1.2.2二次根式浙教版数学八年级下册同步讲义知识梳理+经典例题+巩固练习+中考链接
浙教版初二数学下册知识点及典型例题.doc
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浙教版八年级下册知识点及典型例题第一章:二次根式1.二次根式:一般地,式子)0a (,a ≥叫做二次根式.注意:(1)若0a ≥这个条件不成立,则 a 不是二次根式;(2)a 是一个重要的非负数,即;a ≥0.2.重要公式:(1))0a (a )a (2≥=,(2)⎩⎨⎧<-≥==)0a (a )0a (a a a 2 ;注意使用)0a ()a (a 2≥=.3.积的算术平方根:)0b ,0a (b a ab ≥≥⋅=,积的算术平方根等于积中各因式的算术平方根的积;注意:本章中的公式,对字母的取值范围一般都有要求. 4.二次根式的乘法法则: )0b ,0a (ab b a ≥≥=⋅. 5.二次根式比较大小的方法: (1)利用近似值比大小;(2)把二次根式的系数移入二次根号内,然后比大小; (3)分别平方,然后比大小. 6.商的算术平方根:)0b ,0a (ba b a >≥=,商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根.7.二次根式的除法法则: (1))0b ,0a (bab a >≥=; (2))0b ,0a (b a b a >≥÷=÷;(3)分母有理化:化去分母中的根号叫做分母有理化;具体方法是:分式的分子与分母同乘分母的有理化因式,使分母变为整式. 8.常用分母有理化因式:aa 与,b a b a +-与,b n a m b n a m -+与,它们也叫互为有理化因式.9.最简二次根式:(1)满足下列两个条件的二次根式,叫做最简二次根式,① 被开方数的因数是整数,因式是整式,② 被开方数中不含能开的尽的因数或因式;(2)最简二次根式中,被开方数不能含有小数、分数,字母因式次数低于2,且不含分母;(3)化简二次根式时,往往需要把被开方数先分解因数或分解因式;(4)二次根式计算的最后结果必须化为最简二次根式.10.二次根式化简题的几种类型:(1)明显条件题;(2)隐含条件题;(3)讨论条件题.11.同类二次根式:几个二次根式化成最简二次根式后,如果被开方数相同,这几个二次根式叫做同类二次根式. 12.二次根式的混合运算:(1)二次根式的混合运算包括加、减、乘、除、乘方、开方六种代数运算,以前学过的,在有理数范围内的一切公式和运算律在二次根式的混合运算中都适用;(2)二次根式的运算一般要先把二次根式进行适当化简,例如:化为同类二次根式才能合并;除法运算有时转化为分母有理化或约分更为简便;使用乘法公式等.第二章:一元二次方程 1. 认识一元二次方程:概念:只含有一个未知数,并且可以化为20ax bx c ++= (,,a b c 为常数,0a ≠)的整式方程叫一元二次方程。
浙教版初中数学八年级下册二次根式全章复习与巩固(提高)知识讲解
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《二次根式》全章复习与巩固--知识讲解(提高)【学习目标】1、理解并掌握二次根式、最简二次根式、同类二次根式的定义和性质.2、熟练掌握二次根式的加、减、乘、除运算,会用它们进行有关实数的四则运算.3、了解代数式的概念,进一步体会代数式在表示数量关系方面的作用. 【知识网络】【要点梳理】知识点一、二次根式的相关概念和性质 1. 二次根式0)a ≥等式子,都叫做二次根式.要点诠释:有意义的条件是0a ≥,即只有被开方数0a ≥时,式子才有意义.2.二次根式的性质 (1); (2);(3).要点诠释:(1) 一个非负数a 可以写成它的算术平方根的平方的形式,即a 2=(0a ≥),如22212;;3x ===(0x ≥).(2)a 的取值范围可以是任意实数,即不论a .(3a ,再根据绝对值的意义来进行化简.(42的异同a 可以取任何实数,而2中的a 必须取非负数;a ,2=a (0a ≥).相同点:被开方数都是非负数,当a 2.3. 最简二次根式1)被开方数是整数或整式;2)被开方数中不含能开方的因数或因式.满足上述两个条件的二次根式,叫做最简二次根式.都是最简二次根式.要点诠释:最简二次根式有两个要求:(1)被开方数不含分母;(2)被开方数中每个因式的指数都小于根指数2. 4.同类二次根式几个二次根式化成最简二次根式后,被开方数相同,这几个二次根式就叫同类二次根式.要点诠释:判断是否是同类二次根式,一定要化简到最简二次根式后,看被开方数是否相同,再判断.显然是同类二次根式.知识点二、二次根式的运算 1. 乘除法(1)乘除法法则:类型 法则 逆用法则二次根式的乘法0,0)a b =≥≥积的算术平方根化简公式:0,0)a b =≥≥二次根式的除法0,0)a b=≥>商的算术平方根化简公式:0,0)a b =≥>要点诠释:(1)当二次根式的前面有系数时,可类比单项式与单项式相乘(或相除)的法则,如= (2)被开方数a 、b 一定是非负数(在分母上时只能为正数).如.2.加减法将二次根式化为最简二次根式后,将同类二次根式的系数相加减,被开方数和根指数不变,即合并同类二次根式.要点诠释:二次根式相加减时,要先将各个二次根式化成最简二次根式,再找出同类二=+-=次根式,最后合并同类二次根式.(13【典型例题】类型一、二次根式的概念与性质1. x是怎样的实数时,下列各式在实数范围内有意义?(1); (2).【答案】(1);(2).【解析】(1) 要使在实数范围内有意义,则必有∴当时,在实数范围内有意义;(2) 要使在实数范围内有意义,则必有∴当时,在实数范围内有意义;a≥才是二次根【总结升华】本例考查了二次根式成立的条件,要牢记,只有0式.举一反三:【变式】已知,求的值.【答案】根据二次根式的意义有将代入已知等式得2.(2016•柘城县校级一模)把-中根号外的因式移到根号内的结果是( ).A B . C . D 【答案】A.【解析】由二次根式的意义知10a-> ,则0a <-==.【总结升华】反过来将根号外的因式移到根号内时,也必须向里移非负数。
浙教版八下数学知识点(完整版)
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浙教版八年级数学下册知识点汇总八年级(下册)第1章二次根式1.1二次根式1.2二次根式的性质1.3二次根式的运算第2章一元二次方程2.1一元二次方程2.2一元二次方程的解法2.3一元二次方程的应用2.4一元二次方程根与系数的关系第3章数据分析初步3.1平均数3.2中位数和众数3.3方差和标准差第4章平行四边形4.1多边形4.2平行四边形及其性质4.3中心对称4.4平行四边形的判定定理4.5三角形的中位线4.6反证法第5章特殊平行四边形5.1矩形5.2菱形5.3正方形第6章反比例函数6.1反比例函数6.2反比例函数的图像和性质第一章 二次根式1.1. 二次根式 像3,4a 2++b 这样表示算术平方根的代数式叫做二次根式,二次根号内字母的取值范围必须满足被开方数大于或等于零。
1.2. 二次根式的性质()()0a 2≥=a a ()()⎩⎨⎧<-≥==00a 2a a a a a ()0,0a ab ≥≥⨯=b a b()0,0a >≥=b a ba b 像57,这样,在根号内不含字母,不含开得尽方的因数或因式,这样的二次根式称为最简二次根式。
1.3. 二次根式的运算()0,0ab a ≥≥=⨯b a b()0,0a >≥=b a b ba第二章一元二次方程2.1一元二次方程像方程x 2+3x=4的两边都是整式,只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是2次,这样的方程叫做一元二次方程。
能使一元二次方程两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解(或根)。
任何一个关于x 的一元二次方程都可以化为ax 2+bx+c=0的形式。
ax 2+bx+c=0(a,b,c 为已知数,a ≠0)称为一元二次方程的一般形式,其中ax 2,bx ,c 分别称为二次项、一次项和常数项,a,b 分别称为二次项系数和一次项系数。
2.2一元二次方程的解法1、因式分解法:利用因式分解解一元二次方程的方法叫做因式分解法,这种方法把解一个一元二次方程转化为解两个一元一次方程,常见ax 2+bx=0(无常数项)、及类似3x(x -1)=x -1等也可以使用因式分解法。
浙教版八年级下册初二数学(提高版)(全册知识点考点梳理、重点题型分类巩固练习)(家教、补习、复习用)
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浙教版八年级下册初中数学全册知识点梳理及重点题型巩固练习二次根式的概念和性质(提高)知识讲解【学习目标】1、理解二次根式的概念,了解被开方数是非负数的理由.2、理解并掌握下列结论:,,,并利用它们进行计算和化简.3、理解并掌握同类二次根式和最简二次根式的概念,能运用二次根式的有关性质进行化简. 【要点梳理】要点一、二次根式及代数式的概念1.二次根式:一般地,我们把形如(a ≥0)•的式子叫做二次根式,“”称为二次根号.要点诠释:二次根式的两个要素:①根指数为2;②被开方数为非负数.2.代数式:形如5,a ,a+b ,ab ,,x 3,这些式子,用基本的运算符号(基本运算包括加、减、乘、除、乘方、开方)把数和表示数的字母连接起来的式子,我们称这样的式子为代数式. 要点二、二次根式的性质 1、; 2.;3..要点诠释: 1.二次根式(a ≥0)的值是非负数。
一个非负数可以写成它的算术平方根的形式,即2(0a a a =≥).2a 2()a 要注意区别与联系:1).a 的取值范围不同,2)a 中a ≥02a a 为任意值. 2).a ≥0时,2()a 2a a ;a <0时,2)a 2a a -.要点三、最简二次根式(1)被开方数不含有分母;(2)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式. 满足这两个条件的二次根式叫最简二次根式.要点诠释:二次根式化成最简二次根式主要有以下两种情况:(1) 被开放数是分数或分式;(2)含有能开方的因数或因式.要点四、同类二次根式1.定义:几个二次根式化成最简二次根式后,如果被开方数相同,那么这几个二次根式就叫做同类二次根式.要点诠释:(1)判断几个二次根式是否是同类二次根式,必须先将二次根式化成最简二次根式,再看被开方数是否相同;(2)几个二次根式是否是同类二次根式,只与被开方数及根指数有关,而与根号外的因式无关.2.合并同类二次根式合并同类二次根式,只把系数相加减,根指数和被开方数不变(合并同类二次根式的方法与整式加减运算中的合并同类项类似).要点诠释:(1)根号外面的因式就是这个根式的系数;(2)二次根式的系数是带分数的要变成假分数的形式.【典型例题】类型一、二次根式的概念1.(2016春•天津期末)已知y=+﹣4,计算x﹣y2的值.【思路点拨】根据二次根式有意义的条件可得:,解不等式组可得x的值,进而可求出y 的值,然后代入x﹣y2求值即可.【答案与解析】解:由题意得:,解得:x=,把x=代入y=+﹣4,得y=﹣4,当x=,y=﹣4时x﹣y2=﹣16=﹣14.【总结升华】此题主要考查了二次根式有意义的条件,关键是掌握二次根式中的被开方数是非负数.举一反三【变式】方程480x x y m -+--=,当0y >时,m 的取值范围是( )A .01m << B.m ≥2 C.2m < D.m ≤2【答案】 C.类型二、二次根式的性质2.根据下列条件,求字母x 的取值范围: (1); (2).【答案与解析】(1)(2)【总结升华】二次根式性质的运用.举一反三 【变式】(2014春•铁东区校级月考)问题探究: 因为,所以,因为,所以请你根据以上规律,结合你的以验化简下列各式: (1); (2).【答案】解:(1)==;(2)==.3. (2015•罗平县校级模拟)已知,1≤x ≤3,化简:=_______.【思路点拨】由题意1≤x ≤3,可以判断1﹣x ≤0;x ﹣3≤0,然后再直接开平方进行求解. 【答案】2.【解析】解:∵1≤x≤3,∴1﹣x≤0,x ﹣3≤0,∴=x ﹣1+3﹣x=2.【总结升华】此题主要考查二次根式的性质和化简,计算时要仔细,是一道基础题.【:: 381279 经典例题4】4.已知c b a ,,为三角形的三边,则222)()()(a c b a c b c b a -++--+-+=. 【答案】a b c ++. 【解析】c b a ,,为三角形的三边,0,0,0a b c b c a b c a ∴+->--<+->,即原式=a b c a c b b c a +-++-++-=a b c ++. 【总结升华】重点考查二次根式的性质:的同时,复习了三角形三边的性质.类型三、最简二次根式5.已知0<a <b ,化简2232232a b b ab aa b a b a b+-+-+.【答案与解析】原式=222()()a b b a a b a b a b +--+=1()()()a b b a a b a b ab a b a b +-⨯+⨯-++ =1a b ab-+. 【总结升华】2a a =成立的条件是a >0;若a <0,则2a a =-.类型四、同类二次根式6. 如果两个最简二次根式和是同类二次根式,那么a 、b 的值是( ) A.a =2,b =1 B.a =1,b =2 C. a =1,b =-1 D. a =1,b =1【答案】 D. 【解析】根据题意,得,解之,得,故选D.【总结升华】同类二次根式必须满足两个条件:(1)根指数是2;(2)被开方数相同;由此可以得到关于a 、b 的二元一次方程组,此类问题都可如此.举一反三【变式】若最简根式与根式是同类二次根式,求a 、b 的值.【答案】同类二次根式是指几个二次根式化成最简二次根式后,被开方数相同;•事实上,根式不是最简二次根式,因此把化简==|b|×由题意得,∴,∴a =1,b=1.二次根式的概念和性质(提高)巩固练习【巩固练习】一、选择题1. (2016•贵港)式子在实数范围内有意义,则x 的取值范围是( )A .x <1B .x ≤1C .x >1D .x ≥1 2.使式子有意义的未知数x 有( )个A .0B .1C .2D .无数 3. 把mm 1-根号外的因式移到根号内,得( ). A .m B .m -C .m --D .m -4.(2015•蓬溪县校级模拟)下列四个等式:①2(4)4-=;②(﹣)2=16;③()2=4;④2(4)4-=-.正确的是( ) A.①② B.③④ C.②④ D.①③5. 若,则等于( )A .B .C .D .6.将a a --中的a 移到根号内,结果是( ) A .3a -- B. 3a - C.3a - D.3a 二. 填空题7. 若最简二次根式与是同类二次根式,则.8. (2015•江干区一模)在,,,﹣,中,是最简二次根式的是_________.9.已知,求的值为____________.10.若,则化简的结果是__________.11. 观察下列各式:,,,……请你探究其中规律,并将第 n(n ≥1)个等式写出来________________.12. (2016•乐山)在数轴上表示实数a 的点如图所示,化简+|a ﹣2|的结果为 .三. 综合题13. 已知x x y 211221-+-+=,求22y xy x ++的值. 14. 若时,试化简.15. (2015春•武昌区期中)已知a 、b 、c 满足+|a ﹣c+1|=+,求a+b+c 的平方根.【答案与解析】一、选择题 1.【答案】C.【解析】依题意得:x ﹣1>0,解得x >1. 2.【答案】B. 3.【答案】C. 4.【答案】D. 【解析】解:①==4,正确;②=(﹣1)2=1×4=4≠16,不正确;③=4符合二次根式的意义,正确; ④==4≠﹣4,不正确.①③正确.故选:D .5.【答案】D. 【解析】 因为=22(4)a +222(4)4A a a =+=+.6.【答案】 A.【解析】因为a ≤0,所以a --=23()()a a a a ---=---=--二、填空题 7.【答案】1;1. 【解析】12,1;2534a a a b a +=∴=+=+又,所以1b =. 8.59.5【解析】23100x x x -+=∴≠,13,x x ∴+=即21()9x x+=,2217x x ∴+=,即原式=725-=. 10.【答案】3.【解析】因为原式=21x x -++=213x x -++=.11.【答案】 11(1)22n n n n +=+++ . 12.【答案】 3.【解析】由数轴可得:a ﹣5<0,a ﹣2>0,则+|a ﹣2|=5﹣a +a ﹣2=3.三、解答题 13.【解析】因为1+21122y x x =-+-,所以2x-1≥0,1-2x ≥0,即x=12,y=12则2234x xy y ++=.14.【解析】 因为,所以原式==23523510x x x x x x x -+++-=-+++-=-. 15.【解析】解:由题意得,b ﹣c ≥0且c ﹣b ≥0,所以,b ≥c 且c ≥b , 所以,b=c ,所以,等式可变为+|a ﹣b+1|=0,由非负数的性质得,,解得,所以,c=2, a+b+c=1+2+2=5, 所以,a+b+c 的平方根是±.二次根式的运算(提高)知识讲解【学习目标】1、理解并掌握二次根式的加减法法则,会合并同类二次根式,进行简单的二次根式加减运算;2、掌握二次根式的乘除法法则和化简二次根式的常用方法,熟练进行二次根式的乘除运算;3、会利用运算律和运算法则进行二次根式的混合运算.【要点梳理】要点一、二次根式的加减二次根式的加减实质就是合并同类二次根式,即先把各个二次根式化成最简二次根式,再把其中的同类二次根式进行合并.对于没有合并的二次根式,仍要写到结果中.要点诠释:(1)在进行二次根式的加减运算时,整式加减运算中的交换律、结合律及去括号、添括号法则仍然适用.(2)二次根式加减运算的步骤:1)将每个二次根式都化简成为最简二次根式;2)判断哪些二次根式是同类二次根式,把同类的二次根式结合为一组;要点二、二次根式的乘法及积的算术平方根1.乘法法则:(a≥0,b≥0),即两个二次根式相乘,根指数不变,只把被开方数相乘.要点诠释:(1).在运用二次根式的乘法法则进行运算时,一定要注意:公式中a、b都必须是非负数;(在本章中,如果没有特别说明,所有字母都表示非负数).(2).该法则可以推广到多个二次根式相乘的运算:≥0,≥0,…..≥0).(3).若二次根式相乘的结果能写成的形式,则应化简,如.2.积的算术平方根:(a≥0,b≥0),即积的算术平方根等于积中各因式的算术平方根的积.要点诠释:(1)在这个性质中,a、b可以是数,也可以是代数式,无论是数,还是代数式,都必须满足a≥0,b≥0,才能用此式进行计算或化简,如果不满足这个条件,等式右边就没有意义,等式也就不能成立了; (2)二次根式的化简关键是将被开方数分解因数,把含有形式的a移到根号外面.要点三、二次根式的除法及商的算术平方根1.除法法则:(a≥0,b>0),即两个二次根式相除,根指数不变,把被开方数相除.。
浙教版八年级数学下册 第1章 二次根式 知识点总结
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知识点一:二次根式的概念【知识要点】 二次根式的定义:形如的式子叫二次根式,其中叫被开方数,只有当是一个非负数时,才有意义.【例2】若式子13x -有意义,则x 的取值范围是 .举一反三: 1、使代数式221x x -+-有意义的x 的取值范围是2、如果代数式mnm 1+-有意义,那么,直角坐标系中点P (m ,n )的位置在( )A 、第一象限B 、第二象限C 、第三象限D 、第四象限【例3】若y=5-x +x -5+2009,则x+y=解题思路:式子a (a ≥0),50,50x x -≥⎧⎨-≥⎩5x =,y=2009,则x+y=2014 举一反三: 1、若11x x ---2()x y =+,则x -y 的值为( )A .-1B .1C .2D .33、当a 取什么值时,代数式211a ++取值最小,并求出这个最小值。
已知a 是5整数部分,b 是5的小数部分,求12a b ++的值。
若17的整数部分为x ,小数部分为y ,求yx12+的值.知识点二:二次根式的性质【知识要点】1. 非负性:是一个非负数. 注意:此性质可作公式记住,后面根式运算中经常用到.举一反三: 1、已知2323x -=+,2323y +=-,求下列各式的值:(1)x y x y+-(2)223x xy y -+知识点五:根式比较大小【知识要点】1、根式变形法 当0,0ab >>时,①如果a b >,则a b >;②如果a b <,则a b <。
2、平方法 当0,0ab >>时,①如果22a b >,则a b >;②如果22a b <,则a b <。
3、分母有理化法 通过分母有理化,利用分子的大小来比较。
4、分子有理化法 通过分子有理化,利用分母的大小来比较。
5、倒数法6、媒介传递法 适当选择介于两个数之间的媒介值,利用传递性进行比较。
7、作差比较法在对两数比较大小时,经常运用如下性质:①0a b a b ->⇔>;②0a b a b -<⇔< 8、求商比较法它运用如下性质:当a>0,b>0时,则:①1a a b b>⇔>; ②1a a b b<⇔<【典型例题】【例13】 比较35与53的大小。
浙教版2022-2023学年数学八年级下册第1章二次根式1
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2.ba b a =(a ≥0,b >0) 二、最简二次根式 像33、22、a a 2这样,(1)被开方数不含分母;(2) 被开方数中不含开得尽方的因数或因式,这样的二次根式称为最简二次根式. 在二次根式的运算中,一般要把最后结果化为最简二次根式或有理式.【经典例题】【例1】下列二次根式中,最简二次根式( )A .√12B .√0.7C .√8D .√x 2+1 【例2】已知 a >0 ,那么 √−4a b 可化简为( ) A .2b √−ab B .−2b √ab C .−2b √−ab D .2b √−ab【例3】观察下列各式:√1+112+122=1+11×2=1+(1−12) , √1+122+132=1+12×3=1+(12−13) , √1+132+142=1+13×4=1+(13−14) , ……请利用你发现的规律,计算:√1+112+122+√1+122+132+√1+132+142+⋯+√1+120202+120212 其结果为【基础训练】1.下列根式是最简二次根式的是( )A .√a 2B .√a +2C .√1aD .√a 2b2.下列化简错误的是( ) A .√1625=45B .√1916=134C .√2764=38√3D .−√715=−65√5 3.下列二次根式中,最简二次根式的个数有( )①√0.2②√3a (a>0)③√a 2+b 2④√25A .1个B .2个C .3个D .4个 4.√(−4)2 = ; √(−64)×(−81) = .5.在下列二次根式 √5a , √2a 3 , √b , √8x 中,最简二次根式有 .6.计算: √3×√8√6= 。
7.计算:√48a 3÷√6a b= . 8.王聪学习了二次根式性质公式 √a √b = √a b 后,他认为该公式逆过来 √a b= √a √b 也应该成立的,于是这样化简下面一题: √−27−3 = √−27√−3 = √(−3)×9√−3 = √9 =3,你认为他的化简过程对吗?请说明理由.9.观察下列式子:√2+23 =2 √23 ; √3+38 =3 √38 ; √4+415 =4 √415 ; √5+524 =5 √524 你能看出其中的规律吗?用字母表示这一规律,并给出证明.10.求代数式(√1a −√b)·√ab 的值,其中a =3,b =2.【培优训练】11.下列二次根式中,是最简二次根式的是 ( )A .√4a 2+4a +1B .√0.5C .√4x +y 3D .√xy 3 12.已知b >0,化简 √−a 3b 的结果是( )A .a √abB .−a √abC .−a √−abD .a √−ab 13.已知n 是正整数,√3n 是整数,则n 的最小值是( )A .0B .1C .3D .-3 14.若k ,m ,n 都是整数,且√135=k √15,√450=15√m ,√180=6√n ,则下列关于k ,m ,n 的大小关系,正确的是( )A .m <k <nB .m =n >kC .m <n <kD .k <m =n 15.已知a =√2023×2021,b =√20202+4×2021,c =2021×2020−2019×2021,则(a −b)(b −c)的值( )A .大于零B .小于零C .等于零D .无法确定16.记S n =√1+112+122+√1+122+132+⋯+√1+1n 2+1(n+1)2,则S 20162016=( ) A .20162017 B .20172016 C .20172018 D .20182017 17.已知a 为实数,化简 √−a 3−a √−1a= . 18.借助于计算器可以求得√42+32 = ,√442+332 = ,√4442+3332 = ,√44442+33332 = ,……仔细观察上面几道题的结果,试猜想 √44⋯42︸2011个+33⋯32︸2011个= .19.已知 √9−x x−6=√9−x √x−6 ,且x 为偶数,求(1+x ) ⋅√x 2−5x+4x 2−1的值.20.若a=3+ √2 ,b=3- √2 ,求a 2b -ab 2的值【直击中考】21.下列根式中,是最简二次根式的是( )A .√19B .√4C .√a 2D .√a +b 22.化简 √8 的正确结果是( )A .4B .±4C .2√2D .±2√223.下列等式成立的是( ) A .√16=±4 B .√−83=2C .−a √1a=√−a D .−√64=−8 24.计算: (√2+√3)2−√24= .25.已知m 为正整数,若√189m 是整数,则根据√189m =√3×3×3×7m =3√3×7m 可知m 有最小值3×7=21.设n 为正整数,若√300n是大于1的整数,则n 的最小值为 ,最大值为 .。
浙教版八年级数学下册 二次根式的性质同步练习
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浙教版八年级下 1.2二次根式的性质同步练习一.选择题1.(2021秋•青神县期末)=()A.±3 B.﹣3 C.3 D.2.(2021秋•长春期末)化简二次根式的正确结果为()A.3 B.C.D.3.(2021秋•临漳县期末)下列计算正确的是()A.=﹣2 B.+=C.=2 D.=±34.(2021春•忠县期末)下列各式化简正确的是()A.=4B.=C.=D.=5.(2021春•番禺区月考)下列算式有意义的是()A.﹣B.C.D.6.(2021秋•奉贤区校级期中)若,则x的取值范围是()A.B.C.D.x<7.(2021春•饶平县校级期末)实数a,b在数轴上的位置如图所示,化简的结果是()A.﹣b B.b C.﹣2a﹣b D.﹣2a+b8.(2021秋•射洪市期中)计算+的结果是()A.﹣1 B.2x﹣5 C.5﹣2x D.19.(2021春•饶平县校级期末)已知a<0,b≠0,化简二次根式的结果是()A.a B.﹣a C.a D.﹣a10.(2020秋•内江期末)已知﹣1<a<0,化简的结果为()A.2a B.﹣2a C.﹣D.二.填空题11.(2021•武汉模拟)化简二次根式的结果是.12.(2021春•江夏区校级月考)=.13.(2021秋•黄浦区期中)化简:=.14.(2020秋•雁江区期末)已知b>0,化简=.15.(2021秋•兴义市期末)已知实数﹣1<a<,化简|a+1|+=.16.(2020秋•宛城区期中)已知M=﹣x+3,当x分别取1,2,3,…,2020时,所对应M值的总和是.三.解答题17.化简:(1)(2)(3)(4)18.化简:(1)(2)(3)(4)19.(2021秋•滦州市期中)阅读下列过程,回答问题.(1)通过计算下列各式的值探究问题:=,=,=,=;探究:当a≥0时,=;当a<0时,=.(2)应用(1)中所得结论解决问题:有理数a,b在数轴上对应的点的位置如图所示,化简++.20.(2021秋•会宁县期中)先阅读下列的解答过程,然后再解答:形如的化简,只要我们找到两个数a、b,使a+b=m,ab=n,使得()2+()2=m,•=,那么便有:==±(a>b).例如:化简.解:首先把化为,这里m=7,n=12,由于4+3=7,4×3=12,即()2+()²=7,×=,∴===2+.由上述例题的方法化简:①;②.21.(2021春•崇川区校级月考)(1)判断下列各式是否正确.你认为成立的,请在横线上打“√”,不成立的打“×”.①;②;③;④.(2)你判断完以上各题之后,请猜测你发现的规律,用含n的式子将其规律表示出来,并注明n的取值范围:.答案与解析一.选择题1.(2021秋•青神县期末)=()A.±3 B.﹣3 C.3 D.【解析】解:==3.故选:C.2.(2021秋•长春期末)化简二次根式的正确结果为()A.3 B.C.D.【解析】解:===故选:D.3.(2021秋•临漳县期末)下列计算正确的是()A.=﹣2 B.+=C.=2 D.=±3 【解析】解:A.=2,故此选项不合题意;B.+无法合并,故此选项不合题意;C.=2,故此选项符合题意;D.=3,故此选项不合题意;故选:C.4.(2021春•忠县期末)下列各式化简正确的是()A.=4B.=C.=D.=【解析】解:A、原式==,不符合题意;B、原式==,不符合题意;C、原式=×=,不符合题意;D、原式=×=,符合题意.故选:D.5.(2021春•番禺区月考)下列算式有意义的是()A.﹣B.C.D.【解析】解:A、因为﹣(﹣3)2=﹣9<0,所以﹣没有意义,不符合题意;B、因为﹣3<0,所以(﹣)2没有意义,不符合题意;C、因为(﹣3)2=9>0,所以﹣有意义,符合题意;D、因为﹣3<0,所以﹣没有意义,不符合题意;故选:C.6.(2021秋•奉贤区校级期中)若,则x的取值范围是()A.B.C.D.x<【解析】解:∵=|3x﹣2|=2﹣3x,∴3x﹣2≤0,∴x≤.故选:C.7.(2021春•饶平县校级期末)实数a,b在数轴上的位置如图所示,化简的结果是()A.﹣b B.b C.﹣2a﹣b D.﹣2a+b【解析】解:由数轴可得:﹣2<a<﹣1,0<b<1,则a﹣b<0,故原式=﹣a+b﹣a=﹣2a+b.故选:D.8.(2021秋•射洪市期中)计算+的结果是()A.﹣1 B.2x﹣5 C.5﹣2x D.1【解析】解:由题意得,2﹣x≥0,解得,x≤2,原式=2﹣x+|x﹣3|=2﹣x﹣(x﹣3)=2﹣x﹣x+3=5﹣2x,故选:C.9.(2021春•饶平县校级期末)已知a<0,b≠0,化简二次根式的结果是()A.a B.﹣a C.a D.﹣a【解析】解:因为a<0,b≠0,所以,故选:B.10.(2020秋•内江期末)已知﹣1<a<0,化简的结果为()A.2a B.﹣2a C.﹣D.【解析】解:=﹣=||﹣||,当﹣1<a<0时,原式=a﹣+=2a.故选:A.二.填空题11.(2021•武汉模拟)化简二次根式的结果是3.【解析】解:==3.故答案为:3.12.(2021春•江夏区校级月考)=.【解析】解:原式==.故答案为:.13.(2021秋•黄浦区期中)化简:=2π﹣6.【解析】解:=|6﹣2π|=2π﹣6;故答案为:2π﹣6.14.(2020秋•雁江区期末)已知b>0,化简=﹣ab.【解析】解:∵b>0,﹣a3b2>0,∴a<0,∴原式=|ab|,=﹣ab,故答案为:﹣ab.15.(2021秋•兴义市期末)已知实数﹣1<a<,化简|a+1|+=3.【解析】解:∵﹣1<a<,∴a+1>0,a﹣2<0,∴原式=a+1+2﹣a=3,故答案为:3.16.(2020秋•宛城区期中)已知M=﹣x+3,当x分别取1,2,3,…,2020时,所对应M值的总和是2022.【解析】解:M=﹣x+3=|x﹣2|﹣x+3,①当x≤2时,|x﹣2|=2﹣x,此时M=﹣x+3=2﹣x﹣x+3=5﹣2x,x=1,M=5﹣2x=3,x=2,M=5﹣2x=1,②当x>2时,|x﹣2|=x﹣2,此时M=﹣x+3=x﹣2﹣x+3=1,∴当x分别取1,2,3,…,2020时,M=﹣x+3=3+1+1×(2020﹣2)=2022.故答案为:2022.三.解答题17.化简:(1)(2)(3)(4)【解析】解:(1)原式=;(2)原式==2;(3)原式=;(4)原式=.18.化简:(1)(2)(3)(4)【解析】解:(1)原式=﹣=;(2)原式=8=;(3)当x、y均大于0时,原式=;当x、y均小于0时,原式=﹣;综上所述,原式=或﹣;(4)原式=•3(a﹣2)=3.19.(2021秋•滦州市期中)阅读下列过程,回答问题.(1)通过计算下列各式的值探究问题:=2,=0,=,=3;探究:当a≥0时,=a;当a<0时,=﹣a.(2)应用(1)中所得结论解决问题:有理数a,b在数轴上对应的点的位置如图所示,化简++.【解析】解:(1)=2,=0,=,=3;当a≥0时,=a;当a<0时,=﹣a.故答案为:2,0,,3,a,﹣a;(2)由数轴可得:﹣2<a<﹣1,0<b<1,则﹣1<a+b<0,故原式=﹣a+b﹣(a+b)=﹣a+b﹣a﹣b=﹣2a.20.(2021秋•会宁县期中)先阅读下列的解答过程,然后再解答:形如的化简,只要我们找到两个数a、b,使a+b=m,ab=n,使得()2+()2=m,•=,那么便有:==±(a>b).例如:化简.解:首先把化为,这里m=7,n=12,由于4+3=7,4×3=12,即()2+()²=7,×=,∴===2+.由上述例题的方法化简:①;②.【解析】解:①===﹣;②====+.21.(2021春•崇川区校级月考)(1)判断下列各式是否正确.你认为成立的,请在横线上打“√”,不成立的打“×”.①∨;②∨;③∨;④∨.(2)你判断完以上各题之后,请猜测你发现的规律,用含n的式子将其规律表示出来,并注明n的取值范围:n≥2.【解析】解:(1)①∨,②∨,③∨,④∨;故答案为:∨、∨、∨、∨;(2)根据(1)中结论即可发现:用含n的式子将其规律表示出来为=n(n≥2).故答案为:n≥2.。
1.3.2二次根式浙教版数学八年级下册同步讲义知识梳理+经典例题+巩固练习+中考链接
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浙江版八年级数学下册第1章二次根式1.3.2 二次根式的运算【知识清单】 一、同类二次根式:1.定义:几个二次根式化成最简二次根式后,如果被开方数相同,这几个二次根式叫做同类二次根式.2.注意:一个二次根式不能叫同类二次根式,至少两个二次根式才有可能称为同类二次根式. 要判断几个根式是不是同类二次根式,须先化简根号里面的数或因式,把非最简二次根式化成最简二次根式,然后判断.3.同类二次根式合并法则:“同类二次根式相加减,根式不变,系数相加减”. 二、二次根式的运算法则:实数的混合运算顺序与有理数的混合运算顺序相同,而且有理数的运算法则、运算律以及运算公式在实数范围内仍然适用. 【经典例题】例题1、如图所示,第1个正方形的边是第1个等腰直角三角形的斜边,第1个等腰直角三角形的直角边是第2个正方形的边,第2个正方形的边是第2个等腰三角形的斜边……依此不断连接下去.设第1个正方形的边长为2,求:(2)通过观察研究,写出第2019个正方形的边长a 2019.【考点】勾股定理、等腰三角形的性质、二次根式的运算法则.倍依次求出第2、3、4个正方形的边长,然后根据变化规律写出第2019个正方形的边长即可.解答:设第1个正方形的边长a1=2,…,例题1图【点评】本题考查了正方形的性质,等腰直角三角形的直角边与斜边的关系,根据变化规律求出指数与正方形的序数的关系是解题的关键.例题2、已知23-=a ,则aa 1+22-+a 【考点】分母有理化以及二次根式的运算法则.【分析】先进行分母有理化,再合并同类二次根式,问题即可得到解决.【解答】a +2312-+- =)23)(23(2323+-++-=322323=++-; 22-+a a =221a a +=22)23(1)23(-+-= 22)23()23(++-=10625625=++-.【点评】本题主要考查了分母有理化以及同类二次根式的运算;需要注意的是:“同类二次根式相加减,根式不变,系数相加减”.【夯实基础】1.下列各式计算正确的是( )A. 552332=+B. 72773=-C. 672334=⨯D. 6322332=÷2.化简51102+⨯A. 25B. 63C.2 D. 105A.32B. 24C. 12D. 544. ,32,50,则三角形的周长和面积( ) A. 10和24 B. 212和12 C. 502和12 D. 182和245. 化简++++++341231121 (2018)20191++= .6. 若12与63-a 是同类二次根式,则a 的值为 .7.计算: (1)45+20501+1551+32; (2)2362123b a a a ⋅+-; (3) 20192019)23()23(-++-.化简6523612522---+--x x x x x ,并求它的值.【提优特训】9.设56-=a 67-=a 722-=a ,则a 、b 、c 的大小关系是( ) A. a >b >c B. a >c >b C. c >b >a D.b >c >a10.若221=+x x ,则=-xx 1( ) A. 4± B. 2 C. -2 D. ±211.已知12+=x ,则=--753x x ( )A.-3B.-4C.-5D.-6b a =++52 ,则b 的最大值为( ) A. 244 B. 122 C. 62 D. 6013.化简1165302-+= .14.若125x 2-20=0,则x = .15.已知25+=a ,25-=b ,求(1)a 2+b 2-ab ;(2)abb a +.6262=+-x ,求222642x x ++-的值.17.对于任意不相等的两个实数a ,b ,定义运算*如下:aba ba ---(a >b >0), 如43434---=7-1,试求下列各式的值: (1) 13*5; (2)6*5-4×8*3.18. 已知a +b +c +8=12-a +24-b +36-c ,求abc 的平方根.【中考链接】19、2018•湖北十堰8.如图,是按一定规律排成的三角形数阵,按图中数阵的排列规律,第9行从左至右第5个数是( )A .BC .D 20、2018•黑龙江哈尔滨15.(3.00分)计算的结果是 .21、2018•黑龙江龙东地区10.(3.00分)如图,已知等边△ABC 的边长是2,以BC 边上的高AB 1为边作等边三角形,得到第一个等边△AB 1C 1;再以等边△AB 1C 1的B 1C 1边上的高AB 2为边作等边三角形,得到第二个等边△AB 2C 2;再以等边△AB 2C 2的B 2C 2边上的高AB 3为边作等边三角形,得到第三个等边△AB 3C 3;…,记△B 1CB 2的面积为S 1,△B 2C 1B 3的面积为S 2,△B 3C 2B 4的面积为S 3,如此下去,则S n =.第19题图22、2018•湖北咸宁17.(8.00分)计算:238123-+-.参考答案1、B2、A3、C4、B51 6、3 9、A 10、D 11、C 12、B1314、25± 19、B20、213)4n7.计算: (1)45+20501+1551+32; (2)2362123b a a a ⋅+-; (3) 20192019)23()23(-++-.24551510022022⨯+-- =2455151022053+⨯-⨯-=22;263222ab a +⨯- =a b a aa 33233+- =a b a 3)23(+-; (3) 原式=20192019)23(1)23(++-=2019201920192019)23()23()23()23(-+-+-=[]201920192019)23)(23()23()23(-+-+-=0)23()23(20192019=---.化简6523612522---+--x x x x x ,并求它的值.∴(5-x )(x -5)≥0,∴①⎩⎨⎧≥-≥-0505x x 或②⎩⎨⎧≤-≤-0505x x由不等式①得5≤x ≤5,∴x =5. 不等式②无解.6523612522---+--x x x x x =652)6(522-----x x x x =652652------x x x x =6522---x x 当x =5时,原式=6522---x x =52.15.已知25+=a ,25-=b ,求(1)a 2+b 2-ab ;(2)abb a +. 解:25+=a ,25-=b ,a +b =52,ab =1)25)(25(=-+.(1)a 2+b 2-ab = a 2+2ab +b 2-3ab =(a +b )2-3ab =(52)2-3×1=17;(2)ab b a a b b a 22+=+ab ab b ab a 2222-++=ab abb a 2)(2-+=18112)52(2=⨯-=.6262=+-x ,求222642x x ++-的值. 解:设A =42-x 2,B =26+x 2,则A +B =68.6=-B226)(=-B A B AB A +-2=36 16=AB ,222642x x ++-=.1032682=+=++=+B AB A B A17.对于任意不相等的两个实数a ,b ,定义运算*如下:a ba ba ---(a >b >0),如43434---=7-1,试求下列各式的值:(1) 13*5; (2)6*5-4×8*3. 解:(1) 13513513---88818-= 82822823=-=; (2)6*5-4×8)38383838(45656----+---- =)55511(5111-⨯-- =511111+-- =15-.18. 已知a +b +c +8=12-a +24-b +36-c ,求abc 的平方根. 解:∵a +b +c +8=12-a +24-b +36-c , ∴08362412=+------++c b a c b a , ∴[][][]0936)3(424)2(112)1(222=+---++--+-++---c c b b a a ,∴0)33()22()11(222=--+--+--c b a ,1-=0,22--b =0,33--c =0. ∴a =2,b =6,c =12. ∴abc =2×6×12=144. ∴abc 的平方根为±12.19、2018•湖北十堰8.如图,是按一定规律排成的三角形数阵,按图中数阵的排列规律,第9行从左至右第5个数是( )A .BC .D20、2018•黑龙江哈尔滨15.(3.00分)计算的结果是 .21、2018•黑龙江龙东地区10.(3.00分)如图,已知等边△ABC 的边长是2,以BC 边上的高AB 1为边作等边三角形,得到第一个等边△AB 1C 1;再以等边△AB 1C 1的B 1C 1边上的高AB 2为边作等边三角形,得到第二个等边△AB 2C 2;再以等边△AB 2C 2的B 2C 2边上的高AB 3第19题图为边作等边三角形,得到第三个等边△AB 3C 3;…,记△B 1CB 2的面积为S 1,△B 2C 1B 3的面积为S 2,△B 3C 2B 4的面积为S 3,如此下去,则S n = .【分析】由AB 1为边长为2的等边三角形ABC 的高,利用三线合一得到B 1为BC 的中点,求出BB 1的长,利用勾股定理求出AB 1的长,进而求出第一个等边三角形AB 1C 1的面积,同理求出第二个等边三角形AB 2C 2的面积,依此类推,得到第n 个等边三角形AB n C n 的面积. 【解答】解:∵等边三角形ABC 的边长为2,AB 1⊥BC , ∴BB 1=1,AB =2,根据勾股定理得:AB 1∴第一个等边三角形AB 1C 12133()4=; ∵等边三角形AB 1C 1AB 2⊥B 1C 1,∴B 1B 2AB 1根据勾股定理得:AB 2=32, ∴第二个等边三角形AB 2C 22233()3()24=; 依此类推,第n 个等边三角形AB n C n 33()4n. 33()4n.【点评】此题考查了等边三角形的性质,属于规律型试题,熟练掌握等边三角形的性质是解本题的关键.22、2018•湖北咸宁17.(8.00分)计算:238123-+-.【分析】(1)先化简二次根式、计算立方根、去绝对值符号,再计算加减可得; 【解答】解:(1)原式=32232-+-=3.第21题图。
1.3.3二次根式浙教版数学八年级下册同步讲义知识梳理+经典例题+巩固练习+中考链接
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浙江版八年级数学下册第1章二次根式1.3.3 二次根式的运算【知识清单】应用二次根式及其运算解决简单实际问题要注意两个方面:一是用二次根式或含二次根式的代数式表示未知量;二是通过二次根式的四则混合运算求出未知量,并化简.【经典例题】【考点】分母有理化以及二次根式的运算法则. 【分析】通过添项把)32)(23(22-++分成两项,达到简化分母的目的,然后再进行分母有理化,问题即可得到解决.【解答】)32)(23()32()32()32)(23(22-+-++=-++)32)(23(32)32)(23(32-+-+-++=231321++-=2332-++=2322-+=.【点评】添项是本题的关键,做题时要善于观察、分析,找到解题最佳途径. 【夯实基础】1、下列计算,正确的是( ) A.3327=- B.3146624=-=- C. 1)52)(52(=+- D.3315-=35A. 66B. 65C. 64D. 633、如图,长方体的长、宽、高分别为8cm 、4cm 、6cm.一只蚂蚁沿着长方体的表面从点A 爬到点B ,则蚂蚁爬行的最短路径的长是( )A. 12cmB.C. D. 4、在△ABC 中,已知AB =4,AC =3,BC =7,则△ABC 的面积为( ) A .47 B .37 C .6 D.723 5、化简:672483618+-+= .6、已知最简二次根式23432+-a 与2722-a 是同类二次根式,则a 的值为 . 7、已知32+=x ,求332924+--x x x 的值.第2题图第3题图1122-+---x x x x ,已知26=x .【提优特训】926-=-y ,3=xy ,则x -y 的值为( ) A. 4 B. 8 C.26- D. 26+10x 的值为( )A. 4±B. 4C.-4D. ±211、如果三角形的三边长分别为2,k ,3,那么化简=-++--153********k k k ( )A.6B.5C.4D.212、一个长方形的面积为6283+,其中一边长为22,则另一边为( )A.725B. 73C. 5D.33+ 13、化简1532102356--+-= .14、已知在等腰三角形ABC 中,AB =AC =15、已知237-=x ,求x (x +1)(x +2)(x +3)的值.16、如图①,是5×5的网格图,任意上下左右相邻的两点间距离都是1,请以网格图,完成下列各题: (1)按要求画出△ABC ; (2)求△ABC 的面积; (3)求最长边上的高.第16题图①a b a b a 311)4(6112=+-+++-,求a +b 的值.18、如图①,C 为线段BD 上一动点,分别过点B 、D 作AB ⊥BD ,ED ⊥BD ,连接AC 、EC ,已知AB =6,DE =2,BD =10,设CD =x , (1)用含x 的代数式表示AC +CE 的长;(2)请问点C 满足什么条件时,AC +CE 的值最小? (3)根据(2)中的规律和结论,请构图求出代数式164)8(22+++-x x 的最小值.【中考链接】19、2018•江苏南京10. 计算863-⨯的结果是__________.20、2018•湖北襄阳17.(6分)先化简,再求值:(x +y )(x -y )+y (x +2y )-(x -y )2,其中x =2+3,y =2-3.21、2018•湖南常德17.(5分)计算:20)21(12321)2(--+---π.22、2018•四川内江17.(7分)计算:202)21()14.3()32(28-⨯--+--π.第18题图①参考答案1、A2、D3、B4、D 5 6、±1 9、A 10、C 11、D 12、D13 14、 197.解:∵32+=x , ∴625)32(22+=+=x . ∴x 2-10=562-. ∴22)2()3(=-x .2332=+-x x .332924+--x x x =33210224+-+-x x x x=222)3()10(-+-x x x=1)2()562)(625(2=+-+. 8.解:原式=)1)(1()1()1)(1()1(22222222-+------+---+x x x x x x x x x x x x=2222)1()1(----+x x x x =142-x x当26=x 时,142-x x =1)26(2642-⨯⨯=2162⨯=32. 15. 解:∵237-=x , ∴x +1=2171237-=+-, x +2=217+, x +3=237-. ∴x (x +1)(x +2)(x +3)= x (x +3) (x +1)(x +2)=)217)(217)(237)(237(+-+-=43-. 16. 解:(1)如图②所示是画出的△ABC ;第16题图②(2) △ABC 的面积=S 长方形BEFD -S △BDA - S △AFC -S △CDB =BE=12-3-1-4=4;(3)设最长边BC 上的高为h ,则△ABC 的面积为h BC ⋅21=4,即h ⋅⨯5221=4,. 17.解:∵a ≥4,∴原等式可化为a b a b a 311)4(61132=+-+++- 0)4(62=-++b a ∴b +6=0且(a -4)b 2=0, ∴a =4,b =-6, ∴a +b =-2.18.解:(1)4)10(3622++-+x x(2)当C 点在线段BD 与线段AE 的交点处的时候,AC +CE 的值最小.(3)如图②:AB ⊥BD ,ED ⊥BD ,AE 与BD 相交于点C , 则AB =2,DE =4,BD =8, 设CD =x ,过E 点作BD 的平行线交AB 延长线于F 点; 由(2)可知代数式164)8(22+++-x x 的最小 值就是线段AE 的长. 在Rt △AFE 中,∠AFE =90°, ∵AF =AB +DE =2+4=6,EF =BD =8 , ∴AE =10862222=+=+EF AF ; ∴代数式164)8(22+++-x x 的最小值是10.20、2018•湖北襄阳17.(6分)先化简,再求值:(x +y )(x -y )+y (x +2y )-(x -y )2,其中x =2+3,y =2-3.【分析】根据平方差公式、单项式乘多项式和完全平方公式可以化简题目中的式子,再将x 、y 的值代入化简后的式子即可解答本题. 【解答】(x +y )(x -y )+y (x +2y )-(x -y )2 =x 2-y 2+xy +2y 2-x 2+2xy -y 2 =3xy ,第18题图①第18题图②当x =2+3,y =2-3时,原式=3×(2+3)(2-3)=3.【点评】本题考查整式的混合运算﹣化简求值,解答本题的关键是明确整式的化简求值的计算方法.21、2018•湖南常德17.(5分)计算:20)21(12321)2(--+---π.【分析】本题涉及零指数幂、负指数幂、二次根式化简和绝对值4个考点.在计算时,需要针对每个考点分别进行计算,然后根据实数的运算法则求得计算结果. 【解答】解:原式=1- (23-1)+23-4, =1-23+1+23-4, =-2.【点评】本题主要考查了实数的综合运算能力,是各地中考题中常见的计算题型.解决此类题目的关键是熟练掌握负整数指数幂、零指数幂、二次根式、绝对值等考点的运算.22、2018•四川内江17.(7分)计算:202)21()14.3()32(28-⨯--+--π. 【考点】实数的运算;零指数幂;负整数指数幂.菁优网版权所有【分析】直接利用零指数幂的性质以及负整数指数幂的性质、绝对值的性质、二次根式的性质分别化简得出答案.【解答】解:原式=22﹣2+12﹣1×4=2+8.【点评】此题主要考查了实数运算,正确化简各数是解题关键.。
【高效培优】浙教版八年级数学下册第1章 二次根式(章末整理与复习课件)
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a= a bb
(a ≥0,b > 0)
根
式
知识梳理
1.二次根式的概念:
形如
的代数式叫做二次根式.
(即一个 非负数 的算术平方根叫做二次根式)
典例精讲
例1 判断下列各式哪些是二次根式?
a
6
x2 1 x2
37
a2 b2
1. 带二次根号 2. 被开方数大于等于0
举一反三 1: 会求字母的取值范围.
-2x -x ×(-x)
= -2x
名师点拨
【归纳总结】在化简被开方数中含有字母的二次根式时,首 先要判断字母的符号。对于形如的式子的化简,首先应化成|a|的 形式,再根据a的取值进行计算。
必背要点
►类型之三 二次根式的非负性的应用
由 a≥0,b≥0 且 a+b=0 得到 a=b=0,这是求一个方程中 含有多个未知数的有效方法之一。这类题目的一般形式有如下几 种: x+ y=0; x+|y|=0; x+y2+|z|=0 等。
举一反三
1.要使 3-x+ 2x1-1有意义,则 x 应满足(D )
1 A.2≤x≤3
B.x≤3
且
1 x≠2
1 C.2<x<3
1 D.2<x≤3
举一反三
2.若 y= 2x-2015+ 2015-2x-1,则 2x=______,y =______。
【答案】2015 -1
必背要点
►类型之二 二次根式性质的应用
针对训练
例 1 x 为何值时,下列二次根式在实数范围内有意义?
(1) 13x+2; (2) x2+2;
(3) xx-+21;
(4)
x+5 3-x
名师点拨
(2021年整理)浙教版八年级数学下册第1章二次根式知识点总结
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知识点一:二次根式的概念【知识要点】 二次根式的定义:形如的式子叫二次根式,其中叫被开方数,只有当是一个非负数时,才有意义.【例2】若式子13x -有意义,则x 的取值范围是 . 举一反三:1、使代数式221x x-+-有意义的x 的取值范围是2、如果代数式mnm 1+-有意义,那么,直角坐标系中点P (m ,n )的位置在( )A 、第一象限B 、第二象限C 、第三象限D 、第四象限【例3】若y=5-x +x -5+2009,则x+y=解题思路:式子a (a ≥0),50,50x x -≥⎧⎨-≥⎩ 5x =,y=2009,则x+y=2014 举一反三: 1、若11x x ---2()x y =+,则x -y 的值为( )A .-1B .1C .2D .33、当a 取什么值时,代数式211a ++取值最小,并求出这个最小值。
二次根式的运算 浙教版八年级下培优讲义(含解析)
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第2讲 二次根式的运算命题点一:二次根式的运算 例1计算:(1)(2+23)(2-23)+(2+23)2. (2)(2+3-6)(2-3+6). (3)(3+1)2001-2(3+1)2000-2(3+1)1999+2 001.解:(1)原式=4-12+4+83+12=8+8 3. (2)原式=[2+(3-6)][2-(3-6)] =2-(9-62)=62-7.(3)原式=(3+1)2(3+1)1999-(23+2)(3+1)1999-2(3+1)1999+2 001 =(4+23-23-2-2)(3+1)1999+2 001 =2 001. 例2计算:(1)72×12+52×40. (2)(32+23)2-(2+3)(2-3). (3)24⎝⎛⎭⎫23+356+524. 解:(1)原式=722+52×40=6+10=16. (2)原式=18+126+12-(4-3)=29+12 6. (3)原式=24×23+24×356+24×524=24×23+324×56+24×524=4+7 5.命题点二:含条件的二次根式求值问题例3(1)已知(x -15)2=169,(y -1)3=-0.125,求x -2xy -32y -x 的值.(2)已知x 2-5x -1=0,求x 2+1x2+1的值.解:(1)∵(x -15)2=169,∴x -15=±13.∴x =2或x =28. ∵(y -1)3=-0.125,∴y =0.5. 当x =2,y =0.5时,原式=2-2×2×0.5-32×0.5-2=1; 当x =28,y =0.5时,原式=28-2×28×0.5-32×0.5-28=3.(2)∵x 2-5x -1=0,∴x -1x =5.∴x 2+1x2+1=⎝⎛⎭⎫x -1x 2+3=52+3=27. 例4(1)已知x +y =-4,xy =2,求x y+yx的值. (2)已知27+x 2-15+x 2=4,求27+x 2+15+x 2的值. 解:(1)方法一:⎝⎛⎭⎫x y+y x 2=x y +yx +2=x 2+2xy +y 2xy =(x +y )2xy .∵x +y =-4,xy =2,∴⎝⎛⎭⎫xy+y x 2=(-4)22=8.∴x y+yx =8=2 2. 方法二:x y+y x=x 2xy +y 2xy =1xy(|x |+|y |). ∵xy =2>0,∴x ,y 同号. ∵x +y =-4<0,∴x ,y 同为负数. ∴原式=1xy (-x -y )=-(x +y )xy =--42=2 2. (2)∵27+x 2-15+x 2=4,∴(27+x 2-15+x 2)(27+x 2+15+x 2)=4×(27+x 2+15+x 2). ∴27+x 2-15-x 2=12=4×(27+x 2+15+x 2). ∴27+x 2+15+x 2=3.命题点三:用二次根式表示数的小数部分的问题例5已知7-15的整数部分是a ,小数部分是b ,求(15+a )(b +1)的值.解:∵3<15<4, ∴7-4<7-15<7-3.∴3<7-15<4,故7-15的整数部分是3,即a =3. ∴7-15的小数部分是4-15,即b =4-15. ∴(15+a )(b +1)=(15+3)(4-15+1)=215.例6已知实数2+3的整数部分为a ,小数部分为b ,求ab +(b +1)2的值.解:∵1<3<2, ∴3<2+3<4. ∴a =3,b =3-1.∴ab +(b +1)2=3(3-1)+(3-1+1)2=3 3. 命题点四:含二次根式的三角形问题例7已知一次函数y =233x -4的图象与x 轴,y 轴分别交于A ,B 两点.求:(1)图象与x 轴,y 轴围成的三角形的面积. (2)原点到直线AB 的距离.解:(1)令x =0,得y =-4.令y =0,得x =2 3. ∴S △ABO =12×4×23=4 3.(2)设△AOB 的边AB 上的高为h . 由勾股定理,得AB =42+(23)2=27. ∵S △ABO =12·OA ·OB =12·AB ·h ,∴h =OA ·OB AB =23×427=4217,即原点到直线AB 的距离为4217.例8如图,在3×3的网格中,小正方形的边长为1,△ABC 的三个顶点分别在格点上.求:(1)△ABC 的周长. (2)△ABC 的面积. (3)△ABC 的边AB 上的高. 解:(1)△ABC 的周长为2+213. (2)△ABC 的面积为2.5. (3)△ABC 的边AB 上的高为51313. 【思路点拨】已知三边长的三角形求面积的一般方法:①面积=底×高/2;②利用网格进行割补法. 例9一个三角形的三边分别是2,13,17,求三角形的面积.解:方法一:如图①,在△ABC 中,AB =2,AC =13,BC =17,作AD ⊥BC 于点D . 设BD =x ,则(2)2-x 2=(13)2-(17-x )2,解得x =31717, ∴AD =(2)2-⎝⎛⎭⎫317172=51717.∴S △ABC =12BC ·AD =12×17×51717=52.方法二:如图②,构造单位长度为1的正方形网格, 则S △ABC =S 长方形DECF -S △ABD -S △BEC -S △AFC =2×4-12×1×1-12×1×4-12×3×2=52.命题点五:实际应用问题例10将一个边长为a 的正方形硬纸板剪去四角,使它成为正八边形,求正八边形的面积.解:设剪去的三角形的直角边长为x .根据勾股定理,可得三角形的斜边长为2x ,即正八边形的边长为2x . 依题意,得2x +2x =a ,则x =a2+2=(2-2)a 2.∴S 正八边形=a 2-4×12×⎣⎢⎡⎦⎥⎤(2-2)a 22=(22-2)a 2.例11如图,一铁路路基的横断面是等腰梯形ABCD ,AD =BC ,CD =8 m ,路基的高度DE =6 m ,斜坡BC 的坡比为1∶3,则AB = 123+8 m.例12科技改变生活,手机导航极大地方便了人们的出行.如图,小明一家自驾到古镇C 游玩,到达A 地后,导航显示车辆应沿北偏西60°方向行驶4千米至B 地,再沿北偏东45°方向行驶一段距离到达古镇C ,小明发现古镇C 在A 地的正北方向,求B ,C 两地的距离.解:如图,过B 点作BD ⊥AC 于点D .在Rt △ABD 中,由∠BAD =60°,易得AD =12AB =12×4=2(千米),BD =32AB =32×4=23(千米). ∵在△BCD 中,∠CBD =45°,∴△BCD 是等腰直角三角形. ∴CD =BD =23(千米).∴BC =2BD =26(千米). 答:B ,C 两地的距离是26千米. 命题点六:含二次根式的最值问题例13若a ,b ,S 满足3a +5b =7,S =2a -3b ,求S 的最大值和最小值.解:3a +5b =7,① 2a -3b =S ,② ①×3+②×5,得a =21+5S19. ①×2-②×3,得b =14-3S19. ∵a ≥0,b ≥0, ∴21+5S 19≥0且14-3S 19≥0,解得-215≤S ≤143. ∴S 的最大值为143,最小值为-215.例14若a ,b 为正数且a +b =2.求证:2a +1+2b +1≤2 3.解:根据完全平方公式,得m 2+n 22≥mn .∴2a +1·3≤(2a +1)2+(3)22=a +2,2b +1·3≤(2b +1)2+(3)22=b +2.∴3(2a +1+2b +1)≤a +b +4. ∴2a +1+2b +1≤2 3.课后练习1.化简a-1a的结果是( C )A.-aB.a C .--a D .-a 2.(2018·重庆A 卷)估计(230-24)·16的值应在( B ) A .1和2之间 B .2和3之间 C .3和4之间 D .4和5之间3.如果实数a ,b ,c 在数轴上对应点的位置如图所示,那么代数式a 2-|a +b |+(c -a )2+|b +c |可以化简为( C )A .2c -aB .2a -2bC .-aD .a4.若代数式x 2+6x +9+x 2-4x +4+x 2-10x +25+x 2+2x +1的值为常数,则实数x 的取值范围是( D )A .x ≥5B .2≤x ≤5C .x ≤-3D .-1≤x ≤2 5.已知a +b =-6,ab =8,则ab a+b ab的值为 -4 2 . 6.现将某一张长方形纸片的长增加3 2 cm ,宽增加6 2 cm ,就成为一个面积为128 cm 2的正方形,则原长方形纸片的面积为 20cm 2 .7.如图,在长方形ABCD 中无重叠地放入面积分别为16 cm 2和12 cm 2的两张正方形纸片,则图中空白部分的面积为 (-12+83)cm 2 .8.如图,水库大坝截面的迎水坡AD 的坡比(DE 与AE 的长度之比)为4∶3,背水坡BC 的坡比为1∶2,大坝高DE =20 m ,坝顶宽CD =10 m ,则大坝截面的周长为 (100+205)m .9.已知a ,b 均为正数,且a 2+b 2,4a 2+b 2,a 2+4b 2是三角形的三边长,则这个三角形的面积为 32ab .10.计算:(1)(33+22)(23-32). (2)⎝⎛⎭⎫318+1550-412÷32. (3)(2+2-3)(2-2+3).解:(1)原式=6×3+46-96-6×2=6-5 6. (2)原式=(92+2-22)÷4 2 =82÷4 2 =2.(3)原式=[2+(2-3)][2-(2-3)] =22-(2-3)2=4-2-3+2 6=26-1.11.已知实数2+3的整数部分为a,小数部分为b,求ab+(b+1)2+ab+1的值.解:∵3<2+3<4,∴a=3,b=3-1.∴ab+(b+1)2+ab+1=3(3-1)+(3-1+1)2+33-1+1=4 3.12.如图,C为线段BD上一动点,分别过点B,D作AB⊥BD,ED⊥BD,连结AC,EC.已知BD=8,AB =5,DE=1.设CD=x.(1)用含x的代数式表示AC+CE的长.(2)请问点C满足什么条件时,AC+CE的值最小?(3)根据题(2)中的规律和结论,请构图求出代数式x2+4+(12-x)2+9的最小值.解:(1)AC+CE=25+(8-x)2+x2+1.(2)当点C在线段BD与线段AE的交点处时,AC+CE的值最小.(3)如图,AB⊥BD,ED⊥BD,AE与BD交于点C.AB=3,DE=2,BD=12.设CD=x.过点E作BD的平行线交AB延长线于点F.由题(2)可知代数式x2+4+(12-x)2+9的最小值就是线段AE的长.在Rt△AFE中,∠AFE=90°,AF=AB+DE=3+2=5,EF=BD=12,AE=AF2+EF2=52+122=13.∴代数式x2+4+(12-x)2+9的最小值是13.13.(自主招生模拟题)代数式x 2+y 2+(x -1)2+y 2+x 2+(y -1)2+(x -3)2+(y -4)2的最小值是( D )A .1B .7C .5D .5+ 2 14.(自主招生真题)如果x =12-34,那么x 1-x 2+1-x 2x = 4 .15.(自主招生真题)已知a ,b ,c 都是-3到3之间的非零整数(不包括-3和3),且(b +2)2=(a +2)·(c +2),则符合条件的a ,b ,c 有几组?解:由于a ,b ,c 均是整数,并且(b +2)2=(a +2)·(c +2),则b 2+2+2b 2=ac +2+(a +c )2,∴⎩⎪⎨⎪⎧b 2+2=ac +2,2b =a +c .消去b ,得a 2+2ac +c 2=4ac ,即(a -c )2=0. ∴a =c .再代入到2b =a +c ,得a =b =c .又∵a ,b ,c 都是-3到3之间的非零整数(不包括-3和3), ∴符合条件的a ,b ,c 有4组.。
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2. ba b a =(a ≥0,b >0) 二、最简二次根式 像32、55、aa 2这样,(1)被开方数不含分母;(2) 被开方数中不含开得尽方的因数或因式,这样的二次根式称为最简二次根式.在二次根式的运算中,一般要把最后结果化为最简二次根式或有理式.【经典例题】 例题1、化简下列各式: (1)24= ;(2)22715-= ; (3)72.01.0= . 【考点】二次根式的性质.【分析】利用二次根式的性质进行化简即可.【解答】(1)24=62626222=⨯=⨯; (2)22715-=114114114228)715)(715(22=⨯=⨯=⨯=+-; (3)72.01.0= 653653657210===. 【点评】本题考查了二次根式的性质:在二次根式的运算中,一般要把最后结果化为最简二次根式或有理式.例题2、在△ABC 中,已知AB =7,AC =4,BC =23,则△ABC 的面积为( )A .72B .232C .6 D.2161 【考点】二次根式的简单应用.【分析】根据题意可得出BC 2=AB 2+AC 2,再由勾股定理的逆定理可得出△ABC 为Rt △,从而得出△ABC 的面积.【解答】∵AB =7,AC =4,BC =23,∴AB 2=7,AC 2=16,BC 2=23,∴BC 2=AB 2+AC 2,∴△ABC 为直角三角形,∴S △ABC =72472121=⨯⨯=⋅AC AB . 故答案为:选A.【点评】本题考查了勾股定理的逆定理,已知三角形的三边满足a 2+b 2=c 2,从而得出三角形为直角三角形.【夯实基础】A. 521B. ±521C. 511D. ±511b -+有意义,则不等式ax -b >0的解集是A. a bx > B. a bx < C. a b x -> D. a bx -<3.化简3(-π A. 92--π B. 92-π C. 29π-- D. 29π-4. x x x -⋅+=-3392成立的条件是( )A. x ≥-3B. x ≤3C. -3≤x ≤3D. x =35. 把下列根式化成最简二次根式(1)18= ; (2))96.1(6.369.19.0-⨯⨯--= .6. 22125+= .7.先化简,再求出下面算式的近似值: (1) 5065(精确到千分位); (2) 4831-(精确到0.01)8.化简(1) 3m - (2) 53b a (a ≥0, b ≥0) (3) 332b (4) 493x【提优特训】4343169=--=--=a a 23=ab a 1=;n m n m ++=)11(y x341=,其中正确的是( )个 A. 1 B. 2 C. 3D. 4x =,则02636.0用含有x 的代数式表示为( )A. 10xB. 10xC. 100x D. 1000x 11.如图,P 是等边三角形内一点,AB ,BP =2,CP =7,则∠APB 的度数是( )A. 60°B. 90°C. 120°D. 150°a a a a a a a ==⋅⋅=21,请你化简:(1)65= ;(2)x y 525= .22)(n n m +-+= .a x a y a -=-+)(2019a 、x 、y = . 15.请你说出2)(a 与2a 的相同点和不同点?16.已知x 2-,求多项式x 4+4x 3-4x -4的值.17.如图,在△ABC 中,AD 是BC 边的中线,∠BAD =90°,AB =2,AC =11,求BC 的长.第11题图 第13题图18.阅读下列理解材料,再解决问题: 化简222b ab a +-;=2)(b a -=⎪⎩⎪⎨⎧<-=>-)()(0)(b a a b b a b a b a .根据你的理解,化简下列各题: (1) 625-; (2) 347+.19、观察下列等式:(1) 211-=21,(2) 522-= 252,(3) 1033- = 3103,(4) 1744-= 4174,…, 根据你发现的规律填空:(1)第10个等式是_______________________;(2)写出你猜想的第n 个等式(用含n 的代数式表示),并证明其准确性.【中考链接】20.2018•河北计算:312--= . 21.2018•山东滨州20.(5分)观察下列各式:2221111++=1+211⨯,2231211++=1+321⨯,2241311++=1+431⨯,…… 请利用你所发现的规律,计算2221111+++2231211+++2241311+++…+22101911++其结果为 . 22.2018•山东枣庄15.(4分)我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》一书中,给出了著名的秦九韶公式,也叫三斜求积公式,即如果一个三角形的三边长分别为a ,b ,c ,则该三角形的面积为⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+-=222222)2(41c b a b a S .现已知△ABC 的三边长分别为1,2,5,则△ABC 的面积为 .参考答案1、A2、B3、A4、C5、(1)(2) 1328-6、13 9、C 10、C 11、D 12、(1)(2)13、2(n -m ) 14、1x y =- 7.先化简,再求出下面算式的近似值:(1) 5065(精确到千分位); (2) 4831-(精确到0.01) 解:(1)732.1353525352≈==;97.0415415161162≈==-. 8.化简(1) 3m - (2) 53b a (a≥0, b≥0) (3) 332b (4) 493x 解:(1)3m -=m m m m --=⋅-2; (2)ab ab 2=; (3)332b =b b b b 242422=⨯; (4) 493x =227x x ⋅=x x 7. 15.请你说出2)(a 与2a 的相同点和不同点?解:(1)相同点:2)(a 与2a 都是非负数;(2)不同点:①名称不同2)(a 是a 的算术平方根的平方;2a 是a 的平方的算术平方根;②取值范围不同2)(a 中的a 的取值范围是a ≥0;2a 中的a 的取值范围是全体实数.③结果不同2)(a =a (a ≥0); ⎪⎩⎪⎨⎧≤-=≥=)0()0(0)0(2a a a a a a .16.已知x 2-,求多项式x 4+4x 3-4x -4的值.解:∵2-,∴(x +2)2=2)3(,即x 2+4x +1=0.x 4+4x 3-4x -4=x 4+4x 3+x 2-x 2-4x -4=x 2(x 2+4x +1)-(x 2+4x )-4= 0+1-4=-317.如图,在△ABC 中,AD 是BC 边的中线,∠BAD =90°,AB =2,AC =11,求BC 的长.解:延长AD 到E ,使AD =ED ,连接CE ,∵点是BC 的中点,∴BD =CD ,在△ABD 和△ECD 中,∵⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=CDBD EDC ADB EDAD∴△ABD ≌△ECD (SAS )∴AB =CE =2∴∠BAD =∠CED =90°在Rt △AEC 中,∵AE 2=AC 2-CE 2.∴AE =3)2()11(22=-.∴AD =2321=AE .在Rt △ABD 中,∵BD 2=AB 2+AD 2.∴AE =217417)23()2(22==+.∴BC =2BD =17.18.阅读下列理解材料,再解决问题: 化简222b ab a +-;=2)(b a -=⎪⎩⎪⎨⎧<-=>-)()(0)(b a a b b a b a b a .根据你的理解,化简下列各题:第17题图(1) 625-; (2) 347+.解:(1) 625-=2623+- =22)2(62)3(+- =23)23(2-=-;(2) 4343347++=+22234)3(++=.3223(2+=+=19、观察下列等式:(1) 211-=21,(2) 522-= 252,(3) 1033- = 3103,(4) 1744-= 4174,…, 根据你发现的规律填空:(1)第10个等式是_______________________;(2)写出你猜想的第n 个等式(用含n 的代数式表示),并证明其准确性.解:(1)1011010-=1010110; (2) 12+-n n n =n 12+n n=11122323+=+=+-+n n n n n n n n n . 【中考链接】20.2018•河北计算:312--= . 【考点】22:算术平方根.【专题】11 :计算题;511:实数.【分析】先计算被开方数,再根据算术平方根的定义计算可得.【解答】解:312--=4=2, 故答案为:2.【点评】本题主要考查算术平方根,解题的关键是熟练掌握算术平方根的定义.21.2018•山东滨州20.(5分)观察下列各式: 2221111++=1+211⨯,2231211++=1+321⨯,2241311++=1+431⨯,……请利用你所发现的规律,计算2221111+++2231211+++2241311+++…+22101911++其结果为 . 【分析】直接根据已知数据变化规律进而将原式变形求出答案.【解答】解:由题意可得:2221111+++2231211+++2241311+++…+22101911++ =1+211⨯+1+321⨯+1+431⨯+…+1+1091⨯ =9+(1-21+21-31+31-41+…+91-101) =1099+=1099. 故答案为:1099. 【点评】此题主要考查了数字变化规律,正确将原式变形是解题关键.22.2018•山东枣庄15.(4分)我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》一书中,给出了著名的秦九韶公式,也叫三斜求积公式,即如果一个三角形的三边长分别为a ,b ,c ,则该三角形的面积为⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+-=222222)2(41c b a b a S .现已知△ABC 的三边长分别为1,2,5,则△ABC 的面积为 .【分析】根据题目中的面积公式可以求得△ABC 的三边长分别为1,2,5的面积,从而可以解答本题. 【解答】解:∵⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+-=222222)2(41c b a b a S , ∴△ABC 的三边长分别为1,2,5,则△ABC 的面积为:⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-+-⨯=222222)2)5(21(2141S =1, 故答案为:1.【点评】本题考查二次根式的应用,解答本题的关键是明确题意,利用题目中的面积公式解答.。