实验十一 向量自回归模型(VAR模型)

的完整定义并加以推广。
假设Yt和Xt之间的长期关系式为：
Yt KX t
1
（11.13）
式中，K和 1为估计常量。例如，Y可以是商品
的需求量，X则是价格。1 就是Y对X的长期弹
性。
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对式（11.13）两边取对数可得：
ln Yt ln K 1 ln Xt 或 yt 1xt
CPCt 0 1GDPPC t t
变量选择是合理的，随机误差项一定是“白噪声”（即均 值为0，方差不变的稳定随机序列），模型参数有合理的经 济解释。
这也解释了尽管这两时间序列是非稳定的，但却可以用 经典的回归分析方法建立回归模型的原因。
• 从这里，我们已经初步认识到：检验变 量之间的协整关系，在建立计量经济学模 型中是非常重要的。 而且，从变量之间是否具有协整关系 出发选择模型的变量，其数据基础是牢固 的，其统计性质是优良的。
Yt 1X t vt
式中，vt=t-t-1。
实际情况往往并非如此
如果 t-1 期末，发生了上述第二种情况，即 Y 的值小于 其均衡值，则Y的变化往往会比第一种情形下Y的变化Yt 大一些； 反之，如果Y的值大于其均衡值，则Y的变化往往会小 于第一种情形下的Yt 。 可见，如果 Yt=0+1Xt+t 正确地提示了 X 与 Y 间的长 期稳定的“均衡关系”，则意味着Y对其均衡点的偏离从 本质上说是“临时性”的。 因此， 一个重要的假设就是 : 随机扰动项 t 必须是平 稳序列。 显然，如果t有随机性趋势（上升或下降），则会导 致Y对其均衡点的任何偏离都会被长期累积下来而不能被 消除。
其中定义第二个新变量β0=b0/ 。
（11.20）
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根据式（11.20），Y的当前变化决定于X的变 换以及前期的非均衡程度，也就是说前期的误 差项对当期的Y值进行调整。所以（11.20）就 是一阶误差修正模型，也是最简单的形式。 t 1 yt 1 0 1xt 1 表示系统对均衡状态的偏离 程度，可以称之为“均衡误差”。 在模型（11.20）中， yt 1 0 1 xt 1 描述了 对均衡关系偏离的一种长期调解。这样在误差 修正模型中，长期调节和短期调节的过程同样 被考虑进去。因而，误差修正模型的优点在于 它提供了解释长期关系和短期调节的途径。
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当xt 0 且 t 1 0 的时候，后者意味着 yt 1比
均衡值高出太多。由于 0 ，那么 t 1 0， 因此 yt 0 。换句话说，如果 yt 1 高于均衡值 水平，那么在下一个时间段，yt 1 会开始下降，
误差值就会被慢慢修正，这就是所说的误差修
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在对（11.16）进行估计的时候，其中的变量可 能是不平稳的，不能运用OLS估计，否则将出 现伪回归现象。对此，重新进行转化。两边分 别减去yt-1 ：得
yt yt 1 b0 b1xt b2 xt 1 (1 ) yt 1 t
（11.17）
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并进一步进行变化：
式中:t是随机扰动项。
该均衡关系意味着:给定X的一个值，Y相应的 均衡值也随之确定为0+1X。
在t-1期末，存在下述三种情形之一：
（1）Y等于它的均衡值：Yt-1= 0+1Xt ； （2）Y小于它的均衡值：Yt-1< 0+1Xt ； （3）Y大于它的均衡值：Yt-1> 0+1Xt ； 在时期t，假设X有一个变化量Xt，如果变量X与Y在时 期t与t-1末期仍满足它们间的长期均衡关系，则Y的相应变 化量由式给出:
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二、协整检验的具体方法 （一）EG检验
假如Xt和Yt都是I (1)，如何检验它们之间是否存 在协整关系，我们可以遵循以下思路：
首先用OLS对协整回归方程 yt xt ห้องสมุดไป่ตู้t 行估计。 进
然后，检验残差 e 是否是平稳的。因为如果Xt和 t Yt没有协整关系，那么它们的任一线性组合都是 非平稳的，残差 et 也将是非平稳的。
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（4）如果Xt~ I (0)，Yt~ I (1)，则aXt+bYt是I (1)， 即I (1)具有占优势的性质。 （5）如果Xt和Yt都是I (1)，则aXt+bYt一般情况下是 I (1)，但不保证一定是I (1)。如果该线性组合是I (0)， Xt和Yt就是协整的，a、b就是协整参数。
正模型。当 t 1 0 ，则是完全相反的情况，
整个机制是相同的。
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向量自回归模型
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VAR模型的起源
巨大的模型均未预测到20世纪70年代早期由于石油危机 而引发的世界经济的衰退和随之而来的滞胀，也未能就治 理滞胀开出有效的“药方”。由此导致了对结构模型的批 判，其中最具影响的便是著名的“卢卡斯批判（the Lucas critique）”。 卢卡斯指出：使用计量经济模型（结构模型）预测未来经 济政策的变化所产生的效用是不可信的。他认为，如果一 个模型的某些参数所反映的是私人行为对以前的经济政策 的反应函数的适应性，如果政策反应函数被改变，则私人 行为对新的反应函数将再适应，其结果是，所估计的参数 将不再描述这种适应。 卢卡斯批判所隐含的是，如果政策反应函数出现变化，这 种变化也将改变模型的参数，于是，联立方程的简约形式 也将随之发生变化。
假如有序列Xt和Yt，一般有如下性质存在： (1) 如果Xt~ I (0)，即Xt是平稳序列，则a+bXt也 是I (0)； (2) 如果Xt~ I (1)，这表示Xt只需经过一次差分就 可变成平稳序列。那么a+bXt也是I (1)； (3) 如果Xt和Yt都是I (0)，则aXt+bYt是I (0) ；
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由于X和Y通常处于非均衡状态，可以建立一个 包含X和Y滞后项的短期或非均衡关系，假设采
取如下形式：
yt b0 b1xt b2 xt 1 yt 1 t
0 1
（11.16）
（11.16）式是基础的形式，只包括一阶滞后项， 说明对于变量X的变化，变量Y需要一段时间进 行调整。
从协整的定义可以看出:
（d,d）阶协整是一类非常重要的协整关系，它的经济意义 在于： 两个变量，虽然它们具有各自的长期波动规律，但 是如果它们是（d,d）阶协整的，则它们之间存在着一个长 期稳定的比例关系。 例如：假设中国CPC和GDPPC，它们各自都是2阶单整， 并且将会看到，它们是(2,2)阶协整，说明它们之间存在着 一个长期稳定的比例关系，从计量经济学模型的意义上讲， 建立如下居民人均消费函数模型
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检验 t 是否平稳可以采用前文提到的单位根检 验，但需要注意的是，此时的临界值不能再用 (A)DF检验的临界值，而是要用恩格尔和格兰杰 （Engle and Granger）提供的临界值，故这种 协整检验又称为（扩展的）恩格尔格兰杰检验 (简记(A)EG检验）。
e
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误差修正模型
Engle和Granger于1987年提出了误差修正模型
式Yt=0+1Xt+t中的随机扰动项也被称为非均衡误差
（disequilibrium error），它是变量X与Y的一个线性组合：
t Yt 0 1 X t
(*)
因此，如果Yt=0+1Xt+t式所示的X与Y间的长期均衡关 系正确的话，（*）式表述的非均衡误差应是一平稳时间序 列，并且具有零期望值，即是具有0均值的I(0)序列。 从这里已看到， 非稳定的时间序列，它们的线性组合也可 能成为平稳的。 例如：假设 Yt=0+1Xt+t 式中的 X 与 Y 是 I(1) 序列，如果该式 所表述的它们间的长期均衡关系成立的话，则意味着由非均 衡误差（*）式给出的线性组合是 I(0)序列。这时我们称变量 X与Y是协整的（cointegrated）。
⒉协整
如果序列{X1t,X2t,…,Xkt}都是d阶单整，存在向量 =(1,2,…,k)，使得 Zt= XT ~ I(d-b) 其中，b>0，X=(X1t,X2t,…,Xkt)T，则认为序列{X1t,X2t,…,Xkt} 是(d,b)阶协整，记为Xt~CI(d,b)，为协整向量（cointegrated vector）。 在中国居民人均消费与人均GDP的例中，该两序列都是2阶 单整序列，而且可以证明它们有一个线性组合构成的新序列为0 阶单整序列，于是认为该两序列是(2,2)阶协整。 由此可见:如果两个变量都是单整变量，只有当它们的单整 阶数相同时，才可能协整；如果它们的单整阶数不相同，就不 可能协整。
实验十一 协整与向量自回归模型
1
协整
0、问题的提出
经典回归模型 （classical regression model）是建立在 稳定数据变量基础上的，对于非稳定变量，不能使用经典 回归模型，否则会出现虚假回归等诸多问题。 由于许多经济变量是非稳定的，这就给经典的回归分析方 法带来了很大限制。 但是，如果变量之间有着长期的稳定关系，即它们之间是 协整 的（ cointegration) ，则是可以使用经典回归模型方 法建立回归模型的。 例如，中国居民人均消费水平与人均GDP变量的例子中： 因果关系回归模型要比ARMA模型有更好的预测功能， 其原因在于，从经济理论上说，人均GDP决定着居民人均 消费水平，而且它们之间有着长期的稳定关系，即它们之 间是协整的（cointegration）。
yt yt 1 b0 b1xt b1xt 1 b1xt 1 b2 xt 1 (1 ) yt 1 t ，即： yt b0 b1xt (b1 b2 ) xt 1 yt 1 t
（11.18）
在这里 (1 )。我们对上式进行重新整理， 得到：
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在这里 (1 ) 。我们对上式进行重新整理， 得到：