数学建模作业

数学建模第一次综合练习班级：数学123班

成员：蒋滢蓥（12170310）汤丽娅（12170321）

吴瑞（12170322）

2.建立不允许缺货的生产销售存贮模型。设生产速率为常数k ，销售速率为常数r ，k>r 。在每个生产周期T 内，开始的一段时间（0>r 和k ≈r 的情况。

解：

1.模型假设：① 每天生产速率为常数k ，销售速率为常数r ；

② 每次生产准备费为1C ，单位时间每件产品贮存费为2C ； ③ 当贮存量降到0时，立即又重新开始生产，即不允许缺货。

2.模型建立：将贮存量表示为时间t 的函数q （t ），开始时贮存量以单位时间（k-r ）的速率增加，后一段时间以单位时间r 的速率减少直至0，即q （T ）=0 。 如图： 总量 q(t)

r*T 生产 销售

(k-r)*T0

k-r r

时间t 时间t T0 T T0 T 图1 图2

其中图1为生产销售模型，T r To k **=

图2为贮存量模型q(t), 且⎩

⎨⎧≤<-+--≤<-=T t To r k To To t r To t t r k t q ),(*)(*0,*)()( 而总费用=生产准备费+贮存费，即

⎰⎰+=++=To T

To

c To T c c dt t q c dt t q c c c 02/2***21)(*2)(*21)(总

平均费用k

r k T r c T c T r k T To c c 2)(***212/)(***21)(c -+=-+=

均 3.模型求解：k r k r c T c c 2)(**22^1)'(-+-=均

令c(均)’=0，则T=)(**21*21

*2)

(**21r k r c c k c k r k r c -=- ①当k>>r 时，r

c c k r c c k T *212**21*2==，此时模型相当于不考虑生产的情况。 ②当k ≈r 时，∞→T ，此时模型相当于一边生产一边销售，且无法贮存产品，储存量q(t)=0。

4.模型分析：

从公式T=)(**21*21

*2)

(**21r k r c c k c k r k r c -=-中可以看出：①当c1增加时，周期T 也随之变长，而当c2增加时，周期T 反而变短。这反映出一次性的生产费增加时，能够维持更多的生产，因此整一个周期变长；而c2贮存费增加时，贮存费用变大，从经济角度考虑，因此生产出来的产品要快速销售处理掉，因此周期变短。②当生产速率常数k 增加，销售速率r 减少时，周期T 变长，而当常数k 减小，r 增加时，周期T 变短。这反映出生产速率增加，销售速率减小时，会生产出更多的产品，需要更多的时间去销售完生产出来的产品，因此周期变长；而生产速率减小，销售速率增大时，生产出的产品能在短时间内被销售完全，因此周期变短。以上内容均符合客观事实情况，符合常识。

7、要在雨中的一处沿直线跑到另一处，若雨速为常数且保持方向不变，试建立数学模型讨论是否跑得越快淋雨量越少。

将人简化为一个长方体，高m a 5.1=（颈部以下），宽m b 5.0=，厚m c 2.0=，设跑步距离1000

，跑步最大速度m v =5m/s ，雨速s m u /4=，降雨量h cm /2=ω，

记跑步速度为v 。

（1）不考虑雨的方向，设降雨淋遍全身，以最大速度跑步，估计跑完全程的总淋雨量。

（2）雨从迎面吹来，雨线与跑步方向在同一平面内，且与人体的夹角为θ，如

图1,建立总淋雨量与速度v 及参数,,,,,u d c b a θω,之间的关系，问速度多大，总淋雨量最少，计算︒=︒=30,0θθ时的总淋雨量。

（3）雨与从背面吹来，雨线方向与跑步方向在同一平面内，且与人体的夹角为α，如图2.建立总淋雨量与速度v 及参数,,,,,u d c b a θω,之间的关系，问速度多大，总淋雨量最少，计算︒=︒=30,0θθ时的总淋雨量。

（4）以总淋雨量为纵轴，速度v 为横轴，对（3）作图（考虑α的影响），并解释结果的实际意义。

（5）若雨线方向与跑步方向不在同一平面内，模型会有什么样的变化。

图1 图2

解：

1.问题的分析

总的淋雨量等于人体的各个面上的淋雨量之和。每个面上的淋雨量等于单位面积， 单位时间的淋雨量与面积以及时间的乘积。面积由已知各边长乘积得出，时间为总路程与人前行速度的比值。

再由速度分解，合成，相对速度等知识确定各面淋雨量公式，列出总的方程，根据各变量关系，得出最优解。

当雨线方向和跑步方向不在同一平面时，我们设出雨线方向角，按照上述方法将其分解，同样可以解决问题。

2.模型的假设

（1）把人体视为长方体，人体行走过程中的震荡引起的误差可忽略不计。ν大小与方向恒定，即沿直线匀速前进。

（2）问题1中不考虑雨下落的方向，假设为自由落体。人体各个方向均匀接受雨量，即单位时间、单位面积上接受雨量恒定。

（3）问题2、3雨线与跑步方向在同一平面内，并且雨线与人体夹角不变。在此过程中左

右两侧因与雨速平行而不沾雨。

（4）假设雨的密度相同，雨滴大小、形状相同，雨速均匀不变

（5）假设单位时间内接收雨的量与雨速成正比。

（6）设总淋雨量为Q

3.模型的建立与求解

问题一：

全身面积)(2ac bc ab s ++=

跑完全程的时间s v d t m 200/==

降雨量s m h cm /1810/24

-==ω

淋雨量Q = tsw ≈2.44升

问题二：

雨从迎面吹来，因为雨线与跑步方向在同一平面内，左右两面与雨的方向平行，所以雨只淋在头顶和前面。总淋雨量21Q Q Q +=, 1Q 为头顶淋雨量，2Q 为前面淋雨量。

先计算1Q ：

头顶面积bc s =1 淋雨时间v d t =

雨速在竖直方向的分量θcos 1u u =