反比例函数单元复习与巩固教学设计

反比例函数单元复习与巩固一、知识网络二、目标认知学习目标1．理解并掌握反比例函数的概念，能根据实际问题中的条件确定反比例函数的解析式，能判断一个给定函数是否为反比例函数；2．能描点画出反比例函数的图象，会用待定系数法求反比例函数的解析式，进一步理解函数的三种表示方法——列表法、解析式法和图象法及各自特点；3．能根据图象数形结合地分析并掌握反比例函数的函数关系和性质，能利用这些函数性质分析和解决一些简单的实际问题；4．探索现实生活中数量间的反比例关系，在解决实际问题的过程中，进一步体会和认识反比例函数这种刻画现实世界中特定数量关系的数学模型；5．在学习反比例函数之后，进一步理解常量与变量的辨证关系和反映在函数概念中的运动变化观点，进一步认识数形结合的思想方法．重点反比例函数的概念、图象和性质．难点对反比例函数及其图象和性质的理解和掌握．三、知识要点梳理知识点一：反比例函数的概念一般地，如果两个变量x、y之间的关系可以表示成（k为常数，）的形式，那么称y是x的反比例函数．注：（1）反比例函数y=中的是一个分式,自变量x≠0,也可写成或，其中k≠0；（2）在反比例函数（k≠0）中，x的指数是－1。

如，也写成：；（3）在反比例函数（k≠0）中要注意分母x的指数为1，如就不是反比例函数。

知识点二：反比例函数的图象反比例函数的图象是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、三象限或第二、四象限．它们关于原点对称，反比例函数的图象与x轴、y轴都没有交点，即双曲线的两个分支无限接近坐标轴，但永远不与坐标轴相交．注：（1）观察反比例函数的图象可得：x和y的值都不能为0，并且图象既是轴对称图形，又是中心对称图形，它有两条对称轴，对称中心是坐标原点．（2）用描点法画反比例函数y=的图象时，应注意自变量x的取值不能为0，一般应从1或-1开始对称取点.（3）在一个反比例函数图象上任取两点P，Q ，过点P，Q分别作x轴，y轴的平行线，与两坐标轴分别围成的矩形面积为S1，S2 则S1＝S2．知识点三：反比例函数的性质1．图象位置与函数性质当时，x、y同号，图象在第一、三象限，且在每个象限内，y随x的增大而减小；当时，x、y异号，图象在第二、四象限，且在每个象限内，y随x的增大而增大.2．若点(a,b)在反比例函数的图象上，则点（-a,-b）也在此图象上，故反比例函数的图象关于原点对称；4．反比例函数y=中k的意义反比例函数y = (k≠0)中比例系数k的几何意义,即过双曲线y =(k≠0)上任意一点引x轴、y轴垂线,所得矩形面积为│k│.知识点四：反比例函数解析式的确定反比例函数解析式的确定方法是待定系数法.由于在反比例函数关系式中，只有一个待定系数k，确定了k的值，也就确定了反比例函数，因此只需给出一组x、y的对应值或图象上点的坐标，代入中即可求出k的值，从而确定反比例函数的解析式．知识点五：应用反比例函数解决实际问题须注意以下几点1．反比例函数在现实世界中普遍存在，在应用反比例函数知识解决实际问题时，要注意将实际问题转化为数学问题。

2．针对一系列相关数据探究函数自变量与因变量近似满足的函数关系。

3．列出函数关系式后，要注意自变量的取值范围。

如，某三角形的面积是2时，底边长y与该底边上的高x之间的关系式是。

四、规律方法指导1．反比例函数的概念需注意的问题(1)k是常数，且k不为零；(2)自变量x的取值范围是的一切实数；(3)自变量y的取值范围是的一切实数．2．画反比例函数的图象时要注意的问题(1)画反比例函数图象的方法是描点法；(2)画反比例函数图象要注意自变量的取值范围是，因此不能把两个分支连接起来；(3)由于在反比例函数中，x和y的值都不能为0，所以画出的双曲线的两个分支要分别体现出无限的接近坐标轴，但永远不能达到x轴和y轴的变化趋势．3．用待定系数法求反比例函数关系式的一般步骤(1)设所求的反比例函数为：（）；(2)根据已知条件，列出含k的方程；(3)解出待定系数k的值.(4）把k值代入函数关系式中．经典例题透析类型一：确定反比例函数的解析式1. 已知函数y＝（m＋1）x是反比例函数，则m的值为_________.思路点拨:根据反比例函数概念，得且，可确定m的值.答案：.总结升华：此题确定函数是否为反比例函数要满足以下两点：一个是自变量的次数是-1，另一个是自变量的系数不等于0.举一反三：【变式1】已知y＝y1＋y2，y1与x成正比例，y2与x成反比例，且x＝2与x＝3时，y的值都等于10．求y与x间的函数关系式．【答案】【变式2】反比例函数图象经过点（2，3），则n的值是（）.A. B. C. 0 D. 1【答案】反比例函数过点（2，3）．．故选D．【变式3】已知y是x的反比例函数，且其图象过点（）。

求该反比例函数的解析式。

思路点拨：可先设出反比例函数的解析式为，把点（）代入解析式从而求得的值。

解析：设反比例函数的解析式为因为时，故，得所以反比例函数的解析式为总结升华：反比例函数解析式的确定可用待定系数法，因只有一个待定系数，故只需一个点的坐标或一个合适条件即可。

类型二：参数与反比例函数图象2. 函数与在同一坐标系中的图象可能是( ).A B C D思路点拨:综合考虑一次函数和反比例函数参数ｋ、ｂ的正负性，运用分类讨论的方法求解．答案: A．总结升华：反比例函数参数和一次函数参数的几何意义，以及数形结合的方法，是解决此类问题的有效方式之一．举一反三：【变式1】已知,且则函数与在同一坐标系中的图象不可能是( ) .A B C D【答案】B【变式2】如下图是三个反比例函数、、在x轴上方的图象，由此观察得到k1，k2，k3的大小关系:（）.A．k1＞k2＞k3B．k3＞k2＞k1C．k2＞k3＞k1D．k3＞k1＞k2【答案】B【变式3】如下图是反比例函数的图象的一支，根据图象回答下列问题：（1）图象的另一支在哪个象限？常数n的取值范围是什么？（2）在图象上任取两点A（a，b）和B（a＇,b＇），如果a＜a＇，那么b和b＇的大小关系？【答案】（1）因为反比例函数的图象的分布只有两种可能，分布在第一、三象限，或者第二、四象限，这个函数的图象一支在第二象限，则另一支必在第四象限。

因此这个函数的图象分布在第二、四象限，所以n+7＜0，n＜－7。

（2）因为n+7＜0 ，所以双曲线的两支分布在二、四象限，①当A,B两点在同一象限时,由于在每一个象限内y随x的增大而增大,所以当a ＜a＇时，有b＜b＇；②当A,B两点不在同一象限时，由a＜a＇,可得只能A在第二象限,B在第四象限,此时有b＞0＞b＇.综上，当A,B两点在同一象限时，有b＜b＇；当A,B两点不在同一象限时，有b ＞b＇.类型三：参数与比较大小3．已知（1，），（3，），（）是反比例函数的图象上的三个点，则的大小关系是______________．思路点拨:运用反比例函数的性质或者代入求值可以正确求解．答案：．总结升华：（1）反比例函数，当时，在每个象限内，y随x的增大而减小；当时，在每个象限内，y随x的增大而增大.（2）函数图像上的点一定满足函数解析式，所以将点的坐标带入解析式是解决问题的好办法之一．举一反三：【变式1】知（），（），（）是反比例函数的图象上的三个点，并且，则的大小关系是____________.【答案】．【变式2】如图，点A、B在反比例函数的图象上，且点A、B的横坐标分别为a，2a （a＞0），AC⊥x轴，垂足为点C，BD⊥x轴，垂足为点D，且△AOC的面积为2。

（1）求该反比例函数的解析式。

（2）若点（-a，y1），（-2a，y2）在该反比例函数的图象上，试比较y1与y2的大小。

【答案】（1）因为点A在反比例函数的图象上，设A点的坐标为（a，b ）。

∵a＞0，k＞0,∴AC=b ,OC=a,又∵∴∴k=4，即反比例函数的解析式为（2）∵a＞0 ∴2a＞a，即-2a＜-a＜0由于点（-a，y1），（-2a，y2）在双曲线上，根据反比例函数的性质k＞0，y随x增大而减小,知y1＜y2。

类型四：参数与图形面积4．如图,过反比例函数的图象上任意两点A、B，分别作x轴的垂线，垂足为，连接的交点为，记与梯形的面积分别为，试比较的大小.思路点拨：设A、B两点坐标分别为（），（）,分别表示与梯形的面积即可.解析：∵，且，∴，即.总结升华：反比例函数中的几何意义是: 等于双曲线线上任意一点作轴、轴的垂线所得的矩形的面积，如图：（1）,（2）.举一反三：【变式】一次函数的图象与反比例函数的图象交于两点．（1）试确定上述反比例函数和一次函数的表达式；（2）求的面积．【答案】（1）点在反比例函数的图象上，．反比例函数的表达式为．点也在反比例函数的图象上，，即．把点，点代入一次函数中，得解得一次函数的表达式为．（2）在中，当时，得．直线与轴的交点为．线段将分成和，．类型五：反比例函数的实际应用5．在某一电路中，电源电压U保持不变，电流I（A）与电阻R（Ω）之间的函数图象如图所示：（1）I与R的函数关系式为：_________；（2）结合图象回答：当电路中的电流不得超过12 A时，电路中电阻R的取值范围是_________.思路点拨:当电压U一定时，电流I与电阻R的关系为I=，所以电流I与电阻R•成反比例函数关系．再把点Ａ的坐标代入即可．解析：（1）答案是．（2）答案是．总结升华：结合反比例函数图象和性质可以找到解题的有效途径．举一反三：【变式1】在一个可以改变容积的密闭容器内，装有一定质量m的某种气体，当改变容积V时，气体的密度也随之改变。

与V在一定范围内满足，它的图象如图所示，则该气体的质量m为（）A. 1.4kgB. 5kgC. 6.4kgD. 7kg【答案】：选D解析：由题意知，当V=5时，，故。

【变式2】电压一定时，电流I与电阻R的函数图象大致是（）．【答案】A．中考题萃一、选择题1. 平面直角坐标系中有六个点，，，，，，其中有五个点在同一反比例函数图象上，不在这个反比例函数图象上的点是（）.A．点B．点C．点D．点2. 如图1，某反比例函数的图像过点M（，1），则此反比例函数表达式为（）A．B．C．D．3. 点A(2，m)在反比例函数的图象上，则m的值为（）.A.4B.24C.6D.－64. 反比例函数的图象在（）.A．第一、三象限B．第二、四象限C．第一、二象限D．第三、四象限5. 反比例函数（为常数，）的图象位于（）.A．第一、二象限B．第一、三象限C．第二、四角限D．第三、四象限6. 当x＜0时，反比例函数（）.A.图象在第二象限内，y随x的增大而减小B.图象在第二象限内，y随x的增大而增大C.图象在第三象限内，y随x的增大而减小D.图象在第四象限内，y随x的增大而增大7．对于反比例函数，下列说法不正确的是（）.A．点在它的图象上B．它的图象在第一、三象限C．当时，随的增大而增大D．当时，随的增大而减小8. 反比例函数的图象如图2所示，点是该函数图象上一点，垂直于轴，垂足是点，如果，则的值为（）.A．B．C．D．9. 在同一直角坐标系中，函数与的图象大致是（）.10．如图3，直线与双曲线交于点．过点作轴，垂足为点，连结．若，则的值是（）.A．B．C．D．11. 已知某种品牌电脑的显示器的寿命大约为小时，这种显示器工作的天数为d（天），平均每天工作的时间为t（小时），那么能正确表示d 与t之间的函数关系的图象是（）.12. 已知甲、乙两地相距（km），汽车从甲地匀速行驶到乙地，则汽车行驶的时间（h）与行驶速度（km/h）的函数关系图象大致是（）.13. 在一个可以改变容积的密闭容器内，装有一定质量的某种气体，当改变容积时，气体的密度也随之改变，与在一定范围内满足，当时，它的函数图象是（）.14. 根据物理学家波义耳1662年的研究结果：在温度不变的情况下，气球内气体的压强与它的体积的乘积是一个常数，即（为常数，），下列图象能正确反映与之间函数关系的是（）.A. B. C. D.15. 某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时,气球内气体的气压P ( kPa ) 是气体体积V ( m3 )的反比例函数，其图象如图4所示．当气球内的气压大于120 kPa时，气球将爆炸．为了安全起见，气球的体积应（）.A．不小于m3B．小于m3C．不小于m3D．小于m3二、填空题16. 若反比例函数（≠0）的图象经过点A（1，－3），则的值为____________.17．已知反比例函数的图象经过点A(-3,-6)则这个反比例函数的解析式是____________．18．反比例函数的图象经过点(1,-2)，则这个反比例函数的关系式为____________.19．如图5，双曲线与直线相交于两点，如果点的坐标是，那么点的坐标为____________.20. 如图6，已知双曲线(x＞0)经过矩形OABC边AB的中点F，交BC于点E，且四边形OEBF的面积为2，则k＝____________.21. 如图7，A、B是双曲线的一个分支上的两点，且点B(a，b)在点A的右侧，则b的取值范围是____________.22．如图8，⊙P的半径为2，圆心在函数的图象上运动，当圆P与轴相切时，点的坐标为____________.23．如图9，半径为2的两圆⊙O1和⊙O2均与y轴相切于点O，反比例函数(k ＞0)的图像与两圆分别交于点A,B,C,D，则图中阴影部分的面积是____________.24. 如图10，已知矩形OABC的面积为，它的对角线OB与双曲线相交于点D，且OB∶OD＝5∶3，则k＝____________.三、解答题25．在平面直角坐标系中，反比例函数的图象与的图象关于轴对称，又与直线交于点，试确定的值．26．如图11所示，已知一次函数y=kx+b的图像与x轴y轴分别交于A,B两点，且与反比例函数y=的图象在第一象限交于C点，CD垂直于x轴，垂足为D，若OA=OB=OD=1，(1)求点A、B、C的坐标；(2)求一次函数与反比例函数的解析式．27．如图12，在平面直角坐标系中，A为y轴正半轴上一点，过A作x轴的平行线，交函数( x＜0)的图象于B，交函数( x＞0)的图象于C，过C作y轴的平行线交BO的延长线于D．(1)如果点A的坐标为(0，2)，求线段AB与线段CA的长度之比；(2)如果点A的坐标为(0，a)，求线段AB与线段CA的长度之比；(3)在(2)的条件下，四边形AODC的面积为________．28．如图13，一次函数的图象与反比例函数的图象交于两点．（1）试确定上述反比例函数和一次函数的表达式；（2）求的面积．29．如图14，已知直线与双曲线交于两点，且点的横坐标为．（1）求的值；（2）若双曲线上一点的纵坐标为8，求的面积；答案与解析一、选择题1.B2.B3.D4.A5.C6.B7.C8.D9.C 10.A 11.C 12.C 13.D 14.C 15.C二、填空题16.—3 17.18.19.（—1，—2）20.221.0＜b＜2 22.（3，2）23.2π24.12三、解答题25.26.(1)A(-1,0)B(0,1)C(1,2),(2)y=x+1, y=.27.(1) (2) (3)1528.解：（1）点在反比例函数的图象上，．反比例函数的表达式为．点也在反比例函数的图象上，，即．把点，点代入一次函数中，得解得一次函数的表达式为．（2）在中，当时，得．直线与轴的交点为,如图15.线段将分成和，29.解：（1）点横坐标为，当时，．点的坐标为．点是直线与双曲线的交点，．（2）如图16,点在双曲线上，当时，点的坐标为．过点分别做轴，轴的垂线，垂足为，得矩形．，，，．．学习成果测评基础达标填空题1．图象经过点（-2，5）的反比例函数的解析式是____________.2．已知函数是反比例函数，且图象在第一、三象限内，则_______.3．反比例函数的图象叫做____________.当k＞0时，图象分居第____________ 象限，在每个象限内y随x的增大而__________；当k＜0时，图象分居第___________象限，在每个象限内y随x的增大而____________.4．反比例函数，图象在第____________象限内，函数值都是随x的增大而____________.5．若变量y与x成反比例，且x=2时，y=-3，则y与x之间的函数关系式是____________，在每个象限内函数值y随x的增大而____________.6．已知函数，当时，，则函数的解析式是____________.7．在函数（k为常数）的图象上有三个点（-2，y1），(-1，y2)，（，y3），函数值y1，y2，y3的大小为____________.8．如图1，面积为3的矩形OABC的一个顶点B在反比例函数的图象上，另三点在坐标轴上，则k=____________.图1选择题9．平行四边形的面积不变，那么它的底与高的函数关系是（）.A.正比例函数B.反比例函数C.一次函数D.二次函数10．下列函数中，反比例函数是（）.A. B. C. D.11．函数的图象过（2，-2），那么函数的图象在（）.A.第一、三象限B.第一、四象限C.第二、三象限D.第二、四象限12．如图2，在（x＞0）的图象上有三点A，B，C，过这三点分别向x轴引垂线，交x轴于A1，B1，C1三点，连OA，OB，OC，记△OAA1，△OBB1，△OCC1的面积分别为S1，S2，S3，则有( ).图2A.S1=S2=S3B.S1＜S2＜S3C.S3＜S1＜S2D.S1＞S2＞S313．反比例函数（k＞0）在第一象限的图象上有一点P，PQ⊥x轴，垂足为Q，连PO，设Rt△POQ的面积为S，则S的值与k之间的关系是（）.A. B. C. D.＞k14．已知a·b＜0，点P（a，b）在反比例函数的图象上，则直线不经过的象限是（）.A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限15．函数与在同一坐标系中的图象大致是（）.16．若点（x1，y1）、（x2，y2）、（x3，y3）都是反比例函数的图象上的点，并且x1＜0＜x2＜x3，则下列各式中正确的是（）.A.y1＜y2＜y3B.y2＜y3＜y1C.y3＜y2＜y1D.y1＜y3＜y217．若P（2，2）和Q（m，-m2）是反比例函数图象上的两点，则一次函数y=kx+m的图象经过（）.A.第一、二、三象限B.第一、二、四象限C.第一、三、四象限D.第二、三、四象限能力提升解答题18．甲、乙两地相距100千米，一辆汽车从甲地开往乙地，求汽车到达乙地所用的时间y（时）与汽车的平均速度x（千米/时）之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围，画出图象的草图.图319．如图3，Rt△AOB的顶点A（a，b）是一次函数y=x+m-1的图象与反比例函数的图象在第一象限内的交点，△AOB的面积为3.求一次函数和反比例函数的解析式. 20．已知变量y与x成反比例，即并且当x=3时，y=7，求：（1）k的值；（2）当时，y的值；（3）当y=3时，x的值.21．已知y=y1-y2,y1与x成反比例，y2与x2成正比例，且当x=-1时，y=-5，当x=1时，y=1，求y与x之间的函数关系式.22．一定质量的二氧化碳，当它的体积V=5m3时，它的密度ρ=1.98kg/m3.（1）求ρ与V的函数关系；（2）求当V=9m3时，二氧化碳的密度ρ.23．如图4，一个圆台形物体的上底面积是下底面积的，如果放在桌上，对桌面的压强是200Pa，翻过来放，对桌面的压强是多少？24．已知反比例函数的图象和一次函数y=kx-7的图象都经过点P（m，2），求这个一次函数的解析式。