河北省武邑中学2017届高三下学期第三次模拟考试数学(文)试题

河北武邑中学2016-2017学年高三年级第三次模拟考试数学试题（文科）第Ⅰ卷 选择题（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若复数1,z i z =+为z 的共轭复数，则z z = （ ）A ．0B ．2C ．2i2.已知集合{}{}2|02,|10A x x B x x =<<=-<，则A B = （ ）A ．()1,1-B ．()1,2-C ．()1,2D ．()0,1 3.若1122aii i+=++，则a = （ ） A ． 5i -- B ． 5i -+ C ． 5i - D ． 5i +4.设()f x 是定义在R 上周期为2的奇函数，当01x ≤≤时，()2f x x x =-，则52f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭（ ） A ．14-B ．12- C. 14 D ．125.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）A ．3612π+B ． 3616π+ C. 4012π+ D ．4016π+ 6. 定义在R 上的函数()f x 满足()()()2log 8,01,0x x f x f x x -≤⎧⎪=⎨->⎪⎩，则()3f = （ ）A ．3B ．2 C. 2log 9 D ．2log 77.已知圆22:4C x y +=，直线:l y x =，则圆C 上任取一点A 到直线l 的距离小于1的概率为（ ） A ．34 B ．23 C. 12D ．138.已知函数()()cos 0,,2xx f x a R a e ωϕπωϕ+⎛⎫=><∈ ⎪⎝⎭在区间[]3,3-上的图象如图所示，则aω可取 （ ） A ． 4π B ． 2π C. π D ．2π 9.已知MOD 函数是一个求余函数，记(),MOD m n 表示m 除以n 的余数，例如()832MOD =，，右图是某个算法的程序框图，若输入m 的值为48时，则输出i 的值为（ ）A ． 7B ．8 C. 9 D ．1010.若ABC ∆的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知2sin 23sin b A a B =，且2c b =，则ab 等于（ ）A ．32B ． 4311.对一切实数x ，不等式210x a x ++≥恒成立，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(),2-∞- B ．[)2,-+∞ C. []2,2- D ．[)0,+∞12.已知点A 是抛物线24x y =的对称轴与准线的交点，点B 为抛物线的焦点，P 在抛物线上且当PA 与抛物线相切时，点P 恰好在以A B 、为焦点的双曲线上，则双曲线的离心率为（ ）A ．．121 D 1 第Ⅱ卷 非选择题（共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分，将答案填在答题纸上13.若3sin 25πα⎛⎫+=⎪⎝⎭，则cos 2α= ． 14.方程[]()200,1x x n n ++=∈有实根的概率为 ． 15. 已知点(),P a b 在函数2e y x =上，且1,1a b >>，则ln ba 的最大值为 ．16.已知双曲线2C 与椭圆221:143x y C +=具有相同的焦点，则两条曲线相交四个交点形成四边形面积最大时双曲线2C 的离心率为 ．三、解答题 ：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.在等差数列{}n a 中，273823,29a a a a +=-+=-. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设数列{}n n a b +是首项为1，公比为2的等比数列，求{}n b 的前n 项和n S .18.如图，DC ⊥平面ABC ，//EB DC ，22AC BC EB DC ====，0120ACB ∠=，,P Q 分别为,AE AB 的中点.（1）证明：//PQ 平面ACD ；（2）求AD 与平面ABE 所成角的正弦值．19.经国务院批复同意，郑州成功入围国家中心城市，某校学生团针对“郑州的发展环境”对20名学生进行问卷调查打分（满分100分），得到如图1所示茎叶图.（1）分别计算男生女生打分的平均分，并用数学特征评价男女生打分的数据分布情况； （2）如图2按照打分区间[)[)[)[)[]0,6060,707080809090,100、、、、、、绘制的直方图中，求最高矩形的高；（3）从打分在70分以下（不含70分）的同学中抽取3人，求有女生被抽中的概率． 20.已知动圆M 恒过点()0,1，且与直线1y =-相切． （1）求圆心M 的轨迹方程；（2）动直线l 过点()0,2P -，且与点M 的轨迹交于A B 、两点，点C 与点B 关于y 轴对称，求证：直线AC 恒过定点．21. 已知函数()()ln 1f x x a x =+-，其中a R ∈． （1）当1a =-时，求证：()0f x ≤；（2）对任意t e ≥，存在()0,x ∈+∞，使()()ln 10t t t f x a +-+>⎡⎤⎣⎦成立，求a 的取值范围（其中e 是自然对数的底数， 2.71828e = ）．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.选修4-4：坐标系与参数方程已知直线112:x t l y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），曲线1cos :sin x C y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）．（1）设l 与1C 相交于,A B 两点，求AB ； （2）若把曲线1C 上各点的横坐标压缩为原来的12倍，得到曲线2C ，设点P 是曲线2C 上的一个动点，求它到直线l 的距离的最小值． 23.选修4-5：不等式选讲已知不等式23x x -<与不等式20x mx n -+<的解集相同． （1）求m n -；（2）若()0,1a b c ∈、、，且ab bc ac m n ++=-，求a b c ++的最小值．试卷答案一、选择题1-5: BBDCC 6-10: ADBCC 11、12：BC二、填空题13. 725-14. 1415. e三、解答题17.解：（1）设等差数列{}n a 的公差是d ，由已知()()382726a a a a d +-+==-，∴3d =-， ∴2712723a a a d +=+=-，得11a =-， ∴数列{}n a 的通项公式为32n a n =-+；（2）由数列{}n n a b +是首项为1，公比为2的等比数列， ∴1112,2322n n n n n n n a b b a n ---+==-=-+，()()()2131147321222212n nn n n S n --=++++-+++++=+-⎡⎤⎣⎦ ．18.解：设椭圆的焦距为2c ，则()()12,0,,0F c F c -， （1）因为()0,B b，所以2BF a ==，又2BF =a =因为点4133C ⎛⎫ ⎪⎝⎭，在椭圆上，所以22161991a b +=，解得21b =，故所求椭圆的方程为2212x y +=． （2）因为()()20,,,0B b F c 在直线AB 上，所以直线AB 的方程为1x yc b+=， 解方程组222211x yc b x y a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩得()2122221222a c x a c b c a y a c ⎧=⎪+⎪⎨-⎪=⎪+⎩，220x y b =⎧⎨=⎩， 所以点A 的坐标为()22222222,b c a a c a c a c ⎛⎫- ⎪ ⎪++⎝⎭． 又AC 垂直于x 轴，由椭圆的对称性，可得点C 的坐标为()22222222,b ac a c a c a c ⎛⎫- ⎪ ⎪++⎝⎭， 因为直线1FC 的斜率为()()()2222222232223b a c b a c a c a c a c cc a c ---+=+--+，直线AB 的斜率为b c -，且1FC AB ⊥，所以()222313b a c b a c c c -⎛⎫-=- ⎪+⎝⎭ ，又222b a c =-，整理得225a c =，故215e =，因此e =19.解：（1）女生打分的平均分为：()11686975767079788287967810x =+++++++++=， 男生打分的平均分为：()21555362657170737486816910x =+++++++++=， 从茎叶图来看，女生打分相对集中，男生打分相对分散．（2）20名学生中，打分区间[)[)[)[)[]0,6060,7070,8080,9090,100、、、、中的学生数分别为：2人，4人，9人，4人，1人，打分区间[)70,80的人数最多，有9人，所点频率为：90.4520=， ∴最高矩形的高0.450.04510h ==． （3）打分在70分以下（不含70分）的同学有6人，其中男生4人，女生2人，从中抽取3人，基本事件总数3620n C ==，有女生被抽中的对立事件是抽中的3名同学都是男生，∴有女生被抽中的概率34364115C m p n C =-=-=．20.解：（1）∵动点M 到直线1y =-的距离等于到定点()0,1C 的距离， ∴动点M 的轨迹为抛物线，且12p=，解得：2p =， ∴动点M 的轨迹方程为24x y =；（2）证明：由题意可知直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为：2y kx =-，()()1122,,,A x y B x y ，则()22,C x y -．联立224y kx x y=-⎧⎨=⎩，化为2480x kx -+=，216320k ∆=->，解得k >k <∴12124,8x x k x x +==； 直线AC 的方程为：()212221y y y y x x x x --=-++，又∵11222,2y kx y kx =-=-，∴()()2221122442ky k kx kx kx kx x kx --=-+-，化为()()212244y x x x x k x =-+-， ∵124x k x =-，∴()2148y x x x =-+，令0x =，则2y =， ∴直线AC 恒过一定点()0,2．21.解：（1）当1a =-时，()()ln 10f x x x x =-+>， 则()111xf x x x-'=-=，令()0f x '=，得1x =， 当01x <<时，()0f x '>，()f x 单调递增；当1x >时，()0f x '<，()f x 单调递减，故当1x =时，函数()f x 取得极大值，也为最大值，所以()()max 10f x f ==， 所以()0f x ≤，得证．（2）原题即对任意t e ≥，存在()0,x ∈+∞，使()ln 1t tf x a t >---成立， 只需()()min minln 1t t f x a t ⎛⎫>--⎪-⎝⎭， 设()ln 1t t h t t =-，则()()21ln 1t th t t --'=-， 令()1ln u t t t =--，则()1110t u t tt-'=-=>对于t e ≥恒成立， 所以()1ln u t t t =--为[),e +∞上的增函数， 于是()()1ln 20u t t t u e e =--≥=->，即()()21ln 01t th t t --'=>-对于t e ≥恒成立，所以()ln 1t t h t t =-为[),e +∞上的增函数，则()()min minln 11t t e h t h e t e ⎛⎫=== ⎪--⎝⎭， 令()()p x f x a =--，则()()ln 1ln p x x a x a x ax =----=--，当0a ≥时，()ln p x x ax =--为()0,+∞的减函数，且其值域为R ，符合题意． 当0a <时，()1p x a x =--，由()0p x '=得10x a=->， 由()0p x '>得1x a >-，则()p x 在1,a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上为增函数；由()0p x '<得10x a <<-，则()p x 在10,a ⎛⎫-⎪⎝⎭上为减函数，所以()()min 1ln 1p x p a a ⎛⎫=-=-+ ⎪⎝⎭，从而由()ln 11e a e -+<-，解得110e e a --<<，综上所述，a 的取值范围是11,e e -⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭．22.解：（1）l的普通方程为)1y x =-，1C 的普通方程为221x y +=，联立方程组)2211y x x y ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩解得l 与1C 的交点为()11,0,,2A B ⎛ ⎝⎭，则1AB =；（2）2C的参数方程为1cos 22x y θθ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（θ为参数），故点P的坐标是1cos 2θθ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，从而点P 到直线l的距离是24d πθ⎤⎛⎫==-+ ⎪⎥⎝⎭⎦， 由此当sin 14πθ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭时，d)1．23.（1）当230x -≥，即32x ≥时，不等式23x x -<可化为23x x -<， 解得3x <，∴332x ≤<； 当230x -<，即32x <时，不等式23x x -<，可化为32x x -<，解得1x >，∴312x <<；综上，不等式的解集为{}|13x x <<；∴不等式20x mx n -+<的解集为{}|13x x <<，∴方程20x mx n -+=的两实数根为1和3， ∴134133m n =+=⎧⎨=⨯=⎩，∴431m n -=-=；（2）()0,1a b c ∈、、，且1ab bc ac m n ++=-=， ∴()()()()()2222122222332a b c a b c ab bc ca ab bc ac ab bc ac ab bc ca ++=+++++≥+++++=++=∴a b c ++。