初中数学动点问题例题集

初中动点题经典例题

动点问题
初中数学中，动点问题是一个经常出现的重要考点。

以下是一些经典的例题：
1. 例题一：
A、B两车相向而行，A车的速度是60 km/h，B车的速度是40 km/h，他们相距300 km，请问他们多长时间能相遇？
2. 例题二：
甲、乙两人同时从相距120 km的两地相向而行，甲每小时行50 km，乙每小时行60 km。

请问几小时后他们相遇？
3. 例题三：
甲、乙两辆汽车同时从同地出发，相向行驶。

已知甲汽车的速度是50 km/h，乙汽车比甲车晚出发30分钟，乙车的速度是60 km/h。

请问几小时后他们相遇？
4. 例题四：
小明从家出发，向东骑自行车匀速行驶20 km/h，行驶2小时后，他改为向南行驶，以同样的速度继续行驶。

请问他最终离家有多远？
这些例题涉及到动点问题中的相遇、相交等概念，考察学生对速度、时间、距离之间关系的理解和运用能力。

解答这些问题需要学生能够根据题目提供的信息确定各个点的位置和变化趋势，并建立方程或方程组解决问题。

练习这些例题可以帮助学生熟悉动点问题的解题思路和方法，提高数学问题应用能力和逻辑思维能力。

七年级数学动点题50道

七年级数学动点题50道一、数轴上的动点问题（20道）1. 已知数轴上点A表示的数为 3，点B表示的数为1，点P以每秒2个单位长度的速度从点A出发向左运动，同时点Q以每秒3个单位长度的速度从点B出发向右运动，设运动时间为t秒。

（1）当t = 1时，求PQ的长度。

（2）求经过多少秒后，PQ = 5。

解析：（1）当t = 1时，点P表示的数为公式，点Q表示的数为公式。

所以公式。

（2）运动t秒后，点P表示的数为公式，点Q表示的数为公式。

则公式。

当公式时，即公式。

则公式或公式。

当公式时，公式，公式（舍去，因为时间不能为负）。

当公式时，公式，公式。

2. 数轴上点A对应的数为 2，点B对应的数为4，点C对应的数为x，若点C在点A、B之间，且公式，求x的值。

解析：因为点C在点A、B之间，公式，公式。

又因为公式，所以公式。

去括号得公式。

移项得公式。

合并同类项得公式。

解得公式。

3. 数轴上有A、B两点，A表示的数为 1，B表示的数为3，点P以每秒1个单位长度的速度从点A出发向右运动，设运动时间为t秒。

（1）当t为何值时，点P到点B的距离为2？（2）点Q以每秒2个单位长度的速度从点B出发向左运动，当公式时，求t的值。

解析：（1）点P表示的数为公式。

当点P到点B的距离为2时，公式。

则公式或公式。

解得公式或公式。

（2）点Q表示的数为公式，公式。

当公式时，公式。

即公式。

则公式或公式。

当公式时，公式，公式。

4. 数轴上点A表示的数为5，点B表示的数为 3，点M从点A出发，以每秒1个单位长度的速度向左运动，点N从点B出发，以每秒2个单位长度的速度向右运动，设运动时间为t秒。

（1）求t秒后，点M表示的数和点N表示的数。

（2）当t为何值时，点M与点N相距4个单位长度？解析：（1）t秒后，点M表示的数为公式，点N表示的数为公式。

（2）当点M与点N相距4个单位长度时，公式。

则公式或公式。

当公式时，公式，公式。

初一数学动点经典例题20道

初一数学动点经典例题20道1.如果一个角的度数是60度，则这个角的补角和余角分别是多少度？答：补角为30度，余角为150度。

2.如果一个直角三角形的斜边长是10，那么它的两腰长分别是多少？答：每个腰长都是根号50（即约为7.07）。

3.如果一个圆的直径是12，那么这个圆的周长是多少？答：这个圆的周长是约37.68。

4.如果一个正方形的边长是5，那么这个正方形的面积是多少？答：这个正方形的面积是25。

5.如果一个三角形的底边长是6，高为4，那么这个三角形的面积是多少？答：这个三角形的面积为12。

6.如果一个长方形的长为7，宽为3，那么这个长方形的面积是多少？答：这个长方形的面积是21。

7.如果一个正方体的边长是4，那么这个正方体的体积是多少？答：这个正方体的体积是64。

8.如果一个等腰三角形的两底边长均为8，那么这个三角形的高是多少？答：这个三角形的高为约6.93。

9.如果一个矩形的长为9，宽为2，那么这个矩形的周长是多少？答：这个矩形的周长是22。

10.如果一个圆的半径是5，那么这个圆的面积是多少？答：这个圆的面积是约78.5。

11.如果一个正方体的表面积为96，那么这个正方体的边长是多少？答：这个正方体的边长是4。

12.如果一个三角形的三个内角分别为50度、60度和70度，那么这个三角形的角平分线的交点在哪里？答：这个三角形的角平分线的交点距离三角形的各顶点均等。

13.如果一个梯形的底边长为7，顶边长为3，高为4，那么这个梯形的面积是多少？答：这个梯形的面积为20。

14.如果一个球的直径是8，那么这个球的体积是多少？答：这个球的体积是约268.08。

15.如果一条线段的长度为10，那么在这个线段上任意取一点，那么这个点距离线段两个端点的距离差是多少？答：这个点距离线段两个端点的距离差不超过5。

16.如果一个等边三角形的边长为3，那么这个等边三角形的面积是多少？答：这个等边三角形的面积为约3.9。

七年级动点问题大全

七年级动点问题大全（一）例1:如图，在数轴上A点表示数a，B点表示数b，AB表示A点和B点之间的距离，且a、b满足|a+2|+（b+3a）2=0（1）求A、B两点之间的距离；（2）若在数轴上存在一点C，且AC=2BC，求C点表示的数；（3）若在原点O处放一挡板，一小球甲从点A处以1个单位/秒的速度向左运动；同时另一小球乙从点B处以2个单位/秒的速度也向左运动，在碰到挡板后（忽略球的大小，可看作一点）以原来的速度向相反的方向运动，设运动的时间为t（秒），①分别表示甲、乙两小球到原点的距离（用t表示）；①求甲、乙两小球到原点的距离相等时经历的时间．例2:如图，有一数轴原点为O，点A所对应的数是-12，点A沿数轴匀速平移经过原点到达点B．（1）如果OA=OB，那么点B所对应的数是什么？（2）从点A到达点B所用时间是3秒，求该点的运动速度．（3）在（2）的条件下，从点A沿数轴匀速平移经过点K到达点C，所用时间是9秒，且KC=KA，分别求点K和点C所对应的数。

例3动点A从原点出发向数轴负方向运动，同时，动点B也从原点出发向数轴正方向运动，3秒后，两点相距15个单位长度．已知动点A、B的速度比是1：4．（速度单位：单位长度/秒）（1）求出两个动点运动的速度，并在数轴上标出A、B两点从原点出发运动3秒时的位置；（2）若A、B两点从（1）中的位置同时向数轴负方向运动，几秒后原点恰好处在两个动点正中间；（3）在（2）中A、B两点继续同时向数轴负方向运动时，另一动点C同时从B点位置出发向A运动，当遇到A后，立即返回向B点运动，遇到B点后立即返回向A点运动，如此往返，直到B追上A时，C立即停止运动．若点C一直以20单位长度/秒的速度匀速运动，那么点C从开始到停止运动，运动的路程是多少单位长度．例4:已知数轴上两点A、B对应的数分别为-1、3，点P为数轴上一动点，其对应的数为x．（1）若点P到点A，点B的距离相等，求点P对应的数；（2）数轴上是否存在点P，使点P到点A、点B的距离之和为6？若存在，请求出x的值；若不存在，说明理由；（3）点A、点B分别以2个单位长度/分、1个单位长度/分的速度向右运动，同时点P以6个单位长度/分的速度从O点向左运动．当遇到A时，点P立即以同样的速度向右运动，并不停地往返于点A与点B之间，求当点A与点B重合时，点P所经过的总路程是多少？例5数轴上两个质点A、B所对应的数为-8、4，A、B两点各自以一定的速度在上运动，且A点的运动速度为2个单位/秒．（1）点A、B两点同时出发相向而行，在原点处相遇，求B点的运动速度；（2）A、B两点以（1）中的速度同时出发，向数轴正方向运动，几秒钟时两者相距6个单位长度；（3）A、B两点以（1）中的速度同时出发，向数轴负方向运动，与此同时，C点从原点出发作同方向的运动，且在运动过程中，始终有CB：CA=1：2，若干秒钟后，C停留在-10处，求此时B点的位置？例6:在数轴上，点A表示的数是-30，点B表示的数是170．（1）求A、B中点所表示的数．（2）一只电子青蛙m，从点B出发，以4个单位每秒的速度向左运动，同时另一只电子青蛙n，从A点出发以6个单位每秒的速度向右运动，假设它们在C点处相遇，求C点所表示的数．（3）两只电子青蛙在C点处相遇后，继续向原来运动的方向运动，当电子青蛙m处在A 点处时，问电子青蛙n处在什么位置？（4）如果电子青蛙m从B点处出发向右运动的同时，电子青蛙n也向右运动，假设它们在D点处相遇，求D点所表示的数例7、已知数轴上有A、B、C三点，分别代表- 24，- 10，10，两只电子蚂蚁甲、乙分别从A、C两点同时相向而行，甲的速度为4个单位/秒。

(完整版)初一数学动点问题例题集

初一数学动点问题集锦1、如图，已知ABC △中，10AB AC ==厘米，8BC =厘米，点D 为AB 的中点．（1）如果点P 在线段BC 上以3厘米/秒的速度由B 点向C 点运动，同时，点Q 在线段CA 上由C 点向A 点运动．①若点Q 的运动速度与点P 的运动速度相等，经过1秒后，BPD △与CQP △是否全等，请说明理由；②若点Q 的运动速度与点P 的运动速度不相等，当点Q 的运动速度为多少时，能够使BPD △与CQP △全等？（2）若点Q 以②中的运动速度从点C 出发，点P 以原来的运动速度从点B 同时出发，都逆时针沿ABC △三边运动，求经过多长时间点P 与点Q 第一次在ABC △的哪条边上相遇？解：（1）①∵1t =秒， ∴313BP CQ ==⨯=厘米，∵10AB =厘米，点D 为AB 的中点， ∴5BD =厘米．又∵厘米，∴835PC =-=厘米8PC BC BP BC =-=，， ∴PC BD =．又∵AB AC =， ∴B C ∠=∠，∴BPD CQP △≌△．（4分） ②∵P Qv v ≠， ∴BP CQ ≠，又∵BPD CQP △≌△，B C ∠=∠，则45BP PC CQ BD ====，， ∴点P ，点Q 运动的时间433BP t ==秒，∴515443QCQvt===厘米/秒．（7分）（2）设经过x秒后点P与点Q第一次相遇，由题意，得1532104x x=+⨯，解得803x=秒．∴点P共运动了803803⨯=厘米．∵8022824=⨯+，∴点P、点Q在AB边上相遇，∴经过803秒点P与点Q第一次在边AB上相遇．（12分）2、直线364y x=-+与坐标轴分别交于A B、两点，动点P Q、同时从O点出发，同时到达A点，运动停止．点Q沿线段OA运动，速度为每秒1个单位长度，点P沿路线O→B→A运动．（1）直接写出A B、两点的坐标；（2）设点Q的运动时间为t秒，OPQ△的面积为S，求出S与t之间的函数关系式；（3）当485S=时，求出点P的坐标，并直接写出以点O P Q、、为顶点的平行四边形的第四个顶点M的坐标．解（1）A（8，0）B（0，6）1分（2）86OA OB ==，10AB ∴=点Q 由O 到A 的时间是881=（秒） ∴点P 的速度是61028+=（单位/秒） 1分当P 在线段OB 上运动（或03t ≤≤）时，2OQ t OP t ==，2S t = 1分当P 在线段BA 上运动（或38t <≤）时，6102162OQ t AP t t ==+-=-，,如图，作PD OA ⊥于点D ，由PD AP BO AB =，得4865tPD -=， 1分 21324255S OQ PD t t∴=⨯=-+ 1分（自变量取值范围写对给1分，否则不给分．）（3）82455P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，1分12382412241224555555I M M 2⎛⎫⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，，，，， 3分 3如图，在平面直角坐标系中，直线l ：y=－2x －8分别与x 轴，y 轴相交于A ，B 两点，点P （0，k ）是y 轴的负半轴上的一个动点，以P 为圆心，3为半径作⊙P.（1）连结PA ，若PA=PB ，试判断⊙P 与x 轴的位置关系，并说明理由；（2）当k 为何值时，以⊙P 与直线l 的两个交点和圆心P 为顶点的三角形是正三角形？解：（1）⊙P 与x 轴相切.∵直线y=－2x－8与x轴交于A（4，0），与y轴交于B（0，－8），∴OA=4，OB=8.由题意，OP=－k，∴PB=PA=8+k.在Rt△AOP中，k2+42=(8+k)2，∴k=－3，∴OP等于⊙P的半径，∴⊙P与x轴相切.（2）设⊙P与直线l交于C，D两点，连结PC，PD当圆心P在线段OB上时,作PE⊥CD于E.∵△PCD为正三角形，∴DE=12CD=32，PD=3，∴PE=33.∵∠AOB=∠PEB=90°，∠ABO=∠PBE，∴△AOB∽△PEB，∴332,45AO PEAB PB PB=即，∴315 PB=∴3158PO BO PB=-=，∴3158)P-，∴3158k-.当圆心P在线段OB延长线上时,同理可得P(0,－315－8)，∴k=－315－8，∴当k=315－8或k=－315－8时，以⊙P与直线l的两个交点和圆心P为顶点的三角形是正三角形.4 如图1，在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，四边形ABCO是菱形，点A的坐标为（－3，4），点C在x轴的正半轴上，直线AC交y轴于点M，AB边交y轴于点H．（1）求直线AC的解析式；（2）连接BM，如图2，动点P从点A出发，沿折线ABC方向以2个单位／秒的速度向终点C匀速运动，设△PMB的面积为S（S≠0），点P的运动时间为t秒，求S与t之间的函数关系式（要求写出自变量t的取值范围）；（3）在（2）的条件下，当 t为何值时，∠MPB与∠BCO互为余角，并求此时直线OP与直线AC所夹锐角的正切值．解：5在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC = 3，AB = 5．点P 从点C 出发沿CA 以每秒1个单位长的速度向点A 匀速运动，到达点A 后立刻以原来的速度沿AC 返回；点Q 从点A 出发沿AB 以每秒1个单位长的速度向点B 匀速运动．伴随着P 、Q 的运动，DE 保持垂直平分PQ ，且交PQ 于点D ，交折线QB-BC-CP 于点E ．点P 、Q 同时出发，当点Q 到达点B 时停止运动，点P 也随之停止．设点P 、Q 运动的时间是t 秒（t ＞0）．ACBPQED图16（1）当t = 2时，AP = ，点Q 到AC 的距离是；（2）在点P 从C 向A 运动的过程中，求△APQ 的面积S 与 t 的函数关系式；（不必写出t 的取值范围）（3）在点E 从B 向C 运动的过程中，四边形QBED 能否成为直角梯形？若能，求t 的值．若不能，请说明理由；（4）当DE 经过点C 时，请直接写出t 的值．解：（1）1，85；（2）作QF ⊥AC 于点F ，如图3， AQ = CP= t ，∴3AP t =-．由△AQF ∽△ABC，4BC =，得45QF t =．∴45QF t=． ∴14(3)25S t t=-⋅，即22655S t t=-+．（3）能．①当DE ∥QB 时，如图4．∵DE ⊥PQ ，∴PQ ⊥QB ，四边形QBED 是直角梯形．此时∠AQP=90°．由△APQ ∽△ABC ，得AQ APAC AB =，即335t t -=．解得98t =．②如图5，当PQ ∥BC 时，DE ⊥BC ，四边形QBED 是直角梯形．此时∠APQ =90°．由△AQP ∽△ABC ，得 AQ APAB AC =，即353t t -=．解得158t =．（4）52t =或4514t =．P图4①点P 由C 向A 运动，DE 经过点C ．连接QC ，作QG ⊥BC 于点G ，如图6．PC t =，222QC QG CG =+2234[(5)][4(5)]55t t =-+--．由22PC QC =，得22234[(5)][4(5)]55t t t =-+--，解得52t =．②点P 由A 向C 运动，DE 经过点C ，如图7．22234(6)[(5)][4(5)]55t t t -=-+--，4514t =】6如图，在Rt ABC △中，9060ACB B ∠=∠=°，°，2BC =．点O 是AC 的中点，过点O 的直线l 从与AC 重合的位置开始，绕点O 作逆时针旋转，交AB 边于点D ．过点C 作CE AB ∥交直线l 于点E ，设直线l 的旋转角为α．（1）①当α= 度时，四边形EDBC 是等腰梯形，此时AD 的长为；②当α= 度时，四边形EDBC 是直角梯形，此时AD 的长为；（2）当90α=°时，判断四边形EDBC 是否为菱形，并说明理由．解（1）①30，1；②60，1.5； ……………………4分（2）当∠α=900时，四边形EDBC 是菱形. ∵∠α=∠ACB=900，∴BC//ED. ∵CE//AB, ∴四边形EDBC 是平行四边形. ……………………6分在Rt △ABC 中，∠ACB=900，∠B=600,BC=2, ∴∠A=300.∴3∴AO=12AC 3……………………8分AC (E ) BPQD图6GA C (E )B PQD图7GOE CDAα lOCA（备用图）在Rt △AOD 中，∠A=300，∴AD=2. ∴BD=2. ∴BD=BC.又∵四边形EDBC 是平行四边形，∴四边形EDBC 是菱形 ……………………10分7如图，在梯形ABCD中，3545AD BC AD DC AB B ====︒∥，，，．动点M 从B 点出发沿线段BC 以每秒2个单位长度的速度向终点C 运动；动点N 同时从C 点出发沿线段CD 以每秒1个单位长度的速度向终点D 运动．设运动的时间为t 秒．（1）求BC 的长．（2）当MN AB ∥时，求t 的值．（3）试探究：t 为何值时，MNC △为等腰三角形．解：（1）如图①，过A 、D 分别作AK BC ⊥于K ，DH BC ⊥于H ，则四边形ADHK 是矩形∴3KH AD ==． 1分在Rt ABK △中，sin 4542AK AB =︒==． 2cos 454242BK AB =︒== 2分在Rt CDH △中，由勾股定理得，3HC =∴43310BC BK KH HC =++=++= 3分C（图①）A DCB K H（图②）A DCBG MN（2）如图②，过D 作DG AB ∥交BC 于G 点，则四边形ADGB 是平行四边形∵MN AB ∥ ∴MN DG ∥ ∴3BG AD == ∴1037GC =-= 4分由题意知，当M 、N 运动到t 秒时，102CN t CM t ==-，． ∵DG MN ∥ ∴NMC DGC =∠∠ 又C C =∠∠ ∴MNC GDC △∽△∴CN CMCD CG =5分即10257t t -= 解得，5017t =6分（3）分三种情况讨论：①当NC MC =时，如图③，即102t t =-∴103t =7分ADCB MN（图③）（图④）A D CBM NH E②当MN NC =时，如图④，过N 作NE MC ⊥于E 解法一：由等腰三角形三线合一性质得()11102522EC MC t t ==-=-在Rt CEN △中，5cos EC tc NC t -== 又在Rt DHC △中，3cos 5CH c CD ==∴535t t -= 解得258t =8分解法二：∵90C C DHC NEC =∠=∠=︒∠∠， ∴NEC DHC △∽△∴NC EC DC HC =即553t t -= ∴258t =8分③当MN MC =时，如图⑤，过M 作MF CN ⊥于F 点.1122FC NC t ==解法一：（方法同②中解法一）132cos 1025tFC C MC t ===-解得6017t =解法二：∵90C C MFC DHC =∠=∠=︒∠∠，（图⑤）ADCBH N MF∴MFC DHC △∽△∴FC MCHC DC =即1102235tt-= ∴6017t =综上所述，当103t =、258t =或6017t =时，MNC △为等腰三角形 9分8如图1，在等腰梯形ABCD 中，AD BC ∥，E 是AB 的中点，过点E 作EF BC ∥交CD 于点F ．46AB BC ==，，60B =︒∠.（1）求点E 到BC 的距离；（2）点P 为线段EF 上的一个动点，过P 作PM EF ⊥交BC 于点M ，过M 作MN AB ∥交折线ADC 于点N ，连结PN ，设EP x =.①当点N 在线段AD 上时（如图2），PMN △的形状是否发生改变？若不变，求出PMN △的周长；若改变，请说明理由；②当点N 在线段DC 上时（如图3），是否存在点P ，使PMN △为等腰三角形？若存在，请求出所有满足要求的x 的值；若不存在，请说明理由.解（1）如图1，过点E 作EG BC ⊥于点G ． 1分 ∵E 为AB 的中点，∴122BE AB ==．在Rt EBG △中，60B =︒∠，∴30BEG =︒∠． 2分∴112BG BE EG ====，即点E 到BC 3分（2）①当点N 在线段AD 上运动时，PMN △的形状不发生改变． ∵PM EF EG EF ⊥⊥，，∴PM EG ∥． ∵EF BC ∥，∴EP GM =，PM EG == 同理4MN AB ==． 4分如图2，过点P 作PH MN ⊥于H ，∵MN AB ∥， ∴6030NMC B PMH ==︒=︒∠∠，∠．∴12PH PM ==A D EB FC 图4（备用） ADE BF C 图5（备用） A D E BF C 图1 图2 ADE BF C P NM图3 A D E BFCP N M （第25题）图1A D EBF CGA D EBF CPNMG H∴3cos302MH PM =︒=．则35422NH MN MH =-=-=．在Rt PNH △中，PN ===∴PMN △的周长=4PM PN MN ++=．6分②当点N 在线段DC 上运动时，PMN △的形状发生改变，但MNC △恒为等边三角形．当PM PN =时，如图3，作PR MN ⊥于R ，则MR NR =．类似①，32MR =．∴23MN MR ==． 7分∵MNC △是等边三角形，∴3MC MN ==．此时，6132x EP GM BC BG MC ===--=--=． 8分当MP MN =时，如图4，这时MC MN MP ===此时，615x EP GM ===-=-当NP NM =时，如图5，30NPM PMN ==︒∠∠．则120PMN =︒∠，又60MNC =︒∠， ∴180PNM MNC +=︒∠∠．图3A D E BFCPN M 图4A D EBF CP MN 图5A D EBF （P ） CMN GGRG因此点P 与F 重合，PMC △为直角三角形．∴tan301MC PM =︒=．此时，6114x EP GM ===--=．综上所述，当2x =或4或(53时，PMN △为等腰三角形． 10分 9如图①，正方形 ABCD 中，点A 、B 的坐标分别为（0，10），（8，4），点C 在第一象限．动点P 在正方形 ABCD 的边上，从点A 出发沿A →B →C →D 匀速运动，同时动点Q 以相同速度在x 轴正半轴上运动，当P 点到达D 点时，两点同时停止运动，设运动的时间为t 秒．(1)当P 点在边AB 上运动时，点Q 的横坐标x （长度单位）关于运动时间t （秒）的函数图象如图②所示，请写出点Q 开始运动时的坐标及点P 运动速度；(2)求正方形边长及顶点C 的坐标；(3)在（1）中当t 为何值时，△OPQ 的面积最大，并求此时P 点的坐标； (4)如果点P 、Q 保持原速度不变，当点P 沿A →B →C →D 匀速运动时，OP 与PQ 能否相等，若能，写出所有符合条件的t 的值；若不能，请说明理由．解：（1）Q （1，0） 1分点P 运动速度每秒钟1个单位长度． 2分（2）过点B 作BF ⊥y 轴于点F ，BE ⊥x 轴于点E ，则BF ＝8，4OF BE ==． ∴1046AF =-=．在Rt △AFB 中，228610AB =+ 3分过点C 作CG ⊥x 轴于点G ，与FB 的延长线交于点H ． ∵90,ABC AB BC ∠=︒= ∴△ABF ≌△BCH ． ∴6,8BH AF CH BF ====． ∴8614,8412OG FH CG ==+==+=．∴所求C 点的坐标为（14，12）． 4分A B CDEF G H M N PQOxy（3）过点P 作PM ⊥y 轴于点M ，PN ⊥x 轴于点N ，则△APM ∽△ABF ． ∴AP AM MPAB AF BF ==． 1068t AM MP ∴==． ∴3455AM t PM t ==，． ∴3410,55PN OM t ON PM t==-==．设△OPQ 的面积为S （平方单位）∴213473(10)(1)5251010S t t t t =⨯-+=+-（0≤t ≤10） 5分说明:未注明自变量的取值范围不扣分．∵310a =-<0 ∴当474710362()10t =-=⨯-时， △OPQ 的面积最大． 6分此时P 的坐标为（9415，5310）． 7分（4）当53t =或29513t =时， OP 与PQ 相等． 9分10数学课上，张老师出示了问题：如图1，四边形ABCD 是正方形，点E 是边BC 的中点．90AEF ∠=，且EF 交正方形外角DCG ∠的平行线CF 于点F ，求证：AE=EF ．经过思考，小明展示了一种正确的解题思路：取AB 的中点M ，连接ME ，则AM=EC ，易证AME ECF △≌△，所以AE EF =．在此基础上，同学们作了进一步的研究：（1）小颖提出：如图2，如果把“点E 是边BC 的中点”改为“点E 是边BC 上（除B ，C 外）的任意一点”，其它条件不变，那么结论“AE=EF ”仍然成立，你认为小颖的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由；（2）小华提出：如图3，点E 是BC 的延长线上（除C 点外）的任意一点，其他条件不变，结论“AE=EF ”仍然成立．你认为小华的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由．A D F C G EB 图1 A D FC G E B 图2A D F C GB 图3解：（1）正确．（1分）证明：在AB 上取一点M ，使AM EC =，连接ME ．（2分）BM BE ∴=．45BME ∴∠=°，135AME ∴∠=°．CF 是外角平分线， 45DCF ∴∠=°， 135ECF ∴∠=°． AME ECF ∴∠=∠．90AEB BAE ∠+∠=°，90AEB CEF ∠+∠=°，∴BAE CEF ∠=∠．AME BCF ∴△≌△（ASA ）．（5分）AE EF ∴=．（6分）（2）正确．（7分）证明：在BA 的延长线上取一点N ．使AN CE =，连接NE ．（8分）BN BE ∴=． 45N PCE ∴∠=∠=°．四边形ABCD 是正方形，AD BE ∴∥． DAE BEA ∴∠=∠．NAE CEF ∴∠=∠． ANE ECF ∴△≌△（ASA ）．（10分）AE EF ∴=．（11分）11已知一个直角三角形纸片OAB ，其中9024AOB OA OB ∠===°，，．如A DF C GBM ADFGE BN图，将该纸片放置在平面直角坐标系中，折叠该纸片，折痕与边OB 交于点C ，与边AB 交于点D ．（Ⅰ）若折叠后使点B 与点A 重合，求点C 的坐标；（Ⅱ）若折叠后点B 落在边OA 上的点为B '，设OB x '=，OC y =，试写出y 关于x 的函数解析式，并确定y 的取值范围；（Ⅲ）若折叠后点B 落在边OA 上的点为B '，且使B D OB '∥，求此时点C 的坐标．解（Ⅰ）如图①，折叠后点B 与点A则ACD BCD △≌△.设点C 的坐标为()()00m m >，.则4BC OB OC m =-=-. 于是4AC BC m ==-.在Rt AOC △中，由勾股定理，得222AC OC OA =+，即()22242m m -=+，解得32m =.∴点C 的坐标为302⎛⎫ ⎪⎝⎭，. 4分（Ⅱ）如图②，折叠后点B 落在OA 边上的点为B ',则B CD BCD '△≌△. 由题设OB x OC y '==，，则4B C BC OB OC y '==-=-，在Rt B OC '△中，由勾股定理，得222B C OC OB ''=+.()2224y y x ∴-=+，即2128y x =-+ 6分由点B '在边OA 上，有02x ≤≤，∴ 解析式2128y x =-+()02x ≤≤为所求. ∴当02x ≤≤时，y 随x 的增大而减小，y ∴的取值范围为322y ≤≤. 7分（Ⅲ）如图③，折叠后点B 落在OA 边上的点为B ''，且B D OB ''∥. 则OCB CB D ''''∠=∠.又CBD CB D OCB CBD ''''∠=∠∴∠=∠，，有CB BA ''∥. Rt Rt COB BOA ''∴△∽△.有OB OCOA OB ''=，得2OC OB ''=. 9分在Rt B OC ''△中，设()00OB x x ''=>，则2OC x =.由（Ⅱ）的结论，得2001228x x =-+，解得000808x x x =-±>∴=-+，21∴点C 的坐标为()016.10分12问题解决如图（1），将正方形纸片ABCD 折叠，使点B 落在CD 边上一点E （不与点C ，D 重合），压平后得到折痕MN ．当12CE CD =时，求AM BN 的值．类比归纳在图（1）中，若13CE CD =，则AM BN 的值等于；若14CE CD =，则AMBN 的值等于；若1CE CD n =（n 为整数），则AMBN 的值等于．（用含n的式子表示）联系拓广如图（2），将矩形纸片ABCD 折叠，使点B 落在CD 边上一点E （不与点C D ，重合），压平后得到折痕MN ，设()111AB CE m BC mCD n =>=，，则AMBN 的值等于．（用含m n ，的式子表示）解：方法一：如图（1-1），连接BM EM BE ，，．方法指导：为了求得AM BN 的值，可先求BN 、AM 的长，不妨设：AB =2 图（2）ABCD EFM图（1）A BCDEFMN N 图（1-1）A BCDEFM22由题设，得四边形ABNM 和四边形FENM 关于直线MN 对称． ∴MN 垂直平分BE ．∴BM EM BN EN ==，． 1分 ∵四边形ABCD是正方形，∴902A D C AB BC CD DA ∠=∠=∠=====°,．∵112CE CE DE CD =∴==，．设BN x =，则NE x =，2NC x =-．在Rt CNE △中，222NE CN CE =+．∴()22221x x =-+．解得54x =，即54BN =． 3分在Rt ABM △和在Rt DEM △中，222AM AB BM +=， 222DM DE EM +=，∴2222AM AB DM DE +=+．5分设AM y =，则2DM y =-，∴()2222221y y +=-+．解得14y =，即14AM =．6分 ∴15AM BN =．7分方法二：同方法一，54BN =．3分如图（1－2），过点N 做NG CD ∥，交AD 于点G ，连接BE ．N图（1-2）A BC DEFMG23∵AD BC ∥，∴四边形GDCN 是平行四边形． ∴NG CD BC ==．同理，四边形ABNG 也是平行四边形．∴54AG BN ==．∵90MN BE EBC BNM ⊥∴∠+∠=，°．90NG BC MNG BNM EBC MNG ⊥∴∠+∠=∴∠=∠，°，． BCE △与NGM △中90EBC MNG BC NG C NGM ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠=⎩，，°．∴BCE NGM EC MG =△≌△，．５分∵114AM AG MG AM =--=5，=．4 6分 ∴15AM BN =． 7分类比归纳25（或410）；917； ()2211n n -+ 10分联系拓广2222211n m n n m -++ 12分。

初一数学动点问题例题集(可编辑修改word版)

初一数学动点问题集锦1、如图，已知△ABC 中， AB = AC = 10 厘米， BC = 8 厘米，点D 为AB 的中点．（1）如果点 P 在线段 BC 上以 3 厘米/秒的速度由 B 点向 C 点运动，同时，点 Q 在线段 CA 上由 C 点向 A 点运动． ①若点 Q 的运动速度与点P 的运动速度相等，经过1秒后， △BPD 与△CQP 是否全等，请说明理由；②若点 Q 的运动速度与点P 的运动速度不相等，当点 Q 的运动速度为多少时，能够使△BPD 与△CQP 全等？（2）若点 Q 以②中的运动速度从点 C 出发，点 P 以原来的运动速度从点 B 同时出发，都逆时针沿△ABC 三边运动，求经过多长时间点 P 与点 Q 第一次在△ABC 的哪条边上相遇？解：（1）①∵t = 1秒， ∴ BP = CQ = 3⨯1 = 3 厘米，∵ AB = 10 厘米，点D 为 AB 的中点， ∴ BD = 5 厘米．又∵厘米，∴ PC = 8 - 3 = 5 厘米PC = BC - BP ，BC = 8 ，∴PC = BD ．又∵ AB =AC ，∴∠B =∠C ，∴△BPD ≌△CQP ．（4 分）②∵v P ≠v Q ，∴BP ≠CQ ，又∵△BPD ≌△CQP ，∠B =∠C ，则BP =PC = 4，CQ =BD = 5 ，t =BP=4∴点P ，点Q 运动的时间 3 3 秒，v =CQ=5=15Q t 4 4∴ 3 厘米/秒．（7 分）（2）设经过x 秒后点P 与点Q 第一次相遇，15x = 3x + 2 ⨯10由题意，得4 ，x =80解得 3 秒．80⨯ 3 = 80∴点P 共运动了3 厘米．∵80 = 2 ⨯ 28 + 24 ，∴点P 、点Q 在AB 边上相遇，∴经过803 秒点P 与点Q 第一次在边AB 上相遇．（12 分）y =-3x + 62、直线 4 与坐标轴分别交于A、B 两点，动点P、Q 同时从O 点出发，同时到达 A 点，运动停止．点Q 沿线段OA 运动，速度为每秒1 个单位长度，点P 沿路线O →B →A 运动．（1）直接写出A、B 两点的坐标；（2）设点Q 的运动时间为t 秒， △OPQ 的面积为S ，求出S 与t 之间的函数关系式；S =48（3）当5 时，求出点P 的坐标，并直接写出以点O 、P 、Q 为顶点的平行四边形的第四个顶点M 的坐标．解（1）A （8，0）B （0，6） 1 分（2） OA = 8，OB = 6∴ AB = 108= 8点Q 由O 到 A 的时间是1 （秒）6 +10 = 2∴点P 的速度是 8 （单位/秒） 1 分当P 在线段OB 上运动（或 0≤ t ≤ 3 ）时， OQ = t ，OP = 2tS = t 2 1 分当 P 在线段 BA 上运动（或 3 < t ≤ 8 ）时，OQ = t ，AP = 6 +10 - 2t = 16 - 2t ,PD = AP 如图，作PD ⊥ OA 于点D ，由 BO AB ，得 ∴ S = 1 OQ ⨯ PD = - 3 t 2 + 24tPD =48 - 6t5，1 分 2 5 5 1 分（自变量取值范围写对给 1 分，否则不给分．）yBPO QAxP ⎛8 24 ⎫，⎪（3）⎝5 5 ⎭ 1 分I ⎛28 24 ⎫⎛12 24 ⎫⎛12 24 ⎫1 5⎪，M2 - ，⎪，M3 ，-⎪⎝ 5 ⎭⎝ 5 5 ⎭⎝5 5 ⎭3 分3 如图，在平面直角坐标系中，直线l：y=－2x－8 分别与x 轴，y 轴相交于A，B 两点，点P（0，k）是y 轴的负半轴上的一个动点，以P 为圆心，3 为半径作⊙P.（1）连结PA，若PA=PB，试判断⊙P 与x 轴的位置关系，并说明理由；（2）当k 为何值时，以⊙P 与直线l 的两个交点和圆心P 为顶点的三角形是正三角形？，4 4 5解：（1）⊙P 与 x 轴相切.∵直线 y=－2x －8 与 x 轴交于 A （4，0），与 y 轴交于 B （0，－8）， ∴OA=4，OB=8. 由题意，OP=－k ， ∴PB=PA=8+k.在 Rt △AOP 中，k2+42=(8+k)2， ∴k=－3，∴OP 等于⊙P 的半径， ∴⊙P 与 x 轴相切.（2）设⊙P 与直线 l 交于 C ，D 两点，连结PC ，PD 当圆心P 在线段OB 上时,作PE ⊥CD 于 E.1 3∵△PCD 为正三角形，∴DE= 2 CD= 2 ，PD=3，3 3∴PE= 2 .∵∠AOB=∠PEB=90°， ∠ABO=∠PBE ， ∴△AOB ∽△PEB ，3 3AO PE ,即 = 2∴AB PB PB ，PB = 3 15 ,∴2PO = BO - PB = 8 -3 15∴2 ，P (0, 3 15 - 8)∴ 2 ，k = 3 15 - 8 ∴ 2 .当圆心 P 在线段 OB 延长线上时,同理可得 P(0,－ 3 15 2 －8)，∴k=－ 3 152－8，∴当 k= 3 152－8 或 k=－ 3 152－8 时，以⊙P 与直线 l 的两个交点和圆心 P 为顶点的三角形是正三角形.4（09 哈尔滨）如图 1，在平面直角坐标系中，点 O 是坐标原点，四边形 ABCO 是菱形，点 A 的坐标为（－3，4），点 C 在 x 轴的正半轴上，直线 AC 交 y 轴于点 M ，AB 边交 y 轴于点 H ．（1）求直线 AC 的解析式；（2）连接 BM ，如图 2，动点 P 从点 A 出发，沿折线 ABC方向以 2 个单位／秒的速度向终点 C 匀速运动，设△PMB 的面积为 S （S ≠0），点 P 的运动时间为 t 秒，求 S 与 t 之间的函数关系式（要求写出自变量 t 的取值范围）；（3）在（2）的条件下，当t 为何值时，∠MPB 与∠BCO 互为余角，并求此时直线OP 与直线AC 所夹锐角的正切值．解：5 在 Rt △ABC 中，∠C=90°，AC = 3，AB = 5．点 P 从点 C 出发沿 CA 以每秒 1 个单位长的速度向点 A 匀速运动，到达点 A 后立刻BEQDA图 16C以原来的速度沿AC 返回；点Q 从点A 出发沿AB 以每秒1 个单位长的速度向点B 匀速运动．伴随着P、Q 的运动，DE 保持垂直平分PQ，且交PQ 于点D，交折线QB-BC-CP 于点E．点P、Q 同时出发，当点Q 到达点B 时停止运动，点P 也随之停止．设点P、Q 运动的时间是t 秒（t＞0）．（1）当t = 2 时，AP = ，点Q 到AC 的距离是；（2）在点P 从C 向A 运动的过程中，求△APQ 的面积S 与t 的函数关系式；（不必写出t 的取值范围）（3）在点E 从B 向C 运动的过程中，四边形QBED 能否成为直角梯形？若能，求t 的值．若不能，请说明理由；（4）当DE 经过点C 时，请直接写出t 的值．8解：（1）1， 5 ；（2）作QF⊥AC 于点F，如图3，AQ = CP= t，∴ AP = 3 -t ．由△AQF∽△ABC，BC == 4 ，QF=t得 4 5 ．∴S =1(3 -t) ⋅4tQF =4t5 ．∴ 2 5 ，S =-2t 2+6t即 5 5 ．（3）能．①当DE∥QB 时，如图4．图 4 ∵DE⊥PQ，∴PQ⊥QB，四边形QBED 是直角梯形．此时∠AQP=90°．QGD C (E )PQGDA PC (E )[ (5AQ = AP由△APQ ∽△ABC ，得 AC AB ， Bt =3 - t 即35．解得t = 9 8 ．②如图 5，当 PQ ∥BC 时，DE ⊥BC ，四边形 QBED 是直Q D角梯形． E 此时∠APQ =90°．由△AQP ∽△ABC ，得AQ =APAB AC ， APC图 5Bt =3 - t 即5 3 ．解得 t = 15 8 ．（4）（4）t = 52 或t =45 14 ．①点 P 由 C 向 A 运动，DE 经过点 C ．连接 QC ，作 QG ⊥BC 于点 G ，如图 6．A图 6B =3 24 2 PC = t ， QC 2 = QG 2 + CG 2 [ (5 - t )] 5+[4 - (5 - t )] 5 ． t 2 =3 24 25 由PC 2 = QC 2 ，得 [ (5 - t )] 5 +[4 - (5 - t )] 5 t = ，解得 2．②点 P 由 A 向 C 运动，DE 经过点 C ，如图 7．图 7(6 - t )2 = 3 - t )]2 +[4 - 4 (5 - t )]2 5 5t =45， 14 】6 如图，在Rt △ABC 中， ∠ACB = 90°，∠B = 60°BC = 2 ．点O 是 AC 的中点，过点O 的直线l 从与 AC A重合的位置开始，绕点O 作逆时针旋转，交 AB 边于点D ．过点C 作CE ∥ AB 交直线l 于点E ，设直线l 的旋转角为．A（1） ①当=度时，四边形EDBC 是B（备用图）等腰梯形，此时AD 的长为；l E OD CCO②当度时，四边形EDBC 是直角梯形，此时AD 的长3 为；（2）当90° 时，判断四边形EDBC 是否为菱形，并说明理由．解（ 1） ① 30， 1； ② 60，1.5； .............................................................................. 4 分（2）当∠α=900 时，四边形 EDBC 是菱形. ∵∠α=∠ACB=900，∴BC//ED.∵ CE//AB, ∴ 四边形 EDBC 是平行四边形 ................................................. 6 分在 Rt △ABC 中，∠ACB=900，∠B=600,BC=2,∴∠A=300.∴AB=4,AC=2 . 1AC∴AO= 2 =. ……………………8 分在 Rt △AOD 中，∠A=300，∴AD=2. ∴BD=2. ∴BD=BC.又∵四边形 EDBC 是平行四边形，∴ 四边形 EDBC 是菱形 .................................................................................. 10 分352 - 42 ADA DN7 如图，在梯形ABCD 中，AD ∥ BC ，AD = 3，DC = 5，AB = 4 2，∠B = 45︒ 动AD点 M 从 B 点出发沿线段 BC 以每秒 2 个单位长N度的速度向终点C 运动；动点 N 同时从C 点出 BM发沿线段CD 以每秒 1 个单位长度的速度向终点D 运动．设运动的时间为t 秒．（1）求BC 的长．（2）当MN ∥ AB 时，求t 的值．（3）试探究： t 为何值时， △MNC 为等腰三角形．解：（1）如图①，过 A 、D 分别作 AK ⊥ BC 于K ， DH ⊥ BC 于H ，则四边形 ADHK 是矩形∴KH = AD = 3在Rt △ABK 中， 1 分AK = AB sin 45︒ = 4 2． 2= 4 2BK = AB cos 45︒ = 4 22 = 42 2 分在Rt △CDH 中，由勾股定理得，HC = = 3 ∴ BC = BK + KH + HC = 4 + 3 + 3 = 10 3 分BK H（图①）CBCG M（图②）（2）如图②，过D 作DG ∥AB 交BC 于G 点，则四边形ADGB 是平行四边形∵MN ∥AB∴MN ∥DG∴BG =AD = 3∴GC = 10 - 3 = 7 4 分由题意知，当M 、N 运动到t 秒时，CN =t，CM = 10 - 2t∵DG ∥MN∴∠NMC =∠DGC又∠C =∠C∴△MNC ∽△GDCCN=CM∴CD CG 5 分t=10 - 2t即5 7t =50解得，17 6 分（3）分三种情况讨论：①当NC =MC 时，如图③，即t = 10 - 2tt =10∴ 3 7 分A DN A DNM HB C B E CM（图③）（图④）②当MN =NC 时，如图④，过N 作NE ⊥MC 于E解法一：由等腰三角形三线合一性质得cos c =EC=5 -tEC =1MC =1 (10 - 2t )= 5 -t2 2在Rt△CEN 中，NC t 又在Rt△DHC 中，5 -t=3cos c =CH=3CD 5∴t 5t =25解得8 8 分解法二：∵∠C =∠C，∠DHC =∠NEC = 90︒ ∴△NEC ∽△DHCNC=EC∴DC HCt =5 -t即5 3t =25∴8 8 分③当MN =MC 时，如图⑤，过M 作MF ⊥CN 于F 点. FC =1NC =1t2 2解法一：（方法同②中解法一）1 tA Dcos C = FC MC = 2 = 310 - 2t 5 t = 60 解得 17B 解法二：∵∠C =∠C ，∠MFC = ∠DHC = 90︒ ∴△MFC ∽△DHC（图⑤）N FH MCFC = MC∴HC DC1 t2 = 10 - 2t即 3 5 t = 60∴ 17t =10 t = 25t =60综上所述，当 3 、 8 或 17 时，△MNC 为等腰三角形 9分8 如图 1，在等腰梯形 ABCD 中， AD ∥ BC ， E 是 AB 的中点，过点E 作EF ∥ BC 交CD 于点F ． AB = 4，BC = 6 ，∠B = 60︒.（1）求点E 到BC 的距离；（2）点P 为线段EF 上的一个动点，过P 作PM ⊥ EF 交BC 于点M ，过M 作MN ∥ AB 交折线 ADC 于点 N ，连结PN ，设EP = x .AD E F A D E F A EPD N F ①当点 N 在线段 AD 上时（如图 2）， △PMN 的形状是否发生改变？若不变，求出△PMN 的周长；若改变，请说明理由；②当点N 在线段DC 上时（如图 3），是否存在点P ，使△PMN 为等腰三角形？若存在，请求出所有满足要求的x 的值；若不存在，请说明理由.BCBMCBCM 图 1 图 2 图 3 （第 25 题） ADEFBC图4（备用）BC图5（备用）22 -12 NH 2 + PH 2 ⎛ 5 ⎫22⎝ 2 ⎭ ⎪ + ⎛ 3 ⎫⎝ 2 ⎭ ⎪ 3 7 A D EFAND E PF H3 解（1）如图 1，过点E 作EG ⊥ BC 于点G ．1 分 ∵ E 为 AB 的中点，BE = 1AB = 2∴2 在Rt △EBG 中，∠B = 60︒ ∴∠BEG = 30︒2 分BGC图 1BG = 1BE = 1，EG = = ∴2即点E 到BC 的距离为 3． 3 分（2）①当点 N 在线段 AD 上运动时， △PMN 的形状不发生改变．∵PM ⊥ EF ，EG ⊥ EF ∴ PM ∥ EG∵EF ∥ BC ∴ EP = GM ， PM = EG =同理MN = AB = 4． 4 分如图 2，过点P 作PH ⊥ MN 于H ，∵ MN ∥ AB ， ∴∠NMC =∠B = 60︒，∠PMH = 30︒PH = 1 PM = 3∴2 2∴MH = PM cos 30︒ = 2BG MC图 2NH = MN - MH = 4 - 3 = 5则2 2PN = = = 在Rt △PNH 中，∴△PMN 的周长= PM + PN + MN = + + 4． 6 分②当点 N 在线段 DC 上运动时， △PMN 的形状发生改变，但△MNC 恒为等边三角形．33 7AEPDN FR3 当PM = PN 时，如图 3，作PR ⊥ MN 于R ，则MR = NRMR = 3类似①，2 ∴ MN = 2MR =3 7 分∵△MNC 是等边三角形，∴ MC = MN = 3此时， x = EP = GM = BC - BG - MC = 6 -1- 3 = 2 8 分A DEP FNADEF （P ） NBGMCBGMCBGM C图 3图 4图 5当MP = MN 时，如图 4，这时MC = MN = MP = 此时，x = EP = GM = 6 -1- = 5 - 当NP = NM 时，如图 5，∠NPM =∠PMN = 30︒ 则∠PMN = 120︒ 又∠MNC = 60︒ ∴∠PNM +∠MNC = 180︒因此点P 与F 重合， △PMC 为直角三角形．∴MC = PM tan 30︒ = 1．此时， x = EP = GM = 6 -1-1 = 4综上所述，当x = 2 或 4 或(5 - 分3)时， △PMN 为等腰三角形． 109 如图①，正方形 ABCD 中，点 A 、B 的坐标分别为（0，10），（8， 4），点 C 在第一象限．动点 P 在正方形 ABCD 的边上，从点 A 出发33沿A→B→C→D 匀速运动，同时动点Q 以相同速度在x 轴正半轴上运动，当P 点到达D 点时，两点同时停止运动，设运动的时间为t 秒．(1)当P 点在边AB 上运动时，点Q 的横坐标x （长度单位）关于运动时间t（秒）的函数图象如图②所示，请写出点Q 开始运动时的坐标及点P 运动速度；(2)求正方形边长及顶点C 的坐标；(3)在（1）中当t 为何值时，△OPQ 的面积最大，并求此时P 点的坐标；(4)如果点P、Q 保持原速度不变，当点P 沿A→B→C→D 匀速运动时，OP 与PQ 能否相等，若能，写出所有符合条件的t 的值；若不能，请说明理由．解：（1） Q（1，0） 1 分点 P 运动速度每秒钟 1 个单位长度． 2 分（2）过点 B 作 BF ⊥y 轴于点 F ， BE ⊥ x 轴于点 E ，则 BF ＝8，OF = BE = 4 ．∴AF = 10 - 4 = 6 ．在 Rt △AFB 中， AB == 10过点C 作CG ⊥ x 轴于点G ，与FB M ∵∠ABC = 90︒,AB = BC∴△ABF ≌△BCH ．∴ BH = AF = 6, CH = BF = 8 ．∴OG = FH = 8 + 6 = 14, CG = 8 + 4 = 12 ． ∴所求 C 点的坐标为（14，12）．4 分（3）过点 P 作 PM ⊥y 轴于点 M ，PN ⊥ x 轴于点 N ，则△APM ∽△ABF ．AP= AM =MP∴ t = AM = MP∴AB AF BF ． 10 6 8 ．AM = 3 t ，PM = 4 tPN = OM = 10 - 3 t , ON = PM = 4t∴5 5 ． ∴55 ．设△OPQ 的面积为S （平方单位）S = 1 ⨯ (10 - 3 t )(1+ t ) = 5 + 47 t - 3t 2∴2 5 10 10（0≤ t ≤10） 5 分说明:未注明自变量的取值范围不扣分．47 t = -10 = 47 a = - 3∵ 10 <0∴当分2 ⨯ (- 3) 10 6时， △OPQ 的面积最大． 6DFDFFD94 53此时P 的坐标为（15 ，10 ）．7 分（4）当t =53 或t =29513 时，OP 与PQ 相等．9 分10数学课上，张老师出示了问题：如图1，四边形ABCD 是正方形，点E 是边BC 的中点．∠AEF = 90 ，且EF 交正方形外角∠DCG 的平行线CF 于点F，求证：AE=EF．经过思考，小明展示了一种正确的解题思路：取AB 的中点M，连接ME，则AM=EC，易证△AME ≌△ECF ，所以AE =EF ．在此基础上，同学们作了进一步的研究：（1）小颖提出：如图2，如果把“点E 是边BC 的中点”改为“点E 是边BC 上（除B，C 外）的任意一点”，其它条件不变，那么结论“AE=EF”仍然成立，你认为小颖的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由；（2）小华提出：如图3，点E 是BC 的延长线上（除C 点外）的任意一点，其他条件不变，结论“AE=EF”仍然成立．你认为小华的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由．A A AB C E GB B图1 图2 图 3）D F（2 分解：（1）正确．（1 分）证明：在 AB 上取一点M ，使 AM = EC ，连接ME ．A ∴ BM = BE ．∴∠BME = 45° ，∴∠AME = 135° ．CF 是外角平分线， ∴∠DCF = 45° ， ∴∠ECF = 135° ． ∴∠AME = ∠ECF ．∠AEB + ∠BAE = 90° ， ∠AEB + ∠CEF = 90° ，∴ ∠BAE = ∠CEF ．∴△AME ≌△BCF （ASA ）．（5 分）∴ AE = EF ．（6 分）（2）正确．（7 分）证明：在BA 的延长线上取一点N ．使 AN = CE ，连接 NE ．（8分）∴ BN = BE ． ∴∠N = ∠PCE = 45° ．四边形 ABCD 是正方形， ∴ AD ∥ BE ． ∴∠DAE = ∠BEA ．∴∠NAE = ∠CEF ．∴△ANE ≌△ECF （ASA ）．（10 分）∴ AE = EF ．（11 分）FDMBECGN ABC E G11 已知一个直角三角形纸片OAB ，其中∠AOB = 90°，OA = 2，OB = 4．如图，将该纸片放置在平面直角坐标系中，折叠该纸片，折痕与边OB 交于点C ，与边 AB 交于点D ．（Ⅰ）若折叠后使点B 与点 A（Ⅱ）若折叠后点 B 落在边OA 上的点为 B '，设OB ' = x ， OC = y ，试写出 y 关于x 的函数解析式，并确定 y（Ⅲ）若折叠后点B 落在边OA 上的点为B ' ，且使B 'D ∥OB ，求此时点C 的坐标．解（Ⅰ）如图①，折叠后点B 与点 A 则△ACD ≌△BCD .设点C 的坐标为(0，m )(m > 0) . 则BC = OB - OC = 4 - m . 于是 AC = BC = 4 - m .在Rt △AOC 中，由勾股定理，得 AC 2 = OC 2 + OA 2，(4 - m )2= m 2+ 22，解得 m = 32 .⎛ 0 3 ⎫∴点C 的坐标为⎝ ， ⎪2 ⎭ . 4 分（Ⅱ）如图②，折叠后点B 落在OA 边上的点为B ', 则△B 'CD ≌△BCD . 由题设OB ' = x ，OC = y ，则B 'C = BC = OB - OC = 4 - y ，在Rt △B 'OC 中，由勾股定理，得B 'C 2= OC 2+ OB '2.∴(4 - y )2= y 2 + x 2y = - 1x 2 + 2即8 6 分由点B '在边OA 上，有0 ≤ x ≤ 2 ，y = - 1x 2 + 2 (0 ≤ x ≤ 2)∴ 解析式8为所求.∴ 当0 ≤ x ≤ 2 时， y 随x 的增大而减小，3≤ y ≤ 2∴ y 的取值范围为 2. 7 分（Ⅲ）如图③，折叠后点B 落在OA 边上的点为B ' ，且B 'D ∥OB . 则∠OCB ' = ∠CB 'D .又 ∠CBD = ∠CB 'D ，∴∠OCB ' = ∠CBD ，有CB '∥ BA . ，即5 MF∴Rt △COB ' ∽ Rt △BOA . OB ' = OC有OA OB ，得OC = 2OB ' . 9 分在Rt △B 'OC 中，设OB ' = x 0 ( x > 0) ，则OC = 2x 0 .由（Ⅱ）的结论，得2x 0 = - 1 x 2+ 2 8 0 ，解得x 0 = -8 ± 4 5．x 0 > 0，∴ x 0 = -8 + 4 . ∴点C 的坐标为(0，8 5 -16) . 10 分12 问题解决A D如图（1），将正方形纸片 ABCD 折叠，使点B 落在ECD 边上一点E （不与点C ， D 重合），压平后得到折痕CE 1 AMBNC=MN ．当CD 2 时，求 BN 的值．图（1）方法指导： AM 为了求得BN的值，可先求 BN 、 AM 的长，不妨设： AB =2类比归纳CE = 1，AMCE = 1在图（1）中，若CD 3 则 BN 的值等于；若CD 4AMCE =1 AM则 BN 的值等于；若 CD n （ n 为整数），则 BN 的值等M F于．（用含n 的式子表示）联系拓广如图（2），将矩形纸片 ABCD 折叠，使点B 落在CD 边上一点EAB = 1(m > 1CE = 1（不与点C ，D 重合），压平后得到折痕MN ，设BC m )，F CD n 则 AMAMD BN 的值等于．（用含m ，n 的式子表示）EBNC图（2）解：方法一：如图（1-1），连接BM ，EM ，BE ．AEBNC图（1-1）由题设，得四边形ABNM 和四边形FENM 关于直线MN 对称．∴MN 垂直平分BE ．∴BM =EM，BN =EN 1 分∵四边形ABCD 是正方形，∴∠A =∠D =∠C = 90° , AB =BC =CD =DA = 2CE=1，∴CE=DE=1∵CD 2 设BN =x 则NE =x NC = 2 -x 在Rt△CNE 中，NE2=CN 2+CE2．x2=(2-x)2+12x =5解得4BN =5，即 4 3 分在Rt△ABM 和在Rt△DEM 中，AM 2+AB2=BM 2，DM 2+DE2=EM 2，∴AM 2+AB2=DM 2+DE2 5 分设AM =y则DM=2-y，∴y2+22=(2-y)2+12y =1，AM =1．解得 4 即AM=1∴ BN 5 7 分4 6 分BN =5方法二：同方法一， 4 3 分如图（1－2），过点N 做NG∥CD，交AD于点G，连接BE．∴⎨ ⎩ △BCE ≌△NGM ，EC = MG∵AD ∥ BC ∴四边形GDCN 是平行四边形．∴ NG = CD = BC同理，四边形 ABNG 也是平行四边形．∴ ∵MN ⊥ BE ，∴∠EBC + ∠BNM = 90°AG = BN = 5 4 NG ⊥ BC ，∴∠MNG + ∠BNM = 90°，∴∠EBC = ∠MNG 在△BCE 与△NGM 中⎧∠EBC = ∠MNG ， ⎪BC = NG ， ⎪∠C = ∠NGM = 90° ∴５分AM = AG - MG ，AM = 5 -1 = 1∵AM =1 4 4 6 分 ∴ BN 57 分类比归纳2 4 9(n -1)25 （或10 ）； 17 ； n 2 +1 10 分联系拓广n2m2- 2n +1n2m2+1 12 分。

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七年级动点问题大全例1 如图，在数轴上A点表示数a，B点表示数b，AB表示A点和B点之间的距离，且a、b满足|a+2|+（b+3a）2=0（1）求A、B两点之间的距离；（2）若在数轴上存在一点C，且AC=2BC，求C点表示的数；（3）若在原点O处放一挡板，一小球甲从点A处以1个单位/秒的速度向左运动；同时另一小球乙从点B处以2个单位/秒的速度也向左运动，在碰到挡板后（忽略球的大小，可看作一点）以原来的速度向相反的方向运动，设运动的时间为t（秒），①分别表示甲、乙两小球到原点的距离（用t表示）；②求甲、乙两小球到原点的距离相等时经历的时间．例2如图，有一数轴原点为O，点A所对应的数是-1 2，点A沿数轴匀速平移经过原点到达点B．（1）如果OA=OB，那么点B所对应的数是什么？（2）从点A到达点B所用时间是3秒，求该点的运动速度．（3）从点A沿数轴匀速平移经过点K到达点C，所用时间是9秒，且KC=KA，分别求点K和点C所对应的数。

例3动点A从原点出发向数轴负方向运动，同时，动点B也从原点出发向数轴正方向运动，3秒后，两点相距15个单位长度．已知动点A、B的速度比是1：4．（速度单位：单位长度/秒）（1）求出两个动点运动的速度，并在数轴上标出A、B两点从原点出发运动3秒时的位置；（2）若A、B两点从（1）中的位置同时向数轴负方向运动，几秒后原点恰好处在两个动点正中间；（3）在（2）中A、B两点继续同时向数轴负方向运动时，另一动点C同时从B 点位置出发向A运动，当遇到A后，立即返回向B点运动，遇到B点后立即返回向A点运动，如此往返，直到B追上A时，C立即停止运动．若点C一直以20单位长度/秒的速度匀速运动，那么点C从开始到停止运动，运动的路程是多少单位长度．例4已知数轴上两点A、B对应的数分别为-1、3，点P为数轴上一动点，其对应的数为x．（1）若点P到点A，点B的距离相等，求点P对应的数；（2）数轴上是否存在点P，使点P到点A、点B的距离之和为6？若存在，请求出x的值；若不存在，说明理由；（3）点A、点B分别以2个单位长度/分、1个单位长度/分的速度向右运动，同时点P以6个单位长度/分的速度从O点向左运动．当遇到A时，点P立即以同样的速度向右运动，并不停地往返于点A与点B之间，求当点A与点B重合时，点P 所经过的总路程是多少？例5数轴上两个质点A、B所对应的数为-8、4，A、B两点各自以一定的速度在上运动，且A点的运动速度为2个单位/秒．（1）点A、B两点同时出发相向而行，在原点处相遇，求B点的运动速度；（2）A、B两点以（1）中的速度同时出发，向数轴正方向运动，几秒钟时两者相距6个单位长度；（3）A、B两点以（1）中的速度同时出发，向数轴负方向运动，与此同时，C点从原点出发作同方向的运动，且在运动过程中，始终有CB：CA=1：2，若干秒钟后，C停留在-10处，求此时B点的位置？例6在数轴上，点A表示的数是-30，点B表示的数是170．（1）求A、B中点所表示的数．（2）一只电子青蛙m，从点B出发，以4个单位每秒的速度向左运动，同时另一只电子青蛙n，从A点出发以6个单位每秒的速度向右运动，假设它们在C点处相遇，求C点所表示的数．（3）两只电子青蛙在C点处相遇后，继续向原来运动的方向运动，当电子青蛙m 处在A点处时，问电子青蛙n处在什么位置？（4）如果电子青蛙m从B点处出发向右运动的同时，电子青蛙n也向右运动，假设它们在D点处相遇，求D点所表示的数例7、已知数轴上有A、B、C三点，分别代表—24，—10，10，两只电子蚂蚁甲、乙分别从A、C两点同时相向而行，甲的速度为4个单位/秒。

(完整版)初一数学动点问题例题集

初一数学动点问题集锦1、如图，已知ABC △中，10AB AC ==厘米，8BC =厘米，点D 为AB 的中点．（1）如果点P 在线段BC 上以3厘米/秒的速度由B 点向C 点运动，同时，点Q 在线段CA 上由C 点向A 点运动．①若点Q 的运动速度与点P 的运动速度相等，经过1秒后，BPD △与CQP △是否全等，请说明理由；②若点Q 的运动速度与点P 的运动速度不相等，当点Q 的运动速度为多少时，能够使BPD △与CQP △全等？（2）若点Q 以②中的运动速度从点C 出发，点P 以原来的运动速度从点B 同时出发，都逆时针沿ABC △三边运动，求经过多长时间点P 与点Q 第一次在ABC △的哪条边上相遇？解：（1）①∵1t =秒， ∴313BP CQ ==⨯=厘米，∵10AB =厘米，点D 为AB 的中点， ∴5BD =厘米．又∵厘米，∴835PC =-=厘米8PC BC BP BC =-=，， ∴PC BD =．又∵AB AC =， ∴B C ∠=∠，∴BPD CQP △≌△．（4分） ②∵P Qv v ≠， ∴BP CQ ≠，又∵BPD CQP △≌△，B C ∠=∠，则45BP PC CQ BD ====，， ∴点P ，点Q 运动的时间433BP t ==秒，∴515443QCQvt===厘米/秒．（7分）（2）设经过x秒后点P与点Q第一次相遇，由题意，得1532104x x=+⨯，解得803x=秒．∴点P共运动了803803⨯=厘米．∵8022824=⨯+，∴点P、点Q在AB边上相遇，∴经过803秒点P与点Q第一次在边AB上相遇．（12分）2、直线364y x=-+与坐标轴分别交于A B、两点，动点P Q、同时从O点出发，同时到达A点，运动停止．点Q沿线段OA运动，速度为每秒1个单位长度，点P沿路线O→B→A运动．（1）直接写出A B、两点的坐标；（2）设点Q的运动时间为t秒，OPQ△的面积为S，求出S与t之间的函数关系式；（3）当485S=时，求出点P的坐标，并直接写出以点O P Q、、为顶点的平行四边形的第四个顶点M的坐标．解（1）A（8，0）B（0，6）1分（2）86OA OB ==，10AB ∴=点Q 由O 到A 的时间是881=（秒） ∴点P 的速度是61028+=（单位/秒） 1分当P 在线段OB 上运动（或03t ≤≤）时，2OQ t OP t ==，2S t = 1分当P 在线段BA 上运动（或38t <≤）时，6102162OQ t AP t t ==+-=-，,如图，作PD OA ⊥于点D ，由PD AP BO AB =，得4865tPD -=， 1分 21324255S OQ PD t t∴=⨯=-+ 1分（自变量取值范围写对给1分，否则不给分．）（3）82455P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，1分12382412241224555555I M M 2⎛⎫⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，，，，， 3分 3如图，在平面直角坐标系中，直线l ：y=－2x －8分别与x 轴，y 轴相交于A ，B 两点，点P （0，k ）是y 轴的负半轴上的一个动点，以P 为圆心，3为半径作⊙P.（1）连结PA ，若PA=PB ，试判断⊙P 与x 轴的位置关系，并说明理由；（2）当k 为何值时，以⊙P 与直线l 的两个交点和圆心P 为顶点的三角形是正三角形？解：（1）⊙P 与x 轴相切.∵直线y=－2x－8与x轴交于A（4，0），与y轴交于B（0，－8），∴OA=4，OB=8.由题意，OP=－k，∴PB=PA=8+k.在Rt△AOP中，k2+42=(8+k)2，∴k=－3，∴OP等于⊙P的半径，∴⊙P与x轴相切.（2）设⊙P与直线l交于C，D两点，连结PC，PD当圆心P在线段OB上时,作PE⊥CD于E.∵△PCD为正三角形，∴DE=12CD=32，PD=3，∴PE=33.∵∠AOB=∠PEB=90°，∠ABO=∠PBE，∴△AOB∽△PEB，∴332,45AO PEAB PB PB=即，∴315 PB=∴3158PO BO PB=-=，∴3158)P-，∴3158k-.当圆心P在线段OB延长线上时,同理可得P(0,－315－8)，∴k=－315－8，∴当k=315－8或k=－315－8时，以⊙P与直线l的两个交点和圆心P为顶点的三角形是正三角形.4 如图1，在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，四边形ABCO是菱形，点A的坐标为（－3，4），点C在x轴的正半轴上，直线AC交y轴于点M，AB边交y轴于点H．（1）求直线AC的解析式；（2）连接BM，如图2，动点P从点A出发，沿折线ABC方向以2个单位／秒的速度向终点C匀速运动，设△PMB的面积为S（S≠0），点P的运动时间为t秒，求S与t之间的函数关系式（要求写出自变量t的取值范围）；（3）在（2）的条件下，当 t为何值时，∠MPB与∠BCO互为余角，并求此时直线OP与直线AC所夹锐角的正切值．解：5在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC = 3，AB = 5．点P 从点C 出发沿CA 以每秒1个单位长的速度向点A 匀速运动，到达点A 后立刻以原来的速度沿AC 返回；点Q 从点A 出发沿AB 以每秒1个单位长的速度向点B 匀速运动．伴随着P 、Q 的运动，DE 保持垂直平分PQ ，且交PQ 于点D ，交折线QB-BC-CP 于点E ．点P 、Q 同时出发，当点Q 到达点B 时停止运动，点P 也随之停止．设点P 、Q 运动的时间是t 秒（t ＞0）．ACBPQED图16（1）当t = 2时，AP = ，点Q 到AC 的距离是；（2）在点P 从C 向A 运动的过程中，求△APQ 的面积S 与 t 的函数关系式；（不必写出t 的取值范围）（3）在点E 从B 向C 运动的过程中，四边形QBED 能否成为直角梯形？若能，求t 的值．若不能，请说明理由；（4）当DE 经过点C 时，请直接写出t 的值．解：（1）1，85；（2）作QF ⊥AC 于点F ，如图3， AQ = CP= t ，∴3AP t =-．由△AQF ∽△ABC，4BC =，得45QF t =．∴45QF t=． ∴14(3)25S t t=-⋅，即22655S t t=-+．（3）能．①当DE ∥QB 时，如图4．∵DE ⊥PQ ，∴PQ ⊥QB ，四边形QBED 是直角梯形．此时∠AQP=90°．由△APQ ∽△ABC ，得AQ APAC AB =，即335t t -=．解得98t =．②如图5，当PQ ∥BC 时，DE ⊥BC ，四边形QBED 是直角梯形．此时∠APQ =90°．由△AQP ∽△ABC ，得 AQ APAB AC =，即353t t -=．解得158t =．（4）52t =或4514t =．P图4①点P 由C 向A 运动，DE 经过点C ．连接QC ，作QG ⊥BC 于点G ，如图6．PC t =，222QC QG CG =+2234[(5)][4(5)]55t t =-+--．由22PC QC =，得22234[(5)][4(5)]55t t t =-+--，解得52t =．②点P 由A 向C 运动，DE 经过点C ，如图7．22234(6)[(5)][4(5)]55t t t -=-+--，4514t =】6如图，在Rt ABC △中，9060ACB B ∠=∠=°，°，2BC =．点O 是AC 的中点，过点O 的直线l 从与AC 重合的位置开始，绕点O 作逆时针旋转，交AB 边于点D ．过点C 作CE AB ∥交直线l 于点E ，设直线l 的旋转角为α．（1）①当α= 度时，四边形EDBC 是等腰梯形，此时AD 的长为；②当α= 度时，四边形EDBC 是直角梯形，此时AD 的长为；（2）当90α=°时，判断四边形EDBC 是否为菱形，并说明理由．解（1）①30，1；②60，1.5； ……………………4分（2）当∠α=900时，四边形EDBC 是菱形. ∵∠α=∠ACB=900，∴BC//ED. ∵CE//AB, ∴四边形EDBC 是平行四边形. ……………………6分在Rt △ABC 中，∠ACB=900，∠B=600,BC=2, ∴∠A=300.∴3∴AO=12AC 3……………………8分AC (E ) BPQD图6GA C (E )B PQD图7GOE CDAα lOCA（备用图）在Rt △AOD 中，∠A=300，∴AD=2. ∴BD=2. ∴BD=BC.又∵四边形EDBC 是平行四边形，∴四边形EDBC 是菱形 ……………………10分7如图，在梯形ABCD中，3545AD BC AD DC AB B ====︒∥，，，．动点M 从B 点出发沿线段BC 以每秒2个单位长度的速度向终点C 运动；动点N 同时从C 点出发沿线段CD 以每秒1个单位长度的速度向终点D 运动．设运动的时间为t 秒．（1）求BC 的长．（2）当MN AB ∥时，求t 的值．（3）试探究：t 为何值时，MNC △为等腰三角形．解：（1）如图①，过A 、D 分别作AK BC ⊥于K ，DH BC ⊥于H ，则四边形ADHK 是矩形∴3KH AD ==． 1分在Rt ABK △中，sin 4542AK AB =︒==． 2cos 454242BK AB =︒== 2分在Rt CDH △中，由勾股定理得，3HC =∴43310BC BK KH HC =++=++= 3分C（图①）A DCB K H（图②）A DCBG MN（2）如图②，过D 作DG AB ∥交BC 于G 点，则四边形ADGB 是平行四边形∵MN AB ∥ ∴MN DG ∥ ∴3BG AD == ∴1037GC =-= 4分由题意知，当M 、N 运动到t 秒时，102CN t CM t ==-，． ∵DG MN ∥ ∴NMC DGC =∠∠ 又C C =∠∠ ∴MNC GDC △∽△∴CN CMCD CG =5分即10257t t -= 解得，5017t =6分（3）分三种情况讨论：①当NC MC =时，如图③，即102t t =-∴103t =7分ADCB MN（图③）（图④）A D CBM NH E②当MN NC =时，如图④，过N 作NE MC ⊥于E 解法一：由等腰三角形三线合一性质得()11102522EC MC t t ==-=-在Rt CEN △中，5cos EC tc NC t -== 又在Rt DHC △中，3cos 5CH c CD ==∴535t t -= 解得258t =8分解法二：∵90C C DHC NEC =∠=∠=︒∠∠， ∴NEC DHC △∽△∴NC EC DC HC =即553t t -= ∴258t =8分③当MN MC =时，如图⑤，过M 作MF CN ⊥于F 点.1122FC NC t ==解法一：（方法同②中解法一）132cos 1025tFC C MC t ===-解得6017t =解法二：∵90C C MFC DHC =∠=∠=︒∠∠，（图⑤）ADCBH N MF∴MFC DHC △∽△∴FC MCHC DC =即1102235tt-= ∴6017t =综上所述，当103t =、258t =或6017t =时，MNC △为等腰三角形 9分8如图1，在等腰梯形ABCD 中，AD BC ∥，E 是AB 的中点，过点E 作EF BC ∥交CD 于点F ．46AB BC ==，，60B =︒∠.（1）求点E 到BC 的距离；（2）点P 为线段EF 上的一个动点，过P 作PM EF ⊥交BC 于点M ，过M 作MN AB ∥交折线ADC 于点N ，连结PN ，设EP x =.①当点N 在线段AD 上时（如图2），PMN △的形状是否发生改变？若不变，求出PMN △的周长；若改变，请说明理由；②当点N 在线段DC 上时（如图3），是否存在点P ，使PMN △为等腰三角形？若存在，请求出所有满足要求的x 的值；若不存在，请说明理由.解（1）如图1，过点E 作EG BC ⊥于点G ． 1分 ∵E 为AB 的中点，∴122BE AB ==．在Rt EBG △中，60B =︒∠，∴30BEG =︒∠． 2分∴112BG BE EG ====，即点E 到BC 3分（2）①当点N 在线段AD 上运动时，PMN △的形状不发生改变． ∵PM EF EG EF ⊥⊥，，∴PM EG ∥． ∵EF BC ∥，∴EP GM =，PM EG == 同理4MN AB ==． 4分如图2，过点P 作PH MN ⊥于H ，∵MN AB ∥， ∴6030NMC B PMH ==︒=︒∠∠，∠．∴12PH PM ==A D EB FC 图4（备用） ADE BF C 图5（备用） A D E BF C 图1 图2 ADE BF C P NM图3 A D E BFCP N M （第25题）图1A D EBF CGA D EBF CPNMG H∴3cos302MH PM =︒=．则35422NH MN MH =-=-=．在Rt PNH △中，PN ===∴PMN △的周长=4PM PN MN ++=．6分②当点N 在线段DC 上运动时，PMN △的形状发生改变，但MNC △恒为等边三角形．当PM PN =时，如图3，作PR MN ⊥于R ，则MR NR =．类似①，32MR =．∴23MN MR ==． 7分∵MNC △是等边三角形，∴3MC MN ==．此时，6132x EP GM BC BG MC ===--=--=． 8分当MP MN =时，如图4，这时MC MN MP ===此时，615x EP GM ===-=-当NP NM =时，如图5，30NPM PMN ==︒∠∠．则120PMN =︒∠，又60MNC =︒∠， ∴180PNM MNC +=︒∠∠．图3A D E BFCPN M 图4A D EBF CP MN 图5A D EBF （P ） CMN GGRG因此点P 与F 重合，PMC △为直角三角形．∴tan301MC PM =︒=．此时，6114x EP GM ===--=．综上所述，当2x =或4或(53时，PMN △为等腰三角形． 10分 9如图①，正方形 ABCD 中，点A 、B 的坐标分别为（0，10），（8，4），点C 在第一象限．动点P 在正方形 ABCD 的边上，从点A 出发沿A →B →C →D 匀速运动，同时动点Q 以相同速度在x 轴正半轴上运动，当P 点到达D 点时，两点同时停止运动，设运动的时间为t 秒．(1)当P 点在边AB 上运动时，点Q 的横坐标x （长度单位）关于运动时间t （秒）的函数图象如图②所示，请写出点Q 开始运动时的坐标及点P 运动速度；(2)求正方形边长及顶点C 的坐标；(3)在（1）中当t 为何值时，△OPQ 的面积最大，并求此时P 点的坐标； (4)如果点P 、Q 保持原速度不变，当点P 沿A →B →C →D 匀速运动时，OP 与PQ 能否相等，若能，写出所有符合条件的t 的值；若不能，请说明理由．解：（1）Q （1，0） 1分点P 运动速度每秒钟1个单位长度． 2分（2）过点B 作BF ⊥y 轴于点F ，BE ⊥x 轴于点E ，则BF ＝8，4OF BE ==． ∴1046AF =-=．在Rt △AFB 中，228610AB =+ 3分过点C 作CG ⊥x 轴于点G ，与FB 的延长线交于点H ． ∵90,ABC AB BC ∠=︒= ∴△ABF ≌△BCH ． ∴6,8BH AF CH BF ====． ∴8614,8412OG FH CG ==+==+=．∴所求C 点的坐标为（14，12）． 4分A B CDEF G H M N PQOxy（3）过点P 作PM ⊥y 轴于点M ，PN ⊥x 轴于点N ，则△APM ∽△ABF ． ∴AP AM MPAB AF BF ==． 1068t AM MP ∴==． ∴3455AM t PM t ==，． ∴3410,55PN OM t ON PM t==-==．设△OPQ 的面积为S （平方单位）∴213473(10)(1)5251010S t t t t =⨯-+=+-（0≤t ≤10） 5分说明:未注明自变量的取值范围不扣分．∵310a =-<0 ∴当474710362()10t =-=⨯-时， △OPQ 的面积最大． 6分此时P 的坐标为（9415，5310）． 7分（4）当53t =或29513t =时， OP 与PQ 相等． 9分10数学课上，张老师出示了问题：如图1，四边形ABCD 是正方形，点E 是边BC 的中点．90AEF ∠=，且EF 交正方形外角DCG ∠的平行线CF 于点F ，求证：AE=EF ．经过思考，小明展示了一种正确的解题思路：取AB 的中点M ，连接ME ，则AM=EC ，易证AME ECF △≌△，所以AE EF =．在此基础上，同学们作了进一步的研究：（1）小颖提出：如图2，如果把“点E 是边BC 的中点”改为“点E 是边BC 上（除B ，C 外）的任意一点”，其它条件不变，那么结论“AE=EF ”仍然成立，你认为小颖的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由；（2）小华提出：如图3，点E 是BC 的延长线上（除C 点外）的任意一点，其他条件不变，结论“AE=EF ”仍然成立．你认为小华的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由．A D F C G EB 图1 A D FC G E B 图2A D F C GB 图3解：（1）正确．（1分）证明：在AB 上取一点M ，使AM EC =，连接ME ．（2分）BM BE ∴=．45BME ∴∠=°，135AME ∴∠=°．CF 是外角平分线， 45DCF ∴∠=°， 135ECF ∴∠=°． AME ECF ∴∠=∠．90AEB BAE ∠+∠=°，90AEB CEF ∠+∠=°，∴BAE CEF ∠=∠．AME BCF ∴△≌△（ASA ）．（5分）AE EF ∴=．（6分）（2）正确．（7分）证明：在BA 的延长线上取一点N ．使AN CE =，连接NE ．（8分）BN BE ∴=． 45N PCE ∴∠=∠=°．四边形ABCD 是正方形，AD BE ∴∥． DAE BEA ∴∠=∠．NAE CEF ∴∠=∠． ANE ECF ∴△≌△（ASA ）．（10分）AE EF ∴=．（11分）11已知一个直角三角形纸片OAB ，其中9024AOB OA OB ∠===°，，．如A DF C GBM ADFGE BN图，将该纸片放置在平面直角坐标系中，折叠该纸片，折痕与边OB 交于点C ，与边AB 交于点D ．（Ⅰ）若折叠后使点B 与点A 重合，求点C 的坐标；（Ⅱ）若折叠后点B 落在边OA 上的点为B '，设OB x '=，OC y =，试写出y 关于x 的函数解析式，并确定y 的取值范围；（Ⅲ）若折叠后点B 落在边OA 上的点为B '，且使B D OB '∥，求此时点C 的坐标．解（Ⅰ）如图①，折叠后点B 与点A则ACD BCD △≌△.设点C 的坐标为()()00m m >，.则4BC OB OC m =-=-. 于是4AC BC m ==-.在Rt AOC △中，由勾股定理，得222AC OC OA =+，即()22242m m -=+，解得32m =.∴点C 的坐标为302⎛⎫ ⎪⎝⎭，. 4分（Ⅱ）如图②，折叠后点B 落在OA 边上的点为B ',则B CD BCD '△≌△. 由题设OB x OC y '==，，则4B C BC OB OC y '==-=-，在Rt B OC '△中，由勾股定理，得222B C OC OB ''=+.()2224y y x ∴-=+，即2128y x =-+ 6分由点B '在边OA 上，有02x ≤≤，∴ 解析式2128y x =-+()02x ≤≤为所求. ∴当02x ≤≤时，y 随x 的增大而减小，y ∴的取值范围为322y ≤≤. 7分（Ⅲ）如图③，折叠后点B 落在OA 边上的点为B ''，且B D OB ''∥. 则OCB CB D ''''∠=∠.又CBD CB D OCB CBD ''''∠=∠∴∠=∠，，有CB BA ''∥. Rt Rt COB BOA ''∴△∽△.有OB OCOA OB ''=，得2OC OB ''=. 9分在Rt B OC ''△中，设()00OB x x ''=>，则2OC x =.由（Ⅱ）的结论，得2001228x x =-+，解得000808x x x =-±>∴=-+，21∴点C 的坐标为()016.10分12问题解决如图（1），将正方形纸片ABCD 折叠，使点B 落在CD 边上一点E （不与点C ，D 重合），压平后得到折痕MN ．当12CE CD =时，求AM BN 的值．类比归纳在图（1）中，若13CE CD =，则AM BN 的值等于；若14CE CD =，则AMBN 的值等于；若1CE CD n =（n 为整数），则AMBN 的值等于．（用含n的式子表示）联系拓广如图（2），将矩形纸片ABCD 折叠，使点B 落在CD 边上一点E （不与点C D ，重合），压平后得到折痕MN ，设()111AB CE m BC mCD n =>=，，则AMBN 的值等于．（用含m n ，的式子表示）解：方法一：如图（1-1），连接BM EM BE ，，．方法指导：为了求得AM BN 的值，可先求BN 、AM 的长，不妨设：AB =2 图（2）ABCD EFM图（1）A BCDEFMN N 图（1-1）A BCDEFM22由题设，得四边形ABNM 和四边形FENM 关于直线MN 对称． ∴MN 垂直平分BE ．∴BM EM BN EN ==，． 1分 ∵四边形ABCD是正方形，∴902A D C AB BC CD DA ∠=∠=∠=====°,．∵112CE CE DE CD =∴==，．设BN x =，则NE x =，2NC x =-．在Rt CNE △中，222NE CN CE =+．∴()22221x x =-+．解得54x =，即54BN =． 3分在Rt ABM △和在Rt DEM △中，222AM AB BM +=， 222DM DE EM +=，∴2222AM AB DM DE +=+．5分设AM y =，则2DM y =-，∴()2222221y y +=-+．解得14y =，即14AM =．6分 ∴15AM BN =．7分方法二：同方法一，54BN =．3分如图（1－2），过点N 做NG CD ∥，交AD 于点G ，连接BE ．N图（1-2）A BC DEFMG23∵AD BC ∥，∴四边形GDCN 是平行四边形． ∴NG CD BC ==．同理，四边形ABNG 也是平行四边形．∴54AG BN ==．∵90MN BE EBC BNM ⊥∴∠+∠=，°．90NG BC MNG BNM EBC MNG ⊥∴∠+∠=∴∠=∠，°，． BCE △与NGM △中90EBC MNG BC NG C NGM ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠=⎩，，°．∴BCE NGM EC MG =△≌△，．５分∵114AM AG MG AM =--=5，=．4 6分 ∴15AM BN =． 7分类比归纳25（或410）；917； ()2211n n -+ 10分联系拓广2222211n m n n m -++ 12分。

初一数学动点题集锦

初一数学动点题集锦1.已知数轴上两点A、B对应的数分别为-1，3，点P为数轴上一动点，其对应的数为x。

⑴若点P到点A、点B的距离相等，求点P对应的数。

答：根据题意，P点到A、B两点距离相等，即PA=PB，因此P点在AB中垂线上，所以x=1.⑵数轴上是否存在点P，使点P到点A、点B的距离之和为5？若存在，请求出x的值。

若不存在，请说明理由？答：存在。

由于AB的长度为4，所以PA+PB=5时，P点在AB上离A点2个单位长度处，因此x=-3或x=5.不存在其他解。

⑶当点P以每分钟一个单位长度的速度从O点向左运动时，点A以每分钟5个单位长度向左运动，点B以每分钟20个单位长度向左运动，问它们同时出发，几分钟后P点到点A、点B的距离相等？答：设P点到O点的距离为d，则P点到A、B两点的距离分别为d+1和d+3.由于P点向左运动，A、B两点向左运动，因此P点到A、B两点的距离差会不断缩小，当P点到达A、B两点之间垂线的交点时，两点的距离差最小，此时P点到A、B两点的距离相等。

设此时P点到垂线交点的距离为x，则有：d+1-x=5t（t为时间，单位为分钟）d+3-x=20t2.数轴上A点对应的数为-5，B点在A点右边，电子蚂蚁甲、乙在B分别以分别以2个单位/秒、1个单位/秒的速度向左运动，电子蚂蚁丙在A以3个单位/秒的速度向右运动。

1）若电子蚂蚁丙经过5秒运动到C点，求C点表示的数；答：由于丙以3个单位/秒的速度向右运动，因此5秒后到达的位置与A点距离为15个单位长度，即C点对应的数为-20.2）若它们同时出发，若丙在遇到甲后1秒遇到乙，求B点表示的数；答：设它们同时出发的时间为t秒，则甲、乙、丙三点的位置分别为：甲：B点左侧2t个单位长度___：B点左侧t个单位长度丙：A点右侧3t个单位长度当丙在遇到甲后1秒遇到乙时，有：2t+3=3t-1t=4因此它们同时出发的时间为4秒，B点对应的数为-2.3）在（2）的条件下，设它们同时出发的时间为t秒，是否存在t的值，使丙到乙的距离是丙到甲的距离的2倍？若存在，求出t值；若不存在，说明理由。

初一年级数学动点问题例题集

初一年级数学动点问题例题集1、如图；已知ABC △中；10AB AC ==厘米；8BC =厘米；点D 为AB 的中点．（1）如果点P 在线段BC 上以3厘米/秒的速度由B 点向C 点运动；同时；点Q 在线段CA 上由C 点向A 点运动．①若点Q 的运动速度与点P 的运动速度相等；经过1秒后；BPD △与CQP △是否全等；请说明理由；②若点Q 的运动速度与点P 的运动速度不相等；当点Q 的运动速度为多少时；能够使BPD △与CQP △全等？（2）若点Q 以②中的运动速度从点C 出发；点P 以原来的运动速度从点B 同时出发；都逆时针沿ABC △三边运动；求经过多长时间点P 与点Q 第一次在ABC △的哪条边上相遇？解：（1）①∵1t =秒； ∴313BP CQ ==⨯=厘米；∵10AB =厘米；点D 为AB 的中点； ∴5BD =厘米．又∵厘米；∴835PC =-=厘米8PC BC BP BC =-=，； ∴PC BD =．又∵AB AC =； ∴B C ∠=∠；∴BPD CQP △≌△．（4分） ②∵P Qv v ≠； ∴BP CQ ≠；又∵BPD CQP △≌△；B C ∠=∠；则45BP PC CQ BD ====，； ∴点P ；点Q 运动的时间433BP t ==秒；∴515443QCQvt===厘米/秒．（7分）（2）设经过x秒后点P与点Q第一次相遇；由题意；得1532104x x=+⨯；解得803x=秒．∴点P共运动了803803⨯=厘米．∵8022824=⨯+；∴点P、点Q在AB边上相遇；∴经过803秒点P与点Q第一次在边AB上相遇．（12分）2、直线364y x=-+与坐标轴分别交于A B、两点；动点P Q、同时从O点出发；同时到达A点；运动停止．点Q沿线段OA运动；速度为每秒1个单位长度；点P沿路线O→B→A运动．（1）直接写出A B、两点的坐标；（2）设点Q的运动时间为t秒；OPQ△的面积为S；求出S与t之间的函数关系式；（3）当485S=时；求出点P的坐标；并直接写出以点O P Q、、为顶点的平行四边形的第四个顶点M的坐标．解（1）A（8；0）B（0；6）1分（2）86OA OB ==，10AB ∴=点Q 由O 到A 的时间是881=（秒） ∴点P 的速度是61028+=（单位/秒） 1分当P 在线段OB 上运动（或03t ≤≤）时；2OQ t OP t ==，2S t = 1分当P 在线段BA 上运动（或38t <≤）时；6102162OQ t AP t t ==+-=-，；如图；作PD OA ⊥于点D ；由PD AP BO AB =；得4865tPD -=； 1分 21324255S OQ PD t t∴=⨯=-+ 1分（自变量取值范围写对给1分；否则不给分．）（3）82455P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，1分12382412241224555555I M M 2⎛⎫⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，，，，， 3分 3如图；在平面直角坐标系中；直线l ：y=－2x －8分别与x 轴；y 轴相交于A ；B 两点；点P （0；k ）是y 轴的负半轴上的一个动点；以P 为圆心；3为半径作⊙P.（1）连结PA ；若PA=PB ；试判断⊙P 与x 轴的位置关系；并说明理由；（2）当k 为何值时；以⊙P 与直线l 的两个交点和圆心P 为顶点的三角形是正三角形？解：（1）⊙P 与x 轴相切.∵直线y=－2x －8与x 轴交于A （4；0）；与y 轴交于B （0；－8）； ∴OA=4；OB=8. 由题意；OP=－k ； ∴PB=PA=8+k.在Rt △AOP 中；k2+42=(8+k)2； ∴k=－3；∴OP 等于⊙P 的半径； ∴⊙P 与x 轴相切.（2）设⊙P 与直线l 交于C ；D 两点；连结PC ；PD 当圆心P 在线段OB 上时；作PE ⊥CD 于E.∵△PCD 为正三角形；∴DE=12CD=32；PD=3；∴PE=.∵∠AOB=∠PEB=90°； ∠ABO=∠PBE ； ∴△AOB ∽△PEB ；∴2,AO PE AB PB PB =；∴PB =∴8PO BO PB =-=；∴8)P -；∴8k -.当圆心P 在线段OB 延长线上时；同理可得P(0；－－8)； ∴k=－－8；∴当k=－8或k=－－8时；以⊙P 与直线l 的两个交点和圆心P为顶点的三角形是正三角形.4 如图1；在平面直角坐标系中；点O是坐标原点；四边形ABCO是菱形；点A的坐标为（－3；4）；点C在x轴的正半轴上；直线AC交y轴于点M；AB边交y轴于点H．（1）求直线AC的解析式；（2）连接BM；如图2；动点P从点A出发；沿折线ABC方向以2个单位／秒的速度向终点C匀速运动；设△PMB的面积为S（S≠0）；点P的运动时间为t秒；求S与t之间的函数关系式（要求写出自变量t的取值范围）；（3）在（2）的条件下；当 t为何值时；∠MPB与∠BCO互为余角；并求此时直线OP与直线AC所夹锐角的正切值．解：5在Rt △ABC 中；∠C=90°；AC = 3；AB = 5．点P 从点C 出发沿CA 以每秒1个单位长的速度向点A 匀速运动；到达点A 后立刻以原来的速度沿AC 返回；点Q 从点A 出发沿AB 以每秒1个单位长的速度向点B 匀速运动．伴随着P 、Q 的运动；DE 保持垂直平分PQ ；且交PQ 于点D ；交折线QB-BC-CP 于点E ．点P 、Q 同时出发；当点Q 到达点B 时停止运动；点P 也随之停止．设点P 、Q 运动的时间是t 秒（t ＞0）．图16（1）当t = 2时；AP = ；点Q 到AC 的距离是；（2）在点P 从C 向A 运动的过程中；求△APQ 的面积S 与 t 的函数关系式；（不必写出t 的取值范围）（3）在点E 从B 向C 运动的过程中；四边形QBED 能否成为直角梯形？若能；求t 的值．若不能；请说明理由；（4）当DE 经过点C 时；请直接写出t 的值．解：（1）1；85；（2）作QF ⊥AC 于点F ；如图3； AQ = CP= t ；∴3AP t =-．由△AQF ∽△ABC；4BC =；得45QF t =．∴45QF t=． ∴14(3)25S t t=-⋅；即22655S t t=-+．（3）能．①当DE ∥QB 时；如图4．∵DE ⊥PQ ；∴PQ ⊥QB ；四边形QBED 是直角梯形．此时∠AQP=90°．由△APQ ∽△ABC ；得AQ APAC AB =；即335t t -=．解得98t =．②如图5；当PQ ∥BC 时；DE ⊥BC ；四边形QBED 是直角梯形．此时∠APQ =90°．由△AQP ∽△ABC ；得 AQ APAB AC =；即353t t -=．解得158t =．（4）52t =或4514t =．图4①点P 由C 向A 运动；DE 经过点C ．连接QC ；作QG ⊥BC 于点G ；如图6．PC t =；222QC QG CG =+2234[(5)][4(5)]55t t =-+--．由22PC QC =；得22234[(5)][4(5)]55t t t =-+--；解得52t =．②点P 由A 向C 运动；DE 经过点C ；如图7．22234(6)[(5)][4(5)]55t t t -=-+--；4514t =】6如图；在Rt ABC △中；9060ACB B ∠=∠=°，°；2BC =．点O 是AC 的中点；过点O 的直线l 从与AC 重合的位置开始；绕点O 作逆时针旋转；交AB 边于点D ．过点C 作CE AB ∥交直线l 于点E ；设直线l 的旋转角为α．（1）①当α= 度时；四边形EDBC 是等腰梯形；此时AD 的长为；②当α= 度时；四边形EDBC 是直角梯形；此时AD 的长为；（2）当90α=°时；判断四边形EDBC 是否为菱形；并说明理由．解（1）①30；1；②60；1.5； ……………………4分（2）当∠α=900时；四边形EDBC 是菱形. ∵∠α=∠ACB=900；∴BC//ED.∵CE//AB ； ∴四边形EDBC 是平行四边形. ……………………6分在Rt △ABC 中；∠ACB=900；∠B=600；BC=2； ∴∠A=300.∴AB=4；∴AO=12AC……………………8分（备用图）在Rt △AOD 中；∠A=300；∴AD=2. ∴BD=2. ∴BD=BC.又∵四边形EDBC 是平行四边形；∴四边形EDBC 是菱形 ……………………10分7如图；在梯形ABCD中；3545AD BC AD DC AB B ====︒∥，，，．动点M 从B 点出发沿线段BC 以每秒2个单位长度的速度向终点C 运动；动点N 同时从C 点出发沿线段CD 以每秒1个单位长度的速度向终点D 运动．设运动的时间为t 秒．（1）求BC 的长．（2）当MN AB ∥时；求t 的值．（3）试探究：t 为何值时；MNC △为等腰三角形．解：（1）如图①；过A 、D 分别作AK BC ⊥于K ；DH BC ⊥于H ；则四边形ADHK 是矩形∴3KH AD ==． 1分在Rt ABK △中；sin 4542AK AB =︒==． 2cos 454242BK AB =︒== 2分在Rt CDH △中；由勾股定理得；3HC = ∴43310BC BK KH HC =++=++= 3分CM（图①）ADCB K H（图②）ADCBG MN（2）如图②；过D 作DG AB ∥交BC 于G 点；则四边形ADGB 是平行四边形∵MN AB ∥ ∴MN DG ∥ ∴3BG AD == ∴1037GC =-= 4分由题意知；当M 、N 运动到t 秒时；102CN t CM t ==-，． ∵DG MN ∥ ∴NMC DGC =∠∠ 又C C =∠∠ ∴MNC GDC △∽△∴CN CMCD CG = 5分即10257t t -=解得；5017t =6分（3）分三种情况讨论：①当NC MC =时；如图③；即102t t =-∴103t =7分ADCB MN（图③）（图④）AD CBM NH E②当MN NC =时；如图④；过N 作NE MC ⊥于E 解法一：由等腰三角形三线合一性质得()11102522EC MC t t ==-=-在Rt CEN △中；5cos EC tc NC t -== 又在Rt DHC △中；3cos 5CH c CD ==∴535t t-= 解得258t =8分解法二：∵90C C DHC NEC =∠=∠=︒∠∠， ∴NEC DHC △∽△∴NC EC DC HC =即553t t -=∴258t =8分③当MN MC =时；如图⑤；过M 作MF CN ⊥于F 点.1122FC NC t ==解法一：（方法同②中解法一）132cos 1025tFC C MC t ===-解得6017t =解法二：∵90C C MFC DHC =∠=∠=︒∠∠，（图⑤）A DCBH NMF∴MFC DHC △∽△∴FC MCHC DC = 即1102235tt-= ∴6017t =综上所述；当103t =、258t =或6017t =时；MNC △为等腰三角形 9分8如图1；在等腰梯形ABCD 中；AD BC ∥；E 是AB 的中点；过点E 作EF BC ∥交CD 于点F ．46AB BC ==，；60B =︒∠.（1）求点E 到BC 的距离；（2）点P 为线段EF 上的一个动点；过P 作PM EF ⊥交BC 于点M ；过M 作MN AB ∥交折线ADC 于点N ；连结PN ；设EP x =.①当点N 在线段AD 上时（如图2）；P M N △的形状是否发生改变？若不变；求出PMN △的周长；若改变；请说明理由；②当点N 在线段DC 上时（如图3）；是否存在点P ；使PMN △为等腰三角形？若存在；请求出所有满足要求的x 的值；若不存在；请说明理由.解（1）如图1；过点E 作EG BC ⊥于点G ． 1分 ∵E 为AB 的中点；∴122BE AB ==．在Rt EBG △中；60B =︒∠，∴30BEG =︒∠． 2分∴112BG BE EG ====，即点E 到BC 3分（2）①当点N 在线段AD 上运动时；PMN △的形状不发生改变． ∵PM EF EG EF ⊥⊥，，∴PM EG ∥． ∵EF BC ∥，∴EP GM =；PM EG == 同理4MN AB ==． 4分如图2；过点P 作PH MN ⊥于H ；∵MN AB ∥， ∴6030NMC B PMH ==︒=︒∠∠，∠．∴122PH PM == A D E B F C 图4（备用 A D E B F C 图5（备用A D E BF C 图1 图2 ADE BF C P NM图3 AD E BFCP N M （第25题）图1A D EBF CGA D EBFCPNMG H∴3cos302MH PM =︒=．则35422NH MN MH =-=-=．在Rt PNH △中；PN ===∴PMN △的周长=4PM PN MN ++=．6分②当点N 在线段DC 上运动时；PMN △的形状发生改变；但MNC △恒为等边三角形．当PM PN =时；如图3；作PR MN ⊥于R ；则MR NR =．类似①；32MR =．∴23MN MR ==． 7分∵MNC △是等边三角形；∴3MC MN ==．此时；6132x EP GM BC BG MC ===--=--=． 8分当MP MN =时；如图4；这时MC MN MP ===此时；615x EP GM ===-=-当NP NM =时；如图5；30NPM PMN ==︒∠∠．则120PMN =︒∠，又60MNC =︒∠， ∴180PNM MNC +=︒∠∠．图3A D E BFCPN M图4A D EBF CP MN 图5A D EBF （P CMN GGRG因此点P 与F 重合；PMC △为直角三角形．∴tan301MC PM =︒=．此时；6114x EP GM ===--=．综上所述；当2x =或4或(5时；PMN △为等腰三角形． 10分 9如图①；正方形 ABCD 中；点A 、B 的坐标分别为（0；10）；（8；4）；点C 在第一象限．动点P 在正方形 ABCD 的边上；从点A 出发沿A →B →C →D 匀速运动；同时动点Q 以相同速度在x 轴正半轴上运动；当P 点到达D 点时；两点同时停止运动；设运动的时间为t 秒．(1)当P 点在边AB 上运动时；点Q 的横坐标x （长度单位）关于运动时间t （秒）的函数图象如图②所示；请写出点Q 开始运动时的坐标及点P 运动速度；(2)求正方形边长及顶点C 的坐标；(3)在（1）中当t 为何值时；△OPQ 的面积最大；并求此时P 点的坐标； (4)如果点P 、Q 保持原速度不变；当点P 沿A →B →C →D 匀速运动时；OP 与PQ 能否相等；若能；写出所有符合条件的t 的值；若不能；请说明理由．解：（1）Q （1；0） 1分点P 运动速度每秒钟1个单位长度． 2分（2）过点B 作BF ⊥y 轴于点F ；BE ⊥x 轴于点E ；则BF ＝8；4OF BE ==． ∴1046AF =-=．在Rt △AFB中；10AB = 3过点C 作CG ⊥x 轴于点G ；与FB 的延长线交于点H ．∵90,ABC AB BC ∠=︒= ∴△ABF ≌△BCH ． ∴6,8BH AF CH BF ====． ∴8614,8412OG FH CG ==+==+=．∴所求C 点的坐标为（14；12）． 4分（3）过点P 作PM ⊥y 轴于点M ；PN ⊥x 轴于点N ；则△APM ∽△ABF ． ∴AP AM MPAB AF BF ==． 1068t AM MP ∴==． ∴3455AM t PM t ==，． ∴3410,55PN OM t ON PM t==-==．设△OPQ 的面积为S （平方单位）∴213473(10)(1)5251010S t t t t =⨯-+=+-（0≤t ≤10） 5分说明:未注明自变量的取值范围不扣分．∵310a =-<0 ∴当474710362()10t =-=⨯-时； △OPQ 的面积最大． 6分此时P 的坐标为（9415；5310）． 7分（4）当53t =或29513t =时； OP 与PQ 相等． 9分10数学课上；张老师出示了问题：如图1；四边形ABCD 是正方形；点E 是边BC 的中点．90AEF ∠=；且EF 交正方形外角DCG ∠的平行线CF 于点F ；求证：AE=EF ．经过思考；小明展示了一种正确的解题思路：取AB 的中点M ；连接ME ；则AM=EC ；易证AME ECF △≌△；所以AE EF =．在此基础上；同学们作了进一步的研究：（1）小颖提出：如图2；如果把“点E 是边BC 的中点”改为“点E 是边BC 上（除B ；C 外）的任意一点”；其它条件不变；那么结论“AE=EF ”仍然成立；你认为小颖的观点正确吗？如果正确；写出证明过程；如果不正确；请说明理由；（2）小华提出：如图3；点E 是BC 的延长线上（除C 点外）的任意一点；其他条件不变；结论“AE=EF ”仍然成立．你认为小华的观点正确吗？如果正确；写出证明过程；如果不正确；请说明理由．A D F C GB 图1 A D FC G B 图2AD FG B 图3解：（1）正确．（1分）证明：在AB 上取一点M ；使AM EC =；连接ME ．（2分）BM BE ∴=．45BME ∴∠=°；135AME ∴∠=°．CF 是外角平分线； 45DCF ∴∠=°； 135ECF ∴∠=°． AME ECF ∴∠=∠．90AEB BAE ∠+∠=°；90AEB CEF ∠+∠=°；∴BAE CEF ∠=∠．AME BCF ∴△≌△（ASA ）．（5分）AE EF ∴=．（6分）（2）正确．（7分）证明：在BA 的延长线上取一点N ．使AN CE =；连接NE ．（8分）BN BE ∴=． 45N PCE ∴∠=∠=°．四边形ABCD 是正方形；AD BE ∴∥． DAE BEA ∴∠=∠．NAE CEF ∴∠=∠．ANE ECF ∴△≌△（ASA ）．（10分）AE EF ∴=．（11分）11已知一个直角三角形纸片OAB ；其中9024AOB OA OB ∠===°，，．如A DF C GEBM ADFC GBN图；将该纸片放置在平面直角坐标系中；折叠该纸片；折痕与边OB 交于点C ；与边AB 交于点D ．（Ⅰ）若折叠后使点B 与点A 重合；求点C 的坐标；（Ⅱ）若折叠后点B 落在边OA 上的点为B '；设O B x '=；OC y =；试写出y 关于x 的函数解析式；并确定y 的取值范围；（Ⅲ）若折叠后点B 落在边OA 上的点为B '；且使B D OB '∥；求此时点C 的坐标．解（Ⅰ）如图①；折叠后点B 与点A则ACD BCD △≌△.设点C 的坐标为()()00m m >，.则4BC OB OC m =-=-. 于是4AC BC m ==-.在Rt AOC △中；由勾股定理；得222AC OC OA =+；即()22242m m -=+；解得32m =.∴点C 的坐标为302⎛⎫ ⎪⎝⎭，. 4分（Ⅱ）如图②；折叠后点B 落在OA 边上的点为B '；则B CD BCD '△≌△. 由题设OB x OC y '==，；则4B C BC OB OC y '==-=-；在Rt B OC '△中；由勾股定理；得222B C OC OB ''=+.()2224y y x ∴-=+；即2128y x =-+ 6分由点B '在边OA 上；有02x ≤≤；∴ 解析式2128y x =-+()02x ≤≤为所求. ∴当02x ≤≤时；y 随x 的增大而减小；y ∴的取值范围为322y ≤≤. 7分（Ⅲ）如图③；折叠后点B 落在OA 边上的点为B ''；且B D OB ''∥. 则OCB CB D ''''∠=∠.又CBD CB D OCB CBD ''''∠=∠∴∠=∠，；有CB BA ''∥. Rt Rt COB BOA ''∴△∽△.有OB OCOA OB ''=；得2OC OB ''=. 9分在Rt B OC ''△中；设()00OB x x ''=>；则2OC x =.由（Ⅱ）的结论；得2001228x x =-+；解得000808x x x =-±>∴=-+，∴点C 的坐标为()016.10分12问题解决如图（1）；将正方形纸片ABCD 折叠；使点B 落在CD 边上一点E （不与点C ；D 重合）；压平后得到折痕MN ．当12CE CD =时；求AM BN 的值．类比归纳在图（1）中；若13CE CD =，则AM BN 的值等于；若14CE CD =，则AMBN 的值等于；若1CE CD n =（n 为整数）；则AMBN 的值等于．（用含n的式子表示）联系拓广如图（2）；将矩形纸片ABCD 折叠；使点B 落在CD 边上一点E （不与点C D ，重合）；压平后得到折痕MN ，设()111AB CE m BC mCD n =>=，，则AMBN 的值等于．（用含m n ，的式子表示）解：方法一：如图（1-1）；连接BM EM BE ，，．方法指导：为了求得AM BN 的值；可先求BN 、AM 的长；不妨设：AB =2 图（2ABCD EFM图（1A BCDEFMN A DEFM由题设；得四边形ABNM 和四边形FENM 关于直线MN 对称． ∴MN 垂直平分BE ．∴BM EM BN EN ==，． 1分 ∵四边形ABCD是正方形；∴902A D C AB BC CD DA ∠=∠=∠=====°,．∵112CE CE DE CD =∴==，．设BN x =，则NE x =，2NC x =-．在Rt CNE △中；222NE CN CE =+．∴()22221x x =-+．解得54x =；即54BN =． 3分在Rt ABM △和在Rt DEM △中；222AM AB BM +=； 222DM DE EM +=；∴2222AM AB DM DE +=+． 5分设AM y =，则2DM y =-，∴()2222221y y +=-+．解得14y =，即14AM =．6分 ∴15AM BN =． 7分方法二：同方法一；54BN =．3分如图（1－2）；过点N 做NG CD ∥，交AD 于点G ；连接BE ．N图（1-2）A BC DEFMG∵AD BC ∥，∴四边形GDCN 是平行四边形． ∴NG CD BC ==．同理；四边形ABNG 也是平行四边形．∴54AG BN ==．∵90MN BE EBC BNM ⊥∴∠+∠=，°．90NG BC MNG BNM EBC MNG ⊥∴∠+∠=∴∠=∠，°，． BCE △与NGM △中90EBC MNG BC NG C NGM ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠=⎩，，°．∴BCE NGM EC MG =△≌△，．５分∵114AM AG MG AM =--=5，=．4 6分 ∴15AM BN =．7分类比归纳25（或410）；917； ()2211n n -+ 10分联系拓广2222211n m n n m -++ 12分。

初一数学动点问题例题集(同名7143)

初一数学动点问题例题集(同名7143)初一数学动点问题集锦1、如图，已知ABC △中，10AB AC ==厘米，8BC =厘米，点D 为AB 的中点．（1）如果点P 在线段BC 上以3厘米/秒的速度由B 点向C 点运动，同时，点Q 在线段CA 上由C 点向A 点运动．①若点Q 的运动速度与点P 的运动速度相等，经过1秒后，BPD △与CQP △是否全等，请说明理由；②若点Q 的运动速度与点P 的运动速度不相等，当点Q 的运动速度为多少时，能够使BPD △与CQP △全等？（2）若点Q 以②中的运动速度从点C 出发，点P 以原来的运动速度从点B 同时出发，都逆时针沿ABC △三边运动，求经过多长时间点P 与点Q 第一次在ABC △的哪条边上相遇？解：（1）①∵1t =秒， ∴313BP CQ ==⨯=厘米，∵10AB =厘米，点D 为AB 的中点， ∴5BD =厘米．又∵厘米，∴835PC =-=厘米8PC BC BP BC =-=，， ∴PC BD =．P（2）设点Q 的运动时间为t 秒，OPQ △的面积为S ，求出S 与t 之间的函数关系式；（3）当485S =时，求出点P 的坐标，并直接写出以点O P Q 、、为顶点的平行四边形的第四个顶点M 的坐标．解（1）A （8，0）B （0，6） 1分（2）86OA OB ==，10AB ∴=点Q 由O 到A 的时间是881=（秒）∴点P 的速度是61028+=（单位/秒） 1分当P 在线段OB 上运动（或03t ≤≤）时，2OQ t OP t ==，2S t = 1分当P 在线段BA 上运动（或38t <≤）时，6102162OQ t AP t t ==+-=-，,如图，作PD OA ⊥于点D ，由PD AP BO AB =，得4865tPD -=， 1分21324255S OQ PD t t∴=⨯=-+ 1分（自变量取值范围写对给1分，否则不给分．）（3）82455P ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 1分12382412241224555555I M M 2⎛⎫⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，，，，， 3分3如图，在平面直角坐标系中，直线l ：y=－2x －8分别与x 轴，y 轴相交于A ，B 两点，点P （0，k ）是y 轴的负半轴上的一个动点，以P 为圆心，3为半径作⊙P.（1）连结PA ，若PA=PB ，试判断⊙P 与x 轴的位置关系，并说明理由；（2）当k 为何值时，以⊙P 与直线l 的两个交点和圆心P 为顶点的三角形是正三角形？解：（1）⊙P与x轴相切.∵直线y=－2x－8与x轴交于A（4，0），与y轴交于B（0，－8），∴OA=4，OB=8.由题意，OP=－k，∴PB=PA=8+k.在Rt△AOP中，k2+42=(8+k)2，∴k=－3，∴OP等于⊙P的半径，∴⊙P与x轴相切.（2）设⊙P与直线l交于C，D两点，连结PC，PD当圆心P在线段OB上时,作PE⊥CD于E.∵△PCD为正三角形，∴DE=12CD=32，PD=3，∴33.∵∠AOB=∠PEB=90°，∠ABO=∠PBE，∴△AOB∽△PEB，∴332,45AO PEAB PB PB即，∴PB∴8PO BO PB =-=-∴8)P -，∴8k =-.当圆心P 在线段OB 延长线上时,同理可得P(0,－8)，∴k=－－8，∴当－8或k=－8时，以⊙P 与直线l 的两个交点和圆心P 为顶点的三角形是正三角形.4（09哈尔滨）如图1，在平面直角坐标系中，点O 是坐标原点，四边形ABCO 是菱形，点A 的坐标为（－3，4），点C 在x 轴的正半轴上，直线AC 交y 轴于点M ，AB 边交y 轴于点H ．（1）求直线AC 的解析式；（2）连接BM ，如图2，动点P 从点A 出发，沿折线ABC 方向以2个单位／秒的速度向终点C 匀速运动，设△PMB 的面积为S （S ≠0），点P 的运动时间为t 秒，求S 与t 之间的函数关系式（要求写出自变量t 的取值范围）；（3）在（2）的条件下，当t为何值时，∠MPB与∠BCO 互为余角，并求此时直线OP与直线AC所夹锐角的正切值．解：B 5在Rt△ABC中，∠C=90°，AC = 3，AB = 5．点P从点C出发沿CA以每秒1个E单位长的速度向点A 匀速运动，到达点A 后立刻以原来的速度沿AC 返回；点Q 从点A 出发沿AB 以每秒1个单位长的速度向点B 匀速运动．伴随着P 、Q 的运动，DE 保持垂直平分PQ ，且交PQ 于点D ，交折线QB-BC-CP 于点E ．点P 、Q 同时出发，当点Q 到达点B 时停止运动，点P 也随之停止．设点P 、Q 运动的时间是t 秒（t ＞0）．（1）当t = 2时，AP = ，点Q 到AC 的距离是；（2）在点P 从C 向A 运动的过程中，求△APQ 的面积S 与 t 的函数关系式；（不必写出t 的取值范围）（3）在点E 从B 向C 运动的过程中，四边形QBED 能否成为直角梯形？若能，求t 的值．若不能，请说明理由；（4）当DE 经过点C 时，请直接写出t 的值．解：（1）1，85；（2）作QF ⊥AC 于点F ，如图3， AQ = CP= t ，∴3AP t =-．由△AQF ∽△ABC，4BC ==，得45QF t =．∴45QF t=．∴14(3)25S t t=-⋅，即22655S t t=-+．（3）能．①当DE ∥QB 时，如图4．图4∵DE ⊥PQ ，∴PQ ⊥QB ，四边形QBED 是直角梯形．此时∠AQP=90°．由△APQ ∽△ABC ，得AQ APAC AB =，即335t t-=．解得98t =．②如图5，当PQ ∥BC 时，DE ⊥BC ，四边形QBED 形．此时∠APQ =90°．由△AQP ∽△ABC ，得AQ APABAC=，即353t t-=．解得158t =．（4）52t =或4514t =．①点P 由C 向A 运动，DE 经过点C ．连接QC ，作QG ⊥BC 于点G ，如图6．PC t =，222QC QG CG =+2234[(5)][4(5)]55t t =-+--．由22PC QC =，得22234[(5)][4(5)]55t t t =-+--，解得52t =．②点P 由A 向C 运动，DE 经过点C ，如图7．22234(6)[(5)][4(5)]55t t t -=-+--，4514t =】6如图，在Rt ABC △中，9060ACB B ∠=∠=°，°，2BC =．点O 是AC 的中点，过点O 的直线l 从与AC 重合的位置开始，绕点O 作逆时针旋图5转，交AB边于点D．过点C作CE AB∥交直线l于点E，设直线l的旋转角为α．（1）①当α=度时，四边形EDBC是等腰梯形，此时AD的长为；②当α=度时，四边形EDBC是直角梯形，此时AD的长为；（2）当90α=°时，判断四边形EDBC是否为菱形，并说明理由．解（1）①30，1；②60，1.5；……………………4分（2）当∠α=900时，四边形EDBC是菱形.∵∠α=∠ACB=900，∴BC//ED.∵CE//AB, ∴四边形EDBC是平行四边形. ……………………6分在Rt△ABC中，∠ACB=900，∠B=600,BC=2, ∴∠A=300.∴3.∴AO=12AC=3. ……………………8分在Rt△AOD中，∠A=300，∴AD=2.∴BD=2.OE CDAαlOCA（备用∴BD=BC.又∵四边形EDBC 是平行四边形， ∴四边形EDBC是菱形 ……………………10分7如图，在梯形ABCD中，3545AD BC AD DC AB B ====︒∥，，，．动点M 从B 点出发沿线段BC 以每秒2个单位长度的速度向终点C 运动；动点N 同时从C 点出发沿线段CD 以每秒1个单位长度的速度向终点D 运动．设运动的时间为t 秒．（1）求BC 的长．（2）当MN AB ∥时，求t 的值．（3）试探究：t 为何值时，MNC △为等腰三角形．解：（1）如图①，过A 、D 分别作AK BC ⊥于K ，DH BC ⊥于H ，则四边形ADHK 是矩形∴3KH AD ==． 1分在Rt ABK △中，sin 4542AK AB =︒==． 2cos 454242BK AB =︒== 2分在Rt CDH △中，由勾股定理得，3HC =∴43310BC BK KH HC =++=++=3分CM（2）如图②，过D 作DG AB ∥交BC 于G 点，则四边形ADGB 是平行四边形∵MN AB ∥ ∴MN DG ∥ ∴3BG AD == ∴1037GC =-= 4分由题意知，当M 、N 运动到t 秒时，102CN t CM t ==-，． ∵DG MN ∥ ∴NMC DGC =∠∠ 又C C =∠∠ ∴MNC GDC △∽△∴CN CM CD CG =5分即10257t t -= （图①）ADC BKH（图②）AD CBGMN解得，5017t =6分（3）分三种情况讨论：①当NC MC =时，如图③，即102t t =- ∴103t =7分②当MN NC =时，如图④，过N 作NE MC ⊥于E 解法一：由等腰三角形三线合一性质得()11102522EC MC t t ==-=-在Rt CEN △中，5cos EC tc NC t -== 又在Rt DHC △中，3cos 5CH c CD ==∴535t t-= 解得258t =8分解法二：∵90C C DHC NEC =∠=∠=︒∠∠， ∴NEC DHC △∽△AD C BMN （图③）（图④）AD C BM N HE∴NC ECDC HC = 即553t t -=∴258t =8分③当MN MC =时，如图⑤，过M 作MF CN ⊥于F 点.1122FC NC t ==解法一：（方法同②中解法一）132cos 1025tFC C MC t ===-解得6017t =解法二：∵90C C MFC DHC =∠=∠=︒∠∠， ∴MFC DHC △∽△∴FC MCHC DC = 即1102235tt-= ∴6017t =综上所述，当103t =、258t =或6017t =时，MNC △为等腰三角形 9分（图⑤）A D CBH N M F8如图1，在等腰梯形ABCD 中，AD BC ∥，E 是AB 的中点，过点E 作EF BC ∥交CD 于点F ．46AB BC ==，，60B =︒∠.（1）求点E 到BC 的距离；（2）点P 为线段EF 上的一个动点，过P 作PM EF ⊥交BC 于点M ，过M 作MN AB ∥交折线ADC 于点N ，连结PN ，设EP x =.①当点N 在线段AD 上时（如图2），PMN △的形状是否发生改变？若不变，求出PMN △的周长；若改变，请说明理由；②当点N 在线段DC 上时（如图3），是否存在点P ，使PMN △为等腰三角形？若存在，请求出所有满足要求的x 的值；若不存在，请说明理由.A D E BF C图4AD E BF C图5A D E BF C 图图ADE BF CP N M图ADEB F CPN M（第解（1）如图1，过点E 作EG BC ⊥于点G ． 1分∵E 为AB 的中点， ∴122BE AB ==．在Rt EBG △中，60B =︒∠，∴30BEG =︒∠． 2分∴112BG BE EG ====，即点E 到BC3分（2）①当点N 在线段AD 上运动时，PMN △的形状不发生改变． ∵PM EF EG EF ⊥⊥，，∴PM EG ∥． ∵EF BC ∥，∴EP GM =，PM EG == 同理4MN AB ==． 4分如图2，过点P 作PH MN ⊥于H ，∵MN AB ∥， ∴6030NMC B PMH ==︒=︒∠∠，∠．∴122PH PM ==∴3cos302MH PM =︒=．则35422NH MN MH =-=-=．在Rt PNH △中，PN ===∴PMN △的周长=4PM PN MN ++=． 6分②当点N 在线段DC 上运动时，PMN △的形状发生改变，但MNC△恒为等边三角形．图A D EB F CG图A DE BF C P N MG H当PM PN =时，如图3，作PR MN ⊥于R ，则MR NR =．类似①，32MR =．∴23MN MR ==． 7分∵MNC △是等边三角形，∴3MC MN ==．此时，6132x EP GM BC BG MC ===--=--=． 8分当MP MN =时，如图4，这时MC MN MP ===此时，615x EP GM ===-=当NP NM =时，如图5，30NPM PMN ==︒∠∠．则120PMN =︒∠，又60MNC =︒∠， ∴180PNM MNC +=︒∠∠．因此点P 与F 重合，PMC △为直角三角形． ∴tan301MC PM =︒=．此时，6114x EP GM ===--=．综上所述，当2x =或4或(5时，PMN △为等腰三角形． 10分9如图①，正方形 ABCD 中，点A 、B 的坐标分别为（0，10），（8，4），点C 在第一象限．动点P 在正方形 ABCD 的边上，从点A 出图AD E B F C P NM 图A DEB FC P M N图A D EB FCM N GG RG发沿A→B→C→D匀速运动，同时动点Q以相同速度在x轴正半轴上运动，当P点到达D点时，两点同时停止运动，设运动的时间为t秒．(1)当P点在边AB上运动时，点Q的横坐标x（长度单位）关于运动时间t（秒）的函数图象如图②所示，请写出点Q开始运动时的坐标及点P运动速度；(2)求正方形边长及顶点C的坐标；(3)在（1）中当t为何值时，△OPQ的面积最大，并求此时P 点的坐标；(4)如果点P、Q保持原速度不变，当点P沿A→B→C→D匀速运动时，OP与PQ能否相等，若能，写出所有符合条件的t的值；若不能，请说明理由．解：（1）Q （1，0） 1分点P 运动速度每秒钟1个单位长度． 2分（2）过点B 作BF ⊥y 轴于点F ，BE ⊥x 轴于点E ，则BF ＝8，4OF BE ==．∴1046AF =-=．在Rt △AFB中，10AB =过点C 作CG ⊥x 轴于点G ，与FB ∵90,ABC AB BC ∠=︒=∴△ABF ≌△BCH ．∴6,8BH AF CH BF ====．∴8614,8412OG FH CG ==+==+=．∴所求C 点的坐标为（14，12）． 4分（3）过点P 作PM ⊥y 轴于点M ，PN ⊥x 轴于点N ，则△APM ∽△ABF ． ∴AP AM MPAB AF BF ==．1068t AM MP∴==．∴3455AM t PM t==，．∴3410,55PN OM t ON PM t==-==．设△OPQ 的面积为S （平方单位）∴213473(10)(1)5251010S t t t t =⨯-+=+-（0≤t ≤10） 5分说明:未注明自变量的取值范围不扣分．∵310a =-<0 ∴当474710362()10t =-=⨯-时， △OPQ 的面积最大．6分此时P的坐标为（9415，5310）． 7分（4）当 53t =或29513t =时，OP 与PQ 相等．9分10数学课上，张老师出示了问题：如图1，四边形ABCD 是正方形，点E 是边BC 的中点．90AEF ∠=，且EF 交正方形外角DCG ∠的平行线CF 于点F ，求证：AE=EF ．经过思考，小明展示了一种正确的解题思路：取AB 的中点M ，连接ME ，则AM=EC ，易证AME ECF △≌△，所以AE EF =．在此基础上，同学们作了进一步的研究：（1）小颖提出：如图2，如果把“点E 是边BC 的中点”改为“点E 是边BC 上（除B ，C 外）的任意一点”，其它条件不变，那么结论“AE=EF ”仍然成立，你认为小颖的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由；（2）小华提出：如图3，点E 是BC 的延长线上（除C 点外）的任意一点，其他条件不变，结论“AE=EF ”仍然成立．你认为小华的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由．ADADAD F解：（1）正确．（1分）证明：在AB 上取一点M ，使AM EC =，连接ME ．（2分）BM BE ∴=．45BME ∴∠=°，135AME ∴∠=°．CF 是外角平分线， 45DCF ∴∠=°， 135ECF ∴∠=°． AME ECF ∴∠=∠．90AEB BAE ∠+∠=°，90AEB CEF ∠+∠=°，∴BAE CEF ∠=∠．AME BCF ∴△≌△（ASA ）．（5分）AE EF ∴=．（6分）（2）正确．（7分）证明：在BA 的延长线上取一点N ．使AN CE =，连接NE ．（8分）BN BE ∴=． 45N PCE ∴∠=∠=°．四边形ABCD 是正方形，AD BE ∴∥． DAE BEA ∴∠=∠．NAE CEF ∴∠=∠．ANE ECF ∴△≌△（ASA ）．（10分）AE EF ∴=．（11分）AD F C GE B MA D FCG E N11已知一个直角三角形纸片OAB ，其中9024AOB OA OB ∠===°，，．如图，将该纸片放置在平面直角坐标系中，折叠该纸片，折痕与边OB 交于点C ，与边AB 交于点D ．（Ⅰ）若折叠后使点B 与点AC 的坐标；（Ⅱ）若折叠后点B 落在边OA 上的点为B '，设OB x '=，OC y =，试写出y 关于x 的函数解析式，并确定y（Ⅲ）若折叠后点B 落在边OA 上的点为B '，且使B D OB '∥，求此时点C 的坐标．解（Ⅰ）如图①，折叠后点B 与点A 则ACD BCD △≌△.设点C 的坐标为()()00m m >，. 则4BC OB OC m =-=-. 于是4AC BC m ==-.在Rt AOC △中，由勾股定理，得222AC OC OA =+，即()22242m m -=+，解得32m =.∴点C 的坐标为302⎛⎫ ⎪⎝⎭，. 4分（Ⅱ）如图②，折叠后点B 落在OA 边上的点为B ', 则B CD BCD '△≌△. 由题设OB x OC y '==，，则4B C BC OB OC y '==-=-，在Rt B OC '△中，由勾股定理，得222B C OC OB ''=+.()2224y y x ∴-=+，即2128y x =-+6分由点B '在边OA 上，有02x ≤≤，∴ 解析式2128y x =-+()02x ≤≤为所求.∴当02x ≤≤时，y 随x 的增大而减小，y ∴的取值范围为322y ≤≤.7分（Ⅲ）如图③，折叠后点B 落在OA 边上的点为B ''，且B D OB ''∥. 则OCB CB D ''''∠=∠.又CBD CB D OCB CBD ''''∠=∠∴∠=∠，，有CB BA ''∥.Rt Rt COB BOA ''∴△∽△.有OB OCOA OB ''=，得2OC OB ''=. 9分在Rt B OC ''△中，设()00OB x x ''=>，则02OC x =.由（Ⅱ）的结论，得2001228x x =-+，解得000808x x x =-±>∴=-+，∴点C的坐标为()016. 10分12问题解决如图（1），将正方形纸片ABCD 折叠，使点B 落在CD 边上一点E （不与点C ，D 重合），压平后得到折痕MN ．当12CE CD =时，求AMBN 的值．类比归纳在图（1）中，若13CE CD =，则AM BN 的值等于；若14CE CD =，则AM BN 的值等于；若1CE CD n =（n 为整数），则AMBN 的值等方法指导：为了求得AM BN的值，可先求、图ABCD EF M N于．（用含n 的式子表示）联系拓广如图（2），将矩形纸片ABCD 折叠，使点B 落在CD 边上一点E （不与点C D ，重合），压平后得到折痕MN ，设()111AB CE m BC m CD n =>=，，则AMBN 的值等于．（用含m n ，的式子表示）解：方法一：如图（1-1），连接BM EM BE ，，．图NA BCDEFMN 图ABCEF M由题设，得四边形ABNM 和四边形FENM 关于直线MN 对称．∴MN 垂直平分BE ．∴BM EM BN EN ==，． 1分 ∵四边形ABCD是正方形，∴902A D C AB BC CD DA ∠=∠=∠=====°,．∵112CE CE DE CD =∴==，．设BN x =，则NE x =，2NC x =-．在Rt CNE △中，222NE CN CE =+．∴()22221x x =-+．解得54x =，即54BN =．3分在Rt ABM △和在Rt DEM △中，222AM AB BM +=， 222DM DE EM +=，∴2222AM AB DM DE +=+．5分设AM y =，则2DM y =-，∴()2222221y y +=-+．解得14y =，即14AM =．6分 ∴15AM BN =． 7分方法二：同方法一，54BN =．3分如图（1－2），过点N 做NG CD ∥，交AD 于点G ，连接BE ．A D F M G∵AD BC ∥，∴四边形GDCN 是平行四边形． ∴NG CD BC ==．同理，四边形ABNG 也是平行四边形．∴54AG BN ==．∵90MN BE EBC BNM ⊥∴∠+∠=，°．90NG BC MNG BNM EBC MNG ⊥∴∠+∠=∴∠=∠，°，．在BCE △与NGM △中90EBC MNG BC NG C NGM ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠=⎩，，°．∴BCE NGM EC MG =△≌△，．５分∵114AM AG MG AM =--=5，=．4 6分 ∴15AM BN =． 7分类比归纳25（或410）；917； ()2211n n -+ 10分联系拓广31 2222211n m n n m -++ 12分。

初一数学动点问题例题集

初一数学动点成绩集锦之杨若古兰创作1、如图，已知ABCBC=厘米，==厘米，8△中，10AB AC点D为AB的中点．（1）如果点P在线段BC上以3厘米/秒的速度由B点向C点活动，同时，点Q在线段CA上由C点向A点活动．①若点Q的活动速度与点P的活动速度相等，经过1秒后，BPD△是否全等，△与CQP Array请说明理由；②若点Q的活动速度与点P的活动速度不相等，当点Q的活动速度为多少时，能够使BPD△全等？△与CQP（2）若点Q以②中的活动速度从点C出发，点P以本来的活动速度从点B同时出发，都逆时针沿ABC△三边活动，求经过多长时间点P与点Q第一次在ABC△的哪条边上相遇？解：（1）①∵1t=秒，∴313==⨯=厘米，BP CQ∵10AB=厘米，点D为AB的中点，∴5BD=厘米．又∵厘米，∴835，，=-=PC BC BP BCPC=-=厘米8∴PC BD=．又∵AB AC =， ∴B C ∠=∠，∴BPD CQP △≌△．（4分） ②∵P Q v v ≠，∴BP CQ ≠，又∵BPD CQP △≌△，B C ∠=∠，则45BP PC CQ BD ====，， ∴点P ，点Q 活动的时间433BP t ==秒，∴515443Q CQ v t===厘米/秒．（7分）（2）设经过x 秒后点P 与点Q 第一次相遇，由题意，得1532104x x =+⨯，解得803x =秒．∴点P 共活动了803803⨯=厘米．∵8022824=⨯+，∴点P 、点Q 在AB 边上相遇，∴经过803秒点P 与点Q 第一次在边AB 上相遇．（12分）2、直线364y x =-+与坐标轴分别交于A B 、两点，动点P Q、同时从O 点出发，同时到达A 点，活动停止．点Q 沿线段OA 活动，速度为每秒1个单位长度，点P 沿路线O →B →A 活动．（1）直接写出A B 、两点的坐标；（2）设点Q 的活动时间为t 秒，OPQ △的面积为S ，求出S 与t 之间的函数关系式；（3）当485S =时，求出点P 的坐标，并直接写出以点O P Q 、、为顶点的平行四边形的第四个顶点M 的坐标．解（1）A （8，0）B （0，6） 1分（2）86OA OB ==，点Q 由O 到A 的时间是881=（秒） ∴点P 的速度是61028+=（单位/秒） 1分当P 在线段OB 上活动（或03t ≤≤）时，2OQ t OP t ==，2S t = 1分当P在线段BA上活动（或38t <≤）时，6102162OQ t AP t t ==+-=-，,如图，作PD OA ⊥于点D ，由PD AP BO AB =，得4865tPD -=， 1分21324255S OQ PD t t ∴=⨯=-+1分（自变量取值范围写对给1分，否则不给分．）（3）82455P ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 1分12382412241224555555I M M 2⎛⎫⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，，，，， 3分3如图，在平面直角坐标系中，直线l ：y=－2x －8分别与x 轴，y 轴订交于A ，B 两点，点P （0，k ）是y 轴的负半轴上的一个动点，以P 为圆心，3为半径作⊙P.（1）连结PA ，若PA=PB ，试判断⊙P 与x 轴的地位关系，并说明理由；（2）当k 为什么值时，以⊙P 与直线l 的两个交点和圆心P 为顶点的三角形是正三角形？解：（1）⊙P 与x 轴相切.∵直线y=－2x －8与x 轴交于A （4，0），与y 轴交于B （0，－8）， ∴OA=4，OB=8. 由题意，OP=－k ， ∴PB=PA=8+k.在Rt△AOP 中，k2+42=(8+k)2， ∴k=－3，∴OP 等于⊙P 的半径， ∴⊙P 与x 轴相切.（2）设⊙P 与直线l 交于C ，D 两点，连结PC ，PD 当圆心P 在线段OB 上时,作PE⊥CD 于E.∵△PCD为正三角形，∴DE=12CD=32，PD=3，.∵∠AOB=∠PEB=90°，∠ABO=∠PBE，∴△AOB∽△PEB，∴2,AO PEAB PB PB=，∴PB=∴8PO BO PB=-=，∴8)P-，∴8k=.当圆心P在线段OB耽误线上时,同理可得P(0,8)，8，∴当8或k=8时，以⊙P与直线l的两个交点和圆心P为顶点的三角形是正三角形.4（09哈尔滨）如图1，在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，四边形ABCO是菱形，点A的坐标为（－3，4），点C 在x 轴的正半轴上，直线AC 交y 轴于点M ，AB 边交y 轴于点H ．（1）求直线AC 的解析式；（2）连接BM ，如图2，动点P 从点A 出发，沿折线ABC 方向以2个单位／秒的速度向起点C 匀速活动，设△PMB 的面积为S （S≠0），点P 的活动时间为t 秒，求S 与t 之间的函数关系式（请求写出自变量t 的取值范围）；（3）在（2）的条件下，当 t 为什么值时，∠MPB 与∠BCO 互为余角，并求此时直线OP 与直线AC 所夹锐角的正切值．解：5在Rt△ABC 中，∠C=90°，AC = 3，AB = 5．点P 从点C 出发沿CA 以每秒1个单位长的速度向点A 匀速活动，到达点A 后立刻以本来的速度沿AC 返回；点Q 从点A 出发沿AB 以每秒1个单位长的速度向点B 匀速活动．陪伴着P 、Q 的活动，DE 坚持垂直平分PQ ，且交PQ 于点D ，交折线QB-BC-CP 于点E ．点P 、Q 同时出发，当点Q 到达点B 时停止活动，点P 也随之停止．设点P 、Q 活动的时间是t 秒（t ＞0）．（1）当t = 2时，AP = ，点Q 到AC 的距离是；（2）在点P 从C 向A 活动的过程中，求△APQ 的面积图16S 与t 的函数关系式；（不必写出t 的取值范围）（3）在点E 从B 向C 活动的过程中，四边形QBED 能否成为直角梯形？若能，求t 的值．若不克不及，请说明理由；（4）当DE 经过点C 时，请直接写出t 的值．解：（1）1，85；（2）作QF⊥AC 于点F ，如图3， AQ = CP= t ，∴3AP t =-．由△AQF∽△ABC，4BC ==，得45QF t=．∴45QF t =．∴14(3)25S t t =-⋅，即22655S t t=-+．（3）能．①当DE∥QB 时，如图4．∵DE⊥PQ，∴PQ⊥QB，四边形QBED 是直角梯形．此时∠AQP=90°．由△APQ ∽△ABC，得AQ APAC AB=，即335t t -=．解得98t =．P图4P图5B②如图5，当PQ∥BC 时，DE⊥BC，四边形QBED 是直角梯形．此时∠APQ =90°．由△AQP ∽△ABC，得AQ APAB AC=，即353t t -=．解得158t =．（4）52t =或4514t =．①点P 由C 向A 活动，DE 经过点C ．连接QC ，作QG⊥BC 于点G ，如图6．PC t=，222QC QG CG =+2234[(5)][4(5)]55t t =-+--．由22PCQC=，得22234[(5)][4(5)]55t t t =-+--，解得52t =．②点P 由A 向C 活动，DE 经过点C ，如图7．22234(6)[(5)][4(5)]55t t t -=-+--，4514t =】6如图，在Rt ABC△中，9060ACB B ∠=∠=°，°，2BC =．点O 是AC 的中点，过点O 的直线l 从与AC 重合的地位开始，绕点O 作逆时针扭转，交AB 边于点D ．过点C 作CE AB ∥交直线l 于点E ，设直线l 的扭转角为α．（1）①当α=度时，四边形EDBC 是等腰梯形，此时AD 的O E CDAα lOCA（备用图）长为；②当α=度时，四边形EDBC是直角梯形，此时AD的长为；（2）当90α=°时，判断四边形EDBC是否为菱形，并说明理由．解（1）①30，1；②60，1.5；……………………4分（2）当∠α=900时，四边形EDBC是菱形.∵∠α=∠ACB=900，∴BC//ED.∵CE//AB, ∴四边形EDBC是平行四边形. ……………………6分在Rt△ABC中，∠ACB=900，∠B=600,BC=2,∴∠A=300.3∴AO=12AC=3.……………………8分在Rt△AOD中，∠A=300，∴AD=2.∴BD=2.∴BD=BC.又∵四边形EDBC是平行四边形，∴四边形EDBC是菱形……………………10分7如图，在梯形ABCD中，3545AD BC AD DC AB B ====︒∥，，，．动点M 从B 点出发沿线段BC 以每秒2个单位长度的速度向起点C 活动；动点N 同时从C 点出发沿线段CD 以每秒1个单位长度的速度向起点D 活动．设活动的时间为t 秒．（1）求BC 的长．（2）当MN AB ∥时，求t 的值．（3）试探究：t 为什么值时，MNC △为等腰三角形．解：（1）如图①，过A 、D 分别作AK BC ⊥于K ，DH BC ⊥于H，则四边形ADHK 是矩形 ∴3KH AD ==． 1分在Rt ABK △中，sin 454AK AB =︒== 2cos 454242BK AB =︒== 2分在Rt CDH △中，由勾股定理得，3HC =∴43310BC BK KH HC =++=++= 3分（2）如图②，过D 作DG AB ∥交BC 于G 点，则四边形ADGB是平行四边形 ∵MN AB ∥ ∴MN DG ∥CM（图①） ADCBKH（图②）ADCBG MN∴3BG AD == ∴1037GC =-= 4分由题意知，当M 、N 活动到t 秒时，102CN t CM t ==-，． ∵DG MN ∥ ∴NMC DGC =∠∠ 又C C =∠∠ ∴MNC GDC △∽△∴CN CMCD CG=5分即10257t t-= 解得，5017t =6分（3）分三种情况讨论：①当NC MC =时，如图③，即102t t =- ∴103t = 7分②当MN NC =时，如图④，过N 作NE MC ⊥于E 解法一：由等腰三角形三线合一性质得()11102522EC MC t t ==-=-在Rt CEN △中，5cos EC t c NC t -== 又在Rt DHC △中，3cos 5CH c CD ==ADCBMN （图③）（图④） AD CBM NH E∴535tt-=解得258t=8分解法二：∵90C C DHC NEC=∠=∠=︒∠∠，∴NEC DHC△∽△∴NC EC DC HC=即5 53 t t-=∴258t=8分③当MN MC=时，如图⑤，过M作MF CN⊥于F点.1122FC NC t==解法一：（方法同②中解法一）132cos1025tFCCMC t===-解得6017t=解法二：∵90C C MFC DHC=∠=∠=︒∠∠，∴MFC DHC△∽△∴FC MCHC DC=（图⑤）A DCBHNMF即1102235tt-= ∴6017t =综上所述，当103t =、258t =或6017t =时，MNC △为等腰三角形 9分8如图1，在等腰梯形ABCD 中，AD BC ∥，E 是AB 的中点，过点E 作EF BC ∥交CD 于点F ．46AB BC ==，，60B =︒∠.（1）求点E 到BC 的距离；（2）点P 为线段EF 上的一个动点，过P 作PMEF ⊥交BC 于点M ，过M 作MN AB ∥交折线ADC 于点N ，连结PN ，设EP x =.①当点N 在线段AD 上时（如图2），PMN △的外形是否发生改变？若不变，求出PMN △的周长；若改变，请说明理由；②当点N 在线段DC 上时（如图3），是否存在点P ，使PMN△为等腰三角形？若存在，请求出所有满足请求的x 的值；若不存在，请说明理由.解（1）如图1，过点E 作EG BC ⊥于点G ． 1分∵E为AB 的中点，∴122BE AB ==．在Rt EBG △中，60B =︒∠，∴30BEG =︒∠． 2分∴图4（备用）C图5（备用） A DE BF C图1图2A D EBF C PNM 图3 A D EBFC PN M 图1A D EB F CG即点E 到BC3分（2）①当点N 在线段AD 上活动时，PMN △的外形不发生改变．∵PM EF EG EF ⊥⊥，，∴PM EG ∥． ∵EF BC ∥，∴EP GM =，PM EG ==同理4MN AB ==． 4分如图2，过点P 作PH MN ⊥于H ，∵MN AB ∥， ∴6030NMC B PMH ==︒=︒∠∠，∠．∴12PH PM ==∴3cos302MH PM =︒=．则35422NH MN MH =-=-=．在Rt PNH △中，PN ===∴PMN △的周长=4PM PN MN ++=． 6分②当点N 在线段DC 上活动时，PMN △的外形发生改变，但MNC △恒为等边三角形．当PM PN =时，如图3，作PR MN ⊥于R ，则MR NR =．类似①，32MR =．∴23MN MR ==． 7分∵MNC △是等边三角形，∴3MC MN ==．图2A D EBFCPNMG H此时，6132x EP GM BC BG MC ===--=--=． 8分当MP MN =时，如图4，这时候MC MN MP ===此时，615x EP GM ===-=当NP NM =时，如图5，30NPM PMN ==︒∠∠．则120PMN =︒∠，又60MNC =︒∠， ∴180PNM MNC +=︒∠∠．是以点P 与F 重合，PMC △为直角三角形． ∴tan 301MC PM=︒=．此时，6114x EP GM ===--=．综上所述，当2x =或4或(5时，PMN △为等腰三角形．10分9如图①，正方形 ABCD 中，点A 、B 的坐标分别为（0，10），（8，4），点C 在第一象限．动点P 在正方形 ABCD 的边上，从点A 出发沿A→B→C→D 匀速活动，同时动点Q 以不异速度在x 轴正半轴上活动，当P 点到达D 点时，两点同时停止活动，设活动的时间为t 秒．图3A D E BFCPN M图4A D EBF CP MN 图5A D EBF （P ） CMN GGRG(1)当P点在边AB上活动时，点Q的横坐标x（长度单位）关于活动时间t（秒）的函数图象如图②所示，请写出点Q开始活动时的坐标及点P活动速度；(2)求正方形边长及顶点C的坐标；(3)在（1）中当t为什么值时，△OPQ的面积最大，并求此时P点的坐标；(4)如果点P、Q坚持原速度不变，当点P沿A→B→C→D 匀速活动时，OP与PQ能否相等，若能，写出所有符合条件的t的值；若不克不及，请说明理由．解：（1）Q（1，0）1分点P活动速度每秒钟1个单位长度． 2分（2）过点B作BF⊥y轴于点F，BE⊥x轴于点E，则BF＝8，4OF BE==．∴1046AF=-=．在Rt△AFB中，10AB=过点C作CG⊥x轴于点G，与FB∵90,ABC AB BC∠=︒=∴△ABF≌△BCH．∴6,8BH AF CH BF====．∴8614,8412OG FH CG==+==+=．∴所求C点的坐标为（14，12）．4分（3）过点P作PM⊥y轴于点M，PN⊥x轴于点N，则△APM∽△ABF． ∴AP AM MPAB AF BF ==．1068t AM MP ∴==． ∴3455AM t PM t ==，．∴3410,55PN OM t ON PM t==-==．设△OPQ 的面积为S （平方单位）∴213473(10)(1)5251010S t t t t =⨯-+=+-（0≤t ≤10） 5分说明:未注明自变量的取值范围不扣分．∵310a =-<0 ∴当474710362()10t =-=⨯-时，△OPQ 的面积最大．6分此时P的坐标为（9415，5310）． 7分（4）当53t =或29513t =时，OP 与PQ 相等． 9分10数学课上，张老师出示了成绩：如图1，四边形ABCD 是正方形，点E 是边BC 的中点．90AEF ∠=，且EF 交正方形外角DCG ∠的平行线CF 于点F ，求证：AE=EF ．经过思考，小明展现了一种准确的解题思路：取AB 的中点M ，连接ME ，则AM=EC ，易证AME ECF △≌△，所以AE EF =．在此基础上，同学们作了进一步的研讨：（1）小颖提出：如图2，如果把“点E 是边BC 的中点”改为“点E 是边BC 上（除B ，C 外）的任意一点”，其它条件不变，那么结论“AE=EF”仍然成立，你认为小颖的观点准确吗？如果准确，写出证实过程；如果不准确，请说明理由；（2）小华提出：如图3，点E 是BC 的耽误线上（除C 点外）的任意一点，其他条件不变，结论“AE=EF”仍然成立．你认为小华的观点准确吗？如果准确，写出证实过程；如果不准确，请说明理由．解：（1）准确．（1分）证实：在AB 上取一点M ，使AM EC =，连接ME ．（2分）BM BE ∴=．45BME ∴∠=°，135AME ∴∠=°．CF是外角平分线，45DCF ∴∠=°， 135ECF ∴∠=°． AME ECF ∴∠=∠．90AEB BAE ∠+∠=°，90AEB CEF ∠+∠=°， ∴BAE CEF ∠=∠．AME BCF ∴△≌△（ASA ）．（5分）AE EF∴=．（6分）（2）准确．（7分）证实：在BA 的耽误线上取一点N ．ADF CG B 图1ADFC G B 图2ADFC G E B 图3A D F CGEBM使AN CE =，连接NE ．（8分）BN BE ∴=． 45N PCE ∴∠=∠=°．四边形ABCD 是正方形，AD BE ∴∥． DAE BEA ∴∠=∠．NAE CEF∴∠=∠．ANE ECF ∴△≌△（ASA ）．（10分）AE EF∴=．（11分）11已知一个直角三角形纸片OAB，其中9024AOB OA OB ∠===°，，．如图，将该纸片放置在平面直角坐标系中，折叠该纸片，折痕与边OB 交于点C ，与边AB 交于点D ．（Ⅰ）若折叠后使点B 与点AC 的坐标；（Ⅱ）若折叠后点B落在边OA B '，设OB x '=，OC y =，试写出y 关于x y 的取值范围；（Ⅲ）若折叠后点B 落在边OA B '，且使B D OB '∥，求此时点C 的坐标．解（Ⅰ）如图①，折叠后点B 则ACD BCD △≌△.设点C 的坐标为()()00m m >，.ADFGE BN则4BC OB OC m =-=-. 因而4AC BC m ==-.在Rt AOC △中，由勾股定理，得222AC OC OA =+，即()22242m m -=+，解得32m =.∴点C 的坐标为302⎛⎫ ⎪⎝⎭，. 4分（Ⅱ）如图②，折叠后点B 落在OA 边上的点为B ', 则B CD BCD '△≌△. 由题设OB x OC y '==，，则4B C BC OB OC y '==-=-，在Rt B OC '△中，由勾股定理，得222B COC OB ''=+.()2224y y x ∴-=+，即2128y x =-+6分由点B '在边OA 上，有02x ≤≤，∴解析式2128y x =-+()02x ≤≤为所求. ∴当02x ≤≤时，y 随x 的增大而减小，y ∴的取值范围为322y ≤≤.7分（Ⅲ）如图③，折叠后点B 落在OA 边上的点为B ''，且B D OB ''∥.则OCB CB D ''''∠=∠.又CBD CB D OCB CBD ''''∠=∠∴∠=∠，，有CB BA ''∥.Rt Rt COB BOA ''∴△∽△. 有OB OC OA OB ''=，得2OC OB ''=. 9分在Rt B OC ''△中，设()00OB x x ''=>，则02OC x =.由（Ⅱ）的结论，得2001228x x =-+，解得000808x x x =-±>∴=-+，∴点C的坐标为()016.10分12成绩解决如图（1），将正方形纸片ABCD 折叠，使点B落在CD 边上一点E （不与点C ，D 重合），压平后得到折痕MN ．当12CE CD =时，求AMBN的值．类比归纳在图（1）中，若13CE CD =，则AMBN的值等于；若14CE CD =，则AMBN的值等于；若1CE CD n =（n 为整数），则AMBN的值等于．（用含n 的式子暗示）联系拓广如图（2），将矩形纸片ABCD 折叠，使点B 落在CD 边上一方法指点：为了求得AMBN 的值，可先求BN 、AM 的长，不妨设：AB =2AD EFM图（1）A BCDEFMN点E（不与点C D，重合），压平后得到折痕MN ，设()111AB CE m BC m CD n =>=，，则AMBN的值等于．（用含m n ，的式子暗示）解：方法一：如图（1-1），连接BM EM BE ，，．由题设，得四边形ABNM 和四边形FENM 关于直线MN 对称．∴MN 垂直平分BE ．∴BM EM BN EN ==，．1分 ∵四边形ABCD是正方形，∴902A D C AB BC CD DA ∠=∠=∠=====°,．∵112CE CE DE CD =∴==，．设BN x =，则NE x =，2NC x =-．在Rt CNE △中，222NE CN CE =+．∴()22221xx =-+．解得54x =，即54BN =．3分在Rt ABM △和在Rt DEM △中，222AM AB BM +=， 222DM DE EM +=，∴2222AM AB DM DE +=+． 5分设AM y =，则2DM y =-，∴()2222221y y +=-+．解得14y =，即14AM =．6分∴15AM BN =． 7分N 图（1-1）A B C EFM方法二：同方法一，54BN =．3分如图（1－2），过点N 做NG CD ∥，交AD 于点G ，连接BE ．∵AD BC ∥，∴四边形GDCN 是平行四边形． ∴NG CD BC ==．同理，四边形ABNG 也是平行四边形．∴54AG BN ==．∵90MN BE EBC BNM ⊥∴∠+∠=，°．在BCE △与NGM △中90EBC MNG BC NG C NGM ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠=⎩，，°．∴BCE NGM EC MG =△≌△，．５分 ∵114AM AG MG AM =--=5，=．4 6分∴15AM BN =． 7分类比归纳25（或410）；917；()2211n n -+ 10分联系拓广2222211n m n n m -++12分N 图（1-2） A BC DEFMG。