电势差(导)学案

5 电势差答案：（1）电势 （2）无关 （3）φB －φA （4）－U BA （5）标量 （6）电压 （7）伏特 （8）V （9）qU AB （10）U AB1．电势差（1）定义：电场中两点间电势的差值叫做电势差，也叫电压。

（2）表达式：设电场中A 点的电势为φA ，B 点的电势为φB ，则A 、B 间电势差U AB ＝φA －φB ；B 、A 间电势差U BA ＝φB －φA ，显然U AB ＝－U BA 。

（3）单位：电势差和电势的单位都是伏特（1 V ＝1 J/C ）。

（4）矢标性：标量，但有正负，正负代表电势的高低。

如U AB ＝－6 V ，表示A 点的电势比B 点的电势低6 V 。

谈重点 （1）电场中两点的电势差，由电场本身的初、末位置决定，与零势能面的选取无关。

在确定的电场中，即便不放入电荷，任何两点间的电势差都有确定的值。

（2）谈到电势差时，必须明确所指的是哪两点（两位置）的电势差。

A 、B 间的电势差记为U AB ，B 、A 间的电势差记为U BA ，U AB ≠U BA ，在这里一定要注意下标及下标顺序！（3）电势差等于两点的电势之差，反过来，某点电势也可看成该点与零电势点的电势差，φA ＝U AO ，φO ＝0。

【例1】在电场中A 、B 两点间的电势差U AB ＝75 V ，B 、C 两点间的电势差U BC ＝－200 V ，则A 、B 、C 三点的电势高低关系为（ ）A ．φA ＞φB ＞φC B ．φA ＜φC ＜φBC ．φC ＞φA ＞φBD ．φC ＞φB ＞φA解析：U AB ＝75 V ，φA －φB ＝75 V ，φA ＝φB ＋75 V ；U BC ＝－200 V ，φB －φC ＝－200 V ，φC ＝φB ＋200 V ；φC ＞φA ＞φB 。

答案：C2．电势差与静电力做功的关系（1）推导：电荷q 从电场中从A 点移到B 点，由静电力做功与电势能变化的关系可得W AB ＝E p A －E p B ，由电势能与电势的关系φ＝E p q可得E p A ＝qφA ，E p B ＝qφB 。

所以W AB ＝q （φA －φB ）＝qU AB ，所以有U AB ＝W AB q。

即电场中A 、B 两点间的电势差等于电场力做的功与试探电荷q 的比值。

（2）U AB ＝W AB q的三点说明 ①电势差U AB 与q 、W AB 及移动电荷的路径均无关，仅与电场中A 、B 的位置有关，故电势差反映了电场本身的性质。

不能认为U AB 与W AB 成正比，与q 成反比，但可以利用W AB 、q 来测量A 、B 两点间的电势差U AB 。

②U AB ＝W AB q中，W AB 为q 从初位置A 移动到末位置B 的过程中静电力做的功，W AB 可能为正值，也可能为负值；q 为电荷所带电荷量，正电荷取正值，负电荷取负值。

在计算U AB 时，W AB 和q 的正负可直接代入。

③由U AB ＝W AB q可以看出，U AB 在数值上等于单位正电荷由A 点移到B 点时电场力所做的功W AB 。

若电场力做正功，U AB 为正值；若电场力做负功，则U AB 为负值。

（3）电场力做功在电场中A 、B 两点间移动电荷时，电场力做的功等于电荷量与两点间电势差的乘积，即W AB ＝qU AB 。

①公式W AB ＝qU AB 适用于任何电场，其中U AB 为电场中A 、B 两点间的电势差，W AB 仅是电场力做的功，不包括从A 到B 移动电荷时，其他力所做的功。

②静电力做功与路径无关，只与初、末位置的电势差有关。

③公式W AB ＝qU AB 中各量均有正负，计算时W 与U 的角标要对应，即W AB ＝qU AB ，W BA ＝qU BA 。

另外，计算时各量也可用绝对值代入，而功的正负可借助于力与移动方向间的关系确定。

【例2】如图所示，匀强电场的场强E ＝1.2×102 V/m ，方向水平向右。

一点电荷q ＝4×10－8 C 沿半径为R ＝20 cm 的圆周，从A 点移动到B 点。

（已知∠AOB ＝90°）求：（1）这一过程静电力做的功；（2）A 、B 间的电势差U AB 。

解析：（1）点电荷从A 点沿圆弧AB 到达B 点，静电力所做的功等效于沿A →O →B 静电力所做的功。

在A →O 过程中，因静电力方向与运动方向垂直，所以静电力不做功，W AO ＝0；在O →B 过程中，静电力做功为W 电＝F 电·s cos α＝qER cos 180°＝4×10－8×1.2×102×0.2×（－1）J ＝－9.6×10－7 J ，负号表示静电力做负功。

（2）U AB ＝W 电q ＝－9.6×10－74×10－8V ＝－24 V 。

答案：（1）－9.6×10－7 J （2）－24 V3．电势差与电势的区别和联系电势和电势差都是关于电场能的性质的重要物理概念，归结起来，两者的区别、联系如下：【例3】有一带电荷量q ＝－3×10－6C 的点电荷，从某电场中的A 点移到B 点，点电荷克服电场力做6×10－4 J 的功，从B 点移到C 点，电场力对电荷做9×10－4 J 的功，求A 、C两点间的电势差并说明A 、C 两点哪点的电势较高。

解析：解法一（直接取代数值法）：从A 点移到B 点，据电场力做功的公式，有U AB ＝W AB q ＝－6×10－4－3×10－6V ＝200 V ，同理，将q 从B 点移到C 点，有U BC ＝W BC /q ＝[9×10－4/（－3×10－6）] V ＝－300 V ，故A 、C 两点间的电势差为U AC ＝φA －φC ＝（φA －φB ）＋（φB －φC ）＝U AB －U BC ＝[200＋（－300）] V ＝－100 V ，即A 点电势比C 点电势低100 V 。

解法二（取绝对值法）：先求电势差的绝对值，再判断正负。

由|U AB |＝|W AB ||q |＝6×10－43×10－6V ＝200 V ，因负电荷从A 移到B 克服电场力做功，必从高电势点移到低电势点，即φA ＞φB ，U AB ＝200 V ，W AC ＝W AB ＋W BC ＝（－6×10－4＋9×10－4） J ＝3×10－4 J ，因负电荷从B 点移到C 点电场力做正功，必从低电势点移到高电势点，即φB ＜φC ，U BC ＝－300 V ，U CA ＝U CB ＋U BA ＝－U BC ＋（－U AB ）＝100 V 。

解法三（整体法）：将电荷自A 点移到B 点，再移到C 点看做一个全过程来分析，W AC ＝W AB ＋W BC ＝（－6×10－4＋9×10－4） J ＝3×10－4 J ，U AC ＝W AC q ＝3×10－4－3×10－6V ＝－100 V ，即A 点电势比C 点电势低100 V 。

答案：见解析解技巧 （1）三种求电势差的方法各有利弊：求绝对值的方法，判断正负较为繁琐，但对“电场”这一章中的计算公式的记忆却较为容易——所有公式中的物理量均以绝对值代入计算（如库仑定律、场强公式等）；取代数值的方法无需判断正负，直接求出，但对“电场”这一章中的公式要区别记忆——有代入绝对值的，有代入代数值的，使用时要注意各量的物理意义。

而整体法则更为简捷，也无需判断正负，可直接求出。

（2）对电势差要注意角标的排序，如：U AB ＝－U BA ，U AB ＋U BC ＋U CD ＝U AD 。

4．静电力做功的四种计算方法①根据电势能的变化与静电力做功的关系计算：静电力做了多少功，就有多少电势能和其他形式的能发生相互转化。

W AB ＝E p A －E p B 。

②应用公式W AB ＝qU AB 计算，可求变力做功。

符号规定：所移动的电荷若为正电荷，q 取正值；若为负电荷，q 取负值；若移动过程的始点电势φA 高于终点电势φB ，U AB 取正值；若始点电势φA 低于终点电势φB ，U AB 取负值。

③应用功的定义式求解匀强电场中静电力做的功W ＝qEs cos θ。

注意：此法只适用于匀强电场。

④由动能定理求解静电力做的功W 电＋W 其他＝ΔE k 。

即若已知动能的改变量和其他力做功的情况，就可由上述式子求解静电力做的功。

【例4】如图所示，光滑绝缘细杆竖直放置，它与以正电荷Q 为圆心的某圆交于B 、C 两点，质量为m 、带电荷量为－q 的有孔小球从杆上A 点无初速度下滑，已知q ≪Q ，AB =h ，小球滑到B 点时的速度大小为3gh 。

求：（1）小球由A 到B 的过程中静电力做的功；（2）A 、C 两点的电势差。

解析：（1）因为杆是光滑的，所以小球从A 到B 过程中只有两个力做功：静电力做功W E 和重力做功mgh ，由动能定理得W E ＋mgh ＝12mv 2B ，代入已知条件v B ＝3gh 得静电力做功W E ＝12·3mgh －mgh ＝12mgh 。

（2）因为Q 是正点电荷，所以以Q 为圆心的圆面是一个等势面，又B 、C 在同一个等势面上，所以φB ＝φC ，即U AC ＝U AB 。

由W ＝qU 得 U AB ＝U AC ＝W E －q ＝－mgh 2q。

答案：（1）12mgh （2）－mgh 2q破疑点 因为Q 是正点电荷，所以以Q 为圆心的球面是一个等势面，这是一个重要的隐含条件。

由A 点到B 点的过程中电场力是变力，所以不能直接用W ＝Fl 求解，只能考虑运用功能关系。

5．有电场力做功时，功能关系的特点（1）只有电场力做功只发生电势能和动能之间的相互转化，电势能和动能之和保持不变，它们之间的大小关系为：W 电＝－ΔE 电＝ΔE k 。

（2）只有电场力和重力做功只发生电势能、重力势能和动能之间的相互转化，电势能、重力势能、动能三者之和保持不变，功和能的大小关系为：W 电＋W G ＝－（ΔE 电＋ΔE p ）＝ΔE k .（3）多个力做功多种形式的能量参与转化，要根据不同力做功和不同形式能转化的对应关系分析，总功等于动能的变化，其关系为：W 电＋W 其他＝ΔE k 。

【例5－1】如图所示，在水平向右的匀强电场中，用一绝缘细线悬挂一个带电小球，其平衡位置为图中a 点，现把小球拉到最低点b 静止释放，则小球从b 到a 的过程中电势能和重力势能的改变量ΔE 应为（ ）A．ΔE＞0 B．ΔE＜0 C．ΔE＝0 D．无法确定解析：平衡位置在a点，故从b至a过程，小球速度增大，动能增加了，那么电势能和重力势能的总量就应减少了，即ΔE＜0，B正确。