2018年秋高中数学 第三章 数系的扩充与复数的引入 3.1 数系的扩充与复数的概念 3.1.1 数系的扩充和复数的概

3.1.1 数系的扩充和复数的概念学习目标：1.了解引进虚数单位i 的必要性，了解数集的扩充过程．(重点)2.理解复数的概念、表示法及相关概念．(重点)3．掌握复数的分类及复数相等的充要条件．(重点、易混点)[自 主 预 习·探 新 知]1．复数的概念：z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )全体复数所构成的集合C ＝{a ＋b i|a ，b ∈R }，叫做复数集． 2．复数相等的充要条件设a ，b ，c ，d 都是实数，那么a ＋b i ＝c ＋d i ⇔a ＝c 且b ＝d . 3．复数的分类z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )⎩⎨⎧实数b ＝0虚数b ≠0⎩⎪⎨⎪⎧非纯虚数a ≠0纯虚数a ＝0思考：复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间存在怎样的关系？[提示][基础自测]1．思考辨析(1)若a ，b 为实数，则z ＝a ＋b i 为虚数．( ) (2)复数i 的实部不存在，虚部为0.( ) (3)b i 是纯虚数．( )(4)如果两个复数的实部的差和虚部的差都等于0，那么这两个复数相等．( ) [答案] (1)× (2)× (3)× (4)√ 2．复数i －2的虚部是( ) A ．iB ．－2C ．1D ．2C [i －2＝－2＋i ，因此虚部是1.]3．如果(x ＋y )i ＝x －1，则实数x ，y 的值分别为( ) A ．x ＝1，y ＝－1 B ．x ＝0，y ＝－1 C ．x ＝1，y ＝0 D ．x ＝0，y ＝0A [∵(x ＋y )i ＝x －1，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝0，x －1＝0，∴x ＝1，y ＝－1.]4．在下列数中，属于虚数的是________，属于纯虚数的是________.【导学号：31062191】0,1＋i ，πi，3＋2i ，13－3i ，π3i.[解析] 根据虚数的概念知：1＋i ，πi，3＋2i ，13－3i ，π3i 都是虚数；由纯虚数的概念知：πi，π3i 都是纯虚数．[答案] 1＋i ，πi，3＋2i ，13－3i ，π3i πi，π3i[合 作 探 究·攻 重 难]复数的概念及分类实数x 分别取什么值时，复数z ＝x 2－x －6x ＋3＋(x 2－2x －15)i 是①实数？②虚数？③纯虚数？[解] ①当x 满足⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x －15＝0，x ＋3≠0，即x ＝5时，z 是实数．②当x 满足⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x －15≠0，x ＋3≠0，即x ≠－3且x ≠5时，z 是虚数．③当x 满足⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x －6x ＋3＝0，x 2－2x －15≠0，x ＋3≠0，即x ＝－2或x ＝3时，z 是纯虚数．[规律方法] 复数分类的关键 1利用复数的代数形式，对复数进行分类，关键是根据分类标准列出实部、虚部应满足的关系式.求解参数时，注意考虑问题要全面，当条件不满足代数形式z ＝a ＋b i a ，b∈R时应先转化形式.2注意分清复数分类中的条件 设复数z ＝a ＋b ia ，b ∈R ，则①z 为实数⇔b ＝0，②z 为虚数⇔b ≠0，③z 为纯虚数⇔a ＝0，b ≠0，④z ＝0⇔a ＝0，且b ＝0.[跟踪训练]1．若复数z ＝a 2－3＋2a i 的实部与虚部互为相反数，则实数a 的值为________.【导学号：31062192】[解析] (1)由条件知a 2－3＋2a ＝0， ∴a ＝1或a ＝－3. [答案] 1或－32．实数k 为何值时，复数(1＋i)k 2－(3＋5i)k －2(2＋3i)分别是①实数；②虚数；③纯虚数；④零．[解] 由z ＝(1＋i)k 2－(3＋5i)k －2(2＋3i)＝(k 2－3k －4)＋(k 2－5k －6)i. ①当k 2－5k －6＝0时，z ∈R ，即k ＝6或k ＝－1. ②当k 2－5k －6≠0时，z 是虚数，即k ≠6且k ≠－1.③当⎩⎪⎨⎪⎧k 2－3k －4＝0k 2－5k －6≠0时，z 是纯虚数，解得k ＝4.④当⎩⎪⎨⎪⎧k 2－3k －4＝0k 2－5k －6＝0时，z ＝0，解得k ＝－1.复数的相等的充要条件[探究问题1．由3>2能否推出3＋i>2＋i ？两个实数能比较大小，那么两个复数能比较大小吗？ 提示：由3>2不能推出3＋i>2＋i ，当两个复数都是实数时，可以比较大小，当两个复数不全是实数时，不能比较大小．2．若复数z ＝a ＋b i>0，则实数a ，b 满足什么条件？ 提示：若复数z ＝a ＋b i>0，则实数a ，b 满足a >0，且b ＝0.(1) 若复数z ＝(m ＋1)＋(m 2 －9)i<0，则实数m 的值等于________． (2)已知关于x 的方程x 2＋(1－2i)x ＋(3m －i)＝0有实数根，求实数m 的值． [思路探究] (1)等价转化为虚部为零，且实部小于零； (2)根据复数相等的充要条件求解．(1)－3 [∵z <0，∴⎩⎪⎨⎪⎧m 2－9＝0m ＋1＜0，∴m ＝－3.](2)设a 是原方程的实根， 则a 2＋(1－2i)a ＋(3m －i)＝0， 即(a 2＋a ＋3m )－(2a ＋1)i ＝0＋0i ， 所以a 2＋a ＋3m ＝0且2a ＋1＝0， 所以a ＝－12且⎝ ⎛⎭⎪⎫－122－12＋3m ＝0，所以m ＝112.母题探究：1.(变条件)若x ＝1是方程x 2＋(1－2i)x ＋(3m －i)＝0的实数根，求复数m 的值．[解] 由题意可知，1＋1－2i ＋3m －i ＝0，即m ＝－23＋i.2．(变条件)若x 2＋(1－2i)x ＋(3m －i)>0，求实数m 的取值范围． [解] 由题意可知，x 2＋(1－2i)x ＋(3m －i)＝ x 2＋x ＋3m －(2x ＋1)i>0，故⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋1＝0x 2＋x ＋3m >0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－12m >112.所以实数m 的取值范围为⎝⎛⎭⎪⎫112，＋∞.[规律方法] 复数相等问题的解题技巧1必须是复数的代数形式才可以根据实部与实部相等，虚部与虚部相等列方程组求解.2根据复数相等的条件，将复数问题转化为实数问题，为应用方程思想提供了条件，同时这也是复数问题实数化思想的体现.提醒：若两个复数能比较大小，则这两个复数必为实数.[当 堂 达 标·固 双 基]1．已知复数z ＝a 2－(2－b )i 的实部和虚部分别是2和3，则实数a ，b 的值分别是( )【导学号：31062193】A.2，1B.2，5 C ．±2，5D ．±2，1C [令⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝2－2＋b ＝3，得a ＝±2，b ＝5.]2．给出下列三个命题：(1)若z ∈C ，则z 2≥0；(2)2i －1的虚部是2i ；(3)2i 的实部是0.其中正确命题的个数为( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个B [(1)错误，例如z ＝i ，则z 2＝－1；(2)错误，因为2i －1虚部是2；(3)正确，因为2i ＝0＋2i.]3．已知x 2－y 2＋2xy i ＝2i ，则实数x ＝________，y ＝________. [解析] ∵x 2－y 2＋2xy i ＝2i ，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 2－y 2＝0，2xy ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝－1.[答案] ⎩⎪⎨⎪⎧x 2－y 2＝0，2xy ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝－1.4．如果(m 2－1)＋(m 2－2m )i ＞1则实数m 的值为________．[解析] 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧m 2－2m ＝0，m 2－1＞1，解得m ＝2.[答案] 25．实数m 分别取什么数值时，复数z ＝(m 2＋5m ＋6)＋(m 2－2m －15)i【导学号：31062194】(1)是实数；(2)是虚数；(3)是纯虚数；(4)是0.[解] 由m 2＋5m ＋6＝0得，m ＝－2或m ＝－3，由m 2－2m －15＝0得m ＝5或m ＝－3. (1)当m 2－2m －15＝0时，复数z 为实数，∴m ＝5或－3；(2)当m 2－2m －15≠0时，复数z 为虚数， ∴m ≠5且m ≠－3.(3)当⎩⎪⎨⎪⎧ m 2－2m －15≠0，m 2＋5m ＋6＝0.时，复数z 是纯虚数，∴m ＝－2.(4)当⎩⎪⎨⎪⎧m 2－2m －15＝0，m 2＋5m ＋6＝0.时，复数z 是0，∴m ＝－3.。