第四节 一阶常系数线性差分方程

lim Pt = P ;
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δ t Pt = ( P0 P )( ) + P β
δ (3) 若初始价格不等于平衡价格,且 = 1 ,这时现行价 若初始价格不等于平衡价格, β 称为临界情形; 格 Pt 交替取两个值 P0 和 2 P P0 , 称为临界情形 ;
δ (4) 若初始价格不等于平衡价格,且 > 1 ,这时现行价 若初始价格不等于平衡价格, β 格 Pt 围绕平衡价格上下波动的振幅将随着 t 增大而无限
增大, 增大 , 从而产生价格的大波动 .
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练习: 练习:
P394 习题九
21
谢谢大家! 谢谢大家!
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�
为一阶常系数齐次线性差分方程, 一阶常系数齐次线性差分方程, 齐次线性差分方程
(2)
否则,称为一阶常系数非齐次线性差分方程. 否则,称为一阶常系数非齐次线性差分方程. 一阶常系数非齐次线性差分方程 (2)称为 对应的齐次线性差分方程. 称为(1)对应的齐次线性差分方程. 称为 对应的齐次线性差分方程
y t+ 1 y t = 2( At + A + B At B )2 t
= 2A2 ≠ t 2 ,
t t
不存在这样的特解. 不存在这样的特解.
10
t 的通解. 例4 求一阶常系数线性差分方程 y t + 1 2 y t = t 2 的通解.
解 设特解 y t = t ( At + B )2 , 代入方程得
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t
π
π
例6 求差分方程 2 y t + 1 + 10 y t 5t = 0 的通解 .
5 解 首先把差分方程改写为标准形式 y t +1 + 5 y t = t . 2 a = 5 ≠ 1 , 设特解 y t = A t + B ,代入方程得
y t+ 1 + 5 y t = A( t + 1) + B + 5( At + B )
δ α +γ β Pt + δ Pt 1 = α + γ Pt + Pt 1 = ( t = 0, 1, ) β β 求出方程的通解是
δ α +γ Pt = C + β β +δ
t
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δ α +γ Pt = C + β β +δ α +γ 令P = , 称 为平 衡 价 格(或均衡价格). β +δ
δ t 则由于 Pt 中包含因子 ( P0 P )( ) , 现行价格 Pt 将始终 β
δ (2) 若初始价格不等于平衡价格,且 < 1 , 这时现行价 若初始价格不等于平衡价格, β 格 Pt 围绕平衡价格上下波动的振幅将随着 t 增大而逐渐减
少 ,且
t → +∞
围绕平衡价格上下波动; 围绕平衡价格上下波动 ;
yt = C(a)t + yt
其中 y
(1)的一个特解, t 是
t = 0, 1, 2, ,C 是任意常数.
3
当 f(x)是多项式,指数函数,正弦函数,余弦函 ( )是多项式,指数函数,正弦函数, 数以及它们的和差或乘积时,一般可用待定系数法 待定系数法求 数以及它们的和差或乘积时,一般可用待定系数法求 (2)的一个特解. 的一个特解. 的一个特解 讨论三种情形: 讨论三种情形: 情形1 情形1 情形2 情形2 情形3 情形3
t
π
= ( B 2 A) cos
π
2
2
t ( A + 2 B ) sin
π
2
t ≡ 5 cos
π
2
t
A = 2, B = 1 ,
得特解为 y = 2 cos
t
t
π
2
t + sin
π
2
t,
通解为 y t = C 2 2 cos
π
2
t + sin
π
2
t , C为任意常数. 为任意常数. 为任意常数
表中 Q m (t ) 是待定系数的 m 次多项式.
8
求一阶常系数线性差分方程 y t + 1 y t = t 2 t 的通解. 通解. 例3
t 解 设特解 yt = ( At + B )2 ,代入方程得
y
t +1
y = ( 2 At + 2 A + 2 B At B )2 t
t
= ( At + 2 A + B )2 t = t 2 t , A = 1, B = 2 ,
第四节
1
一阶常系数线性差分方程标准形式为
yt +1 + ayt = f (t)
时有定义. 时有定义.
(1)
函数 f (t ) 当 t = 0, 1, 2, 其中 t = 0, 1, 2, ,常数 a ≠ 0 ,
如果当 t = 0, 1, 2, 时有 f ( t ) ≡ 0 , 则称方程
yt+1 +ayt = 0
Qm (t ) d t
t Qm (t ) d t
表中 Q m (t ) 是待定系数的 m 次多项式.
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例5
求线性差分方程 yt + 1 2 y t = 5 cos
t
π
2
t 的通解. 的通解.
解 设特解 y = A cosபைடு நூலகம்
π
2
t + B sin
π
2
π
2
t , 代入方程得
2 2
y
t +1
2 y = A sin t + B cos t 2( A cos π t + B sin π t )
Q s , t = S ( Pt 1 ) ;
(2) 现 期 该 产品 的 销 售量 Q d , t 由 现 行 价 格 Pt 确 定 , 即
Q d , t = D( Pt ) ;
(3) 现期该产品的供需平衡,即 Q d , t = Q s , t . 现期该产品的供需平衡,
常见的供给函数S与需求函数 均为线性函数 常见的供给函数 与需求函数D均为线性函数,于 与需求函数 均为线性函数, 是得到方程组 Q s , t = γ + δPt 1 ( 3) ( 4) Q d , t = α β Pt ( 5) 16 Q d , t = Q s , t
利用初始价格 P0 确定常数 C = P0 P ,
t
可得现行价格 Pt 的公式
δ Pt = ( P0 P ) + P β
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t
δ t Pt = ( P0 P )( ) + P β
由此可得以下简单结论: 由此可得以下简单结论: (1) 若初始价格 P0 等于平衡价格 P ,则现行价格 Pt 将始 终等于平衡价格;否则,若初始价格不等于平衡价格, 终等于平衡价格 ;否则,若初始价格不等于平衡价格,
11
, 当 f ( t ) = Pm ( t ) d t 时, 一般 可按下表设定非齐次 差分方程 y t + 1 + ay t = f ( t ) 的一个特解 y t :
f (t )
d 与系数 a 的关系
t
特解 y
t 的形式
Pm ( t ) d Pm ( t ) d
t
a+d ≠0 a+d =0
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一般, 当 f (t ) 是多项式 Pm (t ) 时 ,可按下表设定 非齐次差分方程 y t + 1 + ay t = f ( t ) 的一个特解 y t :
f (t )
系数 a 的取值
特解 y
t 的形式
Pm (t ) Pm (t )
a ≠ 1 a = 1
Q m (t )
t Q m (t )
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一般, 一般 , 当 f ( t ) = M cos ω t + N sin ω t , 其中 是常数, 可以设 M , N , ω 是常数,且 0 < ω < 2π , ω ≠ π ,可以设 特解为
y = A cos t + B sin t 2 2
其中 A, B 是两个待定常数 .
如果所给差分方程不是标准形式的, 如果所给差分方程不是标准形式的,必须首先把 它化为标准形式才能应用上面给出的通解公式和选取 它化为标准形式才能应用上面给出的通解公式和选取 标准形式 特解的有关结论. 特解的有关结论.
y
t +1
y = A( t + 1 ) + B ( A t + B ) = A ≠ 3 t 2 ,
t
没有这样的特解. 没有这样的特解.
6
例2 求一阶常系数线性差分方程 yt +1 yt = 3t 2 的通解. 的通解. 解 设特解 y t = t ( At + B ) = At 2 + B t , 代入方程得
t
y
t +1
y = 2[ A( t + 1) 2 + B ( t + 1) At 2 B t ] 2 t
t
t
t
= 2( 2 At + A + B )2 ≡ t2
1 1 A= ,B= , 4 4 1 y t = t ( t 1)2 t , 得特解为 4 t t2 t 为任意常数. 为任意常数 从而通解为 y t = (C + )2 , C为任意常数. 4 4
Q s , t = γ + δPt 1 Q d , t = α β Pt Q d , t = Q s , t
行价格 Pt , 并研究其变化规律 .