宁夏银川一中2015届高三第一次模拟考试数学(理)(附答案)

2015年普通高等学校招生全国统一考试理 科 数 学(银川一中第一次模拟考试)本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，其中第Ⅱ卷第22～24题为选考题，其它题为必考题。

考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

注意事项：1．答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，认真核对条形码上的姓名、准考证号，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上。

2．选择题答案使用2B 铅笔填涂,如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案的标号；非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚。

3．请按照题号在各题的答题区域(黑色线框)内作答,超出答题区域书写的答案无效。

4．保持卡面清洁，不折叠，不破损。

5．做选考题时，考生按照题目要求作答，并用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑。

第I 卷一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的．1．已知全集U=R ，集合{}lg(1)A x y x ==-，集合{}B yy ==，则A∩(C U B)= A ．[1,2]B ．[1,2)C ．(1,2]D ．(1,2)2．已知直线m 、n 和平面α，则m ∥n 的必要非充分条件是 A ．m 、n 与α成等角 B. m ⊥α且n ⊥α C. m ∥α且n α⊂ D ．m ∥α且n ∥α 3．若等比数列}{n a 的前n 项和32n n S a =⋅-，则2a = A ．4B ．12C ．24D ．364．已知复数i bi a i 42))(1(+=++),(R b a ∈，函数()2sin()6f x ax b π=++图象的一个对称中心是 A. （1,6π-） B. （,018π-） C.（,36π-） D.（5,118π）5．如图给出的是计算11124100++⋅⋅⋅+的值的程序框图，则图中 判断框内（1）处和执行框中的（2）处应填的语句是 A. i ＞100,n=n+1 B. i ＞100,n=n+2 C. i ＞50,n=n+2 D. i≤50,n=n+2 6．设()0cos sin a x x dx π=-⎰，则二项式62a x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭展开式中的3x 项的系数为 A. 160-B. 20C. 20-D. 1607．给出下列四个结论：（1）如图Rt ABC ∆中， 2,90,AC B C =∠=︒∠D 是斜边AC 上的点，|CD|=|CB|. 以B 为起点 任作一条射线BE 交AC 于E 点，则E 点落在 线段CD 上的概率是2； （2）设某大学的女生体重y (kg)与身高x (cm)具有线性相关关系，根据一组样本数据(x i ，y i )(i ＝1，2，…，n )，用最小二乘法建立的线性回归方程为y ^＝0.85x －85.71，则若该大学某女生身高增加1 cm ，则其体重约增加0.85 kg ；（3）为调查中学生近视情况,测得某校男生150名中有80名近视,在140名女生中有70名近视.在检验这些学生眼睛近视是否与性别有关时,应该用独立性检验最有说服力;（4）已知随机变量ξ服从正态分布()()21,,40.79,N P σξ≤=则()20.21;P ξ≤-=其中正确结论的个数为 A. 1 B. 2 C. 3 D. 48．一个四面体的顶点都在球面上，它们的正视图、侧视图、俯 视图都是右图.图中圆内有一个以圆心为中心边长为1的正 方形.则这个四面体的外接球的表面积是 A.πB. 3πC. 4πD. 6π9．已知y x z +=2，其中实数y x ,满足⎪⎩⎪⎨⎧≥≤+≥a x y x x y 2，且z 的最大值是最小值的4倍，则a 的值是(第8题图)A.112 B. 41C. 4D. 21110．对于函数()y f x =，部分x 与y 的对应关系如下表：数列{}n x 满足：11x =，且对于任意*n N ∈，点1(,)n n x x +都在函数()y f x =的图像上，则201420134321x x x x x x ++++++ 的值为A. 7549B. 7545C. 7539D. 755311．已知F 2、F 1是双曲线22221y x a b-=(a>0，b>0)的上、下焦点，点F 2关于渐近线的对称点恰好落在以F 1为圆心，|OF 1|为半径的圆上，则双曲线的离心率为 A ．3 B ． 3 C ．2 D ． 2 12．已知函数f (x )=1a x x ⎛⎫-⎪⎝⎭-2lnx (a ∈R )，g (x )=a x -，若至少存在一个x 0∈[1，e ]，使得f (x 0)>g (x 0)成立，则实数a 的范围为A ．[1，+∞)B ．(1，+∞)C ．[0，+∞)D ．(0，+∞)第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分．第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22题～第24题为选考题，考生根据要求做答． 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．等差数列{}n a 中，48126a a a ++=，则91113a a -= . 14．若(0,)απ∈，且3cos 2sin()4παα=-，则sin 2α的值为 .15．在某地的奥运火炬传递活动中，有编号为1，2，3，…，18的18名火炬手.若从中任选3人，则选出的火炬手的编号能组成以3为公差的等差数列的概率为 .16．在直角坐标平面xoy 中，F 是抛物线C: 22x py =（p>0）的焦点，M 是抛物线C 上位于第一象限内的任意一点，过M,F,O 三点的圆的圆心为Q,点Q 到抛物线C 的准线的距离为34，则抛物线C 的方程为__________________． 三、解答题:解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤 17.（本小题满分12分）ABC ∆中内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，向量2(2sin ,3),(cos 2,2cos 1)2B m B n B =-=-2(2sin ,3),(cos 2,2cos 1)2Bm B n B =-=-且//m n （1）求锐角B 的大小；（2）如果2b =，求ABC ∆的面积ABC S ∆的最大值．18．（本小题满分12分）如图，AB 是半圆O 的直径，C 是半圆O 上除A 、B 外的一个动点，DC 垂直于半圆O 所在的平面， DC ∥EB ，DC EB =，4=AB ，41tan =∠EAB ． ⑴证明：平面⊥ADE 平面ACD ； ⑵当三棱锥ADE C -体积最大时， 求二面角D AE B --的余弦值．19．(本题满分12分)某权威机构发布了2013年度“城市居民幸福排行榜”，某市成为本年度城市最“幸福城”.随后，该市某校学生会组织部分同学，用“10分制”随机调查“阳光”社区人们的幸福度.现从调查人群中随机抽取16名，如图所示的茎叶图记录了他们的幸福度分数(以小数点前的一位数字为茎，小数点后的一位数字为叶)： （1）指出这组数据的众数和中位数；（2）若幸福度不低于9.5分，则称该人的幸福度为“极幸福”.求从这16人中随机选取3人，至多有1人是“极幸福”的概率；（3）以这16人的样本数据来估计整个社区的总体数据，若从该社区(人数很多)任选3人，记ξ表示抽到“极幸福”的人数，求ξ的分布列及数学期望．20．(本小题满分12分)己知A 、B 、C 是椭圆m ：22221x y a b +=（0a b >>）上的三点，其中点A 的坐标为，BC 过椭圆的中心，且0AC BC ⋅=，||2||BC AC =。

（1）求椭圆m 的方程；（2）过点(0,)t 的直线l (斜率存在时)与椭圆m 交于两点P ，Q ，设D 为椭圆m 与y 轴负半轴的交点，且||||DP DQ =，求实数t 的取值范围．21. (本小题满分12分)已知函数)(x f =1ln +-kx x . （1）求函数)(x f 的单调区间；（2）若0)(≤x f 恒成立，试确定实数k 的取值范围； （3）证明：4)1(1ln 43ln 32ln -<++++n n n n （1,>∈*n N n ） 请考生在第22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.22.（本小题满分10分） 选修4—1；几何证明选讲．如图,圆O 的直径10=AB ,P 是AB 延长线上一点,2=BP ,割线PCD 交圆O 于点C ,D ,过点P 作AP 的垂线,交直线AC 于点E ,交直线AD 于点F . (I)求证:PDF PEC ∠=∠; (II)求PF PE ⋅的值.23.（本小题满分10分）选修4—4: 坐标系与参数方程．已知直线: t t y t x (.23,211⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=为参数), 曲线:1C cos ,sin ,x y θθ=⎧⎨=⎩ （θ为参数）. (I)设 与1C 相交于B A ,两点,求||AB ； (II)若把曲线1C 上各点的横坐标压缩为原来的21倍,纵坐标压缩为原来的23倍,得到曲线2C ,设点P 是曲线2C 上的一个动点,求它到直线 的距离的最小值.24．（本小题满分10分）选修4—5；不等式选讲． 设不等式1|12|<-x 的解集是M ，M b a ∈,． （I ）试比较1+ab 与b a +的大小；（II ）设max 表示数集A 的最大数．⎭⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧+=b ab ba ah 2,,2max 22,求证：2≥h ．银川一中2015届高三第一次模拟考试数学(理科)参考答案一、选择题13.43 14. 1或1817- 15. 68116. 22x y =三．解答题17.（本小题满分12分）解：（Ⅰ）n m// B B B 2cos 3)12cos 2(sin 22-=-∴ B B 2cos 32sin -=∴ 即 32t a n -=B又B 为锐角 ()π,02∈∴B 322π=∴B 3π=∴B（2）,23B b π==， 由余弦定理得222cos 2a c b B ac+-=即0422=--+ac c a -又ac c a 222≥+ 代入上式得4≤ac （当且仅当 2==c a 时等号成立）343sin 21≤==∆ac B ac S ABC （当且仅当 2==c a 时等号成立。

）…12分 18．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）证明：因为AB 是直径，所以AC BC ⊥ 因为⊥CD 平面ABC ，所以BC CD ⊥ ， 因为C AC CD = ，所以⊥BC 平面ACD因为BE CD //， BE CD =，所以BCDE 是平行四边形，DE BC //，所以⊥DE 平面ACD因为⊂DE 平面ADE ，所以平面⊥ADE 平面ACD （Ⅱ）依题意，1414tan =⨯=∠⨯=EAB AB EB ， 由（Ⅰ）知DE S V V ACD ACD E ADE C ⨯⨯==∆--31DE CD AC ⨯⨯⨯⨯=2131 BC AC ⨯⨯=6134121)(121222=⨯=+⨯≤AB BC AC ， 当且仅当22==BC AC 时等号成立 …………8分z如图所示，建立空间直角坐标系，则(0,0,1)D，E ，AB ，则(AB =-，(0,0,1)BE =，DE =，1,)DA =-设面DAE 的法向量为1(,,)n x y z =，110n DE n DA ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即0z ⎧=⎪⎨-=⎪⎩∴1(1n =， 设面ABE 的法向量为2(,,)n x y z =， 2200n BE n AB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即0z =⎧⎪⎨-+=⎪⎩∴2(1,1,0)n =，121212cos ,629n n n n n n ∴===可以判断12,n n 与二面角D AE B --的平面角互补∴二面角D AE B --的余弦值为6-.…12分 19．(本题满分12分)解：（1）众数：8.6； 中位数：8.75 ；……………2分（2）设i A 表示所取3人中有i 个人是“极幸福”，至多有1人是“极幸福”记为事件A ，则140121)()()(3162121431631210=+=+=C C C C C A P A P A P ； …………6分（3）ξ的可能取值为0，1，2，3.6427)43()0(3===ξP ；6427)43(41)1(213===C P ξ； 6494341()2(223===C P ξ；641)41()3(3===ξP ………………10分 所以ξ的分布列为：ξE 27279101230.7564646464=⨯+⨯+⨯+⨯=. ……………12分 另解：ξ的可能取值为0，1，2，3.则1~(3,)4B ξ，3313()()()44k k kP k C ξ-==.所以ξE =75.0413=⨯． 20.(本小题满分12分)解：（Ⅰ）∵||2|BC AC =且BC 过(0,0)，则||||OC AC =． ∵0AC BC ⋅=，∴90OCA ∠=︒，即C ．又∵a =m 的方程为22211212x y c +=-， 将C 点坐标代入得23311212c+=-，解得28c =，24b =． ∴椭圆m 的方程为221124x y +=． （Ⅱ）由条件(0,2)D -，当0k =时，显然22t -<<；当0k ≠时，设l ：y kx t =+，221124x y y kx t ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，消y 得222(13)63120k x ktx t +++-=由0∆>可得，22412t k <+ ……①…设11(,)P x y ，22(,)Q x y ，PQ 中点00(,)H x y ，则12023213x x ktx k +-==+，00213t y kx t k =+=+, ∴223(,)1313kt tH k k -++． 由|||DP DQ =，∴DH PQ ⊥，即1DHk k =-。