12-1电磁感应及其基本规律2

d d (1 + 2 + n ) dt dt （2）如果每匝 都相等于，则 n
d n dt
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（3）定律中所说磁通量随时间的变化率，并末涉及磁通
量变化的原因，所以应该包括一切引起的磁通量变化的因 素（B在随时间变化；闭合回路在运动；二者兼之 ）。
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例 1: 长为L的导体棒在垂直于均匀磁场的平面 上以角速度 沿逆时针方向作匀速转动， 求感应电动势？ ω 解: l 处取棒元dl,由动生电动势公式
L _ l + dl B O
d (v B) dl vBdl
d 0
l0 l1 d 0 I 0 cos t vt ln dt 2 l0
i
0 I 0v l0 l1
ln l 2π 0
t sin t cos t
本题是既有感生电动势又有动生电动势的例子 ，上式中第一项为感生电动势，第二项为动生电 动势。若令t ＝0，则仅有动生电动势一项。 作业：12-7, 9
b e f v a
b a
f=evB f E v B （非静电性电场） e 在运动导体上产生的动生电动势为

ε


E dl= (v B) dl

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注意： 1. 不要求回路； 2. 在磁场中运动的导体必须切割磁感应线。
第十二章
电与磁的相互作用 和相互联系
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第十二章 电与磁的相互作用和相互联系
§12-1 电磁感应及其基本规律 §12-2 互感和自感
§12-3 涡流和趋肤效应
§12-4 磁场的能量 §12-5 超导体的电磁特性
§12-6 麦克斯韦电磁理论
§12-7 电磁波的产生和传播 §12-8 电磁波理论
§12-9 电磁场的能量和动量
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二、电磁感应定律(electromagnetic induction law)
1. 法拉第电磁感应定律 (1831) 导体回路中感应电动势的大小与穿过 该回路的磁通量的时间变化率成正比。
dΦ dt
关于这个定律，请注意以下问题 （1） 如果回路有n匝线圈，各匝为1,2,…,n， 那么 =1 + 2 + „ + n
电场EW，总电场E = EC +EW , 称为全电场。
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全电场的环路积分为
B L E dl L ( EC EW ) dl L EW dl S t dS
涡旋电场在变化磁场周围空间产生，不管是真 空、电介质还是导体；但感生电动势必须在导体 中才能产生，同样不要求导体是闭合电路。
R r O B
Ew
回路各点上EW的大小都相等，方向沿圆周的切线。 1 dB 1 dB r 解得: EW = r 2rEW = r2 dt 2 dt 2 负号表示涡旋电场实际方向与标定方向相反，即
d L EW dl dt
沿逆时针方向。
若 若
dB 0 dt dB 0 dt
dB/dt R o S A
L
B
，A为负极，B为正极 ，A为正极，B为负极
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例5：电流为I=I0cos t 的长直导线附近有一与其 共面的矩形线框,其ab边可以速度v 无摩擦地匀速 平动,设t=0时ab与dc重合,求线框的总感应电动势。 解：设t 时刻I > 0 , 空间磁场为 B 方向指向纸面，cb 边长为 l2= vt 穿过线框的磁通量为：
b. 由愣次定律确定感应电流产生磁场的方向
d 0 ：感应电流的磁场与原磁场方向相反
d 0
：感应电流的磁场与原磁场方向相同
c. 根据感应电流所产生磁场的方向判断感应电流 的流向 10
楞次定律
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掌握这一定律时，应注意以下问题： （1）定律中的“阻碍”和“反抗”是能量守恒 定律的体现和必然结果；
V vu
磁场作用于自由电子的总洛伦兹力为：F eV B
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因为F不作功，所以
F V 0
( f r ) (v u) 0
考虑到f v = r u = 0，上式为
f u r v 0 or f u r v
f u是总洛伦兹力F的分力f 对一个电子付出的 功率，显然，f u的宏观表现必定是动生电动势
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可见，虽然磁场只局限于半径为R的柱形区域， 但所激发的涡旋电场却存在于整个空间。
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例3：金属杆以速度v平行于长直导线移动，求 杆中的感应电动势多大，哪端电势高？
v 解:建立坐标系如图，取积分元 I dx dx , 由安培环路定理知在dx处磁 x d L 感应强度为： + 0 I B 2 πx 0 IV dx处动生电动势为 d V B dl dx 2π x 金属杆 d L 0 IV dx 0 IV ln d L L d 2πx 2π 电动势 d
由磁通量的变化所产生的电动势称为感应电动势。
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感应电流与感应电动势相比，感应电动势具有更 根本的性质。 （1）当回路不闭合时，也会产生电磁感应现象。 显然此时无感应电流，却有感应电动势
（2）回路闭合时，感应电流的大小与回路中的电 阻有关，而感应电动势却与电阻无关，只与电磁 感应本身有关。
把由于磁通量变化产生感应电动势的现象，统 称为电磁感应现象。
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§12-1 电磁感应及其基本规律
一、电磁感应现象 (electromagnetic induction phenomenon)
1. 导体闭合回路与磁场之间的相对运动
电流的大小与磁体的运动速度、开关速度和 电流的变化有关。即：与磁场强度随时间的变 化率有关 dB
I
dt
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2. 磁场中金属框上棒的滑动 电流与截面积S随时间 的变化率有关。
虽然洛伦兹力并不提供能量，但是它可以传递能 量，即外力为克服洛伦兹力的一个分力r作功所对应 的能量，通过另一个分力f转化为感应电流的能量。
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2. 感生电动势 导体不动，而由于磁场的大小或方向变化所产生 的感应电动势，称为感生电动势。 变化的磁场能够在空间激发一种电场，称为涡旋 电场或感应电场，不是保守场，是非静电性电场， 产生感生电动势。 静电场 感生电场
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洛伦兹力f 始终与带电粒子的运动方向相垂直，所以 洛伦兹力对带电粒子不作功。而电动势是反应非静电力的
作功本领，动生电动势是 从何而来？
设导体CD在匀强磁场B中以速 度v向右运动。导体中的自由电子 由于受到电场ED = vB的作用，而 以速度u相对于导体CD向下运动。 电子相对于静止参考系的运动 速度为
原磁场
变化
感应电流 （回路）
磁场
阻碍 感应电流的效果总是反抗引起感应电流的原因
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（2）判断感应电动势的具体方法 a. 确定通过回路磁通量的变化趋势 设t时刻，磁通量为 (t ) ，t+dt时刻，磁 通量为 (t dt ) ，则：
d (t dt ) (t )

0 0
磁通量要继续变化，就必须克服感应电流磁场的阻碍 作用而作功。可见，感应电流的获得是有代价的，这符 合能量守恒定律。
（2）在楞次定律中是以感应电流的方向代替感应电 动势的方向的，这种做法是由于历史原因形成的。
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三、感应电动势(induction electromotive force) 1. 动生电动势 导体在磁场中运动所产生的感应电动势。
“－”表示电动势的方向与积分方向相反
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例4：在半径为R 的圆柱形空间存在均匀磁场 B, 其随时间的变化率dB/dt 为常数， 求磁场中静止金属棒上的感应电动势。 dB/dt R o 解：自圆心作辅助线，与金属 S 棒构成三角形， L 2 A 2 S R L / 2 其面积为 S： 2 L BL 2 R 2 L / 2 过S的磁通量为 Φm 2 d m L 2 2 dB 该回路感 R L / 2 应电动势 dt 2 dt
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在r>R区域作圆形回路，磁通量为=R2B
dΦ B 代入 EW dl dS L S t dt
d 2 积分得 2 rE W R dt
R r O B
r
EW
1 R 方向也沿逆时针方向。 2 r
回路中产生的感生电动势
W
b
L
EW dl
感生电动势的产生同样不要求电路闭合，对于
处于涡旋电场EW中的一段导线ab中产生的感生电
动势可以表示为
dΦ L EW dl dt S
W
a
EW dl
B dS t
一般情况下空间可能同时存在静电场EC和涡旋
d I S dt
3. 金属线圈在磁场中转动 电流与磁感应强度的大 小，与线圈旋转角速度大 小和方向有关。
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总结：只要穿过导体回路的磁通量发生变化，该 导体回路中就会产生电流。
d d I ( B S ) (Φ) dt dt
由磁通量的变化所引起的回路电流称为感应电流。 在电路中有电流通过，说明这个电路中存在电动势，
B
A B o 由于 E dl Ek dl Ek dl Ek dl
o 而辅助线上 的积分o Ek dl B Ek dl 0
A
l
o
A
B
所以以上结果就是金属棒的感应电动势。
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方向的判断：
d m L 2 2 dB R L / 2 dt 2 dt