线性代数第一章1——3节
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武汉大学线性代数-01 第一章
解： t1 0, t2 1, t3 0, t4 3, t5 1 排列的逆序数t 5
2019/11/29
16
逆序数为奇数的排列称为奇排列。 逆序数为偶数的排列称为偶排列。
例如：123 t = 0 为偶排列， 321 t = 3 为奇排列， 312 t = 2 为偶排列。
19 5
24 10
18 5 1 12 5 2 0 0
18 5 5 2
c1 3c4
0 0 01 00 01
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40
4 1 10 3 8 1 10 3
12 1 18 5 0 1 18 5
40
0 0 5 2 0 0 5 2
0 0 ann
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22
(2) 下三角形行列式
a11
D
a21
0 a22
0
0
a11a22 ann
a a a
n1
n2
nn
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23
(3) 对角行列式
a11
D
a22
a11a22 ann
ann
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24
(4) 副对角行列式
(1)t a1 p1 a2 p2 anpn
称为 n 阶行列式 (n≥1)，记作
a11 a12 a1n a21 a22 a2n
an1 an2 ann
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例1：写出四阶行列式中含有因子 a11a 23 的项。
a11a 23a34a 42
a11a 23a32a 44
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逆序数为奇数的排列称为奇排列。 逆序数为偶数的排列称为偶排列。
例如：123 t = 0 为偶排列， 321 t = 3 为奇排列， 312 t = 2 为偶排列。
19 5
24 10
18 5 1 12 5 2 0 0
18 5 5 2
c1 3c4
0 0 01 00 01
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4 1 10 3 8 1 10 3
12 1 18 5 0 1 18 5
40
0 0 5 2 0 0 5 2
0 0 ann
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(2) 下三角形行列式
a11
D
a21
0 a22
0
0
a11a22 ann
a a a
n1
n2
nn
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(3) 对角行列式
a11
D
a22
a11a22 ann
ann
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(4) 副对角行列式
(1)t a1 p1 a2 p2 anpn
称为 n 阶行列式 (n≥1)，记作
a11 a12 a1n a21 a22 a2n
an1 an2 ann
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例1：写出四阶行列式中含有因子 a11a 23 的项。
a11a 23a34a 42
a11a 23a32a 44
线性代数课件 第一章
0 0 0 0 0 0 ≠ ( 0 0 0 0) . 0 0 0
1 0 (5)单位矩阵 单位矩阵 0 1 E = En = L L O 0 0
称为单位矩阵（ 单位阵） 称为单位矩阵（或单位阵）. 单位矩阵
L 0 O L 0 L L L 1
a11 a 21 A= L a m1
简记为
a12 a 22 L am1
L a1 n L a2n L L L a mn
矩阵A的 (m, n)元
A = Am×n = (aij )m×n = (aij ).
这m × n个数称为 A的元素 ,简称为元 . 简称为元
a11 x1 + a12 x2 + L + a1n xn = b1 a x + a x +L + a x = b 21 1 22 2 2n n 2 LLLLLLLLLLLL am1 x1 + am 2 x2 + L + amn xn = bm
, , 系数 aij ( i =1,2,L m, j =1,2,L n) , 常数项 bi (i = 1,2,L,n)
全为1 全为
(6)方阵 方阵 主对角线
a11 a12 a21 a22 A= L L 副对角线 an1 an1
简记为
L a1n L a2 n L L L ann
n× n
矩 A 阵 的
( n, n) 元
A = An× n = ( aij )
.
矩阵的转置
a11 a 21 A= L a m1
定义3 如果矩阵A经过有限次的初等变换变成B 定义3 如果矩阵A经过有限次的初等变换变成B， 就称矩阵A与矩阵B等价， 就称矩阵A与矩阵B等价，记作 A ~ B ． 矩阵之间的等价具有自反性、对称性和传递性． 矩阵之间的等价具有自反性、对称性和传递性． 例如 用矩阵的初等行变换 解线性方程组
1 0 (5)单位矩阵 单位矩阵 0 1 E = En = L L O 0 0
称为单位矩阵（ 单位阵） 称为单位矩阵（或单位阵）. 单位矩阵
L 0 O L 0 L L L 1
a11 a 21 A= L a m1
简记为
a12 a 22 L am1
L a1 n L a2n L L L a mn
矩阵A的 (m, n)元
A = Am×n = (aij )m×n = (aij ).
这m × n个数称为 A的元素 ,简称为元 . 简称为元
a11 x1 + a12 x2 + L + a1n xn = b1 a x + a x +L + a x = b 21 1 22 2 2n n 2 LLLLLLLLLLLL am1 x1 + am 2 x2 + L + amn xn = bm
, , 系数 aij ( i =1,2,L m, j =1,2,L n) , 常数项 bi (i = 1,2,L,n)
全为1 全为
(6)方阵 方阵 主对角线
a11 a12 a21 a22 A= L L 副对角线 an1 an1
简记为
L a1n L a2 n L L L ann
n× n
矩 A 阵 的
( n, n) 元
A = An× n = ( aij )
.
矩阵的转置
a11 a 21 A= L a m1
定义3 如果矩阵A经过有限次的初等变换变成B 定义3 如果矩阵A经过有限次的初等变换变成B， 就称矩阵A与矩阵B等价， 就称矩阵A与矩阵B等价，记作 A ~ B ． 矩阵之间的等价具有自反性、对称性和传递性． 矩阵之间的等价具有自反性、对称性和传递性． 例如 用矩阵的初等行变换 解线性方程组
线代第一章(1)
j1 j2 jn
(1)
( j1 j2 jn )
a1 j a2 j anj
1 2
n
其中
j1 j 2 j n
表示对所有n元排列取和。
注： (1) 当n=1时，一阶行列式 a a 此处 a 不是a的绝对值， 例如行列式 1 1
(2) 定义表明，计算n阶行列式，首先必须作出所有的 可能的位于不同行、不同列的n个元素的乘积，把这些 乘积的元素的第一个下标（行标）按自然顺序排列， 然后看第二个下标（列标）所成的奇偶性来决定这一 项的符号。
i 为行标， j 为列标。
注： (1) 三阶行列式 算出来也是一个数。
(2) 记忆方法：对角线法则(在黑板上演示) 例：
2
0
1
1 4 1 1 8 3
2 (4) 3 0 (1) (1) 11 8 1 (4) (1) 0 1 3 2 (1) 8 24 8 4 16 4
二（三）阶行列式
排列与逆序 n 阶行列式的定义
行列式概念的形成（定义）
四. 行列式的性质 五. 行列式按一行（列）展开 六. Cramer 法则
行列式的基本性质及计算方法
利用行列式求解线性方程组
本章主要讨论以上三个问题。
首先来看行列式概念的形成 问题的提出：
求解二、三元线性方程组
一. 二阶与三阶行列式 1. 二阶行列式
a11
a12
a13 a23 a33 a43
a14 a24 a34 a44
a21 a22 D a31 a32 a41 a42
a21 a23 M 12 a31 a33 a41 a43
线性代数教案全(同济大学第六版)
线性代数教案第（1）次课授课时间（）1.教学内容: 二、三阶行列式的定义；全排列及其逆序数；阶行列式的定义2.时间安排: 2学时；3.教学方法: 讲授与讨论相结合；4.教学手段: 黑板讲解与多媒体演示.基本内容备注第一节 二、三阶行列式的定义一、二阶行列式的定义从二元方程组的解的公式,引出二阶行列式的概念。
设二元线性方程组 ⎩⎨⎧=+=+22222211212111b x a x a b x a x a用消元法,当021122211≠-a a a a 时,解得211222111212112211222112121221,a a a a b a b a x a a a a b a b a x --=--=令2112221122211211a a a a a a a a -=,称为二阶行列式 ,则如果将D 中第一列的元素11a ,21a 换成常数项1b ,2b ,则可得到另一个行列式,用字母1D 表示,于是有2221211a b a b D =按二阶行列式的定义,它等于两项的代数和: ,这就是公式（2）中 的表达式的分子。
同理将 中第二列的元素a 12,a 22 换成常数项b1,b2 ,可得到另一个行列式,用字母 表示,于是有2121112b a b a D =按二阶行列式的定义,它等于两项的代数和: ,这就是公式（2）中 的表达式的分子。
于是二元方程组的解的公式又可写为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==D D x D D x 2211 其中0≠D例1. 解线性方程组 .1212232121⎪⎩⎪⎨⎧=+=-x x x x 同样,在解三元一次方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++333323213123232221211313212111bx a x a x a b x a x a x a b x a x a x a 时,要用到“三阶行列式”,这里可采用如下的定义.二、三阶行列式的定义设三元线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++333323213123232221211313212111bx a x a x a b x a x a x a b x a x a x a用消元法解得定义 设有9个数排成3行3列的数表333231232221131211a a a a a a a a a 记 333231232221131211a a a a a a a a a D =322113312312332211a a a a a a a a a ++=332112322311312213a a a a a a a a a ---,称为三阶行列式,则三阶行列式所表示的6项的代数和,也用对角线法则来记忆: 从左上角到右下角三个元素相乘取正号,从右上角到左下角三个元素取负号,即例2.计算三阶行列式 .(-14) 例3.求解方程 （ ） 例4.解线性方程组 解 先计算系数行列式573411112--=D 069556371210≠-=----+-= 再计算 321,,D D D515754101121-=--=D ,315534011222=--=D ,55730112123=---=D得 23171==D D x ,69312-==D D y ,6953-==D D z第（ 2 ）次课授课时间（）第（ 3 ）次课授课时间（）1.教学内容: 行列式按行（列）展开；2.时间安排: 2学时；3.教学方法: 讲授与讨论相结合；教学手段: 黑板讲解与多媒体演示.基本内容备注第5节 行列式按行（列）展开定义 在 阶行列式中, 把元素 所处的第 行、第 列划去, 剩下的元素按原排列构成的 阶行列式, 称为 的余子式, 记为；而 称为 的代数余子式.引理 如果 阶行列式中的第 行除 外其余元素均为零, 即: .则： .证 先证简单情形:再证一般情形:定理 行列式等于它的任意一行（列）的各元素与对应的代数余子式乘积之和, 即按行: 按列: 证:（此定理称为行列式按行（列）展开定理）nnn n ini i n a a a a a a a a a D212111211000000+++++++++=nnn n in n nnn n i n nn n n i n a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a 21112112121121121111211000000+++=).,2,1(2211n i A a A a A a in in i i i i =+++=例1 : . 解:例2: 21122112----=n D解: 21122112----=n D 211221100121---=+++nr r)()()()()()21331122213311n n n n n n n x x x x x x x x x x x -----, 并提出因子 ）()2321111--n n n x x x x x x()1-n 阶范德蒙行列式(1n x x -行列式一行（列）的各元素与另一行（列）对应各元素的代数余子式乘积之和为零第（ 4 ）次课授课时间（）1.教学内容: 克拉默法则；2.时间安排: 2学时；教学方法: 讲授与讨论相结合；4.教学手段: 黑板讲解与多媒体演示.4.教学手段：黑板讲解与多媒体演示.基本内容备注第（5）次课授课时间（）1.教学内容: 矩阵；矩阵的运算；2.时间安排: 2学时；3.教学方法: 讲授与讨论相结合；4.教学手段: 黑板讲解与多媒体演示。
工程数学 线性代数 第一章
阶矩阵或 阶方阵, 当m=n 时,称A 为n 阶矩阵或n 阶方阵,即
a11 a12 L a1 n a 21 a22 L a2 n A= M M M an1 an 2 L ann 从左上角到右下角的对角线称为主对角线 为主对角线; 从左上角到右下角的对角线称为主对角线
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上三角矩阵 (2) 特殊矩阵 下三角矩阵 对角矩阵 数量矩阵 单位矩阵
零矩阵 所有元素全为零的矩阵 各个元素取相反数得到的矩阵 负矩阵
a11 a12 L a1n L a11 a 0 L a 0 0 a a1122 0 L 2n0 0 L a22 M M 21 M 0a1 22 0 L 0 0 M Ma 0 L L 0 M 0 L ann 0 M M a an10 n2 aLL 0 0 1 annM 0 0 0 LL ann
3阶零 方阵
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ≠ 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
3 × 4阶
零矩阵
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2. 单位矩阵
主对角线的元素都是1 而其他元素全为零的 主对角线的元素都是1，而其他元素全为零的n 阶方阵称为n阶单位矩阵 记为E或 ， 阶单位矩阵， 阶方阵称为 阶单位矩阵，记为 或I，有时为了 明确其阶数，也把它记为E 明确其阶数，也把它记为 n或In .
M M 0 0
M M M M 0 L a 0 L 1
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第二节 消元法与矩阵的初等变换
一、线性方程组与矩阵 二、消元法与矩阵的初等行变换 三、矩阵的初等变换 四、小结 思考题
线性代数第一章行列式课件
a11
a12
a1n
a11 a12
a1n a11 a12
a1n
ai1 bi1 ai2 bi2
ain bin ai1 ai2
ain bi1 bi2
bin
an1
an2
ann
an1 an2
ann an1 an2
ann
性质5 将行列式的某一行（列）的所有元素同乘以 一个数 k 加到另外一行（列）上，行列式不变，即
a1,n1 a2,n1
a1n a2n
a11 a21
a12 a22
a1,n1 a2,n1
an1,1 0
an1,2 0
an1,n1 0
an1,n 1
a a n1,1
n1,2
an1,n1
其中等号左端的行列式是一个 n 阶行列式；等号右端
的行列式是左端 n 阶行列式的前 n-1 行前 n-1 列的元
素所组成的 n-1 阶行列式，即左端行列式第 n 行第 n
j 1, 2, , n
ann
a1n
(1)i j aij
ai 1,1 ai1,1
ai1, j1 ai1, j1
ai1, j1 ai1, j1
ai1,n ai1,n
an1
an, j1
an, j1
ann
定理4 设
a11 a12
a1n
D a21 a22
a2n
an1 an2
ann
是一个 n 阶行列式， Aij 为 D 的第 i 行第 j 列元素 aij 的代数余子式，则有
1
2
n ( n 1)
(1) 2 12 n
n
二、行列式的基本性质
定义6 设
第1章 1、2、4、3节 行列式定义
„—‟三元素乘积取“+”号；
‘…‟三元素乘积取“-”号。
例2 计算三阶行列式
1 2 4 D 2 2 1 3 4 2
解:由主对角线法，有
D 1 2 ( 2 ) 2 1 ( 3 ) ( 4 ) ( 2 ) 4 ( 4 ) 2 ( 3 ) 2 ( 2 ) ( 2 ) 1 1 4 4 6 32 24 8 4
于是方程组的解为
D3 15 D1 55 D2 20 x1 11，x2 4, x3 3. D 5 D 5 D 5
思考与练习（三阶行列式） 1 1 1
1.解方程 1 2 1 x
x 1 6 2 x1 x 2 3 x 3 5 2.解线性方程组 3 x1 x 2 5 x 3 5 4x x x 9 2 3 1
i1…it…is …in,这种变换称为一个对换, 记为( isit).
例6
3421 1423 1243 1234
( 31)
( 42)
( 43)
5 2 1 0
结论： ①对换改变排列的奇偶性. ②任意一个n级排列与标准排列12…n都可以经过一 系列对换互变.
① 的证明 对换在相邻两数间发生，即
ann
jn n, jn1 n 1,, j2 2, j1 1时，
(123 n )
课程及扩大数学知识都将奠定必要的数学基础。 4、线性代数作为大学理工科的一门主要的数学基础课， 也是硕士研究生入学考试的一门重要课程。
教材与参考书
•1、教材：《线性代数》第五版，同济大学数学教研室 •2、参考书: 《线性代数附册 》学习辅导与习题选解 （同济第五 版），同济大学数学系， 高等教育出版社，2007.6
线性代数课件PPT第一章 行列式 S1_3 行列式定义
任意一项前面的符号就是
(1) (i1,i2, ,in) ( j1, j2, , jn)
特别的，若我们把各项的列指标按自然顺序排列成
a a k11 k2 2 aknn 时，则有该项前符号应为： (1) (k1,k2 , ,kn ) (1,2, ,n) (1) (k1,k2 , ,kn )
因此n阶行列式的展开式也可以定义为
11 j2 jn
( j2 jn ) 2 j2
anjn
而
a22 a23
B a32 a33
a2n
a3n
(1) ( j2
a jn ) 2 j2
anjn
j2 jn
an2 an3
ann
故 左端＝ a11 B =右端.
14
回顾： 在行列式的定义中，为了决定每一项的正负号，我们把 n个元按行标自然顺序排列起来。
6
例1 计算反对角行列式 0 0 0 1
0020
0300
解： （分析）
4000
展开式中项的一般形式是 a1 a p1 2 a p2 3 a p3 4 p4 若 p1 4 a1 p1 0, 所以 p1 只需要取4 ,
同理可得 p2 3, p3 2, p4 1
即行列式中不为零的项为 a a a a 14 23 32 41 .
a a a 1 j1 2 j2 3 j3
j1 j1 j3 是1,2,3 的某个排列。这样的排列共有 P33 3! 6
个，分别对应了展开式中的六项。
2
再来计算各项列指标构成排列的反序数：
a11 a12 a13
a21 a22 a23 a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32
a31 a32 a33
a11 a12
(1) (i1,i2, ,in) ( j1, j2, , jn)
特别的，若我们把各项的列指标按自然顺序排列成
a a k11 k2 2 aknn 时，则有该项前符号应为： (1) (k1,k2 , ,kn ) (1,2, ,n) (1) (k1,k2 , ,kn )
因此n阶行列式的展开式也可以定义为
11 j2 jn
( j2 jn ) 2 j2
anjn
而
a22 a23
B a32 a33
a2n
a3n
(1) ( j2
a jn ) 2 j2
anjn
j2 jn
an2 an3
ann
故 左端＝ a11 B =右端.
14
回顾： 在行列式的定义中，为了决定每一项的正负号，我们把 n个元按行标自然顺序排列起来。
6
例1 计算反对角行列式 0 0 0 1
0020
0300
解： （分析）
4000
展开式中项的一般形式是 a1 a p1 2 a p2 3 a p3 4 p4 若 p1 4 a1 p1 0, 所以 p1 只需要取4 ,
同理可得 p2 3, p3 2, p4 1
即行列式中不为零的项为 a a a a 14 23 32 41 .
a a a 1 j1 2 j2 3 j3
j1 j1 j3 是1,2,3 的某个排列。这样的排列共有 P33 3! 6
个，分别对应了展开式中的六项。
2
再来计算各项列指标构成排列的反序数：
a11 a12 a13
a21 a22 a23 a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32
a31 a32 a33
a11 a12
线性代数第一章1-3
=
(− 1)t ( p p Lp )a1 p a2 p Lanp b(1+2+L+n)−( p + p +L+ p ) ∑
1 2 n 1 2 n 1 2 n
p1 p2Lpn
由于 所以
p1 + p2 + L + pn = 1 + 2 + L + n,
D2 = =
故
(− 1)t ( p p Lp )a1 p a2 p Lanp b(1+2+L+n)−( p + p +L+ p ) ∑
从而这个项为零， 从而这个项为零， 同理可得 p2 = 3, p3 = 2, p4 = 1
即行列式中不为零的项为a14 a 23 a 32 a 41 .
0 0 0 4 0 0 3 0 0 2 0 0 1 0 0 0
= ( − 1)
t ( 4321 )
1 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 4 = 24.
a11 a12 L a1n
a11 ∴
a12 L a1n
0 a22 L a2 n LLLLLLL 0 0 L ann
= ( − 1)
t ( 12Ln )
a11a 22 L a nn
= a11a22 Lann .
例3
1 0 D= 0 0
2 4 0 0
3 2 5 0
4 1 =? 6 8
1 0 D= 0 0
2 4 0 0
3 2 5 0
(− 1)t a11a22a33a44 = x 3 , (− 1)t (1234 ) a11a22a34a43 = −2 x 3
故 x 3 的系数为 − 1.
线性代数 课件
例5 写出四阶行列式中含有因子 a11a23 的项。
解： 1) (13 pq ) a11a23a3 p a4 q , pq为24的全排列 ( 所以： 1) (1324) a11a23a32 a44 a11a23a32 a44 ( ( 1) (1342) a11a23a34 a42 a11a23a34 a42 例6 若 a13a2i a32 a4 k , a11a22 a3i a4 k , ai 2 a31a43ak 4 为四阶行列式的项，试确定i与k，使前两项带正号， 后一项带负号。
n(n 1) ( p1 p2 ... pn ) ( pn pn1... p1 ) C 2 n(n 1) ( pn pn1... p1 ) k 2
2 n
例4 求排列(2k ) k 1)2(2k 2)...( k 1) k 1(2 的逆序数, 并讨论奇偶性。 解：2k 的逆序数为 2k 1 ； 的逆序数为 0 1 (2k 1) 的逆序数为 2k 3 ； 的逆序数为0 2 (2k 2) 的逆序数为 2k 5 ； 的逆序数为0 3 ............ (k 1) 的逆序数为 1 ；k的逆序数为0
( p1 p2 ... pn ) (n, n 1,..., 2,1)
1 2 ... ( n 2) ( n 1)
n
0 0 12 ...n ...
n (n 1) 2
1
0 (1) ... 0
n ( n 1) 2
12 ...n
2.三角行列式 1) 下三角行列式 a11 a21 ... an1 2) 上三角行列式 a11 0 ... 0
自然数的一个排列，考虑元素 pi(i=1,2,…n)，如 果比 pi大的且排在 pi 前面的元素有τi个，就说
《课件：线性代数第一章》课件
基与维数
探讨基底的概念、线性无关性和向量空间的维数。
矩阵的逆和行列式
1
逆矩阵
讲解矩阵的逆的定义、求解方法和逆矩阵的性质。
2
行列式
详细介绍行列式的概念、计算方法和行列式的的推导过程和应用场景。
特征值和特征向量
特征值和特征向量
讲解特征值和特征向量的定义、 性质和应用。
矩阵的基本概念与运算
矩阵加法
介绍矩阵间的加法运算，解释其 定义和性质。
矩阵乘法
探讨矩阵乘法的定义、性质和运 算规则。
矩阵转置
讲解矩阵转置的概念和计算法则， 展示其应用。
向量空间的概念和性质
线性组合
解释向量的线性组合概念，并讨论线性组合的性质和应用。
子空间
介绍子空间的定义、特点和在线性代数中的重要性。
矩阵对角化
详细介绍矩阵对角化的概念、方 法和应用场景。
特征值的应用
展示特征值在实际问题中的应用 案例和意义。
本章内容总结与复习建议
本章总结了线性代数的关键概念和应用，提供了复习建议和习题，以帮助学 生巩固知识并提高应用能力。
线性代数第一章：定义、 作用与应用
本课件将探讨线性代数的定义、作用以及在不同领域中的应用，帮助学生理 解其重要性和实际意义。
线性方程组解法
1
消元法
通过高斯消元法解线性方程组，找到唯一解或多个解。
2
矩阵求逆
使用矩阵的逆求解线性方程组，可得到唯一解。
3
行列式
通过行列式的计算确定线性方程组的解的存在性与唯一性。
探讨基底的概念、线性无关性和向量空间的维数。
矩阵的逆和行列式
1
逆矩阵
讲解矩阵的逆的定义、求解方法和逆矩阵的性质。
2
行列式
详细介绍行列式的概念、计算方法和行列式的的推导过程和应用场景。
特征值和特征向量
特征值和特征向量
讲解特征值和特征向量的定义、 性质和应用。
矩阵的基本概念与运算
矩阵加法
介绍矩阵间的加法运算，解释其 定义和性质。
矩阵乘法
探讨矩阵乘法的定义、性质和运 算规则。
矩阵转置
讲解矩阵转置的概念和计算法则， 展示其应用。
向量空间的概念和性质
线性组合
解释向量的线性组合概念，并讨论线性组合的性质和应用。
子空间
介绍子空间的定义、特点和在线性代数中的重要性。
矩阵对角化
详细介绍矩阵对角化的概念、方 法和应用场景。
特征值的应用
展示特征值在实际问题中的应用 案例和意义。
本章内容总结与复习建议
本章总结了线性代数的关键概念和应用，提供了复习建议和习题，以帮助学 生巩固知识并提高应用能力。
线性代数第一章：定义、 作用与应用
本课件将探讨线性代数的定义、作用以及在不同领域中的应用，帮助学生理 解其重要性和实际意义。
线性方程组解法
1
消元法
通过高斯消元法解线性方程组，找到唯一解或多个解。
2
矩阵求逆
使用矩阵的逆求解线性方程组，可得到唯一解。
3
行列式
通过行列式的计算确定线性方程组的解的存在性与唯一性。
线性代数 第一章 第一节 n阶行列式的定义
2 当 k为偶数时，排列为偶排列，
k
21 k 1k 1
2 k k ,
当 k 为奇数时，排列为奇排列.
23:10 24
小结
1 n 个不同的元素的所有排列种数为 n!.
2 排列具有奇偶性.
3 计算排列逆序数常用的方法有2 种. 4 n 阶全排列逆序数的范围: 最小的逆序总数: 最大的逆序总数:
23:10 23
3 2k 12k 122k 232k 3k 1k
解
2k 1 2k 1 2 2k 2 3 2k 3k 1 k
0 1
1
2
2
t 0 1 1 2 2 k 1 k 1 k
计算物理教研室201831811n阶行列式的定义111二三阶行列式的定义112n阶行列式的定义12行列式的主要性质13行列式按行列展开131按一行列展开行列式132拉普拉斯定理第一章行列式2018318一内容提要行列式是研究线性代数的一个重要工具近代被广泛运用到理工科各个领域特别在工程技术和科学研究中有很多问题需要用到行列式这个数学工具
2 2 3 1 D2 3 2 1 (1) 7, 1 2
二元一次方程组的解为：
23:10
1 2 5 2 8,
D1 8 x1 D 11 ; D 7 x2 2 . D 11
9
类似地，为了得出关于三元线性方程组：
a11 x1 a12 x2 a13 x3 b1 a21 x1 a22 x2 a23 x3 b2 a x a x a x b 3 31 1 32 2 33 3
a 21 b2
k
21 k 1k 1
2 k k ,
当 k 为奇数时，排列为奇排列.
23:10 24
小结
1 n 个不同的元素的所有排列种数为 n!.
2 排列具有奇偶性.
3 计算排列逆序数常用的方法有2 种. 4 n 阶全排列逆序数的范围: 最小的逆序总数: 最大的逆序总数:
23:10 23
3 2k 12k 122k 232k 3k 1k
解
2k 1 2k 1 2 2k 2 3 2k 3k 1 k
0 1
1
2
2
t 0 1 1 2 2 k 1 k 1 k
计算物理教研室201831811n阶行列式的定义111二三阶行列式的定义112n阶行列式的定义12行列式的主要性质13行列式按行列展开131按一行列展开行列式132拉普拉斯定理第一章行列式2018318一内容提要行列式是研究线性代数的一个重要工具近代被广泛运用到理工科各个领域特别在工程技术和科学研究中有很多问题需要用到行列式这个数学工具
2 2 3 1 D2 3 2 1 (1) 7, 1 2
二元一次方程组的解为：
23:10
1 2 5 2 8,
D1 8 x1 D 11 ; D 7 x2 2 . D 11
9
类似地，为了得出关于三元线性方程组：
a11 x1 a12 x2 a13 x3 b1 a21 x1 a22 x2 a23 x3 b2 a x a x a x b 3 31 1 32 2 33 3
a 21 b2
线性代数第1章
1 a23 ， x2 a21 D a33 a31
线性代数
第一章 n阶行列式
第1节 n阶行列式的定义
上述结论仍可简记为：
当三元线性方程组(**)的系数行列式D 0时， Dj 方程组有唯一解x j = ( j 1,2， 3)，其中D j为 D b1 系数行列式D的第j列换为常数列 b2 ，其余列 b3 不动而得到的行列式.
a n1 a11 a s1 a n1
a11
ann a12 a1n
' ' as a 2 sn .
' a s 2 a sn a s 1
第一章 n阶行列式
第1节 n阶行列式的定义
一、二阶与三阶行列式
a11 x1 a12 x2 b1 二元线性方程组 (*) a21 x1 a22 x2 b2 其中ai j ,b j ( i , j 1,2)为常数，x1 , x2为未知量.
由中学学过的加减消元法可知：
当a11a22 a12a21 0时，方程组(*)有唯一解，
可按图示“对角线法则”来记忆：
a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33
线性代数
第一章 n阶行列式
第1节 n阶行列式的定义
a11 x1 a12 x2 a13 x3 b1 对于三元线性方程组 a21 x1 a22 x2 a23 x3 b2 a x a x a x b 32 2 33 3 3 31 1
( j1 j2 jn )与( i1 i2 in )同为奇排列或偶排列.
线性代数
第一章 n阶行列式
第1节 n阶行列式的定义
n阶行列式也可表示成
线性代数第一章第一节PPT课件
01递Biblioteka 公式法02递推公式法是根据行列式的性质和结构特点，利用递推公式来
计算行列式的方法。
递推公式法可以大大简化高阶行列式的计算过程，提高计算效
03
率。
行列式的计算方法
分块法
1
2
分块法是将高阶行列式分成若干个小块，然后利 用小块来计算整个行列式的方法。
3
分块法可以简化高阶行列式的计算过程，特别是 当行列式具有特定的结构特点时，分块法可以大 大提高计算效率。
01
向量空间
02
向量空间是线性代数中的一个重要概念，而行列式在向量 空间的定义和性质中也有着重要的应用。例如，通过行列 式可以判断一个向量集合是否构成向量空间，以及向量空 间的一些基本性质。
03
行列式在向量空间中的应用可以帮助我们更好地理解线性 代数的本质和结构特点。
05
特征值与特征向量
特征值与特征向量的定义
转置等特殊运算。
向量与矩阵的关系
关联性
04
向量可以用矩阵来表示，矩 阵中的每一行可以看作是一 个向量。
01 03
•·
02
向量和矩阵在数学中是密切 相关的概念，矩阵可以看作 是向量的扩展。
04
行列式
行列式的定义与性质
基本概念
行列式是由数字组成的方阵，按照一定的规则计 算出的一个数。
行列式具有一些基本的性质，如交换律、结合律、 分配律等。
向量可以用有向线段、坐 标系中的点或有序数对来 表示。
向量有大小和方向两个基 本属性，大小表示向量的 长度，方向表示向量的指 向。
矩阵的定义与运算
•·
02
基础运算
01
03
矩阵是一个由数字组成的矩 形阵列，表示二维数组。
线性代数第1章
a1n
a2n =
(−1) ( p1p2
a a pn ) 1 p1 2 p2
anpn ,
ann
其中 是对 1, 2, , n 这 n个数的所有 p1 p2 pn求和.
n 阶行列式的直观分解：
1.给一个数表;
2.给一个定义(这个定义特指(1) (−1) ( p1p2
a a pn ) 1 p1 2 p2
线性代数章节内容分布如下:
第二章 矩阵 （基 础）
（
基
第 一 章
本 工 具
每
行 列 式
章 都 有 应
用
）
第三章 向量组线性相关性 （难 点）
第四章 线性方程组 （重 点）
第五章 特征值与特征向量 (也称: 矩阵的对角化)
（重点 综合性强）
第六章 二次型 （重点 注意和特征值、特征向量的联系）
第一章 行列式 第一讲 全排列与逆序数
a11 a12 a13 a14 a21 a22 a23 a24 a31 a32 a33 a34 a41 a42 a43 a44
的项吗？
1234偶排列 1324奇排列
第四讲 行列式的等价定义
(1) ( p1p2LpiLp jLpn ) a1 p1 a2 p2 Laipi La jp j Lanpn.
第二讲 二阶行列式和三阶行列式
行列式最先由日本数学家关孝和和德国数学家莱布尼茨各自以 不同的方式独立提出,它的起源与线性方程组的求解息息相关.
关孝和
莱布Байду номын сангаас兹
例 用消元法求解二元线性方程组
aa2111xx11
+ +
a12 x2 a22 x2
= =
b1, b2 .
线性代数课件第一章
一个标准次序（例如 n 个不同的自然数，可规定由小到 大为标准次序），于是在这 n 个元素的任一排列中，当 某两个元素的先后次序与标准次序不同时，就说有 1 个
逆序. 一个排列中所有逆序的总数叫做这个排列的逆 序数.
在一个 n 阶排列中，任何一个数对不是构成逆序 就是构成顺序．如果我们把顺序的个数称为顺序数，则 一个 n 阶排列的顺序数与逆序数的和为 n(n –1)/2 .
a12a21) a12a21)
x1 x2
b1a22 a11b2
a12b2 b1a21
, .
当 a11a22 – a12a21 0 时，求得方程组（１）的解为
x1
x2
b1a22
a11a22 a11b2
a11a22
a12b2
a12a21 b1a21
a12a21
, .
（２）
为了记忆该公式，引入记号
(为偶排列)． 带负号的三项列标排列：132 , 213 , 321
(为奇排列)． 故三阶行列式可以写成
a11 a12 a13
a21 a22 a23 (1)t a1p1 a2 p2 a3 p3 ,
a31 a32 a33
其中 t 为排列 p1p2p3 的逆序数， 表示对1，2，3 三个 数的所有排列 p1p2p3 求和．
a11 a21
a12 a22
a11a22 a12a21
并称之为二阶行列式．其中 aij 称为行列式的元素，
aij 的两个下标表示该元素在行列式中的位置，第一个下
标称为行标， 表示该元素所在的行，第二个下标称为列
标，表示该元素所在的列，常称 aij 为行列式的(i , j ) 元1由a11成a11baaa1a1111b122二12二aaa22122b222阶22阶22ba1abaa行行11112aa22baa22ba11a1列12列22a22122baaa112式12式1222,.1b12的，,. 定即bb12 义aa，12（22 ,（２２a）11b）2
逆序. 一个排列中所有逆序的总数叫做这个排列的逆 序数.
在一个 n 阶排列中，任何一个数对不是构成逆序 就是构成顺序．如果我们把顺序的个数称为顺序数，则 一个 n 阶排列的顺序数与逆序数的和为 n(n –1)/2 .
a12a21) a12a21)
x1 x2
b1a22 a11b2
a12b2 b1a21
, .
当 a11a22 – a12a21 0 时，求得方程组（１）的解为
x1
x2
b1a22
a11a22 a11b2
a11a22
a12b2
a12a21 b1a21
a12a21
, .
（２）
为了记忆该公式，引入记号
(为偶排列)． 带负号的三项列标排列：132 , 213 , 321
(为奇排列)． 故三阶行列式可以写成
a11 a12 a13
a21 a22 a23 (1)t a1p1 a2 p2 a3 p3 ,
a31 a32 a33
其中 t 为排列 p1p2p3 的逆序数， 表示对1，2，3 三个 数的所有排列 p1p2p3 求和．
a11 a21
a12 a22
a11a22 a12a21
并称之为二阶行列式．其中 aij 称为行列式的元素，
aij 的两个下标表示该元素在行列式中的位置，第一个下
标称为行标， 表示该元素所在的行，第二个下标称为列
标，表示该元素所在的列，常称 aij 为行列式的(i , j ) 元1由a11成a11baaa1a1111b122二12二aaa22122b222阶22阶22ba1abaa行行11112aa22baa22ba11a1列12列22a22122baaa112式12式1222,.1b12的，,. 定即bb12 义aa，12（22 ,（２２a）11b）2
线性代数 第一章 第3节
n
1
1
t n n1 21
n n1 2
a1na2,n1 an1
证毕
12 n .
例5
设
a11 a12 a1n D1 a21 a22 a2 n an1 an 2 ann
a11 a12b 1 a1nb1 n a21b a22 a2 nb 2 n
p1 p2 pn t p p p 1 a1 p a2 p anp
1 2 n 1 2 n
说明 1、行列式是一种特定的算式，它是根据求解方 程个数和未知量个数相同的一次方程组的需要而 定义的; 2、 n 阶行列式是 n! 项的代数和;
3、 n 阶行列式的每项都是位于不同行、不同 列 n 个元素的乘积; 4、 一阶行列式 a a 不要与绝对值记1 2 n,
t p p p 1 2 n p p p D2 1 a1 p a2 p anp b
1 2 n 1 2 n
p1 p2 pn
1
2
n
故
1 p p p
1t a11a22a33a44 x 3 , 1t 1234 a11a22a34a43 2 x 3
故 x 的系数为 1.
3
1 2 3 4
例3
0 4 2 1 D ? 0 0 5 6 0 0 0 8
1 2 3 4 0 4 2 1 D a11a 22a 33a44 1 4 5 8 160. 0 0 5 6 0 0 0 8
同理可得下三角行列式
a11 0 0 0 a 21 a 22 0 0 a n1 an2 a n 3 a nn
一、概念的引入
三阶行列式
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Pn n (n 1)3 2 1 n!
例：5人站成一排有多少种站法？
种不同的排列
P 5 5!
例1.1.1
用1、2、3这三个数字，可以组成多少个 没有重复数字的三位数？
解:
共有3!=6个. 这6个不同的三位数是： 123,132,213,231,312,321．
对照三阶行列式对角线法则表达式中各项的列标排列:
a12 a11a22 a12 a21 是2!项的代数和 a22
1.n阶行列式应定义成n!项的代数和； 2.求代数和的各项，除赋予的符号外，是取自行列式的不同行、不同列
的元素之积——n阶行列式亦应有此规律；
3.乘积项前面赋予的符号为正号和为负号的项各占一半， n阶行列式的求值表达式中赋予正号和负号的项应各有n!/2项.
几个特殊的n阶行列式的结论 例1.3.2 证明n阶对角行列式有如下结论： (1)主对角行列式
a11 a12
a13
§3 n阶行列式的定义
求值表达式的结构特点 ⑴ 是n!项的代数和； ⑵ 求代数和的各项，除赋予的符号外，是取自行列式的不同行、不 同列的元素之积；
⑶ 各项前赋予符号的规则: 当行标排成标准排列后，列标排列是奇
排列 的项赋予负号；列标排列是偶排列的项赋予正号 . a11 a12 a13 三阶行列式 a21 a22 a23 (1)t ( p1 p2 p3 ) a1 p1 a2 p2 a3 p3 a31 a32 a33
1 1 (1) 2 1 5 7 , 5 2
一般,二阶行列式有对角线法则:
a11 a21 a12 a22 a11a22 a12 a21 .
3 1 3 5 (1) (1) 14 . 1 5
三元线性方程组与三阶行列式
5 x1 3x2 x1 x2 5x3 2 x2 x3 0
二.逆序数的求法
不失一般性，不妨设n个元素为1至n这n个自然数，并规定
由小到大为标准次序. 设 p1, p2 pn 为这n个自然数的 一个排列.考虑元素 面有
pi (1, 2, ti n)
如果在该元素的前
ti 个元素比它大，就说该元素的逆序数为 ti 于是，
t t1 t2 tn ti
312 2 偶排列
321 3 奇排列
偶排列 奇排列 奇排列
a21 a22 a23 a11a22 a33 a13 a21a32 a12 a23 a31 a13 a22 a31 a11a23 a32 a12 a21a33 a31 a32 a33
a11 a12
a13
可知:列标是偶排列的乘积项前面赋正号; 列标是奇排列的乘积项前面赋负号.
⑶ 逆序数(顺序数)：一个排列中所有逆序(顺序)的总数叫做
~ , 且 2 这个排列的逆序数(顺序数)，分别记为 t 和 t t t C n. 有
~
⑷ 奇排列、偶排列：逆序数为奇数的排列叫做奇排列； 逆序数为偶数的排列叫做偶 排列.
排列 逆序数 奇偶性
123 0
132 1
213 1
231 2 偶排列
其中， p1 p2 p3 是数字1,2,3的任一排列, 这样的排列共有3!=6项, 而∑是 对所有这样的6项求和.
类似地，二阶行列式
a11 a21 a12 a22
(1)t ( p1 p2 ) a1 p1 a2 p2
n阶行列式的定义 定义1
a11 a21 将n2个数排成如下数表，称为n阶行列式： an1
关于成绩评定
期末考试5天后，同学们网上所见的是总评成绩.其构 成为:平时、期中、期末分别占30%、10%、60%. 平时成绩依作业上交及完成情况 , 上课出勤、课堂提 问、随堂测验等情况综合评定. 期中考试将于第3章结束后进行. 期末考试（第 1-5 章）计划在 ( 结课一周后 ) 进行，理 工类各专业统一考试.
列标是偶排列的乘积项前面赋正号;
列标是奇排列的乘积项前面赋负号.
排列 逆序数 奇偶性
123 0
132 1
213 1
231 2 偶排列
312 2 偶排列
321 3 奇排列
偶排列 奇排列 奇排列
a21 a22 a23 a11a22 a33 a13 a21a32 a12 a23 a31 a13 a22 a31 a11a23 a32 a12 a21a33 a31 a32 a33
i 1 n
排列的逆序数和为n个元素的逆序数总和
例1.1.2 标准排列1234„n的逆序数为0，是一个偶排列. 例1.1.3 求排列32514的逆序数.
解: 3是首个元素,逆序数为 0;
2的前面有元素3比它大,逆序数为 1; 5是最大元,逆序数为 0; 1是最小元,它前面有3个元素,故逆序数为 3 4的前面只有元素5比它大,逆序数为 1．
当 m n 时，需要使用一种工具：行列式 当
m n
时，需要使用一种工具：矩阵
为了使得到的解表达更确切，我们还需要
学习一些概念：线性表达和线性空间。
看看目录可知：线性代数是矩阵的天下！
目录（前五章）
第一章行列式 第二章矩阵及其运算 第三章矩阵的初等变换与线性方程组 第四章向量组的线性相关性 第五章相似矩阵及二次型
§2 二阶与三阶行列式
二元线性方程组与二阶行列式 3 x1 x 2 1
x1 2 x2 5
,
3 1 .
以下数表都是二阶行列式:
3
1
1 2
,
1 1 5 2
1 5
上述二阶行列式按对角线法则各自对应一个数值,称为行列式的值:
3 1 3 2 1 (1) 7 , 1 2
1 3 5 0 5 7 , 1 1 2 7 . 0 1 0 1
一般,三阶行列式也有对角线法则:
a11 a 21 a31 a12 a 22 a32 a13 a 23 a33
a11a22 a33 a13a21a32 a12 a23a31 a13a22 a31 a11a23a32 a12 a21a33
问题:乘积项前面赋予正、负号的具体规律是怎样的？
三阶行列式:
a11 a 21 a31 a12 a 22 a32 a13 a 23 a33
a11a22 a33 a13 a21a32 a12 a23 a31 a13a22 a31 a11a23 a32 a12
可知：行标都是自然序列1，2，3
a21 a22 a23 a11a22 a33 a13 a21a32 a12 a23a31 a13a22 a31 a11a23a32 a12 a21a33 a31 a32 a33
a11 a12 a13
2.逆序数
⑴ 标准次序：是规定的，如自然数的由小到大的次序.
⑵ 逆序(顺序):n个不同元素的任一排列中，当某两个元素顺 序与标准次序不同(相同)时，称这个排列中有一个逆序(顺 序).
a11 a21 an1 a12 a22 an 2 a1n a2 n ann
Dn
(1)t ( p1 p2pn ) a1 p1 a2 p2 anpn
关于n阶行列式的定义补充说明 1.按此定义，当n=1时,一阶行列式 a a ; 2.对于二阶、三阶行列式，此定义与对角线法则定义显然一致； 3.对角线法则只适用于二阶与三阶行列式，不能用于4阶及更高阶行列式.
(2)各项分别赋予符号 (1)
:
(1) t ( 4321) (1) 6 , (1) t (3421) (1) 5 , (1)t ( 4312 ) (1)5 , (1)t (3412 ) (1) 4 .
(3)求和, 得到 D4Байду номын сангаас (24)
9 (16) 6 11.
a12 a22 an 2
a1n a2n . ann
可记作
D, Dn , det(aij ) 等, 它是按如下步骤算得的一个数值：
⑴ 构造位于行列式不同行不同列的n个元素之积 a1p1 a2p2 anpn ，共n!项，
其中，p1 p 2 p n 是数字1,2,… ,n的任一排列. (2)各项分别赋予符号 (1)t ( p1 p2 pn ) ,其中 t ( p1 p2 pn ) 是列标排列的逆序数. (3)对所有这样的赋予了符号的n!项求和. 即
以下数表都是三阶行列式, 按对角线法则各对应一个数值,称为行列式的值:
1 3 0 1 1 5 111 0 (1) 1 (3) 5 0 0 1 0 1 5 1 (3)(1) 1 7 , 0 1 1
5 3 0 2 0 1 1
1 5 5 5 0 0 0 25 (6) 14 , 1 2 0 0 1
1 1 例1.3.1 求下列4阶行列式的值 D4 2 3
3 1 1 3 ,
t ( p1 p2 pn )
2 3 1 1
3 4 2 1 . 0 0 0 0
解:(1)构造取自行列式不同行不同列的元素之积,非零的有:
4 (2) 1 3 ,
4 (2) (2) (1) , 3 1 (2) (1).
解： t
(0 0 0) [(n 1) (n 2) 1 0] n(n 1) 2 Cn 2
课上练习
求：排列５２３１６４的逆序数等于_______．
答案
求：排列５２３１６４的逆序数等于_______．
t t1 t2 t3 t4 t5 t6 0 11 3 0 2 7
二阶、三阶行列式对角线法则的共性
a11 a21
a11 a31 a12 a32 a13 a23 a a a a a a a a a a a a a a a a a a 11 22 33 13 21 32 12 23 31 13 22 31 11 23 32 12 21 33 a33 是3!项的代数和 a21 a22