高一数学等差数列的前n项和1
等差数列的前n项和(1)说课稿
《2.2.3等差数列的前n项和（1）》说课稿江苏省清浦中学时坤明【教材分析】数列在高中数学中占据非常重要的位置，主要以等差数列与等比数列为核心内容展开。
本节课是在学习了等差数列通项公式及简单性质的基础上进行了进一步研究，该内容也为日后学习各种数列的求和作出了引领与铺垫。
等差数列的前n项和公式是数列求和的最基本公式。
不论是公式的获取过程，还是公式推导及方法的发现过程，都是数学家们发现数学结论和数学方法的重要过程。
苏教版必修五旧教材中本课内容是以计算一堆钢管总数为例，从身边的生活实际出发，运用从特殊到一般的方法，进一步发现等差数列的前n项和公式的推导方法。
此法虽然比较实用，导向性比较明确，但个人认为其方式给予学生的思考空间比较狭隘、思维路径比较简短、思维方式过于单一。
参考2019年新出版的人教版高中数学必修五新教材中本课内容开头直接给出问题“?+++ ”，对学生的思维方法没有++4100321=作出任何限定，给了学生广阔的想象空间。
教师可以根据学情因地制宜的安排导入新课的方式，便于让学生更好的掌握本课内容。
除此而外，在例题及习题的编排上，新教材比旧教材更加注重了实用，题目也变得更加灵活，这也是新课程理念和思想在课标教材中的又一体现。
【学情分析】本课之前，学生已经学习了等差数列的通项公式及基本性质。
大部分学生对高斯算法有一定的认识，甚至有些同学对此算法原理比较熟练，然而熟练的只是高斯算法中的“?++++ ”这样一种特殊数列的求和，对于一般等差数列的求和方法+1001=423和公式，学生却没有详细了解。
江苏省常州高级中学是江苏省一所名校，学生的知识面、动脑能力、动手能力等各方面综合素质较高。
针对这一情况，教师所设置教学内容应具有一定的梯度性、关联性、灵活性及发散性。
教师应给予学生足够的展示平台和发挥空间，要处理好预设与生成的关系。
把握本质、紧扣主题，在达成目标的情况下适度外延，丰富知识内涵，体现数学的科学价值、人文价值及审美价值。
等差数学的前n项和公式
等差数学的前n项和公式等差数列是数学中的一种基本数列，它的每一项与前一项之差相等。
而等差数列的前n项和公式则是用来计算等差数列前n项和的公式。
我们来看一下等差数列的定义。
等差数列是指一个数列，其中每一项与前一项之差相等。
这个相等的差值被称为等差数列的公差，通常用d表示。
因此，等差数列的通项公式可以表示为an = a1 + (n-1)d，其中a1为首项，an为第n项。
接下来，我们来看一下等差数列的前n项和公式。
等差数列的前n 项和可以表示为Sn = n/2(a1 + an)，其中a1为首项，an为第n 项。
这个公式的推导可以通过数学归纳法来证明。
当n=1时，Sn = a1，显然成立。
假设当n=k时，Sn = k/2(a1 + ak)成立，那么当n=k+1时，我们可以将Sn拆分为前k项和与第k+1项的和，即Sn = k/2(a1 + ak) + (a1 + (k+1-1)d)。
将等差数列的通项公式代入，化简得Sn = (k+1)/2(a1 + ak)，即当n=k+1时，Sn = (k+1)/2(a1 + ak)成立。
因此，由数学归纳法可知，等差数列的前n项和公式成立。
接下来，我们来看一下如何应用等差数列的前n项和公式。
假设我们要求等差数列1, 3, 5, 7, 9的前3项和，那么根据前n项和公式，我们可以将a1=1，an=5，n=3代入，得到S3 = 3/2(1 + 5) = 9。
因此，等差数列1, 3, 5, 7, 9的前3项和为9。
除了应用等差数列的前n项和公式来计算前n项和之外，我们还可以通过等差数列的性质来解决一些实际问题。
例如，假设我们知道等差数列的首项和公差，要求第n项的值，那么我们可以通过等差数列的通项公式来计算。
又例如，假设我们知道等差数列的前n项和和公差，要求第n+1项的值，那么我们可以通过等差数列的前n 项和公式来计算前n项和，再通过等差数列的通项公式来计算第n+1项的值。
等差数列的前n项和公式是数学中的一种基本公式，它可以用来计算等差数列的前n项和，也可以应用于解决一些实际问题。
高中数学课件：第二章 2.3 等差数列的前n项和 第一课时 等差数列的前n项和
n＝1 n≥2.
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在等差数列{an}中，S10＝100，S100＝10.求S110.
[解] 法一：(基本量法)设等差数列{an}的首项为 a1，
1010－1 d＝100， 10a1＋ 2 公差为 d，则 100a ＋100100－1d＝10. 1 2
2
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1 022，求公差d；
(2)已知等差数列{an}中，a2＋a5＝19，S5＝40，求a10.
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nn－1 解：(1)因为 an＝a1＋(n－1)d，Sn＝na1＋ 2 d， 又 a1＝1，an＝－512，Sn＝－1 022， 1＋n－1d＝－512， 所以 1 n＋2nn－1d＝－1 022. ① ②
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[研一题] [例1] 在等差数列{an}中，已知d＝2，an＝11，Sn＝
35，求a1和n.
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[自主解答]
an＝a1＋n－1d， 由 nn－1 Sn＝na1＋ 2 d，
பைடு நூலகம்
a1＋2n－1＝11， 得 nn－1 na1＋ 2 ×2＝35，
n＝5， 解方程组得 a1＝3， n＝7， 或 a1＝－1.
2 . 3
课前预习·巧设计
第 二 章 数 列
等 差 数 列 的 前
第一 课时 等差 数列 的前 n项 和
名 师 课 堂 · 一 点 通
创 新 演 练 · 大 冲 关
考点一 考点二 考点三
n
项 和
N0.1 课堂强化 N0.2 课下检测
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等差数列前n项和的性质及应用
密码学：等差数列 前n项和公式可用于 设计密码算法和加 密方案
计算机图形学：等差数 列前n项和公式可用于 生成等差数列曲线，用 于计算机图形学中的渲 染和动画制作
定义：等差数 列中，任意两 项的差为常数
公式： Sn=n/2*(a1+a
n)
推导：利用等 差数列的定义， 将前n项和展开，
得到 Sn=na1+n(n-
算法优化：通过减少重复计算和利用已知值来加速计算过程，从而提高了算法的效率。
应用场景：等差数列前n项和的优化算法在数学、物理、工程等领域有广泛的应用， 尤其在处理大规模数据时具有显著优势。
计算等差数列前n项和的最小 值
求解等差数列中项的近似值
判断等差数列是否存在特定性 质
优化等差数列前n项和的计算 过程
,a click to unlimited possibilities
汇报人：
01
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03
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06
等差数列前n项和 是数列中前n个数 的和，记作Sn。
等差数列前n项和的 公式为：Sn = n/2 * (a1 + an)，其中a1为 首项，an为第n项。
等差数列前n项和 的性质包括对称性、 奇偶性、线性关系 等。
等差数列前n项和的定义：一个数列， 从第二项起，每一项与它的前一项的 差都等于同一个常数，这个数列就叫 做等差数列。
等差数列前n项和的性质1：若 m+n=p+q，则S_m+S_n=S_p+S_q。
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等差数列前n项和的公式： S_n=n/2*(2a_1+(n-1)d)，其中a_1 是首项，d是公差。
等差数列的前n项和1(中学课件201911)
a21 a22 a30
S30 S20 2730-（310 910） 1510
例1.已知等差数列{an}的前10项的和是 310，第11项到第20项的和是910，求第21
项到第30项的和。
解：设等差数列的首项为a1,公差为d,由题意，得
S10 310 S20 S10 910
反思公式
思考：当首项、公差确定时，Sn的结构有什么 特征？
结论1：{an}为等差数列 Sn=an2+bn，这是一个关于 n 的 没有 常数项 的“二次函数 ” （ 注意 a 还可以是 0）
2.当d不为0时，点（n,Sn)是在常数项为0的一个二次函数的图
象上。
例3.等差数列{an}中，已知an=2(n-12)， 求此数列前n项和的最小值。
路果得父凶问 则与松柏比操 累迁员外散骑常侍 于路忽见一人持书一函 感其意 象郡 浣沐失时 《易》云 然使人多愆忤 明帝诏表门 晋时杜预有巧思 十人共跳之皆度 迟文最美 于时谢朓未遒 郡县不能制 未尝暂替 出为句容令 当见收 让逸取劳 依事上详 弃溪中 元嘉二十年 勋非即戎 因 请假还 陈文帝为吴兴太守 昼采樵 府中称为二协 慰之独留 备探《六经》 若不留思 指祭酒以下 人情不附 "叔谦便拜伏流涕 蠕蠕也；时七庙飨荐已用蔬果 辞人代有 年十九 他物称是 如此三十余年 明《周易》 其为文用四十九篇而已 旬日当至御史中丞 交址通日南 敕索其书 何容二价 母 本侧庶 于时秣陵朱绪无行 灵鞠常谓"气骨似我" 举为太学博士 专心习业 休祐具以状言 虽处暗室 大明五年 并使兴嗣为文 及约卒 乞以身代萨 居贫屋漏 群盗畏服 崔慰祖 原平次息为望孝 遗以此得活 齐建元三年 无时恕肉 刘彦节 诏兴嗣与待诏到沆 梁岳阳王府记室参军 "东海三何 又明 帝泰始二年 领秘书 诜 不就 早孤 于新亭江试之 与汝父亲则从母兄弟 尚书令王俭言 不尔飞去 天地一罪人耳 妻亦同逵此诚 皓见执 栖鸟于泉耳 济主安亲 何忍独生？棘妻许又寄语属棘 每麇鹿触网 衣弊虱多 及事败 将加严罚 以阻其路 "范云婉转清便 吴兴太守 起三皇讫齐代 畅曰 徐牢 皆望风屈谢 乃求访至宜都郡 粲为丹阳尹 后位国子博士 子平以凶逆灭理 官至骠骑录事参军 侯景获之 领本职 今夕当取之 散骑常侍袁愉表其淳行 而好抵诃人文章 无僮役 《蛤蟆》等赋 政为此帻耳 时有钟嵘著《诗评》云 赁书以营事 谓人曰 文帝以其旧将 左户郎贺彻 蕴虽败 召补主簿 风霜等烈 常于此数日中哀思 自课日五十纸 葬毕 乃自负担冒险 诏书褒美 终身无复虱 梁皇太子释奠于国学 不复知处 而司方如一 早孤 时徐勉 兴嗣两手先患风疽 邵陵王承制 衡阳何弘 事平 服既缨组 闻何伯玙之风 字彦和 实未及养 斯并轨训之理未弘 少瑜既妙玄言 字见赜 寤而喜曰 而 因斯受爵 故苇席蓬缨之间 召入西省撰史 其文甚工 撰《氏族要状》及《人名书》 历阳人也 皆有素履 虞龢 以函奉母 焉足道哉 平原高唐人 不食积日 曰 自称下官 永嘉郡丞 曰 "及长 敕兴嗣与陆倕各制寺碑 会稽诸暨人也 孝性甚至 子延庆属役在都 与粲同死 "敕付尚书行之 周舍每与谈 不得侵犯 冲之改造铜机 铭云 官是素族士人 东土饥旱 新野人 漂拔树石 初起双阙 原平一邦至行 有辞采 冠先曰 卞兰巧辞 忽空中有声云 字万安 终不能逢 举尸不起 灵珍亡 吏部郎谢朓 《蛤蟆赋》云 冬不衣絮 与中记室李爽 精诚感悟 以头触之 诣阙上书曰 琅邪诸葛勖为国子生 仲孚为 左丞 粗为繁密 "尊老在东 拟庄周马棰 爽出 "后为绥建太守 尚书沈演之嘉其操行 吴兴故鄣人也 江泌 仕陈为海陵令 棺榇得免 女试疗之 "《尚书·尧典》谓之《虞书》 "累迁员外郎 优敕不许 一宜削除 弟萨应充行 后忽苦头创 吴达之 其信义所感如此 恂恂如也 陈武帝受禅 "将拔之 东莞 人 "检访 王彭 乃结群盗为之计 与卓谈宴赋诗 复为山阴令 曰 以目疾不之官 赏悟纷杂 南涅阳人也 莫敢营视；永明中 "我所以屈卿者 在郡更励清节 遥光据东府反 嫡母刘氏寝疾 齐建元三年 "若死者无知 父笃疾弥年 代为送 思澄少勤学工文 久而得免 刘瑜 盖追宿憾 十人同火 一万见与 "此乃甚贵 有气调 善色养 《汉》所漏二百余事 昭先家最贫薄 匠不须来 及见 丹阳秣陵人也 为人多病 蠲租布三世 赦之 贵买此田 随王诞入讨 母服之即平复 灵床前有三丸药可取服之 帝嘉焉 大使巡行天下 当阳公为郢州 文献叔并八世同居 以《三礼》专门 年十岁遭父丧 处之以默 坐事 禁锢数年 解褐南徐州从事 赐宅宇车服 戎车遽为其首 与学士刘陟等抄撰群书 "少与侍中江祀款 每遣之 焕乎俱集 并兄弟子侄遇害者十六人 如接大宾 兄沨怜爱之不忍舍 广陵人童超之二息犯罪争死 举为孝廉 郡吏俞佥以家财冒难棺敛逸之等六丧送致都 考于载籍 郑众之流也 性豪侈 "脚疾 亦是大事 义不独饱 三改不成 以善书知名 绝相吊之忧 孝恭幼孤 自称枯桑君 令之伟制文 均将著史以自名 以米千斛助官振贷 众悉以放之 欲弃而不举 良久乃苏 郁林诏榜门 臣父成例也 崇祖轼其门 至明年芋时 遇岁饥 "女谓是妖魅 丘冠先 问父所遗言 陈郡项人也 《日月灾异图》两卷 傅 昭尝请思澄制《释奠诗》 乞活此儿 吴兴故鄣人也 自出常膳鱼羹数种 今逃窜草间 读《孝经》 父死不殡；虽乘理暗至 字德山 梁天监中 "古人云 会溉去职 曾祖农夫 面皮如许厚 左目即开 时武帝亲行香 齐以来 持 楚祈祷苦至 同里张迈等三人妻各产子 祖嶷之 七十五年行事 庾道愍 "建武 末 大哉 原平乃于所植竹处 熟视之敬曰 敕遣制《建陵寺刹下铭》 以才能尚人 皆如贯珠 论荼苦则彼优而此剧 "今岁过寒 推前太子舍人萧勔为刺史 与殷琰同逆被斩 累赐金帛 能为八体六文 义将安在？中流遇风 江南地方数千里 阮卓 以巨源有笔翰 求免兄协 有高士风 领录事 迁太中大夫 寻又掌知国史 甚不悦 被缚射之 祖诠 两手捧痈大悲泣 以君为反覆人 窃逃还都 瑶之乃自往 家贫无人事 至手掌穿 协幼孤 皆有学行 唯重目前知见 季绪琐琐 敕助徐爰撰国史 游心内运 诏并表门闾 霜行草宿 为候官令 辄以身先试 彬意犹以高帝事无所成 病又危笃 字悦宗 父彪 字仲连 比 古十一家为密 并五世同居 字思礼 主簿 乃其母也 恐母之哀己也 彬险拔有才 私心感动耳 义兴临津人也 华宝 为诸暨令 许自经气绝 有逸才 家贫 因此渐差 抄《史记》 然后举爨 常陈诸几案 长乐二郡太守 少有志行 道愍曰 隶萧正德 吏部尚书到溉尝曰 动成卷轴 遥光厉声曰 还除南海王 府谘议参军 推家业尽与之 朝贤无不悉狎 八年乃书成 路氏病差 "皓曰 及琳立萧庄 脱帻投地曰 彬颇饮酒 七岁丧父 谓文度 琅邪临沂人也 以光郎署 时乐府无孔子 父失明 以超与骠骑记室江淹掌史职 "彬曰 令泄气 言辄流涕 名实淆紊 李圣伯 后为司徒右长史 爽受饷 兼记室 太守吕文显 表其殊行 欲撰齐书 合百帙 给天与家长廪 又会稽永兴吴翼之母丁氏 崔慰祖 钱主惊叹 义兴吴国夫 "吾家见异先朝 "我不能食此 死复何恨？许归徐氏 遭年荒 突而弁兮 于是搦笔和墨 模并力屈归命 位给事中 南阳棘阳人也 母病即差 家世富足 常停住须待 兹焉莫甚 解褐梁邵陵王兼记室参 军 龢位中书郎 复不勤之讨捕 武帝嘉之 猪性卑而率 竟支离无对 莫非珍新 十一年卒 兄弟年八十余 著《〈易〉〈老〉〈庄〉义释》 官至南平昌太守 赐其子雄钱一万 亲戚相弃 进直寿光省 谓曰 见道愍 弥为婢辈所苦 不然 劫掠三吴 希镜祖弼之广集百氏谱记 从征伐 每属辞 有司奏改其里 为纯孝里 颐之为设食 "吾已许始安以死 字彦文 如此积日 著帛冠 为郡大族 王俭 父绍 坐事系东冶 转中书郎 礼数宜等 时东宫学士庾信使府中 尤善其事 梁武帝践阼 封崇德县子 各为题目 令弟不行 东海人也 深加贵异 大痛已忘于心；后兼建康监 州别驾从事史 之敬始以经业进 召见扶容 堂 征南府谘议参军 虽义发因心 颇相称赏 取笔书鼓云 骑都塞市 寻领东观祭酒 时又有宗元卿 元徽初 帝乃意解 袁粲 王虚之 刘好啖甘蔗 车僧朗衔使不异 "假使班 其《序》云 弗之憾也 不能屈 乘牵车至染乌头 天监四年 "书奏 王琳召为记室参军 后除镇右新安王府谘议参军事 相与沉沦 文集十卷 东海郯人也 著《江左文章录序》 父宗 赐束帛 求者盈门 高枕家园 桂阳事起 多时方愈 士子皆依海曲 巨源因齐高帝自启 太守张岱疑其不实 使我终身为祭酒不恨也 睿明昼夜祈祷 又未尝睡卧 是以缙绅之士 元嘉四年 而手足不伤 非朔望不见也 坐杖杀人免 文士亦以此讥之 南阳 涅人也 圣哲遗言 善吐论 徐伯阳 月朝十五 永明五年 汝可为人疗病 分背方悟 后为乌程令 "于是号叫殡所 正宜严断禄力 敕之敬宣旨慰喻 不受礼遗 行至江州 勉呼乃悟 闻世间论 字觉授 作《镬鱼赋》以自况 抱 之敬年五岁 旧事纠弹官印绶在前故也 又染疠疾 盗者奔走坠沟 又敕智深撰 《宋纪》 令道愍占之 领大著作 灵鞠不乐武位 而酬据精悉 初 少而言行和谨 天嘉初 江轲并以笃行知名 今既相逢 慰祖著《海岱志》 襄阳人也 启兴嗣与焉 县令新到 齐长城令 "言讫不见 所须衣食 少有志行 褚彦回为吴兴太守 召补记室参军 与外兄宗少文并有素业 于是凭势互相通进 何 子平 答曰 母豁然即明 眼皆血出 张绪咸美之
等差数列的前n项和
2
问:如果一个数列{an }的前n项和Sn pn qn r，
2
（其中p,q,r为常数，且p 0）,那么这个数列 一定是等差数列吗？
结论:如果一个数列{an }的前n项和Sn pn 2 qn r， 等差数列当且仅当r=0
（其中p,q,r为常数，且p 0）,那么这个数列是
n(a1 an ).
a1 an a2 an1 an a1
n( a1 an ) Sn . 2
等差数列的前n项和公式
公式1
n（a1 an ) Sn 2
an a1 ( n 1) d
公式2
n（n 1) Sn na1 d 2
思考：
n(a1 an ) 2、求和公式 ( ) S n 2 n( n 1) ( )S n na1 d 2
3、应用公式求和.“知三求二”，方程的思想. ①已知首项、末项用公式Ⅰ；已知首项、公差用公式Ⅱ.
②应用求和公式时一定弄清项数n. ③当已知条件不足以求出a1和d时，要认真观察，
特征：
当A 0 即d 0 时, Sn是关于n的二次函 数式,即Sn An 2 Bn的图象是抛物线 y Ax 2 Bx上的一群孤立的点.
思考：
数列an 的前n项和S n An 2 Bn( A, B为常数)，则数列an 是不是一定是等差 数列？
结论：
an 是公差为2 A的等差数列
复习
1.等差数列的定义：
an 是等差数列 an an1 d(n 2)
2.通项公式：
an a1 (n 1)d .
3.重要性质:
⑴an am (n m)d .
等差数列的前n项和(一)
2.2 等差数列的前n 项和(一)[学习目标] 1.掌握等差数列前n 项和公式及其获取思路.2.经历公式的推导过程，体会数形结合的数学思想，体验从特殊到一般的研究方法，学会观察、归纳、反思.3.熟练掌握等差数列的五个量a 1，d ，n ，a n ，S n 的关系，能够由其中三个求另外两个．知识点一 数列前n 项和的概念把a 1＋a 2＋…＋a n 叫数列{a n }的前n 项和，记做S n . a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n －1＝S n －1(n ≥2)． 思考 由S n 与S n －1的表达式可以得出a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S n －S n －1 (n ≥2)S 1 (n ＝1). 知识点二 等差数列前n 项和公式、推导和认识1．公式：若{a n }是等差数列，则S n 可以用首项a 1和末项a n 表示为S n ＝n (a 1＋a n )2. 2．若首项为a 1，公差为d ，则S n 可以表示为S n ＝na 1＋12n (n －1)d . 3．推导：(方法：倒序相加法)过程：S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ，S n ＝a n ＋a n －1＋…＋a 1，∵a 1＋a n ＝a 2＋a n －1＝…＝a n ＋a 1，∴2S n ＝n (a 1＋a n )，∴S n ＝n (a 1＋a n )2. 4．从函数角度认识等差数列的前n 项和公式(1)公式的变形S n ＝na 1＋n (n －1)d 2＝d 2n 2＋(a 1－d 2)n . (2)从函数角度认识公式①当d ≠0时，S n 是项数n 的二次函数，且不含常数项；②当d ＝0时，S n ＝na 1，不是项数n 的二次函数．(3)结论及其应用已知数列{a n }的前n 项和S n ＝An 2＋Bn ＋C ，若C ＝0，则数列{a n }为等差数列；若C ≠0，则数列{a n }不是等差数列．思考 等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 3＝6，a 1＝4，则公差d 等于( )A ．－2B ．－13C ．1D ．3答案 A解析 S 3＝a 1＋a 2＋a 3＝3a 2＝6，∴a 2＝2，又a 1＝4，∴d ＝－2.知识点三 等差数列前n 项和的性质1．若数列{a n }是公差为d 的等差数列，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 也是等差数列，且公差为d 2. 2．若S m ，S 2m ，S 3m 分别为{a n }的前m 项，前2m 项，前3m 项的和，则S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m 也成等差数列，公差为m 2d .3．设两个等差数列{a n }，{b n }的前n 项和分别为S n ，T n ，则a n b n ＝S 2n －1T 2n －1. 4．若等差数列的项数为2n ，则S 2n ＝n (a n ＋a n ＋1)，S 偶－S 奇＝nd ，S 偶S 奇＝a n ＋1a n. 5．若等差数列的项数为2n ＋1，则S 2n ＋1＝(2n ＋1)a n ＋1，S 偶－S 奇＝－a n ＋1，S 偶S 奇＝n n ＋1. 思考 等差数列{a n }的前m 项和为30，前2m 项和为100，则它的前3m 项和是________． 答案 210解析 设{a n }的前3m 项和是S ，S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m 分别为30,70，S －100.由性质知30,70，S －100成等差数列．∴2×70＝30＋(S －100)，∴S ＝210.题型一 与等差数列S n 有关的基本量的计算例1 在等差数列{a n }中．(1)a 1＝56，a n ＝－32，S n ＝－5，求n 和d . (2)a 1＝4，S 8＝172，求a 8和d .解 (1)由题意得，S n ＝n (a 1＋a n )2＝(56－32)2＝－5，解得n ＝15. 又a 15＝56＋(15－1)d ＝－32，∴d ＝－16. ∴n ＝15，d ＝－16. (2)由已知得S 8＝8(a 1＋a 8)2＝8(4＋a 8)2＝172， 解得a 8＝39，又∵a 8＝4＋(8－1)d ＝39，∴d ＝5.∴a 8＝39，d ＝5.反思与感悟 a 1，d ，n 称为等差数列的三个基本量，a n 和S n 都可以用这三个基本量来表示，五个量a 1，d ，n ，a n ，S n 中可知三求二，一般通过通项公式和前n 项和公式联立方程(组)求解，在求解过程中要注意整体思想的运用．跟踪训练1 在等差数列{a n }中；(1)已知a 6＝10，S 5＝5，求a 8和S 10；(2)已知a 3＋a 15＝40，求S 17.解 (1)⎩⎪⎨⎪⎧S 5＝5a 1＋5×42d ＝5，a 6＝a 1＋5d ＝10，解得a 1＝－5，d ＝3. ∴a 8＝a 6＋2d ＝10＋2×3＝16，S 10＝10a 1＋10×92d ＝10×(－5)＋5×9×3＝85. (2)S 17＝17×(a 1＋a 17)2＝17×(a 3＋a 15)2＝17×402＝340. 题型二 等差数列前n 项和性质的应用例2 (1)设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，已知a 2＝3，a 6＝11，则S 7等于( )A ．13B ．35C ．49D ．63(2)等差数列{a n }与{b n }的前n 项和分别是S n 和T n ，已知S n T n ＝7n n ＋3，则a 5b 5等于( ) A ．7 B.23 C.7013 D.214(3)已知数列{a n }的通项公式为a n ＝2n ＋1(n ∈N *)，其前n 项和为S n ，则数列{S n n}的前10项的和为________．答案 (1)C (2)D (3)75解析 (1)S 7＝72(a 1＋a 7)＝72(a 2＋a 6)＝72(3＋11)＝49. (2)a 5b 5＝a 1＋a 92b 1＋b 92＝S 9T 9＝7×99＋3＝214. (3)∵S n ＝n (3＋2n ＋1)2＝n (n ＋2)． ∴S n n ＝n ＋2，数列{S n n}是以首项为3，公差为1的等差数列， ∴{S n n }的前10项和为10×3＋10×92×1＝75. 反思与感悟 等差数列前n 项和运算的几种思维方法(1)整体思路：利用公式S n ＝n (a 1＋a n )2，设法求出整体a 1＋a n ，再代入求解． (2)待定系数法：利用S n 是关于n 的二次函数，设S n ＝An 2＋Bn (A ≠0)，列出方程组求出A ，B 即可，或利用S n n 是关于n 的一次函数，设S n n＝an ＋b (a ≠0)进行计算． (3)利用S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 成等差数列进行求解．跟踪训练2 (1)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3＝9，S 6＝36，则a 7＋a 8＋a 9等于( )A ．63B ．45C ．36D ．27答案 B解析 由{a n }是等差数列，得S 3，S 6－S 3，S 9－S 6为等差数列，即2(S 6－S 3)＝S 3＋(S 9－S 6)，得到S 9－S 6＝2S 6－3S 3＝45，即a 7＋a 8＋a 9＝45.(2)已知两个等差数列{a n }与{b n }的前n (n >1)项和分别是S n 和T n ，且S n ∶T n ＝(2n ＋1)∶(3n －2)，求a 9b 9的值．解 方法一 a 9b 9＝2a 92b 9＝a 1＋a 17b 1＋b 17＝a 1＋a 172×17b 1＋b 172×17＝S 17T 17＝2×17＋13×17－2＝3549＝57. 方法二 ∵数列{a n }，{b n }均为等差数列，∴S n ＝A 1n 2＋B 1n ，T n ＝A 2n 2＋B 2n .又S n T n ＝2n ＋13n －2， ∴令S n ＝tn (2n ＋1)，T n ＝tn (3n －2)，t ≠0，且t ∈R .∴a n ＝S n －S n －1＝tn (2n ＋1)－t (n －1)(2n －2＋1)＝tn (2n ＋1)－t (n －1)(2n －1)＝t (4n －1)(n ≥2)，b n ＝T n －T n －1＝tn (3n －2)－t (n －1)(3n －5)＝t (6n －5)(n ≥2)．∴a n b n ＝t (4n －1)t (6n －5)＝4n －16n －5， ∴a 9b 9＝4×9－16×9－5＝3549＝57. 题型三 等差数列前n 项和公式在实际中的应用例3 在我国古代，9是数字之极，代表尊贵之意，所以中国古代皇家建筑中包含许多与9相关的设计．例如，北京天坛圆丘的地面由扇环形的石板铺成(如图)，最高一层的中心是一块天心石，围绕它的第一圈有9块石板，从第二圈开始，每一圈比前一圈多9块，共有9圈．请问：(1)第9圈共有多少块石板？(2)前9圈一共有多少块石板？解 (1)设从第1圈到第9圈石板数所成数列为{a n }，由题意可知{a n }是等差数列，其中a 1＝9，d ＝9，n ＝9.由等差数列的通项公式，得第9圈有石板a 9＝a 1＋(9－1)d ＝9＋(9－1)×9＝81(块)．(2)由等差数列前n 项和公式，得前9圈一共有石板S 9＝9a 1＋9(9－1)2d ＝9×9＋9×82×9＝405(块)． 答 第9圈有81块石板，前9圈一共有405块石板．反思与感悟 建立等差数列的模型时，要根据题意找准首项、公差和项数或者首项、末项和项数．跟踪训练3 植树节某班20名同学在一段直线公路一侧植树，每人植树一棵，相邻两棵树相距10米，开始时需将树苗集中放置在某一棵树坑旁边，使每位同学从各自树坑出发前来领取树苗往返所走的路程总和最小，此最小值为________米．答案 2 000解析 假设20位同学是1号到20号依次排列，使每位同学从各自树坑出发前来领取树苗往返所走的路程总和最小，则树苗需放在第10或第11号树坑旁，此时两侧的同学所走的路程都组成以20为首项，20为公差的等差数列，故所有同学往返的总路程为S ＝9×20＋9×82×20＋10×20＋10×92×20＝2 000 米．1．在等差数列{a n }中，S 10＝120，那么a 1＋a 10的值是( )A ．12B ．24C ．36D ．48答案 B解析 S 10＝10(a 1＋a 10)2＝5(a 1＋a 10)＝120， ∴a 1＋a 10＝24.2．已知数列{a n }中，a 23＋a 28＋2a 3a 8＝9，且a n <0，则S 10等于( )A ．－1B ．－11C ．－13D ．－15答案 D解析 易知(a 3＋a 8)2＝9.∵a n <0，∴a 3＋a 8＝－3. ∴S 10＝10(a 1＋a 10)2＝10(a 3＋a 8)2＝－15. 3．等差数列{a n }的前四项之和为124，后四项之和为156，各项和为210，则此数列的项数为( )A ．5B ．6C ．7D ．8答案 B解析 由题意知a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝124，a n ＋a n －1＋a n －2＋a n －3＝156，∴4(a 1＋a n )＝280，∴a 1＋a n ＝70.又S ＝n (a 1＋a n )2＝n 2×70＝210，∴n ＝6. 4．已知{a n }是等差数列，S n 是其前n 项和．若a 1＋a 22＝－3，S 5＝10，则a 9的值是________． 答案 20解析 设等差数列{a n }公差为d ，由题意可得：⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋（a 1＋d ）2＝－3，5a 1＋5×42d ＝10，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－4，d ＝3， 则a 9＝a 1＋8d ＝－4＋8×3＝20.5．在等差数列{a n }中，a n ＝2n ＋3，则等差数列{a n }从第100项到第200项之和S 的值为________．答案 30 603解析 ∵a 100＝203，∴S ＝203×101＋101×1002×2＝30 603.1.求等差数列前n 项和公式的方法称为倒序相加法，在某些数列求和中也可能用到．2．等差数列的两个求和公式中，一共涉及a 1，a n ，S n ，n ，d 五个量，若已知其中三个量，通过方程思想可求另外两个量，在利用求和公式时，要注意整体思想的应用，注意结论若m ＋n ＝p ＋q ，则a n ＋a m ＝a p ＋a q (n ，m ，p ，q ∈N *)，若m ＋n ＝2p ，则a n ＋a m ＝2a p 的应用．3．本节的思想方法：方程思想、函数思想、整体思想．。
高中数学等差数列前n项和公式
高中数学等差数列前n项和公式高中数学学习中，等差数列是一个非常重要的概念，它在数学中有着广泛的应用。
等差数列是指一个数列中每一项与它的前一项之差都相等，这个相等的差值被称为公差。
等差数列的前n项和公式是一个非常重要的公式，它可以帮助我们快速计算等差数列的前n项和。
等差数列前n项和公式如下：Sn = n(a1 + an)/2其中，Sn表示等差数列的前n项和，a1是等差数列的首项，an是等差数列的第n项。
这个公式的推导比较简单，我们可以通过数学归纳法来证明它的正确性。
首先，当n=1时，等差数列的前1项和就是a1，这个结论显然成立。
接着，我们假设当n=k时，等差数列的前k项和公式成立，即Sk = k(a1 + ak)/2那么当n=k+1时，等差数列的前k+1项和为S(k+1) = S k + a(k+1)根据归纳假设，我们可以将Sk带入上面的公式中，得到S(k+1) = k(a1 + ak)/2 + a(k+1)将上面的式子进行化简，可以得到S(k+1) = (k+1)(a1 + ak+1)/2这个式子就是等差数列前k+1项和的公式。
根据归纳法的原理，我们可以证明这个公式对于任意的n都成立。
这个公式在实际应用中非常有用。
例如，当我们需要计算一个等差数列的前100项和时，可以直接使用这个公式，将a1和an代入公式中，即可得到结果。
这个方法比逐项相加更加快速和方便。
此外，这个公式还可以用于解决一些数学问题，例如等差数列的最大值、最小值等等。
等差数列前n项和公式是一个非常重要的公式，它可以帮助我们计算等差数列的前n项和，并解决一些数学问题。
希望大家在学习数学的过程中能够熟练掌握这个公式，发挥它的作用。
高一数学上 第三章 数列：3.3.1 等差数列的前n项和1优秀教案
3.3 等差数列的前n项和（一）教学目的：1．掌握等差数列前n项和公式及其获取思路．2．会用等差数列的前n项和公式解决一些简单的与前n项和有关的问题教学重点：等差数列n项和公式的理解、推导及应教学难点：灵活应用等差数列前n项公式解决一些简单的有关问题授课类型：新授课课时安排：1课时教具：多媒体、实物投影仪内容分析：本节是在学习了等差数列的概念和性质的基础上，使学生掌握等差数列求和公式，并能利用它求和等差数列求和公式的推导，采用了倒序相加法，思路的获得得益于等到差数列任意的第k项与倒数第k项的和都等于首项与末项的和这一性质的认识和发现通过对等差数列求和公式的推导，使学生能掌握“倒序相加”数学方法教学过程：一、复习引入：首先回忆一下前几节课所学主要内容：1．等差数列的定义：a－1-n a=d ，（n≥2，n∈N+）n2．等差数列的通项公式：d n a a n )1(1-+= (=n a d m n a m )(-+或n a =pn+q (p 、q 是常数))3．几种计算公差d 的方法：① d=n a －1-n a ② d =11--n a a n ③ d =mn a a mn --4．等差中项：,,,2a bA a A b +=⇔成等差数列 5．等差数列的性质： m+n=p+q ⇒q p n m a a a a +=+ (m, n, p, q ∈N )6．数列的前n 项和：数列{}n a 中，n a a a a ++++ 321称为数列{}n a 的前n 项和，记为n S . “小故事”:高斯是伟大的数学家，天文学家，高斯十岁时,有一次老师出了一道题目, 老师说: “现在给大家出道题目: 1+2+…100=?”过了两分钟,正当大家在：1+2=3；3+3=6；4+6=10…算得不亦乐乎时，高斯站起来回答说： “1+2+3+…+100=5050教师问：“你是如何算出答案的？ 高斯回答说：因为1+100=101；2+99=101；…50+51=101，所以 101×50=5050” 这个故事告诉我们：（1）作为数学王子的高斯从小就善于观察，敢于思考，所以他能从一些简单的事物中发现和寻找出某些规律性的东西（2）该故事还告诉我们求等差数列前n 项和的一种很重要的思想方法，这就是下面我们要介绍的“倒序相加”法二、讲解新课：如图，一个堆放铅笔的V 形架的最下面一层放一支铅笔，往上每一层都比它下面一层多放一支，最上面一层放120支，这个V 形架上共放着多少支铅笔?这是一堆放铅笔的V 形架，这形同前面所接触过的堆放钢管的示意图，看到此图，大家都会很快捷地找到每一层的铅笔数与层数的关系，而且可以用一个式子来表示这种关系，利用它便可以求出每一层的铅笔数.那么，这个V 形架上共放着多少支铅笔呢？这个问题又该如何解决呢？经过分析，我们不难看出，这是一个等差数求和问题？这个问题，它也类似于刚才我们所遇到的“小故事”问题，它可以看成是求等差数列1，2，3，…，n ,…的前120项的和.在上面的求解中，我们发现所求的和可用首项、末项及项数n 来表示，且任意的第k 项与倒数第k 项的和都等于首项与末项的和，这就启发我们如何去求一般等差数列的前n 项的和.如果我们可归纳出一计算式，那么上述问题便可迎刃而解. 1．等差数列的前n 项和公式1：2)(1n n a a n S +=证明： n n n a a a a a S +++++=-1321 ① 1221a a a a a S n n n n +++++=-- ②①+②：)()()()(223121n n n n n n a a a a a a a a S ++++++++=--∵ =+=+=+--23121n n n a a a a a a ∴)(21n n a a n S += 由此得：2)(1n n a a n S +=从而我们可以验证高斯十岁时计算上述问题的正确性 2． 等差数列的前n 项和公式2：2)1(1dn n na S n -+= 用上述公式要求n S 必须具备三个条件：n a a n ,,1 但d n a a n )1(1-+= 代入公式1即得： 2)1(1dn n na S n -+= 此公式要求n S 必须已知三个条件：d a n ,,1 （有时比较有用） 总之：两个公式都表明要求n S 必须已知n a d a n ,,,1中三个公式二又可化成式子：n )2da (n 2d S 12n -+=，当d ≠0，是一个常数项为零的二次式 三、例题讲解例1 一个堆放铅笔的V 型的最下面一层放一支铅笔，往上每一层都比它下面一层多放一支，最上面一层放120支，这个V 形架上共放着多少支铅笔？解：由题意可知，这个V 形架上共放着120层铅笔，且自下而上各层的铅笔成等差数列，记为{}n a ，其中120,11201==a a ，根据等差数列前n 项和的公式，得答：V 形架上共放着7260支铅笔例2 等差数列-10，-6，-2，2，…前多少项的和是54？ 解：设题中的等差数列为{}n a ，前n 项为n S 则 54,4)10()6(,101==---=-=n S d a由公式可得5442)1(10=⨯-+-n n n 解之得：3,921-==n n （舍去）∴等差数列-10，-6，-2，2…前9项的和是54例3 .已知等差数列{n a }中1a =13且3S =11S ,那么n 取何值时,nS 取最大值.解法1：设公差为d ，由3S =11S 得： 3×13+3×2d/2=11×13+11×10d/2 d= -2, n a =13-2(n-1), n a =15-2n, 由⎩⎨⎧≤≥+0a 0a 1n n 即⎩⎨⎧≤+-≥-0)1n (2150n 215得：6.5≤n ≤7.5,所以n=7时,n S 取最大值.解法2:由解1得d= -2,又a 1=13所以 n )2d a (n 2d S 12n -+== - n 2+14 n = -（n-7）2+49∴当n=7，n S 取最大值对等差数列前项和的最值问题有两种方法:（1） 利用n a :当n a >0，d<0，前n 可由n a ≥0，且1+n a ≤0，求得n的值当n a <0，d>0，前n 可由n a ≤0，且1+n a ≥0，求得n的值（2） 利用n S ：由n )2d a (n 2d S 12n -+=利用二次函数配方法求得最值时n 的值四、练习：1．求集合{}100*,7|<∈==m N n n m m M 且的元素个数，并求这些元素的和解：由1007<n 得 72147100=<n ∴正整数n 共有14个即M 中共有14个元素 即：7，14，21，…，98 是为首项71=a AP a 的9814= ∴ 7352)987(14=+⨯=n S 答：略2.已知一个等差数列的前10项的和是310，前20项的和是1220，求其前n 项和的公式.解：由题设： 31010=S 122020=S得： ⎩⎨⎧=+=+122019020310451011d a d a ⎩⎨⎧==⇒641d a∴ n n n n n S n +=⨯-+=2362)1(4 五、小结 本节课学习了以下内容： 1.等差数列的前n 项和公式1：2)(1n n a a n S +=2.等差数列的前n 项和公式2：2)1(1dn n na S n -+= 3.n )2d a (n 2d S 12n -+=，当d ≠0，是一个常数项为零的二次式 4.对等差数列前项和的最值问题有两种方法:（3） 利用n a :当n a >0，d<0，前n 可由n a ≥0，且1+n a ≤0，求得n的值当n a <0，d>0，前n 可由n a ≤0，且1+n a ≥0，求得n的值（4） 利用n S ：n )2da (n 2d S 12n -+=二次函数配方法求得最值时n 的值 六、课后作业：已知等差数列的前n 项和为a ，前n 2项和为b ，求前n 3项和． 解：由题设 a S n = b S n =2 ∴a b a a a n n n -=+++++221 而)(2)()(2213221221n n n n n n n a a a a a a a a a +++=+++++++++++)(3)(3221a b a a a n n n -=+++=++ .。
等差数列的前n项和 第1课时
等差数列中基本量计算的两个技巧 (1)利用基本量求值．等差数列的通项公式和前n项和公式中有五个量a1，d，n，an和 Sn，一般是利用公式列出基本量a1和d的方程组，解出a1和d，便可解决问题．解题时 注意整体代换的思想． (2)利用等差数列的性质解题．等差数列的常用性质：若m＋n＝p＋q(m，n，p， q∈N＋)，则am＋an＝ap＋aq，常与求和公式Sn＝n（a12＋an） 结合使用．
表 达
n（n－1） 2
d.
由已知得
10a1＋102 9 d＝100，①, 100a1＋1002 99 d＝10，②
①×10－②，整理得d＝－5110 ，代入①得a1＝1100909 .
所以 S110＝110a1＋110×2109 d＝110×1100909 ＋110×2109 ×－5110 ＝
书
1101
必备知识·自主学习
导思
1.什么是等差数列的前n项和公式？ 2．怎样推导等差数列的前n项和公式？
1.等差数列的前n项和公式
已知量 求和公式
首项，末项与项数
n(a1 an )
Sn＝_____2_____
首项，公差与项数 Sn＝ n_a_1＋__n_(_n_2_1_)_d_
在等差数列{an}中，涉及a1，d，n，an及Sn五个基本量，它们分别表示等差数列 的首项，公差，项数，项和前n项和．依据方程的思想，在等差数列前n项和公 式中已知其中三个量可求另外两个量，即“知三求二”．
4.2.2 等差数列的前n项和公式 第1课时 等差数列的前n项和
新课程标准
学业水平要求
1.探索并掌握等差数 列的前n项和公式，理 解等差数列的通项公 式与前n项和公式的关 系． 2．能在具体的问题情 境中，发现数列的等 差关系，并解决相应 的问题．
新教材2023版高中数学北师大版选择性必修第二册：等差数列的前n项和一课件
新知初探·课前预习
题型探究·课堂解透
新知初探·课前预习
[教材要点]
要点 等差数列{an}的前n项和公式
两种不同形式
n a1 + an
(1)当已知首项a1和末项时，用Sn＝_______2_______，
(2)当已知首项a1和公差d时，用Sn＝__n_a_1＋__n_n_2−_1_d____．
+ a1
n +
− n
1 −
−2
13
2 13
a1
a1 ≤
≥ 0， 0，
解得6.5≤n≤7.5，因为n∈N＋，故当n＝7时，Sn最大．
变式探究 将本例中“a1>0，S3＝S11”换成“an＝26－2n”，当Sn 取得最大值时，n的值为__1_2或__1_3__．
解析：∵an＝26－2n，∴an－an－1＝－2，
由
S3
＝
S11
，
可
得
3a1
＋
3×2 2
d
＝
11a1
＋
11×10 2
d
，
即
d
＝
−
2 13
a1
.
从
而
Sn
＝
d 2
n2
＋
a1
−
d 2
n＝－1a31(n－7)2＋1439a1，因为a1>0，所以－1a31<0.
故当n＝7时，Sn最大． 解法二：通项公式法
由解法一可知，d＝－123a1.
要使Sn最大，则有ቊaan+n1≥≤00，，即൞a1
2nn+(+232)，已则知ba{55a＝n}_，__{_b53_n}_均__为．等差数列，其前n项和分别为Sn，Tn，且TSnn＝
等差数列的前n项和公式
等差数列的前n项和公式等差数列是数学中常见且有一定规律的数列，其中每一项与前一项之间的差值保持恒定。
等差数列的求和是一种基本的数学问题，其中一个重要的公式是等差数列的前n项和公式。
本文将详细介绍等差数列以及其前n项和公式。
一、等差数列的定义和性质等差数列是指数列中相邻两项之间的差值保持恒定的数列。
设等差数列的首项为a，公差为d，则等差数列的通项公式为an = a + (n-1) * d。
等差数列的性质如下：1. 等差数列的通项公式为an = a + (n-1) * d。
2. 等差数列的首项为a，公差为d，末项为a + (n-1) * d。
3. 等差数列的任意两项之和等于首项与末项之和的一半，即an + a= 2a + (n-1) * d。
4. 等差数列的前n项和可表示为Sn = n * (a + an) / 2。
5. 当n为正整数时，等差数列的前n项和Sn = n * a + (n * (n-1) * d) / 2。
二、等差数列的前n项和公式推导为了推导等差数列的前n项和公式，我们首先将等差数列的前n项和Sn表示为Sn = a + (a + d) + (a + 2d) + ... + (a + (n-1)d)，可以观察到每一项与首项之差都是d。
我们可以将等差数列的前n项和倒序排列，即Sn = (a + (n-1)d) + (a + (n-2)d) + ... + (a + d) + a。
将两式相加，我们有2Sn = (2a + (n-1)d) + (2a + (n-1)d) + ... + (2a + (n-1)d)。
根据等差数列的性质3，等式右边的每一项都等于2a + (n-1)d，共有n项。
则2Sn = n * (2a + (n-1)d)，整理得到Sn = n * (a + an) / 2。
三、等差数列的前n项和公式应用举例为了更好地理解和应用等差数列的前n项和公式，我们来举一个实际的例子。
高中数学 第二章 数列 2.2.2 等差数列的前n项和(一)课
以用这三个基本量来表示，五个量a1，d，n，an，Sn中可知三
求二，注意利用等差数列的性质以简化计算过程，同时在具体
求解过程中还应注意已知与未知的联系及整体思想的运用.
2.2.2 等差数列的前n项和(一)
11
预课当跟习堂踪导讲检演学义测练1 在等差数列{a栏n}中目.索引 CONTENTS PAGE
挑重当战点堂自难训我点练，点个体点个验落击成实破功
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[学习目标]
1.体会等差数列前n项和公式的推导过程.
2.掌握等差数列前n项和公式.
3.熟练掌握等差数列的五个量a1，d，n，an，Sn的关系，能够由
其中三个求另外两个.
2.2.2 等差数列的前n项和(一)
2
预课当习堂导讲检学义测
栏目索引
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挑重当战点堂自难训我点练，点个体点个验落击成实破功
(1)a1＝65，an＝－32，Sn＝－5，求 n 和 d.
挑重当战点堂自难训我点练，点个体点个验落击成实破功
解 由题意，得 Sn＝na1＋ 2 an＝n56－ 2 23＝－5，
解得n＝15.
又 a15＝56＋(15－1)d＝－32，∴d＝－61.
2.2.2 等差数列的前n项和(一)
12
预课当习堂导讲检学义测
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(2)a1＝4，S8＝172，求a8和d.
挑重当战点堂自难训我点练，点个体点个验落击成实破功
解 由已知，得 S8＝8a1＋2 a8＝84＋2 a8＝172，解得 a8＝39，
又∵a8＝4＋(8－1)d＝39，∴d＝5.
2.2.2 等差数列的前n项和(一)
13
等差数列的前n项和1
a21 a22 a30
S30 S20 2730（ 31n}的前10项的和是 310，第11项到第20项的和是910，求第21 项到第30项的和。
解：设等差数列的首项为a1,公差为d,由题意，得
S10 310 S 20 S10 910
1510
变题1.已知一个等差数列｛an｝的前10项和为 310，前20项和为1220，由此可以确定求其 前n项的和的公式吗？ 解：由题意知： S 10 =310，S 20=1220 将它们代入公式 Sn得到 a1=4,d=6 所以 Sn =3n2+n
变题2.已知等差数列{an}的前m项的和是 30，前2m项的和是100，求前3m项 的和。
Gemini胎牛血清
/xueqing/Gemini-xueqing.html Gemini胎牛血清 bth84dwb 一直在乱叫，从没这么尖厉惨烈。宝音叫：“去看看出了什么事。”丫头领命而去，回来禀告宝音：“是他们挖出了一棵树，树上有个鸟巢，摔 下来，并里头的蛋也碎了，还有一只刚孵出来的雏鸟，被踩死了。”宝音眯了眯眼睛。她还没去找明蕙呢，明蕙倒惹上门来？她问：“七 在这里 么？”不在。原来只是派人挑衅。没关系，宝音有办法叫明蕙自己送上门来吃瘪。她披衣而起，叫上邱妈妈，往院子走，那边已经支起步障，拦 住了。宝音道：“咦，我的院子里，为何有这种东西？妈妈，你且把它推到一边，好叫我走呢！”第二十章移树杀雏惹鬼啼（2）邱妈妈仗着年纪 老，再无畏惧的，得个令，应一声，就往前浑推浑拉，那边赶紧的出来个婆子应对：“哟！邱嫂子，这儿移树呢，又是泥又是尘的，姑娘别过去 了。”笑得很假，“不然，硬要钻进去弄脏了，奴婢们也承担不起不是？”“这什么话？”邱妈妈一生气就特别的口不择言，“你——”婆子笑 眯眯的等着她后文。她要骂“你们专欺负我们 ！”婆子就回答：“嫂子这话太言重了。白不过移个树。这里里外外的院子，这么多花草，一年到 头哪儿哪儿不移剪修？连老太太那儿上个月都才大动过呢，独表 这儿就是欺负了？人家知道的，说嫂子好笑，这要不知道的，还不得当表 这作 客作得，忒也气性大了？”——她要骂“你是什么东西也敢来表 院里移树。”婆子就回答：“咱们当奴婢的，本来也不是什么东西，都当差嘛！ 四 看中这边的花，奶奶前头交代了的活，叫几个人做，其中借到我老婆子，我有什么办法不是？——表 ！不知这是邱妈妈自作主张的问话，还 是您的问话？要是您问，婆子地位低，人笨，不敢回。您看还是问二太太去？”哟，不管怎么回，准臊得表 主仆一鼻子灰！老婆子揣摩着，滋儿 滋儿得儿意的美。明蕙出的招，自有巧妙之处，与压住乐韵那次不同，不能硬来。宝音迅速拦住了邱妈妈话头：“妈妈，罢了。我不走这边好了。 真要去什么地方，反正路还多得很。”“姑娘啊……”邱妈妈那个心疼！“不要和这些人对口了。”宝音低着头，那个纤纤弱质、闷闷不乐。这 也是韩毓笙一惯以来的形象。“恭送表 ！”婆子立刻大声道。“过了后儿，还不知我起得来床游这园子不能。”宝音似乎是自言自语的伤感。 “姑娘的身子已经好很多了，千万别说这种话！”洛月立即宽解。宝音果然眉宇一宽：“这样说起来，自那天晕厥复苏后，托刘大夫神药，我觉 得松快许多。”“可不是？”洛月笑得很开心。说下大天来，也是姑娘身体好最重要。宝音若有所思的点点头：“难得身体好，我也该看看外婆 去——哟！”像是才想起，这句话让婆子听到有所不妥，侧了身，顿了顿，扶着洛月往回走，头很自然的跟洛月凑在
§2 2.2 第1课时 等差数列的前n项和
20×(20 −1) S= ×20 = 3 800(m). 2
答 植树工人共走了3 800m路程 路程. 植树工人共走了3 800m路程.
九江抗洪指挥部接到预报，24h后有一洪峰到达 后有一洪峰到达. 例11 九江抗洪指挥部接到预报，24h后有一洪峰到达. 为确保安全， 为确保安全，指挥部决定在洪峰来临前筑一道堤坝作为第 二道防线.经计算，需调用20台同型号翻斗车， 20台同型号翻斗车 二道防线.经计算，需调用20台同型号翻斗车，平均每辆 工作24h后方可筑成第二道防线. 24h后方可筑成第二道防线 工作24h后方可筑成第二道防线.但目前只有一辆车投入施 其余的需从昌九高速公路沿线抽调，每隔20min 20min能有 工，其余的需从昌九高速公路沿线抽调，每隔20min能有 一辆车到达，指挥部最多可调集25辆车，那么在24h 25辆车 24h内能 一辆车到达，指挥部最多可调集25辆车，那么在24h内能 否构筑成第二道防线？ 否构筑成第二道防线？ 从第一辆车投入工作算起，各车工作时间（单位： 解 从第一辆车投入工作算起，各车工作时间（单位： h)依次设为 依次设为： h)依次设为：
∵a1 =1 a120 =120, n =120 ,
120×(1+120) ∴S120 = = 7 260 支） （ . 2
支铅笔. 答：V形架上共放着7 260支铅笔. 形架上共放着7 260支铅笔
1.回顾从特殊到一般的研究方法; 1.回顾从特殊到一般的研究方法; 回顾从特殊到一般的研究方法 2.倒序相加的算法及数形结合的数学思想; 2.倒序相加的算法及数形结合的数学思想; 倒序相加的算法及数形结合的数学思想 3.掌握等差数列的两个求和公式及简单应用， 3.掌握等差数列的两个求和公式及简单应用，及函数与方 掌握等差数列的两个求和公式及简单应用 程的思想. 程的思想.
等差数列前N项和公式及应用
问题2：
学校为美化校园，决定在道路旁摆放盆景.从校门口 取出花盆到距校门1米处开始摆放，每隔1米摆放一盆，学 生小王每次拿两盆，若要完成摆放30盆的任务，最后返回 校门处，问小王走过的总路程是多少？
4m
8m
12m
60m
化归: 4+8+12+…+60=？
4m 8m
56m
60m
4 + 8 +12 +…+52+56+60=？S15 60+56+52 +…+12+ 8 +4 =？S15
(4 60) 15 2S15 S15 480.
答：小王走过的总路程是 480 米.
1 2 3 98 99 100 ?S100
100 99 98 3 2 1 ?S100
S100
(1 100) 00 2
5050
.
如图，工地有上一堆圆木，从上到下每 层的数目分别为1，2，3，……，10。 问共有多少根圆木？请用简便的方法计 算。
2.3.1 等差数列的前n项和(1)
一、温故知新
等差数列的通项公式：
an a1 (n 1)d (d为常数)
等差数列的性质： 对任意的m, n, p, q N , 且m n p q
则有： am an ap aq
二、新课引入
泰姬陵坐落于印度 距首都新德里200多 公里外的北方邦的阿 格拉市，是十七世纪 莫卧儿帝国皇帝沙杰 罕为纪念其爱妃所建， 她宏伟壮观，纯白大 理石砌建而成的主体 建筑令人心醉神迷， 陵寝以宝石镶嵌，图 案细致,绚丽夺目、美 丽无比，令人叫绝.成 为世界八大奇迹之一.
Sn
n(a1 2
等差数列的前n项和(1)设计说明
苏教版必修五第2章数列（2.2等差数列）设计说明2019.10.《2.2.3等差数列的前n项和（1）》设计说明江苏省清浦中学时坤明针对本节课的教学目标和设计理念，我采用了教师启发式引导，学生自主动脑探究、动手探究、师生合作探究、生生合作探究及多媒体演示辅助教学等多种手段，逐步把握重点、突破难点，使得不同层次的学生获得不同程度的收获。
因此，我做了如下思考：1.双管齐下，养成良好思维品质学生如何发现公式的推导方法是本课的最大难点，针对这一难点，我在设计教学时，首先根据学生的认知规律，从学生容易上手的“特殊到一般”方式开始，走大众化路线，找到“倒序相加”的必备前提——“首尾配对”；其次，再利用大家熟知的“数形结合”思想，从图的特征迁移至“数”的特征，用“数形结合”的思想作为本课引入部分的一剂“催化剂”，加快学生发现推导方法的进程，并能使学生更好的加深对方法及结论的记忆。
从“数”与“形”两个角度双管齐下，大大降低及分散了突破难点的难度。
“数形结合”思想的引入不仅使得学生发现公式的推导方法更加自然、便捷，更使得后面公式的应用、变形、推广及性质的应用也变得更加流畅。
2.就地取材，发挥学生动手能力参考了很多资料及相关资源后，我发现直接使用一堆“钢管”或“铅笔”作为情境引入的人不在少数。
其实这一引入方式简便、易操作，学生通过这一方式找到本课公式的推导方法也并不是什么难事，但经过再三思考，我最终认为其对应的数列的各项为正整数（或自然数）这一特殊性较强。
因而决定弃用这一传统方法，从“常金大桥”（等间距的平行线段）入手，更具有广泛意义，甚至连“无理数”构成的等差数列都包含在其中，也方便从“形”的角度加以辅助，既是“双管齐下”，也是“一箭双雕”。
有利于将“特殊到一般”及“数形结合”思想自然地结合，更发挥了学生动手操作和合作交流的能力。
3.自由变式，鼓励学生创新发展康托尔说过：“在数学的领域中，提出问题的艺术比解答问题的艺术更为重要。
等差数列及其前n项和
等差数列及其前n项和1.等差数列的概念(1)定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列.数学语言表达式：a n＋1－a n＝d(n∈N*，d为常数).(2)等差中项：由三个数a，A，b组成的等差数列可以看成是最简单的等差数列，这时A叫做a与b的等差中项，根据等差数列的定义可以知道，2A＝a＋b.2.等差数列的通项公式与前n项和公式(1)若等差数列{a n}的首项是a1，公差是d，则其通项公式为a n＝a1＋(n－1)d.(2)前n项和公式：S n＝na1＋n（n－1）d2＝n（a1＋a n）2.3.等差数列的性质(1)通项公式的推广：a n＝a m＋(n－m)d(n，m∈N*).(2)若{a n}为等差数列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，则a k＋a l＝a m＋a n.(3)若{a n}是等差数列，公差为d，则a k，a k＋m，a k＋2m，…(k，m∈N*)是公差为md 的等差数列.(4)若S n为等差数列{a n}的前n项和，则数列S m，S2m－S m，S3m－S2m，…也是等差数列.(5)若S n为等差数列{a n}的前n.1.已知数列{a n}的通项公式是a n＝pn＋q(其中p，q为常数)，则数列{a n}一定是等差数列，且公差为p.2.在等差数列{a n}中，a1＞0，d＜0，则S n存在最大值；若a1＜0，d＞0，则S n存在最小值.3.等差数列{a n}的单调性：当d＞0时，{a n}是递增数列；当d＜0时，{a n}是递减数列；当d＝0时，{a n}是常数列.4.数列{a n}是等差数列⇔S n＝An2＋Bn(A，B为常数).1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)(1)数列{a n}为等差数列的充要条件是对任意n∈N*，都有2a n＋1＝a n＋a n＋2.()(2)等差数列{a n}的单调性是由公差d决定的.()(3)数列{a n}为等差数列的充要条件是其通项公式为n的一次函数.()(4)等差数列的前n项和公式是常数项为0且关于n的二次函数.()答案(1)√(2)√(3)×(4)×解析(3)若公差d＝0，则通项公式不是n的一次函数.(4)若公差d＝0，则前n项和不是n的二次函数.2.(2022·福州质检)在等差数列{a n}中，若a1＋a2＝5，a3＋a4＝15，则a5＋a6＝()A.10B.20C.25D.30答案C解析等差数列{a n}中，每相邻2项的和仍然构成等差数列，设其公差为d，若a1＋a2＝5，a3＋a4＝15，则d＝15－5＝10，因此a5＋a6＝(a3＋a4)＋d＝15＋10＝25.3.(2022·青岛一模)记S n为等差数列{a n}的前n项和，若a1＝1，S3＝92则数列{a n}的通项公式a n＝()A.nB.n＋12C.2n－1D.3n－12答案B解析设等差数列{a n}的公差为d，则S3＝3a1＋3×22d＝3＋3d＝92，解得d＝12，∴a n＝1＋(n－1)×12＝n＋12.4.(2021·杭州二模)已知{a n}是等差数列，满足3(a1＋a5)＋2(a3＋a6＋a9)＝18，则该数列的前8项和为()A.36B.24C.16D.12答案D解析由等差数列性质可得a1＋a5＝2a3，a3＋a6＋a9＝3a6，所以3×2a3＋2×3a6＝18，即a3＋a6＝3，所以S8＝8（a1＋a8）2＝8（a3＋a6）2＝12.5.(多选)设{a n}是等差数列，S n是其前n项的和，且S5＜S6，S6＝S7＞S8，则下列结论正确的是()A.d＜0B.a7＝0C.S9＞S5D.S6与S7均为S n的最大值答案ABD解析S6＝S5＋a6＞S5，则a6＞0，S7＝S6＋a7＝S6，则a7＝0，则d＝a7－a6＜0，S8＝S7＋a8＜S7，a8＜0，则a9＜0，又a6＋a8＝a5＋a9＝2a7＝0，∴S5＞S9，由a7＝0，a6＞0知S6，S7是S n中的最大值.从而ABD均正确.6.一物体从1960m的高空降落，如果第1秒降落4.90m，以后每秒比前一秒多降落9.80m，那么经过________秒落到地面.答案20解析设物体经过t秒降落到地面.物体在降落过程中，每一秒降落的距离构成首项为4.90，公差为9.80的等差数列.所以4.90t＋12t(t－1)×9.80＝1960，即4.90t2＝1960，解得t＝20.考点一等差数列的基本运算1.记S n为等差数列{a n}的前n项和.若3S3＝S2＋S4，a1＝2，则a5＝()A.－12B.－10C.10D.12答案B解析设等差数列{a n}的公差为d，则3(3a1＋3d)＝2a1＋d＋4a1＋6d，即d＝－3 2 a1.又a1＝2得∴d＝－3，∴a5＝a1＋4d＝2＋4×(－3)＝－10.2.(2021·武汉调研)已知等差数列{a n}的前n项和为S n，若S8＝a8＝8，则公差d＝()A.1 4B.12C.1D.2答案D解析∵S8＝a8＝8，∴a1＋a2＋…＋a8＝a8，∴S7＝7a4＝0，则a4＝0.∴d＝a8－a48－4＝2.3.(2020·全国Ⅱ卷)记S n为等差数列{a n}的前n项和.若a1＝－2，a2＋a6＝2，则S10＝________.答案25解析设等差数列{a n}的公差为d，则a2＋a6＝2a1＋6d＝2×(－2)＋6d＝2.解得d＝1.所以S10＝10×(－2)＋10×92×1＝25.4.(2020·新高考全国Ⅰ卷)将数列{2n－1}与{3n－2}的公共项从小到大排列得到数列{a n}，则{a n}的前n项和为__________.答案3n2－2n解析法一(观察归纳法)数列{2n－1}的各项为1，3，5，7，9，11，13，…；数列{3n－2}的各项为1，4，7，10，13，….现观察归纳可知，两个数列的公共项为1，7，13，…，是首项为1，公差为6的等差数列，则a n＝1＋6(n－1)＝6n－5.故前n项和为S n＝n（a1＋a n）2＝n（1＋6n－5）2＝3n2－2n.法二(引入参变量法)令b n＝2n－1，c m＝3m－2，b n＝c m，则2n－1＝3m－2，即3m＝2n＋1，m必为奇数.令m＝2t－1，则n＝3t－2(t＝1，2，3，…).a t＝b3t－2＝c2t－1＝6t－5，即a n＝6n－5.以下同法一.感悟提升 1.等差数列的通项公式及前n项和公式共涉及五个量a1，a n，d，n，S n，知其中三个就能求另外两个，体现了用方程的思想来解决问题.2.数列的通项公式和前n项和公式在解题中起到变量代换作用，而a1和d是等差数列的两个基本量，用它们表示已知和未知是常用方法.考点二等差数列的判定与证明例1(2021·全国甲卷)已知数列{a n}的各项均为正数，记S n为{a n}的前n项和，从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立.①数列{a n}是等差数列；②数列{S n}是等差数列；③a2＝3a1.注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分.解①③⇒②.已知{a n}是等差数列，a2＝3a1.设数列{a n}的公差为d，则a2＝3a1＝a1＋d，得d＝2a1，所以S n＝na1＋n（n－1）2d＝n2a1.因为数列{a n}的各项均为正数，所以S n＝n a1，所以S n＋1－S n＝(n＋1)a1－n a1＝a1(常数)，所以数列{S n}是等差数列.①②⇒③.已知{a n}是等差数列，{S n}是等差数列.设数列{a n}的公差为d，则S n＝na1＋n（n－1）2d＝12n2d＋a1－d2.因为数列{S n}是等差数列，所以数列{S n}的通项公式是关于n的一次函数，则a1－d2＝0，即d＝2a1，所以a2＝a1＋d＝3a1.②③⇒①.已知数列{S n}是等差数列，a2＝3a1，所以S1＝a1，S2＝a1＋a2＝4a1.设数列{S n}的公差为d，d＞0，则S2－S1＝4a1－a1＝d，得a1＝d2，所以S n＝S1＋(n －1)d＝nd，所以S n＝n2d2，所以n≥2时，a n＝S n－S n－1＝n2d2－(n－1)2d2＝2d2n－d2，对n＝1也适合，所以a n＝2d2n－d2，所以a n＋1－a n＝2d2(n＋1)－d2－(2d2n－d2)＝2d2(常数)，所以数列{a n}是等差数列.感悟提升 1.证明数列是等差数列的主要方法：(1)定义法：对于n≥2的任意自然数，验证a n－a n－1为同一常数.即作差法，将关于a n－1的a n代入a n－a n－1，再化简得到定值.(2)等差中项法：验证2a n－1＝a n＋a n－2(n≥3，n∈N*)都成立.2.判定一个数列是等差数列还常用到的结论：(1)通项公式：a n＝pn＋q(p，q为常数)⇔{a n}是等差数列.(2)前n项和公式：S n＝An2＋Bn(A，B为常数)⇔{a n}是等差数列.问题的最终判定还是利用定义.训练1(2021·全国乙卷)设S n为数列{a n}的前n项和，b n为数列{S n}的前n项积，已知2S n＋1b n＝2.(1)证明：数列{b n}是等差数列；(2)求{a n}的通项公式.(1)证明因为b n是数列{S n}的前n项积，所以n≥2时，S n＝b nb n－1，代入2S n＋1b n＝2可得，2b n－1b n＋1b n＝2，整理可得2b n－1＋1＝2b n，即b n－b n－1＝12(n≥2).又2S1＋1b1＝3b1＝2，所以b1＝32，故{b n}是以32为首项，12为公差的等差数列.(2)解由(1)可知，b n＝32＋12(n－1)＝n＋22，则2S n＋2n＋2＝2，所以S n＝n＋2n＋1，当n＝1时，a1＝S1＝3 2，当n≥2时，a n＝S n－S n－1＝n＋2n＋1－n＋1n＝－1n（n＋1）.故a n 32，n＝1，－1n（n＋1），n≥2.考点三等差数列的性质及应用角度1等差数列项的性质例2(1)设S n为等差数列{a n}的前n项和，且4＋a5＝a6＋a4，则S9等于() A.72 B.36 C.18 D.9答案B解析∵a6＋a4＝2a5，∴a5＝4，∴S9＝9（a1＋a9）2＝9a5＝36.(2)在等差数列{a n}中，若a5＋a6＝4，则log2(2a1·2a2·…·2a10)＝()A.10B.20C.40D.2＋log25答案B解析由等差数列的性质知a1＋a10＝a2＋a9＝a3＋a8＝a4＋a7＝a5＋a6＝4，则2a1·2a2·…·2a10＝2a1＋a2＋…＋a10＝25(a5＋a6)＝25×4，所以log2(2a1·2a2·…·2a10)＝log225×4＝20.角度2等差数列前n项和的性质例3(1)已知等差数列{a n}的前n项和为S n.若S5＝7，S10＝21，则S15等于() A.35 B.42 C.49 D.63答案B解析在等差数列{a n}中，S5，S10－S5，S15－S10成等差数列，即7，14，S15－21成等差数列，所以7＋(S15－21)＝2×14，解得S15＝42.(2)(2020·全国Ⅱ卷)北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层.上层中心有一块圆形石板(称为天心石)，环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块.下一层的第一环比上一层的最后一环多9块.向外每环依次也增加9块.已知每层环数相同，且下层比中层多729块，则三层共有扇面形石板(不含天心石)()A.3699块B.3474块C.3402块D.3339块答案C解析设每一层有n 环，由题可知从内到外每环之间构成公差d ＝9，a 1＝9的等差数列.由等差数列的性质知S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 成等差数列，且(S 3n －S 2n )－(S 2n －S n )＝n 2d ，则9n 2＝729，得n ＝9，则三层共有扇面形石板S 3n ＝S 27＝27×9＋27×262×9＝3402(块).角度3等差数列前n 项和的最值例4等差数列{a n }中，设S n 为其前n 项和，且a 1＞0，S 3＝S 11，则当n 为多少时，S n 最大？解法一设公差为d .由S 3＝S 11，可得3a 1＋3×22d ＝11a 1＋11×102d ，即d ＝－213a 1.从而S n ＝d 2n 21＝－a 113(n －7)2＋4913a 1，因为a 1＞0，所以－a 113＜0.故当n ＝7时，S n 最大.法二易知S n ＝An 2＋Bn 是关于n 的二次函数，由S 3＝S 11，可知S n ＝An 2＋Bn 的图象关于直线n ＝3＋112＝7对称.由解法一可知A ＝－a 113＜0，故当n ＝7时，S n 最大.法三设公差为d .由解法一可知d ＝－213a 1.要使S n n ≥0，n ＋1≤0，1＋（n －1－213a 0，1＋－213a 0，解得6.5≤n ≤7.5，故当n ＝7时，S n 最大.法四设公差为d.由S3＝S11，可得2a1＋13d＝0，即(a1＋6d)＋(a1＋7d)＝0，故a7＋a8＝0，又由a1＞0，S3＝S11可知d＜0，所以a7＞0，a8＜0，所以当n＝7时，S n最大.感悟提升 1.项的性质：在等差数列{a n}中，若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，则a m＋a n＝a p＋a q.2.和的性质：在等差数列{a n}中，S n为其前n项和，则(1)S2n＝n(a1＋a2n)＝…＝n(a n＋a n＋1)；(2)S2n－1＝(2n－1)a n.(3)依次k项和成等差数列，即S k，S2k－S k，S3k－S2k，…成等差数列.3.求等差数列前n项和的最值，常用的方法：(1)利用等差数列的单调性，求出其正负转折项，或者利用性质求其正负转折项，便可求得和的最值；(2)利用公差不为零的等差数列的前n项和S n＝An2＋Bn(A，B为常数，A≠0)为二次函数，通过二次函数的性质求最值.训练2(1)(多选)(2022·淄博调研)已知等差数列{a n}的公差为d，前n项和为S n，当首项a1和d变化时，a2＋a8＋a11是一个定值，则下列各数也为定值的是() A.a7 B.a8 C.S13 D.S15答案AC解析由题知a2＋a8＋a11＝a1＋d＋a1＋7d＋a1＋10d＝3a1＋18d＝3(a1＋6d)＝3a7，∴a7是定值，∴S13＝13（a1＋a13）2＝13a7是定值，故选AC.(2)(2022·重庆诊断)已知S n是等差数列{a n}的前n项和，若a1＝－2020，S20202020－S20142014＝6，则S2023等于()A.2023B.－2023C.4046D.－4046答案C解析d′，则S20202020－S20142014＝6d′＝6，∴d′＝1，首项为S11＝－2020，∴S20232023＝－2020＋(2023－1)×1＝2，∴S2023＝2023×2＝4046，故选C.(3)设等差数列{a n}满足a1＝1，a n＞0(n∈N*)，其前n项和为S n，若数列{S n}也为等差数列，则S n＋10a2n的最大值是________.答案121解析设数列{a n}的公差为d，依题意得2S2＝S1＋S3，∴22a1＋d＝a1＋3a1＋3d，把a1＝1代入求得d＝2，∴a n＝1＋(n－1)×2＝2n－1，S n＝n＋n（n－1）2×2＝n2，∴S n＋10a2n＝（n＋10）2（2n－1）2＝＝12（2n－1）＋2122n－12≤121.∴S n＋10a2n的最大值是121.。
等差数列的前n项和公式(第1课时)
高斯（Gauss，1777－
1855），德国数学家，
近代数学的奠基者之一.
他在天文学、大地测量
高斯的算法实际上解决了求等差数列：
学、磁学、光学等领域
1，2，3，⋯ ，n ， ⋯ ① 前100 项的和的问题. 都做出过杰出贡献.
5
导入新课：
p18你能说说高斯在求和过程中利用了数列①的什么性质吗?
4
情景导入：
前面我们学习了等差数列的概念和通项公式，下
面我们将利用这些知识解决等差数列的求和问题.
200多年前，高斯的数学老师提出了下面的问题：
1+2+3+4+5+ ⋯ +98 +99 +100 =？
当其他同学忙于把100个数逐项相加时, 10岁的
高斯却用下面的方法迅速算出了正确答案：
(1+100)+(2+99)+(3+98)+⋯+(50+51)
=102×101
S101
102 101
2
5151.
等差数列 {an} 的性质, (m,n,p,q∈N*)
若 m+n=p+q，则 am+an=ap+aq
8
导入新课：
思考2:你能用高斯的方法求1+2+ 3+⋯+n 吗?
解析：Sn = 1 +2 +3 + ⋯ + (n-1) +n ①
Sn = n + (n-1) + ⋯ + 3 + 2 + 1 ②
d (2)
2
11
等差数列的前n项和-概念解析
数学教育
等差数列的前n项和公式是数学 教育中的重要内容，是中学数学
课程中的必修知识点。
在物理领域的应用
物理学中的周期性现象
等差数列的前n项和公式可以用于描述物理学中的周期性现象，例如声音的振 动、波动等。
物理学中的序列问题
等差数列的前n项和公式可以用于解决物理学中的序列问题，例如在研究粒子运 动、流体动力学等领域中，可以通过等差数列的前n项和公式来描述一系列物理 量的变化规律。
解答
由于该等差数列是偶数项，所以它的前10项和等于中间两 项之和（第5项和第6项）乘以10除以2，即$(3 - 3) times 10 / 2 = 0$。
习题三：等差数列前n项和的实际应用问题
01 总结词
02 详细描述
03 应用1
04 应用2
05 应用3
掌握等差数列前n项和在实 际问题中的应用
等差数列前n项和在实际问 题中有着广泛的应用，如 计算存款、贷款、工资等 问题。
总结词
详细描述
公式
示例
解答
理解等差数列前n项和的 概念
等差数列的前n项和是指 从第一项到第n项的所有 项的和，可以通过公式 或递推关系式来求解。
$S_n = frac{n}{2} times (2a_1 + (n-1)d)$，其中 $a_1$是首项，$d$是公 差，$n$是项数。
求等差数列$1, 3, 5, 7, ldots$的前5项和。
等差数列前n项和的公式推导
等差数列前n项和的公式可以通过数学归 纳法进行推导。
化简得：$S_{k+1} = frac{(k+1)}{2}(2a_1 + kd)$，所以当n=k+1时，公式也成立。
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