信号与系统第5章

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第五章 离散信号与系统的z域分析：z变换
例：下面两个序列的z变换相同，但收敛域不同： z k 2 ε (k ) , | z | 2 z2 z k 2 ε (k 1) , | z | 2 z2 对单边z变换，其收敛域比较简单，一定是某 个圆以外的区域，可以省略。
第五章 离散信号与系统的z域分析：z变换
k
o
Re[z ]
9
第五章 离散信号与系统的z域分析：z变换
b , k 0 k 例3：求反因果序列 f f (k ) b (k 1) 0, k 0 的z变换。 解： 1 1 N 1 1 b z ( b z) 1 k 1 m Ff ( z ) (bz ) (b z ) lim 1 N 1 b z k m1 可见，|b−1z|<1,即|z|<|b|时，其z变换存在， z Im[z] F f ( z) z b |b| 收敛域为|z|<|b|
o Re[ z]
第五章 离散信号与系统的z域分析：z变换
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序列的收敛域大致有一下几种情况：




对于有限长的序列，其双边z变换在整个 平面； 对于因果序列，其z变换的收敛域为某个 圆外区域； 对于反因果序列，其z变换的收敛域为某 个圆内区域； 对于双边序列，其z变换的收敛域为环状 区域。

注意：对双边z变换必须表明收敛域，否 则其对应的原序列将不唯一。
k 0

f ( k m) z k f ( k m) z ( k m ) z m
k m

上式第二项令k−m=n，得
第五章 离散信号与系统的z域分析：z变换的性质 20
Z f (k m) f (k m) z f (n) z z
k
序列f(k)的单边z变换
F ( z ) f (k ) z k
k 0
第五章 离散信号与系统的z域分析：z变换
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若f(k)为因果序列，则单边、双边z变换相等， 否则不等。今后在不致混淆的情况下，统称 它们为z变换。记为 F(z) =Z [f(k)]，f(k) =Z −1[F(z)]； f(k) ↔ F(z)
第五章 离散信号与系统的z域分析：z变换
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z变换的收敛域

z变换定义为一无穷幂级数之和，只有当 该幂级数收敛，即
k ຫໍສະໝຸດ f (k ) z k

时，其z变换才存在。上式称为绝对可和 条件，它是序列f(k)的z变换存在的充分必 要条件。 收敛域的定义

对于序列f(k)，满足
值组成的集合称为z变换F(z)的收敛域。
第五章 离散信号与系统的z域分析：z变换的性质 23

序列乘ak(z域尺度变换) 若 f(k) ↔ F(z) , <|z|< ， 且有常数a0 则 akf(k) ↔ F(z/a) , |a|<|z|<|a|
证明：

z k k k Z a f (k ) a f (k ) z f (k ) a k k
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常用序列的z变换(a>0)

z a ε (k ) , | z | a za z k a ε (k 1) , | z | a za
k

上两式中令a=1得阶跃序列的z变换：
z ε (k ) , | z | 1 z 1 z (k 1) , | z | 1 z 1
m
f ( n) z
nm m1

n
m1 z m f (n) z n f (n) z n z m F ( z ) f (n) z mn n0 n0 n0
第五章 离散信号与系统的z域分析：z变换的性质
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例1：求周期为N的有始周期性单位序列
第五章 离散信号与系统的z域分析：z变换 6
k


f (k ) z k 所有z
例1：求以下有限序列的z变换 (1) f1(k)=(k) (2) f2(k)={1, 2, 3, 2, 1} ↑k=0 解：(1) F1 ( z )
k
δ(k ) z

k
δ( k ) z
m1 k 0

n m
f ( k m) z z F ( z )
k m k 0
m1
n0
Z f (k m) f (k m) z f (k m) z
k k 0 k 0


( k m ) m
z
令k+m=n，得
Z f (k m) z
z sin β Z sin(βk )ε (k ) = 2 , | z | 1 z 2 z cos β 1
第五章 离散信号与系统的z域分析：z变换的性质 18

移位(移序)特性


注意：单边、双边z变换的移位(移序)特性 不同。 双边z变换的移位 若 f(k) ↔ F(z), <|z|<，且对整数m>0，则 f(km) ↔ zmF(z), < |z| <
证明：
Z f ( k m)
nk m
k


f ( k m) z
k

n


f ( n) z n z m z m F ( z )
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第五章 离散信号与系统的z域分析：z变换的性质

单边z变换的移位

若 f(k) ↔ F(z), |z| > ，且有整数m>0，则
2
5.1 z变换
在连续系统中，为了避开解微分方程的 困难，可以通过拉普拉斯变换把微分方 程转换为代数方程。出于同样的动机， 也可以通过一种称为z变换的数学工具， 把差分方程转换为代数方程。 从拉普拉斯变换到z变换


对连续信号进行均匀冲激取样后，就得 到离散信号: f s (t ) f (t )δT (t ) f (kT )δ (t kT )
m0
δ (k mN )

的z变换。

解：δ(k) ↔ 1，由移位特性得
δ(k mN ) z
m0 m0

mN
1 z N , | z |1 N 1 z z 1
N
第五章 离散信号与系统的z域分析：z变换的性质
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1, M k M 例2：求 p2 M 1 (k ) 的z变换。 0, k M , K M 解：p2M+1(k)=ε(k+M)−ε[k−(M+1)] z ε (k ) , | z | 1 z 1 z M 由移位特性 ε (k M ) z , 1 | z | z 1 z ( M 1) ε[k ( M 1)] z , | z | 1 z 1 z z M ( M 1) 由线性性质 p z 2 M 1 ( k ) z z 1 z 1 z z 2 M 1 1 , 1 | z | M 1 z 1 z
k
第五章 离散信号与系统的z域分析：z变换
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两边取双边拉普拉斯变换，得
Fsb ( s )
k


f (kT ) e kTs
令z = esT，上式成为复变量z的函数，用 F(z)表示；f(kT)用f(k)表示，得

序列f(k)的双边z变换
F ( z)

k



f (k ) z k
k
o
Re[ z]
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第五章 离散信号与系统的z域分析：z变换
b , k 0 例4：双边序列f(k)=fy(k)+ff (k)= k a , k 0 的z变换。
k
解：
z z F ( z ) Fy ( z ) F f ( z ) z b z a 可见，其收敛域为|a|<|z|<|b| Im[ z] (显然要求|a|<|b| ，否则 |b| 无共同收敛域) |a|
第五章 离散信号与系统的z域分析：z变换 14

令a=e±jβ：
z e ε (k ) , | z | 1 jβ z e z jβk e ε (k ) , | z | 1 jβ z e
jβk
第五章 离散信号与系统的z域分析：z变换
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5.2 z变换的性质
本节讨论的z变换的性质，若无特殊说明， 它既适用于单边也适用于双边z变换。 线性 若 f1(k)↔F1(z) 1< |z| <1, f2(k) ↔F2(k) 2< |z| <2
f ( k m) z m F ( z ) f ( k m ) z k f ( k m) z m F ( z ) f ( k ) z m k
k 0 k 0 m 1 m 1
证明：
m 1 k 0
Z [f (k m)] f (k m) z k

k
z F a
例 1：
z a z a ε (k ) , | z || a | z a 1 z a
k
第五章 离散信号与系统的z域分析：z变换的性质
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例 2：
1 j βk jβ k cos( βk )ε (k ) (e e ) ε ( k ) 2 1 z e jβ z e jβ jβ jβ 2 z e 1 z e 1 1 z 1 z jβ , | z | | e | 1 jβ jβ 2 z e 2 z e
信号与系统
第五章 离散信号与系统的z域分析
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