江苏省启东中学2015届高三上学期第一次月考数学(理)试题含解析

江苏省启东中学2014-2015学年度第一学期第一次月考高三数学（理）试卷【试卷综析】本试卷是高三文科理试卷，考查学生解决实际问题的综合能力，是份较好的试卷.以基础知识和基本能力为载体突出考查考纲要求的基本能力，重视学生科学素养的考查.试题重点考查：集合、命题，函数模型不等式、复数、向量、导数函数的应用、三角函数的性质、三角恒等变换与解三角形等，是一份非常好的试卷。

一．填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案直接填写在答题卡相应．．．．． 位置上．．．． 【题文】1．已知全集}7,5,3,1{},5,4,2{},7,6,5,4,3,2,1{===B A U ，则=⋂)(B C A U ▲ ．【知识点】集合及其运算A1 【答案解析】{2，4，5} ∵全集U={1，2，3，4，5，6.7}，B={1，3，5，7}， ∴∁U B={2，4，6}，又A={2，4，5}，则A ∩（∁U B ）={2，4，5}．故答案为：{2，4，5} 【思路点拨】找出全集U 中不属于B 的元素，确定出B 的补集，找出A 与B 补集的公共元素，即可确定出所求的集合．【题文】2．若命题“R x ∈∃，有02≤--m mx x ”是假命题，则实数m 的取值范围是 ▲ ．【知识点】命题及其关系A2 【答案解析】[-4，0] ∵命题“∃x ∈R ，有x 2-mx-m ＜0”是假命题，⇔“∀x ∈R ，有x 2-mx-m ≥0”是真命题．令f （x ）=x 2-mx-m ，则必有△=m 2-4m ≤0，解得-4≤m ≤0． 故答案为：[-4，0]．【思路点拨】令f （x ）=x 2-mx-m ，利用“∃x ∈R ，有x 2-mx-m ＜0”是假命题⇔△=m 2-4m ≤0，解出即可．【题文】3．已知βα,的终边在第一象限，则“βα>”是“βαsin sin >”的 ▲ 条件．【知识点】充分条件、必要条件A2故答案为：既不必要也不充分条件． 【思路点拨】根据三件函数的定义和关系式，结合充分条件和必要条件的定义进行判断．【题文】4.已知)(x f 的定义域是]4,0[，则)1()1(-++x f x f 的定义域为 ▲ ．【知识点】函数及其表示B1【答案解析】[1，3] ∵f （x ）的定义域是[0，4]，∴f （x+1）+f （x-1）的定义域为不等式组014014x x ≤+≤⎧⎨≤-≤⎩的解集，解得：1≤x ≤3． 故答案为：[1，3]． 【思路点拨】由题意可列不等式组014014x x ≤+≤⎧⎨≤-≤⎩，解之即可．【题文】5.已知角α终边上一点P 的坐标是)3cos 2,3sin 2(-，则=αsin ▲ ．【知识点】角的概念及任意角的三角函数C1∴|OP|= 【题文】6.已知曲线33:x x y S -=及点)2,2(P ，则过点P 可向曲线S 引切线，其切线共有▲ 条.【知识点】导数的应用B12【答案解析】3 ∵y=3x-x 3，∴y'=f'（x ）=3-3x 2，∵P （2，2）不在曲线S 上， ∴设切点为M （a ，b ），则b=3a-a 3，f'（a ）=3-3a 2则切线方程为y-（3a-a 3）=（3-3a 2）（x-a ），∵P （2，2）在切线上，∴2-（3a-a 3）=（3-3a 2）（2-a ），即2a 3-6a 2+4=0， ∴a 3-3a 2+2=0，即a 3-a 2-2a 2+2=0，∴（a-1）（a 2-2a-2）=0，解得a=1或a=1±∴切线的条数为3条，故答案为3． 【思路点拨】求函数的导数，设切点为M （a ，b ），利用导数的几何意义，求切线方程，利用点P （2，2）在切线上，求出切线条数即可．【题文】7.化简：=-----++)3sin()3cos()23sin()2cos()tan(αππαπααπαπ ▲ ．【知识点】同角三角函数的基本关系式与诱导公式C2【答案解析】=-----++)3sin()3cos()23sin()2cos()tan(αππαπααπαπtan cos cos (cos )sin ∂∂∂-∂∂=-1 【思路点拨】利用三角函数诱导公式同角三角函数基本关系。

【题文】8.设函数1cos )(3+=x x x f ．若11)(=a f ，则=-)(a f ▲ ．【知识点】函数的奇偶性B4【答案解析】-9 令g （x ）=f （x ）-1=x 3cosx 则g （x ）为奇函数，又∵f （a ）=11， ∴g （a ）=f （a ）-1=11-1=10∴g （-a ）=-10=f （-a ）-1∴f （-a ）=-9故答案为：-9【思路点拨】由于函数f （x ）=x 3cosx+1，是一个非奇非偶函数，故无法直接应用函数奇偶性的性质进行解答，故可构造函数g （x ）=f （x ）-1=x 3cosx ，然后利用g （x ）为奇函数，进行解答．【题文】9.函数|cos |sin cos |sin |)(x x x x x f ⋅+⋅=的值域为 ▲ ．【知识点】角的概念及任意角的三角函数C1【答案解析】x 坐标轴上时结果为0，角在第一象限时为[]1,1-,第二象限时为0,第三象限时[]1,1-，第四象限时为0.故答案为[]1,1-【思路点拨】分别在各个范围内求出值域，确定最后结果。

【题文】10.已知函数x y ωtan =在),(ππ-内是减函数，则实数ω的范围是 ▲ ．【知识点】三角函数的图象与性质C3【题文】11.已知偶函数)(x f 在),0(+∞单调递减，则满足)1()1(f xf <的实数x 的取值范围是 ▲ ．【知识点】函数的单调性与最值B3【题文】12.已知锐角B A ,满足A B A tan 2)tan(=+，则B tan 的最大值是 ▲ ．【知识点】三角函数的求值、化简与证明C7∵2tanA=tan （A+B ），时取“=”【思路点拨】通过tanB=tan[（A+B ）-A]利用公式展开，把tan （A+B ）=2tanA 代入，整理后利用基本不等式求得tanB 的最大值，进而根据等号成立的条件求得tanB 的值，即可得出结果．【题文】13.已知)(x f 是R 上最小正周期为2的周期函数，且当20<≤x 时，x x x f -=3)(，则函数)(x f y =的图象在区间]6,0[上与x 轴的交点的个数为 ▲ ． 【知识点】函数与方程B9【答案解析】7当0≤x ＜2时，令f （x ）=x 3-x=0，则x （x-1）（x+1）=0，解得x=0，或1； 已知f （x ）是R 上最小正周期为2的周期函数，∴f （0）=f （2）=f （4）=f （6）=0，f （1）=f （3）=f （5）=0， 故在区间[0，6]上，方程f （x ）=0共有7个根，∴函数y=f （x ）的图象在区间[0，6]上与x 轴的交点的个数为7．故答案为7．【思路点拨】先求出方程f （x ）=0在区间[0，2）上的根的个数，再利用其周期为2的条件即f （x+2）=f （x ），即可判断出所有根的个数．【题文】14.定义在R 上的可导函数)(x f ,已知)(x f ey '=的图象如图所示，则)(x f y =的增区间是 .【知识点】导数的应用B12【答案解析】（-∞，2） 由题意如图f'（x ）≥0的区间是（-∞，2），故函数y=f （x ）的增区间（-∞，2），故答案为：（-∞，2）【思路点拨】由题意知，欲求函数的增区间，由图象确定出函数导数为非负的区间就可以了，由于y=e f '（x ）是一个指数型的函数，当指数大于0时函数值大于1，故由图象找出函数图象在直线y=1上面的那一部分的自变量的集合即为所求 二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域内作答. 解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．【题文】15.（本小题满分14分）已知集合}0)]4()][1([|{},1121|{<+-+-=++-==a x a x x B x x y x A .分别根据下列条件，求实数a 的取值范围.（1）A B A =⋂； （2）φ≠⋂B A【知识点】集合及其运算A1（2）由上可得，A=（-1，0]，B=（a+1，a+4），当A ∩B=φ，a+1≥0 或 a+4≤-1，解得 a ≥-1 或 a ≤-5．故当A ∩B ≠φ时，-5＜a ＜-1，故a 的取值范围（-5，-1）【思路点拨】（1）解分式不等式求出A ，再求出B ，由条件A ∩B=A 可得 A ⊆B ，考查集合的端点间的大小关系，求得实数a 的取值范围．（2）求出当A ∩B=φ时实数a 的取值范围，再取补集，即得所求．【题文】16.（本小题满分14分）设a 为实数，给出命题p ：关于x 的不等式a x ≥-|1|)21(的解集为φ，命题q ：函数]89)2(lg[)(2+-+=x a ax x f 的定义域为R ，若命题“q p ∨”为真，“q p ∧”为假，求实数a 的取值范围.【知识点】指数与指数函数对数与对数函数B6 B72x + 98＞0不合，舍去； 当a ≠0时，则a >⎧⎨∆>⎩a ＜8． ③∵p 和q 中有且仅有一个正确，∴1a 111a 8822a a a >≤⎧⎧⎪⎪⎨⎨≤≥<<⎪⎪⎩⎩或或， ∴a ≥8或且仅有一个正确，故有1a 111a 8822a a a >≤⎧⎧⎪⎪⎨⎨≤≥<<⎪⎪⎩⎩或或，解不等式组，求得a 的取值范围．【题文】17.（本小题满分15分）已知定义域为R 的函数mn x f x x ++-=+122)(是奇函数. （1）求实数n m ,的值；（2）若存在]2,1[∈t ，不等式0)2()2(22<-+-k t f t t f 成立，求实数k 的取值范围.【知识点】函数的单调性与最值函数的奇偶性与周期性B3 B4【答案解析】（1）因为f （x ）是奇函数，函数的定义域为R ，所以f （0）=(x )＝解之得m=2因此，f (x )＝(−x )＝符合题意所以m=2，n=1（2）由（1）得，f (x )＝12+设x 1＜x 2，则f （x 1）-f （x 2）=−12+12+ ∵y=2x 在实数集上是增函数且函数值恒大于0，∴2x 2-2x 1＞0，2x 1+1＞0且2x 2+1＞0，可得f （x 1）-f （x 2）＞0，即f （x 1）＞f （x 2） ∴f （x ）在（-∞，+∞）上是单调减函数∵f （x ）是奇函数，（1）求函数)(x f 在]2,0[π的最大值与最小值；（2）若实数c b a ,,使得1)()(=-+c x bf x af 对任意R x ∈恒成立，求a cb cos 的值.【知识点】三角函数的图象与性质C3【答案解析】（1）最大值为3；最小值为2（2）-1（1）f （x ）=sinx+∴22cos 2sin 0a b c b c +=⎧⎨=⎩【思路点拨】（1）先把函数f （x ）=sinx+ 19.（本小题满分16分）已知某种型号的电脑每台降价x 成（1成为10%），售出的数量就增加mx 成（m 为常数，且0>m ）.（1）若某商场现定价为每台a 元，售出b 台，试建立降价后的营业额y 与每台降价x 成所成的函数关系式.并问当45=m ，营业额增加1.25%时，每台降价多少？ （2）为使营业额增加，当)100(00<<=x x x 时，求m 应满足的条件.【知识点】函数模型及其应用B10【答案解析】（1）10%（2)元， a (1−10x )•b (1+10mx )．【思路点拨】（1）根据营业额等于价格乘以售出量，即可建立降价后的营业额y 与x 之间的函数关系式；利用营业额增加1.25%，建立方程，即可求得结论；（2）由题意必须使y-ab ＞0，由此，即可确定m 应满足的条件．20.（本小题满分16分）设函数)()(R a a ax e x f x ∈+-=，其图像与x 轴交于)0,(),0,(21x B x A 两点，且21x x <. （1）求a 的取值范围；（2）证明：0)(21<'x x f （)(x f '为函数)(x f 的导函数）；（3）设点C 在函数)(x f y =的图象上，且ABC ∆为等腰直角三角形，记t x x =--1112，求)1)(1(--t a 的值.【知识点】导数的应用B12【答案解析】（1）a ＞e 2（2）略（3）2（1）∵f （x ）=e x -ax+a ，∴f'（x ）=e x -a ，若a ≤0，则f'（x ）＞0，则函数f （x ）是单调增函数，这与题设矛盾． ∴a ＞0，令f'（x ）=0，则x=lna ，当f'（x ）＜0时，x ＜lna ，f （x ）是单调减函数，当f'（x ）＞0时，x ＞lna ，f （x ）是单调增函数，于是当x=lna 时，f （x ）取得极小值， ∵函数f （x ）=e x -ax+a （a ∈R ）的图象与x 轴交于两点A （x 1，0），B （x 2，0）（x 1＜x 2），∴f （lna ）=a （2-lna ）＜0，即a＞e 2，此时，存在1＜lna ，f （1）=e ＞0，存在3lna ＞lna ，f （3lna ）=a 3-3alna+a ＞a 3-3a 2+a ＞0， 又由f （x ）在（-∞，lna ）及（lna ，+∞）上的单调性及曲线在R 上不间断， 可知a ＞e 2为所求取值范围．（2）∵121200x x e a x a e a x a ⎧-+=⎨-+=⎩，∴两式相减得a ＝＝s (s ＞0)，则f ′(212x x +)＝212x x e +−2112x x e e x x --＝212x x e +-2112x x e e x x --=2122x x e s +[2s −(e s −e −s )]，设g （s ）=2s-（e s -e -s ），则g'（s ）=2-（e s +e -s ）＜0，0， ∴f ′(＜0．−y 0，∴y 0+212x x -＝0，即212x x e +−2a (x 1+x 2)+a +212x x -＝0， ∴a2a (x 1+x 2)+a +212x x -＝0， 即a 2a [(x 1−1)+(x 2−1)]+ 21(1)(1)2x x ---＝0． ∵x 1-1≠0，则a −2a (1+2111x x --)+211112x x ---=0， ＝t ，∴at −2a (1+t 2)+ 12(t 2−1)＝0，即a ＝1+21t -，。