线性代数 第一章、矩阵

4
定义1.2
如果一个数集 F 中任意两个数经过某一种
运算后所得结果仍在该数集中,则称数集 F 对该运算封闭.
例如: 整数集对加法运算封闭，但对除法运 算不封闭。
因此,要证明一个数集是否构成数域只要能证明该数 集中含有数0和1,并且对加、减、乘、除四种运算 都封闭即可。
5
例1 设 F {a b 3, a,b Q} 则F 是一个 数域。
a11 a12 L
a21
a22
Lห้องสมุดไป่ตู้
a1 j L a2 j L
a1n
a2n
矩阵
L L L L L L
ai1
ai2 L
aij L
ain
L L L am1 am2 L
LL amj L
L amn
aij 表示由第 i 个产地销往第 j 个销地的数量 7
定义1.3
由m×n 个数 aij ( i = 1, 2, …, m ; j = 1, 2, …, n)按一 定次序排成 m 行 n 列的矩形数表
为了在以后的讨论中能把具有共同运算性质的数集 统一处理
下面引入一个一般的概念
3
定义1.1
设F是复数集C的一个子集合，如果F满 足下列两个条件： （1）0和1都在 F 中 （2） F 中任意两个数(可以相等)的和、差、积、 商（除数不为零）仍然在该集合中
则称集合 F 构成一个数域
例如: 有理数集、实数集、复数集都构成数域。 但整数集不构成数域。
张一 98 90 87 72 李二 89 90 86 98 王三 97 84 75 87 刘六 85 88 85 88
解： 用矩阵表示为
98
89
90 90
87 86
72
98
97 84 75 87
85 88 85 88
11
几种比较特殊的矩阵：
行矩阵：只有一行的矩阵
列矩阵：只有一列的矩阵
0
0
L
1
特点:从左上角到右下角的直线(主对角线)上
的元素都是1，其他元素都是0。
16
定义1.4
线性变换：
如果变量y1 ,y2 ,... ,ym可由变量x1 ,x2 ,... ,xn线性表示,
y1 a11x1 a12 x2 a1n xn ,
即
y2 a21x1 a22 x2 a2n xn ,
9
矩阵应用举例：
例1：把下图中四个城市之间的航线用矩阵表示出来
城市2
城市1
城市4
城市3
解:设 aij 10,，从从城城市市ii到到城城市市jj有没一有条航航线线（1 i，j 4）
0 1 1 0
则得到邻接矩阵
A4
1
0
0 1
1 0
1
0
0 0 1 0
10
例2：把下列成绩统计表用矩阵表示出来 姓名 高数 英语 邓论 普物
8
注意：
(1)如果矩阵A的元素aij全为实(复)数,就 称A为实(复)矩阵。一般的，仅讨论实矩阵。
m (2)如果矩阵的行数等于列数 n，
则称矩阵为n阶矩阵或n阶方阵，记做 An
实际上，一阶矩阵就是一个数。
(3)若两个矩阵行数和列数分别相等，则称这 两个矩阵是同型矩阵，否则称为非同型矩阵。
(4)若两个矩阵不但是同型矩阵，而且对应的元 素也相等，则称这两个矩阵相等。
an 2
L
0
0 L
的方阵
ann
上、下三角矩阵统称为三角矩阵
13
对角矩阵：方阵并且除主对角线上的元素外其余 元素全为零
通常用
diag(1,2 ,
, n
)表示
1
0
0
即 diag(1, 2 , , n ) =
0 0
2
0
0
n
nn
1 0 0
例如:
diag
(1,
2,
3)
0
2
0 是一个三阶对角矩阵
有多少个？它们都 相等吗？
A (a1, a2 , L , an )
b1
B
b2
M
bm
零矩阵：元素都是零的矩阵 记作O。
12
a11 a12 L
上三角矩阵：形如
0
a22 L
L L L
0
0L
a1n
a2n
的方阵
L
ann
a11 0 L
下三角矩阵：形如
a21
L
a22 L
L L
an1
注意: （1）本书中涉及到的数都是指某个数域中的数 （2）若没有特别说明涉及到的数域一般是指实数域
6
引例: 例1 设某种物资，如煤炭等，有m个产地， A1, A2,L , Am，n个销地，B1, B2,L , Bn，如果以
aij表示由第i个产地销往第 j个销地的数量，
则这类物资的调运方案，可用一个数表表示如下：
ym am1 x1 am2 x2 amn xn .
称为由变量x1 ,x2 , ... ,xn到变量y1 ,y2 , ... ,ym的
变换为线性变换。线性变换由 m 个 n元函数
组成，每个函数都是变量的一次幂，故而称
之为线性变换。
17
a11 a12 L
其中,由系数构成的矩阵
A
a21
a22
a11 a12 L
a21
a22
L
L L L
am1 am2 L
a1n
a2n
L
amn
Amn
称为一个 m 行 n 列的矩阵，简记为 (aij)m×n
一般用大写字母 A，B，…表示，m行n列的矩阵A也
记为Am×n，构成矩阵A的每个数称为矩阵A的元素，
而aij表示矩阵第 i 行、第 j 列的元素。
1
§1 矩阵的概念
背景： 数的发展：自然数 整数 有理数
实数 复数 对于这些数一般用集合的观点讨论,通常只 是研究它们的一些运算法则和运算规律。例 如加、减、乘、除等。
2
在研究某些问题时，常常和所研究对象的取值范围 有关。
如求方程 x2 1 0 的根，
此方程不仅在有理数范围内无解，就是在实数范围 内也无解，只在复数范围内有解。
0 0 3
14
数量矩阵：对角矩阵中当 1 2 n时
例如：
5 0 0 0
0
5
0
0
就是一个数量矩阵
0 0 5 0
0
0
0
5
也就是说，数量矩阵是对角矩阵的一种特例
15
单位矩阵：当数量矩阵中对角线上的常数为1，
称为单位矩阵，用字母 E 或 En 表示
1 0 L 0
即
E
0
1
L
0
M M O M
L
L L L
称为线性变换的系数矩阵。
am1
am 2
第一章 矩阵
矩阵是线性代数的一个最基本的概念，是线性代 数的研究对象和重要工具，许多理论问题和实际问题 都可以用矩阵表示并且可以运用有关理论得到解决。 例如 ：学生各科考试成绩，企业销售产品的数量和 单价，超市物品配送路径等。本章就是讨论最简单的 由数形成的矩形数表—矩阵及其运算。
1.1 矩阵的概念 1.2 矩阵的运算 1.3 可逆矩阵 1.4 矩阵的初等变换和初等方阵