考点43 直线、平面垂直的判定与性质(原卷版)

考点43 直线、平面垂直的判定与性质
1．（陕西省汉中市2019届高三全真模拟考试数学（理）如图，四边形ABCD 为矩形，平面ABEF ⊥平面
ABCD ，//EF AB ，90BAF ∠=︒，2AD =，1AB AF ==，点P 在线段DF 上.
（1）求证：AF ⊥平面ABCD ； （2）若二面角D AP C --的余弦值为
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，求PF 的长度. 2．（江苏省徐州市2018-2019学年高三考前模拟检测）如图，在三棱柱111ABC A B C -中，AB AC =，侧面11B C CB ⊥底面ABC ，E ，F 分别为棱BC 和11A C 的中点.
（1）求证：//EF 平面11ABB A ； （2）求证：平面AEF ⊥平面11BCC B .
3．（江苏省南通市2019届高三模拟练习卷四模）如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，AB AC ⊥，1AC AA ＝，
D 是棱AB 的中点．
（1）求证：11BC CD 平面A ； （2）求证：11
BC AC ⊥． 4．（江苏省镇江市2019届高三考前模拟三模）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是正方形，AC 与BD 交于点O ，PC ⊥底面ABCD ，E 为PB 上一点，G 为PO 中点.
（1）若PD ∥平面ACE ，求证：E 为PB 的中点； （2）若2AB PC =
，求证：CG ⊥平面PBD .
5．（湖北部分重点中学2020届高三年级新起点考试数学理）如图四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是正方形，,PB BC PD CD ⊥⊥，且PA AB =，E 为PD 中点.
（1）求证：PA ⊥平面ABCD ； （2）求二面角A BE C --的正弦值.
6．（江西省鹰潭市2019届高三第一次模拟考试理）如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，
AB AD ⊥，AC CD ⊥，60ABC ∠=︒，PA AB BC ==，E 是PC 的中点．
（1）求PB 和平面PAD 所成的角的大小． （2）求二面角A PD C --的正弦值．
7．（山东省实验中学等四校2019届高三联合考试理）如图在直角ABC ∆中，B 为直角，2AB BC =，E ，
F 分别为AB ，AC 的中点，将AEF ∆沿EF 折起，使点A 到达点D 的位置，连接BD ，CD ，M 为CD
的中点．
（Ⅰ）证明：MF ⊥面BCD ；
（Ⅱ）若DE BE ⊥，求二面角E MF C --的余弦值．
8．（广东省深圳市高级中学2019届高三适应性考试（6月)数学理）已知四棱锥P ABCD -，底面ABCD 为菱形，PD PB =,H 为PC 上的点，过AH 的平面分别交PB ，PD 于点M ，N ，且//BD 平面AMHN ．
（1）证明：MN PC ⊥；
（2）当H 为PC 的中点，3PA PC AB ==，PA 与平面ABCD 所成的角为60︒，求AD 与平面AMHN 所成角的正弦值．
9．（甘肃省兰州市第一中学2019届高三6月最后高考冲刺模拟数学理）如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，平面1A BC ⊥侧面11ABB A ，且12AA AB ==，
（Ⅰ）求证：AB BC ⊥；
（Ⅱ）若直线AC 与平面1A BC 所成角的大小为30，求锐二面角1A A C B --的大小．
10．（北京市通州区2019届高三4月第一次模拟考试数学理）如图1，菱形ABCD 中，60A ∠=，4AB =，
DE AB ⊥ 于E ．将AED ∆沿DE 翻折到A ED ∆'，使A E BE '⊥，如图2．
（Ⅰ）求证：平面A ED '⊥平面BCDE ； （Ⅱ）求直线A ′E 与平面A ′BC 所成角的正弦值； （Ⅲ）设F 为线段A D '上一点，若//EF 平面A BC '，求
DF
FA '
的值． 11．（江苏省扬州中学2019届高三4月考试）已知三棱锥P ABC -中，AB AC ⊥，AB AP ⊥ .若平面α分别与棱PA PB BC AC 、、、相交于点,,,E F G H 且PC
平面α.
求证:（1）∥EH FG ； （2）AB FG ⊥.
12．（河南省郑州市2019届高三第三次质量检测数学理）如图，ABC ∆，2AB BC ==，90ABC ∠=︒，E ，
F 分别为AB ，AC 边的中点，以EF 为折痕把AEF 折起，使点A 到达点P 的位置，且PB BE =..
（Ⅰ）证明：EF ⊥平面PBE ；
（Ⅱ）设N 为线段PF 上动点，求直线BN 与平面PCF 所成角的正弦值的最大值.
13．（安徽省江淮十校2019届高三年级5月考前最后一卷数学理）在三棱柱ABC A B C '''-中平面ABC ⊥平面ACC A ''，AB BC CA AA '===，D 是棱BB '的中点.
（1）求证：平面DA C '⊥平面ACC A ''；
（2）若60A AC ︒'∠=，求二面角A CD B ''--的余弦值.
14．（山西省2019届高三高考考前适应性训练三理）在三棱柱ABC A B C '''-中，AB BC CA AA '===，侧面ACC A ''⊥底面ABC ，D 是棱BB '的中点.
（1）求证：平面DA C '⊥平面ACC A ''；
（2）若60A AC '∠=，求二面角A BC B '--的余弦值.
15．（重庆南开中学2019届高三第四次教学检测考试数学理）在直角梯形ABCD 中，AB CD ∥，AB AD ⊥，24AB CD ==，E ，F 分别为AD ，BC 的中点（如图1）．沿EF 将四边形EFCD 折起，使得DE BF ⊥（如图2）．
（1）求证：平面ABFE ⊥平面EFCD ；
（2）若AC BE ⊥，求二面角C EB F --的余弦值．
16．（山东省泰安市教科研中心2019届高三考前密卷数学理）如图，在直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1（侧棱垂直于底面的棱柱）中，CA ⊥CB ，CA ＝CB ＝CC 1＝2，动点D 在线段AB 上．
（1）求证：当点D 为AB 的中点时，平面B 1CD ⊥上平面ABB 1A 1；
（2）当AB ＝3AD 时，求平面B 1CD 与平面BB 1C 1C 所成的锐二面角的余弦值．
17．（湖北省黄冈市2019届高三2月联考数学理）在三棱柱111ABC A B C -中，侧面11ABB A 为菱形，
160ABB ∠=，22AB BC ==，23AC =，1BB AC ⊥。

（1）求证：平面11BB C C ⊥平面11ABB A ； （2）求二面角111A AC B --的余弦值。

18．（甘肃省、青海省、宁夏回族自治区2019届高三5月联考数学理）如图，在直四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 是矩形，1A D 与1AD 交于点E ，124AA AD AB ===．
（1）证明：AE ⊥平面ECD ．
（2）求直线1A C 与平面EAC 所成角的正弦值．
19．（山东省日照市2019届高三5月校际联合考试数学理）在如图所示的几何体中，四边形ABCD 是边长为2的菱形，DE ⊥平面ABCD ，∥BF DE ， 222,60DE BF DAB ==∠=︒．
（1）证明：平面ACF ⊥平面BDEF ； （2）求二面角E AC F --的余弦值．
20．（黑龙江省哈尔滨市第三中学2019届高三第二次模拟数学理）如图，PA ⊥矩形ABCD 所在平面，
PA AD =，M 、N 分别是AB 、PC 的中点.
（1）求证：平面ANB ⊥平面PCD ； （2）若直线PB 与平面PCD 10
，求二面角N MD C --的正弦值. 21．（山东省烟台市2019届高三5月适应性练习二数学理）如图,直角三角形ABD 所在的平面与半圆弧BD 所在平面相交于BD ,2AB BD ==，E ,F 分别为AD ,BD 的中点, C 是BD 上异于B ,D 的点,
2EC =
（1）证明:平面CEF ⊥平面BCD ;
（2）若点C 为半圆弧BD 上的一个三等分点(靠近点D )求二面角A CE B --的余弦值.
22．（福建省厦门第一中学2019届高三5月市二检模拟考试数学理）如图，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，1B A ⊥底面ABCD ，12BB BC AB ==，60ABC ∠=︒.
（1）求证：1AB A D ⊥；
（2）求二面角1A A D C --的余弦值.
23．（江西省新八校2019届高三第二次联考理）如图，在三棱柱111ABC A B C -中，四边形11ABB A 为菱形，
D 为AB 的中点，底面ABC ∆为等腰直角三角形，,2
ACB π
∠=
11223
ABB BC B C π
∠=
⋅=⋅=
（1）求证：CD ⊥平面11ABB A ； （2）求二面角11A BC C --的余弦值.。