第2章 线性离散系统描述
线性离散系统数学模型和分析方法
线性离散系统数学模型和分析方法目录一、内容简述 (3)二、线性离散系统的数学模型 (3)2.1 离散系统的概念 (5)2.2 离散系统的描述方法 (6)2.2.1 差分方程 (7)2.2.2 马尔可夫过程 (8)2.2.3 状态空间表示 (10)2.3 线性离散系统的特性 (11)2.3.1 稳定性分析 (12)2.3.2 脉冲响应与收敛性 (13)2.3.3 系统性能评估 (14)三、分析方法 (16)3.1 拉普拉斯变换法 (17)3.1.1 基本概念 (19)3.1.2 应用分析 (20)3.1.3 收敛性与应用局限 (21)3.2 状态空间方法 (23)3.2.1 基本理论 (24)3.2.2 控制器设计 (25)3.2.3 参数估计 (26)3.3 Z变换法 (27)3.3.1 基本原理 (28)3.3.2 系统分析 (30)3.3.3 系统的性能评估 (31)3.4 时域分析方法 (33)3.4.1 序贯逼近法 (34)3.4.2 数值仿真 (34)3.4.3 基于数字模型的算法 (36)四、应用实例 (37)4.1 控制系统设计 (39)4.1.1 系统建模 (40)4.1.2 控制器设计与仿真 (42)4.2 信号处理 (43)4.2.1 离散信号处理 (45)4.2.2 滤波器设计 (46)4.3 通信系统 (47)4.3.1 调制与解调 (49)4.3.2 语音编码与加密 (51)五、结论与展望 (52)5.1 研究成果总结 (53)5.2 未来研究方向 (54)5.3 实际应用前景 (55)一、内容简述本文档旨在全面介绍线性离散系统数学模型的构建及其分析方法。
线性离散系统在现代科技、工程和经济学等领域具有广泛的应用，因此对其数学模型的理解和分析显得尤为重要。
我们将从线性离散系统的基本概念出发，详细阐述线性离散系统的定义、特点以及类型。
通过实例演示如何建立线性离散系统的数学模型，包括状态方程、传递函数等基本形式。
线性离散哈密顿系统谱理论
线性离散哈密顿系统谱理论自从1835年Hamilton提出Hamilton原理以来，Hamilton原理已经成为现代物理的基石。
Hamilton原理描述的是一切真实的，耗散效应可以忽略不计的物理过程均可表示成Hamilton系统。
由于Hamilton系统的广泛应用，因此人们对Hamilton系统的研究长盛不衰。
线性Hamilton系统谱理论不仅具有理论意义，而且是解决实际问题的工具。
例如，Schr(?)dinger方程是量子力学的基本方程。
量子力学中，粒子的行为可由Schr(?)dinger方程的波函数来描述，它的能量对应着Schr(?)dinger算子的谱。
其中，孤立点谱对应着粒子的能量级，它解释了粒子由一个能量级向另一个能量级跃迁的现象。
这种现象是经典力学无法解释的，而连续谱与粒子的分布有密切关系。
Schr(?)dinger方程就是Hamilton系统的特殊形式。
连续Hamilton系统基本理论的研究已有很长历史(见[1，2]及其参考文献)，它的谱理论也已被集中而深入地研究。
连续线性Hamilton系统的谱问题可分为两类：定义在有限闭区间上且系数具有很好性质的谱问题称为正则谱问题；否则，称之为奇异谱问题。
对于正则谱问题，已取得了许多很好的成果(见[3-11，13])。
奇异系统谱问题研究相当困难，这是因为奇异微分算子不但有点谱，还有连续谱等，已不能单纯利用处理有界算子谱问题的方法进行研究。
1910年，H．Weyl 开创了二阶奇异形式自伴微分算子谱理论(奇异Sturm-Liouville理论)的研究[14]。
此后不久，奇异Sturm-Liouville理论就成为刚刚兴起的量子物理学描述微观粒子状态的主要数学手段之一，从而引起了数学界与物理学界的关注。
许多知名学者，如Titchmarsh，Coddington，Levinson，Weidmann，Hinton，Krall 等，将H．Weyl的工作进一步深化并推广到线性Hamilton系统(见[3，4，6，15-37]及其参考文献)。
线性离散系统
或者说 fs >2fmax 时，则由采样得到的离散信号能够
不失真地恢复到原来的连续信号。
15
注释 1 采样定理的物理意义解释：
如果选择这样的采样频率， 使得对连续信号中 所含最高频率的信号来说，能做到在其一个周期内采 样两次以上，则在经采样获得的离散信号中将包含连 续信号的全部信息。
sin T
lim
0
H0 ( j)
limT 0
2
T
T
2
27
H0 ( j)
T
0
H0 ( j)
00
900 1800
sin T
H0 ( j) T
2
T
2
s
2s
3s
s
2s
3s
H0 (
j)
T
2
28
零阶保持器的频率特性
结论 1 零阶保持器是具有高频衰减特性的低通滤波器；
2 零阶保持器是具有负的相角，对闭环系统的稳定 性有不利的影响。
其中 X ( j) 是一个带宽有限的连续频谱。
max
8
连续信号的频谱
X ( j)
X ( j0)
max
0 2max
max
9
离散信号x*(t) 的频率特性为
X
*(
j)
1 T
n
X
j
ns
离散信号x*(t) 的频谱为
X *( j)
1 T
X
n
j ns
以 s 为周期的无穷多个频谱分量之和
10
2
计算机控制系统
数字控制系统 离散控制系统
《自动控制原理》名词解释
第一章：1、自动控制: 指在无人直接参与的情况下，通过控制器使被控制对象或过程自动地按照预定的要求运行。
2、人工控制：在人直接参与的情况下，利用控制装置使被控制对象和过程按预定规律变化的过程，(1)线性系统：用线性微分方程或线性差分方程描述的系统。
(2)非线性系统：用非线性微分方程或差分方程描述的系统。
（1）连续系统:当系统中各元件的输入量和输出量均是连续量或模拟量时，就称此类系统是连续系统（2）离散系统：当系统中某处或多处信号是脉冲序列或数字形式时，就称这类系统是离散系统。
（1）恒值控制系统：控制系统在运行中被控量的给定值保持不变（2）随动控制系统：控制系统被控量的值不是预先设定的，而是受外来的某些随机因素影响而变化，其变化规律是未知的时间函数（3）程序控制系统：控制系统被控量的给定值是预定的时间函数，并要求被控量随之变化。
（三）按控制方式分：开环控制、反馈控制、复合控制（四）按元件类型：机械系统、电气系统、机电系统、液压系统、气动系统、生物系统（五）按系统共用：温度控制、压力控制、位置控制1)输入量（激励）作用于一个元件、装置或系统输入端的量，可以是电量，也可以是非电量，一般是时间的函数（确定函数或随机函数），如给定电压。
2）输出量（响应）指确定被控对象运动状态的量，它是输出端出现的量，可以是电量或非电量，它是系统初始状态和输入量的函数。
3）被控制量制被控对象所要求自动控制的量。
它通常是决定被控对象工作状态的重要变量。
当被控对象只要求实现自动调节，即要求某些参数保持给定数值或按一定规律变化时，被控制量就是被调节量（被调量）。
4）控制量（控制作用）指控制器的输出量。
当把控制器看成调节器时，控制量即调节量（调节作用）。
5）反馈把系统的输出送回到输入，以增强或减弱输入信号的效应称为反馈。
使输入信号增强者为正反馈，使输入信号减弱者称为负反馈。
反馈信号与系统输出量成比例者称为硬反馈或刚性反馈（比例反馈），反馈信号为输出量的导数者称为软反馈或柔性反馈。
线性离散系统资料讲解
液位
5~10
温度
10~20
成分
10~20
8.2 信号采样与恢复
2. 采样定理
采样周期的选择：
根据工程实践经验，随动系统的采样频率 可近似取为
s 10c
即采样周期可按下式选取为 T 1
5 c
通过单位阶跃响应的上升时间tr或调节时间
ts，按下列经验公式选取：
或者
T
1 40
ts
f ( n t T ) a 0 a 1 t a 2 t 2 a m t m
n0
令z=eTs，则得离散信号x*(t)的Z变换，并记为
X(z)Z[x*(t)] x(n)Tzn n0
Z变换的定义：上式中的X(z)称为x*(t)的Z变换。
① z=eTs， z是一个复变量；
② Z变换是对离散信号(采样脉冲序列)进行的一种变换；
③ X(z)=Z[x*(t)]=Z[x(t)] ，同一信号不同表示形式对应 的脉冲序列的Z变换。
数学描述：
x * ( t ) x ( 0 ) ( t ) x ( T ) ( t T ) x ( 2 T ) ( t 2 T )
x(nT)(tnT) n0
在数字式仪表或计算机中，离散信号x*(t) 为一数字序列，而数字序列可以看作是以数字 表示其幅值的脉冲序列，它与上述脉冲序列并 没有本质区别。
通过量化变成以（二进制表示的）数字信号。通常，
采用采样周期为常数即等速（单速）采样的采样方式。
8.1 概述
1. 离散控制系统的特点
(a) 数字信号 图 8.3 D/A转换过程
(b) 连续信号
D/A转换过程是将数字信号恢复成连续信号。
8.1 概述
➢数字控制系统的典型结构图
线性离散系统的分析
§10-4 线性离散系统的分析前面讨论了线性离散系统的数学模型：一种是输入输出模型，一种是状态空间模型。
本节将要根据这些数学模型来分析线性离散系统的特性，例如稳定性、能控性和能观测性。
一、稳定性稳定性是动力学系统的一个十分重要的性质。
本节只讨论线性定常系统的稳定性，而时变系统的稳定性问题是比较复杂的。
有两大类的稳定性分析方法。
一类是分析离散系统极点在z 平面内的位置。
一个闭环系统是稳定的充分必要条件是其特征方程的全部根都必须分布在z 平面内以原点为圆心的单位圆内。
当然，我们可以用直接的方法求出特征方程，然后再求出其根（例如用贝尔斯特-牛顿叠代法）。
但是在工程上希望不经过解特征方程而找到一些间接的方法，例如代数判据法，基于频率特性分析的奈奎斯特法，或通过双线性变换把z 平面问题变成s 平面的问题，再用连续系统的稳定判据。
另一类研究稳定性的方法是李雅普诺夫第二方法，它规定了关于稳定性的严格定义和方法。
本节只介绍代数判据法。
Routh 、Schur 、Cohn 和Jury 都研究过相类似的稳定判据。
如果已知一个系统的特征多项式()n n na za z a z A +++=- 110 (10.87)Jury 把它的系数排列成如下的算表：11110a a a a a a a a a a nn n nn n =--α―――――――――――――――――――10111101211111110-------------=n n n n n n n n n n n n n a a aaaa a a α――――――――――――――――――――――――――――――――――――――10111110a a a a 10111a a =α―――――――――――――――――――0a 其中kk i k kik k k i k i a a a a a a 01=-=--α表中第一行和第二行分别是(10.87)中的系数按正序和倒序排列的。
离散系统的状态空间描述状态方程
上式中：
h0 bn h1 bn1 an1h0 h2 bn 2 an1h1 an 2 h0 hn b0 an1hn1 a1h1 a0 h0
12
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得到一阶差分方程组：
x1 ( k 1) x2 ( k ) h1u( k ) x ( k 1) x ( k ) h u( k ) 2 3 2 x ( k 1) x ( k ) h u( k ) n n1 n1 xn ( k 1) a0 x1 ( k ) a1 x2 ( k ) an1 xn ( k ) hn u( k )
1）差分方程的输入函数中不包含高于一阶的差分项
y( k n) an1 y( k n 1) a1 y( k 1) a0 y( k ) b0u( k )
选择状态变量： x1 ( k ) y( k )
x ( k ) y( k 1) 2 x 3 ( k ) y( k 2 ) xn ( k ) y( k n 1)
求解法同连续时间定常系统的传递函数的实现。
这里仅给出结论：第二能控标准型、第二能观测标准型
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1）第二可控标准型
x1 ( k 1) 0 x ( k 1) 0 2 0 x n ( k 1) a0 1 0 0 a1 0 1 0 a2 0 x1 ( k ) 0 x ( k ) 0 0 2 0 x 3 ( k ) u( k ) 0 1 0 a n 1 1 x n ( k )
离散系统的基本概念
06
CATALOGUE
离散系统的发展趋势与展望
离散系统的新理论与方法
离散系统的新理论
随着科技的不断发展，离散系统的新理论也在不断涌现。例如，离散概率论、离散控制论、离散信息论等，这些 新理论为离散系统的发展提供了重要的理论支持。
离散系统的新方法
在实践中，人们不断探索新的方法来处理离散系统的问题。例如，离散数学、离散优化算法、离散模拟技术等， 这些新方法为离散系统的研究提供了更有效的工具。
状态转移图的绘制方法
根据状态方程，通过计算或模拟得到状态变量的时间序列解，并绘 制成图形。
状态转移图的应用
通过观察状态转移图，可以直观地了解系统动态行为和变化趋势。
04
CATALOGUE
离散系统的稳定性分析
线性离散系统的稳定性分析
定义
线性离散系统是指系统 的数学模型可以表示为 离散时间的线性方程组 ，如差分方程或离散时 间状态方程。
状态方程
1
状态方程是描述离散时间动态系统状态变化的基 本方程，通常表示为离散时间序列的递推关系。
2
状态方程通常由当前状态和输入量来预测下一个 状态，是离散系统分析的重要基础。
3
状态方程的解法包括递归法和矩阵法等，其中递 归法较为直观，而矩阵法适用于大规模系统。
转移矩阵
转移矩阵是描述离散系统状态转移关系的矩阵，其元素表示状态之间的转 移概率。
社会科学领域
在社会学、经济学、管理学等领域中，离散系统也有着广泛的应用。例如，在经济学中，离散模型被用 于描述经济活动中的离散事件；在社会学中，离散模型被用于描述社会结构和社会动态。
离散系统未来的研究方向
要点一
复杂离散系统的研究
随着科技的不断发展，复杂离散系统 的研究已经成为一个重要的研究方向 。例如，复杂网络、离散事件动态系 统等，都是复杂离散系统的研究重点 。
线性离散系统
综上所述，已知 f (t) 求 F(z) 时，既可以按下面的 虚线箭头的步骤求取 F(z) ，又可以按实线箭头 的步骤求取 F(z) 。
f (t) 采样 f *(t) z变换 F(z)
拉氏变换
F(s) 部分分式
3、留数计算法
设连续函数f (t) 的拉氏变换式F(s)及其全部极点 pi 为
已知，则可用留数计算法求其 Z变换。
则有 n F (z) ai Fi (z) i 1
上式表明，Z 变换是一种线性变换，其变换过
程满足齐次性与均匀性。
2、平移定理
平移定理又叫做实数位移定理。其含义是指整个采样 序列在时间轴上左右平移若干个采样周期，其中向左平 移称为超前，向右平移称为滞后。平移定理如下所述。
如果函数f (t)是可拉氏变换的，其 z 变换为F(z)，则有
信号e(t)就可以完整地从采样信号e*(t)中 恢复过来。
即采样频率
s 2m
三、采样周期的选择
1.经验数据
三、采样周期的选择
2.计算公式：
频域： 时域：
s 10c
T
1 10 tr
2 1
T
s
5
c
1 T 40 ts
7.3 信号恢复与信号保持
一、理想的信号恢复 二、零阶保持器 三、一阶保持器
三、一阶保持器
Gh
(
s)
T
(1
Ts
)(1
eTs Ts
)
2
7.4 Z变换理论
一、 Z变换的定义 二、 Z变换的求法 三、 Z变换的性质 四、 Z反变换
一、 Z变换的定义
连续函数f(t)的拉氏变换：
F (s) L[ f (t)] f (t)estdt 0
自动控制原理之非线性系统和离散系统
自动控制原理一、 非线性系统1、按照平衡状态的定义，在无外作用且系统输出的各阶导数等于0时，系统处于平衡状态。
2、自激振荡是指没有外界周期变化信号的作用时，系统内产生的具有固定振幅和频率的稳定周期运动，简称自振。
3、描述函数法是基于频域分析法和非线性特性谐波线性化的一种图解分析方法。
对于满足结构要求的一类非线性系统，通过谐波线性化，将非线性特性近似表示为复变增益环节，然后推广应用频率法，分析非线性系统的稳定性或自激振荡。
4、奇点定义以微分方程()x x f x ,=表示的二阶系统，其相轨迹每点切线的斜率为()xx x f dx x d ,=，若在某点处()xx f ,和x 同时为0，即有00=dx xd 的不定形式，则称该点为相平面的奇点。
5、相平面的奇点亦称为平衡点，奇点必与x 轴相交。
6、奇线奇线就是特殊的相轨迹，它将相平面划分为具有不同运动特点的各个区域。
最常见的奇线就是极限环。
极限环是相互孤立的，在任何极限环的邻近都不可能有其他的极限环。
极限环是非线性系统特有的现象，只发生在非守恒系统中，这种周期运动的原因不在于系统无阻尼，而是系统的非线性特性，它导致系统能量做交替变化。
由此就有可能从某种非周期性的能源中获取能量从而维持周期运动。
7、描述函数法的基本思想当系统满足一定假设条件时，系统中非线性环节在正弦信号作用下的输出可用一次谐波分量来近似，由此导出非线性环节的近似等效频率特性，即描述函数。
此时，非线性系统近似等效为一个线性系统，并可应用线性系统理论中的频率法对系统进行频域分析。
8、描述函数的定义设非线性环节输入输出描述为()x f y =，当非线性环节输入为()t A t x ωsin =时，可对非线性环节的稳态输出()t y 进行谐波分析。
一般情况下()t y 为非正弦的周期信号，因而可以展开成傅里叶级数()()()∑∑∞=∞=++=++=1010sin sin cos n n n n n nt n Y A t n B t n AA t y ϕωωω，其中0A 为直流分量；()n n t n Y ϕω+sin 为第n 次谐波分量，且有nnn nn n B A B A Y arctan22=+=ϕ，式中n n B A ，为傅里叶系数，用下式描述 ()()()()td t y A n t td n t y B ttd n t y A n n ωπωωπωωππππ⎰⎰⎰====2002020212,1sin 1cos 1若00=A ，且当n>1时，n Y 均很小，则可近似认为非线性环节的正弦响应仅有一次谐波分量：()()1111sin sin cos ϕωωω+=+≈t Y t B t A t y上式表明，非线性环节可以近似认为具有和线性环节相类似的频率响应形式。
计算机控制系统总结
什么是采样定理？其物理意义是什么
如果一个连续信号不包含高于频率 的频率分量，连续信号中所包含频率分量的最高频率为 ，那么就完全可以用周期T< 的均匀采样值来描述，或者说，如果采样频率 2 ，那么就可以从采样信号中不失真地恢复原连续信号。
如果选用的采样频率 ，对连续信号中所包含的最高频率的正玄分量来讲，能够做到在一个振荡周期内采样两次以上，那么经采样所得的脉冲序列，就包含了连续信号的全部信息，如采样次数太少，采样所得的脉冲序列就不能无失真地反映连续信号的特性。
8执行器分为哪些类，电动执行器的输入信号范围是多大？
执行器分为电动执行器、气动执行器和液动执行器。
电动执行器的输入信号范围是：连续信号为0-10mA或4-20mA
9传感器分为哪些类？
温度传感器、压力传感器、流量传感器、液面传感器、力传感器
10简述数字调节器及输入输出通道的结构和信息传递过程，并画出示意图？
前置滤波器的主要作用是什么？
前置滤波器是串在采样开关前的模拟低通滤波器，主要作用是防止采样信号产生频谱混叠，因此又称为抗混叠滤波器。
什么是信号恢复？信号恢复的过程是怎么的？
指将采样信号还原成连续信号的问题.
信号恢复的过程，从时域来说，就是要由离散的采样值求出所对应的连续时间函数，从频率上说，就是要出去采样信号频谱的旁带，保留基频分量。
数字调节器以数字计算机为核心，控制规律由编制的计算机程序实现。输入通道包括多路开关、模-数转换器、采样保持器，输出通道包括模-数转换器、保持器。
传递过程：连续信号由多路开关采样保持器将模拟信号转为离散信号，离散信号由模-数转换器转变为数字信号，数字信号由数字调节器进行调节，调节的数字信号由数-模转换器变为离散模拟信号，离散模拟信号由保持其转换为模拟信号。
控制工程第二章线性系统的数学描述1
3. 控制系统中常见的三类数学模型 ➢ 输入输出描述，或外部描述 • 用数学方式把系统的输入量和输出量之间的 关系表达出来。 微分方程、传递函数、频率特性和差分方程 。
➢ 状态空间描述或内部描述 不仅可以描述系统输入、输出之间的关系，而且 还可以描述系统的内部特性。 它特别适用于多输入、多输出系统， 也适用于时变系统、非线性系统和随机控制系统
解 设回路电流为i(t)，由基尔霍夫电压定律可写出回路方程为 di(t) 1
L dt C i(t)dt Ri(t) ui (t)
1
C i(t)dt uo (t)
消去中间变量i(t)，可得描述该无源网络输入输出关 系的微分方程
LC
d
2uo (t) dt 2
RC
duo (t) dt
uo
(t )
ui
(t )
也可以写为
T1T2
d 2uo (t) dt 2
T2
duo (t) dt
uo (t)
ui (t)
其中：T1 L R ， T2 RC 。 这是一个典型的二阶线性常系数微分方程，对应的
系统称为二阶线性定常系统。
➢ 例: 下图表示一个含有弹簧、运动部件、阻尼器的机 械位移装置。外力 f(t) 是系统的输入量，位移 y(t) 是 系统的输出量。试确定系统的微分方程。
转动惯量J 粘滞摩擦系数f
扭转系数k
角位移
角速度
RLC串联网络 电压u 电感L 电阻R
电容的倒数1/C 电荷q 电流i
*非线性微分方程的线性化
➢ 为什么要研究非线性方程的线性化问题？ 系统、元件非线性特性的普遍存在性； 精确描述系统的动态方程通常为非线性微分方 程； 高阶非线性微分方程除计算机求解外，无一般 形式的解，这给研究系统带来理论上的困难； 线性微分方程理论比较成熟。
传递函数
第2章 线性离散系统的Z变换分析法
—计算机控制技术—
2-4-2 用Z变换求解差分方程
平移定理
差分方程
代数方程
用Z变换求解差分方程的步骤：
（1）对差分方程作Z变换； （2）利用已知初始条件代入Z变换式，求出Y(z)表达式； （3）对Y(z)求Z反变换，求出差分方程的解:
y(kT )
1
[Y ( z )]
x(0)=0, x(1)=1，求其时间响应式。
解： 根据超前定理，其差分方程的Z
z X ( z) - z x(0) - zx(1) 3zX ( z) - 3zx(0) 2 X ( z) 0
2 2
整理后得
( z 2 3z ) x(0) z x(1) X ( z) 2 z 3z 2
Z传递函数的推导：
设n阶定常离散系统的差分方程为：
y(k ) a1 y(k 1) an y(k n) b0 u(k ) b1u(k 1) bm u(k m)
在零初始条件下，取Z变换
(1 a1 z 1 an z n )Y ( z ) (b0 b1 z 1 bm z m )U ( z )
i 0
k 1
通解 + 特解
第2章 线性离散系统的Z变换分析法
—计算机控制技术—
2．古典解法（解析法）
通解求法：
与式（2-1）对应的齐次方程为
y(kT ) a1 y(kT T ) a2 y(kT 2T ) an y(kT nT ) 0
（2-3）
k A 通解具有 的形式，代入式（2-3），有
第2章 线性离散系统的Z变换分析法
—计算机控制技术—
自动控制原理的数学模型
自动控制原理的数学模型自动控制是一种通过控制器、执行器和传感器等组件来改变系统特性以实现预期目标的过程。
自动控制原理的数学模型是描述该过程的数学方程组，用于定量地分析和设计控制系统。
实际上，自动控制原理的数学模型可以通过一些基本的物理规律和方程来构建。
下面将介绍几种常见的自动控制原理的数学模型。
1.线性系统模型线性系统是指系统的输出与输入之间的关系是线性的。
在自动控制领域中，线性系统模型是最常见和基础的数学模型。
线性系统的数学模型可以通过常微分方程或差分方程来描述。
常见的线性系统模型有传递函数模型、差分方程模型和状态空间模型等。
传递函数模型是一种常见的线性系统模型，将系统的输入和输出之间的关系表示为一个分子多项式与一个分母多项式的比值。
传递函数模型可以通过系统的拉普拉斯变换或者离散时间系统的Z变换得到。
2.非线性系统模型除了线性系统以外，许多现实中的控制系统是非线性的。
非线性系统的数学模型可以通过非线性方程组来描述。
非线性系统的模型可能难以分析和求解，因为非线性方程组通常没有解析解。
3.离散系统模型离散系统是指系统的输入和输出是在离散时间上进行的。
离散系统的数学模型可以通过差分方程来描述。
差分方程是描述离散时间系统的常用数学工具，可以通过差分方程求解得到系统的时间响应。
4.状态空间模型状态空间模型是一种描述线性动态系统的数学模型。
状态空间模型将系统的状态用向量表示，以描述系统在不同时间点的状态和状态之间的相互关系。
状态空间模型适用于揭示系统的内部细节和进行控制系统设计。
为了应用自动控制原理的数学模型，需要进行系统的建模和参数辨识。
系统的建模是根据系统的特性和运行规律，建立数学模型的过程。
参数辨识是根据实际测量数据和实验结果，确定数学模型中的参数值的过程。
总结起来，自动控制原理的数学模型是用于描述控制系统的数学方程组，常见的数学模型包括线性系统模型、非线性系统模型、离散系统模型和状态空间模型等。
建立和辨识数学模型是应用自动控制原理的重要步骤，可以通过物理规律和系统运行数据等来完成。
计算机控制系统习题参考答案
1
计算机控制系统习题参考答案
2) 直接数字控制系统：可完全取代模拟调节器，实现多回路的 PID 控制，而且只要改变 程序就可实现复杂的控制规律。
3) 监督控制系统：可考虑许多常规调节器不能考虑的因素，如环境温度和湿度对生产过 程的影响，可以进行在线过程操作的在线优化；可以实现先进复杂的控制规律，可靠性 好。
第二章 线性离散系统的数学描述和分析方法 P42
2-1 简述离散控制系统中信号变换的原理。 先经过采样过程，即采样开关按一定的周期进行闭合采样，使原来在时间上连续的 信号 f(t) 变成时间上离散、幅值上连续的离散模拟信号 f * (t) 。再经过量化过程，采用一组 数码来逼近离散模拟信号的幅值，将其转换成数字信号。 2-2 已知函数 f(t) ，求取 Z 变换 F(z) 。
10 ，采样周期 T=1s，采用零阶保持器，单位负反馈系 s(0.1s+1)
7
计算机控制系统习题参考答案
G(z)=Z[
1-e-Ts 10 10 9z -1 (1+0.11z -1 ) ]=(1-z −1 )Z[ 2 ]= ⋅ s s(0.1s+1) s (0.1s+1) (1-z -1 )(1-e-10 z -1 )
1)
f(t)=a mt
* -k mT -1 2mT -2 Z [ f(t) ] =Z f (t) = ∑ f(kT)z =1+a z +a z +... k=0 ∞
①ห้องสมุดไป่ตู้
①-① ⋅a mT ⋅ z -1 得：
Z[f(t)]=
1 1-a z
mT -1
2)
f(t)=1-e-at
1 1 (1-e-aT )z -1 F(z)=Z[1-e ]= -1 - -aT -1 = 1-z 1-e z (1-z -1 )(1-e-aT z -1 )
《离散系统理论》课件
Hale Waihona Puke 状态方程0102
03
状态方程是描述离散时间动态系 统的一种方式，它包含了系统的 当前状态和未来状态之间的关系 。
状态方程通常表示为 x(n+1) = Ax(n) + Bu(n), 其中 x(n) 表示系 统在时刻 n 的状态向量，A 和 B 是系统的状态矩阵和控制矩阵， u(n) 是系统在时刻 n 的输入向 量。
对于能控性和能观性的判定，通常采用Gramian矩阵方法 ，通过计算系统的Gramian矩阵来判断系统的能控性和能 观性。
03
离散控制系统
离散控制系统的基本概念
离散控制系统
由离散输入信号和离散输出信号组成的控制系统，通 常由离散状态变量描述。
离散时间
离散控制系统中状态变量随时间变化的步长，通常以 时间间隔表示。
离散系统理论的最新研究进展
01
离散系统理论的数学基础研究
深入探讨离散系统的数学性质，包括离散函数的性质、离散微积分、离
散概率论等。
02
离散系统在计算机科学中的应用
研究离散系统在计算机科学中的实际应用，如离散算法设计、离散数据
结构、离散概率计算等。
03
离散系统在物理和工程领域的应用
探讨离散系统在物理、工程、生物等领域的应用，如离散物理模型、离
3
如果一个离散系统是稳定的，那么它的所有解都 是有界的，并且随着时间的推移，系统的状态会 逐渐收敛到平衡状态。
离散系统的能控性和能观性
能控性和能观性是离散系统理论中的两个重要概念，它们 决定了系统是否可以通过控制输入和观测输出实现特定的 控制目标。
能控性是指系统是否可以通过控制输入将状态从任意初始 状态转移到任意目标状态，能观性是指系统是否可以通过 观测输出准确地估计系统的初始状态。
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r (t )
(s )
y (t )
r (k )
T
(s )
y (k )
T
（a）连续系统 图6
（b）离散系统 连续系统和离散系统
2013-5-7
9
2 . 差分方程的求解
例1 已知一个数字系统的差分方程为
y(kT ) y(kT T ) r (kT ) 2r (kT 2T )
z pi
f (kT ) lim( z p )F ( z )z
k 1 i 1 z pi i
n 2, p1 1, p2 0.4
0.6 z k 0.6 z k f ( kT ) lim z 1) 2 ( z 0.4 z 1.4 z 0.4 1 (0.4)k
线性离散系统的Z变换分析法
1 . Z变换
f * ( t ) f (0) ( t ) f (T ) (t T ) f ( 2T ) (T 2T ) f ( kT ) ( t kT )
k 0
对上式取拉氏变换：
F * ( s ) L[ f * ( t )] f ( kT )e kTs
(a )
G1 ( j )
(b)
C ( j )
F ( j )
F ( j )
*
C ( j ) F ( j )
s / 2
0
s / 2
/ 2 s
0
/2 s
(c)
(d )
图4
f (t ) 、 * ( t ) 的频谱 F ( j ) 及从 F * ( j ) 恢复 F ( j ) f
第2章 线性离散系统 的数学描述和分析方法
本章主要内容
1.信号变换理论
2.线性离散系统的数学描述方法
3.线性离散系统的Z变换分析法
4.脉冲传递函数
5.线性离散系统的性能分析
2013-5-7 1
2．1 信号变换理论
1. 连续信号的采样和量化 采样过程
f (t )
f (t )
T
f (t )
f (t )
2．2
线性离散系统的数学描述方法
1. 差分方程
y(kT ) a1 y(kT T ) a2 y(kT 2T ) an y(kT nT ) b0 r (kT ) b1r (kT T ) b2 r (kT 2T ) bm r (kT mT )
F ( z ) f ( kT )z k f (0) f (1) z 1 f ( 2) z 2
k 0
f (kT )z k 中， f (kT ) 决定幅值，
f (t ), g (t )
z 决定时间。
（3）Z变换是由采样函数决 定的，它反映不了非采样时
0
T
k
查表得
y(kT) (1)k (2)k
(k 0,1,2,)
为了书写方便，通常将 kT 写成 k 。
f1 为 t 1T 时刻的单脉冲，脉冲的幅值为 f (1T ) ；……； 。
f k 为 t kT 时刻的单脉冲，脉冲的幅值为 f (kT ) 。
则：
f k f (kT) (t kT)
只有在 t kT 时刻，才有 ( t kT ) 0，而在的 所有 t kT时刻，都有 ( t kT ) 0 。
t2
t3
t4
t5
t6
t7
t8
t
6 5 4 3
A4
A3
'
'
'
A5
'
A6
'
A7 A8
'
'
A2 A1
'
2 1
0
为量化过程。
2013-5-7
t1
t2
t3
t4
t5
t6
t7
t8
t
图3
量化过程
5
2. 采样定理
F ( j )
F ( j )
*
s / 2
0
s / 2
2 s
s
0
s
2 s
S0
Tz ( z 1)2
15
2. Z反变换
长除法
例5 用长除法求函数 F ( z )
解：
0.6 z 的Z反变换。 z 2 1.4 z 0.4
0.6 z 1 0.84 z 2 0.936 z 3 z 2 1.4 z 0.4)0.6 z
0.6 z 0.84 0.24 z 1 0.84 0.24 z 1 0.84 1.176z 1 0.336 z 2 0.936z 1 0.336 z 2 0.936z 1 1.310 z 2 0.3744 z 3 0.974 z 2 0.3744 z 3 F(z) 0.6z 1 0.84z 2 0.936z 3
s si
例4 已知 F ( s ) 12 ，求 F (z ) 。 s 解:
N 1 , l 2 ， s1 0
2013-5-7
2 1 s s2 z 1 d sT F (z) ( 2 1)! ds z e
kT t
图2
对单位脉冲序列的调制
因此：
2013-5-7
f * ( t ) f ( kT ) ( t kT )
k 0
4
量化过程
6 5
f (t )
A4
A3
A2 A1
A5
A6 A7 A8
所谓量化，就是采用 一组数码（如二进制
4 3
2 1
0
q
t1
f (t )
*
码）来逼近离散模拟
信号的幅值，将其转 换成数字信号。这个 经量化使采样信号成 为数字信号的过程称
由线性定理: Z[ y(k 2)] Z[3 y(k 1)] Z[2 y(k )] 0 由超前定理: [z 2Y ( z ) z 2 y(0) zy(1)] 3[ zY ( z ) zy(0)] 2Y ( z ) 0
2013-5-7 19
代入初始条件，解得
Y (z) z z z z z 2 3 z 2 ( z 1)(z 2) z 1 z 2
s 2max
采样定理奠定了选择采样频率的理论基础，但对于 连续对象的离散控制，不易确定连续信号的最高频率。 因此，采样定理给出了选择频率的准则，在实际应用中 还要根据系统的实际情况综合考虑。
2013-5-7 7
3.采样信号的复现和采样保持器
保持器
保持器是一种基于时域外推原理、把采样信号转换成连 续信号，实现采样点之间的插值的元件。
零阶保持器
* e (t )
e * (t )
零阶保持器 (b)
e h (t )
eh ( t )
。
0
T
2T
t /T
0
T
2
T
2T
t /T
(a)
(c)
图5
零阶保持器的功能
零阶保持器采用恒值外推原理，把每个采样值 e(kT )一直 * 保持到下一个采样时刻 ( k 1)T ,从而把采样信号 e ( kT )变成 2013-5-7 8 了阶梯连续信号 eh ( t ) 。
F ( s) a s( s a )
， 求 F （ z） 。
a 1 1 s( s a ) s s a
1 1 1 1 F (z) Z Z 1 z 1 1 e at z 1 s s a
(1 e aT ) z 1 (1 z 1 )(1 e aT z 1 )
2013-5-7 3
可以解释为连续时间信号 f (t ) 被理想单位脉冲 (t ) 做了离散时间调制。
(t )
f (t )
调制器
f (t )
f (t )
(t )
f (t )
f 2 f3 f1
f4
f5 f6
fk
0
f0
0 T 2T 3T 4T 5T 6T kT t
t
0 T 2T 3T 4T 5T 6T
0.6 z 的Z反变换。 2 z 1.4 z 0.4
z 1
1
1
A2 ( z 0.4)
0.6 z 2 1.4 z 0.4
z 0.4
F (z)
z z z 1 z 0.4
2013-5-7
f (kT) Z 1[F ( z )] 1 (0.4)k
输入信号
k , r(kT) 0, k0 k0
初始条件 y(0) 2 ，试求解差分方程。 解：令：k 1,2,3 ，代入差分方程，得
y(0) 2, y(T ) 1, y(2T ) 3, y(3t ) 2, y(4T ) 6,
2013-5-7
10
2．3
（a) f (t ) 的频谱 F ( j ) （b） f * ( t ) 的频谱 F * ( j ) （c） 理想的滤波器 （d） 滤波器输出信号频谱 C ( j )
2013-5-7 6
采样定理
为保证采样信号的频谱是被采样信号的频谱无重叠的重 复（沿频率轴方向），以便采样信号能反映被采样信号的 变化规律，采样频率 s ( 2 / T 2f ) 至少应是 f (t ) 的频 谱 F ( j ) 的最高频率 max 的两倍，即
（查表2—1 ）
17
留数计算法
0.6 z 例7 用留数计算法求 F ( z ) 2 的Z反变换。 z 1.4 z 0.4