可能；4人中1人选甲类对或错，另3人选乙类全错或全对，有2C 41种可能；4人中2人选甲类一对一错，另2人选乙类一对一错，有C 42×2×2种可能；4人全选甲类且两对两错，有C 42种可能．共有C 42＋2C 41＋C 42×2×2＋C 42＝44种情况，因而所求概率为P ＝25644＝6411，故选A.5．解析：选D.因为M 是平行四边形ABCD 对角线AC 、BD 的交点，所以→OA ＋→OC ＝2→OM ，→OB＋→OD ＝2→OM ，所以→OA ＋→OB ＋→OC ＋→OD ＝4→OM，故选D. 6.【答案】D【解析】由不等式及a ＞b ＞1知，又，所以＞，①正确;由指数函数的图像与性质知②正确；由a ＞b ＞1，知，由对数函数的图像与性质知③正确.7案： B 提示：四棱锥的底面垂直与水平面。

2024年3月全国乙卷高三数学(理)模拟联考试题附答案解析

2024年3月全国乙卷高三数学(理)模拟联考试题附答案解析

2024年3月全国乙卷高三数学（理）模拟联考试题（考试时间120分钟满分150分）2024.03一､选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合{}{}3,1,2,3,|1A B x a x a =--=≤≤+，若A B ⋂的子集有4个，则a 的值为（）A ．3-B ．1-C ．2D ．32．已知复数99100i i i z =+，则i 1z-在复平面内对应点的坐标为（）A ．1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．10,2⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．1,02⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．10,2⎛⎫⎪⎝⎭3．已知点A ，B ，C ，D 为平面内不同的四点，若23BD DA DC =- ，且()2,1AC =- ，则AB =（）A ．()4,2-B ．()4,2-C ．()6,3-D ．()6,3-4．近几年随着AI 技术的发展，虚拟人的智能化水平得到极大的提升，虚拟主播逐步走向商用，如图为2014～2022年中国虚拟主播企业注册年增加数（较上一年增加的数量）条形图，根据该图，下列说法正确的是（）A ．2014～2022年中国虚拟主播企业注册数量逐年增加B ．2014～2022年中国虚拟主播企业注册年增加数的中位数为410C ．2014～2022年中国虚拟主播企业注册年增加数的极差为915D ．从图中9年企业注册增加数字中任取2个数字，这两个数字的平均数大于110的概率13185．如图，网格纸中小正方形的边长为10cm ，粗线画出的是某体育比赛领奖台三视图，则该领奖台除去下底面的所有面的面积之和为（）A ．216400cmB ．218400cmC ．220800cmD ．223200cm 6．已知实数,x y 满足约束条件202802100x y x y x y ++≤⎧⎪++≥⎨⎪--≥⎩，则3x y +的取值范围是（）A ．3,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．[]2,6C ．3,62⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D ．9,62⎡⎤-⎢⎥⎣⎦7．ABC 中2π16,,237A AB AC BC =+==，则ABC 的面积为（）A ．1549B 153C ．2049D ．303498．若存在过原点的直线与函数()()22e xf x x ax =-的图象切于y 轴右侧，则a 的取值范围是（）A ．1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭B ．(),1-∞C ．()1,+∞D ．1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭9．知名数学教育家单墫曾为中学生写了一个小册子《十个有趣的数学问题》，其中提到了开普勒的将球装箱的方法：考虑一个棱长为2的正方体，分别以该正方体的8个顶点及6个面的中心为球心作半径为22的球，这此球在正方体内的体积之和与正方体的体积之比为（）A ．42π3B ．22π3C ．2π3D ．26π10．已知点O 为坐标原点，点A 为直线y kx =（0k ≠）与椭圆C ：2221xy a+=（1a >）的一个交点，点B 在C 上，OA ⊥OB ，若221143OAOB+=，则C 的长轴长为（）A 3B ．3C ．23D ．611．已知111011a =+，6ln 5b =，()6log 71ln 5c =-，则（）A ．a b c>>B ．b c a >>C ．a c b >>D ．c a b>>12．已知第一象限内的点P 在双曲线2222:1x y C a b-=（0a >，0b >）上，点P 关于原点的对称点为Q ，1F ，2F ，是C 的左、右焦点，点M 是12PF F 的内心（内切圆圆心），M 在x 轴上的射影为M '，记直线,PM QM ''的斜率分别为1k ，2k ，且11229F M k k F M ''⋅⋅=，则C 的离心率为（）A ．2B ．8C ．22D ．10二､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．()612112x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的展开式中x 的系数为.14．函数()()2312(2)log 22x f x x a +=+-+是偶函数，则=a .15．平面几何中有一个著名的塞尔瓦定理：三角形任意一个顶点到其垂心（三角形三条高的交点）的距离等于外心（外接圆圆心）到该顶点对边距离的2倍．若点A ，B ，C 都在圆E 上，直线BC 方程为20x y +-=，且210BC =△ABC 的垂心()2,2G 在△ABC 内，点E 在线段AG 上，则圆E 的标准方程.16．已知()sin cos sin2f x x x x =+，给出下列命题：①()f x 的图象关于点π,02⎛⎫⎪⎝⎭对称；②()f x 的值域为33,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦；③()f x 在区间()0,50上有33个零点；④若方程()34f x =在区间()0,(0)t t >有4个不同的解()1,2,3,4i x i =，其中()11,2,3i i x x i +<=，则1234x x x x t ++++的取值范围是89π109π,1212⎛⎤⎥⎝⎦.其中所有正确命题的序号为.三､解答题：共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22､23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，公差350,1235S S d >+=，且12342,3a a a a +成等比数列.(1)求n a ；(2)若2πsin2n n n b a =，数列{}n b 的前n 项和为n T ，求100T .18．如图，在三棱锥A BCD -中，9AB =，其余各棱的长均为6，点E 在棱AC 上，2AE EC =，过点E 的平面与直线CD 垂直，且与BC ，CD 分别交于点F ，G ．(1)确定F ，G 的位置，并证明你的结论；(2)求直线DA 与平面DEF 所成角的正弦值．19．某高中数学兴趣小组，在学习了统计案例后，准备利用所学知识研究成年男性的臂长y （cm ）与身高x （cm ）之间的关系，为此他们随机统计了5名成年男性的身高与臂长，得到如下数据：x 159165170176180y6771737678(1)根据上表数据，可用线性回归模型拟合y 与x 的关系，请用相关系数加以说明；(2)建立y 关于x 的回归方程（系数精确到0.01）；(3)从5名样本成年男性中任取2人，记这2人臂长差的绝对值为X ，求()E X ．参考数据：5162194i i i x y ==∑()5218.6i i y y=-=∑28216.8≈参考公式：相关系数()()()()12211niii nniii i x x y y r x x y y ===--=--∑∑∑ y abx =+ 中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为()()()121ni ii n ii x x yybx x ==--=-∑∑ ，a y bx =-$$．20．已知倾斜角为α（π04α<<）的直线l 与抛物线C ：22y px =（0p >）只有1个公共点A ，C 的焦点为F ，直线AF 的倾斜角为β．(1)求证：2βα=；(2)若1p =，直线l 与直线12x =-交于点P ，直线AF 与C 的另一个交点为B ，求证：PA PB ⊥．21．已知函数()323f x x x a =-++（0x >），()2ln 2g x x x ax x =+-．(1)若()f x ，()g x 的导数分别为()'f x ，()'g x ，且(){}(){}00x f x x g x <⊆'<'，求a 的取值范围；(2)用{}min ,a b 表示a ，b 中的最小值，设()()(){}min ,h x f x g x =，若1a >，判断()h x 的零点个数．（二）选考题：共10分.请考生在第22､23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）22．在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为122x ty t =+⎧⎨=-⎩（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为()24cos 2sin 1ρρθθ=+-.(1)求直线l 的极坐标方程；(2)若直线l 与C 交于点,A B ，求OAB 的周长.选修4-5：不等式选讲23．已知(),,0,a b c ∈+∞.(1)若2221a bc ab c abc ++=，求()()a b b c ++的最小值；(2)若1a b c ++=，证明：()()()()()()34ab bc ca c a c b a b a c b c b a ++≥++++++.1．C 【分析】根据题意，得到A B ⋂中有2个元素，且这两个元素为2和3，即可求解.【详解】由集合{}{}3,1,2,3,|1A B x a x a =--=≤≤+，因为11a a +-=，且A B ⋂的子集有4个，可得A B ⋂中有2个元素，则这两个元素为2和3，所以2a =.故选：C.2．A 【分析】根据复数的运算法则，化简得到11i 2z =--，结合复数的几何意义，即可求解.【详解】由复数的运算法则，可得99100i ii i 1iz ==+-，所以2i i 11i (1i)2i 2z ===----，所以i 1z -在复平面内对应的点的坐标为1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭.故选：A.3．D 【分析】由已知整理可得3AB AC =，然后由坐标运算可得.【详解】由23BD DA DC =- 得33BD DA DA DC +=- ，即3BA CA = ，即3AB AC =，又()2,1AC =- ，所以()36,3AB AC ==- .故选：D ．4．ACD 【分析】根据已知条件及图表，利用中位数和极差的定义，结合古典概型的概率公式及对立事件的概率公式即可求解.【详解】对A ，由每年增加数均为正数，可得A 正确；对B ，2014～2022年中国虚拟主播企业注册年增加数的中位数为121，B 错误；对C ，2014～2022年中国虚拟主播企业注册年增加数的极差为94833915-=，C 正确；对D ，当且仅当从33，48，76，84，121中任取两个数字，其平均数均不大于110，所以所求概率为2529C 131C 18-=，D 正确.故选：ACD ．5．B 【分析】根据三视图可得组合体，根据面积公式可求所有面的面积之和.【详解】解法一：该领奖台可看作由3个长方体构成的组合体，每个长方体的底面都是边长为40cm 的正方形，冠军台高50cm ，亚军台高40cm ，季军台高30cm ，该领奖台除去下底面的所有面的面积之和为3个长方体的表面积之和减去3个边长为40cm 的正方形面积，减去2个底边长为40cm 高为40cm 的矩形面积，减去2个底边长为40cm 高为30cm 的矩形面积，即()()222640160504030340240402403018400cm ⨯+⨯++-⨯-⨯⨯-⨯⨯=，解法二：该领奖台可看作由3个长方体构成的组合体，每个长方体的底面都是边长为40cm 的正方形，冠军台高50cm ，亚军台高40cm ，季军台高30cm ，前后两个面的面积之和为()()22404050309600cm ⨯⨯++=，上面3个面的面积之和为()223404800cm ⨯=，余下侧面的面积之和为()2240504000cm ⨯⨯=，所以该组合体除去下底面的所有面的面积之和为()296004800400018400cm ++=，故选：B.6．C 【分析】画出不等式组所表示的平面区域，结合图形，得出目标函数的最优解，求得目标函数的最值，即可求解.【详解】如图所示，画出不等式组202802100x y x y x y ++≤⎧⎪++≥⎨⎪--≥⎩表示的可行域是以()()92,4,1,,4,62A B C ⎛⎫--- ⎪⎝⎭为顶点的三角形区域，设3z x y =+，则3y x z =-+，作直线3y x =-，把该直线平移到点C 处z 取得最大值，max 3466z =⨯-=，平移到点B 处z 取得最小值，min 933122z =⨯-=-，所以3x y +的取值范围是3,62⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.故选：C.7．B 【分析】根据题意，利用余弦定理求得6049AB AC ⋅=，结合三角形的面积公式，即可求解.【详解】因为2π16,,237A AB AC BC =+==，由余弦定理得22222π42cos 3AB AC AB AC AB AC AB AC =+-⋅=++⋅2216()7AB AC AB AC AB AC ⎛⎫=+-⋅=-⋅ ⎪⎝⎭，所以6049AB AC ⋅=，所以ABC 的面积为1sin 2AB AC A ⋅=15349.故选：B.8．D 【分析】先求得()()2222e xf x x a x a '⎡⎤=+--⎣⎦，设切点为()(),(0)t f t t >，根据()()f t f t t'=，列出方程，得到()2120t a t +-=，结合方程的根210t a =->，即可求解.【详解】由函数()()22e x f x x ax =-，可得()()2222e xf x x a x a '⎡⎤=+--⎣⎦，设切点为()(),(0)t f t t >，可得()()f t f t t'=，即()22222t a t a t a +--=-，整理得()2120t a t +-=，解得21t a =-或0=t （舍去），因为存在过原点的直线与函数()()22e xf x x ax =-的图象切于y 轴右侧，所以210t a =->，解得12a >，即实数t 的取值范围为1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭.故选：D.9．D 【分析】首先确定条件中的球落在正方体的部分，再求体积，即可求解.【详解】以8个顶点为球心的球各有18在正方体内，以6个面的中心为球心的球各有12在正方体内，所以这些球在正方体的体积之和为4个半径为22的球的体积之和，所以这些球在正方体内的体积之和与正方体的体积之比为3424π322π86⨯⨯⎝⎭=.故选：D 10．C 【分析】将直线OA 与椭圆C 联立，求出1x ，利用两直线垂直的条件，进而求出2x ，再利用两点的距离公式及椭圆长轴长定义即可求解.【详解】设()11,A x y ，()22,B x y ，由2221y kxx y a=⎧⎪⎨+=⎪⎩，得221221a x a k =+，由OA ⊥OB 可得2222222221a a k x a a k k ==++，所以()22222212211a a k OA kx a k +=+=+，22222222211a a k OB x k a k +⎛⎫=+= ⎪+⎝⎭，所以()()()22222221111111a k a a k OAOB+++==++，所以21413a +=，23a =，C 的长轴长为223a =故选：C ．11．A 【分析】根据已知条件及构造函数()()ln 1f x x x =+-（0x >），利用导数的正负与函数的单调性的关系，结合函数的单调性，再利用作差法、对数的运算及基本不等式即可求解.【详解】设()()ln 1f x x x =+-（0x >），则()1101f x x '=-<+，所以()f x 在()0,∞+上单调递减，所以()()00f x f <=，即()ln 1x x >+，所以1111126ln ln ln 101110115+>+=，()56ln log 61ln 55=-，()()2222256lg 5lg 711lg 6lg 36lg 35lg 6lg 5lg 7lg 6lg 7222log 6log 70lg 5lg 6lg 5lg 6lg 5lg 6lg 5lg 6+⎛⎫⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭-=-=>=>，所以a b c >>，故选：A ．【点睛】关键点睛：利用构造法和作差法，再利用导数法求函数的单调性，结合函数单调性及基本不等式即可.12．A 【分析】根据切线性质和双曲线定义求得(),0M a '，然后由斜率公式和点P 在双曲线上整理化简，结合已知求解可得.【详解】设圆M 与1PF ，2PF 分别切于点A ，B ，则11F A F M ='，22,PA PB F B F M =='，且111122F A F M F P AP F F M F +=-'+-'1212F P PB F B F F =--+121222F P F P F F a c =-+=+，所以1F M a c '=+，点(),0M a '，设()11,P x y ，()11,Q x y --，则2211221x y a b-=，所以2212221y b x a a =-，222111122221111y y y b k k e x a x a x a a -=⋅===-----，1211F M c a e F M c a e ++==-'-'，所以()2112219F M k k e F M =+''⋅=，2e =.故选：A ．【点睛】方法点睛：本题主要考查双曲线的离心率求解问题.解决圆锥曲线的离心率问题，一般离不开圆锥曲线的定义，如果有角的条件，则常常要用到正余弦定理，如果有三角形的内切圆条件，一般与切线性质或三角形的等面积转化有关，遇到线段的比值时，经常需要利用相似形转化.13．1-【分析】利用二项式定理的展开式从而可求解.【详解】()666111211211222x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-=-+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，6112x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式为()6161C 12kkk k T x -+⎛⎫=- ⎪⎝⎭，所以可得x 的系数为()()6516121C 112⨯-+⨯⨯-=-.故答案为：1-.14．38【分析】根据题意，利用()()0f x f x --=列出方程，结合对数的运算，即可求解.【详解】因为()()2312(2)log 22x f x x a +=+-+是偶函数，可得()()()31231228log 83022x x f x f x ax a x +-++--=-=-=+，所以38a =.故答案为：38.15．()()223318x y -+-=【分析】首先根据塞尔瓦定理以及圆的几何性质，求解r 和EG ，并求直线EG 的方程，求解点E 的坐标，即可求解圆的方程.【详解】由△ABC 的垂心()2,2G 到直线BC 距离2d =，设圆E 半径为r ，由塞尔瓦定理可得2r EG +=(2EG +，由圆的几何性质可得()222210EG r +=，联立解得2EG =，32r =，因为直线BC 方程为20x y +-=，EG BC ⊥,且()2,2G ，所以直线EG 方程为y x =，设(),E a a ，则E 到直线BC 距离22222a d -='=1a =-（舍去）或3a =，所以圆E 的标准方程为()()223318x y -+-=．故答案为：()()223318x y -+-=16．①②④【分析】对于①，计算得到()()πf x f x -=-，得到①正确；对于②，求出()f x 是以2π为周期的周期函数，分[]0,πx ∈和(]π,2πx ∈两种情况，求出函数的值域；对于③，()()cos sin 2sin f x x x x =+，故sin 0x =或cos 0x =，求出零点个数；对于④，结合()f x 是以2π为周期，得到()34f x =的根的分布特点，从而得到12345πx x x x +++=，并得到t 的取值范围，得到答案.【详解】对于①，()()()()πsin πcos πsin 2π2sin cos sin 2f x x x x x x x -=--+-=--，故()()πf x f x -=-，可得①正确；对于②，()()()()()2πsin 2πcos 2πsin 24πsin cos sin2f x x x x x x x f x +=++++=+=，故()f x 是以2π为周期的周期函数，当[]0,πx ∈时，()3sin cos sin2sin cos sin 2sin 22f x x x x x x x x =+=+=，[]20,2πx ∈，则()333sin 2,222f x x ⎡⎤=∈-⎢⎥⎣⎦，当(]π,2πx ∈时，()1sin cos sin2sin cos sin 2sin 22f x x x x x x x x =+=-+=，(]22π,4πx ∈，则()111sin 2,222f x x ⎡⎤=∈-⎢⎥⎣⎦，综上，()f x 的值域为33,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，②正确；对于③，()()sin cos 2sin cos cos sin 2sin f x x x x x x x x =+=+，令()0f x =得sin 0x =或cos 0x =，()131π32ππ,50,50222x k k =∈<>Z ，所以()f x 在()0,50上有31个零点，③错误；对于④，()f x 是以2π为周期的周期函数，当(]0,πx ∈时()3sin22f x x =，()34f x =在(]0,π上有2个实根12,x x ，12π2x x +=且12π5π,1212x x ==，当(]π,2πx ∈时()()13sin2,24f x x f x ==在(]π,2π上没有实根，()34f x =在(]2π,3π上有2个实根34,x x ，且349π2x x +=，34π25π5π29π2π,2π12121212x x =+==+=，()34f x =在区间()0,(0)t t >有4个不同的解()1,2,3,4i x i =，所以123429π29π5π49π,5π1212312t x x x x <≤+=+++=，所以1234x x x x t ++++的取值范围是89π109π,1212⎛⎤⎥⎝⎦，④正确，故答案为：①②④.【点睛】函数零点问题：将函数零点问题或方程解的问题转化为两函数的图象交点问题，将代数问题几何化，借助图象分析，大大简化了思维难度，首先要熟悉常见的函数图象，包括指数函数，对数函数，幂函数，三角函数等，还要熟练掌握函数图象的变换，包括平移，伸缩，对称和翻折等，涉及零点之和问题，通常考虑图象的对称性进行解决.17．(1)21n a n =+；(2)20200-【分析】（1）利用题目条件得到方程组，求出首项和公差，排除不合要求的解，得到通项公式；（2）当n 为偶数时，πsin02n =，当41,N n k k =+∈时，πsin 12n =，当43,N n k k =+∈，πsin 12n =-，从而得到()100135797992T d a a a a a a =-++++++ ，结合等差数列求和公式求出答案.【详解】（1）由题意得315133,510S a d S a d =+=+，由351235S S +=得11212a d a d +++=，所以12312a d +=，因为12342,3a a a a +成等比数列，所以()142349a a a a =+，即()()11143923a a d a d +=+，把12312a d +=代入上式得()11412912a a -=⨯，解得19a =或13a =，当19a =时，1122203a d -==-<，不符合题意，当13a =时，112223a d -==，所以()1121n a a n d n =+-=+；（2）因为()22ππsinsin 2221n n n n b a n +==，当n 为偶数时，πsin02n =，当41,N n k k =+∈时，πsin12n =，当43,N n k k =+∈，πsin 12n =-，所以22222210013579799T a a a a a a =-+-++- ()()()()()()1313353597999799a a a a a a a a a a a a =-++-+++-+ ()135797992d a a a a a a =-++++++ 3199450202002+=-⨯⨯=-.18．(1)答案见解析，证明见解析2309【分析】（1）首先根据几何体的特征作辅助线，取CD 中点O ，连接AO ，BO ，并证明CD ⊥平面AOB ，再结合垂直和平行的转化关系，即可确定F ，G 的位置；（2）根据（1）的结果，建立空间直角坐标系，并求平面DEF 的法向量，根据线面角的向量法，即可求解.【详解】（1）取CD 中点O ，连接AO ，BO ，由已知可得AC AD BC BD ===，所以AO CD ⊥，BO CD ⊥，因为AO BO O = ，,AO BO ⊂平面AOB ，所以CD ⊥平面AOB ，因为CD ⊥平面EFG ，所以平面//EFG 平面AOB ，过E 作AB 的平行线与BC 的交点即为F ，过E 作AO 的平行线与CD 的交点即为G ，因为2AE EC =，所以2BF FC =，1136CG CO CD ==，所以当2BF FC =，16CG CD =时，平面EFG 与直线CD 垂直．（2）由题意可得33OA OB ==，因为9AB =，所以120AOB ∠= ，以O 为原点，直线OB ，OC 分别为x 轴，y 轴，过点O 与平面BCD 垂直的直线为z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，则()0,3,0D -，33922A ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，332,2E ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，)3,2,0F 所以3392DA ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，)3,5,0DF =，332DE ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭．设平面DEF 的一个法向量为(),,n x y z =，则有00n DE n DF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ，得335022350x y z x y ⎧++=⎪⎨+=，取5x =，得(5,3,53n = ，设直线DA 与平面DEF 所成角为θ，则()()()22222233953353222309sin 1033395353322n DAn DAθ⎛⎫⨯-+-⨯+⨯⎪⋅⎝⎭==⎛⎫⎛⎫+-+-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以直线DA 与平面DEF 230910319．(1)说明见解析(2) 13.810.51y x =-+(3)275【分析】（1）利用相关系数的计算公式即可得解；（2）利用已知数据和公式得到关于的线性回归方程;（3）根据已知条件求出随机变量X 的取值，利用古典概型的概率公式计算随机变量取值相应的概率，再利用离散型随机变量的期望公式即可求解.【详解】（1）由表中的数据和附注中的参考数据得51850ii x==∑，170x =，51365i i y ==∑，73y =，()522222211150610282i i x x=-=++++=∑，()5218.6ii y y =-=∑，()()55511162194170735144i ii iii i i x xy y x y x y ===--=-=-⨯⨯=∑∑∑，∴()()()()515522111440.99716.88.6iii i i i i x x y y r x xy y===--=≈⨯--∑∑∑．因为y 与x 的相关系数近似为0.997，说明y 与x 的线性相关程度相当高，从而可以用线性回归模型拟合y 与x 的关系．（2）由73y =及（1）得()()()51521144240.5128247iii i i x x yybx x==--===≈-∑∑ ， 247317013.8147ay bx =-=-⨯≈- ，所以y 关于x 的回归方程为 13.810.51y x =-+．（3）X 的取值依次为2，3，4，5，6，7，9，11，()25212C 5P X ===，()25113C 10P X ===，()25114C 10P X ===，()25215C 5P X ===，()25116C 10P X ===，()25117C 10P X ===，()25119C 10P X ===，()251111C 10P X ===,X 的分布列X234567911P1511011015110110110110所以()1111111127234567911510105101010105E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=.20．(1)证明见解析(2)证明见解析【分析】（1）设出2,2t A t p ⎛⎫ ⎪⎝⎭，得直线l 的方程为2tan 2t y t x p α⎛⎫-=- ⎪⎝⎭再与抛物线方程联立并结合只有一个切点可得tan pt α=，从而可求解.（2）设200,2y B y ⎛⎫⎪⎝⎭，则直线AB 的方程设为12x my =+，与抛物线联立后，分别求出其两根关系01y t =-，从而可求解.【详解】（1）设2,2t A t p ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则l 的方程为2tan 2t y t x p α⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，与22y px =联立得22220tan tan p pty y t αα-+-=，因为直线l 与抛物线C 只有1个公共点，所以2224240tan tan p pt t αα⎛⎫--= ⎪⎝⎭，整理得tan p t α=，所以2,2tan tan p p A αα⎛⎫ ⎪⎝⎭，又,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭，所以222tan tan tan tan 21tan 2tan 2pp p ααβααα===--，因为π04α<<，π022α<<，所以tan tan 0βα=2>，02βπ<<，所以2βα=．（2）1p =时，C 的方程为22y x =，把1p =，1tan t α=代入2tan 2t y t x p α⎛⎫-=- ⎪⎝⎭得l 的方程为2x t y t =+，把12x =-代入得122t y t =-，所以11,222t P t ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，由（1）知，2,2t A t ⎛⎫⎪⎝⎭，设200,2y B y ⎛⎫⎪⎝⎭，设直线AB 方程为12x my =+，与22y x =联立得2210y my --=，t ，0y 是该方程的两个根，所以01y t =-，所以01y t=-，所以21112211122PA PBt t t k k t t ⎛⎫--- ⎪⎝⎭⋅=⋅=-+，所以PA PB ⊥.【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：（1）设直线方程，设交点坐标为()()1122,,,x y x y ；（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于x （或y ）的一元二次方程，注意∆的判断；（3）列出韦达定理；（4）将所求问题或题中的关系转化为12x x +、12x x （或12y y +、12y y ）的形式；（5）代入韦达定理求解.21．(1)21,2e ∞⎛⎫-- ⎪⎝⎭(2)答案见解析【分析】（1）求()0f x '<时x 的范围，由题意可知，()0g x '<在x 的范围下恒成立，进行参变分离可求出a 的取值范围；（2）由题意可知()()h x g x ≤，()()h x f x ≤，当1a <-时，通过求()g x 的范围可判断，当1a >时，通过比较()f x 和()g x 的正负，可判断()h x 的零点个数.【详解】（1）因为()323f x x x a =-++（0x >），所以()236f x x x '=-+，由()0f x '<得2x >，因为()2ln 2g x x x ax x =+-，所以()ln 21g x x ax +'=-，所以问题转化为2x >时ln 210x ax +-<恒成立，即2x >时1ln 2xa x-<恒成立，设()1ln 2x F x x -=（2x >），则()2ln 22x F x x'-=，()22,e x ∈时()0F x '<，()F x 单调递减，()2e ,x ∞∈+时()'0F x >，()F x 单调递增，所以()()22min 1e 2e F x F ==-，所以212e a <-，即a 的取值范围是21,2e ∞⎛⎫--⎪⎝⎭．（2）因为()()ln 2g x x x ax =+-，设()ln 2m x x ax =+-，则()1m x a x'=+，（ⅰ）若1a <-，10,x a ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时()0m x '>，()m x 单调递增，1,x a ∞⎛⎫∈-+ ⎪⎝⎭时()0m x '<，()m x 单调递减，所以()11ln 30m x m a a ⎛⎫⎛⎫≤-=--< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以1a <-时()0m x <，()0g x <，()()0h x g x ≤<，()h x 没有零点，（ⅱ）若1a >，由（1）知()236f x x x '=-+，当()0,2x ∈时，()0f x '>，()f x 在()0,2上单调递增，且()00f a =>，所以()0f x >，当()0,2x ∈时，()m x 单调递增，且1ln 10m a a ⎛⎫=--< ⎪⎝⎭，()2ln 2220m a =+->，存在唯一()10,2x ∈使得()10m x =，则()10g x =，()10h x =，当[)2,x ∈+∞时，()ln 2ln 2220m x x ax a =+->+->，()0g x >，当[)2,x ∞∈+时，()0f x '<，()f x 在[)2,+∞上单调递减，且()240f a =+>，()323333464486448150f a a a a a a a a =-++<-++=-<，所以存在唯一()22,x ∞∈+使得()20f x =，()20h x =，综上，1a <-时()h x 没有零点，1a >时()h x 有2个零点．22．(1)()2cos sin 4ρθθ+=；(2)295275【分析】（1）利用消参法求出直线l 的普通方程，再利用直角坐标和极坐标的转化公式，即可求得答案；（2）解法一：利用极坐标方程求出127ρρ==,OA OB ，再利用点到直线的距离公式结合弦长公式求出AB ，即可求得答案；解法二：求出C 的直角坐标方程，继而求得弦长AB ，再利用点到直线的距离公式结合勾股定理求出OA OB =，即可求得答案.【详解】（1）将122x ty t =+⎧⎨=-⎩（t 为参数）中的参数t 消去，得24x y +=，把cos ,sin x y ρθρθ==代入24,x y +=得直线l 的极坐标方程为()2cos sin 4ρθθ+=.（2）解法一：设()()()()1122,0,,0A B ραρρβρ>>，由方程组()()22cos sin 44cos 2sin 1ρθθρρθθ⎧+=⎪⎨=+-⎪⎩，得27ρ=，所以127ρρ==7OA OB ==因为点O 到直线l 的距离22445521d ==+，所以222452952||755AB OA d ⎛⎫=--= ⎪ ⎪⎝⎭所以OAB 的周长为95275+；解法二：由222,cos ,sin x y x y ρρθρθ=+==，得C 的直角坐标方程为224210x y x y +--+=，即22(2)(1)4x y -+-=，曲线C 是以()2,1C 为圆心，半径为2的圆，点C 到直线l ：24x y +=的距离122414521d --=+所以221295225AB d =-=，由于OC 的斜率为12，直线l ：24x y +=的斜率为-2，故直线OC 与直线l 垂直，点O 到直线l 的距离22244521d ==+所以222172OA OB d AB ⎛⎫==+ ⎪⎝⎭所以OAB 的周长为295275+.23．(1)2(2)证明见解析【分析】（1）变形得到()1abc a b c ++=，故()()()a b b c b a b c ac ++=+++，利用基本不等式求出最值；（2）变形后只需证1119a b c ++≥，利用基本不等式“1”的妙用证明出结论.【详解】（1）因为()2221a bc ab c abc abc a b c ++=++=，所以()()()()2a b b c b a b c ac b a b c ac ++=+++≥++=，当()1b a b c ac ++==时等号成立，所以()()a b b c ++的最小值为2.（2）因为(),,0,a b c ∈+∞且1a b c ++=，要证()()()()()()34ab bccac a c b a b a c b c b a ++≥++++++，即证()()()()()()31111114ab bccab ac b a c ++≥------，即证()()()()()()4141413111ab c bc a ca b a b c -+-+-≥---，整理得9ab bc ca abc ++≥，所以即证1119a b c ++≥，而1113a b ca b ca b cba cb ac a b c a b c a b b c c a ++++++⎛⎫⎛⎫⎛⎫++=++=++++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭329bacbaca b b c c a ≥+⋅⋅⋅=，等号在13a b c ===时成立，所以()()()()()()34cac a c b a b a c b c b a ++≥++++++成立.。

高三数学下学期模拟试卷一理含解析 试题

高三数学下学期模拟试卷一理含解析 试题

卜人入州八九几市潮王学校HY2021届高三数学下学期模拟试卷〔一〕理〔含解析〕一、选择题：在每一小题给出的四个选项里面，只有一项为哪一项哪一项符合题目要求的.1.复数满足，那么复数的虚部为〔〕A. B. C. D.【答案】B【解析】设，由，，应选B.2.集合，那么〔〕A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先根据指数函数的值域求出集合A，然后根据对数函数有意义求出集合B，最后根据交集的定义求出所求即可．【详解】∵A＝{y|y＝2x，x∈R}＝{y|y＞0}，B＝{x|y＝lg〔2﹣x〕}＝{x|2﹣x＜0}={x|x＜2}=〔﹣∞，2〕，∴A∩B＝{x|0＜x＜2}=，应选A.【点睛】此题主要考察集合的根本运算，利用函数的性质求出集合A，B是解决此题的关键，比较根底．3.AQI即空气质量指数，AQI越小，说明空气质量越好，当AQI不大于AQI时称空气质量为“优良〞.如图是某3月1日到12日AQI的统计数据.那么以下表达正确的选项是〔〕A.这12天的AQI的中位数是90B.12天中超过7天空气质量为“优良〞C.从3月4日到9日，空气质量越来越好D.这12天的AQI的平均值为100【答案】C【解析】这12天的AQI 指数值的中位数是95+922=93.5，故A 不正确；这12天中，空气质量为“优良〞的有95，85，77，67，72，92一共6天，故B 不正确；；从4日到9日，空气质量越来越好，，故C 正确；这12天的AQI 指数值的平均值为110，故D 不正确. 应选C ．4.平面向量a →=〔2，3〕，b →=〔x ，4〕，假设a →⊥〔a →−b →〕，那么x =〔〕 A.1 B.12C.2D.3【答案】B 【解析】 【分析】可求出a →−b →=(2−x ，−1)，根据a →⊥(a →−b →)即可得出a →⋅(a →−b →)=0，进展数量积的坐标运算即可求出x ．【详解】a →−b →=(2−x ，−1)；∵a →⊥(a →−b →)；∴a →⋅(a →−b →)=2(2−x)−3=0；解得x =12．应选B.【点睛】此题考察向量垂直的充要条件，向量坐标的减法和数量积运算，属于根底题． 5.m ，n 表示两条不同的直线，α表示平面.以下说法正确的选项是〔〕 A.假设m//α，n//α，那么m//n B.假设m ⊥α，n ⊥α，那么m//n C.假设m ⊥α，m ⊥n ，那么n//α D.假设m//α，m ⊥n ，那么n ⊥α 【答案】B 【解析】 【分析】A ．运用线面平行的性质，结合线线的位置关系，即可判断；B ．运用线面垂直的性质，即可判断；C ．运用线面垂直的性质，结合线线垂直和线面平行的位置即可判断；D ．运用线面平行的性质和线面垂直的断定，即可判断．【详解】A ．假设m ∥α，n ∥α，那么m ，n 相交或者平行或者异面，故A 错；B ．假设m ⊥α，n ⊥α，由线面垂直的性质定理可知m//n ，故B 正确；C ．假设m ⊥α，m ⊥n ，那么n ∥α或者n ⊂α，故C 错；D ．假设m ∥α，m ⊥n ，那么n ∥α或者n ⊂α或者n ⊥α，故D 错．应选：B ．【点睛】此题考察空间直线与平面的位置关系，考察直线与平面的平行、垂直的判断与性质，记熟定理是解题的关键，注意观察空间的直线与平面的模型．6.宋元时期数学名著算学启蒙中有关“松竹并生〞的问题：松长五尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，竹松何日而长等.如图是源于思想的一个程序框图，假设输入的a ，b 分别为5和2，那么输出的n =〔〕 A.5 B.4C.3D.2【答案】B 【解析】模拟程序运行，可得：a =5，b =2，n =1，a =152，b =4，不满足条件a ≤b ，执行循环体 n =2，a =454，b =8，不满足条件a ≤b ，执行循环体 n =3，a =1358，b =16，不满足条件a ≤b ，执行循环体n =4，a =40516，b =32，满足条件a ≤b ，退出循环，输出n 的值是4应选B7.函数f (x )=√3sin (2x +φ)(|φ|<π2)的图象向左平移π6个单位长度后，所得到的图象关于原点对称，那么φ等于〔〕 A.π6B.−π6C.π3D.−π3【答案】D 【解析】 【分析】先根据图象变换规律求得平移后的解析式设为g 〔x 〕，再根据对称性求得结果．【详解】函数f 〔x 〕=√3sin 〔2x +φ〕〔|φ|＜π2〕的图象向左平移π6个单位后， 得到g 〔x 〕=√3sin 〔2x +π3+φ〕〔|φ|＜π2〕的图象， 由于平移后的图象关于原点对称，故g 〔0〕=√3sin 〔π3+φ〕＝0，∴π3+φ=k π〔k ∈Z 〕 由|φ|＜π2得：φ=−π3，应选：D ．【点睛】此题考察的知识点是函数图象的平移变换，三角函数的对称性，属于根底题． 8.a 为常数，a =∫2xdx 10，那么(√x −a x )6的展开式中的常数项是〔〕 A.10 B.12 C.15 D.16【答案】C 【解析】 【分析】计算定积分求出a 的值，再利用二项展开式的通项公式，求得常数项． 【详解】a =∫12xdx ＝x 2|01=1，∴〔√x −1x〕6的通项公式为T r +1＝C 6r√x6−r（−1x ）r＝〔﹣1〕r C 6r x6−3r 2，令6−3r 2=0，解得r ＝2，那么二项展开式中的常数项为〔﹣1〕2C 62＝15， 应选C.【点睛】此题主要考察定积分的运算，二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于根底题． 9.双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a >0，b >0)的渐近线与圆(x −4)2+y 2=4相切，那么该双曲线的离心率为〔〕 A.2 B.2√33C.√3D.32【答案】B 【解析】由双曲线方程可知，双曲线的一条渐近线为：y =b ax ，即：bx −ay =0，由直线与圆的位置关系可得：√a 2+b 2=2，整理可得：2b =c ，那么：c 2=4(c 2−a 2),∴3c 2=4a 2， 据此有：e 2=c 2a 2=43,∴e =2√33. 此题选择B 选项.点睛：双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质，求双曲线的离心率(或者离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出a ，c ，代入公式e =ca ；②只需要根据一个条件得到关于a ，b ，c 的齐次式，结合b 2＝c 2－a 2转化为a ，c 的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a 或者a 2转化为关于e 的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e (e 的取值范围)． 10.设函数f (x )(x ∈R )满足f (x +π)=f (x )+sinx,，当o ≤x <π，f (x )=0，那么f (23π6)=〔〕A.12B.√32C.0D.−12【答案】A 【解析】试题分析：因为函数f(x),(x ∈R)满足f(x +π)=f(x)+sinx ，当0≤x <π时，f(x)=0，所以f(23π6)=f(π+17π6)=f(17π6)+sin17π6=f(11π6)+sin11π6+sin17π6=f(5π6)+sin5π6+sin11π6+sin17π6=sin5π6+sin11π6+sin17π6=12−12+12=12，应选A ．考点：抽象函数的性质；三角函数的求值．【方法点晴】此题主要考察了抽象函数的性质、三角函数的求值、三角函数的诱导公式等知识点的综合应用，此题的解答中函数f(x)满足f(x +π)=f(x)+sinx ，当0≤x <π时，f(x)=0，利用三角函数的诱导公式，即可求解f(23π6)的值，着重考察了分析问题和解答问题的才能，属于中档试题．【此处有视频，请去附件查看】11.正三角形ABC 的边长为2，将它沿高AD 折叠，使点B 与点C 间的间隔为√3，那么四面体ABCD 外接球的外表积为〔〕 A.6π B.7πC.8πD.9π【答案】B 【解析】【分析】四面体ABCD的三条侧棱BD⊥AD、DC⊥DA，底面是等腰三角形，它的外接球就是它扩展为三棱柱的外接球，求出三棱柱的底面中心连线的中点到顶点的间隔，就是球的半径，然后求球的外表积即可．【详解】根据题意可知四面体ABCD的三条侧棱BD⊥AD、DC⊥DA，底面是等腰三角形，它的外接球就是它扩展为三棱柱的外接球，求出三棱柱的底面中心连线的中点到顶点的间隔，就是球的半径，三棱柱中，底面△BDC，BD＝CD＝1，BC=√3，∴∠BDC＝120°，∴△BDC的外接圆的半径为12×√3sin120°=1由题意可得：球心到底面的间隔为√32，∴球的半径为r=√34+1=√72．外接球的外表积为：4πr2＝7π应选：B．【点睛】此题考察空间想象才能，计算才能；三棱柱上下底面中点连线的中点，到三棱柱顶点的间隔相等，说明中心就是外接球的球心，是此题解题的关键，属于中档题．12.函数f(x)=|lg(x−1)|，假设1<a<b且f(a)=f(b)，那么实数2a+b的取值范围是〔〕A.[3+2√2，+∞)B.(3+2√2，+∞)C.[6，+∞)D.(6，+∞)【答案】A【解析】【分析】根据对数的性质的可知：函数f〔x〕＝|lg〔x﹣1〕|，假设1＜a＜b且f〔a〕＝f〔b〕，可得log110(a−1)=lg(b−1)，即1a−1=b−1，可得a，b的关系，利用根本不等式求解2a+b的取值范围.【详解】函数f〔x〕＝|lg〔x﹣1〕|，∵1＜a＜b且f〔a〕＝f〔b〕，那么b＞2，1＜a＜2，∴log110(a−1)=lg(b−1)，即1a−1=b−1，可得：ab﹣a﹣b＝0．那么：a=bb−1．那么2a+b=2bb−1+b=(2b−2)+2b−1+b−1+1=(b−1)+2b−1+3≥2√2+3，当且仅当b=√2+1时取等号．满足b＞2，应选：A．【点睛】此题考察对数函数的性质和根本不等式的综合运用，考察了数形结合思想，属于中档题．二、填空题。

2025届杭州市高级中学高三下学期联考数学试题含解析

2025届杭州市高级中学高三下学期联考数学试题含解析

2025届杭州市高级中学高三下学期联考数学试题注意事项：1． 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。

2．选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。

3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。

4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．设α，β是方程210x x --=的两个不等实数根，记n nn a αβ=+（n *∈N ）.下列两个命题（ ）①数列{}n a 的任意一项都是正整数； ②数列{}n a 存在某一项是5的倍数. A ．①正确，②错误 B ．①错误，②正确 C ．①②都正确D ．①②都错误2．已知平面向量()4,2a →=，(),3b x →=，//a b →→，则实数x 的值等于（ ） A ．6B ．1C ．32D ．32-3．已知双曲线C ：2222x y a b-=1(a >0，b >0)的右焦点为F ，过原点O 作斜率为43的直线交C 的右支于点A ，若|OA |=|OF |，则双曲线的离心率为（ ）A B C ．2D 4．3481(3)(2)x x x+-展开式中x 2的系数为( ) A ．－1280B ．4864C ．－4864D ．12805．已知点(A 在双曲线()2221010x y b b-=>上，则该双曲线的离心率为（ ）A ．3B ．2C D ．6．P 是正四面体ABCD 的面ABC 内一动点，E 为棱AD 中点，记DP 与平面BCE 成角为定值θ，若点P 的轨迹为一段抛物线，则tan θ=（ ）AB ．2C D ．7．如图是2017年第一季度五省GDP 情况图，则下列陈述中不正确的是（ ）A ．2017年第一季度GDP 增速由高到低排位第5的是浙江省．B ．与去年同期相比，2017年第一季度的GDP 总量实现了增长．C ．2017年第一季度GDP 总量和增速由高到低排位均居同一位的省只有1个D ．去年同期河南省的GDP 总量不超过4000亿元．8．在边长为23的菱形ABCD 中，60BAD ∠=︒，沿对角线BD 折成二面角A BD C --为120︒的四面体ABCD （如图），则此四面体的外接球表面积为（ ）A ．28πB ．7πC ．14πD ．21π9．设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，且443S a =+，则2a =( ) A ．2-B ．1-C ．1D ．210．2019年10月1日，中华人民共和国成立70周年，举国同庆.将2,0,1,9,10这5个数字按照任意次序排成一行，拼成一个6位数，则产生的不同的6位数的个数为 A ．96B ．84C ．120D ．36011．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）A ．48122+B ．60122+C ．72122+D ．8412．已知f （x ）=ax 2+bx 是定义在[a –1，2a]上的偶函数，那么a+b 的值是A ．13-B ．13 C ．12-D ．12二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

高三下学期数学(理科)模拟考试卷-附参考答案

高三下学期数学(理科)模拟考试卷-附参考答案

高三下学期数学(理科)模拟考试卷-附参考答案注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名､班级和考号填写在答题卡上.2.回答选择题时，则选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，则将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}{220,M xx x N x y =--<==∣∣，则M N ⋃=（ ） A.(],e ∞- B.()0,2 C.(]1,e - D.()1,2- 2.已知复数z 满足()12i 34i z -=-，则z 的共轭复数z =（ ）A.12i --B.12i -+C.12i -D.12i +3.2023年3月24日是第28个“世界防治结核病日”，我国的宣传主题是“你我共同努力，终结结核流行”，呼吁社会各界广泛参与，共同终结结核流行，维护人民群众的身体健康.已知某种传染疾病的患病率为5%，通过验血诊断该病的误诊率为2%，即非患者中有2%的人诊断为阳性，患者中有2%的人诊断为阴性.若随机抽取一人进行验血，则其诊断结果为阳性的概率为（ ）A.0.46B.0.046C.0.68D.0.0684.过抛物线2:4C y x =焦点F 的直线交抛物线C 于()()1122,,,A x y B x y 两点，以线段AB 为直径的圆的圆心为1O ，半径为r ，点1O 到C 的准线l 的距离与r 的积为25，则()12r x x +=（ ）A.40B.30C.25D.205.根据《民用建筑工程室内环境污染控制标准》，文化娱乐场所室内甲醛浓度30.1mg /m为安全范围.已知某新建文化娱乐场所施工中使用了甲醛喷剂，处于良好的通风环境下时，则竣工1周后室内甲醛浓度为36.25mg /m ,3周后室内甲醛浓度为31mg /m ，且室内甲醛浓度()t ρ（单位：3mg /m ）与竣工后保持良好通风的时间t （*t ∈N ）（单位：周）近似满足函数关系式()eat bt ρ+=，则该文化娱乐场所的甲醛浓度若要达到安全开放标准，竣工后至少需要放置的时间为（ ） A.5周 B.6周 C.7周 D.8周6.在轴截面顶角为直角的圆锥内，作一内接圆柱，若圆柱的表面积等于圆锥的侧面积，则圆柱的底面半径与圆锥的底面半径的比值为（ ）A.14 B.4 C.12 D.27.已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左､右焦点分别为12,F F ，点M 是双曲线右支上一点，且12MF MF ⊥，延长2MF 交双曲线C 于点P .若12MF PF =，则双曲线C 的离心率为（ ）8.在ABC 中90,4,,A AB AC P Q ===是平面ABC 上的动点，且2AP AQ PQ ===，M 是边BC 上一点，则MP MQ ⋅的最小值为（ ）A.1B.2C.3D.4二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.下列结论正确的有（ ）A.若随机变量,ξη满足21ηξ=+，则()()21D D ηξ=+B.若随机变量()23,N ξσ~，且(6)0.84P ξ<=，则(36)0.34P ξ<<=C.若样本相关系数r 的绝对值越接近1，则成对样本数据的线性相关程度越强D.按从小到大顺序排列的两组数据：甲组：27,30,37,,40,50m ；乙组：24,,33,44,48,52n .若这两组数据的第30百分位数､第50百分位数都分别对应相等，则67m n +=10.2022年12月，神舟十四号返回舱成功着陆，返回舱是宇航员返回地球的座舱，返回舱的轴截面可近似看作是由半圆和半椭圆（都包含,M N 点）组成的“曲圆”，半圆的圆心在坐标原点，半圆所在的圆过椭圆的焦点()0,3F ，椭圆的短轴长等于半圆的直径，如图，在平面直角坐标系中下半圆与y 轴交于点G .若过原点O 的直线与上半椭圆交于点A ，与下半圆交于点B ，则（ ）A.椭圆的离心率为12B.AFG 的周长为6+C.ABF 面积的最大值是92D.线段AB长度的取值范围是6,3⎡+⎣11.如图，四棱柱1111ABCD A B C D -的底面是边长为1AA ⊥底面ABCD ，三棱锥1A BCD -的体积是3，底面ABCD 和1111A B C D 的中心分别是O 和1,O E 是11O C 的中点，过点E 的平面α分别交11111,,BB B C C D 于点,,F N M ，且BD ∥平面,G α是线段MN 上任意一点（含端点），P 是线段1A C 上任意一点（含端点），则（ ）A.侧棱1AAB.四棱柱1111ABCD A B C D -的外接球的表面积是40πC.当1125B F BB =时，则平面α截四棱柱所得的截面是六边形 D.PO PG +的最小值是512.已知()()e e ,, 1.01,1e 1e 0.9911a bc d a b c d c d a b >>==-=-=++，则（ ）A.0a b +>B.0c d +>C.0a d +>D.0b c +>三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.在平面直角坐标系xOy 中角α的顶点为O ，始边与x 轴的非负半轴重合，终边与圆229x y +=相交于点5t ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，则sin 22πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭__________. 14.已知多项式5625601256(2)(1)x x a a x a x a x a x -+-=+++++，则1a =__________.15.已知函数()()2e 2ln x f x k x x x =+-和()2e xg x x=，若()g x 的极小值点是()f x 的唯一极值点，则实数k 的最大值为__________.16.“0，1数列”是每一项均为0或1的数列，在通信技术中应用广泛.设A 是一个“0，1数列”，定义数列()f A ：数列A 中每个0都变为“1,0,1”，A 中每个1都变为“0,1,0”，所得到的新数列.例如数列:1,0A ，则数列():0,1,0,1,0,1f A .已知数列1:1,0,1,0,1A ，且数列()1,1,2,3,k k A f A k +==，记数列k A 的所有项之和为k S ，则1k k S S ++=__________.四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.17.（本小题满分10分）如图，在平面四边形ABCD中3,,sin AC AB DAC BAC BAC ∠∠∠====.（1）求边BC ； （2）若23CDA π∠=，求四边形ABCD 的面积. 18.（本小题满分12分）在各项均为正数的数列{}n a 中()21112,2n n n n a a a a a ++==+. （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）若n b =，数列{}n b 的前n 项和为n S ，证1n S <19.（本小题满分12分）2023年3月某学校举行了普通高中体育与健康学业水平合格性考试，考试分为体能测试和技能测试，其中技能测试要求每个学生在篮球运球上篮､羽毛球对拉高远球和游泳3个项目中任意选择一个参加.某男生为了在此次体育学业考试中取得优秀成绩，决定每天训练一个技能项目.第一天在3个项目中任意选一项开始训练，从第二天起，每天都是从前一天没有训练的2个项目中任意选一项训练.（1）若该男生进行了3天训练，求第三天训练的是“篮球运球上篮”的概率；（2）设该男生在考前最后6天训练中选择“羽毛球对拉高远球”的天数为X ，求X 的分布列及数学期望. 20.（本小题满分12分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左､右焦点分别是12,,F F P 是椭圆上一动点（与左､右顶点不重合），12PF F的内切圆半径的最大值是312.（1）求椭圆C 的方程；（2）过()4,0H 作斜率不为0的直线l 交椭圆于,A B 两点，过B 作垂直于x 轴的直线交椭圆于另一点Q ，连接AQ ，设ABQ 的外心为G ，求证：2AQ GF 为定值.21.（本小题满分12分）在三棱台111A B C ABC -中1AA ⊥平面111111,2,1,ABC AB AC AA A B AB AC ====⊥,E F 分别是1,BC BB 的中点，D 是棱11A C 上的动点.（1）求证：1AB DE ⊥（2）若D 是线段11A C 的中点，平面DEF 与11A B 的交点记为M ，求平面AMC 与平面AME 夹角的余弦值.22.（本小题满分12分）已知函数()ln 1f x x ax =-+有两个零点12,x x ，且122x x >. （1）求实数a 的取值范围；（2）证明：222112e x x x x ⎛⎫⋅+>⎪⎝⎭参考答案1.【答案】C 解析：2201,2M xx x =--<=-∣，由1ln 0x -，得0e x <，则{0,e]N x y ===∣，所以(]1,e M N ⋃=-.故选C.2.【答案】C 解析：因为()12i 34i 5z -=-==，可得()()()512i 512i 12i 12i 12i z +===+--+，所以12i z =-.故选C. 3.【答案】D 解析：设随机抽取一人进行验血，其诊断结果为阳性为事件A ，设随机抽取一人为患者为事件B ，随机抽取一人为非患者为事件B ，则()()()()()0.980.050.020.95P A P A B P B P A B P B =+=⨯+⨯=∣∣0.068.故选D.4.【答案】A 解析：由抛物线的性质知，点1O 到C 的准线l 的距离为12AB r =，依题意得2255r r =⇒=，又点1O 到C 的准线l 的距离为()121252x x r ++==，则有128x x +=，故()1240r x x +=.故选A.5.【答案】B 解析：由题意可知()()()()32341e6.25,3e 1,e 125a ba b a ρρρρ++======解得2e 5a=.设该文化娱乐场所竣工后放置0t 周后甲醛浓度达到安全开放标准，则()()0001102e e e6.255t a t at b a b t ρ--++⎛⎫==⋅=⨯ ⎪⎝⎭0.1，整理得01562.52t -⎛⎫ ⎪⎝⎭.设1562.52m -⎛⎫= ⎪⎝⎭ 因为455562.522⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以415m <-<，即56m <<，则011t m --，即0t m 故竣工后至少需要放置的时间为6周.故选B.6.【答案】D 解析：设圆柱和圆锥底面半径分别为,r R ，因为圆锥轴截面的顶角为直，设圆柱高为h ，则,h R r h R r R R-==-，由题意得()222R r r R r πππ⨯=+⨯-，解得2r R=.故选D .7.【答案】D 解析：设1(2)MF t t a =>，由双曲线的定义可得22MF t a =-，又21PF MF t == 则12PF t a =+，由12MF MF ⊥，可得22211||MF MP PF +=，即222(22)(2)t t a t a +-=+，解得3t a =.又2221221MF MF F F +=，即222(3)4a a c +=即c =，所以c e a ==.故选D.8.【答案】B 解析：取PQ 的中点N ，则,MP MN NP MQ MN NQ MN NP =+=+=-，可得()()2221,MP MQ MN NP MN NP MN NP MN MN MA AN MA AN ⋅=+⋅-=-=-=+-当且仅当点N 在线段AM 上时，则等号成立，故|||||||||||3|MN MA AN MA -=-显然当AM BC ⊥时，则MA 取到最小值|||||3||233|MN MA ∴--=故21312MP MQ MN ⋅=--=.故选B.9.【答案】BC 解析：对于A ，由方差的性质可得()()()224D D D ηξξ==，故A 错误；对于B ，由正态密度曲线的对称性可得(36)(6)0.50.34P P ξξ<<=<-=，故B 正确；对于C ，由样本相关系数知识可得，样本相关系数r 的绝对值越接近1，则成对样本数据的线性相关程度越强，故C 正确；对于D ，甲组：第30百分位数为30，第50百分位数为372m +，乙组：第30百分位数为n ，第50百分位数为33447722+=，则30,3777,22n m =⎧⎪⎨+=⎪⎩解得30,40,n m =⎧⎨=⎩故70m n +=，故D 错误.故选BC. 10.【答案】BD 解析：由题知，椭圆中的几何量3b c ==，所以a =则离心率2c e a ===故A 不正确；因为3AB OB OA OA =+=+由椭圆性质可知332OA ，所以6332AB +故D 正确；设,A B 到y 轴的距离分别为12,d d则()1212113222ABFAOFOBFSSSd OF d OF d d =+=⋅+⋅=+当点A在短轴的端点处时，则12,d d 同时取得最大值3，故ABF 面积的最大值是9，故C 不正确；由椭圆定义知2AF AG a +==AFG 的周长6AFGCFG =+=+B 正确.故选BD.11.【答案】BCD 解析：对于选项A ，因为三棱锥1A BCD -的体积111323V AA=⨯⨯=解得1AA=A错误；对于选项B，外接球的半径满足22221440R AB AD AA=++=故外接球的表面积2440S Rππ==，故选项B正确；对于选项D，因为BD∥平面1111,,BD B D B Dα⊄∥平面α，所以11B D∥平面α，又平面1111A B C D⋂平面11,MN B Dα=⊂平面1111A B C D，所以11B D MN∥，又因为四边形1111A B C D是正方形1111A CB D⊥，所以11AC MN⊥，因为侧棱1AA⊥底面1111,A B C D MN⊂底面1111A B C D 所以1AA MN⊥，又1111AC AA A⋂=，所以MN⊥平面11AAC C，垂足是E，故对任意的G，都有PG PE，又因为1111114OO O E AC===，故215PO PG PO PE OE OO++==，故选项D正确；对于选项C，如图，延长MN交11A B的延长线于点Q，连接AQ交1BB于点F，在平面11CC D D内作MH AF∥交1DD于点H，连接AH，则平面α截四棱柱所得的截面是五边形AFNMH，因为1112B Q B N AB==，所以此时1113B FBB=，故11113B FBB<<时截面是六边形，1113B FB<时截面是五边形，故选项C正确.故选BCD.12.【答案】AD 解析：对于A，e e1.010,1,111a ba ba b==>∴>->-++令()e(1)1xf x xx=>-+则()2e1)xxf xx=+'所以()f x在()1,0-上单调递减，在()0,∞+上单调递增，且()01f=，又()1 1.01f>故01,10a b<<-<<令()()()()()()ln ln2ln1ln1,1,1h x f x f x x x x x=--=-++-+∈-，则()2112220111h xx x x-=-+=-<+-+-'，所以()h x在()1,1-上单调递减，且()()00,1,0h b=∈-()()()()()()ln ln0,,,f b f b f b f b f af b a b∴-->∴>-∴>-∴>-即0a b+>，故选项A 正确；对于B ，()()1e 1e 0.990,1,1c d c d c d -=-=>∴<< 令()()1e (1)x g x x x =-<，则()e x g x x '=-，所以()g x 在(),0∞-上单调递增，在()0,1上单调递减，且()01g =，又()10.99g -<，故01,10c d <<-<<.令()()()()()()()ln ln 2ln 1ln 1,1,1m x g x g x x x x h x x =--=-++-+=∈-，所以()m x 在()1,1-上单调递减，且()()()()()()00,0,1,ln ln 0,m c g c g c g c g c =∈∴--<∴<- ()(),g d g c d c ∴<-∴<-，即0c d +<，故选项B 错误；对于C ，()()()()()()()11100,0.99,1,0,101f xg a a g a g d g x f a =∴-==>-∈-∴->- 又()g x 在(),0∞-上单调递增 ,0a d a d ∴->∴+< 故选项C 错误；对于D ，由C 可知 ()()(),0,1g b g c b ->-∈ 又()g x 在()0,1上单调递减，b c ∴-< 即0b c +>，故选项D 正确.故选AD.13.【答案】35- 解析：因为角α的终边与圆229x y +=相交于点t ⎫⎪⎪⎝⎭，所以cos 3α=÷=223sin 2cos22cos 12125πααα⎛⎫+==-=⨯-=- ⎪⎝⎭⎝⎭. 14.【答案】74 解析：对于5(2)x -，其二项展开式的通项为515C (2)r r r r T x -+=-，令51r -=，得4r =，故4455C (2)80T x x =-=，对于6(1)x -，其二项展开式的通项为616C (1)k k k k T x -+=- 令61k -=，得5k =，故5566C (1)6T x x =-=-，所以180674a =-=.15.【答案】2e 4 解析：由()2e x g x x =可得()()22442e e e 2x x x x x x x g x x x'-⋅-⋅==，当0x <或2x >时，则()0g x '>，当02x <<时，则()0g x '<，所以()g x 的极小值点是2.由()()2e 2ln xf x k x x x=+-可得()()()()432e 2e 12,0,xx x x k f x k x x x x x x ∞-⎛⎫⎛⎫=+-='--∈+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因为()f x 的唯一极值点为2，所以3e 0x k x x -或3e 0x k x x -恒成立，所以2e x k x 或2e xk x在()0,∞+上恒成立，因为()2e xg x x=在()0,2上单调递减，在()2,∞+上单调递增，当x ∞→+时，则()g x ∞→+，所以2e x k x 在()0,∞+上恒成立，则()2min e ()24k g x g ==.16.【答案】1103k -⨯ 解析：设数列k A 中0的个数为,1k a 的个数为k b ，则112,2k k k k k k a a b b a b ++=+=+，两式相加，得()113k k k k a b a b +++=+，又115,a b +=∴数列{}k k a b +是以5为首项，3为公比的等比数列153k k k a b -∴+=⨯两式相减，得17.【答案】解：（1）因为sin 14BAC BAC ∠∠=为锐角，所以cos 14BAC ∠==.因为3AC AB ==，在ABC 中由余弦定理得2222cos BC AC AB AC AB BAC ∠=+-⋅⋅即279231BC =+-=，得1BC =. （2）在ADC 中由正弦定理得sin sin CD AC DAC ADC∠∠==，所以1CD =.在ADC 中由余弦定理得222cos 2AD CD AC ADC AD CD ∠+-=⋅，即211722AD AD+--=，解得2AD =.因为121331273,12sin 214423ABCACDSS π=⨯⨯⨯==⨯⨯⨯=所以34ABCACDABCD S SS=+==四边形. 18.【答案】解：（1）()()()211112,20n n n n n n n n a a a a a a a a ++++=+∴-+=，则120n n a a +-=或10n n a a ++= 10,2n n n a a a +>∴=∴数列{}n a 为等比数列，公比为12,2,a =∴数列{}n a 的通项公式为2n n a =.（2）证明：由（1）得112,2n n n n a a ++==则n b ======∴数列{}n b 的前n项和为11n S n =+-=-1n S ∴<当2n时，则10,n n n S S b --===>∴当*n ∈N 时，则{}n S 为递增数列1n S S ∴n S1n S <19.【答案】解：（1）当第一天训练的是“篮球运球上篮”且第三天训练的也是“篮球运球上篮”为事件A ；当第一天训练的不是“篮球运球上篮”且第三天训练的是“篮球运球上篮”为事件B . 由题知，3天的训练过程中总共的可能情况为32212⨯⨯=种 所以，()()12112111,126126P A P B ⨯⨯⨯⨯==== 所以，第三天训练的是“篮球运球上篮”的概率()()13P P A P B =+=.（2）由题知，X 的可能取值为0,1,2,3考前最后6天训练中所有可能的结果有53296⨯=种当0X =时，则第一天有两种选择，之后每天都有1种选择，所以，()5521210329648P X ⨯====⨯； 当1X=时，则共有24444220+++++=种选择，所以()20519624P X ===； 当3X =时，则共有844824+++=种选择，所以()2413964P X ===； 所以()()()()5025210139648P X P X P X P X ==-=-=-=== 所以，X 的分布列为所以()1012324824484E X =⨯+⨯+⨯+⨯=. 20.【答案】解：（1）由题意知1,22c a c a =∴=，又222b a c =-，则,b =设12PF F 的内切圆半径为r ，则()()()121212112222PFF SPF PF F F r a c r a cr =++⋅=+⋅=+⋅. 故当12PF F 面积最大时，则r 最大，即点P 位于椭圆短轴顶点时r = )a c bc +=，把2,a c b ==代入，解得2,1a b c === 所以椭圆C 的方程为22143x y +=.（2）由题意知，直线AB 的斜率存在且不为0，设直线AB 的方程为4x ty =+代入椭圆方程得()()()222223424360,Δ(24)1443414440t y ty t t t +++==-+=-> 设()()1122,,,A x y B x y ，则1212222436,3434t y y y y t t -+==++ 因此可得1223234x x t +=+ 所以AB 中点的坐标为221612,3434t t t -⎛⎫ ⎪++⎝⎭因为G 是ABQ 的外心，所以G 是线段AB 的垂直平分线与线段BQ 的垂直平分线的交点，由题意可知,B Q 关于x 轴对称，故()22,Q x y -AB 的垂直平分线方程为2216123434tt x y t t ⎛⎫--=+ ⎪++⎝⎭ 令0y =，得2434x t =+，即24,034G t ⎛⎫⎪+⎝⎭，所以2222431,3434t GF t t =-=++ 又AQ ==221234t t ==+ 故24AQ GF =，所以2AQGF 为定值，定值为4. 21.【答案】解：（1）证明：取线段AB 的中点G ，连接1,A G EG ，如图所示 因为,E G 分别为,BC AB 的中点，所以EG AC ∥在三棱台111A B C ABC -中11AC AC ∥ 所以，11EG AC ∥，且11D A C ∈ 故1,,,E G A D 四点共面.因为1AA ⊥平面,ABC AG ⊂平面ABC ，所以1AA AG ⊥ 因为1111111,,AA A B AG AG A B AA AG ===⊥∥ 所以四边形11AA B G 是正方形，所以11AB AG ⊥. 又1111111111,,,AB AC AC AG A AC AG ⊥⋂=⊂平面1A DEG 所以1AB ⊥平面1A DEG .因为DE ⊂平面1A DEG ，所以1AB DE ⊥.（2）延长EF 与11C B 相交于点Q ，连接DQ ，则11DQ A B M ⋂=. 因为,F E 分别为1BB 和BC 的中点1B Q BE ∥，所以111B Q B FBE BF== 则11112B Q BE BC B C ===，所以，1B 为1C Q 的中点. 又因为D 为11A C 的中点，且11A B DQ M ⋂=，则M 为11A C Q 的重心 所以1112233A M AB == 因为1AA ⊥平面,ABC AC ⊂平面ABC ，所以1AA AC ⊥.因为11111,AB AC AC AC ⊥∥，所以1AB AC ⊥. 又因为1111,,AA AB A AA AB ⋂=⊂平面11AA B B 所以AC ⊥平面11AA B B ，所以1,,AC AB AA 两两垂直以A 为原点，1,,AC AB AA 所在直线分别为,,x y z 轴建立如图所示空间直角坐标系则()()()()20,0,0,0,2,0,2,0,0,1,1,0,0,,13A B C E M ⎛⎫ ⎪⎝⎭所以()()22,0,0,0,,1,1,1,03AC AM AE ⎛⎫=== ⎪⎝⎭. 设平面AMC 的法向量为()1,,n a b c =则1120,20,3n AC a n AM b c ⎧⋅==⎪⎨⋅=+=⎪⎩取3b =-，则()10,3,2n =-. 设平面AME 的法向量为()2,,n x y z =则220,20,3n AE x y n AM y z ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩取3y =-，可得()23,3,2n =-. 所以，12121213cos ,2213n n n n n n ⋅===⨯ 故平面AMC 与平面AME 夹角的余弦值为22. 22.【答案】解：（1）()ln 1f x x ax =-+的定义域为()()110,,ax f x a x x∞-+=='- 当0a 时，则()0f x '>恒成立，所以()f x 在()0,∞+上单调递增，()f x 不可能有两个零点，故舍去；当0a >时，则令()0f x '>，解得10x a <<，令()0f x '<，解得1x a> 所以()f x 在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在1,a ∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭上单调递减 所以max 11()ln f x f a a ⎛⎫==⎪⎝⎭. 要使()f x 有两个零点，则max 1()ln 0f x a=>，解得01a <<. 又22111444242ln 10,ln 1110e e e e a f a f a a a a a a ⎛⎫⎛⎫=-⋅+=-<=-+<-+=-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以当01a <<时，则()f x 在11,e a ⎛⎫ ⎪⎝⎭和214,a a ⎛⎫⎪⎝⎭上各有一个零点21,,x x 且122x x >，所以1122ln 10,ln 10,x ax x ax -+=⎧⎨-+=⎩由fx 的单调性知，当()21,x x x ∈时，则()0f x > 当()1,x x ∞∈+时，则()0f x <.因为2212x x x <<，所以()220f x >，即()2222ln 221ln 1x ax x ax -+>-+ 所以2ln2ax <，而22ln 1x ax +=，即2ln 1ln2x +<，所以220ex <<，而22ln 1x a x +=.令()ln 12,0,e x h x x x +⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭，则()221ln 1ln x x h x x x -'--== 因为20,e x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以2ln ln 0ex ->->，所以()0h x '> 所以()h x 在20,e ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增所以()2ln2eln22e 2eh x h ⎫<==⎪⎭，所以eln20,2a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭.（2）因为1220x x >>，所以22211212e e 2x x x x x x ⎛⎫⋅+⋅ ⎪⎝⎭，当且仅当12x x =时取等号 而1220x x >>，故222112e e x xx x ⎛⎫⋅+>⋅⎪⎝⎭要证222112e x x x x ⎛⎫⋅+>⎪⎝⎭2e 42⋅，即证1228e x x ，即证1228ln ln e x x 即证12ln ln 3ln22x x +-.设12x t x =，因为1220x x >>，所以2t > 由（1）得1122ln 1,ln 1,x ax x ax +=⎧⎨+=⎩，两式作差，化简得21ln ln ln 1,ln 1ln 11t tx x t t t =-=-+-- 所以122ln ln ln ln 21tx x t t +=+--. 令()2ln ln 2,21tg t t t t =+->-，则()2212ln (1)t t t g t t t '--=-. 令()212ln t t t t ϕ=--，则()()2222ln ,20t t t t tϕϕ'=---''=>，易知()t ϕ'在()2,∞+上单调递增故()()222ln20t ϕϕ'>'=->，所以()t ϕ在()2,∞+上单调递增，所以()()234ln20t ϕϕ>=->所以()g t 在()2,∞+上单调递增，所以()()23ln22g t g >=-，即12ln ln 3ln22x x +>-得证.所以不等式222112e x x x x ⎛⎫⋅+> ⎪⎝⎭.。

高三数学下学期模拟考试试题 理含解析 试题

高三数学下学期模拟考试试题 理含解析 试题

卜人入州八九几市潮王学校2021届高三数学下学期模拟考试试题理〔含解析〕一、选择题.在每一小题给出的四个选项里面，只有一项为哪一项哪一项符合题目要求的.1.集合，那么〔〕A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】由补集的定义可得，求解指数不等式可得，据此进展集合的混合运算即可.【详解】由补集的定义可得，求解指数不等式可得，据此可得.此题选择B选项.【点睛】此题主要考察集合的表示方法，集合的混合运算等知识，意在考察学生的转化才能和计算求解才能.2.复数，那么〔〕A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由复数模的运算法那么可知，据此确定复数的模即可.【详解】由复数模的运算法那么可得：.此题选择A选项.【点睛】此题主要考察复数的模的运算法那么及其应用，属于根底题.3.随着时代的开展，挪动通讯技术的进步，各种智能不断更新换代，给人们的生活带来了宏大的便利，但与此同时，长时间是低头看，对人的身体如颈椎、眼睛等会造成一定的损害，“低头族〞由此而来.为了理解某群体中“低头族〞的比例，现从该群体包括老、中、青三个年龄段的人中采取分层抽样的方法抽取人进展调查，这人里老、中、青三个年龄段的分配比例如下列图，那么这个群体里老年人人数为〔〕A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由题意可知老年人所占的比例为，据此求解老年人的人数即可.【详解】由题意结合分层抽样的定义可知，这个群体里老年人人数为.此题选择B选项.【点睛】此题主要考察统计图表的识别与应用，属于根底题.4.直线和平面，那么是与异面的〔〕A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】由题意，假设直线b不在平面内，那么b与相交或者，充分性不成立，反之，假设与异面，一定有直线b不在平面内，据此即可得到正确的结论.【详解】由题意，假设直线b不在平面内，那么b与相交或者，不一定有与异面，反之，假设与异面，一定有直线b不在平面内，即是与异面的必要不充分条件.此题选择B选项.【点睛】.5.假设变量满足那么使获得最小值的最优解为〔〕A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】首先绘制不等式组表示的平面区域如下列图，然后结合目的函数的几何意义确定使获得最小值的最优解即可【详解】绘制不等式组表示的平面区域如下列图，目的函数即：，其中z获得最小值时，其几何意义表示直线系在y轴上的截距最小，据此结合目的函数的几何意义可知目的函数在点B处获得最小值，联立直线方程：，可得点的坐标为：.此题选择C选项.【点睛】求线性目的函数z＝ax＋by(ab≠0)的最值，当b＞0时，直线过可行域且在y轴上截距最大时，z 值最大，在y轴截距最小时，z值最小；当b＜0时，直线过可行域且在y轴上截距最大时，z值最小，在y轴上截距最小时，z值最大.6.在中，为，那么〔〕A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由题意可得：，据此确定的值，然后求解的值即可.【详解】由题意可得：,，.此题选择D选项.【点睛】此题主要考察平面向量根本定理及其应用等知识，意在考察学生的转化才能和计算求解才能. 7.函数，且满足，把的图像上各点向左平移个单位长度得到函数，那么的一条对称轴为〔〕A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由题意可得函数的最小正周期为，结合最小正周期公式可得，据此可得函数的解析式为，结合正弦函数的性质和所给的选项确定函数的一条对称轴即可.【详解】由可得，那么函数的最小正周期为，即，故函数的解析式为，函数的解析式为，函数的对称轴满足：，即，令，，，，只有方程存在整数解，故函数的一条对称轴为.此题选择D选项.【点睛】此题主要考察三角函数解析式的求解，三角函数的对称轴的求解等知识，意在考察学生的转化才能和计算求解才能.8.函数，且满足，那么的取值范围为〔〕A.或者B.C. D.【答案】B【解析】【分析】由函数的解析式易知函数为偶函数，且函数在区间上单调递减，据此脱去f符号求解不等式的解集即可.【详解】由函数的解析式易知函数为偶函数，且当时，，故函数在区间上单调递减，结合函数为偶函数可知不等式即，结合偶函数的单调性可得不等式，求解绝对值不等式可得的取值范围为.此题选择B选项.【点睛】对于求值或者范围的问题，一般先利用函数的奇偶性得出区间上的单调性，再利用其单调性脱去函数的符号“f〞，转化为解不等式(组)的问题，假设f(x)为偶函数，那么f(－x)＝f(x)＝f(|x|)．9.为双曲线的左焦点，圆与双曲线的两条渐进线在第一、二象限分别交于两点，假设，那么双曲线的离心率为〔〕A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】不妨设，其中，由斜率公式可得，由直线垂直的充分必要条件可知：，据此可得，然后结合双曲线的离心率公式求解离心率即可.【详解】不妨设，其中，由于，故，由于双曲线的渐近线方程为，结合直线垂直的充分必要条件可知：，据此可得：，整理可得，据此可知：，，双曲线的离心率.此题选择C选项.【点睛】双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质，求双曲线的离心率(或者离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出a，c，代入公式；②只需要根据一个条件得到关于a，b，c的齐次式，结合b2＝c2－a2转化为a，c的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a或者a2转化为关于e的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e的取值范围)．10.中国最早的天文学和数学著作周髀算经里提到了七衡，即七个等距的同心圆.七衡的直径和周长都是等差数列，最里面的一圆叫内一衡，外面的圆依次叫次二衡，次三衡，….设内一衡直径为，衡间距为，那么次二衡直径为，次三衡直径为，…，执行如下程序框图，那么输出的中最大的一个数为〔〕A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由题意可知题中所给的程序框图功能为计算并输出的值，结合等差数列的通项公式可得，由均值不等式的结论即可确定输出的中最大的一个数.【详解】由题意可知题中所给的程序框图功能为计算并输出的值，由等差数列通项公式有：，且易知恒成立，那么：，当且仅当，即时等号成立.综上可得，输出的中最大的一个数为.此题选择D选项.【点睛】识别、运行程序框图和完善程序框图的思路：(1)要明确程序框图的顺序构造、条件构造和循环构造．(2)要识别、运行程序框图，理解框图所解决的实际问题．(3)按照题目的要求完成解答并验证．11.在锐角三角形中，，那么〔〕A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由同角三角函数根本关系可得，结合两角和差正余弦公式可知，利用余弦定理可得，最后利用平面向量数量积的定义求解数量积即可.【详解】由同角三角函数根本关系可得，那么，由余弦定理可得,那么，结合平面向量数量积的定义可得：.此题选择A选项.【点睛】求两个向量的数量积有三种方法：利用定义；利用向量的坐标运算；利用数量积的几何意义．详细应用时可根据条件的特征来选择，同时要注意数量积运算律的应用．12.某棱锥的三视图如下列图，那么该棱锥的外接球的外表积为〔〕A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由三视图可知，其对应的几何体为三棱锥，建立空间直角坐标系，结合球的几何性质确定球心坐标，然后求解球的外表积即可.【详解】如下列图，在长方体中，，点分别为其所在棱的中点，那么三视图对应的几何体为三棱锥，很明显是以为斜边的直角三角形，且当平面，故外接球的球心O在直线上，以点A为坐标原点建立如下列图的空间直角坐标系，那么，设，由有：，解得：,设外接球半径为，那么：，外接球的外表积.此题选择C选项.【点睛】与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出适宜的截面图，如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径.二、填空题.13.体育课上定点投篮工程测试规那么：每位同学有次投篮时机，一旦投中，那么停顿投篮，视为合格，否那么一直投次为止.每次投中与否互相HY，某同学一次投篮投中的概率为，假设该同学本次测试合格的概率为，那么_______．【答案】【解析】【分析】由题意可得：，据此求解关于实数p的方程确定实数p的值即可.【详解】由题意可得：，整理可得：，即,该方程存在唯一的实数根.故答案为：【点睛】此题主要考察HY事件概率公式及其应用，属于根底题.14.在的展开式中的系数为______．【答案】【解析】【分析】由二项式展开式的通项公式可知的展开式的通项为：，据此确定展开式中的系数即可.【详解】由二项式展开式的通项公式可知的展开式的通项为：，令可得，故展开式中的系数为.故答案为：．【点睛】二项式定理的核心是通项公式，求解此类问题可以分两步完成：第一步根据所给出的条件(特定项)和通项公式，建立方程来确定指数(求解时要注意二项式系数中n和r的隐含条件，即n，r均为非负整数，且n≥r，如常数项指数为零、有理项指数为整数等)；第二步是根据所求的指数，再求所求解的项．15.点为抛物线的焦点，为其准线上一点，且.假设过焦点且与垂直的直线交抛物线于两点，且，那么______．【答案】【解析】【分析】由焦半径公式可得：，那么，据此可得AB的方程为：，EF的方程为，结合题意由EF的长度得到关于p的方程，解方程即可求得实数p的值.【详解】由题意结合焦半径公式可得：，据此整理可得：，据此可知直线AB的方程为：，直线EF的方程为，令可得，那么EF的长度为：，解得：.故答案为：1.【点睛】此题主要考察抛物线的焦半径公式，方程思想的应用，直线方程及其应用等知识，意在考察学生的转化才能和计算求解才能.16.函数满足：①当时，方程无解；②当时，至少存在一个整数使.那么实数的取值范围为___．【答案】【解析】【分析】首先绘制函数f(x)的图像，然后结合题意分类讨论和两种情况分别得到关于a的取值范围，最后求解所得取值范围的公一共局部即可确定实数的取值范围.【详解】绘制函数的图像如下列图，函数恒过点，〔1〕当时，方程无解，考察临界情况，当时，，，设切点坐标为，切线斜率为，故切线方程为，切线过点，那么：，解得：，故切线的斜率，据此可得，〔2〕当x≥0时时，点两点连线的斜率，时，，点两点连线的斜率，据此可得，综上可得，实数的取值范围为.【点睛】此题主要考察分段函数的应用，导函数研究函数的切线方程，分类讨论的数学思想等知识，意在考察学生的转化才能和计算求解才能.三、解答题.解容许写出文字说明、证明过程或者演算步骤.17.数列满足，且成等差数列.〔1〕求数列的通项公式；〔2〕令，数列的前项和为，求的取值范围.【答案】〔1〕〔2〕【解析】【分析】〔1〕由题意可得数列是等比数列，且公比为.结合成等差数列求得数列的首项即可确定数列的通项公式；〔2〕裂项求和可得，结合前n项和表达式的单调性确定的取值范围即可.【详解】〔1〕由知数列是等比数列，且公比为.成等差数列，〔2〕易知单调递减，当时，的取值范围为【点睛】此题主要考察数列通项公式的求解，列项求和的方法等知识，意在考察学生的转化才能和计算求解才能.18.如图，在三棱，底面是边长为的等边三角形，上、下底面的面积之比为，侧面底面，并且.〔1〕平面平面，证明：；〔2〕求平面与平面所成二面角的正弦值.【答案】〔1〕见证明；〔2〕【解析】【分析】〔1〕由题意可知，结合几何关系可证得平面，据此可得题中的结论；〔2〕以为原点建立空间直角坐标系.由题意求得平面的法向量为，平面的法向量为，据此求解平面与平面所成二面角的正弦值即可.【详解】〔1〕几何体为棱台，平面平面平面，平面平面〔2〕，那么面积之比为相似比的平方，而过点作交于，由于侧面底面为交线，底面.在中，易求得为线段的四等分点，取的中点，那么有，以为原点建立空间直角坐标系.设平面的法向量为可得设平面的法向量为故平面与平面所成二面角的正弦值为.【点睛】此题主要考察空间向量及其应用等知识，意在考察学生的转化才能和计算求解才能.19.近年来，随着互联网技术的快速开展，一共享经济覆盖的范围迅速扩张，继一共享单车、一共享汽车之后，一共享房屋以“民宿〞、“农家乐〞等形式开场在很多平台上线.某创业者方案在某景区附近租赁一套农房开展成特色“农家乐〞，为了确定将来开展方向，此创业者对该景区附近六家“农家乐〞跟踪调查了天.得到的统计数据如下表，为收费HY〔单位：元/日〕，为入住天数〔单位：〕，以频率作为各自的“入住率〞，收费HY与“入住率〞的散点图如图x 50 100 150 200 300 400t 90 65 45 30 20 20〔1〕假设从以上六家“农家乐〞中随机抽取两家深化调查，记为“入住率〞超过的农家乐的个数，求的概率分布列；〔2〕令，由散点图判断与哪个更适宜于此模型〔给出判断即可，不必说明理由〕？并根据你的判断结果求回归方程.〔结果保存一位小数〕〔3〕假设一年按天计算，试估计收费HY为多少时，年销售额最大？〔年销售额入住率收费HY〕参考数据：【答案】〔1〕见解析；〔2〕见解析，〔3〕收费HY约为元/日时，最大值约为元【解析】【分析】〔1〕由题意可知的所有可能取值为.分别计算相应的概率值确定分布列即可；〔2〕由散点图可知更适宜于此模型.分别确定，的值即可确定回归方程；〔3〕由题意可得利用导函数研究年销售额的最大值即可.【详解】〔1〕的所有可能取值为.那么，的分布列〔2〕由散点图可知更适宜于此模型.其中，所求的回归方程为〔3〕令假设一年按天计算，当收费HY约为元/日时，年销售额最大，最大值约为元.【点睛】此题主要考察分布列的计算，非线性回归方程及其应用等知识，意在考察学生的转化才能和计算求解才能.20.如图，菱形的面积为，斜率为的直线交轴于点，且，以线段为长轴，为短轴的椭圆与直线相交于两点〔与在轴同侧〕.〔1〕求椭圆的方程；〔2〕求证：与的交点在定直线上.【答案】〔1〕〔2〕见证明【解析】【分析】〔1〕由题意得到关于a,b的方程组，求解方程组可得，据此确定椭圆方程即可；〔2〕易得，设直线与椭圆联立可得，求得直线的方程和的方程，联立方程确定交点坐标即可证得题中的结论.【详解】〔1〕设解得椭圆方程为〔2〕易得，设直线与椭圆联立，得由得，设，直线的方程为①直线的方程为x②联立①②消去，得【点睛】解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：(1)注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；(2)强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算才能，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．21.函数.〔1〕讨论在上的单调性；〔2〕令，当时，证明：对，使.【答案】〔1〕见解析；〔2〕见证明【解析】【分析】〔1〕由题意可得，分类讨论时，和三种情况确定函数的单调性即可；〔2〕此时原题目等价于.由函数f(x)的解析式可得,结合函数g(x)的性质证明即可证得题中的结论.【详解】〔1〕当时，由于，所以恒成立，在为增函数；当时，①假设恒成立，在上为减函数；②假设，令，得在上为增函数，上为减函数.综上：当时，在上为增函数；当时，在上为增函数，在上为减函数；当时，在上为减函数.〔2〕此时原题目等价于.当时，，由〔1〕知在上为增函数，在上为减函数，,令.令，得，在上恒成立，在上单调递增，即在上单调递增.当时，，由于存在，使，即，在单调递减，在单调递增，，令恒成立，在上为减函数，从而.【点睛】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用的考察主要从以下几个角度进展：(1)考察导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联络．(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；单调性，求参数．(3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题．(4)考察数形结合思想的应用．22.在直角坐标系中，以为极点，的极坐标方程为，直线与曲线相交于两点，直线过定点且倾斜角为交曲线于两点.〔1〕把曲线化成直角坐标方程，并求的值；〔2〕假设成等比数列，求直线的倾斜角.【答案】(1)答案见解析(2)或者【解析】【分析】〔1〕将极坐标方程化为直角坐标方程可得C的直角坐标方程为联立直线方程确定MN的长度即可；〔2〕联立直线的参数方程和C的直角坐标方程可得,结合韦达定理可知.据此得到关于的三角方程，解方程即可确定直线的倾斜角.【详解】〔1〕得，即曲线的直角坐方程为,直线为，代入，得.〔2〕直线的参数方程为〔为参数〕，代入得:,即恒成立.设两点对应的参数分别为..由于成等比数列，,从而或者.【点睛】此题主要考察极坐标方程与直角坐标方程的转化，直线参数方程的几何意义等知识，意在考察学生的转化才能和计算求解才能.23..〔1〕解不等式；〔2〕假设，务实数的最大值.【答案】(1)或者(2)最大值为【解析】【分析】〔1〕由题意可得，分类讨论求解不等式的解集即可；〔2〕原问题等价于恒成立，考察函数的性质确定实数m的最大值即可.【详解】〔1〕或者或者得或者无解或者.所以不等式的解集为或者.〔2〕恒成立恒成立令结合二次函数的性质分析可知，在上单调递减，在上单调递增..实数的最大值为.【点睛】绝对值不等式的解法：法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，表达了数形结合的思想；法二：利用“零点分段法〞求解，表达了分类讨论的思想；法三：通过构造函数，利用函数的图象求解，表达了函数与方程的思想．。

高三下学期联考试卷(数学理)

高三下学期联考试卷(数学理)

高三数学试卷（理）（.4）一、选择题（每小题5分，共60分）1.已知集合{}R y R x y x y x M ∈∈=+=,,0|),(，{}R y R x y x y x N ∈∈=+=,,0|),(22， 则有（ ）A.M N M =B.N N M =C.M N M =D.φ=N M 2.若复数)2)(1(i bi ++是纯虚数(i 是虚数单位，b 是实数)，则b 等于（ ）A.3B.1-C.21-D.2 3.做了一次关于“手机垃圾短信”的调查，在A 、B 、C 、D 四个单位回收的问卷数依次成等差数列，再从回收的问卷中按单位分层抽取容量为100的样本，若在B 单位抽取20份问卷，则在D 单位抽取的问卷份数是（ ）A.30份B.35份C. 40份D.65份 4.如图，已知四边形ABCD 在映射)2,1(),(:y x y x f +→作用下的象集为四边形1111D C B A ，若四边形1111D C B A 的面积是12，则四边形ABCD 的面积是（ ）A. 9B.6C. 36D.125. “⎪⎩⎪⎨⎧=+≠--=)1(2)1(11)(2x a x x x x f 是定义在),0(+∞上的连续函数”是“直线0)(2=+-y x a a 和直线0=-ay x 互相垂直”的（ ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件 6. 设)2,1(-=OA ，)1,(-=a OB ，)0,(b OC -=，0,0>>b a ,O 为坐标原点，若A 、B 、C 三点共线，则ba 21+的最小值是（ ） A. 2B. 4C. 6D. 87.若三个数c a ,1,成等差数列，且22,1,c a 又成等比数列，则nn ca c a )(lim 22++∞→等于（ ） A. 0 B. 1 C. 0或1 D. 不存在8.用0，1，2，3，4这五个数字组成无重复数字的五位数，其中恰有一个偶数夹在两个奇数之间的五位数的个数是（ ）A. 12B.28C.36D.489.设直线l 与球O 有且只有一个公共点P ，从直线l 出发的两个半平面,αβ截球O 的两个截面圆的半径分别为13二面角l αβ--的平面角为 150, 则球O 的表面积为（ ）A.π4B.π16C.π28D.π11210.已知定义域为R 的函数)(x f 对任意实数x 、y 满足y x f y x f y x f cos )(2)()(=-++，且1)2(,0)0(==πf f .给出下列结论：①21)4(=πf ②)(x f 为奇函数 ③)(x f 为周期函数 ④),0()(π在x f 内单调递减其中正确的结论序号是（ ）A. ②③ B .②④ C. ①③ D. ①④11.如图，已知椭圆的左、右准线分别为、，且分别交轴于、两点，从上一点发出一条光线经过椭圆的左焦点被轴反射后与交于点，若，且，则椭圆的离心率等于（ ） 12．函数()f x 定义域为D ，若满足①()f x 在D 内是单调函数②存在D b a ⊆],[使()f x 在[],a b 上的值域为,22a b ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，那么就称)(x f y =为“成功函数”，若函数)1,0)((log )(≠>+=a a t a x f x a 是“成功函数”，则t 的取值范围为（ ） A.()+∞,0B.⎪⎭⎫ ⎝⎛∞-41, C. ⎥⎦⎤ ⎝⎛41,0D. ⎪⎭⎫ ⎝⎛41,0二、填空题（每小题4分，共16分） 13.在nxx )1(2-的展开式中，常数项为15，则n 的值为 14.空间一条直线1l 与一个正四棱柱的各个面所成的角都为α，而另一条直线2l 与这个正四棱柱的各条棱所成的角都为β，则=+βα22sin sin15.设实数b a 、满足⎪⎩⎪⎨⎧≤≥-+≥+-104230123a b a b a ,则2249b a +的最大值是22221(0)x y a b a b+=>>1l 2l x C D 1l A F x 2l B AF BF ⊥75ABD ∠=︒62-3162-31-16.设函数)1lg()(2--+=a ax x x f ，给出下列四个命题：A.)(x f 有最小值；B.当0=a 时，)(x f 的值域是R ；C.当0>a 时，)(x f 在区间[)+∞,2上有反函数；D.若)(x f 在区间[)+∞,2上单调递增，则实数a 的取值范围是4-≥a . 其中正确的命题是三、解答题（共74分） 17.（本小题满分12分） 已知函数2()sin2cos 24x x f x =+ （1）求函数()f x 的最小正周期；（2）在ABC ∆中，角A B C 、、的分别是a b c 、、，若2cos a c b C （－）cosB ＝，求()f A 的取值范围.18．（本小题满分12分）某次国际象棋友谊赛在中国队和乌克兰队之间举行，比赛采用积分制，比赛规则规定赢一局得2分，平一局得1分，输一局得0分，根据以往战况，每局中国队赢的概率为21，乌克兰队赢的概率为31，且每局比赛输赢互不影响.若中国队第n 局的得分记为n a ，令12n n S a a a =++⋅⋅⋅+.（1）求43=S 的概率；（2）若规定：当其中一方的积分达到或超过4分时，比赛不再继续，否则，继续进行.设随机变量ξ表示此次比赛共进行的局数，求ξ的分布列及数学期望.19.（本小题满分12分）如图，斜三棱柱111C B A ABC -，已知侧面C C BB 11与底面ABC 垂直且 90=∠BCA ，601=∠BC B ，21==BB BC ，若二面角C B B A --1为 30， （1）证明⊥AC 平面C C BB 11； （2）求1AB 与平面C C BB 11所成角的正切值；（3）在平面B B AA 11内找一点P ，使三棱锥C BB P 1-为正三棱锥，并求点P 到平面C BB 1距离. 20．（本小题满分12分）已知0>a ，)1ln(12)(2+++-=x x ax x f ，l 是曲线)(x f y =在点))0(,0(f P 处的切线． （１）求切线l 的方程； （2）若切线l 与曲线)(x f y =有且只有一个公共点，求a 的值．ABC111A C B21.（本小题满分12分）如图,过抛物线y x 42=的对称轴上任一点P ),0(m )0(>m 作直线与抛物线交于B A ,两点，点Q 是点P 关于原点的对称点.(1)设点P 分有向线段所成的比为λ，证明)(λ-⊥； (2)设直线AB 的方程是0122=+-y x ,过B A ,两点的圆C 与 抛物线在点A 处有共同的切线，求圆C 的方程. 22．（本小题满分14分） 设数列}{n a ，}{n b 满足211=a ，n n a n na )1(21+=+且221)1ln(n n n a a b ++=，*N n ∈． （１）求数列}{n a 的通项公式； （２）对一切*N n ∈，证明nn n b a a <+22成立；（３）记数列}{2n a ,}{n b 的前n 项和分别为n A 、n B ，证明：42<-n n A B ．高三数学答案（理科）及评分标准一、选择题：（每题5分，共60分）13． 6 14． 1 15． 25 16． B 、C三、解答题（本大题共6题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17题．（ 12分）解析：(1) ()2sin(122cos1)4x f x x =++-sin cos 122x x =++sin(1)24x π=++ ()4f x T π∴=的最小正周期为 .（5分）(2) ()2cos cos a c B b C -=由得()2sin sin cos sin cos A C B B C -=()2sin cos sin sin A B B C A ∴=+= （8分） sin 0A ≠ 1cos 2B ∴=＝>3B π=， 23A C π∴+=()sin(1)24f A A π=++又，203A π∴<<，742412A πππ∴<+<， （10分）又∵7sinsin 412ππ<，sin(12)24A π∴<≤+，()21f A ∴<≤. （12分） 18题．（ 12分）解：（1）43=S ，即前3局中国队1胜2平或2胜1负。

湖北省高三下学期模拟考试(理科)数学试卷-附答案解析

湖北省高三下学期模拟考试(理科)数学试卷-附答案解析

湖北省高三下学期模拟考试(理科)数学试卷-附答案解析班级:___________姓名：___________考号：___________一、单选题1．已知集合{}{0},ln 1A x x B x y x =>==-，则A B =（ ） A ．{01}x x << B ．{0}x x > C ．{01x x <<或1}x >D ．{1}x x >2．欧拉公式i e cos isin θθθ=+把自然对数的底数e 、虚数单位i 和三角函数联系在一起，充分体现了数学的和谐美，被誉为“数学中的天桥”.若复数i 20221ie 1iz π⋅-=-+，则z =（ ）A ．BC ．12D ．13．设抛物线2:8C x y =的焦点为F ，点P 在C 上，()0,6Q ，若PF QF =，则PQ =（ ）A ．B ．4C ．D ．64．从2020年起，北京考生的高考成绩由语文、数学、外语3门统一高考成绩和考生选考的3门普通高中学业水平考试等级性考试科目成绩构成．等级性考试成绩位次由高到低分为A 、B 、C 、D 、E ，各等级人数所占比例依次为：A 等级15%，B 等级40%，C 等级30%，D 等级14%，E 等级1%．现采用分层抽样的方法，从参加历史等级性考试的学生中抽取200人作为样本，则该样本中获得A 或B 等级的学生人数为（ ） A ．55B ．80C ．90D ．1105．若函数()()sin 0,3f x x ax a πωω⎛⎫=++>∈ ⎪⎝⎭R 是周期函数，最小正周期为π．则下列直线中，()y f x =图象的对称轴是（ ） A ．6x π=-B ．12x π=C ．3x π=D ．512x π=6．如图,O 是坐标原点,M ,N 是单位圆上的两点,且分别在第一和第三象限,则|OM ON +|的范围为( )A ．B ．[0,2)C ．D ．[1,2)7．设,,a b c ∈R ，且a b <，则下列不等式一定成立的是（ ） A ．ln ln a b < B ．e e a b --> C ．22ac bc <D ．3355a b >8．从1，2，3，4，5中先后选两个不同的数，第一个数记为a ，第二个数记为b ，记事件A 为“a 是奇数”，事件B 为“5a b +≤”，则()P B A =（ ）． A ．13B ．512C ．12D ．49二、多选题9．已知函数e,e (),1e x x f x a b x x x -≥⎧⎪=⎨⎛⎫-+<< ⎪⎪⎝⎭⎩的最小值为0，（e 为自然常数，e 2.71818=⋅⋅⋅），则下列结论正确的是（ ）A ．若()1,0a ∈-，则e eab ≥+B ．若()0,1a ∈，则1b a ≤+C ．若()2,e a ∈-∞-，则22e e a b <--D ．若()2e ,a ∞∈+，则1b a ≥+10．已知正实数x ，y ，z 满足425100==x y z ，则下列正确的选项有（ ） A ．xy z =B ．111x y z+=C ．x y z +=D ．xz yz xy +=11．椭圆C ：2211612x y +=的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 在椭圆上且异于长轴端点，点M ，N 在△PF 1F 2所围区域之外，若1=0MP MF ⋅，2=0NP NF ⋅则|MN |的可能取值为（ ） A ．4B ．5C ．6D ．712．已知两个等差数列{}n a 和{}n b ，其公差分别为1d 和2d ，其前n 项和分别为n S 和n T ，则下列说法正确的是（ ）A．若为等差数列，则112d a = B ．若{}n n S T +为等差数列，则120d d +=C ．若{}n n a b 为等差数列，则120d d ==D ．若*n b N ∈，则{}n b a 也为等差数列，且公差为12d d三、填空题13．若tan 2α=，则3cos 4sin 4παπα⎛⎫+ ⎪⎝⎭=⎛⎫- ⎪⎝⎭______. 14．已知双曲线()221112211:10,0x y C a b a b -=>>与()222222222:10,0y x C a b a b -=>>有相同的渐近线，若1C 的离心率为2，则2C 的离心率为__________. 15．已知函数()21x m f x x +=+在区间[]0,1上的最大值为52，则实数m 的值为______．四、双空题16．设函数11,0()2(2),0xx f x f x x ⎧⎛⎫-≤⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪->⎩与()log (1)a g x x =-(1)a .①(2019)f 的值为_______；②若函数()()()h x f x g x =-恰有3个零点，则实数a 的取值范围是___________.五、解答题17．已知等比数列{}n a 的各项均为正数，{}n a 的前n 项和为n S ，且2329,43n na S a a +=-=. (1)求{}n a 的通项公式；(2)设311232log 1,3n n n n n n n b b S c a b b +++⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，记{}n c 的前n 项和为n T ，证明：13n T <18．现有下列三个条件： ①函数()f x 的最小正周期为π；②函数()f x 的图象可以由sin cos y x x =-的图象平移得到； ③函数()f x 的图象相邻两条对称轴之间的距离2π. 从中任选一个条件补充在下面的问题中，并作出正确解答.已知向量()3sin ,cos 2x x m ωω=，()2cos ,1n x ω=与0ω>，函数()f x m n =⋅.且满足_________.（1）求()f x 的表达式，并求方程1f x 在闭区间[]0,π上的解；（2）在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c.已知()3cos cos a c B b C -=，22C f ⎛⎫= ⎪⎝⎭求cos A 的值.19．如图，在四棱锥P ABCD -中，ABCD 是边长为2的菱形，且E ，F分别是,BC PC 的中点．(1)证明：平面PAD ⊥平面DEF ． (2)求二面角A PB C --的大小．20．在一次抗洪抢险中，准备用射击的方法引爆从河上游漂流而下的一巨大汽油罐.已知只有5发子弹备用，且首次命中只能使汽油流出，再次命中才能引爆成功.每次射击命中率都是23，每次命中与否互相独立.求： (1)直到第3次射击汽油才流出的概率； (2)直到第3次射击汽油罐才被引爆的概率； (3)汽油罐被引爆的概率.21．已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左、右顶点分别为1A 和2A ，且124A A =，椭圆C 的一条以11,2⎛⎫ ⎪⎝⎭为中点的弦所在直线的方程为3240x y +-=. (1)求椭圆C 的方程；(2)点P 为直线4x =上一点，且P 不在x 轴上，直线1PA ，2PA 与椭圆C 的另外一个交点分别为M ，N ，设12PA A △，PMN 的面积分别为1S 和2S ，求12S S 的最大值，并求出此时点P 的坐标. 22．已知()3sin f x x ax x =+-.(1)当16a =时，则求证：函数()f x 在R 上单调递增； (2)若()f x 只有一个零点，求a 的取值范围.参考答案与解析1．C【分析】先化简集合B ，再根据集合交集定义即可求出答案．【详解】由题意，{1B x x =<或1}x >，{01A B x x ∴⋂=<<或1}x >． 故选：C ． 2．B【分析】利用复数的三角形式以及复数的四则运算化简复数z ，利用复数的模长公式可求得z 的值. 【详解】解：由i e cos isin θθθ=+，得i 2022e cos2022isin2022cos0isin01πππ⋅=+=+=()()()()221i 1i 1i i 1i 1i 1i 2---===-+-+，所以，i?20221i e1i 1i z π-=-=++所以z 故选：B. 3．A【分析】根据题意，结合焦半径公式得()4,2P ±，再计算PQ 即可. 【详解】解：由题知抛物线2:8C x y =的焦点为()0,2F 因为()0,6Q ，所以4PF QF == 因为点P 在C 上所以，由焦半径公式得42P PF QF y ===+，解得2P y =所以()4,2P ± PQ =. 故选：A 4．D【解析】利用抽样比求解【详解】设该样本中获得A 或B 等级的学生人数为x ，则1540110200100x x +=∴= 故选：D【点睛】本题考查分层抽样的定义与应用，考查计算能力，是基础题 5．B12x π=，其它直线均不是函数图象的对称轴.故选：B6．A【分析】设OM ON 和的夹角为θ，θ∈π,π2⎛⎤⎥⎝⎦，则cos θ∈[﹣1，0），|OM ON +|2=22OM ON ++2·OM ON=2+2cos θ即可．【详解】设,OM ON 的夹角为θ,θ∈π,π2⎛⎤⎥⎝⎦,则cos θ∈[-1,0),|OM ON +|2=22OM ON ++2·OM ON=2+2cos θ∈[0,2),故|OM ON +|的范围为.答案A【点睛】本题考查了向量模的取值范围的求解，转化为三角函数求最值，属于基础题．解决向量的小题常用方法有：数形结合，向量的三角形法则，平行四边形法则等；建系将向量坐标化；向量基底化，选基底时一般选择已知大小和方向的向量为基底． 7．B【分析】根据不等式的性质和对数函数，指数函数，幂函数的单调性即可求解. 【详解】对于A ，当0a b <<，对数ln ,ln a b 没有意义，故选项A 错误； 对于B ，因为a b <，则a b ->-，所以e e a b -->，故选项B 正确； 对于C ，当0c 时，则22ac bc =，故选项C 错误；对于D ，因为幂函数35y x =在(0,)+∞上单调递增，只有当0a b >>时，则才有3355a b >，故选项D 错误 故选：B . 8．B【分析】由列举法可得答案．【详解】由题知，AB 表示“第一个数字是奇数且取到的两数之和不大于5” 分别有共5种情况 即()5AB Ω=，又()12A Ω=，所以()()()512AB P B A A Ω==Ω．故选：B. 9．AD【分析】由已知得当1e x <<时，则()min 0f x ≥，对于AC ，当a<0时，则()a f x b x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭为()1,e 上的减函数，则()0e f ≥，代入解不等式得解；对于BD ，当0a >时，则由对勾函数ay x x =+在(x ∈上单调递减，在)x ∈+∞上单调递增，判断()a f x b x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭的单调性，求出最小值即可判断. 【详解】由函数e,e(),1e x x f x a b x x x -≥⎧⎪=⎨⎛⎫-+<< ⎪⎪⎝⎭⎩的最小值为0 当e x ≥时，则()e 0f x x =-≥，即[)()0,f x ∈+∞故当1e x <<时，则()a f x b x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭的值域为[)0,∞+的子集，即()min 0f x ≥对于AC ，当a<0时，则()a f x b x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭为()1,e 上的减函数又()()min e e e a f b f x ⎛⎫=-+ ⎝=⎪⎭，则e 0e a b ⎛⎫-+≥ ⎪⎝⎭，即e e a b ≥+，故A 正确，C 错误；当0a >时，则对勾函数ay x x=+在(x ∈上单调递减，在)x ∈+∞上单调递增 对于B ，当()0,1a ∈时，则对勾函数ay x x=+在()1,e 上单调递增 则函数()a f x b x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭在()1,e 上单调递减，由A 知e e a b ≥+，故B 错误；对于D ，当()2e ,a ∞∈+时，则对勾函数a y x x=+在()1,e 上单调递减则函数()a f x b x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭在()1,e 上单调递增，又()()11f b a =-+则()10b a -+≥，即1b a ≥+，故D 正确； 故选：AD 10．BD【分析】设4251001x y z m ==>=，把指数式改写为对数式，利用对数的运算法则判断． 【详解】设4251001x y z m ==>=，则4log x m =，25log y m =和100log z m = 所以111log 4log 25log 100m m m x y z+=+==．所以xy xz yz =+．故选：BD ． 11．ABC【分析】先由1=0MP MF ⋅，2=0NP NF ⋅判断出M 、N 分别落在以A 、B 为圆心的圆上，借助于几何关系分析得到，当直线AB 与两圆的交点（△PF 1F 2所围区域之外）分别为M 、N 时，则|MN|最大，利用几何关系可求|MN|范围，即得.【详解】设PF 1、PF 2的中点分别为A 、B ，则AB ∥F 1F 2 ∵1=0MP MF ⋅ 2=0NP NF ⋅ ∴1MP MF ⊥ 2NP NF ⊥∴M 、N 分别落在以A 、B 为圆心的圆上，如图：则直线AB 与两圆的交点（△PF 1F 2所围区域之外）分别为M 、N 时，则|MN|最大 此时：||=||||||MN MA AB BN ++=||||||A AB N P P ++12||||=||2F PF B P A ++a c =+42=+= 6∴||(0,6]MN ∈. 故选：ABC. 12．ABD【分析】对于A ，利用= 对于B ，利用()2211332S T S T S T +=+++化简可得答案； 对于C ，利用2211332a b a b a b =+化简可得答案； 对于D ，根据112n n b b a a d d +-=可得答案.【详解】对于A ，因为为等差数列，所以即化简得()21120d a -=，所以112d a =，故A 正确；对于B ，因为{}n n S T +为等差数列，所以()2211332S T S T S T +=+++ 所以()11121111122223333a d b d a b a d b d +++=+++++ 所以120d d +=，故B 正确；对于C ，因为{}n n a b 为等差数列，所以2211332a b a b a b =+ 所以11121111122()()(2)(2)a d b d a b a d b d ++=+++ 化简得120d d =，所以10d =或20d =，故C 不正确；对于D ，因为11(1)n a a n d =+-，且*n b N ∈，所以11(1)n b n a a b d =+-()112111a b n d d =++--⎡⎤⎣⎦所以()()1111211n b a a b d n d d =+-+-所以()()()11111211112111n n b b a a a b d nd d a b d n d d +-=+-+-----12d d = 所以{}n b a 也为等差数列，且公差为12d d ，故D 正确. 故选：ABD【点睛】关键点点睛：利用等差数列的定义以及等差中项求解是解题关键. 13．3-【分析】首先根据两角和，差公式化简，再根据sin ,cos αα的齐次分式化简求值.【详解】)3cos cos sin cos sin 4sin cos sin 4παααααπααα⎛⎫++ ⎪+⎝⎭==--⎛⎫- ⎪⎝⎭上下除以cos α得1tan 123tan 121αα++-=-=---.故答案为：-3【点睛】本题考查三角恒等变换，sin ,cos αα的齐次分式，属于基础题型，本题的关键是熟练掌握公式，并能灵活应用. 14【分析】根据两双曲线有相同的渐近线，可得到1212b a a b =，再利用1C 的离心率为2，可推得222()3a b =，从而利用双曲线的离心率的平方可求得答案.【详解】双曲线()221112211:10,0x y C a b a b -=>>的渐近线方程为11b y x a =± ()222222222:10,0y x C a b a b -=>>的渐近线方程为22a y x b =±由题意可得1212b a a b = 由1C 的离心率为2得：22211121()b e a ==+ ，则222()3a b = 所以设2C 的离心率为2e ，则22222141()133b e a =+=+=故2=e15．52当2m =时，则()2f x =不成立；当20m ->，即m>2时，则()f x 在[0,1]递减，可得(0)f 为最大值 即05(0)12m f +==，解得52m =，成立； 当20m -<，即2m <时，则()f x 在[0,1]递增，可得()1f 为最大值 即()1f 2522m +==，解得3m =，不成立； 综上可得52m =． 故答案为：52.16． 1【解析】①根据分段函数()f x 的解析式，求得()2019f 的值. ②求得()f x 的部分解析式，由此画出()f x 和()g x 两个函数图象，根据两个函数图象有3个交点，确定a 的取值范围.【详解】①()()()11201920171112f f f -⎛⎫===-=-= ⎪⎝⎭.②当02x <≤时，则220x -<-≤，所以()()21212x f x f x -⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭.当24x <≤时，则022x <-≤，所以()()41212x f x f x -⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭.当46x <≤时，则224x <-≤，所以()()61212x f x f x -⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭.当68x <≤时，则426x <-≤，所以()()81212x f x f x -⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭.画出()f x 和()g x 两个函数图象如下图所示，由()log 413,a a -=()log 613,a a -==.由图可知，当两个函数图象有3个交点，也即函数()()()h x f x g x =-恰有3个零点时，则a 的取值范围是故答案为：（1）1；（2）【点睛】本小题主要考查分段函数求函数值，考查分段函数解析式的求法，考查分段函数的图象与性质，考查函数零点问题的求解策略，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题.17．(1)3nn a =；(2)证明见解析.【分析】(1) 设数列{}n a 的公比为q ，由29n na a +=，可得3q =，再由3243S a -=，可得29a =，即可得数列{}n a 的通项公式；(2)由题意可得()331,2nn n S b n =-=，()111313n n n c n n +=-⋅+⋅从而可得()111313n n T n +==-+⋅，又由()11013n n +>+⋅，即可得13n T <. 【详解】（1）解：设数列{}n a 的公比为q 则229n na q a +== 因为{}n a 是各项均为正数的等比数列 所以3q = 由3243S a -= 得222243a a qa a q++-= 解得29a =所以223n nn a a q -=⋅=.（2）证明：由（1）知()()11331323,31,log 1log 3123nnn n n n a q a S b S n q-⎛⎫===-=+== ⎪-⎝⎭.()()111123231113313n n n n n n n n b n c a b b n n n n ++++++===-+⋅+⋅.()()1222311111111113232333313313n n n n n T c c c n n n ++=+++=-+-++-=-⨯⨯⨯⋅+⋅+⋅ 因为()11013n n +>+⋅所以()11113133n n +-<+⋅ 即13n T <.18．（1）不能选② ()2sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，0x =或3x π=或x π=；（2【分析】（1）根据向量数量积坐标运算公式求得()f x m n =⋅2sin 26x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，根据其性质，可以判断不可能选②，结合①③的条件，可以求得1ω=，得到函数解析式，根据三角函数值以及角的范围，确定出方程的解；（2）结合（1），求得3C π=，根据正弦定理以及题中条件，求得1cos 3B =，根据平方关系求得sin B = 结合诱导公式以及三角形内角和，求得cos A 的值. 【详解】（1）因为()3sin ,cos 2x x m ωω=和()2cos ,1n x ω=所以()3sin 2cos cos2f x m n x x x ωωω=⋅=⋅+2cos 22sin 26x x x πωωω⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭.若满足条件①：22T ππω==，所以1ω=，故()2sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.因为sin cos 4y x x x π⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭无法由sin cos y x x =-的图象经过平移得到()2sin 26f x x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，因此不能选②.若满足条件③：因为22T π=，所以22T ππω==，故1ω=，即()2sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.综上，无论选条件①或③，所求()2sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.又()3cos cos a c B b C -=，由正弦定理sin sin sin a b cA B C== 得()sin sin cos sin 3cos A C B B C -=整理得()3sin cos sin cos cos sin sin sin A B B C B C B C A =+=+=. 因为()0,A π∈，所以sin 0A ≠，所以1cos 3B =.又()0,B π∈，得sin 3B ===所以()()cos cos cos si co n s s s in co B C B A B C B C C π=-+=-+=-+⎡⎤⎣⎦1132=-⨯=19．(1)证明见解析 (2)3π4【分析】（1）取AD 的中点G ，连接PG 、BG 、BD ，由线线垂直证AD ⊥平面PGB ，即可依次证AD PB ⊥与AD EF ⊥和AD ⊥平面DEF ，平面PAD ⊥平面DEF（2）HG GB ⊥于G ，建立空间直角坐标系G xyz -如图所示，由向量法求二面角即可. 【详解】（1）证明：取AD 的中点G ，连接PG 、BG 、BD 由E ，F 分别是,BC PC 的中点得EF PB ∥由ABCD 是边长为2的菱形，且60DAB ∠=︒得ABD △、CBD △为正三角形由PA PD ==PG AD ⊥，又,PGBG G PG BG 、平面PGB ，∴AD ⊥平面PGB∵PB ⊂平面PGB ，∴AD PB ⊥，∴AD EF ⊥ ∵,EFDE E EF DE 、平面DEF ，∴AD ⊥平面DEF∵AD ⊂平面PAD ，∴平面PAD ⊥平面DEF .（2）作HG GB ⊥于G ，交PB 于H ，∵AD ⊥平面PGB ，则可建立空间直角坐标系G xyz -如图所示. 在PBG △中21013,213,32PGGB PB ，由余弦定理得31896cos 32332PBG∴263sin 133PBG 23tan 26PBG ∴26322HG . 故()()()()661,0,0,,,,1,0,,0,3,,2,0,022A B C H AH BH BC ⎛⎛⎫⎛⎫-=-=-=- ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭设平面PAB 、平面PCB 的法向量分别为()(),,,,,n x y z m a b c ==，则有 200,3030m BC a n AH x z m BH n BH z ⎧⎧⋅=-=⋅=-=⎪⎪⎪⎨⎨⋅=-=⎪⎪⋅=-=⎩⎪⎩，令2,2z b，则有()()3,1,2,0,2,2n m ==故二面角A PB C --的余弦值322cos ,266m n m nm n由图可知，二面角A PB C --所成平面角为钝角，∴二面角A PB C --的大小为3π4.20．(1)227； (2)827； (3)232243.【分析】（1）每次命中与否互相独立，由题意知本题符合独立重复试验的条件，根据独立重复试验的公式求解概率；（2）每次命中与否互相独立，由题意知本题符合独立重复试验的条件，根据独立重复试验的公式求解概率； （3）油罐被引爆的对立事件是油罐不被引爆，油罐不被引爆包括五发子弹都没有击中，五发子弹中只有一发击中，两种情况，这两种情况是互斥的，根据对立事件和互斥事件的概率公式得到结果. 【详解】（1）由已知，每次射击命中率都是23，且每次命中与否互相独立 设直到第3次射击汽油才流出的事件为A所以，直到第3次射击汽油才流出的概率()112233327P A =⨯⨯=；（2）由已知，每次射击命中率都是23，且每次命中与否互相独立 设直到第3次射击汽油罐才被引爆的事件为B所以，直到第3次射击汽油罐才被引爆的概率()2128233327P B =⨯⨯⨯=；（3）记“油罐被引爆”的事件为事件C ，其对立事件为C ，油罐不被引爆包括五发子弹都没有击中，五发子弹中只有一发击中这两种情况则()451521111C 333243P C ⎛⎫⎛⎫=⨯⨯+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭根据对立事件的概率得到()()1123211243243P P C C =-=-= 即油罐被引爆的概率为232243. 21．(1)22143x y += (2)43()4,3P ±【分析】（1）由点差法得出2234b a =，进而由1224A A a ==得出椭圆C 的方程； （2）设()()4,0P t t ≠，()11,M x y 和()22,N x y ，联立直线1PA （2PA ）与椭圆方程，求出1y 和2y ，再由面积公式结合相似三角形的性质得出()()()2212222739t t S S t ++=+，令29m t =+，由二次函数的性质得出12S S 的最大值以及点P 的坐标.【详解】（1）设()11,A x y ，()22,B x y 则22112222222211x y a b x y a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩ 两式相减得，()()()()12121212220x x x x y y y y a b +-+--=所以2121221212y y y y b x x x x a -+⋅=--+ 即2222AB y b k x a ⋅=-中中 即223122b a-⋅=- ∴2234b a =又1224A A a ==，所以2a =和b =所以椭圆C 的方程为22143x y +=. （2）设()()4,0P t t ≠，()11,M x y 和()22,N x y 则1PA ：()26ty x =+和2PA ：()22t y x =- 联立22623412x y t x y ⎧=-⎪⎨⎪+=⎩，消去x 得()2212182718027t t y ty y t +-=⇒=+同理，联立22223412x y t x y ⎧=+⎪⎨⎪+=⎩，消去x 得()222263603t t y ty y t -++=⇒=+所以121212121sin 0021sin 2PA PA P PA PA S t t S PM PN t y t y PM PN P ∠--==⋅=⋅--∠ ()()()22222222731869273t t t t t t t t t t ++==-⎛⎫⎛⎫+-- ⎪⎪++⎝⎭⎝⎭. 令299m t =+>，则()()2212221861210811110812109m m S m m S m m m m m +-+-⎛⎫⎛⎫===-++<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭当且仅当()112110,2108189m ⎛⎫=-=∈ ⎪⨯-⎝⎭，即18m =，即3t =±时，则12S S 取得最大值43.综上所述，当()4,3P ±时，则12S S 取得最大值43. 22．(1)证明见解析 (2)(]1,0,6⎡⎫-∞⋃+∞⎪⎢⎣⎭【分析】（1）当16a =时，则()31sin 6f x x x x =+-分别求()f x '、()f x ''与()f x '''，结合()00f ''= ()00f '=可判断()()00f x f ''≥=恒成立，即可求证；（2）先证明()f x 为奇函数，()00f =，只需证明()f x 在()0,∞+上无零点，由（1）知31sin 6x x x ->-，若()3016f x a x ⎛⎫>- ⎪⎝≥⎭可知16a ≥符合题意，再讨论0a ≤，106a <<利用单调性以及零点存在性定理即可求解. 【详解】（1）当16a =时，则()31sin 6f x x x x =+- ()21cos 12f x x x '=+- ()sin f x x x ''=- ()1cos 0f x x '''=-≥所以()sin f x x x ''=-在R 上单调递增，且()00f ''= 所以当0x <时，则()0f x ''<；当0x >时，则()0f x ''> 所以()21cos 12f x x x '=+-在(),0∞-上单调递减，在()0,∞+上单调递增，且()00f '= 所以()()00f x f ''≥=，所以()31sin 6f x x x x =+-在R 上单调递增；（2）因为()()()33sin sin f x x ax x x ax x f x -=--+=-+-=-所以()f x 为奇函数，()00f =要证明()f x 只有一个零点，只需证明()f x 在()0,∞+上无零点 由（1）知：当0x >时，则()()00f x f >=，故31sin 6x x x ->-令()3016f x a x ⎛⎫>- ⎪⎝≥⎭，则16a ≥时，则()f x 无零点，符合题意当0a ≤时，则()2cos 31cos 10f x x ax x '=+-≤-≤故()f x 在()0,∞+上单调递减，则()()00f x f <=，()f x 无零点，符合题意 当106a <<时，则()2cos 31f x x ax '=+-，()sin 6f x x ax ''=-+和()cos 6f x x a '''=-+ 所以()f x '''在()0,π上单调递增，且()0610f a '''=-< ()π610f a '''=+> 故存在唯一()00,πx ∈，使得()00f x '''=所以()f x ''在()00,x 上单调递减，在()0,πx 上单调递增当()00,x x ∈时，则()()00f x f ''<=，可得()f x 在()00,x 上单调递减 所以()()000f x f <=取πx k =，N k *∈时，则令()()3210f x ax x x ax =-=->可得x>k >N k *∈时，则()0f x >由零点存在性定理，()f x 在()0,x +∞上至少存在一个零点，不符合题意 综上所述：a 的取值范围为(]1,0,6⎡⎫-∞⋃+∞⎪⎢⎣⎭【点睛】利用导数研究函数单调性的方法： （1）确定函数()f x 的定义域；求导函数()f x '，由0f x（或()0f x '<）解出相应的x 的范围，对应的区间为()f x 的增区间（或减区间）；（2）确定函数()f x 的定义域；求导函数()f x '，解方程()0f x '=，利用()0f x '=的根将函数的定义域分为若干个子区间，在这些子区间上讨论()f x '的正负，由符号确定()f x 在子区间上的单调性.。

高三数学下学期毕业班联考试卷一理含解析 试题

高三数学下学期毕业班联考试卷一理含解析 试题

卜人入州八九几市潮王学校十二重点2021届高三下学期毕业班联考〔一〕数学〔理〕试题本套试卷分第一卷〔选择题〕和第二卷〔非选择题〕两局部.一共150分.考试时间是是120分钟．第一卷选择题(一共40分)本卷须知：2．第一卷每一小题在选出答案以后，需要用2B铅笔把答题卡上对应之答案标号涂黑；参考公式：·假设事件、互斥，那么柱体的体积公式.其中表示柱体的底面积,表示柱体的高.一、选择题：本大题一一共8小题，每一小题5分，总分值是40分．1.集合等于〔〕A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】求出M中y的范围确定出M，求出N中x的范围确定出N，找出M与N的交集即可．【详解】由y=ln(x2+1)⩾0，得到M=[0，+∞)，由N中2x<4=22，得到x<2，即N= (−∞,2)，那么M∩N=[0，2)，应选：C【点睛】此题考察了交集及其运算，纯熟掌握交集的定义是解此题的关键．2.设变量满足约束条件{x−y+1≤02x+3y−6≥03x−2y+6≥0，那么目的函数z=x−2y的最大值为〔〕A.−6639B.−135C.−2D.2【答案】B 【解析】 【分析】先作出不等式对应的可行域，再利用数形结合分析得到目的函数z =x −2y 的最大值. 【详解】作出不等式组的可行域如下列图， 由题得目的函数为y =12x −z2，直线的斜率为12，纵截距为−z2， 当目的函数经过点A(35,85)时，纵截距−z2最小，z 最大.所以z max =35−2⋅85=−135. 故答案为：B【点睛】此题主要考察线性规划求最值，意在考察学生对这些知识的理解掌握程度和数形结合分析推理才能. 3.p ：∀x ∈R,x 2+x <0，那么¬p ：∃x ∈R,x 2+x >0； p ：|2x −1|≤1q ：11−x >0，那么p 是q 成立的充分不必要条件；③在等比数列{b n }中，假设b 5=2，b 9=8，那么b 7=±4； ) A.0 B.1C.2D.3【答案】A 【解析】 【分析】 .【详解】p ：∀x ∈R,x 2+x <0，那么¬p ：∃x ∈R,x 2+x ≥0pq ：x ＜1，那么p 是q③在等比数列{b n }中，假设b 5=2，b 9=8，那么b 7=±4，但是等比数列的奇数项都是同号的，所以要舍去-4,所以b 7=4 应选:A 【点睛】.4.如图是一个算法流程图，那么输出的k 的值是() A.2 B.3 C.4 D.5【答案】B 【解析】 【分析】分析程序中的变量，语句的作用，根据流程图的顺序，即可得出答案. 【详解】由题意提供的算法流程图中的算法程序可知 当S=1，k=1时，S=2<10，k=2； 当S=2，k=2时，S=6<10，k=3； 当S=6，k=3时，S=15>10， 此时运算程序完毕，输出k=3 应选B.【点睛】此题主要考察了程序框图，属于简单题. 5.将函数y =cos （2x −π6）的图象向左平移φ(0<φ<π)的单位后，得到函数y =cos(2x +π3)的图象，那么φ等于〔〕 A.π3B.π6C.π2D.π4【解析】【分析】将函数y=cos（2x−π6）的图象向左平移φ(0<φ<π)的单位后，得到函数y=cos[2(x+φ)−π6]=cos（2x+2φ−π6）,所以2φ−π6=2kπ+π3,k∈z，解之即得解.【详解】将函数y=cos（2x−π6）的图象向左平移φ(0<φ<π)的单位后，得到函数y=cos[2(x+φ)−π6]=cos（2x+2φ−π6）,所以2φ−π6=2kπ+π3,k∈z，因为0<φ<π，所以k=0时，φ=π4.应选：D【点睛】此题主要考察三角函数图像的变换和三角函数的图像和性质，意在考察学生对这些知识的理解掌握程度和分析推理才能.6.a=log130.60.3,b=log1214,c=log130.50.4,那么实数a,b,c的大小关系为〔〕A.c<a<bB.b<a<cC.a<c<bD.c<b< a【答案】C【解析】【分析】先化简得到b=2,再分析得到a<c,再证明c<2，即得解.【详解】由题得b=log1214=2，因为0.60.3>0.60.4>0.50.4，∴log130.60.3<log130.50.4，log130.50.4=0.4log130.5<0.4log1313=0.4，所以a<c<b.【点睛】此题主要考察对数函数指数函数幂函数的图像和性质，意在考察学生对这些知识的理解掌握程度和分析推理才能. 7.双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)，过原点的直线与双曲线交于A,B 两点，以AB 为直径的圆恰好过双曲线的右焦点C ，假设ΔABC 的面积为2a 2，那么双曲线的渐近线方程为〔〕 A.y =±√22xB.y =±√2xC.y =±√33xD.y =±√3x【答案】B 【解析】 【分析】根据以AB 为直径的圆恰好经过双曲线的右焦点C ，得到以AB 为直径的圆的方程为x 2+y 2=c 2，根据三角形的面积求出B 的坐标，代入双曲线方程进展整理即可得解．【详解】∵以AB 为直径的圆恰好经过双曲线的右焦点C ，∴以AB 为直径的圆的方程为x 2+y 2=c 2，由对称性知ΔABC 的面积S =2S ΔOBC =2×12cℎ=cℎ=2a 2，即ℎ=2a 2c，即B 点的纵坐标为y =2a 2c，那么由x 2+(2a 2c)2=c 2，得x 2=c 2−(2a 2c)2=c 2−4a 4c 2，因为点B 在双曲线上， 那么c 2−4a 4c 2a 2−4a 4c 2b 2=1，即c 2a 2−4a 2c 2−4a 4c 2(c 2−a 2)=1， 即c 2a 2−4a 2c 2(1+a 2c 2−a 2)=1， 即c 2a 2−4a 2c 2·c 2c 2−a 2=1，即c2a2−4a2c2−a2=1，即c2a2−1=4a2c2−a2=c2−a2a2，得4a4=(c2−a2)2，即2a2=c2−a2，得3a2=c2，得c=√3a，b=√2a.那么双曲线的渐近线方程为y=±bax=±√2x.应选：B【点睛】此题主要考察双曲线的几何性质，考察圆的方程，意在考察学生对这些知识的理解掌握程度和分析推理计算才能.8.函数f(x)={|log3(2−x)|,x<2−(x−3)2+2,x≥2，g(x)=x+1x−1，那么方程f(g(x))=a的实根个数最多为〔〕A.6B.7C.8D.9【答案】C【解析】【分析】先求出函数g(x)的值域，再令g(x)=t换元得到f(t)=a,作出函数f(x)的图像，数形结合观查分析得到方程f(g(x))=a的实根个数最多为8.【详解】由题得函数g(x)=x+1x−1的值域为[1,+∞)∪(−∞,−3]，设g〔x〕=t(t∈[1,+∞)∪(−∞,−3]),作出函数f(x)的图像为：所以f(t)=a,当1≤a≤2时，直线和图像交点个数最多，有四个交点，也就是t有四个实根.且一个t≤-1，有三个t＞1.因为函数g(x)=x +1x−1在〔0,1〕〔-1,0〕单调递减，在〔1，+∞〕，〔-∞，-1〕单调递增. 所以g(x)=t,当t 在[1,+∞)∪(−∞,−3]每取一个t 值时，x 都有两个值和它对应，因为t 最多有4个根，所以x 最多有8个解. 应选:C【点睛】此题主要考察函数的图像和性质的综合应用，考察利用函数的图像研究零点问题，意在考察学生对这些知识的理解掌握程度和数形结合分析推理才能.第二卷非选择题(一共110分)二、填空题：本大题一一共6小题，每一小题5分，一共30分.把答案填在答题卡中的相应横线上. 9.假设z =1+2i ，且(a +bi)⋅z =8−i ，那么a ⋅b =__________． 【答案】6 【解析】 【分析】 先化简得{a +2b =8b −2a =−1，解方程即得a,b 的值，即得解.【详解】由题得〔a+bi 〕(1-2i)=8-i,化简得a+2b+(b-2a)i=8-i, 即{a +2b =8b −2a =−1,∴a =2,b =3,∴a ⋅b =6.故答案为：6【点睛】此题主要考察复数的运算和复数相等的概念，意在考察学生对这些知识的理解掌握程度和分析推理才能.10.a =∫sinxdx π0，那么(ax +√x)5的二项展开式中，x 2的系数为__________． 【答案】80 【解析】 【分析】由题得a=2,再利用二项式展开式的通项求出x2的系数.【详解】由题得a=(−cosx)|0π=2，所以(ax+√x )5=(2x+√x)5，设二项式展开式的通项为T r+1=C5r(2x)5−r(√x)r=C5r⋅25−r x5−32r，令5−32r=2,∴r=2,所以x2的系数为C5223=80.故答案为：80【点睛】此题主要考察定积分的计算和二项式展开式的某一项的系数的求法，意在考察学生对这些知识的理解掌握程度和分析推理计算才能.11.圆柱的高和底面半径均为2，那么该圆柱的外接球的外表积为_____________．【答案】20π【解析】【分析】设球的半径为r,由题得r2=12+22，再求圆柱外接球的外表积.【详解】设球的半径为r,由题得r2=12+22=5，∴S球=4π⋅5=20π.故答案为：20π【点睛】此题主要考察圆柱外接球外表积的计算，意在考察学生对这些知识的理解掌握程度和分析推理才能.12.直线：{x=aty=1−2t〔为参数〕，圆C：ρ=−4√2sin(θ+3π4)〔极轴与x轴的非负半轴重合，且单位长度一样〕，假设圆C上恰有三个点到直线的间隔为√2，那么实数a=__________．【答案】−4±2√6【解析】【分析】先求出直线的普通方程为2x+ay-a=0,再求出圆的方程为（x +2)2+(y −2)2=8，根据得到方程√4a 2=√2，解方程即得a 的值.【详解】由题得直线的方程为2x+ay-a=0,圆的方程为（x +2)2+(y −2)2=8， 因为圆C 上恰有三个点到直线的间隔为√2，所以√4a 2=√2，解之即得a=−4±2√6. 故答案为：−4±2√6【点睛】此题主要考察参数方程、极坐标与直角坐标的互化，考察直线和圆的位置关系，意在考察学生对这些知识的理解掌握程度和分析推理才能.13.x >0，y >0，√2是2x 与4y 的等比中项，那么1x +xy 的最小值为__________． 【答案】2√2+1 【解析】 【分析】先由得到x+2y=1,再对1x+xy 化简变形，再利用根本不等式求其最小值.【详解】由题得2x ⋅4y =2,∴2x+2y =2,∴x +2y =1. 所以1x +x y =x+2yx+x y =1+2y x+x y ≥1+2√2y x ⋅xy =1+2√2.当且仅当x =√2−1,y =2−√22时取等.所以1x +xy 的最小值为2√2+1. 故答案为：2√2+1 【点睛】此题主要考察根本不等式求最值，意在考察学生对这些知识的理解掌握程度和分析推理才能. 14.在等腰梯形ABCD 中，下底AB 长为4，底角A 为45∘，高为m ，Q 为折线段B −C −D 上的动点，AC ⃑⃑⃑⃑⃑ +AD ⃑⃑⃑⃑⃑ =2AE ⃑⃑⃑⃑⃑ 设AE⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅AQ ⃑⃑⃑⃑⃑ 的最小值为f (m )，假设关于m 的方程f (m )=km −3有两个不相等的实根，那么实数k 的取值范围为__________．【答案】(2√3+2,112)【解析】 【分析】建立直角坐标系，其中A(0,0),B(4,0),C(4-m,m),D(m,m),先对Q 的位置分类讨论得到f(m)=m 2+2m ，根据得到k =m +3m +2有两个不相等的实根，再利用导数和数形结合求得k 的取值范围.【详解】建立坐标系，其中A(0,0),B(4,0),C(4-m,m),D(m,m),所以AC⃑⃑⃑⃑⃑ +AD ⃑⃑⃑⃑⃑ =(4，2m)=2(2,m)=2AE ⃑⃑⃑⃑⃑ , 所以点E(2，m),且0＜m ＜2，又动点Q 为折线上B-C-D 上的点， ①Q 在CD 上时，Q(x Q ,m)，m ≤x Q ≤4−m,AE⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅AQ ⃑⃑⃑⃑⃑ =m 2+2x Q ≥m 2+2m ， ②Q 在BC 上时，Q(x Q ,4-x Q )，4-m ≤x Q ≤4,AE⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅AQ ⃑⃑⃑⃑⃑ =4m +(2−m)x Q ≥4m +(2−m)(4−m)=m 2−2m +8， 因为0＜m ＜2，所以m 2+2m <m 2−2m +8，∴f(m)=m 2+2m . 因为f (m )=km −3，所以k =m +3m+2，构造函数g(m)=m +3m+2(0<m <2)，函数在（0，√3）单调递减，在（√3，2）单调递增.所以g(√3)<k <g(2)，即k∈(2√3+2,112).故答案为：(2√3+2,112)【点睛】此题主要考察平面向量的坐标运算和数量积，考察导数求函数的单调性，考察导数研究函数的零点问题，意在考察学生对这些知识的理解掌握程度和分析推理才能.三、解答题：本大题6小题，一共80分．解容许写出必要的文字说明，证明过程或者演算步骤． 15.在ΔABC 中，内角A,B,C 所对的边分别为a,b,c ，2b(2b −c)cosA =a 2+b 2−c 2. 〔Ⅰ〕求角A 的大小；〔Ⅱ〕假设ΔABC的面积SΔABC=25√34，且a=5，求b+c.【答案】〔Ⅰ〕A=π3；〔Ⅱ〕10.【解析】【分析】〔Ⅰ〕利用余弦定理正弦定理对2b(2b−c)cosA=a2+b2−c2化简即得A=π3.〔Ⅱ〕先化简SΔABC=25√34得到bc=25,再利用余弦定理求得b2+c2=50，再求b+c的值.【详解】〔Ⅰ〕∵2b(2b−c)cosA=a2+b2−c2∴2b(2b−c)cosA2ab =a2+b2−c22ab，∴(2b−c)cosA=acosC，由正弦定理得∴(2sinB−sinC)cosA=sinAcosC，即∴2sinBcosA=sinCcosA+sinAcosC∴2sinBcosA=sinB，∵0<B<π∴sinB≠0，∴cosA=12,∵0<A<π∴A=π3.〔Ⅱ〕∵SΔABC=12bcsinA=25√34,∴bc=25,∵cosA=b2+c2−a22bc =b2+c2−252×25=12,∴b2+c2=50,∴(b+c)2=b2+c2+2bc=100,即b+c=10.【点睛】此题主要考察正弦定理余弦定理解三角形，考察三角形面积的计算，意在考察学生对这些知识的理解掌握程度和分析推理才能.16.“绿水青山就是金山银山〞，为推广生态环境保护意识，高二一班组织了环境保护兴趣小组，分为两组，讨论学习。

xxx届高三下学期高三第二次模拟联考数学(理)试题—含答案

xxx届高三下学期高三第二次模拟联考数学(理)试题—含答案

xxx届高三下学期高三第二次模拟联考数学（理）试题—含答案xxx学年度第二学期高三第二次模拟联考数学（理科）试卷年级班级姓名学号注意事项： 1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡，将条形码准确粘贴在条形码区域内。

2.选择题必须使用2B铅笔填涂，非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整，笔迹清楚。

3.请将答案写在答题卡各题目的答题区域内，超出答题区域书写的答案无效。

4.作图题可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。

5.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破弄皱，不准使用涂改液、修正带。

第Ⅰ卷一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的。

1.已知，则（） A . {1, 2} B. {1, 2, 3}C. {0, 1, 2}D. {1, 2, 3 , 4,} 2. 设复数满足，则复数所对应的点位于（） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 如下图的茎叶图为某次10名学生100米跑步的成绩（s），由茎叶图可知这次成绩的平均数，中位数，众数分别为( ) A． 51.952 60 B．52 54 60 C． 51.9 53 60 D．52 53 62 4. 已知随机变量服从正态分布，且，，等于（） A. 0.2 B． C． D． 5. 宋元时期数学名著《算学启蒙》中有关于“松竹并生”的问题：松长五尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等．如图是源于其思想的一个程序框图，若输入的a，b分别为5,2，则输出的n等于( ) A．4 B．2 C．3 D．5 6. 太极图是以黑白两个鱼形纹组成的图案，它形象化地表达了阴阳轮转、相反相成是万物生成变化根源的哲理，展现了一种相互转化、相对统一的形式美．按照太极图的构图方法，在平面直角坐标系中，圆被的图象分割为两个对称的鱼形图案，其中小圆的半径均为1，现在大圆内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率为（） A． B． C． D． 7. 若函数y＝a|x|(a>0，且a≠1)的值域为{y|y≥1}，则函数y＝loga|x|的图象大致是( ) A B C D 8. 已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( ) A． B. C. D.9. 设x，y满足约束条件，则的最大值为 A.B. C. -3 D. 3 10. 将函数的图象，向右平移个单位长度，再把纵坐标伸长到原来的2倍，得到函数，则下列说法正确的是（） A．函数的最小正周期为 B．是函数的一条对称轴 C．函数在区间上单调递增D．函数在区间上的最小值为 11. 定义平面上两条相交直线的夹角为：两条相交直线交成的不超过的正角．已知双曲线：，当其离心率时，对应双曲线的渐近线的夹角的取值范围为（） A． B． C． D． 12. 已知定义在R上的函数f(x)满足f(x－1)＝f(x＋1)，且当x∈[－1，1]时，，则( ) A． B． C． D．第Ⅱ卷二．填空题：本大题共4小题，每小题5分。

高三数学下学期模试题 理含解析 试题

高三数学下学期模试题 理含解析 试题

第二中学2021届高三数学下学期模试题 理〔含解析〕一、选择题：此题一共12小题，每一小题5分，一共60分.在每一小题给出的四个选项里面，只有一项是哪一项符合题目要求的.1.集合{}2|230A x x x =--<，{}2|log 2B x x =<，那么集合AB =( )A. {|14}x x -<<B. {|03}x x <<C. {|02}x x <<D. {|01}x x <<【答案】B 【解析】 【分析】分别根据二次不等式与对数不等式方法求解,A B 再求解即可.【详解】{}{}2|230=|13A x x x x x =--<-<<,{}{}2|log 2|04B x x x x =<=<<.故{|03}A B x x =<<.应选：B【点睛】此题主要考察了二次不等式与对数不等式的求解与交集的运算,属于根底题. 2.设复数z 满足||1z i +=，z 在复平面内对应的点为(,)x y ，那么( ) A. 22(1)1x y ++= B. 22(1)1x y -+= C. 22(1)1x y ++= D. 22(1)1y x +-=【答案】C 【解析】 【分析】根据模长的运算公式求解即可.【详解】由题, ||1x yi i ++=,故()|1|1x y i ++=,即22(1)1x y ++=.应选：C【点睛】此题主要考察了复数的几何意义与模长的公式等,属于根底题. 3.，131log 2b =，21log 3c =，那么〔 〕 A. a b c >>B. b c a >>C. c b a >>D.b ac >>【答案】A 【解析】试题分析：由指数函数，对数函数的性质，可知1231a =>，113311log ,0log 122b =<< 21log 03c =<，即a b c >>，选A 考点：指数函数，对数函数的性质4.某样本的容量为50，平均数为70，方差为75．现发如今搜集这些数据时，其中的两个数据记录有误，一个错将80记录为60，另一个错将70记录为90．在对错误的数据进展更正后，重新求得样本的平均数为x ，方差为2s ，那么 A. 270,75x s =<B. 270,75x s =>C. 270,75x s ><D.270,75x s <>【答案】A 【解析】 【分析】分别根据数据的平均数和方差的计算公式，求得2,x s 的值，即可得到答案．【详解】由题意，根据平均数的计算公式，可得7050806070907050x ⨯+-+-==，设搜集的48个准确数据分别记为1248,,,x x x ，那么()()()()()2222212481757070706070907050x x x ⎡⎤=-+-++-+-+-⎣⎦()()()2221248170707050050x x x ⎡⎤=-+-++-+⎣⎦， ()()()()()222222124817070708070707050s x x x ⎡⎤=-+-++-+-+-⎣⎦ ()()()222124817070701007550x x x ⎡⎤=-+-++-+<⎣⎦， 故275s <．选A ．【点睛】此题主要考察了数据的平均数和方差的计算公式的应用，其中解答中熟记数据的平均数和方差的公式，合理准确计算是解答的关键，着重考察了推理与运算才能，数根底题． 5.函数()sin()f x A x ωϕ=+(0A >,0>ω)的最小正周期为π,其图象关于直线3x π=对称,那么||ϕ的最小值为( ) A.12πB.6πC.56π D.512π 【答案】B 【解析】 由题意，得22T πω==，所以()sin(2)f x A x ϕ=+．因为函数()f x 的图象关于直线3x π=对称，所以232k ππϕπ⨯+=+()k ∈Z ，即6k ϕπ=π-()k ∈Z ，当0k =时，||ϕ获得最小值6π，应选B ． 点睛：求三角函数sin()y A x ωϕ=+的性质，不管是周期性、单调性、对称性还是求三角函数的最值，都要以三角函数sin y x =的性质为根底；另外在求解时要注意所给的范围和ϕ的取值．6.意大利著名数学家斐波那契在研究兔子的繁殖问题时，发现有这样的一列数：1，1，2，3，5，8，……，该数列的特点是：前两个数均为1，从第三数起，每一个数都等于它前面两个数的和，人们把这样的一列数所组成的数列{}n a 称为“斐波那契数列〞，那么()()()222132243354a aa a a a a a a -+-+-+()2201320152014a a a -=( )A. 1B. 0C. 1007D. 1006-【答案】A 【解析】 【分析】逐项求解再根据规律求和即可. 【详解】由题,213221211a a a =⨯-=-,232241321a a a =⨯-=--,235422531a a a =⨯-=-…易得{}221n n n a a a ++-为以1,1-为循环节的周期数列.所以()()()()2222132243354201320152014a aa a a a a a a a a a -+-+-++-=1111 (11)-+-++=. 应选：A【点睛】此题主要考察了数列的周期性,需要根据题意写出前几项发现规律再求和,属于中档题.7.变量,x y 满足2{20x y x y x -≥-+≥-≥，那么2z x y =-+的取值范围为〔 〕A. [2,2]-B. (,2)-∞-C. (,2]-∞D.[2,)+∞【答案】C 【解析】 【分析】作出不等式组表示的平面区域；作出目的函数对应的直线；结合图象知当直线过A 时，最大，从而得出目的函数z ＝﹣2x +y 的取值范围．【详解】解：画出变量x ，y 满足220x y x y x -≥-⎧⎪+≥-⎨⎪≥⎩表示的平面区域：将目的函数变形为z ＝﹣2x +y ，作出目的函数对应的直线， 直线过A 〔0，2〕时，直线的纵截距最大，z 最大，最大值为2； 那么目的函数z ＝﹣2x +y 的取值范围是〔﹣∞，2]． 应选：C ．8.三个向量a ，b ，c 一共面，且均为单位向量，0a b ⋅=，那么a b c +-的取值范围是〔 〕A. 221⎡⎤+⎣⎦B. 2⎡⎣C. 2,3⎡⎣D.21,1⎤⎦【答案】A 【解析】因为0a b ⋅=，所以222||22a b a a b b +=+⋅+=，所以||2a b +=，所以2||a b c +-＝22222()a b c a b a b c +++⋅-+⋅＝32()a b c -+⋅，那么当c 与()a b +同向时()a b c+⋅最大，2||a b c +-最小，此时()cos0a b c a b c +⋅=+︒=2||322a b c +-=-所以min ||a b c +-＝1；当c 与()a b +反向时()a b c +⋅最小，2||a b c +-最大，此时()a b c +⋅ ＝cos a b c π+=，2||322a b c +-=+，所以max ||21a b c +-=+，所以a b c +-的取值范围为1]，应选A ．9.双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，O 为坐标原点，P 是双曲线上在第一象限内的点，直线PO 、2PF 分别交双曲线C 左、右支于另一点M 、N ，122PF PF =，且260MF N ∠=，那么双曲线C 的离心率为〔 〕【答案】B 【解析】 【分析】利用定义求出14PF a =，22PF a =，根据双曲线的对称性可得12MF PF 为平行四边形，从而得出1260F PF ∠=，在12F PF ∆内使用余弦定理可得出a 与c 的等量关系，从而得出双曲线的离心率.【详解】由题意，122PF PF =，122PF PF a -=，14PF a ∴=，22PF a =. 连接1MF 、2MF ，根据双曲线的对称性可得12MF PF 为平行四边形，260MF N ∠=，1260F PF ∴∠=，由余弦定理可得2224164242cos60c a a a a =+-⋅⋅⋅，c ∴=，ce a∴== 应选B.【点晴】此题主要考察利用双曲线的简单性质求双曲线的离心率，属于中档题.求解与双曲线性质有关的问题时要结合图形进展分析，既使不画出图形，考虑时也要联想到图形，当涉及顶点、焦点、实轴、虚轴、渐近线等双曲线的根本量时，要理清它们之间的关系，挖掘出它们之间的内在联络.求离心率问题应先将e 用有关的一些量表示出来，再利用其中的一些关系构造出关于e 的等式，从而求出e 的值.此题是利用点到直线的间隔 等于圆半径构造出关于e 的等式，最后解出e 的值.()f x 是定义在R 上的偶函数，且当0x ≥时，()x f x e =．假设对任意的x [,1]a a ∈+，不等式2()()f x a f x +≥恒成立，那么实数a 的最大值是〔 〕． A. 32-B. 23-C. 34-D. 2【答案】C 【解析】 试题分析：是定义在上的偶函数，不等式恒成立等价为恒成立，当时，．不等式等价为恒成立，即在上恒成立，平方得即在上恒成立，设,那么满足即故实数的最大值是.应选C.考点：1.函数的奇偶性；2.恒成立问题.11.P ，A ，B ，C 是半径为2的球面上的点，O 为球心，2PA PB PC ===，90ABC ︒∠=，那么三棱锥O ABC -体积的最大值是( )A. 3B. 1C. 12D.34【答案】B 【解析】 【分析】画图分析可知O 到面ABC 的间隔 为定值,故只需求底面ABC 的面积最大值,再根据根本不等式的方法求解即可.【详解】如图,设PO 交平面ABC 于D .因为2PA PB PC ===,由球的对称性有PD ⊥底面ABC .又PB PO OB ==,PO DB ⊥.故1PD OD ==.3DB =,23AC =因为90ABC ︒∠=,所以111326O ABC V AB BC OD AB BC -=⨯⋅⨯=⋅. 又222122AB BC AC AB BC +==≥⋅.故6AB BC ⋅≤. 故116O ABC V AB BC -=⋅≤.当且仅当6AB BC ==时取等号.应选：B【点睛】此题主要考察了锥体外接球以及根据根本不等式求最值的问题,需要根据题意找到定量关系,利用根本不等式求最值,属于中档题. 12.函数1()ln 1x f x x x +=--，对于函数()f x 有下述四个结论：①函数()f x 在其定义域上为增函数；②对于任意的0a >，1a ≠，都有1()f a f a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭成立；③()f x 有且仅有两个零点；④假设()00f x =，那么ln y x =在点()00,ln x x 处的切线与xy e =在点001ln ,x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭处的切线为同一直线.其中所有正确的结论有( ) A. ①②③ B. ①③C. ②③④D. ③④【答案】C 【解析】 【分析】 (1)分别求()1,22f f ⎛⎫⎪⎝⎭即可断定(1)错误. (2)分别计算1f a ⎛⎫⎪⎝⎭判断是否等于()f a -即可. (3)数形结合分析函数ln y x =与11x y x +=-的交点个数即可. (4)分别根据导数的几何意义求解ln y x =在点()00,ln x x 处的切线与xy e =在点01ln ,x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭处的切线方程,再根据()00f x =断定即可. 【详解】(1) 1()ln 1x f x x x +=--的定义域为()()0,11,+∞.因为11112ln 3ln 2012212f +⎛⎫=-=-> ⎪⎝⎭-,()212ln 2ln 23021f +=-=-<-. 所以()122f f ⎛⎫> ⎪⎝⎭,所以()f x (1)错误. (2)因为0a >,1a ≠.所以110,1a a>≠. 所以()11111ln ln 111a a f a f a a a a a++⎛⎫=-=-+=- ⎪-⎝⎭-.故(2)正确.(3) 1()ln 1x f x x x +=--的零点即1ln 1x x x +=-的解的个数,即函数ln y x =与11x y x +=-的交点个数.画出图像可知,有两个交点,故(3)正确.(4)对于函数ln y x =,因为1'y x =,所以001'|x x y x ==,所以ln y x =在点()00,ln x x 处的切线方程为()0001ln y x x x x -=-,即001ln 1y x x x =+-.对于函数xy e =,'xy e =,所以00ln ln 01'|x x x y ex -=-==, 所以xy e =在001ln ,x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭处的切线方程为()00011ln y x x x x -=+, 即000ln 11x y x x x +=+.因为()00f x =,即0001ln 1x x x +=-,其中00x >且01x ≠,所以000012ln 1111x x x x +-=-=--00000011ln 1121x x x x x x +++-==-. 所以000ln 1ln 1x x x +-=.所以两条切线为同一直线.故(4)正确. 应选：C【点睛】此题主要考察了函数的性质以及运算,同时也考察了数形结合求解函数零点的个数与导数的几何意义求切线参数方程的问题,需要根据题意代入对应的值进展计算分析,属于难题.二、填空题：此题一共4小题，每一小题5分，一共20分.8(1)(1)x x -+的展开式中，含5x 项的系数是 .【答案】14. 【解析】【详解】4455588(1)14xC x C x x +-=,含5x 项的系数是14.14.记S n 为等差数列{a n }的前n 项和，12103a a a =≠，，那么105S S =___________. 【答案】4. 【解析】 【分析】根据求出1a 和d 的关系，再结合等差数列前n 项和公式求得结果. 【详解】因213a a =，所以113a d a +=，即12a d =，所以105S S =11111091010024542552a d a a a d ⨯+==⨯+． 【点睛】此题主要考察等差数列的性质、根本量的计算．浸透了数学运算素养．使用转化思想得出答案．15.点(0,1)A ，(1,0)B ，(,0)C t ，点D 是直线AC 上的动点，假设||2||AD BD ≤恒成立，那么最小正整数t =__________. 【答案】4 【解析】 【分析】设点(),D x y ,根据||2||AD BD ≤列出关于(),D x y 的关系式,再数形结合分析即可.【详解】设点(),D x y ,因为点D 是直线AC 上的动点,故110y x ty t x t--=⇒+-=. 由||2||AD BD ≤得()()2222141x y x y ⎡⎤+-≤-+⎣⎦,化简得22418339x y ⎛⎫⎛⎫-++≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 依题意可知,直线AC 与圆22418339x y ⎛⎫⎛⎫-++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭至多有一个公一共点,≥解得2t ≥2t ≤所以最小正整数4t =. 故答案为：4【点睛】此题主要考察了直线与圆和向量的综合运用,需要设点的坐标表达所给的信息,再数形结合利用圆心到直线的间隔 列式求解.属于中档题.16.F 为抛物线24x y =的焦点，过点F 且倾斜角为150︒的直线l 与抛物线交于A ，B 两点，1l ，2l 分别是该抛物线在A ，B 两点处的切线，1l ，2l 相交于点C ，那么CA CB ⋅=__________，||CF =_________.【答案】【解析】 【分析】根据题意设直线l 的方程,联立直线与抛物线的方程,解得,A B 的坐标,再计算CA CB ⋅与||CF 即可.【详解】易得()0,1F ,又直线l 倾斜角为150︒,故直线l 的方程为：1tan150y x -=︒即x =设()()1122,,,A x y B x y ,不妨设12x x <,数形结合可知此时12y y >.联立22310304x y y y x ⎧=⎪⇒-+=⎨⎪=+⎩,解得1213,3y y ==.代入x =+12x x =-=.故()1,33A B ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭.又24x y =,'2x y =,故在()A -处的切线方程为33y x y -=+⇒=-.在1,33B ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭处的切线方程为1133333y x y x ⎫-=-⇒=-⎪⎪⎝⎭.联立313y y x ⎧=-⎪⎨=-⎪⎩可得,13C ⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭.故443303CA CB ⎛⎫⎛⎫⋅=⋅= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝-⎭⎝⎭.3||CF =. 故答案为：(1)0 (2)3【点睛】此题主要考察了联立直线与抛物线的方程,求出点的坐标进展计算的问题,同时考察了导数的几何意义求解切线方程的问题.属于难题.三、解答题：一共70分.解答题应写出文字说明、证明过程或者演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须答题。

2021-2022年高三数学下学期联考模拟训练试题 理

2021-2022年高三数学下学期联考模拟训练试题 理

2021-2022年高三数学下学期联考模拟训练试题 理本试卷分第I 卷和第Ⅱ卷两部分，共6页。

满分150分。

考试时间120分钟。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

注意事项：1．答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将姓名、座号、考生号、县区和科类填写在答题卡和试卷规定的位置上。

2．第I 卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

3．第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带。

不按以上要求作答的答案无效。

4．填空题请直接填写答案，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中。

只有一项是符合题目要求的．1.已知集合{}24,,2x M x x x N y y x M M N ⎧⎫⎪⎪=>==∈⋂=⎨⎬⎪⎪⎩⎭，则A. B. C. D.2.已知i 为虚数单位，为纯虚数，则复数的模等于A. B. C. D.3.经过圆的圆心且与直线平行的直线方程是A. B.C. D.4.设是两条不同的直线，是两个不同的平面，下列四个命题正确的是A.若//,//,//m n m n αββαβ⊂、，则B. 若C.若,//,m n ααββ⊥⊥⊥，则m nD. 若5.已知函数向左平移个单位后，得到函数，下列关于的说法正确的是A.图象关于点中心对称B.图象关于轴对称C.在区间单调递增D.在单调递减6.一算法的程序框图如图所示，若输出的，则输入的x 的值可能为A. B.0C.1D.57.能够把圆O ：的周长和面积同时分为相等的两部分的函数称为圆O 的“亲和函数”，下列函数：①，②，③，④是圆O 的“亲和函数”的是A.①③B.②③C.②④D.①④8.已知，若的必要条件是，则之间的关系是A. B. C. D.9.设双曲线的右焦点为F ，过点F 作与x 轴垂直的直线l 交两渐近线于A,B 两点，且与双曲线在第一象限的交点为P ，设O为坐标原点，若()3,,16OB R μλμλμ+∈⋅=，则双曲线的离心率为 A. B. C. D. 10.若直线与不等式组1320320y x y x y <⎧⎪--<⎨⎪++>⎩表示的平面区域无公共点，则的最小值为A.B. C.2 D.第II 卷（共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.11. 表示函数的导数，在区间上，随机取值a ，则的概率为__________.12.若一个底面是正三角形的直三棱的正视图如图所示，其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为_________.13.将5本不同的书摆成一排，若书甲与书乙必须相邻，而书丙与书丁不能相邻，则不同的摆法和数为__________.14.已知10cos ,0,sin 241023πππθθθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=∈-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则__________.15.已知是定义在上的单调函数，的导函数，若对，都有，则方程的解所在的区间是________.三、解答题：本大题共6小题，共75分.16.（本小题满分12分）已知函数()2sin 22cos 1,6f x x x x R π⎛⎫=-+-∈ ⎪⎝⎭， （I ）求的最小正周期和单调递增区间；（II ）在中，三内角A,B,C 的对边分别为a,b,c ，已知成等差数列，且，求及a 的值.17. （本小题满分12分）如图，直四棱柱的底面是菱形，侧面是正方形，，E 是棱CB 的延长线上一点，经过点A 、C 1、E 的平面交棱于点F ，B 1F=2BF.（I ）求证：平面平面；（II ）求二面角的平面角的余弦值.18. （本小题满分12分）下图是某市今年1月份前30天空气质量指数（AQI ）的趋势图.（I ）根据该图数据在答题卷中完成频率分布表，并在下图中作出这些数据的频率分布直方图；（II ）当空气质量指数（AQI ）小于100时，表示空气质量优良.某人随机选择当月1日至10日中的某一天到达该市，并停留2天，设是此人停留期间空气质量优良的天数，求的数学期望.19. （本小题满分12分）已知数列的前n 项和为()21n n n S n N a S n *∈+=+，且满足.（I ）求证：数列是等比数列，并求数列的通项公式；（II ）求证：21223111112223n n n a a a a a a +++⋅⋅⋅+<.20. （本小题满分13分）已知抛物线的焦点为椭圆的右焦点，且椭圆的长轴长为4，左右顶点分别为A,B ，经过椭圆左焦点的直线l 与椭圆交于C 、D （异于A,B ）两点.（I ）求椭圆标准方程；（II ）求四边形ADBC 的面积的最大值；（III ）若是椭圆上的两动点，且满足，动点P 满足（其中O 为坐标原点），是否存在两定点使得 为定值，若存在求出该定值，若不存在说明理由.21. （本小题满分14分）已知函数和直线.（I ）当曲线在点处的切线与直线l 垂直时，求原点O 到直线l 的距离；（II ）若对于任意的[)()()1,1x f x m x ∈+∞≤-，恒成立，求m 的取值范围； （III）求证：()2141n i i n N i *=<∈-∑.精品文档实用文档c30470 7706 眆38422 9616 阖: %36636 8F1C 輜S21986 55E2 嗢34573 870D 蜍34850 8822 蠢k27876 6CE4 泤31725 7BED 篭w。

高三试卷数学(理)-吉林省2021届高三4月下学期联考模拟考试数学(理)试卷及参考答案

高三试卷数学(理)-吉林省2021届高三4月下学期联考模拟考试数学(理)试卷及参考答案

2021年高三联合模拟考试数学（理科）第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题：本题共12个小题，每题5分，共计60分.1．已知集合{}2x |x A >=，{}03x x|x B 2<-=，则B A ⋃＝（）A.()+∞,0 B.()3,2 C.()3,0 D.()+∞,22．已知复数z 满足()()i 2i 21z ++=（i 为虚数单位），则z ＝（）A.2B.4C.5D.63.公元960年，北宋的建立结束了五代十国割据的局面．北宋的农业、手工业、商业空前繁荣，科学技术突飞猛进，火药、指南针、印刷术三大发明在这种经济高涨的情况下得到广泛应用．1084年秘书省第一次印刷出版了《算经十书》，为数学的发展创造了良好的条件．11至14世纪出现了一批著名的数学家和数学著作，如秦九韶的《数书九章》，李冶的《测圆海镜》，杨辉的《详解九章算法》、《日用算法》和《杨辉算法》，现从三位数学家的五部专著中任意选择两部作为学生课外兴趣拓展参考书目，则所选的两部中至少有一部不是杨辉著作的概率为（）A.53B.107 C.54 D.1094．已知等差数列{}n a 中，π=++4a a a 1371，则()122a a tan +的值为()A.3.B.3± C.33-D.3-5.己知βα,是两个不重合的平面，直线α⊥l ，则“//βl ”是“β⊥α”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件6.在ABC ∆中，角C ,B ,A 所对的边分别为c ,b ,a ，满足下列条件的ABC ∆不是唯一解的是（）A.︒=︒==25C ,15B ,3aB.︒===40C ,4b ,3aC.︒===40A ,4b ,3a D.︒===40B ,4b ,3a7.设有两个命题p ：不等式a e14e x x >+的解集为R ；q ：函数x a x f )37()(--=在R 上是减函数，如果这两个命题中有且只有一个真命题，那么实数a 的取值范围是（）A.{}2a 1|a <≤ B.⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤<37a 2|a C.⎭⎬⎫⎩⎨⎧<≤37a 2|a D.{}2a 1|a ≤<8．已知π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且π2cos2cos 4αα⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则sin2α的值为（）A.18B.18-C.78D.78-9.二项式()()521x 2x 1-+的展开式中含4x 项的系数为（）A.280B.200C.120D.4010.对任意[],1,1a -∈函数()()a 24x 4a x x f 2-+-+=的值恒大于零，则x 的取值范围是()A.()3,1 B.()()+∞⋃∞-,31, C.()2,1 D.()()+∞⋃∞-,21,11.已知函数()x cos b x sin a x f -=在4x π=处取到最大值，则⎪⎭⎫ ⎝⎛π+4x f （）A.奇函数B.偶函数C.关于点()0,π中心对称D.关于2x π=轴对称12．如图几何体为一个圆柱和圆锥的组合体，圆锥的底面和圆柱的一个底面重合，圆锥的顶点为P ，圆柱的上、下底面的圆心分别为21O ,O ，若该几何体有半径为1的外接球，且球心为O ，则不正确的是（）A.如果圆锥的体积为圆柱体积的61，则圆锥的体积为8π.B.2PO 2O O 121=+.C.如果211O O PO =，则O 与1O 重合.D.如果3:1O O :PO 211=，则圆柱的体积为12596π.第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题：本题共4个小题，每题5分，共计20分.把答案填在答题卡相应位置.13．写出一个最小正周期为2的偶函数()=x f ________．14．已知向量()2,1a =，向量b 与向量a 共线，且a •b ＝15=________．15．已知21F ,F 是双曲线()0b ,0a 1by a x 2222>>=-的左右焦点，点M 为双曲线的左支上一点，点M 满足211F F 2MF =，且165F MF cos 21-=∠，则该双曲线的离心率=e ________．16．已知R b ,a ∈,若关于x 的不等式0b a x ln a x 2≥-+-恒成立，则ab 的最大值为_______.三、解答题：本大题共6小题，满分70分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤17．已知各项均为正数的数列{}n a 满足()*n 1n 2n n 2n N n a a 4a a 2a ∈-=++++，且4a ,1a 21==.（1）证明：数列{}na 是等差数列；（2）数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧++1n n a a 1n 2的前项n 和为n S ，求证：1S n <．18．某市居民用天然气实行阶梯价格制度，具体见表：阶梯年用气量（立方米）价格（元/立方米）第一阶梯不超过228的部分 3.25第二阶梯超过228而不超过348的部分3.83第三阶梯超过348的部分4.70从该市随机抽取10户（一套住宅为一户）同一年的天然气使用情况，得到统计表如表：居民用气编号12345678910年用气量（立方米）95106112161210227256313325457（1）求一户居民年用气费y （元）关于年用气量x （立方米）的函数关系式；（2）现要在这10户家庭中任意抽取3户，求抽到的年用气量超过228立方米而不超过348立方米的用户数的分布列与数学期望；（3）若以表中抽到的10户作为样本估计全市居民的年用气情况，现从全市中依次抽取10户，其中恰有k 户年用气量不超过228立方米的概率为()k P ，求()k P 取最大值时的k 值．19．如图在三棱柱111C B A ABC -中，侧面11A ABB 是边长为2的菱形，︒=∠120ABB 1，平面⊥B B AA 11平面ABC ，N M 、分别为1BB AB 、的中点，2BC AC ==．（1）证明：1BC ∥平面CM A 1；（2）求二面角N AC M --的余弦值．20．已知椭圆方程:()0b a 1by a x 2222>>=+的两焦点21F F 、与短轴的一个端点的连线构成等边三角形，直线0122y x =-++与以右焦点为圆心，以长半轴为半径的圆相切.（1）求椭圆的方程；（2）设点D ,C ,B 是椭圆上不同于椭圆顶点的三点，点B 与点D 关于原点O 对称，设直线OC ,OB ,CB ,CD 的斜率分别为4321k ,k ,k ,k ，且4321k k k k ⋅=⋅.①求21k k ⋅的值；②求22OC OB +的值.21.已知函数()(),11x ln ax x f ++-=其中3.0a -≤(1)证明：()x f 有唯一零点；(2)设0x 为函数()x f 的零点，证明:①a 1x a110-≤≤-;②()4a 2a 8a 22x f 4a 24a 11a 4202-+-≤+≤-+-（参考数据098.13ln ,693.02ln ≈≈）请考生在第22、23两题中任选一题做答，如果多做，则按照所做第一题记分.答题时用2B 铅笔在答题卡上把所选的题号涂黑.22.已知直线l 的参数方程为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=t 23y t 21m x （t 为参数），以坐标原点为极点，以轴正半轴为极轴建立极坐标系，椭圆的极坐标方程为22245sin 9cos 5ρ=θ+θ，且直线l 经过椭圆C 右焦点F .（1）求椭圆C 的内接矩形PMNQ 面积的最大值；（2）若直线与椭圆C 交于B ,A 两点，求FB FA ⋅的值.23.已知对任意实数x ，都有0m 4x 2x ≥--++恒成立.（1）求实数m 的范围；（2）若m 的最大值为n ，当正数b ,a 满足6nb 2a 31b 5a 4=+++时，求b 7a 4+的最小值.2021年高三联合模拟考试数学（理科）参考答案一、选择题ACBDACACDBBC二、填空题()x cos .13π;53.14;2.15;3e 2.16三、解答题：17.解：（1）由n 1n 2n n 2n a a 4a a 2a -=++++得()()21n 1n 2n2n a 2a4a a +++==+则1n n 2n a 2a a ++=+，所以数列{}na 是等差数列；(),1d ,1a 21==,n a 2n =∴()()22221n n 1n 1n 11n n 1n 2a a 1n 2+-=++=++()()11n 111n 1n 1212111S 222222n <+-=+-+++-=∴ 19解：（1）由题意，(](]()⎪⎩⎪⎨⎧+∞∈-∈-∈=,348x ,435x 7.4348,228x ,24.132x 83.3288,0x ,x 25.3y …………………3分（2）由题知10户家庭中年用气量超过228立方米而不超过348立方米的用户有3户，设取到年用气量超过228立方米而不超过348立方米的用户数为ξ，则ξ可取0，1，2，3．()247C C 0p 31037===ξ，()4021C C C 1p 3101327===ξ()407C C C 2p 3102317===ξ，()1201C C 3p 31033===ξ故ξ的分布列是：ξ0123p24740214071201()109120134072402112470E =⨯+⨯+⨯+⨯=ξ…………8分（3）由题知，()()N k ,10k 05253C k p k10kk 10∈≤≤⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=-由⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛≥⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛≥⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛+------++-1k 101k 1k 10k 10k k 101k 101k 1k 10k 10k k 105253C 5253C 5253C 5253C ，解得N k ,533k 528∈≤≤．∴当6k =时，()k p 概率最大．…………12分18．解：（1）证明：取A 1B 1中点D，连接DC 1、DB，⇒⎭⎬⎫=MB D A MB //D A 11四边形A 1DBM 为平行四边形，所以A 1M∥DB，因为DM∥B 1B，DM＝B 1B，又B 1B∥C 1C，B 1B＝C 1C，所以DM∥C 1C，DM＝C 1C，所以四边形DMCC 1为平行四边形，所以DC 1∥MC，A 1M∩MC＝M，BD∩DC 1＝D，所以平面BC 1D∥平面A 1CM，又因为BC 1⊂平面BC 1D，所以BC 1∥平面A 1CM；（2）因为侧面ABB 1A 1是边长为2的菱形，∠ABB 1＝120°，所以△A 1AB 为正三角形，所以A 1M⊥AB，又因为平面AA 1B 1B⊥平面ABC，所以A 1M⊥平面ABC，所以A 1M⊥MC，因为AC＝BC＝2，所以CM⊥AB，于是MB、MC、MA 1两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系，各点坐标如下：()0,0,1A -，()0,1,0C ，()0,0,1B ，()3,0,2B 1，⎪⎪⎭⎫⎝⎛23,0,23N ()⎪⎪⎭⎫⎝⎛==23,0,25AN ,0,1,1AC ，设平面ACN 的法向量为()z ,y ,x n =．⎪⎩⎪⎨⎧=+=⋅=+=⋅0z 23x 25n AN 0y x n AC ，令5z -=，()5,3,3n --=，平面MAC 的法向量为()1,0,0m =，所以31315n m -==．故二面角M﹣AC﹣N 的余弦值为31315．20．解：（1）设椭圆E 的右焦点为()0,c F 2，则圆的方程为()222a y c x =+-，所以圆心到直线的距离为a 2122c =-+，又因为两焦点21F F 、与短轴的一个端点的连线构成等边三角形，所以c 2a ,c 3b ==，代入上式解得1c ,3b ,2a ===，所以椭圆方程为13y 4x 22=+（2）①设()()()112211y ,x D ,y ,x C ,y ,x B --，所以43x x y y k k 2122212221-=--=⋅②由43k k 21-=⋅，则2121x x 43y y -=，所以()()212222212221x 443x 443y y x x 169-⋅-==即()222122212221x x x x 416x x ++-=，所以4x x 2221=+又因为3y y 4x x 3y 4x 3y 4x 22221222122222121+++=+++=故3y y 2221=+，所以7y x y x OC OB 2222212122=+++=+21.解：（1）函数定义域为()+∞-,1，求导得()01x 1a x 'f <+-=,所以函数()x f 在()+∞-,1上单调递减，又()()03ln 523ln 1a 22f ,010f <-<-+=>=，由零点存在定理()x f 在()+∞-,1上有唯一零点.(2)①先证明1x x ln -≤(略），由（1）可设函数的零点为0x 而01a 11a 1a 11a 11ln a 1a a 11f =+---≥+⎪⎭⎫⎝⎛+---=⎪⎭⎫⎝⎛-()()()()1a 2ln a 1a a 1f a p +---=-=，则()0a21a 21a 'p >-+-=，则所以()a p 在⎥⎦⎤ ⎝⎛-∞-103,上为增函数，则()02ln 61.03.2ln 61.0103p a p <-<-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-≤则()()a 1f x f a 11f 0-≥≥⎪⎭⎫⎝⎛-，而函数()x f 在()+∞-,1上单调递减，则a 1x a 110-≤≤-成立；②由()0x f 0=即()11x ln ax 0-+=而()a 23x 1x ln2x f 000+++=+,再证明x 21x ln -≥成立，从而得1x x ln x 21-≤≤-令3x 1x x 00++=，且a 1x a 110-≤≤-得()4a 2a 8a 22x f 4a 24a 11a 4202-+-≤+≤-+-22.解：（1）椭圆化为45sin 9cos 52222=θρ+θρ，所以45y 9x 522=+，则15y 9x 22=+.设椭圆的内接矩形PMNQ 中，P 的坐标为()ααsin 5,cos 3，所以562sin 56sin 5cos 34S PMNQ ≤α=α⨯α⨯=所以椭圆的内接矩形面积最大值为56.（2）由椭圆的方程15y 9x 22=+，得椭圆C 的右焦点()0,2F ，由直线经过右焦点()0,2F ，得2m =，易得直线的参数方程可化为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=t 23y t 212x （t 为参数）），代入到45y 9x 522=+，整理得，025t 10t 82=-+，所以825t t 21-=，即825FB FA =⋅.23.解（1）因为对任意实数x ，都有0m 4x 2x ≥--++恒成立，又,64x 2x 4x 2x =+-+≥-++所以{}6m |m ≤；（2）由（1）知6n =，所以1b2a 31b 5a 4=+++由柯西不等式知：()()()[]9b 2a 31b 5a 4b 2a 3b 5a b 2a 31b 5a 4b 7a 4b 7a 4≥⎪⎭⎫ ⎝⎛++++++=⎪⎭⎫ ⎝⎛++++=+当且仅当1315b ,133a ==时取等号，所以b 7a 4+的最小值为9.2021年高三联合模拟考试理科综合参考答案生物参考答案选择答案1.A 2.C 3.B 4.C 5.D 6.D29题（9分）（1）类囊体（1分）不同色素在层析液中的溶解度不同（1分）（2）三碳化合物的还原（1分）ADP和Pi（1分）需要载体蛋白，H+物质浓度是顺浓度梯度运输，（不需要ATP）（1分）（3）2a+c-3b（2分）（4）可充分利用光能（提高光能利用率），大豆根瘤菌的固氮作用增加土壤中氮的含量（2分）30题（8分）(1)神经递质（1分）(2)“寒战”产生时促进细胞的氧化分解，消耗葡萄糖增多，导致葡萄糖下降，进而促进胰高血糖素分泌（2分）(3)等于（1分）抗利尿激素（1分）细胞外液渗透压（1分）(4)体液免疫和细胞免疫（特异性免疫）（1分）淋巴因子和抗体（1分）31题（10分每空1分）（一）初生自我调节（二）（1）记名计算法样方法（2）捕食初级个体数和物种数种群密度和出生率（3）喷洒除草剂不利于蜘蛛的生长繁殖频繁采茶改变了茶园为蜘蛛提供的食物和栖息环境32题（12分）(1)将两个品种的优良性状集中在一起（1分）去雄、套袋、人工授粉（1分）不定向、突变频率低、突变一般是有害的（1分）(2)植株弱小且高度不育（1分）幼苗（1分）低温或秋水仙素（1分）能够抑制纺锤体的形成，导致染色体不能移向细胞两极，细胞不能正常分裂从而引起细胞内染色体数目加倍。

2024届河北省高三下册高考数学模拟试题(三模)附解析

2024届河北省高三下册高考数学模拟试题(三模)附解析

2024届河北省高三下学期高考数学模拟试题（三模）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合，，则（ ）102x A x x ⎧⎫+=∈≤⎨⎬-⎩⎭Z {B x y ==()R A B =I ðA ．B ．C ．D ．{}0{}0,1{}1,0-{}1,0,1-2．设复数满足，则（ ）z ()1i 3i z +⋅=-1z -=A ．1B ．2C ．3D 3．已知非零向量，的夹角为，，，则（ ）a b π312a ⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭1a b -=r r a b += A ．1B C D 4．某高校决定从甲、乙等7支队伍中选出4支队伍参加全国的数学建模大赛，已知甲队被选出，则乙队也被选出的概率为（ ）A ．B ．C ．D ．122710211215．已知是坐标原点，是双曲线右支上任意一点，过点作双曲O M ()222210,0x ya b a b -=>>M 线的切线，与其渐近线交于A ，两点，若的面积为，则双曲线的离心率为B AOB 212b（ ）A B C D ．26．已知函数在区间内没有零点，则周期的()()sin cos 0,f x x x x ωωω=->∈R π3π,22⎛⎫⎪⎝⎭()f x 最小值是（ ）A ．B ．C ．D ．12π2π12π54π7．已知三棱锥，平面，，，若三棱锥外接球S ABC -SA ⊥ABC 2AB AC ==120BAC ∠=︒的表面积为，则此三棱锥的体积为（ ）28πA ．1B ．2C ．3D ．48．已知，，，，则下列大小关系正确的是（ ）(),,1,a b c ∈+∞8ln ln10a a =7ln ln11b b =6ln ln12c c =A ．B ．C ．D ．c b a>>a b c>>b c a>>c a b>>二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．根据中国报告大厅对2023年3月～10月全国太阳能发电量进行监测统计，太阳能发电量（单位：亿千瓦时）月度数据统计如下表：月份3456发电量/亿千瓦时242.94230.87240.59259.33月份78910发电量/亿千瓦时258.9269.19246.06244.31关于2023年3月～10月全国太阳能发电量，下列四种说法正确的是（ ）A ．中位数是259.115B ．极差是38.32C ．第85百分位数是259.33D ．第25百分位数是240.5910．已知一个装有半瓶水的圆柱形玻璃杯，其底面半径为，玻璃杯高为（玻璃厚3cm 16cm 度忽略不计），其倾斜状态的正视图如图所示，表示水平桌面．当玻璃杯倾斜时，瓶内水PQ 面为椭圆形，阴影部分为瓶内水的正视图．设，则下列结论正确的是ABNM CBQ ∠θ=（ ）A ．当30θ=︒B ．当椭圆的离心率最大时，1tan 2θ=C ．当椭圆的焦距为4时，3tan 4θ=D ．当时，椭圆的焦距为645θ=︒11．已知函数及其导函数的定义域均为，记，若为偶函()f x ()f x 'R ()()g x f x '=()32f x +数，为奇函数，则下列结论正确的是（ ）()1g x +A ．的图象关于直线对称．B ．的图象关于点对称．()g x 1x =()g x ()3,0C ．D ．()202411i f i ==∑()20230g =三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．已知一个基因由若干个碱基对组成，而一个碱基对由，，，四种碱基中任取两A T C G 个碱基配对排列而成，其中只能与配对，只能与配对．如果个碱基对组成一个基A T C G n 因，那么个碱基对组成的基因个数为．n 13．已知的内角，，的对边分别为，，，是的中线．若，ABC A B C a b c AD ABC 2AD =且，则面积的最大值为 ．()222cos cos b c bc b C c B ++=+ABC 14．已知对任意恒成立，则实数的取值范围是．()11200,1xa x a a -<>≠()0,x ∈+∞a 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．已知椭圆：是椭圆的短轴的一个顶点．C ()222210x y a b a b +=>>((1)求椭圆的方程．C (2)设圆：，过圆上一动点作椭圆的两条切线，切点分别为，．设O 2222x y a b +=+O P C A B 两切线的斜率均存在，分别为，，问：是否为定值？若不是，说明理由；若是，求1k 2k 12k k 出定值．16．某学校的数学兴趣小组对学校学生的冰雪运动情况进行调研，发现约有的学生喜欢滑14雪运动．从这些被调研的学生中随机抽取3人进行调查，假设每个学生被选到的可能性相等．(1)记表示喜欢滑雪运动的人数，求的数学期望．X X (2)若该数学兴趣小组计划在全校学生中抽选一名喜欢滑雪运动的学生进行访谈．抽选规则如下：在全校学生中随机抽选一名学生，如果该学生喜欢滑雪运动，就不再抽选其他学生，结束抽选活动；如果该学生不喜欢滑雪运动，则继续随机抽选，直到抽选到一名喜欢滑雪运动的学生为止，结束抽选活动．并且规定抽取的次数不超过次，其中小于当次调查()∈*N n n n 的总人数．设在抽选活动结束时，抽到不喜欢滑雪运动的学生的人数为，求抽到名学生Y Y 不喜欢滑雪运动的概率．17．已知函数．()cos 2f x x x=+(1)当时，证明：．(),0x ∈-∞()e xf x <(2)若函数，试问：函数是否存在极小值？若存在，求出极小()()()ln 1e x g x x f x =++-()g x 值；若不存在，请说明理由．18．我国古代数学名著《九章算术》中记载：“刍（chú）甍（méng ）者，下有袤有广，而上有袤无广.刍，草也.甍，窟盖也.”翻译为“底面有长有宽为矩形，顶部只有长没有宽为一条棱.刍甍的字面意思为茅草屋顶.”现有一个“刍甍”如图所示，四边形为矩形，四边形ABCD 、为两个全等的等腰梯形，，，，P 是线段AD 上一ABFE CDEF //EF AB 4AB =2EF AD ==点.(1)若点P 是线段AD 上靠近点A 的三等分点，Q 为线段CF 上一点，且，证明：25FQ FC=平面；//PF BDQ (2)若E 到平面的距离为，与平面AP 的长.ABCD 32PF BCF 19．已知和数表，其中.若()00000,,,a b c d α=111122223333a b c d A a b c d a b c d ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭()*,,,N 0,1,2,3i i i i a b c d i ∈=数表满足如下两个性质，则称数表由生成.A A 0α①任意中有三个，一个3；{}11110,1,2,,,,i i i i i i i ii a a b b c c d d ++++∈----1-②存在，使中恰有三个数相等.{}1,2,3k ∈,,,k k k k a b c d (1)判断数表是否由生成；（结论无需证明）566645593848A ⎛⎫⎪= ⎪⎪⎝⎭()06,7,7,3α=(2)是否存在数表由生成？说明理由；A ()06,7,7,4α=(3)若存在数表由生成，写出所有可能的值.A ()007,12,3,d α=0d 1．A【分析】解不等式化简集合A ，求定义域化简集合B ，然后进行补集和交集的运算即可.【详解】因为，{}{}121,0,1A x x =∈-≤<=-Z 或，则,{{}210{|1B x y x x x x ===-≥=≥1}x ≤-{}|11B x x =-<<R ð所以，(){}0A B ⋂=R ð故选：A.2．B【分析】根据题意，由复数的运算可得，再由复数的模长公式代入计算，即可得到12z i =-结果.【详解】因为，则，()1i 3i z +⋅=-()()()()3i 1i 3i 34i 112i 1i 1i 1i 2z -----====-++-则，所以.12i z -=-12z -=故选：B 3．D【分析】分析可知，向量，的夹角为，根据结合数量积的1a =a ab - π3()2a b a a b+=-- 运算求解.【详解】因为，则，12a ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭ 1a =且非零向量，的夹角为，，可知向量，的夹角为，ab π31a b -= a a b - π3则，()111122a a b⋅-=⨯⨯=所以.()2a b a a b +=--==故选：D.4．A【分析】记甲队被选出为事件，乙队被选出为事件，利用条件概率公式计算可得.A B 【详解】记甲队被选出为事件，乙队被选出为事件，则，，A B ()3647C C P A =()2547C C P AB =所以.()()()254275336647C C C 1|C C 2C P AB P B A P A ====故选：A 5．C【详解】不妨设是双曲线在第一象限的一点，00(,)Mx y 不妨设，得，得，所以21a =2221y x b -=y =y '=则在的切线斜率，00(,)M x y 200b x y y '=所以在点处的切线方程为，00(,)M x y 20000()b x y y x x y -=-又由，可得切线方程为，所以与x 轴交点坐标为220021y x b -=0021y y x x b -=01(0)D x ，不妨设是切线与渐近线在第一象限的交点，11(,)A x y 是切线与渐近线在第四象限的交点，双曲线的渐近线方程是，22(,)B x y y bx ±=联立，解得，0021y y x x b y bx ⎧-=⎪⎨⎪=⎩20000(,b b A bx y bx y --联立，解得，0021y y x x b y bx ⎧-=⎪⎨⎪=-⎩20000(,b b B bx y bx y -++所以，22220222000000002111||222AOBbx b b b S b b x bx y bx y x b x y =⋅⋅+=⋅==-+- 解得，所以，所以2b =2225c a b =+=c e a ===故选：C.6．C【分析】先利用辅助角公式进行化简，然后结合正弦函数的零点求出零点的表达式，结合已知条件，求出的最大值，从而可求周期的最小值．ω【详解】，()πsin cos 4f x x x x ωωω⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭令得，所以，，()0f x =ππ4x k ω-=ππ4k x ω+=Z k ∈因为在区间内没有零点，()f x π3π(,)22所以，只需且，解得，πππ42k ω+≤5ππ3π42k ω+≥1252236k k ω+≤≤+令得，得，0k =1526ω≤≤1k =-3126ω-≤≤因为，所以的取值范围，0ω>ω1150,,626⎛⎤⎡⎤⋃ ⎥⎢⎥⎝⎦⎣⎦所以周期的最小值是，()f x 2π12π556=故选：．C 7．B【分析】利用正弦定理求出外接圆的半径，根据球的表面积求出球的半径，再由ABC r R 平面，则求出，最后根据锥体的体积公式计算可得.SA ⊥ABC 2222SA R r ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭SA 【详解】因为，，所以，2AB AC ==120BAC∠=︒30ABC ACB∠=∠=︒，11sin 2222ABC S AB AC BAC =∠⨯⨯⋅== 设外接圆的半径为，则，即，ABC r 2241sin 2AB r ACB ===∠2r=设三棱锥外接球的半径为，，解得；R 24π28πR =R =因为平面，所以，即，解得（负值已舍去）；SA ⊥ABC 2222SA R r ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭2742SA ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭SA =所以.11233ABC S ABC V S SA -=⋅== 故选：B 8．B【分析】等价变形已知条件，，构造两个函数ln 8ln10ln 7ln11ln 6ln12a a b b c c ===，，，利用求导判断单调性即可求解.()()()ln 18ln f x x x g x x x==-，【详解】设，()()()()()ln 118ln 10f x x x x g x x x x =>=-≥，因为，，，8ln ln10a a =7ln ln11b b =6ln ln12cc =所以ln 8ln10ln 7ln11ln 6ln12a a b b c c ===，，即，()()()()()()101112f a g f b g f c g ===，，，()()()()1818ln 18ln ln 1g x x x x x x x '''=-+-=-+-，在上单调递减，()21180g x x x ''=--<()g x '[)10+∞，，所以在上单调递减，()()100g x g ''<<()g x [)10+∞，所以，即，()()()101112g g g >>()()()f a f b f c >>，当时，，所以在上单调递增，()ln 1f x x '=+1x >()0f x ¢>()f x ()1,+∞所以,a b c >>故选：B.9．BC【分析】根据题意，由中位数，极差，百分位数的定义，代入计算，逐一判断，即可得到结果.【详解】将数据从小到大排序可得，230.87,240.59,242.94,244.31,246.06,258.9,259.33,269.19共8个数据，所以中位数是，故A 错误；244.31246.06245.1852+=极差是，故B 正确；269.19230.8738.32-=因为，所以第85百分位数是第7个数，即，故C 正确；80.85 6.8⨯=259.33因为，所以第25百分位数是，故D 错误；80.252⨯=240.59242.94241.7652+=故选:BC 10．AD【分析】根据，椭圆长轴为，短轴长为，求离心率判断A ，由离心率最大MNE θ∠=MN 6知长轴最长可得求解判断B ，由离心率求出即可判断C ，由求出，再得MN AC =MN θMN 出焦距判断D.【详解】过作于，如图，M ME BN ⊥E由，当时，在中，，CBQ MNE ∠θ=∠=30θ=︒Rt MNE △612sin sin 30ME MN θ===︒所以椭圆中，A 正确；212,26a b ==e =因为椭圆的短轴长为定值6，e =由图可知，椭圆长轴为时，椭圆的长轴最长，此时，故B 错误；AC 63tan tan 168ACB θ=∠==当椭圆的焦距为4时，，a ===MN =所以，所以，故C 错误；4NE ===63tan tan 42ME MNE EN θ=∠===当时，，所以，45θ=︒6tan tan 1ME MNE EN EN θ=∠===6EN =由勾股定理可得，即MN ==2a =a =所以，所以焦距，故D 正确.3c ===26c =故选：AD 11．BD【分析】对于A ，直接得到即可判断；对于B ，由为偶函数，()()110g x g x ++-=()32f x +所以，求导可得即可判断；对于D ，求出()()3232f x f x +=-()()32320g x g x ++-=的周期为，再根据即可判断；对于C ，由题意举出反例即可淘汰.()g x 4()30g =【详解】对于A ，因为为奇函数，所以，即，()1g x +()()11g x g x +=--()()110g x g x ++-=所以的图象关于中心对称，故A 错误；()g x ()1,0对于B ，由为偶函数，所以，()32f x +()()3232f x f x +=-所以，即，()()232232f x f x +=--''()()232232g x g x +=--即，则，()()32320g x g x ++-=()()330g x g x ++-=所以的图象关于中心对称，故B 正确；()g x ()3,0对于D ，由，，知，()()11g x g x +=--()10g =()()2g x g x +=--又，，所以，()()330g x g x ++-=()30g =()()6g x g x -=-+所以，即，()()26g x g x +=+()()4g x g x =+所以为周期是的函数，即，故D 正确.()g x 4()()()20235054330g g g =⨯+==对于C ，由题意及上述分析知是以为周期的函数，且，()g x 4()()10,30g g ==不妨设，所以，周期均为且()()πcos2f x g x x =='()2πsin π2f x x =4，()()()()221,20,3,40ππf f f f ===-=所以，所以C 错误；()1202422506000ππi f i =⎛⎫∑=+-+= ⎪⎝⎭故选：BD.关键点点睛：对于选项C ，通过举反例的形式淘汰答案，不妨设，所以()()πcos2f x g x x=='，所以周期为，且，所以()2πsin π2f x x =4()()()()221,20,3,40ππf f f f ===-=.()1202422506000ππi f i =⎛⎫∑=+-+= ⎪⎝⎭12．4n【分析】因为一个碱基对是由，，，四种碱基中任取两个碱基配对排列而成，其中A T C G 只能与配对，只能与配对，依题意解出碱基对个数即可.A T C G 【详解】因为一个碱基对是由，，，四种碱基中任取两个碱基配对排列而成，A T C G 其中只能与配对，只能与配对，A T C G 所以碱基对有共有个，A T,T A,C G,G C ----222A 4=若个碱基对组成一个基因，那么个碱基对组成的基因个数为.n n 4n故答案为.4n13．【分析】利用正弦定理将边化角，由两角和的正弦公式化简，结合余弦定理求出，最后根A 据，利用数量积的运算律及基本不等式求出的最大值，即可求出面积的1122AD AB AC=+ bc 最大值.【详解】因为，()222cos cos b c bc b C c B ++=+由正弦定理可得，()222sin sin sin sin sin cos sin cos B C B C B C C B ++=+又，()()sin cos sin cos sin sin πsin B C C B B C A A+=+=-=所以，222sin sin sin sin sin B C B C A ++=由正弦定理可得，222b c bc a ++=由余弦定理，所以，2222cos a b c bc A =+-1cos 2A =-又，所以，()0,πA ∈2π3A =因为是中边上中线，则，AD ABC BC 1122AD AB AC=+ 即，所以，2AD AB AC =+ 22242AD AB AC AB AC =++⋅所以，可得，当且仅当时等号成立，22162b c bc bc bc =+-≥-16bc ≤4b c ==故1sin 2ABC S bc A==≤△即面积的最大值为ABC 故14．12e 0,e -⎛⎫ ⎪⎝⎭【分析】将原不等式变形为，设，通过求导求的最小值，然后l ln n 2a x x <()ln g x x x=()g x 解不等式即可.()min2ln g x a <【详解】因为，，1120xa x -<()0,x ∈+∞所以，即，1l ln 1n 2a xx <l ln n 2a x x <设，，()ln g x x x=()ln 1g x x '=+令，，即在上单调递增，()0g x '>1e x >()g x 1,e⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭令，，即在上单调递减，()0g x '<10e x <<()g x 10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭则，()min 1111e e e e ln g x g ⎛⎫===-⎪⎝⎭所以，12ln e a <-解得.12e0ea -<<故答案为.12e 0,e -⎛⎫ ⎪⎝⎭15．(1)；22132x y +=(2)是，．121k k =-【分析】（1）根据离心率和得到方程，求出，得到椭圆方程；(,b a （2）设，先得到，，设过点与椭圆相切的直线为(),P m n 23m ≠225m n +=(),P m n ，联立椭圆方程，由得到，由两根之积得()y n k x m -=-Δ0=()2223220mk mnk n --+-=到2122213n k k m -==--【详解】（1）由题意得，c b a ==222a b c =+解得，故椭圆方程为；1,c a ==22132x y +=（2）是，，理由如下：121k k =-设，当时，此时两切线中的一条切线斜率不存在，舍去，(),P m n 23m =故，，23m ≠2222325m n a b +=+=+=设过点与椭圆相切的直线为，(),P m n ()y n k x m -=-与联立得，22132x y +=()()222222236636360k x k m nk x k m nkm n +--+-+-=由得，，Δ0=()()()2222226642336360k m nkk k mnkm n --+-+-=整理得，()2223220mk mnk n --+-=过点与椭圆相切的两直线斜率分别为，，(),P m n 1k 2k 所以22122223133n m k k m m --===---定值问题常见方法：（1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；（2）直接推理计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值.16．(1)．()34E X =(2)13,0143,4kk nk n k n +⎧≤≤-⎪⎪⎨⎛⎫⎪= ⎪⎪⎝⎭⎩【分析】（1）由题意服从二项分布，由二项分布期望公式直接可得解；X （2）由题意可知，时，前次取到是不爱好滑雪的人，第次取到爱好滑雪()Y k k n =<k 1k +得的人，利用独立事件的乘法公式求解，当时，取到的所以人都不爱好滑雪，(1)k n +≤k n =活动结束.【详解】（1）由题意，，13,4X B ⎛⎫~ ⎪⎝⎭，3311()C 1(0,1,2,3)44kkk P X k k -⎛⎫⎛⎫==-= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭.13()344E X np ==⨯=（2）由题意，的可能取值为，Y 0,1,2,3,,n，，1(0)4P Y ==113(1)14416P Y ⎛⎫==-⨯=⎪⎝⎭，，2119(2)14464P Y ⎛⎫==-⨯= ⎪⎝⎭334113(3)1444P Y ⎛⎫==-⨯= ⎪⎝⎭L，11113(1)1444n n nP Y n --⎛⎫=-=-⨯= ⎪⎝⎭，3()4nP Y n ⎛⎫== ⎪⎝⎭综上，.13,014()3,4kk nk n P Y k k n +⎧≤≤-⎪⎪==⎨⎛⎫⎪= ⎪⎪⎝⎭⎩17．(1)证明见解析(2)存在；极小值为0．【分析】（1）构造新函数，利用导数研究函数的单调性和最值，即可得证；（2）对函数求导，并构造新函数，结合零点存在性定理及函数的单调性即可求解.【详解】（1）证明：函数定义域为,()cos 2f x x x =+R 令，则，()e 2cos x F x x x =--()e 2sin (e 1)(sin 1)x xF x x x '=-+=-+-当时，，且，所以，(,0)x ∈-∞0e 1e 10x -<-=sin 10x -≤()0F x '<函数在上单调递减，故，()e 2cos xF x x x =--(,0)-∞()(0)0F x F >=即，故得证，.e 2cos 0x x x -->e ()xf x >（2）由题意，则，()ln(1)e 2cos ,1xg x x x x x =++-->-1()e 2sin ,11x g x x x x '=+-+>-+令，则1()()e 2sin ,11x h x g x x x x '==+-+>-+21()e cos ,1(1)x h x x x x '=-+>-+当时，，故函数在单调递增，则，即，π(0,2x ∈()0h x '>()h x π(0,)2()(0)0h x h >=()0g x '>所以在单调递增；()g x π(0,2当时，单调递增，且，又，(1,0)x ∈-()h x '(0)10h '=>1211()e cos()4022h -'-=+--<故，使得，01(,0)2x ∃∈-0()0h x '=所以当时，，即函数在上单调递增，即，0(,0)x x ∈0()0h x '>()h x 0(,0)x ()()(0)0h x g x h '=<=所以函数在上单调递减；()g x 0(,0)x 当时，，即，π[,)2x ∈+∞π3221e e 2.74,01x x ≥>>>+1()e 2sin 01x g x x x '=+-+>+所以函数在上单调递增.()g x π[,)2+∞综上所述，函数在上单调递减，在上单调递增，()g x 0(,0)x (0,)+∞因此，当时，函数有极小值，极小值为.0x =()g x (0)0g =故存在，极小值为0.18．(1)证明见解析(2)1AP =1AP =+【分析】（1）连接交于点，通过比例线段证明，可得平面；CP BD H //PF HQ //PF BDQ （2）建立空间直角坐标系，利用已知线面角的正弦值，求出点的位置即可.P 【详解】（1）证明：连接交于点，连接，CP BD H HQ因为，且，所以，//AD BC 23PD AD =23PH PD PD HC BC AD ===因为，所以，25FQ FC=23FQ QC =所以，所以，FQ PHQC HC =//PF HQ 因为平面，平面，HQ ⊂BDQ PF ⊄BDQ 所以平面；//PF BDQ （2）分别取的中点，连接，则，且，,AD BC ,I J EI IJ FJ ,,//IJ AB IJ AB =因为四边形与四边形为全等的等腰梯形，所以，ABFE CDEF EA ED FB FC ===四边形为等腰梯形，且，，EIJF //EF IJ 1122EF AB IJ ==，，又，所以，EI AD ⊥FJ BC ⊥//AD BC FJ AD ⊥因为平面，且为两条相交直线，所以平面，,EI FJ ⊂EIJF EI FJ ,AD ⊥EIJF 平面，所以平面平面.AD ⊂ABCD ABCD ⊥EIJF 平面平面,ABCD ⋂EIJF IJ =过在平面内作的垂线，垂足为，则平面，E EIJF IJ M EM ⊥ABCD ，.32EM =()112IM IJ EF =-=过作，易得两两垂直，M //MK AD MK MJ ME ,,以为坐标原点，所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系（如图M MK MJ ME ,,所示），则，，，30,2,2F ⎛⎫ ⎪⎝⎭()1,3,0B ()1,3,0C -设（），所以，，.(),1,0P a -11a -≤≤3,3,2PF a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ 31,1,2FB ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ 31,1,2FC ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭ 设平面的一个法向量，则 ，BCF (),,n x y z = 302302n FB x y z n FC x y z ⎧⋅=+-=⎪⎪⎨⎪⋅=-+-=⎪⎩令，解得，，所以，2z =0x =3y =()0,3,2n=设PF 与平面所成角的大小为，则BCF θ，sin cos ,PF n PF n PF nθ⋅====⋅解得a =所以1AP =1AP =19．(1)是(2)不存在，理由见解析(3)3，7，11.【分析】（1）根据数表满足的两个性质进行检验，即可得结论；A （2）采用反证的方法，即若存在这样的数表A ，由性质①推出对任意的，{}1,2,3k ∈中均有2个奇数，2个偶数，则推出不满足性质②，即得结论；,,,k k k k a b c d （3）判断出的所有可能的值为3，7，11，一方面说明取这些值时可以由0d 0d 生成数表A ，另一方面，分类证明的取值只能为3，7，11，由此可得所()007,12,3,d α=0d 0d 有可能的值.【详解】（1）数表是由生成；566645593848A ⎛⎫⎪= ⎪⎪⎝⎭()06,7,7,3α=检验性质①：当时，，共三个，一个3；0i =561,671,671,633-=--=--=--=1-当时，，共三个，一个3；1i =451,561,561,963-=--=--=--=1-当时，，共三个，一个3；2i =341,853,451,891-=--=-=--=-1-任意中有三个，一个3；{}11110,1,2,,,,i i i i i i i ii a a b b c c d d ++++∈----1-检验性质②：当时，，恰有3个数相等.1k =11115,6,6,6a b c d ====（2）不存在数表由生成,理由如下:A ()06,7,7,4α=若存在这样的数表A ，由性质①任意中有三个，{}11110,1,2,,,,i i i i i i i ii a a b b c c d d ++++∈----1-一个3，则或-1，总有与的奇偶性相反，13i i a a +-=1i a+i a类似的，与的奇偶性相反，与的奇偶性相反，与的奇偶性相反；1i b +i b 1i c +i c 1i d +i d 因为中恰有2个奇数，2个偶数，00006,7,7,4a b c d ====所以对任意的，中均有2个奇数，2个偶数，{}1,2,3k ∈,,,k k k ka b c d 此时中至多有2个数相等，不满足性质②；,,,k k k k a b c d 综上，不存在数表由生成；A ()06,7,7,4α=（3）的所有可能的值为3，7，11.0d 一方面，当时，可以生成数表；03d =(71233),,,611265105541344A ⎛⎫⎪= ⎪⎪⎝⎭当时，可以生成数表；07d =(71237),,,611665145541744A ⎛⎫⎪= ⎪⎪⎝⎭当时，可以生成数表；011d =(712311),,,611610510998988A ⎛⎫ ⎪= ⎪⎪⎝⎭另一方面，若存在数表A 由生成，()007,12,3,d α=首先证明：除以4余3；0d 证明：对任意的，令，0,1,2,3i =i i i a b ∆=-则，()()()()11111ΔΔi i t i i i i i i i a b a b a a b b +++++-=---=---分三种情况：（i ）若，且，则；11i i a a +-=-11i i b b +-=-10i i +∆∆=-（ii ）若，且，则；11i i a a +-=-13i i b b +=-14i i +∆-=-∆（iii ）若，且，则；13i i a a +-=11i i b b +-=-14i i +∆∆=-均有与除以4的余数相同.1i +∆i ∆特别的，“存在，使得”的一个必要不充分条件为“除以4的余数相同”；{}1,2,3k ∈k k a b =00,a b 类似的，“存在，使得”的一个必要不充分条件为“除以4的余数相同”；{}1,2,3k ∈k k a c =00,a c“存在，使得”的一个必要不充分条件为“除以4的余数相同”；{}1,2,3k ∈k k a d =00,a d “存在，使得”的一个必要不充分条件为“除以4的余数相同”；{}1,2,3k ∈k k b c =00,b c “存在，使得”的一个必要不充分条件为“除以4的余数相同”；{}1,2,3k ∈k k b d =00,b d “存在，使得”的一个必要不充分条件为“除以4的余数相同”；{}1,2,3k ∈k k c d =00,c d 所以，存在，使得中恰有3个数相等的一个必要不充分条件是{}1,2,3k ∈,,,k k k k a b c d 中至少有3个数除以4的余数相同.,,,k k k k a b c d 注意到与除以4余3，除以4余0，故除以4余3.07a =03c =012b =0d 其次证明：；0{3,7,11,15}d ∈证明：只需证明；015d ≤由上述证明知若可以生成数表A ，则必存在，()007,12,3,d α={}1,2,3k ∈使得；k k k a c d ==若，则，，015d >0015312d c ->-=()()1100221148,44d c d c d c d c -≥-->-≥-->，()332240d c d c -≥-->所以，对任意，均有，矛盾；{}1,2,3k ∈0k k d c ->最后证明：；015d ≠证明：由上述证明可得若可以生成数表A ，()007,12,3,d α=则必存在，使得，{}1,2,3k ∈k k k a c d ==，，0015312d c =--=()()1100221148,44d c d c d c d c -≥--=-≥--≥，()332240d c d c -≥--≥欲使上述等号成立，对任意的，，{}1,2,3k ∈113,1k k k k c c d d ++-=-=-则，，111,1k k k k a a b b ++-=--=-611614510913491212A ⎛⎫ ⎪= ⎪⎪⎝⎭经检验，不符合题意；d综上，所有可能的取值为3，7，11.d难点点睛：解答本题的难点在于第3问中确定所有可能的取值，解答时要根据数表A满足的性质分类讨论求解，并进行证明，证明过程比较复杂，需要有清晰的思路.。

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吴忠市2018届高考模拟联考试题数学（理）第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若复数z 满足(1)1z i i +=-（i 是虚数单位），则z 的共轭复数z =（ ）A ．i -B ．C ．i D2.已知全集U R =，设函数lg(1)y x =-的定义域为集合A ，函数y =B ，则()U A C B =I （ ）A ．[1,3]B ．[1,3)C ．(1,3]D ．(1,3)3.已知等比数列{}n a 为递增数列，且2510a a =，212()5n n n a a a +++=，则5a =（ ）A ．16B ．32C ．49D ．81 4.点(4,2)P -与圆224x y +=上任一点连线的中点轨迹方程是（ ） A ．22(2)(1)1x y -++= B ．22(2)(1)4x y -++= C ．22(4)(2)4x y ++-= D ．22(2)(1)1x y ++-=5.一生产过程有4道工序，每道工序需要安排一人照看，现从甲、乙、丙等6名工人中安排4人分别照看一道工序，第一道工序只能从甲、乙两工人中安排1人，第四道工序只能从甲、丙两工人中安排1人，则不同的安排方案共有（ ）A ．24种B ．36种C ．48种D ．72种6.如图，圆周上按顺时针方向标有1，2，3，4，5五个点.一只青蛙按顺时针方向绕圆从一个点跳到另一点.若它停在奇数点上，则下一次只能跳一个点；若停在偶数点上，则下一次跳两个点.该青蛙从5这点跳起，经2018次跳后它将停在的点是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．47.若直线2y x =上存在点(,)x y 满足约束条件30230x y x y x m +-≤⎧⎪--≤⎨⎪≥⎩，则实数m 的最大值为（ ）A ．2B ．32C ．1D ．1- 8.如程序框图所示，其作用是输入x 的值，输出相应的y 的值.若要使输入的x 的值与输出的y 的值相等，则这样的x 的值有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个9.半径为R 的球O 中有一内接圆柱.当圆柱的侧面积最大时，球的表面积与该圆柱的侧面积之差是（ ） A ．22R π B ．252R π C ．23R π D ．272R π10.若从数字0，1，2，3，4，5中任取三个不同的数作为二次函数2y ax bx c =++的系数，则与x 轴有公共点的二次函数的概率是（ ） A ．15 B ．12 C ．1350 D ．175011.过双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的左焦点(,0)(0)F c c ->，作圆2224a x y +=的切线，切点为E ，延长FE 交双曲线右支于点P ，若1()2OE OF OP =+u u u r u u u r u u u r，则双曲线的离心率为（ ）AD12.如图，一个正五角星薄片（其对称轴与水面垂直）匀速地升出水面，记t 时刻五角星露出水面部分的图形面积为()((0)0)S t S =，则导函数'()y S t =的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13.在ABC ∆中，M 是线段BC 的中点，3AM =，10BC =，则AB AC ⋅=u u u r u u u r．14.若231()nx x +展开式的各项系数之和为32，则其展开式中的常数项是 ．15.若数列{}n a 是正项数列，2*3()n n n N =+∈，则12231n a a a n ++⋅⋅⋅+=+ ．16.对于实数a 和b ，定义运算“*”：22,,a ab a ba b b ab a b⎧-≤⎪*=⎨->⎪⎩.设()(21)(1)f x x x =-*-，且关于x 的方程()()f x m m R =∈恰有三个互不相等的实数根1x ，2x ，3x ，则123x x x 的取值范围是 ．三、解答题（本大题共5小题，满分60分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.在锐角ABC ∆中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 2sin c A =. （1）确定角C 的大小；（2）若c =ABC ∆的面积为2，求a b +的值. 18.一家面包房根据以往某种面包的销售记录，绘制了日销售量的频率分布直方图，如图所示：将日销售量落入各组的频率视为概率，并假设每天的销售量相互独立.（1）求在未来连续3天里，有连续2天的日销售量都不低于100个且另一天的日销售量低于50个的频率；（2）用X 表示在未来3天里日销售量不低于100个的天数，求随机变量X 的分布列，期望()E X 及方差()D X .19.三棱锥A BCD -及其侧视图、俯视图如图所示.设M ，N 分别为线段AD ，AB 的中点，P 为线段BC 上的点，且MN NP ⊥.（1）证明：P 为线段BC 的中点； （2）求二面角A NP M --的余弦值.20.如下图，在平面直角坐标系xoy 中，椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为1(,0)F c -，2(,0)F c ，已知点(1,)e 和(,2e 都在椭圆上，其中e 为椭圆的离心率.（1）求椭圆的方程；（2）设A ，B 是椭圆上位于x 轴上方的两点，且直线1AF 与直线2BF 平行，2AF 与1BF 交于点P ，（i ）若122AF BF -=，求直线1AF 的斜率； （ii ）求证：12PF PF +是定值. 21.已知函数1()ln 1()af x x ax a R x-=-+-∈. （1）当12a ≤时，讨论()f x 的单调性； （2）设2()24g x x bx =-+.当14a =时，若对任意1(0,2)x ∈，存在2[1,2]x ∈，使12()()f x g x ≥，求实数b 的取值范围.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.22.选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xoy 中，曲线1C 的参数方程为cos sin x a y b ϕϕ=⎧⎨=⎩（0a b >>，ϕ为参数），在以O 为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线2C 是圆心在极轴上，且经过极点的圆.已知曲线1C上的点M 对应的参数3πϕ=，射线3πθ=与曲线2C 交于点(1,)3D π.（1）求曲线1C ，2C 的方程； （2）若点1(,)A ρθ，2(,)2B πρθ+在曲线1C 上，求221211ρρ+的值.23.选修4-5：不等式选讲 已知函数()2f x x a a =-+.（1）若不等式()6f x ≤的解集为{}|23x x -≤≤，求实数a 的值；（2）在（1）的条件下，若存在实数n 使()()f n m f n ≤--成立，求实数m 的取值范围.吴忠市2018届高考模拟联考试题数学（理科）参考答案一、选择题1-5: CDBAB 6-10: BCCAD 11、12：CA二、填空题13. 16- 14. 10 15. 226n n +16. 三、解答题17.解：（12sin c A =及正弦定理得，sin sin a Ac C ==. ∵sin 0A ≠，∴sin 2C =，∵ABC ∆是锐角三角形，∴3C π=. （2）解法1：∵c =3C π=.由面积公式得1sin 23ab π=，即6ab =. ① 由余弦定理得222cos73a b ab π+-=，即227a b ab +-=. ②由②变形得2()37a b ab +=+. ③ 将①代入③得2()25a b +=，故5a b +=.解法2：前同解法1，联立①、②得2276a b ab ab ⎧+-=⎨=⎩22136a b ab ⎧+=⇔⎨=⎩.消去b 并整理得4213360a a -+=，解得24a =或29a =.所以23a b =⎧⎨=⎩或32a b =⎧⎨=⎩.故5a b +=.18.（1）记1A 表示事件“日销量量不低于100个”，2A 表示事件“日销售量低于50个”，B 表示事件“未来连续3天里，有连续2天的日销售量都不低于100个且另一天的日销售量低于50个”，因此结合日销售量的频率分布直方图得1()(0.0060.0040.002)p A =++500.6⨯=；2()0.003500.15p A =⨯=；()0.60.60.1520.108p B =⨯⨯⨯=.（2）X 的可能取值为0，1，2，3，相应的概率为0303()(10.6)0.064p X C =-=，1213()0.6(10.6)0.288p X C =⨯-=，22123()0.6(10.6)0.432p X C =⨯-=，3333()0.60.216p X C ==.所以X 的分布列为因为(3,0.6)X B :，所以随机变量X 的期望()30.6 1.8E X =⨯=， 方差()30.6(10.6)0.72D X =⨯⨯-=.19.【解析】（1）如图，取BD 中点O ，连接AO ，CO . 由侧视图及俯视图知，ABD ∆，BCD ∆为正三角形， 因此AO BD ⊥，OC BD ⊥.因为,AO OC ⊥平面AOC ，且AO OC O =I ， 所以BD ⊥平面AOC .又因为AC ⊂平面AOC ，所以BD AC ⊥. 取BO 的中点H ，连接NH ，PH .又M ，N 分别为线段AD ，AB 的中点，所以//NH AO ，//MN BD . 因为AO BD ⊥，所以NH BD ⊥. 因为MN NP ⊥，所以NP BD ⊥.因为,NH NP ⊂平面NHP ，且NH NP N =I ，所以BD ⊥平面NHP . 又因为HP ⊂平面NHP ，所以BD HP ⊥.又OC BD ⊥，HP ⊂平面BCD ，OC ⊂平面BCD ，所以//HP OC . 因为H 为BO 中点， 故P 为BC 中点.（2）解法一：如图，作NQ AC ⊥于Q ，连接MQ . 由（1）知，//NP AC ，所以NQ NP ⊥.因为MN NP ⊥，所以MNQ ∠为二面角A NP M --的一个平面角. 由（1）知，ABD ∆，BCD ∆为边长为2的正三角形，所以AO OC ==由俯视图可知，AO ⊥平面BCD .因为OC ⊂平面BCD ，所以AO OC ⊥，因此在等腰Rt AOC ∆中，AC =，作BR AC ⊥于R .在ABC ∆中，AB BC =，所以BR =2=. 因为在平面ABC 内，NQ AC ⊥，BR AC ⊥，所以//NQ BR . 又因为N 为AB 的中点，所以Q 为AR 的中点，因此2BR NQ ==.同理，可得MQ =所以在等腰MNQ ∆中，2cos MN MNQ NQ ∠=4BDNQ ==故二面角A NP M --.解法二：由俯视图及（1）可知，AO ⊥平面BCD . 因为,OC OB ⊂平面BCD ，所以AO OC ⊥，AO OB ⊥. 又OC OB ⊥，所以直线OA ，OB ，OC 两两垂直.如图，以O 为坐标原点，以OB uuu r ，OC uuu r ，OA u u u r的方向为x 轴，y 轴，z 轴的正方向，建立空间直角坐标系O xyz -.则A ，(1,0,0)B，C ，(1,0,0)D -. 因为M ，N 分别为线段AD ，AB 的中点， 又由（1）知，P 为线段BC 的中点，所以1(,0,22M -，1(,0,22N，1(,22P .于是(1,0,AB =u u u r，(BC =-u u u r，(1,0,0)MN =u u u u r，NP =u u u r. 设平面ABC 的一个法向量1111(,,)n x y z =u r ，则11n AB n BC ⎧⊥⎪⎨⊥⎪⎩u r u u u r u r u u u r ，即1100n AB n BC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u r u u u ru r u u u r ，有111111(,,)(1,0,0(,,)(0x y z x y z ⎧⋅=⎪⎨⋅-=⎪⎩，从而11110x x ⎧=⎪⎨-+=⎪⎩.取11z =，则1x =11y =，所以1,1)n =u r.连接MP ，设平面MNP 的一个法向量2222(,,)n x y z =u u r ，则22n MN n NP ⎧⊥⎪⎨⊥⎪⎩u u r u u u u r u u r u u u r ，即220n MN n NP ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u r u u u u r u u r u u u r，有222222(,,)(1,0,0)0(,,)(0,,022x y z x y z ⋅=⎧⎪⎨⋅-=⎪⎩，从而2220022x y z =⎧-=⎪⎩. 取21z =，所以2(0,1,1)n =u u r.设二面角A NP M --的大小为θ，则1212cos n n n n θ⋅=⋅u r u u ru r u ur =5=. 故二面角A NP M --的余弦值是5.20.解：（1）由题设知222a b c =+，ce a=.由点(1,)e 在椭圆上，得222211c a a b +=.解得21b =，于是221c a =-，又点(e 在椭圆上，所以222314e a b+=. 即241314a a -+=，解得22a =.因此，所求椭圆的方程是2212x y +=. （2）由（1）知1(1,0)F -，2(1,0)F ，又直线1AF 与2BF 平行，所以可设直线1AF 的方程为1x my +=，直线2BF 的方程为1x my -=.设11(,)A x y ，22(,)B x y ，10y >，20y >，由221111121x y x my ⎧+=⎪⎨⎪+=⎩得2211(2)210m y my +--=，解得122m y m +=+.故1AF ===①同理，2BF =（i）由①②得12AF BF -=2=解得22m =. 因为0m >，故m =，所以直线1AF的斜率为12m =（ii ）因为直线1AF 与2BF 平行，所以211BF PB PF AF =，于是12111PB PF BF AF PF AF ++=，故11112AF PF BF AF BF =+.由点B在椭圆上知12BF BF +=从而1112AF PF AF BF =+2)BF .同理2212BF PF AF BF =+1)AF ，因此11212AF PF PF AF BF +=+2212)BF BF AF BF ++1)AF =12122AF BF AF BF ⋅-+.又由①②知12AF BF +=212212m AF BF m +⋅=+.所以1222PF PF +==.因此12PF PF +是定值. 21.解：（Ⅰ）因为1()ln 1a f x x ax x-=-+-. 所以211'()a f x a x x-=-+221ax x a x -+-=(0,)x ∈+∞. 令2()1h x ax x a =-+-，(0,)x ∈+∞.（1）当0a =时，()1h x x =-+，(0,)x ∈+∞.所以，当(0,1)x ∈时，()0h x >，此时'()0f x <，函数()f x 单调递减；当(1,)x ∈+∞时，()0h x <，此时'()0f x >，函数()f x 单调递增.（2）当0a ≠时，由'()0f x =.即210ax x a -+-=，解得11x =，211x a=-. ①当12a =时，12x x =，()0h x ≥恒成立， 此时'()0f x ≤，函数()f x 在(0,)+∞上单调递减； ②当102a <<时，1110a->>. (0,1)x ∈时，()0h x >，此时'()0f x <，函数()f x 单调递减；1(1,1)x a∈-时，()0h x <，此时'()0f x >，函数()f x 单调递增； 1(1,)x a∈-+∞时，()0h x >，此时'()0f x <，函数()f x 单调递减；③当0a <时，由于110a-<， (0,1)x ∈时，()0h x >，此时'()0f x <，函数()f x 单调递减；(1,)x ∈+∞时，()0h x <，此时'()0f x >，函数()f x 单调递增.综上所述：当0a ≤时，函数()f x 在(0,1)上单调递减；函数()f x 在(1,)+∞上单调递增； 当12a =时，函数()f x 在(0,)+∞上单调递减； 当102a <<时，函数()f x 在(0,1)上单调递减； 函数()f x 在1(1,1)a-上单调递增； 函数()f x 在1(1,)a-+∞上单调递减. （Ⅱ）因为11(0,)22a =∈，由（Ⅰ）知， 11x =，23(0,2)x =∉，当(0,1)x ∈时，'()0f x <，函数()f x 单调递减，当(1,2)x ∈时，'()0f x >，函数()f x 单调递增，所以()f x 在(0,2)上最小值为1(1)2f =-. 由于“对任意1(0,2)x ∈，存在2[1,2]x ∈，使12()()f xg x ≥”等价于“()g x 在[1,2]上的最小值不大于()f x 在(0,2)上的最小值12-”(*) 又22()()4g x x b b =-+-，[1,2]x ∈，所以①当1b <时，因为min [()](1)520g x g b ==->，此时与(*)矛盾；②当[1,2]b ∈时，因为2min [()]40g x b =-≥，同样与(*)矛盾；③当(2,)b ∈+∞时，因为min [()](2)84g x g b ==-， 解不等式1842b -≤-，可得178b ≥. 综上，b 的取值范围是17[,)8+∞.22. 解：（1）将M 及对应的参数3πϕ=，代入cos sin x a y b ϕϕ=⎧⎨=⎩，得1cos 3sin 23a b ππ⎧=⎪⎪⎪=⎪⎩，即21a b =⎧⎨=⎩. 所以曲线1C 的方程为2cos sin x y ϕϕ=⎧⎨=⎩（ϕ为参数），或2214x y +=. 设圆2C 的半径为R ，由题意，圆2C 的方程为2cos R ρθ=，（或222()x R y R -+=）. 将点(1,)3D π代入2cos R ρθ=，得12cos 3R π=，即1R =. （或由(1,)3D π，得1(,22D ，代入222()x R y R -+=，得1R =）， 所以曲线2C 的方程为2cos ρθ=，或22(1)1x y -+=.（2）因为点1(,)A ρθ，2(,)2B πρθ+在曲线1C 上. 所以222211cos sin 14ρθρθ+=，222222sin cos 14ρθρθ+=. 所以221211ρρ+22cos (sin )4θθ=+22sin 5(cos )44θθ++=. 23.解：（1）由26x a a -+≤得26x a a -≤-，∴626a x a a -≤-≤-，即33a x -≤≤， ∴32a -=-，∴1a =.（2）由（1）知()211f x x =-+，令()()()n f n f n ϕ=+-. 则()21212n n n ϕ=-+++124,2114,22124,2n n n n n ⎧-≤-⎪⎪⎪=-<≤⎨⎪⎪+>⎪⎩. ∴()n ϕ的最小值为4，故实数m 的取值范围是[)4,+∞.。

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