微积分课件第一章
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有限区间
[a,) {x a x} (,b) {x x b}
(,) {x x }
2.邻域(neighborhood): 设a与是两个实数 , 且 0.数集{x x a }称为点a的 邻域 ,
点a叫做这邻域的中心, 叫做这邻域的半径 .
记作 U(a, ) {x a xa }.
y
f (x)
g( x)
o
x
2x 1, x 0
(4)
f
(
x)
x2
1,
x0
y x2 1
y 2x 1
例3:将下列函数表示成分段函数. (1) y 1 1 2x
(2) y min(2x, x2 ), x [0,4]
四、函数的几何特性
1．函数的奇偶性:
设D关于原点对称 , 对于x D,
-1
x sgn x x
(2) 取整函数 y=[x]
y
[x]表示不超过 x 的最大整数 4
3
2
-4 -3 -2 -1 1o -11 2 3 4 5 x -2 -3 -4
阶梯曲线
(3) 取最值函数
y max{ f ( x), g( x)}
y
f (x)
g( x)
o
x
y min{ f ( x), g( x)}
则 f , 使得
有唯一确定的
与之对应 , 则
称 f 为从 X 到 Y 的映射, 记作 f : X Y.
X
f
Y
元素 y 称为元素 x 在映射 f 下的 像 , 记作 y f (x).
元素 x 称为元素 y 在映射 f 下的 原像 . 集合 X 称为映射 f 的定义域 ;
Y 的子集 f (X ) f (x) x X 称为 f 的 值域 .
《微积分》(上下册) 教学课件 01.第1章 函数、极限、连续 高等数学第一章第9-10节
12
定义 2 设函数 f ( x)在U(x0, )内有定义,如果
y
lim f (x) f (x )，
x x0
0
y f (x)
称函数 f ( x)在点 x 连续. 0
如 f ( x) x2，
0
x0
x
lim f ( x) lim x2 4 f (2)，
x2
x2
f ( x) x2在x 2点连续.
说明 y f (x)在x x0点连续 下列三条同时成立 (1) f (x0)有定义；
(2) lim f (x)存在； xx0
（3）lim x x0
f
(x)
f (x0 ).
13
例1
试证函数
f
ห้องสมุดไป่ตู้
(
x)
x
sin1 x
,
0,
处连续.
证 lim x sin 1 0,
x0
x
又 f (0) 0, lim f ( x) f (0), x0
3、反函数函数的连续性
严格单调的连续函数必有严格单调的连续反函数. 例如, y sin x在[ , ]上单调增加且连续,
22 故 y arcsinx 在[1,1]上也是单调增加且连续.
同理 y arccosx 在[1,1]上单调减少且连续;
y arctanx, y arccot x 在(,)上单调且连续.
§1.9 无穷小量的比较与等价代换
例如, 当x 0时, x, x2,sin x, x2 sin 1 都是无穷小.
x2
lim 0,
观
x0 x
x x2比x要快得多;
察 各 极 限
lim sin x x0 x
定义 2 设函数 f ( x)在U(x0, )内有定义,如果
y
lim f (x) f (x )，
x x0
0
y f (x)
称函数 f ( x)在点 x 连续. 0
如 f ( x) x2，
0
x0
x
lim f ( x) lim x2 4 f (2)，
x2
x2
f ( x) x2在x 2点连续.
说明 y f (x)在x x0点连续 下列三条同时成立 (1) f (x0)有定义；
(2) lim f (x)存在； xx0
（3）lim x x0
f
(x)
f (x0 ).
13
例1
试证函数
f
ห้องสมุดไป่ตู้
(
x)
x
sin1 x
,
0,
处连续.
证 lim x sin 1 0,
x0
x
又 f (0) 0, lim f ( x) f (0), x0
3、反函数函数的连续性
严格单调的连续函数必有严格单调的连续反函数. 例如, y sin x在[ , ]上单调增加且连续,
22 故 y arcsinx 在[1,1]上也是单调增加且连续.
同理 y arccosx 在[1,1]上单调减少且连续;
y arctanx, y arccot x 在(,)上单调且连续.
§1.9 无穷小量的比较与等价代换
例如, 当x 0时, x, x2,sin x, x2 sin 1 都是无穷小.
x2
lim 0,
观
x0 x
x x2比x要快得多;
察 各 极 限
lim sin x x0 x
微积分第一章第一节课件
微积分的重要性
微积分作为数学的基础学科，对于理解数学的高级概念和解决复杂问题具有重要意义。同时，它在物理学、工程 学、经济学等多个领域都有广泛的应用。
教学目标
知识与技能
情感态度与价值观
通过本课程的学习，学生应掌握微积 分的基本概念、基本理论和基本方法， 具备运用微积分知识解决实际问题的 能力。
培养学生严谨的数学思维习惯，激发 学生对数学的兴趣和热爱，树立正确 的数学价值观。
广义积分与含参变量积分
广义积分
广义积分是对定积分的扩展，包括无穷 限广义积分和无界函数广义积分两种类 型。广义积分的计算需要借助极限的思 想和方法。
VS
含参变量积分
含参变量积分是一种特殊的定积分，其被 积函数中含有参数。含参变量积分的计算 方法和性质与定积分类似，但需要注意参 数的影响。同时，含参变量积分在实际问 题中有着广泛的应用，如概率论、统计学 等领域。
定积分性质
定积分具有线性性、可加性、保号性、 绝对值不等式、积分中值定理等基本 性质。
不定积分概念及计算法则
不定积分概念
不定积分是微分学的逆运算，其结果是一个函数族。不定积分的定义包括被积函数、积分变量和常数 C等要素。
不定积分计算法则
不定积分的计算法则包括基本积分公式、换元积分法、分部积分法等。其中，基本积分公式是计算不 定积分的基础，换元积分法和分部积分法是常用的计算技巧。
微积分在实际问题中的应用
探讨微积分在物理、经济、工程等领域的实际应 用，如求解最值问题、分析物理现象等。
3
微积分的数值计算方法
研究微积分的数值计算方法，如有限差分法、有 限元法等，为实际应用提供有效的数值求解工具。
课后作业布置
01
02
微积分作为数学的基础学科，对于理解数学的高级概念和解决复杂问题具有重要意义。同时，它在物理学、工程 学、经济学等多个领域都有广泛的应用。
教学目标
知识与技能
情感态度与价值观
通过本课程的学习，学生应掌握微积 分的基本概念、基本理论和基本方法， 具备运用微积分知识解决实际问题的 能力。
培养学生严谨的数学思维习惯，激发 学生对数学的兴趣和热爱，树立正确 的数学价值观。
广义积分与含参变量积分
广义积分
广义积分是对定积分的扩展，包括无穷 限广义积分和无界函数广义积分两种类 型。广义积分的计算需要借助极限的思 想和方法。
VS
含参变量积分
含参变量积分是一种特殊的定积分，其被 积函数中含有参数。含参变量积分的计算 方法和性质与定积分类似，但需要注意参 数的影响。同时，含参变量积分在实际问 题中有着广泛的应用，如概率论、统计学 等领域。
定积分性质
定积分具有线性性、可加性、保号性、 绝对值不等式、积分中值定理等基本 性质。
不定积分概念及计算法则
不定积分概念
不定积分是微分学的逆运算，其结果是一个函数族。不定积分的定义包括被积函数、积分变量和常数 C等要素。
不定积分计算法则
不定积分的计算法则包括基本积分公式、换元积分法、分部积分法等。其中，基本积分公式是计算不 定积分的基础，换元积分法和分部积分法是常用的计算技巧。
微积分在实际问题中的应用
探讨微积分在物理、经济、工程等领域的实际应 用，如求解最值问题、分析物理现象等。
3
微积分的数值计算方法
研究微积分的数值计算方法，如有限差分法、有 限元法等，为实际应用提供有效的数值求解工具。
课后作业布置
01
02
微积分第一章
高等数学教案、第一章 函数、极限与与连续本章将在分别研究数列的极限与函数的极限的基础上，讨论极限的一些重要性质以及运算法则,函数的连续性，闭区间上连续函数的性质。
具体的要求如下：1． 理解极限的概念（理解极限的描述性定义,对极限的N -ε、δε-定义可在学习过程中逐步加深理解,对于给出ε求N 或δ不作过高要求）。
2． 掌握极限四则运算法则。
3． 了解极限存在准则（夹逼准则和单调有界准则），会用两个重要极限求极限。
4． 了解无穷小、无穷大及无穷小的阶的概念.能够正确运用等价无穷小求极限。
5。
理解函数在一点连续的概念,理解区间内（上）连续函数的概念。
6. 了解间断点的概念，会求函数的间断点并判别间断点的类型。
7. 了解初等函数的连续性和闭区间上连续函数的性质（最大、最小值定理、零点定理、介值定理）。
第一章共12学时,课时安排如下绪论 §1.1、函数 §1.2初等函数 2课时 §1。
4数列极限及其运算法则 2课时 §1.4函数极限及其运算法则 2课时 §1。
4两个重要极限 无穷小与无穷大 2课时 §1.4函数的连续性 2课时 第一章 习题课 2课时绪论数学:数学是研究空间形式和数量关系的一门学科，数学是研究抽象结构及其规律、特性的学科.数学具有高度的抽象性、严密的逻辑性和应用的广泛性。
关于数学应用和关于微积分的评价：恩格斯：在一切理论成就中,未必再有像17世纪下叶微积分的微积分的发现那样被看作人类精神的最高胜利了。
如果在某个地方我们看到人类精神的纯粹的和唯一的功绩，那就正是这里.华罗庚：宇宙之大,粒子之微，火箭之速，化工之巧,地球之变，生物之迷,日用之繁,无处不用数学。
张顺燕:微积分是人类的伟大结晶，它给出了一整套科学方法，开创了科学的新纪元，并因此加强和加深了数学的作用。
……有了微积分，人类才有能力把握运动和过程;有了微积分，就有了工业革命，有了大工业生产,也就有了现代的社会。
微积分(第一章)
f ( x) g ( x) h( x)
函数的积 f g ： ( f g )(x) f ( x) g ( x), x D f f f ( x) , x D, g ( x) 0 函数的商 ： ( )(x) g g ( x) g 例 设函数 f ( x) 的定义域为 (l , l )，证明必存在 (l , l ) 上的偶函数 g ( x) 和奇函数 h( x) ，使得
构成了 R f 到 X 上的一个映射，称为 f 的逆映射，记为 f 1 1 其定义域为 D ，值域为 R Rf X 。 f f
1
第一章 函数
§2 映射与函数
设有如下两个映射
g : X U1 , x u g ( x) f : U 2 Y , u y f (u)
g f f g ( ，称 f g )(x) f [ g ( x)] 对复合函数 为中间变量，其中
为自变量。 f g
u g ( x)
x Df g
第一章 函数
§3 复合函数与反函数
初等函数
把函数 F ( x) 3arcsin 分成几个简单函数的复合。 例2
例1
1 x 2
则称 f 为单射 ，如果映射 f 满足 R f Y ，则称 f 为满 射；如果映射 f 既是单射，又是满射，则称 f 为双射(又 称一一对应)。
第一章 函数
§2 映射与函数
二 、 逆映射与复合映射
设 f : A B 是单射，对应关系 g : R f X y x( f ( x) y )
和 F ( x) lg sin tan x
设有函数 y f (u) u 和 u ( x) a x ， 考察 a 1 ， a 1 时 y f [ ( x)] 是否为复合函数。
高等数学微积分第一章函数及其图形(共44张PPT)
如果A，B互相包含，即A B且B A，则称A与B相等，记为A=B。
如果把 y看作自变量，x 看作因变量，按照函数的定义就得到一个新的函数，这个新函数称为函数y=f(x)的反函数，记作 x=j(y)。
解: 要使函数有意义，必须x 0，且x2-4³0。
如果A，B互相包含，即A B且B A，则称A与B相等，记为A=B。
1
O
x
3．对数函数
指数函数y=ax的反函数叫做对数函数，记为
y=logax(a>0，a 1)． 对数函数的定义域是区间(0，+ )．
单调性：
若a>1，则logax单调增加； 若0<a<1，则logax单调减少．
性质见书P34
y y=ax
1
O
y=logxax
a>1
4．三角函数
U(a)。 设>0，则称区间(a-, a+)为点a 的邻域，记作U(a, )，
即 U(a, ) ={x|a-<x<a+} ={x| |x-a|<}。
其中点 a 称为邻域的中心, 称为邻域的半径。
O a-
a+ x
去心邻域:
U
(a,)
={x
|0<|
x-a
|<}。
O a- a a+ x
左（右）邻域、M领域的概念见书中第七页。
bx
[a, b]={x|axb}称为闭区间。
[a， b]
Oa
bx
[a, b)={x|ax<b}及 (a, b]={x|a<xb}称为
半开区间。 [a， b)
Oa
bx
(a， b]
Oa
bx
2019高等数学课件第1章 微积分-函数.ppt
a
2
(2) a a a
(3)K 0 : a ()K K ()a () K a () K a () K 或a () K
(1) a b a b
4)运算性质：
(三角不等式)
(2) a b a b a b
即a b ab a b
x 无界
y=f(x)
o -M o
x0
X
定义2：设函数f ( x )在集合D内有定义，若A（或B )，使x D， 都有 f ( x ) A(或f ( x ) B )成立，则称f ( x )在D内有上界
-M
（或有下界），也称f ( x )是D内的有上界(或下界)的函数。
有界函数 有上界和下界的函数
实数集：全体实数组成的集合，记 R 数轴：具有原点、正方向和单位长度的直线
数轴上的全体点( 数 全体实数
一一 对应
微积分--函数
a 3
点
a 3
)
7
2.实数的性质
1)连续性(充满数轴，无空隙) 2)稠密性(任两不等实数间既有有理数,又有无理数) 3)有序性(有大小顺序) 4)对四则运算封闭
(3) a b a b
a a (4) (b 0) b b
微积分--函数 9
1.2 常用实数集
N Z Q R.
1. 自然数集N; 整数集Z; 有理数集Q; 实数集R 2.区间: a, b R, 且a b. : 任意给定( Arbitrary) { x a x b} 称为开区间, 记作 (a, b)
微积分 经济类高等数学 线性代数 概率论与数理统计
微积分： 极限论 一元积分学
一元微分学 多元微分学 级数论
微积分第一章
学习微积分需要具备严密的逻辑思维和数学素养，掌握微积分对于培养这些能力非常有帮助。
02
微积分基本概念
极限
极限的定义
极限是函数在某一点处的变化 趋势，即当自变量趋近于这一 点的值时，函数值的变化趋势
。
极限的分类
极限可分为左极限和右极限，分 别表示自变量从左侧和右侧趋近 于这一点时的函数值的变化趋势 。
要点三
积分的应用
积分可以用来求物体的体积、表面积 、长度等，这些应用在物理、工程和 经济等领域中都十分重要。
03
微分法则和定理
基本的四则运算微分法则
加法法则
对于两个函数f和g，它们的和的导数等于两个函 数的导数的和。
乘法法则
对于两个函数f和g，它们的积的导数等于两个函 数的导数的积。
减法法则
对于两个函数f和g，它们的差的导数等于两个函 数的导数的差。
中值定理和布朗定理
中值定理（英文
Mean Value Theorem或Lagrange Mean Value Theorem。又称：拉格朗日中值定理、英文： Lagrange Mean Value Theorem或Lagrange’s Mean Value Theorem。又称：拉氏定理、英文： Lagrange’s Mean Value Theorem或Lagrange’s Mean Value Theorem
05
习题和解答
习题
极限题
包括计算极限、证明极限存 在等；
导数题
包括计算导数、导数应用等 ；
积分题
包括计算积分、积分应用ຫໍສະໝຸດ ；微分方程题包括求解微分方程、微分方 程应用等。
习题解答
极限题解答
针对每一种极限题目，给出详细的 解题步骤和解答结果；
02
微积分基本概念
极限
极限的定义
极限是函数在某一点处的变化 趋势，即当自变量趋近于这一 点的值时，函数值的变化趋势
。
极限的分类
极限可分为左极限和右极限，分 别表示自变量从左侧和右侧趋近 于这一点时的函数值的变化趋势 。
要点三
积分的应用
积分可以用来求物体的体积、表面积 、长度等，这些应用在物理、工程和 经济等领域中都十分重要。
03
微分法则和定理
基本的四则运算微分法则
加法法则
对于两个函数f和g，它们的和的导数等于两个函 数的导数的和。
乘法法则
对于两个函数f和g，它们的积的导数等于两个函 数的导数的积。
减法法则
对于两个函数f和g，它们的差的导数等于两个函 数的导数的差。
中值定理和布朗定理
中值定理（英文
Mean Value Theorem或Lagrange Mean Value Theorem。又称：拉格朗日中值定理、英文： Lagrange Mean Value Theorem或Lagrange’s Mean Value Theorem。又称：拉氏定理、英文： Lagrange’s Mean Value Theorem或Lagrange’s Mean Value Theorem
05
习题和解答
习题
极限题
包括计算极限、证明极限存 在等；
导数题
包括计算导数、导数应用等 ；
积分题
包括计算积分、积分应用ຫໍສະໝຸດ ；微分方程题包括求解微分方程、微分方 程应用等。
习题解答
极限题解答
针对每一种极限题目，给出详细的 解题步骤和解答结果；
《微积分(应用型)》教学课件 第一章
定义1. 1. 3 设 y 是 u的函数 y = f ( u ),而 u 又是 x的函数 u = φ ( x ),且 φ ( x ) 的值域与y = f ( u )的定义域的交集非空,那么, y 通过中间变量 u 成为 x的函数, 我们把这个函数称为是由函数 y = f ( u )与 u = φ ( x )复合而成的复合函数,记作 y = f [ φ ( x )].
1. 2. 2 函数的极限
解
（1）函数的图形如图
1-5
所示．从图形可知，当
x
时，y
1
1 x2
1；当
x
时，
y
1
1 x2
1．因此，当
|
x
|
无限增大时，函数
y
1
1 x2
无限地接近于常数
1，即
lxim
1
1 x2
1．
（2）函数的图形如图 1-6 所示．从图形可知，当 x 时， y 3x ；当 x
1. 1 初等函数回顾
【本节导引】
某软件公司开发出一种图书管理软件,前期投入的 研发及广告宣传费用为100000元,且 每售出一套软件, 软件公司还需支付安装调试费用300元.设总费用为 y 元,销售套数为 x 套, 请列出 y 与 x 之间的函数关系式.
1. 1. 1 函数的概念
定义1. 1. 1 设 x 和 y 是两个变量, D 是一个给定的数集,如果对于每个 x ∈D ,变量 y 按 照确定的法则总有唯一的数值与其对应,则称 y 是 x的函数,记作 y = f ( x ).
(1)对于分式函数,规定:分母不能为零,例如, y = x -1/ x +1, x ≠-1; (2)对于偶次根号下的变量,规定:不能小于零,例如, y = x -1, x ≥1; (3)对于对数函数 y =log ax ,规定:底数 a >0且 a ≠1,真数 x >0; (4)对于正切函数 y =t an x ,规定: x ≠ k π+π /2, k ∈Z; (5)对于余切函数 y =c o t x ,规定: x ≠ k π, k ∈Z; (6)对于反正弦函数 y =a r c s i n x 和反余弦函数 y =a r c c o s x ,规定:-1≤ x≤1.
1. 2. 2 函数的极限
解
（1）函数的图形如图
1-5
所示．从图形可知，当
x
时，y
1
1 x2
1；当
x
时，
y
1
1 x2
1．因此，当
|
x
|
无限增大时，函数
y
1
1 x2
无限地接近于常数
1，即
lxim
1
1 x2
1．
（2）函数的图形如图 1-6 所示．从图形可知，当 x 时， y 3x ；当 x
1. 1 初等函数回顾
【本节导引】
某软件公司开发出一种图书管理软件,前期投入的 研发及广告宣传费用为100000元,且 每售出一套软件, 软件公司还需支付安装调试费用300元.设总费用为 y 元,销售套数为 x 套, 请列出 y 与 x 之间的函数关系式.
1. 1. 1 函数的概念
定义1. 1. 1 设 x 和 y 是两个变量, D 是一个给定的数集,如果对于每个 x ∈D ,变量 y 按 照确定的法则总有唯一的数值与其对应,则称 y 是 x的函数,记作 y = f ( x ).
(1)对于分式函数,规定:分母不能为零,例如, y = x -1/ x +1, x ≠-1; (2)对于偶次根号下的变量,规定:不能小于零,例如, y = x -1, x ≥1; (3)对于对数函数 y =log ax ,规定:底数 a >0且 a ≠1,真数 x >0; (4)对于正切函数 y =t an x ,规定: x ≠ k π+π /2, k ∈Z; (5)对于余切函数 y =c o t x ,规定: x ≠ k π, k ∈Z; (6)对于反正弦函数 y =a r c s i n x 和反余弦函数 y =a r c c o s x ,规定:-1≤ x≤1.
经济数学基础--微积分第一章
解 u , v 分别是中间变量,故 y u2 tan 2v tan 2x2 .
经济应用数学基础——微积分
第一章 第二节 第 12 页
极 限 的 概 念
极限的概念
• 1.2.1 数列的极限 • 1.2.2 函数的极限
经济应用数学基础——微积分
第一章 第二节
极
限
1 数列的极限
的 概
念
先给出数列的定义:在某一对应规则下,当 n(n N ) 依次取 1, 2, 3, , n, 时,对应的实
函数的自变量 x 是指 x 的绝对值无限增大,它包含以下两种情况: (1) x 取正值,无限增大,记作 x ; (2) x 取负值,它的绝对值无限增大(即 x 无限减小),记作 x .
定义1.2.3 : 如果当 x 无限增大(即 x )时,函数 f (x) 无限趋近于一个确定
的常数 A ,那么就称 f (x) 当 x 时存在极限 A ,称数 A为当 x 时函数 f (x) 的极限,
径.在上述领域中除去领域的中心点 a
称为点 a
的去心
领域,记为
0
U（a,
）,
0
即 U（a,） x 0 x a ， 如右图所示.
第 19 页
经济应用数学基础——微积分
第一章 第二节 极 限 的 概 念
注意:
在定义中,“设函数 f (x) 在点 x0 的某个去心领域内有定义”反映我们关心的 是函数 f (x) 在点 x0 附近的变化趋势,而不是 f (x) 在 x0 这一孤立点的情况.在定义 极限lim f (x) 时, f (x) 有没有极限,与f (x) 在点 x0 是否有定义并无关系.
例1.1.3 求函数 y 4x 1 的反函数. 解 由v 4x 1 ,可解得 x y 14 . 交换 x 和 y 的次序,得 y 14(x 1) ,
微积分基础(国家开放大学)---第1章---第2节---极限的概念和计算解析
7
x时函数f(x)的极限
描述性定义：若当自变量的绝对值|x|无限增大 时,相应的函数值f(x)无限接近某确定的常数A. 则称当x趋向无穷时函数f(x)以A为极限,或f(x) 收敛到A,记为 lim f ( x) A 或 f ( x ) A ( x )
1 例如： lim 0 x x
0 1
8
1
4
1
2
0 1
1 n , n 0 2 (3) lg1, lg 2,, lg n,
n , n 1 1 n (4) 1,1,1,1, 1n 1 ,
n 1
2
1
4
3
2
0 lg 2 lg 3
n , lg n
lg n
1 0
1
n , 不趋于一确定值
x 1
x 2x 3 0 lim 0. x 1 4x 1 3
2
由无穷小与无穷大的关系,得
4x 1 lim 2 . x 1 x 2 x 3
25
例题与讲解
n
n
n
n个
n
18
sin x 例：求极限 lim ? x x 1 解： lim 0, |sinx|≤1(有界量). x x sin x 1 lim lim sin x 0 (无穷小量与有界量之积) x x x x
例题与讲解
思考：
1 lim x sin ? x 0 x
5
判断下列数列是否收敛：
1 2 3 4 (1) , , , , 2 3 4 5
(2) 1, 8 , 27 , 64 ,
n , , n 1
, n3 ,
1 , , n 1
x时函数f(x)的极限
描述性定义：若当自变量的绝对值|x|无限增大 时,相应的函数值f(x)无限接近某确定的常数A. 则称当x趋向无穷时函数f(x)以A为极限,或f(x) 收敛到A,记为 lim f ( x) A 或 f ( x ) A ( x )
1 例如： lim 0 x x
0 1
8
1
4
1
2
0 1
1 n , n 0 2 (3) lg1, lg 2,, lg n,
n , n 1 1 n (4) 1,1,1,1, 1n 1 ,
n 1
2
1
4
3
2
0 lg 2 lg 3
n , lg n
lg n
1 0
1
n , 不趋于一确定值
x 1
x 2x 3 0 lim 0. x 1 4x 1 3
2
由无穷小与无穷大的关系,得
4x 1 lim 2 . x 1 x 2 x 3
25
例题与讲解
n
n
n
n个
n
18
sin x 例：求极限 lim ? x x 1 解： lim 0, |sinx|≤1(有界量). x x sin x 1 lim lim sin x 0 (无穷小量与有界量之积) x x x x
例题与讲解
思考：
1 lim x sin ? x 0 x
5
判断下列数列是否收敛：
1 2 3 4 (1) , , , , 2 3 4 5
(2) 1, 8 , 27 , 64 ,
n , , n 1
, n3 ,
1 , , n 1
高等数学(微积分学)教学课件
三、两个重要极限
重要极限Ⅰ lim sin x 1 x0 x
它可以拓展为 lim sin[ f (x)] 1 f (x)0 f (x)
sin 2x
例：lim x 2x
1
1 cos x
lim
x0
x2
lim
x0
2 sin 2 x 2
4 x2 4
lim
1
sin
x 2
x0 2 x
2
2
1 2
判断：lim sin x 1
叫做因变量.
数集 D 称为这个函数的定义域.
全体函数值的集合称为函数的值域.
2. 函数的表示法
解析法（公式法）：用解析表达式（或公式）表示函数关系.
y x 1
表格法：用列表的方法来表示函数关系.
x123456789 y 1 4 9 16 25 36 49 64 81
图示法：用平面直角坐标系 xoy 上的曲线来表示函数关系.
x
x
1 0
x
x
1
1
1 lim( x0 1
x
)
1 x
x
lim
x0
(1 (1
x) x
1
x) x
lim x0
(1 x) x
1 (1)
[1 (x)] x
e e1
e2
一类特殊极限
若f
(x)
a0 xm a1xm1 a2 xm2 b0 xn b1xn1 b2 xn2
am1x am bn1x bn
x 果对于定义区间的任意点 , 恒有 f (x) f (x) , 则称f (x)
为 D 内的偶函数；如果恒有 f (x) f (x) , 则称 f (x)为D
《高等数学微积分》课件
实际应用
极值问题在经济学、物理学等领域有广泛应 用，如成本最小化、利润最大化等。
曲线的长度
曲线长度公式
利用微积分计算曲线的长度。
参数方程
通过参数方程将曲线表示为参数的函数，便于计算长度。
实际应用
在工程、地理等领域，需要计算各种曲线的长度，如河流长度、 道路长度等。
面积和体积
面积和体积公式
利用微积分计算平面图形的面积和空间图形的体积。
结合律
微积分运算还具有结合律，即函数的微积分运算顺序不影响结果。
交换律
此外，微积分运算还满足交换律，即函数的微积分运算满足交换律 。
微积分运算的法则
分部积分法
分部积分法是微积分运算中的一 种重要方法，它将两个函数的乘 积的导数转化为两个函数的导数 的乘积，从而简化了计算过程。
换元法
换元法是微积分运算中的另一种 重要方法，它通过引入新的变量 来简化计算过程。
如何提高微积分的计算能力？
总结词：掌握计算方法 总结词：细心谨慎 总结词：多做练习题
详细描述：提高微积分的计算能力需要熟练掌握各种计 算方法，如极限的计算、导数的计算和积分的计算等。 掌握这些方法可以更快更准确地完成计算。
详细描述：在微积分的计算过程中，需要细心谨慎，避 免因粗心大意而导致的错误。仔细检查每一步的计算过 程，确保准确性。
微分
微分的定义与性质
微分是函数在某一点附近的小变化量，它描述了函数在该点附近的变化趋势。微分具有一些重要的性质，如线性性、 可加性和可乘性。
微分的计算方法
包括微分的四则运算法则、复合函数的微分法则、隐函数的微分法则等。这些方法可以帮助我们快速准确地计算函数 的微分。
微分的应用
微分在许多领域都有广泛的应用，如近似计算、误差估计、优化问题等。例如，在近似计算中，微分可 以用来估计函数在某一点的近似值；在优化问题中，微分可以用来寻找函数的极值点。
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若 例如, 且 , 则称 A 与 B 相等, 记作 A B . ,
显然有下列关系 :
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结束
定义 3 . 给定两个集合 A, B, 定义下列运算:
并集 A B x
交集 A B x 差集 补集
或
A B
B A
A\ B
A B
且
且 x B
A \ B x
2
但可定义复合函数 y arcsin(1 x 2 ) , x [1, 1]
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两个以上函数也可构成复合函数. 例如,
y u, u0 u cot v , v k π (k 0, 1, 2 ,) x v , x (, ) 2 可定义复合函数:
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一、 集合
1. 定义及表示法
简称集
定义 1. 具有某种特定性质的事物的总体称为集合. 组成集合的事物称为元素. 元素 a 属于集合 M , 记作 a M . 元素 a 不属于集合 M , 记作 a M ( 或 a M ) .
简称元
不含任何元素的集合称为空集 , 记作 .
数学中的转折点是笛卡儿的变数. 有了变数 , 运动进入了数学, 有了变数，辩证法进入了数学 , 有了变数 , 微分和积分也就立刻成
恩格斯
为必要的了,而它们也就立刻产生.
笛卡儿 目录 上页 下页 返回 结束
二、如何学习高等数学 ?
1. 认识高等数学的重要性, 培养浓厚的学习兴趣.
一门科学, 只有当它成功地运用数学时, 才能达到真正完善的地步 .
目录
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表示法： (1) 列举法：按某种方式列出集合中的全体元素 . 例: 有限集合 A a1 , a2 , , an (2) 描述法： x x 所具有的特征 M
自然数集 N 0 , 1 , 2 , , n ,
例: 整数集合 Z x x N 或 x N p 有理数集 Q p Z , q N , p 与 q 互质 q 实数集合 R x x 为有理数或无理数 开区间 ( a , b ) x a x b 闭区间 [ a , b ] x a x b
故
n (1) n lim xn lim 1 n n n
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例2. 已知
证明
1 1 证: xn 0 2 (n 1) n 1 1 1 只要 (0 ,1) , 欲使 , 即 n 1. n 1 1 取 N [ 1] , 则当 n N 时, 就有 xn 0 ,
c
B A \ B ( 其中B A )
直积
A B ( x , y) x A , y B
记
Ac BA
B
y
B A B A
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特例: R R
R
2
பைடு நூலகம்
为平面上的全体点集
目录
O
上页
x
二、 映射
引例1.
引例2.
向 y 轴投影
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定义4. 设 X , Y 是两个非空集合, 若存在一个对应规 则 f , 使得 有唯一确定的 与之对应, 则称
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半开区间 无限区间
a a a
点的 邻域 去心 邻域 其中, a 称为邻域中心 , 称为邻域半径 .
(
)
左 邻域 :
右 邻域 :
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2. 集合之间的关系及运算 定义2 . 设有集合 A , B , 若 x A 必有 x B , 则称 A 是 B 的子集 , 或称 B 包含 A , 记作 A B .
性质: 1) y＝f (x) 单调递增 (减) , 其反函数 且也单调递增 (减) .
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2) 函数 对称 .
与其反函数 的图形关于直线
y
Q(b, a )
yx y f (x)
例如 ,
指数函数 y e , x ( , )
x
O
x
对数函数 它们都单调递增, 其图形关于直线
互为反函数 , 对称 .
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(2) 复合函数 设有函数链 y f (u ), u D f
且 Rg D f
则
① ②
称为由①, ②确定的复合函数 , u 称为中间变量.
注意: 构成复合函数的条件 Rg D f 不可少. 可定义复合函数 例如, 函数链 : y arcsinu , 当改 u 1 x 时, 虽不能在自然域 R下构成复合函数,
刘徽
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定义: 自变量取正整数的函数称为数列, 记作 或 称为通项(一般项) . 及常数 a 有下列关系 :
若数列
当 n > N 时, 总有
则称该数列
n
的极限为 a , 记作 lim xn a 或 xn a (n )
a xn a 此时也称数列收敛 , 否则称数列发散 . (n N ) 几何解释 : 即 xn U ( a , ) ) ( (n N ) x x
xn (1) n1 趋势不定
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散
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例1. 已知
证明数列
的极限为1.
证:
n (1) n 1 xn 1 n
1 只要 n 即 0 , 欲使 1 因此 , 取 N [ ] , 则当 n N 时, 就有 n n (1) 1 n
k Z
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4. 初等函数
(1) 基本初等函数
幂函数、 指数函数、 对数函数、 三角函数、 反三角函数 (2) 初等函数
由常数及基本初等函数 经过有限次四则运算和复合步
骤所构成 , 并可用一个式子表示的函数 , 称为初等函数 .
否则称为非初等函数 .
x , x 0 可表为 y 例如 , y x , x 0
x I , M 0 , 使 f ( x) M , 称 f (x) 在 I 上有界.
说明: 还可定义有上界、有下界、无界 . (2) 单调性 x12 ( x)当M2 时， , x, f I , x1 x , 称 为有上界
y
若 f ( x1 ) f ( x2 ) , 称 f (x) 为 I 上的 , M f ( x), 称 为有下界 单调增函数 ; ) M 若对任意正数 M , 均存在 x D, 使 O f ( xx1 x 2 , x 若 f ( x1 ) f ( x2 ) , 称 f (x) 为 I 上的 则称 f ( x ) 无界. 单调减函数 .
狄利克雷函数
1, 0,
x 为有理数 x 为无理数
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3. 反函数与复合函数
(1) 反函数的概念及性质 若函数 使 称此映射 f 1 为 f 的反函数 . 习惯上, y f ( x) , x D 的反函数记成 为单射, 则存在一新映射 其中
y f 1 ( x) , x f ( D)
f 为从 X 到 Y 的映射, 记作 f : X Y .
X
f
Y
元素 y 称为元素 x 在映射 f 下的像, 记作 y f (x).
元素 x 称为元素 y 在映射 f 下的原像 . 集合 X 称为映射 f 的定义域 ;
Y 的子集 R f f (X ) f ( x) x X 称为 f 的 值域 .
x 2 , 故为初等函数.
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非初等函数举例: 符号函数
当x>0 当x=0 当x<0
y 1
O
1
x
取整函数 当
y
2 1
O 1 2 3 4 x
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内容小结
1. 集合及映射的概念 2. 函数的概念
3. 函数的特性
4. 初等函数的概念
有界性, 单调性,奇偶性, 周期性
微 积 分
信息学院 鞠红梅
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主要参考书: 《高等数学》(第六版)
同济大学数学系 编 高等教育出版社, 2007.4.
《高等数学（第六版）同步辅导及 习题全解》
苏志平，郭志梅 主编 中国水利水电出版社 , 2009.8.
引
言
一、什么是高等数学 ?
初等数学 — 研究对象为常量, 以静止观点研究问题. 高等数学 — 研究对象为变量, 运动和辩证法进入了数学.
作业
P5 1; 4; 10; 12
第二节 目录
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第二节 数列的极限
一、数列极限的定义
第一章
二 、收敛数列的性质
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一 、数列极限的定义
引例. 设有半径为 r 的圆, 用其内接正 n 边形的面积
逼近圆面积 S .
如图所示 , 可知
π n
r
当 n 无限增大时, 无限逼近 S . (刘徽割圆术)
e e y f ( x) 2
y ch x
偶函数
O
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x
结束
(4) 周期性
x D, l 0 , 且 x l D, 若
显然有下列关系 :
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定义 3 . 给定两个集合 A, B, 定义下列运算:
并集 A B x
交集 A B x 差集 补集
或
A B
B A
A\ B
A B
且
且 x B
A \ B x
2
但可定义复合函数 y arcsin(1 x 2 ) , x [1, 1]
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两个以上函数也可构成复合函数. 例如,
y u, u0 u cot v , v k π (k 0, 1, 2 ,) x v , x (, ) 2 可定义复合函数:
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一、 集合
1. 定义及表示法
简称集
定义 1. 具有某种特定性质的事物的总体称为集合. 组成集合的事物称为元素. 元素 a 属于集合 M , 记作 a M . 元素 a 不属于集合 M , 记作 a M ( 或 a M ) .
简称元
不含任何元素的集合称为空集 , 记作 .
数学中的转折点是笛卡儿的变数. 有了变数 , 运动进入了数学, 有了变数，辩证法进入了数学 , 有了变数 , 微分和积分也就立刻成
恩格斯
为必要的了,而它们也就立刻产生.
笛卡儿 目录 上页 下页 返回 结束
二、如何学习高等数学 ?
1. 认识高等数学的重要性, 培养浓厚的学习兴趣.
一门科学, 只有当它成功地运用数学时, 才能达到真正完善的地步 .
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表示法： (1) 列举法：按某种方式列出集合中的全体元素 . 例: 有限集合 A a1 , a2 , , an (2) 描述法： x x 所具有的特征 M
自然数集 N 0 , 1 , 2 , , n ,
例: 整数集合 Z x x N 或 x N p 有理数集 Q p Z , q N , p 与 q 互质 q 实数集合 R x x 为有理数或无理数 开区间 ( a , b ) x a x b 闭区间 [ a , b ] x a x b
故
n (1) n lim xn lim 1 n n n
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例2. 已知
证明
1 1 证: xn 0 2 (n 1) n 1 1 1 只要 (0 ,1) , 欲使 , 即 n 1. n 1 1 取 N [ 1] , 则当 n N 时, 就有 xn 0 ,
c
B A \ B ( 其中B A )
直积
A B ( x , y) x A , y B
记
Ac BA
B
y
B A B A
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特例: R R
R
2
பைடு நூலகம்
为平面上的全体点集
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x
二、 映射
引例1.
引例2.
向 y 轴投影
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定义4. 设 X , Y 是两个非空集合, 若存在一个对应规 则 f , 使得 有唯一确定的 与之对应, 则称
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半开区间 无限区间
a a a
点的 邻域 去心 邻域 其中, a 称为邻域中心 , 称为邻域半径 .
(
)
左 邻域 :
右 邻域 :
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2. 集合之间的关系及运算 定义2 . 设有集合 A , B , 若 x A 必有 x B , 则称 A 是 B 的子集 , 或称 B 包含 A , 记作 A B .
性质: 1) y＝f (x) 单调递增 (减) , 其反函数 且也单调递增 (减) .
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2) 函数 对称 .
与其反函数 的图形关于直线
y
Q(b, a )
yx y f (x)
例如 ,
指数函数 y e , x ( , )
x
O
x
对数函数 它们都单调递增, 其图形关于直线
互为反函数 , 对称 .
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(2) 复合函数 设有函数链 y f (u ), u D f
且 Rg D f
则
① ②
称为由①, ②确定的复合函数 , u 称为中间变量.
注意: 构成复合函数的条件 Rg D f 不可少. 可定义复合函数 例如, 函数链 : y arcsinu , 当改 u 1 x 时, 虽不能在自然域 R下构成复合函数,
刘徽
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定义: 自变量取正整数的函数称为数列, 记作 或 称为通项(一般项) . 及常数 a 有下列关系 :
若数列
当 n > N 时, 总有
则称该数列
n
的极限为 a , 记作 lim xn a 或 xn a (n )
a xn a 此时也称数列收敛 , 否则称数列发散 . (n N ) 几何解释 : 即 xn U ( a , ) ) ( (n N ) x x
xn (1) n1 趋势不定
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例1. 已知
证明数列
的极限为1.
证:
n (1) n 1 xn 1 n
1 只要 n 即 0 , 欲使 1 因此 , 取 N [ ] , 则当 n N 时, 就有 n n (1) 1 n
k Z
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4. 初等函数
(1) 基本初等函数
幂函数、 指数函数、 对数函数、 三角函数、 反三角函数 (2) 初等函数
由常数及基本初等函数 经过有限次四则运算和复合步
骤所构成 , 并可用一个式子表示的函数 , 称为初等函数 .
否则称为非初等函数 .
x , x 0 可表为 y 例如 , y x , x 0
x I , M 0 , 使 f ( x) M , 称 f (x) 在 I 上有界.
说明: 还可定义有上界、有下界、无界 . (2) 单调性 x12 ( x)当M2 时， , x, f I , x1 x , 称 为有上界
y
若 f ( x1 ) f ( x2 ) , 称 f (x) 为 I 上的 , M f ( x), 称 为有下界 单调增函数 ; ) M 若对任意正数 M , 均存在 x D, 使 O f ( xx1 x 2 , x 若 f ( x1 ) f ( x2 ) , 称 f (x) 为 I 上的 则称 f ( x ) 无界. 单调减函数 .
狄利克雷函数
1, 0,
x 为有理数 x 为无理数
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3. 反函数与复合函数
(1) 反函数的概念及性质 若函数 使 称此映射 f 1 为 f 的反函数 . 习惯上, y f ( x) , x D 的反函数记成 为单射, 则存在一新映射 其中
y f 1 ( x) , x f ( D)
f 为从 X 到 Y 的映射, 记作 f : X Y .
X
f
Y
元素 y 称为元素 x 在映射 f 下的像, 记作 y f (x).
元素 x 称为元素 y 在映射 f 下的原像 . 集合 X 称为映射 f 的定义域 ;
Y 的子集 R f f (X ) f ( x) x X 称为 f 的 值域 .
x 2 , 故为初等函数.
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非初等函数举例: 符号函数
当x>0 当x=0 当x<0
y 1
O
1
x
取整函数 当
y
2 1
O 1 2 3 4 x
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内容小结
1. 集合及映射的概念 2. 函数的概念
3. 函数的特性
4. 初等函数的概念
有界性, 单调性,奇偶性, 周期性
微 积 分
信息学院 鞠红梅
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主要参考书: 《高等数学》(第六版)
同济大学数学系 编 高等教育出版社, 2007.4.
《高等数学（第六版）同步辅导及 习题全解》
苏志平，郭志梅 主编 中国水利水电出版社 , 2009.8.
引
言
一、什么是高等数学 ?
初等数学 — 研究对象为常量, 以静止观点研究问题. 高等数学 — 研究对象为变量, 运动和辩证法进入了数学.
作业
P5 1; 4; 10; 12
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第二节 数列的极限
一、数列极限的定义
第一章
二 、收敛数列的性质
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一 、数列极限的定义
引例. 设有半径为 r 的圆, 用其内接正 n 边形的面积
逼近圆面积 S .
如图所示 , 可知
π n
r
当 n 无限增大时, 无限逼近 S . (刘徽割圆术)
e e y f ( x) 2
y ch x
偶函数
O
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x
结束
(4) 周期性
x D, l 0 , 且 x l D, 若