正多边形和圆1
第12课时 正多边形和圆(1)
.
B P
O . rR
D
BC 4 2 2 2
由勾股定理得边心距r= ∴亭子地基的面积S=
42 22 2 3
1 1 lr 24 2 3 41.6 m 2 2 2
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第11课时
正多边形和圆（1） 石岐北区中学数学科组
引导归纳，提炼新知
一般地，正n边形的一个内角的度数是
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第11课时
正多边形和圆（1） 石岐北区中学数学科组
中心角 360 n
中心角
E
D
边心距把△AOB分成 2个全等的直角三角形
180 AOG BOG n
设正多边形的边长为a, 半径为R,它的周长为L=na. 2 a 2 边心距r R （ ） ， 2
创设问题，激发兴趣
问题2 什么是正多边形？
各边相等,各角也相等的多边形是正多边形.
正n边形：如果一个正多边形有n条边，那
么这个正多边形叫做正n边形。
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第11课时
正多边形和圆（1） 石岐北区中学数学科组
创设问题，激发兴趣 想一想：
矩形是正多边形吗？菱形和正方形 呢?为什么？
矩形各角相等，但各边不相等，不是正多边形； 菱形各边相等，但各角不相等，不是正多边形； 正方形四边、四角都相等，是正多边形。
n 2 180
n
360 中心角的度数是 n
正多边形的中心角与外角的大小关系是相等. 在解决正多边形的有关计算时，通过作正n 边形的半径和边心距，把正n边形划分成2n 个 直角三角形，再利用勾股定理，即可完成一些
特殊的正多边形的计算问题.
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正多边形和圆及正多边形的有关计算
中考数学辅导之—正多边形和圆及正多边形的有关计算正多边形和圆是初中几何课本中的最后一单元,它包括正多边形的定义、正多边形的判定、性质,正多边形的有关计算,圆周长及弧长公式，圆、扇形、弓形的面积。
今天我们一起学习正多边形的定义、判定、性质及有关计算.一、基础知识及其说明：1.正多边形的定义:各边相等、各角也相等的多边形叫做正多边形.此定义中的条件各边相等,各角也相等 “缺一不可”.如:菱形各边相等,因四个角不等,所以菱形不一定是正多边形.矩形的四个角相等,但因四条边不一定相等,故矩形不一定是正四边形,只有正方形是正四边形.2.正多边形的判定,正多边形的定义当然是正多边形的判定方法之一,但如同全等三角形的判定一样,用定义来证明两个三角形全等显然不可取,因此需用判定定理来证.判定定理:把圆几等分()①依次连结各分点所得的多边形是这个圆的内接正边形②经过各分点做圆的切线,以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正边形.也就是说,若要证明一个多边形是圆内接正多边形,只要证明这个多边形的顶点是圆的等分点即可, 如：要证明一个圆内接边形ABCDEF ……是圆内接正边形,就要证A 、B 、C 、D 、E 、F ……各点是圆的n 等分点,就是要证AB=BC=CD=DE=EF=…….同样,要证明一个圆外切边形是圆外切正边形,只要证明各切点是圆的等分点即可例1:证明：各边相等的圆内接多边形是正多边形.已知:在⊙O 中,多边形ABCDE ……是⊙O 的内接n 边形 且AB=BC=CD=DE=…….求证:n 边形ABCDE ……是正n 边形证明: AB=BC=CD=DE=…… ∴ AB=BC=CD=DE ……∴OEB=AEC= BED=COE=……∴ =∠=∠=∠=∠D C B A又∵AB=BC=CD=DE=……∴n 边形ABCDE ……是正n 边形.例2:证明:各角相等的圆外切n 边形是正n 边形.已知:多边形……是圆外切n 边形,切点分别是A,B,C,D,E ……,=…….求证:n 边形……是正n 边形.证明:连结OB,OC,OD ……,在四边形COD 和四边形BOC 中∵切⊙O 于B,C,D∴∴ 0''180=∠+∠=∠+∠COD C BOC B而……∴∴BC=CD(在同圆中,相等的圆 B O心角所对的弧相等).同理BC=CD=DE=FE=……'B D∴A,B,C,D,E,F……是圆的n等分点 C∴多边形ABCDEF……是圆外切n正多边形3.正多边都是轴对称图形,若n是奇数,正n边形是轴对称图形,n是偶数,正n边形既是轴对称图形又是中心图形.4.正多边形的性质:任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆,这两个圆是同心圆.5.正多边形的外接圆(或内切圆)的圆心叫正多边形的中心.外接圆半径叫正多边形的半径.内切圆的半径叫正多边形的边心距.正多边形的每一边所对的圆心角叫中心角,中心角的度数是.如图:OA,OB是半径,O是中心,OH⊥AB于H,OH是边心距,是中心角6.正多边形的有关计算,一般是围绕正边形的半径R,边长,边心距,周长及面积来进行,但关健是之间的计算,因为正边形的边心距把正边形的一边与该边所对应的两条半径所围成的等腰三角形分成两个全等的直角三角形,所以在Rt△AOH中,斜边是R,直角边分别是和,锐角,利用直角三角形的有关知识(勾股定理,锐角三角函数等)来解直角三角形即可.例：已知正六边形ABCDEF的半径是R,求正六边形的边长S6.解:作半径OA、OB，过O做OH⊥AB，则∠AOH==30°∵∴∴∴∵∴S6=同学们在进行正多边形的计算时,应很好的理解、掌握如何用解直角三角形的方法进行计算,但也可以推出公式,然后利用公式变形进行计算.则这是已知半径R,求的公式,若记住公式则正多边形的计算就简单了很多,如已知半径R,求解:再如：已知正三角形的边长为,可以先由,求出半径,再将求得的R代入；若已知边心距求边长,则先用,求出R,再代入求边长公式即可求出,此法好处是不用画图,只需将上面两个公式反复变形即可.7.如何求同圆的圆内接正边形与圆外切正边形的边长比,半径比,边心距比.如：求同圆的圆内接正边形和圆外切正边形的边长比.设⊙O的半径的为R则圆内接正边形的边长是而在Rt△OBC中,OB=R,则,即外切正边形的边长是,∴=实际上，=,OB是的邻边,OC是Rt△BOC的斜边,,希望同学们记住此结论.如圆内接正四边形的边心距与圆外切正四边形的边心距之比是,圆内接正六边形与圆外切正六边形的边长之比是,而圆内接正三角形与圆外切正三角形的面积之比是.(注意:①此结论必须是同圆的边数相同的圆内接正边形与圆外切正边形的相似比是.②若求圆外切正边形与圆内接正边形的相似比则是).二、练习题:1.判断题:①各边相等的圆外切多边形一定是正多边形.( )②各角相等的圆内接多边形一定是正多边形.( )③正多边形的中心角等于它的每一个外角.( )④若一个正多边形的每一个内角是150°,则这个正多边形是正十二边形.( )⑤各角相等的圆外切多边形是正多边形.( )2.填空题:①一个外角等于它的一个内角的正多边形是正____边形.②正八边形的中心角的度数为____,每一个内角度数为____,每一个外角度数为____.③边长为6cm的正三角形的半径是____cm,边心距是____cm,面积是____cm.④面积等于cm2的正六边形的周长是____.⑤同圆的内接正三角形与外切正三角形的边长之比是____.⑥正多边形的面积是240cm2,周长是60cm2,则边心距是____cm.⑦正六边形的两对边之间的距离是12cm,则边长是____cm.⑧同圆的外切正四边形与内接正四边形的边心距之比是____.⑨同圆的内接正三角形的边心距与正六边形的边心距之比是____.3.选择题:①下列命题中,假命题的是( )A.各边相等的圆内接多边形是正多边形.B.正多边形的任意两个角的平分线如果相交,则交点为正多边形的中心.C.正多边形的任意两条边的中垂线如果相交,则交点是正多边形的中心.D.一个外角小于一个内角的正多边形一定是正五边形.②若一个正多边形的一个外角大于它的一个内角,则它的边数是( )A.3B.4C.5D.不能确定③同圆的内接正四边形与外切正四边形的面积之比是( )A.1:B.1:C.1:2D.:1④正六边形的两条平行边间距离是1,则边长是( )A. B. C. D.⑤周长相等的正三角形、正四边形、正六边形的面积S3、S4、S6之间的大小关系是:( )A.S3>S4>S6B.S6>S4>S3C.S6>S3>S4D.S4>S6>S3⑥正三角形的边心距、半径和高的比是( )A.1:2:3B.1::C.1::3D.1:2:三、练习答案:1.判断题①×②×③√④√⑤√2.填空题①四②45°,135°,45°③④12⑤1:2 1:4 ⑥8 ⑦⑧:1 ⑨1:3.选择题①D ②A ③C ④C ⑤B ⑥A。
人教版初中九年级上册数学课件 《正多边形和圆》圆
解：要使△PCD 的周长最小，即 PC＋PD 的值最小．根
据正多边形的性质，得点 C 关于 BE 的对称点为点 A，连接 AD
交 BE 于点 P，那么有 PC＋PD＝AD 最小．易知四边形 ABCD
为等腰梯形，∠BAD＝∠CDA＝60°.作 BM⊥AD 于点 M，CN
⊥AD 于点 N.∵AB＝2，∴AM＝12AB＝1，∴DN＝AM＝1，∴
能超过( A )
A．12 mm
B．12 3 mm
C．6 mm
D．6 3 mm
3．已知圆内接正三角形的面积为 3，则该圆的内接正六边形的边心距是( B )
A．2
B．1
C． 3
D．
3 2
7
4．【贵州贵阳中考】如图，正六边形 ABCDEF 内接于⊙O，连接 BD．则∠CBD 的度数是( A )
A．30° C．60°
10
8．【教材P106练习T3变式】如图，正八边 形ABCDEFGH的半径为2，求它的面积．
11
解：连接 AO、BO、CO、AC． ∵正八边形 ABCDEFGH 的半径为 2，∴AO＝ BO＝CO＝2，∠AOB＝∠BOC＝360°×18＝45°，∴∠AOC＝90°，∴AC＝2 2，此时 AC⊥BO，∴S 四边形 ABCO＝12BO·AC＝12×2×2 2＝2 2，∴正八边形 ABCDEFGH 的面 积为 2 2×4＝8 2.
B．45° D．90°
8
5．如图，正六边形 ABCDEF 内接于半径为 4 的圆，则 B、E 两点间的距离为___8___.
9
6．将一个边长为 1 的正六边形补成如图所示的矩形，则矩形的周长等于 ___4_＋__2__3____.(结果保留根号)
43 7．【山东滨州中考】若正六边形的内切圆半径为 2，则其外接圆半径为___3___.
正多边形和圆
(1)正ｎ边形每一个内角的度数是
；
(2)正ｎ边形每个中心角的度数是
．
14．如图，AB，AC，BD 是⊙O 的切线，P，C，D 为切点，若 AB＝5，AC＝4，则 BD
的长为
．
15．如图，等腰△ABC 的内切圆⊙O 与 AB，BC，CA 分别相切于点 D，E，F，且 AB
＝AC＝5，BC＝6，则 DE 的长是
．
三．解答题
-5-
16．已知：如图，Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，以 AC 为弦作⊙O，交 BC 的延长线于点 D，且 DC
（） A．60°
B．65°
C．72°
D．75°
类型二、正多边形和圆的有关计算
3．如图，点 G，H 分别是正六边形 ABCDEF 的边 BC，CD 上的点，且 BG=CH，AG 交 BH 于点 P．（1） 求证：△ABG≌△BCH； （2）求∠APH 的度数．
4． 若同一个圆的内接正三角形、正方形、正六边形的边长分别记作 a3，a4，a6，则 a3：a4：
C．3
D．4
10．如图，AB 为⊙O 的切线，切点为 A，OB 交⊙O 于点 C，点 D 在⊙O 上，且 OD∥
AC，若∠B＝38°，则∠ODC 的度数为（ ）
A．46°
B．48°
C．52°
D．58°
二．填空题
11．如图，已知圆 O 为 Rt△ABC 的内切圆，切点分别为 D、E、F，且∠C＝90°，AB
正多边形和圆1
D
思考1: 把一个圆4等分 等分, 思考 把一个圆 等分 并依次连 得到正多边形吗?? 接这些点,得到正多边形吗 接这些点,得到正多边形吗??
B C
弦相等（多边形的边相等） 弦相等（多边形的边相等）
弧相等
圆周角相等（多边形的角相等） 圆周角相等（多边形的角相等）
—多边形是正多边形 多边形是正多边形
五边形PQRST的各边都与⊙O相切， 的各边都与⊙ 相切 相切， 又∵五边形 的各边都与 线的交点为顶点的多边形是这个圆的 同理∠ ∠ ∠ ∠ 同理∠Q=∠R=∠S=∠T 五边形PQRST的是 外切正五边形。 的是O外切正五边形 ∴五边形 的是 外切正五边形。 外切正多边形. 外切正多边形 QR=RS=ST=TP=2PA
• 6、已知正多边形的边心距与边长的比是，则此 、已知正多边形的边心距与边长的比是， 正多边形是( ) 正多边形是 A．正三角形 B、正方形 ． 、 C．正六边形 D正十二边形 ． 正十二边形 • 7．以下有四种说法：①顺次连结对角线相等的 ．以下有四种说法： 四边形各边中点，则所得的四边形是菱形； 四边形各边中点，则所得的四边形是菱形；② 等边三角形是轴对称图形， 等边三角形是轴对称图形，但不是中心对称图 顶点在圆周上的角是圆周角； 形；③顶点在圆周上的角是圆周角；④边数相 同的正多边形都相似，其中正确的有（） 同的正多边形都相似，其中正确的有（） A．1个 B．2个 C．3个 D 4个 ． 个 ． 个 ． 个 个 • 8．正多边形的中心角与该正多边形一个内角的 ． 关系是（） 关系是（） A.互余 B.互补 C.互余或互补 D.不能确定 互余 互补 互余或互补 不能确定
思考: 菱形是正多边形吗?矩形是正多边形呢? 思考: 菱形是正多边形吗?矩形是正多边形呢?
人教版九年级数学上册24.3.1《正多边形和圆(1)》教学设计
人教版九年级数学上册24.3.1《正多边形和圆(1)》教学设计一. 教材分析《正多边形和圆》是人教版九年级数学上册第24章第三节的第一课时内容，主要介绍了正多边形的定义、性质以及与圆的关系。
本节课的内容是学生对几何图形学习的进一步深化，对于培养学生的空间想象能力和抽象思维能力具有重要意义。
教材通过生活中的实例引入正多边形和圆的概念，让学生感受数学与生活的紧密联系，激发学生的学习兴趣。
二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的几何基础知识，对图形的认识有一定的深度。
但是，对于正多边形和圆的性质和关系，可能还比较陌生。
因此，在教学过程中，需要教师通过生动形象的实例和直观的图形，帮助学生理解和掌握正多边形和圆的概念和性质。
三. 教学目标1.了解正多边形的定义和性质，能够识别和判断正多边形。
2.理解圆的概念，掌握圆的性质。
3.掌握正多边形与圆的关系，能够运用正多边形和圆的知识解决实际问题。
四. 教学重难点1.重难点：正多边形的定义和性质，圆的概念和性质。
2.难点：正多边形与圆的关系的理解和运用。
五. 教学方法1.采用问题驱动的教学方法，通过提问引导学生思考和探索，激发学生的学习兴趣和积极性。
2.采用直观演示法，通过实物和图形的展示，帮助学生直观地理解和掌握正多边形和圆的概念和性质。
3.采用归纳总结法，通过总结和归纳，使学生对正多边形和圆的知识有一个系统的认识。
六. 教学准备1.准备相关的图形和图片，如正多边形和圆的实物图片，正多边形和圆的模型等。
2.准备相关的教学PPT，内容包括正多边形和圆的定义、性质和关系等。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过提问方式引导学生回顾已学过的几何图形，如三角形、四边形等，激发学生的学习兴趣。
然后，展示一些生活中的实例，如五角星、车轮等，引导学生思考这些图形的共同特征。
2.呈现（10分钟）教师展示正多边形和圆的实物图片和模型，引导学生观察和描述正多边形和圆的特征。
然后，教师通过PPT呈现正多边形和圆的定义和性质，让学生初步了解和掌握。
正多边形与圆1
B
巩固 1、如图，正六边形 、如图，正六边形ABCDEF的半径为 的半径为 8cm，求这个正六边形的边长。 ，求这个正六边形的边长。 A F O C D E
B
巩固 2、正三角形的半径为 ，则边长为 、正三角形的半径为R， 边心距为 ，面积为 。 ，
3、正三角形的边长 ，则其半径为 、正三角形的边长a，
正多边形和圆 正多边形和圆
导入 观察下列图案： 观察下列图案：
导入 观察下列图案： 观察下列图案：
探究 什么叫正多边形？ 一、 什么叫正多边形？
边相等，角相等的多边形叫正多边形。 边相等，角相等的多边形叫正多边形。
探究 正多边形有没有外接圆？ 二、 正多边形有没有外接圆？
正多边形和圆有什么关系？ 正多边形和圆有什么关系？
边数是偶数的正多边形还是中心 对称图形，它的中心就是对称中心。 对称图形，它的中心就是对称中心。
例1、如图，有一个亭子，它的地基是 、如图，有一个亭子， 半径为4cm的正六边形，求地基的周长 的正六边形， 半径为 的正六边形 和面积(精确到 精确到0.1cm2)。 和面积 精确到 。 A F O C P D E
。
范例 例2、已知圆内接正方形的面积为 ，求 、已知圆内接正方形的面积为8， 圆内接正六边形的面积。 圆内接正六边形的面积。 A B C O D F E
巩固 3、同圆的内接正三角形、正四边形、 、同圆的内接正三角形、正四边形、 正六边形的边长之比为 。
探究 如何画一个边长为2cm的正六边 五、 如何画一个边长为 的正六边 形？ A F 1、以2cm为半径作 、 为半径作 一个⊙ ； 一个⊙ O； E B O 2、用量角器画一个 、 60°的圆心角； °的圆心角； C D 3、在圆上顺次截取这个圆心角对的弧； 、在圆上顺次截取这个圆心角对的弧； 4、顺次连接分点。 、顺次连接分点。
《正多边形和圆形》圆PPT优质课件(第1课时)
添加辅助线的方法： 连半径，作边心距
中心角 内角 外角 周长 面积
1. 了解正多边形和圆的有关概念.
探究新知
知识点 1 正多边形的对称性
问题1 什么叫做正多边形？
各边相等,各角也相等的多边形叫做正多边形. 问题2 矩形是正多边形吗？为什么？菱形是正多边形吗？ 为什么？
不是，因为矩形不符合各边相等；
不是，因为菱形不符合各角相等；
注意 正多边形 各边相等 各角相等
缺一不可
4. 要用圆形铁片截出边长为4cm的正方形铁片，则 选用的圆形铁片的直径最小要_4__2_cm.
也就是要找这个正 方形外接圆的直径
课堂检测
能力提升题
1. 如图，四边形ABCD是⊙O的内接正方形，若正方形
的面积等于4，求⊙O的面积．
解：∵正方形的面积等于4， ∴正方形的边长AB=2. 则圆的直径AC=2 2， ∴⊙O的半径= 2. ∴⊙O的面积为 ( 2)2 2 .
人教版 数学 九年级 上册
24.3 正多边形和圆 第1课时
导入新知
观察上边的美丽图案，思考下面的问题： （1）这些都是生活中经常见到的利用正多边形得到 的物体，你能找出正多边形吗？
导入新知
（2）你知道正多边形和圆有什么关系吗？怎样 做一个正多边形呢？
素养目标
3. 会应用正多边形和圆的有关知识解决实际 问题. 2. 理解并掌握正多边形半径、中心角、边心 距、边长之间的关系.
2.一个正多边形的各个顶点在同一个圆上? 一个正多边形的各个顶点在同一个圆上，则这个正多边形就是这 个圆的一个内接正多边形，圆叫做这个正多边形的外接圆. 3.所有的多边形是不是都有一个外接圆和内切圆？ 多边形不一定有外接圆和内切圆，只有是正多边形时才有，任意 三角形都有外接圆和内切圆.
正多边形与圆(八大题型)( 原卷版)
A．1B．2C． D．
解题技巧提炼
主要考查了正多边形和圆，正六边形的性质、正方形的性质，等边三角形的性质，勾股定理，正确掌握它们的性质是解决问题的关键．
【变式3-1】（2022•成都）如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，若⊙O的周长等于6π，则正六边形的边长为（ ）
A． B． C．3D．2
正多边形.
◆2等于 的圆心角，它对着一段弧，然后在圆上依次截取与这条弧相等的弧，得到圆的n个等分点；
（2）顺次连接各等分点.
【例题1】下列命题正确的是（ ）
A．各边相等的多边形是正多边形
B．正多边形一定是中心对称图形
C．各角相等的圆内接多边形是正多边形
D．正多边形外接圆的半径是正多边形的半径
半径
外接圆的半径叫做正多边形的半径.
边心距
内切圆的半径叫做正多边形的边心距.
中心角
正多边形每一条边对应所对的外接圆的圆心角都相等，叫做正多边形的中心角.
任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆.
◆2、正多边形的判定：
一个多边形必须同时满足各边相等，各角也相等才能判定其是正多边形，两个条件缺一不可，如菱形的各边相等，但各角不一定相等，矩形的各角相等，但各边不一定相等，因此它们不是正多边形.
解题技巧提炼
根据正多边形的相关概念进行判断即可，正n边形（n≥3，n为整数）都是轴对称图形，都有n条对称轴，且这些对称轴都交于一点，当n为偶数时，正n边形为中心对称图形.
【变式1-1】下列说法中，错误的是（ ）
A．正多边形的外接圆的圆心，就是它的中心
B．正多边形的外接圆的半径，就是它的半径
C．正多边形的内切圆的半径，就是它的边心距
（苏科版）九年级上册数学《第2章对称图形---圆》
人教版《正多边形和圆》优秀课件_初中数学1
例题分析
1. (1)正三角形的半径为R，则边长为_____，边心距为______，
面积为________． (3)定时定量做一些客观题和中档题，训练速度和正确率，适量做一些综合题，提高解题思维能力。并及时总结、记忆，内化提高。
A
知识与技能：理解分类加法计数原理与分步乘法计数原理；会利用两个原理分析和解决一些简单的应用问题 。
中心 O 中心角
AB=BC=CD=DA .
边心距r
边心距r
边心距r
思考
各边相等的多边形是正多边形吗？
反例：如图，菱形的四条边相等， 但是四个角不相等，所以不是正 多边形.
各角相等的多边形是多边形吗？ 反例：如图，矩形的四个角相等， 但是四条边不相等，所以不是正 多边形.
思考
各边相等的圆内接多边形是正多边形吗？
OB=OC=2，则
Rt△OBD中，边心距
O是正五边形ABCDE
观察这些图片，你看到了哪些正多边形？
复习回顾
正多边形是轴对称图形； 当边数为偶数时，正多边形也是中心对称 图形； 圆既是轴对称图形又是旋转对称图形. 正多边形和圆的关系联系非常密切，只要把 一个圆分成相等的一些弧，就可以作出正多 边形.
分析：画出示意图，圆内接正三角形ABC. (3)数列。此专题中数列是重点，同时也要注意数列与其他知识交汇问题的训练。
高三数学复习中的几个注意点
中心角BOC 360 3 角边角公理( ASA)有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等 120 ,OB=OC=R,则
O R
OBC 30, Rt
3 OBD
找出下列正多边形的中心，并标出正多边形的半 中心角
,OA=OB, AB=a,则
已知：如图， O 中内接四边形ABCD ，
正多边形和圆知识点归纳
正多边形和圆知识点归纳1. 正多边形①定义：各边相等，各角也相等的多边形，叫做正多边形；②定义中两个条件缺一不可．我们知道三边相等的三角形是正三角形，三个角相等的三角形也是正三角形．但菱形四条边相等，却不是正四边形．矩形四角都相等，也不是正四边形．所以正多边形的定义中各边相等和各角相等两个条件缺一不可．2. 正多边形与圆的关系把一个圆分成相等的一些弧，就可以得到这个圆的内接正多边形，这个圆是这个多边形的外接圆．3、正多边形中各元素间的关系一个正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心．外接圆的半径叫做正多边形的半径．正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角．中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距．如图，设正多边形的边长为a n，半径为R，边心距为r n，中心角为αn，则它们有如下关系：；正n边形的中心角；正n边形的周长P n=na n；正n边形的面积．4、正多边形有关计算在解决有关正多边形计算时，通常运用转化的思想方法，将正多边形的有关计算化为一个边长分别是正多边形的半径、正多边形边长的一半，正多边形的边心距的直角三角形来解决.5、正多边形的对称性①多边形都是轴对称图形，当边数为偶数时，它的对称轴是每一边的垂直平分线和正多边形的边心距所在的直线，当边数为奇数时，它的对称轴是边心距所在的直线；②只有正偶边形才是中心对称图形；③正n边形绕着它的中心每旋转就与它本身重合．典例讲解例1、填空题1. 如图，小颖同学在手工制作中，把一个边长为12cm的等边三角形纸片贴到一个圆形的纸片上，若三角形的三个顶点恰好都在这个圆上，则该圆的半径为（）A. B. C. D.答案：D2. 正六边形两条平行边间的距离是1，则它的边长为（）A. B. C. D.答案：C3. 已知正三角形的边长为2，则它的内切圆和外接圆组成的圆环面积为（）A. B. C. D.答案：B4. 边长为a的正三角形的边心距、半径和高之比为（）A.1∶2∶3B.C. D.答案：A例2、如图，圆内接正六边形ABCDEF中，对角线BD、EC相交于点G，求∠BGC的度数.解：正六边形ABCDEF中DC=DE，,∴，同理可证：∠2=，∴∠BGC=∠1＋∠2=．例3、如图，已知正三角形ABC外接圆的半径为R，求正三角形ABC的边长、边心距、周长和面积．思路点拨：过中心向正多边形的边作垂线得到Rt△OCH，在Rt△OCH中包含了中心角的一半、边心距、半径、边长的一半等基本元素．解：连接OB、OC，作OH⊥BC于H．例4、如图，正方形的边长为4cm，剪去四个角后成为一个正八边形，求这个正八边形的边长和面积.解：由题意知PD＝PE＝FQ设PD＝PE＝FQ＝xcm，则EF＝ED＝(4－2x)cm，∵∠P=90°,由勾股定理ED=,∴，∴正八边形的边长为4－2x=cm，面积为.。
正多边形与圆的性质
正多边形与圆的性质正多边形是指所有边和角都相等的多边形。
而圆是一个平面上所有点距离中心点相等的集合。
正多边形和圆都有一些独特的性质，下面将逐一探讨它们。
一、正多边形的性质1. 全等性质：正多边形的所有边和角都相等，因此它们可以互相重合，即具有全等性质。
2. 对称性质：正多边形具有多个对称轴。
以正三角形为例，它具有三个对称轴，分别连接顶点和中点。
对称轴可将正多边形分为几个全等的部分。
3. 外接圆性质：正多边形的顶点都位于一个外接圆上，且外接圆的圆心即为正多边形的重心。
4. 内角和外角和关系：以正五边形为例，可以发现它的内角和为540度，而外角和为360度。
一般情况下，正多边形的内角和为(n-2)×180度，外角和为360度，其中n为正多边形的边数。
二、圆的性质1. 圆周率：圆周率π是一个无理数，近似值为3.14159。
圆的周长可以通过周长公式C=2πr计算得出，其中r为圆的半径。
2. 面积计算：圆的面积可以通过面积公式A=πr^2计算得出。
半径越大，圆的面积越大。
3. 弧长和扇形面积：圆的一部分被称为弧，其长度可以通过角度和半径计算得出。
扇形是圆的一部分，由圆心与两个弧之间的线段围成。
扇形的面积可以通过扇形面积公式A=(θ/360°)×πr^2计算得出，其中θ为扇形的角度。
4. 切线和切线定理：切线是与圆只有一个交点的直线。
根据切线定理，切线与半径的交点处的角是直角。
三、正多边形与圆的关系1. 正多边形内切圆：正多边形的内角均为锐角，因此正多边形可以内切于一个圆。
内切圆的半径等于正多边形的所有边的长度之差的一半。
2. 正多边形外接圆：正多边形的顶点都位于一个外接圆上，且外接圆的半径等于正多边形每条边的长度。
通过以上讨论可知，正多边形和圆具有许多有趣的性质和规律，它们在数学和几何学中有着广泛的应用和重要的地位。
当我们深入研究它们的性质时，会对我们的数学思维和几何直觉有所帮助。
27.4正多边形和圆(学生版)
27.4第7讲正多边形和圆目标导航1.了解正多边形和圆的有关概念及对称性；2.理解并掌握正多边形半径和边长、边心距、中心角之间的关系，会应用正多边形和圆的有关知识画正多边形；3.会进行正多边形的有关计算.知识精讲知识点01 正多边形的概念各边相等，各角也相等的多边形是正多边形．【微点拨】判断一个多边形是否是正多边形，必须满足两个条件：(1)各边相等；(2)各角相等；缺一不可.如菱形的各边都相等，矩形的各角都相等，但它们都不是正多边形(正方形是正多边形).【即学即练1】已知：如图，四边形ABCD是⊙O的内接正方形，点P是劣弧上不同于点C的任意一点，则∠BPC的度数是（）A．45° B．60° C．75° D．90°知识点02 正多边形的重要元素1.正多边形的外接圆和圆的内接正多边形正多边形和圆的关系十分密切，只要把一个圆分成相等的一些弧，就可以作出这个圆的内接正多边形，这个圆就是这个正多边形的外接圆．2.正多边形的有关概念(1)一个正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心．(2)正多边形外接圆的半径叫做正多边形的半径．(3)正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角．(4)正多边形的中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距．3.正多边形的有关计算(1)正ｎ边形每一个内角的度数是；(2)正ｎ边形每个中心角的度数是；(3)正ｎ边形每个外角的度数是.【微点拨】要熟悉正多边形的基本概念和基本图形，将待解决的问题转化为直角三角形.【即学即练2】如图1，△PQR是⊙O的内接正三角形，四边形ABCD是⊙O的内接正方形，BC∥QR，则∠AOQ=（）A．60° B．65° C．72° D．75°图1 图2知识点03 正多边形的性质1.正多边形都只有一个外接圆，圆有无数个内接正多边形.2.正ｎ边形的半径和边心距把正ｎ边形分成2ｎ个全等的直角三角形.3.正多边形都是轴对称图形，对称轴的条数与它的边数相同，每条对称轴都通过正n边形的中心；当边数是偶数时，它也是中心对称图形，它的中心就是对称中心.4.边数相同的正多边形相似。
正多边形和圆
正多边形和圆介绍在几何学中，正多边形和圆是两个重要的概念。
正多边形是指具有相等边长和相等内角的多边形，而圆是一个平面上所有点到圆心的距离都相等的图形。
本文将介绍正多边形和圆的特征、性质和相关公式。
正多边形定义正多边形是指所有边长相等且所有内角相等的多边形。
常见的正多边形有三角形、四边形（正方形）、五边形、六边形等。
正多边形的内角都可以通过以下公式计算：内角和 = (n - 2) × 180°其中，n表示多边形的边数。
性质1.边长相等：正多边形的所有边长都相等，即正多边形的每条边长度相等。
2.内角相等：正多边形的所有内角都相等，即正多边形每个内角的度数相等。
3.对称性：正多边形具有n个对称轴，其中n为边数。
每个对称轴将正多边形分为两个对称的部分。
4.外角和：正多边形的外角和等于360°，即正多边形的所有外角之和为一个圆的周角。
5.外接圆：正多边形的外接圆是指将正多边形每个顶点都切在圆上的圆。
外接圆的半径等于正多边形中心到任一顶点的距离。
公式1.正多边形的面积：正多边形的面积可以通过边长和高计算，公式如下：面积 = 边长 × 高 / 22.正多边形的周长：正多边形的周长等于所有边长之和，即边长 × 边数。
圆定义圆是平面上所有点到圆心距离都相等的图形。
圆由圆心、半径和弧组成，其中圆心为圆上所有点的中心，半径是圆心到圆上任意一点的距离，弧是圆上两点之间的弯曲部分。
性质1.圆心角：圆心角是指圆心所对的弧所对应的角。
圆心角的度数等于对应弧所占据的圆心角度的一部分，即圆心角 = 弧度 / 弧长 × 360°。
2.弧长：圆上的弧长可以通过圆心角的度数计算，公式如下：弧长 = 圆心角度数 / 360°× 圆周3.面积：圆的面积可以通过半径计算，公式如下：面积= π × 半径²其中，π（pi）是一个数学常数，约等于3.14159。
人教版九年级上册数学24.3《正多边形和圆》(第1课时)课件
5．课堂小结
（1）正多边形与圆有什么关系？ （2）本节课学习了哪些与正多边形有关的概念？ 在解决有关的计算问题时，关键是什么？
6．布置作业
教科书习题 24.3 第 1，6 题．
• 不习惯读书进修的人，常会自满于现状，觉得再没有什么事情需要学习，于是他们不进则退。经验丰富的人读书用两只眼睛，一只眼睛看到纸面 上的话，另一眼睛看到纸的背面。2022年4月12日星期二上午9时26分50秒09:26:5022.4.12
有一个亭子，它的地基是半径为 4 m的正六边形， 求地基的周长和面积（结果保留小数点后一位）．
3．探究学习
亭子的地基是什么图形？求地基的周长和面积也就 是求什么图形的周长和面积？
正六边形的半径，分别将它分割成多少个什么样子 的三角形？
观察图形中所得的三角形具有什么关系？为什么？ 将上图中的结论推而广之，你得出了什么结论？哪 位同学说说自己的想法？
3．探究学习
正 n 边形的 n 条半径、n 条边心距将正 n 边形分割 成全等直角三角形的个数是多少？
每个直角三角形都由正多边形的哪些元素组成？
4．强化练习
（1）正 n 边形的半径和边心距把正 n 边形分成___ 个全等的直角三角形；
（2）正三角形的半径为 R，则边长为_____，边心 距为______，面积为________．若正三角形边长为 a， 则半径为______；
2．小组合作学习
正多边形的边有什么性质、角有什么性质？ 各边相等，各角相等． 什么叫正多边形的中心角？ 正多边形的一边所对正多边形外接圆的圆心角．
2．小组合作学习
正 n 边形的中心角度数如何计算？ 中心角的度数= 360
24.3正多边形和圆1
你知道正多边形与圆的关系吗？ 你知道正多边形与圆的关系吗？
正多边形和圆的关系非常密切,只要把一个圆 正多边形和圆的关系非常密切 只要把一个圆 分成相等的一些弧,就可以作出这个圆的内接正多 分成相等的一些弧 就可以作出这个圆的内接正多 边形,这个圆就是这个正多边形的外接圆 这个圆就是这个正多边形的外接圆. 边形 这个圆就是这个正多边形的外接圆
B
E
C
S正方形ABCD = AB BC =
(
2R
)
2
= 2R2
（１）本节课你学到了哪些知识? 本节课你学到了哪些知识? （２）你运用了怎样的方法来获 得这些知识? 得这些知识?
课后作业
课堂作业 P108页 第5题 第6题 家庭作业p107页 第1题（在书上填）用去仰望别人的好成绩
边形： 正n边形：如果一个正多边形有n条边，那 边形 如果一个正多边形有n条边，
么这个正多边形叫做正n边形。 么这个正多边形叫做正n边形。
1. 矩形是正多边形吗 菱形呢 正方形呢 为什么 矩形是正多边形吗?菱形呢 正方形呢?为什么 菱形呢?正方形呢 为什么? 矩形不是正多边形，因为四条边不都相等 矩形不是正多边形，因为四条边不都相等; 菱形不是正多边形，因为菱形的四个角不都相等; 菱形不是正多边形，因为菱形的四个角不都相等; 正方形是正多边形．因为四条边都相等，四个角都相等 正方形是正多边形．因为四条边都相等，四个角都相等.
探究：与同桌共同完成： 1、已知如图六边形ABCDEF为圆的内接正六 边形，你能求出它的中心角的度数吗？那么 正n边形的中心角的数是多少？ 2、作出它的一条边心距， E D 看看边心距、半径、 和边长之间有什么样的 相等关系的关系？ F .o C 3能否用它的边长和 边心距来表示它的面积？
正多边形与圆1
2.6 正多边形与圆(1)
作 者：成友文（南师附中江宁分校）
2.6 正多边形与圆(1)
请你看一看
说说有哪些你熟悉的图形？
2.6 正多边形与圆(1)
请你说一说
观察下列图形，你能说出这些图形的名称 和特征吗？
2.6 正多边形与圆(1)
大家议一议
①能否说各边相等的多边形是正多边形？
1．如图，已知⊙O． （1）用量角器把⊙O五等份，依次连接各等分 点，得五边形ABCDE； （2）五边形ABCDE是正五边形吗？为什么？
2.6 正多边形与圆(1)
数学实验室
如图，点A、B、C、D、E、F六等分⊙O． （1）在一张透明纸上画与下图形状、大小相同 的图形，并把它们叠合在一起； （2）把所画图形绕点O旋转60°，你发现了什么？ 再旋转60°呢？
②能否说各角相等的多边形是正多边形？
2.6 正多边形与圆(1)
典型例题
例1 在等边三角形ABC中，E、F、G、H、 L、K分别是各边三等分点，试说明六边形
． EFGHLK是正六边形
AEKF来自LBC
GH
2.6 正多边形与圆(1)
总结拓展
思考：如何利用圆来画正多边形？
2.6 正多边形与圆(1)
请你画一画
这个正多边形的边数为
．
3．已知正四边形的外接圆的半径为R，则
正四边形的周长是
．
2.6 正多边形与圆(1)
课堂总结
1．这节课你有哪些收获和困惑？ 2．如何画一个正多边形？
2.6 正多边形与圆(1)
课后作业
1．课本P81第1、2、3、4． 2．阅读课本P81：判定正多边形的条件 ．
2.6 正多边形与圆(1)
正多边形和圆(1)
.O A F B
8、图中正六边形ABCDEF的中心角是 ∠AOB 它的度数是 60度 9、你发现正六边形ABCDEF的半径与边长具有 什么数量关系？为什么？
E
D
F
.O
C
A
B
正多边形和圆
正多边形： 各边相等，各角 也相等的多边形叫做 A 正多边形。 正n边形： 如果一个正多边 形有n条边，那么这个 正多边形叫做正n边形。
E
D
B
C
想一想：菱形是正多边形吗？矩形和正 方形 呢?为什么？
正多边形与圆到底 有什么样的关系呢? 以正五边形为例,你能证 明吗?
A
1
B
2 3 4
C
4、正方形ABCD的外接圆圆心O叫做 正方形ABCD的 中心 5、正方形ABCD的内切圆的半径OE叫做 正方形ABCD的 边心距
A .O B E
D
C
6、⊙O是正五边形ABCDE的外接圆，弦AB的 边心距， 弦心距OF叫正五边形ABCDE的 内切 圆的半径。 它是正五边形ABCDE的
中心 角， 7、 ∠AOB叫做正五边形ABCDE的 它的度数是 72度 D
2
4 2
4
2
2
2
3
3 41 . 6 ( m )
抢答题：
外接 1、O是正 △ABC的中心，它是△ABC的 圆与 内切 圆的圆心。 A
2、OB叫正△ABC的 ， 半径 它是正△ABC的 外接 圆的半径。 3、OD叫作正△ABC 的 边心距 ，它是正△ABC 的 内切 圆的半径。 B
.O D
F A
B
2
2
E
OBC 是等边三角形，从而正 六边形的边长等于它的 半径 .
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知识探究：
（1）要将圆三等份，那么其中每等份的弧 所对圆心角度数是多少？
（2）要将圆四等份，那么其中每等份的弧 所对圆心角度数是多少？ （3）要将圆五等份，那么其中每等份的弧 所对圆心角度数是多少？ （4）要将圆六等份、那么其中每等份的弧 所对圆心角度数是多少？
O
A
D
B
知识回顾：
1、这些图形都是正几边形？
试一试：
用量角器将一个圆三等份、 四等份、五等份、六等份。
O
顺此连接上面每个圆的分点你 会得到什么图形？
想一想：
你能设计出画正n边形的方 法吗？说出你的设计方法。
思考：什么是圆的内接正n边 形？
做一做：
你能画出一个正五 边形吗？
想一想：
（1） 圆的内接正六边形的 边长和圆的半径有什么关系？
（2） 怎样用直尺和圆规作 一个正六边形？
知识回顾：
1、正n边形的内角和为多少度？ 每个内角为多少度？
2、正n边形的外角和为多少度？ 每个外角为多少度？
3、经过正n边形的一个顶点可以 做多少条对角线？正n边形一共有 多少条对角线？
4、（1）矩形是正多边形吗？为什 么？ （2）菱形是正பைடு நூலகம்边形吗？为什么？
5、什么是正多边形？
6、在同圆或等圆中，圆心角、弧、 弦之间的关系定理？
试一试
怎样用直尺和圆规作一 个正十二边形、作一个 正三角形？
1、用量角器画一个已知圆的内 接正八边形。
2、用尺规画一个已知圆的内接 正八边形。 3、用等分圆周的方法画一个正 五角星形。
课堂检测：
用直尺和圆规作一个正 八边形。