第一讲数与式
第一讲数与式
第一讲 数与式基础知识有理数有两种分类方式：有理数⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧负分数正分数分数负整数零正整数整数 有理数⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎩⎨⎧负分数负整数负有理数零正分数正整数正有理数 代数式从确定的数到字母表示数，并且表示数的字母像数一样地参加运算，进而引入代数式，是数学发展史上的一个里程碑，也是我们学习过程的一次飞跃。
代数式使数量关系的表示简洁明了，使具有相同性质的不同数学问题可以用同一个式子表示，是从具体到抽象与概括有有力工具，给研究和计算带来了极大方便。
在列代数式时，就注意以下几点：1、在同一问题中，要注意不同的对象或不同的数量必须用不同的字母表示2、字母与字母相乘可以省略乘号3、在所列代数式中，若有相除关系要写成分数形式4、列代数式是应注意单位，单位名称在代数式后面写出来，如果结果为加减关系，必须用括号将代数式括起来5、代数式中不要使用带分数，带分数与字母相乘是必须把带分数化成假分数。
拓展知识：1、 数集：把一些数放在一起，就组成一个数的集合，简称数集。
（1） 所有有理数组成的数集叫做有理数集；（2） 所有的整数组成的数集叫做整数集。
2、 任何有理数都可以用数轴上的一个点来表示，体现了数形结合的数学思想。
3、 根据绝对值的几何意义知道：|a|≥0，即对任何有理数a ，它的绝对值是非负数。
4、 比较两个有理数大小的方法有：（1） 根据有理数在数轴上对应的点的位置直接比较；（2） 根据规定进行比较：两个正数；正数与零；负数与零；正数与负数；两个负数，体现了分类讨论的数学思想；（3） 做差法：a –b>0 ⇔a>b;（4） 做商法：a/b>1，b>0 ⇔a>b.（做差法与做商法如何进行选择？）数学思想数形结合思想分类讨论的思想整体思想转化的思想一、 妙用定律巧求值例1计算)20031...3121()20041...31211()20031...31211)(20041...3121(+++⨯++++-+++++++例2求1002-992+982-972+…+42-32+22-12例3 计算 1+5+52+53+…+599+5100的值．二、 比较数的大小例4比较a1与a ，3a 与2a 的大小关系例5设a 1,a 2,a 3,…a 2000都是有理数，令)...)(...(),...)(...(199932200021200032199921a a a a a a N a a a a a a M ++++++=++++++=，试比较M 、N 的大小。
第一讲 数与式
温 馨 小 提 示 ： 练 掌 握 平 方根 、 术 平 方 根 、 方 根 的 概 念 是 熟 算 立
解 这 类题 的 关 键 ．在 例 ８ ， 防 出现 选 Ａ Ｂ 错 误 ． 中 谨 或 的
例 ３ （ ０ １ 益 阳卷 ） ２ ２ １年 一 的相 反 数 是 （
Ａ． ２ Ｂ． 一２ ｃ．
２
） ．
Ｄ． 一
２
解 ： 有 符 号 不 同 的 两 个 数 叫做 互 为 相 反 数 ．选 Ａ 只 ．
例 ４ （ ０ １ 长 沙 卷 ）一 Ｉ 于 （ ２ １年 ｌ２等
Ａ． ２ Ｂ． 一２ ｃ ．
） ．
Ｄ． 一 ２
２
解 ： Ａ 选 ．
例 ５ （ ０ １ 泰 州卷 ） ３ ２ １年 一 的倒 数 为 （
Ａ． 一３ Ｂ． １ ３ Ｃ
．
） ．
Ｄ． 一— １ —
—
３
３
解 ： Ｄ． 选
温 馨 小 提 示 ： 反 数 、 数 、 对 值 是 中考 常 见 题 ． 相 倒 绝
Ａ． ６ ． ６ ６×１ ０ Ｂ． ０ ６ ６×１ ．６ ０
） ．
Ｄ． ６ ６ ． ６￣１ ０
Ｃ． ６６ ． ６×１ ０
解 ：６ ７ ０ ＝ ．５ ５ ６ １ ６ ６ ０ 选 Ｃ． ６ ５５ ５３６ ６ ５７ ３０ ￣ ０ ６ ． ￣１８ ６
温 馨 小 提 示 ： 学记 数 法 与 近 似 数 （ 效 数 字 的 确 定 ） 历 年 科 有 是 中考 的 热 点 ， 确 定ａ １ｎ 的 值 时 ， 要 数 错 了整 数 位 和 ０ 个 在 Ｘ ０ 中ｎ 不 的
第一讲 数与式
(3)由(2)可知，第一所学校获得捐款25万元，
125 − 5 ∴5 + = 25 a ∴20×6=120.
根据题意，得
2
∴a = 6
∴ n 2 ≤ 24 5n ≤ 120
∵n 为正整数，∴ n 最大为4. ， ∴再次提供的捐款最多又可以援助4所学校.
为进一步落实《 2. 为进一步落实《中华人民共和国民办教育促进 某市教育局拿出了b元资金建立民办教育发展 法》，某市教育局拿出了 元资金建立民办教育发展 基金会，其中一部分作为奖金发给n所民办学校 所民办学校． 基金会，其中一部分作为奖金发给 所民办学校．奖 金分配方案如下：首先将n所民办学校按去年完成教 金分配方案如下：首先将 所民办学校按去年完成教 教学工作业绩（假设工作业绩均不相同） 育、教学工作业绩（假设工作业绩均不相同）从高到 排序: 低，由1到n 排序: 第1所民办学校得奖金 元，然后再将余额 发给第2所民办学校， 除以n发给第2所民办学校，按此方法将奖金逐一发 所民办学校． 给了n所民办学校． 分别表示第2 （1）请用n、b分别表示第2所、第3所民办学校得 请用 分别表示第 到的奖金； 到的奖金；
a
A
b B
b
b C
a
a
小结：此题实际考查整式的乘法运算 此题实际考查整式的乘法运算
3、（08镇江）如果 m − 1 = − 1, 、（08镇江） 08镇江 m 2m 2 + 2m − 1 = _____ .
则
m + m = ____
2
分析:由题意知： 分析:由题意知：
m
2
− 1 = −m
2
∴ m
+ m = 1
(x − 2)2 g x + 2) ( 解：原式 = 2(x − 2)
第一章数与式知识点归纳
第一章数与式知识点归纳第一章数与式一、数的分类数可以分为正整数、负整数、零、正分数、负分数、正有理数、负有理数、正无理数、负无理数和实数。
其中有理数是可以比较大小的数，可以是有限小数或无限循环小数，而无理数是无限不循环小数。
二、数轴数轴有三个要素：原点、正方向和单位长度。
数轴上的点与实数是一一对应的，利用数轴可以比较数的大小，理解实数的相反数和绝对值等概念。
三、绝对值数a的绝对值表示数轴上表示a的点与原点的距离，可以用几何定义或代数定义来表示。
四、相反数和倒数两个数互为相反数当且仅当它们的和为0，互为倒数当且仅当它们的积为1.在非负数的情况下，平方根和立方根的概念也很重要。
五、非负数的性质几个非负数之和为0时，这几个数也必须为0.同时，非负数的平方大于等于0，非负数的倒数也必须是非负数。
六、幂和算术平方根an表示a的n次幂，其中a为底数，n为指数。
算术平方根和立方根的概念也很重要。
七、运算顺序和律运算顺序包括同级从左到右和不同级从高到低，有括号时要从里到外计算。
运算律包括交换律、结合律和分配律。
八、运算法则加法法则包括两数相加和相减，乘法法则包括两数相乘和相除。
减法可以转化为加法，除法可以转化为乘法。
九、a＞０的性质当a＞0时，(-a)的偶次幂为正，奇次幂为负。
十、有理式有理式是由有理数和变量构成的式子，可以进行加减乘除等运算。
单项式是只有一个变量的代数式，它有一个次数和一个系数。
整式是由多个单项式相加或相减而成的代数式，它有一个最高次数和一个项数。
有理式是整式的分式形式，分式有分子和分母，分母不为零。
多项式是整式的一种，它只有加减运算，没有乘除运算。
乘法公式是代数中常用的公式，包括平方差公式和完全平方公式。
平方差公式是指两个数的平方差等于它们的积，即（a＋b）（a—b）＝a2－b2.完全平方公式是指一个二次多项式可以写成两个一次多项式的平方和，即（a±b）2＝a2±２a b＋b2.分式是有理式的一种，它由分子和分母组成，分母不为零。
初中数学中考一轮复习专题1数与式重点、考点知识、方法总结及真题练习
在实数范围内，正数和零统称为非负数.我们已经学习过的非负数有如下三种形式：
（1）仸何一个实数 a 的绝对值是非负数，即| a |≥0； （2）仸何一个实数 a 的平方是非负数，即 a2 ≥0； （3）仸何非负数的算术平方根是非负数，即 a 0 ( a 0 ).
非负数具有以下性质： （1）非负数有最小值零； （2）有限个非负数乊和仍是非负数； （3）几个非负数乊和等于 0，则每个非负数都等于 0. 4.实数的运算
a a (a 0, b 0) bb
②.加减法
将二次根式化为最简二次根式后，将同类二次根式的系数相加减，被开方数和根指数丌变，
即合并同类二次根式.
【典例】
1.计算：5 +
﹣×+ ÷．
【答案】 【解析】解：原式= + ﹣
+3 ÷
=2 ﹣1+3
=2 +2．
x xy xy y
2.若 x 0 ，化简
注：单独一个字母戒一个数也是代数式.
2.代数式的分类：
3.代数式的书写规则： （1）数字不字母相乘戒字母不字母相乘，通常把乘号写作“ ”戒省略丌写，字母乊间的
顺序可以交换，但一般按字母表中的先后顺序写.数字应在字母乊前.如： 3b 丌要写成 b3 （2）在代数式中出现除法运算时，一般都变成分数和乘法来计算.如： 2a b 写成 2a
x
2
0
即
x
1 且x 2
2
.
【难度】易
【结束】
2.若
，则 ( )
A. b＞3B. b＜3C. b≥3D. b≤3
【答案】D.
【解析】
3 b = 3 b ,所以 3 b ≥0,即 b 3 .
中考数学知识点总结完整版
第一讲 数与式第1课时 实数的有关概念考点一、实数的概念及分类 〔3分〕正有理数有理数 零 有限小数和无限循环小数 实数 负有理数 正无理数无理数 无限不循环小数〔π〕、开方开不尽的数 负无理数凡能写成)0p q ,p (p q≠为整数且形式的数，都是有理数.正整数、0、负整数统称整数；正分数、负分数统称分数；整数和分数统称有理数.注意：0即不是正数，也不是负数；-a 不一定是负数，+a 也不一定是正数；π不是有理数；考点二、实数的倒数、相反数和绝对值 〔3分〕2、数轴：数轴是规定了原点、正方向、单位长度的一条直线.3、相反数：(1)只有符号不同的两个数，我们说其中一个是另一个的相反数；0的相反数还是0； (2)相反数的和为0 ⇔ a+b=0 ⇔ a 、b 互为相反数. 4、绝对值：(1)正数的绝对值是其本身，0的绝对值是0，负数的绝对值是它的相反数；注意：绝对值的意义是数轴上表示某数的点离开原点的距离；(2) 绝对值可表示为：⎪⎩⎪⎨⎧<-=>=)0a (a )0a (0)0a (a a 绝对值的问题经常分类讨论；5、倒数假设ab =1⇔ a 、b 互为倒数；假设ab =-1⇔a 、b 互为负倒数。
倒数等于本身的数是1和-1。
零没有倒数。
11a a-=考点三、平方根、算数平方根和立方根 〔3—10分〕 6、平方根①如果一个数的平方等于a ，那么这个数就叫做a 的平方根〔或二次方跟〕。
一个数有两个平方根，他们互为相反数；零的平方根是零；负数没有平方根。
正数a 的平方根记做“a ±〞。
②算术平方根正数a 的正的平方根叫做a 的算术平方根，记作“a 〞。
正数和零的算术平方根都只有一个，零的算术平a ，2a =；注意a 的双重非负性：0≥a a ≥07、立方根如果一个数的立方等于a ，那么这个数就叫做a 的立方根〔或a 的三次方根〕。
一个正数有一个正的立方根；一个负数有一个负的立方根；零的立方根是零。
第一讲数与式
第一讲 数与式§1.1 实数知识梳理一、基本概念1.规定了_______、_______、______的直线叫做数轴,数轴上的点与实数是一一对应关系.2.只有_______的两个数叫做互为相反数，零的相反数是零．3._______的两个有理数互为倒数.4.一个数a 的绝对值是在数轴上表示数a 的点与原点的距离，数a 的绝对值记做a ．5. 把一个数记成na 10⨯±的形式，其中,n a ，101<≤是_____，这种记数法叫做科学记数法． 6.一个近似数四舍五入到哪一位，就说它精确到哪一位，这时，从左边第一个不是零的数字起到右边精确的数位止的所有数字，都叫做这个数的________.7.无理数是_____________,______和______统称为实数,实数与数轴上的点是一一对应的. 8.式子)0(≥a a 叫做二次根式，)0(≥a a 是一个非负数. 二、重要结论1.如果a 与b 互为相反数，则有a+b=0;如果a 与b 互为倒数，则有ab=1.2._______的绝对值是它本身，_____的绝对值是它的相反数．3.两个负数比较,______大的反而小;数轴上右边的点所表示的数_________左边的点所表示的数.()()()200a a a a a a≥⎧⎪=⎨-⎪⎩=_____(a ≥0).5.0a =_____(a ≠0), na -=__________( a ≠0,n 是正整数).考点呈现考点1 实数的有关概念例1（2012年凉山州）若x 是2的相反数，|y|=3，则x-y 的值是（ ） A ．-5 B ．1 C ．-1或5 D ．1或-5解析：因为2的相反数是-2，所以x=-2；因为3和-3的绝对值都是3，所以y=±3. 分两种情况分别计算.当x=-2，y=3时，x-y=-5；当x=-2，y=-3时，x-y=1.故选D.点评:只有符号不同的两个数叫做互为相反数，互为相反数的两个数绝对值相等.正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数,0的绝对值是0.例2（2012年安顺市）在实数：3.14 159 1.010 010 001, 12.4 ，π，227中，无理数有（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个解析：因为3.14159，1.010010001是有限小数，所以是有理数. 12.4 是无限循环小数，所以不是无理数，4643=是有理数，722是分数，是有理数，只有π是无限不循环小数，所以是无理数的就1个，故选A.点评：目前我们所学的无理数可分为三类：①开方开不尽的数,如②化简后含π的数,如:2π；③特定结构的数,如:1.202 002 000 2…(每两个2之间依次多一个0).考点2 科学记数法与有效数字例3 （2012年贵州铜仁）从权威部门获悉，中国海洋面积是299．7万平方公里，约为陆地面积的三分之一， 299．7万平方公里用科学记数法（保留两位有效数字）表示为（ ） A ．6103⨯平方公里 B ．7103.0⨯平方公里 C ．6100.3⨯平方公里D ．61099.2⨯平方公里解析：299.7万=2.997×106，保留两个有效数字为6100.3⨯.故选C ．点评:把一个数写成a ×10n 的形式，其方法是①确定a （a 是整数数位只有一位的数）；②确定n ，当原数的绝对值≥10时，n 为正整数，n 等于原数的整数位数减1；当原数的绝对值＜1时，n 为负整数，n 的绝对值等于原数中左起第一个非零数前零的个数（含整数位数上的零）．考点3 实数与数轴例4（2012年聊城市）在如图1所示的数轴上，点B 与点C 关于点A 对称，A 、B 两点对应的实数分别是3和－1，则点C 所对应的实数是（ ）A.1+3B. 2 +3C. 23－1D. 23+1解析：因为AB=13+,所以AC=13+.因为A 对应的是3，所以C 对应的是132+.故选D ． 点评:处理这类问题的关键是正确把握对称点的特征,找出其中的等量关系,再进行实数的运算. 考点4 实数的估算例5（20121的值在（ ）A ．2到3之间 B.3到4之间 C ．4到5之间 D ．5到6之间解析：因为,964<<所以,362<<所以314<<.故选B ．点评:实数的估算一般步骤是首先将原数平方，看其在哪两个平方数之间，运用这种方法可以估计一个带根号的数的整数部分,从而估计其大致范围.例6（2012年张家界）实数a 、b 在轴上的位置如图2所示，且b a >，则化简b a a +-2的结果为（ ）A ．b a +2 B.b a +-2 C .b D.b a -2解析：由题设可知，a <0，a +b<0，所以b a a +-2=()[]a a b a a b a a b b -+=---+=-++=，故选C.点评:根据绝对值的意义去掉绝对值符号是解题关键. 考点5 非负数的性质例7（2012年广东省改编）若x 、y 为实数，且满足|x －，则2012()xy的值是.图 2解析：因为03|3|=++-y x ，所以03,03=+=-y x .所以3,3-==y x . 所以1)1()(20122012=-=yx ．故填-1．点评:两个或多个非负数之和等于0，则每个非负数都等于0，从而可以求得各字母的值，进而求得代数式的值．考点6 实数的运算例8 (2012年绵阳市）计算：()2-πo -28-3+⨯⎪⎭⎫⎝⎛82-. 解析:原式=1-22-+×（-22） =1-（2-2）×（-22）=1+2-1=2. 点评：实数的运算，在解题时要注意运算顺序和公式的综合应用．例9 (2012年衡阳市)= ． 解析： 原式=6662=-.点评:二次根式相乘，把被开方数相乘，作为积的被开方数；合并同类二次根式时，只把系数相加减，被开方数不变．误区点拨1. 运算错误 例1 计算:15÷15×(-5). 错解:原式=15÷(-1)=-15.剖析:乘除法是同级运算，应按从左到右的运算顺序依次进行计算. 正解: 原式=15×5×(-5)=-375.例2 计算:12÷(14-13). 错解:原式=12÷14-12÷13=12×4-12×3=12.剖析:错解把乘法的分配律机械地类比到除法的运算中,造成错误. 正解: 原式=12÷(-112)=12×(-12)=-144. 例3 计算:()23-=_______.错解:-3.剖析:产生错误的原因是误认为a a =2.本题中，()23-表示()23-的算术平方根,而()23-=9，所以()23-的算术平方根就是9的算术平方根,即()23-=3.正解:3.2. 考虑不周,造成漏解例4 已知3a-22与2a-3都是实数m 的平方根,求m 的值.错解:由题意,得3a-22+2a-3=0,解得a=5.所以m=().49722322==-a剖析:此题应分两种情况:一种是3a-22与2a-3相等，另一种是3a-22与2a-3互为相反数.正解:(1)当3a-22与2a-3互为相反数,即3a-22+2a-3=0时,解得a=5.所以m=()49722322==-a ;(2)当3a-22与2a-3相等,即3a-22=2a-3时,解得a=19.所以m=()12253522322==-a .3.忽视隐含条件例5 2的结果为（ ）Ａ．5x - Ｂ．25x - Ｃ．xＤ．x -错解：原式=()()12312---x x =(1-3x)-(2x-1)=2-5x.故选Ｂ．剖析：本题错在忽视了二次根式成立的隐含条件．题目中12-x 有意义，说明隐含了条件210x -≥，即12x ≥，可知310x -≥． 正解：由12-x 知210x -≥，得12x ≥，从而有310x -≥，所以原式=()()12312---x x =|1-3x|-(2x-1)=(3x-1)-2x+1=x.故选C ．技法指导1.实数部分其解答的要求是“简单、直接”.所谓“简单”就是题目的结构简单、要求少、计算量和思维量均小、没有技巧和思维层面的要求；所谓“直接”就是题目涉及的知识点少、一目了然.2.这部分复习,准确把握概念是关键,练习应该精而少.跟踪训练1.下列说法正确的是( )A.0)2(π是无理数B.33是有理数 C.4是无理数D.38-是有理数2.（2012年达州市）今年我市参加中考的学生人数约为41001.6⨯人．对于这个近似数，下列说法正确的是（ ）A.精确到百分位，有3个有效数字B.精确到百位，有3个有效数字C.精确到十位，有4个有效数字D.精确到个位，有5个有效数字 3.（2012年南京市）下列四个数中，是负数的是（ ） A ．2- B. 2)2(- C.2-D.2)2(-4.（2012年宁波市）已知实数x ，y 2(1)0y +=，则x －y 等于（ ） A ．3 B ．－3 C ． 1 D ． －15.（2012年菏泽市）已知21x y =⎧⎨=⎩是二元一次方程组81mx ny nx my +=⎧⎨-=⎩的解，则2m －n 的算术平方根为（ ）A ．±2B ．． 2 D ． 46.（2012年湘潭市）文文设计了一个关于实数运算的程序，按此程序，输入一个数后，输出的数比输入的数的平方小1，若输入7，则输出的结果为（ ）A. 5B. 6C. 7D. 87.实数a化简后为( ) A ． 7 B ． －7 C ． 2a －15 D ． 无法确定8.对于任意不相等的两个实数a 、b ，定义运算※如下：a ※b =b a b a -+，如3※=8※12= ．9.若将三个数11,7,3-表示在数轴上，其中能被如图所示的墨迹覆盖的数是__________________．10.计算：|－5|－3)0+6×(1132-)+(－1)2.§1.2 代数式、整式、分式知识梳理一、基本概念1.所含字母______，并且相同字母的____也分别相同的项叫做同类项．几个常数项也是同类项．把多项式中的同类项合并成一项，叫做_______．2. 因式分解就是把一个多项式表示为几个____的形式，因式分解与_______是互逆的,分解因式必须进行到每一个多项式都不能再分解为止.3.分母中含有______的代数式叫分式,分式有意义的条件为______,分式值为零的条件为________.______和______统称有理式. 二、重要结论 1.幂的运算性质:m n a a ⋅=_____,()____nm a =,()nab =_______,m n a a ÷=_____(0≠a )n m ,为整数.2.乘法公式: ()()a b a b +-=_______；完全平方公式：2()a b ±=___________.3.因式分解的一般方法有_______和_______.其中公式法涉及到的公式有22a b -=________;222a ab b ±+=________.4.分式的基本性质用字母表示为______________.5.分式的加减法则表示为a b c c ±=______，b ca d±=______;5 a 0 10分式的乘除法则表示为a cb d ⨯=______,a cb d÷=_______. 考点呈现考点1 相关概念例1（2012年上海市）在下列代数式中，次数为3的单项式是( )A . xy 2B . x 3－y 3C .x 3y D .3xy解析: 由题目可知结果受两个条件制约，首先这个式子必须是单项式，其次这个单项式的次数为3． 由单项式次数的概念，可知次数为3的单项式是xy 2 ，所以选A .点评:要正确理解单项式的次数. 例2（2012年雅安市）如果单项式-221y x a 与by x 331是同类项，那么a,b 的值分别为 （ ） A.2，2 B.-3， 2 C.2，3 D.3，2 解析：因为单项式-221y x a 与by x 331是同类项，所以a=3, b=2. 故选D. 点评:同类项的识别关键是抓好“两相同”：一是字母相同，二是相同字母的指数也相同.考点2 因式分解例3（2012年宜宾市）分解因式：=+-22363n mn m _______.解析：先提公因式，再利用完全平方公式.原式=3（m 2－2mn ＋n 2）＝3（m －n ）2.点评:因式分解一定注意先后顺序：有公因式一定要先提公因式，其次考虑公式法，要注意分解结果是否已经彻底．考点3 代数式有意义及分式值为零的条件 例4（2012年德阳市）使代数式12-x x有意义的x 的取值范围是( ) A ．0≥x B ．21≠x C ．0≥x 且21≠x D ．一切实数 解析：由题意，可得0210x x ≥⎧⎨-≠⎩，解得0≥x 且21≠x .故选C ．点评: 此类题的条件为偶次根式的被开方数是非负数且分式的分母不能等于0． 例5（2012年嘉兴市）若分式12x x -+的值为0，则（ ） A ．2x =-B ．x = 0C ．x = 1或2x =-D ．x = 1解析:由题意，得1020x x -=+≠⎧⎨⎩，解得x=1.故选D ．点评: 分式值为0，则分子等于0，且分母不等于0，.考点4 化简、求值例6（2012年湘潭市）先化简，再求值：11)1111(-÷--+a a a ,其中12-=a .解析：原式＝)1(])1)(1(1)1)(1(1[-∙+-+--+-a a a a a a a ＝)1()1)(1(11-∙-+---a a a a a ＝)1()1)(1(2-∙-+-a a a ＝12+-a . 当12-=a 时，原式＝1122+--＝22-＝2-.点评:对于此类化简求值问题，要先确定运算顺序，再根据分式的乘除运算法则进行计算，最后把相关字母的值代入化简后的结果进行求值即可.误区点拨1. 逆用法则致错例1 已知3,4,m n a a ==则32m na -的值为( )A.2716 B.1627 C. 1627或2716D.不能确定 错解:选D.剖析:错选D 的实质是不会灵活运用幂的运算性质.学习幂的运算性质应注意学会公式的正用、逆用、正逆合用，本题可逆用同底数幂的除法法则以及幂的乘方运算法则求解. 正解: ()()32323232273416m nmnm n aaaaa -=÷=÷=÷=,故选A. 2.混淆因式分解和整式的乘法例2 因式分解:()()223553x y x y +-+.错解:原式=[(3x+5y)+(5x+3y)][(3x+5y)-(5x+3y)]=(8x+8y)(-2x+2y) =-16(x+y)(x-y)=-162x +162y .剖析:上述解法在第四步时,因式分解已经完成,但又用乘法公式把-16(x+y)(x-y)变成-162x +162y ,造成这种错误的原因是混淆了因式分解与整式乘法的意义.正解:原式=[(3x+5y)+(5x+3y)][(3x+5y)-(5x+3y)]=(8x+8y)(-2x+2y) =-16(x+y)(x-y).3.忽视分数线的括号作用例3 计算:21.1x x x -+- 错解:原式=222(1)(1)11111x x x x x x x x -+--+==---.剖析:通分时将-x+1看做一个整体是对的,但添加分数线后,分数线的括号作用不能忽视,应看做是-()11x -.正解: 原式=22(1)2111x x x x x ---=--.技法指导1.代数式、整式和分式的有关概念常以选择题和填空题的形式进行考查，而分式的化简与求值常以解答题的形式进行考查，难度属于中、低档.2.针对这部分内容，建议大家在复习时注意：①知识间的相互联系，如整式乘法与因式分解互为逆变形;进行分式的乘除运算时，约分前需要分解因式;进行分式的加减运算时，通分前也需要分解因式;②约分、通分时切记要保证分式有意义.要特别关注数形结合思想、整体思想、分类讨论思想在分式求值中的应用.跟踪训练 1.多项式1+xy-2xy 的次数及最高项的系数分别是( ) A .2,1 B .2,-1C .3,-1D .5,-12.(2012年宜昌市)若分式21a +有意义，则a 的取值范围是( ) A ．a =0B ．a=1C ．a≠-1D ．a≠03.在下列运算中，计算正确的是（ ） A ．326a a a ⋅=B ．235()a a = C ．824a a a ÷=D ．2224()ab a b =4.（2012年呼和浩特市）下列各因式分解正确的是（ ）A.)2)(2()2(22+-=-+-x x xB.22)1(12-=-+x x xC.22)12(144-=+-x x xD.)2)(2(42-+=-x x x x x5. (2012年宜昌市)根据《国家中长期教育改革和发展规划纲要》，教育经费投入应占当年GDP 的4%．若设2012年GDP 的总值为n 亿元，则2012年教育经费投入可表示为( )A ．4%n 亿元B ．(1+4%)n 亿元C ．(1-4%)n 亿元D ．（4%+n ）亿元 6.（2012年南昌市）已知（m －ｎ）2＝8，（m ＋ｎ）2＝2，则m 2＋ｎ2＝（ ） A ．10 B ．6 C ．5 D ．37.（2012年杭州市）已知m ＝()×(-)，则有( ) A .5＜m ＜6 B . 4＜m ＜5 C .－5＜m ＜－4 D .－6＜m ＜－58.化简：8212-= . 9.（2012年遵义市）化简分式222()1121x x x x x x x x --÷---+，并从-1≤x ≤3中选一个你认为适合的整数x 代入求值.§1.1实数 1.D 2.B 3.C 4.A 5.C 6.B 7.A 8.－29.710.解:|－5|－3)0+6×(1132-)+(－1)2＝5－1+(2－3)+1＝4．§1.2代数式、整式、分式 1.C 2.C 3.D 4.C 5.A 6.C 7.A8.-29.解：原式＝22221()11x x x x x x x x-+-⋅--- ＝22(1)(1)1(1)(1)(1)(1)x x x x x x x x x x x --⋅-⋅--+--＝111x -+＝1x x +. ∵不能取-1，0，1 ∴当x ＝2时，原式＝22213=+.。
初升高数学衔接教材(完整)
第一讲 数与式1、 绝对值(1)绝对值的代数意义：正数的绝对值是它的本身，负数的绝对值是它的相反数,零的绝对值仍是零．即,0,||0,0,,0.a a a a a a >⎧⎪==⎨⎪-<⎩（2)绝对值的几何意义：一个数的绝对值，是数轴上表示它的点到原点的距离． （3）两个数的差的绝对值的几何意义：b a -表示在数轴上,数a 和数b 之间的距离．2、绝对值不等式的解法 （1）含有绝对值的不等式①()(0)f x a a <>，去掉绝对值后，保留其等价性的不等式是()a f x a -<<。
②()(0)f x a a >>，去掉绝对值后，保留其等价性的不等式是()()f x a f x a ><-或。
③22()()()()f x g x f x g x >⇔>。
（2)利用零点分段法解含多绝对值不等式：①找到使多个绝对值等于零的点．②分区间讨论，去掉绝对值而解不等式．一般地n 个零点把数轴分为n ＋1 段进行讨论． ③将分段求得解集，再求它们的并集． 例1。
求不等式354x -<的解集例2.求不等式215x +>的解集例3.求不等式32x x ->+的解集例4。
求不等式｜x ＋2｜＋｜x －1|＞3的解集．例5。
解不等式｜x －1|＋|2－x ｜＞3－x ．例6。
已知关于x 的不等式｜x －5|＋｜x －3|＜a 有解，求a 的取值范围． 练习解下列含有绝对值的不等式：（1）13x x -+-＞4+x（2）｜x +1｜<｜x －2| （3）｜x －1｜+|2x +1|<4 (4）327x -<（5)578x +>3、因式分解 乘法公式（1)平方差公式 22()()a b a b a b +-=- （2）完全平方公式 222()2a b a ab b ±=±+ (3)立方和公式 2233()()a b a ab b a b +-+=+ （4)立方差公式 2233()()a b a ab b a b -++=-（5）三数和平方公式 2222()2()a b c a b c ab bc ac ++=+++++ （6）两数和立方公式 33223()33a b a a b ab b +=+++ （7）两数差立方公式 33223()33a b a a b ab b -=-+-因式分解的主要方法有：十字相乘法、提取公因式法、公式法、分组分解法，另外还应了解求根法及待定系数法．1．十字相乘法 例1 分解因式：（1）x 2－3x ＋2； （2）2672x x ++（3)22()x a b xy aby -++； (4)1xy x y -+-．2．提取公因式法例2.分解因式:（1）()()b a b a -+-552(2）32933x x x +++3．公式法例3.分解因式： （1）164+-a （2）()()2223y x y x --+4．分组分解法例4.（1)x y xy x 332-+- （2）222456x xy y x y +--+- 5．关于x 的二次三项式ax 2+bx +c （a ≠0）的因式分解．若关于x 的方程20(0)ax bx c a ++=≠的两个实数根是1x 、2x ,则二次三项式2(0)ax bx c a ++≠就可分解为12()()a x x x x --.例5.把下列关于x 的二次多项式分解因式：（1）221x x +-; （2）2244x xy y +-．练习(1）256x x -- （2）()21x a x a -++ （3）21118x x -+（4)24129m m -+ （5)2576x x +- (6）22126x xy y +-(7）()()3211262+---p q q p (8）22365ab b a a +- (9)()22244+--x x（10）1224+-x x （11）by ax b a y x 222222++-+-（12）91264422++-+-b a b ab a （13）x 2－2x －1（14) 31a +； （15）424139x x -+;（16）22222b c ab ac bc ++++； （17)2235294x xy y x y +-++-第二讲 一元二次方程与二次函数的关系1、一元二次方程 （1)根的判别式对于一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0），有：（1） 当Δ＞0时,方程有两个不相等的实数根x 1，2＝2b a-；（2）当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根x 1＝x 2＝－2b a; （3）当Δ＜0时，方程没有实数根．(2）根与系数的关系（韦达定理)如果ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）的两根分别是x 1，x 2，那么x 1＋x 2＝b a -,x 1·x 2＝ca．这一关系也被称为韦达定理．2、二次函数2y ax bx c =++的性质1。
高一数学单元知识点专题讲解1---数与式的运算
【例 8】计算：
(1) ( a + b + 1)(1 − a + b ) − ( a + b )2
(2)
a
a
+
a − ab a + ab
解： 原式 (1) = (1 + b)2 − ( a )2 − (a + 2 ab + b) = −2a − 2 ab + 2 b + 1
【例 7】计算(没有特殊说明，本节中出现的字母均为正数)：
3 (1)
2+ 3
11 (2) +
ab
(3) 2
x −
x3 +
8x
2
解： 原式 (1)
=
3(2 − 3)
3(2 − =
3) = 6 − 3 3
(2 + 3)(2 − 3) 22 − 3
原式 a + b a2b + ab2
(2) =
=
ab
ab
3/7
解：（ ）原式 1
= 43 + m3 = 64 + m3
（ ）原式 2
= (1 m)3 − (1 n)3 = 1 m3 − 1 n3
5
2 125 8
（ ）原式 3
= (a 2 − 4)(a 4 + 4a 2 + 42 ) = (a 2 )3 − 43 = a 6 − 64
（ ）原式 4
= (x + y)2 (x 2 − xy + y 2 )2 = [(x + y)(x 2 − xy + y 2 )]2
三、分式
4/7
数与式(共17张ppt-)
解法
配方法、公式法、因式分解法。
应用
解决生活中的实际问题，如面积、 体积等问题。
不等式与不等式组
定义
用不等号连接起来的式子叫做不等式。不等式中的未知数叫做不 等式的未知数。
解法
比较法、常数代换法、放缩法。
应用
解决生活中的实际问题，如最大最小值问题。
05 应用题
代数式在生活中的应用
代数式在生活中的应用广泛，例如在计算购物时找零、计算时间、距离和速度的关 系等方面。
THANKS
整数与分数
总结词
整数和分数是数的两种重要分类，整数包括正整数、零和负整数，分数则表示整数除法 的结果。
详细描述
整数是数学中非常基础的概念，它包括正整数、零和负整数。整数在日常生活和数学计 算中应用广泛，如表示数量、年龄等。分数则表示整数除法的结果，通常用于表示部分
或比例，如1/2表示一半。
有理数与无理数
等方面。
03
方程还可以用于解决一 些复杂的数学问题，例 如在求解高次方程、求
解不等式等方面。
不等式在决策问题中的应用
01
不等式在决策问题中的应用广泛，例如在比较 商品价格、比较服务水平等方面。
02
不等式也可以用于解决一些实际问题，例如在 比较投资回报、比较生产成本等方面。
03
不等式还可以用于解决一些复杂的数学问题， 例如在求解高次方程、求解不等式等方面。
除法
总结词
除法是乘法的逆运算，表示将一个数分成若干相同的等份。
详细描述
除法是将一个数（或代数表达式）除以另一个数，得到一个新 的数。除法可以转换为乘法运算，即a÷b=a×(1/b)。
指数与根
总结词
指数表示一个数的倍数关系，根表示 一个数的因数关系。
初升高数学衔接教材(完整)
第一讲数与式1、绝对值（1）绝对值的代数意义：正数的绝对值是它的本身，负数的绝对值是它的相反数，零的绝对值仍是零．即a, a 0,|a|0, a 0,a, a 0.（2）绝对值的几何意义：一个数的绝对值，是数轴上表示它的点到原点的距离．（3）两个数的差的绝对值的几何意义： a b 表示在数轴上，数a和数b之间的距离．2、绝对值不等式的解法（1）含有绝对值的不等式① f (x) a(a 0), 去掉绝对值后，保留其等价性的不等式是 a f ( x) a 。
② f (x) a(a 0) , 去掉绝对值后，保留其等价性的不等式是 f (x) a或f (x) a 。
③ 2 2f (x) g(x) f (x)g (x)。
（2）利用零点分段法解含多绝对值不等式：①找到使多个绝对值等于零的点．②分区间讨论，去掉绝对值而解不等式．一般地n 个零点把数轴分为n＋1 段进行讨论．③将分段求得解集，再求它们的并集．例1. 求不等式3x 5 4的解集例2. 求不等式2x 1 5的解集例3. 求不等式x 3 x 2 的解集例4. 求不等式| x＋2| ＋| x－1| ＞3 的解集．1例5. 解不等式| x－1| ＋|2 －x| ＞3－x．例6. 已知关于x 的不等式| x－5| ＋| x－3| ＜a 有解，求 a 的取值范围．练习解下列含有绝对值的不等式：（1）x 1 x 3 ＞4+x（2）| x+1|<| x－2|（3）| x－1|+|2 x+1|<4（4）3x 2 7(5) 5x 7 83、因式分解乘法公式（1）平方差公式 2 2(a b)( a b) a b（2）完全平方公式 2 2 2(a b) a 2ab b（3）立方和公式 2 2 3 3(a b)(a ab b ) a b（4）立方差公式 2 2 3 3(a b)(a ab b ) a b（5）三数和平方公式 2 2 2 2(a b c) a b c 2(ab bc ac)（6）两数和立方公式 3 3 2 2 3(a b) a 3a b 3ab b2（7）两数差立方公式 3 3 2 2 3(a b) a 3a b 3ab b因式分解的主要方法有：十字相乘法、提取公因式法、公式法、分组分解法，另外还应了解求根法及待定系数法．1．十字相乘法例1 分解因式：2（1）x －3x＋2；（2）26x 7x 2（3） 2 ( ) 2x a b xy aby ；（4）xy 1 x y ．2．提取公因式法例2. 分解因式：2 （2）x3 9 3x2 3x （1）ab 5 a 5 b3．公式法例3. 分解因式：（1）a4 16 （2） 23x 2y x y2 4．分组分解法2例4. （1）x xy 3y 3x （2）2 22x xy y 4x 5y 65．关于x 的二次三项式ax2+bx+c( a≠0) 的因式分解．若关于x 的方程 2 0( 0)ax bx c a 的两个实数根是x1 、x2 ，则二次三项式2 ( 0)ax bx c a 就可分解为a(x x )(x x ).1 2例5. 把下列关于x 的二次多项式分解因式：（1） 2 2 1x x ；（2）2 4 4 2 x xy y ．3练习 （1） 25 6xx （2） 21 x ax a（3） 2 11 18xx （4）24m 12m 9（5）25 7x 6x（6） 2212xxy 6y2q p （ 7） 6 2p q 1123（ 8 ）35a 2b 6ab2a（ 9 ）24 2 4 xx2（10） x 42x 2 1 （11） x 2 y 2 a 2 b 2 2ax 2by（12） a 24ab 4b 2 6a 12b 9(13) x 2－2x －1（14） 31a；（15）4 24x 13x 9 ；（16）2 22 2 2b cab ac bc ；（17）2 23x 5xy 2y x 9y 4第二讲 一元二次方程与二次函数的关系1、一元二次方程 (1) 根的判别式2对于一元二次方程 ax ＋bx ＋c ＝0（a ≠0），有:（1） 当Δ＞0 时，方程有两个不相等的实数根x 1，2＝，2＝24 bbac 2a；（2）当 Δ＝0 时，方程有两个相等的实数根 x 1＝x 2＝－ b 2a；（3）当 Δ＜0 时，方程没有实数根． (2) 根与系数的关系（韦达定理）2如果 ax ＋bx ＋c ＝0（a ≠0）的两根分别是 x 1，x 2，那么 x 1＋x 2＝b a ，x 1· x 2＝c a．这一关系也被称为韦达 定理．2、二次函数2y ax bx c 的性质1. 当 a 0 时，抛物线开口向上，对称轴为xb 2a，顶点坐标为 2b4ac b ， 。
小升初数学课程：第一讲 数与式的认识
第一讲数与式一、知识梳理第一部分数的意义、分类与性质一、数的意义和分类1、数的意义（1）自然数：0、1、2、3、4……都是自然数.可以表示物体的个数或次数.自然数的个数是无限的,最小的自然数是0,没有最大的自然数.（2）0：一个物体也没有,用0表示.0是最小的自然数.0还有其他多种用法,在写数记数中,可以用0来占位；在测量活动中,用0表示起点；在相反意义量的记录中,用0作分界点.负数：比0小的数是负数,比0大的数是正数.0既不是正数,也不是负数.（4）小数：分母是10、100、1000……的分数可以写成小数.（5）分数：把单位“1”平均分成若干份,表示这样的一份或几份的数叫做分数.两个数相除的商可以用分数表示.把单位“1”平均分成若干份,表示这样的一份的数叫做分数单位.（6）百分数：表示一个数是另一个数的百分之几的数叫做百分数.百分数又叫做百分比或百分率.百分数是一种特殊的分数.二、数的联系1、整数与小数：整数和小数在计数方法上是一致的,都是用十进制计数法记录的.整数可以根据小数的基本性质改写成小数.2、小数与分数：小数就是分母是10、100、1000……的十进分数,小数是特殊的分数.3、分数与百分数：百分数虽然在形式上与分数是类似的,但在意义上有明显的不同.百分数只能表示一个数是另一个数的百分之几,所以也叫做百分比（百分率）,而分数不仅可以表示一个数是另一个数的几分之几,也可以用来表示一个具体的数量.4、正数与负数：以0为分界点,比0大的数就是正数,比0小的数就是负数.正数可以有正整数、正分数；负数可以有负整数、负分数.0既不是正数,也不是负数.三、数的性质1、整除（1）整除与除尽整除：整数a除以整数b(b≠0),除得的商是整数而没有余数,我们就说数a能被数b整除,或数b能整除a..除尽：数a除以数b(b≠0),除得的商是整数或是有限小数,这就叫做除尽.整除是除尽的一种特殊情况,整除也可以说是除尽,但除尽不一定是整除.（2）因数和倍数如果数a能被数b整除(b≠0),a就叫做b的倍数,b就叫做a的因数.倍数：一个数的倍数的个数是无限的,其中最小的倍数是它本身,没有最大的倍数.因数：一个数的因数的个数是有限的,其中最小的约数是1,最大的约数是它本身.因数和倍数是相互依存的（3）能被2.3.5整除的数的特征能被2整除的数的特征：个位上是0,2,4,6,8,:能被3整除的数的特征：个位上是0或5能被5整除的数的特征：各个位上的数字的和能被3整除能同时被2、5整除的数的特征：个位是0能同时被2、3、5整除的数的特征：个位是0,而且各个位上的数字的和能被3整除.（4）偶数和奇数一个自然数,不是奇数就是偶数偶数：能被2整除的数.最小的偶数是0奇数：不能被2整除的数.最小的奇数是1.（5）质数和合数质数（素数）：只有1和它本身两个因数.最小的质数是2.合数：除了1和它本身还有别的因数.最小的合数是4.1：既不是质数也不是合数一个自然数根据因数的个数,可以分为1、质数和合数.（6）最大公约数和最小公倍数公约数,最大公约数: 几个数公有的约数,叫做这几个数的公约数;其中最大的一个叫做这几个数的最大公约数.公倍数,最小公倍数: 几个数公有的倍数,叫做这几个数的公倍数,其中最小的一个叫做这几个数的最小公倍数.互质数: 公约数只有1的两个数叫做互质数.互质数的几种特殊情况：①两个数都是质数,这两个数一定互质.②相邻的两个数互质.③1和任何数都互质.求最大公约数和最小公倍数①如果较小数是较大数的因数,那么较小数就是这两个数的最大公约数;较大数就是这两个数的最小公倍数.②如果两个数互质,它们的最大公因数就是1;最小公倍数就是它们的积.③一般情况：可以根据最大公因数和最小公倍数的意义去找,也可以利用短除法去找.2、小数的基本性质：小数的末尾添上0或去掉0,小数的大小不变.根据小数的基本性质,可以化简小数、根据需要把整数或小数改写成指定的几位小数.3、分数的基本性质：分数的分子和分母都乘或除以一个相同的数（0除外）,分数的大小不变.根据分数的基本性质,可以化简分数和通分.第二部分式与方程一、用字母表示数1、用字母表示数的意义①用字母不仅可以表示未知数,还可以表示已知量；不仅可以表示特定的数,还可以表示一定范围内变化着的数.②含有字母的式子可以看作数量间的关系,也可以看做运算的结果.2、用字母表示数的规则3、①数字与字母、字母与字母相乘时,乘号可以记作“·”,或者省略不写,数字要写在字母的前面.②当1与任何字母相乘时,1省略不写.③在一个问题中,不同的量用不同的字母来表示,而不能用同一个字母表示.④用含有字母的式子表示问题的答案时,除法结果一般要写成分数形式；如果式子中有加、减、乘、除运算时,要先进行适当的运算,再用括号把含有字母的式子括起来,并在括号后面写上单位名称.⑤具体问题中,字母表示的数总是有一定范围的.3、用字母表示常见的数量关系如路程、速度和时间的关系（s、v、t）和总价、单价和数量的关系（a、b、c）等4、用字母表示运算定律和运算性质加法交换律、结合律；乘法交换律、结合律和分配律等5、用字母表示几何图形的周长、面积、体积计算公式.二、简易方程1、方程和等式等式：表示相等关系的式子叫做等式.方程：含有未知数的等式叫做方程.2、解方程.解方程：求方程中未知数的值的过程叫做解方程.解方程的依据：等式的性质.①等式两边同时加上或减去同一个数,所得结果仍然是等式.②等式两边同时乘或除以同一个不等于0的数,所得结果仍然是等式.3、列方程法解决问题的一般步骤①弄清题意,确定未知数并用x表示（也可以用其他字母表示）.②找出题中的数量之间的相等关系.③列方程,解方程.④检查或验算,写出答案.二、例题精讲例1：如果把平均成绩记为0分,＋12分表示比平均成绩（12）,－25分表示（比零少25分）,比平均成绩少6分,记作（-6）.解析：此题是对负数的概念的理解及掌握,以0为分界点,比0大的数就是正数,比0小的数就是负数.变式1：某班学生平均成绩为89分,如果把平均成绩记作0分,小明得了92分应记作（+3分）,小军得了86分应记作（-3分）,小兰得了95分应记作（+6分）.变式2：如果把公交车上车人数记作正数,下车人数记作负数,公交车经过第一、二、三、四站时分别记作+3、-4、+5、-3、+2,问公交车过了第四站后车上的人数比原来的人数多了还是少了？为什么？解：（3+5+2）-（4+3）= 10-7=3（人）答：公交车过了第四站后车上的人数比原来的人数多了3人.例2：由5个十分之一,7个千分之一组成一个小数,这个小数是（ 0.57 ）,18个10和25个0.01组成的数是（180.25）.解析：主要是对小数的定义的运用,小数就是分母是10、100、1000……的十进分数,小数是特殊的分数变式1：2个十、3个十分之一和5个千分之一组成的数是（20.35 ）,读作（二十点三五）. 变式2：一个数的十位上是3,十分位上是3,千分位上是8,其余各位上都是0,这个数是（ 30.38 ）.例3：1. 某小学参加课外小组的同学有100人,参加各个小组的人数如下表.解析：百分数的定义应用,表示一个数是另一个数的百分之几的数叫做百分数.百分数又叫做百分比或百分率.变式1：我们学校进行团体操表演,女生人数占55%.（1）如果有100人参加表演,女生有（ 55 ）人,男生有（ 45 ）人.（2）如果有200人参加表演,女生有（ 110 ）人,男生有（ 90 ）人.（3）如果女生有220人参加表演,男生有（ 180 ）人参加表演.变式2：说一说下面这些百分数的意义.（1）一件毛衣, 100%是山羊绒.答：100%是指山羊绒占整件毛衣总量的百分之一百.（2）空气中氧气体积约占20%.答： 20%是指氧气体积占空气体积总量的百分之二十.（3）我校女教师人数约占全校总人数的150%.答： 150%是指我校女教师人数约占全校总人数的百分之一百五十.（4）一种黄酒的酒精度12.1%.答： 12.1%是指酒精占这种黄酒总量的百分之十二点一.例4：试一试.(1)比x多5的数是(x+5)；x的6倍是(6x)；比x的7倍多4的数是(7x+4).(2)小华买8本书,每本x元,付出45元,应找回(45-8x)元.解析：把x看作已知数,搞清x与数的关系用运算符号连起来,特别注意x与数相乘时数要写在字母前,而且数与字母中间的乘号省略不写.变式1：用字母式子表示下面的数1、一本书X元,买10本同样的书应付多少元？答：10x2、搭一个正方形要4根小棒,搭n个正方形要多少根小棒？答：4n3、仓库里有一批水泥,运走5车,每车n吨,一共运了多少吨水泥？答：5n变式2：用字母式子表示下面的数量关系1、 从100里减去a 加上b 的和.2、x 除以5的商加上n.答：100-a+b 答：x ÷5+n3、320减去12的m 倍的差.4、80加上b 的和乘以5.答：320-12m 答：（80+b ）×5例5：解方程X － 27 X=43 2X + 25 = 35 70%X + 20%X = 3.6 解： 4375=x 解： 2x=5253- 解： 0.7x+0.2x=3.6 7543÷=x 2x=51 0.9x=3.6 2011=x x=101 x=4 解析：解方程的依据：等式的性质.① 等式两边同时加上或减去同一个数,所得结果仍然是等式.② 等式两边同时乘或除以同一个不等于0的数,所得结果仍然是等式.变式1：解方程X ×53=20×41 25% + 10X = 54 X - 15%X = 68 解：x=534120÷⨯解：0.25+10x=0.8 解：x-203x=68 X=535⨯10x=0.8+0.25 2017x=68 X=318 X=0.105 x=80 变式2：解方程X ＋83X ＝121 5X －3×215＝75 32X ÷41＝1 解： 121811=x 解： 5x-75=75 解： 41132⨯=x X=121811÷ 5x=710 x=3241÷X=88 x=72 x=83 例6：鸡兔共笼,鸡比兔多25只,一共有脚170只,鸡兔各有几只？（用列方程的方法解答)解：设兔子有x 只,则鸡有x+25只4x+2（x+25）=1704x+2x+50=1706x=120X=20鸡的只数：20+25=45（只）答：笼中鸡有45只,兔子有20只.解析：列方程法解决问题的一般步骤①弄清题意,确定未知数并用x 表示（也可以用其他字母表示）.②找出题中的数量之间的相等关系.③列方程,解方程.④检查或验算,写出答案.设兔子有x 只,则鸡有x+25只,鸡的脚的只数加上兔子的脚的只数等于170只,列出方程4x+2（x+25）=170解出x 即可.变式1：鸡兔同笼,共52只,鸡的脚比兔的脚多32,问鸡兔各几只？（用列方程的方法解答) 解：设鸡有x 只,则兔子有52-x 只2x-4（52-x)=322x-208+4x=326x=240X=40 兔子的只数：52-40=12（只）答：鸡有40只,兔子有12只.变式2：今有鸡、兔共居一笼,已知鸡头和兔头共35个,鸡腿和兔腿共94只,问鸡兔各多少只？（用列方程的方法解答)解：设兔子有x 只,则鸡有35-x 只4x+2（35-x ）=944x+70-2x=942x=94-70x=12鸡的只数：35-12=23（只）答：鸡有23只,兔子有12只.三、课堂总结1、或根据题意正确用字母表达式,找出字母与数之间的关系；2、能解复杂的方程,正确找出应用题中的等量关系,列方程并解方程.四、课后作业1、在足球比赛中会出现2:0的情况,说明我的比的后项可以为0 ,这种说法对吗？为什么？ 答：错,比的后项不能为0,比是指两个数相除,除数不能为0,比赛中的2:0是表示足球比赛的进行情况,清楚的反应比赛的进度.2、一根绳子分成两段,第一段为83米,第二段为83,问这两段绳子哪段长？ （ A ） A 、第一段长 B 、第二段长C 、两段一样长D 、无法比较3、两段绳子,第一段剪下83米,第二段剪下83,问剪下的两段绳子哪段长？ （ D ) A 、第一段长 B 、第二段长C 、两段一样长D 、无法比较4、甲仓存粮32吨,乙仓存粮57吨,以后甲仓每天存人4吨,乙仓每天存人9吨．几天后乙仓存粮是甲仓的2倍?解：设X 天后,乙仓存粮是甲仓的2倍（32+4X ）×2=57+9X64+8x=57+9xX=7答：7 天后乙仓存粮是甲仓的2倍.5、一把直尺和一把小刀共1.9元,4把直尺和6把小刀共9元,每把直尺和每把小刀各多少元?解：设直尺每把x 元,小刀每把就是(1.9-x)元4X+6×(1.9-X)=94x+11.4-6x=92.4=2xX=1.2小刀：1.9-1.2=0.7（元）答：一把小刀0.7元,一把直尺1.2元.6、甲、乙两个粮仓存粮数相等,从甲仓运出130吨、从乙仓运出230吨后,甲粮仓剩粮是乙粮仓剩粮的3倍,原来每个粮仓各存粮多少吨?解：设原来每个粮仓各存粮X吨X-130=（X-230）×3X-130=3x-690690-130=3x-x560=2xX=280答：原来每个粮仓各存280吨.。
九年级(上册)数学讲义全
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目录
1. 第一单元：数与式
2. 第二单元：一元一次方程与一元二次方程
3. 第三单元：图形与运动
4. 第四单元：图形的计算
5. 第五单元：统计与概率
第一单元：数与式
本单元主要介绍数与式的基本概念和运算方法。
学生将研究整数、有理数、实数等数的性质及运算法则，了解数与式在数学中的重要性。
第二单元：一元一次方程与一元二次方程
本单元重点研究一元一次方程和一元二次方程的解法和应用。
学生将掌握解一元一次方程的几何意义和解一元二次方程的方法，培养解实际问题的能力。
第三单元：图形与运动
本单元以平面图形和立体图形为主题，介绍图形的基本性质和
运动的概念。
学生将研究图形的特征、分类以及图形间的运动变化，提升几何思维能力。
第四单元：图形的计算
本单元主要介绍图形的计算方法。
学生将研究图形的面积、周长、体积等计算公式，掌握应用这些公式解决实际问题的技巧。
第五单元：统计与概率
本单元重点介绍统计与概率的基本概念和统计分析方法。
学生
将研究数据的收集、整理、描述和分析，了解概率的计算方法和应
用场景。
以上是九年级(上册)数学讲义的内容概要，通过学习这些知识，学生将能够全面提高数学素养，为进一步学习数学打下坚实的基础。
第一章数与式知识点归纳
第一章 数与式一、数的分类实数⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧负无理数正无理数无理数负分数正分数分数负整数零正整数整数有理数 或 实数⎪⎩⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎩⎨⎧负无理数负有理数负零正无理数正有理数正实数实数 其中：有理数(即可比数)即有限小数或无限循环小数；无理数即无限不循环小数。
二、 数轴（１）三要素：原点、正方向、单位长度。
（２）实数−−−→←一一对应数轴上的点。
（３）利用数轴可比较数的大小，理解实数及其相反数、绝对值等概念。
三、 绝对值（１）几何定义：数轴上，表示数a 的点与原点的距离叫做数a 的绝对值，记做a 。
（２）代数定义：a ＝⎪⎩⎪⎨⎧<-=>)0()0(0)0(a a a a a 四、 相反数、倒数 （１）a 、b 互为相反数⇔a ＋b ＝０（或a ＝－b ）；（２）a 、b 互为倒数⇔a ·b ＝１（或a ＝b1）。
五、几个非负数（１）a ≥０；（２）a 2≥０； （３）a ≥０（a ≥０）。
（４）若几个非负数之和为０，则这几个非负数也分别为０．六、（１）a n 叫做a 的n 次幂，其中，a 叫底数，n 叫指数。
（２）若x 2＝a （a ≥０），则x 叫做a 的平方根，记做±a ；算术平方根记做a 。
（３）若x 3＝a ，则x 叫做a 的立方根，记做3a 。
因此33)(a ＝a（４）算术平方根性质： ①（a ）2＝a （a ≥０）； ②2a ＝a ； ③b a ab =（a ≥０，b ≥０）； ④b a b a =（a ≥０，b ＞０）。
七、运算顺序：１．同 级：左→右 ２．不同级：高→低（先乘方和开方，再乘除，最后加减） ３． 有括号：里→外（先去小括号、再去中括号、最后去大括号）八、运算律：九、运算法则①加法法则：②减法法则：a －b ＝a ＋（－b ）③乘法法则：④除法法则：a ÷b ＝ a ×b或 十、a ＞０①(-a ) 2n +1 = - a 2n +1②(-a ) 2n = a 2n十一、有理式 （１）有理式⎪⎩⎪⎨⎧⎩⎨⎧分式项数次数多项式系数次数单项式 整式）、（）、（（２）乘法公式平 方 差：（a ＋b ）（a —b ）＝ a 2 － b 2 完全平方： （a ±b ）2 ＝a 2±２a b ＋ b 2 （３）分式的基本性质：b a ＝m b m a ⨯⨯（用于通分）＝mb m a ÷÷（用于约分）（m ≠0） 十二、整数指数幂（１） 零指数幂a ０＝１（a ≠0）；负指数幂a -n ＝n a 1（a ≠0，n 为正整数）； （２） 幂的乘方：①a m a n ＝a m +n （a ＞0，m 、n 为整数）；② (a m ) n ＝a m n （a ＞0，m 、n 为整数）；③ (ab ) n ＝a n b n （a ＞0，b ＞0，n 为整数）。
【初高中数学衔接】第一讲： 数与式
a 0 －a
2020年7月13日星期一
► 知识点三 实数的大小比较
• 1．利用数轴比较大小 • 因为数轴上右边的点表示的数总是比左边 的点表示的数大，所以负数 ___小_于___0,0__小__于___正数，负数___小_于___正数． • 2．利用绝对值比较大小 • 两个正数比较大小，绝对值大的较 ___大_____； 两个负数比较大小，绝对值大的 反而____小____．
2020年7月13日星期一
• (2)减法：减去一个数等于加上这个数的相 反数． • (3)乘法：两数相乘，同号得正，异号得负， 再将两数的绝对值相乘．任何数同0相乘，仍 得0.如(－2)×3＝－(2×3)＝___－_6____. • (4)除法：除以一个不为0的数，等于乘以 这个数的倒数．
2020年7月13日星期一
3)
3(2 22
3) 3
6
3
3,
(2)原式= a b a 2b ab2 .
ab
ab
(3)原式=2 2 x x x2 2 2 2 x 22
2x x x 2 2x 3 2x x x.
2020年7月13日星期一
2020年7月13日星期一
解 : 原式
(x
x2 3x 9 3)( x 2 3 x 9)
(2)
(
p
1
4q
3
8
)
8.
解 : (1)
21
11
(2a 3b 2 )( 6a 2b 3 )
15
( 3a 6b6 )
4a 2 1 32
b 1 1 1 5 6 236
4ab
0
4a,
(2)
(
p q ) 1 4
数与式_精品文档
第一讲 数与式（2）学习目标1、 掌握各种乘法公式的书写，并会灵活运用。
2、 熟悉因式分解的一般步骤。
3、 掌握十字相乘法学习过程 一、 知识方法归纳 1、 乘法公式：1) 平方差公式： 2) 完全平方公式： 3) 立方和公式： 4) 立方差公式： 5) 三数和平方公式： 6) 两数和立方公式：2、分解因式：把一个多项式化成 ，这种变形叫做把这个多项式分解因式。
也叫 。
例如：3ax+3bx= 因式分解是对多项式进行的一种恒等变形，是整式乘法的逆过程。
3、因式分解的方法 1）提公因式法：①定义：如果多项式的各项有 ，可以把这个公因式提到 ，将多项式写成 的形式，这个变形就是提公因式法分解因式。
公因式：多项式的各项都含有的 。
公因式可以是一个数字或字母，也可以是一个单项式或多项式。
系数:取各项系数的最大公约数（什么是最大公约数？如何求最大公约数？） 字母:取各项都含有的字母 指数:取相同字母的最低次幂例如：123a 3b c +6422a b c —8323a b c 的公因式是 。
②提公因式的步骤 第一步：找出公因式；第二步：提公因式并确定另一个因式，提公因式时，可用原多项式除以公因式，所得商即是提公因式后剩下的另一个因式。
注意：提取公因式后，对另一个因式要注意整理并化简，务必使因式最简。
多项式中第一项有负号的，要先提取符号。
例1、把—122a b —182ab —2433a b 分解因式.例2、把多项式3（x-4）+x(4-x)分解因式（2）运用公式法定义：把乘法公式反过来用，就可以用来把某些多项式分解因式，这种分解因式的方法叫做运用公式法。
逆用平方差公式:逆用完全平方公式： 注意：①公式中的字母可代表一个数、一个单项式或一个多项式。
②选择使用公式的方法：主要从项数上看，若多项式是二项式可考虑平方公式；若多项式是三项式，可考虑完全平方公式。
例如：因式分解2a -14a+494、 十字相乘法：首项系数为一的二次多项式2()()()x p q x pq x p x q +++=++方法：常数项分成p 和q ， p+q 为一次项系数xxp q例如：230x x --二、当堂测试1.分解因式4353x x x ++2.分解因式：2m n n -= _______ ．3.因式分解2310x x +-4．分解因式：(1)=-a a 422；(2)269a a -+=5.已知ab= -1,a+b=2，则式子b a a b +=。
第一讲 数与式
第一讲 数与式一、学习指引1.知识要点（1）运算与运用（2）数的规律探究（3）新背景下的数的运算 （4）整式、分式、二次根式（5）代数式的值 2.方法指导（1）巧算要注意算式的特点，运用运算律适当更换次序，使计算简便，平时要不断归纳拆、拼、凑整、交换等运算技巧.（2）数的规律探究主要是解题的过程中去找出内在的规律（3）解决定义新运算的问题，关键是通过新运算的定义，将新运算转化为常规运算. （4）对于代数式的化简、求值，常用到的技巧有：①因式分解，对所给的条件、所求的代数式实施因式分解，达到化繁为简的目的； ②运算律，适当运用运算律，也有助于化简； ③换元、配方、待定系数法、倒数法等；④有时对含有根式的等式两边同时实施平方，也不失为一种有效的方法.二、典型例题例1.计算（1）99163135115131++++ （2）（21＋31＋……＋20021）（1＋21＋31＋……＋20011）－（1＋21＋31＋......＋20021）（21＋31＋ (20011)（3）设22211148()34441004A =⨯++---，则与A 最接近的正整数是（ ） A.18 B.20 C.24 D.25例2.（1）化简：22221369x y x y x y x xy y+--÷--+＝_______ ； (2)若x 2－2y ＋6x ＋10＋y 2=0,则223442xyy x x yx +--=__________；(3)已知)0,0(02>>=+-y x y xy x ，则yxy x y xy x 4353-++-的值为 ( )A ．31 B ．21 C ．32D ．43(4)已知b a x -=c b y-=ac z -,那么x+y+z= ； (5)当x 依次取1，2，3， (2009)1 2， 1 3， 1 4，…， 1 2009时，代数式 x 21＋x 2的值的和等于 ；例3（1）将一些半径相同的小圆按如图所示的规律摆放：第1个图形有6个小圆，第2个图形有10个小圆，第3个图形有16个小圆，第4个图形有24个小圆，……，依次规律，第6个图形有 个小圆.（2）一串数1，1，1，2，2，3，4，5，7，9，12，16，21，……称为帕多瓦数列，请根据这个数列的一个规律，写出其中的第19个数是 ．（3）将正整数按如图所示的规律排列下去，若有序实数对（n ，m ）表示第n 排，从左到右第m 个数，如（4，2）表示9，则表示58的有序数对是（ ） A.（11，3） B.（3，11） C.（11，9） D.（9，11）(4)如图，是用棋子摆成的图案，摆第1个图案需要7枚棋子，摆第2个图案需要19枚棋子，摆第3个图案需要37枚棋子，按照这样的方式摆下去，则摆第6个图案需要 枚棋子，摆第n 个图案需要 枚棋子．第1个图形 第2个图形 第3个图形 第4个图形……图4例4（1）刘谦的魔术表演风靡全国，小明也学起了刘谦发明了一个魔术盒，当任意实数对（a ，b ）进入其中时，会得到一个新的实数：a 2+b -1，例如把（3，-2）放入其中，就会得到32+（-2）-1=6.现将实数对（m ，-2m ）放入其中，得到实数2，则m = ． (2)阅读材料，寻找共同存在的规律：有一个运算程序a ⊕b=n ，可以使：（a+c ）⊕b= n+c ，a ⊕（b+c ）=n －2c ，如果1⊕1=2，那么2010⊕2010 = ．(3)若f (x )=x +3，f 1 (x )=f (x )，f 2 (x )=f (f 1 (x ))，f 3 (x )=f (f 2 (x ))，…，f 2k +1 (x )=f (f k (x ))，则f 1 (1)+ f 2 (2)+ f 3 (3)+…+f 100 (100)=例5(1)电子跳蚤游戏盘是如图所示的△ABC ，AB =AC =BC =6．如果跳蚤开始时在BC 边的P 0处，BP 0=2．跳蚤第一步从P 0跳到AC 边的P 1（第1次落点）处，且CP 1= CP 0；第二步从P 1跳到AB 边的P 2（第2次落点）处，且AP 2= AP 1；第三步从P 2跳到BC 边的P 3（第3次落点）处，且BP 3= BP 2；…；跳蚤按照上述规则一直跳下去，第n 次落点为P n （n 为正整数），则点P 2009与点P 2010之间的距离为_________．(2)如图，在平面直角坐标系xOy 中，等腰梯形ABCD 的顶点坐标分别为A （1，1），B （2，－1），C （－2，－1），D （－1，1）．y 轴上一点P （0，2）绕点A 旋转180°得点P 1，点P 1绕点B 旋转180°得点P 2，点P 2绕点C 旋转180°得点P 3，点P 3绕点D 旋转180°得点P 4，……，重复操作依次得到点P 1，P 2，…， 则点P 2010的坐标是（ ）． A.（2010，2） B.（2010，2-） C.（2012，2-） D.（0，2）(3)在平面直角坐标系中，正方形ABCD 的位置如图所示，点A 的坐标为（1，0），点DA BCP 0 P 1P 2P 3第6(1)题图第6(2)题图的坐标为（0，2）．延长CB 交x 轴于点A 1，作正方形A 1B 1C 1C ；延长C 1B 1交x 轴于点A 2，作正方形A 2B 2C 2C 1…按这样的规律进行下去，第2010个正方形的面积为( ) A ．2009235⎪⎭⎫ ⎝⎛ B ．2010495⎪⎭⎫⎝⎛C ．2008495⎪⎭⎫ ⎝⎛ D ．4018235⎪⎭⎫⎝⎛(4)一个一次函数的图象与直线y ＝45x ＋495平行，与x 轴、y 轴的交点分别为A 、B ，并且过点（-1，-25），则在线段AB 上（包括点A 、B ），横、纵坐标都是整数的点有多少个？第6(3)题图4=1+3 9=3+616=6+10…第一讲 实数同步练习活动基地 班级 姓名【基础巩固】一、选择题1. 若的值为则2y-x 2,54,32==yx( )A.53 B.-2 C.553 D.562. 已知a －b=b －c=52，a 2＋b 2＋c 2=1则ab ＋bc ＋ca 的值等于 （ ） Ａ.2513 Ｂ.2512 Ｃ.53 Ｄ.523．古希腊著名的毕达哥拉斯学派把1、3、6、10… 这样的数称为“三角形数”，而把1、4、9、16…这样的数称为“正方形数”．从图中可以发现，任何一个大于1的“正方形数”都可以看作两个相邻 “三角形数”之和．下列等式中，符 合这一规律的是（ ） A ．13 = 3+10B ．25 = 9+16C ．36 = 15+21D ．49 = 18+314．观察以下数组：（1），（3、5），（7、9、11），（13、15、17、19），…问2009在第（ ）组．Ａ．44 Ｂ． 45 Ｃ．46 Ｄ．47 5．若将代数式中的任意两个字母交换，代数式不变，则称这个代数式为完全对称式．．．．．，如a b c ++就是完全对称式.下列三个代数式：①2)(b a -；②ab bc ca ++；③222a b b c c a ++．其中是完全对称式的是( )A ．①②B ．①③C ． ②③D ．①②③6．某校数学课外小组，在坐标纸上为学校的一块空地设计植树方案如下：第k 棵树种植在点)(k k k y x P ，处，其中11=x ，11=y ，当k ≥2时，⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧---+=----+=--]52[]51[])52[]51([5111k k y y k k x x k k k k ，[a ]表示非负实数a 的整数部分，例如[2.6]=2，[0.2]=0.按此方案，第2009棵树种植点的坐标为A.（5，2009）B.（6，2010）C.（3，401）D.（4，402） 7.下面是按一定规律排列的一列数：第1个数：11122-⎛⎫-+ ⎪⎝⎭；第2个数：2311(1)(1)1113234⎛⎫⎛⎫---⎛⎫-+++ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭； 第3个数：234511(1)(1)(1)(1)11111423456⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-----⎛⎫-+++++ ⎪⎪⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭； ……第n 个数：232111(1)(1)(1)111112342n n n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫----⎛⎫-++++ ⎪⎪⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭．那么，在第10个数、第11个数、第12个数、第13个数中，最大的数是 （ ）A ．第10个数B ．第11个数C ．第12个数D ．第13个数二、填空题8.观察下表，回答问题：第 个图形中“△”的个数是“○”的个数的5倍9.如图（1），已知小正方形ABCD 的面积为1，把它的各边延长一倍得到新正方形A 1B 1C 1D 1；把正方形A 1B 1C 1D 1边长按原法延长一倍得到正方形A 2B 2C 2D 2（如图（2））；以此下去···，则正方形A 4B 4C 4D 4的面积为__________,正方形A n B n C n D n 的面积为__________．第9题图（1） A 1B 1C 1D 1 A B C D D 2 A 2 B 2C 2D 1 C 1B 1A 1 ABCD 第9题图（2）10.已知21(123...)(1)n a n n ==+，，，，记112(1)b a =-，2122(1)(1)b a a =--，…，122(1)(1)...(1)n n b a a a =---，则通过计算推测出n b 的表达式n b ＝_______．11．已知25350x x --=，则22152525x x x x --=-- ． 12.正方形A 1B 1C 1O ，A 2B 2C 2C 1，A 3B 3C 3C 2和点C 1，C 2，C 3，…分别在直线y kx b =+(k ＞0)和x 轴上， 已知点B 1(1，1)，B 2(3，2)， 则B n 的坐标是______________．三、解答题13.已知0|2|1=-+-xy x ，求)2009)(2009(1)1)(1(11+++++++y x y x xy 的值.14.若4x －3y －6z=0,x+2y －7z=0 (xyz ≠0),求代数式222222103225zy x z y x ---+的值.【能力拓展】15.对任意实数x 、y ，定义运算x *y 为x *y=ax+by+cxy 其中a 、b 、c 为常数，等式右端运算是通常的实数的加法和乘法．现已知1*2=3，2*3=4，并且有一个非零实数d ，使得对于任意实数x,都有x *d=x ，求d 的值．16.类比学习：一动点沿着数轴向右平移3个单位，再向左平移2个单位，相当于向右平移1个单位．用实数加法表示为 3+（2-）=1．若坐标平面上的点作如下平移：沿x 轴方向平移的数量为a （向右为正，向左为负，平移a 个单位），沿y 轴方向平移的数量为b （向上为正，向下为负，平移b 个单位），则把有序数对{a ，b }叫做这一平移的“平移量”；“平移量”{a ，b }与“平移量”{c ，d }的加法运算法则为}{}{}{d b c a d c b a ++=+，，，． 解决问题：（1）计算：{3，1}+{1，2}；{1，2}+{3，1}．（2）①动点P 从坐标原点O 出发，先按照“平移量”{3，1}平移到A ，再按照“平移量”{1，2}平移到B ；若先把动点P 按照“平移量”{1，2}平移到C ，再按照“平移量” {3，1}平移，最后的位置还是点B 吗? 在图1中画出四边形OABC . ②证明四边形OABC 是平行四边形.（3）如图2，一艘船从码头O 出发，先航行到湖心岛码头P （2，3），再从码头P 航行到码头Q （5，5），最后回到出发点O . 请用“平移量”加法算式表示它的航行过程．（第22图1。
第一讲数与式(初高中衔接教材)
第一讲 数与式在初中，我们已学习了实数，知道字母能够表示数，用代数式也能够表示数，我们把实数和代数式简称为数与式． 代数式中有整式 （多项式、 单项式） 、分式、 根式．它们拥有实数的属性， 能够进行运算． 在多项式的乘法运算中，我们学习了乘法公式（平方差公式与完整平方公式），而且知道乘法公式能够使多项式的运算简易．因为在高中学习中还会碰到更复杂的多项式乘法运算，所以本节中将拓展乘法公式的内容，增补三个数和的完整平方公式、立方和、立方差公式．在根式的运算中，我们已学过被开方数是实数的根式运算，而在高中数学学习中，常常会接触到被开方数是字母的情况，但在初中却没有波及，所以本节中要增补．鉴于相同的原由，还要增补“繁分式”等相关内容．一、乘法公式【公式 1】平方差公式： a 2b 2(a b)( a b)【公式 2】完整平方公式： ( a b) 2a 2 2ab b 2【公式 3】完整立方公式： ( a b)3a 3 3a 2b 3ab 2b 3【公式 4】 ( a b c) 2a 2b 2c 2 2ab 2bc 2ca （完整平方公式 ）证明 ：(a b c) 2[( a b) c]2(a b) 22( a b)c c 2a 2 2ab b 22ac 2bc c 2 a2b 2c 2 2ab 2bc 2ca . 等式建立【例 1】计算： ( x 22x 1 )23 1] 2 解：原式 =[ x 2( 2x)3(x 2 )2 (2x)2 ( 1 )2 2x 2 ( 2) x2x 2 1 2 1 (2x)33 3x 4 2 2x 38 x 22 2 x 1 .33 9说明 ：多项式乘法的结果一般是按某个字母的降幂或升幂摆列．【公式 5】 ( a b)(a 2ab b 2 ) a 3 b 3 ( 立方和公式 )证明 : (a b)(a 2 ab b 2 ) a 3 a 2 b ab 2 a 2b ab 2b 3a 3b 3 .【公式 6】 ( a b)(a 2ab b 2 ) a 3 b 3 ( 立方差公式 )证明 ： (a b)( a 2 ab b 2 ) [ a ( b)][ a 2a( b) ( b)2 ] a 3 ( b)3a 3b 3 .【例 2】计算：（1） (4m )(16 42 )1 1 1 21 1 2)m m（ 2） ( mn)( mmn4 n52 2510（ 3） (a 2)(a2)(a 44a 2 16) （ 4） ( x22xy y 2 )( x2xy y 2 ) 2解：（ 1）原式 = 43m 364m 3 .（ 2）原式 = ( 1m)3( 1n) 3 1 m3 1 n 3.5 2 125 8（ 3）原式 = (a 2 4)(a 4 4a 2 42 ) (a 2 )3 43 a 664 .（ 4）原式 = ( xy) 2 ( x 2 xy y 2 ) 2[( x y)( x 2 xy y 2 )] 2( x 3 y 3 ) 2 x 6 2x 3 y 3 y 6 .说明 ：在进行代数式的乘法、除法运算时，要察看代数式的构造能否知足乘法公式的构造． 【例 3】已知 x 23x1 0 ，求 x 31 的值．x 3 1解：Q x 23x 1 0x 0 x 3x原式 = ( x 1 21 1 (x 1 12 3] 3(3 23) 18)( x x 2) )[( x )xx x说明 ：此题若先从方程 x 2 3x 1 0 中解出 x 的值后，再代入代数式求值，则计算较烦．此题则依据条件 式与求值式的联系，用整体代换的方法计算，简化了计算．引申 ： a 3 b 3 c 3 3 ( a b c )( a 2 b 2 c 2ab bc ca )abc二、指数式当 nN 时， a n a aa .n 个 a当 nQ 时，⑴零指数 a 01(a 0) ， ⑵负指数 a n1n (a 0) .na⑶分数指数 a m m a n(a0, m, n 为正整数 ).幂运算法例： (1) m a n a m n,(2)( a m ) na mn,(3)( ab ) nnb n( ,0, ,).aaa bm n Z2116 ) 3 【例 4】求以下各式的值：8 3 ， 100 2 ， ( 4812223 22211 11； (3解: 83 (23) 3 34；100 21 1 16) 4100 2 (102) 210814( 2)343 42 3 33 27．33238 【例 5】计算以下各式21111513⑴ (2a3b 2)( 6a 2b 3) ( 3a 6b 6) ； ⑵ ( p 4q 8)8．211 1 ( 1 52 1 1 1 1 5 4ab4a解:⑴(2a 3b 2 )( 6a 2 b 3 ) 3a 6 b 6 ) 4a3 2 6b236；1313p 2q 3 p2⑵ ( p 4 q 8 ) 8 ( p 4 ) 8 ( q 8 )8 3．q三、根式式子 a (a0) 叫做二次根式，其性质以下：(1) ( a )2a( a 0)(2) a 2 | a |(3) aba b(a 0, b0)(4)b b(a 0,b 0)假如有 x naaa ，那么 x 叫做 a 的 n 次方根，此中 n 为大于 1的整数．当 n 为奇数时， na na ，当 n 为偶数时， n a n | a |a, a 0 .a, a 0【例 6】化简以下各式 ：(1)( 3 2) 2( 3 1)2(2)(1 x) 2 (2 x) 2( x 1)解：(1)原式=| 32 | |3 1| 233 1 1(2) 原式 =| x 1|| x 2 |( x 1) (x 2) 2x 3 ( x 2)( x1) ( x 2)1 (1 x 2)说明 ：请注意性质 a 2| a | 的使用： 当化去绝对值符号但字母的范围未知时， 要对字母的取值分类议论．【例 7】计算 ( 没有特别说明，本节中出现的字母均为正数 ) ：(1)3(2)1 1(3) xx38x23a b22解：(1) 原式 =3(23)3(2 3) 3 33)(2 3) 22 6(23(2)aba 2bab 2原式 =abab(3) 原式 =22x x x 22 22 x2 xx x 2 2x 3 2x x x .2 2说明 ： (1) 二次根式的化简结果应知足：①被开方数的因数是整数，因式是整式；②被开方数不含能开得尽方的因数或因式．(2) 二次根式的化简常有种类有以下两种：①被开方数是整数或整式．化简时，先将它分解因数或因 式，而后把开得尽方的因数或因式开出来；②分母中有根式( 如3 ) 或被开方数有分母 ( 如 x) ．这时2 32 可将其化为a形式 ( 如x可化为x) ，转变为 “分母中有根式”的状况．化简时，要把分母中的根b22式化为有理式， 采纳分子、 分母同乘以一个根式进行化简．( 如3化为3(23)，此中2 333)(22 (23)与 2 3 叫做互为有理化因式 ) ．四、分式当分式 A的分子、分母中起码有一个是分式时，A就叫做 繁分式 ，繁分式的化简常用以下两种方法：BB(1) 利用除法法例； (2) 利用分式的基天性质．【例 8】化简x1 xx1xxxxxxx( x 1) x 1 解法一 ：原式 =(1 x) x x x 2x xx 2x1 xxx1 ( x 1)(x 1)xx 1x 2 x 1x解法二 ：原式 =x x xx( x1) x 1 x) x x(1 x)xx2x x x(1x1x1 x( xxx 2x 1)x说明 ：解法一的运算方法是从最内部的分式下手，采纳通分的方式逐渐脱掉繁分式，解法二则是利用分式的基天性质A A m进行化简．一般依据题目特色综合使用两种方法．B B m【例 9】化简x 2 3x 96xx 1x327 9 x x 362x解：原式 =x 2 3x 96xx 1 1 6x 13x 9) x(9 x 3 ) 2(3 x) x 3(x 3)(x 3)2( x 3)( x 3)(x 22( x 3) 12 (x 1)(x 3)( x 3)23 x2( x 3)(x 3) 2( x 3)(x 3) 2( x .3)说明 ：(1) 分式的乘除运算一般化为乘法进行， 当分子、 分母为多项式时， 应先因式分解再进行约分化简；(2) 分式的计算结果应是最简分式或整式．。
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第一讲数与式
作者：王宗俊
来源：《初中生·考试》2012年第05期
数与式的内容包括：实数的有关概念及其运算、代数式、整式、分式以及二次根式?郾在中考数学试卷中，一般有4~6道题，分值所占比例在10%~15%?郾现以2011年中考题为例，对这部分内容作归类解析?郾
考点1 正数、负数及其应用
例1 （2011年贵阳卷）如果“盈利10%”记为+10%，那么“亏损6%”记为（）?郾
A?郾 -16%?摇?摇 B?郾 -6%?摇?摇 C?郾 +6%?摇?摇 D?郾 +4%
分析：正数和负数可以表示一对相反意义的量，“盈利”和“亏损”是一对相反意义的量，既然盈利用正数表示，那么亏损就用负数来表示，后面的百分比的值不变，即-6%?郾选B?郾
温馨小提示：用正数和负数表示相反意义的量时，哪种意义为正，是可以任意选择的，但习惯上把“前进、上升、收入、零上温度等”规定为正，而把“后退、下降、支出、零下温度等”规定为负?郾
考点2 实数的分类
例2 （2011年滨州卷）在实数π、■、■、sin30°中，无理数的个数为（）.
A?郾 1?摇 B?郾 2?摇 C?郾 3 D?郾 4
解：sin30°=■，所以只有π和■是无理数?郾选B?郾
温馨小提示：一个实数不是有理数，就是无理数?郾而初中阶段常见的无理数有以下三种类型：
（1）带根号且开方开不尽的方根，如■、■等；
（2）像循环但是不循环的无限小数，如0?郾30300300030000…（两个3之间依次多一个0）；
（3）含有π的数，如2π，π+3，5π-1等?郾
考点3 相反数、倒数、绝对值
例3 （2011年益阳卷）-2的相反数是（）?郾
A?郾 2?摇?摇 B?郾 -2?摇?摇 C?郾■?摇?摇 D?郾-■
解：只有符号不同的两个数叫做互为相反数?郾选A?郾
例4 （2011年长沙卷）|-2|等于（）.
A?郾 2?摇?摇 B?郾 -2?摇?摇 C?郾■?摇?摇 D?郾 -■
解：选A?郾
例5 （2011年泰州卷）-3的倒数为（）?郾
A?郾 -3?摇?摇 B?郾■?摇?摇 C?郾 3?摇?摇 D?郾 -■
解：选D.
温馨小提示：相反数、倒数、绝对值是中考常见题.
考点4 近似数、有效数字与科学记数法
例6 （2011年北京卷）我国第六次全国人口普查数据显示，居住在城镇的人口总数达到665 575 306人?郾将665 575 306用科学记数法表示（保留三个有效数字）约为（）?郾
A?郾 66?郾6×107?摇?摇 B?郾 0?郾666×108?摇?摇 C?郾 6?郾66×108?摇?摇 D?郾 6?郾
66×107
解：665 575 306=6?郾655 753 06×108≈6?郾66×108?郾选C?郾
温馨小提示：科学记数法与近似数（有效数字的确定）是历年中考的热点，在确定a×10n 中n的值时，不要数错了整数位和0的个数?郾近年来将带单位（万、亿）的数改写成科学记数法的题比较常见. 当近似数所要保留的数位较大时，一般先写成科学记数法的形式，然后再按要求取近似值?郾
考点5 数轴及实数大小的比较
例7 （2011年贵阳卷）如图，矩形OABC的边OA长为2，边AB长为1，OA在数轴上，以原点O为圆心，对角线OB为半径画弧，交正半轴于一点，则这个点表示的实数是（）?郾
A?郾 2?郾5?摇?摇 B?郾2■?摇?摇
C?郾■?摇?摇 D?郾■
解：由勾股定理可知，OB=■=■. ∴选D?郾
温馨小提示：实数和数轴是一一对应的关系，比较实数大小的方法有两种：（1）利用数轴比较实数的大小时，在数轴上右边的数总比左边的数大；（2）根据数的性质比较大小时，正数都大于0，负数都小于0，两个正数比较，绝对值大的数大；两个负数比较大小，绝对值大的反而小?郾
考点6 平方根、算术平方根、立方根
例8 （2011年毕节卷）■的算术平方根是（）?郾
A?郾 4?摇?摇 B?郾 ±4?摇?摇 C?郾 2?摇?摇 D?郾 ±2
解：∵ ■=4，4的算术平方根是2?郾选C?郾
例9 （2011年河南卷）27的立方根是 ?郾
解：∵ 33=27，∴ 27的立方根是3?郾
温馨小提示：熟练掌握平方根、算术平方根、立方根的概念是解这类题的关键. 在例8中，谨防出现选A或B的错误.
考点7 实数的混合运算与估算
例10 （2011年桂林卷）计算：（■+1）0-2-1-■tan45°+ |-■|?郾
解：原式=1-■-■×1+■=■?郾
例11 （2011年徐州卷）估计■的值（）?郾
A?郾在2到3之间?摇?摇 B?郾在3到4之间
C?郾在4到5之间?摇?摇 D?郾在5到6之间
解：因为9＜（■）2＜16，故3＜■＜4?郾选B?郾
温馨小提示：实数的混合运算顺序是先乘方，再乘除，最后算加减，有括号先算括号里面的. 实数运算往往考查零指数幂、负整数指数幂、特殊角的三角函数值?郾零指数幂：a0=1
（a≠0），负整数指数幂：a-p=■（a≠0，p为正整数）?郾估算常常要利用完全平方数?郾
考点8 列代数式
例12 （2011年岳阳卷）将边长分别为■，2■，3■，4■，…的正方形的面积记作S1，
S2，S3，S4，…，计算S2-S1，S3-S2，S4-S3，…，若边长为n■（n为正整数）的正方形面积记作S■，根据你的计算结果，猜想Sn+1-Sn=?摇 ?郾
解：第n项的边长为n■，第n+1项的边长为（n+1）■，则Sn+1=2（n+1）2，Sn=2n2，则Sn+1-Sn=2（n+1）2-2n2=4n+2?郾
温馨小提示：解这类题，需要观察、归纳、验证才能得出结果?郾
考点9 整式的运算
例13 （2011年桂林卷）下列运算正确的是（）?郾
A?郾 3x2-2x2=x2?摇?摇 B?郾（-2a）2=-2a2
C?郾（a+b）2=a2+b2?摇?摇 D?郾 -2（a-1）=-2a-1
解：选A?郾
温馨小提示：灵活运用平方差公式、完全平方公式和整式的运算法则是解这类题的关键.
考点10 因式分解
例14 （2011年随州卷）分解因式8a2-2= ?郾
解：原式=8a2-2=2（4a2-1）=2（2a＋1）（2a-1）?郾
温馨小提示：分解因式的步骤是“一提二套”，若有公因式，先提取公因式，再套用公式分解，要分解到不能再分解为止?郾
考点11 分式的值为零与分式无意义
例15 （2011年杭州卷）已知分式■，当x=2时，分式无意义，则a= ；当a＜6时，使分式无意义的x的值共有个?郾
解：当x=2时，分式可化为■，当a-6=0，即a=6时，分式无意义；当x2-5x+a=0时，分式无意义，由于该方程?驻=25-4a，当a＜6时，?驻=25-4a＞0，所以可以取到两个x的值，使得x2-5x+a=0?郾
答案：6，2?郾
温馨小提示：分式有意义，则分母不等于0；分式无意义，则分母等于0；分式的值为0，则分子为0且分母不等于0?郾
考点12 非负数的性质
例16 （2011年达州卷）若■+b2+2b+1=0，则a2+■-|b|= ?郾
解：∵ ■+b2+2b+1=0，即■+（b+1）2=0，
∴ a2-3a+1=0，b+1=0.
∴ a+■=3，即a2+■=7，b=-1?郾
∴ a2+■-|b|=7-1=6?郾
温馨小提示：几个非负数的和为零，这几个数都为零?郾
考点13 分式的化简求值
例17 （2011年娄底卷）先化简：（■+■）÷■?郾再从1，2，3中选一个你认为合适的数作为a的值代入求值?郾
解：原式=■·■
=■·■=■?郾
∵ a≠1，a≠-1，a≠0，
∴在1，2，3中，a只能取2或3?郾
当a=2时，原式=■?郾当a=3时，原式=■?郾
注：在a=2，a=3中任选一个算对即可?郾
温馨小提示：化简分式，再选取合适的值代入时一定要注意分式有意义，不能取使分母等于0的值?郾■。